INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEŢEANĂ 8 mrtie 04 Profil rel, specilizre ştiinţele nturii FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA A IX-A. Două utovehicule A şi B pornesc simultn din celşi punct M şi se deplseză pe ceeşi direcţie şi în celşi sens cu vitezele constnte v şi v (v < v ), descriind un drum rectiliniu d. Fie P un punct cre nu prţine dreptei d, stfel încât PM şi m( PMA) > 90. După cât timp de l pornire unghiul APB, sub cre se văd utovehiculele din punctul P, este mim? Fie PO d; notăm PO h, OM b, m( OPA) α, m( OPB) β şi m( APB) γ. Observăm că h + b. După timpul t de l pornire, MA v t şi MB v t... p tgβ tgα tgγ tg( β α )... p + tg β tg α b + vt b + vt tgβ, tgα... p h h h ( v v ) Înlocuind, obţinem tgγ... p + vv t + b( v + v ) t Unghiul γ este mim dcă numitorul este minim, deci când + vvt este minim ( b( v + v ) este t constnt)... p + vvt Folosind ineglitte mediilor, deducem că t vvt. Astfel, vlore minimă se t obţine când vv t, deci pentru t... p t v v 3 03 04. Clculţi sum S... + + + + 3 4 05 întregă numărului rel., unde [ ] este prte n n + n + n n + n + n +... p 3 03 S 0 + + + 3 +... + 03... p
S 03 3 0 S 03 ( + + + +... + )... p 03 03 S 03... p 03 S 0 +... p ( + ) n f n N N, ştiind că f f ( )... n f ( n) 3. Determinţi funcţi f : + + + 4, oricre r fi n N. Gzet Mtemtică /03 Pentru n se obţine că f ()... p Dând în continure vlori lui n, intuim că f (n) n... p Presupunere precedentă se demonstreză prin inducţie... 4p BA CB AC 4. Fie ABC şi A (BC), B (CA), C (AB), stfel încât, n >, BC CA AB n A'B'C' AA BB {B }, BB CC {C }, CC AA {A }. Aflţi rportul. ABC Sergiu Priscriu CA n AAC n ()... p BC n ABC n Aplicăm teorem lui Menelus în ABA cu punctele colinire C, A, C; rezultă că CA CB A 'A... p CB CA A 'A A 'A n Obţinem AA n n + şi ACA' n ()... p AAC n n + ACA ' n Din () şi (), S n n + şi nlogele CBC' n S n n +, BAB' n... p S n n + Finlizre: S ABC ( n ) A'B'C' ABC n n + ABC ABC... p
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEŢEANĂ 8 mrtie 04 Profil rel, specilizre ştiinţele nturii FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA A X-A. Se consideră numerele complee, b, c şi d, stfel încât + b c + d şi + b c + d. Arătţi că n + b n c n + d n, oricre r fi numărul nturl n. Din ( + b) (c + d) şi + b c + d obţinem, scăzând membru cu membru, că b c d... p Notăm s + b c + d şi p b c d; tunci ecuţi s + p 0 re, pe de o prte, soluţiile şi b, ir pe de ltă prte, soluţiile c şi d. Rezultă c, b d su d, b c... 4p Astfel, n + b n c n + d n, n N... p. Determinţi numerele rele cu propriette că [ ] [ ] întregă numărului rel ). Impunem condiţi ( 0, ) log + log 3 (unde [] este prte 4 Gzet Mtemtică /04. Dcă (0, ), tunci cei doi termeni i sumei din membrul stâng sunt negtivi, deci nu eistă soluţii în (0, )... p log log. Avem stfel dor posibilităţile Deci [ log ] şi [ log 4 ] sunt numere nturle şi [ ] [ 4 ] ([ log ],[ log4 ] ) {(, );( 3,0) }... 3p În primul cz, [ 4,8) [ 4,6) [ 4;8). În cel de-l doile, [ 8,6) [, 4). În concluzie, numerele căutte sunt cele din intervlul [ 4,8 )... p 3. Se consideră numerele pozitive, b, c şi funcţi numere rele stfel încât 0 u v w Demonstrţi că UW > UV + VW. f : R R, f + b + c. Fie u, v, w ( ) < < şi punctele U u,f ( u ), V v,f v şi W w,f w. Mihi Mone Folosind teorem cosinusului, concluzi problemei revine l demonstr fptul că UVW este obtuz... p Cum, b, c sunt pozitive, prbol socită funcţiei f re vârful l stâng ei Oy şi f este strict crescătore pe intervlul [0, )... p
Ducem prin V prlele l ele de coordonte, cre vor împărţi plnul în ptru cdrne. Punctele U şi W se vor fl în cdrnul III şi respectiv I, cee ce rtă că unghiul UVW este obtuz... 3p 4. Prin înfăşurre unui dreptunghi de perimetru se obţine suprfţ lterlă unui cilindru. Determinţi volumul mim posibil l cestui cilindru şi precizţi dimensiunile dreptunghiului pentru cre se tinge cest mim. Notă: Volumul unui cilindru circulr drept vând rz R şi înălţime H se clculeză folosind formul V π R H. Fie şi b dimensiunile dreptunghiului, cu + b. Dcă înălţime cilindrului este, rz cestui b v fi π, ir volumul v fi egl cu V b... 3p 4 π b b 3 b b + + Din ineglitte mediilor obţinem că V π π 3 π 6 6 π... 3p Deducem că V m, 6π vlore mimă tingându-se când,b ir înfăşurre se fce 6 3 stfel încât înălţime să fie de lungime.... p 3
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEŢEANĂ 8 mrtie 04 Profil rel, specilizre ştiinţele nturii FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA A XI-A *. Determinţi simptotele grficului funcţiei R R Cum f :, f e. lim f lim e, funcţi f nu re simptotă orizontlă l +... p Căutăm simptot oblică l +. y f ( ) e Avem: m lim lim e ; n lim ( f ( ) ) lim e lim, deci y 0 y drept y este simptotă oblică spre + l G f... p Anlog, drept y este simptotă oblică şi spre - l grficul lui f... p y e lim f lim e 0; lim f lim e lim, drept 0 este simptotă y Deorece 0 0 0 0 y > 0 > 0 < 0 < 0 verticlă l stâng l G f... 3p y> 0. Fie A o mtrice pătrtică de ordin 3 cu elemente numere întregi. Demonstrţi că mtrice 3A + 5I 3 este inversbilă. Supliment Gzet Mtemtică 9/03 M + M M 3 3 3 Determintul mtricei 3A + 5I3 este de form M3 M3 + M3 M M M + 3 3 3... 4p Efectuând clculele, obţinem că M3 +, deci 0. Deducem că mtrice 3A + 5I3 este inversbilă.... 3p 3. Folosind noţiune de limită unei funcţii într-un punct, demonstrţi că funcţi f : R R, f ( ) sin nu este funcţie rţionlă. Notă: O funcţie se numeşte rţionlă dcă se pote scrie c rport două funcţii polinomile. Supliment Gzet Mtemtică /04
Presupunem, prin bsurd, că eistă P şi Q polinome cu coeficienţi reli stfel încât P sin, R. Observăm că limit Q P lim Q eistă în R,... 4p în timp ce funcţi f() sin nu re limită l +, fiind periodică. Contrdicţi l cre m juns rtă că presupunere făcută este flsă... 3p 4. O echipă de hochei este formtă din 6 titulri şi 9 rezerve. Antrenorul pote fce schimbări oricând, oricâte şi pote schimb oricre jucător; un jucător schimbt pote reveni în joc după un timp. Timpul efectiv de joc este de 60 minute. Într-o numită prtidă, se consttă l finl că fiecre dintre cei 5 componenţi i echipei juct un celşi număr n de minute. ) Determinţi vlore lui n. b) Descrieţi, folosind o mtrice pătrtică ce re c elemente dor numerele 0 şi, o modlitte în cre ntrenorul pote trimite în teren jucătorii stfel încât să fie respectte condiţiile problemei. ) În fiecre moment, pe teren sunt 6 jucători. Timpul totl pe cre îl jocă cei flţi pe teren este deci 6 60 360 min. Cum fiecre jocă celşi număr de minute, rezultă că n 360 :5 4 min.... 4p b) Împărţim cei 5 jucători în cinci grupe de câte 3, pe cre le vom not L, L, L 3, L 5, L 5. În mtrice următore cifr rtă că o numită grupă se flă pe teren în intervlul de timp corespunzător, ir cifr 0 rtă că respectiv grupă este pe bncă de rezerve: 0 4 4..36 36 48 48 60 L 0 0 0 L 0 0 0 L 3 0 0 0 L 4 0 0 0 L 5 0 0 0... 3p
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEŢEANĂ 8 mrtie 04 Profil rel, specilizre ştiinţele nturii FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA A XII-A. Fie > 0 şi funcţiile f, g, G : [, ) R, f ( ) G ( ) ln ( + ln ). ) Arătţi că G este o primitivă lui g pe intervlul [, + ). 3 ln 5 ln, g( ) ( + )( + ) b) Determinţi o primitivă F funcţiei f pe intervlul [, ) cu propriette F( e ) ( + ln ) 5 ln. 7 Supliment Gzet Mtemtică /03 G ' g,, G este o primitivă lui g... 3p ) [ )... p ( 3+ ln ) ( 5 + ln ) f ( ) d d d ln ( 3 + ln ) ln ( 5 + ln ) + 3 + ln 5 + ln b) f ( ) C 3 + ln ln + C... p 5 + ln Aflre primitivei F cu proprietăţile din enunţ... p. Pe Z definim lege de compoziţie " " dtă prin y 5y + 5( + y) + 4,, y Z. ) Cercetţi dcă lege " " este socitivă. b) Aflţi ultimele 00 cifre din scriere zecimlă numărului întreg 3 4 03 04. ) Verificre socitivităţii... 3p b) y 5( + )(y + ),, y Z... p Deducere eglităţii n 5 n- ( + )( + ) ( n + ), n N * şi,,... n Z... p 3 4 03 04 5 03 05! şi deducem că ultimele 00 de cifre sunt tote egle cu 9... p,
Z. Pentru un element * Z p, definim funcţi : ψ : Z * * * p Z p, Ψ, Z p; (p număr prim). ) Arătţi că ψ este bijecţie. b) Demonstrţi eglitte 3... p Ψ ( ) Ψ... Ψ p. * 3. Fie grupul (, p ) p c) Justificţi că. 06 i d) Argumentţi că 07 C07. i ( ) ( ) ) Suficientă verificre injectivităţii: Ψ Ψ... p b) Deduce eglitte cerută folosind bijectivitte lui Ψ... p c) 3... p ( ) ( )... ( p ) 3... p 3... p Ψ Ψ Ψ p p 3... p 3... p... p 06 i 07 0 07 06 d) C07 C07 C07 ( )... p i Dr 06 07 07 (conform punctului c) şi deorece 07 este prim.... p 4. O fbrică F(8, ) se flă poziţiontă între două şosele perpendiculre O şi Oy, c în desenul lăturt. Se construieşte o şose rectilinie cre să unescă fbric cu cele două şosele, stfel încât cest să fie de cost minim, dică lungime FA + FB AB să fie minimă. Aflţi lungime şoselei AB de cost minim. Din condiţi de coliniritte punctelor A(, 0); F(8, ) şi B(0, y) deducem că y ; 8 ( > 8, y > )... p FA + FB 8 + + 64 + y, unde > 8, y >... p AB FA + FB ( 8) + + 64 + ( 8) +... p 8 8 Fie f : ( 8, ) R ; f ( ) ( 8) +. 8 Clculeză f '( ) 3 ( 8) 8 ( 8) + ( 8)... p Deduce că 0 este punct de minim şi flă coordontele punctelor A(0, 0), B(0, 5)... p Lungime drumului minim AB 5 5,8 km... p