Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42
Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina koja se ne može potpuno odrediti brojem već je potrebno zadati i njihov smjer npr. vektorske veličine su ubrzanje, sila, pomak... 2 / 42
Neka su A i B dvije točke na pravcu, ravnini ili u prostoru. Dužina AB je skup svih točaka pravca kroz točke A i B izmedu točaka A i B,uključivo A i B. Duljina dužine AB je udaljenost točaka A i B, i označava se s d(a, B) ili AB. Usmjerena (orijentirana) dužina AB je dužina u kojoj razlikujemo početnu točku (hvatište) A i završnu točku (kraj) B A B A B Dvije usmjerene dužine AB i A B nazivamo ekvivalentnim (i pišemo AB A B ) ako postoji translacija prostora koja prevodi A u A i B u B,tj. četvrokut ABB A je paralelogram. B B A A 3 / 42
Vektor: skup svih medusobno ekvivalentnih usmjerenih dužina vektor se može predočiti pomoću različitih usmjerenih dužina-reprezentant ili predstavnik vektora vektor označavamo s AB, CD,... ili,,.. zbog jednostavnosti ćemo bilo koju usmjerenu dužinu (reprezentantu vektora) nazivati vektorom skup svih vektora nekog prostora označavati ćemo s V (npr. V 2 -skup svih vektora dvodimenzionalnog prostora (ravnine), V 3 -skup svih vektora trodimenzionalalnog prostora) B D A C 4 / 42
Svaki vektor iz skupa V jednoznačno je odreden svojom duljinom, nosačem i orijentacijom: Duljina vektora (iznos ili norma vektora) AB je udaljenost izmedu njegove početne i kranje točke. Duljinu vektora označavamo s AB : AB = d(a, B) Nosač (nositelj) je pravac na kojemu se vektor nalazi Ako pravac p prolazi točkama A i B vektora AB onda kažemo da vektor AB leži na pravcu p ili da je pravac p nositelj vektora AB. Orijentacijom na nosaču (npr. vektor AB je usmjeren od točke A do točke B) Nosač i orijentaciju nazivamo kratko smjerom. Dva su vektora jednaka ako imaju isti nosač, orijentaciju i duljinu. 5 / 42
s B p O F r E A O istoj ili suprotnoj orijentaciji ima smisla govoriti samo ako vektori pripadaju istom ili paralelnim pravcima Za dva vektora koji leže na istom pravcu ili na paralelnim pravcima kažemo da su kolinearni. Općenito za kolinearne vektor vrijedi: Neka su i kolinearni vektori i a 0 tada postoji jedinstveni λ R takav da je = λ. Vektori AB, EO, su jednako orijentirani. Vektor OF je suprotno orijentiran vektorima AB, EO,. 6 / 42
Nul vektor: vektor koji ima duljinu nula tj. vektor koji ima početak i kraj u istoj točki oznaka: 0 prema dogovoru smatra se da je nul vektor kolinearan sa svakim vektorom jednako je orijentiran kao i svaki drugi vektor pa nema ni orijntaciju Jedinični vektor: vektor ima duljine 1 za zadani vektor, duljine, jedinični vektor je definiran sa 0 = vektor 0 je vektor duljine 1, koji ima isti smjer kao i vektor Suprotni vektor Za dva vektora kažemo da su suprotni ako imaju istu duljinu i nosač, a suprotnu orijetaciju suprotan vektor vektora označavat ćemo s 7 / 42
Primjer 1. Zadan je jednakokračan trapez ACDE. E D A B C Usporedite vektore AE i BD, AC i ED, AE i CD, AB i DE, AE i DB. 8 / 42
Operacije s vektorima Zbrajanje vektora Vektore zbrajamo po pravilu trokuta ili pravilu paralelograma Pravilo trokuta c = + 9 / 42
Pravilo paralelograma c = + Svojstva operacije zbrajanja: (a) ( + ) + c = + ( + c) asocijativnost c + + c c 10 / 42
( + ) + c = + ( + c) asocijativnost ( + ) + c + ( + c) c c + + c + + + c + c 11 / 42
(b) + = + komutativnost + + (c) + 0 = 0 + = svojstvo nulvektora (d) + ( ) = ( ) + = 0 svojstvo suprotnog vektora 12 / 42
Primjer 2. Dan je pravilan šesterokut ABCDEF i neka je S njegovo središte. Odredite: (a) AB + CD (b) FS + ED (c) BC + ED (d) BC + EF 13 / 42
Oduzimanje vektora Razlika vektora definira se kao zbroj sa suprotnim vektorom: + := + ( ) 14 / 42
Primjer 3. Neka je ABCD paralelogram i M, N, P i Q polovišta njegovih stranica. Odredite: (a) AM AQ (b) AQ NP (c) QD MN (d) AB PC 15 / 42
Množenje vektora skalarom Za skalar λ i vektor definiramo produkt λ kao vektor koji ima sljedeća svojstva: (a) ako je = 0 ili λ = 0, onda je λ = 0 (b) ako je 0 i λ 0, onda je vektor λ odreden sljedećim: duljina: λ = λ nosač: jednak nosač vektora (tj. vektori i λ su kolinearni) orijentacija: ako je λ < 0 onda su i λ suprotno orijentirani ako je λ > 0 onda su i λ isto orijentirani λa λa λ < 0 λ > 0 16 / 42
Svojstva množenja vektora skalarom: (i) λ( + ) = λ + λ distributivnost s obzirom na vektorski faktor (ii) (λ + µ) = λ + µ distributivnost s obzirom na skalarni faktor (iii) (λµ) = λ(µ) = λµ homogenost (iv) 1 = postojanje jedinice + λ( + ) λ λ 17 / 42
Primjer 4. Neka su i neki vektori. Izračunajte 7( + ) 2(2 3 ). 18 / 42
Linearna kombinacija vektora Linearna kombinacija n vektora 1, 2,..., n : α 1 + β 2 +... + δ n, α, β,..., δ R Skup od n vektora je linearno zavisan ako se neki od njih može prikazati kao linearna kombinacija ostalih npr. c = α + β +... + δ f odnosno, ako postoje skalari α, β,..., δ od kojih je bar jedan različit od 0 takvi da vrijedi: α + β +... + δ f = 0 Skup od n vektora je linearno nezavisan ako nije linearno zavisan. Ako je relacija α + β +... + δ f = 0 moguća samo kad je α = β =... = δ = 0 onda je taj skup linearno nezavisan. 19 / 42
Napomena: Dva su vektora kolinearna ako i samo ako su linearno zavisna. Za tri vektora kažemo da su komplanarni ako se nalaze u istoj ravnini. Tri vektora su komplanarni ako i samo ako su linearno zavisni. Primjer 5. Zadani su vektori = 3 p 2 q, = 2 p + q, c = 7 p 4 q pri čemu su p i q nekolinearni vektori. Prikažite vektor kao linearnu kombinaciju vektora i c. 20 / 42
Rastav vektora na komponente U RAVNINI: Neka su, dva nekolinearna vektora. Tada se svaki vektor c može prikazati kao linearna kombinacija vektora i : c = α + β. c α β 21 / 42
Rastav vektora na komponente U RAVNINI: Neka su, dva nekolinearna vektora. Tada se svaki vektor c može prikazati kao linearna kombinacija vektora i : c = α + β. U PROSTORU: Neka su, i c tri nekomplanarna vektora. Tada se svaki vektor d može prikazati kao linearna kombinacija vektora, i c: d = α + β + γ c 22 / 42
Vektor u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu Pravokutni Kartezijev koordinatni susav zadan je s istaknutom točkom nazvanom ishodištem O i s tri okomita brojevna pravca: x-os ili os apcisa, y-os ili os ordinata, z-os ili os aplikata položaj točke u prostoru je jednoznačno odreden njezinim koordinatama koordinatni vektori i, j, k geometrijski su jedinični vektori usmjereni prema pozitivnim smjerovima koordinatnih osi z Bilo koji vektor možemo zapisati kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora a z k i a x j a y y = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ) Duljina vektora : = ax 2 + ay 2 + az 2 x 23 / 42
OPERACIJE U KOORDINATAMA: 1. Zbrajanje i oduzimanje Za = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ) i = b x i + b y j + b z k = (bx, b y, b z ) slijedi ± = (a x ± b x ) i + (a y ± b y ) j + (a z ± b z ) k = (a x ± b x, a y ± b y, a z ± b z ) 2. Množenje skalarom Za skalar λ i vektor = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ) vrijedi λ = λa x i + λa y j + λa z k = (λax, λa y, λa z ) 24 / 42
k z z T OT T (x T, y T, z T ) Vektor OT nazivamo radijvektor točke T. Zapisujemo ga i r T, te ima komponente r T = OT = x T i + y T j + z T k. x i x T O j y T y x T = proj x OT (skalarna projekcija) y T = proj y OT (skalarna projekcija) z T = proj z OT (skalarna projekcija) 25 / 42
Vektor AB s početkom u točki A(x A, y A, z A ) i završetkom ili krajem u točki B(x B, y B, z B ) po komponentama ima zapis: AB = (x B x A ) i + (y B y A ) j + (z B z A ) k = (x B x A, y B y A, z B z A ). O z A B y Radijvektori točaka A i B su: Dakle vrijedi: r A = OA = x A i + y A j + z A k. r B = OB = x B i + y B j + z B k AB = OB OA = (x B i + y B j + z B k) (xa i + y A j + z A k) = (x x B x A ) i + (y B y A ) j + (z B z A ) k = (x B x A, y B y A, z B z A ) (1) Modul (duljina, apsolutna vrijednost vektora) AB: AB = d(a, B) = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 26 / 42
Primjer 6. Zadani su vektori = (1, 2, 3), = ( 1, 0, 2), c = ( 2, 1, 0), d = (0, 0, 7). Odredite sljedeće vektore (njihove koordinate): (a) 2 + d (b) + 3 c + d (c) 3 + 1 3 c + 2 d Odredite duljine vektora, i 2 + d. Primjer 7. Zadane su točke A = (1, 2, 3), B = ( 2, 3, 1) i C = (1, 2, 0). Odredite duljine vektora: (a) AB (b) 2 BC + 3 BA. 27 / 42
Skalarni produkt Skalarni produkt vektora i je skalar koji označavamo s b i definira se na sljedeći način: Ako su oba vektora različita od 0 onda je b = cos ϕ, gdje je ϕ = (, ) kut izmedu vektora i Ako je bar jedan od vektora, jednak nulvektoru onda je b = 0. Primjer 8. Izračunaj skalarni produkt b ako je = 2, = 3, ϕ = (, ) = 45 b = cos(45 ) = 2 3 2 2 = 3 2 28 / 42
Ako je = skalarni produkt tada je = cos 0 = 2 tj. = Ako su vektori i medusobno ortogonalni ( ) onda je b = 0 Ako je b = 0 onda je barem jedan od vektora i jednak nulvektoru ili su i medusobno ortogonalni Svojstva skalarnog produkta: (i) = 2 0, = 0 ako i samo ako jer = 0 Primjer 9. (ii) b = komutativnost (iii) ( + c) = c + c distributivnost (iv) (λ) b = (λ ) = λ( b) homogenost ( 2 ) (3 + ) = pozitivnost 29 / 42
Ako je = skalarni produkt tada je = cos 0 = 2 tj. = Ako su vektori i medusobno ortogonalni ( ) onda je b = 0 Ako je b = 0 onda je barem jedan od vektora i jednak nulvektoru ili su i medusobno ortogonalni Svojstva skalarnog produkta: (i) = 2 0, = 0 ako i samo ako jer = 0 Primjer 9. (ii) b = komutativnost (iii) ( + c) = c + c distributivnost (iv) (λ) b = (λ ) = λ( b) homogenost ( 2 ) (3 + ) = pozitivnost ( 2 ) (3 + ) = 3 + b 6 2 b = 3 2 5 b 2 2 (2) 29 / 42
KOORDINATNI PRIKAZ SKALARNOG PRODUKTA jedinični vektori i, j, k su medusobno okomiti i j = i k = j k = 0 kvadrat jediničnih vektora iznosi 1 i i = j j = k k = 1 skalarni produkt dvaju vektora prikazanih u kartezijevom koordinatnom sustavu = a x i + a y j + a z k = bx i + b y j + b z k glasi b = a x b x + a y b y + a z b z 30 / 42
Kut izmedu dva vektora: polazeći od skalarnog produkta b = cos ϕ dobivamo za ne nul vektore i b cos ϕ = = b a x b x + a y b y + a z b z a 2 x + a 2 y + a 2 z b 2 x + b 2 y + b 2 z 31 / 42
Projekcija vektora što je (ortogonalna) projekcije vektora na vektor? promatramo dva vektora i koji zatvaraju kut ϕ R Q ϕ S 32 / 42
povučemo okomicu iz točke R na vektor vektor s početkom u točki Q i krajem u točki P zovemo vektorska projekcija vektora na vektor (oznaka b ) vektor b računamo po formuli: b = b 2 skalarna projekcija vektora na vektor je broj (skalar) čija je apsolutna vrijednost duljina vektorske projekcije skalarnu projekciju vektora na na vektor računamo po formuli: b b = R R Q ϕ P S Q b ϕ P S 33 / 42
Vektorski produkt Vektorski produkt vektora i je funkcija koja paru vektora (, ) pridružuje vektor kojeg označavamo s. Za vektor vrijedi: nosač: ako vektori i nisu kolinearni vektor je ortogonalan na ravninu odredenu s vektorima i ako su vektori i kolinearni onda je = 0 orijentacija: uredena trojka (,, ) čini desni sustav, tj. gledano iz vrha vektora, rotacija iz vektora u vektor za kut ϕ suprotna je gibanju kazaljke na satu duljina: duljina vektora jednaka je površini paralelograma razapetog s i, tj. := sin ϕ, gdje je ϕ kut izmedu vektora i 34 / 42
ϕ 1 2 Vrijedi: Ako je = 0 onda su vektori i kolinearni ili je barem jedan od njih 0. Svojstva vektorskog produkta: (i) = 0 (ii) = antikomutativnost (iii) ( + c) = + c distributivnost (iv) λ( ) = (λ) = (λ ) homogenost 35 / 42
KOORDINATNI PRIKAZ VEKTORSKOG PRODUKTA vektorski produkti jediničnih vektora k k k i j i j i j i = j k j = k i k = i j Vrijede sljedeće relacije: i j = k j k = i k i = j j i = k k j = i i k = j i i = 0 j j = 0 k k = 0 36 / 42
vektorski produkt dva proizvoljna vektora = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ) i = bx i + b y j + b z k = (bx, b y, b z ) glasi = (a x i + a y j + a z k) (bx i + b y j + b z k) = a x b x ( i i) + a x b y i j + a x b z i k + a y b x ( j i) + a y b y j j + a y b z j k + a z b x ( k i) + a z b y k j + a z b z k k = a x b y k ax b z j a y b x k + ay b z i + a z b x j a z b y i = (a y b z a z b y ) i + (a z b x a x b z ) j + (a x b y a y b x ) k (3) što skraćeno možemo zapisati: = i j k a x a y a z b x b y b z 37 / 42
= i j k a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i a x a z b x b z j + a x a y b x b y k }{{}}{{}}{{} a y b z a z b y a x b z a z b x a x b y a y b x 38 / 42
Mješoviti produkt vektora Mješoviti produkt vektora, i c je funkcija koja trojki vektora (,, c) pridružuje broj ( ) c R (oznaka: [,, c] = ( ) c). Svojstva mješovitog produkta: (i) zamjena dvaju faktora mijenja predznak mješovitog produkta [,, c] = [, c, ] = [ }{{},, c] = [ c,, ] =( c) b (ii) ciklička zamjena svih triju faktora ne mijenja umnožak [,, c] }{{} =( ) c = [, c, ] }{{} =( c) = [ c,, ] }{{} =( c ) b (iii) zamjenom vektorskog i skalarnog produkta mješoviti produkt se ne mijenja (tj. ( ) c = ( b) c) 39 / 42
KOORDINATNI PRIKAZ MJEŠOVITOG PRODUKTA Mješoviti produkt triju vektora prikazanih u kartezijevom koordinatnom sustavu = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ) = bx i + b y j + b z k = (bx, b y, b z ) glasi c = c x i + c y j + c z k = (cx, c y, c z ) ( ) c = a x a y a z b x b y b z c x c y c z Tri vektora su komplanarna ako leže u istoj (ili paralelnim) ravnini. Vektori su komplanarni ako je ( ) c = 0. ( ) c = 0,, c su komplanarni 40 / 42
Geometrijska interpretacija mješovitog produkta Neka su, i c zadani nekomplanarni vektori i ϕ = (, c) kut medu vektorima i c. Tada je apsolutna vrijednost mješovitog produkta jednaka volumenu paralelepipeda kojega razapinju ti vektori, tj. v ϕ c V paralelepipeda = ( ) c ( ) c = c cos ϕ }{{}}{{} visina v baza }{{} ±volumen paralolopipeida cos ϕ = v = v = c cos ϕ c 41 / 42
Volumen trostruke piramide (tetraedra) V tetraedra = 1 baza visina 3 V tetraedra = 1 ( 6 ) c c 1 2 42 / 42