Vektori. 28. studenoga 2017.

Σχετικά έγγραφα
Analitička geometrija i linearna algebra

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

AB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Operacije s matricama

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Dijagonalizacija operatora

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Matematika 1 { fiziqka hemija

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički

1 Promjena baze vektora

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

Matematika Zbirka zadataka

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

Skalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.

7 Algebarske jednadžbe

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

Analitička geometrija afinog prostora

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Prostorni spojeni sistemi

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

1.4 Tangenta i normala

Elementi spektralne teorije matrica

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

Analitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Monika Jović. Skalarni produkt.

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

18. listopada listopada / 13

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Matematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Matematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković

Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

Drugi deo (uvoda) Vektori

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

radni nerecenzirani materijal za predavanja

Temeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Teorijske osnove informatike 1

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

( , 2. kolokvij)

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,

Pošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Analitička geometrija u ravnini

Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.

Matematika 2. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 1 / 121

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Mehanika je znanost koja proučava zakonitosti i uzroke gibanja. Mehaniku dijelimo na tri osnovna područja:

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

Sustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

2.7 Primjene odredenih integrala

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Linearna algebra

7.1 Međusobni položaji točaka, pravaca i ravnina

4 Sukladnost i sličnost trokuta

Transcript:

Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42

Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina koja se ne može potpuno odrediti brojem već je potrebno zadati i njihov smjer npr. vektorske veličine su ubrzanje, sila, pomak... 2 / 42

Neka su A i B dvije točke na pravcu, ravnini ili u prostoru. Dužina AB je skup svih točaka pravca kroz točke A i B izmedu točaka A i B,uključivo A i B. Duljina dužine AB je udaljenost točaka A i B, i označava se s d(a, B) ili AB. Usmjerena (orijentirana) dužina AB je dužina u kojoj razlikujemo početnu točku (hvatište) A i završnu točku (kraj) B A B A B Dvije usmjerene dužine AB i A B nazivamo ekvivalentnim (i pišemo AB A B ) ako postoji translacija prostora koja prevodi A u A i B u B,tj. četvrokut ABB A je paralelogram. B B A A 3 / 42

Vektor: skup svih medusobno ekvivalentnih usmjerenih dužina vektor se može predočiti pomoću različitih usmjerenih dužina-reprezentant ili predstavnik vektora vektor označavamo s AB, CD,... ili,,.. zbog jednostavnosti ćemo bilo koju usmjerenu dužinu (reprezentantu vektora) nazivati vektorom skup svih vektora nekog prostora označavati ćemo s V (npr. V 2 -skup svih vektora dvodimenzionalnog prostora (ravnine), V 3 -skup svih vektora trodimenzionalalnog prostora) B D A C 4 / 42

Svaki vektor iz skupa V jednoznačno je odreden svojom duljinom, nosačem i orijentacijom: Duljina vektora (iznos ili norma vektora) AB je udaljenost izmedu njegove početne i kranje točke. Duljinu vektora označavamo s AB : AB = d(a, B) Nosač (nositelj) je pravac na kojemu se vektor nalazi Ako pravac p prolazi točkama A i B vektora AB onda kažemo da vektor AB leži na pravcu p ili da je pravac p nositelj vektora AB. Orijentacijom na nosaču (npr. vektor AB je usmjeren od točke A do točke B) Nosač i orijentaciju nazivamo kratko smjerom. Dva su vektora jednaka ako imaju isti nosač, orijentaciju i duljinu. 5 / 42

s B p O F r E A O istoj ili suprotnoj orijentaciji ima smisla govoriti samo ako vektori pripadaju istom ili paralelnim pravcima Za dva vektora koji leže na istom pravcu ili na paralelnim pravcima kažemo da su kolinearni. Općenito za kolinearne vektor vrijedi: Neka su i kolinearni vektori i a 0 tada postoji jedinstveni λ R takav da je = λ. Vektori AB, EO, su jednako orijentirani. Vektor OF je suprotno orijentiran vektorima AB, EO,. 6 / 42

Nul vektor: vektor koji ima duljinu nula tj. vektor koji ima početak i kraj u istoj točki oznaka: 0 prema dogovoru smatra se da je nul vektor kolinearan sa svakim vektorom jednako je orijentiran kao i svaki drugi vektor pa nema ni orijntaciju Jedinični vektor: vektor ima duljine 1 za zadani vektor, duljine, jedinični vektor je definiran sa 0 = vektor 0 je vektor duljine 1, koji ima isti smjer kao i vektor Suprotni vektor Za dva vektora kažemo da su suprotni ako imaju istu duljinu i nosač, a suprotnu orijetaciju suprotan vektor vektora označavat ćemo s 7 / 42

Primjer 1. Zadan je jednakokračan trapez ACDE. E D A B C Usporedite vektore AE i BD, AC i ED, AE i CD, AB i DE, AE i DB. 8 / 42

Operacije s vektorima Zbrajanje vektora Vektore zbrajamo po pravilu trokuta ili pravilu paralelograma Pravilo trokuta c = + 9 / 42

Pravilo paralelograma c = + Svojstva operacije zbrajanja: (a) ( + ) + c = + ( + c) asocijativnost c + + c c 10 / 42

( + ) + c = + ( + c) asocijativnost ( + ) + c + ( + c) c c + + c + + + c + c 11 / 42

(b) + = + komutativnost + + (c) + 0 = 0 + = svojstvo nulvektora (d) + ( ) = ( ) + = 0 svojstvo suprotnog vektora 12 / 42

Primjer 2. Dan je pravilan šesterokut ABCDEF i neka je S njegovo središte. Odredite: (a) AB + CD (b) FS + ED (c) BC + ED (d) BC + EF 13 / 42

Oduzimanje vektora Razlika vektora definira se kao zbroj sa suprotnim vektorom: + := + ( ) 14 / 42

Primjer 3. Neka je ABCD paralelogram i M, N, P i Q polovišta njegovih stranica. Odredite: (a) AM AQ (b) AQ NP (c) QD MN (d) AB PC 15 / 42

Množenje vektora skalarom Za skalar λ i vektor definiramo produkt λ kao vektor koji ima sljedeća svojstva: (a) ako je = 0 ili λ = 0, onda je λ = 0 (b) ako je 0 i λ 0, onda je vektor λ odreden sljedećim: duljina: λ = λ nosač: jednak nosač vektora (tj. vektori i λ su kolinearni) orijentacija: ako je λ < 0 onda su i λ suprotno orijentirani ako je λ > 0 onda su i λ isto orijentirani λa λa λ < 0 λ > 0 16 / 42

Svojstva množenja vektora skalarom: (i) λ( + ) = λ + λ distributivnost s obzirom na vektorski faktor (ii) (λ + µ) = λ + µ distributivnost s obzirom na skalarni faktor (iii) (λµ) = λ(µ) = λµ homogenost (iv) 1 = postojanje jedinice + λ( + ) λ λ 17 / 42

Primjer 4. Neka su i neki vektori. Izračunajte 7( + ) 2(2 3 ). 18 / 42

Linearna kombinacija vektora Linearna kombinacija n vektora 1, 2,..., n : α 1 + β 2 +... + δ n, α, β,..., δ R Skup od n vektora je linearno zavisan ako se neki od njih može prikazati kao linearna kombinacija ostalih npr. c = α + β +... + δ f odnosno, ako postoje skalari α, β,..., δ od kojih je bar jedan različit od 0 takvi da vrijedi: α + β +... + δ f = 0 Skup od n vektora je linearno nezavisan ako nije linearno zavisan. Ako je relacija α + β +... + δ f = 0 moguća samo kad je α = β =... = δ = 0 onda je taj skup linearno nezavisan. 19 / 42

Napomena: Dva su vektora kolinearna ako i samo ako su linearno zavisna. Za tri vektora kažemo da su komplanarni ako se nalaze u istoj ravnini. Tri vektora su komplanarni ako i samo ako su linearno zavisni. Primjer 5. Zadani su vektori = 3 p 2 q, = 2 p + q, c = 7 p 4 q pri čemu su p i q nekolinearni vektori. Prikažite vektor kao linearnu kombinaciju vektora i c. 20 / 42

Rastav vektora na komponente U RAVNINI: Neka su, dva nekolinearna vektora. Tada se svaki vektor c može prikazati kao linearna kombinacija vektora i : c = α + β. c α β 21 / 42

Rastav vektora na komponente U RAVNINI: Neka su, dva nekolinearna vektora. Tada se svaki vektor c može prikazati kao linearna kombinacija vektora i : c = α + β. U PROSTORU: Neka su, i c tri nekomplanarna vektora. Tada se svaki vektor d može prikazati kao linearna kombinacija vektora, i c: d = α + β + γ c 22 / 42

Vektor u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu Pravokutni Kartezijev koordinatni susav zadan je s istaknutom točkom nazvanom ishodištem O i s tri okomita brojevna pravca: x-os ili os apcisa, y-os ili os ordinata, z-os ili os aplikata položaj točke u prostoru je jednoznačno odreden njezinim koordinatama koordinatni vektori i, j, k geometrijski su jedinični vektori usmjereni prema pozitivnim smjerovima koordinatnih osi z Bilo koji vektor možemo zapisati kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora a z k i a x j a y y = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ) Duljina vektora : = ax 2 + ay 2 + az 2 x 23 / 42

OPERACIJE U KOORDINATAMA: 1. Zbrajanje i oduzimanje Za = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ) i = b x i + b y j + b z k = (bx, b y, b z ) slijedi ± = (a x ± b x ) i + (a y ± b y ) j + (a z ± b z ) k = (a x ± b x, a y ± b y, a z ± b z ) 2. Množenje skalarom Za skalar λ i vektor = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ) vrijedi λ = λa x i + λa y j + λa z k = (λax, λa y, λa z ) 24 / 42

k z z T OT T (x T, y T, z T ) Vektor OT nazivamo radijvektor točke T. Zapisujemo ga i r T, te ima komponente r T = OT = x T i + y T j + z T k. x i x T O j y T y x T = proj x OT (skalarna projekcija) y T = proj y OT (skalarna projekcija) z T = proj z OT (skalarna projekcija) 25 / 42

Vektor AB s početkom u točki A(x A, y A, z A ) i završetkom ili krajem u točki B(x B, y B, z B ) po komponentama ima zapis: AB = (x B x A ) i + (y B y A ) j + (z B z A ) k = (x B x A, y B y A, z B z A ). O z A B y Radijvektori točaka A i B su: Dakle vrijedi: r A = OA = x A i + y A j + z A k. r B = OB = x B i + y B j + z B k AB = OB OA = (x B i + y B j + z B k) (xa i + y A j + z A k) = (x x B x A ) i + (y B y A ) j + (z B z A ) k = (x B x A, y B y A, z B z A ) (1) Modul (duljina, apsolutna vrijednost vektora) AB: AB = d(a, B) = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 26 / 42

Primjer 6. Zadani su vektori = (1, 2, 3), = ( 1, 0, 2), c = ( 2, 1, 0), d = (0, 0, 7). Odredite sljedeće vektore (njihove koordinate): (a) 2 + d (b) + 3 c + d (c) 3 + 1 3 c + 2 d Odredite duljine vektora, i 2 + d. Primjer 7. Zadane su točke A = (1, 2, 3), B = ( 2, 3, 1) i C = (1, 2, 0). Odredite duljine vektora: (a) AB (b) 2 BC + 3 BA. 27 / 42

Skalarni produkt Skalarni produkt vektora i je skalar koji označavamo s b i definira se na sljedeći način: Ako su oba vektora različita od 0 onda je b = cos ϕ, gdje je ϕ = (, ) kut izmedu vektora i Ako je bar jedan od vektora, jednak nulvektoru onda je b = 0. Primjer 8. Izračunaj skalarni produkt b ako je = 2, = 3, ϕ = (, ) = 45 b = cos(45 ) = 2 3 2 2 = 3 2 28 / 42

Ako je = skalarni produkt tada je = cos 0 = 2 tj. = Ako su vektori i medusobno ortogonalni ( ) onda je b = 0 Ako je b = 0 onda je barem jedan od vektora i jednak nulvektoru ili su i medusobno ortogonalni Svojstva skalarnog produkta: (i) = 2 0, = 0 ako i samo ako jer = 0 Primjer 9. (ii) b = komutativnost (iii) ( + c) = c + c distributivnost (iv) (λ) b = (λ ) = λ( b) homogenost ( 2 ) (3 + ) = pozitivnost 29 / 42

Ako je = skalarni produkt tada je = cos 0 = 2 tj. = Ako su vektori i medusobno ortogonalni ( ) onda je b = 0 Ako je b = 0 onda je barem jedan od vektora i jednak nulvektoru ili su i medusobno ortogonalni Svojstva skalarnog produkta: (i) = 2 0, = 0 ako i samo ako jer = 0 Primjer 9. (ii) b = komutativnost (iii) ( + c) = c + c distributivnost (iv) (λ) b = (λ ) = λ( b) homogenost ( 2 ) (3 + ) = pozitivnost ( 2 ) (3 + ) = 3 + b 6 2 b = 3 2 5 b 2 2 (2) 29 / 42

KOORDINATNI PRIKAZ SKALARNOG PRODUKTA jedinični vektori i, j, k su medusobno okomiti i j = i k = j k = 0 kvadrat jediničnih vektora iznosi 1 i i = j j = k k = 1 skalarni produkt dvaju vektora prikazanih u kartezijevom koordinatnom sustavu = a x i + a y j + a z k = bx i + b y j + b z k glasi b = a x b x + a y b y + a z b z 30 / 42

Kut izmedu dva vektora: polazeći od skalarnog produkta b = cos ϕ dobivamo za ne nul vektore i b cos ϕ = = b a x b x + a y b y + a z b z a 2 x + a 2 y + a 2 z b 2 x + b 2 y + b 2 z 31 / 42

Projekcija vektora što je (ortogonalna) projekcije vektora na vektor? promatramo dva vektora i koji zatvaraju kut ϕ R Q ϕ S 32 / 42

povučemo okomicu iz točke R na vektor vektor s početkom u točki Q i krajem u točki P zovemo vektorska projekcija vektora na vektor (oznaka b ) vektor b računamo po formuli: b = b 2 skalarna projekcija vektora na vektor je broj (skalar) čija je apsolutna vrijednost duljina vektorske projekcije skalarnu projekciju vektora na na vektor računamo po formuli: b b = R R Q ϕ P S Q b ϕ P S 33 / 42

Vektorski produkt Vektorski produkt vektora i je funkcija koja paru vektora (, ) pridružuje vektor kojeg označavamo s. Za vektor vrijedi: nosač: ako vektori i nisu kolinearni vektor je ortogonalan na ravninu odredenu s vektorima i ako su vektori i kolinearni onda je = 0 orijentacija: uredena trojka (,, ) čini desni sustav, tj. gledano iz vrha vektora, rotacija iz vektora u vektor za kut ϕ suprotna je gibanju kazaljke na satu duljina: duljina vektora jednaka je površini paralelograma razapetog s i, tj. := sin ϕ, gdje je ϕ kut izmedu vektora i 34 / 42

ϕ 1 2 Vrijedi: Ako je = 0 onda su vektori i kolinearni ili je barem jedan od njih 0. Svojstva vektorskog produkta: (i) = 0 (ii) = antikomutativnost (iii) ( + c) = + c distributivnost (iv) λ( ) = (λ) = (λ ) homogenost 35 / 42

KOORDINATNI PRIKAZ VEKTORSKOG PRODUKTA vektorski produkti jediničnih vektora k k k i j i j i j i = j k j = k i k = i j Vrijede sljedeće relacije: i j = k j k = i k i = j j i = k k j = i i k = j i i = 0 j j = 0 k k = 0 36 / 42

vektorski produkt dva proizvoljna vektora = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ) i = bx i + b y j + b z k = (bx, b y, b z ) glasi = (a x i + a y j + a z k) (bx i + b y j + b z k) = a x b x ( i i) + a x b y i j + a x b z i k + a y b x ( j i) + a y b y j j + a y b z j k + a z b x ( k i) + a z b y k j + a z b z k k = a x b y k ax b z j a y b x k + ay b z i + a z b x j a z b y i = (a y b z a z b y ) i + (a z b x a x b z ) j + (a x b y a y b x ) k (3) što skraćeno možemo zapisati: = i j k a x a y a z b x b y b z 37 / 42

= i j k a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i a x a z b x b z j + a x a y b x b y k }{{}}{{}}{{} a y b z a z b y a x b z a z b x a x b y a y b x 38 / 42

Mješoviti produkt vektora Mješoviti produkt vektora, i c je funkcija koja trojki vektora (,, c) pridružuje broj ( ) c R (oznaka: [,, c] = ( ) c). Svojstva mješovitog produkta: (i) zamjena dvaju faktora mijenja predznak mješovitog produkta [,, c] = [, c, ] = [ }{{},, c] = [ c,, ] =( c) b (ii) ciklička zamjena svih triju faktora ne mijenja umnožak [,, c] }{{} =( ) c = [, c, ] }{{} =( c) = [ c,, ] }{{} =( c ) b (iii) zamjenom vektorskog i skalarnog produkta mješoviti produkt se ne mijenja (tj. ( ) c = ( b) c) 39 / 42

KOORDINATNI PRIKAZ MJEŠOVITOG PRODUKTA Mješoviti produkt triju vektora prikazanih u kartezijevom koordinatnom sustavu = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ) = bx i + b y j + b z k = (bx, b y, b z ) glasi c = c x i + c y j + c z k = (cx, c y, c z ) ( ) c = a x a y a z b x b y b z c x c y c z Tri vektora su komplanarna ako leže u istoj (ili paralelnim) ravnini. Vektori su komplanarni ako je ( ) c = 0. ( ) c = 0,, c su komplanarni 40 / 42

Geometrijska interpretacija mješovitog produkta Neka su, i c zadani nekomplanarni vektori i ϕ = (, c) kut medu vektorima i c. Tada je apsolutna vrijednost mješovitog produkta jednaka volumenu paralelepipeda kojega razapinju ti vektori, tj. v ϕ c V paralelepipeda = ( ) c ( ) c = c cos ϕ }{{}}{{} visina v baza }{{} ±volumen paralolopipeida cos ϕ = v = v = c cos ϕ c 41 / 42

Volumen trostruke piramide (tetraedra) V tetraedra = 1 baza visina 3 V tetraedra = 1 ( 6 ) c c 1 2 42 / 42