1. KINEMATIKA MATERIJALNE TOČKE

1 1. KINEMATIKA MATERIJALNE TOČKE 1. Automobil prvu trećinu puta vozi brzinom 50km/h, a preostali dio puta brzinom 20km/h. Kolika je srednja (prosječna) brzina tijekom putovanja? R: 25 km/h 2. Biciklista vozi ravnom cestom tako da pojedine dijelove puta savladava različitim brzinama. Ako 2/5 puta vozi brzinom 30 km/h, 1/10 puta brzinom 60 km/h, 1/3 puta puta brzinom 80 km/h i ostatak puta brzinom 40 km/h, izračunajte srednju brzinu bicikliste (u km/h i u m/s). R: v = 42.9km/h 3. Tijelo se giba tako da prvu četvrtinu ukupnog vremena putovanja vozi nepoznatom brzinom, a ostale tri četvrtine ukupnog vremena vozi brzinom 36km/h. Kolika je bila brzina tijela u prvoj četvrtini vremena ako je tijekom cijelog putovanja srednja brzina bila 28km/h? R: 4 km/h 4. Autobus mora prijeći put od mjesta A do mjesta B u odreďenom vremenu. Ako bi on vozio brzinom od 48km/h, kasnio bi pola sata, a ako bi vozio brzinom 60km/h, stizao bi 12 minuta ranije. a) Kolika je udaljenost izmeďu A i B? b) Koliko je predviďeno vrijeme za prelazak te udaljenosti i kolika bi tada bila brzina autobusa? R: a) 168 km b) 3h sa 56 km/h 5. Na v, t grafu prikazana je ovisnost brzine v o vremenu t tijela koje se giba duž x osi. Opišite gibanje. a) Koliki put je tijelo prešlo od početka gibanja do zaustavljanja? b) Kolika je prosječna brzina tijela tijekom prve dvije sekunde? c) Kolika je prosječna brzina tijela tijekom 10 sekundi? d) Nacrtajte graf ovisnosti akceleracije tijela o vremenu a=f(t). R: a) 63m b) 3 m/s c) 6,3 m/s 10 8 6 4 2 v /ms t / s 0 2 4 6 8 10

2 6. Tijelo je krenulo iz stanja mirovanja, pa se gibalo pravocrtno 10s. Crtež prikazuje graf ovisnosti akceleracije tijela a o vremenu t. U trenutku t=0 tijelo se nalazilo u točki x=0. 2 a/ms 1 0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t/s a) Pomoću zadanog a,t grafa nacrtajte graf ovisnosti brzine tijela v o vremenu t (v,t graf); graf ovisnosti pomaka tijela x o vremenu t (x,t graf) i graf ovisnosti prijeďenog puta s o vremenu t (s,t graf). b) Kolika je bila udaljenost tijela od početne točke nakon 10s gibanja i koliki je put tijelo prešlo u tom vremenskom intervalu? c) Kolika je srednja brzina tijela po pomaku i putu tijekom 10s gibanja? R: b) x = 23m, s = 25 m c) v x = 2,3 m/s i v s = 2,5 m/s 7. Hokej na zaleďenom jezeru je omiljena zabava KanaĎana. Kolikom je početnom brzinom Petar gurnuo pak u horizontalnom smjeru ako je po njega išao 144 m? Pak se usporava akceleracijom od 0,5 m/s 2? R: 12 m/s 8. Čovjek trči brzinom 4m/s da bi stigao tramvaj koji stoji. U trenutku kada je čovjek udaljen 4m od vrata tramvaja on krene jednoliko ubrzano akceleracijom 2m/s 2 (crtež). Koliko vremena treba čovjeku da stigne do vrata tramvaja? R: 2s 9. Razmak izmeďu dviju postaja je 9 km. Vlak prelazi taj razmak srednjom brzinom 54km/h. Pri tome se počinje gibati jednoliko ubrzano 20s, zatim neko vrijeme vozi stalnom brzinom, a tada mu za jednoliko zaustavljanje treba 20s. Nacrtajte v,t graf gibanja vlaka i odredite njegovu najveću brzinu. Koliko vremena se vlak gibao stalnom brzinom? R: v maks =15,5m/s; 560s 10. Kroz dva grada meďusobno udaljena 252 km istodobno prolaze dva automobila jedan drugom u susret. Brzine automobila su stalne i iznose 54 km/h i 72 km/h. Nakon koliko vremena će se automobili susresti? R: 2 h 11. Dva tijela kreću se pravocrtno jedan prema drugome u susret sa stalnim ubrzanjima a 1 = 6 m /s 2 i a 2 = 4 m /s 2. Početna brzina prvog tijela je v 01 = 20 m/s, a drugog v 02 = 15 m/s. Početna udaljenost izmeñu tijela iznosi s = 40 m. Odredite nakon koliko vremena će se tijela sresti?

3 12. Dva trkača krenu istog trenutka iz mjesta A i B čija je meďusobna udaljenost 81m, jedan drugomu u susret. Oba trkača se jednako dugo ubrzavaju, prvi akceleracijom 2m/s 2, drugi akceleracijom 4m/s 2, a zatim nastavljaju trčati jednako dugo koliko su se ubrzavali, svaki brzinom koju je imao na kraju ubrzavanja i nakon odreďenog vremena se susretnu. Ptičica stalno leti s glave prvog trkača do glave drugog trkača ne zadržavajući se na trkačima. Koliki put prijeďe ptičica ako stalno leti pravocrtno brzinom 20m/s? 13. Pravocrtno gibanje materijalne točke prikazano je dijagramom ovisnosti brzine o vremenu (a(t)). Skicirajte i kotirajte dijagrame ovisnosti akceleracije, pomaka i puta o vremenu. Početni uvjeti: t = 0 s, v 0 = 2 m/s, s 0 = 0 m. v / ms -1 4 2 0 2 6 t / s -4

4 14. Pravocrtno gibanje materijalne točke prikazano je dijagramom ovisnosti akceleracije o vremenu (a(t)). Skicirajte i kotirajte dijagrame ovisnosti brzine i puta o vremenu, te odredite pomak točke u prvih 8 sekundi. Početni uvjeti: t = 0 s, v 0 = 0 m/s, s 0 = 0 m. a / ms -2 3 0 5 8 t / s -2 15. Pravocrtno gibanje materijalne točke prikazano je dijagramom ovisnosti akceleracije o vremenu (a(t)). Skicirajte i kotirajte dijagrame ovisnosti brzine i puta o vremenu, te odredite pomak točke u prvih 5 sekundi. Početni uvjeti: t = 0 s, v 0 = 0 m/s, s 0 = 0 m. a / ms -2 6 3 0 3 5 t / s

5 16. Pravocrtno gibanje materijalne točke prikazano je dijagramom ovisnosti akceleracije o vremenu (a(t)). Skicirajte i kotirajte dijagrame ovisnosti brzine i puta o vremenu, te odredite pomak točke u prvih 9 sekundi. Početni uvjeti: t = 0 s, v 0 = 6 m/s, s 0 = 0 m. a / ms -2 2 0 3 9 t / s -2 17. Pravocrtno gibanje materijalne točke prikazano je dijagramom ovisnosti brzine o vremenu (a(t)). Skicirajte i kotirajte dijagrame ovisnosti akceleracije, pomaka i puta o vremenu. Početni uvjeti: t = 0 s, v 0 = 0 m/s, s 0 = 0 m. Odredite akceleraciju u trenutku t = 6 s. v / ms -1 2 0 3 9 t / s -2

6 18. Pravocrtno gibanje materijalne točke prikazano je dijagramom ovisnosti brzine o vremenu (a(t)). U drugom dijelu gibanja je parabola sa ekstremom u t = 3 s. Skicirajte i kotirajte dijagrame ovisnosti akceleracije, pomaka i puta o vremenu. Početni uvjeti: t = 0 s, v 0 = 1 m/s, s 0 = 0 m. v / ms -1 2 1 0 3 9 t / s 19. Ubrzanje čestice koja se giba nejednoliko prikazano je dijagramom ovisnosti akceleracije o vremenu. Odredite put što ga proďe čestica za 4 sekunde gibanja. a, m/s 2 2 0 2 4 t, s

7 20. Tijelo je bačeno vertikalno uvis početnom brzinom 10 m/s. U trenutku kada tijelo dostigne najvišu točku svog kretanja, baci se drugo tijelo vertikalno uvis, istom početnom brzinom. Na kojoj visini će se tijela sudariti? Otpor zraka zanemariti. R: h = 3,75 m 21. U posljednjoj sekundi slobodnog pada tijelo prijeďe put od 20 m. Sa koje je visine tijelo ispušteno? R: h = 31,25 m 22. Tijelo je bačeno horizontalno s visine 150m početnom brzinom 45m/s. Izračunajte: a) ukupno trajanje hica, b) domet hica i c) brzinu tijela prilikom pada na tlo. R: a) t = 5.5s, b) D = 247.5m i c) v = 70.9 m/s 23. Dva tijela bačena su istovremeno iz jedne točke na zemlji, i to jedno vertikalno uvis, drugo pod kutom od 45 prema horizontu. Njihove početne brzine su jednake i iznose 30 m/s. Kolika je udaljenost izmeďu tijela poslije vremena od 2 s od trenutka kad su bačena? 24. Igrač udari loptu pod kutom od 40 prema horizontu dajući joj početnu brzinu od 20 m/s. Drugi igrač, udaljen od prvog 25 m, počinje da trči prema lopti u momentu kad je ona udarena. Koliku najmanju srednju brzinu mora imati drugi igrač da bi udario loptu u trenutku pada na zemlju? R: v = 5,59 m/s 25. Dva tijela bačena su istovremeno iz iste točke horizontalno u meďusobno suprotnim smjerovima, jedno brzinom 4m/s, a drugo 6m/s. Tijela se gibaju u gravitacijskom polju zemlje (g = 10 m/s 2 ). Nakon koliko vremena će vektori brzina tih dvaju tijela biti meďusobno okomiti i koliko su tada tijela udaljena jedno od drugog? R: t = 0,489 s, d= 4,89 m 26. S vrha tornja istodobno se bace tijela jednakom početnom brzinom od 10 m/s. Prvo tijelo se izbaci pod kutom od 30, a drugo pod kutom 60 prema horizontali. Odredite za oba tijela: a) udaljenost meďu tijelima nakon 2 s i b) brzine tijela u trenutku t = 2 s. (R: a)10,35 m, b) v 1 = 17,32 m/s, v 2 = 12,38 m/s) 27. Pod kojim kutem β treba baciti tijelo da bi maksimalna visina na putanji bila jednaka dometu? R: α = 75,96 28. Tijelo 1 bačeno je s visine 100 m paralelno s osi x početnom brzinom 20 m/s. Istodobno je s tla (ispod tijela 1) bačeno tijelo 2 nekom početnom brzinom i pod nekim kutem tako da se oba tijela sudare u točki x = 30 m, koja se mjeri u smjeru koordinate izbačaja oba tijela. Izračunajte početnu brzinu, v 0, i kut, α 0, pod kojim je izbačeno tijelo 2. R: α 0 =74,910, v 0 =76,8 m/s

8 29. Tijelo je bačeno početnom brzinom v 0 = 10 m/s pod kutom α = 65 s balkona visokog 6 m. Koliko daleko od podnožja zgrade ce udariti u tlo? Kolika je maksimalna visina hica s obzirom na tlo? R: s x = 9,8 m ; h max = 10,1 m 30. Top ispali dva projektila sa istog mjesta i sa jednakom početnom brzinom v 0 =800m/s, usmjerene pod različitim kutevima α 1 = 45 i α 2 = 60. Treba odrediti koliko sekundi mora proći izmeďu ispaljivanja da bi se projektili sudarili. 31. Brod B plovi brzinom v B = 12,12 m/s prema sjeveru. Top T treba sa obale rijeke pogoditi brod u trenutku kada mu je najbliže. Početna brzina taneta je v T = 731 m/s. Položaj topa na obali udaljen je 36,576 km od linije plovidbe broda. Treba odrediti: a) pod kojim kutem a, prema horizontali treba ispaliti tane? b) u kojem položaju mora biti brod u odnosu na top, da bi ga tane pogodilo? 32. Vlak se giba brzinom 60 km/h. Putnik u vlaku je primjetio da vlak koji se giba u suprotnom smjeru proďe mimo njega za 5 sekundi. Kolika je brzina drugog vlaka ako je njegova duljina 175 m? R: 66 km/h 33. Zrakoplov leti na stalnoj visini. U trenutku t 1 =0s komponente brzine su mu v x =90m/s i v y =110m/s. U trenutku t 2 =0,5min te komponente su v x =-170m/s i v y =40m/s. Skicirajte vektore brzine u trenucima t 1 i t 2 i izračunajte koliko se oni meďusobno razlikuju! U zadanom vremenskom razmaku izračunajte komponente srednjeg ubrzanja! Izračunajte 2 iznos i smjer srednjeg ubrzanja! R: a 8,66i 2,33 j ; a 8,97m/ s α = 14,97 34. Pilot aviona želi letjeti prema zapadu. Vjetar puše brzinom 80 km/h prema jugu. Brzina aviona u odnosu na zrak je 320 km/h. U kojem smjeru mora pilot usmjeriti avion? Koliko iznosi brzina aviona u odnosu na Zemlju? 35. Na paralelnim kolosjecima dva vlaka se kreću jedan nasuprot drugog. Iz vlaka koji se kreće brzinom v 1 = 54 km/h putnik izmjeri da vrijeme prolaska drugog vlaka iznosi 4 s. Kolikom se brzinom kreće drugi vlak u odnosu na kolosjek ako je duljina tog vlaka l = 150 m. 36. Pri nejednolikom gibanju koordinate položaja materijalne točke mijenjaju se prema 4 t x 2 m i y t 2 2m. Odredite položaj, brzinu i ubrzanje materijalne točke u 4 trenutku t = 1 s. 37. Pri nejednolikom gibanju koordinate položaja materijalne točke mijenjaju se prema x 3 2sin2t m i y 5 cos2t 4m. Odredite položaj, brzinu i ubrzanje materijalne točke u trenutku t = 1 s.

9 38. Nejednoliko gibanje materijalne točke zadano je radij vektorom položaja 1 4 r t i 2 t j. Odredite položaj, brzinu i ubrzanje materijalne točke u trenutku t 16 = 2 s. 39. Nejednoliko gibanje materijalne točke zadano je radij vektorom položaja r 3 4 cost i 3 5sint j. Odredite položaj, brzinu i ubrzanje materijalne točke u trenutku t = 2 s. 40. Nejednoliko gibanje materijalne točke zadano je radij vektorom položaja 4 2 r t 2i 2 t 2j. Odredite položaj, brzinu i ubrzanje materijalne točke u trenutku t = 1 s.

10 2. DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE 41. Vlak mase 4000t giba se brzinom 10m/s po horizontalnim tračnicama. Prije stanice vlak 5 se počinje jednoliko zaustavljati silom kočenja 2 10 N. a) Koliki put prijeďe vlak za vrijeme prve minute kočenja? b) Koliki put prijeďe do zaustavljanja? R: a) 510 m b) 1000 m 42. Auto mase vozi po horizontalnoj cesti brzinom 36km/h. U jednom trenutku vozač isključi motor i auto se zaustavi nakon 150m. a) Koliko vremena se auto gibao od isključivanja motora do zaustavljanja? b) Koliki je faktor trenja klizanja izmeďu ceste i automobilskih guma? R: 30s, 1/30 43. Automobil mase 1 t giba se po horizontalno položenoj cesti brzinom 36 km/h, pa na putu od 75 m poveća brzinu na 72 km/h. Ako je faktor trenja 0,04 kolika je vučna sila automobila? R: 2400 N 44. Dva tijela jednakih masa m = 5kg ovješena su na koloturu. Masa koloture i užeta zanemariva je prema masama tijela. Uže se ne rasteže. Kolika je sila napetosti F N užeta o koje su ovješena tijela? R: F N = 50 N 45. Na slici je prikazan sustav tri tijela. Zanemarite trenje s koloturom. Kolika je akceleracija sustava i kolike su napetosti niti F N1 i F N2 ako je faktor trenja izmeďu tijela mase 5kg i stola 0,1? b) R.: a = 2,5 m/s 2 ; F N1 = 30 N ; F N2 = 12,5 N F N1 F N2 46. Čovjek gura ili vuče kosilicu mase m po travnjaku stalnom brzinom pod kutom 45 (slika). Faktor trenja izmeďu kosilice i travnjaka je 0,5. Koliki je omjer izmeďu sile guranja i sile vučenja?

11 47. Koliko se dugo spušta tijelo niz kosinu visine 2 m, nagiba 45 ako je maksimalni kut kosine kod kojeg tijelo miruje R.: α = 30? R: t = 1,3 s 48. Automobil mase 2500 kg spušta se cestom nagiba 25. U momentu kada brzina iznosi 30 m/s vozač počinje kočiti. Koliku silu kočenja treba primijeniti da bi se automobil zaustavio na putu od 150 metara? R: F = 17025 N 49. Tijelo mase 10 kg počinje iz stanja mirovanja kliziti niz kosinu nagiba α = 30. Odredite silu trenja ako tijelo za 2 sekunde prevali put od 5 m. 50. Na kosini nagiba 30 nalaze se dva tijela čije su mase m 1 = 1 kg i m 2 = 2 kg. Koeficijent trenja izmeďu tijela mase m 1 i podloge iznosi 0,25, a koeficijent trenja izmeďu tijela mase m 2 i podloge iznosi 0,1. Odredite: a) Silu meďudjelovanja dvaju tijela, b) Minimalnu vrijednost kuta kod kojeg će se tijela početi gibati R: a) F = 0,85 N ; b) α = 8,53 51. Kamion mase 4t počinje se gibati uz kosinu nagiba 15 početnom brzinom 90 km/h, pri čemu ne upotrebljava silu motora. Koliki put će preći kamion do zaustavljanja ako je koeficijent trenja 0.1? 52. Tri tijela su meďudobno povezana nitima gibaju se jednolikom brzinom. Kolike su napetosti niti ako je faktor trenja µ = 0.1? Neka je m 1 = 2 kg, m 2 = 4 kg, m 3 = 6 kg, T 3 = 24 N.

12 53. Na horizontalnoj podlozi leže dva tijela mase m 1 = 0,2 kg i m 2 = 0,3 kg meďusobno povezana laganom niti. Predmeti su takoďer preko koloture na uglu podloge spojeni s tijelom mase m 3 = 0,6 kg. Faktor trenja izmedu prva dva tijela i podloge jednak 0,4. Izračunajte akceleraciju sustava i napetosti niti T 1 i T 2. 54. Uz kosinu kuta 37 gurne se tijelo početnom brzinom v 0 = 2 m/s. Koeficijent trenja izmeďu tijela i podloge je µ = 0,3. Koliki će put prijeći tijelo uz kosinu? Koliko je vrijeme za to potrebno? Koliko dugo će tijelo kliziti do dna kosine? R: s = 0,23 m, t uz = 0,23 s, t niz = 0,35 s 55. Tri tijela mas m 1 =3kg, m 2 =2kg i m 3 =5kg postavljena su kao na crtežu. Prvo i drugo tijelo povezana su oprugom konstante opiranja k=1000n/m, dok je treće ovješeno o nerastezljivo uže zanemarive mase. Kut kosine je 30. Za koliko se izduži opruga tijekom gibanja ovog sustava i kolika je napetost užeta? Trenje zanemarite. R: 2,25cm; 37,5 N

13 56. Koliki je iznos akceleracije pomičnog dijela sustava prikazanog na slici uz pretpostavku da u početnom trenutku tijela miruju? Zadano je: α = 37, m 1 = 5 kg, m 3 = 13 kg, koeficijent trenja izmedu podloge i tijela mase m 2 = 10 kg je µ = 0,25. Mase kolotura su zanemarive. 57. Na česticu mase m = 2 kg djeluju sile: F 1 3i 4j 5k, F 2 4i 2j 3k i F 3-2i 4j Odredite ubrzanje čestice. 58. Ako se kosina nagiba 30 giba ubrzanjem 5m/s 2 u desno, izračunajte akceleraciju tijela i napišite da li se tijelo giba uz kosinu ili niz kosinu. (IzmeĎu tijela i kosine nema trenja) 59. Tijelo mase 4 kg miruje na glatkoj podlozi (μ = 0). Pod kolikim kutom obzirom na horizontalu mora na tijelo djelovati konstantna sila od 10 N, da bi na putu 10 m tijelu dala brzinu 7 m/s? 60. Tijelo mase 4 kg giba se brzinom 2 m/s po glatkoj (μ = 0) horizontalnoj podlozi. U jednom trenutku, u smjeru brzine počinje djelovati sila, koja se mijenja ovisno o vremenu 3 prema: F 4t t 1. Kolika je brzina tijela u trenutku t = 2 s od početka djelovanja sile? 61. Tijelo mase 2 kg miruje na glatkoj (μ = 0) horizontalnoj podlozi. U jednom trenutku na tijelo počinje djelovati horizontalna sila koja se mijenja ovisno o vremenu prema: t F 1 2. Kolika je brzina tijela nakon 4 sekunde djelovanja sile? 2 t 4

14 3. KRUŽNO GIBANJE 62. Točka na obodu kotača koji rotira s 5 okreta u sekundi udaljena je 0,2m od njegova središta rotacije. a) Kolika je obodna brzina točke? b) Kolika je centripetalna akceleracija točke? R.: a) 6,3 m/s b) 197,4 m/s 2 63. Točka se giba po kružnici polumjera 2 dm tako da za pola minute načini 120 okretaja. Kolika je brzina i normalna komponenta akceleracije? 64. Automobil se kreće zavojem polumjera zakrivljenosti 500 m ubrzavajući se u tangencijalnom smjeru akceleracijom 0,5 m/s 2. Izračunajte centripetalnu i ukupnu akceleraciju automobila u trenutku kada mu je brzina 72 km/h. Koliko je vremena potrebno da automobil ubrza od 54 km/h do 72 km/h? 10 65. Tijelo počinje jednoliko rotirati iz stanja mirovanja tako da nakon 40 sekundi načini π okretaja. Postignutom kutnom brzinom tijelo nastavlja rotaciju idućih 50 sekundi. Koliko je kutno ubrzanje, a kolika kutna brzina nakon 20 sekundi ubrzavanja? Skicirajte i kotirajte dijagrame ovisnosti kutne brzine o vremenu. Koliko okretaja tijelo učini nakon 90 sekundi? 66. Pri brzini vrtnje od 3000 o/min, tijelo počinje jednoliko kutno usporavati tako da do zaustavljanja učini 400 000 okretaja. Nakon koliko vremena se tijelo zaustavilo? Kolika mu je bila kutna brzina nakon tri sata usporavanja? 67. Točka rotira kutnom brzinom 50 rad/s. U nekom trenutku počinje jednoliko kutno usporavati tako da nakon 80 sekundi usporavanja postigne kutnu brzinu 10 rad/s. Koliko je okretaja učinila točka nakon 20 sekundi usporavanja? 68. Pri kutnoj brzini 40 rad/s točka počinje jednoliko kutno usporavati tako da nakon 160 sekundi usporavanja postigne kutnu brzinu 20 rad/s. Skicirati i kotirati dijagram ovisnosti kutne brzine o vremenu za prvih 260 sekundi rotacije. Koliko je kutno usporenje točke u prvih 160 sekundi usporavanja, a koliko za 260 sekundi gibanja? 69. Kolikom najmanjom brzinom mora osoba vrtjeti kanticu s vodom u vertikalnoj ravnini, ako je duljina užeta 0,75m, a da se voda ne prolije? R: 2,7 m/s

15 70. Automobil mase 1t giba se po cesti stalnom brzinom 20m/s. a) Kolikom silom pritišće automobil cestu kada se nalazi na vrhu brijega (slika)? Polumjer zakrivljenosti brijega je R=100 m. b) Kolika je pritisna sila u toj točki kada automobil stoji na vrhu brijega? R: 6 kn; 10 kn 71. Automobil mase 1t giba se po cesti stalnom brzinom 20 m/s. a) Kolikom silom pritišće automobil cestu kada se nalazi na dnu jame (slika)? Polumjer zakrivljenosti jame R=100 m. b) Kolika je pritisna sila u toj točki kada automobil stoji na dnu jame? R: 14 kn; 10 kn 72. Automobil se giba brzinom 20 m/s po cesti prikazanoj na slici. Polumjer zakrivljenosti brijega je R=100 m. Koliko je najveće moguće horizontalno ubrzanje automobila na vrhu brijega ako je faktor trenja izmeďu auta i ceste 0,3? R: 1,8 m/s 73. Kolikom najvećom brzinom se može gibati auto po zavoju horizontalno položene ceste polumjera zakrivljenosti 150m bez zanošenja ako je statički faktor trenja 0,2? R: 17,3 m/s

16 74. Uteg privezan o nit duljine l=30cm opisuje u horizontalnoj ravnini kružnicu polumjera r=15cm (crtež). Kolikom se frekvencijom okreće uteg? R: 0,98 Hz 75. Za velike brzine automobila cesta je graďena tako da u zavoju bude nagnuta (slika). Optimalni nagib proračunava se za situaciju bez trenja, dok u praksi trenje služi kao dodatni siguronosni čimbenik. a) Ako je omjer h/b=1/100 koliki je omjer izmeďu centripetalne sile i težine automobila? b) Kolikom se brzinom može automobil gibati ako je polumjer zakrivljenosti zavoja r = 200 m? Ovisi li brzina o masi automobila? R: a)fc/mg = 1/100 b) 4,47m/s 76. Dijete se okreće na vrtuljku prikazanom na slici. Uže dugo 5m s vertikalom zatvara kut od 30. Masa djeteta i sjedalice je 60 kg, a udaljenost od osi rotacije iznosi 4m (crtež). Kolikom se obodnom brzinom giba dijete i koliki je iznos centripetalne sile? R: 4,8 m/s; 692 N

17 77. Biciklista se vozi po horizontalno položenoj zaleďenoj livadi i zaokreće tako da se nagne pod kutom 30 prema vertikali (slika). Ako je polumjer zakrivljenosti zavoja 100 m, kolika je najveća brzina bicikliste? R: 24 m/s 1 4 2 78. Kružno gibanje čestice zadano je radij vektorom r t i 2t j. Odredite položaj 4 čestice i polumjer putanje u trenutku t = 1 s. 5 79. Čestica se giba po kružnoj putanji polumjera R = 10 cm po zakonu r t i -10tj 50k. NaĎite ubrzanje čestice u trenutku t = 4 s. 1 3 2 80. Gibanje čestice po zakrivljenoj putanji zadano je radij vektorom položaja r t i t j. 3 Odredite polumjer zakrivljenosti u trenutku t = 2 s. 3 t 2 3 81. Krivocrtno gibanje čestice zadano je radij vektorom r t i t j k. Odredite brzinu 3 i ubrzanje čestice u trenutku t = 3 s. 3 82. Krivocrtno gibanje čestice zadano je radij vektorom r t 2i t j. Odredite položaj, brzinu, ubrzanje čestice i polumjer zakrivljenosti putanje u trenutku t = 1 s. PronaĎite jednadžbu putanje.. Odredite položaj, brzinu, ubrzanje čestice i polumjer zakrivljenosti putanje u trenutku t = 2 s. PronaĎite jednadžbu putanje. 4 2 83. Krivocrtno gibanje čestice zadano je radij vektorom r t 2i 2t 2j j. Odredite položaj, brzinu, ubrzanje čestice i polumjer zakrivljenosti putanje u trenutku t = 1 s. 84. Krivocrtno gibanje čestice zadano je radij vektorom r 4 3sin 3t i 3 5cos3t 2

85. Gibanje materijalne točke zadano je r 1 sin4t i 1 cos4t iznos brzine u trenutku t = 2 s. PronaĎite jednadžbu putanje. 18 j. Odredite položaj i 86. Pri gibanju točke po kružnici polumjera 2 m, njezina tangencijalna komponenta ubrzanja 2 mijenja se u ovisnosti o vremenu prema: a. Koliko je ubrzanje točke u trenutku t 2 t = 2 s ako je točka krenula iz stanja mirovanja? 87. Gibanje materijalne točke zadano je r 3 2cos2t i 2 3sin 2t π brzine u trenutku t = 0 s i t s. 4 j. Odredite iznos

19 4. ZAKONI OČUVANJA 88. Automobil mase 1000 kg gibajući se brzinom 50 m/s naleti na autobus mase 5000 kg koji se giba u istom smjeru brzinom 5 m/s. a) Kolika će biti brzina automobila i autobusa ako se nakon sudara nastave gibati zajedno? Koji je smjer gibanja? b) Koliko se mehaničke energije izgubi pri tom sudaru? R: 7,5 m/s (ulijevo); 1,14 MJ 89. Dječak mase 50kg giba se na kolicima (skateboardu) mase 10kg brzinom 6m/s. Dječak iskoči sa kolica brzinom 5m/s prema tlu. Kolika je brzina kolica ako je dječak iskočio: a) u smjeru gibanja kolica? b) obrnuto od smjera gibanja kolica? c) Kojom brzinom i u kojem smjeru bi trebao dječak iskočiti da se kolica zaustave? R: 11 m/s; 61 m/s; +7,2 m/s 90. U mirni vagon udari drugi vagon mase 15 tona brzinom 3 m/s. Nakon sudara vagoni se gibaju zajedno brzinom 2 m/s. Kolika je masa vagona koji je prije sudara mirovao? R: 7500 kg 91. Saonice sa vrećom pijeska, ukupne mase 500 kg kreću se po zamrznutom jezeru brzinom 0,5 m/s. Metak mase 10 g i brzine 400 m/s pogodi sa strane vreću pijeska pod kutom 30 u odnosu na pravac gibanja i zabije se u nju. Kolika je promjena brzine saonica i u kojem smjeru će saonice nastaviti gibanje? 92. Automobil mase 2000 kg vozi brzinom 16 m/s i sudari se s kamionom mase 12 t koji je mirovao. Ako je sudar plastičan, odredite zajedničku brzinu vozila nakon sudara i gubitak kinetičke energije. R.: v = 2,28 m/s, ΔE k = 219600 J 93. Automobil mase 2500 kg vozi brzinom 20 m/s i sudari se s kamionom mase 12 t koji je mirovao. Ako je faktor restitucije sudara k = 0,3, odredite brzine vozila neposredno nakon sudara, gubitak kinetičke energije u sudaru i vrijeme od trenutka sudara do zaustavljanja kamiona ako je njegovo usporenje konstantno i iznosi 8 m/s 2. 94. Čovjek i kolica gibaju se jedno drugome u susret. Čovjek ima 70 kg, a kolica 30 kg. Brzina čovjeka je je v č = 5,4 km/h, a kolica v k = 1,8 km/h. Kada se približe, čovjek uskoći u kolica i nastavi gibanje. Kolika je brzina kolica s čovjekom? R: 3,24 km/h 95. Vojnik na skijama opali iz puške pod kutom od 60 prema horizontali iz mirujućeg položaja. Nakon koliko metara će se zaustaviti vojnik ako znamo da je µ= 0,01, masa metka je 0,01 kg, početna brzina metka je 900 m/s i masa vojnika, puške i skija 100 kg? R:0,01m

20 96. Pas mase m = 30kg skače s nepomičnih saonica mase M = 50kg na druge nepomične saonice jednake mase, brzinom 5m/s prema tlu pokrivenom ledom, pa silu trenja izmeďu leda i saonica možemo zanemariti (crtež). Izračunajte relativnu brzinu saonica nakon skoka. R: 4,88 m/s 97. Iz topa mase m 1 = 1,8 t ispali se granata mase m 2 = 1 kg pod kutem α= 30 prema horizontali početnom brzinom v 2 = 360 m/s. Kolika je a) srednja brzina trzaja topa, b) srednje usporenje topa ako on poslije trzaja prijede put s = 2 m? R: a) v = 0,173 m/s ; b) a = 0,0075 m/s 2 98. Metak se kreće horizontalno i pogada kuglu obješenu o laganu čvrstu šipku i zarine se u nju. Masa metka je 1000 puta manja od mase kugle. Udaljenost od točke vješanja šipke do centra mase kugle je 1 m. Odredite brzinu metka ako se šipka s kuglom od trenutka udara metka otkloni za kut od 30. R: 51,78 m/s 99. Metak od 5 g proleti kroz drveni kvadar mase 1 kg koji visi na niti duljine 2 m. Nakon proleta nit se otkloni tako da se središte mase kvadra podigne za 0,45 cm. Izračunajte brzinu metka nakon proleta ako je ona prije proleta bila 450 m/s! 100. Tijelo mase 6 kg gurnemo niz brijeg početnom brzinom 5 m/s. U podnožju brijega brzina tijela je 20 m/s. Kolika je sila trenja ako je visina brijega 20 m i ako je tijelo prešlo put od 40 m? R: 1,875 N 101. Auto mase 1000 kg udari brzinom 36 km/h u odbojnik zavojnicu i sabije ga za 1 m. Zanemarimo li trenje i masu odbojnika, kolika je konstanta opiranja odbojnika zavojnice? R: 10 5 N/m 102. Saonice se počinju spuštati iz stanja mirovanja niz brijeg (kosinu) s visine h=30m i duljine l=50m kako je prikazano na crtežu. Faktor trenja klizanja na cijelom putu iznosi 0,05. Na kojoj horizontalnoj udaljenosti x od podnožja kosine će se saonice zaustaviti pod pretpostavkom da su se po horizontalnom putu počele gibati brzinom koju su postigle na dnu kosine? R: x = 560 m

21 103. Skijaš se spušta niz brijeg nagiba 30 i dolazi u dolinu pa se opet podiže uz brijeg. Podaci o visini brijega dani su na crtežu. Put koji prelazi skijaš s pozicije A na poziciju B iznosi 3,2 km. Duljina puta u dolini se može zanemariti prema duljini puta kada se skijaš nalazi na brijegu. a) Zanemarite li trenje kolikom brzinom dolazi skijaš na vrh B ako se s vrha A spustio bez početne brzine? b) Koliki bi trebao biti faktor trenja da skijaš doďe taman do vrha B i zaustavi se? R: a) 44,7 m/s b) 0,036 104. Metak mase m=40g gibajući se brzinom v udari o drveni blok mase M=1,4kg koji miruje na horizontalnoj podlozi. Nakon što probije drvo metak ostaje u njemu te se netom nakon sudara zajedno gibaju brzinom 20m/s (crtež). a) Kolika je bila brzina metka prije sudara? b) Ako je faktor trenja drvenog bloka i pologe 0,4 koliki put prijeďe blok s metkom u sebi do zaustavljanja? c) Koliko mu vremena treba da se zaustavi? R: a) 720 m/s b) 50 m c) 5 s 105. Metak mase m = 21g ispali se vertikalno u drveni blok mase M = 1,4kg i udari o njega brzinom 210 m/s kako je prikazano na crtežu. Na koju maksimalnu visinu h će se uspeti drveni blok ako metak u njemu ostane? R: 0,48 m

22 106. Čestica se giba pravocrtno po savršeno glatkoj horizontalnoj podlozi (μ = 0). Kolika je promjena njezine količine gibanja za 7 sekundi ako na nju u smjeru brzine djeluje horizontalna sila koja se mijenja u vremenu prema zadanom dijagramu? U trenutku t = 7 s na dijagramu je ekstrem parabole drugog reda. F / N 10 5 0 4 7 t / s 107. Čestica mase m = 4 kg ima početnu brzinu v 0 = 2 m/s i giba se po horizontalnoj podlozi sa koeficijentom trenja μ = 0,2. U tom trenutku na česticu u smjeru brzine počinje djelovati horizontalna sila koja se mijenja u ovisnosti o prevaljenom putu prema 3 2 F 4s 4s 2. Odredite brzinu čestice nakon prevaljenog puta od dva metra. 108. Drveni kvadar mase 1,5kg smješten je na vrh stisnute opruge na dnu kosine nagiba 30. Kad se opruga otpusti, ona gura kvadar uz kosinu. U točki udaljenoj 6m od dna kosine kvadar se giba brzinom 7m/s i tada prestaje biti u dodiru s oprugom. Koeficijent kinetičkog trenja izmeďu kvadra i kosine je 0,5. Zanemarite masu opruge. Kolika je potencijalna energija opruge prije njenog otpuštanja?

23 5. HIDROMEHANIKA 109. U-cijev na slici napunjena je vodom i uljem (slika) i cijeli sustav se nalazi u ravnoteži prema podacima sa slike. Ako je gustoća vode 10 3 kg/m 3 kolika je gustoća ulja? R: 916 kg/m 3 12,3 mm ulje 135 mm voda 110. U cijev na slici je nalivena živa. Krakovi su istih polumjera čiji je iznos 1cm. U jedan krak ulijemo 20g vode, a u drugi 80g alkohola. Kolika je razlika razina žive u krakovima? Nacrtajte gdje će razina žive biti veća, a gdje manja! Zadano: ( vode = 10 3 kg/m 3, alkohola = 0,810 3 kg/m 3, žive = 13,610 3 kg/m 3 ) R:1,4 cm alkohol voda 111. U-cijev na slici napunjena je živom iznad koje se u oba kraka nalazi voda. Ako su gustoće vode =10 3 kg/m 3 i žive =13,610 3 kg/m 3, a visina h 2 =1cm, koliko iznosi visina h 1? R: 12,6 cm h 1 h 2

24 112. Konzerva volumena 1200cm 3 i mase 130g pliva na vodi. Koliku najveću masu olova gustoće 11,4g/cm 3 možemo staviti u konzervu a da ona ne potone? R: 1,07 kg 113. Preko učvršćene koloture prebačen je konop. Na jednom kraju konopa visi uteg mase m 1 =5 kg uronjen u vodu, a na drugome kraju visi uteg mase m 2 =4 kg. Kolotura je uravnotežena. Kolika sila uzgona djeluje na uteg u vodi? 114. Posuda je do ruba napunjena vodom. U nju stavimo dvije jednake kocke volumena 100 cm 3. Prva je načinjena od tvari gustoće 2 g/cm 3, a druga od tvari gustoće 0.5 g/cm 3. Gustoća vode je 1 g/cm 3. Koliko će se vode preliti preko ruba posude? 115. Potrebno je napraviti splav od hrastovih balvana koji bi mogao prevoziti teret od 600 kg. Svaki balvan ima masu 120 kg. Odredite minimalni broj hrastovih balvana potrebnih da bi se napravio takav splav. balvana = 800 kg/m 3, vode = 1000 kg/m 3. R.: N = 20 116. Od 20 g aluminija treba napraviti šuplju kuglu koja će lebdjeti u void. Odredite debljinu zida kugle. aluminija = 2710 kg/m 3, vode = 1000 kg/m 3. 117. Kada je predmet uronjen u vodu dinamometar pokazuje 60 N, a u benzinu 90 N. Kolika je masa predmeta ako su gustoće vode vode = 1000 kg/m 3 i bezina benzina = 700 kg/m 3? (g10m/s 2 )? Gustoća materijala od kojeg je izraďen predmet veća je od gustoće vode. R: 16 kg 118. U posudi je živa, a iznad nje voda. Homogena željezna kugla pliva na granici izmeďu žive i vode, te je potpuno prekrivena vodom. Koliki je dio ukupnog volumena kugle u živi, a koliki u vodi? ( žive = 13600 kg/m 3 ; željeza = 7900 kg/m 3 ; vode = 10 3 kg/m 3 ) R: 55 % u živi a 45 % u vodi 119. Metalno sidro čini se 200N lakše u vodi nego u zraku, gdje možemo zanemariti silu uzgona. a) Kolika je masa sidra? b) Koliki je volumen sidra? Gustoća vode je 1000kg/m 3, a metala 7870kg/m 3. R: a) 22,9 kg b) 2,910 3 m 3 120. Predmet je ovješen o dinamometar. Sila koju pokazuje dinamometar kada je predmet u zraku iznosi 30N, kada je potpuno potopljen u vodi gustoće 1000kg/m 3 iznosi 20N, a kada je potpuno potopljen u tekućini nepoznate gustoće iznosi 24N. Kolika je gustoća nepoznate tekućine? Zanemarite uzgon u zraku. R: 600 kg/m 3 121. Drveni predmet pluta na vodi gustoće 1000kg/m 3 tako da se dvije trećine predmeta nalaze ispod razine vode. Isti predmet pluta u tekućini nepoznate gustoće tako da je 90% predmeta uronjeno u tekućinu. Kolika je gustoća drveta i nepoznate tekućine? R: D = 667 kg/m 3 : T = 741 kg/m 3

5 cm 3 cm 25 122. Šuplji cilindrični plovak promjera 0,2 m pliva tako da je 0,1 m iznad površine vode kada mu se na dno objesi komad željeza mase 10 kg. Koliko će plovak biti iznad vode ako se taj komad željeza stavi u plovak? Gustoća željeza je 7800 kg/m 3. R: 0,059 m 123. Na kolicima se nalazi posuda valjkastog oblika napunjena vodom do visine h = 1 m. Nasuprotnim su stranama posude dva ventila površine otvora 10-3 m 2 na visini h 1 = 0.25 m, odnosno h 2 = 0.5 m. Kojom se silom i u kom se smjeru mora djelovati na kolica da bi ona ostala nepomična pošto se otvore ventili? 124. Dva potoka spajaju se u jednu rijeku kao što je prikazano crtežom. Dubina prvog potoka je 3,4m, a njegova širina je 8,2m i kroz njega voda teče brzinom v 1 =2,3m/s. Drugi potok ima dubinu 3,2m, širinu 6,8m i brzinu toka v 2 =2,6m/s. Ako je širina rijeke 10,5m, a brzina toka vode je v 3 =2,9m/s kolika je dubina rijeke? Pretpostavite da je strujanje laminarno i jednako u svim dijelovima. R: 3,964m v 1 v 2 v 3 125. Voda struji kroz horizontalnu cijev stožastog oblika na jednom mjestu presjeka A 1 =20cm 2, a na drugom mjestu A 2 =5cm 2 (slika). Razlika statičkih tlakova na ta dva mjesta je 4kPa. Izračunajte koliki volumen vode prostruji kroz cijev tijekom jedne minute. R: 876,310 4 m 3 A 1 A 2 126. Voda struji kroz horizontalno postavljenu cijev čije dimenzije su dane na slici. Brzina kojom voda istječe iz užeg dijela cijevi je v 2 =15m/s. a) Koliki volumen vode proďe kroz cijev tijekom 10 minuta? b) Kolika je brzina vode u širem dijelu cijevi? c) Kolika je razlika statičkih tlakova izmeďu šireg i užeg dijela cijevi? R: a) 6,36 m 3 b) 5,4 m/s c) 9,810 4 Pa v 1 v 2 127. Spremnik velike površine napunjen je vodom do dubine 0,30 m. Rupa površine 6,5 cm 2 na dnu spremnika omogućava da voda istječe. Na kojoj udaljenosti ispod dna spremnika je površina presjeka mlaza vode jednaka polovici površine rupe?

5 cm 12 cm 1m 26 128. Kroz horizontalno postavljenu cijev struji voda. Na mjestima gdje su površine poprečnog presjeka cijevi jednake A 1 = 1 cm 2 i A 1 = 3 cm 2 vertikalno su spojene dvije manometarske cijevi. Odredite protok vode u cijevi ako je razlika visine stupca vode u 4 manometrima h = 10 cm. R.: 1,5 10 m 3 /s 129. Voda izlazi kroz malu rupicu iz posude (crtež). Rupica se nalazi na visini 1m iznad poda. Ako mlaz vode udara o pod na udaljenosti 0,6m kolika je razina vode u posudi? R: 9 cm 0,6m 130. Kroz cijev AB struji zrak tako da je protok 5 L/min. Površina poprečnog presjeka cijevi u širem dijelu je A 1 = 2 cm 2, a u užem dijelu A 2 = 0,5 cm 2. Odredite razliku nivoa vode h u abc dijelu cijevi. 131. U široku otvorenu posudu ulijeva se voda s volumnim protokom 0,2 l/s. Koliki treba biti polumjer male rupice na dnu posude da bi razina vode bila stalna i iznosila 8,3 cm? R: 0,7 cm 132. Mlazovi vode koji izlaze iz dviju malih rupica smještenih na udaljenosti 5 cm i 12 cm od dna posude napunjene vodom udaraju o pod na istom mjestu (crtež). Kolika je visina vode u posudi? R: 17 cm

27