Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch

Transcript

1 Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch Martin Kollár, L ubica Kossaczká a Daniel Ševčovič

2 Vysokoškolský učebný text pre potreby zabezpečenia výučby predmetov Matematická analýza a Diferenciálny a integrálny počet vyučovaných na študijnom programe Ekonomická a finančná matematika. Autori: c Mgr. Martin Kollár, PhD., RNDr. L ubica Kossaczká, CSc., prof. RNDr. Daniel Ševčovič, CSc. Názov: Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch Vydavatel : Knižničné a edičné centrum FMFI UK Rok vydania:,, (tretie doplnené vydanie) Miesto vydania: Bratislava Vydanie: tretie Počet strán: 98 Internetová adresa: php?id=el st m ISBN:

3 Obsah Úvod 7 Lineárne normované priestory 8 Norma a jej vlastnosti Cauchy-Schwartzova nerovnost, Youngova a Minkowského nerovnost Ekvivalentné normy Príklady noriem v a vo všeobecných LNP Euklidovský priestor Skalárny súčin Topologické vlastnosti LNP 7 Otvorené a uzavreté množiny v lineárnom normovanom priestore Hranica množiny Konvergencia postupností v LNP Kompaktné množiny, kritériá kompaktnosti množín vr n, Heine-Borelova veta Úplné normované priestory, Banachov a Hilbertov priestor Kontraktívne zobrazenia a Banachova veta o existencii pevného bodu Aplikácie Banachovej vety o pevnom bode Súvislé množiny Konvexné množiny v LNP 3 Spojitost funkcií v LNP 3 Limity funkcií, definícia spojitosti funkcie v LNP Extremálne vlastnosti spojitých funkcií na kompaktných a súvislých podmnožinách Vzt ah násobných limít a limity funkcie viac premenných Grafické znázorňovanie priebehu funkcie viac premenných 4 Diferencovatel nost funkcií viac premenných 4 Parciálne derivácie funkcií viac premenných a ich geometrická interpretácia Parciálne derivácie vyšších rádov, zamenitel nost poradia diferencovania Derivácia funkcie viac premenných a jej geometrická interpretácia Vzt ah derivácie funkcie a jej parciálnych derivácii, Jacobiho matica Derivácia zloženej funkcie Derivácie vyšších rádov 5 Vlastnosti diferencovatel ných funkcií 55 Rozvoj funkcie viac premenných do Taylorovho radu Totálny diferenciál funkcie a jeho použitie na približné určovanie hodnoty funkcie 3

4 Gradient funkcie a derivácia v smere Úrovňové množiny konvexných funkcií Vzt ah gradientu funkcie k hranici úrovňovej množiny diferencovatel nej funkcie Konvexné a konkávne funkcie Kritérium konvexnosti funkcie viac premenných 6 Extremálne vlastnosti funkcií viac premenných 66 Vyjadrenie dotykovej roviny ku grafu funkcie Maximá a minimá funkcie viac premenných, lokálne extrémy Sedlové body Nutné podmienky nadobúdania lokálneho extrému funkcie viac premenných Postačujúce podmienky nadobúdania lokálneho extrému a Hessova matica druhých derivácii Globálne extrémy a metódy ich určovania Aplikácie, ktoré vedú na hl adanie vol ných extrémov 7 Funkcie zadané implicitným vzt ahom 73 Príklady a význam funkcií zadaných implicitne Existencia funkcie zadanej implicitne Derivácia implicitnej funkcie Vyšetrovanie priebehu funkcie zadanej implicitne Veta o existencií inverznej funkcie 8 Viazané extrémy funkcie viac premenných 83 Význam a využitie viazaných extrémov funkcie viac premenných Geometrická interpretácia viazaného extrému a Lagrangeovho multiplikátora Lagrangeova funkcia Nutné podmienky existencie viazaného extrému Postačujúce podmienky viazaného maxima a minima Všeobecná postačujúca podmienka viazaného extrému a ohraničený Hessián 9 Rozvoj funkcií do Fourierovho radu 94 Rozvoj funkcie do Fourierovho radu, vzt ahy pre koeficienty Fourierovho radu Periodické, párne a nepárne rozšírenia funkcii a ich rozvoj do Fourierovho radu Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost Konvergencia trigonometrického radu, bodová konvergencia Fourierovho radu Riešenie okrajovej úlohy pre obyčajnú diferenciálnu rovnicu pomocou Fourierovho radu Riemannov integrál funkcie viac premenných 5 Definícia Riemannovho integrálu na ohraničnej oblasti Vlastnosti integrálu funkcii viac premenných Fubiniho veta Metóda substitúcie 5 Metóda substitúcie pre integrovanie funkcii viac premenných Lineárne a nelineárne transformácie súradníc Jakobián transformácie a geometrický význam determinantu Jacobiho matice Veta o substitúcii pre integrály viac premenných Polárne a sférické súradnice Metódy výpočtu viacrozmerných integrálov pomocou transformácie premenných

5 Krivkové a plošné integrály 6 Integrovanie funkcii definovaných na krivkách Krivkový integrál prvého a druhého druhu Integrovanie funkcii definovaných na plochách Vzt ah krivkových, plošných a objemových integrálov 3 Parametrické integrály 44 Definícia parametrického integrálu Priklady parametrických integrálov Spojitost a diferencovatel nost parametrických integrálov Metódy výpočtu parametrických integrálov Gama, Beta funkcia a ich vlastnosti 4 Výsledky 57 Lineárne normované priestory Topologické vlastnosti LNP Spojitost funkcií v LNP Diferencovatel nost funkcií viac premenných Vlastnosti diferencovatel ných funkcií Extremálne vlastnosti funkcií viac premenných Funkcie zadané implicitným vzt ahom Viazané extrémy funkcie viac premenných Rozvoj funkcií do Fourierovho radu Riemannov integrál funkcie viac premenných Metoda substitúcie Krivkové a plošné integrály Parametrické integrály Literatúra 96

6

7 Úvod Učebný text Diferenciálny a integrálny počet vznikol z potrieb zabezpečenia študijnej literatúry pre predmety Matematická analýza a Diferenciálny a integrálny počet, ktoré sa vyučujú v študijnom programe Ekonomická a finančná matematika. Text vychádza a preberá mnohé príklady predovšetkým z osvedčených študijných textov akými sú skriptá Barnovskej a kol. [, 3, 8] ako aj zo známych zbierok príkladov Demidoviča [], Bermana [], Kluvánka, Mišíka a Šveca [5]. Ciel om autorov bolo pripravit súbornú zbierku, ktorá by pokryla celý obsah látky vyučovanej v tret om a štvrtom semestri štúdia Ekonomickej a finančnej matematiky. Učebný text pozostáva z štrnástich kapitol: Úvod, Lineárne normované priestory, Topologické vlastnosti lineárnych normovaných priestorov, Spojitost funkcií, Diferencovatel nost funkcií viac premenných, Vlastnosti diferencovatel ných funkcií, Extremálne vlastnosti funkcií viac premenných, Funkcie zadané implicitným vzt ahom, Viazané extrémy funkcie viac premenných, Rozvoj funkcií do Fourierovho radu a aproximácie funkcií, Riemannov integrál funkcie viac premenných, Metóda substitúcie v integrálnom počte, Krivkové a plošné integrály, Parametrické integrály. Posledná čast Výsledky obsahuje výsledky a návody k podstatnej časti uvádzaných príkladov. L ubica Kossaczká, Martin Kollár a Daniel Ševčovič Bratislava, september 8. 7

8 Kapitola Lineárne normované priestory Norma a jej vlastnosti Cauchy-Schwartzova nerovnost, Youngova a Minkowského nerovnost Ekvivalentné normy Príklady noriem v a vo všeobecných LNP Euklidovský priestor Skalárny súčin 8

9 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 9 Dôležité pojmy a tvrdenia Definícia normy. Nech X je lineárny vektorový priestor nad pol om R (alebo C). Nech. : X R je funkcia, ktorá spĺňa nasledujúce vlastnosti:. (nezápornost, nedegerovanost ) x X: x, x = x=;. (homogenita) x X,α R (alebo C): αx = α x ; 3. (trojuholníková nerovnost ) x,y X: x+y x + y. Definícia ekvivalentných noriem. NechX je LVP a. a,. b sú dve normy nax. Hovoríme, že normy. a a. b, sú ekvivalentné (píšeme. a. b,), ak C > také, že C x a x b C x a x X. Príklad. NechX= R n. Pre<p< označme PotomX je lineárny normovaný priestor. N x p =( x i p ) p, i= x = max i=,,...n x i ak p=. Príklad. Nech X = C([a, b]) je priestor spojitých funkcií. Položme f = max x [a,b] f(x). PotmX s normou. je lineárny normovaný priestor. Príklad 3. Nech X = C([a, b]) je priestor spojitých funkcií s normou f p =( PotomX je lineárny normovaný priestor. b a f(x) p dx) p.

10 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Riešené príklady Príklad. Nechl je množina všetkých reálnych ohraničených postupností{x i } i=. Potom x = sup x i i=,,... je zrejme norma nal. Definujme inú normu pomocou vzt ahu: x =sup{ n x +x +x 3...+x n,n=,,...} prex l. Ukážte, že x je norma, ale x a x nie sú ekvivalentné. Riešenie. Na to, aby. bola norma, treba ukázat tri vlastnosti normy a aj to, že pre x l je funkcia. dobre definovaná. Akx l je l ubovol né, potom existujec > také že Teda i N x i C. n (x +x +...x n ) n ( x + x +... x n ) nc= C. n Tým pádom existuje konečné x = sup n=,,... n (x + x +...x n ) <. Nezápornost, nedegenerovanost a homogenita triviálne vyplývajú z definície. Pre ilustráciu dokážme trojuholníkovú nerovnost. Nech x,y l sú l ubovol né. Ked že n (x +x +...x n )+(y +y +...y n ) n (x +x +...x n ) + n (y +y +...y n ), tak potom, z trojuholníkovej nerovnosti pre absolútnu hodnotu reálnych čísel, platí aj n (x +x +...x n )+(y +y +...y n ) sup n=,,... n (x +x +...x n ) + sup n=,,... n (y +y +...y n ) = x + y. Ked že n bolo l ubovol né, platí x + y x + y. Teraz sa zaoberajme ekvivalentnost ou noriem. a.. Nech x l, l ubovol né. Teda x=(x,x,...). Ked že x i x, tak n (x + x +...x n ) n ( x + x +... x n ) n.n x = x a teda x x. Teraz ukážeme sporom, že dané normy nie sú ekvivalentné. Predpokladajme, že sú ekvivalentné. Potom existuje C >, také že Teraz vezmime postupnost a n l,n=,,.. takú, že Zrejme x l : x C x. (.) (a n ) i = ak i n,(a n ) i = ak i=n. n N: a n = n, a n =.

11 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch Dosadíme za x=a n do (.) a dostaneme: C n. Ked ženje l ubovol né, dostávame spor. Príklad. Funkciuf: a,b R nazývame funkciou s ohraničenou variáciou na a,b vtedy a len vtedy, ked výraz V(f)=sup{ n f(x i+ ) f(x i ) :n N,a=x < x <... < x n < x n < x n+ = b} R. i= Číslo V(f) nazývame variáciou funkcie f na a, b. Dokážte: a) Každá monotónna funkcia f : a,b R má ohraničenú variáciu na a,b a platí V(f)= f(b) f(a). b) Lineárna kombinácia dvoch funkcií s ohraničenou variáciou na a, b je funkcia s ohraničenou variáciou na a,b. c) Ak f: a,b R má ohraničenú variáciu na a,b a c (a,b), tak f je s ohraničenou variáciou aj na a,c. d) Nech f: a,b R je s ohraničenou variáciou na a,b a nech V f (x) znamená, ak x=a, a variáciu f na a,x,ak x (a,b. Potom V f (x) je na a,b neklesajúca funkcia. FunkciaV f (x) f(x) je na a,b tiež neklesajúca. e) Funkcia f : a,b R je funkciou s ohraničenou variáciou na a,b vtedy a len vtedy,ked je rozdielom dvoch neklesajúcich funkcií na a,b. f) Priestor V( a, b ) všetkých funkcií s ohraničenou variáciou na a, b je lineárny priestor nad R a funkcia. v : V( a,b ) R definovaná ako f v = f(a) +V(f), f V( a,b ) je norma nav( a,b ). Riešenie. a) Nech f: a, b R je neklesajúca, potom V(f)=sup{ =sup{ n f(x i+ ) f(x i ) :n N,a=x < x <... < x n < x n < x n+ = b} i= n (f(x i+ ) f(x i )):n N,a=x < x <... < x n < x n < x n+ = b}=f(b) f(a) R. i= V prípade nerastúcejf obdobnev(f)=f(a) f(b). b) Nech α R,β R, nech f,g: a,b R sú funkcie s ohraničenou variáciou. Máme ukázat, že aj αf + βg má ohraničenú variáciu na a, b. Nech n N,a=x < x <... < x n < x n < x n+ = b.

12 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Počítajme α. Preto Teda aj i= n (αf+βg)(x i+ ) (αf+βg)(x i ) i= n n f(x i+ ) f(x i ) + β. g(x i+ ) g(x i ) α V(f)+ β V(g). i= n (αf+βg)(x i+ ) (αf+βg)(x i ) α V(f)+ β V(g). i= n sup{ (αf+βg)(x i+ ) (αf+βg)(x i ) :n N,a=x < x <... < x n < x n < x n+ = b)} i= α V(f)+ β V(g). Preto funkciaαf+βg má ohraničenú variáciu na a,b. c) Nech a=x < x <... < x n < x n < x n+ = c. Ked že n n f(x i+ f(x i ) } f(x i+ f(x i ) + f(b) f(c) V(f,a,b), i= i= takf je s ohraničenou variáciou aj na a,c. d) Nechx,y a,b. Nechx y.nech n N,a=x < x <... < x n < x n < x n+ = x. Potom platí n f(x i+ f(x i ) i= n f(x i+ f(x i ) + f(y) f(x) V(f,a,y) i= A teda aj V(f,a,x) V(f,a,y). Čiže V f (x)je na a,b neklesajúca funkcia. Ďalej zase predpokladajme,že x,y a,b. Nech x y. Pre l ubovol né delenie a=x < x <... < x n < x n < x n+ = x platí n f(x i+ f(x i ) i= n f(x i+ f(x i ) + f(x) f(y) +f(x) f(y). i= Potom n f(x i+ f(x i ) f(x) i= n f(x i+ f(x i ) + f(x) f(y) f(y) V f (y) f(y) i=

13 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 3 Teda V f (x) f(x) V f (y) f(y). PretoV f (x) f(x) je neklesajúca. e) Nech f: a, b R je funkcia s ohraničenou variáciou. Zrejme f= V f (V f f) a na základe d) je f rozdiel dvoch neklesajúcich funkcií na a,b. Naopak, nech f: a,b R je rozdiel dvoch neklesajúcich funkcií g,g na a,b,f = g g. Teda podl a a) g aj g sú funkcie s ohraničenou variáciou. Pre l ubovol né delenie a=x < x <... < x n < x n < x n+ = b platí n f(x i+ ) f(x i ) i= n n g (x i+ ) g (x i ) + g (x i+ ) g (x i ) V(g,a,b)+V(g,a,b). i= i= Preto aj f je funkcia s ohraničenou variáciou. f) Zrejme f V( a,b ): f v. Akf V( a,b ): je také, že f v =, tak potom f(a) +sup{ x a,b : f(a) + f(x) f(a) n f(x i+ f(x i ) :n N,a=x < x <... < x n < x n < x n+ = b}=. i= Potom f(a)= aj f(x)=f(a)= a teda f=. Overenie d alších dvoch vlastností je už triviálne. Príklady na samostatné riešenie. Dokážte, že (x,x ) T =max{ x +x, x x } je normou nar.. Dokážte, že (x,x ) T =max{ x, x + x 3, x x 3 } je normou nar..3 Nech a,...,a N >sú dané. Dokážte, že (x,...x N ) T =a x +...a N x N je normou nar N..4 Nechα > je dané. Dokážte, že je normou na C([,])..5 Dokážte, že je normou na C([,]). f = max x [,] e αx f(x) f = f() +max x [,] xf(x).6 Nech(X,. )a(y,. ) sú lineárne normované priestory. Na karteziánskom súčine X Y definujeme funkciu. tak, že pre(x,y) X Y položíme: (x,y) = x + y.

14 4 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Dokážte, že. je normou na priestorex Y..7 Nech(X,. ) je LNP a nechx,x,...x k X. Dokážte, že x +...x k x +... x k..8 Nech(X,. ) je LNP a necha,b,c,d X. Dokážte, že.9 Dokážte, že pre každéα > je norma a b c d a c + b d. f = max x [,] e αx f(x) nac([,]) ekvivalentná s maximovou normou. Dokážte, že norma f = max x [,] f(x). f = f() +max x [,] xf(x) nac([,]) nie je ekvivalentná s maximovou normou.. V príkladoch a), b), c) nakreslite v R gul u so stredom v bode(,) T a polomerom, ak nar uvažujeme normu a) (x,x ) T = x +5 x b) (x,x ) T =max{ x +x, x x } c) (x,x ) T =max{ x, x + x 3, x x 3 }. Uvažujme priestor C([, ]) s normou a funkcie f = f(x) dx g(x)=x,x [,], f m,n = x+ sin(πnx), x [,], m kdem,n N. Nechǫ > je dané. Pre aké hodnoty parametrovm,n platí.3 Uvažujme priestor C([, ]) s normou f m,n B ǫ (g)? f = max x [,] f(x). Necha,b R sú pevne zvolené, definujme funkciu g(x)=ax+b, x [,].

15 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 5 Pre parametre c, d R definujme funkciu f c,d (x)=cx+d,x [,]. Nechǫ > je dané, zistite, pre akéc,d platí f c,d B ǫ (g)..4 Necha,a,...a n sú dané kladné čísla. Na priestorex= R n definujeme funkciu ( N x = i= ) x i a i Ukážte, že je to norma. Ako vyzerajú gule v(r,. ) a(r 3,. )?.5 Ukážte, že norma v predošlom príklade je ekvivalentná s. p vr n.6 Overte Minkowského nerovnost prep=. Teda treba dokázat. n x i +y i i= n n x i + y i i= i=.7 Overte Hölderovu nerovnost v kritickom prípade p =. Pritom n n ξ i η i η ξ i i= i= η = max i=,...n η i.8 Nech p Ukážte, že C >: C x x p C x x R n.9 Nech p,q Potom C >: C x q x p C x q x R n. Pre funkcie f,g C([a,b]) a < p,q < p + q =ukážte. Ukážte, že pre b Dá sa v tomto príklade ukázat analógia nerovností s prí- je norma na priestore C([a, b]). kladmi.8 a.9? a ( b ) ( f(x)g(x) dx f(x) p p b ) g(x) q q ( b p f p = a a a ) f(x) p p dx

16 6 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Návod: Nech f C([a,b]). Potom( b a f(x) p dx) p môžeme počítat ako limitu integrálnych súčtov, kde norma delenia max i=,,...n x i konverguje k, t. j. n lim ( ( f i ( x i ) p)) p ) p. n Teraz použijeme Minkowského nerovnost prefi p =: f i x i= i= i= i a g i =: g i x n n n ( fi +g i p ) p ( fi p ) p+( gi p ) p a limitným prechodom dostaneme trojuholníkovú nerovnost. S príkladom.8 analógia neexistuje, lebo v priestorec([a,b]) neplatí ekvivalentnost normy. p a normy.. Uvažujte postupnost funkcií f n definovaných na[,] nasledovne: i= p i : f n (x) = nx prex < n f n (x) = prex > n Teraz ukážte, že hoci f n =, tak f n p. A teda. nie je ekvivalentná s. p na priestore funkcií C([, ]). Rovnako, pre p > q neexistuje konštanta C taká, že f C([, ]) platilo ( b ) f p p a ( b ) C f q q. a Môžeme použit tú istú postupnost f n (x) ako vyššie, a pri presnom zrátaní. p a. q dostaneme, že taká konštanta neexistuje.. Existuje norma. nax= R N, ktorá by nebola ekvivalentná s. p, p=?

17 Kapitola Topologické vlastnosti LNP Otvorené a uzavreté množiny v lineárnom normovanom priestore Hranica množiny Konvergencia postupností v LNP Kompaktné množiny, kritériá kompaktnosti množín v R n, Heine-Borelova veta Úplné normované priestory, Banachov a Hilbertov priestor Kontraktívne zobrazenia a Banachova veta o existencii pevného bodu Aplikácie Banachovej vety o pevnom bode Súvislé množiny Konvexné množiny v LNP 7

18 8 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Dôležité pojmy a tvrdenia Definícia okolia. Nech(X,. ) je LNP,x X. Pod okolímb r (x) rozumieme gul u so stredom x a polomeromr >, B r (x)={y X, x y < r}. Definícia otvorenej množiny. Nech(X,. ) je LNP. Množina O X sa nazýva otvorená, ak x O r >:B r (x) O. Definícia topológie. NechX je množina aφsystém jej podmnožín. Nech sú splnené:. X Φ, Φ.. AkA,B Φ, tak potoma B Φ 3. AkΛje množina indexov aa λ Φpre každéλ Λ, tak potom λ Λ A λ Φ. Potom množina X so systémom otvorených množín Φ sa nazýva topologický priestor. Príklad topologického priestoru Nech X je LNP aφsystém otvorených množín. PotomX aφtvoria topologický priestor. Tvrdenie. Nech X je LVP. Nech. a,. b sú dve ekvivalentné normy na X. PotomO X je otvorená v(x,. a ) je otvorená v(x,. b ). Teda topológie (systémy otvorených množín) odvodené od ekvivalentných noriem sa zhodujú. Definícia uzavretosti. Množina U X, kde(x,. ) je LNP sa nazýva uzavretá, ak jej doplnoko=x U je otvorená v(x,. ). Definícia hranice množín v LNP. NechΩ X. Bod x X sa nazýva hraničný bod množinyωak r >B r (x) Ω a r > B r (x) (X Ω). Hranica Ω množinyω je množina všetkých hraničných bodov množinyω. Definícia konvergencie. Nech(X,. ) je LNP. Nech x n X je postupnost. Hovoríme, že x n konverguje kx X. Píšeme x= lim n xn ak lim n xn x =. Tvrdenie. Nech(X,. ) je LNP a. a,. b sú dve ekvivalentné normy nax. Potom postupnost x n X x n x v (X,. a ) Tvrdenie. x n x v (X,. b ). Nech R n je n rozmerný priestor. Potom sú všetky jeho normy ekvivalentné. Kritérium konvergencie v(r n,. p ) x n x v(r n,. p ) práve ak i=,,...n:x n i x i

19 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 9 pren. Konvergencia v(r n,. p ) teda znamená konvergenciu po súradniciach. Kritérium uzavretosti množiny. Nech(X,. ) je LNP, A X. Potom A je uzavretá x n A, ktorá konverguje, t. j. x=lim n x n, takx A. Kritérium hranice. Nech(X,. ) je LNP, A X. Potom x A x n A:x n x a x n A C : x n x Definícia uzáveru. Nech(X,. ) je LNP,A X. Uzáver množiny A je množinaa=a A. Kritérium uzáveru. Nech(X,. ) je LNP, A X. Platí: A={x X, x n A,x n x}. Definícia hustej množiny. Nech(X,. ) je LNP, A X. Podmnožinu H A nazývame hustá podmnožina v A ak H = A. Podmnožinu H hustú v celom X nazývame jednoducho hustá množina. Definícia Cauchyho postupnosti. Postupnost {x n } X, kde(x,. ) je LNP, sa nazýva Cauchyho, ak ǫ > n n n p N: x n+p x n < ǫ. Definícia úplného Banachovho priestoru. LNP(X,. ) sa nazýva úplný priestor (Banachov priestor), ak každá Cauchyho postupnost má limitu vx. Kompaktné množiny v LNP Definícia kompaktnej množiny Nech(X,. ) je LNP, K X. Množinu K nazývame kompaktnou, ak z každého otvoreného pokrytia vieme vybrat konečné podpokrytie. Definícia sekvenciálne kompaktnej množiny Nech(X,. ) je LNP, K X. Množinu K nazývame sekvenciálne kompaktnou, ak z každej postupnosti {x n } K vieme vybrat konvergentnú podpostupnost {x n k}:x n k x [a,b]. Poznámka: V metrických a teda aj v LNP je množina kompaktná práve ked je sekvenciálne kompaktná. Tvrdenie Heine Borelova veta Nech X =(R n,. p ), p. Množina K X je kompaktná je uzavretá a ohraničená. Poznámka Heine Borelova veta hovorí viac: Ak(X,. ) je LNP s tou vlastnost ou: Každá ohraničená a uzavretá množina je kompaktná, takx je konečnorozmerný. Riešené príklady Príklad. Nech X= C, je priestor spojitých a spojite diferencovatel ných funkcií na intervale,. Definujme f = max x, f(x). Potom(X,. ) je LNP, ktorý nie je úplný. Riešenie. Zoberme priestor C, priestor spojitých funkcií s maximovou normou f = max x, f(x).

20 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Tento priestor je úplný a teda Banachov priestor. Ak f,g C,, tak a.f+ b.g C,, lebo lineárna kombinácia spojite diferencovatel ných funkcií je zase spojite diferencovatel ná funkcia. A tedac, s normou f je LNP. Na dôkaz, že to nie je úplný priestor, zvol me postupnost f n (x)= x +. Ukážeme, n že f n (x) x bodovo x, a dokonca aj rovnomerne na,. Platí x + n x = x + n + x x + n x. x + n + x = n. x + n + x n. Teda f n (x) konverguje v C, s normou. k funkcii x. Ale funkcia x nie je z priestoruc,, a teda tento priestor nie je úplný. Príklad. Nech X= C a,b je priestor spojitých a spojite diferencovatel ných funkcií na a, b. Definujme f = max f(x) + max x a,b x a,b f (x). Potom(X,. ) je LNP, ktorý je úplný. Riešenie. Z predošlého príkladu vieme, že C a,b je LNP. Čo to znamená, že postupnost f n f v(c a,b,. )? Znamená to, že f n f (rovnomerná konvergencia f n k f) a aj f n f (rovnomerná konvergenciaf n kf.) Ďalej vieme, že(c a,b,. ) je úplný Banachov priestor. Zoberme f n l ubovol nú postupnost, ktorá je Cauchyho v.. Teda f n je Cauchyho aj v (C a,b,. ) aj f n je Cauchyho v(c a,b,. ). Z úplnosti(c a,b,. )) dostaneme, že existujeg C a,b,f C a,b taká, že platí f n f, f n g na a,b. Zostáva ukázat, že g = f na a,b. Najprv ukážeme, že platí x ǫ > n h >: n n a h, h < h : f n(x+h) f n (x) h g(x) < ǫ. (.) Použijeme Lagrangeovu vetu o strednej hodnote. Zrejme existujeθ h, θ h h také, že platí f n(x+h) f n (x) g(x) = f n h (x+θ h) g(x) f n (x+θ h) f n (x+θ h ) + f n (x+θ h ) f n (x) + f n (x) g(x) f n f n + f n g + f n (x+θ h ) f n (x). Z predpokladu, že f n g plynie existencian takého, že n n : f n f n < ǫ, f n g < ǫ. Z rovnomernej spojitosti funkcie f n dostáme, že existuje h také, že pre h < h je f n (x+ θ h ) f n (x) < ǫ. Tým pádom sme ukázali (.). Zvol meǫ >,h < h l ubovol né ale pevné a vo vzt ahu (.) uvažujme limitu pren. Dostávame: x ǫ > h, h, h h : f(x+h) f(x) g(x) ǫ. h To ale znamená, že f = g. Príklad 3. Pre nasledujúce podmnožinya R určte množiny Int(A), A aa.

21 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch a) A={( m, n ):m,n Z} b) A=N Q c) A= n= d) A= n= [ n+, n ( B ( n n,n)) ) (,n) Riešenie. a) L ahko vidíme, že Int(A)=, lebo v každom okolí( m, n ),m,n Z sa nachádza aj (i,i ), kdei,i sú iracionálne. Pretože x A, n N y B(x, n ), y AC, platí A A. (B(x, n ) označuje otvorenú gul u so stredomx a polomerom n ) Nechx A A C. Musí teda existovat postupnost x n A,že x n x. Vidíme, že bodx môže byt len typu( n,),(, n ),n N alebo(,). Teda ( ) A=A { n,,n N} {(, ),n N} {(,)} n aa=a A= A. b) Podobne ako v príklade a) vidíme, že Int(A)=,A A. Opät sa pýtajme na body (a,b), pre ktoré (n,q n ) (a,b),q n Q,(a,b) A C. Zrejme sú to body(n,i),n N, a i je iracionálne. Teda A={(n,r),n N,r R}, A=A A= A Príklad 5. c) Príklad 5. d) Obr..: Znázornenie množínazpríkladov 5 c) a d) c) Zrejme Int(A)=A (pozri Obr.. vl avo). Z definície hranice množiny A vyplýva Int(A) A=, teda aj A A=. Čiže A A C.

22 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič kde Ako je možné vidiet z Obr.. B= n= A={(x,),x, } {(,y),y, )} B C, { n,y,y n,n }, C= n= n= { } x,n,x n+, n d) Opät z Obr.. (vpravo) vidíme, že { } Int(A) = IntA n = (x,y), (x n ) +(y n). n A= n= A n (A A ). n 3 Pritom pren 3 dostávame A n = {(x,y), (x n ) +(y n) = n } a (A A ) == {(x,y), (x ) +(y ) =, (x ) +(y ) } {(x,y); (x ) +(y ), (x ) +(y ) } Príklad 4. Rozhodnite, či nasledujúce podmnožiny M R 3 s Euklidovskou normou sú otvorené, uzavreté, ohraničené a či majú hromadné body. a) M= R Q Z b) M= R Q Q c) M= R (,) (,) d) M= N, {} Riešenie. Najprv si všimneme, že vo všetkých prípadoch je M neohraničená množina. a)m nie je otvorená,intm=.m nie je uzavretá, lebo nech napríkladq n,q n Q, (,q n,) (,,), ale(,,) nepatrí dom. Aká je množina hromadných bodov? Vieme, že x je hromadný bod množiny M, ak existuje postupnost (x n ) n= tak, že x n M,x n x,x n x. Teda množina hromadných bodov množiny M jer R Z. b) Úvahami podobnými ako v príklade a) dostaneme, že M nie je otvorená, uzavretá a množina hromadných bodov jer R R. c) M je otvorená, lebo je to kartézsky súčin troch otvorených množín vr. MnožinaM nie je uzavretá, lebo napríklad(,,)=lim n (, n, n ). Množina hromadných bodov jer,,. d)m zrejme nie je otvorená a je uzavretá. Pretože, ak(m n,x n,) (a,b,c), kdem n N, takc=,a N,b,. Množina hromadných bodov množiny M je N, {}.

23 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 3 Príklady na samostatné riešenie. Zistite, ktoré z nasledujúcich podmnožín (R,. ) sú otvorené, uzavreté, obojaké (t. j. súčasne otvorené aj uzavreté), ani otvorené ani uzavreté.. A = { (x,x ) T : x 3, x }. A = { (x,x ) T :(x,x )= ( ) } T m, n, kdem,n N 3. A 3 = { (x,x ) T : sign(x x )= }. Zistite, ktoré z nasledujúcich podmnožín (R 3,. ) sú otvorené, uzavreté, obojaké (t. j. súčasne otvorené aj uzavreté), ani otvorené ani uzavreté.. B = { (x,x,x 3 ) T : x +x =}. B = { (x,x,x 3 ) T : x +x +x 3, x,x,x 3 }.3 Zistite, ktoré z nasledujúcich podmnožín (R N,. ) sú otvorené, uzavreté, obojaké (t. j. súčasne otvorené aj uzavreté), ani otvorené ani uzavreté.. Množina tých bodov, ktoré majú aspoň jednu súradnicu nulovú.. Množina tých bodov, ktoré majú práve jednu súradnicu nulovú..4 Rozhodnite o otvorenosti, resp. uzavretosti množiny A = {f C([, ]): f() = }. v priestore(c([,]),. ),. v priestore(c([,]),. )..5 Nájdite vnútro, hranicu a uzáver množín v (R,. ):. A = { (x,x ) T : x +x <,x }. A = { (x,x ) T : x +x =,x > } 3. A 3 = { (x,x ) T :(x,x )= ( ) } T m, n, kdem,n N.6 Uvažujme priestor(c([,]),. ) a jeho podmnožinu A={f C([,]):f()=f()}. Dokážte, že žiadny jej bod nie je vnútorný.. Nájdite všetky jej hraničné body. 3. Čo je uzáver tejto množiny?

24 4 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič.7 Nech(X,. ) je LNP a nech A je jeho podmnožina. Dokážte, že A je uzavretá práve vtedy, ked A=Ā..8 Nech(X,. ) je LNP a nech A je jeho podmnožina. Dokážte, že hranica množiny A sa zhoduje s hranicou množiny A c..9 NechX= R n,. =. ; kde x = x +...x n. Opíšte hranicu polyedrickej množiny, Ω={x R n,ax b}, kdea-matica typum n,b R m sú dané. Symboloma b rozumieme, že platía i b i pre každý indexi=,...,n.. Ukážte, že l ubovolný prienik uzavretých množín je uzavretá množina a že konečné zjednotenie uzavretých množín je uzavretá. Nájdite príklad nekonečného systému uzavretých množín, ktorých zjednotenie nie je uzavreté. Návod: [ n, n ]=(,) n=3. Zistite, či nasledovné postupnosti konvergujú v(r,. ): x n = ( n, n )T x n = (sinn, n )T x n = (nsin n, n+ )T. V priestore X=(C([a,b]),. ), kde[a,b]=[,] zistite, či nasledovné postupnosti funkcií konvergujú. nx a)f n (x) = n +x b)f n (x) = exp( nx).3 Nech X =(R,. ). Nech postupnost x n je definovaná rekurentne nasledovným predpisom: x =(,) T,..., x n+ = Ax n +b, kdea= (..3.. ) ab=(3,4) T. Zistite, či x n konverguje a nájdite jej limitu..4 Ukážte, že priestorc([a,b]) s normou. je úplný. Pritom f = max x [a,b] f(x).5 Ukážte, že priestorc([a,b]) s normou. nie je úplný. Pritom f = b a f(x) dx

25 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 5 Návod: Zvol te si f n (x) = ak x [, n ], f n (x) = nx+( n) ak x [ n,], f n (x) = ak x [,], Ukážte, žef n je Cauchyovská a teda, ak by bol priestorc([,]) s normou. úplný, muselo by existovat f C([,]), a f n f. Ukážte, že potom f=na[,] a f=na[,], čo je spor so spojitost ou..6 Zistite, či nasledujúce postupnosti v (R,. ) konvergujú. Ak áno, vypočítajte limitu. ( ). x n = ( ) n T n,( )n n. y n = ( n n, n n ) T ( (+ 3. z n ) ) n, T n+ = n n +4.7 Dokážte, že postupnost funkcií zc([,π]) nemá limitu v priestore(c([,π]),. )..8 Nájdite limitu postupnosti v priestore(c([,]),. ). f n (x)=sin n x, x [,π] f n (x)= x + n, x [,].9 Zistite, či postupnost funkcií f n (x)=e n x, x [,], konverguje v priestore(c([,]),. ), v priestore(c([,]),. ). V tých prípadoch, ked konverguje, nájdite limitu.. Uvažujme nasledovnú postupnost funkcií z C([,]): { ) (x f n n (x (x)= 6 ) [ ] n+ n, ak x n+, n inak. Dokážte, že táto postupnost bodovo konverguje k identicky nulovej funkcii. (Návod: Akx > n, takf n (x)= pren n ). Dokážte, že nekonverguje v priestore(c([,]),. ). 3. Dokážte, že nekonverguje ani v priestore(c([,]),. ).

26 6 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič. Nech(X,. ) je LNP a nech {x n },{y n } sú postupnosti vx také, že lim n xn = x, lim n yn = y. Dokážte, že potom (Návod: Použite nerovnost lim n xn y n = x y. a b c d a c + b d príklad (.8) ). Nech(X,. p ) je LNP,X= R N. Ukážte, že množiny O = {x R N, a i x i >} a O = {x R N,x i >, pre i=,,...n} sú otvorené v(r N,. p )..3 Nech(X,. ) je LNP. Dokážte, že B r (x)={y X, y x r} je uzavretá v(x,. ). Kompaktné množiny.4 Ktoré z nasledujúcich množín sú kompaktné v (R 3,. )?. A = { (x,x,x 3 ) T : x +x =}. A = { (x,x,x 3 ) T : x +x +3x 3, x,x,x 3 > } 3. A 3 = { (x,x,x 3 ) T : x +x +x 3 =, x +x +x 3 9}.5 Dokážte, že množina {f C([,]):f()=} nie je kompaktná v priestore(c([,]),. )..6 Dokážte, že množina nie je kompaktná v priestore(c([,]),. ). {f C([,]):f(x) >pre všetkyx [,]}.7 Nech(X,. ) je LNP a nech A,...,A k sú kompaktné podmnožiny X. Dokážte, že potom aj ich zjednotenie je kompaktná množina. Dokážte, že zjednotenie nekonečného počtu kompaktných množín nemusí byt kompaktná množina..8 Dokážte, že v l ubovol nom LNP ak je množina kompaktná, tak je uzavretá a ohraničená..9 Ukážte, že v(r n,. p ) je jednotková sféras= {x R n, x p= =} kompaktná. Návod: stačí ukázat uzavretost a ohraničenost.

27 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 7.3 Ukážte, že v(r n,. p ) je simplex M= {x R N ;x i,i=,,...n, kdea i,b i >sú dané konštanty, kompaktná množina. N a i x i b},.3 Ukážte, že Heine-Borelova veta neplatí vo všeobecnosti v prípade nekonečne rozmerného LNP. Ako príklad uvažujte i= C [,](= C[,] s f =max s [,] f(s) a množinu K= {f X; f(x) ; x [,]}. Návod: Ukážete, že množina K je uzavretá a ohraničená, ale nie je kompaktná. Zvolte postupnost f n C [,]tak, že f n (x) = prex > n f n (x) = prex < n+ f n (x) = n(n+)x n prex [ n+, n ] Dá sa ukázat, že f n f m = akn m a teda sa nedá vybrat konvergentná podpostupnost.

28 8 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Niektoré aplikácie získaných poznatkov Leontievov vstupno-výstupný model Úloha: V ekonomike sa nachádza N producentov rôznych statkov. Medzi jednotlivými producentmi existujú dodávatel sko - odberatel ské vzt ahy. Ak ich vyjadríme v Eurovom vyjadrení tak, j-ty výrobca potrebuje na výrobu Euro svojho výrobku j od dodávatel a i celkovo a ij Euro jeho výrobku. To znamená, že vždy platí a ij. Z dôvodu ekonomickej efektívnosti musí zároveň platit N i= a ij <, pretože inak by j-ty výrobca na výrobu Euro svojho výrobku spotreboval viac Euro na vstupe. Ked že výroba musí byt ekonomicky efektívna pre každého výrobcu musí platit podmienka ekonomickej efektivity výroby θ:= max j=,...,n N a ij <. Úloha: Našou úlohou je nájst ekonomicky vyváženú produkciu, t. j. vektor produkcie (x,x,...,x N ) T, kdex i je počet kusov výrobkovi-teho výrobcu. Bilancia požiadaviek na výrobky. Prvý výrobca plánuje vyrábat x kusov svojho výrobku v jednotkovej cene Euro. Druhý výrobca požaduje a x Euro dodávky výrobku i= na výrobu x kusov výrobku j=. To znamená, že celková požiadavka na výrobky prvého výrobcu i= bude N j= a ijx j +d i, kded i je celková požiadavka na výrobok i = od spotrebitel ov v ekonomike reprezentovanými domácnost ami. To znamená, že musí platit ekonomická rovnováha pre ponuku a celkový dopyt x i = i= N a ij x j +d i j= pre každé i=,...,n. V maticovom tvare potom túto rovnováhu môžeme vyjadrit ako x=ax+d kde hl adaný je vektor produkciex=(x,x,...,x N ) T R N, pričom produkčná matica A=(a ij ) i,j=,...,n ako aj vektor spotreby domácností d=(d,d,...,d N ) T R N sa považuje za známy. Hoci sa riešenie x dá nájst vyriešením sústavy rovníc(i A)x=dateda x =(I A) d, tak je zaujímavé, že toto riešenie môžeme získat aj ako limitu vr N rekurentne definovanej postupnosti{x n }, kde x n+ = f(x n ), f(x):= Ax+d. Ekonomická interpretácia tejto postupnosti je pritom zrejmá:x n R N je stav produkcie v čase n. V čase n+ sa ponuka produkciex n+ R n+ prispôsobí dopytu z času n. Funkcia f: R N R N zrejme zobrazuje množinu nezáporných vektorov M= {x R N, i : x i } do seba. To je dôsledkom nezápornosti dopytového vektora d a koeficientova ij.

29 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 9 x x n n x n Obr..: Priebeh postupnosti jednotlivých výrobx n,xn,xn 3 ako funkcia času n Kontraktívnost : Ako samostatné cvičenie ukážte, že toto zobrazenie f je Kontraktívne na množine M úplného LNP(R N,. ), t. j. jeho norma je definovaná ako x = N i= x i. Ukážte zároveň, že konštanta kontraktívnosti je práve hodnota θ, ktorá je menšia ako práve vd aka podmienke ekonomickej efektívnosti výroby. Na obrázku. je znázornený priebeh postupnosti jednotlivých výrob x n,xn,xn 3 v prípade, že.7. A=.5.7 d=.3. 3 Vidíme, že postupnost konverguje k hodnote vektoru 6. x = pričom konvergencia má osilatorický charakter, ktorý je podobný oscilatorickému hl adaniu trhovej hodnoty produkcie, ktorú môžeme pozorovat aj na reálnych trhových prípadoch.

30 Kapitola 3 Spojitost funkcií v LNP Limity funkcií, definícia spojitosti funkcie v LNP Extremálne vlastnosti spojitých funkcií na kompaktných a súvislých podmnožinách Vzt ah násobných limít a limity funkcie viac premenných Grafické znázorňovanie priebehu funkcie viac premenných 3

31 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 3 Dôležité pojmy a tvrdenia Banachova veta o pevnom bode. Nech(X,. ) je úplný LNP(t. j. Banachov), nech M X je uzavretá. Nech f: M M je kontraktívna, t. j. θ, < φ < ( konštanta kontrakcie): x,y M: f(x) f(y) θ x y. Potom pre l ubovol né štartovacie x M postupnost {x n } definovaná x n+ = f(x n ) je konvergentná,x n x M, kdex je pevný bod f, t. j. x = f(x ). Naviac x x n θn θ x x ax je jediný pevný bodf nam. Definícia hromadného bodu. Bod x sa nazýva hromadný bod definičného oboru D(f), ak v každom okolí boduxsa nachádza aspoň bod zd(f) rôzny odx. Definícia limity. Nechxje hromadný bodd(f), kdef je funkciaf: X Y, a X, Y sú LNP. Hovoríme, že φ je limita f(x) pre x x (píšeme φ=lim x x f(x) ak ǫ > δ > x D(f): Ak < x x X < δ tak f(x) φ Y < ǫ. Heineho definícia limity nástroj na výpočet limít lim x x f(x)=φ Ak pre postupnost {x n } D(f)} takú, žex n x pren mámef(x n ) φ pren. Vlastnosti limity. Nech X, Y sú LNP.. Nechf: D(f) X Y ako ajg: D(g) X Y a a Potom. Akα R(C) je skalár, lim x x f(x)=φ f lim x x g(x)=φ g lim x x f(x)+g(x)=φ g +φ f. lim x x α.f(x)=α.lim x x f(x). Definícia spojitosti. Nech f: D(f) X Y je funkcia, D(f) je jej definičný obor. Nech (X,. X ) a(y,. Y ) sú LNP. Nechx D(f). Hovoríme, že f je spojitá vxak Landauova O symbolika lim x x f(x)=f(x).

32 3 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Definícia O(g(x)). Hovoríme, že funkcia f : D(f) R R je O(g(x)) pre x x, kde g: D(f) R R, pokial existujec > a okolieb ǫ (x) také, že: f(x) C g(x) prex B ǫ (x) D(f) a píšeme prex x. f(x)=o(g(x) Definícia o(g(x)). Hovoríme, že funkcia f: D(f) R R je malé o(g(x)) pre x x, kde g: D(f) R R, pokial Píšemef(x)=o(g(x)) prex x. f(x) lim x x g(x) =. Tvrdenie. Nech f: D(f) X Y je funkcia, D(f) je jej definičný obor. Nech(X,. X ) a(y,. Y ) sú LNP. Potomf je spojitá v hromadnom bodexdefiničného oborud(f),pokial existuje funkcia g: R R + taká, že t. j f(x+h) f(x) Y = O(g(h)) pre h. lim g(h)=, h Grafické zobrazenia funkcií viac premenných Grafické zobrazenie funkcief(x,x )= x +x Grafické zobrazenie sedlovej funkcie f(x,x )=x x a jej úrovňových množín

33 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch Grafické zobrazenie nespojitej funkcie f(x,x )=(x x )/(x +x ) v bode(,) a jej úrovňových množín Grafické zobrazenie nespojitej skrutkovitej funkcie { arctan(x /x f(x,x )= ) x > π+arctan(x /x ) x < v bode(,) a jej úrovňových množín

34 34 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Grafické zobrazenie spojitej vlnovodovej funkcie f(x,x )= sin( x +x ) x +x a jej úrovňových množín Grafické zobrazenie nespojitej funkcie f(x,x )= sin(x x ) x x v bode(,) a jej úrovňových množín Grafické zobrazenie nespojitej funkcief(x,x )=(x +x )sin(/x )sin(/x ) v bode (,) a jej úrovňových množín

35 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 35 Grafické zobrazenie spojitej vlnitej funkcie f(x,x )= x cos(x ) a jej úrovňových množín Riešené príklady Príklad. Riešenie implicitnej rovnice. Aplikácie Banachovej vety o pevnom bode Úloha: nájdite riešenie transcendentnej rovnicecos(x)=x. Riešenie: Funkciaf(x)=cos(x) zobrazuje intervalm=[,] do seba. Naviac je na ňom kontraktívna, pričom cos(x) cos(y) L x y, kdel=sin(.).844 <. Podl a Banachovej vety o pevnom bode rekurentne definovaná postupnost x n+ =cos(x n ) konverguje k jedinému pevnému bodux =lim n x n Číselné vyjadrenie prvých dvadsiatich členov postupnosti x =, x =, x 3 =,543, x 4 =,857553, x 5 =,6549, x 6 =,79348, x 7 =,7369, x 8 =,76396, x 9 =,7, x =,7548, x =,7344, x =,74437, x 3 =,73565, x 4 =,7445, x 5 =,73757, x 6 =,7447, x 7 =,738369, x 8 =,739567, x 9 =,73876, x =,73934 Grafické zobrazenie funkcií y= x,y= f(x) ako aj postupnosti{x n } je na obrázku 3. Príklad. Riešenie implicitnej rovnice. Úloha: nájdite riešenie transcendentnej rovnice 3 x+ = x. Riešenie: Funkcia f(x) = 3 je klesajúca na každom intervale M = [a,], kde x+ < a <. Stačí preto nájst < a < tak, aby platilo f(a) a f() a. Zrejme

36 36 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič..8 f x f x x x Obr. 3.: Priebeh funkcií y = x,y = f(x) ako aj postupnosti {x n }. Vl avo: f(x)=cosx, vpravo: f(x)= 3 x+. hodnota a = f() = /4 vyhovuje obom nerovnostiam. Funkcia f je na intervale M =[a, ] kontraktívna. Skutočne, podl a Lagrangeovej vety o strednej hodnote máme f(x) f(y) = f (ξ) x y L x y, pre každéx,y [a,], kdel=max ξ [a,] f (ξ). Ked že funkciaf je zároveň konvexná a klesajúca nam=[a,] (overte), tak maximum absolútnej hodnoty f (ξ) sa nadobúda v bode a=/4. Výpočtom zistíme, že f (a) = (3/)a / /(3 a+) =/5. Teda L /5 < a zobrazenie f je Kontraktívne na M=[a,]. Podl a Banachovej vety o pevnom bode rekurentne definovaná postupnost x n+ = f(x n ),x [a,], konverguje k jedinému pevnému bodux =lim n x n Grafické zobrazenie funkcií y= x,y= f(x) ako aj postupnosti{x n } je na obrázku 3. Príklad 3. Nech(X,. ) je LNP a nech funkcia f: X R je definovaná pomocou Dokážte, že f je rovnomerne spojitá na X. f(x)= x + x. Riešenie. Najprv ukážeme, že f je Lipschitzovsky spojitá a teda aj rovnomerne spojitá. Počítajme: f(x) f(y) = x + x y + y = x y (+ x )(+ y ) x y, čo sme chceli ukázat. Príklad 4. a) Je funkcia f(x,y)= x +y rovnomerne spojitá vr? Dokážte svoje tvrdenie. b) Je funkciaf(x,x,...x n )=(x p +xp +...xp n) p rovnomerne spojitá vr n pre < p <? Svoje tvrdenie zdôvodnite. Riešenie.

37 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 37 a) Počítajme f(x,y ) f(x,y ) = x +y x +y = x +y x y x +y + x +y x = x x ( x +y + x +y + x x +y + x +y ) y + y y ( x +y + x +y + y x +y + x +y ) x x + y y = x y. Z ekvivalentnosti noriem nar vyplýva aj rovnomerná spojitost. b) Treba si uvedomit,že f(x,x,...x n )= (x,x,...x n ) p. Ked že pre X l ubovol ný lineárny normovaný priestor a x,y X x y x y, čo vlastne dokazuje že každá norma je ako funkcia nax LNP rovnomerne spojitá. To vlastne vysvetl uje aj príklad a) jednoduchším spôsobom. AkX je LNP s normou., takf(x)= x je spojitá a dokonca rovnomerne spojitá na celomx. Príklad 5. Nech(X,. ) je Banachov priestor, nech M je jeho uzavretá podmnožina a nech f: M M. Nech existuje také celé číslop >, žep-krát iterované zobrazenief p je kontrakcia nam. Potomf má nam práve jeden pevný bod. Riešenie. Akf má nam pevný bod, tak je aj pevným bodom zobrazenia g= f p. Označme g=f p,g: M M. Ked že g má podl a Banachovej vety o pevnom bode práve jeden pevný bod na M, stačí ukázat, že pevný bod funkcie g=f p je aj pevný bod funkcie f. Označme tento pevný bod x. Tedag(x )=x. Nech sporomx nie je pevný bod funkcie f, t.j Potom x f(x ). < f(x ) x = f(g(x )) g(x ) = g(f(x )) g(x ) K f(x ) x < f(x ) x. Čiže f(x ) x < f(x ) x a to je spor. Všimnime si, že zobrazenief môže byt aj nespojité, aj ked f je kontrakcia (a teda spojité zobrazenie). Ako príklad zvol me X =, a definujme f(x)={ 4, x 3 4, 3 4 < x. Potomf(f(x))= 4 pre všetky x, takže f je kontrakcia. Príklady na samostatné riešenie

38 38 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič 3. Dokážte, že rovnica x= +lnx má pre x práve jedno riešenie. 3. Dokážte, že rovnica x= sinx+ 3 cosx má práve jedno riešeniex R. 3.3 Nájdite približné riešenie rovníc z príkladov, s presnost ou Dokážte, že postupnost x =, x n+ = +x n konverguje a nájdite jej limitu. 3.5 Dokážte, že sústava rovníc 3x=+sin(x+y) 4y= x+cos(x y) má práve jedno riešenie. 3.6 Pomocou Banachovej vety o pevnom bode ukážte, že existuje jediné riešenie rovnice exp( x )=x,x R. Nájdite jeho približnú hodnotu. 3.7 Pomocou Banachovej vety o pevnom bode ukážte, že existuje jediné riešenie rovnice exp( x)=x. Nájdite jeho približnú hodnotu Návod: Akxje riešenie danej rovnice, takx [e,] NechTx=e x. Zostrojteε e. Ukážte, že T([ε, ]) [ε, ]. Ukážte, že sú splnené podmienky Banachovej vety. 3.8 Pomocou Banachovej vety ukážte, že existuje jediná spojitá funkcia x=x(t);t [t,t +δ], kdet,,δ dané, ktorá pre každét [t,t +δ] vyhovuje integrálnej rovnici: t x(t)=α+ f(s,x(s))ds; t kdeα R je dané. Pritomf: R R je daná spojitá funkcia v oboch premenných, pre ktorú L >,Lδ <, také, že f(s,x) f(s,y) L x y s [t,t +δ] x,y R. Návod:X= C([t,t +δ]) a overte predpoklady Banachovej vety. 3.9 Ukážte, že postupnost {x n } definovaná predpisom x n+ = ( x n + 3 ), x =, x n celá leží v intervale[,] a konverguje. Nájditelim n x n. 3. Daná je funkcia z= f(x,y). Vypočítajtef(, ),f(,), ak:

39 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 39 a) f(x,y)= x y+y+ b) f(x,y)=arcsin(x+y). 3. Nájdite definičné obory daných funkcií z = f(x, y) resp. u = f(x, y, z) a znázornite ich vr resp.r 3, ak: a) f(x,y)=, r > b) f(x,y)= x y, a > b > r x y a b c) f(x,y)=ln(y 4x+8) d) f(x,y)= x.siny e)f(x,y)= ( x )( y ) f) f(x,y)=lnx lnsiny g)f(x,y)=arcsin y x h)f(x,y)=lnxy+πy x y i) f(x,y)=ln(9 x y )+ +arcsin y x +y x j) f(x,y,z)= x y + z k)f(x,y,z)=lnxyz, l) f(x,y,z)= 4 x y z. 3. Aké druhy kriviek sú rezy grafov daných funkcií z = f(x, y) rovinami rovnobežnými so súradnicovými rovinami R xz,r yz? a) f(x,y)=x y b) f(x,y)=xy. 3.3 Nájdite vrstevnice na grafoch funkcií z= f(x,y): a) f(x,y)= x y b) f(x,y)=3x +y c) f(x,y)=xy 3.4 Načrtnite grafy funkcií: a) z= x y b) z= x y+ c) z=4x +9y d)z= x y e)z=4 x y f) z= x y g)z= x +y h)z= y 3.5 V nasledujúcich príkladoch vypočítajte limity.lim x y 3.lim x y 5.lim x y 7. lim x y 9. lim x y. lim x y. lim x y (x +y+)..lim x y x +y x +y +. 4.lim x y a cos(x +y ) (x +y )x y. 6.lim x 4 y x+y x +y. ( xy x +y x 3 +y 3 x +y. (+xy) 3.6 Zistite, či existuje: xy x +y. a)lim x y ) x x +xy. 4 xy. xy sinxy x. tg xy. y 8. lim(x +y )e (x+y). x y (.. lim x +y ) x y. x y b)lim x y 3lim x y sinxy x +y. e x +y x 4 +y Dokážte, že nasledujúce limity neexistujú:

40 4 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič x +xy+y a)lim x x xy+y. y c)lim x y ln(x+y) y b)lim sin x y x y x +y.. d) lim x y x y x 4 +y. 3.8 Dokážte, že funkcia f(x,y)=(x+y)sin x sin y je nekonečne malá v bode(,). 3.9 Vypočítajte dvojnásobné limity( lim x x lim y y f(x,y) a lim y y lim x x f(x,y)): a) f(x,y)= x y x+y vx =,y =. b) f(x,y)= x +xy+y x xy+y vx =,y =. c) f(x,y)= cosx cosy x +y vx =,y =. d)f(x,y)= x +y x +y 4 vx =,y =. 3. Ukážte, že pre funkciu f(x, y) = ale lim f(x, y) neexistuje. x y 3. Ukážte, že lim x lim y x +y +(x y) 4 neexistuje. x y x y +(x y) platí: lim lim f(x,y)=limlim f(x,y)=, x y y x x +y +(x y) 4 = lim y lim x x +y +(x y) 4, ale lim x y 3. Zistite, či existujú dvojnásobné limity funkciif(x,y)=(x+y)sin x sin y v bode(,). 3.3 Nájdite body nespojitosti funkcií:. f(x,y)= x y x 3 y.. f(x,y)= 3 x +y. 3. f(x,y)=ln(4 x y ). 4. f(x,y)=sin x y. 5. f(x,y)= sinx.siny xy. 6. f(x,y,z)= 7. f(x,y,z)= 3.4 Dokážte, že funkcia y (x ) +(y ) +(z+). f(x,y)= x +y z. { xy x +y, x +y, x +y = je spojitá v bode(,) vzhl adom na každú premennú zvlášt, ale nie je spojitá vzhl adom k obidvom premenným. 3.5 Zistite, či je funkcia f(x,y)= { cos(x y) cos(x+y) xy, xy, xy= v bode(,) a v bode(,) spojitá vzhl adom na každú premennú zvlášt a spojitá v týchto bodoch vzhl adom k obidvom premenným. 3.6 Dokážte, že f(x,y)= x y x 4 +y 4 akx +y, f(x,y)= ak x +y =

41 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 4 nie je spojitá v[, ], ale je spojitá pozdĺž každého lúča x = t. cos α, y = t. sin α. Návod: Na nespojitost v[,] stačí vziat ) y= x, ) y= x. 3.7 Pre akú hodnotuc je funkcia { 3x+4y z+5, x,y,z f(x,y,z)= c, x=,y=,z= v bode(,, ) spojitá? 3.8 Dokážte, že ak je na množinem funkciaf(x,y) spojitá vzhl adom na každú premennú zvlášt a monotónna vzhl adom na jednu z premenných, potom je funkcia f(x,y) spojitá na množine M. 3.9 Dokážte, že ak na množine M je funkcia f(x,y) spojitá vzhl adom na premennú x a spĺňa Lipschitzovu podmienku vzhl adom nay t. j. f(x,y ) f(x,y ) L. y y, pričom (x,y ),(x,y ) M a L je konštanta, potom je funkcia f(x,y) spojitá na množine M. Dokážte, že nasledujúce funkcie sú ohraničené na daných množinách a nájdite ich maximum a minimum, ak existujú: 3.3 f(x,y)= x6 +y 6 x +y,m= {(x,y) R :<x +y 9}. 3.3 f(x,y)=xye xy,m= {(x,y) R : x,y }. 3.3 Dokážte, že funkcia f(x,y)=x+y+3 je rovnomerne spojitá v celej rovine R Ako treba zmenit definíciu funkcie f(x,y)= x3 +y 3 x +y, aby bola rovnomerne spojitá na množine M= {(x,y) R :<x +y }? 3.34 Zistite, či funkcia f(x,y)=arcsin x y je rovnomerne spojitá na svojom obore definície. Zistite, či nasledujúce funkcie sú rovnomerne spojité na uvedených množinách: 3.35 f(x,y)=sin π x y,m= {(x,y) R,x +y <} f(x,y)=x +y,m= {(x,y) R,x +y } f(x,y)=x 3 y 3,M= {(x,y) R, x, y } f(x,y)= x +y,m= R.

42 Kapitola 4 Diferencovatel nost funkcií viac premenných Parciálne derivácie funkcií viac premenných a ich geometrická interpretácia Parciálne derivácie vyšších rádov, zamenitel nost poradia diferencovania Derivácia funkcie viac premenných a jej geometrická interpretácia Vzt ah derivácie funkcie a jej parciálnych derivácii, Jacobiho matica Derivácia zloženej funkcie Derivácie vyšších rádov 4

43 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 43 Dôležité pojmy a tvrdenia Definícia. Nech f : D(f) X Y je funkcia, nech x D(f) je hromadný bod. Nech (X,. X ) a(y,. Y ) sú LNP. Hovoríme, že lineárne zobrazenie L:X Y je deriváciou funkcie f v bodexak f(x+h) f(x) Lh Y lim =,h X. h h X Inak povedané f(x+h) f(x) Lh Y = o( h X ) pre h X. Tvrdenie. Akf má deriváciu L, takl:x Y je jediná. Definícia parciálnej derivácie. Nech f: D(f) R N R. Hovoríme, že f má v bode x D(f) parciálnu deriváciu podl ax j ak f(x,x,...,x j +ǫ,...,x N ) f(x,x,...,x j,...,x N ) lim = f (x). ǫ ǫ x j Definícia totálneho diferenciálu. Výraz: Nech f: D(f) R N R má deriváciu v x D(f). df(x)= f x (x)dx + f x (x)dx +... f x N (x)dx N nazývame totálny (úplný) diferenciál funkcie f v bodex. Definícia Jacobiho matice. Ak f : D(f) R N R M má deriváciu v x D(f). Potom Jacobiho matica je f f x (x) f x (x)... x N (x) f f f x (x) f x (x)... x N (x) (x)= f M f x (x) M f x (x)... M x N (x) Tvrdenie. (postačujúca podmienka existencie derivácie) Nechf: D(f) R N R M a nech x D(f) a nech existujú parciálne derivácie f i x j (x) prex O(x); kdeo(x) je nejaké okolie D(f) bodu x. Naviac predpokladajme, že funkcie R N O(x) x f i x j (x) R,i=,,...M;j=,,...,N sú spojité. Potom f (x) a rovná sa Jacobiho matici. Poznámka. okolí. Existencia parciálnych derivácií sa vyžaduje nielen v x,ale na nejakom jeho Tvrdenie o derivovaní zloženého zobrazenia. Nech g:d(g) R N R K je diferencovatel ná v bode x D(g). Nech f: D(f) R K R M je diferencovatel ná v bode y=g(x). Potom zložené zobrazenie F(x) = f(g(x))je diferencovatel né v bode x a platí ret azové pravidlo F (x)=f (g(x)).g (x).

44 44 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Pritom F (x) je reprezentované Jacobiho maticou M N, f (g(x)) maticou M K a g (x maticou K N. Definícia druhej derivácie. Nech f : Ω R N R je diferencovatel né zobrazenie( t. j. x Ω f (x)). Hovoríme, že f má druhú deriváciu v bode x Ω ak zobrazenie g(x):= f (x) T,g:Ω R N R N má deriváciu vx. Druhú deriváciu označujemef (x), kde f (x) je N N matica, f (x)=g (x). Definícia druhej derivácie. (všeobecný prípad) Nechf:Ω R N R M je diferencovatel né zobrazenie vω. Nechg(x)=f (x),g:ω R N R MN je diferencovatel né vx Ω.) Potom hovoríme, že f má druhú deriváciu f (x)=g (x) a je reprezentovaná maticou MN N. Označenie. Nechf:Ω R N R. Nech f (x)=( f x (x), f f x (x),..., x N (x)) pre x Ω. Potom označujeme ( ) f (x) f (x). x j x i x j x i Tvrdenie. Akf:Ω R N R má druhú deriváciu f (x) v bodex, tak f x x (x) f x x (x)... f x x N (x) f (x)=. f x x N (x). f x x N (x).... f x N x N (x) Tvrdenie. (postačujúca podmienka existencie druhej derivácie a zamenitel nost derivácií) Nechf:Ω R N R. Nech f x i x j (x) pre i=,,...n a j=,,...n a nech sú to spojité funkcie v bodex Ω. Potomf má. deriváciu vx, ( f ) f (x)= (x) i,j=,,...n x j x i a naviac Hessova matica f (x) je symetrická, t. j. Príklad. i,j=,,...n: f (x)= f (x). x i x j x j x i Riešené príklady Nechx R n,r= x = x +x +...x n. Nech je Laplaceov operátor. Teda f= f x + f x f x. n NechΦ C (R) je funkcia so spojitou druhou deriváciou. Ukážte, že ak tak platí u(x)=φ( x ), u=φ ( x )+ n Φ ( x ). r Vypočítajte u pre x a pre funkcie

45 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 45 a) Φ(r)=r α, b) Φ(r)= r eαr, c) Φ(r)= r cosαr, d)φ(r)= r sinαr, pričom α. Pre ktoréλ R platí, že u=λu? Riešenie. Zrejme u x i =Φ ( x ) r x i, u x i =Φ ( x ) r r +Φ ( x ) r x i x i x i. Ďalej platí r x i = x i, x +x +...x n r x i = x +x +...x n x i x +x +...x n x +x +...x n = r x i r 3. Tým pádom dostávame u = n u =Φ (r) x i= i n i= = Φ (r)+φ (r) n. r ( r x i ) +Φ (r) n r =Φ (r) x i= i a) AkΦ(r)=r α, takφ (r)=αr α,φ (r)=α(α )r α, a n i= x i r +Φ (r) r α = α(α )r α + n α.r α = αr α (α+n ). r Vidíme, že aku=r n, tak u=. b) NechΦ(r)= r eαr. Teda Dostávame Φ (r)= r eαr + r αeαr = e αr ( r + α r ), Φ (r)= eαr r (α + r α r ). ( r eαr ) = eαr r (α + r α r n )+ e αr ( r r + α r ) = eαr r (α + α r (n 3) r (n 3)) Vidíme, že ak n=3, tak u=α u, preu= r eαr. c) NechΦ(r)= cosαr r. Potom a Φ (r)= α sinαr r Φ (r)= α cosαr r cosαr r + α r sinαr+ r 3cosαr. n i= r x i r 3

46 46 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Dostávame u=φ + n Φ = α cosαr + α r r r sinαr+ r n 3cosαr+ r = cosαr (α + n 3 r r )+ sinαr r α(3 n). Opät, ak n=3, tak u= α u. d) NechΦ(r)= sinαr r. Podobne ako v c) dostaneme: sinαr r Opät akn=3, tak u= α u. Príklad. a) Pre(x,y) (,) = sinαr (α + n 3 r r )+ cosαr r α(n 3). ( α sinαr r Nechf(x,y)= xy x +y pre(x,y) (,) a af(,)=. Dokážte, že f=( f x, f y )=(y(y x ) (x +y ), x(x y ) (x +y ) ). b) Ukážte, že f(,)=(,) a teda funkciaf má parciálne derivácie nar. c) Jednakof nie je nar spojitá. cosαr r )= Riešenie. a) Dostaneme priamo derivovaním. b) f x (,)=lim f(h,) f(,) f(h,) =lim =. h h h h Analogicky dostaneme, že f y (,)=. Teda f(,)=(,). c) Funkciaf nie je v bode(,) spojitá, lebo lim x,y xy x +y neexistuje. Dostaneme to vypočítaním limít po rôznych lúčoch, napr. ) x=,y= t,t vtedy lim f(t,)= t a ) x=t,y= t,t, t limf(t,t)= t t =. Teda limita lim f(x,y) neexistuje. (x,y) (,) Príklad 3. Ukážte, že Nech funkciaf: R R je pre(x,y) (,) daná vzt ahom f(x,y)= xy3 x +y,f(,)=.

47 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 47 a) f je spojitá, b) pre(x,y) (,) je f(x,y)=( y3 (y x ) (x +y ), xy (3x +y ) (x +y ) ), c) x,y R:f x (,y)=ya x,y R:f y (x,)=, d) x,y R:f xy (,)=,f yx (,)=. Riešenie. a) funkcia f je pre body(x, y) (, ) spojitá. Ked že lim (x,y) (,) je funkciaf spojitá. b) dostaneme parciálnym derivovaním. c) počítajme pre l ubovol né y: Počítajme pre l ubovol né x: xy 3 x +y = f(h,y) f(,y) hy 3 f x (,y)=lim =lim h h h (h +y )h = y. f(x,h) f(x,) xh 3 f y (x,)=lim =lim h h h (x +h )h =lim h x h x +h =. d) počítajme pre l ubovol né y: f xy (,y)= y Počítajme pre l ubovol né x: f x f(,y)=lim f x (,y+h) f x (,y) y+h h =lim =. h h h h f yx (x,)= x f y f(x,)=lim f y (x+h,) f y (x,) =lim =. h h h h Tedaf xy (,)=,f yx (,)=. Príklad 4. NechB r = {x R n, x < r}. Označme B r = B r {}. Nech existujúd p u(x), prex B r a p k. Nech existujú limity pre p k. α p =lim x D p u(x) a) Ukážte, že u sa dá rozšírit nab r pomocouu()=α ako spojitá funkcia. b) Ukážte, že u C k (B r ) a D p u()=α p.

48 48 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Riešenie. a) Samozrejme, a vyplýva z definície spojitosti funkcie. b) Zrejmepje n-rozmerný vektor, ktorý označuje podl a ktorej premennej kol kokrát derivujeme. Pre jednoduchost to dokážeme v prípade, ak derivujeme podl a prvej premennej. Teda p=(,,,). Teraz počítajme u(h,,,) u() u x ()=lim. h h Ked že u je spojitá a má parciálne derivácie v B r, tak potom funkcia g(s)=u(s,,...,) spĺňa predpoklady Lagrangeovej vety o strednej hodnote. Počítajme u(h,,,) u() u x ()=lim =lim D x (θ h h,,,)=α h h (,,,). h Pritom < θ h <, podl a Lagrangeovej vety o strednej hodnote. Rovnako by sme postupovali pre p, p = podl a každej premennej. Pod p chápeme súčet zložiek (resp. rád derivácie.) Pre p také, že p >, postupujeme matematickou indukciou vzhl adom na k= p. Každá derivácia je prvou deriváciou funkcie (deriváciek rádu) o ktorej sme to už z indukčného predpokladu platí. Pre prvú deriváciu sme to už dokázali. To znamená, že uvedené tvrdenie platí. Príklad 5. Nech je daná funkcia u(x,y)= r sin(x3 +y 4 ), kde r= x +y pre r, u(,)=. Spočítajte gradient funkcie. Je funkcia u v bode (, ) diferencovatel ná? Riešenie. Najprv zistíme, či je funkcia v bode(,) spojitá. Počítajme lim u(x,y) = lim (x,y) (,) (x,y) (,) x +y sin(x3 +y 4 )= lim (x,y) (,) sin(x 3 +y 4 )(x 3 +y 4 ) (x 3 +y 4 ) (x +y ) sin(x 3 +y 4 ) = lim (x,y) (,) (x 3 +y 4 ).(x. x y x +y +y x +y )=.(+)==u(). Tedauje spojitá nar. Teraz počítajme parciálne derivácie. Pre(x,y) (,) platí: u x = x r 4sin(x3 +y 4 )+ 3x r cos(x3 +y 4 ), u y = y r 4sin(x3 +y 4 )+ 4y3 r cos(x3 +y 4 ) u x (,)=lim u(x,) u(,,) x x u y (,)=lim u(,h) u(,,) h h sinh 3 =lim h h 3 =, =lim h u(,h) h sinh 4 =lim h h 3 =. Teraz, ak by funkcia u bola v bode(,) diferencovatel ná, muselo by platit, že u(x,y) u(,) u x (,)x u y (,)y lim (x,y) (,) r =.

49 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 49 Ale to zrejme neplatí, pretože stačí zvolit x=y. Potom by totiž muselo, ked to dosadíme do predošlej limity platit u(x,x) x lim =. x x Teda by muselo platit, že u(x,x) x lim x x sin(x 3 +x 4 ) x x = lim sin(x 3 +x 4 ) =lim x x x x 3 sin(x 3 +x 4 ) = lim x (x 3 +x 4 ) (x 3 +x 4 ) x 3 = =, čo je spor. Teda naša funkcia nie je v bode(,) diferencovatel ná. 4. Nájdite parciálne derivácie podl axay: a) z= e x x+y cos(xy) b) z= x +y + c) z=ln x +y xy d) z= x +y Príklady na samostatné riešenie e)z= e (x+y) g)z= ( x y+y ) 4 i) z=arctg x y h)z= xye xy f) z=sin(x+y)cos(x y) h)z= ytg(xy) xy j) z=ln x +y l) z= x+y x y m) z=ln(x +y ) n)z=lntg x y ( xy o) z= x y p) z= x +y ) x 4.. Nájdite parciálne derivácie podl a x, y a z: a) u=x 3 yz b) u= ( ax +by +cz ) n c) u=arcsin xy d) u=e x +y +z z e)u=cos(xy).arctg(xz) f) u=zln y ( ) x x z g)u=e xyz sinxcosy h)u= y i) u=x y/z. 4.3 Napíšte rovnicu dotyčnice ku krivke, ktorá je rezom eliptického paraboloiduz= x +y :. a) rovinou y= v bodea=(3,,7) b) rovinou x=3 v bodea=(3,,7). 4.4 Napíšte rovnicu dotyčnice ku krivke, ktorá je rezom plochyz= ( x 3y ) : a) rovinou x=vbodea=(,,) b) rovinouy=vbodea=(,,).

50 5 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič 4.5 Určte deriváciu zobrazenia ϕ (t. j. Jacobiho maticu), ak a) ϕ:(u,v) (x,y,z); x=uv, y= u +v, z= u v ; b) ϕ:(u,v) (x,y); x=ucosv, y= usinv; c) ϕ:(u,v) x; x= u v ; d)ϕ:u (x,y); x=utg u, y= usinu; f) ϕ:(u,v,w) (x,y); x=u +v +w, y= u+v+w. 4.6 Nájdite Jakobián zobrazenia f: R n R n : a) f: x=rcosϕ, y= rsinϕ; f:(r,ϕ) (x,y); z b) f: u= x +y, v= xy, w= y ; f:(x,y,z) (u,v,w); x c) f: x=rcosϕcosψ, y= rsinϕcosψ, z= rsinψ; f:(r,ϕ,ψ) (x,y,z); d)f: u=xy, v= y ; f:(x,y) (u,v); x e)f: x=rcosϕ, y= rsinϕ, z= u ; f:(r,ϕ,u) (x,y,z). Parciálne derivácie vyšších rádov 4.7 Nájdite parciálne derivácie. a. rádu nasledujúcich funkcií: a) u= x x +y ; b) u=cosx ; y c) u=tg x y ; d)u=xy ; e)u=arctg x+y xy ; g)u= f) u=arcsin x x +y ; x +y +z ; h)u= ( x y) z ;i)u=x y/z. 4.8 Overte rovnost ak a) u=x xy 3y ; b) u=x y ; x c) u=arccos y. Nájdite parciálne derivácie uvedeného rádu: u x y = u y x, u x, ak u=xln(xy). y 4. m+n u x+y x m, ak u= yn x y. 4. p+q u x p y q, ak u=(x x ) p (y y ) q. 4. p+q+r u x p y q z r, aku=xyzex+y+z.

51 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch m+n f x m y n (,), ak f(x,y)=e x siny. 4.4 NechAu=x u x +y u y. NájditeAu aa u=a(au), ak x a) u= x +y ; b) u=ln x +y. 4.5 Nech Nájdite u a u, ak: a) u= u= ( ) u + x ( ) u + y u= u x + u y + u z. x +y +z ; ( ) u z b) u=x3 +y 3 +z 3 3xyz. 4.6 Nech f(x,y)=xy x y x +y, ak x + y a f(,)=. Ukážte, že funkcia f(x,y) je spojitá v bode(,) af xy(,) f yx(,). 4.7 Nájdite diferenciály. a. rádu funkcií: a) u=x m y n ; b) u= x +y ; c) u=ln x +y ; d)u=xy+yz+zx; z e)u= x +y. 4.8 Nájditedf(,,) ad f(,,), ak f(x,y,z)= ( ) x /z. y 4.9 Ukážte, že pre funkciu u= x +y +z platí:d u. 4. Ukážte, že funkciau=ln (x a) +(y b) (a,b sú konštanty) vyhovuje Laplaceovej rovnici: u u x + y =. 4. Nechu=f(r) je dvakrát diferencovatel ná funkcia ar= x +y +z. Nájdite funkciu F(r), pre ktorú platí: u=f(r), kde u= u u u x + y + je Laplaceov operátor. z 4. Zjednodušte výraz secx z x +secy z y, ak z=siny+f(sinx siny), kdef je diferencovatel ná funkcia ( secu= ). cosu

52 5 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič 4.3 Ukážte, že funkcia z= x n f ( y x ), kdef je diferencovatel ná funkcia, spĺňa rovnicu x z x +y z y = nz. 4.4 Ukážte, že funkcia z= yf(x y ), kdef je l ubovol ná diferencovatel ná funkcia, spĺňa rovnicu y z x +xy z y = xz. 4.5 Predpokladajúc, že funkcie ϕ, ψ atd. sú diferencovatel né tol kokrát, kol ko potrebujeme, overte nasledujúce rovnosti: a) u t = u a, ak u=ϕ(x at)+ψ(x+at); x b) u x u x y + u y=, ak u=xϕ(x+y)+yψ(x+y) ; c) x u u u y ϕ( x +xy x y +y y = n(n )u, ak u=xn z d) u x. u x y = u u y., ak u=ϕ[x+ψ(y)]. x ) +x n ψ ( y x) ; 4.6 Nech funkcia u=u(x,y) spĺňa rovnicu u x u y= a okrem toho, nasledujúce podmienky:u(x,x)=x, u x(x,x)=x. Nájditeu xx(x,x), u xy(x,x), u yy(x,x). 4.7 Riešte rovnicu: n z yn= s neznámou funkciou z= z(x,y). Poznámka. Pod riešením danej rovnice budeme rozumiet funkciu z(x,y) z triedy C (n) (G;R) (t. j.z(x,y) je spojitá spolu so svojimi parciálnymi deriváciami až do rádunvčítane v oblastig R ), ktorá vyhovuje danej rovnici (a prípadne aj daným podmienkam). 4.8 Nájdite riešeniez= z(x,y) rovnice z y = x +y, ktoré spĺňa podmienkuz(x,x )=. 4.9 Nájdite riešeniez= z(x,y) rovnice z y=, ktoré vyhovuje podmienkam: z(x,)=, z y (x,)=x. 4.3 Nájdite riešeniez= z(x,y) rovnice z x y z(x,)=x, z(,y)=y. = x+y, vyhovujúce podmienkam: Transformácie, pravidlo ret azenia

53 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 53 Pomocou zavedenia nových premenných transformujte nasledujúce obyčajné diferenciálne rovnice: 4.3 x y +xy +y=, ak x=e t. 4.3 y = 6y x 3, ak t=ln x ( x )y xy +n y=, akx=cost y +y tgh x+ m cosh x y=, ak x=lntg t. Poznámka. Tucoshx= ex +e x tangens y +p(x)y +g(x)y=, ak y= ue je hyperbolický kosínus atgh x= ex e x x x p(τ)dτ x 4 y +xyy y =, ak x=e t ay= ue t, kdeu=u(t) y +(x+y)(+y ) 3 =, ak x=u+t,y= u t, kdeu=u(t) dy dx = x+y, ak x=rcos(φ),y= rsin(φ). x y 4.39 (xy y) =xy(+y ), ak x=rcos(φ),y= rsin(φ). e x je hyperbolický +e x Zavedením nových nezávislých premennýchξ aη rozriešte nasledujúce rovnice: 4.4 z x = z, ak ξ= x+y, η= x y. y 4.4 a z x +b z y =(a ), ak ξ= x aη= y bz. 4.4 x z x +y z y = z, akξ= x aη= y x. Berúcuav za nové nezávislé premenné, transformujte nasledujúce rovnice: 4.43 x z x + +y z y = xy, ak u=lnx, v=ln(y+ +y ). 4.44(x+y) z x (x y) z y =, aku=ln x +y av=arctg y x z z x + x y z y + z x + z y 4.46 Transformujte rovnice: a) u u u x + y =; b) ( u)=, kladúcu=f(r), kder= x +y. =, ak u=x+y+, v= x y.

54 54 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič 4.47 V rovnici u x + u y + u =položteξ= x, η=y x, ζ= z x. z Transformujte do polárnych súradnícr aϕ, kdex=rcosϕ, y= rsinϕ, nasledujúce výrazy: 4.48 w=x u y y u x w=x u x +y u y. 4.5 w= u x + u y. 4.5 w=x u x +xy u x y +y u y. ( 4.5 w=y u x xy u u x y +x y x u ) x +y u. y 4.53 Vo výraze I= u x. v y u y. v položtex=rcosϕ, y= rsinϕ. x

55 Kapitola 5 Vlastnosti diferencovatel ných funkcií Rozvoj funkcie viac premenných do Taylorovho radu Totálny diferenciál funkcie a jeho použitie na približné určovanie hodnoty funkcie Gradient funkcie a derivácia v smere Úrovňové množiny konvexných funkcií Vzt ah gradientu funkcie k hranici úrovňovej množiny diferencovatel nej funkcie Konvexné a konkávne funkcie Kritérium konvexnosti funkcie viac premenných 55

56 56 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Dôležité pojmy a tvrdenia Definícia konvexnej oblasti. Ω R N nazývame konvexná, ak x,y Ω platí, že aj λx+( λ)y Ω pre λ (,). Tvrdenie. Nechf:Ω R N R. NechΩje konvexná oblast, tak prex,x+h Ωplatí kdeθ= x+ξh Ω,ξ (,). f(x+h)=f(x)+f (θ)h, Taylorov rozvoj do rádu. Nech f:ω R N R. NechΩje konvexná oblast. Nech f má spojité. parciálne derivácie, tak x,x+h Ω:f(x+h)=f(x)+f (x)h+ ht f (θ)h, kde θ=x+ξh Ω,ξ (,). Taylorov rozvoj do rádu 3. Nech f:ω R N R. NechΩje konvexná oblast. Nech f má spojité 3. parciálne derivácie, potom x,x+h Ω:f(x+h)=f(x)+f (x)h+ ht f (x)h+ 6 N N N i= j= k= 3 f(θ) x i x j x k h i h j h k, kdeθ= x+ξh Ω,ξ (,). Definícia konvexnej funkcie. pre platí: Funkciaf sa nazýva konkávna, ak platí: Nech D(f) je konvexná množina. f sa nazýva konvexná, ak x,x D(f), λ [,] f(λx+( λ)x) λf(x)+( λ)f(x). x,x D(f), λ [,] f(λx+( λ)x) λf(x)+( λ)f(x). Hovoríme, že f je striktne konvexná (striktne konkávna) ak vyššie uvedené nerovnosti sú ostré. Lema. Nech f : M D(f) R N R. f je konvexná na M každý rez je konvexná reálna funkcia reálnej premennej, t. j. x,x M je funkcia ϕ : [,] R, definovaná ϕ(t)=f(x+th) R, kdeh=x x, konvexná na[,]. Tvrdenie. Nechf: M D(f) R N R. f je -krát spojite diferencovatel ná. Nechf (x) je kladne semidefinitná (kladne definitná) x M. Potom f je konvexná (striktne konvexná) na M. Tvrdenie. Nech f : M D(f) R N R. f je -krát spojite diferencovatel ná. Nech f (x) je záporne semidefinitná (záporne definitná) x M. Potom f je konkávna ( striktne konkávna) na M.

57 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 57 Definícia úrovňovej množiny funkcie. Úrovňová množina s parametromc R E c = {x D(f),f(x) c}. Tvrdenie. Akf: M D(f) R N R je konvexná, tak c R je úrovňová množina konvexná množina vr N. Tvrdenie. E c = {x D(f),f(x) c} Akf: M D(f) R N R je konkávna, tak c R je úrovňová množina konvexná množina vr N. E c = {x D(f),f(x) c} Definícia derivácie v smere. Ak f : D(f) R N R. Nech M D(f). Nech l je jednotkový vektor so začiatkom v bodem. Ak existuje f(m +t lim l) f(m ) = f t t t l (M ) hovoríme, že funkciaf má v bode deriváciu v bodem a smere l. Veta. Ak je funkcia f: D(f) R N R spojite diferencovatel ná v bodem, tak kde l=(l,l,...l n ) je jednotkový vektor. Definícia. f l (M )= f x l + f x l +... f x n l n, Nech je funkciaf: D(f) R N R. Vektor ( f f(m )= (M ), f (M ),..., f ) (M ) x x x n sa nazýva gradient funkcie f v bodem. Poznámka. kde (.,. ) je skalárny súčin vr N. f l (M )=( f(m ), l), Tvrdenie. Nech je funkciaf: D(f) R R spojite diferencovatel ná v bodem. Nech E c = = {x D(f),f(x)=c} je vrstevnica funkcie f a nech M E c =. Nech vrstevnica E c = je v bode M lokálne parametrizovatel ná spojite diferencovatel nou funkciou(x (t),x (t)), t. j. B r (M ), tak, že B r (M ) E c = =(x (t),x (t)). Potom f(m ) je ortogonálny k vrstevnici E c =, t. j k dotyčnici vrstevnice v bodem. Poznámka. Nech je funkcia f: D(f) R N R spojite diferencovatel ná v bode M. Ak je úrovňová množina E c = lokálne v okolí bodu M dostatočne hladká, tak f(m ) je smer normálového vektora k dotykovej nadrovine k úrovňovej množine E c = v bodem. Počítanie dotykových rovín

58 58 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič = = Obr. 5.: Geometrický význam gradientu f(x) funkcie f v bode x. Gradient je vektor, ktorý je v danom bode kolmý na úrovňovú rovinue = c(f)={x,f(x)=c} prechádzajúcou daným bodomx.. Nech je funkciaf: D(F) R 3 R spojite diferencovatel ná v okolí bodu(x,y,z ) E =. Nech je plochae= určená rovnicou F(x,y,z)=. Potom v bode(x,y,z ) E = rovnica dotykovej roviny je (x x )F x(m )+(y y )F y(m )+(z z )F z(m )=.. Nech je funkciaf: D(f) R R 3, nech(u,v ) D(f). Nech f(u,v) T =(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) T spojite diferencovatel ná v bode(u,v ). OznačmeM =(x(u,v ),y(u,v ),z(u,v )) T. Ak je plochad daná parametricky D: x=x(u,v),y= y(u,v),z= z(u,v),m D, tak dotyková rovina v bode M = [x(u,v ),y(u,v ),z(u,v )] T má parametrické vyjadrenie f(u,v )+df(u,v )(u u,v v ). Teda ak[x(u,v ),y(u,v ),z(u,v )]=(x,y,z ), tak parametrické vyjadrenie je: x=x +x u (u u )+x v (v v ), x u = dx du (u,v ),x v = dx dv (u,v ), y= y +y u (u u )+y v (v v ), y u = dy du (u,v ),y v = dy dv (u,v ), z= z +z u (u u )+z v (v v ), z u = dz du (u,v ),z v = dz dv (u,v ), Riešené príklady

59 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 59 Príklad. Nech je daná funkcia f(x,y)=(x +y )cos π x +y. Dodefinujte funkciu v(,) na spojitú funkciu. Ukážte, že f je diferencovatel ná v(,), ale jej parciálne derivácie v(,) nie sú spojité. Riešenie. Pretože a funkcia kosínus je ohraničená funkcia, lim (x,y) (,) (x +y )= lim f(x,y)=. (x,y) (,) Tedaf(,)= a f je spojitá na R. Teraz vypočítajme f f x (,) a y (,). Zrejme Rovnako f f(x,) f(,) (,)= lim = x cos π x =. x (x,y) (,) x x f y (,)=. Teda na to, aby f bola v(, ) diferencovatel ná, treba z definície diferencovatel nosti ukázat, že f(x,y) f(,) f f x (,)x y lim (,)y =. (x,y) (,) (x,y) Počítajme lim (x,y) (,) f(x,y) f(,) f f x (,)x y (,)y = lim (x,y) (x,y) (,) = lim x +y π cos (x,y) (,) x +y =. To znamená, že f je naozaj diferencovatel ná v(,). Teraz pre(x,y) (,) platí π f x (x,y)=xcos π x +y +πxsin x +y x +y. Tento výraz je v okolí(, ) neohraničená funkcia. Pre k N zvol me Zrejme čo je neohraničená postupnost v okolí(,). (x k,y k )=((k+/) /,). lim (x k,y k )=, f k x (x k,y k )=π k+.5, (x +y )cos π x +y x y x +y

60 6 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Príklad. Je daná funkcia { y x, y x g(x,y)= y y, y < x x g(x,y)= g(x, y), y <. Ukážte, žeg je diferencovatel ná vr, ale nemá spojité parciálne derivácie. Konkrétne nemá spojitú g y v[,]. Riešenie. Najprv ukážeme, že pre(x,y ) R,(x,y ) (,) existujú parciálne derivácie g x, g y, ktoré sú spojité. Tým pádom budeg diferencovatel ná nar {[,]}. Prey x,y, platí g(x,y)=y x, Podobne prey x,y, platí Prey x,y,x platí Podobne prey x,y,x platí g g = x, x y =. g(x,y)=y+x, g g =x, x y =. g(x,y)= y x y g x = y x 3, g y =y x. g(x,y)= y x y, g x =y x 3, g y = y x. Vidíme, že g y (x,)= prex. Teraz spočítajme g g x (,), y (,). g x (,)=lim g(h,) g(,) h h g y (,)=lim g(,h) g(,) g(,h) =lim h h h h g(h,) =lim = h h h =lim h h = Ked že g y (x,)= pre x a g g y (,)=,tak y nie je spojitá v(,). Nakoniec ukážeme, že g je v(,) diferencovatel ná. Počítajme lim (x,y) (,) g(x,y) g(,) g x x +y (,)x g y (,)y Ukážeme, že táto limita je. Počítajme ju v dvoch krokoch: g(x,y) y = lim (x,y) (,) x +y.

61 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 6 ) Aky x, tak g(x,y) y lim (x,y) (,) x +y = lim y x y (x,y) (,) x +y = ) Ak y x, tak g(x,y) y lim (x,y) (,) x +y = Ked že platí, že sú ohraničené pre y x, tak Spojením ), ) dostávame, že y y y x = lim (x,y) (,) x +y lim y y (x,y) (,), y x x. x.( x ). + y x y y x,( x ), + y x lim y y (x,y) (,), y x x. x.( x ). =. + y x g(x,y) y lim (x,y) (,),y x +y =. Analogicky pre y. Teda funkcia g(x, y) je v(, ) diferencovatel ná. Príklad 3. Zameňte prírastok funkcie diferenciálom a približne vypočítajte hodnotu,3,98 4.,5 3 3 Riešenie. Zvol me funkciu f(x,y,z)= x 3 y 4 = x y 3 z 4, z 3 ktorá je v malom okolí bodu(,, ) spojitá a diferencovatel ná, lebo jej parciálne derivácie sú spojité. Počítajme f f =x.y 3 z 4, x x (,,)=, f y = 3 x y 4 f 3 z 4, y (,,)= 3 f z = 4 x y 3 z 5 4, f z (,,)= 4.

62 6 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič V malom okolí bodu(,,) môžeme teda prírastokf nahradit jej diferenciálom f(+ x,+ y,+ z) f(,,)+ f f f (,,) x+ (,,) y+ x y z (,,) z =+ x 3 y 4 z. Dosadíme a máme x=,3, y=,, z=,5,3,98 4,546.,5 3 3 Presná hodnota výrazu vypočítaná kalkulačkou je, Príklad 4. Trojuholník ABC má strany a=m ±m,b=3m±5m, a uhol medzi nimi γ= π 3 ± π 8. Približne vypočítajte stranucaj možnú absolútnu chybu pri tomto výpočte. Riešenie. Použijeme kosínusovú vetu, podl a ktorejc= a +b abcosγ, Definujme F(a,b,γ):(, ) (, ) (,π) R,F(a,b,γ)= a +b abcosγ. Teda F(,3, π 3 )= 7. 64, V okolí(,3, π 3 ) nahradíme prírastok funkcie jej diferenciálom. Teraz F a = a bcosγ a +b abcosγ, F a (,3, π 3 )= 7 F b = b acosγ a +b abcosγ, F b (,3, π 3 )= 7 To znamená, že F γ = absinγ a +b abcosγ, F γ (,3, π 3 3 )=3. 7 F(+ a,3+ b, π 3 + γ) F(,3, π 3 ) + F a (,3, π F ) a+ 3 b (,3, π F ) b+ 3 γ (,3, π 3 ) γ = a+ b+ 3 3 γ. 7 7 Teda stranac=f(,3, π 3 )= 7. s možnou chybou prvého rádu Možná chyba teda je: 7 a+ 7 b γ, kde ( a, b, γ)=(,5, π 8 ). 7 a+ b+ 3 3 γ= π =33+5π 3 7,58. 7

63 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch Nájdite deriváciu funkcie Príklady na samostatné riešenie z= x y v bodem=(,) v smere l, ktorý zviera uholα=6 s kladným smerom osix-ovej. 5. Nájdite deriváciu funkcie z= x xy+y v bode M=(,) v smere l, ktorý zviera uhol α s kladným smerom osi x - ovej. V akom smere má táto derivácia: a) najväčšiu hodnotu; b) najmenšiu hodnotu; c) rovnú. 5.3 Nájdite deriváciu funkcie z=ln(x +y ) v bodem=(x,y ) v smere kolmom na vrstevnicu prechádzajúcu týmto bodom. 5.4 Nájdite deriváciu funkcie ( x ) y z= a+ b v bodem= ( a, b ) v smere vnútornej normály v tomto bode ku krivke x y a+ b =. 5.5 Nájdite deriváciu funkcie u=xyz v bode M=(,,) v smere l={cosα,cosβ,cosγ}. Čomu sa rovná vel kost gradientu funkcie v danom bode? 5.6 Vypočítajte vel kost a smer gradienta funkcie u= r, kder= x +y +z, v bodem =(x,y,z ). 5.7 Určte uhol medzi gradientmi funkcie v bodocha=(ε,,) ab=(,ε,). u=x +y z 5.8 O kol ko sa líši v bode M =(,, ) vel kost gradientu funkcie od vel kosti gradienta funkcie u=x+y+z v= x+y+z+,sin ( 6 π x +y +z )?

64 64 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič 5.9 Ukážte, že v bodem =(x,y,z ) uhol medzi gradientmi funkcií u=ax +by +cz, v= ax +by +cz +mx+ny+pz (a,b,c,m,n,p sú konštanty a a,b,c.) konverguje k, ak bod M sa vzd al uje do nekonečna. 5. Nech funkcia u=f(x,y,z) je dvakrát diferencovatel ná. Nájdite u l = ( ) u l, ak l cosα,cosβ,cosγ sú smerové kosínusy smeru l derivovania. 5. Predpokladajúc, že x, y sú v absolútnej hodnote malé, odvod te približné vzorce pre výrazy: a)(+x) m (+y) n ; b)arctg x+y +xy. 5. Nájdite hodnoty. diferenciálu funkcie u v bodem v danom vektore h, ak a) u=arcsinxy, M =(,), h=(,5;,) b) u=x 3 y xy, M =(,), h=(,5;,8) c) u=x y, M =(4,), h=(,;,) d)u= 3 4x +y, M =(,), h=(,;,3) e)u=x +y 3, M =(,), h=(,;). 5.3 Zameňte prírastok funkcie jej diferenciálom a približne vypočítajte: a),.,3 3.3,4 3 b), 3 +,97 3 c)sin9 tg46 d),97, Nájdite f x (,),f y (,), ak f(x,y)= 3 xy. Je táto funkcia diferencovatel ná v bode (,)? 5.5 Ukážte, že funkcia f(x,y)=(x +y )sin x +y, ak x +y af(,)=, má v okolí bodu(,) parciálne derivácie f x(x,y), f y(x,y), ktoré nie sú spojité v bode(,) a sú neohraničené v l ubovol nom okolí tohto bodu; avšak táto funkcia je diferencovatel ná v bode(,). 5.6 Dokážte, že funkcia f(x,y), ktorá má ohraničené parciálne derivácie f x (x,y), f y (x,y) na nejakej konvexnej oblastie, je rovnomerne spojitá. 5.7 Dokážte, že ak funkcia f(x,y) definovaná na oblasti G R je spojitá vzhl adom na premennú x pre každú hotnotuy a má ohraničenú deriváciu f y (x,y), potom táto funkcia je spojitá vzhl adom na obidve premenné v oblastig. 5.8 Napíšte Taylorov vzorec pre funkciuf(x,y)=x xy y 6x 3y+5 v okolí bodu M=(, ).

65 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch Napíšte Taylorov vzorec pre funkciu f(x,y,z)=x 3 + y 3 + z 3 3xyz v okolí bodu M=(,,). 5. Nájdite prírastok funkcief(x,y)=x y+xy xy v bode(x,y )=(, ) vzhl adom na bod(x,y )=(+h, +k). 5. Vypíšte členy až do. rádu včítane v Taylorovom vzorci pre funkciu f(x,y)=x y v okolí bodum(,). 5. Napíšte Maclaurinov vzorec až do členov 4. rádu včítane pre funkciu f(x,y)= x y. Napíšte rovnice dotykových rovín a normál k nasledujúcim plochám v danom bode M =(x,y,z ): 5.3 z= xy, M =(5,,5). 5.4 x y 3 xy = z+ 3 8, M =(,, 3 8 ). 5.5 xy+xz+yz= x 3 +y 3 +z 3, M =(,,). 5.6 x 3 +y 3 +z 3 = xyz, M =(,, ). 5.7 x=u+v, y= u +v, z= u 3 +v 3, M =(x(u,v ),y(u,v ),z(u,v )), u =, v =. 5.8 x=ucosv, y= usinv, z= v, M =(x(u,v ),y(u,v ),z(u,v )), u =, v = π x = e u + usinv, y = e u ucosv, z = uv, M = (x(u,v ),y(u,v ),z(u,v )), u =, v = π. 5.3 K ploche x + y +z = nájdite dotykovú rovinu, ktorá je rovnobežná s rovinou x y+z=. 5.3 Nájdite geometrické miesto bodov na valci(x+z) +(y z) =8, v ktorých je normála rovnobežná so súradnicovou rovinou xoy. Derivácia v smere 5.3 Nech f =arctan xz y. Nech M =[,, ]. Určte deriváciu funkcie f v bode M a v smere gradientu funkcie ϕ(x,y,z)=xyz x y z v tomto bode Nájdite deriváciu funkcie u(x,y,z)=xyz v bode[x,y,z ], ktorý leží na elipsoide x a v smere normály k elipsoidu v tomto bode. y z + + b c =

66 Kapitola 6 Extremálne vlastnosti funkcií viac premenných Vyjadrenie dotykovej roviny ku grafu funkcie Maximá a minimá funkcie viac premenných, lokálne extrémy Sedlové body Nutné podmienky nadobúdania lokálneho extrému funkcie viac premenných Postačujúce podmienky nadobúdania lokálneho extrému a Hessova matica druhých derivácii Globálne extrémy a metódy ich určovania Aplikácie, ktoré vedú na hl adanie vol ných extrémov 66

67 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 67 Dôležité pojmy a tvrdenia Definícia lokálneho extrému. Nech f:ω R N R. Nech bod x Ω. Hovoríme, že f má v bodex(ostré) lokálne maximum, ak existuje okolie B ǫ (x) také, že x B ǫ (x),x x: f(x) f(x) a ostré akf(x) < f(x). Hovoríme, že f má v bode x ( ostré) lokálne minimum, ak existuje okolie B ǫ (x) také, že x B ǫ (x),x x:f(x) f(x) a ostré akf(x) > f(x). Hovoríme, žef má globálne maximum (minimum)na množineωakf(x) f(x),(f(x) f(x)) pre každéx Ω. Tvrdenie, nutné podmienky lokálneho extrému. Nech f:ω R N R má deriváciu v bode x Ω. Ak bod x je bodom lokálneho extrému t. j. lokálneho maxima alebo lokálneho minima, tak nutne: i=,,...n: f x i (x)=. Kvadratické formy Nech A : N N symetrická matica. Maticu A nazývame kladne definitná ak h,h R N : h T Ah >. Maticu A nazývame záporne definitná ak h,h R N : h T Ah <. Maticu A nazývame indefinitná ak h,h R N : h T Ah < a h,h R N : h T Ah >. Tvrdenie. Ak vlastné čísla matice A sú kladné, tak A je kladne definitná. Ak vlastné čísla matice A sú záporné, tak A je záporne definitná. Ak λ >,λ <, tak A nie je ani kladne ani záporne definitná, je indefinitná. Sylvestrovo kritérium. Matica A: N N je kladne definitná determinanty všetkých hlavných minorov sú kladné. Pritom minory M =(a ) ( ) a a M = a a a a... a N a a... a N M N = a N a N... a NN Teda Sylvestrovo kritérium hovorí, že A je kladne definitná, práve vtedy ked Ďalej, A je záporne definitná, práve ak M >, M >, M 3 >..., M N >. M <, M >,..., M N ( ) N >. Tvrdenie, postačujúce podmienky lokálneho extrému. Nech f : D(f) R N R je dvakrát spojite diferencovatel ná v bode x D(f), ktorý je kandidát na extrém, t. j.f (x)= ( i=,,...n: f x i (x)=). Akf (x) je kladne definitná, tak vx f nadobúda ostré lokálne minimum.

68 68 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Akf (x) je záporne definitná, tak vx f nadobúda ostré lokálne maximum. Grafické zobrazenia funkcií viac premenných a dotykovej roviny Grafické zobrazenie funkcief(x,x )=e x x + 3 e (x ) (x ), dotykovej roviny v bode(.,.) a úrovňových rovín tejto funkcie Graf funkcie, dotykovej roviny a úrovňových rovín funkcief Výpis programu Mathematica na zobrazenie grafu funkcie, určenie dotykovej roviny a jej zobrazenia a zobrazenie úrovňových množín danej funkcie. f[x_,y_]: =Exp[-(xˆ +yˆ)]; f[x_,y_]: =f[x,y] +. 5f[x-, y -]; graf=plot3d[f[x,y],{x,-,4},{y,-,. 5}, PlotPoints->6, Mesh->False, ViewPoint->{-,4,. }, AspectRatio->, Boxed->False, Axes->None, ImageSize->3

69 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 69 ]; bdx=. ; bdy=. ; derx[x_,y_]=d[f[x,y], x]; dery[x_,y_]=d[f[x,y], y]; p[x_,y_]: = f[bdx,bdy]+ derx[bdx,bdy](x-bdx) +dery[bdx,bdy](y-bdy) ; grafrovina=plot3d[p[x,y],{x,bdx-,bdx+},{y,bdy-,bdy+}, PlotPoints->5, Mesh->True, ViewPoint->{-,4,. }, AspectRatio->, Boxed->False, Axes->None, ImageSize->3 ]; graf=show[graf,grafrovina]; graf=contourplot[f[x,y],{x,-,4},{y,-,. 5},PlotPoints->6, Contours->Table[ i/, {i,,,}], ColorFunction->Hue, ImageSize->3];

70 7 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie Riešené príklady F(x,y,z)=x 3 yz x y z. Riešenie. Ked že funkcia je polynomická, je nekonečne vel akrát diferencovatel ná a teda aj z triedy C (R 3 ). Stačí teda vyšetrit stacionárne body tejto funkcie. Počítajme jednotlivé parciálne derivácie. F x =6x yz x, Pre stacionárne body musí platit F y =x3 z y, 6x yz x = x 3 z y = x 3 y z =. F z =x3 y z. Riešením tohto systému rovníc dostaneme 5 stacionárnych bodov: M =(,,),M =(, 3, Spočítajme druhé parciálne derivácie. ),,M =(,, ),,M 3 =(,, F x =xyz, F y =, F z = F x y =6x z, F x z =6x y, F y z =x3. Teraz vyšetrujme Hessovu maticu v jednotlivých bodochm. F (M) F He(M) F x x y (M) F x z (M) (M)= F x y (M) F (M) F y x z (M). F x z (M) F x y (M) F(M) z Teraz si postupne vyjadrime He(M ), He(M ), He(M ), He(M 3 ), He(M 4 ). He(M )=. 3 ),,M 4 =(, Ked že He(M ) je negatívne definitná, má F v bodem ostré lokálne maximum. Podobne 3 3 He(M )= , 3 ).

71 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 7 Táto matica je indefinitná, lebo na hlavnej diagonále má aj kladné aj záporné prvky, preto v M nie je maximum ani minimum, je to sedlový bod funkcief. Rovnako sa vyšetria aj body M,M 3,M 4, ktoré sú tiež sedlové. Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie z(x,y)=( x ) 3 y ( y). Riešenie. Najprv vypočítame parciálne derivácie. Pre y : z x = x 3 y ( y), z )( 5y) y =( x 3 3. y Teraz sa pokúsme vyšetrit bodym =(x,) s otázkou, či v nich existujú parciálne derivácie a či môžu v nich nastat lokálne extrémy: x : z y (M z(m) z(m ) ( x )= lim = lim )3 y ( y) =. y y y y Nech M =(,),M =(,). Teraz z y (M )= z y (M )=. Síce z y (M ), z y (M ) existujú, ale z nemá v okolí M,M konečné derivácie. Teda ich treba extra vyšetrit, napr z tvaru funkcie z.. M =(x,), x <: Vezmeme také okolie U((x,)), aby x <, y <, potom pre(x,y,) U((x,)):z(x,y) =z(x,) A teda v bode M nadobúda z neostré minimum.. M =(x,), x >: Rovnako dostaneme, že funkcia nadobúda v M =(x,) neostré lokálne maximum. 3. M = (,) Ak(x,y) U(M ),x >, < y <, tak z(x,y) < =. Ak ale (x,y) U(M ), < x <, < y <, takz(x,y) >=z(,). A teda bodm =(,) je sedlový bod. 4. M =(,) je analogicky ako v predošlom prípade sedlový bod. Zostáva preverit tie stacionárne body, že y. Dostaneme ich ak z x = x 3 y ( y)=, z )( 5y) y =( x 3 3 = y Sú to tieto:m 4 =(,),M 5 =(,),M 6 =(, 5 ) Teraz vypočítajme druhé derivácie: Dostávame z x = 3 y ( y), z y =( x )( 9 He(M 4 )= )y 4 3 (+5y), z x y = 3 xy 3 (5y ). ( ).

72 7 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Teda v bodem 4 má funkcia z sedlový bod, lebo He(M 4 ) je indefinitná. He(M 5 )= ( ). Vidíme, že vm 5 má z sedlový bod. He(M 6 )= ( 4 5 ) Vidíme, že He(M 6 ) je negatívne definitná a teda vm 6 má ostré lokálne maximum. Príklady na samostatné riešenie Lokálne extrémy V nasledujúcich príkladoch nájdite lokálne extrémy daných funkcií: 6. z= x xy+4y z= x 3 +y 3 3xy. 6. 3z= x 4 +y 4 x xy y z=x 4 +y 4 x y z= x y 3 (6 x y) z= xy+ 5 x +, x >, y >. y z= xy x a y b, a >, b > z= x +y z= x+y+4sinxsiny. 6.. z=(x +y )e (x +y ). 6.. z= xyln(x +y ). 6.. x y+xy+y +x+y z= xy (4 x y) u=x +y +z +x+4y 6z u=x xy+xz y+y 3 +z u=x+ y 4x + z y + z u= x y + y z 4x+z u=xyz( x y z). 6. 9u=6x +xy+y +z yz+xz+x y+4z Nájdite lokálne extrémy funkcie f(x,y)=(x+y)( x y)+xy a vyšetrite ich charakter (minimá, maximá, sedlové body). 6. Určte lokálne extrémy funkcie u(x,y,z)=x 3 +y +z +xy+z.

73 Kapitola 7 Funkcie zadané implicitným vzt ahom Príklady a význam funkcií zadaných implicitne Existencia funkcie zadanej implicitne Derivácia implicitnej funkcie Vyšetrovanie priebehu funkcie zadanej implicitne Veta o existencií inverznej funkcie 73

74 74 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Dôležité pojmy a tvrdenia Definícia implicitnej funkcie. Nech F: D(F) R R. Nech(x,y ) D(f) je také, že F(x,y )=. Hovoríme, že funkcia y= y(x):o(x ) O(y ) je zadaná implicitne (alebo aj implicitným vzt ahom) ak platí: F(x,y(x))= x O(x ).. Veta o implicitnej funkcii. Nech F: D(F) R R. je spojite diferencovatel ná na okolí bodu(x,y ). Nech(x,y ) D(f) je také, žef(x,y )=. Nech platí F y (x,y ). Potom okolieo δ (x ) bodux a okolieo ǫ (y ) boduy a jediná funkcia ktorá je implicitne zadanou funkciou t. j. Naviac je y diferencovatel ná vx a platí. Veta o implicitnej funkcii. Nech y: O(x ) R O(y ) R, F(x,y(x))= x O(x ),y = y(x ). y F x (x )= (x,y ) F y (x,y ). f: D(f) R N R M R M je spojite diferencovatel ná na okolí bodu(x,y ) D(f), pre ktorý platí, že f(x,y )=. Ak Jacobiho matica f y(x,y )=( f i y j (x,y )) i=,,...m a j=,,...m je invertovatel ná, tak potom existuje okolie O(x ) R N a okolie O(y ) R M a jediná funkcia y: O(x ) R N O(y ) R M, ktorá vyhovuje implicitnému vzt ahu f(x,y(x))= x O(x ). Naviac derivácia y (x )= [f y (x,y )].f x (x,y ),

75 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 75 kde f x(x,y ) je reprezentované maticou M N a[f y(x,y )] je reprezentované maticou M M ay (x ) je reprezentované maticou M N. Aplikáciou vety o implicitnej funkcii pre zobrazenie f(x,y) = F(y) x dostávame nasledovné tvrdenie o existencii inverznej funkcie. 3. Veta o inverznej funkcii. NechF: D(F) R N R N je spojite diferencovatel ná funkcia na okolí O(y ) bodu y D(F), pre ktorý je Jacobiho matica F y(y ) invertovatel ná. Potom existuje okolieo(x ) bodux = F(y ) a jediná (inverzná) funkciay= y(x):o(x ) R N O(y ) taká, že F(y(x))=x, t.j. y(x)=f (x) pre každé x O(x ). Naviac funkcia y(x) je diferencovatel ná v okolío(x ) a platí y (x )=(F (y )) F(y ). Grafické zobrazenia funkcií zadaných implicitne Grafické zobrazenie Bernoulliho lemniskáty(x + x ) 4a (x x )= pomocou polárnej transformáciex = rcos(φ),x = rsin(φ), kder=r(φ)=a cos(φ), pričom φ ( π/4,π/4) (3π/4,5π/4). Zobrazenie funkcief(x,x )=(x +x ) 4a (x x ) x x Zobrazenie funkcie f(x,x )=(x + x ) 4a (x x ) a jej úrovňových množín. Nulová úrovňová množina tejto funkcie vytvára Bernoulliho lemniskátu

76 76 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Príklad. Implicitnou rovnicou Riešené príklady x +y = x 4 +y 4 je definovaná mnohoznačná funkcia y(x). Na akých množinách je táto funkcia ) jednoznačná? ) dvojznačná? 3) trojznačná? 4) štvorznačná? 5) Aké sú body vetvenia tejto funkcie a čo sú jej spojité vetvy? Riešenie. Ked že implicitný vzt ahx +y = x 4 +y 4 sa dá ekvivalentne vyjadrit prostredníctvom vzt ahu: ( y ) = x x 4 + 4, tak potom dostávame, že platí y = ± x x To znamená, že máme nasledovné riešenia y = ± + x x 4 + 4, y = ± x x Teraz sa zamyslime nad definičným oborom a viacznačnost ou vzt ahu pre funkciuy. Abyy bolo dobre definované, musí platit x x To je možné iba pre + V krajných bodoch akoy. Konkrétne± čo nastane pre, x + +,. + tohto intervalu pritom y nadobúda tie isté hodnoty. Na to, aby hodnotay bola definovaná, musí platit x x a x x 4 + 4, x +,, +. Tým pádom dostávame, že ) funkcia y definovaná rovnicou x + y = x 4 + y 4 nie je + + nikdy jednoznačne definovaná;. ) dvojznačná je v bodoch, ; 3) trojznačná je v bodoch a; 4) štvorznačná je na množine ( +, ) + (, );

77 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch Obr. 7.: Priebeh funkcief(x,y)=x 4 +y 4 (x +y ) (vl avo) a znázornenie množiny bodov {(x,y) R ; x 4 +y 4 = x +y } (vpravo) ) spojité jednoznačné vetvy funkcie y sú na intervale(, ), pričom platí: y + = + x x 4 + 4, y = + x x Na množine, +, platí y + = x x 4 + 4, y = x x Pozrite si ilustratívny Obrázok 7.! Príklad. Nech funkcia f(x) je spojitá na(a, b). Nech ϕ(y) je monotónne rastúca a spojitá funkcia na(c, d). Za akých podmienok rovnica ϕ(y) = f(x) definuje jednoznačnú funkciu y= ϕ (f(x))? Uvažujte prípady: a)siny+sinhy= x, b) e y = sin x. Riešenie. Ked že ϕ je monotónne rastúca funkcia, inverzná funkcia ϕ existuje. Označme obor hodnôt funkcief pomocouh(f) a obraz intervalu (teda tiež obor hodnôt) funkcieϕako H(ϕ). Zist ujeme, kedy existujey= ϕ (f(x))? To nastane práve vtedy, ked H(ϕ) H(f). Rozoberieme dva prípady. Ak H(ϕ) H(f)=, tak potom neexistuje x (a,b) také, že ϕ(y) = f(x). Ak H(ϕ) H(f), potom definičný obor D(ϕ f)=ϕ (f(a,b)) a y(x)=ϕ (f(x)) je dobre definovaná funkcia. a) Ak f(x) = x, tak(a,b) = (, ), a f(, ) = (, ). Teda D(ϕ f) = ϕ (, ). Teraz skúmajme, vlastnosti funkcie ϕ. ZrejmeD(ϕ)=R,ϕ(y)=siny+sinhy je nepárna.ϕ (y)=cosy+coshy, pretožecoshy= ey +e y. Táto vlastnost vyplýva z toho, že ak h(y)=coshy, tak h (y)=sinhy,h ()=,h (y)=coshy >. Tedah je rastúca funkcia a na(, ) je kladná. Potom aj funkciacosh je na(, ) rastúca a je väčšia ako. Dostávame ϕ (y)=cosy+coshy, na(, ). Tedaϕje na(, ) rastúca funkcia, čo sme potrebovali ukázat. Ďalej z faktu, že ϕ je nepárna funkcia a lim ϕ(y)=, y

78 78 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič vyplýva, že H(ϕ)=(, ). Dostávame D(ϕ f)=ϕ (, )=(, ). b) Akf(x)= sin x, takd(f)=(, ), H(f)=, ad(ϕ)=(, ), H(ϕ)= (, ). TedaH(ϕ) H(f)= a preto neexistuje takéx, žeby ϕ(y)=f(x). Príklad 3. Ukážte, že predpoklad o spojitej diferencovatel nosti vo vete o inverznej funkcii je podstatný. Ako príklad uvažujte: n=,f(t)=t+t.sin t pre t,f()=, Potom funkciaf je spojitá,f je ohraničená na(,), alef nie je prostá v žiadnom okolí. Ukážte. Riešenie. Zrejmef(t)=t+t.sin t pret,f()=, je spojitá funkcia a platí lim f(t)=. t Ďalej pre t platí f (t)=+4tsin t cos t.f f(h) f() f(h) ()=lim h h =lim h h = lim h +hsin h =. Tedaf je na(,) naozaj ohraničená. Derivácia f je však v bode naozaj nespojitá, lebo neexistujelim t f (t). To znamená, že nie sú splnené predpoklady vety o inverznej funkcii. Naozaj ukážeme, že neexistuje okolie bodu, v ktorom by funkcia f bola prostá. Uvažujme o postupnosti t n = π +nπ. Zrejme pre n nepárne dostávame f(t n )=t n t n. Pre n párne máme f(t n )=t n +t n. Zrejmet n pren a t n je klesajúca. Akk je párne, tak t k (+t k )=f(t k ) > t k > t k+ > t k+ ( t k+ )=f(t k+ ). To znamená, že pre k párne platíf(t k ) > f(t k+ ). Ďalej ukážeme, že prek párne naviac platí f(t k ) > f(t k ). Chceme teda ukázat, že platí Vieme, že pre každéa,b >platí t k +t k > t k t k. π AB <AB A +B. Zvol me teraza= π +kπ,b= π +(k )π. Teda π (π +kπ)(π +(k )π)= π AB < A +B =( π +kπ) +( π +(k )π). Ekvivalentnými úpravami dostaneme, že t k t k = ( ) π +(k )π π < +kπ ( π +kπ)+ ( π =(t k +(k )π) +t k ). Odkial je zrejmé, že pre k párne platí f(t k ) < f(t k ). Spojením poznatku, že f je spojitá a že pre k párne f(t k ) < f(t k ) a f(t k ) > f(t k+ ), dostávame, že f nie je prostá na intervale (t k+,t k ) a teda ani v žiadnom okolí bodu.

79 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 79 Príklad 4. Dokážte, že rovnica z 3 xyz+y =6 určuje jedinú funkciu z(x,y) v okolí bodu(,4,). Nájdite jej parciálne derivácie z x (x,y), z z x(x,y), x (,4), z x (,4). Riešenie. Bod(,4,) spĺňa rovnicu z 3 xyz+ y =6. Funkcia F(x,y,z)=z 3 xyz+ y 6 je spojite diferencovatel ná v l ubovol nom okolí bodu M (,4,) a F z (,4,) = 3z xy=8. Teda sú splnené predpoklady vety o implicitnej funkcii. Ked že F(x,y,z) je dvakrát diferencovatel ná v okolí M, tak aj funkcia z(x,y) je dvakrát diferencovatel ná v nejakom okolí bodu(, 4). Podl a vety o implicitnej funkcii máme zaručenú existenciu dvakrát diferencovatel nej funkcie v nejakom okolí bodu(,4) z(x,y), ktorá spĺňa rovnicu z 3 (x,y) xyz(x,y)+y =6. Teraz túto rovnicu derivujeme podl ax. Dostávame: Opätovným derivovaním dostaneme 3z z x yz xyz x =. 6z(z x ) +3z z xx yz x xyz xx =. Dostanemez x = yz 3z xy, z xx= yz x 6z(z x ) Ak dosadíme za z x, máme 3z xy z xx = xy3 z (3z xy) 3. Ak dosadímex=,y=4,z=, tak nakoniec získamez x (,4)=,z xx (,4)=,5. Príklad 5. Určte prvé a druhé derivácie funkcií x(z),y(z), v bode z=. Tieto funkcie sú zadané implicitne systémom rovníc a spĺňajú podmienky x() =, y() =. x +y =,5z x+y+z= Riešenie. Označme funkcie F (x,y,z)=x +y,5z a F (x,y,z)=x+y+z, ktoré sú diferencovatel né v l ubovol nom okolí bodum (,,). Parciálne derivácie F x =x, F y =y, F x =, F y = sú spojité funkcie v bode M. Ďalej platí, že F (,,)=,F (,,)=. Nakoniec Jakobián zobrazenia D(F,F ) /(,,)= D(x,y) =4.

80 8 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Teda sú splnené predpoklady vety o implicitnej funkcii. Ked žef (x,y,z),f (x,y,z) sú dvakrát diferencovatel né v l ubovol nom okolí M, tak aj x(z),y(z) sú dvakrát diferencovatel né funkcie v nejakom okolí boduz=. Systém rovníc derivujeme podl az. Dostaneme x (z)+y (z)=,5z x(z)+y(z)+z= xx +yy = z, x +y +=. Ak dosadíme do týchto vzt ahov hodnoty x=,y=,z=, dostávame systém rovníc vzhl adom na neznáme x (),y (): x () y ()=, x ()+y ()=. Riešením tejto sústavy rovníc napokon dostávame: x () =,y () =. Ak pôvodný systém rovníc derivujeme podl az dvakrát, dostaneme: (x ) +xx +(y ) +yy =, x +y =. Opät položíme x=,y=,z=,x =,y =. Dostaneme systém rovníc vzhl adom na neznáme x (),y (): x () y ()=,5 x ()+y ()=. Riešením dostanemex ()=,5,y ()=,5. Príklady na samostatné riešenie 7. Ukážte, že dané rovnice určujú jedinú funkciu y(x) v okolí bodu(x,y ): a) x +yx+y =3, x = y =; b) xy+ln(xy)=, x =, y = ; c) e x+y +y x=, x =, y =. 7.. Ukážte, že dané rovnice určujú jedinú funkciu z(x,y) v okolí bodu(x,y,z ): a) x+y+z=sinxyz, x = y = z =; c) x y +x z +z x =3, x = y = z =. 7.3 Ukážte, že v bode(,,,, ) vzt ahy x +x +y+y +y 3 5 = x x +y 3 y+y = x 3 +x 3 +y y 3 4 = nevyhovujú predpokladom vety o existencii zobrazenia ϕ:(y 3,y ) (x,x,y ), avšak vyhovujú predpokladom existencie zobrazenia ϕ:(x,x ) (y,y,y 3 ). 7.4 Ukážte, že dané vzt ahy určujú jediné zobrazenie ϕ:x Y v okolí bodum, ak a)

81 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 8 x y +x y y 3 y = (x x )(y y ) y y y 3 = (x +x )(y 3 y )+y y =, X= {(x,x )}, Y= {(y,y,y 3 )}, M (,,,,) b) sin(πx y )+sin(πx y )+sin(πx 3 y 3 ) = cos π (x y )+cos π (x y )+cos π (x 3 y ) =, X= {(x,x,x 3 )}, Y = {(y,y )}, M (,,,,) c) π arctg x y x y x x y y = x y x y + x y x y = X= {(x,x )}, Y= {(y y )}, M (,3,, 6 ). 7.5 Nech je daná rovnica a x = y () y= y(x),kde < x <+ () je funkcia, spĺňajúca rovnicu ().. Kol ko funkcií () spĺňa rovnicu ()?. Kol ko spojitých funkcií () spĺňa rovnicu ()? 3. Kol ko diferencovatel ných funkcií () spĺňa rovnicu ()? 4. Kol ko spojitých funkcií () spĺňa rovnicu (), ak: a) y()=; b) y()=? 5. Kol ko spojitých funkcií y=y(x)( δ < x <+δ) spĺňa rovnicu (), ak y()= a δ je dostatočne malé? 7.6 Predpokladajúc, že v nejakom jeho okolí bodum =(x,y,z ) je jednoznačne implicitne určená spojitá dvakrát diferencovatel ná funkcia z(x, y), nájdite hodnoty uvedených derivácií v tomto bode: a) z x, z y, z x y, ak x +y +z = R ; b) z x, z y, z x, akarctg z x = z+x+y; c) z x, z y, z z x,, ak x+ty+z=lnxyz, x >, y >, z >; x y d) z x, z y, z, ak x+y+z=cos(xyz). x y 7.7 Dokážte, že pre funkciu y= f(x) určenú implicitne rovnicou +xy= k(x y),

82 8 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič kde k je konštanta, platí rovnost dx dy +x= +y. 7.8 Dokážte, že pre funkciu y= f(x) určenú implicitne rovnicou x y +x +y = () pre xy > platí rovnost dx x 4 + dy y 4 =. 7.9 Nech x +y +z 3xyz= () af(x,y,z)=xy z 3. Nájdite: a)f x(,,), akz= z(x,y) je funkcia určená implicitne rovnicou () ; b)f x(,,), ak y = y(x, z) je funkcia určená implicitne rovnicou (). Vysvetlite, prečo sú tieto derivácie rôzne. 7. Nechz= z(x,y) je tá diferencovatel ná funkcia, určená rovnicou z 3 xz+y=, ktorá prex=3,y= nadobúda hodnotuz=. Nájditedz(3, ) ad z(3, ). Nájdite lokálne extrémy funkcie y = f(x) danej implicitne: 7. y ay sinx=, x π. 7. x +xy+y = (y x) 3 +x+6=. 7.4 O funkcii y=y(x) je známe, že vyhovuje rovnici x + y = x 4 + y 4. Kol ko takých diferencovatel ných funkcií môže byt definovaných na okolí bodu x =? Určte ich derivácie y (x) ay (x) v bodex=(pokial existujú).

83 Kapitola 8 Viazané extrémy funkcie viac premenných Význam a využitie viazaných extrémov funkcie viac premenných Geometrická interpretácia viazaného extrému a Lagrangeovho multiplikátora Lagrangeova funkcia Nutné podmienky existencie viazaného extrému Postačujúce podmienky viazaného maxima a minima Všeobecná postačujúca podmienka viazaného extrému a ohraničený Hessián 83

84 84 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Dôležité pojmy a tvrdenia Definícia viazaného extrému Nech f : D(f) R N R, a nech g : D(g) D(f) R N R je väzba. Pod viazaným lokálnym maximom (resp. minimom) rozumieme bod x M= {x,g(x)=} pre ktorý platí: f(x) f(x) (resp. f(x) f(x)) pre x O M, kde O je nejaké okolie bodux. Definícia Lagrangeovej funkcie. f: D(f) R N R, a nech g: D(g) D(f) R N R je väzba. Pod Lagrangeovou funkciou definovanou na(d(g),r). L(x,λ)=f(x) λg(x), Nutná podmienka viazaného extrému Nechf: D(f) R N R jec hladká funkcia (t. j. má spojité derivácie, a nechg:d(g) D(f) R N R jec hladká väzba. Predpokladajme, že g(x) pre x M = x,g(x)= - podmienka nedegenerovanosti. Ak bod bod x D(g)je viazané lokálne maximum (resp. minimum) úlohy max (resp. min) f(x), pri väzbeg(x)=, t. j. akxje kandidát na viazaný extrém, tak nutne existujeλ R (Lagrangeov multiplikátor)tak, že platí: i=,,..n: L x i (x,λ)=,g(x)=, kdel(x,λ)=f(x) λg(x) je Lagrangeova funkcia. Geometrická interpretácia viazaného lokálneho extrému a Lagrangeovho multiplikátora V tejto časti si priblížime geometrickú interpretáciu Lagrangeovho multiplikátora na príklade úlohy max M f(x) M= {x R : g(x)=} kde f,g:r R sú hladké funkcie, pričom g je regulárna väzba. Na obrázku 8. sú ako príklad naznačené množinam, ako nulová úrovňová množina funkcieg, t. j. M= E = c=(g)={x R : g(x)=} a niekol ko úrovňových množín E c = (f)={x R : f(x)=c} funkcie f pre rôzne hodnoty hladiny c. Lokálny viazaný extrém funkcie f pri väzbe g= zrejme nastane v tom bode x, kde sa úrovňová množina E c = (f) dotkne väzby, t. j množiny E= c= (g)={x R : g(x)=}. Normálové vektory k množinám E c = (f) resp.e= c= (g) v bode x sú dané gradientmi funkcie f resp.g a teda N(E c(f))= f( x), = N(E = c= (g))= g( x). Potom v bode lokálneho extrému x dostávame, že tieto dva vektory musia byt navzájom kolineárne (paralelné). To znamená, že existuje konštanta λ (Lagrangeov multiplikátor), pre ktorý platí f( x)=λ g( x). Táto podmienka je však zrejme identická s nutnou podmienkou viazaného extrému L(x,λ)= v bode x, kdel(x,λ)=f(x) λg(x).

85 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 85 Lokálny viazaný extrém N( E c ( g)) N c x ( E ( f )) E c ( f ) { x, f ( x) c} N c ( E ( f )) N c ( E ( g)) E ( g) { x, g( x) } M c Obr. 8.: Znázornenie geometrickej interpretácie Lagrangeovho multiplikátora. Vo vyššej dimenzii resp. pre viacero väzieb sa dá previest podobná geometrická úvaha vysvetl ujúca geometrický význam Lagrangeovho multiplikátora vyjadrujúceho vzt ah lineárnej závislosti gradientov optimalizovanej funkcie f a gradientov väzby g. Postačujúca podmienka viazaného lokálneho extrému PP. Nech sú splnené predpoklady na f a g z predošlého tvrdenia a nech bod x je kandidát na extrém a λ je vypočítaný Lagrangeov multiplikátor Lagrangeovej funkcie L(x, λ). Potom ak funkcia x L(x, λ) má v bode x lokálne maximum (resp. lokálne minimum), tak aj funkcia f(x) má v bode x viazané lokálne maximum (resp. viazané lokálne minimum). Definícia oblúkovo súvislej množiny. Množinu M R N nazývame oblúkovo súvislou, ak pre každé dva body x,y M existuje oblúk XY spájajúci bod X s bodom Y celý ležiaci v množine M, t. j. existuje intervali R a spojité zobrazenie ϕ:i R N,x=ϕ(a),y= ϕ(b),ϕ(t) M t [a,b]. Postačujúca podmienka viazaného lokálneho extrému PP. NechM je oblúkovo súvislá kompaktná množina M R N a nech f: M R N R je spojitá. Potom f nadobúda svoje maximum aj minimum na M (dôsledok kompaktnosti) a f zároveň nadobúda ktorúkol vek hodnotu medzi minimom a maximom (t. j. obraz f(m) je uzavretý interval). Definícia obkoleseného Hessiánu pre N = Nech f : D(f) R N R je C hladká funkcia (t. j. má spojité derivácie, a nech g: D(g) D(f) R N R je C hladká väzba. Predpokladajme, že g(x) pre x M= {x,g(x)=} - podmienka nedegenerovanosti. NechN=. Obkolesený Hessián je matica H= g x g L x g x g x L x x x L L x x x Postačujúca podmienka viazaného lokálneho extrému PP3. Nech sú splnené predpoklady na f a g z predošlého tvrdenia a nech bod x je kandidát na extrém a λ je vypočítaný.

86 86 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Lagrangeov multiplikátor Lagrangeovej funkcie L(x,λ). NechN=. Na to aby kandidátx na viazaný extrém bol minimum stačí aby determinant g H = g x x g x L x L x x g x L x x L x < Na to aby kandidát x na viazaný extrém predstavoval lokálne viazané maximum, stačí aby determinant H >. Definícia obkoleseného Hessiánu pre N Nech f: D(f) R N R je C hladká funkcia (t. j. má spojité derivácie, a nech g: D(g) D(f) R N R je C hladká väzba. Predpokladajme, že g(x) pre x M = x, g(x) = - podmienka nedegenerovanosti. Obkolesený Hessián je matica H= g x. g x N g x L x. L x x N g x... L x x.... L x x N... g x N L x x N L x N x N. Postačujúca podmienka viazaného lokálneho extrému PP3 pre N Nechf: D(f) R N R je C hladká funkcia (t. j. má spojité derivácie, a nech g:d(g) D(f) R N R je C hladká väzba. Predpokladajme, že g(x) pre x M = x,g(x)= - podmienka nedegenerovanosti. Nech bod x je kandidát na extrém a λ je vypočítaný Lagrangeov multiplikátor Lagrangeovej funkciel(x,λ). OznačmeH 3,H 4,...H N postupnost hlavných minorov počítaných vxaprislúchajúcich kλ. Pokial H 3 <,H 4 <,...,H N <, takxje bod lokálneho viazaného lokálneho minima. Pokial H 3 >,H 4 <,...,( ) N H N <, takxje bod lokálneho viazaného lokálneho maxima. Úloha viazaného extrému s viacerými väzbami. Nech f: D(f) R N R je C hladká funkcia (t. j. má spojité derivácie, a nech g i : D(g i ) D(f) R N R sú C hladké väzby pre i=,,...m. Predpokladajme, že M < N. Nech g i,i=,,...m, spĺňajú podmienku regularity: Hodnost matice g (x), pre všetky body x {x,g i x= pre i=,,...m} je M. Pritom g g x (x)... x N (x) g (x)=... g M g x (x)... M x N (x)

87 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 87 Definícia Lagrangeovej funkcie. Nech f: D(f) R N R, a nech g i : D(g i ) D(f) R N R sú C hladké väzby pre i=,,...m. Predpokladajme, že M < N. Pod Lagrangeovou funkciou M L(x,λ)=f(x) λ i g i (x), definovanou na(x,λ) ( M i= D(g i),r M ). Nutná podmienka viazaného extrému Nech f : D(f) R N R, a nech g i : D(g i ) D(f) R N R sú C hladké väzby pre i=,,...m. Predpokladajme, že M < N. Nech rovnice väzby spĺňajú podmienku regularity. Nech x je bod viazaného lokálneho extrému. Nech L(x,λ)=f(x) M i= λ ig i (x) je Lagrangeova funkcia. Potom musí platit, že existuje λ R M také, že L x j (x,λ)= pre j=,,...n a g i (x)= pre i=,,...n. Poznámka. Pri zist ovaní, či daný kandidát je alebo nie je viazaný lokálny extrém úlohy s viacerými väzbami používame analógiu s PP, s PP a s PP3, pričom obkolesený Hessián vyzerá :. g T(x). g T (x) H= gm T(x) g (x)... g M (x) L x(x,λ) Pritom je M rozmerný nulový vektor, g i (x) je N rozmerný stĺpcový vektor a L x (x,λ) je reprezentovaná maticou N N. i= Riešené príklady. Príklad. Kruh o polomere rozdel te spojnicami stredu a hranice kruhu na n-uholník s vnútornými uhlami pri strede kruhu x,x,...x n (v radiánoch ). Nájdite také hodnoty x,x,...x n, pri ktorých je obvodn-uholníka maximálny. Riešenie. Označme vnútorné uhlyn uholníkax,x,...x n, tak pre obvod vpísanéhon uholníka do kružnice o polomere platí: O(x,x,...x n )= Pritom hl adámemax Kn O(x,x,...x n ) na množine Označme n i= sin x i. K n = {(x,x,...x n ), i=,,...,n: x i, A n = {x, i=,,..n:x i >, n x i =π}. i= n x i =π},b n = {x, i:x i =, i= n x i =π}. i=

88 88 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Ked že K n je kompaktná množina, určite nadobúda O spojitá funkcia na nej maximum. Z geometrického názoru, t. j. použijúc trojuholníkovú nerovnost vyplýva, že sa dané maximum musí nadobúdat na množinea n. Teda hl adáme viazané lokálne maximum funkcieo(x) na množine {x, i=,,..n:x i >} s väzbou Teraz zostrojíme Lagrangeovu funkciu L(x,λ)=O(x) λ( n x i =π. i= n x i π)= Ked použijeme nutnú podmienku lokálneho extrému, t..j. i= n sin x n i λ( x i π). i= i {,,...n}: L x i (x)=cos x i λ=, tak dostávame, že i {,,...n}:cos x i =cos x. Z podmienky väzby vyplýva, že x i (,π) a teda x i (,π). Ked že funkciacos je na(,π) prostá funkcia, platí i {,,...n}x i = π n. Teda jediný kandidát na viazaný lokálny extrém je x=( π n,π n,...π n ). Viem, že maximummax Kn O sa nadobúda na množine A n a teda v bodex. Ukázali sme, že obvodn uholníka je maximálny, ked sa jedná o pravidelný n uholník. Príklad. Rozložte dané kladné číslo a na n sčítancov tak, aby súčet ich štvorcov bol minimálny. Riešenie Nech V : R n R,V(a,a,...,a n )= n i= a i. Hl adámeminv(a,a,...,a n ), za podmienky väzby a +a +...a n = a. Definujme Lagrangeovu funkciu i= L(a,a,...,a n,λ)= n a i λ(a +a +...+a n ). i= Dostávame L a =a λ, L a =a λ,.

89 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 89 L a n =a n λ, Nutná podmienka existencie viazaného extrému je teda λ=a =a =...a n, pri podmienke väzby máme jediný možný bod spĺňajúci podmienku a i = a n = λ. Teraz použijeme podmienku PP. Určíme Hessovu maticu druhých derivácií funkcie L(x) = L(x, λ) v bode Dostávame i,,...n: L a i ( a n, a n,...a n ). =, i,j,,...n,i j: L a i a j =. Z kladnej definitnosti Hessovej matice vyplýva existencia viazaného minima danej funkcie a väzby. Minimum sa nadobúda v bode ( a n, a n,...a n ). Na dôvažok doplňme, že týmto príkladom sme nepriamo ukázali aj nerovnost n n i= a i ( n ) n a i. Príklad 3. Na sfére x + y + z = nájdite bod, ktorý má minimálny súčet štvorcov vzdialeností odndaných bodovm i (x i,y i,z i ),i=,,...n. Riešenie. Budeme riešit úlohu na viazaný lokálny extrém funkcie V : R 3 R, V(x,y,z)= i= n (x x i ) +(y y i ) +(z z i ), i= kde(x,y,z) spĺňa väzbux +y +z =. Ked že povrch gule je oblúkovo súvislá a kompaktná množina, tak na nej funkcia musí nadobúdat podl a podmienky PP ako minimum, tak aj maximum. NechL(x,y,z,λ):R 3 R R je definovaná vzt ahom L(x,y,z,λ)= n {(x x i ) +(y y i ) +(z z i ) }+λ(x +y +z ). i= Nutná podmienka viazaného extrému je L n x = (x x i )+λx=. i= L n y = (y y i )+λy= i=

90 9 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Dostávame: L n z = (z z i )+λz=. i= x(n+λ)= y(n+λ)= z(n+λ)= n x i, i= n y i, i= n z i. Po umocnení na druhú a sčítaní všetkých troch rovnica využití väzby dostaneme Teda máme i= i= n n n (n+λ) =( x i ) +( y i ) +( z i ). i= i= i= i= n n n λ = n+ ( x i ) +( y i ) +( z i ). i= i= i= n n n λ = n ( x i ) +( y i ) +( z i ). a body možného extrému sú(x,y,z ),(x,y,z ), kde x = n+λ x = n+λ n i= n i= x i,y = n+λ x i,y = n+λ n i= n i= i= y i,z = n+λ y i,z = n+λ n z i. i= n z i. Teraz bud použijeme PP alebo PP. Ked že Hessova matica druhých derivácií funkcie L(x,y,z,λ ) v bode sa l ahko počíta, platí L (x,y,z )= n+λ n+λ n+λ = i= S S S, kde Podobne n n n S= ( x i ) +( y i ) +( z i ). i= L (x,y,z )= i= i= S S S

91 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 9 Teda, aks, tak v(x,y,z ) sa nadobúda viazané minimum a v(x,y,z ) sa nadobúda viazané maximum. AkS, tak minimum sa nadobúda v bode x = S n x i, y = S i= n y i, z = S i= n z i. i= V prípade, že S =, platí pre(x, y, z)ktoré spĺňa podmienku väzby V(x,y,z)= n (x +y +z ) x i= x +y +z = n (x x i ) +(y y i ) +(z z i ) = i= n x i y i= = n+ n y i z i= n x i +y i +z i, i= n z i + i= n x i+yi+z i čo vlastne znamená, žev je v tomto prípade konštantná a každý bod(x,y,z) väzby je bodom neostrého lokálneho minima aj maxima. i= Viazané lokálne extrémy Nájdite viazané lokálne extrémy funkcií: 8. z(x,y)=x +y, x a + y b =. 8. z(x,y)=x+y, Príklady na samostatné riešenie x + y = a. 8.3 z(x,y)=xy, x +y =. 8.4 z(x,y)=x+y,tg x+3tg y=, x < π, y < π. 8.5 u(x,y,z)=x y+z, x +y +z =. 8.6 u(x,y,z)=xy z 3, x+y+3z=6,(x >, y >, z >). 8.7u(x,y,z)= x a y z u(x,y,z)=xyz, x +y +z =3. b c, x +y +z =,(a > b > c >). 8.9 u(x,y,z)=x+y+z, z x=, y xz=. 8. u(x,y,z)=xyz, x+y+z=5, xy+yz+zx=8.

92 9 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič 8. Ako treba zvolit polomer podstavy r a výšku h kruhového valca, ktorého objem je V=54π, aby mal najmenší povrch? 8. Nájdite rozmery pravouhlého rovnobežnostena najväčšieho objemu, ktorý je vpísaný do elipsoidu x y z a+ b+ c =. 8.3 Nájdite najmenšiu vzdialenost bodu(x,y,z ) od roviny τ: ax+by+cz+d=. 8.4 Nájdite extrém kvadratickej formy u = väzbe n x i =. i= 8.5 Dokážte nerovnost : n a ij x i x j m kde a ij = a ji sú reálne čísla, pri i,j= x n +y n ( ) x+y n, ak n, x, y. 8.6 Nájdite viazané extrémy funkciez= x m +xm + +xm n, ak rovnica väzby jex +x + +x n = n.a, a >, m >. 8.7 Dokážte Hölderovu nerovnost ( n n ) /p ( n ) /q a i x i a p i x q i, a i, x i, i=,,...,n, p >, p + q =. i= i= i= 8.8 Nájdite viazané lokálne extrémy funkcie pri väzbách x+y+z= a x +y +z =. f(x,y,z)=x+y+3z Globálne extrémy Nájdite globálne extrémy funkcii na uzavretej ohraničenej oblastim: 8.9 z(x,y)=x +y x+6y, M= {(x,y) R : x +y 5}. 8. z(x,y)=x +y +4xy 6x, M= {(x,y) R : x, y, y x+3}. 8. z(x,y)=x xy+y, M= {(x,y) R : x + y }. 8. z(x,y)=x y, M= {(x,y) R : x +y 4}. 8.3 z(x,y)=e x y (3x +y ), M= {(x,y) R : x +y 4}. 8.4 z(x,y)= xy x y 6 xy 8, M= {(x,y) R : x 3 + y, x, y }. 4

93 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch u(x,y,z)=x +y +3z, M= {(x,y,z) R 3 : x +y +z }. 8.6 u(x,y,z)=x+y+z, M= {(x,y,z) R 3 : x +y z }. 8.7 u(x,y,z)=xy+yz+zx, M{(x,y,z) R 3 : x +y +z a }. 8.8 Riešte viazané lokálne extrémy funkcie f pri väzbe g. a)f(x,y)=4x y a g: x y =5, b)f(x,y)=x y a g:x y 3= 8.9 Zistite globálne extrémy funkcieuna množine D. u(x,y,z)=x ax+y ay+z az D={(x,y,z),x +y +z 4a,z } Návod: Treba si uvedomit, že množina D je súvislá a kompaktná. Najprv hladáme možné lokálne extrémy(pomocou prvých derivácií vyjdem =(a,a,a). Ďalej hladáme body možných extrémov na hranici D=D D, kde D = {(x,y,z),x + y + z =4a,z } a D = {(x,y,z),x + y 4a a z =}. Na D nám vyjde M =( a 3, a 3, a 3 ). Na D hl adáme globálne extrémy a dostávame nám M 3 =(a,a,) a M 4 =( a, a,) a M 5 =( a, a,). Teraz spomedzi bodovm,m,m 3,M 4,M 5 vyberieme tie v ktorých nadobúda funkcia maximum a minimum. maxu(m) vm 5,u(M 5 )=4a ( +),minu(m)=u(m )= 3a )

94 Kapitola 9 Rozvoj funkcií do Fourierovho radu Rozvoj funkcie do Fourierovho radu, vzt ahy pre koeficienty Fourierovho radu Periodické, párne a nepárne rozšírenia funkcii a ich rozvoj do Fourierovho radu Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost Konvergencia trigonometrického radu, bodová konvergencia Fourierovho radu Riešenie okrajovej úlohy pre obyčajnú diferenciálnu rovnicu pomocou Fourierovho radu 94

95 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 95 Dôležité pojmy a tvrdenia Myšlienka konštrukcie Fourierovych trigonometrických radov je založená na snahe aproximovat reálne funkcie reálnej premennej pomocou trigonometrických funkcií sin resp. cos. V tejto časti pripomenieme základné fakty o konštrukcií Fourierovych radov a ich vlastnostiach. Nech f:[ l, l] R je Riemannovsky integrovatel ná funkcia. Pod Fourierovym radom funkcie f na intervale[ l,l] rozumieme funkcionálny rad a + n= a n cos nπx l +b n sin nπx l zložený z tzv. trigonometrických polynómovcos nπx l asin nπx l pre n=,,...,. Fourierove koeficienty tohto trigonometrického radu vypočítame nasledovne: a = l a n = l b n = l l l l l l l f(x)dx, f(x)cos nπx dx, l f(x)sin nπx dx. l Fourierov rad k funkciif potom má tvar f(x) a + a n cos nπx l n= +b n sin nπx. l Zámerne sa vyhýbame napísaniu rovnosti vo vyššie uvedenom vzt ahu, nakol ko horeuvedený rad nemusí konvergovat k hodnotef(x) v každom bodex. Idea odvodenia vzorcov pre koeficienty a n,b n je jednoduchá a spočíva vo vynásobení sumy k= a kcos kπx l +b k sin kπx l funkcioucos nπx l resp.sin nπx l a následnom integrovaní po intervale[ l, l]. Potrebujeme ešte využit integrály l l cos nπx l cos mπx l dx= sin nπx l l l sin mπx dx= l pren m pre každén,m a l l ( l l cos nπx l cos nπx l ) dx= l ( sin mπx dx= l l sin nπx l ) dx=l pre každén.

96 96 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič V prípade, že funkcia f :[a,b] R, kde[a,b] je l ubovolný interval, tak Fourierove koeficienty vypočítame podl a vzorcov a = T a n = T b n = T b a b a b a f(x)dx, f(x)cos πnx T dx, f(x)sin πnx T dx. kdet= b a. V tomto všeobecnom prípade má Fourierov rad funkcie f tvar f(x) a + a n cos πnx T n= +b n sin πnx T. Periodické rozšírenie funkcie. Nech f :[a,b] R R je funkcia. Pod T -periodickým rozšírením funkcie f z intervalu[a, b] do R, kde T = b a, rozumieme funkciu kdek Z je také celé číslo, žex kt [a,b]. f(x)={ f(x) ak x [a,b], f(x kt) ak x [a,b], Párne rozšírenie funkcie. Nech f :[,T] R R je daná funkcia. Pod párnymt - periodickým rozšírením funkcie f rozumieme funkciu f : R R, ktorá je periodickým rozšírením funkcie f(x)={ f(x) akx [,T], f( x) ak x [ T,). Nepárne rozšírenie funkcie. Nech f :[,T] R R je daná funkcia. Pod nepárnym T -periodickým rozšírením funkcie f rozumieme funkciu f: R R, ktorá je periodickým rozšírením funkcie f(x)={ f(x) ak x [,T], f( x) ak x [ T,). Besselova nerovnost. Nechf L ( l,l). T.j. platí l presnejšie pre rozdielf(x) s n (x), kde l l l f (x)dx l( a + a n + b n ), k= f (x)dx <. Nech f je l periodická.potom n= s n (x)= a n + a k cos kπx l označuje n-tý čiastočný súčet Fourierovho radu, platí: +b k sin kπx l l f(x) s n dx= l f(x) dx l( a n + a k + b k ). k=

97 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 97 Parsevalova rovnost Nech f L ( l,l). T.j. platí l l l l f (x)dx <. Nech f je l periodická.potom f (x)dx=l( a + a n + b n ) Poznámka. Prečo vlastne neudávame len rovnost? Lebo Besselova nerovnost platí všeobecnejšie v l ubovol nom Hilbertovom priestore, kde si zvolíme nejaký ortonormálny systém, podl a ktorého funkciu rozvíjame. V prípade, že tento systém je úplný, dostávame analogickú Parsevalovu rovnost. Tvrdenie. Ak funkcia f jel - periodická funkcia, spojitá, po častiach C hladká, potom pren, x [,π]. n= s n (x ) f(x ) Tvrdenie. Ak funkcia f jel - periodická funkcia, po častiach C hladká, tak potom s n (x ) f(x ), kde { f(x ) a x je bod spojitosti f(x )= f(x + )+f(x ) a x je bod nespojitosti. Tvrdenie 3. (O derivovaní Fourierovho radu) Nech f je spojitá na(, ) periodická funkcia s periódout=l, t. jf( l)=f(l). Nechf je po častiach spojitá na[a,a+l]. Potom Fourierov rad funkcief dostaneme derivovanímf Fourierovho radu funkcief člen po člene. Riešené príklady. Príklad. Nech(X,.) je LVP so skalárnym súčinom(.,.). Norma. na X je definovaná pomocou skalárneho súčinu(x,y) R: x = (x,x). Nech(φ,φ,...φ n,...) je systém navzájom ortogonálnych prvkov v X. Nech f X, f l ubovol ný. Potom pod Fourierovými koeficientami funkcie f rozumieme postupnost takú, že {γ m } m=,γ m R, γ m = (f,φ m) φ m. Toto je zovšeobecnenie Fourierovych radov do l ubovol ného LVP priestoru so skalárnym súčinom. Označme teraz n s n = γ m φ m X m= akon čiastočný súčet Fourierovho radu. Nech t n = n c m φ m X,c m R m=

98 98 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič je l ubovol ná lineárna kombinácia bázických funkcií(φ,...,φ n. Potom platí f s n f t n. To znamená, že aproximácia s n funkcie f skonštruovaná pomocou Fourierovych koeficientov, je najlepšia aproximácia spomedzi všetkých lineárnych kombinácií s pohl adu minimalizácie kvadratickej chyby f s n. Dôkaz. Počítajme t n f =(t n f,t n f)=( n c m φ m f, m= n c m φ m f) m= (z ortogonality) n n n = f (f, c m φ m )+( c m φ m, c m φ m ) m= m= m= n n n n = f c m (f,φ m )+ c m φ m = f c m γ m φ m + c m φ m m= m= m= m= n n n = f + φ m (c m γ mc m +γm γ m )= f + φ m (c m γ m ) φ m γm. m= m= m= Teraz dosad me zac m = γ m m=,,...n: n s n f = f φ m γm. m= A teda n t n f = s n f + φ m (c m γ m ) s n f. m= Príklad. Vypočítajte postupne Fourierove rady k funkciám na(,π) a) x, b) x, c) x 3 vzhl adom na ortogonálnu sústavu funkcií, cos nx, sin nx, n N. Riešenie. a) Funkciaf(x)=x: a = π π x dx=π, a n = π Fourierov rad je preto daný: π x π xcosnx dx=, b n = π n i= Odtial tiež dostaneme, že na intervale(, π) platí: n sinnx. π xsinnx dx= n. π x n i= n sinnx.

99 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 99 b) Funkciaf(x)=x : (použijeme per partes) a = π a n = π π π x dx= 8 3 π x cosnx dx Tu sme použili b n z a). (opät použijeme per partes) u=x,u =x,v =cosnx,v= sinnx n a n = π sinnx dx= πn n b n= 4 n. b n = π Fourierov rad na intervale(,π) má tvar x 4 3 π + π x sinnx dx b n = 4π n + n a n= 4π n. n i= 4 n cosnx 4π n sinnx. Porovnaním a), b) dostaneme, že na intervale(,π) platí 3x +π 6πx n i= cosnx n. c) Funkciaf(x)=x 3 : (použijeme per partes) (použijeme per partes) a = π a n = π π π x 3 dx=4π 3. x 3 cosnx dx a n = 3 n b n= π b n = π π n x 3 sinnx dx b n = 8π n +3 n a n= 8π n + n 3. Teda Fourierov rad na(,π) má tvar x 3 π 3 + n i= π n cosnx+( n 3 8π n )sinnx.

100 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Porovnaním a), b), c) dostaneme, že na intervale(,π) platí: x 3 3πx +π x n i= sinnx n 3. Teraz môžeme použit Parsevalovu rovnost na výpočet nasledovných radov: a) n i= n, b) n i= n 4, c) n i= n 6. a) Z Parsevalovej rovnosti pre funkciu π x na intervale(, π) dostávame n i= n = π π ( π x ) dx= π 6. b) Z Parsevalovej rovnosti pre 3x +π 6πx na intervale(,π) máme n i= n 4= π π ( 3x +π 6πx ) dx= π4 9. c) Z Parsevalovej rovnosti pre x3 3πx +π x na intervale(,π) dostávame n i= n 6= π π ( x3 3πx +π x ) dx= π Zostrojte Fourierove rady funkcií a) f(x)=7+4cos3x na( π,π). b) Príklady na samostatné riešenie f(x) = pre x (,π) f(x) = pre x= f(x) = prex ( π,) c) f(x)= x prex [ l,l],l= vzhl adom k systému funkcií(,...,cos nπx d) f(x) = exp( x) x ( l, l) vzhl adom k systému funkcií z c) e) f(x)=cos 3 x f) f(x)=x +cos x l,sin nπx l ) 9. Nech n= c nφ n je Fourierov rad funkcie f a n= d nφ n je Fourierov rad funkcie g, pričom φ n je ortogonálny systém funkcií. Aké sú Fourierove koeficienty funkcie f+g? 9.3 Nech je daná funkcia f(x)=x na[,π]. Rozšírme ju na interval[ π,π] a napíšme Fourierov rozvoj rozšírenej funkcief

101 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch a) Akf má perióduπ na( π,π) b) Akf (x) je párna funkcia na[ π,π] c) Akf (x) je nepárna funkcia na[ π,π] d) Na základe b) spočítajte n= n, n= ( ) n+ n, n= (n ) Návod: Pre periodické predlženie f funkcie f= x definovanej na základnom interval [ π,π] s periódouπ platí, žef je spojitá na(, ) a periodická s periódouπ a preto po spočítaní Fourierovho radu v b) dostaneme, že a teda f (x)= π 3 +4 n= x = π 3 +4 n= Teraz dosadíme za x = a dostaneme, že Ak dosadíme za x=π, dostaneme n= ( ) n cosnx n x (, ) ( ) n cosnx n x, x π. ( ) n+ n = π. n= a sčítaním predošlých dvoch radov dostaneme n= n =π 6 π (n ) = Nájdite sínusový trigonometrický rozvoj funkcief(x)=x x prex (,). Návod: Rozšírime funkciu na nepárnu na(,). 9.5 Nájdite kosínusový trigonometrický rad pre funkciu f(x) = sin x pre x (, π) Návod: Rozšírime funkciu na párnu na[ π,π]. 9.6 Pomocou Parsevalovej rovnosti spočítajte a) b) k= k= (k+), (k+) Dokážte, že systém(,x, (3x ), (5x3 3x)) je ortogonálny systém v priestore L (,) integrovatel ných funkcií s druhou mocninou na intervale,) s integrálnou normou..

102 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič 9.8 Metódou rozvoja do Fourierovho radu nájdite riešenie diferenciálnych rovníc a) u (x)=, x (,) u()=u()= b) u (x)+u(x)= x (,) u()=u()= 9.9 Zostrojteπ periodické predlženie funkcie f, f(x)=x+,x ( π,π). K akej funkcii konverguje Fourierov rad a na akých intervaloch? Kedy je konvergencia rovnomerná? Návod: Ked že funkciaf je po častiach spojitá naraπ periodická, tak potom na intervale ( π,π) konverguje Fourierov rad kf, vkπk Z konverguje ku f(x)+ +f(x) = π+ π+ =. Na každom kompaktnom podintervale[c, d] ( π, π) je dokonca konvergencia rovnomerná. 9. Funkciu f(x)= x rozviňte do Fourierovho radu na intervale(,). Vypočítajte súčet radu Na základe poznania tohto súčtu nájdite aj súčet: Funkciu f(x)=max(x,) rozviňte do Fourierovho radu na intervale(,). 9. Funkciu f(x)=sin(x/) rozviňte do Fourierovho radu na intervale( π,π). 9.3 Funkciu f(x)=xsin(x) rozviňte do Fourierovho radu na intervale(,π). 9.4 Funkciu f(x)=x prex > f(x)= prex < rozviňte do Fourierovho radu na intervale(,). 9.5 Funkciu f(x)=max(x 3,) rozviňte do Fourierovho radu na intervale(,). Grafické zobrazenia funkcií a ich Fourierovych radov

103 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 3 Grafické zobrazenie funkcie f(x)= { x < x definovanej na intervale[a,b]=[,] a jej čiastočný Fourierov rad S n (f)(x)= a n= a ncos πnx T +b nsin πnx T pre n = 5. Periodické predĺženie tejto funkcie s periódou T= b a + f x x f x x Grafické zobrazenie funkcie f(x) = x definovanej na intervale[a,b] = [,] a jej čiastočný Fourierov rad S n (f)(x)= a + n= a ncos πnx T + b n sin πnx T pre n=5. Periodické predĺženie tejto funkcie s periódou T = b a f x x f x x Spektruma n,n=,..., ab n,n=,..., funkcie definovanej v predošlom príklade a n n b n n Grafické zobrazenie funkcie f(x) = n= [cos(n )sin(n x); definovanej na intervale[a,b]=[,] a jej čiastočný Fourierov rad S n (f)(x)= a + n= a ncos πnx T + b n sin πnx T pre n =. Periodické predĺženie tejto funkcie s periódou T = b a f x 4 4 f x x 4 4 x

104 4 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Tá istá funkcia ako v predošlom príklade. Čiastočný Fourierov rads n (f)(x) pren=5. f x 4 4 f x x 4 4 x Spektruma n,n=,..., ab n,n=,..., funkcie definovanej v predošlom príklade a n. b n n n

105 Kapitola Riemannov integrál funkcie viac premenných Definícia Riemannovho integrálu na ohraničnej oblasti Vlastnosti integrálu funkcii viac premenných Fubiniho veta 5

106 6 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Dôležité pojmy a tvrdenia Pod čapatcom (ospravedlňujeme sa za nespisovný novotvar) rozumieme konečné zjednotenie kvádrov typuπ n i= I i, kdei i je interval (otvorený alebo uzavretý). NechΩje oblast vr n (t.j. otvorená a súvislá množina.) Oblast Ω nazveme meratel nou ak existuje rastúca postupnost uzavretých čapatcov K n a klesajúca postupnost otvorených čapatcov G n takých, že platí K n Ω G n a lim G n K n = n kdeg n K n čapatec predstavujúci rozdiel čapatcovg n a K n. Potom ich spoločnú limitu lim K n = lim G n =: Ω n n nazývame mierou Ω množinyωasamotnú množinuωmeratel nou množinou. V nasledujúcom sa bude používat aj výraz elementárna oblast typu[x, y], v 3-rozmernom prípade typu[x, y, z]. Elementárne oblasti sú meratel né. Definícia elementárnej oblasti typu[x, y]. Nech a, b R. Nech ϕ, ψ sú spojité funkcie definované na[a,b]. Potom pod elementárnou oblast ou typu[x,y] rozumieme množinu {[x,y],a x b ϕ(x) y ψ(x)}. Pod elementárnou oblast ou typu[y,x] rozumiem {(x,y),c y d ϕ(y) x ψ(y)}, ak(ϕ,ψ) sú definované na[c,d]. Analogicky elementárnu oblast môžeme definovat aj vr 3 : Pod elementárnou oblast ou typu[x,y,z] rozumieme množinu [x,y,z],a x b ϕ (x) y ψ (x) ϕ (x,y) z ψ (x,y)}. Pritomϕ,ψ sú spojité funkcie definované na[a,b], ϕ,ψ sú spojité funkcie definované na elementárnej oblasti typu[x,y] určenej intervalom[a,b] a funkciami ϕ,ψ. Analogicky sa dá definovat pomocou zámeny premenných aj elementárna oblast typu [y,x,z],[z,y,x] atd a dokonca aj elementárna oblast v R n, kde n je l ubovol né prirodzené číslo. Definícia Riemannovho integrálu. Funkciu f :Ω R n R nazývame Riemannovsky integrovatel ná, pokial existuje lim S(f,D)=I f =: f(x)dx, D kde D je norma delenia Ω D = max S i D diam( S i) a S(f, D) je l ubovol ný integrálny súčet prislúchajúci funkcii f a deleniu D. diam(a) = max x,y A x y je priemer množiny A. Pod delením množiny Ω rozumieme l ubovolný konečný systém meratel ných množín { S i,i=,...,m} spĺňajúci

107 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 7. m i= S i=ω. int( S i S j )= prei j Integrálny súčet S(f, D) náležiaci deleniu D je potom definovaný ako kdep i S i a S i je miera S i. S(f,D)= m f(p i ) S i i= Veta. NechΩ R n je ohraničená meratel ná oblast v R n. Nech f je spojitá funkcia naω. Potomf je R-integrovatel ná naω, t. j. existuje Riemannov integrál Ω f(x)dx. Elementárne vlastnosti integrálu. Ak f(x) tak Ω dx= Ω, kde Ω je n-rozmerná mieraω. Ked nie je explicitne povedané Ω, nazývame objem oblasti (volume), vr - plocha.. Ak f je integrovatel ná na Ω a α R, tak 3. Ak funkcie f,g sú integrovatel né naω, tak Ω Ω αf(x)dx=α f(x)dx Ω f(x)+g(x) dx= 4. AkΩ=Ω Ω, int(ω Ω )=,tak f(x)dx= Ω Ω Ω f(x)dx+ g(x)dx Ω f(x)dx+ f(x)dx. Ω Ω Definícia dvojnásobného integrálu NechΩ R je elementárna oblast typu[x,y], t. j. Ω={(x,y),a x y ϕ(x) y ψ(x)}. Pod dvojnásobným integrálom rozumieme b ( ) ψ(x ) f(x,x )dx a ϕ(x ) dx. Veta o strednej hodnote. NechΩ R je súvislá ohraničená elementárna oblast, f spojitá naω, tak existuje bodp Ω: f(p)= Ω b a ( ) ψ(x ) f(x,x )dx dx. ϕ(x )

108 8 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Fubiniho veta. AkΩje elementárna oblast af je spojitá naω, tak platí ( b ) ψ(x ) f(x)dx= f(x,x ) dx dx. Ω a ϕ(x ) ( dvojnásobný integrál) Rovnako platí Fubiniho veta aj na elementárnej oblasti typu[x,x,...x n ] v R n. A dá sa rozšírit aj na konečné zjednotenie elementárnych oblastí a dokonca aj na nekonečné. Príklad. Zapíšte množinu Riešené príklady D={[x,y],x +y 5;3x 4 y } ako zjednotenie konečného počtu elementárnych oblastí typu[x, y] aj typu[y, x] a zameňte poradie integrovania v dvojnom integráli f(x, y)dxdy, pomocou Fubiniho vety v prípade, žef je spojitá nad. Riešenie Najprv uvažujme oblast typu[x,y]. Podoblast D je daná ako D D = {(x,y): x 5,, y 5 x, } {(x,y): x,4, y 5 x, 3x 4 } Druhá podoblast D je daná D = {(x,y): x 5,, y, 5 x } {(x,y): x,4, y 3x 4, 5 x. TedaD=D D a D f(x,y)dx dy= 5 5 x f(x,y)dy dx+ 5 x + f(x,y)dy dx x Teraz oblast D napíšeme ako zjednotenie oblastí typu[y, x]. 3x 4 D=D D D 3. 3x 4 5 x f(x,y)dydx f(x,y)dydx Pre podoblast D máme vyjadrenie D = {(x,y): y,3, x 5 y, 4y 3 } {(x,y): y 3,, x 5 y, 4y 3 }. Podoblast D je daná ako D = {(x,y): y 3,5, x 5 y, 5 y }

109 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 9 Napokon podblast D 3 je daná ako D 3 = {(x,y): y 5, 3, x 5 y, 5 y }. Podl a Fubiniho vety dostávame vyjadrenie pre integrál: D f(x,y)dx dy= y 4y 3 5 y f(x,y)dx dy+ 5 y f(x,y)dx dy y 4y 3 5 y f(x,y)dxdy 5 y f(x,y)dx dy Príklad. Utvorte horný integrálny súčet S n a dolný integrálny súčet s n funkcie f(x,y)= x+y nax,,y 3,5 pre jej delenie na obdĺžniky priamkami x=+ i n,i=,,,...n, Potom vypočítajte ajlim n S n, alim n s n. y=3+j n,j=,,...n Riešenie. Vieme, že platia identity: n i= i= n(n+), n j= j = n(n+)(n+). 6 Vypočítajme, akú plochu má i,j-tý obdĺžnik. Zrejme každý obdĺžnik zvoleného delenia má plochu S i,j = n. n = n. OznačmeM i,j =maxf(x,y) nai,j-tom obdĺžniku,m i,j =minf(x,y) nai,j-tom obdĺžniku. ZrejmeM i,j =(+ i+ n )+(3+(j+) n ) a m i,j =(+ i n )+(3+j n ). Teraz vypočítame S n = M i,j.s i,j = n n M i,j = n n (+ i+ n )+(3+(j+) n n n i= j= i= j= = n (+ i+ n n n )+ (9+ (j+) n n i= i= j= i= j= + 4(j+) n ) = n n (n+ (i+))+ n n n.9n+ n. (j+)+ 8 n n n 3 (j+) = + n(n+) n n(n+) n = +3. n+ n +4 3 (n+).(n+) n. PretoS n =+3. n+ n +4 (n+).(n+) 3 a n j= j= + 8 n 3.n.(n+).(n+) 6 lim n S n= = )

110 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Ďalej s n = n n m i,j.s i,j = n n i= j= i= j= = n n n (+ i n )+(3+j n ) i= j= m i,j = n n (n+i)+ n n (9n+ jn n n +4j n ) i= = + n.n(n ) j= +8+ n n. j+ 8 n n 3 j= j= = + n(n ) n +. n(n ) n + 8 (n )n(n ) n 3 6 a pretolim n s n = =35+ 3.Teda Príklad 3. Vypočítajte integrál lim s n= lim S n=35+ n n 3. Ω dxdy a x,a >, ak oblast Ω je ohraničená kratšou čast ou kružnice k so stredom[a, a] a polomerom a, ktorá sa dotýka osí súradníc x, y, a týmito osami. Riešenie. Napíšeme elementárnu oblast Ω typu[x, y]: x, a. Zrejme kratšia čast kružnice je opísaná(x a) +(y a) = a. Teda elementárna oblast má tvar Počítajme teda integrál Ω dx dy a x = = a a dx x,a,y= a a (x a). a a (x a) adx a x a = a[ a x] a a dy a x a (a ax+x )dx a x xdx= a 3 a 3 3 [x3 ] a =a3 ( 4 3 ). j Príklady na samostatné riešenie. Vypočítajte obsah oblasti ohraničenej grafmi funkcií xy=4,y= x,x=4.. Vypočítajte obsah oblasti ohraničenej krivkami

111 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch a) y= x,y= 4 x,y=4. b) y= x,y= 4 x, x [,]..3 Vypočítajte obsah oblasti ohraničenej krivkami x= y y, x= a 6a, x= 3 6ay, x= 3 ay.4 Vypočítajte obsah plochy oblasti ohraničenej krivkou, ktorá má rovnicu Nakreslite si najprv graf. y 3+x 3= a 3 Elementárne oblasti, prepis elementárnej oblasti vr, Fubiniho veta.5 Prepíšte elementárnu oblast typu[x, y] na typ[y, x], kde elementárna oblast je daná vzt ahmi: x, x y x..6 Nakreslite elementárnu oblast typu x,y a pretransformujte na typ y,x, ked je daná vzt ahmi x, x y 4 x.7 Zapíšte vnútro elipsy ako elementárnu oblast. x 4 + y 9 =.8 V úlohách napíšte Fubiniho vetu pre dvojný integrál f(x, y)dxdy, A ak je daná množina A. a) Množina A je ohraničená hyperbolou y x = a kružnicou x + y =9, pričom obsahuje bod(,). b) Množina A je ohraničená krivkamix=, x=, y=x, y= x. c) Oblast A je ohraničená grafmi kriviek y= x,y= x. d) Oblast A je ohraničená grafmi kriviek y= r (x r), y= x. e) Oblast A je ohraničená grafmi kriviek y=x,y= x+6,x=..9 Vypočítajte hodnotu dvojného integrálu Af(x,y)dxdy ak a) Oblast A je danáx +y R, af(x,y)=y x 3. b) Oblast A je ohraničená krivkami y= x, y= x, af(x,y)=x +y. c) Oblast A je určená 3 krivkamix=,y= x,y= x x, a f(x,y)= y.. Vypočítajte objem jednotkovej gule. (Návod: Počítajme objem osminy gule len v jednom oktante, tedaaje daná vzt ahmi x [,],y [, x ],z [, x y ],

112 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič čo vedie k integrálu objem celej gule V=8 x dx x y dy.). Vypočítajte daný integrál a) xy y dxdy, ak množina A je daná nerovnost ami y b, y x y. b) ( x + y )dxdy, A ak množina A je daná nerovnost ou x + y c) xydxdy, A ak množina A je ohraničená parabolou y =x a priamkou x=. d) y x +y dxdy, A A ak množina A je ohraničená parabolou y =x a priamkami y= x ax=, y. e) e x ydxdy A ak množina A je ohraničená parabolou y = x a priamkami x=, y=, y=. f) x y dxdy, ak množina A je ohraničená čiarami y= x, y=4x, x=3. g) xy dxdy, A kde množina A je kruh so stredom S =(, ) a polomerom a.. h) ( 3x 4y)dxdy, A ak množina A je elementárna oblast daná nerovnost oux +4y 4. i) x 3 dxdy, ak A je ohraničená krivkoux=+siny a priamkami x=, y=, y=π. j) ak jeadaná nerovnost ou x y 4. A A xy dxdy, A

113 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 3 k) A sign(x y +)dxdy, kde množinaaje kruh daný nerovnost oux +y 4.. Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami z= x +y, x+y=4,x=, y=, z=..3 Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami x +y = a, x +z = a..4 Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami x 3 +y 3 = a 3, x 3 +z 3 = a 3..5 Vypočítajte tieto trojné integrály prevodom na trojnásobné: a) a b) dx dx b c) a xdx d) e dx e x dy c x+y+zdz dz dy. x+y+z+ x y ydy zdz. x+y+e ln(z x y) dy e (x e)(x+y e) dz..6 Znázornite množiny bodov v R 3 dané nerovnost ami, zistite, či sú elementárne oblasti a opíšte ich ako elementárne oblasti. a) x, y, z, z x y. b) x y z. c) x +y +z 4. d) x +y z. e) x + y + z. f) x + y + z. g) x +y +z r,x +y rx, r >..7 Zameňte poradie integrovania v trojnásobných integráloch a) b) dx dx.8 V integráli x dy x x+y x dy f(x,y,z)dz. x +y f(x,y,z)dz. a zameňte poradie integrovania na a)[dzdydx], b)[dxdzdy]. dx ax ax+y dy f(x,y,z)dz

114 4 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič.9 V integráli zamente poradie integrovania na a)[dydzdx], b)[dxdzdy]. A dy x +3y dx f(x,y,z)dz. Vypočítajte dané integrály, ak množina je daná nerovnost ami. a) xz dx dy dz, A A: x, y x, x +y z x y b) dx dy dz, A:x, y, z, x+y+z. A z+x+y+ c) z dx dy dz, A: x y z A a+ b+, z c xy x y d) dx dy dz, A:x>, y >, < z < c, z a+ b < z c. Vypočítajte integrály, ak je množina ohraničená plochami. a) ycos(z+x)dx dy dz, A:y= x, y=, z=, x+z= π A. b) xyz dx dy dz, A:x +y +z =, x=, y=, z=. c) A z dx dy dz, A:z = h x +y A R,z= h. d) u 4 e y dx dy dz du, A kde množina A je daná nerovnost ami z u, u, y zu, x yzu.. Vypočítajte dané integrály... dx dx...dx n, A ak množina A je daná nerovnost amix, x,...,x n,x +x +...x n..3 Vypočítajte dané integrály... A x x...x ndx dx...dx n ak množina A je daná nerovnost oux +x +...x n.

115 Kapitola Metóda substitúcie Metóda substitúcie pre integrovanie funkcii viac premenných Lineárne a nelineárne transformácie súradníc Jakobián transformácie a geometrický význam determinantu Jacobiho matice Veta o substitúcii pre integrály viac premenných Polárne a sférické súradnice Metódy výpočtu viacrozmerných integrálov pomocou transformácie premenných 5

116 6 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Transformácie viac rozmerných integrálov Dôležité pojmy a tvrdenia Definícia regulárneho zobrazenia Nech g:ω R n Ω R n je prosté C zobrazenie, pričom g(ω )=Ω. Označme Jacobiho maticu g g g y y... y n g g g g (y)= y y... y n... g n g n y y... Nech I g (y) je determinant z horeuvedenej Jacobiho matice, t. j. Jakobián. Ak I g (y), hovoríme, že zobrazenie g je regulárne. Poznamenajme, že v takom prípade je n n matica g (y) invertovatel ná (je to teda bijekcia). Tvrdenie Nechf je Riemannovsky integrovatel ná funkcia na oblastiωanechg:ω R n Ω R n jec difeomorfizmus (t.j.g je regulárne). Potom platí vzt ah substitúciex=g(y) Ω pre integrál vypočítaný pomocou novej premennejy Ω f(x)dx= f(g(y)) I g (y) dy. Ω Ω g n y n Obr..: Geometrický význam afínnej transformácie g(y) = Ay + b. Pomer plochý zobrazeného kosodĺžnika P = g(q) a zobrazovaného obdĺžnika je daný práve determinantom P matice A, t.j. Q = A. Z toho môžeme dedukovat vzt ah medzi elementárnou plochou dx dx = A dy dy. Idea dôkazu vety o substitúcii pre všeobecný prípad difeomorfizmu g : R N R N potom plynie z aproximácie zobrazenia g v bode ȳ pomocou Taylorovho rozvoja g(y)=ay+b+o( y ȳ ), kdea=g (ȳ). Príklady regulárnych zobrazení a) Transformácia pomocou pomocou polárnych súradníc na G:ρ>, < ϕ <π

117 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 7 daná: x=ρcosϕ, y= ρsinϕ. b) Transformácia pomocou pomocou cylindrických súradníc na G:ρ>, < ϕ <π, < u < daná: x=ρcosϕ, y= ρsinϕ, z= u. c) Transformácia pomocou pomocou sférických súradníc na G:ρ>, < ϕ <π, π < ψ < π danáx=ρcosϕcosψ, y= ρsinϕcosψ, z= ρsinψ. d) Transformácia pomocou pomocou eliptických súradníc na G:ρ>, < ϕ <π daná: x=aρcosϕ, y= bρsinϕ. e) Transformácia pomocou pomocou eliptických súradníc na G:ρ>, < ϕ <π, π < ψ < π danáx=aρcosϕcosψ, y= bρsinϕcosψ, z= cρsinψ. Riešené príklady Príklad. Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami: kde a > je kladný parameter. x +y az=, (x +y ) = a (x y ), z=, Riešenie. Zrejme prvá plocha je plochou rotačného paraboloidu a druhá plocha je valcová plocha s podstavou lemniskáty v rovine xy. Teleso teda bude mat jednu podstavu vnútro lemniskáty a bude pokračovat v smere osi z, až kým sa nepretne s parabolickou plochou. Ked že z rovníc vidno, že teleso je symetrické vzhl adom na všetky kvadranty roviny xy, v prvom kvadrante v cylindrických súradniciach jeho zápis vyzerá nasledovne: Teda ϕ, π 4, r,a cosϕ, z, r a. π 4 V =4 a cosϕ r r π a dr dϕ= 4 a 4 cos ϕdϕ= a3 π a 8. Príklad. Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochou : x +y +z = a, a spĺňajúceho nerovnicu x +y a x,a >.

118 8 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Riešenie. Zrejme z daných rovníc vyplýva, že teleso je symetrické vzhl adom na všetky oktanty a preto stačí počítat objem v prvom oktante a výsledok násobit ôsmimi. V prvom oktante, po prechode do cylindrických súradníc, sa dá teleso vyjadrit ako elementárna oblast typu[ϕ,r,z], kde ϕ, π, r acosϕ,a, z, a r. Teda π a V=8 dϕ r a r dr=8 acosϕ = 8 3 a3 π π sin 3 ϕdϕ= 6a3 9. dϕ[ 3 (a r ) 3 ] a acosϕ Príklad 3. Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami kdea > je parameter. x +y +z = a, x +y +z = b, x +y = z, < a < b,z, Riešenie. Použijeme sférické súradnice. Potom dané teleso môžeme zapísat pomocou r a,b,ϕ (,π),ψ ( π 4, π ). Objem daného telesa teda môžeme vypočítat ako V = π π π 4 b a r cosψ dϕdψ dr=π( b3 a 3 )( ). 3 Príklady na samostatné riešenie. Uvažujme transformácie dané rovnicami na danej množine, vypočítajte príslušné Jakobiány a zistite, že zobrazenie je na danej množine prosté a regulárne. a) Transformácia pomocou pomocou polárnych súradníc na G:ρ>, < ϕ <π daná: x=ρcosϕ, y= ρsinϕ. b) Transformácia pomocou pomocou cylindrických súradníc na G:ρ>, < ϕ <π, < u < daná: x=ρcosϕ, y= ρsinϕ, z= u. c) Transformácia pomocou pomocou sférických súradníc na G:ρ>, < ϕ <π, π < ψ < π

119 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 9 danáx=ρcosϕcosψ, y= ρsinϕcosψ, z= ρsinψ.. Zistite, ktoré zobrazenie je regulárne a prosté na množine A a vypočítajte Jakobián týchto zobrazení. a) x=uv, y= u+v,a=(,) (,). b) x=u +v,y= u v,a=(, ) (, ). c) x=u+ v, y= v,a=(, ) (,)..3 Vypočítajte dané dvojné integrály pomocou vhodnej transformácie a) ( x 3y)dx dy, A kdeaje kruhx +y. b) kdeaje kruhx +y ax. c) kdeaje medzikružie x +y e. d) A a x y dx dy, A A ln(x +y ) x +y dx dy, arctan y dx dy, x kdeaje čast medzikružia x +y 9, y x 3, y x 3. e) Pomocou transformácie x=aρcosϕ, y= bρsinϕ vypočítajte kdeaje vnútro elipsy x a + y b. A x a y bdx dy,.4 Pomocou transformácie x=ρcos ϕ, y=3ρsin ϕ, ϕ (, π ), ρ (,cosϕsinϕ) vypočítajte xydx dy kded je oblast ohraničená krivkou( x + y 3 )4 = xy 6. D.5 Vypočítajte dané trojné integrály na množine A pomocou cylindrických súradníc. a) dx dy dz, A kdea:x +y,x, z 6. b) z x +y dx dy dz, A kde A je oblast ohraničená rovinami y=, z=, z= a,(a >) a valcovou plochou x +y =x.

120 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič c) (x +y )dx dy dz, A kdeaje množina ohraničená paraboloidom a rovinou z=. z= x +y.6 Vypočítajte dané trojné integrály na množine A pomocou sférických súradníc. a) x +y +z dx dy dz, kdeaje čast gulex +y +z, x, y, z. b) (x +y )dx dy dz, kdea:z, 4 x +y +z 9. c) z dx dy dz, A A A kde A je množina ohraničená kužel ovou plochou z = h (x +y ) R a rovinou z= h. (Návod: Po transformácii na sférické súradnice integrujeme cez elementárnu oblast ϕ [,π], ψ [arctan h π R ], ρ [, h sinψ ].).7 Pomocou transformácie vypočítajte x=aρcosϕcosψ, y= bρsinϕcosψ, z= cρsinψ A ( x a y z + + b c)dx dy dz, (a >, b >, c >), pričom A je vnútro elipsoidu( x a + y b + z c )..8 Nájdite obsah časti roviny ohraničenej danými krivkami transformáciou pomocou polárnych súradníc. a)(x a) +y = a, x +(y a) = a. b) Kružnicou x +y =5, jej dotyčnicou v bodea=(,) a priamkouy=. c) Lemniskátou(x +y ) =a xy. d) x+ y= a, x+y= a. e)x 3 +y 3 = axy,x >,y > f) x 4 +y 4 =a xy. g)(x +y ) 3 = a (x 4 +y 4 )..9 Pomocou zovšeobecnených polárnych súradnícx=aρcos p ϕ, y= bρsin p ϕ, kdea,b,p sú vhodne zvolené konštanty, vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej danými krivkami. a)( x + y ) = xy. a b c b) 4 x a + 4 y b =, x=, y=. (Návod: x=aρcos8 ϕ, y=bρsin 8 ϕ, a Jakobián J= ab8ρsin 7 ϕcos 7 ϕ.

121 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch. Nájdite objemy valcovitých telies ohraničených danými plochami pomocou transformácie do polárnych súradníc. a) x + y + z =. a b c b) x +y +z = a, x +y = ax (tzv. Vivianiho úloha).. Vypočítajte pomocou trojného integrálu objemy telies ohraničených danými plochami. a) Gul ovými plochami x +y +z =6, x +y +z 8z=. b) Objem časti gulex +y +z 4R, ktorá leží vnútri valcovej plochy x +y = R. c) Nájdite objem časti gulex +y +z R, ktorá je ohraničená rovinamiy=xtanβ, y= xtanα, < α < β, x. d) x +y +z =az, x +y = z. e)(x +y +z ) = a (x +y z ). f)(x +y +z ) 3 =3xyz. g)(x +y +z ) = a 3 zexp (x +y ) x +y +z.. V akom pomere je objem prieniku gule a telesa ohraničeného paraboloidom (x +y +z ) 4az x +y +az=4a ku zvyšnej časti gule? Návod: Použite cylindrické súradnice na elementárnej oblasti r a 3, ϕ π, a 4a r u 4a r. a.3 Vypočítajte hmotnost m kolmého rotačného valca V s polomerom podstavy R a výškou H, ak hustota v jeho l ubovol nom bode M =(x, y, z) sa rovná druhej mocnine vzdialenosti tohto bodu od stredu dolnej podstavy valca. Návod: Valec umiestnite do počiatku a teda os valca je vlastne osz, ρ(x,y,z)=x +y +z, m= ρ(x,y,z) dx dy dz..4 Vypočítajte súradnice t ažiska homogénneho telesa (t.j. ρ(x, y, z) = ) ohraničeného plochami: x +y =z, x+y= z. Návod: Súradnice t ažiska majú tvar x T = S yz m,y T= S xz m,z T= S yx m, kdemje hmotnost,s xy je statický moment telesa vzhl adom k rovine xy, S xy = zρ(x,y,z) dx dy dz, A A

122 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič kde ρ je hustota. Analogicky S yz,s xz. Ked že prienik našej parabolickej plochy a roviny vyhovuje(x ) +(y ) =, použijeme transformáciu pomocou cylindrických súradníc x=+ρcosϕ, y=+ρsinϕ, z= u kde ϕ π, r, + r + r(cosϕ+sinϕ) u +r(cosϕ+sinϕ). Po výpočtoch dostanemet=(,, 5 3 )..5 Určte t ažisko homogénneho kužel a ρ(x, y, z) =, ktorého vrchol leží v počiatku súradnicovej sústavy a os leží v osiz..6 Nájdite hmotnost m a určte súradnice t ažiska gule danej vzt ahomx +y +z az, ak hustota v bodoch gule je rozložená tak, že je nepriamo úmerná vzdialenosti týchto bodov od počiatku sústavy súradníc. Návod: ρ(x,y,z)= k x +y +z, m= az x +y +z ρ(x,y,z) dx dy dz. Použite cylindrické súradniceϕ (,π), z [,a], r [, az z ]..7 Vypočítajte hodnotu dvojného integrálu: dx Ω a x x kdeω={(x,x ),x +x a }..8 Vypočítajte hodnotu trojného integrálu: x a y b z c dxdydz, kde Ω= Ω { (x,y,z) R 3, x a y z + + b } c.9 Nájdite objem kvapky, ktorá vznikne rotáciou polovice Bernoulliho lemniskáty okolo osi symetriez, t. j. objem určený plochou (x +y +z ) =4a (z (x +y )), z, kde a > je daná konštanta. Návod: použite sférické súradnice. Pozrite aj zobrazenie a parametrické vyjadrenie Bernoulliho lemniskáty z Kapitoly 7.. Nájdite t ažisko hornej polovice elipsy s poloosamia,b >. ). Vypočítajte hodnotu dvojného integrálu: ( x Ω a y b dxdy, kde { Ω= (x,y) R x } y, a+ b.. Vypočítajte hodnotu dvojného integrálu: Ω. x a dx, kdeωje kruh so stredom v počiatku a polomerom a boda=(,),. je Euklidovská vzdialenost v rovine.

123 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 3.3 Vypočítajte hodnotu trojného integrálu: x a 3 dx, kdeωje gul a so stredom v počiatku a polomerom a boda=(,,).. je Euklidovská vzdialenost vr 3..4 Vypočítajte hodnotu trojného integrálu: x a dx, kdeω R 3 je gul a so stredom v počiatku a polomerom a boda=(,,).. je Euklidovská vzdialenost vr 3. Ω Ω

124 4 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Niektoré aplikácie získaných poznatkov Príklad výpočtu gravitačného potenciálu Vo fyzikálnom probléme určenia gravitačného potenciálu hrá dôležitú úlohu výpočet trojného integrálu x y dx, Ω kdeω=b(,r z ) je gul a so stredom v počiatku a polomeromr z a body R 3 je bod, v ktorom sa snažíme zistit vel kost gravitačného potenciálu, ktorý vzniká pôsobením hmoty v guli so stredom v počiatku a polomerom R z. Vel kost potenciálu hl adáme v bode A=(,,R). Vzhl adom na symetriu problému stačí skutočne uvažovat iba body na vertikálnej osix 3. Obr..: Znázornenie Zeme ako guleb(,r z ) s polomeromr z. Podl a Newtonovho gravitačného zákona je gravitačné pole (jeho potenciál) v bode y R 3, ktoré je generované hmotoudm v bodex R 3 vyjadrené ako V(y,x,dm)= κdm x y. Potom celkový gravitačný potenciál v bodey R 3 generovaný celou hmotou z guleb(,r z ) je rovný integrálu cez všetky elementárne hmotydm nachádzajúce sa v gulib(,r z ), t.j. κdm V(y)= x y, B(,R z) kde κ > je gravitačná konštanta. V prípade, že uvažujeme, že hustota > Zeme je konštantná (čo nie je v realite), tak dm= dx dx dx 3, kde dx dx dx 3 reprezentuje objem elementárneho kvádra okolo boduxso stranami dx,dx,dx 3. Potom V(y)=κ B(,R z) x y dx dx dx 3. Na výpočet tohto integrálu môžeme použit sférické súradnice x = rcosφcosψ,x = rcosφsinψ,x 3 = rsinφ s príslušným Jakobiánom transformácie J = r cosφ. Ked že y= (,,R), tak x y =(x y ) +(x y ) +(x 3 y 3 ) = r Rrsinφ+R.

125 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 5 To znamená, že V(y)=κ Rz π π π Pomocný integrál π π r cosφ dψdφdr r Rrsinφ+R =πκ Rz π π r cosφ r Rrsinφ+R dφdr r cosφ dφ vypočítame jednoducho pomocou substitúcie u= r Rrsinφ+R r Rrsinφ+R. Potomr cosφdφ= r Rdu a teda π π r cosφ r (R+r) r Rrsinφ+R dφ= R u (R r) du= r R (R+r R r ) V prípade, žer > R z, takr+r R r =R+r (R r)=r. Potom Rz r V(y)=πκ R dr=κ R 4π 3 R3 z= κm y lebor= y, kdem= 4π 3 R3 z je celková hmotnost guleb(,r z ) s hustotou. To zodpovedá klasickej stredoškolskej fyzikálnej poučke, podl a ktorej gravitačné pôsobenie gule počítané mimo nej je rovné gravitačnému pôsobeniu hmotného bodu s celou jej hmotou sústredenou do jej stredu. Obr..3: Znázornenie priebehu gravitačného zrýchlenia vo vnútri Zeme a mimo nej. V prípade, že R < R z, musíme postupovat obozretnejšie a rozdelit integračnú oblast na dve časti < r < R a R < r < R z. Potom R+r R r =R+r (R r)=r pre < r < R, kýmr+r R r =R+r+(R r)=r prer < r < R z. To znamená, že Rz V(y) =πκ =πκ r R { R (R+r R r )dr=πκ } =πκ (Rz 3 R ) { 3 R +(R z R ) r Rz R dr+ rdr R Na koniec tohto výpočtu pripomeňme, že gravitačná sila tejto gule pôsobiaca na bod A=(,,R) s hmotnost ou m je rovná gradientu gravitačného potenciálu a teda samotné gravitačné zrýchlenie g v bode A=(,,R) vytvorené pôsobením gule B(,R z ) je potom rovné κm R R pre R < R 3 z, z g= g(r)= κm R pre R > R z. }

126 Kapitola Krivkové a plošné integrály Integrovanie funkcii definovaných na krivkách Krivkový integrál prvého a druhého druhu Integrovanie funkcii definovaných na plochách Vzt ah krivkových, plošných a objemových integrálov 6

127 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 7 Dôležité pojmy a tvrdenia Definícia krivky Nech x,x : I R sú spojité funkcie, kde I R je interval. Krivkou v rovine R nazývame množinuγ={(x (t),x (t)),t I}. Jednoduchá krivka. KrivkaΓ={x(t),t I} R sa nazýva jednoduchá (nepresekajúca sa), ak platí, že zobrazenie x:i R je prosté. Uzavretá krivka. x(a)=x(b). KrivkaΓ={x(t),t I}, kde I=[a,b], sa nazýva uzavretá, ak platí Dĺžka krivky. Nech je daná jednoduchá krivkaγ={x(t),t I =[a,b]} R. Nech a = t < t <...t n = b a x(t i ) = X i. Teda X i Γ. Označme normu delenia ν(d) = max i=,,...n ds i, kdeds i = X i+ X i. Ak existuje nazývame ju dlžkou krivkyγ. lim ν(d) n ds i, Tvrdenie. Nech je daná krivkaγ = {x(t),t I} R. a nech sú x i = x i (t) sú C diferencovatel né funkcie také, že existuje integrál x (t) + x (t) dt <. I Potom krivkaγmá konečnú dĺžku Γ (t.j. je rektifikovatel ná) Γ = x (t) + x (t) dt <. I i=

128 8 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Obr..: Znázornenie geometrickej interpretácie krivkového integrálu. druhu ako plochy pod grafom funkcie f:γ Rdefinovanej na krivkeγ. Jordanova krivka. Jednoduchá uzavretá rektifikovatel ná krivka sa nazýva Jordanova krivka. Poznamenajme, že sa dá ukázat (Riemann), že každá Jordanova krivka rozsekne rovinu R na dve súvislé množiny int(γ) - vnútro krivky a ext(γ) - vonkajšok krivky. Definícia krivkového integrálu.druhu. Nech je daná rektifikovatel ná krivka Γ = {x(t), t I} R. Nechf:Γ R R. Hovoríme, že funkcia f má krivkový integrál. druhu f ds Γ pokial exituje jediná limita integrálnych súčtovlim ν(d) n i= f(p i)ds i, kdep i (X i,x i+ ). Metóda výpočtu krivkového integrálu. druhu Nech je daná rektifikovatel ná krivka Γ={x(t),t I} R. Nechf:Γ R R. Ak existuje Riemannov integrál f(x (t),x (t)) x (t) + x (t) dt, I potom krivkový integrál. druhu sa dá vypočítat ako f ds= f(x (t),x (t)) x (t) + x (t) dt. Γ I Definícia krivkového integrálu. druhu. Nech je daná hladká rektifikovatel ná krivka Γ={x(t),t I=[a,b]} R. Nech F: M R R je spojitá vektorová funkcia. Potom hodnota Riemannovho integrálu b a [F (x (t),x (t))x (t)+f (x (t),x (t))x (t)] dt nezávisí na parametrizácii x:i R krivkyγorientovanej v smere z bodu A=x(a) do bodu B= x(b) a vyjadruje hodnotu tzv. krivkového integrálu. druhu Γ F (x,x )dx +F (x,x )dx = b vektorovej funkcief=(f,f ) po orientovanej krivkeγ. a [F (x (t),x (t))x (t)+f (x (t),x (t))x (t)] dt

129 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 9 Obr..: Znázornenie geometrickej interpretácie krivkového integrálu. druhu ako práce vykonanej silou F=(F,F ) po orientovanej krivkeγ. Vpravo ilustrácia Repinovho obrazu Burlaci na Volge a ich práce pri t ahaní lode po krivke Volgy. Poznámka. Krivkový integrálu. druhu fyzikálne vyjadruje vel kost práce, ktorú vykoná sila F=(F,F ):M R R po orientovanej krivkeγ={x(t),t I=[a,b]} R z bodua=x(a) do bodub= x(b). Skutočne, aktívnu prácu pri pohybe po krivkeγtvorí iba zložka sily F=(F,F ) v smere pohybu, ktorý dotykovým vektorom ku krivkeγvdanom bode krivky. Tento dotykový jednotkový vektor T môžeme vyjadrit pomocou prírastkov dx,dx ako T= ds (dx,dx ), kde ds (dx ) +(dx ). Potom celková práca A je daná ako súčet pôsobenia súčinu projektovaného vektora sily F do smeru pohybu T a elementárnej dĺžkyds, t.j.a= Γ ( F, T)ds. Po úprave dostávame Vlastnosti integrálov. druhu. A= ( F, T)ds= Γ Γ F dx +F dx.. Zmena orientácie krivky zmení znamienko integrálu. druhu, t.j. ÂB Pdx +Qdx = Pdx +Qdx. BA Na rozdiel od integrálu.druhu, kde sa znamienko nezmení.. Aditivita: ÂB Pdx +Qdx + Pdx +Qdx = Pdx +Qdx BC ÂC kde ÂB, BC,ÂC sú orientované krivky z bodu A do bodu B, resp. z B do C a ÂC= ÂB+ BC 3. Linearita: Ak F = c F + c F, kde c,c sú konštanty a F,F sú spojité vektorové funkcie, tak c F +c F d s = c F d s+c F d s. Γ Γ Γ

130 3 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Vzt ah krivkového a dvojného integrálu Pripomeňme, že pre oblast Ω =(a, b) (interval) platí známy vzorec pre integráciu po častiach (per partes). Pre l ubovol né funkcie u,v C ([a,b]) teda platí b a u(x)v (x) dx = b a u (x)v(x) dx+u(x)v(x) b a. Uvedomme si najprv, že hraničný členu(x)v(x) b a sa dá chápat ako integrál Ωuv n ds cez hranicu Ω={a,b} intervalu(a,b), pričom n(a)=, n(b)= je vektor vonkajšej normály k hranici intervalu. Dá sa ukázat viacrozmerná analógia vzorca per partes platná pre oblastiω R n. Nazýva sa Greenov vzorec Tvrdenie (Greenov vzorec). NechΩ R m je oblast s hladkou hranicou, ktorou je Jordanova krivkaγ= Ω. Nech u,v: Ω R súc hladké funkcie v Ω. Potom u(x) v u (x) dx= (x)v(x) dx+ u(x)v(x)n i (x) ds, x i x i Ω Ω kde n=(n,...,n m ) je jednotkový vektor vonkajšej normály k Ω v bodex Ω. Použitím Greenovho vzorca na funkciu u a v/ x i dostaneme u v u v Ω x dx= v dx+ u v n i ds i Ω x i x i Ω x i a teda Ω u m v x i= i dx= Ω m i= Ω u v dx+ u x i x i Ω m i= v x i n i ds. Nakoniec, ak si uvedomíme, že derivácia funkcie v v smere n sa dá vyjadrit ako dv d n = m i= v x i n i a u. v= m i= u v x i x i, dostávame sumovaním odi=dom:. Greenova formula u v dx= u v dx+ u dv ds (.) Ω Ω d n Ω a podobne vzt ah v u dx= u v dx+ v du Ω Ω Ω d n ds, ktorý bol z predošlého získaný zámenou mutatis mutandis úloh funkcií u a v. Odčítaním vyššie uvedených vzt ahov dostaneme:. Greenova formula Ω u v v u dx= Ω u dv du v ds. (.) d n d n Poznamenajme, že. Greenova formula platí, ak funkcia u je C hladká vωaspojitá na Ω a funkcia v je C hladká vωajej prvé derivácie sú spojité na Ω. Na záver uved me ešte jeden dôsledok Greenovho vzorca. Nech vektorová funkcia w:ω R m R m je C diferencovatel ná vωaspojitá v Ω. Pripomeňme, že operátor divergencie je definovaný ako div w = m i= w i/ x i. Použijúc Greenov vzorec pre funkciu u= (t. j. u/ x i =) a v=w i, následne sčítaním rovností pre i=,...,n dostaneme tzv. Gauss-Ostrogradského vetu resp. Stokesovu formulu: Ω div w dx= m Ω i=. w i dx= x i Ω m w i n i ds= i= Ω ( w. n) ds. (.3)

131 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 3 Obr..3: Znázornenie geometrického vzt ahu medzi diferenciálmi dx,dx v smeroch osí x,x, dotykového T a normálového vektora N ku kladne orientovanej (proti smeru hodinových ručičiek) krivkeγ. Nakoniec uvedieme vzt ah medzi krivkovým integrálom. druhu a dvojným integrálom. Na Obr..3 je znázornený geometrickej vzt ahu medzi diferenciálmidx,dx v smeroch osí x,x a príslušným dotykovým T a normálovým vektorom N ku krivkeγ. Ked že krivka je orientovaná proti smeru hodinových ručičiek, tak potom pre dotykový a normálový vektor platí T=(t,t )= ds (dx,dx ), N=(n,n )=(t, t ), kdeds= (dx ) +(dx ). Preto diferenciály dx a dx v smery osí x,x môžu byt vyjadrené prostredníctvom dĺžkového diferenciálu ds nasledovne: dx = n ds,dx = n ds. Tým pádom F dx + F dx = (F n F n )ds. Na základe Stokesovej formuly potom dostávame Γ F dx +F dx = Ω ( F F ) dx dx x x Riešené príklady Príklad. Vypočítajte krivkový integrál. druhu C x ds, kde C je kružnica daná ako prienik dvoch plôch daných rovnicami: x + y + z = a a x+y+z=, kdea > je parameter. Riešenie. ZrejmeC je kružnica o polomerea. Zo symetrie vyplýva, že C x ds= C y ds= C z ds. Teda x ds= x +y +z ds,= C 3 C 3 C a ds= 3 πa3.

132 3 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Príklad. Zistite dĺžku priestorovej krivky danej rovnicami z boduo(,,) do bodua(x,y,z ). (x y) = a(x+y), x y = 9 8 z Riešenie. Zvol me t=x y. Teda x+y=t+y. Potom má rovnica krivky parametrické vyjadrenie x= t +at,y= t at a a,z = 8 9.4at3 4a =8t3 9a. To znamená, že odkial dostávame Dĺžka krivkyc je preto x = t+a a,y = t a a,(z ) = t a, (x ) +(y ) +(z ) = 4t +a +4at a = (t+a) a. x y t+a a dt= a [t +at] x y = a ((x y ) +a(x y )). Príklad 3.O kol ko sa líšia krivkové integrály I a I.druhu, kde C je úsečka, spájajúca body A(,),B(,6) a C je čast paraboly, idúcej cez body A(,),B(,6),O(,), pričom začiatok krivky jea(,) a koniecb(,6)? Integrály sú definované ako: I = (x+y) dx (x y) dy, I = (x+y) dx (x y) dy. C C Riešenie. Označme V(x,y)= x3 3 +x y+y x y3 3. Zrejme I = C (x+y) dx (x y) dy= C V x Podobne I = (x+y) dx (x y) V dy= C C x Zrejme Teda C V x V dx+ y dy= V C x dx+ V y dx+ V y dx+ V y dy. I I = x dy x dy. C C dy x dy. C dy x dy. C Tieto integrály už vypočítame z definície. Krivku C vyjadríme parametricky x=+t,y= +5t. Potomdx=,dy=5a x dy= (+t) 5 dt= 7 C 3.

133 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 33 Krivka C je parabola prechádzajúca cez body A(,),B(,6),O(,). Táto parabola má rovnicuy=x x a teda jej parametrické vyjadrenie jex=t,y=t t adx=,dy=4t pret,. Potom a teda x dy= C t (4t )dt= 4t 3 t dt= 76 3 I I = x dy x dy=. C C Príklad 4. Vypočítajte krivkový integrál. druhu [ϕ(y)e x my] dx+[ϕ (y)e x m] dy, C kde ϕ(y),ϕ (y) sú spojité funkcie a C je l ubovol ná hladká krivka, spájajúca body B(x,y ) a A(x,y ), ktorá spolu s orientovanou úsečkou AB tvorí po častiach hladkú jednoduchú uzavretú krivku súhlasne orientovanú, ohraničujúcu oblast s vel kost ou plochys. Riešenie. Označme oblast, ktorú ohraničuje C spolu s úsečkouab, ako K a C = C AB. Teda [ϕ(y)e x my] dx+[ϕ (y)e x m]dy = [ϕ(y)e x my]dx+[ϕ (y)e x m] dy C Na výpočet C použijeme Greenov vzorec: C AB [ϕ(y)e x my] dx+[ϕ (y)e x m] dy= C Pritom = AB AB [ϕ(y)e x my] dx+[ϕ (y)e x m] dy [ϕ(y)e x my] dx+[ϕ (y)e x mx] dy+ [ϕ(y)e x my] dx+[ϕ (y)e x m] dy. K ϕ (y)e x +m+ϕ (y)e x dxdy= ms AB = V(x,y ) V(x,y )+ (mx m)dy. AB V(x,y)=ϕ(y)e x mxy (mx m)dy je potenciál vektorovej funkcie(ϕ(y)e x my,ϕ (y)e x mx). To znamená, že [ϕ(y)e x my] dx+[ϕ (y)e x m] dy AB = ϕ(y )e x mx y ϕ(y )e x +mx y +m [x +t(x x ) ].(y y )dt = ϕ(y )e x mx y ϕ(y )e x +mx y +m(y y )( x +x )

134 34 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Dostávame C [ϕ(y)e x my] dx+[ϕ (y)e x m] dy = ms [ϕ(y )e x mx y ϕ(y )e x +mx y +m(y y )( x +x )] = ms ϕ(y )e x +ϕ(y )e x m (y +y )(x x )+m(y y ). Príklady na samostatné riešenie. Vypočítajte krivkový integrál: (x x )dx +(x +x )dx, Γ kde Γ je krivka predstavujúca strany trojuholníka ABC orientovaná proti smeru hodinových ručičiek, kde A=(,) T,B=(,) T,C=(,) T. Necha > a nech C je krivka asteroidy, Vypočítajte dĺžkuc. C= {(x,y),x /3 +y /3 = a /3 }..3 Vypočítajte krivkový integrál: Γ x dx x dx, kde Γ je elipsa s poloosami a, b > orientovaná proti smeru hodinových ručičiek..4 Vypočítajte hodnotu dvojného integrálu: Ω x + x dx x x +x x x +x dx kde Ω={(x,x ),x +x <}..5 Vypočítajte krivkový integrál: Γ x x dx +x x dx, kde krivkaγpredstavuje hrany štvorca s vrcholmi (,),(,),(,),(,) orientovaná proti smeru hodinových ručičiek.

135 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 35.6 Vypočítajte krivkový integrál: (x x )dx +(x +x )dx, Γ kdeγje krivka predstavujúca hrany pravidelnéhon-uholníka s vrcholmi v bodoch (cos(πi/n),sin(πi/n)),i=,,...,n. Aká je limita tohto integrálu pre počet vrcholov idúci do nekonečna?.7 Vypočítajte dĺžku oblúka paraboly y= x( x) spájajúcej body(,) a(,)..8 Vypočítajte krivkový integrál: Γ x dx +x dx, kde Γ je elipsa s poloosami a, b > orientovaná proti smeru hodinových ručičiek..9 Vypočítajte krivkové integrály prvého druhu a) kdec je úsečka AB,A=(, ),B=(4,). b) C x y ds, (x+y)ds, C kdec je obvod trojuholníka s vrcholmi A=(, ),B=(, ),C=(,). c) C xy ds, kdec je obvod rovnobežníka určeného priamkami x=,x=4,y=,y=. d) C x ds, kdec je oblúk AB paraboly y= x,a=(,4),b=(,). e) C x ds, kdec je oblúk AB krivkyy= lnx,a=(,ln),b=(,) f) C x y ds,

136 36 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič kdec je oblúk kružnicex +y = a s koncovými bodmia=(a,),b=(,a). g) x +y ds, kdec je kružnica x +y ax=,a >. h) C C x ds, kdec je oblúk logaritmickej špirály ρ=ae bϕ,b >,ktorý je vnútri kruhuρ a. i) C z x +y ds, kdec je oblúk skrutkovicer=a[icost+jsint+tk], t [,π].. Vypočítajte krivkové integrály druhého druhu [(x y) i+(x+y) j]ds= (x y)dx+(x+y)dy, C kde a) C je úsečkaab,a=(,3),b=(3,5), pričom A je jej prvý bod. b) C je oblúk paraboly y= x,ktorého prvý bod jea=(,), a koncový bod B=(,4). c) C je oblúk paraboly x=y od bodua=(,) po bodb=(4,).. Vypočítajte krivkové integrály druhého druhu a) (x +y )dx+(x y )dy, Γ kdeγje obvod trojuholníka ABC, A=(,), B=(,), C=(,), pričom(a,b,c) je trojica usporiadaná v zmysle orientácie krivkyγ. b) Γ C dx+dy x + y, kdeγje obvod štvorca ABCD, A=(,), B=(,), C=(,), D=(, ), pričom (A,B,C) je trojica usporiadaná v zmysle orientácie krivkycγ. c) (x +y )dx+(x y )dy, C kdec je krivkay= x, x [,], ktorej prvý bod jea=(,). d) kde C je elipsa (x+y)dx+(x y)dy, C x y a+ b =

137 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 37 orientovaná tak, že body A =(a, ), B =(, b), C =( a, ) je trojica usporiadaná v zmysle orientácie krivkyc. e) ( dx+arctan y C x dy), kde krivkac sa skladá z oblúkovâb, BA, pričomâb je oblúk paraboly y= x, A=(,), B=(,), BA je úsečka a body A,B,D, D=(, ) tvoria usporiadanú trojicu v zmysle orientácie krivkyc.. Vypočítajte krivkové integrály druhého druhu vr 3. a) C x dx+y dy+(x+y )dz, kdec je úsečka AB,A=(,,), je jej prvý bod ab=(,3,4). b) (x i+y j+(xz y) k)ds, C kde C je oblúk krivkyr=t i+t j+4t 3 k, od bodua=(,,) po bodb=(,,4). c) kdec je oblúk skrutkovice C yz dx+xz dy+xy dz, r=(acost,asint, bt π ) od bodua=(a,,) po bodb=(a,,b),t [,π]. d) kdec je priesečnica plôch C y dx+z dy+x dz, z= xy,x +y = a trojicaa=(,,), B=(,,), C=(,,) je usporiadaná v zmysle orientácie krivky C. e ) kde C je čast Vivianiho krivky C y dx+z dy+x dz, x +y +z = a,x +y = ax, z,a >abody A=(a,,), B=( a, a, a ), D=(,,a) tvoria usporiadanú trojicu v zmysle orientácie krivkyc.

138 38 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič Nezávislost integrálu od integrálnej cesty.3 Vypočítajte (y 6xy 3 )dx+(x 9x y )dy, ak krivka C, ktorej prvý bod je A =(, ) a posledný bod B =(, ), je a) úsečka b) parabola y= x c) parabola x= y d) kubická parabola y= x Zistite, či dané integrály sú závislé od integračnej cesty ve resp ve 3. a) (x+3y) dx+(3x 4y)dy C b) c) (x 4 +4xy 3 )dx+(6x y 5y 4 )dy C (3x y dy + C (x+z) )dx+ x+z + y (x+z) dz.5 Zistite, či krivkový integrál C ( x +3y x 4)dx y x 3 dy po l ubovol nej uzavretej po čiastkach hladkej krivke sa rovná nule, ktorá neobsahuje(, ) ani vo vnútri..6 Vypočítajte krivkový integrál C xdy y dx x +y po l ubovol nej jednoduchej uzavretej po čiastkach hladkej krivke..7 Presvedčte sa o tom, že dané integrály po l ubovol nej jednoduchej uzavretej po čiastkach hladkej krivke sa rovnajú nule. a) f(xy)y dx+f(xy)x dy, kde funkcia f je spojitá. b) kde funkcia f je spojitá. C C f(x +y +z )(x dx+y dy+z dz),.8 Vypočítajte krivkové integrály po krivke spájajúcej bodya,b

139 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 39 a) kdea=(,), B=(,). B A xy dx+x dy, b) B kdea=(, ), B=(3,). c) A (x 4 +4xy 3 )dx+(6x y 5y 4 )dy, B A x dx+y dy x +y, kdea=(3,4), B=(5,) a množina G=E O,O=(,). d) B A x dx x+y (x+y) + (x+y) dy, kdea=(,),b=(3,) a množina G je oblast y > x. e) kdea=( π 4,), B=(π 6,). B A ysinx dx cosx dy, f) kdea=(,,), B=(,3, 4). B A xdx+y dy z 3 dz,.9 Nájdite potenciál V funkcie f, ak a) b) f(x,y)=(x +xy y ) i+(x xy y ) j y f(x,y)=( (x y) x ) i+( y x (x y) ) j na oblasti G, pre ktorú platí y > x. Greenova veta. Použitím Greenovej vety vypočítajte y dx+xdy, C ak krivkac je: a) obvod štvorca ohraničeného priamkami x =, x =, y =, y = súhlasne orientovaný so súradnicovým systémom.

140 4 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič b) kružnica s polomerom so stredom v bode O=(,) orientovaná súhlasne so súradnicovým systémom. c) r=cos 3 t i+sin 3 t j, t [,π] a je cyklicky orientovaná súhlasne s parametrickým vyjadrením.. Vypočítajte C ( ) xe y dx+ x ye y + x +y ak C je obvod štvorca daného nerovnost ami x a, y a, súhlasne orientovaný so súradnicovým systémom.. Použitím Greenovej vety vypočítajte x arctan y x dx+ y arctan x y dy, kdec je hranica oblasti C x +y 4,x y x 3, súhlasne orientovaná so súradnicovým systémom..3 Vypočítajte kde C je polkružnica C dy, (e x siny 6y) dx+(e x cosy 6) dy, x +y = ax, y, s prvým bodoma=(a,) a posledným bodomo=(,)tak, že doplníte oblúkâo úsečkou OA na uzavretú krivku a použijete Greenovu vetu..4 Použitím Greenovej vety vypočítajte dané integrály a) ak C je obvod obdĺžnika s vrcholmi (+xy)e xy dx+x (+e xy )dy, C A =(,), A =(,), A 3 =(,), A 4 =(,), súhlasne orientovaný so súradnicovým systémom. b) (3x cosy y 3 )dx+(x 3 3x siny)dy, C kde C je kružnica x +y = súhlasne orientovaná so súradnicovým systémom. c) (x+y)dx (x y)dy, C

141 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 4 kde C je elipsa x y + a b =, súhlasne orientovaná so súradnicovým systémom..5 Dokážte, že (yx 3 +e y )dx+(xy 3 +xe y y)dy=, C kde C je jednoduchá uzavretá, po čiastkach hladká krivka, stredovo súmerná podl a začiatku súradnicového systému..6 Dokážte, že (xy y)dx+x dy, C kde C je jednoduchá uzavretá, po čiastkach hladká krivka súhlasne orientovaná so súradnicovým systémom, rovná sa obsahu oblastiaohraničenej krivkouc..7 Pomocou Greenovej vety odvodte vzorec pre obsah jednoduchej súvislej oblasti ohraničenej krivkouc..8 Ak krivka C, množina A a funkcie f, g spĺňajú predpoklady Greenovej vety, dokážte že platí: fg dx+fg dy= g(f x f y)+f(g x g y)dx dy. C.9 Dvakrát diferencovatel ná funkciausa nazýva harmonickou v oblastig, ak A u= u x + u y =. Dokážte, že u je harmonická v oblasti G vtedy a len vtedy, ked C ds=, kde C je l ubovol ná, hladká uzavretá krivka v G, pričom du d n označuje deriváciu v smere vonkajšej n normály ku krivkec..3 Pomocou prvej Greenovej formuly f dg dn ds= dokážte druhú Greenovu formulu (f dg dn gdf dn )ds= C C Ω (f g+ f. g)dx dy, Ω [f g g f)]dx dy, kde f a g sú dvakrát diferencovatel né funkcie na ohraničenej oblasti Ω, ktorej hranica je hladká, uzavretá krivkac..3 Dokážte, že Ω u x + u y dx dy= Ω du dn u udx dy+ u du C dn ds, kde hladká, uzavretá krivka C je hranicou ohraničenej oblastiωauje dvakrát diferencovatel ná funkcia na množineω.

142 4 M. Kollár, L. Kossaczká, D. Ševčovič.3 Dokážte vetu o strednej hodnote pre harmonické funkcie u(m)= u(p) ds, πa kdec je kružnica so stredom v bodem a polomeroma. Aplikácie krivkových integrálov.33 Pomocou krivkového integrálu nájdite obsah vnútra jednoduchej uzavretej krivky, ak krivka je: a) elipsa s polosamia,b. b) Jeden oblúk cykloidy x=a(t sint), y= a( cost),t [,π] C a príslušná čast osio x. c) y = x x 4 d) Asteroida.34 Pomocou krivkového integrálu nájdite t ažisko a) homogénneho oblúka kružnice =a, ϕ α b) homogénneho oblúka cykloidy x=a(t sint),y= a( cost), t [,π]. c) obvodu sférického trojuholníka x +y +z = a, x, y, z. d) homogénneho oblúka parametrizovaného pomocou (x,y)=e t (cost,sint,), t (,]. Návod: Hmotnost krivky C je: M= C µ(p)ds, kde µ=µ(p) je lineárna hustota v l ubovol nom bode P krivky C. Súradnice t ažiska T = (ξ,η,ζ) krivkyc sú: ξ= xµ(p)ds, η,= yµ(p)ds, ζ= zµ(p)ds. M C M C M C Poznámka. Ak počítame hmotnost M prútu tvaru krivkyc s hustotou, takm= C ds.

143 Diferenciálny a integrálny počet funkcií viac premenných v príkladoch 43 Niektoré aplikácie získaných poznatkov Princíp merania plochy planimetrom Gauss-Ostrogradského formula poskytujúca vzt ah medzi krivkovým integrálom druhého druhu po krivke Γ = Ω a dvojným integrálom po oblasti Ω nám umožňuje vypočítat plochu oblasti Ω z informácie, ktorú máme k dispozícií obchádzajúc dokola jej hranicu Γ = Ω. Táto vlastnost je základom princípu geodetického prístroja - planimetra, ktorý skonštruoval švajčiarsky matematik J. Laffon. Myšlienka je vel mi jednoduchá a spočíva v počítaní plochy, ktorú vymedzí rameno planimetra ÂB pri pohybe z bodu A Γ do bodu A Γ. Dĺžka ramena ÂB= l je pevná. Pohyb z A Γ do A Γ možno rozložit na paralelný posun ramena ÂB do ramena ĈB o dĺžku dm a následné otočenie ramena ĈB do ramenaâ B o oholdφ. Výsledná zmena plochydp útvaru ACA B B je potom rovná dp= ldm+ l dφ, Obr..4: Znázornenie geometrickému princípu merania plochy Ω pomocou obiehania hrotu planimetra okolo jej hraniceγ= Ω proti smeru hodinových ručičiek. kde sme využili fakt, že pre malé uhly dφ platísin(dφ) dφ a preto plocha trojuholníka CA B je rovná llsin(dφ) l dφ. Nakoniec si uvedomme, že obídením celej krivky Γ= Ω proti smeru hodinových ručičiek a sčitovaním prírastkov plochy dp, dôjde ku postupnému vzájomnému odčitovaniu plochy nepatriacej do Ω, vd aka pohybovaniu sa najprv po vzdialenejšej časti krivky od fixného bodu planimetra O a následnému pohybu po bližšej časti krivky Γ z pohl adu bodu O. Planimeter je schopný svojim rotačným krokomerom zachytit celkový súčet M = Γdm paralelných posunov dm, ktoré môžu byt kladné i záporné. Planimeter však nedokáže už integrovat hodnoty prírastkov uhladφ. Určite však po jednom obehnutí krivky proti smeru hodinových ručičiek z bodu A do bodu A bude platit, že Γ dφ=φ(a) φ(a)=. To znamená, že celková plocha Ω = ΓdP sa dá vypočítat pomocou vzt ahu: Ω = dp= ldm+ l dφ=l dm+ Γ l dφ=lm Γ Γ Γ a teda Ω = lm, kde M je údaj z krokomeru (otočné koliesko) planimetra a l je pevná dĺžka ramena planimetra.