Έλεγχος ύναµης και Θέσης για Ροµποτικό Βραχίονα σε Επαφή µε Αβέβαιη Επιφάνεια

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ιπλωµατική εργασία µε θέµα : Έλεγχος ύναµης και Θέσης για Ροµποτικό Βραχίονα σε Επαφή µε Αβέβαιη Επιφάνεια Καραγιαννίδης Ιωάννης Α.Ε.Μ. : 96 Eπιβλέπων : ουλγέρη Ζωή Αναπληρώτρια καθηγήτρια Θεσσαλονίκη Φεβρουάριος 4

2 Περιεχόµενα Εισαγωγή...4 Κεφάλαιο Παρουσίαση του προβλήµατος Εισαγωγή Περιγραφή του δυναµικού µοντέλου κίνησης Περιγραφή του µοντέλου επαφής Πίνακας Προβολής Αβεβαιότητες Παλινδροµητής ύναµης Περιγραφή του προβλήµατος Το ισοδύναµο πρόβληµα : Βραχίονας µε ηµισφαιρικό µαλακό άκρο σε επαφή µε άκαµπτη επιφάνεια....8 Κεφάλαιο Παράλληλος έλεγχος δύναµης και θέσης για βραχίονα µε άκαµπτο άκρο που αλληλεπιδρά µε ελαστική επιφάνεια..... Εισαγωγή..... Παράλληλος ελεγκτής δύναµης και θέσης..... Σηµείο ισορροπίας του συστήµατος κλειστού βρόχου Ανάλυση Ευστάθειας Ανάλυση συνθηκών Προσοµοίωση του συστήµατος... Κεφάλαιο Προσαρµοστικός έλεγχος δύναµης και θέσης για βραχίονα µε άκαµπτο άκρο που αλληλεπιδρά µε αβέβαιη ελαστική επιφάνεια Εισαγωγή...6

3 .. Προσαρµοστικός νόµος ελέγχου δύναµης και θέσης Ανάλυση Ευστάθειας Έλεγχος δύναµης και έλεγχος κατεύθυνσης Ανάλυση των συνθηκών και συµπεράσµατα Προσοµοίωση του συστήµατος...48 Συµπεράσµατα...74 Παράρτηµα Ι: Απόδειξη χρήσιµων προτάσεων...76 Παράρτηµα II: υναµική και κινηµατική ανάλυση αεπιφανειακού βραχίονα.β.ε και βχωρικού βραχίονα.β.ε...8 Παράρτηµα III:Υπολογισµός συναρτήσεων V, W για το σύστηµα του Κεφαλαίου....9 Παράρτηµα IV: Υπολογισµός συναρτήσεων V, W για το σύστηµα του Κεφαλαίου..9 Παράρτηµα V: εδοµένα για τα πειράµατα...96 Βιβλιογραφία...

4 Εισαγωγή Στις µέρες µας, τα ροµπότ διαδραµατίζουν σηµαντικό ρόλο σε ένα µεγάλο µέρος βιοµηχανικών εφαρµογών. Πολλοί από τους σύγχρονους βιοµηχανικούς βραχίονες διεκπεραιώνουν εργασίες για τις οποίες δεν απαιτείται η ουσιαστική αλληλεπίδραση µε το περιβάλλον αλλά µόνο ο έλεγχος θέσης. Η αλληλεπίδραση ροµπότ περιβάλλοντος αποτελεί βασική προϋπόθεση, όχι µόνο για τη διεύρυνση των ροµποτικών εφαρµογών στη βιοµηχανία, αλλά και για την επέκταση της χρήσης τους σε άλλους επιστηµονικούς τοµείς, όπως η ιατρική, ή σε καθηµερινές εφαρµογές χρηστικού και ψυχαγωγικού χαρακτήρα. Η ανάγκη λοιπόν για γενίκευση της χρήσης των ροµπότ έδωσε το έναυσµα για µελέτες που αναφέρονται στον έλεγχο δύναµης αλληλεπίδρασης του ροµποτικού βραχίονα µε το περιβάλλον και παράλληλα στον έλεγχο θέσης. Με τον όρο περιβάλλον υπονοούµε την επιφάνεια µε την οποία έρχεται σε επαφή το ροµπότ. Για την περιγραφή της επαφής του άκρου ενός ροµποτικού βραχίονα µε µια επιφάνεια χρησιµοποιείται το άκαµπτο ή το ελαστικό µοντέλο επαφής. Στο άκαµπτο µοντέλο επαφής τόσο το άκρο του βραχίονα όσο και η επιφάνεια επαφής θεωρούνται άκαµπτα σώµατα. Όταν αναφερόµαστε σε ελαστικό µοντέλο επαφής εννοούµε είτε ότι η επιφάνεια αλληλεπίδρασης είναι ελαστική είτε ότι ο βραχίονας έχει µαλακό άκρο ή και τα δυο. Οι βασικές τεχνικές που προτάθηκαν για τον έλεγχο δύναµης και θέσης είναι ο υβριδικός έλεγχος και ο παράλληλος έλεγχος. Ο υβριδικός έλεγχος βασίζεται στην ανάλυση της διαδικασίας έλεγχου σε δύο διευθύνσεις: εφαπτοµενικά στο επίπεδο επαφής για τον έλεγχο θέσης και κάθετα στο επίπεδο για τον έλεγχο δύναµης, ενώ στον 4

5 παράλληλο έλεγχο χρησιµοποιείται ένας PD βρόχος για τον έλεγχο θέσης και ένας PI για τον έλεγχο δύναµης. Η κυριαρχία του ολοκληρωτή στο βρόχο ελέγχου δύναµης του παράλληλου ελεγκτή εξασφαλίζει τη ρύθµιση της δύναµης κάθετα στο επίπεδο ενώ ταυτόχρονα ελέγχεται η θέση του άκρου εφαπτοµενικά στο επίπεδο επαφής. Μια άλλη σηµαντική παράµετρος του προβλήµατος είναι οι αβεβαιότητες, που απορρέουν από τη µη ακριβή γνώση των χαρακτηριστικών του συστήµατος και της επιφάνειας επαφής. Οι δυναµικές αβεβαιότητες σχετίζονται µε την µερική άγνοια των δυναµικών παραµέτρων του ροµπότ (µάζες, ροπές αδράνειας ενώ οι κινηµατικές αβεβαιότητες αφορούν στις κινηµατικές παραµέτρους του ροµπότ (µήκη συνδέσµων και της επιφάνειας επαφής (κλίση ή θέση της επιφάνειας. Η απαίτηση για επίτευξη ελέγχου δύναµης και θέσης υπό το καθεστώς κινηµατικών αβεβαιοτήτων στην επιφάνεια επαφής κρίνεται ιδιαίτερα σηµαντική, καθώς πλέον τα ροµπότ καλούνται να αναλάβουν δράση σε µη ελεγχόµενο περιβάλλον. Για την αντιµετώπιση των προβληµάτων που προκύπτουν µε την εισαγωγή αβεβαιοτήτων στους νόµους ελέγχου παρουσιάστηκαν αρκετές µελέτες. Χαρακτηριστικά αναφέρουµε το άρθρο [] των C.C.Cheah, S.Aimoto, S.Kawamua, οι οποίοι θεώρησαν άκαµπτο µοντέλο επαφής. Το πρόβληµα ρύθµισης δύναµης και θέσης επιλύεται υπό το καθεστώς δυναµικών και κινηµατικών αβεβαιοτήτων που αφορούν στο βραχίονα, στη θέση της επιφάνειας επαφής αλλά όχι στην κλίση της. Επίσης στο άρθρο [] των Z.Dougei και S.Aimoto, επιτυγχάνεται η ρύθµιση θέσης και δύναµης, για βραχίονα µε µαλακό άκρο σε επαφή µε ελαστική επιφάνεια, θεωρώντας αβεβαιότητες στις παραµέτρους του βραχίονα και της επιφάνειας επαφής (κλίση και θέση. Ο νόµος ελέγχου που προτείνεται είναι ιδιαίτερα πολύπλοκος καθώς τροφοδοτεί το σύστηµα µε το εκτιµώµενο µοντέλο του βραχίονα, στο οποίο εµπλέκεται µεγάλος αριθµός παραµέτρων. Επίσης η ανάλυση γίνεται για επίπεδο βραχίονα και το επίπεδο επαφής θεωρείται µη καµπυλόγραµµο. Στη συγκεκριµένη διπλωµατική εργασία προτείνουµε έναν απλό νόµο ελέγχου θέσης και δύναµης, υπό το καθεστώς αβεβαιοτήτων στην επιφάνεια επαφής, θεωρώντας ελαστικό µοντέλο επαφής. Βασική µας επιδίωξη είναι η επίλυση του προβλήµατος για το γενικό µοντέλο βραχίονα (στο χώρο σε επαφή µε επίπεδη ή και καµπυλόγραµµη επιφάνεια. Η διάρθρωση της εργασίας περιγράφεται παρακάτω. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται παρουσίαση του προβλήµατος. Το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται στον παράλληλο έλεγχο δύναµης και θέσης. Στο τρίτο κεφάλαιο προτείνεται ένας προσαρµοστικός ελεγκτής δύναµης και θέσης και οι παραλλαγές του. 5

6 Κεφάλαιο Παρουσίαση του προβλήµατος.. Εισαγωγή Αρχικά, περιγράφεται το δυναµικό µοντέλο κίνησης για ροµποτικό βραχίονα σε επαφή µε ελαστική επιφάνεια καθώς και το µοντέλο δύναµης αλληλεπίδρασης και υπογραµµίζονται οι βασικές ιδιότητες τους. Στη συνέχεια εισάγεται η έννοια των αβεβαιοτήτων σε προβλήµατα ροµποτικού ελέγχου και δίνεται έµφαση στην ανάλυση των αβεβαιοτήτων που αφορούν στην επιφάνεια επαφής. Κατόπιν, γίνεται σχολιασµός του προβλήµατος ρύθµισης δύναµης και θέσης. Τέλος, αποδεικνύεται η ισοδυναµία του προβλήµατος βραχίονα µε άκαµπτο άκρο σε επαφή µε ελαστική επιφάνεια µε το πρόβληµα βραχίονα µε µαλακό ηµισφαιρικό άκρο σε επαφή µε άκαµπτη επιφάνεια... Περιγραφή του δυναµικού µοντέλου κίνησης Θεωρούµε ροµποτικό βραχίονα του οποίου το άκρο απαιτείται να κινηθεί πάνω σε ελαστική επιφάνεια. Στο σχήµα. απεικονίζεται επιφανειακός βραχίονας µε τρεις περιστροφικές αρθρώσεις σε επαφή µε ελαστική επιφάνεια. Έστω m R, διάνυσµα που εκφράζει τη θέση του άκρου του βραχίονα σε σχέση µε το αδρανειακό πλαίσιο στη βάση του, µε m6 για το χώρο και m για το επίπεδο. Θεωρούµε επίσης το διάνυσµα n R των γωνιών των αρθρώσεων του βραχίονα. Η λύση του ευθύ κινηµατικού που συνδέει τη θέση του άκρου µε τις γωνίες των αρθρώσεων είναι h(, όπου n m h ( R R, είναι ένας µη γραµµικός µετασχηµατισµός που περιγράφει τη σχέση του χώρου των αρθρώσεων µε το χώρο εργασίας. 6

7 Η ταχύτητα του άκρου του βραχίονα υπολογίζεται παραγωγίζοντας τη λύση του ευθύ κινηµατικού. Έτσι προκύπτει ότι h. Η ποσότητα h είναι ένας πίνακας διάστασης m n, ονοµάζεται Ιακωβιανή του βραχίονα και συµβολίζεται µε J(. Για απλότητα στην ανάλυση θεωρούµε από εδώ και στο εξής ότι nm, δηλαδή ο βραχίονας έχει όσους βαθµούς ελευθερίας χρειάζονται για το πρόβληµα δηλαδή β.ε. για επίπεδο πρόβληµα ή 6 β.ε. για χωρικό πρόβληµα. Εποµένως οι ταχύτητες στο χώρο εργασίας και στο χώρο των αρθρώσεων συνδέονται µέσω της σχέσης J(. y Ελαστική Επιφάνεια t Σχήµα. : Επιφανειακός βραχίονας µε τρεις περιστροφικές αρθρώσεις, µε άκαµπτο άκρο σε επαφή µε ελαστική επιφάνεια. Το σύστηµα του ροµποτικού βραχίονα σε επαφή µε το επίπεδο περιγράφεται από την παρακάτω διαφορική εξίσωση κίνησης : M ( C (, g ( J (F J (u, (. όπου: M ( : πίνακας αδράνειας του βραχίονα, συµµετρικός και θετικά ορισµένος. C (, R n : δυνάµεις Coioi και κεντροµόλος. g( R n : διάνυσµα δυνάµεων βαρύτητας. u R n : διάνυσµα ροπών που εφαρµόζονται από τον ελεγκτή. F R n : διάνυσµα δύναµης επαφής. J( n n R : η Ιακωβιανή του βραχίονα. Βασική ιδιότητα των πινάκων που εµπλέκονται στο δυναµικό µοντέλο του βραχίονα είναι η αντισυµµετρικότητα του M ( C (,. 7

8 Το δυναµικό µοντέλο του βραχίονα µπορεί να εκφραστεί στο χώρο εργασίας του ροµπότ, όταν η Ιακωβιανή J είναι ένας τετραγωνικός και µη ιδιόµορφος πίνακας, µέσα από τη σχέση (., σύµφωνα µε την Πρόταση Ι του Παραρτήµατος Ι : M ( C(, g( F u, (. Όταν η Ιακωβιανή δεν είναι τετραγωνική µπορεί να εξαχθεί µια σχέση παρόµοια µε την (., µε χρήση του ψευδοαντίστροφου πίνακα της Ιακωβιανής. Στο παράρτηµα αποδεικνύεται ότι οι ποσότητες στο χώρο εργασίας συνδέονται µε τις αντίστοιχές στο χώρο των αρθρώσεων µέσω των παρακάτω σχέσεων : M( J (M (J (, (. C(, J( C (, J( M(J(J (, (.4 g( J (g (, (.5 Αποδεικνύεται ότι ο πίνακας M( είναι συµµετρικός και θετικά ορισµένος καθώς και ότι ο πίνακας S (, M( C(, είναι αντισυµµετρικός. Για τον πίνακα Μ( ισχύει η παρακάτω ανισότητα : λ min (M I M( λ (M I, (.6 n ma n όπου λ min (M και λ ma (M είναι η ελάχιστη και η µέγιστη ιδιοτιµή του πίνακα Μ, αντίστοιχα, που είναι πάντα θετικές. Εφόσον τα στοιχεία των πινάκων M ( και C (, είναι συναρτήσεις του και οι συντελεστές τους είναι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις του, οι οποίες είναι φραγµένες, αποδεικνύεται ότι η ποσότητα M ( C(, είναι φραγµένη από τη συνάρτηση k, δηλαδή : M ( C(, k. (.7.. Περιγραφή του µοντέλου επαφής Αν αγνοήσουµε τις δυνάµεις τριβής που προκαλούνται κατά τις διευθύνσεις παράλληλα στην επιφάνεια, η δύναµη F που εµπλέκεται στο δυναµικό µοντέλο αποτελεί τη δύναµη που ασκεί το ροµπότ κάθετα στην ελαστική επιφάνεια. Έτσι η δύναµη F µπορεί να γραφεί F n, οπού n R m το κάθετο στην επιφάνεια µοναδιαίο διάνυσµα και το µέτρο της δύναµης επαφής. Το µέτρο συνδέεται µε την παραµόρφωση της επιφάνειας. Σε πολλές αναλύσεις που αφορούν σε έλεγχο δύναµης και θέσης, η σχέση δύναµης και 8

9 παραµόρφωσης θεωρείται γραµµική. Στη συγκεκριµένη εργασία θεωρούµε ότι το µέτρο της δύναµης είναι µια άγνωστη, µη γραµµική και επιπλέον µονότονα αύξουσα συνάρτηση της παραµόρφωσης, για > και ( αν. Το µέτρο της δύναµη µετριέται µε τη βοήθεια αισθητήρα. - δ - Σχήµα. Μη γραµµική συνάρτηση της δύναµης Η παραµόρφωση της επιφάνειας ορίζεται από τη σχέση : [ (] ( n( (.8 o o όπου o είναι γενικά η θέση του άκρου του βραχίονα όταν βρίσκεται σε οριακή επαφή µε το επίπεδο και ασκεί µηδενική δύναµη ή η θέση της επιφάνειας επαφής για µηδενική παραµόρφωση όπως φαίνεται στο σχήµα.. Γενικά, το σηµείο o και το µοναδιαίο διάνυσµα κατεύθυνσης της επιφάνειας n µεταβάλλονται, καθώς µεταβάλλεται η θέση του άκρου του βραχίονα (σχήµα.α. n n o o nn nn o ακαµπύλη επιφάνεια βεπίπεδη επιφάνεια Σχήµα. : Αλληλεπίδραση βραχίονα µε ακαµπύλη επιφάνεια βεπίπεδη επιφάνεια Όταν η επιφάνεια είναι επίπεδη (σχήµα.β ισχύει ότι n o n, όπου 9

10 είναι ένα σταθερό διάνυσµα που καθορίζει τη θέσης της επιφάνειας. Συνεπώς, στην ειδική περίπτωση επίπεδων επιφανειών η παραµόρφωση µπορεί να οριστεί από τη σχέση: [ ] n (.9 Θεωρούµε ότι µε την άσκηση δύναµης, η επιφάνεια παραµορφώνεται κατά µε - (. Εφόσον η δύναµη είναι µονότονα αύξουσα συνάρτηση της παραµόρφωσης, το σφάλµα αποτελεί µονότονα αύξουσα συνάρτηση του σφάλµατος δ, όπως αποτυπώνεται και στο σχήµα.. Εποµένως το γινόµενο. δ είναι θετικό. Για την παράγωγο της δύναµης ισχύει : (. Η µερική παράγωγος συµβολίζει την κλίση της συνάρτησης ( για κάθε τιµή της παραµόρφωσης, η οποία εκφράζει την ακαµψία της επιφάνειας. Αν θεωρήσουµε γραµµικό µοντέλο δύναµης παραµόρφωσης δηλαδή k, τότε k. Για γραµµική (, η ακαµψία της επιφάνειας παραµένει σταθερή και δε µεταβάλλεται καθώς παραµορφώνεται η επιφάνεια. Η παράγωγος υπολογίζεται παραγωγίζοντας τη σχέση (.8 : n ( n ( (. o o Το διάνυσµα n είναι παράλληλο στο εφαπτοµενικό επίπεδο της επιφάνειας που περνά από το σηµείο o (τύποι Fenet, ενώ το διάνυσµα o είναι κάθετο στο ίδιο επίπεδο. Εποµένως τα διανύσµατα n και o είναι κάθετα µεταξύ τους, δηλαδή το εσωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν. Επιπλέον, ισχύει n.εποµένως: n (. o Παρατηρώντας ότι n, προκύπτει :. (..4. Πίνακας Προβολής Ορίζουµε τον πίνακα προβολής Q, ο οποίος προβάλλει µεγέθη στο εφαπτοµενικό επίπεδο που είναι κάθετο στο διάνυσµα n. O πίνακας προβολής δίνεται από τη σχέση : Q I nn (.4

11 και έχει τις εξής ιδιότητες : Q Q (.5 Q Q (.6 Qn (.7 Στην περίπτωση καµπύλων επιφανειών ο πίνακας QQ( µεταβάλλεται καθώς µετακινείται το άκρο του βραχίονα. Παραγωγίζοντας τη σχέση (.4 προκύπτει: Q nn (.8 Η παράγωγος n συνδέεται µε το διάνυσµα ταχυτήτων µέσω της Ιακωβιανής σύµφωνα µε τη σχέση : J n n n J (.9 n Εφόσον τα στοιχεία της Ιακωβιανής J n είναι φραγµένα, ισχύουν τα παρακάτω φράγµατα: n n (. Q Q (. όπου n και Q σταθερές που σχετίζεται µε την καµπυλότητα της επιφάνειας. Για επίπεδες επιφάνειες ισχύει Q..5. Αβεβαιότητες Σε πολλές εφαρµογές ελέγχου ροµποτικού βραχίονα δεν υπάρχει ακριβής γνώση των παραµέτρων του συστήµατος. Εποµένως, µέσω του νόµου ελέγχου εισέρχονται στο σύστηµα αβεβαιότητες των παραµέτρων, οι οποίες χωρίζονται σε δυναµικές και κινηµατικές. Οι δυναµικές αβεβαιότητες είναι απόρροια της άγνοιας των επακριβών τιµών των δυναµικών παραµέτρων του βραχίονα δηλαδή των µαζών, των ροπών αδράνειας και του κέντρου µάζας κάθε συνδέσµου και έχουν ως αποτέλεσµα τη µη ακριβή γνώση των πινάκων Μ, C, g. Χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η µεταφορά αντικειµένων άγνωστης µάζας από ροµποτικό βραχίονα. Οι κινηµατικές αβεβαιότητες συνδέονται µε τη µη ακριβή γνώση των µηκών των συνδέσµων του βραχίονα αλλά και µε αβεβαιότητες σε παραµέτρους της επιφάνειας επαφής όπως είναι η κλίση ή και η θέση της. Τα αβέβαια µήκη οδηγούν σε αβέβαιη Ιακωβιανή του βραχίονα, ενώ η αβεβαιότητα για την επιφάνεια οδηγεί στην ατελή γνώση της διεύθυνσης επιβολής της δύναµης και της διεύθυνσης κίνησης του άκρου του βραχίονα.

12 Στη συγκεκριµένη εργασία σκοπός µας είναι ο έλεγχος δύναµης και θέσης υπό το καθεστώς αβεβαιοτήτων που αφορούν στο περιβάλλον του βραχίονα, δηλαδή στην επιφάνεια µε την οποία αλληλεπιδρά ο βραχίονας. Τα ακριβή γεωµετρικά χαρακτηριστικά της επιφάνειας επαφής δεν είναι πάντα γνωστά στο σχεδιαστή του ελεγκτή. Στην εργασία αυτή θεωρούµε ότι δεν υπάρχει ακριβής γνώση για την κλίση του επίπεδου σε κάθε θέση του άκρου µε αποτέλεσµα τη χρήση εκτιµήσεων της στο νόµο ελέγχου. Πρέπει επίσης να τονιστεί ότι µοντέλο επαφής δεν είναι απόλυτα γνωστό. Το γεγονός αυτό δεν επιβαρύνει τον ελεγκτή µε αβέβαιες παραµέτρους αλλά καθιστά δυσκολότερη την επιλογή κερδών για τη διασφάλιση των συνθηκών ευστάθειας καθώς η ακαµψία της επιφάνειας εµπλέκεται στις συνθήκες ευστάθειας. Οι εκτιµήσεις του διανύσµατος n και του πίνακα προβολής Q συµβολίζονται µε nˆ και Qˆ αντίστοιχα. Για τις εκτιµήσεις ισχύουν αντίστοιχες σχέσεις µε τις (.4 (.7 και (.,(.. Qˆ I (. Qˆ Qˆ Qˆ Qˆ nˆnˆ (. (.4 Qˆ nˆ (.5 Qˆ ĉ Q (.6 n ĉ n (.7 όπου ĉ Q, ĉ n σταθερά που σχετίζεται µε την καµπυλότητα της εκτιµώµενης επιφάνειας. Επίσης, θεωρούµε την ποσότητα δn, η οποία εκφράζει το σφάλµα εκτίµησης για το κάθετο στο επίπεδο διάνυσµα και ορίζεται σύµφωνα µε τη σχέση : δn n nˆ (.8 Στην επίπεδη περίπτωση το κάθετο στο επίπεδο διάνυσµα δίνεται από τη σχέση [ oφ in φ] n, όπου φ η γωνία κατεύθυνσης του επιπέδου. Έστω φˆ µια εκτίµηση nˆ oφˆ in φˆ η εκτίµηση του διανύσµατος n. Εποµένως, το µέτρο της δn, της φ και [ ] στη δισδιάστατη περίπτωση, υπολογίζεται ως εξής : δn δn n nˆ φ (φ φˆ (φ φˆ (.9 όπου θ και θ δηλώνουν το συνηµίτονο και το ηµίτονο µιας γωνίας θ και η γωνία

13 φαποτελεί τη διαφορά της πραγµατικής από την εκτιµώµενη γωνία του επιπέδου, δηλαδή φ φ φˆ. Η σύνδεση της ποσότητας δ n µε το σφάλµα στην εκτίµηση της γωνίας µέσα από τη σχέση µπορεί να γενικευτεί σε χωρικά προβλήµατα. Στην περίπτωση αυτή η γωνία φ εκφράζει τη διάφορα γωνίας των n, nˆ πάνω στο κοινό τους επίπεδο. Για τις καµπύλες επιφάνειες και τις εκτιµήσεις τους, τα διανύσµατα µεταβάλλονται. Μπορούµε όµως να θεωρήσουµε ότι : δn ε (. όπου ε σταθερά, η οποία εξαρτάται από τη µέγιστο σφάλµα στην εκτίµηση της γωνίας φ ma σύµφωνα µε τη σχέση : ( ε (. φ ma.6. Παλινδροµητής ύναµης Η ιδιαίτερη αναφορά στο παλινδροµητή δύναµης κρίνεται αναγκαία γιατί αποτελεί βασικό στοιχείο του προσαρµοστικού νόµου ελέγχου, ο οποίος προτείνεται στο Κεφάλαιο για την επίλυση του προβλήµατος ελέγχου δύναµης και θέσης όταν υπάρχουν αβεβαιότητες. Μπορούµε να εκφράσουµε το διάνυσµα της κάθετης στην επιφάνεια δύναµης ως εξής : n Z Θ n, nˆ (. Ο Ζ αποτελεί τον πίνακα παλινδρόµησης δύναµης και η ποσότητα Θ είναι διάνυσµα κινηµατικών παραµέτρων της επιφάνειας επαφής. Στη περίπτωση επίπεδων επιφανειών, για τον υπολογισµό του πίνακα Ζ απαιτείται µόνο η µέτρηση της δύναµης ενώ το διάνυσµα των παραµέτρων εµπλέκει µόνο τα συνηµίτονα κατεύθυνσης του κάθετου στο επίπεδο διανύσµατος, δηλαδή Θ n, µε n σταθερό και ανεξάρτητο του. Στην περίπτωση επιφανειών µε ένα κέντρο καµπυλότητας, όπως η σφαιρική επιφάνεια ή ο κύκλος για την επίπεδη περίπτωση, ισχύει ότι Ζ Z (, o, γεγονός που γίνεται αντιληπτό µε το παρακάτω παράδειγµα. Θεωρούµε την κύκλο Ψ( o, y o o y o α o βy o γ, όπου o, y o α β συντεταγµένες του διανύσµατος ηρεµίας o. Το κέντρο του κύκλου είναι K, και

14 η ακτίνα του σχέση : n Ψ o α β 4γ R. Το κάθετο στην καµπύλη διάνυσµα n δίνεται από τη Ψ o Ψ o Ψ o Ψ y o α β 4γ y o o α β (. Εποµένως, µπορούµε να εκφράσουµε το διάνυσµα n γραµµικά ως προς το διάνυσµα των Θ α β µέσω της σχέσης : α β 4γ παραµέτρων της καµπύλης [ ] n o y Είναι εµφανές ότι : o (, o α β 4γ α β (.4 n Z Θ (.5 o όπου Z (, o ο πίνακας παλινδρόµησης δύναµης. y o Το ερώτηµα που προκύπτει είναι αν το διάνυσµα o µπορεί να µετρηθεί, έτσι ώστε ο πίνακας Z (, o να είναι µετρήσιµος. Αν δε µπορούµε να µετρήσουµε το o, τότε το διάνυσµα δύναµης δεν µπορεί να εκφραστεί γραµµικά ως προς το διάνυσµα παραµέτρων Θ µέσω ενός µετρήσιµου πίνακα Z. Για την αντιµετώπιση αυτού του προβλήµατος προτείνονται οι παρακάτω λύσεις : α Να γίνει διαµερισµός της καµπυλόγραµµης επιφάνειας σε τµήµατα που θεωρούνται ευθύγραµµα. Έτσι η εκτέλεση της διαδικασίας ελέγχου γίνεται σε στάδια. Για το στάδιο i το διάνυσµα n i θεωρείται σταθερό ή ελαφρά µεταβαλλόµενο, εποµένως για το υπολογισµό του παλινδροµητή απαιτείται µόνο η µέτρηση της δύναµης. β Να γίνει η θεώρηση ότι o. Η θεώρηση αυτή προϋποθέτει ότι η επιφάνεια επαφής παρουσιάζει µεγάλη ακαµψία έτσι ώστε να παραµορφώνεται ελάχιστα κατά τη διάρκεια της διαδικασίας. Σε αυτήν την περίπτωση χρησιµοποιείται ο πίνακας παλινδρόµησης Z (, o, µε o. Σε πολλές εφαρµογές, η επιφάνεια επαφής παρουσιάζει µεταβολές στην καµπυλότητα της. Αν η διαδικασία ελέγχου πραγµατοποιηθεί σε στάδια, τότε για κάθε στάδιο η επιφάνεια µπορεί να θεωρηθεί είτε ευθεία (σε περίπτωση µικρής καµπυλότητας 4

15 ή κύκλος (σε περίπτωση µεγάλης καµπυλότητας. Έτσι µπορεί να εφαρµοστεί σταδιακά ο προσαρµοστικός έλεγχος επιφέροντας το επιθυµητό αποτέλεσµα. Όταν υπάρχει αβεβαιότητα στο επίπεδο επαφής έχουµε : nˆ Z ˆ Θ (.6 όπου ˆΘ είναι µια εκτίµηση του Θ. Αφαιρώντας κατά µέλη τις εξισώσεις (., (.6 προκύπτει : ( n nˆ Θ (.7 Z µε Θ Θ ˆΘ. Το διάνυσµα Θ θεωρείται ότι είναι άγνωστο..7. Περιγραφή του προβλήµατος Έστω ότι απαιτούµε το άκρο του βραχίονα να ασκήσει κάθετα στην επιφάνεια µια επιθυµητή δύναµη. Με την άσκηση της δύναµης η επιφάνεια παραµορφώνεται κατά. Η µετατόπιση, που αντιστοιχεί στη δύναµη, δεν είναι γνωστή γιατί το µοντέλο δύναµης επαφής είναι άγνωστο. Συνεπώς δεν µπορούµε να τοποθετήσουµε το άκρο του βραχίονα σε µια εκ των προτέρων καθορισµένη επιθυµητή θέση. Αν γνωρίζουµε το µοντέλο επαφής µπορούµε να επιτύχουµε άσκηση µιας επιθυµητής δύναµης και τοποθέτηση του άκρου του βραχίονα σε επιθυµητή θέση µόνο µε έλεγχο θέσης. Στην περίπτωση άγνοιας του µοντέλου επαφής το µόνο που µπορούµε να επιτύχουµε όσον αφορά στη ρύθµιση θέσης είναι να µετακινήσουµε το άκρο του βραχίονα σε συγκεκριµένη θέση πάνω στη µη παραµορφώσιµη επιφάνεια, ασκώντας παράλληλα την επιθυµητή δύναµη κάθετα στη επιφάνεια. Γίνεται λοιπόν αντιληπτό ότι η εντολή για τη θέση είναι ανεξάρτητη της εντολής για τη δύναµη. Εποµένως το τελικό επιθυµητό αποτέλεσµα, µπορεί να προκύψει από την επαλληλία της κίνησης εφαπτοµενικά στην επιφάνεια για την επίτευξη του στόχου θέσης και της µετατόπισης κάθετα στην επιφάνεια για την εκπλήρωση του στόχου δύναµης. Οι παραπάνω διαπιστώσεις αποτυπώνονται στο σχήµα.4. Αν γνωρίζουµε το µοντέλο δύναµης τότε µπορούµε να καθορίσουµε µια θέση, συµβατή µε την απαίτηση για παραµόρφωση της επιφάνειας κατά. Εποµένως το άκρο του βραχίονα τοποθετείται στη θέση. Αν δε γνωρίζουµε το µοντέλο δύναµης, απαιτούµε τοποθέτηση του άκρο του βραχίονα σε µια θέση πάνω στην επιφάνεια. Ο βραχίονας θα κινηθεί παράλληλα στην επιφάνεια έτσι ώστε να τοποθετηθεί στη θέση ενώ 5

16 ταυτόχρονα ο έλεγχος δύναµης θα υποχρεώσει το άκρο του βραχίονα να συµπιέσει την επιφάνεια (κατά έτσι ώστε να ασκήσει δύναµη µε τελικό αποτέλεσµα να καταλήξει στη θέση, την οποία δε γνωρίζουµε εξ αρχής. Σχήµα.4 Θεωρούµε τον πίνακα προβολής Q(, o οποίος ορίστηκε στην παράγραφό.4, για τη θέση του άκρου του βραχίονα, καθώς αυτό ασκεί δύναµη, έστω. Η ευθεία ε είναι η ευθεία η οποία διέρχεται από το σηµείο και είναι κάθετη στο επίπεδο προβολής, Ε, του πίνακα Q((Σχήµα.5, δηλαδή είναι η ευθεία διεύθυνσης του n. Έστω ότι η επιθυµητή θέση ορίζεται πάνω στη µη παραµορφώσιµη επιφάνεια. Μπορούµε να ισχυριστούµε ότι ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις : ε E Σχήµα.5 6

17 Πρόταση Ι: Αν για την επιθυµητή θέση και για τη θέση του άκρου του βραχίονα ικανοποιείται η σχέση : Q( ( (.8 τότε το άκρο του βραχίονα ανήκει στην ευθεία ε (σχήµα.6. Πράγµατι, εφόσον ισχύει η σχέση (.8, το διάνυσµα είναι κάθετο στο επίπεδο Ε ή παράλληλο στην ε. Επειδή το ανήκει στην ευθεία ε πρέπει και το να είναι σηµείο της ε.(σχήµα.6 E ε Σχήµα. 6 Πρόταση ΙΙ: Αν για την επιθυµητή θέση και για τη θέση του άκρου του βραχίονα ικανοποιείται η σχέση : ( Q( (.9 και η ελαστική επιφάνεια είναι οµαλή, τότε το άκρο του βραχίονα ανήκει στην ευθεία ε. Έστω ότι ε Q( Q(. Εφόσον ισχύει η σχέση (.9, η ευθεία ε η οποία ορίζεται από τη διαφορά - είναι κάθετη µε το επίπεδο Ε, το οποίο δεν ταυτίζεται µε το E (σχήµα.7α. Τέτοια ευθεία δεν µπορεί να βρεθεί για επιφάνειες οµαλές επιφάνειες (σχήµα.7. Εποµένως, µε απαγωγή εις άτοπο αποδείχθηκε ότι και Q( Q( όταν ισχύει η.9. ε E E ε - ε E ε αοµαλή καµπύλη επιφάνεια βμη οµαλή καµπύλη επιφάνεια Σχήµα.7 7

18 Όταν δε γνωρίζουµε µε ακρίβεια τις κινηµατικές παραµέτρους του επιπέδου επαφής, οι εντολές για θέση και δύναµη δίνονται στις εκτιµώµενες διευθύνσεις. Όσον αφορά στη ρύθµιση δύναµης, µπορούµε να ασκήσουµε την επιθυµητή δύναµη, εφόσον η δύναµη µπορεί να µετρηθεί µέσω αισθητήρα και να διοχετευθεί σε µια ολοκληρωτική διάταξη για το σφάλµα δύναµης. Από την άλλη η εσφαλµένη εντολή για θέση οδηγεί σε εσφαλµένη τοποθέτηση του άκρου του βραχίονα. Στη συγκεκριµένη εργασία για την περίπτωση κινηµατικών αβεβαιοτήτων της επιφάνειας επαφής, επιτυγχάνεται ο µηδενισµός του σφάλµατος θέσης παράλληλα στην εκτιµώµενη επιφάνεια επαφής ( Qˆ (( ή Qˆ ( (. Εποµένως, ο βραχίονας θα κινηθεί εφαπτοµενικά στο εκτιµώµενο επίπεδο έτσι ώστε να προσεγγίσει το και ταυτόχρονα να πιέσει κάθετα την πραγµατική επιφάνεια έτσι ώστε να ασκήσει την επιθυµητή δύναµη, χωρίς να χαθεί η επαφή µε την πραγµατική επιφάνεια. Στο σχήµα.8 απεικονίζεται η τελική θέση του άκρου του βραχίονα e υπό το καθεστώς κινηµατικών αβεβαιοτήτων στην επιφάνεια επαφής. Εκτιµώµενη Επιφάνεια φ e Πραγµατική Επιφάνεια Σχήµα.8.8. Το ισοδύναµο πρόβληµα : Βραχίονας µε ηµισφαιρικό µαλακό άκρο σε επαφή µε άκαµπτη επιφάνεια. Θεωρούµε ροµποτικό βραχίονα, το άκρο του οποίου καλύπτεται από µαλακό ηµισφαιρικό υλικό και βρίσκεται σε επαφή µε άκαµπτη επιφάνεια. Στο σχήµα.9 παρουσιάζεται επιφανειακός βραχίονας τριών περιστροφικών αρθρώσεων µε µαλακό ηµισφαιρικό άκρο σε επαφή µε άκαµπτη επιφάνεια. 8

19 Μαλακό ηµισφαιρικό άκρο y {t} y {} θ t y Άκαµπτη Επιφάνεια {P} t Σχήµα.9: Επιφανειακός βραχίονας µε τρεις περιστροφικές αρθρώσεις, µε άκαµπτο άκρο σε επαφή µε ελαστική επιφάνεια. Για την ανάλυση που θα ακολουθήσουµε ορίζουµε τα πλαίσια : {P} : αδρανειακό πλαίσιο τοποθετηµένο στη βάση του βραχίονα. Αποτελεί το πλαίσιο ως προς το οποίο θα εκφράσουµε τα υπόλοιπα πλαίσια. {} : κινούµενο πλαίσιο τοποθετηµένο στο σηµείο επαφής, έτσι ώστε ο άξονας να είναι κάθετος στο επίπεδο. Περιγράφεται από το διάνυσµα θέσης που αντιστοιχεί στο σηµείο επαφής και από τον πίνακα στροφής [ n o α] R µε n, o, α µοναδιαία διανύσµατα κάθετα µεταξύ τους. Στην γενικότερη περίπτωση καµπυλόγραµµης επιφάνειας ο πίνακας R µεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας. {t} : κινούµενο πλαίσιο του άκαµπτου άκρου του βραχίονα. Περιγράφεται από το διάνυσµα θέσης t και τον πίνακα στροφής R t ο οποίος εκφράζει τον προσανατολισµό του άκαµπτου άκρου του βραχίονα σε σχέση µε το αδρανειακό πλαίσιο {Ρ}. Θεωρούµε το διάνυσµα το οποίο εκφράζει τη θέση του σηµείου επαφής µε αρχή το {t}. Από το σχήµα.9 παρατηρούµε ότι R, όπου [ ] ( και η παραµόρφωση του µαλακού άκρου. Εποµένως το διάνυσµα δίνεται από τη σχέση: 9

20 ( n (.4 όπου n µοναδιαίο διάνυσµα κάθετο στην επιφάνεια. Επιπλέον στο σχήµα.9 φαίνεται ότι όταν ο βραχίονας είναι σε επαφή µε το επίπεδο ισχύει ο παρακάτω περιορισµός θέσης: (.4 t Συνδυάζοντας τις σχέσεις (.4 και (.4, προκύπτει η σχέση (.4 για την παραµόρφωση του µαλακού άκρου: n ( (.4 t H ταχύτητα της γενικευµένης θέσης του άκαµπτου άκρου του βραχίονα είναι [ ] V t ω, όπου t η γραµµική ταχύτητα και ω t η γωνιακή ταχύτητα. Η t t ταχύτητα V t συνδέεται µε την ταχύτητα των γωνιών των αρθρώσεων µε τη βοήθεια της J m n Ιακωβιανής J R, όπου J η Ιακωβιανή της γραµµικής ταχύτητας και J ω η J ω Ιακωβιανή της γωνιακής ταχύτητας, µέσω της σχέσης J. Όταν το µαλακό άκρο του δακτύλου πιέζει το άκαµπτο επίπεδο, η επιφάνεια επαφής αυξάνεται εξαιτίας της συµπίεσης του µαλακού υλικού. Έτσι παράγεται µια δύναµη κάθετη στο επίπεδο κατανεµηµένη σχεδόν ηµικυκλικά εξαιτίας της καµπυλότητας του άκρού του βραχίονα. Έτσι µπορούµε να υποθέσουµε ότι το ολοκλήρωµα της πίεσης για την επιφάνεια επαφής µπορεί να αναπαρασταθεί από µια δύναµη στο κέντρο της επιφάνειας επαφής κάθετη στο επίπεδο επαφής. Το µέτρο της δύναµης θεωρούµε ότι είναι µια άγνωστη, µη γραµµική και µονότονα αύξουσα συνάρτηση της µετατόπισης εξαιτίας της παραµόρφωσης του υλικού όταν >. Όταν τότε για τη δύναµη αλληλεπίδρασης ισχύει : (. Εκτενής αναφορά για τις ιδιότητες της δύναµης αλληλεπίδρασης έγινε στην παράγραφο.. Η κάθετη δύναµη στο επίπεδο µπορεί να εκφραστεί στο αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς µέσω στη σχέσης : F R F R ( n ( (.4 V t Για κάθε διάνυσµα y R µπορούµε να ορίσουµε τον αντισυµµετρικό z

21 z y πίνακα z R. Ο πολλαπλασιασµός του αντισυµµετρικού y πίνακα µε κάποιο άνυσµα u R εκφράζει το εξωτερικό γινόµενο των ανυσµάτων και u, γεγονός που περιγράφεται από τη σχέση u u u u. Η δύναµη F απεικονίζεται από το σηµείο επαφής στο πλαίσιο του άκαµπτου άκρου του βραχίονα {t} µέσω της ανάστροφης της Ιακωβιανής που συνδέει τα πλαίσια 6 {} και {t}, J [ I ] R, σύµφωνα µε τη σχέση: J I F n (.44 Λαµβάνοντας υπόψη τη σχέση (.4 και µε χρήση των ιδιοτήτων του αντισυµµετρικού πίνακα προκύπτει: n ( (n n (.45 Από τη σχέση (.45 γίνεται αντιληπτό ότι το στοιχείο ροπής στην (.44 είναι µηδέν, όπως ήταν αναµενόµενο, εφόσον η απεικόνιση της δύναµης F γίνεται µε µεταφορά πάνω στον άξονα της δράσης της. Έτσι η δύναµη επαφής εκφρασµένη στο χώρο των αρθρώσεων δίνεται από τη σχέση : I [ J J ] F J F J J F ω (.46 Το δυναµικό µοντέλο κίνησης του βραχίονα µε µαλακό ηµισφαιρικό άκρο σε επαφή µε άκαµπτη εκφράζεται στο χώρο των αρθρώσεων από τη σχέση : M ( C (, g ( J J F J u (.47 Λαµβάνοντας υπόψη την (.46, η σχέση (.47 γράφεται: M ( C (, g ( J F J u (.48 Η σχέση αύτη µπορεί να εκφραστεί στο χώρο εργασίας (για το άκαµπτο άκρο του βραχίονα µε τη βοήθεια της Ιακωβιανής του άκαµπτου άκρου σύµφωνα µε την πρόταση Ι του παραρτήµατος Ι: M( C(, g( n u, (.49 t t t t t t Οι ιδιότητες των πινάκων Μ, C αναφέρονται στην παράγραφο.. Πρέπει επίσης να τονίσουµε ότι το µοντέλο της δύναµης αλληλεπίδρασης είναι παρόµοιο, καθώς η δύναµη και στις δύο περιπτώσεις εκφράζεται σαν συνάρτηση της παραµόρφωσης της επιφάνειας όταν η επιφάνεια είναι ελαστική και της παραµόρφωσης

22 του άκρου όταν αυτό είναι µαλακό. Συγκρίνοντας τη σχέση (.49 µε τη σχέση (. γίνεται αντιληπτή η πλήρης αναλογία δυναµικού µοντέλου για το σύστηµα βραχίονα µε µαλακό άκρο σε επαφή µε άκαµπτη επιφάνεια και για το σύστηµα βραχίονα µε σκληρό άκρο σε επαφή µε µαλακή επιφάνεια. Στο ισοδύναµο πρόβληµα σκοπός µας είναι να ελέγξουµε τη δύναµη και τη θέση, για το µαλακό άκρο του βραχίονα. Όπως προκύπτει από τη σχέση (.46 η ρύθµιση της δύναµης στο σηµείο επαφής ισοδυναµεί µε τη ρύθµιση της δύναµης στο άκαµπτο άκρο. Επίσης η ρύθµιση της θέσης του µαλακού άκρου ( πάνω στην επιφάνεια µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε ρύθµιση για τη θέση του άκαµπτου άκρου ( t, καθώς τα δυο διανύσµατα θέσης έχουν την ίδια προβολή πάνω στην άκαµπτη επιφάνεια. Η αναλογία στα µοντέλα άκαµπτο άκρο ελαστική επιφάνεια και µαλακό άκρο άκαµπτη επιφάνεια καθώς και ο κοινός τρόπος µε τον οποίο εισάγονται οι αβεβαιότητες στο µοντέλο επαφής και στην επιφάνεια επαφής οδηγούν στο συµπέρασµα ότι οι ελεγκτές που προτείνονται στα επόµενα κεφάλαια για το µοντέλο άκαµπτο άκρο ελαστική επιφάνεια µπορούν να εφαρµοστούν και στο ισοδύναµο µοντέλο.

23 Κεφάλαιο Παράλληλος έλεγχος δύναµης και θέσης για βραχίονα µε άκαµπτο άκρο που αλληλεπιδρά µε ελαστική επιφάνεια.. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα αναλύσουµε τον παράλληλο ελεγκτή για σύστηµα ροµποτικού βραχίονα σε επαφή µε ελαστική επιφάνεια. H βασική διαφορά του Κεφαλαίου από το άρθρο [] είναι η θεώρηση µιας µη γραµµικής σχέσης για την αλληλεπίδραση βραχίονα περιβάλλοντος. Για την ανάλυση του παραλλήλου ελεγκτή θα υπολογίσουµε πρώτα το σηµείο ισορροπίας και στη συνέχεια θα προτείνουµε µια συνάρτηση Lyauno για το σύστηµα. Έτσι θα εξάγουµε τις συνθήκες για την ασυµπτωτική ευστάθεια του σηµείου ισορροπίας. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της προσοµοίωσης του συστήµατος. Τα συµπεράσµατα που προκύπτουν βοηθούν στη διερεύνηση του προβλήµατος υπό το καθεστώς αβεβαιοτήτων για το περιβάλλον επαφής, η οποία διεξάγεται στο Κεφάλαιο... Παράλληλος ελεγκτής δύναµης και θέσης Θεωρούµε το παράλληλο νόµο ελέγχου εκφρασµένο στο χώρο εργασίας του βραχίονα :

24 t I o u K K n k n k n ξ g( (. Οι δύο πρώτοι όροι συναποτελούν τον PD βρόχο του ελέγχου θέσης. O όρος K P µε -, όπου το άνυσµα της επιθυµητής θέσης είναι απαραίτητος για τον έλεγχο θέσης. Για απλότητα στην ανάλυση ευστάθειας και ισοτροπική συµπεριφορά θεωρούµε Κ k I. O όρος K εισάγει απόσβεση για την ταχύτητα θέσης του άκρου του βραχίονα. Για ευκολία στην ανάλυση ευστάθειας θεωρούµε ότι Κ k I. Οι τρεις επόµενοι όροι χρησιµοποιούνται για τον έλεγχο δύναµης. Τα k, k I είναι θετικές σταθερές. Ο όρος n τροφοδοτεί το σύστηµα µε το διάνυσµα της επιθυµητή δύναµης. Οι όροι k t n, k n ξ συνθέτουν τον PI βρόχο ελέγχου δύναµης, όπου I o είναι το σφάλµα δύναµης. Τέλος, ο όρος g( χρησιµοποιείται για αντιστάθµιση της βαρύτητας... Σηµείο ισορροπίας του συστήµατος κλειστού βρόχου Αντικαθιστώντας το νόµο ελέγχου στη δυναµική εξίσωση κίνησης προκύπτει το σύστηµα κλειστού βρόχου : t I o M( C(, K K k n k n ξ (. όπου k k. Το σηµείο ισορροπίας, σύµφωνα µε την Πρόταση ΙΙΙ του Παραρτήµατος I δίνεται από τις σχέσεις : ( n Q n (. (.4 όπου είναι η παραµόρφωση που αντιστοιχεί στην επιθυµητή δύναµη, δηλαδή (. Η γραφική αναπαράσταση της σχέσης (., για την επίπεδη περίπτωση, παρουσιάζεται στο σχήµα.. Από τη σχέση (.4 εξάγουµε το συµπέρασµα ότι η δύναµη οδηγείται στην επιθυµητή τιµή. Όσον αφορά στο σφάλµα θέσης, µηδενίζεται µόνο η προβολή του παράλληλα στο επίπεδο. Η κυριαρχία του βρόχου ελέγχου δύναµης είναι απόρροια του ολοκληρωτικού όρου του. Συµπερασµατικά, το άκρο του βραχίονα κινείται κάθετα στο επίπεδο έτσι ώστε να µηδενιστεί το σφάλµα δύναµης και παράλληλα σ αυτό έτσι ώστε 4

25 να φτάσει στην προβολή του στο επίπεδο. nn ( - n Q nn Ελαστική Επιφάνεια Σχήµα. : Σηµείο ισορροπίας επίπεδου βραχίονα σε επαφή µε ελαστική επιφάνεια µε εφαρµογή του παράλληλου νόµου ελέγχου. Θεωρούµε τη βαθµωτή ποσότητα δ -, η οποία δηλώνει το σφάλµα παραµόρφωσης και τη διανυσµατική eq, η οποία είναι η διανυσµατική προβολή του σφάλµατος θέσης παράλληλα στην επιφάνεια. Παρακάτω θα εκφράσουµε τη διαφορά σε σχέση µε τις ποσότητες δ και e : Q n( n [ n ( ] Q( nn Q (.5 n Από τη σχέση (.5, µε χρήση της (.9, προκύπτει ότι η διαφορά της τρέχουσας θέσης του άκρου από το σηµείο ισορροπίας δίνεται από τη σχέση: nδ e (.6 Εποµένως το σφάλµα µπορεί να εκφραστεί σαν άθροισµα του σφάλµατος παραµόρφωσης (συνεπώς και της δύναµης κατά την κάθετη στο επίπεδο διεύθυνση και του σφάλµατος θέσης κατά την εφαπτοµενική διεύθυνση. Επίσης λαµβάνοντας υπόψη ότι Q I- n n, το σηµείο ισορροπίας για τη θέση του άκρο του βραχίονα µπορεί να γραφεί : [ n ( ] n (.7 όπως φαίνεται και στο σχήµα.. Ορίζουµε την βαθµωτή ποσότητα η οποία θα χρειαστεί για την ανάλυση της ευστάθειας: 5

26 k [ n ( ] t ξ (.8 k I για την παράγωγο της οποίας ισχύει : (.9 επειδή τα διανύσµατα, n είναι σταθερά. Η ποσότητα µηδενίζεται στην κατάσταση ισορροπίας, σύµφωνα µε την Πρόταση ΙΙΙ του Παραρτήµατος Ι. Προσθαφαιρώντας το k στο σύστηµα κλειστού βρόχου (. προκύπτει : t ( k n k n ξ k ( M( C(, k k I (. o Βάσει των σχέσεων (.6-(.8, η εξίσωση (. λαµβάνει τη µορφή : M( C(, k k e k nδ k n k n (..4. Ανάλυση Ευστάθειας I Αρχικά υπολογίζεται το εσωτερικό γινόµενο της εξίσωσης κλειστού βρόχου µε το διάνυσµα an,όπου a µικρή θετική σταθερά. Το εσωτερικό γινόµενο µπορεί να λάβει την παρακάτω µορφή : t V(, δ, e, W(,,δ (. Η συνάρτηση V είναι υποψήφια συνάρτηση Lyauno : V(, δ, e, M( k δ δ µε (δ ( (ξ - a k n M( e k δ I ( k ak ak I I(δ (. I ξ > για δ και Ι(. Η συνάρτηση V µηδενίζεται όταν (, δ, e, (,,,. H συνάρτηση W είναι η συνάρτηση έργου : ak ak δ k δ [ M( C(, ] W(,,δ k an M( a n I (.4 Στη συνέχεια θα εξετάσουµε τις συνθήκες έτσι ώστε η συνάρτηση Lyauno είναι θετικά ορισµένη εξετάζοντας ξεχωριστά τη θετικότητα των όρων της. Αρχικά παρατηρούµε ότι ισχύει : 6

27 M( a n M( 4 ( a n M(( a n a (n M(n 4 Για τον τελευταίο όρο της εξίσωσης, µε χρήση της (.6, αποδεικνύεται ότι ισχύει : (.5 a (n M(n a n λ ma (M n a λ ma (M (.6,γιατί ξξ ξ ξ. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (.5, (.6 προκύπτει : ( M. M( a n M( a λ ma (.7 4 Επιπλέον µπορούµε να εκφράσουµε το άθροισµα των όρων k, k, ak δ I δ I, σαν µια τετραγωνική µορφή : k k δ I δ k δ k Iδ ak I (.8 k I ak I Λαµβάνοντας υπόψη τα παραπάνω εξάγουµε την ανίσωση : δ k k I δ V(, δ, e, M( h(δ k e 4 (.9 k I ak I όπου h(δ βαθµωτή συνάρτηση, µε h( δ k I( δ a λ (M. Η συνάρτηση h(δ µηδενίζεται µόνο όταν δ, δηλαδή και σύµφωνα µε την Πρόταση ΙΙ του Παραρτήµατος I είναι θετική σε µια γειτονιά του, αν επιλέξουµε κατάλληλες σταθερές ανίσωση : ( k ak a λ ma (M > Επιπλέον, αν ισχύει : ma k, k, a έτσι ώστε να ικανοποιείται η παρακάτω (. ak > k I (. k k I ο πίνακας είναι θετικά ορισµένος. Εποµένως από την ανισότητα (.9 k I ak I µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι η V(, δ,e, είναι θετικά ορισµένη αν πληρούνται οι συνθήκες (.,(.. Στη συνέχεια εξετάζεται το πρόσηµο της W. Ο χώρος εργασίας του ροµπότ είναι πρακτικά πεπερασµένος, δηλαδή <. Άρα το σφάλµα δύναµης είναι πεπερασµένο 7

28 και µπορεί να θεωρηθεί µικρότερο από ένα άνω όριο : u(, (. ή ισοδύναµα : µ u( δ, (. όπου µ σταθερά που σχετίζεται µε την ακαµψία της επιφάνειας. Αν δεν ισχύει ο φυσικός περιορισµός του σφάλµατος, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε στο νόµο συνάρτηση κορεσµού του σφάλµατος, που προτείνεται στο [4]. Λαµβάνοντας υπόψη τα παραπάνω τη σχέση (. καθώς και τις (.6,(.7, (. και (. προκύπτει ότι : an M( a ή ισοδύναµα : µε nˆ ( [ M( C(, ] a λ (M u( k n ma (.4 [ ] a M( a M( C(, aδ (.5 δ λ nˆ ( (M u( k ma (.6 Συνδυάζοντας την ανίσωση (.5 µε την εξίσωση (.4 έχουµε : ( k aδ ak ( ak k δ W(, (.7 Το γινόµενο δ είναι θετικό επειδή η συνάρτηση είναι µονότονα αύξουσα µε την δ. Εποµένως η W είναι θετικά ηµιορισµένη αν υπάρχουν σταθερές k, k, k I, k έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες : k > aδ (.8 ak > k I (.9 Παρατηρούµε ότι η συνθήκη (.9 είναι ίδια µε την (.. I Σύµφωνα µε την (. η συνάρτηση V είναι ηµιορισµένη αρνητικά. Εφαρµόζοντας το θεώρηµα LaSae, µηδενίζουµε τη V και προκύπτει και. Έτσι, καθώς t, η εξίσωση κλειστού βρόχου έχει τη µορφή : e k I n (. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση µε το πίνακα προβολής Q και κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων (.6, (.7 προκύπτει Qe e. Αντικαθιστώντας e στην εξίσωση (. προκύπτει ότι καθώς t. 8

29 Θεώρηµα : Το σηµείο ισορροπίας,, είναι τοπικά ασυµπτωτικά ( ευσταθές αν βραχίονας βρίσκεται σε συνεχή επαφή µε το επίπεδο και τα κέρδη k, k, k έχουν επιλεγεί έτσι ώστε να πληρούνται οι συνθήκες : ε ( (α k ak a λ ma (M > (. π ι(β k > aδ (. λ ( ε όπου a> και δ λ ma (M u( k γ (γ ak > k I (. ε.5. Ανάλυση συνθηκών Στην παρακάτω ανάλυση δεν θα χρησιµοποιηθεί αναλογικός όρος για την ενίσχυση του σφάλµατος δύναµης, δηλαδή k. Εποµένως η συνθήκη (α γράφεται ως εξής : ( ak a λ ma (M > ή ισοδύναµα : k Έστω > aλ ma η aλ ( (M ma a ( (M a προέκυψε από τη συνθήκη (α έχουµε : (.4 (.5. Συνδυάζοντας τη συνθήκη (β µε τη (.5 που k > ma(η, aδ (.6 όπου ma(η, aδ η µέγιστη από τις τιµές η και aδ. Επιπλέον τα k και k I πρέπει να ικανοποιούν τη συνθήκη (γ. Η σταθερά a δεν χρησιµοποιείται στον έλεγχο του συστήµατος και εποµένως δεν επηρεάζει την απόκριση του. Στη σταθερά ma(η, aδ εµπλέκεται ο όρος ( που σχετίζεται µε την ακαµψία της επιφάνειας επαφής. Επειδή το µοντέλο επαφής δεν είναι απόλυτα γνωστό, 9

30 θεωρούµε ότι το a πρέπει να είναι πολύ µικρό έτσι ώστε ο όρος ma(η, aδ, να µην είναι ιδιαίτερα δεσµευτικός για την επιλογή του k. Για µικρό a, από τη συνθήκη (γ διαφαίνεται ότι το k πρέπει να επιλεγεί αρκετά µεγαλύτερο από το k I. Τέλος, διαπιστώνουµε ότι ο αναλογικός όρος ενίσχυσης του σφάλµατος δύναµης δεν είναι απαραίτητος στο παράλληλο ελεγκτή..6. Προσοµοίωση του συστήµατος Θεωρούµε επίπεδο επιφανειακό βραχίονα µε τρεις περιστροφικές αρθρώσεις. Οι παράµετροι του βραχίονα και οι αρχικές τιµές των γωνιών των αρθρώσεων αναφέρονται στο παράρτηµα V. Έστω {Ο} αδρανειακό πλαίσιο στη βάση της επιφάνειας επαφής (σχήµα.. Ο άξονας του {Ο} είναι κάθετος στο επίπεδο. Το επίπεδο µε το οποίο αλληλεπιδρά ο βραχίονας είναι µια ευθεία της µορφής in( φ(y - y o(φ(, µε φ τη γωνία στροφής του {Ο} σε σχέση µε το αδρανειακό πλαίσιο στη βάση του βραχίονα και, y, οι καρτεσιανές συντεταγµένες του διανύσµατος θέσης πλαισίου {Ο}. Το κάθετο στο διάνυσµα επίπεδο είναι n [ o(φ in(φ ] φ και (,y (.9,. Εποµένως n [ ].. Για την προσοµοίωση θεωρούµε {P} {Ο} φ Σχήµα.

31 Για την προσοµοίωση θεωρούµε ότι η δύναµη συνδέεται µε την παραµόρφωση µέσω της σχέσης k όπου k η σταθερά ακαµψίας. Για το πείραµα θεωρούµε k5,. Με βάση αυτές τιµές και το διάνυσµα n υπολογίζονται η αρχική θέση και δύναµη για τον βραχίονα. Οι αρχικές και οι επιθυµητές τιµές για θέση και δύναµη αποτυπώνονται στο Παράρτηµα V. Στο σχήµα. απεικονίζεται ο βραχίονας µε διακεκοµµένη γραµµή στην αρχική του θέση. Έστω a. και δˆ 5, µια εκτίµηση για το δ. Για την τιµή του a που θεωρήσαµε η εκτίµηση για το ηˆ είναι πολύ µικρότερη από το a δˆ. Εποµένως για το k k I πρέπει να ισχύει k > 6. Σύµφωνα µε τη συνθήκη (γ πρέπει <.. Τα κέρδη για k το πείραµα αναγράφονται στο Παράρτηµα V. Αν γνωρίζουµε τη σχέση που εκφράζει τη δύναµη µε τη µετατόπιση µπορούµε να υπολογίσουµε τον όρο (. Στην περίπτωση µας υπολογίζεται ίσος µε 464,. Ενώ η µέγιστη ιδιοτιµή του πίνακα Μ από τα πειράµατα υπολογίστηκε περίπου.69 και η σταθερά k. Για τις παραπάνω τιµές υπολογίζουµε ότι δ 4. Για την επιλογή του a., προκύπτει η< και aδ 9.6. Εποµένως πρέπει k >9.6. Επιλέγοντας k >6 χρησιµοποιώντας τις εκτιµήσεις του η, δ βρισκόµαστε εντός της περιοχής των k για την ευστάθεια του συστήµατος. Στο σχήµα. απεικονίζεται µε συνεχή γραµµή η τελική θέση του βραχίονα όπως προέκυψε από την προσοµοίωση. Στα σχήµατα.-.7 παρουσιάζονται οι αποκρίσεις που προέκυψαν από την προσοµοίωση του συστήµατος. Η ποσότητα Y e o, όπου ο το µοναδιαίο διάνυσµα κάθετο στο n, αποτελεί τη βαθµωτή προβολή του σφάλµατος θέσης παράλληλα στο επίπεδο. Όπως φαίνεται στις παραπάνω αποκρίσεις, η δύναµη συγκλίνει στην επιθυµητή της τιµή (σχήµα. και µηδενίζεται η προβολή του σφάλµατος θέσης παράλληλα στην επιφάνεια (σχήµα.4. Το άκρο του βραχίονα δεν πηγαίνει στη επιθυµητή θέση η οποία δόθηκε πάνω στην ευθεία, επειδή κυριαρχεί ο ολοκληρωτής δύναµης, όπως τονίστηκε στην παράγραφο. Το σηµείου ισορροπίας που προέκυψε θεωρητικά µε χρήση της σχέσης (. συµπίπτει µε το σηµείο ισορροπίας που προέκυψε από την προσοµοίωση [.45(m.49(m.68(a ]. P

32 (N Y e (m time(e Σχήµα.: Σφάλµα δύναµης time(e Σχήµα.4: Προβολή του σφάλµατος θέσης στην επιφάνεια 4 (a / e time(e Σχήµα.5: Ταχύτητες των αρθρώσεων.5.5 γ e(a time(e Σχήµα.6: Σφάλµα προσανατολισµού γ e γ-γ.6.4. y y..8 (m time(e Σχήµα.7: Θέση Στη συνέχεια, δοκιµάζουµε πειραµατικά, πως λειτουργεί ο παράλληλος ελεγκτής στην περίπτωση, αβεβαιοτήτων στην κλίση της επιφάνειας επαφής. Τώρα, στο νόµο ελέγχου αντί του πραγµατικού κάθετου διανύσµατος στην επιφάνεια θα

33 χρησιµοποιήσουµε µια εκτίµηση του. Αν η εκτίµηση για τη γωνία φ, είναι φˆ, τότε το εκτιµώµενο, κάθετο στο επίπεδο, άνυσµα υπολογίζεται [ ] nˆ [ ] nˆ o(φˆ in(φˆ. Για τα κέρδη χρησιµοποιήθηκαν οι ίδιες τιµές µε το πείραµα χωρίς αβεβαιότητες. Στο σχήµα.8 απεικονίζεται η τελική θέση του βραχίονα και στα σχήµατα.9. παρουσιάζονται οι αποκρίσεις Σχήµα (N time(e Σχήµα.9 : Σφάλµα ύναµης. -. Y e (N time(e Σχήµα.: Προβολή του σφάλµατος θέσης στην επιφάνεια

34 4 (a / e y y γ e (a time(e Σχήµα.:Ταχύτητες των αρθρώσεων time(e Σχήµα.:Σφάλµα προσανατολισµού γ e γ γ.6.4. y y..8 (m time(e Σχήµα.:Θέση Από την απόκριση του σφάλµατος δύναµης (σχήµα.9 διαπιστώνουµε, ότι η δύναµη συγκλίνει στην τιµή, παρά τη χρήση µιας εσφαλµένης εκτίµησης για το διάνυσµα n στο νόµο ελέγχου, ενώ το σφάλµα θέσης προβαλλόµενο παράλληλα στην επιφάνεια δε µηδενίζεται (σχήµα.. Ο βραχίονας κινείται προς το σηµείο. Η γωνία προσανατολισµού του άκρου του βραχίονα συγκλίνει στην επιθυµητή τιµή. Ο µηδενισµός του σφάλµατος δύναµης είναι απόρροια του ολοκληρωτή σφάλµατος δύναµης που χρησιµοποιείται στον παράλληλο ελεγκτή. Ο ολοκληρωτικός όρος εισάγει στο σύστηµα την κατάσταση t ξ, η παράγωγος της οποίας είναι. Όταν το σύστηµα ισορροπήσει, οι ταχύτητες των καταστάσεων µηδενίζονται µε αποτέλεσµα να µηδενίζεται και το σφάλµα δύναµης. Εποµένως, µε χρήση ολοκληρωτικών διατάξεων µπορούµε να οδηγούµε τη δύναµη σε συγκεκριµένη τιµή ακόµη και αν δεν γνωρίζουµε µε ακρίβεια τις παραµέτρους o 4

35 της επιφάνειας ή του βραχίονα. Η δυσκολία χειρισµού του t ξ στην ανάλυση ευστάθειας του παράλληλου ελεγκτή υπό το καθεστώς κινηµατικών αβεβαιοτήτων της επιφάνειας επαφής µας οδήγησε στο προσαρµοστικό νόµο ελέγχου του Κεφαλαίου, στον οποίο οι παράµετροι αναπροσαρµόζονται µέσω µιας ολοκληρωτικής σχέσης, µηδενίζοντας έτσι το σφάλµα δύναµης. o 5

36 Κεφάλαιο Προσαρµοστικός έλεγχος δύναµης και θέσης για βραχίονα µε άκαµπτο άκρο που αλληλεπιδρά µε αβέβαιη ελαστική επιφάνεια.. Εισαγωγή Βασικός σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι η παρουσίαση και η ανάλυση ενός ελεγκτή δύναµης και θέσης για ροµποτικό βραχίονα που αλληλεπιδρά µε ελαστική επιφάνεια, της οποίας τα χαρακτηριστικά θεωρούνται αβέβαια. Eφαρµόζεται ο προσαρµοστικός ελεγκτής και µελετάται η ευστάθεια του συστήµατος κλειστού βρόχου και οι συνθήκες που την διασφαλίζουν. Επιπρόσθετα, προτείνεται ένας ελεγκτής δύναµης κατεύθυνσης. Τη θεωρητική ανάλυση ακολουθούν πειράµατα, τα οποία διεξάγονται µε προσοµοίωση του συστήµατος... Προσαρµοστικός νόµος ελέγχου δύναµης και θέσης Παρακάτω παρουσιάζεται ο προσαρµοστικός ελεγκτής δύναµης και θέσης. Ο νόµος ελέγχου είναι εκφρασµένος στο χώρο εργασίας και δίνεται από την σχέση : u K e K nˆ k nˆ g( Z Θ ˆ (. µε νόµο αναπροσαρµογής του διανύσµατος παραµέτρων Θ ˆ : 6

37 Θ ˆ LZ ( y (. όπου y είναι µια ποσότητα που συνδυάζει γραµµικά την ταχύτητα του άκρου, τα σφάλµατα θέσης και δύναµης και περιγράφεται από τη σχέση : y anˆ be (. µε a> και b >. Το διάνυσµα e εκφράζει το σφάλµα θέσης προβαλλόµενο στην εκτιµώµενη επιφάνεια : e Qˆ ( (.4 όπου και το επιθυµητό διάνυσµα θέσης. Το εκτιµώµενο κάθετο διάνυσµα nˆ υπολογίζεται για κάθε θέση του άκρου του βραχίονα, δηλαδή nˆ nˆ (. Λαµβάνοντας υπόψη την ιδιότητα (.5 εξάγουµε τη σχέση : nˆ e. (.5 Ο πρώτος όρος -K e ελέγχει το σφάλµα θέσης. Για απλότητα και ισοτροπική συµπεριφορά θεωρούµε ότι ο πίνακας είναι Κ k I. o διάνυσµα θέσης του άκρου του βραχίονα υπολογίζεται µε ακρίβεια, επειδή τα µήκη των συνδέσµων του βραχίονα θεωρούνται γνωστά. Ο όρος διάνυσµα ταχυτήτων K αποτελεί διαφορικό όρο ανάδρασης. Γίνεται η θεώρηση ότι το µπορεί να µετρηθεί άµεσα ή να υπολογιστεί από τη σχέση J(, καθώς γνωρίζουµε τις κινηµατικές παραµέτρους του βραχίονα. Για ευκολία στην ανάλυση της ευστάθειας ο Κ λαµβάνεται ως Κ k I. µέτρο O όρος nˆ τροφοδοτεί το σύστηµα µε το διάνυσµα της δύναµης µε επιθυµητό στην εκτιµώµενη κατεύθυνση. Ο όρος αυτός ενισχύεται µε την αρνητική ανάδραση του σφάλµατος δύναµης nˆ, όπου k θετική σταθερά και - το k σφάλµα δύναµης. Επίσης χρησιµοποιούµε απλή αντιστάθµιση της βαρύτητας επειδή το διάνυσµα g( υπολογίζεται σε πραγµατικό χρόνο. Ο τελευταίος όρος, Z Θ ˆ, αποτελεί το προσαρµοστικό µέρος του ελεγκτή. Ο συγκεκριµένος όρος εισάγεται εξαιτίας της ύπαρξης αβεβαιότητας στο κάθετο στην επιφάνεια διάνυσµα. Ο νόµος αναπροσαρµογής (. µπορεί επίσης να πάρει τη µορφή: t ( LZ ( y t, Θ ˆ ˆ Θ ( (.6 ο Θα δείξουµε ότι καθώς το διάνυσµα παραµέτρων αναπροσαρµόζεται από την παραπάνω 7

38 ολοκληρωτική σχέση, η ταχύτητα και οι ποσότητες, e οδηγούνται στο µηδέν. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ο ελεγκτής που προτείνεται βασίζεται στην ιδέα του υβριδικού ελέγχου καθώς η κατεύθυνση του ελέγχου δύναµης είναι κάθετη στην κατεύθυνση του ελέγχου θέσης. Αντικαθιστώντας το νόµο ελέγχου στο δυναµικό µοντέλο του συστήµατος (. προκύπτει : M( C(, k k e k nˆ Z ( Θ (.7 όπου k k και Θ ˆ Θ Θ. Εναλλακτικά, για το νόµο ελέγχου (.-(.4, µπορούµε να ορίσουµε την ποσότητα e σύµφωνα µε τη σχέση : e Qˆ ( (.8 και το κάθετο στην εκτιµώµενη επιφάνεια διάνυσµα να ληφθεί για τη θέση, δηλαδή: nˆ nˆ( (.9 Με την εναλλακτική αυτή πρόταση δεν απαιτείται ο συνεχής υπολογισµός των nˆ,qˆ θέση. κατά τη διάρκεια της διαδικασίας ελέγχου, αλλά η εκτίµηση τους στην επιθυµητή Για την αποφυγή σύγχυσης, ο ελεγκτής που περιγράφεται από τις σχέσεις (.- (.4 θα αναφέρεται ως ελεγκτής ενώ ο ελεγκτής που περιγράφεται από τις (.,(., (.8,(.9 θα αναφέρεται ως ελεγκτής. Οι ελεγκτές, παρουσιάζονται συνοπτικά στον πίνακα.. u K e K nˆ Θ ˆ LZ ( y y anˆ be µε a,b> k nˆ g( Z Θ ˆ Ελεγκτής e Qˆ ( nˆ nˆ( Ελεγκτής e Qˆ ( nˆ nˆ ( Πίνακας. 8

39 .. Ανάλυση Ευστάθειας Αρχικά, υπολογίζεται το εσωτερικό γινόµενο της εξίσωσης κλειστού βρόχου για τον ελεγκτή, εξίσωση (.7, µε το διάνυσµα y. Το εσωτερικό γινόµενο µπορεί να λάβει την παρακάτω µορφή : µε : t V(, δ,e, Θ W(,,e (. V(, δ, e, (k Θ M( a nˆ M( be M( (k δ όπου (δ ( (ξ - bk e Θ L Θ I ξ > για δ και Ι(., ak I(δ (. W(,, e b Qˆ M( b anˆ M( a nˆ (k ak ak bk e Τ (n nˆ Qˆ M( b M( a nˆ k (k Qˆ [ M( C(, ] [ M( C(, ] bk e Qˆ (. Στη συνέχεια θα εξετάσουµε αν η συνάρτηση V είναι υποψήφια συνάρτηση τύπου Lyauno. Θα δείξουµε ότι είναι θετικά ορισµένη εξετάζοντας ξεχωριστά τη θετικότητα των όρων της. Είναι προφανές ότι ο όρος Θ L Θ του θετικά ορισµένου πίνακα L -. Ισοµερίζοντας την ποσότητα εξάγουµε τις παρακάτω ισότητες: και 4 M( a nˆ M( ( a nˆ 4 M( be M( 4 ( be 4 M(( a nˆ a M(( be b e είναι θετικός ως τετραγωνική µορφή (nˆ M(e M(nˆ M( µπορούµε να (. (.4 9

40 Για τους τελευταίους όρους των εξισώσεων (. και (.4, µε χρήση της ιδιότητας (.6, προκύπτει: a M(nˆ a λ ma (M a λ ma (M (.5 (nˆ nˆ nˆ b e M(e b λ ma (M e (.6 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (.,(.5 και (.4,(.6 εξάγουµε τις ανισώσεις: 4 M( a nˆ M( ( a nˆ 4 M( be M( 4 ( be 4 M(( a nˆ a M(( be b λ ma λ ma (M e (M Λαµβάνοντας υπόψη τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει η παρακάτω ανίσωση : µε V(, δ, e, h(δ Θ ( a nˆ M(( a nˆ 4 ( be M(( be 4 h(δ (k bk b λ Θ L Θ (k ak I(δ a λ ma (M. ma (M e (.7 (.8 (.9 Η συνάρτηση h(δ µηδενίζεται µόνο όταν δ, δηλαδή και, σύµφωνα µε την Πρόταση II του Παραρτήµατος Ι, είναι θετική σε µια γειτονιά του αν οι σταθερές k,k, a έχουν επιλεγεί έτσι ώστε να ικανοποιείται η παρακάτω ανίσωση : ( k ak a λ ma (M > (. Επιπλέον, µε κατάλληλη επιλογή των k, k, b, ο συντελεστής του e είναι θετικός δηλαδή αν: (k bk b λ (M (. ma > Από τη ανισότητα (.9 µπορούµε να εξάγουµε το συµπέρασµα ότι η συνάρτηση V(, δ,e, Θ είναι θετικά ορισµένη αν ισχύουν οι συνθήκες (., (.. Από την εξίσωση (. συµπεραίνουµε ότι για να εξάγουµε το πρόσηµο της -V 4

41 αρκεί να εξετάσουµε το πρόσηµο της W. Θεωρούµε ότι ο χώρος εργασίας του ροµπότ είναι πρακτικά πεπερασµένος, δηλαδή <. Εποµένως τόσο το σφάλµα θέσης όσο και το σφάλµα δύναµης είναι πεπερασµένα και µπορούν να θεωρηθούν µικρότερα από ένα άνω όριο, πράγµα που αποτυπώνεται στις παρακάτω σχέσεις : και ( u (. ( u (. Αν δεν ισχύει ο φυσικός περιορισµός των σφαλµάτων, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε συναρτήσεις κορεσµού για τις ποσότητες, στο νόµο ελέγχου, όπως αυτές που προτείνονται στο [4]. Παρακάτω λαµβάνουµε υπόψη τις σχέσεις (., (. καθώς και τις (.6, (.7, (., (., (.6 (.7, έτσι ώστε να εξάγουµε ανισότητες για τους όρους της W (σχέση (.. Για τους όρους της πρώτης σειράς στην (. ισχύει: b Qˆ M( b b Qˆ M( b Qˆ Τ [ M( C(, ] { λ (M u( ĉ λ (M u( k } ma και για τους όρους της δεύτερης σειράς: anˆ M( a nˆ a λ ma M( a nˆ ( (M Q ma [ M( C(, ] u( ĉ Συνδυάζοντας τις παραπάνω ανισότητες έχουµε : µε b Qˆ M( b Qˆ anˆ M( a nˆ n λ ma [ M( C(, ] (M u( k [ ] (.4 (.5 Τ M( b (.6 Qˆ M( a nˆ M( C(, ζ ( ζ a λ ma (M u( ĉnλ ma (M u( k b{ λ (M u( ĉ λ (M u( k }. ma Q ma (.7 Για τους όρους της τρίτης σειράς, λαµβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (.6, (. προκύπτει : k ak (n nˆ (k ak ε, (.8 ( (k ak e Qˆ (k ak ĉq u( e. (.9 4

42 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (.6-(.8 µε την εξίσωση της W (. λαµβάνουµε : W(,, e k (k ζ ak ak u( ĉ Η παραπάνω ανίσωση γράφεται ισοδύναµα : bk Q e e (k ak ε (. W(,,e A (. όπου [ ] e και A (k 4 k (k bk ζ ak ε u ak bk ( ( ĉ bk Q (k ak ε (k 4 u ĉ Q. Έτσι λοιπόν η W είναι θετικά ορισµένη αν ο πίνακας Α είναι θετικά ορισµένος δηλαδή : k > ζ A A et > A A et(a > (. H συνθήκη (. απλοποιείται θεωρώντας µια µικρή περιοχή γύρω από το σηµείο ισορροπίας, στην οποία η κλίση της εκτιµώµενης επιφάνειας µεταβάλλεται ελάχιστα. Εποµένως µπορούµε να θεωρήσουµε αµελητέες τις παράγωγους των nˆ, Qˆ και τους όρους των συνθηκών που απορρέουν από αυτές ( ĉ ĉ και η ανίσωση (. µπορεί να γραφεί ως εξής : [ ] A [ ] bk e Q n W (,,e (. µε και A k ε(k ζ ak ε(k ak ak ( ζ a λ ma (M u( k b{ λ ma (M u( e k }. Άρα η συνάρτηση W είναι θετικά ηµιορισµένη, επιλέγοντας τα κέρδη ώστε ο πίνακας Α να είναι θετικά ορισµένος, δηλαδή : (.4 k,a, k έτσι 4