Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 8: Δημοπρασίες. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Transcript

1 Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 8: Δημοπρασίες Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής

2 Δημοπρασίες ενός αγαθού 2

3 Δημοπρασίες 1 µη διαιρετό αγαθό Σύνολο παικτών N = {1, 2,, n} 3

4 Δημοπρασίες Μέσο συνδιαλλαγής από την αρχαιότητα Πρώτες αναφορές στην Βαβυλωνία, και στην αρχαία Αθήνα Σύγχρονες εφαρμογές: Έργα τέχνης Γραμματόσημα Άδειες συχνοτήτων Δικαιώματα για ρύπους Δημοπρασίες λουλουδιών (Ολλανδία) Google ads ebay Τίτλοι ομολόγων... 4

5 Δημοπρασίες Παλιότερα, τα πιο δημοφιλή είδη δημοπρασιών ήταν Η αγγλική δημοπρασία Η τιμή αυξάνεται με μικρά βήματα Σταδιακά οι παίκτες αποσύρονται μέχρι να μείνει μόνο ένας νικητής Η ολλανδική δημοπρασία Η τιμή ξεκινάει από το + (δλδ από καποια πολύ μεγάλη τιμή) και μειώνεται με μικρά βήματα Μέχρι να βρεθεί κάποιος πρόθυμος να προσφέρει αυτά τα λεφτά Υπάρχουν διάφορες παραλλαγές για την πρακτική υλοποίησή τους Και στα 2 είδη, είναι δυνατόν οι παίκτες να εξάγουν πληροφορία για την ωφέλεια άλλων παικτών 5

6 Δημοπρασίες με ενσφράγιστες προσφορές (sealed bid aucnons) Ενσφράγιστες προσφορές: Κάθε παίκτης υποβάλει την προσφορά του σε ένα φάκελο, χωρίς να την βλέπουν οι άλλοι παίκτες Στη συνέχεια ο δημοπράτης πρέπει να αποφασίσει: - Ποιος κερδίζει το αγαθό? Εύκολο! Ο παίκτης με την υψηλότερη προσφορά - Πόσο πρέπει να πληρώσει ο νικητής? Όχι τόσο ξεκάθαρο 6

7 Υποθέσεις Δημοπρασία 1 ης τιμής (first price aucnon) Αξία αγαθού: Για i=1,..., n, o παίκτης i έχει μια αξία v i αν αποκτήσει το αγαθό Υποθέτουμε ότι v 1 > v 2 >... > v n > 0 Στρατηγικές: κάθε παίκτης i υποβάλει μια προσφορά b i b i [0, ) Άπειρο πλήθος αμιγών στρατηγικών Στρατηγική συμπεριφορά: H προσφορά b i μπορεί να διαφέρει αρκετά από την πραγματική ωφέλεια v i του παίκτη i 7

8 Δημοπρασία 1 ης τιμής Κανόνες της δημοπρασίας (first price aucnon) Έστω b = (b 1, b 2,..., b n ) το διάνυσμα με τις προσφορές όλων των παικτών Νικητής: Ο παίκτης με την υψηλότερη προσφορά Σε ισοβαθμίες: υποθέτουμε ότι κερδίζει ο παίκτης με τον μικρότερο δείκτη (όχι πολύ σημαντικό για την ανάλυση) Π.χ. Αν ισοβαθμίσουν ο π. 2 και ο π. 4, κερδίζει ο π. 2 Πληρωμή νικητή: η προσφορά που δήλωσε Συνάρτηση ωφέλειας π. i, u i (b) = v i b i, αν o i νίκησε 0, διαφορετικά 8

9 Σημεία ισορροπίας στη δημοπρασία 1 ης τιμής Κάθε δημοπρασία ορίζει ένα παίγνιο Μπορούμε να περιγράψουμε όλα τα σημεία ισορροπίας του παιγνίου (έστω με αμιγείς στρατηγικές)? Είναι πάρα πολλά... Μπορούμε όμως να βγάλουμε κάποια συμπεράσματα για την συμπεριφορά του νικητή Θεώρημα: Το προφίλ (v 2, v 2, v 3,..., v n ) είναι σημείο ισορροπίας Πόρισμα: Η δημοπρασία 1 ης τιμής δίνει κίνητρα στους παίκτες να μην είναι ειλικρινείς για την ωφέλειά τους 9

10 Μηχανισμοί δημοπρασιών Θέλουμε να εξερευνήσουμε εναλλακτικούς τρόπους πληρωμής, με καλύτερες ιδιότητες Ορισμός: Ένας μηχανισμός δημοπρασιών παίρνει ως είσοδο το διάνυσμα προσφορών b = (b 1, b 2,..., b n ) και αποτελείται από έναν αλγόριθμο ανάθεσης (ποιος κερδίζει το αγαθό) έναν αλγόριθμο πληρωμών (πόσο πληρώνει ο νικητής) Επιθυμητές ιδιότητες Όσοι δεν κερδίζουν δεν πληρώνουν τίποτα Αν ο νικητής είναι ο παίκτης i, η πληρωμή του δεν θα υπερβεί το b i (εγγύηση ότι δεν πληρώνει κανείς παραπάνω από αυτό που δήλωσε) 10

11 Μηχανισμοί δημοπρασιών Κίνητρα Ιδανικά, θέλουμε μηχανισμούς που δεν δίνουν κίνητρα στους παίκτες για στρατηγική συμπεριφορά Πώς το μοντελοποιούμε αυτό μαθηματικά? Μια απόπειρα: Ορισμός: Ένας μηχανισμός ονομάζεται φιλαλήθης (truthful ή strategyproof) αν για κάθε παίκτη i, και για κάθε προφίλ των υπόλοιπων παικτών b -i έχουμε u i (v i, b -i ) u i (b, b -i ) για κάθε b v i Δηλαδή: είναι κυρίαρχη στρατηγική για κάθε παίκτη i να δηλώσει την πραγματική του ωφέλεια v i 11

12 Μηχανισμοί δημοπρασιών Σε έναν φιλαλήθη μηχανισμό, κάθε λογικός παίκτης ξέρει τι πρέπει να επιλέξει, ανεξάρτητα από το τι κάνουν οι άλλοι παίκτες Δεν χρειάζεται κανένας παίκτης να σκεφτεί αν υπάρχει καλύτερη στρατηγική Πολύ ισχυρή ιδιότητα για έναν μηχανισμό Πόρισμα: Ο μηχανισμός 1ης τιμής δεν είναι φιλαλήθης Υπάρχουν φιλαλήθεις μηχανισμοί? 12

13 O Μηχανισμός 2 ης τιμής (Vickrey aucnon) [Vickrey 61] Αλγόριθμος ανάθεσης: νικητής είναι ο παίκτης με την υψηλότερη προσφορά, όπως και πριν Σε ισοβαθμίες: υποθέτουμε ότι κερδίζει ο παίκτης με τον μικρότερο δείκτη Αλγόριθμος πληρωμής: Ο νικητής πληρώνει την 2 η υψηλότερη προσφορά Γίνεται μια μικρή έκπτωση στον νικητή Παρατήρηση: H πληρωμή δεν εξαρτάται από τη δήλωση του νικητή! Η προσφορά κάθε παίκτη καθορίζει το αν θα κερδίσει ή όχι, δεν καθορίζει τι θα πληρώσει 13

14 O Μηχανισμός 2 ης τιμής (Vickrey aucnon) [Vickrey 61] (Nobel Οικονομικών 1996) Θεώρημα: Ο μηχανισμός 2 ης τιμής είναι φιλαλήθης Απόδειξη: Κοιτάμε έναν παίκτη i, κι έστω ένα αυθαίρετο προφίλ b -i για τους υπόλοιπους παίκτες Έστω b * = max j i b j Θεωρήστε τώρα όλες τις δυνατές περιπτώσεις για την πραγματική ωφέλεια του i - v i < b * - v i > b * - v i = b * - Σε όλες τις περιπτώσεις αυτές, ο π. i δεν κερδίζει κάτι καλύτερο αν 14 δεν παίξει v i

15 Συνδυαστικές Δημοπρασίες 15

16 Σύνολο παικτών N = {1, 2,, n} Το μοντέλο Σύνολο μη διαιρετών αγαθών M = {1, 2,, m} 16

17 Συνδυαστικές δημοπρασίες Δημοπρασίες με πολλά αγαθά προς πώληση Οι παίκτες μπορούν να εκφράζουν προσφορές σε συνδυασμούς από αγαθά Στην πράξη αρκετές εφαρμογές κατά τα τελευταία έτη Spectrum licences The FCC incennve aucnon: h ps:// incennve-aucnons Transportanon routes Logisncs 17

18 Συνδυαστικές δημοπρασίες Στην πράξη φαίνεται να εξάγεται μεγαλύτερο κέρδος από ότι αν γινόταν μια ξεχωριστή δημοπρασία για κάθε αγαθό Κύρια ερωτήματα/προκλήσεις: Αλγοριθμικά: Πώς θα αναθέσουμε τα αγαθά στους παίκτες (ειδικά αν επικαλύπτονται τα σύνολα που θέλουν περισσότερο)? Παιγνιο-θεωρητικά: Πόσο θα χρεώσουμε κάθε αγαθό? Φιλαλήθεις μηχανισμοί? 18

19 Συναρτήσεις ωφέλειας Στις δημοπρασίες με 1 αγαθό, κάθε παίκτης i είχε μια ωφέλεια v i, για την απόκτηση του αγαθού Τώρα θα θεωρήσουμε ότι κάθε παίκτης έχει μια συνάρτηση ωφέλειας, ορισμένη σε όλα τα υποσύνολα αγαθών v i : P(M) R όπου P(M) = το δυναμοσύνολο του M Για κάθε S M, v i (S) = ωφέλεια για τον π. i αν αποκτήσει το υποσύνολο S 19

20 Παραδείγματα συναρτήσεων ωφέλειας Προσθετικές (addi?ve) συναρτήσεις Για κάθε S M, v i (S) = Σ j S v ij όπου v ij = ωφέλεια από την απόκτηση του αγαθού j Άρα η συνάρτηση μπορεί να καθορισθεί πλήρως από το διάνυσμα (v i1, v i2,..., v im ) Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα αγαθά ουσιαστικά δεν σχετίζονται μεταξύ τους Η απόκτηση ενός αγαθού δεν επηρεάζει την αξία που έχει ένας παίκτης για κάποιο άλλο αγαθό 20

21 Συναρτήσεις ωφέλειας Στην πράξη πολλές φορές τα αγαθά προς πώληση σχετίζονται μεταξύ τους και οι ωφέλειες δεν μπορούν να εκφραστούν από προσθετικές συναρτήσεις Η αξία τους για έναν παίκτη μπορεί να εξαρτάται από τα υπόλοιπα αγαθά που έχει ήδη ο παίκτης Τα αγαθά μπορεί να εμφανίζουν Συμπληρωματικότητα (complementarity): κάποια αγαθά μπορεί να έχουν αξία μόνο όταν πωλούνται μαζί με άλλα (π.χ. αριστερό και δεξιό παπούτσι) Δυνατότητα αντικατάστασης (subsntutability): κάποια αγαθά μπορεί να έχουν παρόμοια αξία με άλλα αγαθά της δημοπρασίας και να μην πρέπει να πουληθούν μαζί στον ίδιο παίκτη (π.χ. 2 αυτοκίνητα με ίδια χαρακτηριστικά) 21

22 Παραδείγματα συναρτήσεων ωφέλειας Υποπροσθετικές (subaddi?ve) συναρτήσεις Για κάθε 2 ξένα υποσύνολα S M, T M, v i (S T) v i (S) + v i (T) Σε αυτή την περίπτωση έχουμε subsntutability μεταξύ των αγαθών Καλούνται και complement-free συναρτήσεις (επειδή δεν έχουμε συμπληρωματικότητα) 22

23 Ωφέλεια Παραδείγματα συναρτήσεων ωφέλειας Υπομετρικές (submodular) συναρτήσεις Για κάθε 2 υποσύνολα S, T, με S T M, και για κάθε αγαθό j T v i (T {j}) v i (T) v i (S {j}) v i (S) Decreasing marginal values Διακριτό ανάλογο των κοίλων συναρτήσεων Αριθµός µπουκαλιών 23

24 Παραδείγματα συναρτήσεων ωφέλειας Οι υπομετρικές συναρτήσεις είναι ειδική κατηγορία των υποπροσθετικών συναρτήσεων Άρα κι εδώ δεν έχουμε συμπληρωματικότητα Διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στην μικρο-οικονομική θεωρία Εκφράζουν το γεγονός ότι η ωφέλεια έρχεται σε «κορεσμό» όταν συνεχίζουμε και δίνουμε αγαθά προς τον ίδιο παίκτη 24

25 Παραδείγματα συναρτήσεων ωφέλειας Συμμετρικές υπομετρικές (symmetric submodular) συναρτήσεις Μια ειδική περίπτωση υπομετρικών συναρτήσεων Υπομετρικές με την επιπλέον υπόθεση ότι ο παίκτης θεωρεί όλα τα αγαθά πανομοιότυπα Άρα η ωφέλεια εξαρτάται μόνο από το πόσα αγαθά παίρνει ο παίκτης Π.χ. δημοπρασίες με πολλαπλά αντίτυπα ενός αγαθού Οι δημοπρασίες ομολόγων εμπίπτουν σε αυτό το σενάριο Τέτοιες συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν με το διάνυσμα περιθωριακών τιμών (marginal values)! (m i (1), m i (2),, m i (k))! Όπου m i (j) = έξτρα ωφέλεια για την απόκτηση του j-οστού αγαθού, αν ο παίκτης έχει ήδη j-1 αγαθά 25

26 Παραδείγματα συναρτήσεων ωφέλειας Υπερπροσθετικές (superaddi?ve) συναρτήσεις Για κάθε 2 ξένα υποσύνολα S M, T M, v i (S T) v i (S) + v i (T) Σε αυτή την περίπτωση έχουμε συμπληρωματικότητα Π.χ. Τα αγαθά μπορεί να μην έχουν σχεδόν καμία αξία μόνα τους, παρά μόνο όταν πωλούνται σε συνδυασμούς 26

27 Σχέσεις μεταξύ διαφορετικών συναρτήσεων General Subaddi$ve Submodular Addi$ve Symmetric Submodular 27

28 Μηχανισμοί για συνδυαστικές δημοπρασίες Πώς περιγράφουν οι παίκτες την συνάρτηση ωφέλειας στον δημοπράτη? Για μια γενική συνάρτηση, χρειαζόμαστε το v i (S), για κάθε S M (2 m αριθμοί, απαγορευτικό!)! 2 περιπτώσεις 1. Κάποιες συναρτήσεις μπορούν να περιγραφούν με έναν μικρό αριθμό παραμέτρων Π.χ. προσθετικές ή symmetric submodular (αρκούν m παράμετροι) 2. Αν αυτό δεν είναι εφικτό, ο δημοπράτης μπορεί να ρωτήσει τους παίκτες για συγκεκριμένα υποσύνολα Δεν είναι ανάγκη να μάθει ολόκληρη τη συνάρτηση 28

29 Μηχανισμοί για συνδυαστικές δημοπρασίες Μπορούμε να έχουμε φιλαλήθεις μηχανισμούς σε συνδυαστικές δημοπρασίες? Πιο συγκεκριμένα: μπορούμε να γενικεύσουμε την δημοπρασία 2 ης τιμής όταν έχουμε πολλά αγαθά? Θα πρέπει να γενικεύσουμε: Τον αλγόριθμο ανάθεσης: με 1 αγαθό, κέρδιζε ο παίκτης με την υψηλότερη προσφορά Τώρα θα έχουμε περισσότερους από 1 νικητές (με διαφορετικά αγαθά ο καθένας) Τον αλγόριθμο πληρωμών: με 1 αγαθό, κάναμε μια «έκπτωση» στον νικητή Τώρα θα χρειαστεί να σκεφτούμε τι έκπτωση να κάνουμε στον κάθε νικητή 29

30 Βελτιστοποίηση κοινωνικού οφέλους Η γενίκευση για τον αλγόριθμο ανάθεσης στηρίζεται στη μεγιστοποίηση του κοινωνικού καλού Ορισμός: Έστω S = (S 1, S 2,, S n ) μια ανάθεση των αγαθών στους παίκτες, όπου S i = υποσύνολο που ανατίθεται στον π. i. Τότε το κοινωνικό όφελος της ανάθεσης είναι SW(S) = Σ i v i (S i ) Το πρόβλημα SWM (Social Welfare Maximizanon): Input: Οι συναρτήσεις ωφέλειας των παικτών Output: Βρες μια ανάθεση S * = (S 1, S 2,, S n ) που παράγει το μέγιστο δυνατό κοινωνικό όφελος: SW(S * ) SW(S) για κάθε άλλη ανάθεση S Παρατήρηση: Με 1 αγαθό, αρκεί να το δώσουμε στον παίκτη με την υψηλότερη προσφορά, άρα γενικεύει τον αλγόριθμο ανάθεσης της δημοπρασίας Vickrey 30

31 Βελτιστοποίηση κοινωνικού οφέλους Παράδειγμα με προσθετικές συναρτήσεις 3 παίκτες, 4 αγαθά Το input, μπορεί να καθοριστεί από έναν 3 x 4 πίνακα Βέλτιστη ανάθεση: S * = (S 1, S 2, S 3 ) = ({1, 2}, {3}, {4}) Βέλτιστο κοινωνικό όφελος: =

32 Ο μηχανισμός VCG O μηχανισμός VCG (προς τιμήν των Vickrey, Clarke, Groves) Γενίκευση της δημοπρασίας Vickrey για πολλά αγαθά 1. Λύσε το πρόβλημα SWM και έστω S * = (S 1, S 2,, S n ) η βέλτιστη λύση 2. Αλγόριθμος ανάθεσης: Για i=1,..., n, ο παίκτης i λαμβάνει το σύνολο S i 3. Αλγόριθμος πληρωμών: Κάθε παίκτης πληρώνει την «ζημιά» που προκαλεί η παρουσία του στο όφελος των υπολοίπων Πληρωμή παίκτη i: p i = SW -i * - Σ j i v j (S j ) όπου SW -i * = βέλτιστο κοινωνικό όφελος όταν ο i δεν είναι παρών 32

33 Ο μηχανισμός VCG Συμπερασματικά: Κάθε παίκτης παίρνει τα αγαθά που του αντιστοιχούν στην βέλτιστη ανάθεση (ως προς το κοινωνικό όφελος) Η πληρωμή του καθορίζεται από τις δηλώσεις των άλλων παικτών, όπως και στη δημοπρασία Vickrey Θεώρημα: Ο μηχανισμός VCG είναι φιλαλήθης και μεγιστοποιεί το κοινωνικό όφελος, για οποιεσδήποτε συναρτήσεις ωφέλειας Μπορούμε να υλοποιούμε αποδοτικά τον μηχανισμό VCG? - Ναι, όταν μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα SWM 33

34 Υλοποίηση του μηχανισμού VCG Προσθετικές συναρτήσεις Input: n x m πίνακας Λύση του προβλήματος SWM: Εύκολη, greedy αλγόριθμος Για κάθε αγαθό j: δώσε το στον παίκτη με την υψηλότερη αξία Υλοποίηση του VCG: Αρκεί να λύσουμε n+1 φορές το SWM πρόβλημα 1 για τον αλγόριθμο ανάθεσης n φορές για τον αλγόριθμο πληρωμών (με 1 διαφορετικό παίκτη απόντα κάθε φορά) 34

35 Υλοποίηση του μηχανισμού VCG Παράδειγμα με προσθετικές συναρτήσεις 3 παίκτες, 4 αγαθά Βέλτιστη ανάθεση: S * = (S 1, S 2, S 3 ) = ({1, 2}, {3}, {4}) Βέλτιστο κοινωνικό όφελος: =

36 Υλοποίηση του μηχανισμού VCG Παράδειγμα με προσθετικές συναρτήσεις 3 παίκτες, 4 αγαθά Πληρωμές: p 1 = SW -1 * - Σ j 1 v j (S j ) = 140 (50+25) = 65 p 2 = SW -2 * - Σ j 2 v j (S j ) = 125 (89+25) = 11 Ομοίως p 3 = 5 36

37 Υλοποίηση του μηχανισμού VCG Προσθετικές συναρτήσεις Αν τρέχαμε m ανεξάρτητες δημοπρασίες Vickrey για κάθε αγαθό χωριστά? Ίδιο αποτέλεσμα με πριν! Οφείλεται στο ότι έχουμε προσθετικές συναρτήσεις (και άρα δεν συσχετίζονται οι αξίες των αγαθών) Πόρισμα: Για προσθετικές συναρτήσεις ωφέλειας, ο μηχανισμός VCG είναι ισοδύναμος με την εκτέλεση μιας ανεξάρτητης δημοπρασίας Vickrey για κάθε αγαθό 37

38 Υλοποίηση του μηχανισμού VCG Υπομετρικές συναρτήσεις? Ο μηχανισμός VCG μπορεί να υλοποιηθεί σε πολυωνυμικό χρόνο με συμμετρικές υπομετρικές συναρτήσεις Αλλά: - Σκεφτείτε πώς! για γενικές υπομετρικές συναρτήσεις το SWM πρόβλημα είναι NP-complete Το ίδιο και για υποπροσθετικές, αλλά και για υπερπροσθετικές 38

39 Υλοποίηση φιλαληθών μηχανισμών Ερευνητικά ερωτήματα γενικότερα Εύρεση ειδικών περιπτώσεων από συναρτήσεις ωφέλειας όπου το SWM είναι πολυωνυμικά επιλύσιμο Σχεδίαση προσεγγιστικών αλγορίθμων για το SWM Πιθανό πρόβλημα: οι προσεγγιστικοί αλγόριθμοι για το SWM δεν μπορούν πάντα να συνδυαστούν με τον αλγόριθμο πληρωμών του VCG Εν τέλει, χρειάζεται να σχεδιάσουμε διαφορετικούς αλγορίθμους πληρωμών, όταν το SWM είναι δύσκολο Ενεργό ερευνητικό πεδίο τα τελευταία έτη... 39