Technická univerzita v Košiciach

Transcript

1 Tchická uivrzi v Košicich MTEMTIK I Vzorové rišé úlohy Blk Bculíková Gričová Košic

2

3 Tchická uivrzi v Košicich MTEMTIK I Vzorové rišé úlohy Blk Bculíková Gričová Košic

4 REENZOVLI: pro RNDr Joz Džuri Sc RNDr Mirim drjiová PhD vydi Z odorú sráku učého u zodpovdjú uori Rukopis pršil rdkčou i jzykovou úprvou Blk Bculíková Gričová ISBN ----

5 OBSH ÚVOD MNOŽINY KOMPLEXNÉ ČÍSL POLYNÓMY LGEBRIKÉ ROVNIE OPERÁIE S POLYNÓMMI LGEBRIKÉ ROVNIE ROZKLD N ELEMENTÁRNE PRIÁLNE) ZLOMKY MTIE DETERMINNTY OPERÁIE S MTIMI DETERMINNT INVERZNÁ MTI SÚSTVY LINEÁRNYH ROVNÍ GUSSOV ELIMINČNÁ METÓD RMEROVO PRVIDLO FUNKI DEFINIČNÝ OBOR FUNKIE INVERZNÁ FUNKI PÁRNOSŤ NEPÁRNOSŤ FUNKIE LIMIT FUNKIE VÝPOČET LIMITY FUNKIE VÝPOČET LIMITY POSTUPNOSTI DERIVÁI FUNKIE VÝPOČET DERIVÁIE FUNKIE GEOMETRIKÝ VÝZNM DERIVÁIE L HOSPITLOVO PRVIDLO TYLOROV POLYNÓM PRIEBEH FUNKIE VYŠETROVNIE PRIEBEHU FUNKIE NEURČITÝ INTEGRÁL ZÁKLDNÉ VZORE INTEGROVNI INTEGROVNIE ROZKLDOM ÚPRVOU INTEGROVNIE SUBSTITUČNOU METÓDOU INTEGROVNIE METÓDOU PER PRTES

6 INTEGROVNIE RIONÁLNYH FUNKIÍ INTEGROVNIE NIEKTORÝH IRIONÁLNYH FUNKIÍ INTEGROVNIE NIEKTORÝH TRIGONOMETRIKÝH FUNKIÍ INTEGROVNIE EXPONENIÁLNYH FUNKIÍ URČITÝ INTEGRÁL NEWTON-LEIBNIZOV VZORE INTEGROVNIE SUBSTITUČNOU METÓDOU INTEGROVNIE METÓDOU PER PRTES POUŽITIE URČITÉHO INTEGRÁLU PLOŠNÝ OBSH ROVINNÝH ÚTVROV OBJEM ROTČNÉHO TELES DĹŽK KRIVKY PLOŠNÝ OBSH ROTČNEJ PLOHY NEVLSTNÝ INTEGRÁL INTEGRÁL Z FUNKIE N NEOHRNIČENOM INTERVLE INTEGRÁL Z NEOHRNIČENEJ FUNKIE POUŽITÁ LITERTÚR

7 Vzorové rišé úlohy ÚVOD Táo učá pomôck j určá pr šudov prvého ročík klárskj ormy šúdi Fkuly lkrochiky iormiky Tchickj uivrziy v Košicich FEI TU) l môž poslúžiť j šudom iých kúl Učic j rozdlá do dvásich kpiol koré oshujú zákldé orické pozky poré k rišiu príkldov vzorové rišé j rišé úlohy k učivu prrému v prdm Mmik I iľom jo učj pomôcky olo podť uclý orický prhľd rišj prolmiky v prdm Mmik I pro j vhodé komiovť používi jo učic s vysokoškolskou učicou Mmik I uorov Joz Džuri Gričová Vikor Pirč s voľ dosupými -lrigovými mriálmi Kdry mmiky orickj iormiky FEI TU N závr ďkujm pro RNDr Jozovi Džuriovi Sc RNDr Mirim drjiovj z sroslivé prčíi rukopisu z cé pripomiky korými prispli k zlpšiu u jo učic uori

8 MTEMTIK I MNOŽINY Komplé čísl Súč rozdil komplých čísl roím po zložkách Osoi sčím odčím) rál osoi imgiár zložky i i i z z ) ) i i i z z ) ) ) k komplé čísl ásoím prcujm s imi ko pri ásoí dvojčlov Td ásoím kždú zložku s kždou Priom využívm ž i i i i i i i i i i z z ) ) ) ) Pri dlí komplých čísl ásoím clý podil jdokou vo vhodom vr k y sm v movli odsráili komplé číslo Využívm priom ásoi komplého čísl v movli k mu kompl združým číslom čím v movli získm rál číslo ) ) ) ) ) ) ) ) i i i i i i i i z z z z z z Príkld Nch i z i z i z i z Vypočíjm z z z z z z z z Riši: i i z z ) ) i i z z ) ) ) ) i i i i i i i z z i i i i i i ) ) i i i i i i i i z z Príkld Prpíšm komplé číslo i z do goiomrického pociálho vru Riši: Pri prpis komplého čísl i z z lgrického do goiomrického rsp pociálho vru j poré vypočíť modul komplého čísl z jho mpliúdu Plí:

9 Vzorové rišé úlohy z cos z si z O io podmiky pli súčs pr uhol mpliúdu) Prož z i z cos i si ) z i π môžm písť i z i cos i si Príkld Vypočíjm Riši: z z i Pri umocňoví komplých čísl využijm vzťh cos i si Pro j poré komplé číslo koré idm umocňovť prpísť do goiomrického vru Využijm priom výsldok z prdchádzjúcj úlohy z i cos i si z z cos i si cos i si cos i si i i Príkld Vypočíjm i Riši: Pri odmocňoví komplých čísl využijm vzťh k k k z cos i si kd k Zov j poré prpísť odmocňové komplé číslo do goiomrického vru pričom použijm výsldok z príkldu čiž z i cos i si Kďž počím druhú odmociu dosm dv výsldky v vr: k k cos si k z i kd k

10 MTEMTIK I cos i si cos i si i cos i si cos i si i V úlohách vypočíj: Výsldky: i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i V úlohách píš komplé číslo v goiomrickom pociálom vr: z z z i z i z i z cos i si z cos i si z z z i i i cos i si i cos i si i cos i si

11 Vzorové rišé úlohy z i z i z i cos i si i z z i cos i si i z cos i si z i z i z i cos i si i z z i z i z cos i si i cos i si i z z i z i z cos i si i cos i si i z cos i si V úlohách vypočíj: i) i i) i i) i) i i) i i ) i i) i

12 MTEMTIK I i) i i) i) i i) i) i i) i V úlohách vypočíj odmociu z komplého čísl: i i z i z i z i z i z i z i i z i z i i i z i z i z i

13 Vzorové rišé úlohy z i i z i z i i z i z i z z i z i z z i z i i z i z i z i z i z i z i z i i z i z i z i z i

14 MTEMTIK I POLYNÓMY LGEBRIKÉ ROVNIE Opráci s polyómmi Polyómy s sčívjú odčívjú k ž s sčíjú rsp odčíjú koiciy polyómov pri rovkj moci prmj Príkld Vypočíjm ) ) ) ) Riši: ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) Polyómy s ásoi ko mohočly d ásoí s kždý čl s kždým Príkld Vypočíjm ) ) Riši: ) ) Dli polyómov si ukážm v sldujúcom príkld Príkld Vypočíjm ) ) : Riši: ) ) : zvyšok Výsldok s môž zpísť j v vr korý s použív pri rozkld lmár zlomky:

15 Vzorové rišé úlohy ) : ) Príkld Nájdim koický rozkld polyómu v moži R j Riši: Polyóm rozložím súči vyrím spoločého výrzu prd závorku použiím vzťhu ) ) ) V moži R j v j výsldok v vr ) ) Príkld Nájdim koický rozkld polyómu v moži R j Riši: závorku V omo prípd využijm posupé vyri spoločých výrzov prd ) ) ) ) ) ) Výrz v moži R ) ) má kor l v moži rozložím podľ vzťhu ) i) i) V moži R V moži j výsldok v vr ) ) j výsldok v vr ) i) i) Príkld Nájdim koický rozkld polyómu v moži R j Riši: Posup využiý pri prdchádzjúcich úlohách s dá plikovť v jo úloh Pri koickom rozkld použijm Horrovu schému N zákld Vy Mmik I) sú možými korňmi dého polyómu všky dlil solúho čl d čísl Dlil vori možiu Posup udm ovrovť či ikorý čl dj možiy j korňom polyómu k j omu k zvyšok po dlí posldé číslo v ridku) j rové V prvom ridku uľky sú koiciy polyómu usporidé od jvyššj mociy V kždom ďlšom ridku korého posldým číslom j ul sú koiciy o jd supň ižšiho polyómu

16 MTEMTIK I V moži R j v j výsldok v vr ) ) ) Príkld Nájdim koický rozkld polyómu v moži R j Riši: Tk ko v prdchádzjúcj úloh j u využijm Horrovu schému pričom možiu pociálych korňov vori čísl Sú o dlil čísl Všky kor polyómu sú rál d v R ) ) V úlohách vypočíj: j v j výsldok v vr Výsldky: ) : ) zvyšok ) : ) zvyšok ) : ) zvyšok V úlohách uro koický rozkld polyómu v R j v : ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

17 Vzorové rišé úlohy ) ) ) ) ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) i) i) ) ) ) i) i) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) i) i)

18 MTEMTIK I ) ) ) ) ) ) ) i i ) ) ) ) ) ) ) i i ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) i i ) ) ) ) ) ) ) i i ) ) ) ) ) ) ) i i ) ) ) ) ) ) ) i i ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) i i ) )

19 Vzorové rišé úlohy ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) i) i) lgrické rovic Príkld Rišm rovicu v moži R j Riši: j v jo úloh môžm využiť Horrovu schému Moži pociálych korňov j - Rovicu môžm zpísť v vr ) ) Jdiý rály korň j V moži R j výsldok K Kor polyómu sú komplé vypočím ich pomocou kvdrickj rovic

20 MTEMTIK I c i i V moži j výsldok v vr K i Príkld Rišm rovicu v moži R j v moži Riši: Použijm Horrovu schému pričom ko kor ovrujm čísl z možiy Rovicu môžm zpísť v vr ) ) ) Rál kor sú V moži R K j výsldok v vr Polyóm má dv kompl združé kor i kp Príkld ) V moži j výsldok v vr K i V úlohách riš v R rovic: Výsldky:

21 Vzorové rišé úlohy Rozkld lmár prciál) zlomky Kždú rýdzorcioálu ukciu vim rozložiť súč lmárych prciálych) zlomkov koré môžu mť v moži R io vry ) M N p q M N p q) kd M N p q sú rál čísl j prirodzé číslo kvdrický rojčl p q má rál kor Príkld Rozložm prciál zlomky ukciu v moži R Riši: Fukci j rýdzorcioál supň polyómu v čili j ižší ko supň polyómu v movli) Polyóm v movli j poré rozložiť súči korňových čiiľov koický rozkld) S využiím Horrovj schémy j ) ) ) Fukciu môžm prpísť vyvoriť prciál zlomky B ) ) ) Tri zám koiciy B vypočím dosdzovcou módou k ž do uprvj rovic po odsráí zlomkov) posup udm dosdzovť miso prmj ri rôz vhodé) čísl Využívm priom ž hodoy polyómov ľvj prvj sr rovic s rovjú po dosdí ľuovoľého čísl z prmú

22 MTEMTIK I ) ) ) B ) ) ) ) ) B ) ) ) ) : : : ) ) B ) ) ) ) ) ) B ) ) ) ) B B ) B ) ) ) ) Rozkld prciál zlomky j ) ) ) Príkld Rozložm prciál zlomky ukciu v moži R Riši: Fukci i j rýdzorcioál supň polyómu v čili i j ižší ko supň polyómu v movli) kž jprv j poré prdliť čiľ movľom ) : ) Ďlj posupujm ko v Príkld polyóm v movli rozložím súči korňových čiiľov koický rozkld) Zvyšok po dlí prciál zlomky j už rýdzorcioál ukci korú môžm prpísť vyvoriť ) B Koiciy B vypočím podo ko v Príkld

23 Vzorové rišé úlohy B B ) ) ) B ) : ) ) : B B B Rozkld prciál zlomky j Príkld Rozložm prciál zlomky ukciu v moži R Riši: Fukci j rýdzorcioál supň polyómu v čili j ižší ko supň polyómu v movli) Polyóm v movli j poré rozložiť súči korňových čiiľov koický rozkld) Posupým vyrím prd závorku j ) ) Fukciu môžm prpísť vyvoriť prciál zlomky ) B Tri zám koiciy B vypočím dosdzovcou módou k ž do uprvj rovic po odsráí zlomkov) posup udm dosdzovť miso prmj ri rôz vhodé) čísl Využívm priom ž hodoy polyómov ľvj prvj sr rovic s rovjú po dosdí ľuovoľého čísl z prmú ) ) ) ) ) ) ) B B

24 MTEMTIK I ) ) ) ) : B ) ) ) ) : B ) ) ) ) : B B B Rozkld prciál zlomky j ) Príkld Rozložm prciál zlomky ukciu v moži R Riši: Fukci j rýdzorcioál supň polyómu v čili j ižší ko supň polyómu v movli) Polyóm v movli j poré rozložiť súči korňových čiiľov koický rozkld) Použiím Horrovj schémy j ) ) Fukciu môžm prpísť vyvoriť prciál zlomky B Tri zám koiciy B vypočím dosdzovcou módou k ž do uprvj rovic po odsráí zlomkov) posup udm dosdzovť miso prmj ri rôz vhodé) čísl Využívm priom ž hodoy polyómov ľvj prvj sr rovic s rovjú po dosdí ľuovoľého čísl z prmú ) ) B ) ) ) B ) ) ) : B

25 Vzorové rišé úlohy ) ) ) : B ) ) ) : B B B Rozkld prciál zlomky j V úlohách rozlož v R prciál zlomky: Výsldky: )

26 MTEMTIK I ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

27 Vzorové rišé úlohy MTIE DETERMINNTY Opráci s micmi Súč rozdil míc isuj l pr rovké ypy míc k j mic ypu m j mic B musí yť ypu m) Pr prvky mic B plí ij ij ij c Pr prvky mic B plí ij ij ij c Pr micu k kd k R plí ij ij k c Súči míc B j možé vypočíť k poč sĺpcov mic j rovký ko poč ridkov mic B Násoi dvoch míc ukážm v sldujúcom príkld Príkld Vypočíjm B B B B k = B Riši: B + = B B B

28 MTEMTIK I Príkld Nájdim hodosť mic Riši: Hodosť mic j poč ulových ridkov mic uprvj rojuholíkový rsp lichožíkový vr R R R R : R Poč ulových ridkov mic j d hodosť mic j h Sú dé mic B V úlohách vypočíj: Výsldky: B B B Sú dé mic B Vypočíj: B B V úlohách vypočíj hodosť mic: h

29 Vzorové rišé úlohy h h h h h h h h h

30 MTEMTIK I h Drmi Príkld Vypočíjm drmi Riši: Drmi rozmru s vypočí k ž od súčiu prvkov hlvj digoál s odpočí súči prvkov vdľjšj digoál Príkld Vypočíjm drmi Riši: Drmi rozmru môžm rišiť pomocou Srusovho prvidl Príkld Vypočíjm drmi Riši: Drmiy rozmrov väčších s počíjú pomocou rozvoj drmiu podľ ridk lo sĺpc i i i i i i rsp j j j j j j kd ij ij j i D j lgrický doplok ij D j sudrmi prvku ij mic vzik zkryím i -ho ridku j -ho sĺpc mic ) Prd smoým výpočom j výhodé drmi uprviť pomocou kvivlých úprv k y sm vyvorili ľuovoľý ridok rsp sĺpc oshujúci čo jvic úl Vyvorý ridok rsp sĺpc použijm k rozvoju drmiu

31 Vzorové rišé úlohy R R V úlohách vypočíj drmi mic: Výsldky:

32 MTEMTIK I

33 Vzorové rišé úlohy

34 MTEMTIK I Ivrzá mic Ivrzú micu udm hľdť využiím djugovj mic T pomocou vzťhu T Príkld K mici ájdim ivrzú micu Riši: Vypočím drmi mic všky lgrické doplky voric djugovú micu Ivrzá mic k mici j - Príkld Rišm micovú rovicu X s zámou micou X Riši: Micovú rovicu prpíšm do schémy B X korú vyásoím zľv micou - ivrzou k mici pričom využijm ž E - - X E X X E B X B X B X - - -

35 Vzorové rišé úlohy Z Príkldu j - pro X V úlohách ájdi ivrzú micu k mici : Výsldky: isuj

36 MTEMTIK I

37 Vzorové rišé úlohy V úlohách riš micovú rovicu s zámou micou X : X X X X X X X X X X X X X X

38 MTEMTIK I SÚSTVY LINEÁRNYH ROVNÍ Gussov ičá mód Príkld Rišm súsvu rovíc Riši: Súsvu rovíc prpíšm do micového vru k výpoču použijm Gussovu ičú módu Micu uprvím rojuholíkový rsp lichožíkový vr R R R R R R Hodosť mic j rová hodosť rozšírj mic j kiso rová j o zárovň j poč zámych N zákld Froiovj vy má súsv práv jdo riši koré s dá jdoducho vyjdriť z uprvj mic Z posldého ridku uprvj mic j zrjmé ž Z riho ridku uprvj mic vypočím Pomocou druhého ridku ájdm Pomocou prvého ridku ájdm

39 Vzorové rišé úlohy Riši súsvy zpíšm v vr T T Príkld Rišm súsvu rovíc Riši: Posupujm podo ko v prdchádzjúcj úloh R R R R R Hodosť mic j rová hodosť rozšírj mic j rová N zákld Froiovj vy súsv má riši Príkld Rišm súsvu rovíc Riši: Posupujm podo ko v prdchádzjúcich úlohách R R R R

40 MTEMTIK I Hodosť mic j rová hodosť rozšírj mic j kiso rová l poč zámych j rový N zákld Froiovj vy má súsv koč vľ riší Trí ridok uprvj mic oshuj zám jdu z zámych si zvolím ko prmr R Ďlšiu zámu poom vyjdrím pomocou prmr Z druhého ridku Z prvého ridku Riši súsvy zpíšm v vr R T T V úlohách riš súsvy liárych rovíc Gussovou ičou módou: Výsldky: T T Ø

41 Vzorové rišé úlohy R T T T T T T T T

42 MTEMTIK I Ø Ø Ø Ø R s s s s T R s s s s T R s s s s T

43 Vzorové rišé úlohy R s s s s T T T T Ø R T R T

44 MTEMTIK I R u u u u T R T R T Ø T R T

45 Vzorové rišé úlohy R T T Ø rmrovo prvidlo Rišim súsvu liárych rovíc y sm mohli použiť rmrovo prvidlo j ué vypočíť drmiy D D D D pričom mic z korj s vypočí drmi D musí yť rgulár D ) Riši kjo súsvy j D D D D D D

46 MTEMTIK I Príkld Rišm súsvu rovíc Riši: Vypočím drmiy D D D D Riši súsvy zpíšm v vr T T V úlohách riš súsvy liárych rovíc využiím rmrovho prvidl: Výsldky: T T T T T T

47 Vzorové rišé úlohy T T T T T T T T T T

48 MTEMTIK I T T T T T T T T

49 Vzorové rišé úlohy FUNKI Diičý oor ukci Pri hľdí diičého ooru ukci j poré jčsjši vziť do úvhy ž: movľ zlomku s smi rovť ul výrz pod párou odmociou musí yť záporý logrimická ukci j diová l pr kldý rgum k > poom práv vdy k k < < poom log log práv vdy k < ukci y rcsi y rccos sú diové pr Príkld Nájdim diičý oor ukci : y Riši: Kďž výrz v movli musí yť rôzy od uly plí D Odiľ vyplýv ž D lo R Príkld Nájdim diičý oor ukci : y Riši: Výrz pod druhou odmociou musí yť záporý poom plí Diičý oor ukci j D y Príkld Nájdim diičý oor ukci : l Riši: Logrimus j diový l pr kldé čísl pro musí yť Diičý oor ukci j D

50 MTEMTIK I Príkld Nájdim diičý oor ukci : y Riši: Z podmiky ž movľ s smi rovť ul plí z podmiky ž výrz po párou odmociou môž yť l záporý plí Z oidvoch podmiok vyplýv Diičý oor ukci j D y log Príkld Nájdim diičý oor ukci : Riši: zákld Z podmiok pr výrz pod párou odmociou pr rgum logrimu pri vyplývjú io rovic log D Diičý oor ukci j Príkld Nájdim diičý oor ukci : log y Riši: Z podmiok pr výrz pod párou odmociou pr rgum logrimu pri zákld vyplývjú io rovic Rišim súsvu rovíc log poom diičý oor ukci j D Príkld Nájdim diičý oor ukci : y rcsi Riši: Fukci y rcsi j diová pr irvl pro

51 Vzorové rišé úlohy Diičý oor ukci j D Príkld Nájdim diičý oor ukci : y log Riši: Výrz pod druhou odmociou musí yť záporý súčs výrz pod logrimom musí yť kldý d plí priik ýcho irvlov j diičý oor D V úlohách ájdi diičé oory ukcií: Výsldky: : y R : y R : y R : y : y : y : y : y : y : y : y : y

52 MTEMTIK I : y : y : y l ) : y l ) : y log : y log y log y l : R : : y log : y log : y log : y log : y log : y log : y : y R R : y : y R : y log R R : y : y l ) : y R

53 Vzorové rišé úlohy : y : y rcsi R : y rcsi ) : y rccos : y rccos : y rcg : y rccog : y rcsi log R : y log : y l ) : y rcsi : y si : y : y log ) R - - : y log l : y : y log ) : y log log : y g rcg ) : y rcsi log : y l rccos

54 MTEMTIK I rcsi : y l : y rccos : y rcsi l l : y l : y l : y : y rcg l Ivrzá ukci lgorimus hľdi ivrzj ukci y zisím kom irvl j ukci isuj vymím z opk vyjdrím pomocou y Príkld K ukcii : y l y k ukcii ájdim ivrzú ukciu y j kýo: prosá d kd k j ivrzá ukci Riši: Fukci D pro k j isuj ivrzá ukci clom diičom oor y l vymím vzájom y ly osmosím výrz oshujúci ly y sm vyjdrili použijm ivrzú ukciu k logrimickj ukcii pociálu ukciu y Ivrzá ukci k j : y j prosá clom svojom diičom oor y y y

55 Vzorové rišé úlohy Príkld K ukcii : y rccos ájdim ivrzú ukciu Riši: Fukci j prosá clom svojom diičom oor k j môžm hľdť clom diičom oor ivrzú ukciu y rccos vymím vzájom y rccos osmosím výrz oshujúci y rccos y sm vyjdrili použijm ivrzú ukciu k ukcii y rccos y cos cos y y y y D pro Ivrzá ukci k j cos : y Príkld K ukcii : y ájdim ivrzú ukciu Riši: Fukci j prosá irvl irvl pro k j môžm hľdť ivrzú ukciu l jdolivých zúžich diičého ooru y vymím vzájom osmosím výrz oshujúci y y y y y y sm vyjdrili y použijm ivrzú ukciu k ukcii y log y

56 MTEMTIK I Ivrzá ukci k j : y log V úlohách ájdi k dým ukciám ivrzé ukci: Výsldky: : y : y : y log : y : y : y log ) : y rccos log log log cos : y l ) rcsi ) : y si rcsi ) : y rccog cog log : y l g : y rcg rcsi : y si ) : y rcsi si ) : y log ) : y cos rccos : y rccog cog ) cos : y rccoslog )

57 Vzorové rišé úlohy : y : y rccos ) : y l ) : y l : y log log cos log ) Párosť párosť ukci Fukciu Fukciu y y zývm párou k pr kždé j z jj zývm párou k pr kždé j D plí z jj plí D Fukci korá spĺň i jdu z prchádzjúcich vlsosí i j i pár i pár Gr párj ukci j osovo súmrý podľ pr y y cos y ) Gr párj ukci j srdovo súmrý podľ odu y y si y rcsi y g ) o y O pr Príkld Vyšrim párosť rsp párosť ukci si : y Riši: D pr kždé j z si si si ukci j pár Prož Príkld Vyšrim párosť rsp párosť ukci Riši: Prož D pr kždé ukci j pár j D j : y z D j Príkld Vyšrim párosť rsp párosť ukci si : y Riši: R D pr kždé j z D j

58 MTEMTIK I Prož si si si ukci i j i pár i pár Príkld Vyšrim párosť rsp párosť ukci Riši: R : y D pro plí ž pr kždé j j z ukci Npríkld k číslu koré prí do diičého ooru ukci isuj číslo opčé čiž číslo koré y iž prilo do diičého ooru ukci N zákld oho j zrjmé ž i j splá uá podmik pr o y mohl yť ukci pár lo pár Td ukci ukci : y i j i pár i pár V úlohách vyšri párosť rsp párosť ukcií irvloch kd j ukci prosá Výsldky: : y pár : y i pár i pár : y si cos i pár i pár cos : y pár : y log pár : y cos si pár D : y si pár : y si cos pár cos : y pár : y log pár : y cos i pár i pár : y cos pár : y cos ) pár : y si ) pár : y cos pár : y si pár

59 Vzorové rišé úlohy LIMIT FUNKIE Výpoč iy ukci Pri počíí í posupujm ko: zisím yp určiosi yp iy) vhodou úprvou odsráim určiosť dosdím iu vypočím Príkld Vypočíjm Riši: zmá ž číslo Po dosdí do ukci zisím ž s jdá o určiosť ypu o j korňom polyómu v čili j v movli V komo prípd poom prdlím j čiľ j movľ výrzom Príkld Vypočíjm Riši: Po dosdí do ukci zisím ž s jdá o určiosť ypu l pri počíí kjo iy j vhodá úprv zv rozšíri vhodou jdokou v šom prípd v vr v movli Táo úprv využiím vzťhu odsrái odmociu cos Príkld Vypočíjm Riši: V prípdoch kď počím iu ukci v korj vysupuj goiomrická si ukci yp určiosi využijm zväčš vzorc Nšou úlohou j ukciu jprv vhod uprviť rozšíriť vhodou jdokou ) y sm mohli uvdý vzorc použiť

60 MTEMTIK I cos cos cos cos Príkld Vypočíjm si cos cos si cos Riši: Počím iu určiosi ypu kd s jčsjši využív úprv dli čiľ j movľ -om s jvyššou mociou movľ V omo prípd j v movli jvyššou mociou Pro Príkld Vypočíjm Riši: Posupujm podo ko v prdchádzjúcom príkld l čiľ movľ ukci dlím Príkld Vypočíjm Riši: s určiosťou Tk ko v ooch prdchádzjúcich príkldoch j u rišim iu ukci l čiľ movľ ukci dlím Príkld Vypočíjm Riši: Pri i s určiosťou ypu ukciu rozšírim vhodou jdokou rz v vr poom počím podoým posupom ko v Príkldoch

61 Vzorové rišé úlohy V úlohách vypočíj iy ukcií: Výsldky:

62 MTEMTIK I si g si si si si si g si g g cos si cog si g cos cos si cos g

63 Vzorové rišé úlohy Výpoč iy posuposi Pri iách posuposi s jčsjši srávm s určiosťmi ypu koré počím logicky ko pri i ukci Príkld Vypočíjm Riši: Jdá s o určiosť ypu v omo prípd posupujm k ko pri i ukci čiž čiľ movľ prdlím k kd k j jväčší mociľ movľ Príkld Vypočíjm Riši: Táo i j ypu zov posupujm podo ko pri i ukci s ouo určiosťou d výrz rozšírim vhodou jdokou poom dosm určiosť ypu ďlj posupujm k ko v prdchádzjúcom príkld = = Príkld Vypočíjm Riši: Po dosdí zisím ž áo i j ypu Pri počíí kýcho í j dôlžié pozť vzťh Nšou úlohou j d uprviť výrz v i k y sm mohli použiť uvdý vzorc =

64 MTEMTIK I = Príkld Vypočíjm!!! Riši: Njprv porujm výrz v čili movli uprviť k y sm odsráili koriály Väčši výrzy s koriálom uprvím pomocou mších výrzov koré udm vyrť prd závorku y sm ich mohli kráiť!!!!!!!! = Príkld Vypočíjm Riši: V omo prípd j ué použiť jprv vzorc pr súč člov rimickj posuposi s Príkld Vypočíjm l l Riši: S využiím vzťhov koré pli pr logrimy uprvím výrz pod iou dosm s k určiosi ypu s korou sm s srli v Príkld l l l l l V úlohách vypočíj iy posuposí: Výsldky:

65 Vzorové rišé úlohy log l log log

66 MTEMTIK I l l l l l l!!!!!!!!!!

67 Vzorové rišé úlohy DERIVÁI FUNKIE Výpoč driváci ukci Nch ukci ukci c g g g mjú v od driváci ) g ) ch c R Poom k k j ukci mjú driváci v od pr koré g g ) plí: c ) ) c ) g) ) ) g ) g) ) ) g ) ) g ) g ) ) g ) g ) ) g ) Zákldé vzorc pr výpoč driváci plé moži kd driváci isujú: c c R r ) r r ) l ) log ) l l ) ) si ) cos cos ) si g cos ) cog ) si rcsi ) rccos ) rcg ) rccog ) g g g g g l

68 MTEMTIK I Príkld Vypočíjm driváciu ukci Riši: Príkld Vypočíjm driváciu ukci log Riši: l l l l l l Príkld Vypočíjm driváciu ukci si Riši: Fukci j v vr súčiu cos si cos si si si Príkld Vypočíjm driváciu ukci rcg Riši: Fukci j v vr podilu ) rcg ) rcg rcg ) rcg Príkld Vypočíjm driváciu ukci Riši: Fukciu vyjdrím v vr poom použijm vzorc pr driváciu zložj ukci Príkld Vypočíjm driváciu ukci rccog

69 Vzorové rišé úlohy Riši: ) ) ) ) Príkld Vypočíjm driváciu ukci si Riši: Fukciu uprvím vr zložj ukci si zov použijm vzorc pr driváciu si si si cos si cos si cos si cos Príkld Vypočíjm driváciu ukci l rcg Riši: Fukciu uprvím vr driváciu zložj ukci lrcg rcg rcg lrcg zov použijm vzorc pr rcg Príkld Vypočíjm driváciu ukci rcg si si l Riši: Fukciu uprvím vr si l si l si l si l si l si cos l si si si cos l rcg drivujm ju ko zložú ukciu

70 MTEMTIK I V úlohách zdrivuj ukciu Výsldky: l l cos cos si l log log l si g l si cos g cos ) cog l g si g g si ) ) cos g cos si g cos cos cos l si sisi cos cossi rcsi rcsi rccos rcsi

71 Vzorové rišé úlohy rcg rcgg rcg rcsi rcsi rccos rccos l si l l si l l si cog cog l si l si si cos l cos cos si si si si l si si l l l si si l si cog cos l l rcg ) l cosrcg rcsi rcsi rcsi l l rcg

72 MTEMTIK I Gomrický výzm driváci Driváci T y ukci j smric k k doyčic ku gru ukci od čiž = smric ormály j k Rovic doyčic j : y y Rovic ormály k j : y y y v doykovom V úlohách čso využívm pozok ž k sú dv primky rovožé mjú rovkú smricu k Príkld Nájdim rovicu doyčic ormály ku gru ukci Riši: T? Njprv vypočím y - ovú súrdicu doykového odu doykový lží d prol dj ukciou ukčá hodo Bod T y T v od Kďž od T j - ová súrdic j vls Do rovic doyčic porujm dosdiť j smricu čiž y Rovic doyčic : y Rovic ormály : y y Príkld Nájdim rovicu doyčic ormály ku gru ukci doyčic rovožá s primkou p : y l k j Riši: Nšou úlohou j ájsť súrdic doykového odu T Prož doyčic má yť rovožá s primkou musi yť ich smric rovké k k p ďlší posup j rovký ko v prdchádzjúcom príkld od y Rovic doyčic : y p T

73 Vzorové rišé úlohy Rovic ormály : y y Príkld Nájdim rovicu doyčic ormály ku gru ukci k j ormál kolmá primku y p : Riši: Normál má yť kolmá primku p pro musí yť doyčic s primkou p rovožá Tým sm úlohu prvidli prdchádzjúci yp hľdám d doyčicu rovožú s primkou p k k p Ďlší posup j rovký ko v Príkld od T T Rovic doyčic : y y Rovic doyčic : y y Rovic ormály : y y Rovic ormály : y y Príkld Nájdim rovicu doyčic ormály ku gru ukci k j doyčic kolmá primku : y p

74 MTEMTIK I Riši: Doyčic má yť kolmá primku pro musí yť ormál s primkou rovožá Smric ormály primky musí yť rovká k k Doykový od j T p p p Rovic doyčic : y y Rovic ormály : y y V úlohách ájdi rovicu doyčic ormály ku gru ukci T y v doykovom od???? l? l? Výsldky: T : y : y T : y : y T : y : y T : y : y T? : y : y T? : y : y T : y : y T : y

75 Vzorové rišé úlohy si T? T? : y : y : y : y : y V úlohách ájdi rovicu doyčic ormály ku gru ukci rovožá s primkou p k j doyčic p : y : y : y p : y : y : y : y : y p : y : y : y l p : y : y : y l p : y : y : y V úlohách ájdi rovicu doyčic ormály ku gru ukci kolmá primku p k j doyčic p : y : y : y p : y : y : y l p : y : y : y p : y : y : y

76 MTEMTIK I L Hospilovo prvidlo Nch g lo g Poom isuj j g plí Pr výpoč í s určiosťou Pri určiosich osých ypov určiosť ypu lo ch isuj g g lo použijm primo oo prvidlo g j poré ukciu uprviť I k počím iu s určiosťou ko: čiž počím g uprvím ju g g lo g g Dosm určiosť ypu lo II k počím iu s určiosťou d počím g priom j možá úprv spoločého movľ po jj použií dosm iu s určiosťou III k počím iu s určiosťmi už zámu úprvu g g l g g l d Limi korá vzik v po ovj ukci ud ypu čiž počím g použijm Príkld Vypočíjm l cos Riši: Po dosdí dosm určiý výrz ypu L Hospilovo prvidlo l cos l cos cos si kž primo použijm

77 Vzorové rišé úlohy Príkld Vypočíjm Riši: prvidlo V omo prípd j o určiosť ypu opäť použijm L Hospilovo ) ) Trz po dosdí dosm zov určiosť ypu prvidlo opäť môžm použiť L Hospilovo Príkld Vypočíjm Riši: V omo prípd id o iu ypu Použiím L Hospilovho prvidl dosm zopkovím L Hospilovho prvidl s dosm k pôvodj i Pro j lpši prd jho použiím použiť jdoduchú úprvu Príkld Vypočíjm l Riši: Počím s určiosťou ypu l l Príkld Vypočíjm si posupujm ko v I Riši: Počím s určiosťou ypu posupujm ko v II

78 MTEMTIK I si si si Príkld Vypočíjm Riši: g cog g cos si cos cog Počím s určiosťou ypu cog l g cog lg i v po j určiosi ypu cog l g vráim s k pôvodj i l g g posupujm ko v III vypočím ju zvlášť g cos g cos cog l g cog cog l g g si cos cos si Príkld Vypočíjm l Riši: Počím s určiosťou ypu posupujm ko v III l ) l l ) i v po j určiosi ypu l l ) vypočím ju zvlášť po ďlšom dosdí do posldj iy ájdm určiosť L Hospilovo prvidlo zov použijm vráim s k pôvodj i

79 Vzorové rišé úlohy l l l V úlohách pomocou L Hospilovho prvidl vypočíj iy ukcií: si l cos cos si cos g Výsldky: l l cos cos si cog cog l cog l lcos lcos l g l l l

80 MTEMTIK I cos si si g rcsi cog si cos g Tylorov polyóm Polyóm ) ) T ) ) ) )!! )! ) ) k k) k! ) k) ) s zýv Tylorov polyóm ukci v od

81 Vzorové rišé úlohy Použiím Tylorovj vy dosávm:!!! si!! m m ) m )! cos!! m m ) m )! Príkld Npíš Tylorov polyóm supň ukci v od Riši: Vypočím prvú ž riu driváciu ukci: Td Po dosdí dosávm: T!! V úlohách píš Tylorov polyóm ého supň dj ukci v od Výsldky: : rcsi l l l cos

82 MTEMTIK I PRIEBEH FUNKIE Vyšrovi prihu ukci Pri vyšroví prihu ukci posupujm ko: ájdm diičý oor ukci vypočím iy v kocových odoch diičého ooru vypočím jdosré iy v odoch spojiosi píšm rovic pr sympoy z smric BS) [sčí y spoň jd z jdosrých í v od ol vlsé číslo lo ud BS] primk ájdm sympoy so smricou SS) [SS j primk korj koiciy k k počím ko: lo pričom koiciy q q k q k y k q musi yť vlsé čísl] vyšrim párosť párosť ukci ájdm prisčíky so súrdým sysémom [prisčík s osou dopočím y prisčíky s o k ž položím y dopočím ] o y k k ž položím vypočím prvú driváciu ukci zákld oho vyšrím mooóosť lokál rémy ukci o irvloch kd j prvá driváci kldá d j ukci rsúc o irvloch kd j prvá driváci záporá d j ukci klsjúc o mooóosť ukci s môž miť v odoch v korých lo v odoch v korých isuj o ody v korých s zývjú scioár ody SB) o k irvl vľvo od SB ukci klsá vprvo rsi j v omo SB rém lokál miimum SB o k irvl vľvo od SB ukci rsi vprvo klsá j v omo SB rém lokál mimum SB vypočím druhú driváciu ukci zákld oho vyšrím kovosť kokávosť ilé ody IB) ukci o irvloch kd j ukci ková o irvloch kd j ukci kokáv o kovosť kokávosť ukci s môž miť v odoch v korých lo v odoch v korých isuj o ody v korých mí s v ich kovosť kokávosť s zývjú ilé ody IB) o k irvl vľvo od odu v korom j ukci ková vprvo kokáv od zývm ilý od IB o k irvl vľvo od odu v korom j ukci kokáv vprvo ková od zývm ilý od IB

83 Vzorové rišé úlohy scioár ody ilé ody ody v korých isuj prvá druhá driváci ukci rozdli clý diičý oor irvly korých udm zisťovť zmiko prvj druhj driváci ukci všky iormáci zzčím do uľky črm gr ukci V ikorých ukciách môžm ičo z odov ž vychť lo io iormáci získm z iých odov Príkld Vyšrim prih ukci : Riši: y črim jj gr Fukci j diová pr všky čísl pr koré j movľ D Diičý oor ukci Limiy zčiku koci diičého ooru sú d Jdosré iy v od spojiosi sú pro ž jdosré iy sú vlsé čísl primk j BS k q k SS pr j primk y q SS pr j kiso primk y pár z oho vyplýv ž ukci i j i pár i Vo ukcii y položím vypočím y

84 MTEMTIK I Vo ukcii y položím prisčík s osou o s osou o y y vypočím j od Prvá driváci ukci j y Položím y vypočím SB Prvá driváci isuj v od spojiosi prvj driváci čiž v od korý j zárovň j odom spojiosi ukci y Druhá driváci ukci j y Druhá driváci y pro ukci má ilé ody Druhá driváci y isuj v od spojiosi druhj driváci čiž v od čo j j od spojiosi ukci Body rozdli clý diičý oor ukci ďlši irvly kd udm zisťovť zmiko prvj druhj driváci zákld oho určím mooóosť kovosť kokávosť ukci lokál rémy ilé ody y + - * - + y MX * MIN y - - * + + y BS

85 Vzorové rišé úlohy Do súrdého sysému krslím SS BS prisčíky so súrdým sysémom použijm všky iormáci z uľky k čruiu gru ukci Príkld Vyšrim prih ukci l y črim jj gr Riši: Fukci j diová pr všky čísl pr koré j movľ súčs D Diičý oor ukci Limiy zčiku koci diičého ooru sú l l Počím jdosrú iu v od spojiosi V omo prípd má zmysl počíť l iu sprv l ú sm už vypočíli v Prož jdosrá i j vlsé číslo primk j BS l l k l l q SS pr SS pr j primk y má zmysl počíť lo ukci pr záporé čísl i j diová Fukci i j i pár i pár

86 MTEMTIK I Prisčík s o y isuj Vo ukcii l y položím y vypočím l prisčík s osou o j od l l l Prvá driváci ukci j y Položím vypočím SB l l y isuj v od spojiosi prvj driváci čiž v od korý j zárovň j odom spojiosi ukci l l l Druhá driváci ukci j y y Položím y l l isuj v od spojiosi druhj driváci čiž v od korý j zárovň j odom spojiosi ukci y Body rozdli clý diičý oor ukci ďlši irvly v korých udm zisťovť zmiko prvj druhj driváci zákld oho určím mooóosť kovosť kokávosť ukci lokál rémy ilé ody ) ) ) y MX y IB y y

87 Vzorové rišé úlohy Do súrdého sysému krslím SS BS prisčíky so súrdým sysémom použijm všky iormáci z uľky k čruiu gru ukci Príkld Riši: Vyšrim prih ukci y črim jj gr Fukci j diová pr všky čísl D Diičý oor ukci Limiy zčiku koci diičého ooru sú pr koré j movľ d Jdosré iy v od spojiosi sú pro ž jdosré iy sú vlsé čísl primk j BS

88 MTEMTIK I k y k SS pr q q SS pr y j j primk pár z oho vyplýv ž ukci i j i pár i Vo ukcii y položím vypočím y Vo ukcii Prisčík s osou y položím y vypočím o s osou o y j od Prvá driváci ukci j y Položím y vypočím SB y isuj v od spojiosi prvj driváci čiž v od korý j zárovň j odom spojiosi ukci

89 Vzorové rišé úlohy Druhá driváci ukci j y Položím y y isuj v od spojiosi druhj driváci čiž v od ukci čo j j od spojiosi Body rozdli clý diičý oor ukci ďlši irvly kd udm zisťovť zmiko prvj druhj driváci zákld oho určím mooóosť kovosť kokávosť ukci lokál rémy ilé ody y + - * + + y y y MX * - - * - + IB BS Do súrdého sysému krslím SS BS prisčíky so súrdým sysémom použijm všky iormáci z uľky k čruiu gru ukci

90 MTEMTIK I Príkld Vyšrim prih ukci y rcg črim jj gr Riši: Fukci j diová pr všky rál čísl Diičý oor ukci D R Limiy zčiku koci diičého ooru sú rcg rcg Prož j ukci clom svojom diičom oor spojiá BS isujú rcg k SS pr q y rcg rcg rcg rcg j primk rcg k SS pr j q y rcg rcg rcg ukci j pár z oho vyplýv ž Vo ukcii y rcg položím vypočím y rcg prisčík s osou j od o y Ďlši prisčíky s vim rišiť o určiť vim lo rcg j rscdá rovic korú y rcg Prvá driváci ukci j Položím y vypočím SB

91 Vzorové rišé úlohy y j spojiá ukci má ody v korých y prvá driváci isovl Druhá driváci ukci j y Položím y y j spojiá ukci má ody v korých y druhá driváci isovl Body rozdli clý diičý oor ukci ďlši irvly kd udm zisťovť zmiko prvj druhj driváci zákld oho určím mooóosť kovosť kokávosť ukci lokál rémy ilé ody y y y y MX MIN IB Do súrdého sysému krslím SS BS prisčíky so súrdým sysémom použijm všky iormáci z uľky k čruiu gru ukci

92 MTEMTIK I V úlohách vyšri prih ukci čri gr : y y ) y y ) y y y y y y ) ) y y y y y y y l y y y l l y l ) y rcg y rcg y rcg y rcg y y y y y

93 Vzorové rišé úlohy Výsldky:

94 MTEMTIK I

95 Vzorové rišé úlohy

96 MTEMTIK I

97 Vzorové rišé úlohy NEURČITÝ INTEGRÁL Zákldé vzorc igrovi d d l pr d d l si d cos cos d si d g cos si d cog d rcg d rcg d l pr d l d d rcsi d rcsi l d l

98 MTEMTIK I Igrovi rozkldom úprvou Igrovú ukciu s sžím rozložiť súč rsp rozdil jdoduchších ukcií pričom využívm zám lgrické lo goiomrické vzťhy Pri igroví využívm zákldé vzorc igrovi Plí: g d d g d Príkld Vypočíjm d d Riši: d d d Príkld Vypočíjm d d l d d l Riši: l l l Príkld cos Vypočíjm d cos Riši: g cos cos d cos cos si cos d d cos cos d V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: d

99 Vzorové rišé úlohy d d d d l d l d d d d d d l - d l d d d d

100 MTEMTIK I d d c l d l d d l d d d d l rcsi d d d d d d

101 Vzorové rišé úlohy d l d c l d l d rcg l d l d l d l d l l d d d d d l l l l l l l d l l cos d si rcg

102 MTEMTIK I g d g d cos si cog g g l g cog d d rcsi l rcsi Igrovi susiučou módou Igrál z ukci môžm zjdodušiť zvdím ovj prmj vhodj susiúci Dosávm: d d d d Príkld Vypočíjm igrál d pomocou Riši: V dom príkld j ukci dosávm igrál z jdoduchšj ukci Píšm: d d d d Príkld Vypočíjm igrál d Riši: V dom príkld j ukci susiúci dosávm igrál z jdoduchšj ukci Píšm: d d d d d d Zvdím susiúci Zvdím l rcg Príkld Vypočíjm igrál d ) rcg Riši: V dom príkld j ukci lrcg rcg Zvdím susiúci dosávm igrál z jdoduchšj ukci Píšm:

103 Vzorové rišé úlohy lrcg d ) rcg l rcg rcg l rcg d d d Príkld Vypočíjm igrál g d Riši: V dom príkld j ukci dosávm igrál z ukci g korý rozpíšm podil si cos Píšm: Zvdím susiúci g ) d d d d d si g d d l cos cos l cos ) V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: d d d d d d + d d d

104 MTEMTIK I d d d d d d d d d l d d rcg d d d d d d l rcg rcsi rcsi l

105 Vzorové rišé úlohy d d d d d d d d d d l d l d d l l d l l l rcg l rcsi l l l l l l d l l l l d l l l l d l l d l l

106 MTEMTIK I cog l si d si cos d cos si d si d cos cos d si si cos d si cos si d si cos cos si si rcg si cos cos ) d g si d si si cos d cos si d gl si d l si l si cos si rcg l rcg rcg rcg d l rcg d l rcg rcg cog d l si l d rcg d cosl d d l rcg si l

107 Vzorové rišé úlohy Igrovi módou pr prs Nch ukci u v mjú spojié driváci irvl J Poom u vd uv u vd Pri sldujúcich ypoch igrálov používm módu pr prs s ižši uvdou voľou ukcií : u v u vd B v ud k P d P l d P cos k d P rcsi rsp rccos d P si k rcg rsp d d V prípd polyóm zjdoduší V prípd B polyóm k Z P P rccog drivujm čím s zíži jho supň igrová ukci s igrujm Príkld Vypočíjm igrál cos d Riši: cos d u u v cos v si Príkld Vypočíjm igrál P si si d si cos d Riši: V príkld použijm módu pr prs dvkrá u v d u u v v u v c Príkld Vypočíjm igrál l d Riši: u l v l d u v Príkld Vypočíjm igrál rcsi d irvl l d d l Riši: V príkld použijm jskôr módu pr prs poom susiučú módu

108 MTEMTIK I rcsi d rcsi u rcsi v u rcsi v d rcsi c rcsi d d d Príkld Vypočíjm igrál cos d Riši: V príkld použijm dvkrá módu pr prs poom hľdý igrál vyjdrím zo získj rovic cos d si k ozčím Td u u cos v cos v si cos d si cos d I dosávm rovicu: I V úlohách vypočíj určié igrály: si d si cos I u u I si cos cos d si cos c v si v cos d Výsldky: d d d d d d d

109 Vzorové rišé úlohy d d d d si d cos si si cos si d cos si cos d si cos si d si cos si d cos si cos d cos si cos d d si cos si d cos si cos si cos si cos d cos si cos si d si d cos si cos d si d d cos si l l l l

110 MTEMTIK I l d l l l d l l l d l d l d l d l d l l l l d l l d l rcg l rcg l rcg rcg d )l ) d l d l d rcg rcg l rcg d rcg rcg rcsi d rcsi rcg d ll d lsi d si l ll cog lsi cos l d si l cosl d d rcsi rcsi

111 Vzorové rišé úlohy Igrovi rcioálych ukcií Fukciu P zývm rcioálou ukciou Q m k j rýdzorcioál ukci k m hovorím ž ukci j rýdzorcioál ukci Kždú rýdzo rcioálu ukciu možo rozložiť súč lmárych zlomkov Nurčiý igrál z kjo ukci počím k ž ju rozložím súč lmárych zlomkov i poom igrujm Kždú rýdzorcioálu ukciu môžm vyjdriť ko súč polyómu rýdzorcioálj ukci Td určiý igrál z kjo ukci počím k ž ukciu jprv prdlím kp ) poom počím igrál z polyómu lmárych zlomkov m hovorím ž ukci Igrovi ikorých lmárych zlomkov: d l Príkld Riši: Vypočíjm igrál d d l d k k ) k ) ) pr k Príkld Riši: Vypočíjm igrál d d d c d d d d pr p q použijm susiúciu p q p p ) q p p p d kd q Dosávm rcg p p q Príkld Riši: Vypočíjm igrál d Njprv výrz v movli uprvím švorc

112 MTEMTIK I d d Ďlj použijm susiúciu d d d d d rcg rcg p q p p q Mp N q p M d q p N M l rcg pr q p Príkld Vypočíjm igrál d Riši: d d d d Použiím vzorc d l dosávm: d l Pri výpoč druhého igrálu použijm úprvu švorc susiučú módu d d d d d rcg Td d l rcg Príkld Vypočíjm igrál d Riši: Pomocou rozkldu dj rcioálj ukci lmár zlomky dosávm ) ) d d d d d d d d

113 Vzorové rišé úlohy d d d d d Použiím vzorc d l dosávm l l d d d rcg Td d rcg l l Príkld Vypočíjm igrál d Riši: Fukci j rýdzorcioál pro jprv prdlím čiľ movľom d d Rýdzorcioálu ukciu rozložím prciál zlomky d d d l d d d d l rcg Td d l l rcg V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: d ) ) l

114 MTEMTIK I d l d l d l d l d l d l d l d ) ) l d ) ) l d ) ) l d l d l d l d l

115 Vzorové rišé úlohy d ) ) l d l d l d l d l d l d ) ) l d l d l d l l l d rcg d l l rcg d ) l d l l rcg

116 MTEMTIK I d rcg l l d l l l d l l d rcg l l d l rcg d l l d ) ) rcg rcg Igrovi ikorých ircioálych ukcií d R k k k kd k k k sú prirodzé čísl rišim pomocou susiúci k pričom k j jmší spoločý ásook čísl k k k Príkld Vypočíjm igrál d Riši: Igrál rišim použiím susiúci čím prvdim ircioálu ukciu rcioálu c d d d d d d l l

117 Vzorové rišé úlohy d d c d c d c R k k k kd k k k sú prirodzé čísl c d sú rál čísl plí c d môžm rišiť pomocou susiúci k d c pričom k j jmší spoločý ásook čísl k k k Príkld Vypočíjm igrál d Riši: Igrál rišim použiím susiúci čím prvdim ircioálu ukciu rcioálu d d d ) ) ) c d d ) c d rišim k ž výrz pod odmociou uprvím švorc vhodou susiúciou poom využijm jd zo vzťhov: o k d l o k d rcsi Príkld Vypočíjm igrál d Riši: d d d d d d l

118 MTEMTIK I Príkld Riši: d Vypočíjm igrál d d d rcsi d d d P d c určiých koiciov) počím pomocou zv Osrogrdského módy mód P d Q c c k d c Uvdú rovosť zdrivujm vyásoím výrzom c čím s zvím igrálov odmocí Módou porovávi koiciov vypočím koiciy zámho polyómu koici k Q Príkld Vypočíjm igrál d Riši: Dý igrál udm rišiť pomocou módy určiých koiciov d d k Drivovím ooch srá dosávm Vyásoím ooch srá výrzom mám k k Porovím koiciov ooch srách rovic vypočím k d Igrál vypočím úprvou švorc poom Td d l

119 Vzorové rišé úlohy d l Príkld Vypočíjm d Riši Dý igrál udm rišiť pomocou módy určiých koiciov Dosávm d k B d d ) Drivovím ooch srá dosávm ) k B Vyásoím ooch srá výrzom dosávm ) ) ) k B k B Porovím koiciov ooch srách vypočím k k k B d l podľ vzorc d l poom l ) d k B d d V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: d l d d

120 MTEMTIK I d d l d l d ) l l d l d l d d l d l d l d l d d rcg d rcg l l c kd

121 Vzorové rišé úlohy d d d l d l d l d d d d l l rcsi l d l d rcsi d l d rcsi d l d l

122 MTEMTIK I d l d l d l d l d l d l d l d l d l d l d d l d l

123 Vzorové rišé úlohy d rcsi Igrovi rigoomrických ukcií Nikoré igrály z rigoomrických ukcií počím využiím vzťhov koré pli mdzi goiomrickými ukcimi Njčsjši používm: si cos cos cos si cos si cos cos si si cos si si cos cos cos cos si si cos cos Príkld Vypočíjm igrál si d Riši: si d cos d si Príkld Vypočíjm igrál si si d si Riši: si sid cos cosd si Igrál ypu: R si cos d vypočím pomocou susiúci si cos si d vypočím pomocou susiúci cos R V oidvoch prípdoch spomíá susiúci prvdi igrovú ukciu rcioálu Príkld Riši: d Vypočíjm igrál cos Igrovú ukciu si jprv rozšírim vhodou jdokou v vr použijm zámy vzťh si cos Dosávm: cos cos

124 MTEMTIK I d cos d cos cos Igrová ukci j rz v vr Rsi cos d si cos d pro použijm susiúciu si d cos cos cos cos si si d si si d d l l k R cos si cos d d si d môžm počíť pomocou susiúci d cos d g plí Nikdy j výhodjši použiť vzorc cos cos si cos vyhúť s susiúcii Príkld Riši: Vypočíjm igrál si g d cos si d d si cos cos d d g g g d Príkld g Vypočíjm igrál d g Riši: Igrál vypočím susiúciou g g d g g d d d d l l l g g

125 Vzorové rišé úlohy R cos si d rišim susiúciou d d g plí si cos Príkld d Vypočíjm igrál si cos Riši: g si d d si cos cos d d g d d l l g d V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: si cos d si si si si d si si si d cos cos cos si cos d cos cos si si cos d d si cos l cos cos cos cos si d cos

126 MTEMTIK I si si si cos d cos si d cos cos l cos si si ) cos d si si si cos d si l si si si d cos l cos cos si cos d si si rcg cos d si si si d si l si cos d cos si cos d si si cos cog si cos d si l si si d si si cos si cos d si l si si cos ) si d cos cos si d cos cos cos l si si d l si

127 Vzorové rišé úlohy cos si d cos cos si d cos si d cos cos cos l cos cos cos cos cos cos d si si cos d si si si cog l si d l si gl cos d l cos si cos d si si l si cos d si si d cos si l si cos l cos cos d si l si si si cos ) d cos si si cos d si l si si cos cos cos si d cos cos si d cos l cos cos cos l cos

128 MTEMTIK I si cos d si si si si cos d si si si si cos d si si si cos si d cos cos l cos cos cos si d cos cos cos l cos si d cos d si cos cos l cos cos l cos si l si d si d si rcg g si d cos rcg g cos d si si d cos g g rcg d si cos cos l g g g g d l cos cos d si g g cog

129 Vzorové rišé úlohy d cos d si cos si cos d si cos d si si d si cos ) d si cos l g g l g l g l g g rcg l g l g g rcg g rcg d cos si ) rcg g Igrovi pociálych ukcií V jo kpiol ukážm ko s počíjú igrály s pociálymi ukcimi R ) d vypočím pomocou susiúci Príkld Vypočíjm igrál d Riši: d d l l d d Po použií susiúci sm dosli igrál korý prí mdzi igrčé vzorc

130 MTEMTIK I Príkld Vypočíjm igrál d Riši: Podo ko v prdchádzjúcom príkld použijm rovkú susiúciu kd j l výhodé prmú zo susiúci jprv vyjdriť poom drivovť Po susiúcii dosm igrál z rýdzorcioálj ukci kd využijm rozkld prciál zlomky ásldé igrovi d l d d d d l l l V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: d l d ) l ) d l ) ) d l d d l l d l ) d ) l l d

131 Vzorové rišé úlohy URČITÝ INTEGRÁL Nwo Liizov vzorc Nch ukci ukciu F Poom plí j igrovľá irvl ) d F ) F ) Rozdil F ) F ) s zvyk ozčovť iž zkom ch má irvl F ) primiívu Príkld Vypočíjm igrál d Riši: d d l l l l Igrovi susiučou módou Nch ukci j spojiá irvl ohričom uzvrom irvl Príkld Riši: l Vypočíjm igrál d l d l d d d I ch ukci má spojiú driváciu J zorzuj irvl ) d ) ) d Igrovi módou pr prs I do J Poom plí Nch ukci u v sú spojio dircovľé irvl Poom plí u ) v ) u ) v ) d u ) v ) d

132 MTEMTIK I Príkld Vypočíjm igrál rcg d Riši: rcg rcg rcg rcg rcg d d v u v u d V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: d l d d d d d l d l d l d l d rcg rcg d

133 Vzorové rišé úlohy si si cos d d d d l d cos si d d d l rcg d l d l d cos d si cos si d d

134 MTEMTIK I d l d l d si si d d l si d d l d l si d l d l d l d rccos d d l

135 Vzorové rišé úlohy POUŽITIE URČITÉHO INTEGRÁLU Plošý osh roviých úvrov Nch ukci : R g : R sú spojié ch pr kždé j ) g ) Poom možiu D yr g y zývm lmár olsť v R vzhľdom os o lmár olsť ypu y ) Nch ukci : c d R : c d R sú spojié ch pr kždé y c d j y) y) Poom možiu Q yr c y d y y zývm lmár olsť v vzhľdom os lmár olsť ypu y ) R o y Plošý osh lmárj olsi D s počí podľ vzorc P g d Plošý osh lmárj olsi Q s počí podľ vzorc P y y dy d c Príkld Vypočíjm osh čsi roviy ohričj primkou y prolou y

136 MTEMTIK I Riši: Nčrm dé krivky možiu imi určú ozčm pr M y sm možiu M popísli porujm vypočíť prisčíky dých krivik: y Moži M j lmár olsť ypu pro ju môžm popísť rovosťmi: y Pr osh možiy M plí: M P d Príkld Vypočíj osh čsi roviy M ohričj krivkmi M : y y Riši: Moži M j súmrá podľ o pro sčí vypočíť osh polovic plochy pr pr y Ozčím úo možiu M poom plí PM PM Vypočíjm prisčíky dých krivik: y y Spoločé ody sú: Moži M j lmár olsť ypu y pro ju popíšm rovosťmi:

137 Vzorové rišé úlohy Pr osh možiy P M y y y y y dy kd M plí y dy si d cos y d y y dy cos si d si d si y dy y cos y P M y dy Td osh dj možiy M j: P M PM Príkld Vypočíjm osh čsi roviy M ohričj grom ukci y irvl osou o Riši: Nčrm gr ukci korá osi o prchádz odmi Moži M i j lmár olsť y sm ju popísli rovosťmi musím ju rozdliť lmár olsi: M : y M : y M : y

138 MTEMTIK I Pr osh čsi roviy M plí: M P M P M P M P kd d M P d M P d M P Výsldok: M P V úlohách vypočíj osh čsi roviy ohričj dými krivkmi Výsldky: y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

139 Vzorové rišé úlohy y y y y y y y y y y y y l l l y l y l y y y y y y y y y y y y l l l l l y y y y y y y rcsi y y y si y y y y y y l y y y y

140 MTEMTIK I y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y l y y l l l Ojm ročého ls Nch j lmár olsť krivočiry lichožík) g y g sú spojié záporé ukci irvl : kd Roáciou krivočirho lichožík v prisor s osmi y z okolo - ovj osi vzik ročé lso korého ojm V vypočím pomocou vzorc R V g d V špciálom prípd k g plí V d

141 Vzorové rišé úlohy Príkld Vypočíjm ojm ls koré vzik roáciou dj lmárj olsi okolo : y y si o Riši: Nkrslím popíšm lmáru olsť V g si d si : y si cos d d Príkld Vypočíj ojm ls koré vzik roáciou dj lmárj olsi okolo o : y y Riši: Nkrslím popíšm lmáru olsť V : y d d

142 MTEMTIK I Príkld Vypočíj ojm ls koré vzik roáciou dj olsi okolo : y y o Riši: Nkrslím popíšm olsť Dá moži ozčm i j lmár olsť l pr ) korú môžm popísť rovosťmi: okolo Roáciou lmárj olsi dého ls Pro: V V d : o dosávm lmáru olsť y dosávm lso korého ojm j polovic ojmu d V úlohách vypočíj ojm ls koré vzik roáciou dj lmárj olsi okolo o Výsldky: y y y y y y y y y y y y y y

143 Vzorové rišé úlohy y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ) ) l ) ) y y y y y y y y y ) ) ) y y y y y y y y y y y y y y y si y y si y y y y

144 MTEMTIK I V úlohách - vypočíj ojm ls koré vzik roáciou okolo osi ohričj krivkmi: y y y y y y Výsldky: y y o y olsi y y y y y y y y y y y y y y l y y ) Dĺžk krivky k krivk j grom : R korá má spojiú driváciu k pr jj dĺžku s plí s ) d Príkld Vypočíjm dĺžku dj krivky : y l si cos Riši: Kdž l si Po dosdí do vzťhu pr výpoč dĺžky si krivky dosávm: cos si d d cos si s d d d si si = cos d

145 Vzorové rišé úlohy l l V úlohách vypočíj dĺžku dj krivky Výsldky: : y l : y : y l cos l l g : y l si : y ) : y : y l l l l l ) l : y l ) l : y l l : y rcsi : y rcsi ) Plošý osh ročj plochy Plošý osh ročj plochy korá vzik roáciou gru spojio dircovľj záporj ukci : R okolo osi s počí pomocou vzorc S ) ) d

146 MTEMTIK I Príkld Riši: Vypočíjm osh ročj plochy korá vzik roáciou dj krivky okolo osi : y o Po dosdí do vzťhu dosávm: S d d d d d V úlohách vypočíj osh ročj plochy korá vzik roáciou dj krivky okolo osi o : y Výsldky: : y ) : y ) : y y : y : y si l : y l l

147 Vzorové rišé úlohy NEVLSTNÝ INTEGRÁL Igrál z ukci ohričom irvl Nch ukci j igrovľá kždom kočom irvl vlsá i k i d hovorím ž igrál d isuj kovrguj) d isuj lo j vlsá hovorím ž igrál divrguj) Poom k isuj d isuj Td d d Nch ukci j igrovľá kždom kočom irvl vlsá i k i d hovorím ž igrál isuj divrguj) d isuj kovrguj) Poom k isuj d isuj lo j vlsá hovorím ž igrál d Td d d Nvlsý igrál irvl počím sldov: Príkld Riši: d d d Vypočíjm vlsý igrál d k isuj d d Vypočím určiý igrál d l l d Poom d d l c c Kdž i j vlsá dý igrál divrguj isuj)

148 MTEMTIK I Príkld Vypočíjm vlsý igrál rcg d k isuj Riši: koš: Dý igrál rozpíšm súč dvoch igrálov kd rcg d rcg rcg d d R j ľuovoľá Vypočím jdolivé vlsé igrály: rcg rcg d rcg rcg rcg rcg rcg d d d d rcg rcg rcg d rcg rcg rcg d rcg rcg Td rcg rcg d rcg Príkld Vypočíj osh čsi roviy ohričj krivkou y osmi o o y Riši: Nčrm čsť roviy ohričj dými krivkmi: Osh možiy môžm vypočíť ko: P d d rcg

149 Vzorové rišé úlohy V úlohách vypočíj vlsé igrály k isujú d d d l d si d d d d si d l d Výsldky: divrguj divrguj l d Vypočíj osh čsi roviy ohričj krivkmi: y y pr Vypočíj osh čsi roviy ohričj krivkmi: y y pr Vypočíj osh čsi roviy ohričj krivkmi: y y pr

150 MTEMTIK I Igrál z ohričj ukci Nch j ukci diová ohričom irvl j ohričá Nch pr kždé isuj vlsá i d hovorím ž d ch v kždom irvl d d k isuj kovrguj píšm d zývm ho vlsým igrálom ukci irvl Podo diujm igrál z ukci ohričj v od : d Príkld Vypočíjm vlsý igrál Riši: Fukci g j okolí odu g d k isuj ohričá pro: l cos l cos g d g d Nvlsý igrál divrguj d Príkld Vypočíjm vlsý igrál d k isuj Riši: Fukci j ohričá okolí ooch krjých odov irvlu pro vyrim ľuovoľé číslo z irvlu igrál rozložím súč dvoch vlsých igrálov d d d Vypočím o vlsé igrály: c c d d c c c c

151 Vzorové rišé úlohy c c c c d d c c c Td d V úlohách vypočíj vlsé igrály k isujú d Výsldky: divrguj d d d divrguj d d divrguj l d d

152 MTEMTIK I POUŽITÁ LITERTÚR [ ] Dmidovič B P: Sorik zdč i upržij po mmičskomu lizu Nuk Moskv [ ] Džuri J - Gričová - Pirč V: Mmická lýz Názov www sráky: hp:///civ_dowlod/m/ulr_viwrhm ISBN --- [ ] Eliš J - Horváh J - Kj J: Zirk úloh z vyššj mmiky LF Brislv ISBN -- [ ] Eliš J - Horváh J - Kj J: Zirk úloh z vyššj mmiky LF Brislv ISBN -- [ ] Iv J: Mmik LF/SNTL Brislv [ ] Jirásk F - Kriglsi E - Tichý Z: Sírk řšých přikldů z mmiky SNTL/LF Prh [ ] Kluvák I - Mišík L - Švc M: Mmik I SVTL Brislv [ ] Mrčoková M - Morvčík J - Ružičková M: Mmik IV Žiliská uivrzi EDIS - vydvľsvo ŽU ISBN --- [ ] Molárová M - Myšková H: Úvod do liárj lgry TU Košic ISBN - -- [ ] Pirč V - Hščák : Mmická lýz I l sro Košic ISBN -- - [ ] Šolés V - Juhásová Z: Zirk úloh z vyššj mmiky I Edičé srdisko TU v Košicich

153 NÁZOV: Mmik I - Vzorové rišé úlohy UTOR: Bculíková Blk Gričová VYDVTEĽ: Tchická uivrzi v Košicich ROK: VYDNIE: prvé ROZSH: srá ISBN: ----

154

155 ISBN ----