STREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA drevárska KRÁSNO nad KYSUCOU PRÍKLADY Z MATEMATIKY

Transcript

1 STREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA drevársk KRÁSNO nd KYSUCOU PRÍKLADY Z MATEMATIKY

2 Osh. Logik, dôvodenie dôkz.... Výrok, negái výroku.... Zložený výrok, logiké spojk.... Negái zloženýh výrokov.... Prvdivostná hodnot zloženýh výrokov.... Kvntifikovný výrok Čísl, premenná počtové výkon s číslmi Prirodzené elé čísl Rionálne čísl, zápis rionálneho čísl Počtové operáie so zlomkmi Zložené zlomk Perentá Prá s údjmi vjdrenými v perentáh Riešenie slovnýh úloh Prim, neprim úmer....9 Riešenie slovnýh úloh....0 Asolútn hodnot reálneho čísl.... Intervl, rozdelenie.... Prienik zjednotenie intervlov.... Riešenie úloh... Príkld.... Monin s prirodzeným eponentom.... Monin s eločíselným eponentom....6 Monin s rionálnm eponentom Prepis monin n odmoninu opčne Úprv výrzov s odmoninmi Úrok, jednoduhé úrokovnie n dni, mesie Riešenie slovnýh úloh.... Zložené úrokovnie.... Umorovnie.... Riešenie slovnýh úloh.... Pojem výrzu, počtové operáie s mnohočlenmi súčet, rozdiel.... Súčin mnohočlenov, delenie mnohočlen jednočlenom....6 Rozkld výrzov vnímním Rozkld výrzov pomoou vzorov Lomené výrz Úprv lomenýh výrzov Výpočet hodnot výrzu Zložené lomené výrz.... Vzťh, funkie, tuľk digrm.... Lineárn rovni, Riešenie lineárnh rovní.... Lineárne rovnie s neznámou v menovteli zlomku.... Vjdrenie neznámej zo vzor.... Riešenie úloh Lineárne rovnie s solútnou hodnotou... 8

3 .6 Lineárne nerovnie Sústv lineárnh nerovní....9 Lineárne nerovnie v podielovom tvre....0 Sústv dvoh lineárnh rovní s dvom neznámmi...

4 . Logik, dôvodenie dôkz. Výrok, negái výroku Príkld. Ktoré z nsledovnýh viet sú výrok? ) -. + > ) Stred je prvý deň v týždni. ) Počkj n mň! d) Osh kruhu s polomerom r je πr. e) Je možné vpočítť osh odĺžnik so strnmi, pomoou vzťhu S =? f) Doré ráno. g) Osh odĺžnik so strnmi, určíme pomoou vzťhu S =. ) Je výrok. ) Je výrok. ) Nie je výrok, leo to nie je oznmovi vet. d) Je výrok. e) Nie je výrok, leo to nie je oznmovi vet. f) Nie je výrok. g) Je výrok. Zložený výrok, logiké spojk Príkld. Aký tp zloženého výroku predstvujú nsledovné zápis: ) < < 6 ) - - ) Číslo je deliteľné tromi práve vted, k jeho iferný súčet je deliteľný tromi. d) Ak má číslo n mieste jednotiek 0, tk je deliteľné číslom 0.

5 . Negái zloženýh výrokov Príkld. Negujte nsledujúe výrok A: Príde Peter Mári. B: Prší je mokro. C: Svieti slnko leo fúk vietor. D: Ak s nhneváme, udeme zlí. E: Ak príde Jozef, potom príde j Ev. F: Mám dorú náldu práve vted, keď prší. A' : Nepríde Peter leo Mári B': Neprší leo nie je mokro C': Nesvieti slnko nefúk vietor D': Nhneváme s neudeme zlí E': Jozef príde Ev nepríde F': Mám dorú náldu neprší leo nemám dorú náldu prší. Prvdivostná hodnot zloženýh výrokov Príkld. A: Som nižší ko metre.() B: Mám 0 rokov (0) A B: Ak som nižší ko m, tk mám 0 rokov. - je neprvdivý výrok, le B A: Ak mám 0 rokov, tk som nižší ko m. - je prvdivý výrok. Prvdivostná hodnot ekvivlenie dvoh výrokov - je prvdivá práve vted, k o výrok, mjú rovnkú prvdivostnú hodnotu. A 0 0 B 0 0 A B 0 0

6 . Kvntifikovný výrok Príkld. Podčirknite v nsledujúih výrokoh všeoené eistenčné kvntifikátor. ) Eistuje 6-uholník, ktorý má spoň tri tupé vnútorné uhl. ) Možno nájsť prirodzené číslo, ktoré je deliteľom kždého prvočísl. ) Ani jeden koreň rovnie + = 0 nie je kldné číslo. ) Eistuje 6-uholník, ktorý má spoň tri tupé vnútorné uhl. ) Možno nájsť prirodzené číslo, ktoré je deliteľom kždého prvočísl. ) Ani jeden koreň rovnie + = 0 nie je kldné číslo..6 Negái kvntifikovnýh výrokov Príkld. Negujte výrok: ) A: Všetk nások čísl 8 sú párne čísl. ) B: Ktorýkoľvek trojuholník má súčet dĺžok ťžní väčší ko súčet dĺžok strán. ) C: Niektorý z koreňov tejto rovnie je záporný. ) A': Niektoré nások čísl. 8 nie sú párne čísl. ) B': Eistuje trojuholník, ktorý nemá súčet dĺžok ťžní väčší ko súčet dĺžok strán. ) C': Všetk korene tejto rovnie sú nezáporné. 6

7 . Čísl, premenná počtové výkon s číslmi. Prirodzené elé čísl Príkld. Npíšte prvočíselný rozkld čísl 67 Príkld. Určite, ktorýh deliteľov od jedn do desť mjú čísl ) 80 [,,, 8, 0] ) 67 [,, 9] ) 8 [,,, 6, 9] Príkld. Vdeľte: Vnásote: ) 8 : = d). 7 = ) 6 : = e) 9. = ) 6 : = f) 6. =. Rionálne čísl, zápis rionálneho čísl Príkld. Zpíšte rionálne čísl v zákldnom tvre: ) ) )

8 Príkld. Zpíšte číslo 0, v tvre zákldného zlomku. Príkld. 0, 0,... 0, 00, , 0 Rozhodnite, koľko rôznh rionálnh čísel je v zdní. 6 ; ;,; ;,6; ; ; 6. Počtové operáie so zlomkmi Príkld. Sčítjte zlomk: ) ) 6 0 Príkld. Odčítj zlomk: Príkld. Vnáso zlomk: ) 7 9 ) 6 9 8

9 ) 0 9 ) Príkld. Vdeľte: Príkld. Vpočítjte: ) 0 ) ) ) ) Zložené zlomk Príkld. Zpíšte destinným číslom: ) ) 6 0, 0 6 ) ),8, 0,. Perentá Príkld. Hmotnosť istern s vodou je 760 kg. Hmotnosť istern je % z elkovej hmotnosti. Aká je hmotnosť vod? Zákldom je istern () vod (v) dokop spolu. Máme dve čsti zákldu: isternu () vodu (v). 9

10 Pre isternu pltí, že jej hmotnosť je % z elkovej hmotnosti (zo zákldu), to znmená, že č() = 760 0, = 70, kg Terz heme vpočítť, koľko váži vod. Môžeme to sprviť dvom spôsomi: - Odpočítme od elkovej hmotnosti: m(v) = m (spolu) m() = , = 89,7 kg - Ak istern váži % zo zákldu, tk vod váži 77% zo zákldu (00% - %), t.j.: č(v) = 0, = 89,7 kg.6 Prá s údjmi vjdrenými v perentáh Príkld. Rozloh lesov v Slovenskej repulike s od roku 9 výrzne zmenil tk, ko uvádzjú tuľk grf podľ jednotlivýh rokov. Rok Celková rozloh lesov v % 6,0 6,0 9,0 9,80 0,0 0,60 0,8 0,8 0,90 perentá% rok O koľko perent s zvýšil rozloh lesov n Slovensku od roku 960 do 00?.7 Riešenie slovnýh úloh 0

11 . Tovr ol predný z 6,6, t.j. so strtou 0%. Aká ol nákupná en tovru ká ol strt? (7,, strt:7, ). Pozemok reálu škol má tvr odĺžnik s rozmermi 00m 80m. N pozemku s nhádz udov škol s odĺžnikovým pôdorsom 0m m, štvorový zén so strnou dĺžk 0m, dv kruhové kvetinové záhon s priemerom 6m, kvetinový záhon v tvre rovnormenného prvouhlého trojuholník so strnou dĺžk m % ploh pozemku zerjú ihriská. Osttné čsti pozemku tre vsdiť zeleňou. N koľkýh m ude zeleň? (77,8m). Súprv: nármok s náušnimi stojí,9 Sk. Koľko stoj smotné náušnie, k sú o 0% lnejšie ko nármok? (9,6 ). Uzvretá lepenková šktuľ má tvr trojokého kolmého hrnol s podstvou rovnostrnného trojuholník. Hrn podstv je m dlhá, výšk šktule je 0,m. Vpočítj, koľko m lepenk tre n zhotovenie 0šktúľ, k s musí rátť % n zhnutie. (8,6m ).8 Prim, neprim úmer Príkld. Z 0 kg čerstvýh jĺk dostneme 0 g sušenýh jĺk. Koľko kg čerstvýh potreujeme n 0 kg sušenýh? 0. 0 =,. 00 =, / :, 80 = N 0 kg sušenýh jĺk potreujeme 80 kg čerstvýh..9 Riešenie slovnýh úloh

12 . Žii idú n výlet musi zpltiť istú sumu peňzí z utous. Ak pôjde n výlet všetkýh žikov, kždý zpltí,. Koľko eur zpltí kždý žik, k pôjde n výlet i 0 žikov?. 0 špendlíkov s rovnkou hmotnosťou má,6 grmu. Koľko váži špendlíkov?. štri čerpdlá s rovnkým výkonom nplni nádrž z 0 hodín. Koľko čerpdiel sme museli použiť, ke sme heli ušetriť 8 hodín z čsu?. 00 rootníkov vroí z 8 hodín 0 00 výrokov. Urč, z ký čs vroí ten istý počet rootníkov 6 výrokov..0 Asolútn hodnot reálneho čísl Príkld. Znázornite n číselnej osi množin: ) M R : > ) N R : ) O R : < ) Prvk množin M sú práve tie reálne čísl, ktorýh vzdilenosť od zčitku n číselnej osi je väčši ko. Sú to ted všetk reálne čísl, ktoré sú n číselnej osi nprvo od čísl le j nľvo od čísl. Intervl, rozdelenie Príkld. Dné sú množin A = { R; -8 < < }, B = { R; -6 < < 7}, C = { R; < }, D = { R; < }, E = { R; < 7},

13 Znázornite tieto množin ko intervl.. Prienik zjednotenie intervlov Príkld. Grfik znázornite zpíšte výsledok zjednoteni intervlov ( ;7), (;. N jednu číselnú os zkreslíme o intervl ( ;7) (;. Prvok ptrí do zjednoteni intervlov, k ptrí spoň do jedného z intervlov. Čsť ptriu spoň jednému intervlu vznčíme červenou frou. Zpíšeme výsledok: ( ;7) (; = ( ;.. Riešenie úloh Príkld. Určite zjednotenie prienik intervlov ),,, ),,,

14 ),,, d),,, ),0, 0, e) 0,, 0, Príkld. Určite, ktoré z uvedenýh množín sú ktoré nie sú intervl:,,, Z; 0, R; 0, N, Q; 0, Z, 0, R;,, R;,,,,, Príkld. Zorzte n číselnej osi dnú množinu k je to možné, zpíšte ju ko intervl: ) R; ) R; ) R;. Monin s prirodzeným eponentom Príkld. Vpočítjte: ). ) z. z ) : d) z Príkld. Uprvte n jednu moninu ).9 = ).(-)9 = ).6.- = d) (-).7 = e)

15 f). = g).. Monin s eločíselným eponentom Príkld Vpočítjte: 0, Príkld.,, sú nenulové reálne čísl. Odôvodnite jednotlivé krok vo výpočtoh. ) ) ) d) e)

16 6.6 Monin s rionálnm eponentom Príkld. Aplikujte vet pltie pre počítnie s moninmi: ), > 0 ) ) d) 0 0 e) f),, > 0 ) 9 0 ) 7 ) 0 0 d) e).7 Prepis monin n odmoninu opčne Príkld.

17 7 Npíšte moninu 7 ko odmoninu 7 n m n m m =, n = Príkld. Zpíšte v tvre n m ) ) ) 7 d) e) f).8 Úprv výrzov s odmoninmi Príkld. Vjdrite ko monin s rionálnm eponentom, vpočítjte výsledok zpíšte v tvre odmonin. ), > 0 ), 6 > 0 ), > 0 )

18 8 ) Úrok, jednoduhé úrokovnie n dni, mesie Príkld. Aký veľký úrok pripíše nk ku vkldu 800 z rok, pri ročnej úrokovej miere %? V tomto prípde môžeme počítť: ) ez jedno perento 00% = 800 % = 800 : 00 = 8 % =. 8 = 6 ) trojčlenkou 00 % %... prim úmer :00 = : = = : 00 = 6 = ) dosdením do vzor

19 u K p t Vo všetkýh troh prípdoh všiel výsledok rovnký. Bnk pripíše ku vkldu 800 z rok 6.. Úrokovi do mesi, mesie t m, kde m je počet mesiov Úrok z m mesiov vpočítme u K p m 00 Príkld. Koľko zpltí podnikteľ nke, k si zoerie úver 000, pri ročnej úrokovej miere 8% spltí ho z 0 mesiov? K = 000 p = 8% m = 0 njskôr vpočítme úrok podľ vzor K p m u úrok z 0 mesiov ude 600 podnikteľ musí nke vrátiť sumu, ktorú si požičl + úrok = 600. Úrokovi do n dni t d 60, kde t je počet dní V nkovnítve s njčstejšie použív n finnčnú mtemtiku metód, pri ktorej pltí, že kždý mesi má 0 dní rok 60 dní. 9

20 Úrok z určitý počet dní vpočítme u K p d Príkld. Ote vložil. máj do nk 00 pri ročnej úrokovej miere %. Koľko mu pripíšu n koni rok? K = 00 p = % d = 7. 0 (7 elýh mesiov) + ( počet dní v máji) = dní Otovi pripíšu n koni rok úrok 9. K p d 00 u 9, n koni klendárneho rok mení. Príkld. Akú sumu udeme mť n účte n koni rok 00, k. júl 009 nň vložíme 000? Ročná úroková mier je 6%. njskôr musíme vpočítť, kú sumu pripíšu ku vkldu n koni rok 009 K = 000 p = 6% m = 6 N koni rok 009 nám pripíšu sumu 0. K p m u terz môžeme počítť, kú sumu pripíšu n koni rok K = (tie sme získli v roku 009) = 00 0

21 p = 6% t = u K p 00 6 t 6, N koni rok nám k sume 00 pripíšu úrok 6,8. Spolu udeme mť n účte 09,8..0 Riešenie slovnýh úloh. Mrtin vložil do nk sumu 00. Keď si po mesioh hel vrť elú sumu z nk zistil, že n účte má. Aká ol ročná úroková mier? (,7%). Rodin pán Fiek si 8. máj vzl v nke úver vo výške 00. Úver Fiekovi spltili už. novemr toho istého roku. Aký veľký úrok zpltili z úver, k ročná úroková mier ol 6 %? (6 ). Pán Mlý si vzl úver 000 s ročnou úrokovou mierou 9 %. Pán Kováč si zorl úver s ročnou úrokovou mierou %. Ak oidvj splti svoj úver z mesiov, ktorý z nih zpltí vššie úrok? (rovnké úrok). Akú veľkú sumu vložil pni Veslá n účet do nk pri ročnej úrokovej miere 7%, k z 8 mesiov jej pripísli n účet 0? (7, ). Pán Novák z vkldu 60 získl po roku úrok,7. Akou úrokovou mierou ol jeho vkld úročený? (,%) 6. Koľko eur musí zpltiť zčínjúi podnikteľ z úver 000 n úrokoh pri ročnej úrokovej miere %, k si úver zorl.. he ho spltiť 8.. toho istého roku? (0 ) 7. Koľko si v nke musíme uložiť, k heme, nám po troh mesioh pripísli n účet 00 pri ročnej úrokovej miere,%? (000 )

22 8. Koľko si v nke musíme uložiť, k heme, nám po štroh mesioh pripísli n účet 00 pri ročnej úrokovej miere,%? (000 ) 9. Pni Veselá z vkldu 70 získl po roku úrok 0,. Akou úrokovou mierou ol jej vkld úročený? (,7%) 0. Koľko eur musí zpltiť firm z úver 000 n úrokoh pri ročnej úrokovej miere %, k jej nk posktl úver. mr firm ho he spltiť. novemr toho istého roku? (7 ). Zložené úrokovnie Príkld. Vpočítjme udúu hodnotu kpitálu po 0 rokoh (n = 0), k súčsná hodnot K 0 = pri 8 % ročnej úrokovej miere Je dné: K 0 = ; i = 0,08; n = 0 Dosdením do vzor K n = K 0 ( + i) n Kn = ( + 0,08) 0 = 89, dostávme: Budú hodnot kpitálu po 0 rokoh ude 89,. Príkld. Koľko ude mť n účte pán Novák v čse svojho odhodu do dôhodku o 0 rokov, k dnes vloží do nk 0 nk úročí vkld %. Je dné K 0 = 0 ; p = ; n = 0 Dosdením do vzor K n p K0 dostávme: 00 n

23 n p K n K0 0 9, Pán Novák ude mť v čse odhodu do dôhodku 9,.. Umorovnie Príkld. Pri inventúre strojového zrideni s odpisovlo 0 % z účtovnej en stroj v dnom klendárnom roku. Akú pôvodnú enu ml stroj, ktorý po ôsmih rokoh používni má účtovnú enu K 0 zčitočná istin p odpis, úrok K n zosttok, účtovná en N odoie odpisovni K n p K0 00 n K n K n 8 p K 0 77 K 0 0, K 77 K 0,0 66, K ,0 00 / : 0,0 Ostrávi en stroj ol 66,.. Riešenie slovnýh úloh Príkld Koľko vložil n vkldnú knižku môj predok, k olo n nej v roku $, nk úročil vkld polročne pri ročnej úrokovej miere,% vkldná knižk ol zložená v roku 96?

24 Je dné: Kn= 67 0 p. j.; i = 0,0; n = = 76 Dosdením do vzor K n K 0 m. n j m dostávme Môj predok vložil do nk 80 $. K Kn j m 670 0,0 0 m. n.76 K 0 = 80 $ 80 Príkld. Koľko musím terz vložiť do nk, k hem svojmu dieťťu drovť n 8. nrodenin milión, keď nk úročí vkld,% dieť plánujem mť o 0 rokov? Je dné: K 0 = ; i = 0,0; n = = 8 Dosdením do vzor K K0 dostávme: n i n Do nk musím terz vložiť 86 8,. K K n 0 8 n i 0,0 868, Príkld. Peter si otvoril účet v nke pri 9 % ročnej úrokovej miere vložil nň p. j. Po troh rokoh vrl z účtu 000 p. j. Akou sumou ude disponovť po ďlšíh rokoh? (,8 p. j. ) Príkld.

25 Pri kej ročnej úrokovej miere s dný vkld -násoí z odoie 8 rokov? (i = 0,7) Príkld. Nájdite udúu hodnotu kpitálu p. j. po desitih rokoh, vloženého n účet ktorý posktuje 8 % ročnú úrokovú mieru. ( 89, p. j. ). Pojem výrzu, počtové operáie s mnohočlenmi súčet, rozdiel Príkld. Pre ké hodnot premennej sú si rovné výrz,? pre 0 0 výrz s rovnjú pre (0; ) Príkld. Sčítjte mnohočlen 7, Príkld. Odčítjte od mnohočlen + mnohočlen ( ) ) (. Súčin mnohočlenov, delenie mnohočlen jednočlenom

26 Príkld. Násote mnohočlen, Príkld. Deľte mnohočlen jednočlenom Rozkld výrzov vnímním 9 Pretože všetk tri člen výrzu sú deliteľné výrzom, tk tento výrz udeme vnímť pred zátvorku Príkld. Rozložte n súčin výrz 8 6. Njvhodnejším spoločným deliteľom všetkýh troh sčítnov je 9, potom pltí: Príkld. Rozložte n súčin: ) 6 ) 9 0 ) mn m n 8 d) 0 7 e) 9 9 f).7 Rozkld výrzov pomoou vzorov 6

27 Príkld. Rozložte n súčin 9 v ktorom neh =, = Použijeme vzore Dostneme: 9 Príkld. Rozložte n súčin 9 Použitím vzor, v ktorom =, =, dostneme: 9 Príkld. Rozložte n súčin 6 8 Použitím vzor =, =, dostneme:, v ktorom 8 6 Príkld. Rozložte n súčin Použitím vzor, v ktorom =, = dostneme rozkld: 7

28 Lomené výrz Príkld. Určite, ked mjú zmsel výrz: ) ) ) 7 ( 0) ( 0) 7,.9 Úprv lomenýh výrzov Príkld. Kráťte lomené výrz určite podmienk, pri ktorýh mjú výrz zmsel ) - čitteľ j menovteľ s djú deliť číslom premennou :, výrz má zmsel k 0 : 8 ) - njskôr si čitteľ uprvíme, vňtím pred zátvorku, n súčin 8 - čitteľ j menovteľ s djú deliť číslom premennou, výrz má zmsel, k 0, 0 6 8

29 ) r s r s - njskôr si čitteľ j menovteľ rozložíme n súčin, čitteľ vňtím pred zátvorku menovteľ podľ vzor ( + ) r s r s r s r s - čitteľ j menovteľ s djú deliť výrzom r + s r s r s r sr s r s, výrz má zmsel, k r - s, s - r Rozšíriť lomený výrz znmená vnásoiť čitteľ j menovteľ tým istým číslom leo výrzom okrem nul. Podmienk, pre ktoré má dný výrz zmsel určujeme vžd z menovteľ uprveného n súčin. Príkld. Rozšírte dné lomené výrz výrzom v zátvorke určte, ked mjú výrz zmsel ) nesmieme zudnúť, že elého menovteľ máme rozšíriť výrzom, preto si dáme menovteľ do zátvork, výrz má zmsel, k 0, - ) opäť nesmieme zudnúť, že elého menovteľ máme rozšíriť elým výrzom -, preto dáme menovteľ j výrz - do zátvoriek, výrz má zmsel, k ±, ± Príkld. Doplňte lomený výrz tk, pltil rovnosť určite podmienk, ked má výrz zmsel? 9

30 čitteľ sme n výrz rozšírili výrzom ( + ), preto s hodnot lomeného výrzu nezmenil, musíme j menovteľ rozšíriť tým istým výrzom ( + ),, výrz má zmsel, k 0, -.0 Výpočet hodnot výrzu Príkld. Vpočítjte hodnotu dnýh lgerikýh výrzov pre dné hodnot premennýh: ) V() = pre = ; ) V()= ( 8) pre = 7;, ) V() = V( ) = ) V(7) = ( 7 8) =.( 8) =.6 = 8 V(,) = (, 8) =.( 8) =.(-) = 9 Príkld. Určite hodnotu výrzu pre dné číselné hodnot premennýh: 0

31 ). pre, ) z z z pre,, z ) ) 6 Príkld. Oeľový ingot má tvr kvádr s rozmermi 60 mm, 600 mm 700 mm. Hustot oele ingotu je 6 00 kg.m -. Vpočítjte hmotnosť ingotu. (09, kg). Zložené lomené výrz Príkld. Vpočítjte: podmienk riešiteľnosti: - 0 Príkld. Vpočítjte:

32 ) ) 0 s s s s s s ) ), ) 0,, 0 s s s ) 7,, 7 6 7

33 . Vzťh, funkie, tuľk digrm. Lineárn rovni, Riešenie lineárnh rovní Príkld. Riešte rovniu - = Skúšk správnosti: Ľ = - = 0 - = 7 P = 7 Ľ = P Ted množin riešení dnej rovnie je P = {}. / / : Príkld. Riešte rovniu - 7 = + 9 Skúšk: Ľ = 7 9 / P = 9 9 Ľ = P 6 Ted množin riešení dnej rovnie je P = { }. / :

34 . Lineárne rovnie s neznámou v menovteli zlomku Príkld. Riešte rovniu vkonjte skúšku správnosti určíme podmienk, pre ktoré mjú menovtele zmsel riešime rovniu pomoou ekvivlentnýh úprv 6 / / Porovnáme, či koreň rovnie vhovuje podmienkm určeným n zčitku - = -6 koreň rovnie vhovuje podmienke Vkonáme skúšku správnosti, v ktorej do zdni rovnie si z neznámu dosdíme koreň, ktorý nám všiel ĽS: PS:

35 ĽS = PS P 6 Príkld. Riešte rovniu Podmienk u Riešenie rovnie u u u u u u u / u u Porovnním koreň s podmienkou zistíme, že oor prvdivosti je prázdn množin. P. Vjdrenie neznámej zo vzor Príkld. V trojuholníku ABC poznáme strnu = m jeho osh S = 0 m. Vpočítjte výšku n strnu. pretože poznáme osh trojuholník, použijeme vzore n jeho výpočet S v vzore si uprvíme v S / S v S v terz do uprveného vzor dosdíme vpočítme výšku

36 v S 0 Výšk v trojuholníku ABC je m. Príkld. Zo vzor n výpočet oshu lihoežník vjdrite zákldňu. osh lihoežník vpočítme podľ vzor vzore uprvíme: S S S S v S v S v v v v / : / v / v Príkld. Určite, v kej hĺke je poklop ponork, ktorá je v mori, k nň pôsoí hdrosttiký tlk, kp. Hustot morskej vod je 0 kg/ m, grvitčná konštnt g = 0 N/ kg. hdrosttiký tlk vpočítme podľ vzor p h g h vzore uprvíme: p h g h / : g p h g h 6

37 do uprveného vzťhu dosdíme vpočítme poždovnú hĺku, pričom všk nesmieme zudnúť premeniť tlk v kilopsloh n psl, kp = 00 P ph h g Poklop ponork je v hĺke 0 m. Príkld. Z dnýh vzorov vjdrite neznáme veličin uvedené v hrntej zátvorke ) V r r ) E k m v m,v ) m t t m t t. Riešenie úloh Príkld. Riešte rovniu Príkld. Riešte rovniu P R P Príkld. Vjdri zo vzor: ) pre mehnikú práu: W = F. s silu F 7

38 ) pre výpočet oshu kosoštvor ) pre hustotu m V hmotnosť m u u S uhlopriečku u d) pre povrh kok: S = 6 dĺžku hrn e) povrh vl: S = πr(r + v) veľkosť výšk v f) osh lihoežník: S v g) pre osh trojuholník ABC zákldňu S polomer opísnej kružnie r r h) pre osh kruhu: S = πr polomer kruhu Príkld. Keď zväčšíme dvojnásook čísl o jeho poloviu, dostneme trojnásook tohto čísl zmenšeného o dve. Ktoré je to číslo? () Príkld. Pozorne si pozrite riešenie nsledujúej rovnie: P. Zdôvodnite, prečo uvedený koreň rovnie nie je správn.. Lineárne rovnie s solútnou hodnotou Príkld. Riešte v R rovniu : = 8. 8

39 Určíme nulové od výrzov + -. Ted zistíme, pre ktoré hodnot premennej s + = 0 - = 0. Oznčíme = -, = ( < ). Množin R je nimi rozdelená n intervl : I = (-, - ), I = < -, >, I = (, +), n ktorýh je možné dnú rovniu s solútnmi hodnotmi uprviť n rovnie ez solútnh hodnôt. Stčí určiť znmienk ľuovoľnýh hodnôt dvojčlenov +, - vo vnútri intervlov I, I, I :,(-, -), (-, ), (, +) (-, -) (-, ) (, +) = = =8 = - I 8 ++-=8 = I K = {-} K = K = {} Výsledok: K = K K K = {, -} Grfiká metód : Niektoré rovnie môžeme riešiť tk, že zostrojíme grf funkie n ľvej strne rovnie grf funkie n prvej strne rovnie. X-sové súrdnie priesečníkov grfov sú koreňmi rovnie. Príkld. Riešte v R rovniu : - = +. Zostrojíme grf funkií f : = - g : = +. Súrdnie ih priesečníkov sú korene dnej rovnie. Postupnosť zostrojovni grfov :. Zostrojíme grf funkie f : = -. Zostrojíme grf funkie f : = -. Zostrojíme grf funkie f : = +. Zostrojíme grf funkie f : = + Riešením sú priesečník grfov funkií f f. 9

40 .6 Lineárne nerovnie Príkld : Riešte nerovniu s neznámou R / / 6 6 / / : 6 Ted množin riešení dnej nerovnie je P =, Príkld. Riešte nerovnie s neznámou ϵ R: ).., 6 ) 69, ). 6. 0,,, 0

41 .7 Sústv lineárnh nerovní Sústvu nerovní s jednou neznámou nzývme dve vi nerovní s premennou, ktoré mjú pltiť súčsne. Riešime ih tk, že kždú nerovniu vriešime smosttne elkové riešenie sústv určíme ko prienik riešení jednotlivýh nerovní. Príkld. Riešte sústvu nerovní s premennou ϵ R 7 8 Njskôr vriešime prvú nerovniu P 6, Smosttne vriešime j druhú nerovniu P 8, / / Množinu všetkýh koreňov sústv tvorí prienik P P /. / : / 7 / P P,, 6, 8

42 Príkld. Riešte sústvu nerovní s premennou ϵ R 7, 6 9,.8 Lineárne nerovnie v súčinovom tvre Vpočítjte Príkld. nerovniu : ( - ).( + ) > 0 Postup: I. Metódou nulovýh odov Nulové od : ( - ) = 0 ( + ) = 0 NB = {-;} = = (- ;- ) < 0 0 < 0 ( - ).( - ) = ( + ) 0 (- ; ) 0 - < 0 0 > 0 ( - ).( + ) = ( - ) 0 ( ; ) 0 - >0 + 0 > 0 ( + ).( + ) = ( + ) Riešením nerovnie je: K = (- ;-) (; ) II. Anlýzou úloh ( - ).( + ) > 0 [ > 0 + > 0] [ < 0 + < 0] [ > > -][ < < -] [(; )] [(- ;-)]

43 Riešením nerovnie je: K = (- ;-) (; ) Pri nlýze postupujeme:. ( - ).( + ) > 0 [ > 0 + > 0] [ < 0 + < 0]. ( - ).( + ) 0 [ 0 + 0] [ 0 + 0]. ( - ).( + ) < 0 [ > 0 + < 0] [ < 0 + > 0]. ( - ).( + ) 0 [ 0 + 0] [ 0 + 0] Príkld. Riešte nerovnie s neznámou ϵ R: ) 6 0 ) 7 > 0 7 ), 6, ),.9 Lineárne nerovnie v podielovom tvre Príkld. Vpočítjte nerovniu : ( - 6):( - ) 0 D = R {} 6 ( v tvre zlomku 0 Postup: ) I. Metódou nulovýh odov Nulové od : ( - 6) = 0 ( - ) = 0 NB = {; 6} = 6 = (- ; ) -0-6 < > 0 ( - ).( + ) = ( - )

44 (; 6) - 6 < 0 < 0 ( - ).( - ) = ( + ) 0 (6; ) 0-6 > 0-0 < 0 ( + ).( - ) = ( - ) Riešením nerovnie je: K = (- ; ) 6; ) -D II. Anlýzou úloh ( - 6) : ( - ) 0 [ < 0] [ > 0] [ 6 > ] [ 6 < ] [6; )] [(- ;)] Upozornenie: nulou s nedá deliť, preto sú pri deliteľovi ostré nerovnosti. Riešením nerovnie je: K = (- ; ) 6; ) Pri nlýze postupujeme:. ( - 6) : ( - ) 0 [ < 0] [ > 0]. ( - 6) : ( - ) 0 [ > 0] [ < 0]. ( - 6) : ( - ) > 0 [ - 6 > 0 - > 0] [ 6 < 0 - < 0]. ( - 6) : ( - ) < 0 [ - 6 > 0 - < 0] [ 6 < 0 - > 0] Príkld. V oore reálnh čísel riešime nerovniu: 0 0 P,. Uvedený postup riešeni nerovnie nie je správn. Vsvetlite prečo. Príkld. Riešte nerovnie v podielovom tvre

45 ) > 0 ) 0 9 ) ),; ),;, ),7;.0 Sústv dvoh lineárnh rovní s dvom neznámmi Príkld. Riešte sústvu rovní s neznámmi, R. Z prvej rovnie si vjdríme npríkld neznámu : Výrz, ktorý sme získli dosdíme do druhej rovnie z neznámu : Získli sme lineárnu rovniu s jednou neznámou, ktorú vriešime: / / : / /

46 Získnú neznámu dosdíme do uprvenej prvej rovnie vpočítme neznámu : 9 7 Skúšku správnosti uroíme dosdením vpočítnýh hodnôt neznámh do oidvoh rovní: Ľ = 7 9 Ľ = P = P = Ľ = P Ľ = P Riešením sústv je usporidná dvoji [; ] = [7; ]. Príkld : Riešte sústvu rovní s neznámmi, R dosdzovou metódou. Sčíti (dičná) metód: Táto metód spočív v tom, že kždú rovniu po úprve n zákldný tvr, npríkld + = vhodne násoíme tk, po sčítní ooh rovní jedn neznám vpdl. Tkto dostneme rovniu s jednou neznámou, ktorú vriešime. Pri čistej sčítej metóde to isté vkonáme i s druhou neznámou. V pri je čsto vužívná kominái sčítej dosdzovej metód, čiže jednu neznámu určíme sčítou metódou druhú dosdením už známej hodnot do niektorej z rovní. Príkld : Riešte sústvu rovní d 7d s neznámmi, d R komináiou sčítej dosdzovej metód. Porovnávi (komprčná) metód: Táto metód spočív v tom, že z ooh rovní si vjdríme tú istú neznámu. 6

47 Získné výrz porovnáme tk dostneme rovniu s jednou neznámou, ktorú vriešime. Následne dosdením vpočítme i druhú neznámu. Príkld : Riešte sústvu rovní s neznámmi, R. Z prvej rovnie si vjdríme npr. neznámu : / Z druhej rovnie si vjdríme tiež neznámu : / : / Keďže s rovnjú ľvé strn ooh rovní, tk s rovnjú i prvé strn týhto rovní, tkže vtvoríme rovniu P=P, ktorú vriešime: / / Získnú hodnotu premennej dosdíme npríkld do uprvenej druhej rovnie: = + = 7 Skúšku správnosti uroíme dosdením vpočítnýh hodnôt neznámh do oidvoh rovní podone ko v príklde. Riešením dnej sústv je usporidná dvoji [; ] = [7; ]. 7