Objem a povrch ihlanov
|
|
- Δάμαλις Μιαούλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 M-Te-0-T List 1 Objem povrch ihlnov RNr. Mrián Mcko U: ko by si chrkterizovl n-boký ihln? Ž: Ihln je teleso, ktoré je určené jednou význčnou stenou vrcholom, ktorý v rovine tejto steny neleží. U: ýznčnú stenu nzývme podstv ihln. Podstvou n-bokého ihln je n-uholník. rchol ihln, ktorý neleží v rovine podstvy, nzývme hlvný vrchol. Zvyčjne ho oznčujeme symbolom. Koľko vrcholov má n-boký ihln? 4 3 n 1 n 1 Ž: Jeden hlvný vrchol n vrcholov v podstve. Čiže, n-boký ihln má spolu n + 1 vrcholov. U: Tký istý je j počet jeho stien. Okrem podstvy má j n bočných stien. ú nimi npríkld trojuholníky 1, 3, lebo n 1. Ž: pomínm si, že okrem vrcholov stien, má ihln j hrny. ú to úsečky, ktoré tvori strny stien ihln. U: Možno ich chápť ko priesečnice stien ihln. k zoberieme dve bočné steny, tk ich prienikom získme bočné hrny ihln. Npríkld 1, lebo n. Ž: Osttné hrny nzývme podstvné? U: Áno. trny podstvy ihln nzývme podstvné hrny ihln. zniknú ko prienik podstvy bočných stien ihln. ymenuj niekoľko podstvných hrán ihln n obrázku. Ž: ú to npríkld hrny 1, 3 iné. Ihln má n podstvných hrán. U: Pripomenieme si ešte niekoľko špeciálnych prípdov ihlnov. Podstv kolmého ihln musí mť stred súmernosti zároveň primk musí byť kolmá n rovinu podstvy. Ž: hcete povedť, že v prípde kolmého ihln nemusí byť podstvou prvidelný n-uholník?
2 M-Te-0-T List v b U: Nie, nemusí. Podstvou môže byť npríkld obdĺžnik, lebo priesečník uhlopriečok je jeho stredom súmernosti. ôležité je, by úsečk spájjúc tento bod s hlvným vrcholom ihln bol kolmá n rovinu podstvy. Ž: ko s ted nzývjú tké ihlny, ktorých podstv je prvidelný n-uholník. U: Máš zrejme n mysli prvidelné n-boké ihlny. le okrem prvidelného n-uholník, ktorý je ich podstvou, musi mť rovnko dlhé bočné hrny. E F Ž: h! Zčínm chápť rozdiel medzi kolmým prvidelným ihlnom. Nie je to len v podstve, le j v bočných stenách. očnými stenmi prvidelného ihln sú zhodné rovnormenné trojuholníky. prípde kolmého ihln trojuholníky nemusi byť zhodné. U: Máš prvdu. Porovnj ešte rz predchádzjúce dv obrázky. Ž: Mohli by ste mi ešte vysvetliť pojem štvorsten? U: Pojem štvorsten je ib iné pomenovnie pre trojboký ihln.
3 M-Te-0-T List 3 Ž: h! Trojboký znmená, že podstvou je trojuholník. le j bočné steny sú trojuholníky. Štvorsten má ted štyri steny. U: mozrejme. Štvorsten je teleso s njmenším počtom stien. To odráž j smotné pomenovnie teles. keďže všetky steny sú trojuholníky, tk podstvou môže byť ktorákoľvek z nich. ieš čím s vyznčuje prvidelný štvorsten? Ž: šetky jeho steny musi byť zrejme rovnostrnné trojuholníky. U: k sú všetky steny prvidelného štvorsten rovnostrnné trojuholníky, tk s dá veľmi jednoducho vyjdriť jeho povrch. Ide o súčet obshov všetkých jeho stien. Ž: Máte prvdu. tčí vyjdriť obsh jedného rovnostrnného trojuholník. elkový povrch prvidelného štvorsten bude štvornásobkom tohto obshu. = 4. U: N vyjdrenie obshu rovnostrnného trojuholník potrebujeme dĺžku strny výšku v n túto strnu. v 0 Ž: yužijem Pytgorovu vetu v prvouhlom trojuholníku 0. Prepon má dĺžku odvesn 0 je polovicou strny. Preto pltí ( ) v =. Umocním odrátm. poločným menovteľom je číslo 4. v = 4 4 = 3 4.
4 M-Te-0-T List 4 U: Pre výšku n strnu po odmocnení dostávme v = 3. Obsh jednej steny preto bude čo vieme uprviť n tvr yjdri povrch prvidelného štvorsten. = v = = Ž: Obsh trojuholník vynásobím štyrmi. Povrch bude vyjdrený v tvre, = 4 = = 3. U: tomto špeciálnom prípde ihln s jeho povrch dá celkom jednoduchým spôsobom vyjdriť pomocou dĺžky jeho hrny. Povrch ihln vo všeobecnosti je všk dný vzorcom = p + pl, kde p je obsh podstvy pl obsh plášť. Ž: Pod plášťom máte n mysli zjednotenie všetkých trojuholníkov, ktoré sú bočnými stenmi ihln? U: Máš prvdu. Npríkld, v prípde prvidelného n-bokého ihln, to bude zjednotenie n zhodných rovnormenných trojuholníkov. Ž: ko to je s objemom ihln? iem, že s vypočít podľ vzorc = 1 3 pv, kde p je obsh podstvy v je telesová výšk. Prečo je vo vzorci jedn tretin? U: Jedn tretin vo vzorci súvisí s tým, že hrnol s dá rozložiť n tri neprekrývjúce s ihlny. ôležité je by kždý z ihlnov ml rovnký objem. Keďže objem hrnol je = p v, objem jedného ihln bude tretinou objemu hrnol. Ž: Tk, to si neviem predstviť. ko dáte do hrnol tri rovnké ihlny? U: Ukážeme si to n kocke. ytvoríme v nej tri štvorboké ihlny. Hlvným vrcholom všetkých ihlnov bude vrchol F kocky. Jeden z ihlnov bude mť z podstvu dolnú stenu kocky, druhý zse ľvú bočnú stenu kocky pre posledný bude podstvou zdná sten kocky. Pozri n obrázok.
5 M-Te-0-T List 5 H G H H G E F E F F F Ž: Zujímvé. ostli sme tri štvorboké ihlny F, HEF HGF. Je prvd, že mjú rovnké podstvy. To preto, lebo sú to štvorce, HE HG. le mjú rovnké j telesové výšky? U: ko vieme, telesová výšk ihln je vzdilenosť jeho hlvného vrcholu od roviny podstvy. ihlne F je telesovou výškou hrn F, lebo je kolmá n podstvu. osttných dvoch ihlnoch urč telesové výšky sám. Ž: Jsné! tčí pozerť n obrázok kocky. Hrn EF je preds kolmá n ľvú bočnú stenu kocky, preto bude výškou v ihlne HEF. poslednom ihlne HGF je telesovou výškou hrn F G. To preto, lebo táto hrn je kolmá n zdnú stenu kocky. U: Kždá z týchto telesových uhlopriečok má dĺžku, ktorá je rovnká ko dĺžk hrny kocky. Uvžovné tri štvorboké ihlny mjú ted zhodné podstvy telesové výšky. ú zhodné. Lenže zhodné telesá mjú rovnký objem, preto je objem jedného z ihlnov tretinou objemu kocky. Ž: á s táto fint využiť j pre iné hrnoly ko kock? U: Áno, le nemusí to byť ž tké jednoduché. Pre teb je všk dôležitejšie, vedieť použiť vzorec n výpočet objemu ihln v rôznych úlohách. Ž: zorec pre objem hrnol je = p v. udem si ted pmätť, že do hrnol s zmesti tri ihlny s rovnkým objemom. Preto s objem ihln s rovnkou podstvou ko je podstv hrnol s rovnkou telesovou výškou vypočít podľ vzorc = 1 3 pv.
6 M-Te-0-1 List 6 Príkld 1: ypočítjte objem povrch prvidelného štvorbokého ihln, k jeho podstvná hrn má dĺžku = 10 cm telesová výšk v = 1 cm. U: zorec n výpočet objemu ihln je = 1 3 pv. Telesovú výšku v poznáš. ko vypočítš obsh p podstvy prvidelného štvorbokého ihln? Ž: k je ihln prvidelný štvorboký, tk jeho podstvou je štvorec so strnou zdnej dĺžky. Obshom podstvy bude preto obsh štvorc p =. Po dosdení do vzorc pre objem dostávm = 1 3 pv = 1 3 v. U: tčí dosdiť zdné číselné hodnoty. Preto pltí opočítj. = Ž: Umocním po krátení čísel tri dvnásť zostne číslo štyri. = = = 400 cm 3. Objem ihln je 400 centimetrov kubických. U: Pre povrch ihln pltí vzorec = p + pl, kde pl je obsh plášť. Máš predstvu, z čoho pozostáv plášť prvidelného štvorbokého ihln? v
7 M-Te-0-1 List 7 Ž: Plášťom je zjednotenie bočných stien ihln. nšom prípde to budú štyri zhodné rovnormenné trojuholníky. Jedným z nich je trojuholník. U: Pre obsh plášť pltí pl = 4. ypočítť obsh rovnormenného trojuholník by pre teb neml byť problém. Ž: Použijem vzorec = zv z. Zákldňou je podstvná hrn ihln. le nepoznám výšku v bočnej stene. v v z U: ypočítš ju z prvouhlého trojuholník, kde je stred podstvy ihln bod je stredom hrny. Ž: Terz to už nebude problém. Poznám obe odvesny. Odvesn je telesovou výškou ihln úsečk je polovicou podstvnej hrny. Potrebujem vypočítť preponu, preto využijem Pytgorovu vetu U: Po dosdení číselných hodnôt dostávme opočítj. Ž: Čísl umocním ( ) vz = v +. v z = v z = , sčítm odmocním. ýšk n zákldňu v rovnormennom trojuholníku bude mť veľkosť v z = 169 = 13 cm.
8 M-Te-0-1 List 8 U: Úsečk je skutočne výškou, lebo trojuholník je rovnormenný so zákldňou bod je stredom tejto zákldne. Terz už máme všetky hodnoty n to, by sme vypočítli povrch. Ž: o vzorci pre povrch ihln = p + pl nhrdím obsh podstvy vyjdrením p =. Obsh plášť vyjdrím v tvre le zákldň z je vlstne hrn. U: Povrch ihln bude preto vyjdrený v tvre osď číselné hodnoty dopočítj. pl = 4 = 4 zv z = zv z. = + v z. Ž: osdím hodnoty = 10 cm v z = 13 cm. ostávm = = = 360 cm. U: Povrch ihln je 360 centimetrov štvorcových.
9 M-Te-0- List 9 Príkld : ypočítjte objem prvidelného štvorbokého ihln, k jeho podstvná hrn má dĺžku = 4 cm. Odchýlk bočnej hrny ihln od roviny podstvy je 60 stupňov. U: Čo potrebuješ poznť, by si vypočítl objem hrnol? Ž: Potrebujem obsh podstvy p telesovú výšku v. To preto, lebo objem ihln vypočítm podľ vzorc Nepoznám všk telesovú výšku. = 1 3 pv. U: obsh podstvy prvidelného štvorbokého ihln by si vedel vypočítť? Ž: Toto nie je problém. Podstvou ihln je štvorec so strnou = 4 cm, preto obsh podstvy vypočítm podľ vzorc p =. U: Pri výpočte telesovej výšky v ihln využijeme zdný uhol. ieš povedť, ktoré primky zvierjú uhol určujúci odchýlku bočnej hrny ihln od roviny podstvy? Ž: pomínm si, že uhol medzi primkou rovinou určím ko uhol medzi zdnou primkou jej kolmým priemetom do roviny. Ted zdný uhol by ml byť pri vrchole v trojuholníku. U: Teoreticky si to sformulovl správne, le uhol nie je zdnou odchýlkou. Uvžuj trochu. by si dostl kolmý priemet bočnej hrny, potrebuješ kolmé priemety jej dvoch bodov. Myslím si, že s bodom nebudeš mť problém. Ž: Tento bod leží v rovine podstvy, ted s zobrzí sám do seb. Jsné! Už viem kolmo premietnuť j bod. Telesová výšk je kolmá n rovinu podstvy, preto kolmým priemetom bodu bude stred podstvy ihln. U: To znmená, že odchýlkou bočnej hrny od roviny podstvy je uhol. Podľ zdni má veľkosť 60 stupňov. Ml by si ešte vyjdriť dĺžku úsečky. yuži prvouhlý rovnormenný trojuholník.
10 M-Te-0- List Ž: yužijem Pytgorovu vetu = +. Obe odvesny mjú dĺžku = 4 cm, preto túto hodnotu dosdím čísl umocním. ostávm = = = 3. U: Uhlopriečk podstvy bude mť dĺžku = 3. Číslo 3 s dá čistočne odmocniť, lebo je súčinom čísl 16 čísl. Odmocnin z čísl 16 je číslo 4, preto pltí = 4. Ž: Úsečk je polovicou uhlopriečky. To znmená, že =. U: Terz už v prvouhlom trojuholníku, s prvým uhlom pri vrchole, poznáme uhol dĺžku priľhlej odvesny k tomuto uhlu. Ide o úsečku. Telesová výšk ihln je v tomto trojuholníku protiľhlou odvesnou k zdnému uhlu. v 60
11 M-Te-0- List 11 Ž: Pomerom protiľhlej priľhlej odvesny je dná funkci tngens pre ostrý uhol α. Pltí tgα = v. k rovnicu vynásobím dĺžkou strny, dostnem telesovú výšku v = tgα. U: osdíme = využijeme, že hodnot funkcie tngens pre uhol 60 stupňov je rovná číslu 3. Ž: Preto pltí á s tento výsledok nejko uprviť? v = tg60 = 3. U: účin odmocnín z dvoch čísel je odmocninou zo súčinu týchto čísel. nšom prípde má telesová výšk dĺžku v = 6. Môžeš dopočítť objem ihln. Ž: o vzorc = 1 3 v dosdím hodnoty = 4 cm v = 6 cm. ostávm U: Objem ihln je = = centimetrov kubických. cm 3.
12 M-Te-0-3 List 1 Príkld 3: yjdrite objem povrch prvidelného štvorsten, k je dná dĺžk jeho hrny. U: Objem prvidelného trojbokého ihln vypočítme podľ vzorc = 1 3 pv, kde p je obsh podstvy v telesová výšk. kým geometrickým útvrom je podstv? Ž: Podstvou, le j bočnými stenmi sú rovnostrnné trojuholníky so strnou dĺžky. Preto obsh podstvy vypočítm ko obsh trojuholník p =. U: trojuholníku poznáme dĺžku strny. Potrebujeme vyjdriť výšku v n túto strnu. 1 v Ž: Pre prvouhlý trojuholník 1 zpíšem Pytgorovu vetu. od 1 je stredom strny, lebo výšk v rovnostrnom trojuholníku je zároveň j ťžnicou. Preto je dĺžk úsečky 1 rovná polovici strny. ( ) v =. U: ýšku dostneme po odmocnení. ýrz pod odmocninou uprvíme tk, že njskôr umocníme zlomok potom odčítme. Ted ob členy uprvíme n spoločného menovteľ, čo je číslo štyri.
13 M-Te-0-3 List 13 ( ) v = = 4 4 = 4 = 3 4. Ž: Menovteľ zlomku výrz v čitteli s djú odmocniť. Pre výšku n strnu dostávm v = 3. U: Môžeme ted vyjdriť obsh podstvy. Ž: osdím do vzorc pre obsh trojuholník p = = v = 3 = 3 4. U: Telesovú výšku vyjdríme z prvouhlého trojuholník T, kde T je ťžisko v podstve štvorsten. v 1 T 1 Ž: Prečo ste zobrli práve ťžisko? U: Telesovou výškou má byť úsečk kolmá n rovinu podstvy. Ťžisko rovnostrnného trojuholník je kolmým priemetom bodu do roviny podstvy. To preto, lebo trojuholníky T, T T sú zhodné. Jednou ich strnou je bočná hrn štvorsten, druhou strnou čsť ťžnice tretiu strnu mjú spoločnú. yplýv to z toho, že štvorsten je prvidelný. Ž: h! Máte prvdu. Mýlilo m to, lebo j som uvžovl nd priesečníkom výšok v podstve. Ťžisko ortocentrum v rovnostrnnom trojuholníku preds splývjú. U: Týmto si zároveň nznčil myšlienku, ko určiť dĺžku strny T. ieme, že ťžisko rozdeľuje ťžnicu n dve čsti v pomere 1 :. Ž: Úsečk T predstvuje dve tretiny ťžnice.
14 M-Te-0-3 List 14 U: keďže ťžnic je zároveň výškou, môžeme využiť už nmi vyjdrenú dĺžku výšky v n strnu. ostávme T = 3 v = = 3, lebo dvojky s vykráti. v T Ž: prvouhlom trojuholníku T už poznám dve strny. Prepon má dĺžku dĺžku odvesny T sme terz vypočítli. Telesovú výšku v vypočítm využitím Pytgorovej vety. Pltí v = T. U: osdíme z dĺžku strny T výšku vypočítme po odmocnení. ostávme ( ) v = 3 = = 3 6 = 9 9. Umocnili sme jednotlivé členy uprvili zlomky n spoločného menovteľ. tomto prípde je to číslo 9. Ž: čitteli môžem odmocniť druhú mocninu hrny odmocnin z čísl deväť v menovteli je číslo tri. 6 6 v = 9 = 3. U: šetky potrebné veličiny n určenie objemu štvorsten sme vyjdrili pomocou dĺžky hrny. Preto objem štvorsten vyjdríme v tvre Pokrčuj v úprvách výrzu. = 1 3 pv =
15 M-Te-0-3 List 15 Ž: ýrz zjednoduším n jeden zlomok. menovteli bude číslo 36, lebo je súčinom čísel 3, 4 3, ktoré sú v menovteľoch zlomkov. účin odmocnín v čitteli npíšem ko jednu odmocninu, to zo súčinu čísel 3 6. Ted pod odmocninou bude číslo 18. čitteli bude nvyše treti mocnin dĺžky hrny, lebo je tm v súčine tri krát. = = U: Toto vyjdrenie s ešte dá zjednodušiť. Číslo 18 je súčinom čísel 9 dv. Preto ho čistočne odmocníme = = = Po vykrátení čísel 3 36 dostávme pre objem výsledný tvr = 3 1. Ž: To si mám pmätť? U: Nie, nemusíš. ol to úloh. Podsttné boli vyjdreni rôznych úsečiek, ktoré umožnili určiť telesovú výšku. yjdríme ešte povrch prvidelného štvorsten. Ž: Toto už bude jednoduchšie. Povrch vypočítm podľ vzorc = 4, lebo štvorsten má štyri rovnké steny. obsh trojuholník preds poznám. yjdrili sme ho pri určovní objemu. Preto ib dosdím výrz n prvej strne uprvím. 3 = 4 = 3. 4
16 M-Te-0-4 List 16 Príkld 4: yjdrite objem povrch prvidelného osemsten, k je dná dĺžk jeho hrny. U: Máš predstvu ko vyzerá prvidelný osemsten? Ž: Ml by mť osem stien, le ko vyzerá, to netuším. U: Predstv si, že by si podstvmi zlepil dv zhodné prvidelné štvorboké ihlny. k ihlny budú mť rovnké dĺžky bočných podstvných hrán, tk toto teleso bude prvidelný osemsten. U Ž: le potom mi stčí uvžovť ib jeden štvorboký ihln. Objem celého teles bude dvojnásobkom jeho objemu. =. U: Máš prvdu. yjdríme preto objem prvidelného štvorbokého ihln, ktorého všetky hrny mjú dĺžku. Čo k tomuto vyjdreniu potrebujeme? Ž: zorec n výpočet objemu je = 1 3 pv. Obsh p podstvy je druhá mocnin dĺžky hrny, lebo podstvou je štvorec. p =. Nepoznám všk telesovú výšku v. U: ko vieme, telesová výšk je úsečk určená hlvným vrcholom ihln stredom podstvy. Je to úsečk. ypočítme ju z prvouhlého trojuholník s prvým uhlom pri vrchole. To preto, lebo výšk je kolmá n podstvu. v
17 M-Te-0-4 List 17 Ž: ko to chcete urobiť, keď v tomto trojuholníku poznáme ib preponu dĺžky? U: ĺžk úsečky je preds polovicou uhlopriečky. tú vieme vypočítť z ďlšieho prvouhlého trojuholník. Ž: Jsné! Prvý uhol v tomto trojuholníku je pri vrchole obe odvesny mjú dĺžku podstvnej hrny. Preto pltí = + =. Uhlopriečk má dĺžku. U: Úsečk má polovičnú dĺžku. Terz môžeš vyjdriť telesovú výšku v. =. v Ž: Podľ Pytgorovej vety pltí v = = ( ) = 4. Zlomok som umocnil tk, že som umocnil zvlášť čitteľ j menovteľ. U: ýšku vyjdríme odmocnením. ýrz pod odmocninou uprvíme n spoločného menovteľ. Je ním číslo štyri potom niektoré členy odmocníme. ostávme v = 4 4 = = 4 4 =. Nič nám terz nebráni, by sme vyjdrili objem ihln. Ž: Objem prvidelného osemsten bude dvojnásobkom objemu prvidelného štvorbokého ihln, pričom objem ihln vyjdrím ko jednu tretinu zo súčinu obshu podstvy telesovej výšky. = = 1 3 pv. U: Obsh podstvy sme vyjdrili v tvre p = telesovú výšku v tvre v =. osď tieto hodnoty do vzorc pre objem.
18 M-Te-0-4 List 18 Ž: Po dosdení dostávm = 3 3 = 3, lebo dvojky s vykráti súčin druhej prvej mocniny premennej je jej treti mocnin. U: Poďme terz vyjdriť povrch osemsten. Ž: očnými stenmi sú rovnostrnné trojuholníky podstvou je štvorec. U: Pozor! Osemsten nemá podstvu. Má len osem zhodných bočných stien, čo sú rovnostrnné trojuholníky. Ž: h! Podstvy sme spolu zlepili. ú vo vnútri osemsten. udem ted počítť ib trojuholníky. yjdrím si preto výšku v n strnu v rovnostrnnom trojuholníku. ýšk rozdelí tento trojuholník n dv zhodné prvouhlé trojuholníky. Preponou je strn jedn z odvesien má polovičnú dĺžku ko prepon. v 1 U: Použijeme Pytgorovu vetu v tvre v = ( = ) 4 = 4 4 = 3 4. Zlomok sme umocnili členy uprvili n spoločného menovteľ. Ž: Odmocním dostnem stenovú výšku v = 3. U: Povrch osemsten je osemnásobkom obshu jedného rovnostrnného trojuholník. úfm, že vzorec n výpočet obshu trojuholník nie je problém.
19 M-Te-0-4 List 19 Ž: Obsh jedného trojuholník je = v. Pre povrch pltí = 8 = 8 v = 4v. Z výšku dosdím výrz 3 členy vynásobím = 4 3 = 3. U: Povrch osemsten s dá vyjdriť v tvre = 3.
20 M-Te-0-5 List 0 Príkld 5: očné hrny kolmého štvorbokého ihln mjú dĺžku h = dm zvierjú s rovinou podstvy uhol ϕ = 60. Podstvou ihln je obdĺžnik, ktorého uhlopriečky zvierjú uhol β = 60. ypočítjte objem kolmého štvorbokého ihln. U: šeobecný vzorec pre objem ihln je = 1 3 pv, kde p je obsh podstvy v telesová výšk. Nšou úlohou je njskôr zistiť rozmery podstvy veľkosť telesovej výšky. Čo znmená, že ihln je kolmý? Ž: Telesová výšk v tkomto ihlne spáj jeho hlvný vrchol so stredom podstvy. Podstvou je obdĺžnik, preto stredom podstvy bude priesečník uhlopriečok obdĺžnik. h h h ϕ b U: To znmená, že kolmým priemetom bodu do podstvy bude jej stred. keďže bod leží v podstve, tk kolmým priemetom bočnej hrny do podstvy je úsečk. Preto uhol pri vrchole v trojuholníku má veľkosť 60 stupňov. Ž: To viete odkiľ? U: Podľ zdni je známy uhol medzi bočnou hrnou rovinou podstvy. ieme, že tkýto uhol s určuje ko uhol medzi zdnou hrnou jej kolmým priemetom do roviny. to sme pred chvíľou urobili. Ž: obre. Terz už viem vypočítť veľkosť telesovej výšky. yužijem prvouhlý trojuholník s prvým uhlom pri vrchole. Poznám jeho preponu. Je to bočná hrn h ihln. Uhol veľkosti 60 stupňov je oproti telesovej výške. Preto použijem funkciu sínus sin ϕ = v h. U: Po vynásobení rovnice dĺžkou bočnej hrny h dostávme v = h sin ϕ. osď hodnoty. Ž: iem, že hodnot funkcie sínus pre uhol 60 stupňov je rovná reálnemu číslu pltí v = sin 60 = Telesová výšk ihln má veľkosť 3 dm Preto
21 M-Te-0-5 List 1 U: Ten istý trojuholník využijeme j n výpočet dĺžky úsečky. Ž: Táto úsečk je priľhlou odvesnou k zdnému uhlu, preto použijem funkciu kosínus. Pltí cos ϕ = h. k rovnicu vynásobím premennou h, získm dĺžku úsečky. = h cos ϕ U: osdíme tie isté zdné číselné hodnoty. Ďlej využijeme, že hodnot funkcie kosínus pre 60 stupňov je jedn polovic. Pre dĺžku strny dostávme Ž: Prečo sme počítli dĺžku úsečky? = cos 60 = 0, 5 = 1. 1 cm 60 b U: Potrebujeme ju k určeniu strán obdĺžnik, ktorý je podstvou ihln. od rozpoľuje uhlopriečky obdĺžnik. Preto úsečky mjú tiež dĺžku jedn. Ž: Zo zdni všk vieme, že uhlopriečky podstvy zvierjú uhol 60 stupňov. U: Ted trojuholník je rovnormenný, ktorého uhol oproti zákldni je 60 stupňov. okážeš určiť dĺžku strny? Ž: Ten trojuholník musí byť rovnostrnný. N zvyšné dv uhly pri zákldni, ktoré musi byť rovnké, zvyšuje 10 stupňov. Ted j uhly pri zákldni budú mť veľkosť 60 stupňov. j strny sú rovnké, preto = b = 1 dm. U: Zdôvodnil si to pekne. erím, že tkto zvládneš j výpočet strny obdĺžnik. yuži prvouhlý trojuholník. Ž: iem, že uhlopriečk je dvojnásobkom dĺžky úsečky. Má veľkosť dv decimetre. Poznám ešte jednu odvesnu b = 1 dm. ruhú odvesnu vypočítm pomocou Pytgorovej vety. ude v tvre = b = 1 = 3. trn podstvy má dĺžku 3 dm. U: Máme ted všetky údje n to, by sme konečne vypočítli objem.
22 M-Te-0-5 List Ž: Obsh podstvy bude vyjdrený súčinom dĺžok strán b obdĺžnik. Preto pre objem ihln pltí Po dosdení číselných hodnôt dostávm = 1 3 pv = 1 b v. 3 = le to je jedn, lebo odmocniny djú v súčine číslo tri trojky s vykráti. U: idíš. Koľko zložitých výpočtov výsledok je nkoniec tký jednoduchý. Objem kolmého štvorbokého ihln je jeden decimeter kubický.
23 M-Te-0-6 List 3 Príkld 6: Kocku s hrnou = 4 cm zrežeme v kždom vrchole rovinou určenou stredmi hrán vychádzjúcich z dného vrchol kocky. ypočítjte objem tkto vzniknutého teles. Ž: To teleso si neviem ni predstviť. U: Uvidíš, že riešenie úlohy nebude ž tké náročné. Zoberme si nskôr vrchol kocky. Máš predstvu, ko s odreže čsť z kocky pri tomto vrchole? H G E F Z Y X Ž: Rovin rezu má prechádzť stredmi hrán kocky, ktoré vychádzjú z vrchol. Ted stredmi hrán, F. Oznčím si ich X, Y Z. N kocke si rovinu predstvím ko trojuholník XY Z. U: tip tejto úlohy nie je v tom, ko vyzerá vzniknuté teleso, le čo z kocky týmto jediným odrezním odpdlo. Ž: Jsné! eď to isté urobíme ešte vo zvyšných siedmich vrcholoch. U: Áno, le odpovedz mi n otázku. ké teleso sme odrezli vo vrchole kocky? Ž: No, to teleso má štyri steny. Odrezli sme štvorsten XY Z. U: Štvorsten je vlstne trojboký ihln. Čo myslíš, ké budú odrezné štvorsteny v osttných vrcholoch kocky? Ž: Nič s nezmení. udú rovnké. U: Tkže, k by si vedel vypočítť objem tohto jedného štvorsten, vedel by si vypočítť j objem teles, ktoré z kocky zostne? Ž: Už mi tá fint npdl. Od objemu kocky odrátm osemnásobok objemu jedného štvorsten. U: elý problém je ted vo výpočte objemu trojbokého ihln XY Z. ko by si tento objem vypočítl? Pozri s ešte rz n obrázok kocky. Ž: Keď z podstvu zoberiem trojuholník XY Z, tk nebudem vedieť určiť telesovú výšku. U: prečo by podstvou trojbokého ihln XY Z nemohol byť trojuholník XY? Ž: Zdlo s mi, že to musí byť trojuholník XY Z, lebo je rovnostrnný.
24 M-Te-0-6 List 4 U: le kždá sten trojbokého ihln je trojuholník. Je jedno, ktorý z týchto trojuholníkov je podstvou. Z hľdisk určeni telesovej výšky je jednoduchšie zobrť z podstvu npríkld trojuholník XY. Ž: Jsné! Už to vidím. Telesovou výškou bude úsečk Z, lebo hrn F kocky je kolmá n jej dolnú podstvu. U: No vidíš. Pre telesovú výšku ihln preto pltí v = = cm, lebo bod Z je stredom hrny F. Ž: Tk to potom j dve strny v podstve mjú dĺžku rovnú polovici hrny kocky. Pltí X = Y = cm. U: Treb si ešte uvedomiť, že podstvou ihln je rovnormenný prvouhlý trojuholník XY s prvým uhlom pri vrchole. Preto s jeho obsh dá vyjdriť v tvre XY = X Y =. Jeden odrezný ihln má podstvu s obshom dv centimetre štvorcové. Ž: Objem teles je ted rozdiel objemu kocky osemnásobku objemu jedného ihln. Objem kocky je k = 3 objem ihln i = 1 3 pv. U: Preto pltí = k 8 i = XY v. Ž: Po dosdení číselných hodnôt dostávme = = U: Objem teles, ktoré zostne z kocky je Ž: Mohli by sme si výsledné teleso nčrtnúť? U: Prečo nie. = = centimetrov kubických. H G E F
25 M-Te-0-6 List 5 Ž: ko s to teleso nzýv. U: Prezrdím ti, že ptrí medzi mnohosteny. Nzýv s štrnásťsten. Ž: Preto, že má 14 stien? U: Áno. Osem stien má tvr rovnostrnného trojuholník, ktoré vznikli odrezním vrcholov kocky. Zvyšnými stenmi sú štvorce. Tie sú vpísné do stien kocky.
26 M-Te-0-7 List 6 Príkld 7: yjdrite objem prvidelného štvorbokého ihln, k je dná dĺžk jeho hrny uhol ϕ, ktorý zvier bočná sten ihln s rovinou podstvy. Ž: Nepochopil som celkom dobre zdnie úlohy. Uhol ϕ mám chápť ko uhol medzi bočnou hrnou podstvnou hrnou? U: Nie. Uhol medzi dvomi rovinmi s určuje ko uhol medzi dvomi primkmi, ktoré sú kolmé n priesečnicu dných rovín. Pritom jedn primk je z jednej roviny druhá primk z druhej roviny. Ž: Mohli by ste to vysvetliť n zdnej úlohe? U: Rozoberieme to spoločne. Čo je prienikom bočnej steny ihln jeho podstvy? Ž: Tieto steny ihln s pretínjú v úsečke. U: My všk vieme, že úsečk je zároveň zákldňou rovnormenného trojuholník, ktorý je bočnou stenou ihln. tejto stene potrebujeme určiť jednu primku, ktorá je n zákldňu trojuholník kolmá. Ž: Zoberieme výšku trojuholník z bodu n zákldňu? U: mozrejme. ýšk je preds kolmá n zákldňu trojuholník, ted j n priesečnicu dných dvoch rovín. Ž: h! Tk potom v podstve zoberiem primku prechádzjúcu stredom podstvy. Primk bude rovnobežná s prednou hrnou podstvy.
27 M-Te-0-7 List 7 v ϕ X U: Obe kolmice n hrnu mjú jeden spoločný bod. Je ním stred X tejto hrny. Preto uhol medzi bočnou stenou rovinou podstvy je uhol X. Jeho veľkosť je podľ zdni oznčená symbolom ϕ. Ž: Nčo nám bude tento uhol, keď máme vyjdriť objem ihln? U: šeobecný vzorec pre objem ihln poznáš? Ž: mozrejme. K výpočtu objemu potrebujem obsh podstvy telesovú výšku. zorec má tvr = 1 3 pv. Obsh podstvy viem vyjdriť v tvre p =, lebo podstvou je štvorec so strnou. U: Potrebuješ ešte vyjdriť telesovú výšku v. práve n to využiješ j zdný uhol. ĺžku jednej zo strán prvouhlého trojuholník X by si ml vedieť vyjdriť. Ž: trn X je polovicou hrny. v ϕ X
28 M-Te-0-7 List 8 U: prvouhlom trojuholníku X poznáme uhol priľhlú odvesnu. Telesová výšk je v tomto trojuholníku protiľhlou odvesnou. Odvesny trojuholník dáv do vzťhu funkci tngens. Pltí tgϕ = v X. Ž: Čiže telesová výšk bude v = tgϕ, lebo dĺžk úsečky X je rovná polovici strny. U: Terz už máme všetky informácie n to, by sme vyjdrili objem prvidelného štvorbokého ihln. Ž: Po dosdení dostávme = 1 3 pv = 1 3 tgϕ = tgϕ. Objem štvorbokého ihln je vyjdrený vzťhom = tgϕ.
29 M-Te-0-8 List 9 Príkld 8: ypočítjte povrch prvidelného štvorbokého ihln s objemom = 48 cm 3. ĺžky podstvnej hrny telesovej výšky ihln sú v pomere : v = 3 :. U: zorec n výpočet objemu ihln je = 1 3 pv, kde p je obsh podstvy v telesová výšk ihln. Ž: Podstvou je štvorec, lebo ihln je prvidelný štvorboký. Obsh podstvy s preto dá vyjdriť v tvre p =. Nepoznáme všk dĺžku podstvnej hrny. U: ypočítme ju zo zdného objemu ihln. Ž: ko, keď nepoznáme ni telesovú výšku? U: Poznáme všk pomer dĺžok týchto dvoch úsečiek, : v = 3 :. k rovnicu vynásobíme telesovou výškou v, tk dostneme vyjdrenie podstvnej hrny = 3v. Ž: Prečo ste násobili, keď je tm pomer? U: Pomer : v chápeme ko delenie, ted j zlomok. Preto s zdný pomer : v = 3 : dá prepísť do tvru v = 3. Ž: Rozumiem. Zdný pomer sme využili n vyjdrenie podstvnej hrny pomocou telesovej výšky. U: Presne tk. Objem ihln môžeme terz vyjdriť ib pomocou neznámej telesovej výšky. Pltí = 1 3 pv = 1 3 v = 1 ( ) 3v 3 v. Pokrčuj v úprve výrzu, ktorý vyjdruje objem ihln. Ž: Njskôr druhý zlomok umocním potom všetky členy vynásobím. ostávm = 1 3 9v 4 v = 9v3 1. U: Zlomok vykrátime tromi. Objem ihln terz vyjdríme v tvre = 3v3 4. U: Objem poznáš, vypočítj telesovú výšku. Ž: Objem je 48 centimetrov kubických. osdím získm rovnicu 48 = 3v3 4. Rovnicu vydelím číslom tri, vynásobím číslom štyri mám 64 = v 3. U: Telesová výšk má dĺžku 4 centimetre, lebo treti odmocnin z čísl 64 je číslo štyri.
30 M-Te-0-8 List 30 Ž: Čiže poznáme j dĺžku podstvnej hrny, lebo = 3v. k z telesovú výšku dosdím číslo štyri, tk pre podstvnú hrnu dostnem = 6 cm. U: Určili sme ztiľ dĺžky podstvnej hrny telesovej výšky ihln. Úlohou je všk vypočítť jeho povrch. zorec by neml byť problémom. Ž: Povrch ihln vypočítme podľ vzorc = p + pl. Obsh podstvy už máme, le pre obsh plášť budeme potrebovť výšku v bočnej stene ihln. U: Prečo? Ž: Plášť ihln tvori štyri rovnormenné trojuholníky,,, ktoré sú bočnými stenmi ihln. Obsh plášť je ted štvornásobkom obshu jedného trojuholník. Zákldňou je podstvná hrn, le výšku n túto strnu nepoznáme. v v U: ýšku bočnej steny vypočítme z prvouhlého trojuholník X s prvým uholom pri vrchole. od je stredom podstvy bod X je stredom hrny. Ž: Prečo ste zobrli bod X? U: Trojuholník je rovnormenný so zákldňou. ýšk n túto zákldňu je v rovnormennom trojuholníku zároveň ťžnicou. ťžnic spáj vrchol stred protiľhlej strny. Ž: Môžete ešte vysvetliť, prečo je v trojuholníku X prvý uhol pri vrchole? U: Úsečk je telesová výšk. Je kolmá n podstvu. Podľ definície kolmosti primky n rovinu je úsečk kolmá n kždú úsečku podstvy. Ted je kolmá j n úsečku X.
31 M-Te-0-8 List 31 v v X Ž: Terz je to už ľhké. prvouhlom trojuholníku X poznám obe odvesny, čo sú telesová výšk v = 4 cm polovic podstvnej hrny X = 3 cm. Preponu vypočítm podľ Pytgorovej vety. Pltí ( ) v = + v. Po dosdení odmocnení dostávm stenovú výšku v = = 5. tenová výšk má dĺžku päť centimetrov. U: Pre povrch ihln potom pltí = p + pl = + 4 = + 4 v = + v. Ž: iem, že = 6 cm v = 5 cm. Po dosdení do vzorc pre povrch dostávm = + v = = = 96 cm. U: Povrch prvidelného štvorbokého ihln je 96 centimetrov štvorcových.
Objem a povrch hranolov
M-Te-01-T List 1 Objem povrch hrnolov RNDr. Mrián Mcko U: ko by si chrkterizovl n-boký hrnol? Ž: Je to teleso, ktoré má dve význčné steny, ktorými sú zhodné n-uholníky. Leži v nvzájom rovnobežných rovinách.
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραAlgebraické výrazy I.
. Kontrolná prác z mtemtik 9. ročník A form Algebrické výrz I.. Zjednodušte zpíšte, ked výrz nemá zmsel : ) ( k ) s b) k k s s. Určte njmenší spoločný násobok výrzov : ) b ; b ; b) ; ; c) ; ;. Vpočítjte
Διαβάστε περισσότερα22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte
Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku
Ma-Go-01-T List 1 Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku RNDr. Marián Macko U: Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly. Dajú sa použiť v pravouhlom
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem zrezaného ihlana
Povrch a objem zrezaného ihlana Ak je daný jeden ihlan a zobereme rovinu rovnobežnú s postavou, prechádzajúcu ihlanom, potom táto rovina rozdelí teleso na dve telesá. Jedno teleso je ihlan (pôvodný zmenšený
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραMatematika NPS. Výraz. je pre všetky xy, R splňujúce podmienky. xy 0 rovný: (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) (E) Také čísla neexistujú.
Mtemtik NPS. n + n ( ) Postupnosť = =, n+ = =, n+ n = n je zhodná s postupnosťou:. Výrz + y y =, n+ = =, n+ = n +. n+ =, = n n Dávid hrá kždý všedný deň futbl v sobotu i v nedeľu chodí do posilňovne. Dnes
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem hranola
Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMa-Te-05-T List 1. Objem a povrch gule. RNDr. Marián Macko
Ma-Te-05-T List 1 Objem a povrch gule RNDr. Marián Macko U: Guľu a guľovú plochu môžeme definovať ako analógie istých rovinných geometrických útvarov. Ž: Máte na mysli kružnicu a kruh? U: Áno. Guľa je
Διαβάστε περισσότεραPríklady a úlohy z krivkových integrálov
Príkldy úlohy z krivkových integrálov Riešené príkldy Príkld Vypočítjme krivkový integrál prvého druhu ds, pričom y = {(, y) R : ; y = e + e }. Riešenie. rivk s dá prmetrizovť npr. nsledujúcim spôsobom
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch rotačného valca
Ma-Te-03-T List 1 Objem a povrch rotačného valca RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má valec prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný valec vznikne rotáciou, čiže otočením obdĺžnika
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραStereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2:
Stereometria 1. K úlohe č.1 v príklade vidíte sklenenú kocku, na ktorej je natiahnutý drôt. Vedľa vidíte 3 pohľady na túto kocku zhora, spredu a z pravého boku. Pre ďalšie kocky nakreslite takéto 3 pohľady.
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa
Ma-Te-06-T List 1 Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko U: Počul si už niekedy o zrezanom rotačnom kuželi? Ž: O rotačnom kuželi som už počul, ale pojem zrezaný
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραMatematika test M-2. M O N I T O R 2001 pilotné testovanie maturantov. forma A MONITOR EXAM, Bratislava. Realizácia projektu:
M O N I O R 00 pilotné testovnie mturntov MONIOR 00 Mtemtik test M- form A Odborný grnt projektu: Relizáci projektu: Štátn pedgogický ústv, Brtislv EXAM, Brtislv (00) Štátn pedgogický ústv EXAM Mtemtik
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GEOMETRIA V
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GEOMETRIA V Kužeľosečk kvdrtické ploch Ondrej Šedivý Dušn Vllo Vdné v Nitre 0 Fkultou prírodných vied Univerzit Konštntín Filozof v Nitre
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραLimity okolo nás. T (konečná) = 0, U (konečná) = mgr, max. max
Obsh Obsh Úvod 6 Limit okolo ás 7 Limit fukcie Limit rcioálch fukcií Limit ircioálch fukcií 8 5 Limit goiometrických cklometrických fukcií 5 6 Limit epoeciálch logritmických fukcií 7 Limit hperbolických
Διαβάστε περισσότερα5. Rovnice, nerovnice a ich sústavy
. Rovnice, nerovnice ich sústvy Rovnic istý druh výrokovej formy rozumieme pod ňou vzťh: f() = g(), riešiť rovnicu znmená určiť pre ktoré s z rovnice stáv prvdivá rovnosť ted prvdivý výrok. Koreň číselná
Διαβάστε περισσότερα4. POVRCH A OBJEM TELIES
Mgr. Mariana Sahajdová 4. POVRCH A OBJEM TELIES Obsah tematického celku: Povrch a objem kocky, kvádra a hranola Povrch a objem ihlana 4.1 Povrch a objem kocky, kvádra a hranola Základné pojmy povrch kocky
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραKonštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti
Ma-Ko-02-T List 1 Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti RNr. Marián Macko U: pomínaš si zo základnej školy na konštrukciu pravidelného šesťuholníka so stranou a dĺžky
Διαβάστε περισσότεραŠtátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
Štátny pedgogický ústv Pluhová 8 830 00 Brtislv CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY Brtislv 008 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené vo väčšine kpitol n čsti Obsh
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραMatematika Test M-1, 1. časť
M O N I T O R pilotné testovnie mturntov MONITOR Mtemtik Test M-,. čsť form A Odborný grnt projektu: Relizáci projektu: Štátn pedgogický ústv, Brtislv EXAM, Brtislv () Štátn pedgogický ústv EXAM Mtemtik
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραŠtátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY ÚROVEŇ B
Štátny pedgogický ústv, Pluhová 8, 830 00 Brtislv CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY ÚROVEŇ B Brtislv 004 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené vo väčšine kpitol
Διαβάστε περισσότερα6. Mocniny a odmocniny
6 Moci odoci Číslo zýve oceec (leo zákld oci), s zýv ociteľ (leo epoet) Číslo s zýv -tá oci čísl Moci s piodzeý epoeto pe ľuovoľé eále číslo pe kždé piodzeé číslo je v ožie eálch čísel defiová -tá oci
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B
. písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότερα9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,
9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky
Διαβάστε περισσότεραŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 009 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené n čsti Obsh Požidvky n vedomosti zručnosti. Tet
Διαβάστε περισσότεραČíslo 6 Letný semester 41. ročníka (2016/2017) vaši STROMisti. 10 p+q q p
Číslo 6 Letný semester 41. ročník (2016/2017) Jedlo zdrmo pre kždého, kto získl spoň 108 odov. Jeden y nepovedl ko rýchlo zehne ten čs pri riešení, le j oprvovní STROMu. Ani sme s nenzdli, kým sme stihli
Διαβάστε περισσότεραZlomky sčítanie, odčítanie. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník. 1. Vypočítajte : = d) ( ) Vypočítajte : a) 5 + =
1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník Zlomky sčítanie, odčítanie 1. Vypočítajte : 6 2 5 7 2 2 2 a) + + = c) + = 7 3 21 9 3 3 9 3 5 1 1 + + 1 = d) ( ) 5 + 3,7 + 1 4 15 6 = 2. Vypočítajte : a) 1 5 5
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραDefinícia funkcie sínus a kosínus
a-go-0-t List Definícia funkcie sínus a kosínus RNDr. arián acko U: Dnešnú podobu goniometrickým funkciám dal až v 8. storočí Leonard Euler. Skúmal ich hodnot ako čísla, nie ako úsečk, ako sa to robilo
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno - vzdelávací plán. Cvičenia z matematiky. pre 9. ročník
výchovno vzdelávací plán Cvičenia z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 1 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok:
Διαβάστε περισσότεραtretej odmocniny ( x ), mocniny čísla 10, n-tá mocnina ľubovoľného čísla (a n ) pre konkrétne hodnoty n, n je prirodzené číslo.
Mocniny a odmocniny, zápis veľkých čísel Školský vzdelávací program matematika 9. ročník 1. Obsah vzdelávania učebného predmetu v 9. ročníku (rozšírený počet hodín ) Tematický celok Témy Druhá a tretia
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch telies
Objem a povrch telies Kváder má: 8 vrcholov označujeme ich veľkými tlačenými písmenami 12 hrán hrany môžu mať tri veľkosti - a, b, c 6 stien steny sú tvorené obdĺžnikmi s rozmermi a, b, c Veľkosti troch
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015
MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015 Mgr. Valeria Godovičová 1. Mesiac 1 Úvodná hodina Telo 2-5 Druhá a tretia mocnina - čo už poznáme - opačné čísla a ich mocniny SEPTEMBER
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH MATEMATIKA II. Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH S T R O J N Í C K A F A K U L T A MATEMATIKA II Dušn Knežo, Mirim Andrejiová, Zuzn Kimáková RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. RNDr. Ján Buš, CSc. c doc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραCertifikačný test z matematiky
Meno: Priezvisko: ertifikčný test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. ročník ZŠ T9-011 Milí žici, máte pred seou testz mtemtiky.testoshuje 0 testových úloh. Kždá správn odpoveď ude hodnotená 1 odom.
Διαβάστε περισσότεραSmernicový tvar rovnice priamky
VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.
Διαβάστε περισσότεραNormálové rezy a geodetická čiara na referenčnom elipsoide
0 Normálové rezy geodetická čir n referenčnom elipsoide Medzi dvom odmi n referenčnom elipsoide P P s rôznymi geodetickými šírkmi dĺžkmi existujú dv normálové rezy (or 9) Or 9 Normálové rezy n elipsoide
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραTest. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s.
Test Matematika Forma A Štátny pedagogický ústav, Bratislava Ò NUPSESO a.s. 1. Koľkokrát je väčší najmenší spoločný násobok čísel 84 a 16 ako ich najväčší spoločný deliteľ. A. B. 3 C. 6 D.1. Koľko záporných
Διαβάστε περισσότερα2. UHLY. Zapisovanie uhlov 1. spôsob pomocou troch bodov. Pri zápise uhla pomocou troch bodov je VRCHOL VŽDY V STREDE ZÁPISU.
2. UHLY 2.1 ZÁPIS A OZNAČOVANIE UHLOV Dve polpriamky VA, VB, ktoré majú spoločný začiatok v bode V delia rovinu na dve časti. Tieto časti nazývame uhly. UHOL je časť roviny ohraničená dvoma polpriamkami,
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMatematika Test M-1, 1. časť
M O N I T O R pilotné testovnie mturntov MONITOR Mtemtik Test M-,. čsť form A Odborný grnt projektu: Relizáci projektu: Štátn pedgogický ústv, Brtislv EXAM, Brtislv () Štátn pedgogický ústv EXAM Mtemtik
Διαβάστε περισσότεραUčebný materiál pre cvičenia z matematiky v 8. ročníku ZŠ
Moderné vzdelávnie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinncovný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 61010051 číslo zmluvy: OPV/4/011 Metodicko pedgogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραPYTAGORIÁDA Súťažné úlohy republikového kola 35. ročník, školský rok 2013/2014
Kategória P 6 1. Napíšte číslo, ktoré sa skrýva pod hviezdičkou: *. 5 = 9,55 2. Janko Hraško je 25 - krát menší ako Ďuro Truľo. Napíšte, koľko centimetrov meria Janko Hraško, ak Ďuro Truľo meria 1,75 metra.
Διαβάστε περισσότεραVzorové riešenia 3. kola letnej série 2008/2009
Vzorové riešenia 3. kola letnej série 00/009 Príklad č. 1 (opravovali Peťo, Juro): Zo zadania vieme, že gulička sa zastavila na čísle deliteľnom tromi, čiže to číslo je násobkom čísla tri. Teraz si vypíšeme
Διαβάστε περισσότεραCHÉMIA Ing. Iveta Bruončová
Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov
Διαβάστε περισσότεραJKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková
JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných
Διαβάστε περισσότερα2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m.
Dĺžka kružnice, obsah kruhu 1. Na obrázku je kruţnica vpísaná do štvorca so stranou 4cm a štyri kruţnicové oblúky so stredmi vo vrcholoch štvorca. ký obsah má vyfarbený útvar? 4 + π cm 16 - π cm 8π 16
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Poznámka k úlohám o funkciách: Ak nie je uvedené inak, je definičným oborom funkcie množina všetkých reálnych čísel, pre ktoré výraz definujúci funkciu má zmysel. 0 Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραMONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky
MONITOR 9 (007) riešenia úloh testu z matematiky Autormi nasledujúcich riešení sú pracovníci spoločnosti EXAM testing Nejde teda o oficiálne riešenia, ktoré môže vydať ia Štátny pedagogický ústav (wwwstatpedusk)
Διαβάστε περισσότεραPDF created with pdffactory Pro trial version ZOBRAZOVANIE LOMOM. ŠOŠOVKY AKO ZOBRAZOVACIE SÚSTAVY alebo O spojkách a rozptylkách
PedDr. Joze Beňušk jbenusk@nextr.sk ZBRAZVANIE LMM ŠŠVKY AK ZBRAZVACIE SÚSTAVY lebo spojkách rozptlkách ptická sústv -je sústv optických prostredí ich rozhrní, ktorá mení smer chodu svetelných lúčov. Šošovk
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka
Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu
Február Mesiac Týždeň Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 8, časť Stupeň vzdelania: ISCED 2 - nižšie sekundárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE ŠEDIVÝ ONDREJ VALLO DUŠAN Vydané v Nitre 2009 Fakultou prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre s finančnou
Διαβάστε περισσότερα1. ZAKLADY VYŠŠEJ GEODÉZIE
1. ZAKLADY VYŠŠEJ GEODÉZIE Geodézi je náuk o merní Zeme lebo jej čstí o merní n zemi. (Modernejši verzi tej istej myšlienky by mohl znieť: geodézi je vedná disciplín o poznávní priestoru čsu v oblsti plnéty
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότερα1 Kinematika hmotného bodu
Kinemik hmnéh bdu - kinemik berá určením plôh bd ich mien če (kinemik phb ele piuje, neberá príčinmi phbu) - pri ereickm šúdiu mechnickéh phbu (prce, pri krm mení plh jednéh ele hľdm n iné ele) ád pjem
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραMocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník
1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5
Διαβάστε περισσότερα