Technická univerzita v Košiciach MATEMATIKA I

Transcript

1 Tchická uivrzi v Košicich MTEMTIK I Vzorové rišé úlohy Blk Bculíková Gričová Košic

2

3 Tchická uivrzi v Košicich MTEMTIK I Vzorové rišé úlohy Blk Bculíková Gričová Košic

4 REENZOVLI: prof RNDr Jozf Džuri Sc RNDr Mirim drjiová PhD vydi Z odború sráku učbého u zodpovdjú uori Rukopis pršil rdkčou i jzykovou úprvou Blk Bculíková Gričová ISBN ----

5 OBSH ÚVOD MNOŽINY KOMPLEXNÉ ČÍSL POLYNÓMY LGEBRIKÉ ROVNIE OPERÁIE S POLYNÓMMI LGEBRIKÉ ROVNIE ROZKLD N ELEMENTÁRNE PRIÁLNE) ZLOMKY MTIE DETERMINNTY OPERÁIE S MTIMI DETERMINNT INVERZNÁ MTI SÚSTVY LINEÁRNYH ROVNÍ GUSSOV ELIMINČNÁ METÓD RMEROVO PRVIDLO FUNKI DEFINIČNÝ OBOR FUNKIE INVERZNÁ FUNKI PÁRNOSŤ NEPÁRNOSŤ FUNKIE LIMIT FUNKIE VÝPOČET LIMITY FUNKIE VÝPOČET LIMITY POSTUPNOSTI DERIVÁI FUNKIE VÝPOČET DERIVÁIE FUNKIE GEOMETRIKÝ VÝZNM DERIVÁIE L HOSPITLOVO PRVIDLO TYLOROV POLYNÓM PRIEBEH FUNKIE VYŠETROVNIE PRIEBEHU FUNKIE NEURČITÝ INTEGRÁL ZÁKLDNÉ VZORE INTEGROVNI INTEGROVNIE ROZKLDOM ÚPRVOU INTEGROVNIE SUBSTITUČNOU METÓDOU INTEGROVNIE METÓDOU PER PRTES

6 INTEGROVNIE RIONÁLNYH FUNKIÍ INTEGROVNIE NIEKTORÝH IRIONÁLNYH FUNKIÍ INTEGROVNIE NIEKTORÝH TRIGONOMETRIKÝH FUNKIÍ INTEGROVNIE EXPONENIÁLNYH FUNKIÍ URČITÝ INTEGRÁL NEWTON-LEIBNIZOV VZORE INTEGROVNIE SUBSTITUČNOU METÓDOU INTEGROVNIE METÓDOU PER PRTES POUŽITIE URČITÉHO INTEGRÁLU PLOŠNÝ OBSH ROVINNÝH ÚTVROV OBJEM ROTČNÉHO TELES DĹŽK KRIVKY PLOŠNÝ OBSH ROTČNEJ PLOHY NEVLSTNÝ INTEGRÁL INTEGRÁL Z FUNKIE N NEOHRNIČENOM INTERVLE INTEGRÁL Z NEOHRNIČENEJ FUNKIE POUŽITÁ LITERTÚR

7 Vzorové rišé úlohy ÚVOD Táo učbá pomôck j určá pr šudov prvého ročík bklárskj formy šúdi Fkuly lkrochiky iformiky Tchickj uivrziy v Košicich FEI TU) l môž poslúžiť j šudom iých fkúl Učbic j rozdlá do dvásich kpiol koré obshujú zákldé orické pozky porbé k rišiu príkldov vzorové rišé j rišé úlohy k učivu prbrému v prdm Mmik I iľom jo učbj pomôcky bolo podť uclý orický prhľd rišj problmiky v prdm Mmik I pro j vhodé kombiovť používi jo učbic s vysokoškolskou učbicou Mmik I uorov Jozf Džuri Gričová Vikor Pirč s voľ dosupými -lrigovými mriálmi Kdry mmiky orickj iformiky FEI TU N závr ďkujm prof RNDr Jozfovi Džuriovi Sc RNDr Mirim drjiovj z sroslivé prčíi rukopisu z cé pripomiky korými prispli k zlpšiu u jo učbic uori

8 MTEMTIK I MNOŽINY Komplé čísl Súč rozdil komplých čísl robím po zložkách Osobi sčím odčím) rál osobi imgiár zložky i b b i b i b z z ) ) i b b i b i b z z ) ) ) k komplé čísl ásobím prcujm s imi ko pri ásobí dvojčlov Td ásobím kždú zložku s kždou Priom využívm ž K i i i i i i i i b b b b i b i b z z ) ) ) ) Pri dlí komplých čísl ásobím clý podil jdokou vo vhodom vr k by sm v movli odsráili komplé číslo Využívm priom ásobi komplého čísl v movli k mu kompl združým číslom čím v movli získm rál číslo ) ) ) ) ) ) ) ) b i b b b b i b i b b i b b i b i b i b i b z z z z z z Príkld Nch i z i z i z i z Vypočíjm z z z z z z z z Riši: i i z z ) ) i i z z ) ) ) ) ) ) ) ) i i i i i i i z z i i i i i i ) ) i i i i i i i i z z Príkld Prpíšm komplé číslo i z do goiomrického pociálho vru Riši: Pri prpis komplého čísl i b z z lgbrického do goiomrického rsp pociálho vru j porbé vypočíť modul komplého čísl z jho mpliúdu ϕ Plí:

9 Vzorové rišé úlohy z b ) ) cos ϕ z si ϕ b z Ob io podmiky pli súčs pr uhol mpliúdu) ϕ iϕ Prož z b i z cos ϕ i si ϕ) z môžm písť i i cos i si z Príkld Vypočíjm i) Riši: z Pri umocňoví komplých čísl využijm vzťh z cos ϕ i si ϕ) Pro j porbé komplé číslo koré idm umocňovť prpísť do goiomrického vru Využijm priom výsldok z prdchádzjúcj úlohy z i cos i si ) z z cos ϕ i si ϕ) cos i si ) i ) i ) Príkld Vypočíjm i Riši: Pri odmocňoví komplých čísl využijm vzťh ϕ k ϕ k k zcos i si kd k L cos i si ) Zov j porbé prpísť odmocňové komplé číslo do goiomrického vru pričom použijm výsldok z príkldu čiž z i cos i si ) Kďž počím druhú odmociu dosm dv výsldky v vr: k k cos si k z i kd k

10 MTEMTIK I cos si i cos i si ) i ) cos i si cos i si ) i ) V úlohách vypočíj: Výsldky: i) i) i i) i) i ) i) i i) i) i) i i) i i i i i) i i i i i i i i V úlohách píš komplé číslo v goiomrickom pociálom vr: z z z i z i z i z cos i si z cos i si z z z i i i cos i si i cos i si i cos i si )

11 Vzorové rišé úlohy z i z i z i cos i si ) i z cos i si ) i z cos i si ) z i z i z i z cos i i si ) i z cos i si ) z i z i z i cos i si ) i z cos i si ) z i z i z i cos i si ) i z cos i si V úlohách vypočíj: i) i i) i i) i) i i) i i) i i) i

12 MTEMTIK I i) i i) i) i i) i) i i) i V úlohách vypočíj odmociu z komplého čísl: z i z i i z i z i i z i z i i z i z i i i z i z i z i

13 Vzorové rišé úlohy z i i z i z i i z i z i z z i z i z i z z i i z i z i z i z i z i z i z i i z i z i z i z i

14 MTEMTIK I POLYNÓMY LGEBRIKÉ ROVNIE Opráci s polyómmi Polyómy s sčívjú odčívjú k ž s sčíjú rsp odčíjú koficiy polyómov pri rovkj moci prmj Príkld Vypočíjm ) ) ) ) Riši: ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) Polyómy s ásobi ko mohočly d ásobí s kždý čl s kždým Príkld Vypočíjm ) ) Riši: ) ) Dli polyómov si ukážm v sldujúcom príkld Príkld Vypočíjm ) ) : Riši: ) : ) zvyšok Výsldok s môž zpísť j v vr korý s použív pri rozkld lmár zlomky:

15 Vzorové rišé úlohy ) : ) Príkld Nájdim koický rozkld polyómu v moži R j Riši: Polyóm rozložím súči vybrím spoločého výrzu prd závorku použiím vzťhu b b) b) ) ) ) V moži R j v j výsldok v vr ) ) Príkld Nájdim koický rozkld polyómu v moži R j Riši: závorku V omo prípd využijm posupé vybri spoločých výrzov prd ) ) ) ) ) Výrz v moži R má kor l v moži rozložím podľ vzťhu b b) b) ) i) i) V moži R j výsldok v vr ) ) ) V moži j výsldok v vr ) i) i) Príkld Nájdim koický rozkld polyómu v moži R j Riši: Posup využiý pri prdchádzjúcich úlohách s dá plikovť v jo úloh Pri koickom rozkld použijm Horrovu schému N zákld Vy Mmik I) sú možými korňmi dého polyómu všky dlil bsolúho čl d čísl Dlil vori možiu { ± ± ± ± } Posup budm ovrovť či ikorý čl dj možiy j korňom polyómu k j omu k zvyšok po dlí posldé číslo v ridku) j rové V prvom ridku buľky sú koficiy polyómu usporidé od jvyššj mociy V kždom ďlšom ridku korého posldým číslom j ul sú koficiy o jd supň ižšiho polyómu

16 MTEMTIK I V moži R j v j výsldok v vr ) ) ) Príkld Nájdim koický rozkld polyómu v moži R j Riši: Tk ko v prdchádzjúcj úloh j u využijm Horrovu schému pričom ± ± ± ± ± ± Sú o dlil čísl možiu pociálych korňov vori čísl { } Všky kor polyómu sú rál d v R j v j výsldok v vr ) ) V úlohách vypočíj: Výsldky: ) : ) zvyšok ) : ) zvyšok ) : ) zvyšok V úlohách urob koický rozkld polyómu v R j v : ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

17 Vzorové rišé úlohy ) ) ) ) ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) i) i) ) ) ) i) i) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) i) i)

18 MTEMTIK I ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) i) i) ) )

19 Vzorové rišé úlohy ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) i) i) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) i) i) lgbrické rovic Príkld Rišm rovicu v moži R j Riši: j v jo úloh môžm využiť Horrovu schému Moži pociálych ± ± ± ± korňov j { } - Rovicu môžm zpísť v vr ) ) Jdiý rály korň j K V moži R j výsldok { } Kor polyómu sú komplé vypočím ich pomocou kvdrickj rovic

20 MTEMTIK I b ± b c ± ± i ± ± i V moži j výsldok v vr K { ± i} Príkld Rišm rovicu v moži R j v moži Riši: Použijm Horrovu schému pričom ko kor ovrujm čísl z možiy ± ± ± ± ± ± ± ± ± { } Rovicu môžm zpísť v vr ) ) ) Rál kor sú K V moži R j výsldok v vr { } Polyóm má dv kompl združé kor i kp Príkld ) V moži j výsldok v vr K { ± i} ± V úlohách riš v R rovic: Výsldky:

21 Vzorové rišé úlohy Rozkld lmár prciál) zlomky Kždú rýdzorcioálu fukciu vim rozložiť súč lmárych prciálych) zlomkov koré môžu mť v moži R io vry α α) M N p q M N p q) kd M N α p q sú rál čísl j prirodzé číslo kvdrický rojčl p q má rál kor Príkld Rozložm prciál zlomky fukciu v moži R Riši: Fukci j rýdzorcioál supň polyómu v čili j ižší ko supň polyómu v movli) Polyóm v movli j porbé rozložiť súči korňových čiiľov koický rozkld) S využiím Horrovj schémy j ) ) ) Fukciu môžm prpísť vyvoriť prciál zlomky B ) ) ) Tri zám koficiy B vypočím dosdzovcou módou k ž do uprvj rovic po odsráí zlomkov) posup budm dosdzovť miso prmj ri rôz vhodé) čísl Využívm priom ž hodoy polyómov ľvj prvj sr rovic s rovjú po dosdí ľubovoľého čísl z prmú

22 MTEMTIK I ) ) ) B ) ) ) ) ) B ) ) ) ) : : : ) ) B ) ) ) ) ) ) B ) ) ) ) B B ) B ) ) ) ) Rozkld prciál zlomky j ) ) ) Príkld Rozložm prciál zlomky fukciu v moži R Riši: Fukci i j rýdzorcioál supň polyómu v čili i j ižší ko supň polyómu v movli) kž jprv j porbé prdliť čiľ movľom ) : ) Ďlj posupujm ko v Príkld polyóm v movli rozložím súči korňových čiiľov koický rozkld) ) Zvyšok po dlí prciál zlomky j už rýdzorcioál fukci korú môžm prpísť vyvoriť ) B Koficiy B vypočím podob ko v Príkld

23 Vzorové rišé úlohy B B ) ) ) B ) : ) ) : B B B Rozkld prciál zlomky j Príkld Rozložm prciál zlomky fukciu v moži R Riši: Fukci j rýdzorcioál supň polyómu v čili j ižší ko supň polyómu v movli) Polyóm v movli j porbé rozložiť súči korňových čiiľov koický rozkld) Posupým vybrím prd závorku j ) ) Fukciu môžm prpísť vyvoriť prciál zlomky ) B Tri zám koficiy B vypočím dosdzovcou módou k ž do uprvj rovic po odsráí zlomkov) posup budm dosdzovť miso prmj ri rôz vhodé) čísl Využívm priom ž hodoy polyómov ľvj prvj sr rovic s rovjú po dosdí ľubovoľého čísl z prmú ) ) ) ) ) ) ) B B

24 MTEMTIK I ) ) ) ) : B ) ) ) ) : B ) ) ) ) : B B B Rozkld prciál zlomky j ) Príkld Rozložm prciál zlomky fukciu v moži R Riši: Fukci j rýdzorcioál supň polyómu v čili j ižší ko supň polyómu v movli) Polyóm v movli j porbé rozložiť súči korňových čiiľov koický rozkld) Použiím Horrovj schémy j ) ) Fukciu môžm prpísť vyvoriť prciál zlomky B Tri zám koficiy B vypočím dosdzovcou módou k ž do uprvj rovic po odsráí zlomkov) posup budm dosdzovť miso prmj ri rôz vhodé) čísl Využívm priom ž hodoy polyómov ľvj prvj sr rovic s rovjú po dosdí ľubovoľého čísl z prmú ) ) B ) ) ) B ) ) ) : B

25 Vzorové rišé úlohy ) ) ) : B ) ) ) : B B B Rozkld prciál zlomky j V úlohách rozlož v R prciál zlomky: Výsldky: )

26 MTEMTIK I ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

27 Vzorové rišé úlohy MTIE DETERMINNTY Opráci s micmi Súč rozdil míc isuj l pr rovké ypy míc k j mic ypu m j mic B musí byť ypu m ) Pr prvky mic B plí ij ij ij b c Pr prvky mic B plí ij ij ij b c Pr micu k kd R k plí ij ij k c Súči míc B j možé vypočíť k poč sĺpcov mic j rovký ko poč ridkov mic B Násobi dvoch míc ukážm v sldujúcom príkld Príkld Vypočíjm B B B B k B Riši: B B ) ) ) ) B ) ) ) B ) ) )

28 MTEMTIK I Príkld Nájdim hodosť mic Riši: Hodosť mic j poč ulových ridkov mic uprvj rojuholíkový rsp lichobžíkový vr R R R R : ) R Poč ulových ridkov mic j d hodosť mic j ) h Sú dé mic B V úlohách vypočíj: Výsldky: B B B Sú dé mic B Vypočíj: ) ) B B V úlohách vypočíj hodosť mic: ) h

29 Vzorové rišé úlohy ) h ) h ) h ) h ) h ) h ) h ) h ) h

30 MTEMTIK I ) h Drmi Príkld Vypočíjm drmi Riši: Drmi rozmru s vypočí k ž od súčiu prvkov hlvj digoál s odpočí súči prvkov vdľjšj digoál ) Príkld Vypočíjm drmi Riši: Drmi rozmru môžm rišiť pomocou Srusovho prvidl [ ] [ ] ) ) Príkld Vypočíjm drmi Riši: Drmiy rozmrov väčších s počíjú pomocou rozvoj drmiu podľ ridk lbo sĺpc i i i i i i K rsp j j j j j j K kd ij ij j i D ) j lgbrický doplok ij D j subdrmi prvku ij mic vzik zkryím i -ho ridku j -ho sĺpc mic ) Prd smoým výpočom j výhodé drmi uprviť pomocou kvivlých úprv k by sm vyvorili ľubovoľý ridok rsp sĺpc obshujúci čo jvic úl Vyvorý ridok rsp sĺpc použijm k rozvoju drmiu

31 Vzorové rišé úlohy ) ) ) ) R R V úlohách vypočíj drmi mic: Výsldky:

32 MTEMTIK I

33 Vzorové rišé úlohy

34 MTEMTIK I Ivrzá mic Ivrzú micu budm hľdť využiím djugovj mic T K K K K K K K pomocou vzťhu T K K K K K K K Príkld K mici ájdim ivrzú micu Riši: Vypočím drmi mic všky lgbrické doplky voric djugovú micu ) ) ) ) ) ) ) ) ) Ivrzá mic k mici j - Príkld Rišm micovú rovicu X s zámou micou X Riši: Micovú rovicu prpíšm do schémy B X korú vyásobím zľv micou - ivrzou k mici pričom využijm ž E - - X E X X E B X B X B X - - -

35 Vzorové rišé úlohy Z Príkldu j - pro X V úlohách ájdi ivrzú micu k mici : Výsldky: isuj

36 MTEMTIK I

37 Vzorové rišé úlohy V úlohách riš micovú rovicu s zámou micou X : X X X X X X X X X X X X X X

38 MTEMTIK I SÚSTVY LINEÁRNYH ROVNÍ Gussov ičá mód Príkld Rišm súsvu rovíc Riši: Súsvu rovíc prpíšm do micového vru k výpoču použijm Gussovu ičú módu Micu uprvím rojuholíkový rsp lichobžíkový vr R R R R R R Hodosť mic j rová hodosť rozšírj mic j kiso rová j o zárovň j poč zámych N zákld Frobiovj vy má súsv práv jdo riši koré s dá jdoducho vyjdriť z uprvj mic Z posldého ridku uprvj mic j zrjmé ž Z riho ridku uprvj mic vypočím Pomocou druhého ridku ájdm Pomocou prvého ridku ájdm

39 Vzorové rišé úlohy Riši súsvy zpíšm v vr T T ) ) Príkld Rišm súsvu rovíc Riši: Posupujm podob ko v prdchádzjúcj úloh R R R R R Hodosť mic j rová hodosť rozšírj mic j rová N zákld Frobiovj vy súsv má riši Príkld Rišm súsvu rovíc Riši: Posupujm podob ko v prdchádzjúcich úlohách R R R R

40 MTEMTIK I Hodosť mic j rová hodosť rozšírj mic j kiso rová l poč zámych j rový N zákld Frobiovj vy má súsv koč vľ riší Trí ridok uprvj mic obshuj zám jdu z zámych si zvolím ko prmr R Ďlšiu zámu poom vyjdrím pomocou prmr Z druhého ridku ) Z prvého ridku ) ) Riši súsvy zpíšm v vr R ) ) T T V úlohách riš súsvy liárych rovíc Gussovou ičou módou: Výsldky: ) T ) T Ø

41 Vzorové rišé úlohy ) R T ) T ) T ) T T ) T ) T ) T

42 MTEMTIK I Ø Ø Ø Ø R s s s s T R s s s s T ) R s s s s T

43 Vzorové rišé úlohy ) R s s s s T T T ) T Ø ) R T R T

44 MTEMTIK I R u u u u T ) R b b b T R b b b b b T Ø T R T

45 Vzorové rišé úlohy ) R T ) T Ø rmrovo prvidlo Rišim súsvu liárych rovíc b b b by sm mohli použiť rmrovo prvidlo j ué vypočíť drmiy D b b b D b b b D b b b D pričom mic z korj s vypočí drmi D musí byť rgulár D ) Riši kjo súsvy j D D D D D D

46 MTEMTIK I Príkld Rišm súsvu rovíc Riši: Vypočím drmiy D D D D Riši súsvy zpíšm v vr T T ) ) V úlohách riš súsvy liárych rovíc využiím rmrovho prvidl: Výsldky: ) T ) T ) T ) T ) T ) T

47 Vzorové rišé úlohy ) T ) T ) T ) T ) T ) T ) T T ) T ) T

48 MTEMTIK I ) T ) T T ) T ) T ) T ) T ) T

49 Vzorové rišé úlohy FUNKI Dfiičý obor fukci Pri hľdí dfiičého oboru fukci j porbé jčsjši vziť do úvhy ž: movľ zlomku s smi rovť ul výrz pod párou odmociou musí byť záporý logrimická fukci j dfiová l pr kldý rgum k > poom log práv vdy k k < < poom log práv vdy k < fukci y rcsi y rccos sú dfiové pr Príkld Nájdim dfiičý obor fukci f: y Riši: Kďž výrz v movli musí byť rôzy od uly plí ) ) Odiľ vyplýv ž D f ) ) ) ) lbo f ) R { } D Príkld Nájdim dfiičý obor fukci f: y Riši: Výrz pod druhou odmociou musí byť záporý poom plí ) ) Dfiičý obor fukci j D f ) Príkld Nájdim dfiičý obor fukci f: y l ) Riši: Logrimus j dfiový l pr kldé čísl pro musí byť > > Dfiičý obor fukci j f ) ) D

50 MTEMTIK I Príkld Nájdim dfiičý obor fukci f: y Riši: Z podmiky ž movľ s smi rovť ul plí z podmiky ž výrz po párou odmociou môž byť l záporý plí Z obidvoch podmiok vyplýv > Dfiičý obor fukci j f ) ) D Príkld Nájdim dfiičý obor fukci f: y log ) Riši: Z podmiok pr výrz pod párou odmociou pr rgum logrimu pri zákld vyplývjú io rovic log ) D Dfiičý obor fukci j f ) ) Príkld Nájdim dfiičý obor fukci f: y log ) Riši: Z podmiok pr výrz pod párou odmociou pr rgum logrimu pri zákld vyplývjú io rovic Rišim súsvu rovíc poom dfiičý obor fukci j ) log ) < > > D f Príkld Nájdim dfiičý obor fukci f: y rcsi Riši: Fukci y rcsi j dfiová pr irvl pro

51 Vzorové rišé úlohy Dfiičý obor fukci j f ) D Príkld Nájdim dfiičý obor fukci f: y log Riši: Výrz pod druhou odmociou musí byť záporý súčs výrz pod logrimom musí byť kldý d plí > < priik ýcho irvlov j dfiičý obor f ) ) D V úlohách ájdi dfiičé obory fukcií: Výsldky: f : y R { } f : y R { } f : y R { } f : y ) f : y ) f : y : y : y : y f ) f ) ) f ) ) : y f ) : y f ) ) f : y ) )

52 MTEMTIK I : y f ) ) f : y : y l ) ) f ) f : y l ) ) ) f : y log ) f : y log ) y log y l f R { } f : : ) f ) ) f : y log ) : y log f : y log : y log f ) : y log ) f ) f : y log f : y R : y f R { } f R { ±} : y f : y R { } : y log f R { } : y f R { } f : y ) l ) f : y )

53 Vzorové rišé úlohy f : y R f : y rcsi f : y rcsi ) f : y rccos f : y rccos f : y rcg R : y rccog f : y rcsilog f ) ) : y log ) f ) f : y l ) ) f : y rcsi f : y si f : y : y log ) f R - {- } : y log ) f ) l : y f : y log ) f { } ) f ) : y log log )) f : y g rcg ) f : y rcsi log ) ) f : y l ) rccos

54 MTEMTIK I f : y l ) rcsi ) f : y rccos ) f : y rcsi l l ) f : y l ) f : y ) l f : y ) ) ) ) ) ) f : y rcg ) l ) Ivrzá fukci lgorimus hľdi ivrzj fukci y f ) k fukcii f ) y j kýo: zisím kom irvl j fukci f prosá d kd k j ivrzá fukci f isuj vymím z y opk vyjdrím y pomocou Príkld K fukcii f : y l ) ájdim ivrzú fukciu Riši: Fukci f j prosá clom svojom dfiičom obor D f ) ) pro k j isuj ivrzá fukci clom dfiičom obor y l ) vymím vzájom y l y ) osmosím výrz obshujúci y l y ) by sm vyjdrili y použijm ivrzú fukciu k logrimickj fukcii pociálu fukciu Ivrzá fukci k f j f : y y y

55 Vzorové rišé úlohy Príkld K fukcii f : y rccos ájdim ivrzú fukciu Riši: Fukci f j prosá clom svojom dfiičom obor D f ) k j môžm hľdť clom dfiičom obor ivrzú fukciu y rccos vymím vzájom y y rccos osmosím výrz obshujúci y y rccos by sm vyjdrili y použijm ivrzú fukciu k fukcii y rccos y cos cos y pro Ivrzá fukci k f j cos f : y Príkld K fukcii f : y ájdim ivrzú fukciu Riši: Fukci f j prosá irvl ) irvl ) pro k j môžm hľdť ivrzú fukciu l jdolivých zúžich dfiičého oboru y vymím vzájom y osmosím výrz obshujúci y y y y by sm vyjdrili y použijm ivrzú fukciu k fukcii y log y

56 MTEMTIK I Ivrzá fukci k f j f : y log V úlohách ájdi k dým fukciám ivrzé fukci: f : y f : y f : y log ) f : y f : y f : y log ) f : y rccos Výsldky: f f f f f f f log log log cos f : y f l ) rcsi ) f : y si f rcsi ) f : y rccog f cog log ) f : y l f g f : y rcg f rcsi f : y si ) f f : y rcsi f si ) f : y f log ) f : y cos f rccos f : y rccog f cog ) cos f : y f rccoslog )

57 Vzorové rišé úlohy f : y f : y rccos ) f : y l ) f : y l f : y f f f f f log log cos log ) Párosť párosť fukci Fukciu f ) Fukciu f ) f ) f ) y zývm párou k pr kždé j f y zývm párou k pr kždé j z jj D ) plí f ) f ) z jj f ) D plí Fukci korá spĺň i jdu z prchádzjúcich vlsosí i j i pár i pár Grf párj fukci j osovo súmrý podľ o y pr y y cos y ) Grf párj fukci j srdovo súmrý podľ bodu O [ ] pr y y si y rcsi y g ) Príkld Vyšrim párosť rsp párosť fukci f si : y Riši: f ) ) ) z ) D pr kždé j D f j si ) ) si si f f ) f f fukci j pár Prož ) ) Príkld Vyšrim párosť rsp párosť fukci Riši: f ) ) ) Prož f ) f ) D pr kždé j f fukci j pár f : y z f ) D j ) f ) Príkld Vyšrim párosť rsp párosť fukci f si : y Riši: ) R D f pr kždé j z f ) D j

58 MTEMTIK I Prož f ) ± f ) f si si ) si ) ± f ) fukci i j i pár i pár Príkld Vyšrim párosť rsp párosť fukci Riši: f ) R { } f : y z ) D pro plí ž pr kždé j j D f fukci Npríkld k číslu koré prí do dfiičého oboru fukci isuj číslo opčé čiž číslo koré by iž prilo do dfiičého oboru fukci N zákld oho j zrjmé ž i j splá uá podmik pr o by mohl byť fukci pár lbo pár Td fukci fukci f : y i j i pár i pár V úlohách vyšri párosť rsp párosť fukcií irvloch kd j fukci prosá Výsldky: f : y pár f : y i pár i pár f : y si cos i pár i pár cos f : y pár f : y log pár f : y cos si pár f : y si pár f : y si cos pár cos f : y pár f : y log pár f : y cos i pár i pár f : y cos pár f : y cos ) pár f : y si ) pár f : y cos pár f : y si pár

59 Vzorové rišé úlohy LIMIT FUNKIE Výpoč iy fukci Pri počíí í posupujm ko: zisím yp určiosi yp iy) vhodou úprvou odsráim určiosť dosdím iu vypočím Príkld Vypočíjm Riši: Po dosdí do fukci zisím ž s jdá o určiosť ypu o zmá ž číslo j korňom polyómu v čili j v movli V komo prípd poom prdlím j čiľ j movľ výrzom ) ) ) ) ) ) ) Príkld Vypočíjm Riši: Po dosdí do fukci zisím ž s jdá o určiosť ypu l pri počíí kjo iy j vhodá úprv zv rozšíri vhodou jdokou v šom prípd v vr Táo úprv využiím vzťhu v movli ) b) b) b odsrái odmociu cos Príkld Vypočíjm Riši: V prípdoch kď počím iu fukci v korj vysupuj goiomrická si fukci yp určiosi využijm zväčš vzorc Nšou úlohou j fukciu jprv vhod uprviť rozšíriť vhodou jdokou ) by sm mohli uvdý vzorc použiť

60 MTEMTIK I cos cos cos cos cos ) Príkld Vypočíjm si si cos ) cos Riši: Počím iu určiosi ypu kd s jčsjši využív úprv dli čiľ j movľ -om s jvyššou mociou movľ V omo prípd j v movli jvyššou mociou Pro Príkld Vypočíjm Riši: Posupujm podob ko v prdchádzjúcom príkld l čiľ movľ fukci dlím Príkld Vypočíjm Riši: Tk ko v oboch prdchádzjúcich príkldoch j u rišim iu fukci s určiosťou l čiľ movľ fukci dlím Príkld Vypočíjm ) Riši: Pri i s určiosťou ypu fukciu rozšírim vhodou jdokou rz v vr poom počím podobým posupom ko v Príkldoch

61 Vzorové rišé úlohy ) ) V úlohách vypočíj iy fukcií: Výsldky: )

62 MTEMTIK I si g si si si si si g si g g cos si cog si g cos cos si cos g ) ) )

63 Vzorové rišé úlohy Výpoč iy posuposi Pri iách posuposi s jčsjši srávm s určiosťmi ypu koré počím logicky ko pri i fukci Príkld Vypočíjm Riši: Jdá s o určiosť ypu v omo prípd posupujm k ko pri i fukci čiž čiľ movľ prdlím k kd k j jväčší mociľ movľ Príkld Vypočíjm ) Riši: Táo i j ypu zov posupujm podob ko pri i fukci s ouo určiosťou d výrz rozšírim vhodou jdokou poom dosm určiosť ypu ďlj posupujm k ko v prdchádzjúcom príkld ) Príkld Vypočíjm Riši: Po dosdí zisím ž áo i j ypu Pri počíí kýcho í j dôlžié pozť vzťh ± ± Nšou úlohou j d uprviť výrz v i k by sm mohli použiť uvdý vzorc

64 MTEMTIK I ) ) ) Príkld Vypočíjm )! )! )! Riši: Njprv porbujm výrz v čili movli uprviť k by sm odsráili fkoriály Väčši výrzy s fkoriálom uprvím pomocou mších výrzov koré budm vybrť prd závorku by sm ich mohli kráiť )! )! )! ) )! )! ) )! ) ) )! )! ) ) ) ) L Príkld Vypočíjm Riši: V omo prípd j ué použiť jprv vzorc pr súč člov rimickj posuposi ) s ) L Príkld Vypočíjm [ l ) l ) ] Riši: S využiím vzťhov koré pli pr logrimy uprvím výrz pod iou dosm s k určiosi ypu s korou sm s srli v Príkld [ l ) l ) ] l l l[ ] V úlohách vypočíj iy posuposí: Výsldky:

65 Vzorové rišé úlohy ) ) ) ) ) log l log log

66 MTEMTIK I ) ) [ ] ) l l [ ] ) l ) l [ ] l ) l! )!! )! )! )! )! )! )! )!

67 Vzorové rišé úlohy DERIVÁI FUNKIE Výpoč driváci fukci Nch fukci f ) ) fukci cf g mjú v bod driváci f ) g ) ch c R Poom f f g fg k g ) k j fukci mjú driváci v bod pr koré g plí: cf ) ) cf ) f g) ) f ) g ) fg ) ) f ) g ) f ) g ) f f ) g ) f ) g ) ) g [ g )] Zákldé vzorc pr výpoč driváci plé moži kd driváci isujú: c ) c R r r ) r ) l > ) log ) > l l ) ) si ) cos cos ) si g ) cos cog ) si rcsi ) rccos ) rcg ) rccog ) [ f g ) )] f g ) ) g ) g [ ) ) ] g ) l f ) f [ ]

68 MTEMTIK I Príkld Vypočíjm driváciu fukci ) f Riši: ) f Príkld Vypočíjm driváciu fukci ) f log Riši: ) l l l l l l f Príkld Vypočíjm driváciu fukci ) f si Riši: Fukci f j v vr súčiu ) ) cos si cos si ) si si ) f Príkld Vypočíjm driváciu fukci ) f rcg Riši: Fukci f j v vr podilu ) ) rcg ) rcg ) rcg ) rcg f Príkld Vypočíjm driváciu fukci ) f Riši: Fukciu vyjdrím v vr ) ) f poom použijm vzorc pr driváciu zložj fukci ) ) ) ) f Príkld Vypočíjm driváciu fukci ) rccog f

69 Vzorové rišé úlohy Riši: f ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Príkld Vypočíjm driváciu fukci ) f si Riši: Fukciu uprvím vr ) driváciu zložj fukci f si ) zov použijm vzorc pr f ) si si ) )cos si ) ) si si )cos ) cos ) ) ) si ) cos ) Príkld Vypočíjm driváciu fukci f ) lrcg ) Riši: Fukciu uprvím vr ) driváciu zložj fukci f ) ) lrcg ) rcg ) rcg ) ) f lrcg ) zov použijm vzorc pr rcg ) ) ) rcg rcg ) ) ) ) si Príkld Vypočíjm driváciu fukci ) f ) si l ) Riši: Fukciu uprvím vr ) f si l ) ) [ si l ) ] si l ) ) ) si si [si ) l ) si l )) ] cos l cos l ) si si ) f drivujm ju ko zložú fukciu

70 MTEMTIK I V úlohách zdrivuj fukciu f ) Výsldky: f ) f ) f ) l f ) l f ) ) cos f ) )cos ) si f ) f ) l log log f ) f ) l) si )cos si f ) f ) g ) f g cos f ) f cog f ) ) f ) ) f ) lsi ) l f ) f ) f ) g f ) f ) si ) f ) g g ) ) ) cos g cos f si g cos f cos f cos f rcsi f l f ) si sisi ) ) cos cossi ) f ) rcsi ) f ) rcsi ) f ) rccos f )

71 Vzorové rišé úlohy f ) rcg ) f ) f ) rcgg) f ) rcg f ) f ) f ) rcsi f ) rcsi f ) rccos f ) rccos f ) l si l ) f ) f ) lsi f ) f ) f ) ) l si cog cog l si l f ) f ) l si cos l si si f ) f ) cos cos cos f ) si ) f ) si ) si l si si l l f ) f ) l f ) si ) f ) si ) l si cog) ) f f ) f ) l rcg f ) l ) f ) l cosrcg f ) f ) rcsi ) rcsi ) rcsi ) f f ) l l rcg f )

72 MTEMTIK I Gomrický výzm driváci Driváci f ) fukci j smric k doyčic ku grfu fukci f ) bod T [ y ] čiž f ) k smric ormály j k f ) Rovic doyčic j : y y f ) ) Rovic ormály k f ) j : y y ) ) f y v doykovom V úlohách čso využívm pozok ž k sú dv primky rovobžé mjú rovkú smricu k Príkld Nájdim rovicu doyčic ormály ku grfu fukci ) T [? ] Riši: f v bod Njprv vypočím y - ovú súrdicu doykového bodu T Kďž bod T j doykový lží d prbol dj fukciou f ) fukčá hodo f ) Bod T [ ] y - ová súrdic j vls Do rovic doyčic porbujm dosdiť j smricu čiž ) f ) [ ] Rovic doyčic : y ) y f Rovic ormály : y ) y Príkld Nájdim rovicu doyčic ormály ku grfu fukci f ) l doyčic rovobžá s primkou p : y k j Riši: Nšou úlohou j ájsť súrdic doykového bodu T Prož doyčic má byť rovobžá s primkou p musi byť ich smric rovké k k f ) ďlší posup j rovký ko v prdchádzjúcom príkld bod [ ] Rovic doyčic : y p y ) T

73 Vzorové rišé úlohy Rovic ormály : y ) y Príkld Nájdim rovicu doyčic ormály ku grfu fukci f ) kolmá primku p : y k j ormál Riši: Normál má byť kolmá primku p pro musí byť doyčic s primkou p rovobžá Tým sm úlohu prvidli prdchádzjúci yp hľdám d doyčicu rovobžú s primkou p k k f ) ) ) p ± T Ďlší posup j rovký ko v Príkld bod T y ) Rovic doyčic : y Rovic doyčic : y ) y Rovic ormály : Rovic ormály : y ) y y ) y Príkld Nájdim rovicu doyčic ormály ku grfu fukci f ) doyčic kolmá primku p : y k j

74 MTEMTIK I Riši: Doyčic má byť kolmá primku p pro musí byť ormál s primkou p rovobžá Smric ormály primky musí byť rovká k k Doykový bod j [ ] T f ) p Rovic doyčic : Rovic ormály : y ) y y ) y V úlohách ájdi rovicu doyčic ormály ku grfu fukci f ) v doykovom bod T [ y ] f ) [? ] f ) [? ] f ) [? ] f ) [? ] ) f ) f Výsldky: T : y : y T : y : y T : y : y T : y : y T? : y : y [? ] f ) l [? ] l f ) [? ] T : y : y T : y : y T : y

75 Vzorové rišé úlohy f ) [? ] f ) si : y T : y : y T? : y : y V úlohách ájdi rovicu doyčic ormály ku grfu fukci f ) rovobžá s primkou p ) f ) f p : y : y : y ) p : y : y : y : y : y f p : y : y : y f l p : y : y : y f l p : y : y : y ) ) ) V úlohách ájdi rovicu doyčic ormály ku grfu fukci f ) kolmá primku p ) f p : y : y : y ) f p : y : y : y f ) l ) p : y : y k j doyčic k j doyčic : y f p : y : y : y

76 MTEMTIK I L Hospilovo prvidlo Nch f ) g ) lbo f ) g ) Poom isuj j ) ) f plí g ch isuj ) ) ) ) f f g g Pr výpoč í s určiosťou lbo použijm primo oo prvidlo ) ) f g Pri určiosich osých ypov j porbé fukciu uprviť určiosť ypu lbo I k počím iu s určiosťou ko: f ) g ) ) ) čiž počím f ) g ) ) f g lbo f ) g ) g f Dosm určiosť ypu lbo II k počím iu s určiosťou ) [ ] uprvím ju d počím f ) g ) priom j možá úprv spoločého movľ po jj použií dosm iu s určiosťou III k počím iu s určiosťmi použijm už zámu úprvu ) g ) g ) l f ) f ) ) g ) l f ) g f čiž počím ) g ) d Limi korá vzik v po ovj fukci bud ypu f Príkld Vypočíjm lcos Riši: Po dosdí dosm určiý výrz ypu kž primo použijm L Hospilovo prvidlo l cos l cos ) ) si ) cos

77 Vzorové rišé úlohy Príkld Vypočíjm Riši: prvidlo V omo prípd j o určiosť ypu opäť použijm L Hospilovo ) ) Trz po dosdí dosm zov určiosť ypu opäť môžm použiť L Hospilovo prvidlo ) ) Príkld Vypočíjm Riši: V omo prípd id o iu ypu Použiím L Hospilovho prvidl dosm zopkovím L Hospilovho prvidl s dosm k pôvodj i Pro j lpši prd jho použiím použiť jdoduchú úprvu Príkld Vypočíjm l Riši: Počím s určiosťou ypu ) posupujm ko v I l l ) Príkld Vypočíjm si Riši: Počím s určiosťou ypu posupujm ko v II

78 MTEMTIK I si si si cos si cos si cos cos si Príkld Vypočíjm g ) cog Riši: Počím s určiosťou ypu posupujm ko v III g ) cog cog lg cog lg i v po j určiosi ypu vypočím ju zvlášť l g g cos cog l g g g cos vráim s k pôvodj i g ) cog cog lg cog l g Príkld Vypočíjm l ) Riši: Počím s určiosťou ypu posupujm ko v III l ) l l ) i v po j určiosi ypu l l ) vypočím ju zvlášť po ďlšom dosdí do posldj iy ájdm určiosť L Hospilovo prvidlo zov použijm vráim s k pôvodj i

79 Vzorové rišé úlohy l ) l l ) V úlohách pomocou L Hospilovho prvidl vypočíj iy fukcií: si l cos cos si cos g Výsldky: l l cos cos si cog cog l cog l lcos ) lcos) l g l l l

80 MTEMTIK I cos si si g rcsi cog si cos ) g ) Tylorov polyóm Polyóm f ) f ) T ) f ) ) ) L!! f k k ) k! ) k ) ) f )! ) ) s zýv Tylorov polyóm fukci f v bod

81 Vzorové rišé úlohy Použiím Tylorovj vy dosávm: L!!! m m si L )!! m )! m m cos L )!! m )! Príkld Npíš Tylorov polyóm supň fukci ) f v bod Riši: Vypočím prvú ž riu driváciu fukci: f ) f ) ) f Td f ) f ) f ) ) Po dosdí dosávm: f ) ) T )!! V úlohách píš Tylorov polyóm ého supň dj fukci f v bod : Výsldky: ) rcsi f f ) ) ) ) f ) ) ) ) ) f ) l l ) ) ) ) ) l cos f

82 MTEMTIK I PRIEBEH FUNKIE Vyšrovi pribhu fukci Pri vyšroví pribhu fukci posupujm ko: ájdm dfiičý obor fukci vypočím iy v kocových bodoch dfiičého oboru vypočím jdosré iy v bodoch spojiosi píšm rovic pr sympoy bz smric BS) [sčí by spoň jd z jdosrých í v bod bol vlsé číslo lbo primk bud BS] ájdm sympoy so smricou SS) [SS j primk y k q korj koficiy f ) f ) k k počím ko: lbo pričom koficiy k q q f k q f k [ ) ] [ ) ] musi byť vlsé čísl] vyšrim párosť párosť fukci ájdm prisčíky so súrdým sysémom [prisčík s osou o y k ž položím dopočím y prisčíky s o k ž položím y dopočím ] vypočím prvú driváciu fukci zákld oho vyšrím mooóosť lokál rémy fukci o irvloch kd j prvá driváci kldá d f ) > j fukci f ) rsúc o irvloch kd j prvá driváci záporá d f ) < j fukci f ) klsjúc o mooóosť fukci s môž miť v bodoch v korých ) v korých f ) isuj o body v korých f ) s zývjú scioár body SB) f lbo v bodoch o k irvl vľvo od SB fukci klsá vprvo rsi j v omo SB rém lokál miimum SB o k irvl vľvo od SB fukci rsi vprvo klsá j v omo SB rém lokál mimum SB vypočím druhú driváciu fukci zákld oho vyšrím kovosť kokávosť iflé body IB) fukci o irvloch kd f ) > j fukci f ) ková o irvloch kd f ) < j fukci f ) kokáv o kovosť kokávosť fukci s môž miť v bodoch v korých f ) lbo v bodoch v korých f ) isuj o body v korých f ) mí s v ich kovosť kokávosť s zývjú iflé body IB) o k irvl vľvo od bodu v korom f ) j fukci ková vprvo kokáv bod zývm iflý bod IB o k irvl vľvo od bodu v korom f ) j fukci kokáv vprvo ková bod zývm iflý bod IB

83 Vzorové rišé úlohy scioár body iflé body body v korých isuj prvá druhá driváci fukci rozdli clý dfiičý obor irvly korých budm zisťovť zmiko prvj druhj driváci fukci všky iformáci zzčím do buľky f črm grf fukci ) V ikorých fukciách môžm ičo z bodov ž vychť lbo io iformáci získm z iých bodov Príkld Vyšrim pribh fukci f: y črim jj grf Riši: Fukci j dfiová pr všky čísl pr koré j movľ d D f Dfiičý obor fukci ) ) ) Limiy zčiku koci dfiičého oboru sú Jdosré iy v bod spojiosi sú pro ž jdosré iy sú vlsé čísl primk j BS k q k SS pr j primk y q SS pr j kiso primk y ) f ) ± f ) pár z oho vyplýv ž fukci i j i pár i Vo fukcii y položím vypočím y

84 MTEMTIK I Vo fukcii y položím y vypočím prisčík s osou o s osou y o j bod [ ] Prvá driváci fukci j ) ) y ) ) ) Položím y vypočím SB ) ) ) Prvá driváci y isuj v bod spojiosi prvj driváci čiž v bod korý j zárovň j bodom spojiosi fukci f ) Druhá driváci fukci j ) ) y ) ) ) ) ) Druhá driváci y pro fukci ) f má iflé body Druhá driváci y isuj v bod spojiosi druhj driváci čiž v bod čo j j bod spojiosi fukci f ) Body rozdli clý dfiičý obor fukci ďlši irvly kd budm zisťovť zmiko prvj druhj driváci zákld oho určím mooóosť kovosť kokávosť fukci lokál rémy iflé body ) ) ) ) y - * - y MX * MIN y - - * y BS

85 Vzorové rišé úlohy Do súrdého sysému krslím SS BS prisčíky so súrdým sysémom použijm všky iformáci z buľky k čruiu grfu fukci Príkld Riši: Vyšrim pribh fukci l y črim jj grf Fukci j dfiová pr všky čísl pr koré j movľ súčs > Dfiičý obor fukci D f ) ) Limiy zčiku koci dfiičého oboru sú l l Počím jdosrú iu v bod spojiosi V omo prípd má zmysl počíť l iu sprv l ú sm už vypočíli v Prož jdosrá i j vlsé číslo primk j BS l l k l l q SS pr SS pr j primk y má zmysl počíť lbo fukci pr záporé čísl i j dfiová Fukci i j i pár i pár Prisčík s o y isuj

86 MTEMTIK I Vo fukcii l y položím y vypočím o j bod [ ] l prisčík s osou l l l Prvá driváci fukci j y Položím y vypočím SB l l y isuj v bod spojiosi prvj driváci čiž v bod korý j zárovň j bodom spojiosi fukci f ) Druhá driváci fukci j Položím y l l l ) l l y y isuj v bod spojiosi druhj driváci čiž v bod korý j zárovň j bodom spojiosi fukci f ) Body rozdli clý dfiičý obor fukci ďlši irvly v korých budm zisťovť zmiko prvj druhj driváci zákld oho určím mooóosť kovosť kokávosť fukci lokál rémy iflé body ) ) ) y - - y MX y - - y IB Do súrdého sysému krslím SS BS prisčíky so súrdým sysémom použijm všky iformáci z buľky k čruiu grfu fukci

87 Vzorové rišé úlohy Príkld Riši: Vyšrim pribh fukci y črim jj grf ) Fukci j dfiová pr všky čísl pr koré j movľ ) d Dfiičý obor fukci D f ) ) ) ) Limiy zčiku koci dfiičého oboru sú ) Jdosré iy v bod spojiosi sú ) ) k q y ) pro ž jdosré iy sú vlsé čísl primk j BS ) ) SS pr j primk )

88 MTEMTIK I k q ) ) SS pr j y ) ) ) f ) ± f ) i pár ) ) z oho vyplýv ž fukci i j i pár Vo fukcii y položím vypočím y ) Vo fukcii y položím y vypočím ) Prisčík s osou o s osou y o j bod [ ] ) Prvá driváci fukci j ) ) ) y ) ) ) ) Položím y vypočím SB ) ) ) y isuj v bod spojiosi prvj driváci čiž v bod korý j zárovň j bodom spojiosi fukci f ) Druhá driváci fukci j ) ) ) ) y ) ) ) Položím y

89 Vzorové rišé úlohy ) y isuj v bod spojiosi druhj driváci čiž v bod čo j j bod spojiosi fukci f ) Body rozdli clý dfiičý obor fukci ďlši irvly kd budm zisťovť zmiko prvj druhj driváci zákld oho určím mooóosť kovosť kokávosť fukci lokál rémy iflé body ) ) ) ) y - * y MX * y - - * - y IB BS Do súrdého sysému krslím SS BS prisčíky so súrdým sysémom použijm všky iformáci z buľky k čruiu grfu fukci Príkld Vyšrim pribh fukci y rcg črim jj grf Riši: Fukci j dfiová pr všky rál čísl Dfiičý obor fukci D f ) R

90 MTEMTIK I Limiy zčiku koci dfiičého oboru sú rcg ) rcg ) Prož j fukci clom svojom dfiičom obor spojiá BS isujú rcg k SS pr j primk q y [ rcg ] [ rcg ] rcg k SS pr j q y [ rcg ] [ rcg ] f ) rcg ) rcg rcg ) f ) fukci j pár z oho vyplýv ž Vo fukcii y rcg položím vypočím y rcg prisčík s osou o j bod [ ] y Ďlši prisčíky s vim rišiť o určiť vim lbo rcg j rscdá rovic korú Prvá driváci fukci j y rcg ) Položím y vypočím SB y j spojiá fukci má body v korých by prvá driváci isovl

91 Vzorové rišé úlohy Druhá driváci fukci j y ) ) ) ) Položím y ) y j spojiá fukci má body v korých by druhá driváci isovl Body rozdli clý dfiičý obor fukci ďlši irvly kd budm zisťovť zmiko prvj druhj driváci zákld oho určím mooóosť kovosť kokávosť fukci lokál rémy iflé body ) ) ) ) y - - y MX MIN y - - y IB Do súrdého sysému krslím SS BS prisčíky so súrdým sysémom použijm všky iformáci z buľky k čruiu grfu fukci

92 MTEMTIK I V úlohách vyšri pribh fukci čri grf : y y ) y y y y ) y y y y ) ) y y y y y y y l y y y l l y l ) y rcg y rcg y rcg y rcg y y y y y

93 Vzorové rišé úlohy Výsldky:

94 MTEMTIK I

95 Vzorové rišé úlohy

96 MTEMTIK I

97 Vzorové rišé úlohy NEURČITÝ INTEGRÁL Zákldé vzorc igrovi d d l pr d d l si d cos cos d si d g cos d cog si d rcg d rcg d l d l pr > d rcsi d rcsi d l ± ± ) ) f d l f ) f

98 MTEMTIK I Igrovi rozkldom úprvou Igrovú fukciu s sžím rozložiť súč rsp rozdil jdoduchších fukcií pričom využívm zám lgbrické lbo goiomrické vzťhy Pri igroví využívm zákldé vzorc igrovi Plí: ) b g ) d f ) d b g ) d f ) Príkld Vypočíjm d Riši: d d ) d d ) d l ) Príkld Vypočíjm d ) Riši: d d l l l l Príkld cos Vypočíjm d cos cos cos cos Riši: d d d ) d cos cos si cos cos g ) V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: ) d

99 Vzorové rišé úlohy ) d ) d ) d ) d ) d l l ) d ) d ) d ) d ) d ) d l - ) d l ) d ) ) d ) d ) d

100 MTEMTIK I d ) d ) ) c l d l d d ) l d d d ) d l rcsi d d d d d d

101 Vzorové rišé úlohy d l d c l ) d l ) d rcg l d l d l d l d d l l d d d d l d l ) cos ) d l l l l l l l si rcg g d g

102 MTEMTIK I d cos si cog g g cog ) d l g d rcsi l rcsi Igrovi subsiučou módou Igrál z fukci f [ ) ] ϕ ) vhodj subsiúci ϕ ) ϕ môžm zjdodušiť zvdím ovj prmj pomocou Dosávm: f [ ϕ ) ] ϕ ) d ϕ ) ϕ d d f )d ) Príkld Vypočíjm igrál ) d Riši: V dom príkld j fukci ϕ ) ) dosávm igrál z jdoduchšj fukci Píšm: ) ) d d d d Príkld Vypočíjm igrál d Riši: V dom príkld j fukci ) ϕ ) subsiúci dosávm igrál z jdoduchšj fukci Píšm: d d d d d d ϕ Zvdím subsiúci ϕ Zvdím lrcg ) Príkld Vypočíjm igrál d ) rcg Riši: V dom príkld j fukci ϕ ) l rcg ) ϕ ) rcg Zvdím subsiúci dosávm igrál z jdoduchšj fukci Píšm: lrcg ) lrcg ) l rcg ) d d ) rcg d d rcg

103 Vzorové rišé úlohy Príkld Vypočíjm igrál g ) d Riši: V dom príkld j fukci ϕ ) ) dosávm igrál z fukci g korý rozpíšm podil ϕ Zvdím subsiúci si Píšm: cos si g ) d d d g d d l cos l cos ) cos d d V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: ) d ) ) d ) ) d ) d ) ) d ) d ) ) d ) d ) ) d ) d ) d )

104 MTEMTIK I d ) d ) d d ) d d d ) d l ) ) ) ) rcg d ) ) d ) ) d d d d d d d l rcg rcsi rcsi ) l

105 Vzorové rišé úlohy d d ) d d d d d d l d l d d l ) l d l d l l ) l ) l rcg l rcsi l l l l l ) l l l d l l l ) l d l l l l d cog ) d l si ) si cos d si

106 MTEMTIK I cos si d si d cos cos d si si cos d si cos si d cos ) d cos cos si si rcgsi cos g ) si d si si cos d cos si d g l si rcg d l si rcg d rcg l ) d cos si ) lsi l ) rcg rcg rcg ) cog d l si l ) rcg l d rcg d ) d cosl d l rcg si l

107 Vzorové rišé úlohy Igrovi módou pr prs Nch fukci u v mjú spojié driváci irvl J Poom u ) v ) d u ) v ) u ) v )d Pri sldujúcich špciálych ypoch igrálov používm módu pr prs s ižši uvdou v : voľbou fukcií u ) ) u ) v ) d B v ) u ) d k P ) d P ) l d P ) cosk d P ) rcsi rsprccos ) d P ) si k k Z ) rcg rsp rccog d d V prípd polyóm ) zjdoduší P V prípd B polyóm ) P ) drivujm čím s zíži jho supň igrová fukci s P igrujm V ikorých prípdoch môž po použií módy pr prs vzikúť igrál z rcioálj fukci kp ) lbo igrál z ircioálj fukci kp ) Príkld Vypočíjm igrál cos d Riši: u v cos cos d si si d si cos u v si Príkld Vypočíjm igrál ) d Riši: V príkld použijm módu pr prs dvkrá u v ) d ) d ) u v u u v v ) Príkld Vypočíjm igrál l d Riši: ) c irvl ) ) u l v l d l d l u v Príkld Vypočíjm igrál rcsi d Riši: V príkld použijm jskôr módu pr prs poom subsiučú módu

108 MTEMTIK I rcsi d rcsi u rcsi u d v rcsi rcsi v c rcsi d d d Príkld Vypočíjm igrál cos d Riši: V príkld použijm dvkrá módu pr prs poom hľdý igrál vyjdrím zo získj rovic cos d si k ozčím Td u u cos v cos v si cos d si cos d I dosávm rovicu: V úlohách vypočíj určié igrály: si d I si cos ) I u u I si cos ) cos d si cos ) c v si v cos d Výsldky: ) d ) ) d ) ) d ) d ) d ) ) d ) ) d )

109 Vzorové rišé úlohy ) d ) ) d ) d d ) ) si d cos si ) si d )cos si ) cos d )si cos )si d )cos si )si d )cos si )cos d )si cos )cos d )si cos )si d )cos si )cos d )si cos ) si d )cos si cos ) cos d )si )cos si si d )cos si )cos d )si )cos si l d l l d l )

110 MTEMTIK I ) l d )l ) ) l d ) l l l d l l d l l l ) d ) [ l ) ] )l ) d l ) l ) d l ) l d l l d l l l d l ) l ) d )l ) d l ) l rcg d rcg l ) rcg d )rcg l ) ) rcg ) rcg d rcg rcg d rcg l ) ) rcg d ) rcg rcg d rcg rcg rccog d rccog l ) ) rccog d ) rccog

111 Vzorové rišé úlohy l ) rcsi d rcsi rcsi d ) rcsi ) rcsi d rcsi rccos d rccos ) rccos d )rccos ) rcsi d rcsi rcg d l l d l si d si l l l ) cog l si ) cos l d si l cosl ) d ) ) rcsi d rcsi ) Igrovi rcioálych fukcií P ) Fukciu f ) Qm ) k m hovorím ž fukci ) k < m hovorím ž fukci ) zývm rcioálou fukciou f j rýdzorcioál fukci f j rýdzorcioál fukci Kždú rýdzo rcioálu fukciu možo rozložiť súč lmárych zlomkov Nurčiý igrál z kjo fukci počím k ž ju rozložím súč lmárych zlomkov i poom igrujm

112 MTEMTIK I Kždú rýdzorcioálu fukciu môžm vyjdriť ko súč polyómu rýdzorcioálj fukci Td určiý igrál z kjo fukci počím k ž fukciu jprv prdlím kp ) poom počím igrál z polyómu lmárych zlomkov Igrovi ikorých lmárych zlomkov: d l α α Príkld Riši: Vypočíjm igrál d d l d α) k ) α) k k pr k α Príkld Riši: Vypočíjm igrál ) d d d c ) d d ) d d pr p q < použijm subsiúciu p q p p ) q p p p d kd q Dosávm rcg p p ) q Príkld Vypočíjm igrál d Riši: Njprv výrz v movli uprvím švorc d d ) Ďlj použijm subsiúciu d ) ) rcg d d d d rcg

113 Vzorové rišé úlohy p q p p q Mp N q p M d q p N M l rcg pr q < p Príkld Vypočíjm igrál d Riši: d d d d Použiím vzorc ) ) ) f d f f l dosávm: d l Pri výpoč druhého igrálu použijm úprvu švorc subsiučú módu d d d d d ) ) rcg Td d ) l rcg Príkld Vypočíjm igrál d Riši: Pomocou rozkldu dj rcioálj fukci lmár zlomky dosávm ) ) d d d d d d d d d d d d d ) Použiím vzorc ) ) ) f d f f l dosávm d d ) l l d rcg Td d rcg ) l l

114 MTEMTIK I Príkld Vypočíjm igrál d Riši: Fukci i j rýdzorcioál pro jprv prdlím čiľ movľom d d ) Rýdzorcioálu fukciu rozložím prciál zlomky d d d l d d d d l ) rcg Td d l l rcg V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: d ) ) l d ) l d ) ) l d ) ) l d ) l

115 Vzorové rišé úlohy d ) ) l d ) l ) ) d l d ) ) ) ) ) l d ) ) ) ) l d ) ) l d l d ) l d l d l d ) ) ) ) l d l d ) l l d ) ) l

116 MTEMTIK I d l ) ) d ) l ) d ) l ) d ) ) ) ) l d l d l d l l l d rcg d d d d rcg rcg rcg -) rcg - d l l rcg d ) l

117 Vzorové rišé úlohy d l l rcg d rcg ) l l d l l l ) ) d l l d rcg l l d l rcg d ) ) ) rcg rcg Igrovi ikorých ircioálych fukcií d R k k k K kd k k k L sú prirodzé čísl rišim pomocou subsiúci k pričom k j jmší spoločý ásobok čísl k k k L Príkld Vypočíjm igrál d Riši: Igrál rišim použiím subsiúci čím prvdim ircioálu fukciu rcioálu c d d d d d d l ) l )

118 MTEMTIK I d d c b d c b d c b R k k k L kd k k k L sú prirodzé čísl b c d sú rál čísl plí bc d môžm rišiť pomocou subsiúci k d c b pričom k j jmší spoločý ásobok čísl k k k L Príkld Vypočíjm igrál ) ) d Riši: Igrál rišim použiím subsiúci čím prvdim ircioálu fukciu rcioálu d d d ) ) ) c d d ) c b d rišim k ž výrz pod odmociou uprvím švorc vhodou subsiúciou poom využijm jd zo vzťhov: o k > d l o k < d rcsi Príkld Vypočíjm igrál d Riši: d d d d d ) d l

119 Vzorové rišé úlohy Príkld Vypočíjm igrál d Riši: d d d ) d d d rcsi P ) d b c určiých koficiov) počím pomocou zv Osrogrdského módy mód ) P d Q b c ) b c k d b c Uvdú rovosť zdrivujm vyásobím výrzom b c čím s zbvím igrálov odmocí Módou porovávi koficiov vypočím koficiy zámho polyómu Q ) kofici k Príkld Vypočíjm igrál d Riši: Dý igrál budm rišiť pomocou módy určiých koficiov d d b) k Drivovím oboch srá dosávm b) ) Vyásobím oboch srá výrzom mám k ) b) ) k Porovím koficiov oboch srách rovic vypočím b k d Igrál vypočím úprvou švorc poom d l Td

120 MTEMTIK I d l ) Príkld Vypočíjm d Riši Dý igrál budm rišiť pomocou módy určiých koficiov Dosávm d k B d d ) Drivovím oboch srá dosávm ) k B Vyásobím oboch srá výrzom dosávm ) ) ) k B k B Porovím koficiov oboch srách vypočím k k k B d l podľ vzorc d ± ± l poom l ) d k B d d V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: d l d ) d ) )

121 Vzorové rišé úlohy d ) ) d l d l d ) l l d ) l d ) ) l ) d d ) ) l d ) l d l d l d d ) d rcg l l rcg c kd

122 MTEMTIK I d ) ) d ) d l rcg l d d d d d d d d d d d d l l l l l rcsi l l ) rcsi ) l rcsi l

123 Vzorové rišé úlohy d l d l d l d l ) d l ) d l ) d l d l ) d l ) d l ) d ) l d ) d l ) d l )

124 MTEMTIK I d ) rcsi Igrovi rigoomrických fukcií Nikoré igrály z rigoomrických fukcií počím využiím vzťhov koré pli mdzi goiomrickými fukcimi Njčsjši používm: si cos cos cos si si cos cos cos si si cos y [ si y) si y) ] cos cos y [ cos y) cos y) ] si si y [ cos y) cos y) ] Príkld Vypočíjm igrál si d Riši: cos si d d si Príkld Vypočíjm igrál si si d Riši: si si d [ cos ) cos] d [ cos cos] d si si Igrál ypu: Rsi ) cos d vypočím pomocou subsiúci si Rcos ) si d vypočím pomocou subsiúci cos V obidvoch prípdoch spomíá subsiúci prvdi igrovú fukciu rcioálu

125 Vzorové rišé úlohy Príkld Riši: d Vypočíjm igrál cos Igrovú fukciu si jprv rozšírim vhodou jdokou v vr použijm zámy vzťh si cos Dosávm: cos cos Igrová fukci j rz v vr R ) d cos cos d d cos cos si si cos d pro použijm subsiúciu si d cos cos si d si d d l l cos cos si cos d d si k Rsi cos ) d si d cos d môžm počíť pomocou subsiúci g plí Nikdy j výhodjši použiť vzorc subsiúcii si cos cos cos vyhúť s Príkld Riši: Vypočíjm igrál si g d cos si d ) d si cos cos d d g g g ) d Príkld g Vypočíjm igrál d g Riši: Igrál vypočím subsiúciou g

126 MTEMTIK I g d g g d d d ) d l l ) l g g R si cos ) d rišim subsiúciou d d g plí si cos Príkld d Vypočíjm igrál si cos Riši: g si d d d si cos cos d d g d d l l ) ) g V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: si cos d si cos d si si d si si cos cos d si si si cos d cos cos

127 Vzorové rišé úlohy si si si d cos cos cos si cos d cos cos si si cos d ) d si cos l cos cos cos cos si d cos si si si cos d cos si d cos cos l cos si si cos d si si d cos ) cos d si si si l si si l cos cos si cos d si si rcg cos d si si si d si l si cos d cos si cos d si si cos cog si cos d si l si si

128 MTEMTIK I cos si d si ) si cos d si si si l cos ) si d cos ) cos si d cos cos cos l si si d cos si d cos cos si d cos si d cos l si cos cos l cos cos cos cos cos si cos d si cos d si si si cog lsi d l si g l cos d l cos si ) l si cos d si cos d si si d cos si ) si si l l cos cos

129 Vzorové rišé úlohy cos d si si l si si cos ) d cos ) si cos cos si cos d si l si )si ) cos ) l cos si d cos cos si d cos cos cos ) l cos ) si cos d si si ) si si cos d si si ) si ) si cos d si si ) si ) cos si d cos cos cos l cos cos si d cos cos cos l cos si d cos d si cos cos l cos cos l cos d si si l si ) d si rcg g si d cos rcg g

130 MTEMTIK I cos d si si d cos g g rcg d si cos cos l g g g g d l cos cos d si d cos d si cos si cos d si cos d si si d si cos ) d si cos g g cog l l g g g l g l g g rcg l g l g ) g rcg g rcg d cos si ) rcg g

131 Vzorové rišé úlohy Igrovi pociálych fukcií V jo kpiol ukážm ko s počíjú igrály s pociálymi fukcimi R ) d vypočím pomocou subsiúci Príkld Vypočíjm igrál d Riši: d d l l d d Po použií subsiúci sm dosli igrál korý prí mdzi igrčé vzorc Príkld Vypočíjm igrál d Riši: Podob ko v prdchádzjúcom príkld použijm rovkú subsiúciu kd j l výhodé prmú zo subsiúci jprv vyjdriť poom drivovť Po subsiúcii dosm igrál z rýdzorcioálj fukci kd využijm rozkld prciál zlomky ásldé igrovi d l d d d ) ) d l l l V úlohách vypočíj určié igrály: Výsldky: d l d ) l ) d l ) ) d l

132 MTEMTIK I d d l l d l ) d ) l l d

133 Vzorové rišé úlohy URČITÝ INTEGRÁL Nwo Libizov vzorc Nch fukci f j igrovľá irvl fukciu F Poom plí Rozdil b) F ) b f ) d F b) F ) F s zvyk ozčovť iž zkom [ ] b b ch má irvl b primiívu F ) Príkld Vypočíjm igrál d Riši: d ) d [ l ] l) l ) l Igrovi subsiučou módou Nch fukci f j spojiá irvl ohričom uzvrom irvl Príkld Riši: J b ch fukci ϕ má spojiú driváciu I α β zobrzuj irvl I do J Poom plí b f l Vypočíjm igrál d l β ) d f [ ϕ ) ] ϕ ) d α d l d d d Igrovi módou pr prs Nch fukci u v sú spojio difrcovľé irvl b Poom plí Príkld b b [ u ) v ) ] u ) v ) d u ) v ) d Vypočíjm igrál rcg d b

134 MTEMTIK I Riši: rcg d d u rcg u rcg v v rcg ) d rcg ) V úlohách vypočíj určié igrály: d ) d ) d ) d d Výsldky: l d l d d d d d l l l rcg rcg

135 Vzorové rišé úlohy si si )cos d ) d ) d d ) l d ) cos ) si d d d d l rcg d l d l d cos d si cos si d

136 MTEMTIK I d d l d ) l d si si d d l si d ) d l d l d si l d l d l d rccos d d l

137 Vzorové rišé úlohy POUŽITIE URČITÉHO INTEGRÁLU Plošý obsh roviých úvrov Nch fukci f : b R g : b R sú spojié ch pr kždé b j f ) g ) Poom možiu D y) R b g ) y f ) zývm lmár oblsť v R vzhľdom os { } o lmár oblsť ypu [ y] ) Nch fukci Φ : c d R Ψ : c d R sú spojié ch pr kždé y c d j Ψ y) Φ y) Poom možiu Q y) R c y d Ψ y) Φ y) zývm lmár oblsť v { } R vzhľdom os y o lmár oblsť ypu [ ] y ) Plošý obsh lmárj oblsi D s počí podľ vzorc P [ f ) g ) ] d Plošý obsh lmárj oblsi Q s počí podľ vzorc P [ Φ y) Ψ y) ] dy b d c Príkld Vypočíjm obsh čsi roviy ohričj primkou y prbolou y Riši: Nčrm dé krivky možiu imi určú ozčm pr M

138 MTEMTIK I by sm možiu M popísli porbujm vypočíť prisčíky dých krivik: ) ) Moži M j lmár oblsť ypu [ y] pro ju môžm popísť rovosťmi: y Pr obsh možiy M plí: M ) [ ) ] P d Príkld Vypočíj obsh čsi roviy M ohričj krivkmi M : y y Riši: Moži M j súmrá podľ o pro sčí vypočíť obsh polovic plochy pr pr y > Ozčím úo možiu M poom plí P M ) P M) Vypočíjm prisčíky dých krivik: Spoločé body sú: [ ] [ ] Moži M j lmár oblsť ypu [ ] y y y pro ju popíšm rovosťmi: y y y

139 Vzorové rišé úlohy Pr obsh možiy y ) M plí P M ) y dy kd y dy cos y dy y cos si ) d si d d si y cos y y dy si d P M ) Td obsh dj možiy M j: y y ) dy P M ) P M ) Príkld Vypočíjm obsh čsi roviy M ohričj grfom fukci y irvl osou o Riši: Nčrm grf fukci korá osi o prchádz bodmi Moži M i j lmár oblsť by sm ju popísli rovosťmi musím ju rozdliť lmár oblsi: M : y M : y M : y Pr obsh čsi roviy M plí: M ) P M ) P M ) P ) P M

140 MTEMTIK I kd P M ) P ) d M ) ) d P M ) ) d Výsldok: P M ) V úlohách vypočíj obsh čsi roviy ohričj dými krivkmi y y y y y y y y y Výsldky: y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

141 Vzorové rišé úlohy y y y y y y l y y l y y l y y y l y l y y y y y y y y y y y y l l l l l y y y y l y y y rcsi y y y si y y y y y y y y y y

142 MTEMTIK I y y y y y y y y y y ) y y y l y y y l y y y l y l y y Objm ročého ls Nch j lmár oblsť krivočiry lichobžík) b g ) y f ) f g sú spojié záporé fukci irvl b : kd Roáciou krivočirho lichobžík v prisor R s osmi y z okolo - ovj osi vzik ročé lso korého objm V vypočím pomocou vzorc V b [ f ) g )] d V špciálom prípd k g ) plí f ) V d b

143 Vzorové rišé úlohy Príkld Vypočíjm objm ls koré vzik roáciou dj lmárj oblsi okolo o si : > y y Riši: Nkrslím popíšm lmáru oblsť y si : ) ) ) [ ] si cos si d d d g f V b Príkld Vypočíj objm ls koré vzik roáciou dj lmárj oblsi okolo o : y y Riši: Nkrslím popíšm lmáru oblsť y : ) ) d d V

144 MTEMTIK I Príkld Vypočíj objm ls koré vzik roáciou dj oblsi okolo o : y y Riši: Nkrslím popíšm oblsť Dá moži i j lmár oblsť l pr dosávm lmáru oblsť ozčm ) korú môžm popísť rovosťmi: : y Roáciou lmárj oblsi okolo o dosávm lso korého objm j polovic objmu dého ls Pro: ) ) V V d d V úlohách vypočíj objm ls koré vzik roáciou dj lmárj oblsi okolo o Výsldky: y y y y y y y y y y y y y y

145 Vzorové rišé úlohy y y y y y y y y y y y y y y ) y y y y ) y y l ) y y ) y y ) y y ) y y y y y y y y y y y y y y y y y y si y y si y y y y )

146 MTEMTIK I V úlohách - vypočíj objm ls koré vzik roáciou okolo osi o y oblsi ohričj krivkmi: Výsldky: y y y y y y y y y y y y ) y y y y y y y y y y l y y ) Dĺžk krivky k krivk j grfom f : b R korá má spojiú driváciu k pr jj dĺžku s plí b [ f ) ] d s Príkld Vypočíjm dĺžku dj krivky : y lsi cos Riši: Kdž f ) l si f ) Po dosdí do vzťhu pr výpoč dĺžky si krivky dosávm: cos si d d cos si si si d s d d d cos

147 Vzorové rišé úlohy l l V úlohách vypočíj dĺžku dj krivky Výsldky: : y l : y l : y lcos l g : y lsi l : y ) : y : y l l l l ) l : y l ) l : y l l : y rcsi : y rcsi ) Plošý obsh ročj plochy Plošý obsh ročj plochy korá vzik roáciou grfu spojio difrcovľj záporj fukci f : b R okolo osi s počí pomocou vzorc b [ f ) ] d S f )