ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές έοιες του μοωύμου, του πολυωύμου κι τω πράξεώ τους Θ σχοληθούμε με τη άλυση πολυωύμω σε γιόμεο πργότω, με τυτότητες κι με ρητά λγερικά κλάσμτ Οι συτελεστές τω μοωύμω κι τω πολυωύμω θεωρούμε ότι πίρου τιμές πό το σύολο τω πργμτικώ ριθμώ Αάλυση πολυωύμω σε γιόμεο πργότω Αάλυση πολυωύμου σε γιόμεο πργότω ή πλούστερ πργοτοποίηση είι η γρφή εός δεδομέου πολυωύμου ως γιόμεο πολυωυμικώ πργότω Οι πολυωυμικοί πράγοτες που εμφίζοτι πρέπει είι του ελάχιστου δυτού θμού Η άλυση πολυωύμου σε γιόμεο πργότω πολλές φορές δε είι δυτή Δε υπάρχει γεικός κός γι τη πργοτοποίηση πολυωύμω Όμως, γι ειδικές μορφές πολυωύμω δίουμε μεθόδους πργοτοποίησης ( Πολυωυμικές πρστάσεις που οι όροι τους έχου κοιό πράγοτ Πρδείγμτ ( ( + ( y 6 ( y + ( y ( y [ y ( y + ] ( y ( y y+ + ( y ( y y+ ( Χωρισμός σε ομάδες Στη περίπτωση υτή η πολυωυμική πράστση χωρίζετι σε ομάδες, σε κθεμί πό τις οποίες υπάρχει κοιός πράγοτς Η πργοτοποίηση είι δυτή, ό- τ μετά τη πργοτοποίηση τους οι ομάδες υτές εμφίζου κοιό πράγοτ

2 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Πρδείγμτ a + ay + b + by ( a + ay + ( b + by a ( + y + b ( + y ( + y ( a + b a + b a b ( a + b ( a + b ( a + b ( ( ( a + b (γ Διφορά τετργώω Α Α, Β είι πολυωυμικές πρστάσεις, τότε: A B A+ B A B ( ( Πρδείγμτ 6 y ( ( y ( + y ( y 6 8 y ( (9 y ( 9 y ( + 9 y [( (y ] ( + 9y (δ Πολυωυμικές πρστάσεις της μορφής : A ± AB + B Α Α, Β είι πολυωυμικές πρστάσεις, τότε: A + AB + B A + AB + AB + B A ( A + B + B ( A + B ( A+ B, δηλδή έχουμε ( y ( + y ( + 9y A + AB+ B ( A+ B Ομοίως έχουμε A AB + B ( A B Πρδείγμτ 9 + 0y + 5y ( + 5y + (5y ( + 5y ± y + y ( ± y + ( y ( ± y ( 5 y (y 6 ( 5y+ y 6 [ 5 y (y 6 ] ( y ( 5y y + 6 ( + y (0 8y ( + y (5 y (ε Τριώυμ Τριώυμ είι πολυωυμικές πρστάσεις της μορφής f ( + + γ με 0 κι,, γ

3 Αλγερικές πρστάσεις Ο ριθμός Δ γ οομάζετι δικρίουσ του τριωύμου f ( κι ι- σχύου τ εξής: Α Δ > 0, τότε το τριώυμο f ( λύετι σε γιόμεο πργότω της μορφής f ( ( (, όπου οι ριθμοί, δίοτι πό τους τύπους + Δ, Δ Πράγμτι, γ > 0, έχουμε γ f( + + γ γ + + a + + a Δ Δ Δ ( (, θέσουμε + Δ + Δ, Α Δ 0, τότε: f ( + Πράγμτι, Δ 0 έχουμε: γ f ( γ Δ + + a + a + A Δ < 0, τότε το τριώυμο f ( δε λύετι σε γιόμεο πρωτοάθμιω πργότω Πράγμτι, Δ < 0, τότε έχουμε f ( + + γ a + Δ + Δ + +, δηλδή το τριώυμο f ( είι γιόμεο του συτελεστή επί μί πράστση που είι άθροισμ τετργώω Πρδείγμτ Ν πργοτοποιήσετε το τριώυμο f ( + Αφού είι:,, γ κι Δ γ ( > 0, οπότε + Δ + Δ,

4 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Έχουμε f ( + ( ( Ομοίως γι το τριώυμο f ( 5 0 +, έχουμε 5, 0, γ, Δ ( > 0 κι ± Δ 0 ± 00 0 ± 0 ±, Άρ είι + f ( Ομοίως γι το τριώυμο f ( + +, είι,, γ, κι Δ < 0, οπότε το τριώυμο f ( + + δε λύετι σε γιόμεο πργότω Ομοίως γι το τριώυμο f ( 8 + 6, είι, 8, γ 6, κι Δ ( 8 6 0, οπότε : 8 f ( ( (στ Αάλυση εός όρου σε άθροισμ ή διφορά άλλω όρω Πολλές φορές, γι τη άλυση μις πολυωυμικής πράστσης σε γιόμεο πργότω, είι γκίο λύσουμε έ ή περισσότερους όρους σε άθροισμ ή διφορά άλλω όρω Έτσι, δίετι η δυτότητ εφρμόσουμε μί πό τις προηγούμέες μεθόδους πργοτοποίησης, πχ με το χωρισμό σε ομάδες Πρδείγμτ Ν λυθεί σε γιόμεο πργότω η πράστση A + + γ + γ + γ + γ + γ Λύση A + + γ + γ + γ + γ + γ ( + γ + ( + γ + ( γ + γ + ( γ + γ ( + γ + ( + γ + γ ( + γ + γ ( + γ ( + γ ( + + γ + γ ( + γ [( + + ( γ + γ ] ( + γ [( ( + + γ ( + ] ( + γ ( + ( + γ ( + ( + γ ( γ + Ν λυθεί σε γιόμεο πργότω η πράστση f ( 5 +

5 Αλγερικές πρστάσεις Λύση f ( ( ( ( + ( ( ( [ ( + ] ( ( ( Ν λυθεί σε γιόμεο πργότω η πράστση f ( + Λύση f ( ( + ( ( + [ ( ] ( + ( + ( + ( (ζ Αξιοσημείωτ πηλίκ της μορφής: ±, N* Σύμφω με τη τυτότητ της τέλεις διίρεσης κάθε πράστση της μορφής, N διιρούμεη με δίει υπόλοιπο 0 κι πηλίκο Έτσι έχουμε ( ( Ειδικά γι μ, μ N*, έχουμε μ μ μ μ μ μ μ μ ( ( ( ( + Γι πράδειγμ, έχουμε ( a ( ( a ( ( a ( + ( ( + ( + Γι μ +, μ, η πράστση + διιρούμεη με + δίει υπόλοιπο 0 κι ισχύει η ισότητ: + ( + ( Γι πράδειγμ, έχουμε + ( a + ( ( a + ( ( a + (

6 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Ειδικές περιπτώσεις Γι μ +, μ, η πράστση + διιρούμεη με + δίει υπόλοιπο, οπότε η πρπάω μέθοδος δε μπορεί εφρμοστεί Αυτό όμως δε σημίει ότι η πράστση + δε λύετι σε γιόμεο πργότω Στη ειδική περίπτωση που το είι άρτιο πολλπλάσιο περιττού ριθμού, έ- στω κ μ, όπου κ κι μ περιττός, τότε κμ κμ + + κ μ κ μ ( + ( κ κ κ μ κ μ κ κ μ ( + [( ( + iii + ( ] Γι πράδειγμ, έχουμε: ( + ( ( + [( + ( ] ( + ( ( + ( ( + ( ( + ( ( + ( + κ Στη ειδική περίπτωση που είι, κ, κ > έχουμε: κ κ κ κ + + ( + ( κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ ( + ( + ( + ( κ κ κ κ κ κ κ κ + + ( + Γι πράδειγμ, έχουμε: ( + + ( + ( + ( ( ( ( + ( (η Συδυσμός άλλω μεθόδω Αφέρουμε τις πρκάτω χρκτηριστικές περιπτώσεις : Α + ΑΒ + Β Γ (Α + Β - Γ (Α + Β + Γ(Α + Β - Γ Α -ΑΒ + Β - Γ (Α - Β -Γ (Α - Β + Γ(Α - Β - Γ 6

7 Αλγερικές πρστάσεις Γι πράδειγμ έχουμε γ ( + (γ ( + + γ ( + γ 5 + γ γ (5 ( γ [( 5 + ( γ ] [ (5 ( γ ] + ( 5 + γ (5 + γ ( + ( + ( + + ( ( + ( + + ( + ( ( + + ( + (θ Χρήση τυτοτήτω Η περίπτωση υτή θ μελετηθεί στη επόμεη εότητ τω τυτοτήτω (ι Πολυώυμ θμού > Θεωρούμε το πολυώυμο f( , κ 0 Σύμφω με τη θεωρί διιρετότητς πολυωύμω, γι το ριθμό ρ ι- σχύει f ( ρ 0, τότε το πολυώυμο ρ διιρεί το πολυώυμο f ( Το πηλίκο π ( της διίρεσης υτής, μπορεί ρεθεί με το σχήμ Horner Έτσι έχουμε f ( ( ρ π ( Ειδικότερ, γι είι ο κέριος ριθμός ρ ρίζ του πολυωύμου f ( με - κέριους συτελεστές πρέπει ο ριθμός ρ είι διιρέτης του στθερού όρου 0 Επομέως οι πιθές κέριες ρίζες του πολυωύμου f ( είι οι διιρέτες του στθερού όρου 0 κ Επιπλέο, γι είι ο ρητός ριθμός ρ ρίζ του πολυωύμου f ( με - λ κέριους συτελεστές πρέπει ο ριθμητής κ είι διιρέτης του στθερού όρου 0 κι ο προμστής λ είι διιρέτης του μεγιστοάθμιου όρου Πράδειγμ Ν πργοτοποιηθεί το πολυώυμο f ( Λύση Οι διιρέτες του στθερού όρου είι οι: ±, ±, ±, ± 6 Πρτηρούμε ότι f ( 0, οπότε με το σχήμ Horner λμάουμε Έτσι έχουμε f ( ( ( ( ( (, 7

8 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 φού γι το τριώυμο έχουμε, 5, γ 6, Δ > 0 κι 5 5 +, Τυτότητες Τυτότητ είι η ισότητ μετξύ δύο λγερικώ πρστάσεω που ληθεύει γι όλες τις τιμές τω μετλητώ που εμφίζοτι Στη εότητ υτή θ πριθμήσουμε τις σικές τυτότητες που χρησιμοποιούμε γι τη διευκόλυση του λγερικού λογισμού Στ επόμε θ σχοληθούμε με τις μεθόδους επλήθευσης τυτοτήτω ( Τετράγωο θροίσμτος (διφοράς δύο όρω ( ( + ( Γιόμεο θροίσμτος δύο όρω επί τη διφορά τους ( + ( (γ Κύος θροίσμτος (διφοράς δύο όρω ( ( + (δ Άθροισμ (διφορά κύω + ( + ( + ( ( + + (ε Τετράγωο θροίσμτος όρω, ( + + γ + + γ + + γ + γ γ δ γ δ γ δ γ δ γδ (

9 Αλγερικές πρστάσεις Γεικότερ, έχουμε ( ( ( ( ( ( ( ( ή συοπτικά ( ( i + i j, i i< j όπου στη τελευτί ισότητ έχουμε χρησιμοποιήσει το σύμολο του θροίσμτος γράφοτς i i i j i< j Έτσι έχουμε το κό: Το τετράγωο του θροίσμτος όρω, ισούτι με το άθροισμ τω τετργώω τω όρω του, υξημέο κτά το διπλάσιο του λγερικού θροίσμτος τω γιομέω τω όρω του λμομέω ά δύο με όλους τους δυτούς τρόπους (στ Κύος θροίσμτος τριώ όρω ( + + γ ( + + γ ( + + γ ( + + γ + + γ + γ( + + γ + + γ γ + γ + γ + 6γ + + γ + ( + + γ + γ + γ + γ + + γ + ( + ( + γ ( γ +, σύμφω με το Πράδειγμ της (στ περίπτωσης της πργοτοποίησης πολυωυμικώ πρστάσεω Άρ έχουμε: π όπου προκύπτει ο κός: ( + + γ + + γ + ( + ( + γ ( γ + Ο κύος του θροίσμτος τριώ όρω ισούτι με το άθροισμ τω κύω τω όρω του, υξημέο κτά το τριπλάσιο του γιομέου τω λγερικώ θροισμάτω τω όρω του λμομέω ά δύο με όλους τους δυτούς τρόπους 9

10 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Γι πράδειγμ έχουμε: 6 6 ( ( + ( + ( + ( ( ( ( ( ( ( ( ( + ( (ζ Η τυτότητ τω κύω (Euler γ ( γ( γ γ γ γ ( + + γ [( + ( γ + ( γ ] + γ Απόδειξη + + γ γ ( + ( + + γ γ ( + + γ ( + + γ [( + + γ ][( + ( + γ + γ ] ( + + γ ( + + γ [( + + γ γ γ ] ( + + γ ( + + γ γ γ Η δεύτερη μορφή προκύπτει μέσω της ισότητς + + γ γ γ ( + + γ γ γ [( a + ( γ + ( γ ] Γι πράδειγμ έχουμε: 8 6γ γ + ( + ( γ ( ( γ ( γ ( + + 6γ + 8γ + γ ( + ( ( + ( + ( + ( + ( ( ( + [ ] ( + ( + ( + ( + ( + ( + + ( + ( + ( + ( ( + + ( ( + (η Οι τυτότητες του Lagrange (i ( + ( + ( + ( Χρησιμοποιώτς το σύμολο της ορίζουσς εός πίκ, το δεύτερο μέλος της (i γράφετι: 0

11 Αλγερικές πρστάσεις ( Η επλήθευση της (i γίετι εύκολ με πράξεις στο πρώτο μέλος (ii ( ( + + ( ( + ( + ( (Επλήθευση εύκολη με πράξεις στο πρώτο μέλος (iii Γεικότερ γι τις -άδες,,,,,,, έχουμε ( ( ( ( ( Πρδείγμτ Ν ποδείξετε ότι ( + ( + ( + ( Απόδειξη ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( ( Ν μεττρέψετε τη πράστση ( + ( + y + ( + y σε άθροισμ τετργώω Λύση ( + ( + y + ( + y ( ( + y + ( + y+ 0 y y 0 ( + y +

12 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 (θ Η τυτότητ του De Moirve + + γ γ γ ( + + γ ( + + γ ( + γ ( + γ Απόδειξη + + γ γ γ + + γ + γ γ ( + γ ( ( γ ( γ [( + γ ][( γ ] ( + + γ ( + γ ( + γ ( γ ( + + γ ( + + γ ( + γ ( + γ (ι Η τυτότητες του Νεύτω ( + ( + + ( + + ( ( ( + + ( + ( + ( + γ + ( + + γ + ( + γ + γ + γ ( ( ( γ ( + + γ + ( + γ + γ γ Η επλήθευση τω πρπάω τυτοτήτω γίετι εύκολ με πράξεις στο πρώτο μέλος τους Γεικότερ, θεωρήσουμε τους πργμτικούς ριθμούς,,,, έχουμε τις τυτότητες: ( ± ( ± ( ± ± ( ( ( ( + + ( ± ( + ή συτομότερ, ( + ( + ( + +Σ +Σ +Σ + +Σ +Σ, όπου γι τους ριθμούς,,,, έχουμε θέσει: Σ + + +, Σ

13 Αλγερικές πρστάσεις [Άθροισμ γιομέω τω ριθμώ,,,, λμομέω ά δύο Υπάρχου! ( συολικά : όροι] (!! Το σύμολο! διάζετι «ι πργοτικό» κι ορίζετι ως εξής:!,,,, κι 0! Σ [Άθροισμ γιομέω τω ριθμώ,,,, λμομέω ά τρεις Υπάρχου! ( συολικά : όροι]!(! Σ [Άθροισμ γιομέω τω ριθμώ,,,, λμομέω ά Υπάρχου όροι] Σ (ι Το διώυμο του Νεύτω Α στις τυτότητες του Νεύτω θέσουμε:, λμάουμε το άπτυγμ του διωύμου του Νεύτω: ( + Σ, + + Σ + Σ + Σ + + Σ όπου έχουμε Σ + + +,! φού, (!! Σ! ( φού,!(! Σ ( ( 6,, Σ, Σ, φού είι:! ( ( :,!(! 6

14 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Έτσι έχουμε: ( Από τη πρπάω τυτότητ λμάουμε: ( ( ( ( Χρησιμοποιώτς το σύμολο Σ του θροίσμτος κι το σύμολο τω συδυσμώ ά κ μπορούμε γράψουμε το διώυμο του Νεύτω ως εξής: κ κ κ κ + 0 ( κ κ κ κ κ 0 ( ( Γι τις μικρές τιμές του έχουμε τ πτύγμτ: ( + ± ± ( ± + ± ± 6 ( + ± + ± ± ( ± + ± + ± ± ( ± + ± ± + ± ± Πρτηρήσεις Έ πολυώυμο, ( f είι ομογεές θμού k, γι κάθε t R ισχύει η ι- σότητ, (, ( κ f t t t f Έτσι, εύκολ διπιστώουμε ότι τ πολυώυμ ( a ± είι ομογεή θμού Το πλήθος τω όρω τω δύο πτυγμάτω είι + Οι εκθέτες του πό ριστερά προς τ δεξιά μειώοτι κτά, εώ οι εκθέτες του υξάοτι κτά

15 Αλγερικές πρστάσεις Όλοι οι όροι του πτύγμτος ( + a έχου θετικά πρόσημ, εώ οι όροι του ( a έχου ελλάξ θετικό-ρητικό πρόσημο! Επειδή ισχύει :, 0 κ, 0!, οι συτελεστές τω κ κ κ!( κ! όρω που ισπέχου πό τους άκρους όρους είι ίσοι Α ο είι άρτιος, το πλήθος τω όρω τω δύο πτυγμάτω είι περιττό κι τότε μόο υπάρχει μεσίος όρος Ο συτελεστής εός όρου (χωρίς πρόσημο, μετά το πρώτο, προκύπτει πό το προηγούμεο όρο ως εξής: ( συτελεστ ής ( εκθ έτης του θ έσητου όρου στο άπτυγμ 6 Γι πράδειγμ, στο άπτυγμ του ( + a ο συτελεστής του τρίτου όρου προκύπτει πό το δεύτερο όρο ως εξής: ( συτελεστ ής ( εκθ έτης του θ έση δεύτερου όρου Εκτός του πρπάω μημοικού κό γι τη εύρεση τω συτελεστώ του πτύγμτος ( + a γι τις διάφορες τιμές του, χρησιμοποιούμε κι το τρίγωο του Pascal (6 66 που εμφίζετι πρώτ στο έργο του Pascal «Περί ριθμητικού τριγώου» το 65 Τ κρί στοιχεί κάθε γρμμής είι, εώ τ υπόλοιπ προκύπτου με πρόσθεση δύο στοιχείω της προηγούμεης γρμμής, δηλδή του στοιχείου που ρίσκετι στη κριώς πό πάω θέση ριστερά κι του στοιχείου που ρίσκετι κριώς δεξιά του Το τρίγωο του Pascal μέχρι 7 Γι πράδειγμ, το στοιχείο 0 του πίκ προκύπτει πό το άθροισμ τω στοιχείω 0 κι 0 της προηγούμεης γρμμής 5

16 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 (ι Τυτότητες κάτω πό συθήκες Γι τους πργμτικούς ριθμούς,, γ ισχύει η ισοδυμί: + + γ 0 ή γ + + γ γ Απόδειξη Η πόδειξη είι άμεση συέπει της τυτότητς τω κύω (Euler + + γ γ ( + + γ ( + ( γ + ( γ Αλογίες [ ] Αλογί είι η ισότητ δύο λόγω, δηλδή η ισότητ γ, δ 0 δ Οι όροι,, γ, δ μις λογίς μπορεί είι ριθμοί ή γεικότερ λγερικές πρστάσεις Οι, δ είι οι άκροι όροι, εώ οι, γ είι οι μέσοι όροι της λογίς Η λογί, γ 0, γ λέγετι συεχής κι ο λέγετι μέσος άλογος τω κι γ Στη συέχει φέρουμε τις σικές ιδιότητες τω λογιώ, όπου όλοι οι εμφιζόμεοι προμστές πρέπει είι διάφοροι του μηδεός γ (i δ γ δ Τ γιόμε τω άκρω κι τω μέσω όρω είι ίσ Απόδειξη γ δ γ δ γ 0 δ γ δ δ 0 γ δ γ δ (ii δ γ δ γ Με ελλγή τω άκρω ή τω μέσω όρω η λογί δε μετάλλετι Το ίδιο ισχύει κι με τιστροφή τω λόγω (iii (iv γ γ ± γ ± δ ± ± δ δ δ γ γ δ ± γ ± δ 6

17 Αλγερικές πρστάσεις Απόδειξη γ ( γ ± δ γ ( ± ± γ ± δ γ γ ± δ γ ± γ δ γ δ (v γ + γ + δ γ δ δ γ δ + γ + δ Απόδειξη γ δ + γ + δ (τιστροφή λόγω + γ + δ γ δ ( + ( γ δ ( ( γ + δ γ δ + γ δ γ + δ γ δ γ γ δ δ γ δ (vi Α είι, τότε κ + κ + + κ, κ + κ + + κ ( κ + + κ, 0, 0 κ Απόδειξη Α οομάσουμε λ τους ίσους λόγους, δηλδή λ Τότε θ έχουμε i λ i, γι κάθε i,,, κι λ + λ + + λ λ( κ + κ + + κ κ λ + κ λ + + κ λ λ( κ + κ + + κ οπότε θ είι κ + κ + + κ λ κ + κ + + κ Πρτήρηση Η μέθοδος πόδειξης της τελευτίς ιδιότητς χρησιμοποιείτι συχά σε σκήσεις, στις υποθέσεις τω οποίω υπάρχου μί ή περισσότερες λογίες 7

18 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Ρητά λγερικά κλάσμτ A Ρητό λγερικό κλάσμ είι μί συάρτηση της μορφής y, όπου τ Α, Β B είι πολυώυμ μις ή περισσοτέρω μετλητώ Το πρπάω ρητό λγερικό κλάσμ έχει έοι γι εκείες τις τιμές τω μετλητώ γι τις οποίες ισχύει Β 0 Στη εότητ υτή θ σχοληθούμε με τη πλοποίηση ρητώ λγερικώ κλσμάτω κι με τις διάφορες πράξεις μετξύ υτώ Γι τη πλοποίηση του ρητού λγερικού κλάσμτος Α Β πργοτοποιούμε τους δύο όρους τους κι στη συέχει τους διιρούμε με το μέγιστο κοιό διιρέτη τους ΜΚΔ(Α, Β, δηλδή με το γιόμέο τω κοιώ τους όρω του μέγιστου δυτού θμού Το ρητό λγερικό κλάσμ Α δε πλοποιείτι, ότ οι όροι του είι Β πολυώυμ πρώτ μετξύ τους ή ισοδύμ ο ΜΚΔ(Α, Β είι έ στθερό πολυώυμο c 0 Με τη υπόθεση ότι όλοι οι εμφιζόμεοι προμστές στ δεδομέ κλάσμτ ή στ ποτελέσμτ είι διάφοροι του μηδεός, έχουμε σχετικά με τις πράξεις μετξύ ρητώ λγερικώ κλσμάτω: Α Γ Α ± Γ ±, Β Β Β Α Γ ΑΔ±ΒΓ ± Β Δ ΒΔ Α Γ ΑΓ Β Δ ΒΔ Α Γ Α Δ ΑΔ : Β Δ Β Γ ΒΓ,, Η κλσμτική πράστση της μορφής Χ, όπου όροι Χ, Υ είι τ ρητά λγερικά κλάσμτ Χ,Y λέγετι σύθετο κλάσμ Σε έ σύθετο κλάσμ είι Υ Α Γ Β Δ δυτό ισχύει μί το πολύ πό τις ισότητες Β ή Δ Τ ρητά λγερικά κλάσμτ με Β Δ, δηλδή με Χ Α, Υ Γ, τ λέμε πλά Έ σύθετο κλάσμ μεττρέπετι σε πλό σύμφω με το γωστό κό πολλπλσισμού άκρω κι μέσω όρω A X B A Γ A Δ Α Δ : Y Γ B Δ B Γ Β Γ Δ 8

19 Αλγερικές πρστάσεις Πρδείγμτ Ν πλοποιηθεί το ρητό λγερικό κλάσμ y(a + b + ab( + y Κ y(a - b + ab( - y Λύση Ο ριθμητής του κλάσμτος πργοτοποιείτι ως εξής: y(a + b + ab( + y ya + yb + ab + aby (ya + ab - (yb + aby a(ay + b - by(ay + b (ay + b(a - by Ομοίως ο προομστής του κλάσμτος γράφετι: y(a - b + ab( - y ya - yb + ab - aby (ya + ab - (yb + aby a(ay + b - by(ay + b (ay + b(a - by Άρ έχουμε: (ay + b(a + by a + by K (ay + b(a - by a - by, εφόσο (ay + b(a - by 0 Ν μεττρπεί σε ρητό λγερικό κλάσμ η πράστση y+ y y + y K i : y( y y + y ( y Λύση Πργοτοποιούμε όπου είι δυτό τους όρους τω κλσμάτω Έτσι έχουμε: y( y y y + y y ( y, y ( y( + y, + y (+ y( y+ y 9

20 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y + y ( y( + y ( y K i i ( y ( + y( y + y + y ( y + y ( y ( + y ( y + y ( y ( + y y, + y εφόσο γι τις μετλητές, y ισχύει ± y 0 Ν μεττρπεί σε πλό το σύθετο κλάσμ + y + y i y + y Σ y y + y Λύση Ο ριθμητής του κλάσμτος γράφετι: A y y + y y i y + y y y i y + y ( y( + y Ο προομστής του κλάσμτος γράφετι: οπότε έχουμε y( y + y y y ( y( y Π +, y y y ( y( + y ( y( + y ( y( + y ( y( + y y Σ : i, εφόσο γι τις μετλητές,y κι ± y 0 5 Μεθοδολογί πόδειξης τυτοτήτω Στη εότητ υτή θ σχοληθούμε με μεθόδους πόδειξης τυτοτήτω με συθήκες ή κι χωρίς συθήκες Τ διάφορ ποδεικτικά προλήμτ μπορού τξιομηθού στις εξής κτηγορίες: I f g Ισότητ τω λγερικώ πρστάσεω f κι g γι όλες τις τιμές τω μετλητώ που ήκου στη τομή τω πεδίω ορισμού τω λγερικώ πρστάσεω f κι g 0

21 Αλγερικές πρστάσεις II f 0,f 0,f 0, Ν* g 0 Οι εξισώσεις fi 0,i,,,, Ν *, ποτελού τις συθήκες ή περιορισμούς του προλήμτος, τους οποίους θ χρησιμοποιήσουμε γι τη πόδειξη της ισότητς g 0 III f 0 g 0 ή g 0 ή ή 0, Η εξίσωση f 0 ποτελεί τη συθήκη ή περιορισμό του προλήμτος, τη οποί θ χρησιμοποιήσουμε γι ποδείξουμε ότι ληθεύει μί τουλάχιστο πό τις ισότητες g 0,g 0,,g 0 g IV f 0 g 0 κι g 0κι g 0 Στη συέχει, θ σχοληθούμε λυτικά με κάθε μί πό τις προηγούμεες περιπτώσεις Ι Απόδειξη τυτοτήτω: f g Σε πολλές σκήσεις ζητείτι ποδείξουμε τη λήθει μις ισότητς της μορφής f g, γι όλες τις τιμές τω μετλητώ που ήκου στη τομή τω πεδίω ορισμού τω λγερικώ πρστάσεω f κι g Γι τη πόδειξη υτώ τω τυτοτήτω χρησιμοποιούμε μί πό τις πρκάτω μεθόδους: (Α Η ευθεί πόδειξη (Β Χρήση της μεττικής ιδιότητς (Γ Η μέθοδος της μθημτικής επγωγής (Α Ευθεί πόδειξη Ξεκιάμε πό το έ μέλος της ισότητς κι με εκτέλεση όλω τω δυτώ πράξεω κι πργοτοποιήσεω κτλήγουμε στο άλλο μέλος της ισότητς Πρδείγμτ Ν ποδειχθεί η τυτότητ ( y + ( + y + ( y( + y ( + y Απόδειξη ( ος τρόπος Με εκτέλεση τω πράξεω στο πρώτο μέλος λμάουμε ( y + ( + y + ( y( + y y + y y + + y + y + y + y + y ( + y

22 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 ( ος τρόπος Επειδή στο πρώτο μέλος εμφίζοτι τρεις κύοι κι το τριπλάσιο γιόμεο τω άσεω προσπθούμε εφρμόσουμε τη τυτότητ τω κύω μετά τις κτάλληλες προσρμογές Έτσι έχουμε: ( y + ( + y + ( y( + y ( y + ( + y + ( ( ( y( + y ( y+ + y [( y + (+ y + ( ( y(+ y (+ y( ( (+ y] ( y+ y + + y+ y + ( + y + y + + y+ y Ν ποδειχθεί η τυτότητ ( yz + (y z + (z y ( yz(y z(z y ( + y + z yz Απόδειξη Θ εφρμόσουμε στο πρώτο μέλος τη τυτότητ του Euler + + γ -γ ( + + γ ( - +( - γ +(γ -, θεωρώτς -yz, y z, γ z y Έτσι το πρώτο μέλος, έστω Α, γράφετι A ( yz+ y z+ z y ( yz y + z + (y z z + y + (z y + yz ( y z y yz z + + ( y (+ y+ z + (y z (+ y+ z + (z (+ y+ z ( y z y yz z + + ( + y + z ( y + (y z + (z ( + y+ z( + y + z y yz z ( + y + z ( y + (y z + (z ( + y + z yz ( + y + z yz ( + y + z yz (Β Με χρήση της μεττικής ιδιότητς Με εκτέλεση πράξεω σε κάθε μέλος χωριστά έχουμε f f f κ g g g Στη περίπτωση που προκύψει η ισότητ fκ g : h, τότε, μέσω της μεττικής ιδιότητς, πό τις ισότητες f h κι g h προκύπτει η ισότητ f g H προηγούμεη διδικσί μπορεί εκτελεστεί με χρήση διδοχικώ ισοδυμιώ, με εκτέλεση τιστρεπτώ πράξεω κι στ δύο μέλη, μέχρις ότου προκύψει ισότητ που θ είι προφώς ληθής

23 Αλγερικές πρστάσεις Έχουμε δηλδή : f g f g fκ gκ, όπου η διδικσί τελειώει εφόσο η λήθει της τελευτίς ισότητς είι φερή Πρδείγμτ Ν ποδειχθεί η τυτότητ ( + y + z (y + yz + z ( yz + (y z + (z y Λύση ( ος τρόπος Το πρώτο μέλος, έστω Α, γράφετι A + y + z + (y + yz + z y + y z + z + yz( + y + z + y + z + y + y z + z yz(+ y+ z Το δεύτερο μέλος, έστω Β, γράφετι B yz+ y z + y y z+ z + z z y+ y + y + z + y + y z + z yz(+ y+ z, δηλδή προέκυψε η ίδι πράστση, όπως κι γι το Α, οπότε λόγω της μεττικής ιδιότητς έπετι ότι A B ος τρόπος Η τυτότητ υτή μπορεί ποδειχθεί κι πευθείς με χρήση της τυτότητς του Lagrange με κτάλληλη διμόρφωση του πρώτου μέλους Έχουμε σχετικά: ( + y + z (y + yz + z ( + y + z ( + y + z (y + yz + z ( + y + z (z + + y (z + y + zy y y z z + + z y y z ( yz + (y z + (z y (Γ Η μέθοδος της μθημτικής ή τέλεις επγωγής Η μέθοδος υτή χρησιμοποιείτι γι τη πόδειξη τυτοτήτω κι γεικότερ προτσικώ τύπω Ρ(, όπου η μετλητή έχει σύολο φοράς τους θετικούς κέριους Σημειώουμε ότι με το σύμολο Ρ( συμολίζουμε μί μθημτική έκφρση που περιέχει το σύμολο E κι τη οομάζουμε προτσικό τύπο της μετλητής με σύολο φοράς το σύολο Ε Α τικτστήσουμε τη μετλητή με έ στοιχείο Ε, τότε η μθημτική έκφρση Ρ( που προκύπτει οομάζετι λογική πρότση ή πλά πρότση, δηλδή είι μί μθημτική έκφρση με υτοτελές όημ η οποί χρκτηρίζετι μόο ως «ληθής», δηλδή έχει τιμή ληθείς ή μόο ως «ψευδής», δηλδή έχει τιμή - ληθείς ψ

24 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Γι πράδειγμ, θεωρήσουμε το προτσικό τύπο P( : «ο είι περιττός ριθμός, N*», τότε η πρότση Ρ(: «ο είι περιττός ριθμός», είι ληθής (έχει τιμή ληθείς, εώ η πρότση Ρ(: «ο είι περιττός ριθμός», είι ψευδής (έχει τιμή ληθείς ψ Η μέθοδος σίζετι στη ρχή της μθημτικής επγωγής που κολουθεί Θεώρημ (Αρχή της μθημτικής επγωγής Έστω Ρ( είι ές προτσικός τύπος με N*, γι το οποίο ισχύου: ( Ρ( ληθής, ( γι κάθε κ N*, Ρκ ( ληθής, τότε κι Ρ( κ+ είι ληθής Τότε ο προτσικός τύπος Ρ( ληθεύει γι κάθε N* Πρτηρήσεις (Ι Τ ήμτ στη εφρμογή της μεθόδου της μθημτικής επγωγής είι δύο ( ο Πρώτ ποδεικύουμε ότι ληθεύει ο προτσικός τύπος γι ( ο Στη συέχει υποθέτουμε ότι η πρότση ληθεύει γι κ κι ποδεικύουμε ότι ληθεύει κι γι κ+ (ΙΙ Η μέθοδος της μθημτικής επγωγής μπορεί χρησιμοποιηθεί γι τη πόδειξη προτσικώ τύπω Ρ( γι 0, όπου 0 είι ές θετικός κέριος μεγλύτερος του Στη περίπτωση υτή ποδεικύουμε πρώτ ότι ληθεύει ο προτσικός τύπος γι 0 Στη συέχει υποθέτουμε ότι ληθεύει η πρότση Ρκ (, κ, κ 0, κι ποδεικύουμε ότι ληθεύει κι η πρότση Ρκ+ ( (ΙΙΙ Υπάρχει κι δεύτερη μορφή της μθημτικής τέλεις επγωγής που κολουθεί πάλι δύο ήμτ κι σίζετι στο πρκάτω θεώρημ: Θεώρημ Έστω ές προτσικός τύπος με γι το οποίο ισχύου: ( οι προτάσεις Ρ(κι Ρ( είι ληθείς, ( οι προτάσεις Ρκ ( κι Ρ( κ+, κ με κ >, είι ληθείς, τότε κι η πρότση είι ληθής Τότε ο προτσικός τύπος Ρ( ληθεύει γι κάθε N* (IV H πρτήρηση ΙΙ ισχύει κι γι τη δεύτερη μορφή της μθημτικής επγωγής

25 Αλγερικές πρστάσεις Πρδείγμτ Ν ποδείξετε ότι γι κάθε θετικό κέριο ισχύει + ( ( ( (+ ( ( (γ ( ( + (δ i + i + +( + (ε i i + ( + Απόδειξη i ( Γι έχουμε τη πρότση Ρ ( :, ληθής Έστω κ( κ+ ότι ληθεύει η πρότση Ρκ ( : κ Θ ποδείξουμε ότι ληθεύει κι η πρότση ( κ + ( κ+ + ( κ+ ( κ+ Ρκ+ ( : κ+ ( κ+ Πράγμτι, έχουμε: κ+ ( κ+ ( κ + ( κ+ κκ+ ( + ( κ+ κ ( κ+ ( κ+ ( κ+ + Άρ, σύμφω με τη ρχή της μθημτικής επγωγής, γι κάθε θετικό κέριο ισχύει ότι ( (-ε Όλες ποδεικύοτι με τυπική εφρμογή της μεθόδου της μθημτικής επγωγής ΙΙ Απόδειξη τυτοτήτω κάτω πό συθήκες f 0,f 0,,f 0, g 0 (f,f,,f,g είι λγερικές πρστάσεις 5

26 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Στη περίπτωση υτή έχουμε τις υποθέσεις f 0, f 0,,f 0,, που είι μί ή περισσότερες κι οομάζοτι συθήκες ή περιορισμοί του προλήμτος Στηριζόμεοι στις πρπάω συθήκες πρέπει ποδείξου-με τη λήθει της ισότητς g 0 Οι μέθοδοι πόδειξης που χρησιμοποιούτι εξρτώτι πό τη μορφή τω συθηκώ κι μπορεί χρησιμοποιηθεί συδυσμός πό υτές Συοπτικά μπορού τξιομηθού ως εξής: A Ευθεί πόδειξη (με τικτάστση, χρήση πργοτοποίησης κι γωστώ τυτοτήτω Β Μέθοδος θεώρησης εξάρτητω μετλητώ Γ Μέθοδος διδοχικώ διφορώ Δ Μέθοδος πό τη θεωρί γρμμικώ συστημάτω Ε Μέθοδος πολυωύμω Στη συέχει θ περιγράψουμε κι θ δώσουμε πρδείγμτ γι κθεμί πό τις πρπάω μεθόδους Α Ευθεί πόδειξη Στη περίπτωση υτή γίετι τικτάστση τω μετλητώ στη ζητούμεη σχέση κι με πράξεις, πργοτοποιήσεις κι χρήση της υπόθεσης κι γωστώ τυτοτήτω στο έ μέλος, κτλήγουμε στο άλλο μέρος της ζητούμεης τυτότητς Πρδείγμτ Α γ + κι -, ποδείξετε ότι γ - - γ + - γ γ- + - Απόδειξη Με γ + κι - ο ριθμητής του πρώτου μέλους γίετι γ - - γ + ( - ( + - ( - -( + + ( - ( ( + - ( + - ( - - Ομοίως ο προομστής του πρώτου μέλους γίετι: ( +( + ( - - γ γ-γ - γ

27 Αλγερικές πρστάσεις Έτσι το πρώτο μέλος γίετι γ( -+( - (γ +( - ( ( γ - - γ + ( +( + ( - - γ ( + ( - - γ- + - ( + ( -( + - Α είι -, - γ y κι γ - z ποδείξετε ότι - - -γ -y γ - -z y+ - γ z+γ - Απόδειξη Α τικτστήσουμε τη μετλητή στο πρώτο όρο του πρώτου μέλους λμάουμε Ομοίως λμάουμε ( - - +/ ( - ( - + -/ ( - -γ -y γ - -z κι, y+ - γ z+γ - πό τις οποίες η ζητούμεη ισότητ είι φερή Α,,,y,,y 0 κι ότι y ( + ( + y (+y, ποδείξετε Απόδειξη Έχουμε ( + ( + y (+y ( + ( + y - (+y 0 0 y (πό τυτότητ Lagrange 7

28 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y y-0 y y, (φού,y 0 y Α είι + + γ 0 ποδείξετε ότι ( + +( + γ +(γ + -γ Απόδειξη Επειδή ισχύει ότι ( + +( + γ+(γ + ( + + γ0, έχουμε ( + +( + γ +(γ + ( + ( + γ(γ + (-γ(-(- (φού + + γ 0 γ 5 Α ισχύει + γ, ποδείξετε ότι γ + γ γ 0 Απόδειξη Με πργοτοποίηση το πρώτο μέλος της ζητούμεης ισότητς γίετι: γ +γ γ ( + + γ -γ -γ - ( + + γ(- + + γ(- + γ( +- γ (τυτότητ De Moirve 0, (λόγω της υπόθεσης + γ 6 Α είι γ( + + γ 0 κι + +, ποδείξετε ότι: γ + + γ + + γ ( + + γ Απόδειξη Στη περίπτωση υτή με πράξεις κι πργοτοποιήσεις στη δοθείσ συθήκη λμάουμε μί ή περισσότερες πλούστερες συθήκες με τη οήθει τω οποίω θ ποδείξουμε τη ζητούμεη ισότητ Έχουμε + + γ + + γ ( + γ + γ( + + γ-γ 0 ( + γ+ (γ + +γ ( ++γ 0 ( + γ+γ+ + γ+ γ+γ 0 ( + γ+γ( + γ+( + γ +γ 0 ( + γ[ +γ + ( + γ] 0 8

29 Αλγερικές πρστάσεις ( + γ( + + γ + γ 0 ( + γ [ ( + +γ( + ] 0 ( + γ( +(γ γ 0 ή + 0 ή γ + 0 Στη συέχει με υπόθεση κθεμί χωριστά πό τις πρπάω συθήκες θ ποδείξουμε τη λήθει της ζητούμεης ισότητς Α είι + γ 0, τότε -γ κι γ (-γ γ - + γ γ, (φού + γ 0 ( + + γ Α είι γ + 0 ή + 0, ομοίως προκύπτει η ζητούμεη ισότητ Β Μέθοδος θεώρησης εξάρτητω μετλητώ Στη περίπτωση υτή θεωρούμε στις εξισώσεις τω συθηκώ μί ή περισσότερες εξάρτητες μετλητές κι προσδιορίζουμε τις υπόλοιπες (εξρτημέες μετλητές συρτήσει τω εξάρτητω Στη συέχει τικθιστούμε τις εξρτημέες μετλητές στη ζητούμεη ισότητ κι εργζόμστε όπως στη περίπτωση Α Πρδείγμτ Α γι τους,, γ ισχύει ότι γ, ποδείξετε ότι γ γ + γ γ (δηλδή η πράστση του πρώτου μέλους είι εξάρτητη τω μετλητώ,, γ Απόδειξη Από τη δοθείσ συθήκη γ, θεωρώτς διδοχικά τις δύο πό τις μετλητές ως εξάρτητες λμάουμε,, γ γ γ ή ισοδύμ γ, γ, γ Έτσι το πρώτο μέλος της ζητούμεης ισότητς γίετι: γ γ + γ γ 9

30 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 ( +γ +( + γ +(γ + -( +γ( + γ(γ γ +6γ + γ + - γ - γ - γ - - γ- γ - γ - γ + + γ +5γ - γ( + + γ -(γ + γ +5-( + γ-, δηλδή είι εξάρτητη τω μετλητώ, κι γ Γ Μέθοδος διδοχικώ διφορώ Με διδοχικές φιρέσεις κτά μέλη τω δεδομέω συθηκώ κι με κτάλληλες πλοποιήσεις κτλήγουμε σε πλούστερες σχέσεις κι τελικά στη σχέση που ζητάμε ποδείξουμε Πράδειγμ Α οι πργμτικοί ριθμοί, y, z είι διφορετικοί μετξύ τους, ισχύου οι ισότητες + y + ky y + z + kyz z + + kz, ποδείξετε ότι (i + y + z 0 (ii yz y z z y Απόδειξη Θέτουμε + y + ky A ( y + z + kyz A ( z + + kz A ( Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε: z + ky( z 0 ( + z( z + ky( z 0 ( z( + z + ky 0 + z+ ky 0, ( φού πό τη υπόθεση είι z 0 Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε: y z + k(y z 0 (y + z(y z + k(y z 0 (y z(y + z + k 0 y+ z+ k 0, (5 φού πό τη υπόθεση είι y z 0 Με φίρεση κτά μέλή τω ( κι (5 έχουμε: y+ k(y 0 ( y( k 0 k, k κι 0

31 Αλγερικές πρστάσεις φού πό τη υπόθεση y 0 Με k πό τη ( προκύπτει η ισότητ του ε- ρωτήμτος ( + y+ z 0 Η ισότητ ( γίετι A + y + ky z y [φού k ] ( y( k 0 k, φού πό τη υπόθεση y 0 Με k πό τη ( προκύπτει η ισότητ του ε- ρωτήμτος ( + y+ z 0 Η ισότητ ( γίετι A + y + ky ( + y y + ky ( z ( ky[φού + y+ z 0] z y [φού k ] Ομοίως λμάουμε A y z yz, οπότε τελικά έχουμε yz y z z y Πράδειγμ Οι διάφοροι μετξύ τους κι του μηδεός πργμτικοί ριθμοί, y, z ικοποιού τις σχέσεις + y + μ( + y y + z + μ(y + z z + + μ(z + Ν ποδείξετε ότι ή πράστση y y+ z z z y K z y y y z z είι εξάρτητη τω, y, z κι μ Απόδειξη: Θέτουμε + y + μ( + y A ( y + z + μ(y + z A ( z + + μ(z + A ( Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε z + μ( z 0 ( z( + z + z + μ( z 0 ( z( + z + z + μ 0 z 0 z z μ ( Ομοίως με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε

32 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y + yz+ z + μ 0 (5 Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι (5 έχουμε y + z( y 0 ( y( + y + z 0 y 0 + y + z 0 (6 Μετά πό πράξεις η πράστση K γίετι y z z z z y y y z y K y y y z y z z z Επιπλέο έχουμε y z z z y zy+ z z + y y y y (y (y + z(y z y y (y (y + z z (y+ zz y y y z, (φού + y+ z 0 y Ομοίως προκύπτου z y + y z y z yz y y z y zy + z z z Έτσι η πράστση K γίετι z y ( + y + z K y yz z yz Όμως, είι γωστή η συεπγωγή + y + z 0 + y + z yz, οπότε μέσω υτής έχουμε ότι K 9, δηλδή είι εξάρτητη τω, y, z κι μ Δ Μέθοδος πό τη θεωρί γρμμικώ συστημάτω Η μεθοδολογί που κολουθεί φέρετι στη περίπτωση που μετξύ τω συθηκώ του προλήμτος υπάρχου δύο τουλάχιστο γρμμικές εξισώσεις ( Α οι συθήκες του προλήμτος περιλμάου το ομογεές γρμμικό σύστημ τύπου n n

33 Αλγερικές πρστάσεις a + a + + an n 0 a + a + + a nn 0 AX 0, a + a + + a 0 n n nn n όπου a a an 0 a a a n 0 A, X, 0, a n a na nn n 0 τότε η συθήκη ύπρξης μη μηδεικώ λύσεω του συστήμτος οδηγεί στη σχέση a a an a a a n A 0 a a a n n nn ( Στη ειδική περίπτωση που έχουμε μετξύ τω συθηκώ δύο ομογεείς γρμμικές εξισώσεις τριώ μετλητώ a + by + cz 0, ( a+ by+ cz 0 που ικοποιούτι πό τριάδες (,y,z (0,0,0, τότε με τη υπόθεση το σύστημ ( γίετι 0, τότε το σύστημ γράφετι στη ισοδύ- Ότ είι μη μορφή a b 0 a b, cz a+ by cz cz b a+ by cz a b b c 0 a b b a b b c z c b, b c κι c a c a a b } a a, y a y c c a c z c z b a b a z a b a b y z ( b c c a a b b c c a a b

34 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Στη μορφή υτή, συμολίζοτς τους ίσους λόγους με λ μπορούμε χρησιμοποιήσουμε τους, y, z στις υπόλοιπες συθήκες γι τη πόδειξη της ζητούμεης σχέσης b c Ότ είι 0 b c ή c a c a 0, τότε προκύπτει 0 y 0 κι έτσι έχουμε πιο πλές συθήκες ( Στη περίπτωση που έχουμε μετξύ τω συθηκώ δύο γρμμικές εξισώσεις δύο μετλητώ a + by + c 0 ( a + by + c 0 a b κι εφόσο ληθεύει ο περιορισμός 0, τότε τ, y ορίζοτι μοοσήμτ συρτήσει τω συτελεστώ a a b i, b i, c i, i, Έχουμε ότι c b a c c b a c, y, ( a b a b a b a b ή ισοδύμ, στη περίπτωση που οι ορίζουσες τω ριθμητώ είι μη μηδεικές έχουμε y (5 b c c a a b b c c a a b ( Στη περίπτωση που έχουμε μετξύ τω συθηκώ τρεις γρμμικές εξισώσεις δύο μετλητώ a + by + c 0 a + by + c 0 a + by + c 0 (6 τότε η συθήκη συμιστότητς (πλείφουσ του συστήμτος μς δίει τη σχέση a b c a b c 0 (7 a b c (5 Α μετξύ τω συθηκώ του προλήμτος υπάρχου δύο εξισώσεις μις μετλητής (8

35 Αλγερικές πρστάσεις που ληθεύου γι 0 κι είι 0, τότε, οπότε η συθήκη συμιστότητς είι 0 (9 Πράδειγμ Α γι τους πργμτικούς ριθμούς,,γ,,y,z με (,y,z (0,0,0 ληθεύου οι ισότητες + γy + z 0 ( γ + y + γz 0 ( + y + γz 0 ( ποδείξετε ότι + + γ γ Απόδειξη Το ομογεές γρμμικό σύστημ τω εξισώσεω (, ( κι ( έχει, σύμφω με τη υπόθεση, κι μη μηδεική λύση (,y,z (0,0,0 Επομέως θ ισχύει γ γ 0 (γ γ(γ + (γ 0 γ γ γ γ γ Πράδειγμ Α γι τους πργμτικούς ριθμούς,,γ,,y,z με (,y,z (0,0,0 ληθεύου οι ισότητες (y + z ( y (z + ( z γ( + y ( ποδείξετε ότι: (i + γ+ γ + γ y z (ii, ( γ ( γ γ( (εφόσο γ( ( γ( γ( + ( + ( + γ 0 Λύση: (i Οι δοθείσες εξισώσεις (, ( κι ( ποτελού έ ομογεές γρμμικό σύστημ 5

36 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y z 0 y+ z 0, (Σ γ + γy z 0 το οποίο, πό τη υπόθεση, έχει κι μη μηδεική λύση Επομέως θ έχουμε + 0 γ + ( γ (γ + γ 0 γ γ + γ + γ + γ ος τρόπος Θεωρώτς τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήμτος (Σ ως ομογεές γρμμικό σύστημ με δύο εξισώσεις κι τρεις γώστους λμάουμε y z λ 0 ( + ( + + λ( +, y λ( +, z λ( + Τότε η τρίτη εξίσωση του (Σ γίετι λγ( + λγ( + λ( + λ(γ + γ + γ + γ γ + γ + γ (ii Θέτοτς z γ( + y στις ( κι ( λμάουμε [y + γ( + y] ( γ y(+ γ y [γ( + y + ] (γ + y( γ Από τις οποίες με πολλπλσισμό κτά μέλη λμάουμε ( (γ + y(+ γ( γ y ( ( γ ( γ φού πό τη υπόθεση είι + γ 0 κι ( γ( γ 0 Εργζόμεοι άλογ, με τικτάστση του (y + z στις ( κι ( λμάουμε τη ισότητ y z (5 ( γ γ( Από τις ( κι (5 προκύπτου οι ζητούμεες ισότητες Ε Μέθοδος πό τη θεωρί πολυωύμω Στο πρό Κεφάλιο, θ σχοληθούμε μόο με πολυώυμ ου θμού (τριώυμ κι θ συμπληρώσουμε τις μεθόδους στο Κεφάλιο τω πολυωύμω που θ κολουθήσει Ότ μετξύ τω συθηκώ του προλήμτος υπάρχει πολυωυμική εξίσωση δευτέρου θμού 6

37 Αλγερικές πρστάσεις + + γ 0, *,,γ κι ικοποιείτι γι, τότε πρέπει Δ γ 0 Πράδειγμ Α γι,,, ληθεύει η ισότητ + + ( , ( ( ποδείξετε ότι 0 Λύση Η εξίσωση ( είι δευτέρου θμού ως προς κι έχει πργμτικές ρίζες, ο- πότε θ είι Δ ( ( ( ( ( ( ( 0, η οποί ληθεύει μόο ότ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΙΙΙ 0 f 0 g 0 ή g 0 ή ή g 0, * Στη περίπτωση υτή προσπθούμε λύσουμε το πρώτο μέλος της συθήκης f 0 σε γιόμεο πργότω, μέσ στους οποίους περιέχοτι κι οι πρστάσεις g,g,,g Έτσι, προκύψει η συθήκη gg g g 0 κι εξσφλίσουμε ότι ισχύει g 0, τότε προκύπτου οι ζητούμεες σχέσεις g 0 ή g 0 ή ή g 0 Πράδειγμ Α γι τους ριθμούς,y,z ισχύει ότι (y z + y (z + z ( y 0, ποδείξετε ότι δύο τουλάχιστο πό υτούς είι ίσοι Απόδειξη Με πργοτοποίηση του πρώτου μέλους της ισότητς έχουμε: (y z + y(z + z( y 0 y z+ yz y+ z( y 0 ( y y ( z y z + z ( y 0 7

38 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y( y z( y + z ( y ( y(y z zy + z 0 ( y y z( y z 0 ( y [ (y z z(y z ] 0 ( y(y z( z 0 y 0 ή y z 0 ή z 0 y ή y z ή z Πράδειγμ Α γι τους ριθμούς,y,z ισχύει ότι ποδείξετε ότι θ ισχύει + y + z yz + y + z 0 ή y z Απόδειξη Χρησιμοποιώτς τη τυτότητ του Euler έχουμε + y + z yz + y + z yz 0 ( y z ( y (y z (z y+ z 0 ή ( y + (y z + (z 0 + y+ z 0 ή y z, φού, ίσχυε ότι y 0 ή y z 0 ή z 0, τότε θ είχμε ( y + (y z + (z > 0 Πράδειγμ Α γι τους ριθμούς,y,z ισχύει ότι yz + y z + z y y y z z 0, ποδείξετε ότι ές τουλάχιστο πό τους,y,z είι μέσος άλογος τω δύο άλλω, δηλδή θ είι yz ή y z ή z y Απόδειξη Με άση τους πράγοτες yz, y z κι z y που πρέπει προκύψου πό τη πργοτοποίηση του πρώτου μέλους της δοθείσς σχέσης έχουμε yz+ yz+ zy y yz z 0 yz z z y + y z y z + yz+ y z y 0 z(yz z zy+ y y(yz z zy+ y 0 (yz z zy+ y(z y 0 8

39 Αλγερικές πρστάσεις z(yz y (yz (z y 0 (yz (z y (z y 0 (yz z (zy y (z y 0 yz 0 ή yz ή z y 0 ή y z ή z zy 0 y ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ IV f 0 g 0 κι g 0 κι g 0, ( * Στη περίπτωση υτή προσπθούμε μεττρέψουμε το πρώτο μέλος της συθήκης f 0 σε άθροισμ τετργώω της μορφής g + g + + g, οπότε πλέο πό τη ισότητ g + g + + g 0, * προκύπτου οι ισότητες g 0 κι g 0 κι g 0 Πράδειγμ Α γι τους,,γ ισχύει ότι: + + ποδείξετε ότι: γ Απόδειξη Έχουμε: γ γ γ γ γ γ γ γ γ 0 ( + ( γ + (γ 0 0 ή γ 0 ή γ 0 ή γ ή γ, γιτί, είι 0 ή γ 0 ή γ 0, τότε θ είι ( + ( γ + (γ > 0 Πράδειγμ Α γι τους θετικούς πργμτικούς ριθμούς, y, z ισχύει ότι + y + z yz, ποδείξετε ότι θ είι y z Απόδειξη Χρησιμοποιώτς τη τυτότητ του Euler λμάουμε + y + z yz 9

40 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 + y + z yz 0 ( y z ( y (y z (z ( y z, φού γι θετικούς,y,z θ είι + y+ z > 0, εώ υποθέσουμε ότι μί τουλάχιστο πό τις διφορές y, y z, z δε είι μηδέ, τότε θ έχουμε κι ( y + (y z + (z > 0, που είι άτοπο, γιτί λόγω της ( πρέπει ές τουλάχιστο πό τους πράγοτες + y+ z, δέ ( y + (y z + (z είι μη- 0

41 Αλγερικές πρστάσεις AΣΚΗΣΕΙΣ Ν πργοτοποιήσετε τις πρστάσεις: ( y( y + yzy ( z + zz ( ( ( y z + y ( z + z ( y ( γ ( y + ( y z + ( z ( δ + y ( ε a + a b + 9b στ ( ( a 8 + ( a+ + 6( a ζ ( + + y z z yz Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: a + b ( a + a b + b ( 6 ( + + ( + + ( 5 + a+ b a b a+ b a b a+ b a b ( γ ( + a b a b ( a b a b + ( a b 5 a b a b b c c a ( a b( b c( c a ( δ a+ b b+ c c+ a ( a+ b( b+ c( c+ a ( a bc b ca c ab ε + + ( a+ b ( a+ c ( b+ c ( b+ a ( c+ a ( c+ b Ν ποδείξετε τις τυτότητες: ( ( y + ( y ( + y ( ( ( ( ( a+ b+ c+ d + a+ b c d + a+ c b d + a+ d b c ( a + b + c + d ( ( ( γ a b + c d + ab bc + dc + ad ( a + b + c + d ( ab ad + bc+ dc y y + + ( δ y y + y + y ( ε (6 y + y ( + 5y 5 y + ( y + 6 y + (5 5y y Α abc,,, a b c a, ποδείξετε ότι:

42 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 b c c a a b ( a b( a c ( b c( b a ( c a( c b a b b c c a 5 Α οι abcd,,, είι διφορετικοί ά δύο κι k k k a b c Sk + + ( a b( a c ( b a( b c ( c a( c b, ποδείξετε ότι : ( S0 S 0 ( S ( γ S a+ b+ c ( δ S a + b + c + ab + bc + ca ( ε S a + b + c + ab+ ba+ bc+ cb+ ca+ ac+ abc 5 6 Α οι abcd είι,,, διφορετικοί ά δύο κι k k k k a b c d Tk ( a b( a c( a d ( b a( b c( b d ( c a( c b( c d ( d a( d b( d c ποδείξετε ότι : ( S0 S S 0 ( S ( γ S a+ b+ c+ d 7 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις ( + + a( a b( a c b( b a( b c c( c a( c b ( + + a ( a b( a c b ( b a( b c c ( c a( c b 8 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, yz, ισχύει ότι yz, ποδείξετε ότι οι πρστάσεις y z Κ ( yz,, + +, y + + yz + y + z + z + + y+ z+ Λ ( yz,, + +, y + + yz + y + z + z + με y + + 0, είι εξάρτητες τω, yz, 9 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abcισχύει,, ότι a+ b+ c 0, ποδείξετε ότι: ( ( a + b + c ( a + b + c ( [( a b + ( b c + ( c a ] [( a b + ( b c + ( c a ]

43 Αλγερικές πρστάσεις 0 Α είι ποδείξετε ότι a b b c c a, y, z a+ b b+ c c+ a a, b, c, ( a+ b( b+ c( c+ a 0, ( + ( + y( + z ( ( y( z Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abcισχύει,, ότι a+ b+ c 0, ποδείξετε ότι ( a + b + c abc( a + b + c ( ( a + b + c ( a + b + c ( a + b + c ( γ a + b + c ( a + b + c ( a + b + c 0 nτ Α είι,, n, n κι n, ποδείξετε ότι: ( τ + ( τ + ( τ n n Α είι a, b με a + b, γι κάθε i,,, n κι ποδείξετε ότι: i i i i n n aibi nab ( ai a i i n na a, nb b i i i n i A είι a + by + cz 0, πλοποιήσετε τη πράστση a + by + cz Α bc( y z + ca( z + ab( y 5 Θεωρούμε τη πράστση A + By + Cy κι θέτουμε + y, y γ+ δ y, οπότε υτή γίετι A + By + Cy Ν ποδείξετε ότι B AC ( B AC( δ γ 6 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς a, a, a n ισχύει ότι

44 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 ποδείξετε ότι : na ( + a + + a ( a+ a + + a, n n a a an 7 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, yz, ισχύει ότι ( y + ( y z + ( z ( + y z + ( y+ z + ( z+ y ποδείξετε ότι y z 8 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abcdμε,,, cd 0 ισχύει ότι ( a+ b+ c+ d( a b c+ d ( a b+ c d( a+ b c d ποδείξετε ότι a b c d 9 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abc,, με back 0 ισχύει ότι + +, a b c a + b + c ποδείξετε ότι + +, n n n n n n a b c a + b + c όπου n είι περιττός φυσικός ριθμός 0 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abc,, με abc 0 ισχύει b + c a c + a b a + b c + +, bc ca ab ποδείξετε ότι δύο πό τ τρί κλάσμτ του πρώτου μέλους είι ίσ με κι ότι το κλάσμ που πομέει είι ίσο με Α γι τους μη μηδεικούς πργμτικούς ριθμούς abcyzισχύει,,,,, ότι bz + cy c + az ay + b, ( a + by + cz y( a by + cz z( a + by cz ποδείξετε ότι y z ab ( + c a bc ( + a b ca ( + b c [ Όλοι οι προμστές υποτίθετι ότι είι διάφοροι του μηδεός ] Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, yzισχύει, ότι + y+ z 0, ποδείξετε ότι: n n n n n n ( a by + ( ay bz + ( az b ( ay b + ( az by + ( a bz, γι n, κι

45 Αλγερικές πρστάσεις ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αγγελική Σ Βλάχου Μθημτικός, κθηγήτρι Μέσης Εκπίδευσης Εργσί Εότητ: Τυτότητες Μέρος Ν γίει η σωστή τιστοίχιση μετξύ τω δυο στηλώ Κάθε στοιχείο της στήλης Α τιστοιχεί σε έ κι μόο ίσο του στοιχείο της στήλης Β ΣΤΗΛΗ Α Τυτότητ Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Ζ ( + ( + χ + ( + χ + Η + + γ γ Θ ( + γ ΣΤΗΛΗ Β Αάπτυγμ τυτότητς γ γ γ ( + + γ + [( + ( γ + ( γ ] + + ( + ( ( ( ( χ + ( χ + 8 ( ( ( + ( Μέρος Ν σημειώσετε τη σωστή πάτηση (Σ ή τη λθσμέη πάτηση (Λ δίπλ στις πρκάτω προτάσεις: χ, τότε: χ ψ ω 0 Α + ψ + ω 0 ( ( + ( ( Το άπτυγμ της τυτότητς 5 Ο ριθμός ( + είι είι πολλπλάσιο του 8 + 5

46 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 6 Α είι περιττός ριθμός, τότε το είι άρτιος ριθμός 7 ( ( 8 Α ισχύει : , τότε: 7, 9 γ γ γ γ ( γ, τότε: γ ( + 5,, τότε: Α + + γ 0 Α 0 Μέρος Ν εκφράσετε ως πολυώυμο του χ τη πράστση Α ( χ χ + χ( χ Α χ + ψ 8 κι χψ ρεθού οι τιμές τω ριθμώ Α + ψ χ Κ χ +6ψ κι Λ χ + 6ψ χ ρεθού οι ριθμοί χ, ψ Α +, + 9 κι, υπολογίσετε τους : 5 Ν ποδείξετε ότι ο ριθμός: 6 Α διιρείτι με + + γ, + + 0, ποδείξετε ότι: + + γ γ Μέρος Α + ψ + ω, ές τουλάχιστο πό τους χ χ + ψ + ω κι + ψ + ω 9 χ, ψ, ω είι μηδέ Α γι τους χ, ψ, ω ισχύει : ότι: Α χ ψ ω ( + 7 χψ χ + ψ ( ω χ, ποδείξετε ότι ω κι χ + ψ + ω 0, ποδείξετε +, τότε ποιο συμπέρσμ προκύπτει γι τους,; Α +, ποδείξετε ότι η πράστση είι εξάρτητη τω + χ, Α 5 Α χ +, υπολογίσετε τις πρστάσεις: χ + χ Α, χ + χ Β κι Γ 9χ + χ 6

47 Αλγερικές πρστάσεις Εργσί Εότητ: Πργοτοποίηση Μέρος Ν γίει η σωστή τιστοίχιση μετξύ τω δυο στηλώ Κάθε στοιχείο της στήλης Α τιστοιχεί σε έ κι μόο στοιχείο της στήλης Β : Στήλη Α (Αλγερική πράστση Α χ 6 5 χ Γ χ 7 Β 6 Δ Ε ΣΤ 7χ χ χ + 6 9χ χ + 6 Ζ χ χ + Η χ + χ 5 Στήλη Β (τίστοιχο γιόμεο ( χ 7( χ + 7 ( χ + 6( χ 6 ( χ ( χ ( χ (χ (9χ + χ + 6 ( χ 7( χ + 7 ( χ ( χ ( χ 6 ( χ + 5( χ Μέρος Ν σημειώσετε τη σωστή πάτηση (Σ ή τη λθσμέη πάτηση (Λ δίπλ στις πρκάτω προτάσεις: Ισχύει : ( χ + ( χ χ Ισχύει : χ χ + ( χ Το κλάσμ χ 5χ χ 5 είι ίσο με χ χ + 5 Είι : χ + ( χ + ( χ 5 Ισχύει : χ 6 χ( χ + ( χ 6 Ισχύει : ( χ + ( χ χ + χ 8 7 Ισχύει: χ( χ (χ + χ χ 8 Ισχύει: ( χ + ( χ χ,εφόσο είι χ 5 Μέρος Ν γίου γιόμεο οι πρκάτω πρστάσεις: χ 8χ (χ 9 7

48 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 γ ( χ 6 δ χ 5χ ε ( + στ χ ψ + ψ ζ χ + ψ η χ + ψ χ ψ χψ χ ψ θ χ ψ 7χ + 7ψ 5 ι + μ κ μ κ κ χ χ + χ χ 6 λ ζ + 8 ψ χ ψ + ψ μ χ χ + χ ξ + χ χ χ, με 0 Μέρος Ν πλοποιήσετε τις πρκάτω ρητές πρστάσεις κι γράψετε τους πρίτητους περιορισμούς,έτσι ώστε είι δυτή η πλοποίηση: + γ + + Α, Β, ( + + γ + γ χ χ + χ ( χ ( χ χ Γ κι Δ χ χ ( χ χ( χ χ Α +, ποδείξετε ότι ή Α ( + ( +, ποδείξετε ότι οι, είι ίσοι ή τίστροφοι Α χ ψ χ 6ψ 8, ποδείξετε ότι: ψ χ ή ψ χ 5 Α χ + χ + χ + χ +, ποδείξετε ότι: 6 Ν ποδείξετε ότι + ( + 7 Α ( + γ ( + γ γ, με,, γ είι πλευρές τριγώου ποδείξετε ότι το τρίγωο είι ορθογώιο 5 8 Ν γίει γιόμεο πργότω η πράστση: χ + χ + 9 Α ισχύει : (χ + 7( χ (5 + χ 0 ποδείξετε ότι: ή χ, ή χ, ή χ 5 8

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. 1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: επνεπίσκεψη. Η εξής πρτήρηση γι τις (μονομερείς) διμελείς σχέσεις, εξυπηρετεί την τξινόμησή τους: τ ζεύγη μις οποιδήποτε τέτοις σχέσης εμπίπτουν σε τρείς κτηγορίες:

Διαβάστε περισσότερα

Μία γενίκευση της Αριθμητικής και της Γεωμετρικής προόδου - Ο Σταθμικός μέσος ως γενικός μέσος

Μία γενίκευση της Αριθμητικής και της Γεωμετρικής προόδου - Ο Σταθμικός μέσος ως γενικός μέσος Μί γείκευση της Αιθμητικής κι της Γεμετικής πόδυ - Ο Στθμικός μέσς ς γεικός μέσς Δ. Πγιώτης Λ. Θεδόπυς Σχικός Σύμυς κάδυ ΠΕ0 www.p-theodoropoulos.gr Πείηψη Στη εγσί υτή μεετάτι η ειδική κτηγί τ κυθιώ όπυ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ρ. Στυλινός Γ. Λόζιος Επ. Κθηγητής του Τµήµτος Γεωλογίς του Εθνικού & Κποδιστρικού Πνεπιστηµίου Αθηνών Το εφρµοσµέν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛ. ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ «ΛΥΧΝΙΑ», Αδραβίδας 7, 13671 Χαμόμυλο Αχαρνών τηλ.: 210 34 10 436, fax: 210 34 25 967

ΗΛ. ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ «ΛΥΧΝΙΑ», Αδραβίδας 7, 13671 Χαμόμυλο Αχαρνών τηλ.: 210 34 10 436, fax: 210 34 25 967 ΒΙΟΛΟΓΙΑ είς δ ι ςπ ή κ ι Γε Υ Ο Ι ΚΕ Υ Λ Γ είς Πιδ τς Γ ής Γεικ ς ί γ ς ιολο θτή. όσ τ β Β µ ς τ τ οµ ριλ ύλς οσιτό στ λήρ κ ίο πε ς λ β ι έ στ πρ π Το β εξετ ε τρόπο ού στ ς τ ί µ κοπ. θεωρ γρµµέ ου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις ανισότητες

Εισαγωγή στις ανισότητες Σελίδα 1 από ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ Εισαγωγή στις ανισότητες Μπάμπης Στεργίου, 004 Το άρθρο αυτό είχε την τύχη να ολοκληρωθεί σε βιβλίο, το οποίο κυκλοφορεί με τον τίτλο : Μπάμπης Στεργίου Νίκος Σκομπρής

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Είναι ένα πιστοποιητικό που επιτρέπει τη μεταφορά επικίνδυνων εμπορευμάτων ακόμα και εάν η μονάδα μεταφοράς δεν είναι κατάλληλη.

Είναι ένα πιστοποιητικό που επιτρέπει τη μεταφορά επικίνδυνων εμπορευμάτων ακόμα και εάν η μονάδα μεταφοράς δεν είναι κατάλληλη. ΚΕΦΑΑΙΟ 1: ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟ ΠΑΙΙΟ - ΤΑΞΙΝΟΜΗΗ ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΩΝ ΕΜΠΟΡΕΥΜΑΤΩΝ 1 Ποιος έχει την υποχρέωση ν πρδώσει στον οδηό τις ρπτές οδηίες σχετικές με τη μετφερόμενη επικίνδυνη ύλη; Ο πρλήπτης. Η τροχί. Ο ποστολές.

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙΔΗΣ ΗΛΙΑΣ ΜΠΟΥΓΑΪΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΙΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Α Κ Ε Σ Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρινού Γιώργος. Δεκέμβριος 2007. ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βασίλειος Χατζής

Σταυρινού Γιώργος. Δεκέμβριος 2007. ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βασίλειος Χατζής ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΗ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΣΥΛΛΟΓΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ, ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ. Από το πρακτικό της αριθμ.15-11 ης Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής Δήμου Λεβαδέων Αριθμός απόφασης : 142.

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ. Από το πρακτικό της αριθμ.15-11 ης Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής Δήμου Λεβαδέων Αριθμός απόφασης : 142. ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ Λιβδειά 24 04-2015 Αριθ Πρωτ: 10259 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το πρκτικό της ριθμ15-11 ης Συνεδρίσης της Οικονομικής Επιτροπής Δήμου Λεβδέων Αριθμός πόφσης : 142 Περίληψη Εκθεση ποτελεσμάτων εκτέλεσης προϋπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας;

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας; Τ οικονομικά της Υγείς: μι υάρετη επιτήμη ή έν χρήιμο εργλείο γι τις πολιτικές Υγείς; Ιωάννης Κυριόπουλος Κθηγητής Οικονομικών της Υγείς, Διευθυντής του Τομέ Οικονομικών της Υγείς, Εθνική Σχολή Δημόις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση. Γράφουµε νν ντί του ν κι µόνον ν.. Προλεγόµεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή µε έννοιες πό την Μθηµτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύµφων µε την Πλτωνική ντίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Μαθηµατικών

Τυπολόγιο Μαθηµατικών Τπολόιο Μθητικώ * πιάτσης πιώτης Εδό κύκλο κτίς ρ E =πρ Ο ρ Μήκος κύκλο κτίς ρ L= πρ Ο ρ Όκος πρίστος Εδό άσης ύψος= Ε. Ε Όκος κλίδρο ε κτί άσης ρ κι ύψος V =πρ ρ Εδό πράπλερης επιφάεις κλίδρο Ε= πρ Εδό

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονες επεμβατικές και μη επεμβατικές τεχνικές laser και άλλων πηγών ενέργειας για την αποκατάσταση ουλών και της φυσικής γήρανσης του δέρματος

Σύγχρονες επεμβατικές και μη επεμβατικές τεχνικές laser και άλλων πηγών ενέργειας για την αποκατάσταση ουλών και της φυσικής γήρανσης του δέρματος 224 ΟΜΙΛΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΕΡΜΑΤΟΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΗ Τόμος 6, (4):224-234, 2009 Ελληνική Ετιρεί Δερμτοχειρουργικής 43 η Ετήσι Συνάντηση της Ελληνικής Ετιρείς Δερμτοχειρουργικής Laser κι άλλες πηγές ενέργεις στη Δερμτολογί

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα

Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα P TS TS P Τεχνολογικό Εκπιδευτικό Ίδρυµ Κρήτης Πρόγρµµ Σπουδών Επιλογής ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Πτυχική Μελέτη «ιερεύνηση πρκτικών εφρµογών µετάδοσης θερµότητς πό ενεργεική σκοπιά» Εισηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 70 ΑΣΚΑΛΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείµενο» Κυρική 10-4-2005 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02 Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

[ΜΥΘΟΙ ΚΑΙ ΑΛΗΘΕΙΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΙΤΕΣ ΚΑΙ Η ΚΑΤΑΛΛΗΛΗ ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΓΙΑ

[ΜΥΘΟΙ ΚΑΙ ΑΛΗΘΕΙΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΙΤΕΣ ΚΑΙ Η ΚΑΤΑΛΛΗΛΗ ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΓΙΑ 213 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ [ΜΥΘΟΙ ΚΑΙ ΑΛΗΘΕΙΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΙΤΕΣ ΚΑΙ Η ΚΑΤΑΛΛΗΛΗ ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΓΙΑ ΑΘΛΟΥΜΕΝΟΥΣ] ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ: ΤΑΟΥΞΙΔΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α 3 +β 3 =(α+β)(α 2 -αβ+β 2 ) α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β) α 3 -β 3 =(α-β)(α 2 +αβ+β 2 ) (α+β+γ) 2 =α 2 +β 2 +γ 2 +2αβ+2βγ+2γα

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α 3 +β 3 =(α+β)(α 2 -αβ+β 2 ) α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β) α 3 -β 3 =(α-β)(α 2 +αβ+β 2 ) (α+β+γ) 2 =α 2 +β 2 +γ 2 +2αβ+2βγ+2γα ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΘΗΜΤΙΚΝ (+) = ++ (-) = -+ - = (-)(+) (+) 3 = 3 +3 +3 + 3 (-) 3 = 3-3 +3-3 - =(-)( - + - + + - ) πριττός + =(+)( - - - + - - ) ΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ = - < - - + + γι θ>:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος.

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1. ΙΑΛΥΜΑΤΑ (ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ) Όπως νφέρµε διάλυµ είνι έν οµογενές µίγµ που ποτελείτι πό δύο ή περισσότερες χηµικές ουσίες. Περιεκτικότητ διλύµτος είνι η ποσότητ της διλυµένης

Διαβάστε περισσότερα

Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ

Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΜΣ «ιδκτική κι Μεθοδολογί των Μθηµτικών» ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΙΑρχωβίτης ιπλωµτική Εργσί Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 5 Μαΐου 5 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 94

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Μ Ν Α Δ Ε Σ Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν Τ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Χ Ρ Η Σ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Σ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Χ Ρ Η Σ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Σ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Χ Ρ Η Σ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Σ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν Τ Ρ Ο Ε Λ Λ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού 4. Ατιδράσεις πολυμερισμού Ποια μόρια οομάζοται μακρομόρια Τα μακρομόρια είαι μόρια μεγάλου μοριακού βάρους που σχηματίζοται από τη συέωση (= πολυμερισμό) απλούστερω δομικά μορίω (= μοομερή) σύμφωα με

Διαβάστε περισσότερα

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Επίλυση Γραμμικής Διοφαντικής Εξίσωσης Έστω η εξίσωση x y, όπου,, ακέραιοι με και Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, ηλαή ζεύγη ακεραίων

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου H Ευκλείδει Γεωµετρί είνι κι εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου (EΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ, Τ. 73,010) ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μθηµτικών dimitrmp@sch.gr Περίληψη Η µελέτη των κωνικών τοµών η οποί γίνετι,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα