ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές έοιες του μοωύμου, του πολυωύμου κι τω πράξεώ τους Θ σχοληθούμε με τη άλυση πολυωύμω σε γιόμεο πργότω, με τυτότητες κι με ρητά λγερικά κλάσμτ Οι συτελεστές τω μοωύμω κι τω πολυωύμω θεωρούμε ότι πίρου τιμές πό το σύολο τω πργμτικώ ριθμώ Αάλυση πολυωύμω σε γιόμεο πργότω Αάλυση πολυωύμου σε γιόμεο πργότω ή πλούστερ πργοτοποίηση είι η γρφή εός δεδομέου πολυωύμου ως γιόμεο πολυωυμικώ πργότω Οι πολυωυμικοί πράγοτες που εμφίζοτι πρέπει είι του ελάχιστου δυτού θμού Η άλυση πολυωύμου σε γιόμεο πργότω πολλές φορές δε είι δυτή Δε υπάρχει γεικός κός γι τη πργοτοποίηση πολυωύμω Όμως, γι ειδικές μορφές πολυωύμω δίουμε μεθόδους πργοτοποίησης ( Πολυωυμικές πρστάσεις που οι όροι τους έχου κοιό πράγοτ Πρδείγμτ ( ( + ( y 6 ( y + ( y ( y [ y ( y + ] ( y ( y y+ + ( y ( y y+ ( Χωρισμός σε ομάδες Στη περίπτωση υτή η πολυωυμική πράστση χωρίζετι σε ομάδες, σε κθεμί πό τις οποίες υπάρχει κοιός πράγοτς Η πργοτοποίηση είι δυτή, ό- τ μετά τη πργοτοποίηση τους οι ομάδες υτές εμφίζου κοιό πράγοτ

2 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Πρδείγμτ a + ay + b + by ( a + ay + ( b + by a ( + y + b ( + y ( + y ( a + b a + b a b ( a + b ( a + b ( a + b ( ( ( a + b (γ Διφορά τετργώω Α Α, Β είι πολυωυμικές πρστάσεις, τότε: A B A+ B A B ( ( Πρδείγμτ 6 y ( ( y ( + y ( y 6 8 y ( (9 y ( 9 y ( + 9 y [( (y ] ( + 9y (δ Πολυωυμικές πρστάσεις της μορφής : A ± AB + B Α Α, Β είι πολυωυμικές πρστάσεις, τότε: A + AB + B A + AB + AB + B A ( A + B + B ( A + B ( A+ B, δηλδή έχουμε ( y ( + y ( + 9y A + AB+ B ( A+ B Ομοίως έχουμε A AB + B ( A B Πρδείγμτ 9 + 0y + 5y ( + 5y + (5y ( + 5y ± y + y ( ± y + ( y ( ± y ( 5 y (y 6 ( 5y+ y 6 [ 5 y (y 6 ] ( y ( 5y y + 6 ( + y (0 8y ( + y (5 y (ε Τριώυμ Τριώυμ είι πολυωυμικές πρστάσεις της μορφής f ( + + γ με 0 κι,, γ

3 Αλγερικές πρστάσεις Ο ριθμός Δ γ οομάζετι δικρίουσ του τριωύμου f ( κι ι- σχύου τ εξής: Α Δ > 0, τότε το τριώυμο f ( λύετι σε γιόμεο πργότω της μορφής f ( ( (, όπου οι ριθμοί, δίοτι πό τους τύπους + Δ, Δ Πράγμτι, γ > 0, έχουμε γ f( + + γ γ + + a + + a Δ Δ Δ ( (, θέσουμε + Δ + Δ, Α Δ 0, τότε: f ( + Πράγμτι, Δ 0 έχουμε: γ f ( γ Δ + + a + a + A Δ < 0, τότε το τριώυμο f ( δε λύετι σε γιόμεο πρωτοάθμιω πργότω Πράγμτι, Δ < 0, τότε έχουμε f ( + + γ a + Δ + Δ + +, δηλδή το τριώυμο f ( είι γιόμεο του συτελεστή επί μί πράστση που είι άθροισμ τετργώω Πρδείγμτ Ν πργοτοποιήσετε το τριώυμο f ( + Αφού είι:,, γ κι Δ γ ( > 0, οπότε + Δ + Δ,

4 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Έχουμε f ( + ( ( Ομοίως γι το τριώυμο f ( 5 0 +, έχουμε 5, 0, γ, Δ ( > 0 κι ± Δ 0 ± 00 0 ± 0 ±, Άρ είι + f ( Ομοίως γι το τριώυμο f ( + +, είι,, γ, κι Δ < 0, οπότε το τριώυμο f ( + + δε λύετι σε γιόμεο πργότω Ομοίως γι το τριώυμο f ( 8 + 6, είι, 8, γ 6, κι Δ ( 8 6 0, οπότε : 8 f ( ( (στ Αάλυση εός όρου σε άθροισμ ή διφορά άλλω όρω Πολλές φορές, γι τη άλυση μις πολυωυμικής πράστσης σε γιόμεο πργότω, είι γκίο λύσουμε έ ή περισσότερους όρους σε άθροισμ ή διφορά άλλω όρω Έτσι, δίετι η δυτότητ εφρμόσουμε μί πό τις προηγούμέες μεθόδους πργοτοποίησης, πχ με το χωρισμό σε ομάδες Πρδείγμτ Ν λυθεί σε γιόμεο πργότω η πράστση A + + γ + γ + γ + γ + γ Λύση A + + γ + γ + γ + γ + γ ( + γ + ( + γ + ( γ + γ + ( γ + γ ( + γ + ( + γ + γ ( + γ + γ ( + γ ( + γ ( + + γ + γ ( + γ [( + + ( γ + γ ] ( + γ [( ( + + γ ( + ] ( + γ ( + ( + γ ( + ( + γ ( γ + Ν λυθεί σε γιόμεο πργότω η πράστση f ( 5 +

5 Αλγερικές πρστάσεις Λύση f ( ( ( ( + ( ( ( [ ( + ] ( ( ( Ν λυθεί σε γιόμεο πργότω η πράστση f ( + Λύση f ( ( + ( ( + [ ( ] ( + ( + ( + ( (ζ Αξιοσημείωτ πηλίκ της μορφής: ±, N* Σύμφω με τη τυτότητ της τέλεις διίρεσης κάθε πράστση της μορφής, N διιρούμεη με δίει υπόλοιπο 0 κι πηλίκο Έτσι έχουμε ( ( Ειδικά γι μ, μ N*, έχουμε μ μ μ μ μ μ μ μ ( ( ( ( + Γι πράδειγμ, έχουμε ( a ( ( a ( ( a ( + ( ( + ( + Γι μ +, μ, η πράστση + διιρούμεη με + δίει υπόλοιπο 0 κι ισχύει η ισότητ: + ( + ( Γι πράδειγμ, έχουμε + ( a + ( ( a + ( ( a + (

6 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Ειδικές περιπτώσεις Γι μ +, μ, η πράστση + διιρούμεη με + δίει υπόλοιπο, οπότε η πρπάω μέθοδος δε μπορεί εφρμοστεί Αυτό όμως δε σημίει ότι η πράστση + δε λύετι σε γιόμεο πργότω Στη ειδική περίπτωση που το είι άρτιο πολλπλάσιο περιττού ριθμού, έ- στω κ μ, όπου κ κι μ περιττός, τότε κμ κμ + + κ μ κ μ ( + ( κ κ κ μ κ μ κ κ μ ( + [( ( + iii + ( ] Γι πράδειγμ, έχουμε: ( + ( ( + [( + ( ] ( + ( ( + ( ( + ( ( + ( ( + ( + κ Στη ειδική περίπτωση που είι, κ, κ > έχουμε: κ κ κ κ + + ( + ( κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ ( + ( + ( + ( κ κ κ κ κ κ κ κ + + ( + Γι πράδειγμ, έχουμε: ( + + ( + ( + ( ( ( ( + ( (η Συδυσμός άλλω μεθόδω Αφέρουμε τις πρκάτω χρκτηριστικές περιπτώσεις : Α + ΑΒ + Β Γ (Α + Β - Γ (Α + Β + Γ(Α + Β - Γ Α -ΑΒ + Β - Γ (Α - Β -Γ (Α - Β + Γ(Α - Β - Γ 6

7 Αλγερικές πρστάσεις Γι πράδειγμ έχουμε γ ( + (γ ( + + γ ( + γ 5 + γ γ (5 ( γ [( 5 + ( γ ] [ (5 ( γ ] + ( 5 + γ (5 + γ ( + ( + ( + + ( ( + ( + + ( + ( ( + + ( + (θ Χρήση τυτοτήτω Η περίπτωση υτή θ μελετηθεί στη επόμεη εότητ τω τυτοτήτω (ι Πολυώυμ θμού > Θεωρούμε το πολυώυμο f( , κ 0 Σύμφω με τη θεωρί διιρετότητς πολυωύμω, γι το ριθμό ρ ι- σχύει f ( ρ 0, τότε το πολυώυμο ρ διιρεί το πολυώυμο f ( Το πηλίκο π ( της διίρεσης υτής, μπορεί ρεθεί με το σχήμ Horner Έτσι έχουμε f ( ( ρ π ( Ειδικότερ, γι είι ο κέριος ριθμός ρ ρίζ του πολυωύμου f ( με - κέριους συτελεστές πρέπει ο ριθμός ρ είι διιρέτης του στθερού όρου 0 Επομέως οι πιθές κέριες ρίζες του πολυωύμου f ( είι οι διιρέτες του στθερού όρου 0 κ Επιπλέο, γι είι ο ρητός ριθμός ρ ρίζ του πολυωύμου f ( με - λ κέριους συτελεστές πρέπει ο ριθμητής κ είι διιρέτης του στθερού όρου 0 κι ο προμστής λ είι διιρέτης του μεγιστοάθμιου όρου Πράδειγμ Ν πργοτοποιηθεί το πολυώυμο f ( Λύση Οι διιρέτες του στθερού όρου είι οι: ±, ±, ±, ± 6 Πρτηρούμε ότι f ( 0, οπότε με το σχήμ Horner λμάουμε Έτσι έχουμε f ( ( ( ( ( (, 7

8 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 φού γι το τριώυμο έχουμε, 5, γ 6, Δ > 0 κι 5 5 +, Τυτότητες Τυτότητ είι η ισότητ μετξύ δύο λγερικώ πρστάσεω που ληθεύει γι όλες τις τιμές τω μετλητώ που εμφίζοτι Στη εότητ υτή θ πριθμήσουμε τις σικές τυτότητες που χρησιμοποιούμε γι τη διευκόλυση του λγερικού λογισμού Στ επόμε θ σχοληθούμε με τις μεθόδους επλήθευσης τυτοτήτω ( Τετράγωο θροίσμτος (διφοράς δύο όρω ( ( + ( Γιόμεο θροίσμτος δύο όρω επί τη διφορά τους ( + ( (γ Κύος θροίσμτος (διφοράς δύο όρω ( ( + (δ Άθροισμ (διφορά κύω + ( + ( + ( ( + + (ε Τετράγωο θροίσμτος όρω, ( + + γ + + γ + + γ + γ γ δ γ δ γ δ γ δ γδ (

9 Αλγερικές πρστάσεις Γεικότερ, έχουμε ( ( ( ( ( ( ( ( ή συοπτικά ( ( i + i j, i i< j όπου στη τελευτί ισότητ έχουμε χρησιμοποιήσει το σύμολο του θροίσμτος γράφοτς i i i j i< j Έτσι έχουμε το κό: Το τετράγωο του θροίσμτος όρω, ισούτι με το άθροισμ τω τετργώω τω όρω του, υξημέο κτά το διπλάσιο του λγερικού θροίσμτος τω γιομέω τω όρω του λμομέω ά δύο με όλους τους δυτούς τρόπους (στ Κύος θροίσμτος τριώ όρω ( + + γ ( + + γ ( + + γ ( + + γ + + γ + γ( + + γ + + γ γ + γ + γ + 6γ + + γ + ( + + γ + γ + γ + γ + + γ + ( + ( + γ ( γ +, σύμφω με το Πράδειγμ της (στ περίπτωσης της πργοτοποίησης πολυωυμικώ πρστάσεω Άρ έχουμε: π όπου προκύπτει ο κός: ( + + γ + + γ + ( + ( + γ ( γ + Ο κύος του θροίσμτος τριώ όρω ισούτι με το άθροισμ τω κύω τω όρω του, υξημέο κτά το τριπλάσιο του γιομέου τω λγερικώ θροισμάτω τω όρω του λμομέω ά δύο με όλους τους δυτούς τρόπους 9

10 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Γι πράδειγμ έχουμε: 6 6 ( ( + ( + ( + ( ( ( ( ( ( ( ( ( + ( (ζ Η τυτότητ τω κύω (Euler γ ( γ( γ γ γ γ ( + + γ [( + ( γ + ( γ ] + γ Απόδειξη + + γ γ ( + ( + + γ γ ( + + γ ( + + γ [( + + γ ][( + ( + γ + γ ] ( + + γ ( + + γ [( + + γ γ γ ] ( + + γ ( + + γ γ γ Η δεύτερη μορφή προκύπτει μέσω της ισότητς + + γ γ γ ( + + γ γ γ [( a + ( γ + ( γ ] Γι πράδειγμ έχουμε: 8 6γ γ + ( + ( γ ( ( γ ( γ ( + + 6γ + 8γ + γ ( + ( ( + ( + ( + ( + ( ( ( + [ ] ( + ( + ( + ( + ( + ( + + ( + ( + ( + ( ( + + ( ( + (η Οι τυτότητες του Lagrange (i ( + ( + ( + ( Χρησιμοποιώτς το σύμολο της ορίζουσς εός πίκ, το δεύτερο μέλος της (i γράφετι: 0

11 Αλγερικές πρστάσεις ( Η επλήθευση της (i γίετι εύκολ με πράξεις στο πρώτο μέλος (ii ( ( + + ( ( + ( + ( (Επλήθευση εύκολη με πράξεις στο πρώτο μέλος (iii Γεικότερ γι τις -άδες,,,,,,, έχουμε ( ( ( ( ( Πρδείγμτ Ν ποδείξετε ότι ( + ( + ( + ( Απόδειξη ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( ( Ν μεττρέψετε τη πράστση ( + ( + y + ( + y σε άθροισμ τετργώω Λύση ( + ( + y + ( + y ( ( + y + ( + y+ 0 y y 0 ( + y +

12 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 (θ Η τυτότητ του De Moirve + + γ γ γ ( + + γ ( + + γ ( + γ ( + γ Απόδειξη + + γ γ γ + + γ + γ γ ( + γ ( ( γ ( γ [( + γ ][( γ ] ( + + γ ( + γ ( + γ ( γ ( + + γ ( + + γ ( + γ ( + γ (ι Η τυτότητες του Νεύτω ( + ( + + ( + + ( ( ( + + ( + ( + ( + γ + ( + + γ + ( + γ + γ + γ ( ( ( γ ( + + γ + ( + γ + γ γ Η επλήθευση τω πρπάω τυτοτήτω γίετι εύκολ με πράξεις στο πρώτο μέλος τους Γεικότερ, θεωρήσουμε τους πργμτικούς ριθμούς,,,, έχουμε τις τυτότητες: ( ± ( ± ( ± ± ( ( ( ( + + ( ± ( + ή συτομότερ, ( + ( + ( + +Σ +Σ +Σ + +Σ +Σ, όπου γι τους ριθμούς,,,, έχουμε θέσει: Σ + + +, Σ

13 Αλγερικές πρστάσεις [Άθροισμ γιομέω τω ριθμώ,,,, λμομέω ά δύο Υπάρχου! ( συολικά : όροι] (!! Το σύμολο! διάζετι «ι πργοτικό» κι ορίζετι ως εξής:!,,,, κι 0! Σ [Άθροισμ γιομέω τω ριθμώ,,,, λμομέω ά τρεις Υπάρχου! ( συολικά : όροι]!(! Σ [Άθροισμ γιομέω τω ριθμώ,,,, λμομέω ά Υπάρχου όροι] Σ (ι Το διώυμο του Νεύτω Α στις τυτότητες του Νεύτω θέσουμε:, λμάουμε το άπτυγμ του διωύμου του Νεύτω: ( + Σ, + + Σ + Σ + Σ + + Σ όπου έχουμε Σ + + +,! φού, (!! Σ! ( φού,!(! Σ ( ( 6,, Σ, Σ, φού είι:! ( ( :,!(! 6

14 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Έτσι έχουμε: ( Από τη πρπάω τυτότητ λμάουμε: ( ( ( ( Χρησιμοποιώτς το σύμολο Σ του θροίσμτος κι το σύμολο τω συδυσμώ ά κ μπορούμε γράψουμε το διώυμο του Νεύτω ως εξής: κ κ κ κ + 0 ( κ κ κ κ κ 0 ( ( Γι τις μικρές τιμές του έχουμε τ πτύγμτ: ( + ± ± ( ± + ± ± 6 ( + ± + ± ± ( ± + ± + ± ± ( ± + ± ± + ± ± Πρτηρήσεις Έ πολυώυμο, ( f είι ομογεές θμού k, γι κάθε t R ισχύει η ι- σότητ, (, ( κ f t t t f Έτσι, εύκολ διπιστώουμε ότι τ πολυώυμ ( a ± είι ομογεή θμού Το πλήθος τω όρω τω δύο πτυγμάτω είι + Οι εκθέτες του πό ριστερά προς τ δεξιά μειώοτι κτά, εώ οι εκθέτες του υξάοτι κτά

15 Αλγερικές πρστάσεις Όλοι οι όροι του πτύγμτος ( + a έχου θετικά πρόσημ, εώ οι όροι του ( a έχου ελλάξ θετικό-ρητικό πρόσημο! Επειδή ισχύει :, 0 κ, 0!, οι συτελεστές τω κ κ κ!( κ! όρω που ισπέχου πό τους άκρους όρους είι ίσοι Α ο είι άρτιος, το πλήθος τω όρω τω δύο πτυγμάτω είι περιττό κι τότε μόο υπάρχει μεσίος όρος Ο συτελεστής εός όρου (χωρίς πρόσημο, μετά το πρώτο, προκύπτει πό το προηγούμεο όρο ως εξής: ( συτελεστ ής ( εκθ έτης του θ έσητου όρου στο άπτυγμ 6 Γι πράδειγμ, στο άπτυγμ του ( + a ο συτελεστής του τρίτου όρου προκύπτει πό το δεύτερο όρο ως εξής: ( συτελεστ ής ( εκθ έτης του θ έση δεύτερου όρου Εκτός του πρπάω μημοικού κό γι τη εύρεση τω συτελεστώ του πτύγμτος ( + a γι τις διάφορες τιμές του, χρησιμοποιούμε κι το τρίγωο του Pascal (6 66 που εμφίζετι πρώτ στο έργο του Pascal «Περί ριθμητικού τριγώου» το 65 Τ κρί στοιχεί κάθε γρμμής είι, εώ τ υπόλοιπ προκύπτου με πρόσθεση δύο στοιχείω της προηγούμεης γρμμής, δηλδή του στοιχείου που ρίσκετι στη κριώς πό πάω θέση ριστερά κι του στοιχείου που ρίσκετι κριώς δεξιά του Το τρίγωο του Pascal μέχρι 7 Γι πράδειγμ, το στοιχείο 0 του πίκ προκύπτει πό το άθροισμ τω στοιχείω 0 κι 0 της προηγούμεης γρμμής 5

16 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 (ι Τυτότητες κάτω πό συθήκες Γι τους πργμτικούς ριθμούς,, γ ισχύει η ισοδυμί: + + γ 0 ή γ + + γ γ Απόδειξη Η πόδειξη είι άμεση συέπει της τυτότητς τω κύω (Euler + + γ γ ( + + γ ( + ( γ + ( γ Αλογίες [ ] Αλογί είι η ισότητ δύο λόγω, δηλδή η ισότητ γ, δ 0 δ Οι όροι,, γ, δ μις λογίς μπορεί είι ριθμοί ή γεικότερ λγερικές πρστάσεις Οι, δ είι οι άκροι όροι, εώ οι, γ είι οι μέσοι όροι της λογίς Η λογί, γ 0, γ λέγετι συεχής κι ο λέγετι μέσος άλογος τω κι γ Στη συέχει φέρουμε τις σικές ιδιότητες τω λογιώ, όπου όλοι οι εμφιζόμεοι προμστές πρέπει είι διάφοροι του μηδεός γ (i δ γ δ Τ γιόμε τω άκρω κι τω μέσω όρω είι ίσ Απόδειξη γ δ γ δ γ 0 δ γ δ δ 0 γ δ γ δ (ii δ γ δ γ Με ελλγή τω άκρω ή τω μέσω όρω η λογί δε μετάλλετι Το ίδιο ισχύει κι με τιστροφή τω λόγω (iii (iv γ γ ± γ ± δ ± ± δ δ δ γ γ δ ± γ ± δ 6

17 Αλγερικές πρστάσεις Απόδειξη γ ( γ ± δ γ ( ± ± γ ± δ γ γ ± δ γ ± γ δ γ δ (v γ + γ + δ γ δ δ γ δ + γ + δ Απόδειξη γ δ + γ + δ (τιστροφή λόγω + γ + δ γ δ ( + ( γ δ ( ( γ + δ γ δ + γ δ γ + δ γ δ γ γ δ δ γ δ (vi Α είι, τότε κ + κ + + κ, κ + κ + + κ ( κ + + κ, 0, 0 κ Απόδειξη Α οομάσουμε λ τους ίσους λόγους, δηλδή λ Τότε θ έχουμε i λ i, γι κάθε i,,, κι λ + λ + + λ λ( κ + κ + + κ κ λ + κ λ + + κ λ λ( κ + κ + + κ οπότε θ είι κ + κ + + κ λ κ + κ + + κ Πρτήρηση Η μέθοδος πόδειξης της τελευτίς ιδιότητς χρησιμοποιείτι συχά σε σκήσεις, στις υποθέσεις τω οποίω υπάρχου μί ή περισσότερες λογίες 7

18 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Ρητά λγερικά κλάσμτ A Ρητό λγερικό κλάσμ είι μί συάρτηση της μορφής y, όπου τ Α, Β B είι πολυώυμ μις ή περισσοτέρω μετλητώ Το πρπάω ρητό λγερικό κλάσμ έχει έοι γι εκείες τις τιμές τω μετλητώ γι τις οποίες ισχύει Β 0 Στη εότητ υτή θ σχοληθούμε με τη πλοποίηση ρητώ λγερικώ κλσμάτω κι με τις διάφορες πράξεις μετξύ υτώ Γι τη πλοποίηση του ρητού λγερικού κλάσμτος Α Β πργοτοποιούμε τους δύο όρους τους κι στη συέχει τους διιρούμε με το μέγιστο κοιό διιρέτη τους ΜΚΔ(Α, Β, δηλδή με το γιόμέο τω κοιώ τους όρω του μέγιστου δυτού θμού Το ρητό λγερικό κλάσμ Α δε πλοποιείτι, ότ οι όροι του είι Β πολυώυμ πρώτ μετξύ τους ή ισοδύμ ο ΜΚΔ(Α, Β είι έ στθερό πολυώυμο c 0 Με τη υπόθεση ότι όλοι οι εμφιζόμεοι προμστές στ δεδομέ κλάσμτ ή στ ποτελέσμτ είι διάφοροι του μηδεός, έχουμε σχετικά με τις πράξεις μετξύ ρητώ λγερικώ κλσμάτω: Α Γ Α ± Γ ±, Β Β Β Α Γ ΑΔ±ΒΓ ± Β Δ ΒΔ Α Γ ΑΓ Β Δ ΒΔ Α Γ Α Δ ΑΔ : Β Δ Β Γ ΒΓ,, Η κλσμτική πράστση της μορφής Χ, όπου όροι Χ, Υ είι τ ρητά λγερικά κλάσμτ Χ,Y λέγετι σύθετο κλάσμ Σε έ σύθετο κλάσμ είι Υ Α Γ Β Δ δυτό ισχύει μί το πολύ πό τις ισότητες Β ή Δ Τ ρητά λγερικά κλάσμτ με Β Δ, δηλδή με Χ Α, Υ Γ, τ λέμε πλά Έ σύθετο κλάσμ μεττρέπετι σε πλό σύμφω με το γωστό κό πολλπλσισμού άκρω κι μέσω όρω A X B A Γ A Δ Α Δ : Y Γ B Δ B Γ Β Γ Δ 8

19 Αλγερικές πρστάσεις Πρδείγμτ Ν πλοποιηθεί το ρητό λγερικό κλάσμ y(a + b + ab( + y Κ y(a - b + ab( - y Λύση Ο ριθμητής του κλάσμτος πργοτοποιείτι ως εξής: y(a + b + ab( + y ya + yb + ab + aby (ya + ab - (yb + aby a(ay + b - by(ay + b (ay + b(a - by Ομοίως ο προομστής του κλάσμτος γράφετι: y(a - b + ab( - y ya - yb + ab - aby (ya + ab - (yb + aby a(ay + b - by(ay + b (ay + b(a - by Άρ έχουμε: (ay + b(a + by a + by K (ay + b(a - by a - by, εφόσο (ay + b(a - by 0 Ν μεττρπεί σε ρητό λγερικό κλάσμ η πράστση y+ y y + y K i : y( y y + y ( y Λύση Πργοτοποιούμε όπου είι δυτό τους όρους τω κλσμάτω Έτσι έχουμε: y( y y y + y y ( y, y ( y( + y, + y (+ y( y+ y 9

20 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y + y ( y( + y ( y K i i ( y ( + y( y + y + y ( y + y ( y ( + y ( y + y ( y ( + y y, + y εφόσο γι τις μετλητές, y ισχύει ± y 0 Ν μεττρπεί σε πλό το σύθετο κλάσμ + y + y i y + y Σ y y + y Λύση Ο ριθμητής του κλάσμτος γράφετι: A y y + y y i y + y y y i y + y ( y( + y Ο προομστής του κλάσμτος γράφετι: οπότε έχουμε y( y + y y y ( y( y Π +, y y y ( y( + y ( y( + y ( y( + y ( y( + y y Σ : i, εφόσο γι τις μετλητές,y κι ± y 0 5 Μεθοδολογί πόδειξης τυτοτήτω Στη εότητ υτή θ σχοληθούμε με μεθόδους πόδειξης τυτοτήτω με συθήκες ή κι χωρίς συθήκες Τ διάφορ ποδεικτικά προλήμτ μπορού τξιομηθού στις εξής κτηγορίες: I f g Ισότητ τω λγερικώ πρστάσεω f κι g γι όλες τις τιμές τω μετλητώ που ήκου στη τομή τω πεδίω ορισμού τω λγερικώ πρστάσεω f κι g 0

21 Αλγερικές πρστάσεις II f 0,f 0,f 0, Ν* g 0 Οι εξισώσεις fi 0,i,,,, Ν *, ποτελού τις συθήκες ή περιορισμούς του προλήμτος, τους οποίους θ χρησιμοποιήσουμε γι τη πόδειξη της ισότητς g 0 III f 0 g 0 ή g 0 ή ή 0, Η εξίσωση f 0 ποτελεί τη συθήκη ή περιορισμό του προλήμτος, τη οποί θ χρησιμοποιήσουμε γι ποδείξουμε ότι ληθεύει μί τουλάχιστο πό τις ισότητες g 0,g 0,,g 0 g IV f 0 g 0 κι g 0κι g 0 Στη συέχει, θ σχοληθούμε λυτικά με κάθε μί πό τις προηγούμεες περιπτώσεις Ι Απόδειξη τυτοτήτω: f g Σε πολλές σκήσεις ζητείτι ποδείξουμε τη λήθει μις ισότητς της μορφής f g, γι όλες τις τιμές τω μετλητώ που ήκου στη τομή τω πεδίω ορισμού τω λγερικώ πρστάσεω f κι g Γι τη πόδειξη υτώ τω τυτοτήτω χρησιμοποιούμε μί πό τις πρκάτω μεθόδους: (Α Η ευθεί πόδειξη (Β Χρήση της μεττικής ιδιότητς (Γ Η μέθοδος της μθημτικής επγωγής (Α Ευθεί πόδειξη Ξεκιάμε πό το έ μέλος της ισότητς κι με εκτέλεση όλω τω δυτώ πράξεω κι πργοτοποιήσεω κτλήγουμε στο άλλο μέλος της ισότητς Πρδείγμτ Ν ποδειχθεί η τυτότητ ( y + ( + y + ( y( + y ( + y Απόδειξη ( ος τρόπος Με εκτέλεση τω πράξεω στο πρώτο μέλος λμάουμε ( y + ( + y + ( y( + y y + y y + + y + y + y + y + y ( + y

22 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 ( ος τρόπος Επειδή στο πρώτο μέλος εμφίζοτι τρεις κύοι κι το τριπλάσιο γιόμεο τω άσεω προσπθούμε εφρμόσουμε τη τυτότητ τω κύω μετά τις κτάλληλες προσρμογές Έτσι έχουμε: ( y + ( + y + ( y( + y ( y + ( + y + ( ( ( y( + y ( y+ + y [( y + (+ y + ( ( y(+ y (+ y( ( (+ y] ( y+ y + + y+ y + ( + y + y + + y+ y Ν ποδειχθεί η τυτότητ ( yz + (y z + (z y ( yz(y z(z y ( + y + z yz Απόδειξη Θ εφρμόσουμε στο πρώτο μέλος τη τυτότητ του Euler + + γ -γ ( + + γ ( - +( - γ +(γ -, θεωρώτς -yz, y z, γ z y Έτσι το πρώτο μέλος, έστω Α, γράφετι A ( yz+ y z+ z y ( yz y + z + (y z z + y + (z y + yz ( y z y yz z + + ( y (+ y+ z + (y z (+ y+ z + (z (+ y+ z ( y z y yz z + + ( + y + z ( y + (y z + (z ( + y+ z( + y + z y yz z ( + y + z ( y + (y z + (z ( + y + z yz ( + y + z yz ( + y + z yz (Β Με χρήση της μεττικής ιδιότητς Με εκτέλεση πράξεω σε κάθε μέλος χωριστά έχουμε f f f κ g g g Στη περίπτωση που προκύψει η ισότητ fκ g : h, τότε, μέσω της μεττικής ιδιότητς, πό τις ισότητες f h κι g h προκύπτει η ισότητ f g H προηγούμεη διδικσί μπορεί εκτελεστεί με χρήση διδοχικώ ισοδυμιώ, με εκτέλεση τιστρεπτώ πράξεω κι στ δύο μέλη, μέχρις ότου προκύψει ισότητ που θ είι προφώς ληθής

23 Αλγερικές πρστάσεις Έχουμε δηλδή : f g f g fκ gκ, όπου η διδικσί τελειώει εφόσο η λήθει της τελευτίς ισότητς είι φερή Πρδείγμτ Ν ποδειχθεί η τυτότητ ( + y + z (y + yz + z ( yz + (y z + (z y Λύση ( ος τρόπος Το πρώτο μέλος, έστω Α, γράφετι A + y + z + (y + yz + z y + y z + z + yz( + y + z + y + z + y + y z + z yz(+ y+ z Το δεύτερο μέλος, έστω Β, γράφετι B yz+ y z + y y z+ z + z z y+ y + y + z + y + y z + z yz(+ y+ z, δηλδή προέκυψε η ίδι πράστση, όπως κι γι το Α, οπότε λόγω της μεττικής ιδιότητς έπετι ότι A B ος τρόπος Η τυτότητ υτή μπορεί ποδειχθεί κι πευθείς με χρήση της τυτότητς του Lagrange με κτάλληλη διμόρφωση του πρώτου μέλους Έχουμε σχετικά: ( + y + z (y + yz + z ( + y + z ( + y + z (y + yz + z ( + y + z (z + + y (z + y + zy y y z z + + z y y z ( yz + (y z + (z y (Γ Η μέθοδος της μθημτικής ή τέλεις επγωγής Η μέθοδος υτή χρησιμοποιείτι γι τη πόδειξη τυτοτήτω κι γεικότερ προτσικώ τύπω Ρ(, όπου η μετλητή έχει σύολο φοράς τους θετικούς κέριους Σημειώουμε ότι με το σύμολο Ρ( συμολίζουμε μί μθημτική έκφρση που περιέχει το σύμολο E κι τη οομάζουμε προτσικό τύπο της μετλητής με σύολο φοράς το σύολο Ε Α τικτστήσουμε τη μετλητή με έ στοιχείο Ε, τότε η μθημτική έκφρση Ρ( που προκύπτει οομάζετι λογική πρότση ή πλά πρότση, δηλδή είι μί μθημτική έκφρση με υτοτελές όημ η οποί χρκτηρίζετι μόο ως «ληθής», δηλδή έχει τιμή ληθείς ή μόο ως «ψευδής», δηλδή έχει τιμή - ληθείς ψ

24 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Γι πράδειγμ, θεωρήσουμε το προτσικό τύπο P( : «ο είι περιττός ριθμός, N*», τότε η πρότση Ρ(: «ο είι περιττός ριθμός», είι ληθής (έχει τιμή ληθείς, εώ η πρότση Ρ(: «ο είι περιττός ριθμός», είι ψευδής (έχει τιμή ληθείς ψ Η μέθοδος σίζετι στη ρχή της μθημτικής επγωγής που κολουθεί Θεώρημ (Αρχή της μθημτικής επγωγής Έστω Ρ( είι ές προτσικός τύπος με N*, γι το οποίο ισχύου: ( Ρ( ληθής, ( γι κάθε κ N*, Ρκ ( ληθής, τότε κι Ρ( κ+ είι ληθής Τότε ο προτσικός τύπος Ρ( ληθεύει γι κάθε N* Πρτηρήσεις (Ι Τ ήμτ στη εφρμογή της μεθόδου της μθημτικής επγωγής είι δύο ( ο Πρώτ ποδεικύουμε ότι ληθεύει ο προτσικός τύπος γι ( ο Στη συέχει υποθέτουμε ότι η πρότση ληθεύει γι κ κι ποδεικύουμε ότι ληθεύει κι γι κ+ (ΙΙ Η μέθοδος της μθημτικής επγωγής μπορεί χρησιμοποιηθεί γι τη πόδειξη προτσικώ τύπω Ρ( γι 0, όπου 0 είι ές θετικός κέριος μεγλύτερος του Στη περίπτωση υτή ποδεικύουμε πρώτ ότι ληθεύει ο προτσικός τύπος γι 0 Στη συέχει υποθέτουμε ότι ληθεύει η πρότση Ρκ (, κ, κ 0, κι ποδεικύουμε ότι ληθεύει κι η πρότση Ρκ+ ( (ΙΙΙ Υπάρχει κι δεύτερη μορφή της μθημτικής τέλεις επγωγής που κολουθεί πάλι δύο ήμτ κι σίζετι στο πρκάτω θεώρημ: Θεώρημ Έστω ές προτσικός τύπος με γι το οποίο ισχύου: ( οι προτάσεις Ρ(κι Ρ( είι ληθείς, ( οι προτάσεις Ρκ ( κι Ρ( κ+, κ με κ >, είι ληθείς, τότε κι η πρότση είι ληθής Τότε ο προτσικός τύπος Ρ( ληθεύει γι κάθε N* (IV H πρτήρηση ΙΙ ισχύει κι γι τη δεύτερη μορφή της μθημτικής επγωγής

25 Αλγερικές πρστάσεις Πρδείγμτ Ν ποδείξετε ότι γι κάθε θετικό κέριο ισχύει + ( ( ( (+ ( ( (γ ( ( + (δ i + i + +( + (ε i i + ( + Απόδειξη i ( Γι έχουμε τη πρότση Ρ ( :, ληθής Έστω κ( κ+ ότι ληθεύει η πρότση Ρκ ( : κ Θ ποδείξουμε ότι ληθεύει κι η πρότση ( κ + ( κ+ + ( κ+ ( κ+ Ρκ+ ( : κ+ ( κ+ Πράγμτι, έχουμε: κ+ ( κ+ ( κ + ( κ+ κκ+ ( + ( κ+ κ ( κ+ ( κ+ ( κ+ + Άρ, σύμφω με τη ρχή της μθημτικής επγωγής, γι κάθε θετικό κέριο ισχύει ότι ( (-ε Όλες ποδεικύοτι με τυπική εφρμογή της μεθόδου της μθημτικής επγωγής ΙΙ Απόδειξη τυτοτήτω κάτω πό συθήκες f 0,f 0,,f 0, g 0 (f,f,,f,g είι λγερικές πρστάσεις 5

26 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Στη περίπτωση υτή έχουμε τις υποθέσεις f 0, f 0,,f 0,, που είι μί ή περισσότερες κι οομάζοτι συθήκες ή περιορισμοί του προλήμτος Στηριζόμεοι στις πρπάω συθήκες πρέπει ποδείξου-με τη λήθει της ισότητς g 0 Οι μέθοδοι πόδειξης που χρησιμοποιούτι εξρτώτι πό τη μορφή τω συθηκώ κι μπορεί χρησιμοποιηθεί συδυσμός πό υτές Συοπτικά μπορού τξιομηθού ως εξής: A Ευθεί πόδειξη (με τικτάστση, χρήση πργοτοποίησης κι γωστώ τυτοτήτω Β Μέθοδος θεώρησης εξάρτητω μετλητώ Γ Μέθοδος διδοχικώ διφορώ Δ Μέθοδος πό τη θεωρί γρμμικώ συστημάτω Ε Μέθοδος πολυωύμω Στη συέχει θ περιγράψουμε κι θ δώσουμε πρδείγμτ γι κθεμί πό τις πρπάω μεθόδους Α Ευθεί πόδειξη Στη περίπτωση υτή γίετι τικτάστση τω μετλητώ στη ζητούμεη σχέση κι με πράξεις, πργοτοποιήσεις κι χρήση της υπόθεσης κι γωστώ τυτοτήτω στο έ μέλος, κτλήγουμε στο άλλο μέρος της ζητούμεης τυτότητς Πρδείγμτ Α γ + κι -, ποδείξετε ότι γ - - γ + - γ γ- + - Απόδειξη Με γ + κι - ο ριθμητής του πρώτου μέλους γίετι γ - - γ + ( - ( + - ( - -( + + ( - ( ( + - ( + - ( - - Ομοίως ο προομστής του πρώτου μέλους γίετι: ( +( + ( - - γ γ-γ - γ

27 Αλγερικές πρστάσεις Έτσι το πρώτο μέλος γίετι γ( -+( - (γ +( - ( ( γ - - γ + ( +( + ( - - γ ( + ( - - γ- + - ( + ( -( + - Α είι -, - γ y κι γ - z ποδείξετε ότι - - -γ -y γ - -z y+ - γ z+γ - Απόδειξη Α τικτστήσουμε τη μετλητή στο πρώτο όρο του πρώτου μέλους λμάουμε Ομοίως λμάουμε ( - - +/ ( - ( - + -/ ( - -γ -y γ - -z κι, y+ - γ z+γ - πό τις οποίες η ζητούμεη ισότητ είι φερή Α,,,y,,y 0 κι ότι y ( + ( + y (+y, ποδείξετε Απόδειξη Έχουμε ( + ( + y (+y ( + ( + y - (+y 0 0 y (πό τυτότητ Lagrange 7

28 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y y-0 y y, (φού,y 0 y Α είι + + γ 0 ποδείξετε ότι ( + +( + γ +(γ + -γ Απόδειξη Επειδή ισχύει ότι ( + +( + γ+(γ + ( + + γ0, έχουμε ( + +( + γ +(γ + ( + ( + γ(γ + (-γ(-(- (φού + + γ 0 γ 5 Α ισχύει + γ, ποδείξετε ότι γ + γ γ 0 Απόδειξη Με πργοτοποίηση το πρώτο μέλος της ζητούμεης ισότητς γίετι: γ +γ γ ( + + γ -γ -γ - ( + + γ(- + + γ(- + γ( +- γ (τυτότητ De Moirve 0, (λόγω της υπόθεσης + γ 6 Α είι γ( + + γ 0 κι + +, ποδείξετε ότι: γ + + γ + + γ ( + + γ Απόδειξη Στη περίπτωση υτή με πράξεις κι πργοτοποιήσεις στη δοθείσ συθήκη λμάουμε μί ή περισσότερες πλούστερες συθήκες με τη οήθει τω οποίω θ ποδείξουμε τη ζητούμεη ισότητ Έχουμε + + γ + + γ ( + γ + γ( + + γ-γ 0 ( + γ+ (γ + +γ ( ++γ 0 ( + γ+γ+ + γ+ γ+γ 0 ( + γ+γ( + γ+( + γ +γ 0 ( + γ[ +γ + ( + γ] 0 8

29 Αλγερικές πρστάσεις ( + γ( + + γ + γ 0 ( + γ [ ( + +γ( + ] 0 ( + γ( +(γ γ 0 ή + 0 ή γ + 0 Στη συέχει με υπόθεση κθεμί χωριστά πό τις πρπάω συθήκες θ ποδείξουμε τη λήθει της ζητούμεης ισότητς Α είι + γ 0, τότε -γ κι γ (-γ γ - + γ γ, (φού + γ 0 ( + + γ Α είι γ + 0 ή + 0, ομοίως προκύπτει η ζητούμεη ισότητ Β Μέθοδος θεώρησης εξάρτητω μετλητώ Στη περίπτωση υτή θεωρούμε στις εξισώσεις τω συθηκώ μί ή περισσότερες εξάρτητες μετλητές κι προσδιορίζουμε τις υπόλοιπες (εξρτημέες μετλητές συρτήσει τω εξάρτητω Στη συέχει τικθιστούμε τις εξρτημέες μετλητές στη ζητούμεη ισότητ κι εργζόμστε όπως στη περίπτωση Α Πρδείγμτ Α γι τους,, γ ισχύει ότι γ, ποδείξετε ότι γ γ + γ γ (δηλδή η πράστση του πρώτου μέλους είι εξάρτητη τω μετλητώ,, γ Απόδειξη Από τη δοθείσ συθήκη γ, θεωρώτς διδοχικά τις δύο πό τις μετλητές ως εξάρτητες λμάουμε,, γ γ γ ή ισοδύμ γ, γ, γ Έτσι το πρώτο μέλος της ζητούμεης ισότητς γίετι: γ γ + γ γ 9

30 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 ( +γ +( + γ +(γ + -( +γ( + γ(γ γ +6γ + γ + - γ - γ - γ - - γ- γ - γ - γ + + γ +5γ - γ( + + γ -(γ + γ +5-( + γ-, δηλδή είι εξάρτητη τω μετλητώ, κι γ Γ Μέθοδος διδοχικώ διφορώ Με διδοχικές φιρέσεις κτά μέλη τω δεδομέω συθηκώ κι με κτάλληλες πλοποιήσεις κτλήγουμε σε πλούστερες σχέσεις κι τελικά στη σχέση που ζητάμε ποδείξουμε Πράδειγμ Α οι πργμτικοί ριθμοί, y, z είι διφορετικοί μετξύ τους, ισχύου οι ισότητες + y + ky y + z + kyz z + + kz, ποδείξετε ότι (i + y + z 0 (ii yz y z z y Απόδειξη Θέτουμε + y + ky A ( y + z + kyz A ( z + + kz A ( Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε: z + ky( z 0 ( + z( z + ky( z 0 ( z( + z + ky 0 + z+ ky 0, ( φού πό τη υπόθεση είι z 0 Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε: y z + k(y z 0 (y + z(y z + k(y z 0 (y z(y + z + k 0 y+ z+ k 0, (5 φού πό τη υπόθεση είι y z 0 Με φίρεση κτά μέλή τω ( κι (5 έχουμε: y+ k(y 0 ( y( k 0 k, k κι 0

31 Αλγερικές πρστάσεις φού πό τη υπόθεση y 0 Με k πό τη ( προκύπτει η ισότητ του ε- ρωτήμτος ( + y+ z 0 Η ισότητ ( γίετι A + y + ky z y [φού k ] ( y( k 0 k, φού πό τη υπόθεση y 0 Με k πό τη ( προκύπτει η ισότητ του ε- ρωτήμτος ( + y+ z 0 Η ισότητ ( γίετι A + y + ky ( + y y + ky ( z ( ky[φού + y+ z 0] z y [φού k ] Ομοίως λμάουμε A y z yz, οπότε τελικά έχουμε yz y z z y Πράδειγμ Οι διάφοροι μετξύ τους κι του μηδεός πργμτικοί ριθμοί, y, z ικοποιού τις σχέσεις + y + μ( + y y + z + μ(y + z z + + μ(z + Ν ποδείξετε ότι ή πράστση y y+ z z z y K z y y y z z είι εξάρτητη τω, y, z κι μ Απόδειξη: Θέτουμε + y + μ( + y A ( y + z + μ(y + z A ( z + + μ(z + A ( Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε z + μ( z 0 ( z( + z + z + μ( z 0 ( z( + z + z + μ 0 z 0 z z μ ( Ομοίως με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε

32 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y + yz+ z + μ 0 (5 Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι (5 έχουμε y + z( y 0 ( y( + y + z 0 y 0 + y + z 0 (6 Μετά πό πράξεις η πράστση K γίετι y z z z z y y y z y K y y y z y z z z Επιπλέο έχουμε y z z z y zy+ z z + y y y y (y (y + z(y z y y (y (y + z z (y+ zz y y y z, (φού + y+ z 0 y Ομοίως προκύπτου z y + y z y z yz y y z y zy + z z z Έτσι η πράστση K γίετι z y ( + y + z K y yz z yz Όμως, είι γωστή η συεπγωγή + y + z 0 + y + z yz, οπότε μέσω υτής έχουμε ότι K 9, δηλδή είι εξάρτητη τω, y, z κι μ Δ Μέθοδος πό τη θεωρί γρμμικώ συστημάτω Η μεθοδολογί που κολουθεί φέρετι στη περίπτωση που μετξύ τω συθηκώ του προλήμτος υπάρχου δύο τουλάχιστο γρμμικές εξισώσεις ( Α οι συθήκες του προλήμτος περιλμάου το ομογεές γρμμικό σύστημ τύπου n n

33 Αλγερικές πρστάσεις a + a + + an n 0 a + a + + a nn 0 AX 0, a + a + + a 0 n n nn n όπου a a an 0 a a a n 0 A, X, 0, a n a na nn n 0 τότε η συθήκη ύπρξης μη μηδεικώ λύσεω του συστήμτος οδηγεί στη σχέση a a an a a a n A 0 a a a n n nn ( Στη ειδική περίπτωση που έχουμε μετξύ τω συθηκώ δύο ομογεείς γρμμικές εξισώσεις τριώ μετλητώ a + by + cz 0, ( a+ by+ cz 0 που ικοποιούτι πό τριάδες (,y,z (0,0,0, τότε με τη υπόθεση το σύστημ ( γίετι 0, τότε το σύστημ γράφετι στη ισοδύ- Ότ είι μη μορφή a b 0 a b, cz a+ by cz cz b a+ by cz a b b c 0 a b b a b b c z c b, b c κι c a c a a b } a a, y a y c c a c z c z b a b a z a b a b y z ( b c c a a b b c c a a b

34 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Στη μορφή υτή, συμολίζοτς τους ίσους λόγους με λ μπορούμε χρησιμοποιήσουμε τους, y, z στις υπόλοιπες συθήκες γι τη πόδειξη της ζητούμεης σχέσης b c Ότ είι 0 b c ή c a c a 0, τότε προκύπτει 0 y 0 κι έτσι έχουμε πιο πλές συθήκες ( Στη περίπτωση που έχουμε μετξύ τω συθηκώ δύο γρμμικές εξισώσεις δύο μετλητώ a + by + c 0 ( a + by + c 0 a b κι εφόσο ληθεύει ο περιορισμός 0, τότε τ, y ορίζοτι μοοσήμτ συρτήσει τω συτελεστώ a a b i, b i, c i, i, Έχουμε ότι c b a c c b a c, y, ( a b a b a b a b ή ισοδύμ, στη περίπτωση που οι ορίζουσες τω ριθμητώ είι μη μηδεικές έχουμε y (5 b c c a a b b c c a a b ( Στη περίπτωση που έχουμε μετξύ τω συθηκώ τρεις γρμμικές εξισώσεις δύο μετλητώ a + by + c 0 a + by + c 0 a + by + c 0 (6 τότε η συθήκη συμιστότητς (πλείφουσ του συστήμτος μς δίει τη σχέση a b c a b c 0 (7 a b c (5 Α μετξύ τω συθηκώ του προλήμτος υπάρχου δύο εξισώσεις μις μετλητής (8

35 Αλγερικές πρστάσεις που ληθεύου γι 0 κι είι 0, τότε, οπότε η συθήκη συμιστότητς είι 0 (9 Πράδειγμ Α γι τους πργμτικούς ριθμούς,,γ,,y,z με (,y,z (0,0,0 ληθεύου οι ισότητες + γy + z 0 ( γ + y + γz 0 ( + y + γz 0 ( ποδείξετε ότι + + γ γ Απόδειξη Το ομογεές γρμμικό σύστημ τω εξισώσεω (, ( κι ( έχει, σύμφω με τη υπόθεση, κι μη μηδεική λύση (,y,z (0,0,0 Επομέως θ ισχύει γ γ 0 (γ γ(γ + (γ 0 γ γ γ γ γ Πράδειγμ Α γι τους πργμτικούς ριθμούς,,γ,,y,z με (,y,z (0,0,0 ληθεύου οι ισότητες (y + z ( y (z + ( z γ( + y ( ποδείξετε ότι: (i + γ+ γ + γ y z (ii, ( γ ( γ γ( (εφόσο γ( ( γ( γ( + ( + ( + γ 0 Λύση: (i Οι δοθείσες εξισώσεις (, ( κι ( ποτελού έ ομογεές γρμμικό σύστημ 5

36 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y z 0 y+ z 0, (Σ γ + γy z 0 το οποίο, πό τη υπόθεση, έχει κι μη μηδεική λύση Επομέως θ έχουμε + 0 γ + ( γ (γ + γ 0 γ γ + γ + γ + γ ος τρόπος Θεωρώτς τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήμτος (Σ ως ομογεές γρμμικό σύστημ με δύο εξισώσεις κι τρεις γώστους λμάουμε y z λ 0 ( + ( + + λ( +, y λ( +, z λ( + Τότε η τρίτη εξίσωση του (Σ γίετι λγ( + λγ( + λ( + λ(γ + γ + γ + γ γ + γ + γ (ii Θέτοτς z γ( + y στις ( κι ( λμάουμε [y + γ( + y] ( γ y(+ γ y [γ( + y + ] (γ + y( γ Από τις οποίες με πολλπλσισμό κτά μέλη λμάουμε ( (γ + y(+ γ( γ y ( ( γ ( γ φού πό τη υπόθεση είι + γ 0 κι ( γ( γ 0 Εργζόμεοι άλογ, με τικτάστση του (y + z στις ( κι ( λμάουμε τη ισότητ y z (5 ( γ γ( Από τις ( κι (5 προκύπτου οι ζητούμεες ισότητες Ε Μέθοδος πό τη θεωρί πολυωύμω Στο πρό Κεφάλιο, θ σχοληθούμε μόο με πολυώυμ ου θμού (τριώυμ κι θ συμπληρώσουμε τις μεθόδους στο Κεφάλιο τω πολυωύμω που θ κολουθήσει Ότ μετξύ τω συθηκώ του προλήμτος υπάρχει πολυωυμική εξίσωση δευτέρου θμού 6

37 Αλγερικές πρστάσεις + + γ 0, *,,γ κι ικοποιείτι γι, τότε πρέπει Δ γ 0 Πράδειγμ Α γι,,, ληθεύει η ισότητ + + ( , ( ( ποδείξετε ότι 0 Λύση Η εξίσωση ( είι δευτέρου θμού ως προς κι έχει πργμτικές ρίζες, ο- πότε θ είι Δ ( ( ( ( ( ( ( 0, η οποί ληθεύει μόο ότ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΙΙΙ 0 f 0 g 0 ή g 0 ή ή g 0, * Στη περίπτωση υτή προσπθούμε λύσουμε το πρώτο μέλος της συθήκης f 0 σε γιόμεο πργότω, μέσ στους οποίους περιέχοτι κι οι πρστάσεις g,g,,g Έτσι, προκύψει η συθήκη gg g g 0 κι εξσφλίσουμε ότι ισχύει g 0, τότε προκύπτου οι ζητούμεες σχέσεις g 0 ή g 0 ή ή g 0 Πράδειγμ Α γι τους ριθμούς,y,z ισχύει ότι (y z + y (z + z ( y 0, ποδείξετε ότι δύο τουλάχιστο πό υτούς είι ίσοι Απόδειξη Με πργοτοποίηση του πρώτου μέλους της ισότητς έχουμε: (y z + y(z + z( y 0 y z+ yz y+ z( y 0 ( y y ( z y z + z ( y 0 7

38 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y( y z( y + z ( y ( y(y z zy + z 0 ( y y z( y z 0 ( y [ (y z z(y z ] 0 ( y(y z( z 0 y 0 ή y z 0 ή z 0 y ή y z ή z Πράδειγμ Α γι τους ριθμούς,y,z ισχύει ότι ποδείξετε ότι θ ισχύει + y + z yz + y + z 0 ή y z Απόδειξη Χρησιμοποιώτς τη τυτότητ του Euler έχουμε + y + z yz + y + z yz 0 ( y z ( y (y z (z y+ z 0 ή ( y + (y z + (z 0 + y+ z 0 ή y z, φού, ίσχυε ότι y 0 ή y z 0 ή z 0, τότε θ είχμε ( y + (y z + (z > 0 Πράδειγμ Α γι τους ριθμούς,y,z ισχύει ότι yz + y z + z y y y z z 0, ποδείξετε ότι ές τουλάχιστο πό τους,y,z είι μέσος άλογος τω δύο άλλω, δηλδή θ είι yz ή y z ή z y Απόδειξη Με άση τους πράγοτες yz, y z κι z y που πρέπει προκύψου πό τη πργοτοποίηση του πρώτου μέλους της δοθείσς σχέσης έχουμε yz+ yz+ zy y yz z 0 yz z z y + y z y z + yz+ y z y 0 z(yz z zy+ y y(yz z zy+ y 0 (yz z zy+ y(z y 0 8

39 Αλγερικές πρστάσεις z(yz y (yz (z y 0 (yz (z y (z y 0 (yz z (zy y (z y 0 yz 0 ή yz ή z y 0 ή y z ή z zy 0 y ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ IV f 0 g 0 κι g 0 κι g 0, ( * Στη περίπτωση υτή προσπθούμε μεττρέψουμε το πρώτο μέλος της συθήκης f 0 σε άθροισμ τετργώω της μορφής g + g + + g, οπότε πλέο πό τη ισότητ g + g + + g 0, * προκύπτου οι ισότητες g 0 κι g 0 κι g 0 Πράδειγμ Α γι τους,,γ ισχύει ότι: + + ποδείξετε ότι: γ Απόδειξη Έχουμε: γ γ γ γ γ γ γ γ γ 0 ( + ( γ + (γ 0 0 ή γ 0 ή γ 0 ή γ ή γ, γιτί, είι 0 ή γ 0 ή γ 0, τότε θ είι ( + ( γ + (γ > 0 Πράδειγμ Α γι τους θετικούς πργμτικούς ριθμούς, y, z ισχύει ότι + y + z yz, ποδείξετε ότι θ είι y z Απόδειξη Χρησιμοποιώτς τη τυτότητ του Euler λμάουμε + y + z yz 9

40 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 + y + z yz 0 ( y z ( y (y z (z ( y z, φού γι θετικούς,y,z θ είι + y+ z > 0, εώ υποθέσουμε ότι μί τουλάχιστο πό τις διφορές y, y z, z δε είι μηδέ, τότε θ έχουμε κι ( y + (y z + (z > 0, που είι άτοπο, γιτί λόγω της ( πρέπει ές τουλάχιστο πό τους πράγοτες + y+ z, δέ ( y + (y z + (z είι μη- 0

41 Αλγερικές πρστάσεις AΣΚΗΣΕΙΣ Ν πργοτοποιήσετε τις πρστάσεις: ( y( y + yzy ( z + zz ( ( ( y z + y ( z + z ( y ( γ ( y + ( y z + ( z ( δ + y ( ε a + a b + 9b στ ( ( a 8 + ( a+ + 6( a ζ ( + + y z z yz Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: a + b ( a + a b + b ( 6 ( + + ( + + ( 5 + a+ b a b a+ b a b a+ b a b ( γ ( + a b a b ( a b a b + ( a b 5 a b a b b c c a ( a b( b c( c a ( δ a+ b b+ c c+ a ( a+ b( b+ c( c+ a ( a bc b ca c ab ε + + ( a+ b ( a+ c ( b+ c ( b+ a ( c+ a ( c+ b Ν ποδείξετε τις τυτότητες: ( ( y + ( y ( + y ( ( ( ( ( a+ b+ c+ d + a+ b c d + a+ c b d + a+ d b c ( a + b + c + d ( ( ( γ a b + c d + ab bc + dc + ad ( a + b + c + d ( ab ad + bc+ dc y y + + ( δ y y + y + y ( ε (6 y + y ( + 5y 5 y + ( y + 6 y + (5 5y y Α abc,,, a b c a, ποδείξετε ότι:

42 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 b c c a a b ( a b( a c ( b c( b a ( c a( c b a b b c c a 5 Α οι abcd,,, είι διφορετικοί ά δύο κι k k k a b c Sk + + ( a b( a c ( b a( b c ( c a( c b, ποδείξετε ότι : ( S0 S 0 ( S ( γ S a+ b+ c ( δ S a + b + c + ab + bc + ca ( ε S a + b + c + ab+ ba+ bc+ cb+ ca+ ac+ abc 5 6 Α οι abcd είι,,, διφορετικοί ά δύο κι k k k k a b c d Tk ( a b( a c( a d ( b a( b c( b d ( c a( c b( c d ( d a( d b( d c ποδείξετε ότι : ( S0 S S 0 ( S ( γ S a+ b+ c+ d 7 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις ( + + a( a b( a c b( b a( b c c( c a( c b ( + + a ( a b( a c b ( b a( b c c ( c a( c b 8 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, yz, ισχύει ότι yz, ποδείξετε ότι οι πρστάσεις y z Κ ( yz,, + +, y + + yz + y + z + z + + y+ z+ Λ ( yz,, + +, y + + yz + y + z + z + με y + + 0, είι εξάρτητες τω, yz, 9 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abcισχύει,, ότι a+ b+ c 0, ποδείξετε ότι: ( ( a + b + c ( a + b + c ( [( a b + ( b c + ( c a ] [( a b + ( b c + ( c a ]

43 Αλγερικές πρστάσεις 0 Α είι ποδείξετε ότι a b b c c a, y, z a+ b b+ c c+ a a, b, c, ( a+ b( b+ c( c+ a 0, ( + ( + y( + z ( ( y( z Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abcισχύει,, ότι a+ b+ c 0, ποδείξετε ότι ( a + b + c abc( a + b + c ( ( a + b + c ( a + b + c ( a + b + c ( γ a + b + c ( a + b + c ( a + b + c 0 nτ Α είι,, n, n κι n, ποδείξετε ότι: ( τ + ( τ + ( τ n n Α είι a, b με a + b, γι κάθε i,,, n κι ποδείξετε ότι: i i i i n n aibi nab ( ai a i i n na a, nb b i i i n i A είι a + by + cz 0, πλοποιήσετε τη πράστση a + by + cz Α bc( y z + ca( z + ab( y 5 Θεωρούμε τη πράστση A + By + Cy κι θέτουμε + y, y γ+ δ y, οπότε υτή γίετι A + By + Cy Ν ποδείξετε ότι B AC ( B AC( δ γ 6 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς a, a, a n ισχύει ότι

44 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 ποδείξετε ότι : na ( + a + + a ( a+ a + + a, n n a a an 7 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, yz, ισχύει ότι ( y + ( y z + ( z ( + y z + ( y+ z + ( z+ y ποδείξετε ότι y z 8 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abcdμε,,, cd 0 ισχύει ότι ( a+ b+ c+ d( a b c+ d ( a b+ c d( a+ b c d ποδείξετε ότι a b c d 9 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abc,, με back 0 ισχύει ότι + +, a b c a + b + c ποδείξετε ότι + +, n n n n n n a b c a + b + c όπου n είι περιττός φυσικός ριθμός 0 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abc,, με abc 0 ισχύει b + c a c + a b a + b c + +, bc ca ab ποδείξετε ότι δύο πό τ τρί κλάσμτ του πρώτου μέλους είι ίσ με κι ότι το κλάσμ που πομέει είι ίσο με Α γι τους μη μηδεικούς πργμτικούς ριθμούς abcyzισχύει,,,,, ότι bz + cy c + az ay + b, ( a + by + cz y( a by + cz z( a + by cz ποδείξετε ότι y z ab ( + c a bc ( + a b ca ( + b c [ Όλοι οι προμστές υποτίθετι ότι είι διάφοροι του μηδεός ] Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, yzισχύει, ότι + y+ z 0, ποδείξετε ότι: n n n n n n ( a by + ( ay bz + ( az b ( ay b + ( az by + ( a bz, γι n, κι

45 Αλγερικές πρστάσεις ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αγγελική Σ Βλάχου Μθημτικός, κθηγήτρι Μέσης Εκπίδευσης Εργσί Εότητ: Τυτότητες Μέρος Ν γίει η σωστή τιστοίχιση μετξύ τω δυο στηλώ Κάθε στοιχείο της στήλης Α τιστοιχεί σε έ κι μόο ίσο του στοιχείο της στήλης Β ΣΤΗΛΗ Α Τυτότητ Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Ζ ( + ( + χ + ( + χ + Η + + γ γ Θ ( + γ ΣΤΗΛΗ Β Αάπτυγμ τυτότητς γ γ γ ( + + γ + [( + ( γ + ( γ ] + + ( + ( ( ( ( χ + ( χ + 8 ( ( ( + ( Μέρος Ν σημειώσετε τη σωστή πάτηση (Σ ή τη λθσμέη πάτηση (Λ δίπλ στις πρκάτω προτάσεις: χ, τότε: χ ψ ω 0 Α + ψ + ω 0 ( ( + ( ( Το άπτυγμ της τυτότητς 5 Ο ριθμός ( + είι είι πολλπλάσιο του 8 + 5

46 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 6 Α είι περιττός ριθμός, τότε το είι άρτιος ριθμός 7 ( ( 8 Α ισχύει : , τότε: 7, 9 γ γ γ γ ( γ, τότε: γ ( + 5,, τότε: Α + + γ 0 Α 0 Μέρος Ν εκφράσετε ως πολυώυμο του χ τη πράστση Α ( χ χ + χ( χ Α χ + ψ 8 κι χψ ρεθού οι τιμές τω ριθμώ Α + ψ χ Κ χ +6ψ κι Λ χ + 6ψ χ ρεθού οι ριθμοί χ, ψ Α +, + 9 κι, υπολογίσετε τους : 5 Ν ποδείξετε ότι ο ριθμός: 6 Α διιρείτι με + + γ, + + 0, ποδείξετε ότι: + + γ γ Μέρος Α + ψ + ω, ές τουλάχιστο πό τους χ χ + ψ + ω κι + ψ + ω 9 χ, ψ, ω είι μηδέ Α γι τους χ, ψ, ω ισχύει : ότι: Α χ ψ ω ( + 7 χψ χ + ψ ( ω χ, ποδείξετε ότι ω κι χ + ψ + ω 0, ποδείξετε +, τότε ποιο συμπέρσμ προκύπτει γι τους,; Α +, ποδείξετε ότι η πράστση είι εξάρτητη τω + χ, Α 5 Α χ +, υπολογίσετε τις πρστάσεις: χ + χ Α, χ + χ Β κι Γ 9χ + χ 6

47 Αλγερικές πρστάσεις Εργσί Εότητ: Πργοτοποίηση Μέρος Ν γίει η σωστή τιστοίχιση μετξύ τω δυο στηλώ Κάθε στοιχείο της στήλης Α τιστοιχεί σε έ κι μόο στοιχείο της στήλης Β : Στήλη Α (Αλγερική πράστση Α χ 6 5 χ Γ χ 7 Β 6 Δ Ε ΣΤ 7χ χ χ + 6 9χ χ + 6 Ζ χ χ + Η χ + χ 5 Στήλη Β (τίστοιχο γιόμεο ( χ 7( χ + 7 ( χ + 6( χ 6 ( χ ( χ ( χ (χ (9χ + χ + 6 ( χ 7( χ + 7 ( χ ( χ ( χ 6 ( χ + 5( χ Μέρος Ν σημειώσετε τη σωστή πάτηση (Σ ή τη λθσμέη πάτηση (Λ δίπλ στις πρκάτω προτάσεις: Ισχύει : ( χ + ( χ χ Ισχύει : χ χ + ( χ Το κλάσμ χ 5χ χ 5 είι ίσο με χ χ + 5 Είι : χ + ( χ + ( χ 5 Ισχύει : χ 6 χ( χ + ( χ 6 Ισχύει : ( χ + ( χ χ + χ 8 7 Ισχύει: χ( χ (χ + χ χ 8 Ισχύει: ( χ + ( χ χ,εφόσο είι χ 5 Μέρος Ν γίου γιόμεο οι πρκάτω πρστάσεις: χ 8χ (χ 9 7

48 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 γ ( χ 6 δ χ 5χ ε ( + στ χ ψ + ψ ζ χ + ψ η χ + ψ χ ψ χψ χ ψ θ χ ψ 7χ + 7ψ 5 ι + μ κ μ κ κ χ χ + χ χ 6 λ ζ + 8 ψ χ ψ + ψ μ χ χ + χ ξ + χ χ χ, με 0 Μέρος Ν πλοποιήσετε τις πρκάτω ρητές πρστάσεις κι γράψετε τους πρίτητους περιορισμούς,έτσι ώστε είι δυτή η πλοποίηση: + γ + + Α, Β, ( + + γ + γ χ χ + χ ( χ ( χ χ Γ κι Δ χ χ ( χ χ( χ χ Α +, ποδείξετε ότι ή Α ( + ( +, ποδείξετε ότι οι, είι ίσοι ή τίστροφοι Α χ ψ χ 6ψ 8, ποδείξετε ότι: ψ χ ή ψ χ 5 Α χ + χ + χ + χ +, ποδείξετε ότι: 6 Ν ποδείξετε ότι + ( + 7 Α ( + γ ( + γ γ, με,, γ είι πλευρές τριγώου ποδείξετε ότι το τρίγωο είι ορθογώιο 5 8 Ν γίει γιόμεο πργότω η πράστση: χ + χ + 9 Α ισχύει : (χ + 7( χ (5 + χ 0 ποδείξετε ότι: ή χ, ή χ, ή χ 5 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχλγικής Κτεύθυσης Μθημτικά Γ Λυκείυ Θεωρί ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: inf@iliasks.gr www.iliasks.gr Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ Τ σύλ C τω

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α A ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α Β ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mρτίου Aρ. πρ. 66 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµουλος Μθηµτικών Τχ. /νση

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο 0 ΜΑΘΗΜΑ.4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.4.. Συνέχει συνάρτησης στ o Ορισμός: Μι συνάρτηση f/α νμάζετι συνεχής στ σημεί Α, ότν υπάρχει τ lim f () ι είνι: lim f() = f( ) ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ότν υπάρχει δ > 0 ώστε

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα