ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές έοιες του μοωύμου, του πολυωύμου κι τω πράξεώ τους Θ σχοληθούμε με τη άλυση πολυωύμω σε γιόμεο πργότω, με τυτότητες κι με ρητά λγερικά κλάσμτ Οι συτελεστές τω μοωύμω κι τω πολυωύμω θεωρούμε ότι πίρου τιμές πό το σύολο τω πργμτικώ ριθμώ Αάλυση πολυωύμω σε γιόμεο πργότω Αάλυση πολυωύμου σε γιόμεο πργότω ή πλούστερ πργοτοποίηση είι η γρφή εός δεδομέου πολυωύμου ως γιόμεο πολυωυμικώ πργότω Οι πολυωυμικοί πράγοτες που εμφίζοτι πρέπει είι του ελάχιστου δυτού θμού Η άλυση πολυωύμου σε γιόμεο πργότω πολλές φορές δε είι δυτή Δε υπάρχει γεικός κός γι τη πργοτοποίηση πολυωύμω Όμως, γι ειδικές μορφές πολυωύμω δίουμε μεθόδους πργοτοποίησης ( Πολυωυμικές πρστάσεις που οι όροι τους έχου κοιό πράγοτ Πρδείγμτ ( ( + ( y 6 ( y + ( y ( y [ y ( y + ] ( y ( y y+ + ( y ( y y+ ( Χωρισμός σε ομάδες Στη περίπτωση υτή η πολυωυμική πράστση χωρίζετι σε ομάδες, σε κθεμί πό τις οποίες υπάρχει κοιός πράγοτς Η πργοτοποίηση είι δυτή, ό- τ μετά τη πργοτοποίηση τους οι ομάδες υτές εμφίζου κοιό πράγοτ

2 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Πρδείγμτ a + ay + b + by ( a + ay + ( b + by a ( + y + b ( + y ( + y ( a + b a + b a b ( a + b ( a + b ( a + b ( ( ( a + b (γ Διφορά τετργώω Α Α, Β είι πολυωυμικές πρστάσεις, τότε: A B A+ B A B ( ( Πρδείγμτ 6 y ( ( y ( + y ( y 6 8 y ( (9 y ( 9 y ( + 9 y [( (y ] ( + 9y (δ Πολυωυμικές πρστάσεις της μορφής : A ± AB + B Α Α, Β είι πολυωυμικές πρστάσεις, τότε: A + AB + B A + AB + AB + B A ( A + B + B ( A + B ( A+ B, δηλδή έχουμε ( y ( + y ( + 9y A + AB+ B ( A+ B Ομοίως έχουμε A AB + B ( A B Πρδείγμτ 9 + 0y + 5y ( + 5y + (5y ( + 5y ± y + y ( ± y + ( y ( ± y ( 5 y (y 6 ( 5y+ y 6 [ 5 y (y 6 ] ( y ( 5y y + 6 ( + y (0 8y ( + y (5 y (ε Τριώυμ Τριώυμ είι πολυωυμικές πρστάσεις της μορφής f ( + + γ με 0 κι,, γ

3 Αλγερικές πρστάσεις Ο ριθμός Δ γ οομάζετι δικρίουσ του τριωύμου f ( κι ι- σχύου τ εξής: Α Δ > 0, τότε το τριώυμο f ( λύετι σε γιόμεο πργότω της μορφής f ( ( (, όπου οι ριθμοί, δίοτι πό τους τύπους + Δ, Δ Πράγμτι, γ > 0, έχουμε γ f( + + γ γ + + a + + a Δ Δ Δ ( (, θέσουμε + Δ + Δ, Α Δ 0, τότε: f ( + Πράγμτι, Δ 0 έχουμε: γ f ( γ Δ + + a + a + A Δ < 0, τότε το τριώυμο f ( δε λύετι σε γιόμεο πρωτοάθμιω πργότω Πράγμτι, Δ < 0, τότε έχουμε f ( + + γ a + Δ + Δ + +, δηλδή το τριώυμο f ( είι γιόμεο του συτελεστή επί μί πράστση που είι άθροισμ τετργώω Πρδείγμτ Ν πργοτοποιήσετε το τριώυμο f ( + Αφού είι:,, γ κι Δ γ ( > 0, οπότε + Δ + Δ,

4 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Έχουμε f ( + ( ( Ομοίως γι το τριώυμο f ( 5 0 +, έχουμε 5, 0, γ, Δ ( > 0 κι ± Δ 0 ± 00 0 ± 0 ±, Άρ είι + f ( Ομοίως γι το τριώυμο f ( + +, είι,, γ, κι Δ < 0, οπότε το τριώυμο f ( + + δε λύετι σε γιόμεο πργότω Ομοίως γι το τριώυμο f ( 8 + 6, είι, 8, γ 6, κι Δ ( 8 6 0, οπότε : 8 f ( ( (στ Αάλυση εός όρου σε άθροισμ ή διφορά άλλω όρω Πολλές φορές, γι τη άλυση μις πολυωυμικής πράστσης σε γιόμεο πργότω, είι γκίο λύσουμε έ ή περισσότερους όρους σε άθροισμ ή διφορά άλλω όρω Έτσι, δίετι η δυτότητ εφρμόσουμε μί πό τις προηγούμέες μεθόδους πργοτοποίησης, πχ με το χωρισμό σε ομάδες Πρδείγμτ Ν λυθεί σε γιόμεο πργότω η πράστση A + + γ + γ + γ + γ + γ Λύση A + + γ + γ + γ + γ + γ ( + γ + ( + γ + ( γ + γ + ( γ + γ ( + γ + ( + γ + γ ( + γ + γ ( + γ ( + γ ( + + γ + γ ( + γ [( + + ( γ + γ ] ( + γ [( ( + + γ ( + ] ( + γ ( + ( + γ ( + ( + γ ( γ + Ν λυθεί σε γιόμεο πργότω η πράστση f ( 5 +

5 Αλγερικές πρστάσεις Λύση f ( ( ( ( + ( ( ( [ ( + ] ( ( ( Ν λυθεί σε γιόμεο πργότω η πράστση f ( + Λύση f ( ( + ( ( + [ ( ] ( + ( + ( + ( (ζ Αξιοσημείωτ πηλίκ της μορφής: ±, N* Σύμφω με τη τυτότητ της τέλεις διίρεσης κάθε πράστση της μορφής, N διιρούμεη με δίει υπόλοιπο 0 κι πηλίκο Έτσι έχουμε ( ( Ειδικά γι μ, μ N*, έχουμε μ μ μ μ μ μ μ μ ( ( ( ( + Γι πράδειγμ, έχουμε ( a ( ( a ( ( a ( + ( ( + ( + Γι μ +, μ, η πράστση + διιρούμεη με + δίει υπόλοιπο 0 κι ισχύει η ισότητ: + ( + ( Γι πράδειγμ, έχουμε + ( a + ( ( a + ( ( a + (

6 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Ειδικές περιπτώσεις Γι μ +, μ, η πράστση + διιρούμεη με + δίει υπόλοιπο, οπότε η πρπάω μέθοδος δε μπορεί εφρμοστεί Αυτό όμως δε σημίει ότι η πράστση + δε λύετι σε γιόμεο πργότω Στη ειδική περίπτωση που το είι άρτιο πολλπλάσιο περιττού ριθμού, έ- στω κ μ, όπου κ κι μ περιττός, τότε κμ κμ + + κ μ κ μ ( + ( κ κ κ μ κ μ κ κ μ ( + [( ( + iii + ( ] Γι πράδειγμ, έχουμε: ( + ( ( + [( + ( ] ( + ( ( + ( ( + ( ( + ( ( + ( + κ Στη ειδική περίπτωση που είι, κ, κ > έχουμε: κ κ κ κ + + ( + ( κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ ( + ( + ( + ( κ κ κ κ κ κ κ κ + + ( + Γι πράδειγμ, έχουμε: ( + + ( + ( + ( ( ( ( + ( (η Συδυσμός άλλω μεθόδω Αφέρουμε τις πρκάτω χρκτηριστικές περιπτώσεις : Α + ΑΒ + Β Γ (Α + Β - Γ (Α + Β + Γ(Α + Β - Γ Α -ΑΒ + Β - Γ (Α - Β -Γ (Α - Β + Γ(Α - Β - Γ 6

7 Αλγερικές πρστάσεις Γι πράδειγμ έχουμε γ ( + (γ ( + + γ ( + γ 5 + γ γ (5 ( γ [( 5 + ( γ ] [ (5 ( γ ] + ( 5 + γ (5 + γ ( + ( + ( + + ( ( + ( + + ( + ( ( + + ( + (θ Χρήση τυτοτήτω Η περίπτωση υτή θ μελετηθεί στη επόμεη εότητ τω τυτοτήτω (ι Πολυώυμ θμού > Θεωρούμε το πολυώυμο f( , κ 0 Σύμφω με τη θεωρί διιρετότητς πολυωύμω, γι το ριθμό ρ ι- σχύει f ( ρ 0, τότε το πολυώυμο ρ διιρεί το πολυώυμο f ( Το πηλίκο π ( της διίρεσης υτής, μπορεί ρεθεί με το σχήμ Horner Έτσι έχουμε f ( ( ρ π ( Ειδικότερ, γι είι ο κέριος ριθμός ρ ρίζ του πολυωύμου f ( με - κέριους συτελεστές πρέπει ο ριθμός ρ είι διιρέτης του στθερού όρου 0 Επομέως οι πιθές κέριες ρίζες του πολυωύμου f ( είι οι διιρέτες του στθερού όρου 0 κ Επιπλέο, γι είι ο ρητός ριθμός ρ ρίζ του πολυωύμου f ( με - λ κέριους συτελεστές πρέπει ο ριθμητής κ είι διιρέτης του στθερού όρου 0 κι ο προμστής λ είι διιρέτης του μεγιστοάθμιου όρου Πράδειγμ Ν πργοτοποιηθεί το πολυώυμο f ( Λύση Οι διιρέτες του στθερού όρου είι οι: ±, ±, ±, ± 6 Πρτηρούμε ότι f ( 0, οπότε με το σχήμ Horner λμάουμε Έτσι έχουμε f ( ( ( ( ( (, 7

8 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 φού γι το τριώυμο έχουμε, 5, γ 6, Δ > 0 κι 5 5 +, Τυτότητες Τυτότητ είι η ισότητ μετξύ δύο λγερικώ πρστάσεω που ληθεύει γι όλες τις τιμές τω μετλητώ που εμφίζοτι Στη εότητ υτή θ πριθμήσουμε τις σικές τυτότητες που χρησιμοποιούμε γι τη διευκόλυση του λγερικού λογισμού Στ επόμε θ σχοληθούμε με τις μεθόδους επλήθευσης τυτοτήτω ( Τετράγωο θροίσμτος (διφοράς δύο όρω ( ( + ( Γιόμεο θροίσμτος δύο όρω επί τη διφορά τους ( + ( (γ Κύος θροίσμτος (διφοράς δύο όρω ( ( + (δ Άθροισμ (διφορά κύω + ( + ( + ( ( + + (ε Τετράγωο θροίσμτος όρω, ( + + γ + + γ + + γ + γ γ δ γ δ γ δ γ δ γδ (

9 Αλγερικές πρστάσεις Γεικότερ, έχουμε ( ( ( ( ( ( ( ( ή συοπτικά ( ( i + i j, i i< j όπου στη τελευτί ισότητ έχουμε χρησιμοποιήσει το σύμολο του θροίσμτος γράφοτς i i i j i< j Έτσι έχουμε το κό: Το τετράγωο του θροίσμτος όρω, ισούτι με το άθροισμ τω τετργώω τω όρω του, υξημέο κτά το διπλάσιο του λγερικού θροίσμτος τω γιομέω τω όρω του λμομέω ά δύο με όλους τους δυτούς τρόπους (στ Κύος θροίσμτος τριώ όρω ( + + γ ( + + γ ( + + γ ( + + γ + + γ + γ( + + γ + + γ γ + γ + γ + 6γ + + γ + ( + + γ + γ + γ + γ + + γ + ( + ( + γ ( γ +, σύμφω με το Πράδειγμ της (στ περίπτωσης της πργοτοποίησης πολυωυμικώ πρστάσεω Άρ έχουμε: π όπου προκύπτει ο κός: ( + + γ + + γ + ( + ( + γ ( γ + Ο κύος του θροίσμτος τριώ όρω ισούτι με το άθροισμ τω κύω τω όρω του, υξημέο κτά το τριπλάσιο του γιομέου τω λγερικώ θροισμάτω τω όρω του λμομέω ά δύο με όλους τους δυτούς τρόπους 9

10 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Γι πράδειγμ έχουμε: 6 6 ( ( + ( + ( + ( ( ( ( ( ( ( ( ( + ( (ζ Η τυτότητ τω κύω (Euler γ ( γ( γ γ γ γ ( + + γ [( + ( γ + ( γ ] + γ Απόδειξη + + γ γ ( + ( + + γ γ ( + + γ ( + + γ [( + + γ ][( + ( + γ + γ ] ( + + γ ( + + γ [( + + γ γ γ ] ( + + γ ( + + γ γ γ Η δεύτερη μορφή προκύπτει μέσω της ισότητς + + γ γ γ ( + + γ γ γ [( a + ( γ + ( γ ] Γι πράδειγμ έχουμε: 8 6γ γ + ( + ( γ ( ( γ ( γ ( + + 6γ + 8γ + γ ( + ( ( + ( + ( + ( + ( ( ( + [ ] ( + ( + ( + ( + ( + ( + + ( + ( + ( + ( ( + + ( ( + (η Οι τυτότητες του Lagrange (i ( + ( + ( + ( Χρησιμοποιώτς το σύμολο της ορίζουσς εός πίκ, το δεύτερο μέλος της (i γράφετι: 0

11 Αλγερικές πρστάσεις ( Η επλήθευση της (i γίετι εύκολ με πράξεις στο πρώτο μέλος (ii ( ( + + ( ( + ( + ( (Επλήθευση εύκολη με πράξεις στο πρώτο μέλος (iii Γεικότερ γι τις -άδες,,,,,,, έχουμε ( ( ( ( ( Πρδείγμτ Ν ποδείξετε ότι ( + ( + ( + ( Απόδειξη ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( ( Ν μεττρέψετε τη πράστση ( + ( + y + ( + y σε άθροισμ τετργώω Λύση ( + ( + y + ( + y ( ( + y + ( + y+ 0 y y 0 ( + y +

12 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 (θ Η τυτότητ του De Moirve + + γ γ γ ( + + γ ( + + γ ( + γ ( + γ Απόδειξη + + γ γ γ + + γ + γ γ ( + γ ( ( γ ( γ [( + γ ][( γ ] ( + + γ ( + γ ( + γ ( γ ( + + γ ( + + γ ( + γ ( + γ (ι Η τυτότητες του Νεύτω ( + ( + + ( + + ( ( ( + + ( + ( + ( + γ + ( + + γ + ( + γ + γ + γ ( ( ( γ ( + + γ + ( + γ + γ γ Η επλήθευση τω πρπάω τυτοτήτω γίετι εύκολ με πράξεις στο πρώτο μέλος τους Γεικότερ, θεωρήσουμε τους πργμτικούς ριθμούς,,,, έχουμε τις τυτότητες: ( ± ( ± ( ± ± ( ( ( ( + + ( ± ( + ή συτομότερ, ( + ( + ( + +Σ +Σ +Σ + +Σ +Σ, όπου γι τους ριθμούς,,,, έχουμε θέσει: Σ + + +, Σ

13 Αλγερικές πρστάσεις [Άθροισμ γιομέω τω ριθμώ,,,, λμομέω ά δύο Υπάρχου! ( συολικά : όροι] (!! Το σύμολο! διάζετι «ι πργοτικό» κι ορίζετι ως εξής:!,,,, κι 0! Σ [Άθροισμ γιομέω τω ριθμώ,,,, λμομέω ά τρεις Υπάρχου! ( συολικά : όροι]!(! Σ [Άθροισμ γιομέω τω ριθμώ,,,, λμομέω ά Υπάρχου όροι] Σ (ι Το διώυμο του Νεύτω Α στις τυτότητες του Νεύτω θέσουμε:, λμάουμε το άπτυγμ του διωύμου του Νεύτω: ( + Σ, + + Σ + Σ + Σ + + Σ όπου έχουμε Σ + + +,! φού, (!! Σ! ( φού,!(! Σ ( ( 6,, Σ, Σ, φού είι:! ( ( :,!(! 6

14 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Έτσι έχουμε: ( Από τη πρπάω τυτότητ λμάουμε: ( ( ( ( Χρησιμοποιώτς το σύμολο Σ του θροίσμτος κι το σύμολο τω συδυσμώ ά κ μπορούμε γράψουμε το διώυμο του Νεύτω ως εξής: κ κ κ κ + 0 ( κ κ κ κ κ 0 ( ( Γι τις μικρές τιμές του έχουμε τ πτύγμτ: ( + ± ± ( ± + ± ± 6 ( + ± + ± ± ( ± + ± + ± ± ( ± + ± ± + ± ± Πρτηρήσεις Έ πολυώυμο, ( f είι ομογεές θμού k, γι κάθε t R ισχύει η ι- σότητ, (, ( κ f t t t f Έτσι, εύκολ διπιστώουμε ότι τ πολυώυμ ( a ± είι ομογεή θμού Το πλήθος τω όρω τω δύο πτυγμάτω είι + Οι εκθέτες του πό ριστερά προς τ δεξιά μειώοτι κτά, εώ οι εκθέτες του υξάοτι κτά

15 Αλγερικές πρστάσεις Όλοι οι όροι του πτύγμτος ( + a έχου θετικά πρόσημ, εώ οι όροι του ( a έχου ελλάξ θετικό-ρητικό πρόσημο! Επειδή ισχύει :, 0 κ, 0!, οι συτελεστές τω κ κ κ!( κ! όρω που ισπέχου πό τους άκρους όρους είι ίσοι Α ο είι άρτιος, το πλήθος τω όρω τω δύο πτυγμάτω είι περιττό κι τότε μόο υπάρχει μεσίος όρος Ο συτελεστής εός όρου (χωρίς πρόσημο, μετά το πρώτο, προκύπτει πό το προηγούμεο όρο ως εξής: ( συτελεστ ής ( εκθ έτης του θ έσητου όρου στο άπτυγμ 6 Γι πράδειγμ, στο άπτυγμ του ( + a ο συτελεστής του τρίτου όρου προκύπτει πό το δεύτερο όρο ως εξής: ( συτελεστ ής ( εκθ έτης του θ έση δεύτερου όρου Εκτός του πρπάω μημοικού κό γι τη εύρεση τω συτελεστώ του πτύγμτος ( + a γι τις διάφορες τιμές του, χρησιμοποιούμε κι το τρίγωο του Pascal (6 66 που εμφίζετι πρώτ στο έργο του Pascal «Περί ριθμητικού τριγώου» το 65 Τ κρί στοιχεί κάθε γρμμής είι, εώ τ υπόλοιπ προκύπτου με πρόσθεση δύο στοιχείω της προηγούμεης γρμμής, δηλδή του στοιχείου που ρίσκετι στη κριώς πό πάω θέση ριστερά κι του στοιχείου που ρίσκετι κριώς δεξιά του Το τρίγωο του Pascal μέχρι 7 Γι πράδειγμ, το στοιχείο 0 του πίκ προκύπτει πό το άθροισμ τω στοιχείω 0 κι 0 της προηγούμεης γρμμής 5

16 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 (ι Τυτότητες κάτω πό συθήκες Γι τους πργμτικούς ριθμούς,, γ ισχύει η ισοδυμί: + + γ 0 ή γ + + γ γ Απόδειξη Η πόδειξη είι άμεση συέπει της τυτότητς τω κύω (Euler + + γ γ ( + + γ ( + ( γ + ( γ Αλογίες [ ] Αλογί είι η ισότητ δύο λόγω, δηλδή η ισότητ γ, δ 0 δ Οι όροι,, γ, δ μις λογίς μπορεί είι ριθμοί ή γεικότερ λγερικές πρστάσεις Οι, δ είι οι άκροι όροι, εώ οι, γ είι οι μέσοι όροι της λογίς Η λογί, γ 0, γ λέγετι συεχής κι ο λέγετι μέσος άλογος τω κι γ Στη συέχει φέρουμε τις σικές ιδιότητες τω λογιώ, όπου όλοι οι εμφιζόμεοι προμστές πρέπει είι διάφοροι του μηδεός γ (i δ γ δ Τ γιόμε τω άκρω κι τω μέσω όρω είι ίσ Απόδειξη γ δ γ δ γ 0 δ γ δ δ 0 γ δ γ δ (ii δ γ δ γ Με ελλγή τω άκρω ή τω μέσω όρω η λογί δε μετάλλετι Το ίδιο ισχύει κι με τιστροφή τω λόγω (iii (iv γ γ ± γ ± δ ± ± δ δ δ γ γ δ ± γ ± δ 6

17 Αλγερικές πρστάσεις Απόδειξη γ ( γ ± δ γ ( ± ± γ ± δ γ γ ± δ γ ± γ δ γ δ (v γ + γ + δ γ δ δ γ δ + γ + δ Απόδειξη γ δ + γ + δ (τιστροφή λόγω + γ + δ γ δ ( + ( γ δ ( ( γ + δ γ δ + γ δ γ + δ γ δ γ γ δ δ γ δ (vi Α είι, τότε κ + κ + + κ, κ + κ + + κ ( κ + + κ, 0, 0 κ Απόδειξη Α οομάσουμε λ τους ίσους λόγους, δηλδή λ Τότε θ έχουμε i λ i, γι κάθε i,,, κι λ + λ + + λ λ( κ + κ + + κ κ λ + κ λ + + κ λ λ( κ + κ + + κ οπότε θ είι κ + κ + + κ λ κ + κ + + κ Πρτήρηση Η μέθοδος πόδειξης της τελευτίς ιδιότητς χρησιμοποιείτι συχά σε σκήσεις, στις υποθέσεις τω οποίω υπάρχου μί ή περισσότερες λογίες 7

18 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Ρητά λγερικά κλάσμτ A Ρητό λγερικό κλάσμ είι μί συάρτηση της μορφής y, όπου τ Α, Β B είι πολυώυμ μις ή περισσοτέρω μετλητώ Το πρπάω ρητό λγερικό κλάσμ έχει έοι γι εκείες τις τιμές τω μετλητώ γι τις οποίες ισχύει Β 0 Στη εότητ υτή θ σχοληθούμε με τη πλοποίηση ρητώ λγερικώ κλσμάτω κι με τις διάφορες πράξεις μετξύ υτώ Γι τη πλοποίηση του ρητού λγερικού κλάσμτος Α Β πργοτοποιούμε τους δύο όρους τους κι στη συέχει τους διιρούμε με το μέγιστο κοιό διιρέτη τους ΜΚΔ(Α, Β, δηλδή με το γιόμέο τω κοιώ τους όρω του μέγιστου δυτού θμού Το ρητό λγερικό κλάσμ Α δε πλοποιείτι, ότ οι όροι του είι Β πολυώυμ πρώτ μετξύ τους ή ισοδύμ ο ΜΚΔ(Α, Β είι έ στθερό πολυώυμο c 0 Με τη υπόθεση ότι όλοι οι εμφιζόμεοι προμστές στ δεδομέ κλάσμτ ή στ ποτελέσμτ είι διάφοροι του μηδεός, έχουμε σχετικά με τις πράξεις μετξύ ρητώ λγερικώ κλσμάτω: Α Γ Α ± Γ ±, Β Β Β Α Γ ΑΔ±ΒΓ ± Β Δ ΒΔ Α Γ ΑΓ Β Δ ΒΔ Α Γ Α Δ ΑΔ : Β Δ Β Γ ΒΓ,, Η κλσμτική πράστση της μορφής Χ, όπου όροι Χ, Υ είι τ ρητά λγερικά κλάσμτ Χ,Y λέγετι σύθετο κλάσμ Σε έ σύθετο κλάσμ είι Υ Α Γ Β Δ δυτό ισχύει μί το πολύ πό τις ισότητες Β ή Δ Τ ρητά λγερικά κλάσμτ με Β Δ, δηλδή με Χ Α, Υ Γ, τ λέμε πλά Έ σύθετο κλάσμ μεττρέπετι σε πλό σύμφω με το γωστό κό πολλπλσισμού άκρω κι μέσω όρω A X B A Γ A Δ Α Δ : Y Γ B Δ B Γ Β Γ Δ 8

19 Αλγερικές πρστάσεις Πρδείγμτ Ν πλοποιηθεί το ρητό λγερικό κλάσμ y(a + b + ab( + y Κ y(a - b + ab( - y Λύση Ο ριθμητής του κλάσμτος πργοτοποιείτι ως εξής: y(a + b + ab( + y ya + yb + ab + aby (ya + ab - (yb + aby a(ay + b - by(ay + b (ay + b(a - by Ομοίως ο προομστής του κλάσμτος γράφετι: y(a - b + ab( - y ya - yb + ab - aby (ya + ab - (yb + aby a(ay + b - by(ay + b (ay + b(a - by Άρ έχουμε: (ay + b(a + by a + by K (ay + b(a - by a - by, εφόσο (ay + b(a - by 0 Ν μεττρπεί σε ρητό λγερικό κλάσμ η πράστση y+ y y + y K i : y( y y + y ( y Λύση Πργοτοποιούμε όπου είι δυτό τους όρους τω κλσμάτω Έτσι έχουμε: y( y y y + y y ( y, y ( y( + y, + y (+ y( y+ y 9

20 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y + y ( y( + y ( y K i i ( y ( + y( y + y + y ( y + y ( y ( + y ( y + y ( y ( + y y, + y εφόσο γι τις μετλητές, y ισχύει ± y 0 Ν μεττρπεί σε πλό το σύθετο κλάσμ + y + y i y + y Σ y y + y Λύση Ο ριθμητής του κλάσμτος γράφετι: A y y + y y i y + y y y i y + y ( y( + y Ο προομστής του κλάσμτος γράφετι: οπότε έχουμε y( y + y y y ( y( y Π +, y y y ( y( + y ( y( + y ( y( + y ( y( + y y Σ : i, εφόσο γι τις μετλητές,y κι ± y 0 5 Μεθοδολογί πόδειξης τυτοτήτω Στη εότητ υτή θ σχοληθούμε με μεθόδους πόδειξης τυτοτήτω με συθήκες ή κι χωρίς συθήκες Τ διάφορ ποδεικτικά προλήμτ μπορού τξιομηθού στις εξής κτηγορίες: I f g Ισότητ τω λγερικώ πρστάσεω f κι g γι όλες τις τιμές τω μετλητώ που ήκου στη τομή τω πεδίω ορισμού τω λγερικώ πρστάσεω f κι g 0

21 Αλγερικές πρστάσεις II f 0,f 0,f 0, Ν* g 0 Οι εξισώσεις fi 0,i,,,, Ν *, ποτελού τις συθήκες ή περιορισμούς του προλήμτος, τους οποίους θ χρησιμοποιήσουμε γι τη πόδειξη της ισότητς g 0 III f 0 g 0 ή g 0 ή ή 0, Η εξίσωση f 0 ποτελεί τη συθήκη ή περιορισμό του προλήμτος, τη οποί θ χρησιμοποιήσουμε γι ποδείξουμε ότι ληθεύει μί τουλάχιστο πό τις ισότητες g 0,g 0,,g 0 g IV f 0 g 0 κι g 0κι g 0 Στη συέχει, θ σχοληθούμε λυτικά με κάθε μί πό τις προηγούμεες περιπτώσεις Ι Απόδειξη τυτοτήτω: f g Σε πολλές σκήσεις ζητείτι ποδείξουμε τη λήθει μις ισότητς της μορφής f g, γι όλες τις τιμές τω μετλητώ που ήκου στη τομή τω πεδίω ορισμού τω λγερικώ πρστάσεω f κι g Γι τη πόδειξη υτώ τω τυτοτήτω χρησιμοποιούμε μί πό τις πρκάτω μεθόδους: (Α Η ευθεί πόδειξη (Β Χρήση της μεττικής ιδιότητς (Γ Η μέθοδος της μθημτικής επγωγής (Α Ευθεί πόδειξη Ξεκιάμε πό το έ μέλος της ισότητς κι με εκτέλεση όλω τω δυτώ πράξεω κι πργοτοποιήσεω κτλήγουμε στο άλλο μέλος της ισότητς Πρδείγμτ Ν ποδειχθεί η τυτότητ ( y + ( + y + ( y( + y ( + y Απόδειξη ( ος τρόπος Με εκτέλεση τω πράξεω στο πρώτο μέλος λμάουμε ( y + ( + y + ( y( + y y + y y + + y + y + y + y + y ( + y

22 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 ( ος τρόπος Επειδή στο πρώτο μέλος εμφίζοτι τρεις κύοι κι το τριπλάσιο γιόμεο τω άσεω προσπθούμε εφρμόσουμε τη τυτότητ τω κύω μετά τις κτάλληλες προσρμογές Έτσι έχουμε: ( y + ( + y + ( y( + y ( y + ( + y + ( ( ( y( + y ( y+ + y [( y + (+ y + ( ( y(+ y (+ y( ( (+ y] ( y+ y + + y+ y + ( + y + y + + y+ y Ν ποδειχθεί η τυτότητ ( yz + (y z + (z y ( yz(y z(z y ( + y + z yz Απόδειξη Θ εφρμόσουμε στο πρώτο μέλος τη τυτότητ του Euler + + γ -γ ( + + γ ( - +( - γ +(γ -, θεωρώτς -yz, y z, γ z y Έτσι το πρώτο μέλος, έστω Α, γράφετι A ( yz+ y z+ z y ( yz y + z + (y z z + y + (z y + yz ( y z y yz z + + ( y (+ y+ z + (y z (+ y+ z + (z (+ y+ z ( y z y yz z + + ( + y + z ( y + (y z + (z ( + y+ z( + y + z y yz z ( + y + z ( y + (y z + (z ( + y + z yz ( + y + z yz ( + y + z yz (Β Με χρήση της μεττικής ιδιότητς Με εκτέλεση πράξεω σε κάθε μέλος χωριστά έχουμε f f f κ g g g Στη περίπτωση που προκύψει η ισότητ fκ g : h, τότε, μέσω της μεττικής ιδιότητς, πό τις ισότητες f h κι g h προκύπτει η ισότητ f g H προηγούμεη διδικσί μπορεί εκτελεστεί με χρήση διδοχικώ ισοδυμιώ, με εκτέλεση τιστρεπτώ πράξεω κι στ δύο μέλη, μέχρις ότου προκύψει ισότητ που θ είι προφώς ληθής

23 Αλγερικές πρστάσεις Έχουμε δηλδή : f g f g fκ gκ, όπου η διδικσί τελειώει εφόσο η λήθει της τελευτίς ισότητς είι φερή Πρδείγμτ Ν ποδειχθεί η τυτότητ ( + y + z (y + yz + z ( yz + (y z + (z y Λύση ( ος τρόπος Το πρώτο μέλος, έστω Α, γράφετι A + y + z + (y + yz + z y + y z + z + yz( + y + z + y + z + y + y z + z yz(+ y+ z Το δεύτερο μέλος, έστω Β, γράφετι B yz+ y z + y y z+ z + z z y+ y + y + z + y + y z + z yz(+ y+ z, δηλδή προέκυψε η ίδι πράστση, όπως κι γι το Α, οπότε λόγω της μεττικής ιδιότητς έπετι ότι A B ος τρόπος Η τυτότητ υτή μπορεί ποδειχθεί κι πευθείς με χρήση της τυτότητς του Lagrange με κτάλληλη διμόρφωση του πρώτου μέλους Έχουμε σχετικά: ( + y + z (y + yz + z ( + y + z ( + y + z (y + yz + z ( + y + z (z + + y (z + y + zy y y z z + + z y y z ( yz + (y z + (z y (Γ Η μέθοδος της μθημτικής ή τέλεις επγωγής Η μέθοδος υτή χρησιμοποιείτι γι τη πόδειξη τυτοτήτω κι γεικότερ προτσικώ τύπω Ρ(, όπου η μετλητή έχει σύολο φοράς τους θετικούς κέριους Σημειώουμε ότι με το σύμολο Ρ( συμολίζουμε μί μθημτική έκφρση που περιέχει το σύμολο E κι τη οομάζουμε προτσικό τύπο της μετλητής με σύολο φοράς το σύολο Ε Α τικτστήσουμε τη μετλητή με έ στοιχείο Ε, τότε η μθημτική έκφρση Ρ( που προκύπτει οομάζετι λογική πρότση ή πλά πρότση, δηλδή είι μί μθημτική έκφρση με υτοτελές όημ η οποί χρκτηρίζετι μόο ως «ληθής», δηλδή έχει τιμή ληθείς ή μόο ως «ψευδής», δηλδή έχει τιμή - ληθείς ψ

24 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Γι πράδειγμ, θεωρήσουμε το προτσικό τύπο P( : «ο είι περιττός ριθμός, N*», τότε η πρότση Ρ(: «ο είι περιττός ριθμός», είι ληθής (έχει τιμή ληθείς, εώ η πρότση Ρ(: «ο είι περιττός ριθμός», είι ψευδής (έχει τιμή ληθείς ψ Η μέθοδος σίζετι στη ρχή της μθημτικής επγωγής που κολουθεί Θεώρημ (Αρχή της μθημτικής επγωγής Έστω Ρ( είι ές προτσικός τύπος με N*, γι το οποίο ισχύου: ( Ρ( ληθής, ( γι κάθε κ N*, Ρκ ( ληθής, τότε κι Ρ( κ+ είι ληθής Τότε ο προτσικός τύπος Ρ( ληθεύει γι κάθε N* Πρτηρήσεις (Ι Τ ήμτ στη εφρμογή της μεθόδου της μθημτικής επγωγής είι δύο ( ο Πρώτ ποδεικύουμε ότι ληθεύει ο προτσικός τύπος γι ( ο Στη συέχει υποθέτουμε ότι η πρότση ληθεύει γι κ κι ποδεικύουμε ότι ληθεύει κι γι κ+ (ΙΙ Η μέθοδος της μθημτικής επγωγής μπορεί χρησιμοποιηθεί γι τη πόδειξη προτσικώ τύπω Ρ( γι 0, όπου 0 είι ές θετικός κέριος μεγλύτερος του Στη περίπτωση υτή ποδεικύουμε πρώτ ότι ληθεύει ο προτσικός τύπος γι 0 Στη συέχει υποθέτουμε ότι ληθεύει η πρότση Ρκ (, κ, κ 0, κι ποδεικύουμε ότι ληθεύει κι η πρότση Ρκ+ ( (ΙΙΙ Υπάρχει κι δεύτερη μορφή της μθημτικής τέλεις επγωγής που κολουθεί πάλι δύο ήμτ κι σίζετι στο πρκάτω θεώρημ: Θεώρημ Έστω ές προτσικός τύπος με γι το οποίο ισχύου: ( οι προτάσεις Ρ(κι Ρ( είι ληθείς, ( οι προτάσεις Ρκ ( κι Ρ( κ+, κ με κ >, είι ληθείς, τότε κι η πρότση είι ληθής Τότε ο προτσικός τύπος Ρ( ληθεύει γι κάθε N* (IV H πρτήρηση ΙΙ ισχύει κι γι τη δεύτερη μορφή της μθημτικής επγωγής

25 Αλγερικές πρστάσεις Πρδείγμτ Ν ποδείξετε ότι γι κάθε θετικό κέριο ισχύει + ( ( ( (+ ( ( (γ ( ( + (δ i + i + +( + (ε i i + ( + Απόδειξη i ( Γι έχουμε τη πρότση Ρ ( :, ληθής Έστω κ( κ+ ότι ληθεύει η πρότση Ρκ ( : κ Θ ποδείξουμε ότι ληθεύει κι η πρότση ( κ + ( κ+ + ( κ+ ( κ+ Ρκ+ ( : κ+ ( κ+ Πράγμτι, έχουμε: κ+ ( κ+ ( κ + ( κ+ κκ+ ( + ( κ+ κ ( κ+ ( κ+ ( κ+ + Άρ, σύμφω με τη ρχή της μθημτικής επγωγής, γι κάθε θετικό κέριο ισχύει ότι ( (-ε Όλες ποδεικύοτι με τυπική εφρμογή της μεθόδου της μθημτικής επγωγής ΙΙ Απόδειξη τυτοτήτω κάτω πό συθήκες f 0,f 0,,f 0, g 0 (f,f,,f,g είι λγερικές πρστάσεις 5

26 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Στη περίπτωση υτή έχουμε τις υποθέσεις f 0, f 0,,f 0,, που είι μί ή περισσότερες κι οομάζοτι συθήκες ή περιορισμοί του προλήμτος Στηριζόμεοι στις πρπάω συθήκες πρέπει ποδείξου-με τη λήθει της ισότητς g 0 Οι μέθοδοι πόδειξης που χρησιμοποιούτι εξρτώτι πό τη μορφή τω συθηκώ κι μπορεί χρησιμοποιηθεί συδυσμός πό υτές Συοπτικά μπορού τξιομηθού ως εξής: A Ευθεί πόδειξη (με τικτάστση, χρήση πργοτοποίησης κι γωστώ τυτοτήτω Β Μέθοδος θεώρησης εξάρτητω μετλητώ Γ Μέθοδος διδοχικώ διφορώ Δ Μέθοδος πό τη θεωρί γρμμικώ συστημάτω Ε Μέθοδος πολυωύμω Στη συέχει θ περιγράψουμε κι θ δώσουμε πρδείγμτ γι κθεμί πό τις πρπάω μεθόδους Α Ευθεί πόδειξη Στη περίπτωση υτή γίετι τικτάστση τω μετλητώ στη ζητούμεη σχέση κι με πράξεις, πργοτοποιήσεις κι χρήση της υπόθεσης κι γωστώ τυτοτήτω στο έ μέλος, κτλήγουμε στο άλλο μέρος της ζητούμεης τυτότητς Πρδείγμτ Α γ + κι -, ποδείξετε ότι γ - - γ + - γ γ- + - Απόδειξη Με γ + κι - ο ριθμητής του πρώτου μέλους γίετι γ - - γ + ( - ( + - ( - -( + + ( - ( ( + - ( + - ( - - Ομοίως ο προομστής του πρώτου μέλους γίετι: ( +( + ( - - γ γ-γ - γ

27 Αλγερικές πρστάσεις Έτσι το πρώτο μέλος γίετι γ( -+( - (γ +( - ( ( γ - - γ + ( +( + ( - - γ ( + ( - - γ- + - ( + ( -( + - Α είι -, - γ y κι γ - z ποδείξετε ότι - - -γ -y γ - -z y+ - γ z+γ - Απόδειξη Α τικτστήσουμε τη μετλητή στο πρώτο όρο του πρώτου μέλους λμάουμε Ομοίως λμάουμε ( - - +/ ( - ( - + -/ ( - -γ -y γ - -z κι, y+ - γ z+γ - πό τις οποίες η ζητούμεη ισότητ είι φερή Α,,,y,,y 0 κι ότι y ( + ( + y (+y, ποδείξετε Απόδειξη Έχουμε ( + ( + y (+y ( + ( + y - (+y 0 0 y (πό τυτότητ Lagrange 7

28 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y y-0 y y, (φού,y 0 y Α είι + + γ 0 ποδείξετε ότι ( + +( + γ +(γ + -γ Απόδειξη Επειδή ισχύει ότι ( + +( + γ+(γ + ( + + γ0, έχουμε ( + +( + γ +(γ + ( + ( + γ(γ + (-γ(-(- (φού + + γ 0 γ 5 Α ισχύει + γ, ποδείξετε ότι γ + γ γ 0 Απόδειξη Με πργοτοποίηση το πρώτο μέλος της ζητούμεης ισότητς γίετι: γ +γ γ ( + + γ -γ -γ - ( + + γ(- + + γ(- + γ( +- γ (τυτότητ De Moirve 0, (λόγω της υπόθεσης + γ 6 Α είι γ( + + γ 0 κι + +, ποδείξετε ότι: γ + + γ + + γ ( + + γ Απόδειξη Στη περίπτωση υτή με πράξεις κι πργοτοποιήσεις στη δοθείσ συθήκη λμάουμε μί ή περισσότερες πλούστερες συθήκες με τη οήθει τω οποίω θ ποδείξουμε τη ζητούμεη ισότητ Έχουμε + + γ + + γ ( + γ + γ( + + γ-γ 0 ( + γ+ (γ + +γ ( ++γ 0 ( + γ+γ+ + γ+ γ+γ 0 ( + γ+γ( + γ+( + γ +γ 0 ( + γ[ +γ + ( + γ] 0 8

29 Αλγερικές πρστάσεις ( + γ( + + γ + γ 0 ( + γ [ ( + +γ( + ] 0 ( + γ( +(γ γ 0 ή + 0 ή γ + 0 Στη συέχει με υπόθεση κθεμί χωριστά πό τις πρπάω συθήκες θ ποδείξουμε τη λήθει της ζητούμεης ισότητς Α είι + γ 0, τότε -γ κι γ (-γ γ - + γ γ, (φού + γ 0 ( + + γ Α είι γ + 0 ή + 0, ομοίως προκύπτει η ζητούμεη ισότητ Β Μέθοδος θεώρησης εξάρτητω μετλητώ Στη περίπτωση υτή θεωρούμε στις εξισώσεις τω συθηκώ μί ή περισσότερες εξάρτητες μετλητές κι προσδιορίζουμε τις υπόλοιπες (εξρτημέες μετλητές συρτήσει τω εξάρτητω Στη συέχει τικθιστούμε τις εξρτημέες μετλητές στη ζητούμεη ισότητ κι εργζόμστε όπως στη περίπτωση Α Πρδείγμτ Α γι τους,, γ ισχύει ότι γ, ποδείξετε ότι γ γ + γ γ (δηλδή η πράστση του πρώτου μέλους είι εξάρτητη τω μετλητώ,, γ Απόδειξη Από τη δοθείσ συθήκη γ, θεωρώτς διδοχικά τις δύο πό τις μετλητές ως εξάρτητες λμάουμε,, γ γ γ ή ισοδύμ γ, γ, γ Έτσι το πρώτο μέλος της ζητούμεης ισότητς γίετι: γ γ + γ γ 9

30 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 ( +γ +( + γ +(γ + -( +γ( + γ(γ γ +6γ + γ + - γ - γ - γ - - γ- γ - γ - γ + + γ +5γ - γ( + + γ -(γ + γ +5-( + γ-, δηλδή είι εξάρτητη τω μετλητώ, κι γ Γ Μέθοδος διδοχικώ διφορώ Με διδοχικές φιρέσεις κτά μέλη τω δεδομέω συθηκώ κι με κτάλληλες πλοποιήσεις κτλήγουμε σε πλούστερες σχέσεις κι τελικά στη σχέση που ζητάμε ποδείξουμε Πράδειγμ Α οι πργμτικοί ριθμοί, y, z είι διφορετικοί μετξύ τους, ισχύου οι ισότητες + y + ky y + z + kyz z + + kz, ποδείξετε ότι (i + y + z 0 (ii yz y z z y Απόδειξη Θέτουμε + y + ky A ( y + z + kyz A ( z + + kz A ( Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε: z + ky( z 0 ( + z( z + ky( z 0 ( z( + z + ky 0 + z+ ky 0, ( φού πό τη υπόθεση είι z 0 Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε: y z + k(y z 0 (y + z(y z + k(y z 0 (y z(y + z + k 0 y+ z+ k 0, (5 φού πό τη υπόθεση είι y z 0 Με φίρεση κτά μέλή τω ( κι (5 έχουμε: y+ k(y 0 ( y( k 0 k, k κι 0

31 Αλγερικές πρστάσεις φού πό τη υπόθεση y 0 Με k πό τη ( προκύπτει η ισότητ του ε- ρωτήμτος ( + y+ z 0 Η ισότητ ( γίετι A + y + ky z y [φού k ] ( y( k 0 k, φού πό τη υπόθεση y 0 Με k πό τη ( προκύπτει η ισότητ του ε- ρωτήμτος ( + y+ z 0 Η ισότητ ( γίετι A + y + ky ( + y y + ky ( z ( ky[φού + y+ z 0] z y [φού k ] Ομοίως λμάουμε A y z yz, οπότε τελικά έχουμε yz y z z y Πράδειγμ Οι διάφοροι μετξύ τους κι του μηδεός πργμτικοί ριθμοί, y, z ικοποιού τις σχέσεις + y + μ( + y y + z + μ(y + z z + + μ(z + Ν ποδείξετε ότι ή πράστση y y+ z z z y K z y y y z z είι εξάρτητη τω, y, z κι μ Απόδειξη: Θέτουμε + y + μ( + y A ( y + z + μ(y + z A ( z + + μ(z + A ( Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε z + μ( z 0 ( z( + z + z + μ( z 0 ( z( + z + z + μ 0 z 0 z z μ ( Ομοίως με φίρεση κτά μέλη τω ( κι ( έχουμε

32 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y + yz+ z + μ 0 (5 Με φίρεση κτά μέλη τω ( κι (5 έχουμε y + z( y 0 ( y( + y + z 0 y 0 + y + z 0 (6 Μετά πό πράξεις η πράστση K γίετι y z z z z y y y z y K y y y z y z z z Επιπλέο έχουμε y z z z y zy+ z z + y y y y (y (y + z(y z y y (y (y + z z (y+ zz y y y z, (φού + y+ z 0 y Ομοίως προκύπτου z y + y z y z yz y y z y zy + z z z Έτσι η πράστση K γίετι z y ( + y + z K y yz z yz Όμως, είι γωστή η συεπγωγή + y + z 0 + y + z yz, οπότε μέσω υτής έχουμε ότι K 9, δηλδή είι εξάρτητη τω, y, z κι μ Δ Μέθοδος πό τη θεωρί γρμμικώ συστημάτω Η μεθοδολογί που κολουθεί φέρετι στη περίπτωση που μετξύ τω συθηκώ του προλήμτος υπάρχου δύο τουλάχιστο γρμμικές εξισώσεις ( Α οι συθήκες του προλήμτος περιλμάου το ομογεές γρμμικό σύστημ τύπου n n

33 Αλγερικές πρστάσεις a + a + + an n 0 a + a + + a nn 0 AX 0, a + a + + a 0 n n nn n όπου a a an 0 a a a n 0 A, X, 0, a n a na nn n 0 τότε η συθήκη ύπρξης μη μηδεικώ λύσεω του συστήμτος οδηγεί στη σχέση a a an a a a n A 0 a a a n n nn ( Στη ειδική περίπτωση που έχουμε μετξύ τω συθηκώ δύο ομογεείς γρμμικές εξισώσεις τριώ μετλητώ a + by + cz 0, ( a+ by+ cz 0 που ικοποιούτι πό τριάδες (,y,z (0,0,0, τότε με τη υπόθεση το σύστημ ( γίετι 0, τότε το σύστημ γράφετι στη ισοδύ- Ότ είι μη μορφή a b 0 a b, cz a+ by cz cz b a+ by cz a b b c 0 a b b a b b c z c b, b c κι c a c a a b } a a, y a y c c a c z c z b a b a z a b a b y z ( b c c a a b b c c a a b

34 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 Στη μορφή υτή, συμολίζοτς τους ίσους λόγους με λ μπορούμε χρησιμοποιήσουμε τους, y, z στις υπόλοιπες συθήκες γι τη πόδειξη της ζητούμεης σχέσης b c Ότ είι 0 b c ή c a c a 0, τότε προκύπτει 0 y 0 κι έτσι έχουμε πιο πλές συθήκες ( Στη περίπτωση που έχουμε μετξύ τω συθηκώ δύο γρμμικές εξισώσεις δύο μετλητώ a + by + c 0 ( a + by + c 0 a b κι εφόσο ληθεύει ο περιορισμός 0, τότε τ, y ορίζοτι μοοσήμτ συρτήσει τω συτελεστώ a a b i, b i, c i, i, Έχουμε ότι c b a c c b a c, y, ( a b a b a b a b ή ισοδύμ, στη περίπτωση που οι ορίζουσες τω ριθμητώ είι μη μηδεικές έχουμε y (5 b c c a a b b c c a a b ( Στη περίπτωση που έχουμε μετξύ τω συθηκώ τρεις γρμμικές εξισώσεις δύο μετλητώ a + by + c 0 a + by + c 0 a + by + c 0 (6 τότε η συθήκη συμιστότητς (πλείφουσ του συστήμτος μς δίει τη σχέση a b c a b c 0 (7 a b c (5 Α μετξύ τω συθηκώ του προλήμτος υπάρχου δύο εξισώσεις μις μετλητής (8

35 Αλγερικές πρστάσεις που ληθεύου γι 0 κι είι 0, τότε, οπότε η συθήκη συμιστότητς είι 0 (9 Πράδειγμ Α γι τους πργμτικούς ριθμούς,,γ,,y,z με (,y,z (0,0,0 ληθεύου οι ισότητες + γy + z 0 ( γ + y + γz 0 ( + y + γz 0 ( ποδείξετε ότι + + γ γ Απόδειξη Το ομογεές γρμμικό σύστημ τω εξισώσεω (, ( κι ( έχει, σύμφω με τη υπόθεση, κι μη μηδεική λύση (,y,z (0,0,0 Επομέως θ ισχύει γ γ 0 (γ γ(γ + (γ 0 γ γ γ γ γ Πράδειγμ Α γι τους πργμτικούς ριθμούς,,γ,,y,z με (,y,z (0,0,0 ληθεύου οι ισότητες (y + z ( y (z + ( z γ( + y ( ποδείξετε ότι: (i + γ+ γ + γ y z (ii, ( γ ( γ γ( (εφόσο γ( ( γ( γ( + ( + ( + γ 0 Λύση: (i Οι δοθείσες εξισώσεις (, ( κι ( ποτελού έ ομογεές γρμμικό σύστημ 5

36 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y z 0 y+ z 0, (Σ γ + γy z 0 το οποίο, πό τη υπόθεση, έχει κι μη μηδεική λύση Επομέως θ έχουμε + 0 γ + ( γ (γ + γ 0 γ γ + γ + γ + γ ος τρόπος Θεωρώτς τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήμτος (Σ ως ομογεές γρμμικό σύστημ με δύο εξισώσεις κι τρεις γώστους λμάουμε y z λ 0 ( + ( + + λ( +, y λ( +, z λ( + Τότε η τρίτη εξίσωση του (Σ γίετι λγ( + λγ( + λ( + λ(γ + γ + γ + γ γ + γ + γ (ii Θέτοτς z γ( + y στις ( κι ( λμάουμε [y + γ( + y] ( γ y(+ γ y [γ( + y + ] (γ + y( γ Από τις οποίες με πολλπλσισμό κτά μέλη λμάουμε ( (γ + y(+ γ( γ y ( ( γ ( γ φού πό τη υπόθεση είι + γ 0 κι ( γ( γ 0 Εργζόμεοι άλογ, με τικτάστση του (y + z στις ( κι ( λμάουμε τη ισότητ y z (5 ( γ γ( Από τις ( κι (5 προκύπτου οι ζητούμεες ισότητες Ε Μέθοδος πό τη θεωρί πολυωύμω Στο πρό Κεφάλιο, θ σχοληθούμε μόο με πολυώυμ ου θμού (τριώυμ κι θ συμπληρώσουμε τις μεθόδους στο Κεφάλιο τω πολυωύμω που θ κολουθήσει Ότ μετξύ τω συθηκώ του προλήμτος υπάρχει πολυωυμική εξίσωση δευτέρου θμού 6

37 Αλγερικές πρστάσεις + + γ 0, *,,γ κι ικοποιείτι γι, τότε πρέπει Δ γ 0 Πράδειγμ Α γι,,, ληθεύει η ισότητ + + ( , ( ( ποδείξετε ότι 0 Λύση Η εξίσωση ( είι δευτέρου θμού ως προς κι έχει πργμτικές ρίζες, ο- πότε θ είι Δ ( ( ( ( ( ( ( 0, η οποί ληθεύει μόο ότ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΙΙΙ 0 f 0 g 0 ή g 0 ή ή g 0, * Στη περίπτωση υτή προσπθούμε λύσουμε το πρώτο μέλος της συθήκης f 0 σε γιόμεο πργότω, μέσ στους οποίους περιέχοτι κι οι πρστάσεις g,g,,g Έτσι, προκύψει η συθήκη gg g g 0 κι εξσφλίσουμε ότι ισχύει g 0, τότε προκύπτου οι ζητούμεες σχέσεις g 0 ή g 0 ή ή g 0 Πράδειγμ Α γι τους ριθμούς,y,z ισχύει ότι (y z + y (z + z ( y 0, ποδείξετε ότι δύο τουλάχιστο πό υτούς είι ίσοι Απόδειξη Με πργοτοποίηση του πρώτου μέλους της ισότητς έχουμε: (y z + y(z + z( y 0 y z+ yz y+ z( y 0 ( y y ( z y z + z ( y 0 7

38 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 y( y z( y + z ( y ( y(y z zy + z 0 ( y y z( y z 0 ( y [ (y z z(y z ] 0 ( y(y z( z 0 y 0 ή y z 0 ή z 0 y ή y z ή z Πράδειγμ Α γι τους ριθμούς,y,z ισχύει ότι ποδείξετε ότι θ ισχύει + y + z yz + y + z 0 ή y z Απόδειξη Χρησιμοποιώτς τη τυτότητ του Euler έχουμε + y + z yz + y + z yz 0 ( y z ( y (y z (z y+ z 0 ή ( y + (y z + (z 0 + y+ z 0 ή y z, φού, ίσχυε ότι y 0 ή y z 0 ή z 0, τότε θ είχμε ( y + (y z + (z > 0 Πράδειγμ Α γι τους ριθμούς,y,z ισχύει ότι yz + y z + z y y y z z 0, ποδείξετε ότι ές τουλάχιστο πό τους,y,z είι μέσος άλογος τω δύο άλλω, δηλδή θ είι yz ή y z ή z y Απόδειξη Με άση τους πράγοτες yz, y z κι z y που πρέπει προκύψου πό τη πργοτοποίηση του πρώτου μέλους της δοθείσς σχέσης έχουμε yz+ yz+ zy y yz z 0 yz z z y + y z y z + yz+ y z y 0 z(yz z zy+ y y(yz z zy+ y 0 (yz z zy+ y(z y 0 8

39 Αλγερικές πρστάσεις z(yz y (yz (z y 0 (yz (z y (z y 0 (yz z (zy y (z y 0 yz 0 ή yz ή z y 0 ή y z ή z zy 0 y ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ IV f 0 g 0 κι g 0 κι g 0, ( * Στη περίπτωση υτή προσπθούμε μεττρέψουμε το πρώτο μέλος της συθήκης f 0 σε άθροισμ τετργώω της μορφής g + g + + g, οπότε πλέο πό τη ισότητ g + g + + g 0, * προκύπτου οι ισότητες g 0 κι g 0 κι g 0 Πράδειγμ Α γι τους,,γ ισχύει ότι: + + ποδείξετε ότι: γ Απόδειξη Έχουμε: γ γ γ γ γ γ γ γ γ 0 ( + ( γ + (γ 0 0 ή γ 0 ή γ 0 ή γ ή γ, γιτί, είι 0 ή γ 0 ή γ 0, τότε θ είι ( + ( γ + (γ > 0 Πράδειγμ Α γι τους θετικούς πργμτικούς ριθμούς, y, z ισχύει ότι + y + z yz, ποδείξετε ότι θ είι y z Απόδειξη Χρησιμοποιώτς τη τυτότητ του Euler λμάουμε + y + z yz 9

40 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 + y + z yz 0 ( y z ( y (y z (z ( y z, φού γι θετικούς,y,z θ είι + y+ z > 0, εώ υποθέσουμε ότι μί τουλάχιστο πό τις διφορές y, y z, z δε είι μηδέ, τότε θ έχουμε κι ( y + (y z + (z > 0, που είι άτοπο, γιτί λόγω της ( πρέπει ές τουλάχιστο πό τους πράγοτες + y+ z, δέ ( y + (y z + (z είι μη- 0

41 Αλγερικές πρστάσεις AΣΚΗΣΕΙΣ Ν πργοτοποιήσετε τις πρστάσεις: ( y( y + yzy ( z + zz ( ( ( y z + y ( z + z ( y ( γ ( y + ( y z + ( z ( δ + y ( ε a + a b + 9b στ ( ( a 8 + ( a+ + 6( a ζ ( + + y z z yz Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: a + b ( a + a b + b ( 6 ( + + ( + + ( 5 + a+ b a b a+ b a b a+ b a b ( γ ( + a b a b ( a b a b + ( a b 5 a b a b b c c a ( a b( b c( c a ( δ a+ b b+ c c+ a ( a+ b( b+ c( c+ a ( a bc b ca c ab ε + + ( a+ b ( a+ c ( b+ c ( b+ a ( c+ a ( c+ b Ν ποδείξετε τις τυτότητες: ( ( y + ( y ( + y ( ( ( ( ( a+ b+ c+ d + a+ b c d + a+ c b d + a+ d b c ( a + b + c + d ( ( ( γ a b + c d + ab bc + dc + ad ( a + b + c + d ( ab ad + bc+ dc y y + + ( δ y y + y + y ( ε (6 y + y ( + 5y 5 y + ( y + 6 y + (5 5y y Α abc,,, a b c a, ποδείξετε ότι:

42 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 b c c a a b ( a b( a c ( b c( b a ( c a( c b a b b c c a 5 Α οι abcd,,, είι διφορετικοί ά δύο κι k k k a b c Sk + + ( a b( a c ( b a( b c ( c a( c b, ποδείξετε ότι : ( S0 S 0 ( S ( γ S a+ b+ c ( δ S a + b + c + ab + bc + ca ( ε S a + b + c + ab+ ba+ bc+ cb+ ca+ ac+ abc 5 6 Α οι abcd είι,,, διφορετικοί ά δύο κι k k k k a b c d Tk ( a b( a c( a d ( b a( b c( b d ( c a( c b( c d ( d a( d b( d c ποδείξετε ότι : ( S0 S S 0 ( S ( γ S a+ b+ c+ d 7 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις ( + + a( a b( a c b( b a( b c c( c a( c b ( + + a ( a b( a c b ( b a( b c c ( c a( c b 8 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, yz, ισχύει ότι yz, ποδείξετε ότι οι πρστάσεις y z Κ ( yz,, + +, y + + yz + y + z + z + + y+ z+ Λ ( yz,, + +, y + + yz + y + z + z + με y + + 0, είι εξάρτητες τω, yz, 9 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abcισχύει,, ότι a+ b+ c 0, ποδείξετε ότι: ( ( a + b + c ( a + b + c ( [( a b + ( b c + ( c a ] [( a b + ( b c + ( c a ]

43 Αλγερικές πρστάσεις 0 Α είι ποδείξετε ότι a b b c c a, y, z a+ b b+ c c+ a a, b, c, ( a+ b( b+ c( c+ a 0, ( + ( + y( + z ( ( y( z Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abcισχύει,, ότι a+ b+ c 0, ποδείξετε ότι ( a + b + c abc( a + b + c ( ( a + b + c ( a + b + c ( a + b + c ( γ a + b + c ( a + b + c ( a + b + c 0 nτ Α είι,, n, n κι n, ποδείξετε ότι: ( τ + ( τ + ( τ n n Α είι a, b με a + b, γι κάθε i,,, n κι ποδείξετε ότι: i i i i n n aibi nab ( ai a i i n na a, nb b i i i n i A είι a + by + cz 0, πλοποιήσετε τη πράστση a + by + cz Α bc( y z + ca( z + ab( y 5 Θεωρούμε τη πράστση A + By + Cy κι θέτουμε + y, y γ+ δ y, οπότε υτή γίετι A + By + Cy Ν ποδείξετε ότι B AC ( B AC( δ γ 6 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς a, a, a n ισχύει ότι

44 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 ποδείξετε ότι : na ( + a + + a ( a+ a + + a, n n a a an 7 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, yz, ισχύει ότι ( y + ( y z + ( z ( + y z + ( y+ z + ( z+ y ποδείξετε ότι y z 8 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abcdμε,,, cd 0 ισχύει ότι ( a+ b+ c+ d( a b c+ d ( a b+ c d( a+ b c d ποδείξετε ότι a b c d 9 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abc,, με back 0 ισχύει ότι + +, a b c a + b + c ποδείξετε ότι + +, n n n n n n a b c a + b + c όπου n είι περιττός φυσικός ριθμός 0 Α γι τους πργμτικούς ριθμούς abc,, με abc 0 ισχύει b + c a c + a b a + b c + +, bc ca ab ποδείξετε ότι δύο πό τ τρί κλάσμτ του πρώτου μέλους είι ίσ με κι ότι το κλάσμ που πομέει είι ίσο με Α γι τους μη μηδεικούς πργμτικούς ριθμούς abcyzισχύει,,,,, ότι bz + cy c + az ay + b, ( a + by + cz y( a by + cz z( a + by cz ποδείξετε ότι y z ab ( + c a bc ( + a b ca ( + b c [ Όλοι οι προμστές υποτίθετι ότι είι διάφοροι του μηδεός ] Α γι τους πργμτικούς ριθμούς, yzισχύει, ότι + y+ z 0, ποδείξετε ότι: n n n n n n ( a by + ( ay bz + ( az b ( ay b + ( az by + ( a bz, γι n, κι

45 Αλγερικές πρστάσεις ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αγγελική Σ Βλάχου Μθημτικός, κθηγήτρι Μέσης Εκπίδευσης Εργσί Εότητ: Τυτότητες Μέρος Ν γίει η σωστή τιστοίχιση μετξύ τω δυο στηλώ Κάθε στοιχείο της στήλης Α τιστοιχεί σε έ κι μόο ίσο του στοιχείο της στήλης Β ΣΤΗΛΗ Α Τυτότητ Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Ζ ( + ( + χ + ( + χ + Η + + γ γ Θ ( + γ ΣΤΗΛΗ Β Αάπτυγμ τυτότητς γ γ γ ( + + γ + [( + ( γ + ( γ ] + + ( + ( ( ( ( χ + ( χ + 8 ( ( ( + ( Μέρος Ν σημειώσετε τη σωστή πάτηση (Σ ή τη λθσμέη πάτηση (Λ δίπλ στις πρκάτω προτάσεις: χ, τότε: χ ψ ω 0 Α + ψ + ω 0 ( ( + ( ( Το άπτυγμ της τυτότητς 5 Ο ριθμός ( + είι είι πολλπλάσιο του 8 + 5

46 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 6 Α είι περιττός ριθμός, τότε το είι άρτιος ριθμός 7 ( ( 8 Α ισχύει : , τότε: 7, 9 γ γ γ γ ( γ, τότε: γ ( + 5,, τότε: Α + + γ 0 Α 0 Μέρος Ν εκφράσετε ως πολυώυμο του χ τη πράστση Α ( χ χ + χ( χ Α χ + ψ 8 κι χψ ρεθού οι τιμές τω ριθμώ Α + ψ χ Κ χ +6ψ κι Λ χ + 6ψ χ ρεθού οι ριθμοί χ, ψ Α +, + 9 κι, υπολογίσετε τους : 5 Ν ποδείξετε ότι ο ριθμός: 6 Α διιρείτι με + + γ, + + 0, ποδείξετε ότι: + + γ γ Μέρος Α + ψ + ω, ές τουλάχιστο πό τους χ χ + ψ + ω κι + ψ + ω 9 χ, ψ, ω είι μηδέ Α γι τους χ, ψ, ω ισχύει : ότι: Α χ ψ ω ( + 7 χψ χ + ψ ( ω χ, ποδείξετε ότι ω κι χ + ψ + ω 0, ποδείξετε +, τότε ποιο συμπέρσμ προκύπτει γι τους,; Α +, ποδείξετε ότι η πράστση είι εξάρτητη τω + χ, Α 5 Α χ +, υπολογίσετε τις πρστάσεις: χ + χ Α, χ + χ Β κι Γ 9χ + χ 6

47 Αλγερικές πρστάσεις Εργσί Εότητ: Πργοτοποίηση Μέρος Ν γίει η σωστή τιστοίχιση μετξύ τω δυο στηλώ Κάθε στοιχείο της στήλης Α τιστοιχεί σε έ κι μόο στοιχείο της στήλης Β : Στήλη Α (Αλγερική πράστση Α χ 6 5 χ Γ χ 7 Β 6 Δ Ε ΣΤ 7χ χ χ + 6 9χ χ + 6 Ζ χ χ + Η χ + χ 5 Στήλη Β (τίστοιχο γιόμεο ( χ 7( χ + 7 ( χ + 6( χ 6 ( χ ( χ ( χ (χ (9χ + χ + 6 ( χ 7( χ + 7 ( χ ( χ ( χ 6 ( χ + 5( χ Μέρος Ν σημειώσετε τη σωστή πάτηση (Σ ή τη λθσμέη πάτηση (Λ δίπλ στις πρκάτω προτάσεις: Ισχύει : ( χ + ( χ χ Ισχύει : χ χ + ( χ Το κλάσμ χ 5χ χ 5 είι ίσο με χ χ + 5 Είι : χ + ( χ + ( χ 5 Ισχύει : χ 6 χ( χ + ( χ 6 Ισχύει : ( χ + ( χ χ + χ 8 7 Ισχύει: χ( χ (χ + χ χ 8 Ισχύει: ( χ + ( χ χ,εφόσο είι χ 5 Μέρος Ν γίου γιόμεο οι πρκάτω πρστάσεις: χ 8χ (χ 9 7

48 Κλοκιριό μθημτικό σχολείο ΕΜΕ 0 γ ( χ 6 δ χ 5χ ε ( + στ χ ψ + ψ ζ χ + ψ η χ + ψ χ ψ χψ χ ψ θ χ ψ 7χ + 7ψ 5 ι + μ κ μ κ κ χ χ + χ χ 6 λ ζ + 8 ψ χ ψ + ψ μ χ χ + χ ξ + χ χ χ, με 0 Μέρος Ν πλοποιήσετε τις πρκάτω ρητές πρστάσεις κι γράψετε τους πρίτητους περιορισμούς,έτσι ώστε είι δυτή η πλοποίηση: + γ + + Α, Β, ( + + γ + γ χ χ + χ ( χ ( χ χ Γ κι Δ χ χ ( χ χ( χ χ Α +, ποδείξετε ότι ή Α ( + ( +, ποδείξετε ότι οι, είι ίσοι ή τίστροφοι Α χ ψ χ 6ψ 8, ποδείξετε ότι: ψ χ ή ψ χ 5 Α χ + χ + χ + χ +, ποδείξετε ότι: 6 Ν ποδείξετε ότι + ( + 7 Α ( + γ ( + γ γ, με,, γ είι πλευρές τριγώου ποδείξετε ότι το τρίγωο είι ορθογώιο 5 8 Ν γίει γιόμεο πργότω η πράστση: χ + χ + 9 Α ισχύει : (χ + 7( χ (5 + χ 0 ποδείξετε ότι: ή χ, ή χ, ή χ 5 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό. Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ; ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Πόσ είδη ορίω υπάρχου; Υπάρχει όριο στο κι είι πργµτικός ριθµός (πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο κι είι, - (µη πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο ή - κι είι πργµτικός ριθµός. Υπάρχει όριο στο ή -

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρούμε μ ριθμούς ij, i,,, μ κι j,,, τοποθετημέους σε μ γρμμές κι v στήλες Το σύμολο μ μ λέγετι πίκς διάστσης μ Οι ριθμοί ij λέγοτι στοιχεί του πίκ Α Ο πίκς Α μπορεί συμολιστεί ως Α[ [

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Η Θεωρί σε 99 Ερωτήσεις Ορισμοί, Θεωρήμτ 4 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Μ Ππγρηγοράκης Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0

Διαβάστε περισσότερα

1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ζωοδόχου Πηγς Σλμί Τηλ 466- /4644..Οι πράξεις ι οι ιδιότητές τους i Στο προομστεός λάσμτος ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ έχουμε το μηδέ γιτί το λάσμ δε ορίζετι.,.π.χ: δε ορίζετι i Ότ ο ριθμητς εός λάσμτος είι ίσος με το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 5 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R 64 Aκοουθίες Ορισμός : Ακοουθί οομάζετι κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύοο Ν* τω θετικώ κερίω κι πίρει τιμές στο R. a: Ν* R H τιμή μί κοουθίς στο συμβοίζετι με Αδρομικός Τύπος Ακοουθίς: Οομάζετι μί

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Α κ ο λ ο υ θ ι ε ς Ορισμος. Ν δειχτει οτι + 0 0. Ποτε ισχυει το ισο; Κθε συρτηση. A :, β * θετικοι οομζετι, συγκριετι κολουθι τους ριθμους πργμτικω Α = ριθμω. + β, Β = β + β. * Η τιμη

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία της Α Λυκείου

Η θεωρία της Α Λυκείου Η θεωρί της Α Λυκείου Τι λέγετι σύολο; Σύολο είι κάθε συλλογή τικειμέω, που προέρχοτι πό τη εμπειρί μς ή τη διόησή μς, είι κλά ορισμέ κι δικρίοτι το έ πό το άλλο. Τ τικείμε υτά, που ποτελού το σύολο, οομάζοτι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει: Ν γωρίζει τις συρτήσεις f( )=, f( )= log, τις βσικές τους ιδιότητες κι μπορεί τις σχεδιάζει. Ν μπορεί επιλύει εκθετικές εξισώσεις, ισώσεις κι εκθετικά

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 01 Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών Μθημτικά Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθµώ Το σύολο τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Μπορεί πρχθεί κι διεμηθεί ελεύθερ ρκεί διτηρηθεί η μορφή του. Προλεγόμε Η διδσκλί ποδείξεω στη Άλγεβρ της Α Τάξης μπορεί υποβοηθηθεί ο δάσκλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία Θάση Π. Ξέου Απρίτητο βοήθημ γι κάθε μθητή Λυκείου Ορισμοί τω εοιώ Τύποι κι ιδιότητες Βσική μεθοδολογί ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Πρόλογος Τ ο βιβλιράκι που κρτάς στ χέρι σου, μοδικό στη ελληική βιβλιογρφί, θ σου φεί

Διαβάστε περισσότερα

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: 0 < 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ 1. 0 Όλες οι πόλυς τιμές είι θετικές ή μηδέ ( 0 0). 3.. Οι τίθετοι ριθμοί (ποσότης) έχου τη ίδι πόλυτη τιμή. 5. 6. θ ±θ με θ >

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 Μθηµτικά Ι Σείδ πό 7 Μάθηµ ο ΠΙΝΑΚΕΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρί : Γρµµική Άγερ : εδάφι κι, σε -7 Τ πρδείγµτ που τιστοιχού στη ύη έχου διδχθεί Ασκήσεις :, σε 3 ; 3, 4, 5, 6, 7, 8, σε 7 κι, σε 8 Λυµέες Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Ιούνιος Η Επιτροπή Διαγωνισμών της ΕΜΕ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Ιούνιος Η Επιτροπή Διαγωνισμών της ΕΜΕ 8 o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΙΕΡΙΙΑΣ 014 13 Ιουλίου - 5 Ιουλίου 014 «OLYMPIIAN BAY» - Λεπτοκαρυά Πιερίας ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις που κρατάτε στα χέρια σας έχουν σκοπό την υποστήριξη του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. 0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Πολλπλσισμός-Διίρεση ρητών πρστάσεν Πολλπλσισμός Γι ν πολλπλσιάσουμε ένν κέριο ριθμό με έν κλάσμ ή ι ν πολλπλσιάσουμε δύο κλάσμτ, χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ. 5-6 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ http://cutemathswordpresscom/ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β)

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β) οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) τυτότητες (+) + + (+) + + + + +(+) + (+) + (+) (+) (+)() + (+)( + ) ()( ++ ) (++γ) + +γ ++γ+γ + +γ γ (++γ)( () +(γ) +(γ) ) (++γ)( + +γ γγ) ()( + + + ) Ν + (+)( + +

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ο ρ ι σ μ ο ς Μι κολουθι οομζετι γεωμετρικη προοδος, κι μοο, υπρχει λ, τετοιος ωστε. γι A κθε, β θετικοι, συγκριετι τους ριθμους Α = + β, Β = β + β + + = λ η = λ * 3. Ν δειχτει οτι +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φυσικοί ριθµοί (Ν :,,,,... Ακέριοι ριθµοί (Ζ :...,,,,,... Ρητοί (Q λέγοντι οι ριθµοί που µπορούν ν γρφούν µε τη µορφή κλάσµτος δηλδή, στη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Α Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ Α Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμβουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα