ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ.

Transcript

1 5-6 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός

2 ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του θέμµτος Α Φιλοδοξεί θέσει τις άσεις της σωστής γώσης κι επάληψης της θεωρίς,που είι πρίτητη γι τη τιμµετώπιση τω θεμµάτω Β-Γ-Δ Γι το λόγο υτό έχω προσθέσει κι σημµτικές επισημµάσεις θεωρίς,χωρίς το κείμµεο πλτιάζει κι πράλληλ ο όγκος της εργσίς είι σε λογικά πλίσι Πράλληλ δίει στο υποψήφιο τη δυτότητ υτοξιολογηθεί είτε πτώτς στις ερωτήσεις θεωρίς,είτε στις ερωτήσεις Σ-Λ που κολουθού Βγγέλης Νικολκάκης σημείωση Η σκιγράφηση πολλώ τύπω έγιε γι χρησιμµοποιείτι το πρώ κι σ τυπολόγιο Οι ποδείξεις θεωρίς είι σε σκιγρφημµέ πλίσι ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α Ερωτήσεις μµε πτήσεις κι οι ποδείξεις θεωρίς ά κεφάλιο Β Ερωτήσεις θεωρίς προς πάτηση Γ Ερωτήσεις Σ-Λ που έχου δοθεί στις Πελλδικές τ έτη -5 Δ Ερωτήσεις Σ-Λ προς πάτηση

3 Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Τι οομάζουμε συάρτηση ; Έστω Α έ υποσύολο του R Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί, με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με Τι οομάζουμε σύολο τιμώ μις συάρτησης ; Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ κι συμολίζετι με A Είι δηλδή: A A, λέγετι σύολο τιμώ της γι κάποιο A} 3 Τι οομάζουμε γρφική πράστση συάρτησης Έστω συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M, γι τ οποί ισχύει, δηλδή το σύολο τω σημείω M,, A, λέγετι γρφική πράστση της κι συμολίζετι με C ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ - Η γρφική πράστση της συμολίζετι συήθως με C - Η εξίσωση, λοιπό, επληθεύετι μόο πό τ σημεί της C Επομέως, η είι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της - Οτ δίετι η γρφική πράστση C μις συάρτησης, τότε: Το πεδίο ορισμού της είι το σύολο Α τω τετμημέω τω σημείω της C Το σύολο τιμώ της είι το σύολο A τω τετγμέω τω σημείω της C γ Η τιμή της στο A είι η τετγμέη του σημείου τομής της ευθείς κι της C Σχ 8 = 8 C Α C C A, Α γ

4 - Ότ δίετι η γρφική πράστση C, μις συάρτησης μπορούμε, επίσης, σχεδιάσουμε κι τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω κι Η γρφική πράστσης της συάρτησης είι συμμετρική, ως προς το άξο, της γρφικής πράστσης της, γιτί ποτελείτι πό τ σημεί M, που είι συμμετρικά τω M,, ως προς το άξο Σχ 9 Μ, Μ, 9 = = Η γρφική πράστση της ποτελείτι πό τ τμήμτ της C που ρίσκοτι πάω πό το άξο κι πό τ συμμετρικά, ως προς το άξο, τω τμημάτω της C που ρίσκοτι κάτω πό το άξο υτό Σχ = = 4-Α Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις τω σικώ συρτήσεω, γ 3, δ, ε, g Οι γρφικές πρστάσεις φίοτι πρκάτω : Η πολυωυμική συάρτηση a> a< a= Η πολυωυμική συάρτηση, > <

5 γ Η πολυωυμική συάρτηση 3, 3 > < δ Η ρητή συάρτηση, 4 > < ε Οι συρτήσεις, g 5 4-Β Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις τω σικώ συρτήσεω, γ log, ημ, συ, εφ Οι γρφικές πρστάσεις φίοτι πρκάτω : Η εκθετική συάρτηση,

6 > << Οι τριγωικές συρτήσεις : ημ, συ, εφ π π =ημ π π =συ π/ π/ 3π/ =εφ γ Υπεθυμίζουμε ότι, οι συρτήσεις ημ κι συ είι περιοδικές με περίοδο T π, εώ η συάρτηση εφ είι περιοδική με περίοδο T π 4-Γ Ν γράψετε τις ιδιότητες της εκθετικής κι της λογριθμικής συάρτησης Ιδιότητες εκθετικής Υπεθυμίζουμε ότι: Α, τότε: Α, τότε:

7 Ιδιότητες λογριθμικής Υπεθυμίζουμε ότι: log 4 log log log log log κι 5 log log log k 3 log κι log 6 log κlog 7 log log κι ln ln Προσοχή!! στη ύλη τω εξετάσεω είι μόο οι λογάριθμοι log, ln 5 Πότε δυο συρτήσεις λέγοτι ίσες; Δύο συρτήσεις κι g λέγοτι ίσες ότ έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει g 6 Πως ορίζοτι οι πράξεις μετξύ συρτήσεω ; Ορίζουμε ως άθροισμ, διφορά, γιόμεο κι πηλίκο, τίστοιχ, δύο συρτήσεω, g τις συρτήσεις με τύπους : g g, g g, g g, g g Το πεδίο ορισμού τω g, g κι g είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι g τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της είι το σύολο { A κι B, με g } g 7 Τι οομάζουμε σύθεση συρτήσεω ; Α, g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της με τη g, κι τη συμολίζουμε με go, τη συάρτηση με τύπο: go g ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ A B A gb g g g A Το πεδίο ορισμού της g ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είι το σύολο Είι φερό ότι η go ορίζετι, A { A } B A, δηλδή A B Γεικά,, g είι δύο συρτήσεις κι ορίζοτι οι go κι og, τότε υτές

8 δ ε ε ί ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Α, g, h είι τρεις συρτήσεις κι ορίζετι η ho go, τότε ορίζετι κι η hog o κι ισχύει ho go hog o Τη συάρτηση υτή τη λέμε σύθεση τω, g κι h κι τη συμολίζουμε με hogo Η σύθεση συρτήσεω γεικεύετι κι γι περισσότερες πό τρεις συρτήσεις 8 Πότε μι συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ κι πότε γησίως φθίουσ ; Μι συάρτηση λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: 9 Πότε μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο κι πότε ελάχιστο ; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, ότ γι κάθε A Προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο, το, ότ γι κάθε A Πότε μι συάρτηση λέγετι ; Μι συάρτηση : A R λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή:, τότε Ισοδύμος ορισμός: Μι συάρτηση : A R είι συάρτηση, κι μόο γι οποιδήποτε, A ισχύει :, τότε Τι οομάζουμε τίστροφη συάρτηση; Έστω μι συάρτηση : A R Tότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ, A υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει Επομέως ορίζετι μι συάρτηση g : A R με τη οποί κάθε A τιστοιχίζετι στο μοδικό κι συμολίζετι με, της A γι το οποίο ισχύει H g λέγετι τίστροφη συάρτηση της Επομέως έχουμε ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗΝ - ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Από το ορισμό προκύπτει ότι μι συάρτηση είι, κι μόο : Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση έχει κριώς μι λύση ως προς Δε υπάρχου σημεί της γρφικής της πράστσης με τη ίδι τετγμέη Αυτό σημίει ότι κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έ σημείο Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη, τότε είι συάρτηση " " Το τίστροφο γεικά δε ισχύει Υπάρχου δηλδή συρτήσεις που είι λλά δε είι γησίως μοότοες Α όμως η συάρτηση δε είι,τότε δε είι κι γήσι μοότοη Από το ορισμό προκύπτει ότι κι

9 Σημεί τομής Συμμετρίες,τω γρφικώ πρστάσεω C, C Οι γρφικές πρστάσεις τω C, C,είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί Τ σημεί τομής υπάρχου,τω γρφικώ πρστάσεω C, C,είι είτε πάω στη ευθεί,είτε συμμετρικά ως προς υτή Α η συάρτηση είι γησίως ύξουσ,τότε κι η είι γησίως ύξουσ κι τ σημεί τομής υπάρχου,τω γρφικώ πρστάσεω C, C,είι πάω στη ευθεί Α η συάρτηση είι γησίως φθίουσ,τότε κι η είι γησίως φθίουσ κι κόμη η είι περιττή,τότε τ σημεί τομής υπάρχου,τω γρφικώ πρστάσεω C, C,είι πάω στη ευθεί ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ποιες είι οι άμεσες συέπειες του ορισμού του ορίου ; h h 3 Πως συδέετι το όριο με τ πλευρικά όρι ; Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,,, τότε ισχύει η ισοδυμί: 4 Ποιες ισότητες ισχύου στ όρι ; όριο κι διάτξη Α, τότε εώ, τότε, κοτά στο Α οι συρτήσεις, g έχου όριο στο κι ισχύει g κοτά στο, τότε g 5 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω το χ τείει στο χ ; Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι g στο, τότε: g g κ κ 3 g g 4, γι κάθε κ R, εφόσο g g g 5 6 k k, ότ κοτά στο 7 [ ], N *

10 6 Δείξετε ότι : P P Απόδειξη Έστω το πολυώυμο P κι Σύμφω με τις ιδιότητες τω ορίω έχουμε: P R P P P 7 Δείξετε ότι :, εφόσο Q Q Q Έστω η ρητή συάρτηση Q Τότε, Απόδειξη P, όπου P, Q πολυώυμ του κι Q P P P Q Q Q 8 Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής R με Έστω οι συρτήσεις τότε, g, h Α h g κοτά στο κι h g, 9 Ποι είι τ σικά τριγωομετρικά όρι ; ημ συ συ συ γ ημ ημ δ Πως υπολογίζουμε το όριο σύθετης συάρτησης ; Γι υπολογίσουμε το g, της σύθετης συάρτησης g στο σημείο, τότε εργζόμστε ως εξής: Θέτουμε u g κι υπολογίζουμε το u g κι το u υπάρχου Αποδεικύετι ότι, g u κοτά στο, τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με, δηλδή ισχύει: g u uu uu Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω το τείει στο ; Α Α Α, τότε, εώ, τότε κοτά στο, τότε, εώ, τότε ή, τότε

11 Α κι κοτά στο, τότε Α, τότε ή, τότε κι γεικά κι γεικά, δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της κι *, εώ κι *,, εώ κοτά στο, τότε k, Οριο θροίσμτος κι γιομέου το όριο της είι: R R - - κι το όριο της g είι: * τότε το όριο της g είι: - - ; ; το όριο της είι: κι το όριο της g είι: τότε το όριο της g είι: > < > < ; ; κι, *, P, -, άρτιος περιττός κι P,, log, log κι, Πότε η λέγετι συεχής στο ; Εστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι υεχής στο, ότ : 3 Πότε η λέγετι συεχής στο πεδίο ορισμού της ; Ότ η είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της Ειδικότερ : Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, κι επιπλέο : κι

12 4 Τι γωρίζετε γι τις πράξεις μετξύ συεχώ συρτήσεω; Α οι συρτήσεις κι g είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: g, c, όπου c R, g,, κι g με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους go είι συεχής στο ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΟΡΙΣΜΟΥΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Σύμφω με το πρπάω ορισμό, μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ: i Δε υπάρχει το όριό της στο ή ii Υπάρχει το όριό της στο, λλά είι διφορετικό πό τη τιμή της,, στο σημείο Μί συάρτηση που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, συεχής συάρτηση γ Κάθε πολυωυμική συάρτηση Ρ είι συεχής, φού γι κάθε R ισχύει P P Κάθε ρητή συάρτηση της ισχύει P Q είι συεχής, φού γι κάθε του πεδίου ορισμού P Οι συρτήσεις ημ κι συ P Q Q ημ ημ κι Οι συρτήσεις κι log 5 Ν διτυπώσετε το θεώρημ Bolzano είι συεχείς, φού γι κάθε R ισχύει συ συ, είι συεχείς Έστω μι συάρτηση, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α η είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, τέτοιο, ώστε 6 Ν διτυπώσετε το θεώρημ εδιμέσω τιμώ Έστω μι συάρτηση, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η είι συεχής στο [, ] κι τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι υπάρχει ές, τουλάχιστο, τέτοιος, ώστε η 7 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέγιστης - Ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η πίρει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m

13 8 Ποιο είι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης ορισμέης σε διάστημ ; A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α, Β, όπου Α κι B Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B, A Αάλογ συμπεράσμτ έχουμε κι ότ μι συάρτηση είι συεχής κι γησίως μοότοη σε διστήμτ της μορφής [, ], [, κι, ] 9Έστω μµι συάρτηση, η οποί είι ορισμµέη σε έ κλειστό διάστημµ [, ] Α: η είι συεχής στο[, ] κι δείξετε ότι, γι κάθε ριθμµό η μµετξύ τω κι υπάρχει ές, τουλάχιστο,, ώστε Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι Τότε θ ισχύει η Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g η, [, ], πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [, ] κι g g, φού g η κι g η Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε g η, οπότε η Α ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ-ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΣΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Β συέπειες του ΘBolzano είι τ πρκάτω Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Δ ή είι ρητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της

14 Γ συέπειες του ΘΕδιμέσω Τιμώ είι τ πρκάτω Η εικό Δ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α, Β, όπου Α κι B γ Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B, A Δ Ε ΣΤ Από το πρπάω θεώρημ ΘΜΕΤ κι το ΘΕΤ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είι το κλειστό διάστημ [ m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 3 Πως ορίζετι η εφπτομέη στο σημείο A, της C ; Έστω μι συάρτηση κι A, έ σημείο της C Α υπάρχει το κι είι ο πργμτικός ριθμός, τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ= C στο σημείο της Επομέως, η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A, είι '

15 3 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο χ κι τι οομάζουμε πράγωγο της στο χ ; Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμολίζετι με Δηλδή: ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ-ΣΧΟΛΙΑ ΣΤΟΥΣ ΟΡΙΣΜΟΥΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Η ύπρξη εφπτόμεης της πργώγου Α, τώρ, στη ισότητ C στο σημείο της A,,εξρτάτι πό τη ύπρξη της θέσουμε h, τότε έχουμε h h h γ Α το είι εσωτερικό σημείο εός διστήμτος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είι πργωγίσιμη στο, κι μόο υπάρχου στο R τ όρι, κι είι ίσ 3 Α η είι πργωγίσιμµη στο σημµείο, τότε είι κι συεχής σ υτό Απόδειξη Γι έχουμε, Οπότε [ ], φού η είι πργωγίσιμη στο Αρ,, δηλδή η είι συεχής στο Σχόλι Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ισχύει Ισχύει όμως ότι : Α μι συάρτηση δε είι συεχής σ έ σημείο, τότε, σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, δε μπορεί είι πργωγίσιμη στο 33 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο,

16 Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη στο, κι επιπλέο ισχύει R κι R 34 Τι είι η πράγωγος συάρτηση ; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο, ορίζουμε τη συάρτηση : A R, ωστε : η οποί οομάζετι πράγωγος της 35 Τι οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το ; Α δύο μετλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση, ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο 36 Πως πργωγίζετι μι σύθετη συάρτηση ; Α η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο g, τότε η συάρτηση g g g g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει 37 Ν γράψετε τους τύπους πργώγω τω συρτήσεω κι τ σύολ που ορίζοτι c ln, R, R, R, R, R,,, R, R- /, R- / e, R,, e

17 38 Εστω η στθερή συάρτηση, c c R, Δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμµη στο R κι ισχύει, δηλδή c Απόδειξη Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει: c c Επομέως,, δηλδή c 39 Έστω η συάρτηση Δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμµη στο R κι ισχύει, δηλδή Απόδειξη Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει: Επομέως,, δηλδή 4 Έστω η συάρτηση,, R Δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμµη στο R κι ισχύει, δηλδή Απόδειξη Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει:, οπότε:, δηλδή 4 Έστω Δείξετε ότι γι κάθε, ισχύει, δηλδή Απόδειξη Πράγμτι, είι έ σημείο του,, τότε γι ισχύει:, Οπότε, δηλδή h h h συ συ ημ Δηλδή, συ ημ

18 4 Α οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιμµες στο, τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμµη στο κι ισχύει: g g Γι,ισχύει: g g Απόδειξη g g g g Επειδή οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιμες στο, έχουμε: g g g g g, Δηλδή : g g 43 Έστω η συάρτηση στοr * κι ισχύει Πράγμτι, γι κάθε Είδμε, όμως, πιο πρι ότι τότε : κ κ κ *, Η συάρτηση είι πργωγίσιμµη, δηλδή * R έχουμε: Απόδειξη, γι κάθε φυσικό Επομέως, N {, }, 44 Έστω η συάρτήση εφ Η συάρτηση είι πργωγίσιμµη στο κι ισχύει D R { / συ }, δηλδή : εφ συ συ Απόδειξη ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ εφ συ συ συ συ ημ συ συ 45 Η συάρτηση, R Q είι πργωγίσιμµη στο, κι ισχύει, δηλδή Απόδειξη Πράγμτι, ln e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u e u u ln e e u e Επομέως, 46 Η συάρτηση, είι πργωγίσιμµη στο R κι ισχύει ln, δηλδή : ln

19 Απόδειξη Πράγμτι, ln e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u e Επομέως, u u ln e e u e ln ln 47 Η συάρτηση ln, ln * R είι πρ/μµη στο Απόδειξη * R κι ισχύει Πράγμτι :, τότε ln ln ln, εώ, τότε : ln, οπότε, θέσουμε ln κι u, έχουμε ln u Επομέως, ln u u κι άρ u ln 48 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Rolle Α μι συάρτηση είι συεχής στο κλειστό διάστημ [, ], πργωγίσιμη στο οικτό, κι τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ 49 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Rolle Το ΘR γεωμετρικά, σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ, ξ είι πράλληλη στο άξο τω Μξ,ξ Α, ξ ξ Β, 5 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΤ Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ 5 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής Mξ,ξ Β, Γεωμετρικά, το ΘΜΤ σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο M ξ, ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Ο a A, ξ ξ

20 5 Έστω μµι συάρτηση ορισμµέη σε έ διάστημµ Α η είι συεχής στο κι γι κάθε εσωτερικό σημµείο του, τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημµ Απόδειξη Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε, Δ ισχύει Πράγμτι Α, τότε προφώς Α, τότε στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ξ, οπότε, λόγω της, είι Α, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι 53 Έστω δυο συρτήσεις, g ορισμµέες σε έ διάστημµ Α οι, g είι συεχείς στο κι g γι κάθε εσωτερικό σημµείο του, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ισχύει: g c Απόδειξη Η συάρτηση g είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει g g Επομέως, σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση g είι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε, οπότε g c Δ ισχύει g c =g+c =g 53-Α σημτική πρότση χωρίς πόδειξη c Α γι μι συάρτηση ισχύει ότι γι κάθε R, τότε ce γι κάθε R g g c ce 54 Έστω μµι συάρτηση η οποί είι συεχής σε έ διάστημµ Α σε κάθε εσωτερικό σημµείο του, τότε η είι γ ύξουσ σε όλο το Α σε κάθε εσωτερικό σημµείο του, τότε η είι γ φθίουσ σε όλο το Απόδειξη

21 Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι Έστω, Δ με Θ δείξουμε ότι Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ, οπότε έχουμε ξ Επειδή ξ κι, έχουμε, οπότε Στη περίπτωση που είι εργζόμστε λόγως Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ισχύει Δηλδή, η είι γησίως ύξουσ τιστοίχως γησίως φθίουσ στο Δ, η πράγωγός της δε είι υποχρεωτικά θετική τιστοίχως ρητική στο εσωτερικό του Δ 55 Τι οομάζουμε τοπικό μέγιστο κι τι τοπικό ελάχιστο της ; Μι συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ, δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το τοπικό μέγιστο της Μί συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε :, γι κάθε A δ, δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το τοπικό ελάχιστο της Α μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο, τότε υτό θ είι το μεγλύτερο πό τ τοπικά μέγιστ, εώ προυσιάζει, ελάχιστο, τότε υτό θ είι το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ Το μεγλύτερο όμως πό τ τοπικά μέγιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε μέγιστο υτής Επίσης το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε ελάχιστο της συάρτησης Α μι συάρτηση είι συεχής κι έχει έ τοπικό κρόττο,τότε θ είι κι ολικό 56 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε: 57 Ποιες είι οι πιθές θέσεις τω τοπικώ κροτάτω μις συάρτησης ; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ, λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ

22 58 Τι γωρίζετε γι τη πράγωγο συάρτησης στο σημείο που προυσιάζει κρόττο ; Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη σ υτό, τότε: 59 Πως σχετίζετι το πρόσημο της με τ τοπικά κρόττ; Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του, στο οποίο όμως η είι συεχής Α στο, κι στο,, τότε το είι τοπ μέγιστο της Α στο, κι στο,, τότε το είι τοπ ελάχιστο της A η διτηρεί πρόσημο στο,,, τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο, 6 Έστω μµι συάρτηση ορισμµέη σ έ διάστημµ κι εσωτερικό σημµείο του Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο υτό, τότε: Απόδειξη κι είι πργωγίσιμµη σ Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε δ, δ Δ κι, γι κάθε δ, δ Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιμη στο, ισχύει Επομέως, δ,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε, δ, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη 3 Έτσι, πό τις κι 3 έχουμε 6 Πώς ρίσκουμε τ ολικά κρόττ σε μι συεχή συάρτηση σε έ κλειστό διάστημ Γι τη εύρεση του μέγιστου κι ελάχιστου της συάρτησης σε έ κλειστό διάστημ εργζόμστε ως εξής: Βρίσκουμε τ κρίσιμ σημεί της Υπολογίζουμε τις τιμές της στ σημεί υτά κι στ άκρ τω διστημάτω Από υτές τις τιμές η μεγλύτερη είι το μέγιστο κι η μικρότερη το ελάχιστο της

23 6 Πότε μι συάρτηση οομάζετι κυρτή ή κοίλη ; Έστω μί συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ, η είι γησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ, η είι γησίως φθίουσ στο εσωτερικό του Δ 63 Πως σχετίζετι το πρόσημο της δεύτερης πργώγου με τη κυρτότητ ; Εστω μι συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι κυρτή στο Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι κοίλη στο Δ 64 Τι οομάζουμε σημείο κμπής της γπ μις συάρτησης ; Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο, κι κοίλη στο,, ή τιστρόφως, κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A,, τότε το σημείο A, οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της 65 Πως σχετίζετι η με το σημείο κμπής ; Α το A, είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε Έστω μι συάρτηση oρισμέη σ έ διάστημ, κι, πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της τότε το A, είι σημείο κμπής, C στο A, Η συθήκη δε μς εξσφλίζει κτ άγκη,ότι το σημείο, Θ πρέπει η λλάζει πρόσημο εκτέρωθε του Α η λλάζει A,είι ΣΚ 66 Ποιες είι οι πιθές θέσεις σημείω κμπής ; Οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω κ μ π ή ς μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: i Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η μηδείζετι iiτ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί δε υπάρχει η 67 Τι οομάζουμε κτκόρυφη σύμπτωτη της γπ της ; Α έ τουλάχιστο πό τ όρι, λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της 68 Τι οομάζουμε οριζότι σύμπτωτη της γπ της ; Α τιστοίχως είι ή, τότε η ευθεί, τότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο

24 69 Τι οομάζουμε σύμπτωτη πλάγι της γπ της ; Η ευθεί λ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, [ λ ] κι στο [ λ ] Η συθήκη δε μς εξσφλίζει κτ άγκη,ότι το σημείο, Θ πρέπει η λλάζει πρόσημο εκτέρωθε του A,είι ΣΚ 7 Ν γράψετε τους τύπους,με τους οποίους ρίσκουμε τις σύμπτωτες της μορφής Η ευθεί λ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, κι μόο R κι [ ] R, τιστοίχως : R κι [ ] R ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΩΝ Αποδεικύετι ότι: Οι πολυωυμικές συρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του δε έχου σύμπτωτες Οι ρητές συρτήσεις P Q, με θμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστο κτά δύο του θμού του προομστή, δε έχου πλάγιες σύμπτωτες Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δε είι συεχής Στο,, εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής,, τιστοίχως, 7 Ποιοι είι οι κόες De l Hospital ; oς Κός Α, g ή άπειρο, τότε:, R {, } κι υπάρχει το g g g πεπερσμέο oς Κός Α, g πεπερσμέο ή άπειρο, τότε:, R {, } κι υπάρχει το g g g

25 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 7 Τι οομάζουμε Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο διάστημ Δ ; Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο διάστημ Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F, γι κάθε Δ 73 Έστω μµι συάρτηση ορισμµέη σε έ διάστημµ Δ Α F είι μµι πράγουσ της στο Δ, τότε: όλες οι συρτήσεις της μµορφής G F c, c R είι πράγουσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μµορφή G F c, c R Απόδειξη κάθε συάρτηση της μορφής G F c, όπου c R, είι μι πράγουσ της στο Δ, φού G F c F, γι κάθε Δ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε G, οπότε G F, γι κάθε Δ Δ ισχύου F κι Άρ, σύμφω με το πόρισμ της 6, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G F c, γι κάθε Δ 74 Τι οομάζουμε ορισμέο ολοκλήρωμ της στο [,] ; Α η είι συεχής στο [,] τότε ορίζουμε : d Επίσης ορίζουμε : d d κι d 75 Ποιες είι οι ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώμτος ; Έστω, g συεχείς συρτήσεις στο [, ] κι λ, μ R Τότε ισχύου λ d λ d [ g ] d d γ [ μg ] d λ d μ λ g d g d δ Α η είι συεχής σε διάστημ Δ κι,,, τότε ισχύει : γ d d d γ ε Έστω μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, ] Α γι κάθε [, ] κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό, τότε d

26 76 Έστω μµι συεχής συάρτηση σ έ διάστημµ [, ] Α G είι μµι πράγουσ της στο[, ], τότε t dt G G Απόδειξη Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση F t dt είι μι πράγουσ της στο [, ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [, ], θ υπάρχει c R τέτοιο, ώστε : G F c Από τη, γι, έχουμε G F c t dt c c, οπότε c G Επομέως, G F G, οπότε, γι, έχουμε G F G t dt G κι άρ t dt G G 77 Ν γράψετε τους τύπους της πργοτικής ολοκλήρωσης κι της τικτάστσης γι το ορισμέο ολοκλήρωμ, Ισχύει ότι : g d [ g] gd όπου Ισχύει ότι : όπου, g είι συεχείς συρτήσεις στο [, ] gg d udu, u u, g είι συεχείς συρτήσεις, u g, du g d κι u g, u g 78 Α Ν γράψετε το τύπο που δίει το εμδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, τις ευθείες, κι το άξο,ότ γι κάθε [, ] κι η συάρτηση είι συεχής Β Ν γράψετε το τύπο που δίει το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, g κι τις ευθείες, Α Ισχύει : E d Β Ισχύει : E g d 79 Ν ποδείξετε ότι γι τις συρτήσεις, g είι g γι κάθε [, ], τότε το εμµδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, g κι τις ευθείες E g d, δίετι πό το τύπο : Απόδειξη

27 Έστω, τώρ, δυο συρτήσεις κι g, συεχείς στο διάστημ [, ] με g γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, g κι τις ευθείες κι = Πρτηρούμε ότι Ω d g d Ε Ω Ε Ω Ε Ω g d =g Επομέως, E Ω g d ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΧΩΡΙΟΥ Α Χωρίο που ορίζετι πό τη γρ πράστση της, το άξο χ χ, κι τις ευθείες = κι = Α, γι κάθε, τότε d Α, γι κάθε, τότε d 3Α η δε διτηρεί πρόσημο στο [, ] τότε το εμδό είι το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω στ διστήμτ που η είι θετική ή ρητική Ε Ω γ δ d+ -d+ d γ δ όπου γ,δ οι ρίζες της στο διάστημ [,] Β Χωρίο που ορίζετι πό τις γρ πρστάσεις τω,g, το άξο χ χ, κι τις ευθείες = κι = Ότ η διφορά g δε διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ], τότε το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, g κι τις ευθείες κι είι ίσο με E g d

28 Β Πελλδικές Εξετάσεις - 5 Θέμτ Θεωρίς Πότε δύο συρτήσεις, λέγοτι ίσες; 7, επληπτικές σελ 4 Πότε λέμε ότι μι συάρτηση με πεδίο ορισμού ܣ προυσιάζει στο ݔ ܣ ολικό μέγιστο, το ݔ ; Επληπτικές σελ 5 3 Πότε μι συάρτηση : ܣ λέγετι - ; Επληπτικές 5 σελ 5 ;[ߚ,ߙ] 4 Πότε λέμε ότι μι συάρτηση είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ 8, σελ 9 5 Έστω μι συάρτηση, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ,ߙ] [ߚ Α η είι ߚ κι ߙ μετξύ τω ߟ δείξτε ότι γι κάθε ριθμό,ߚ ߙ κι [ߚ,ߙ] συεχής στο υπάρχει τουλάχιστο έ, ݔ,ߙ ߚ τέτοιο, ώστε ݔ = ߟ 5 σελ 94 6 Πότε λέμε ότι μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της; 4, 9, Επληπτικές σελ 3 7 A η συάρτηση είι πργωγίσιμη σ' έ σημείο ݔ του πεδίου ορισμού της, γρφεί η εξίσωση της εφπτομέης της γρφικής πράστσης της στο σημείο ݔܣ, ݔ σελ 4 8 Ν ποδείξετε ότι, μί συάρτηση είι πργωγίσιμη σ έ σημείο ݔ, τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό, 3, Επληπτικές 7, 9 σελ 7 9 Έστω η συάρτηση με = ݔ ݔ Ν ποδείξετε ότι η είι πργωγίσιμη στο, + = ݔ ᇱ κι ισχύει ଵ ଶ ௫ Επληπτικές 5, 9 σελ 4 Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο ݔ, ποδείξετε ότι η συάρτηση + είι πργωγίσιμη στο ݔ κι ισχύει + ᇱ ݔ = ݔ ᇱ + ݔ ᇱ δε έχει πέσει ως τώρ σελ 7 Ν ποδειχθεί ότι η συάρτηση ݔ, ݔ = ݔ είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει 35 σελ ᇱ = ଵ, 8 ݔ ௫ Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Rolle Επληπτικές σελ 46 3ι σημίει γεωμετρικά το Θεώρημ Rolle του Διφορικού Λογισμού; Επληπτικές 7 σελ 46 4Τι σημίει γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού; Επληπτικές 8 σελ 47

29 5Έστω μί συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ ߂ Α η είι συεχής στο ߂ κι = ݔ ᇱ γι κάθε εσωτερικό σημείο ݔ του,߂ τότε ποδείξετε ότι η είι στθερή σε όλο το διάστημ ߂ Επληπτικές 4-3 σελ 5 6Έστω, συρτήσεις ορισμέες σε έ διάστημ ߂ Α οι, είι συεχείς στο ߂ κι = ݔ ᇱ ʹݔ γι κάθε εσωτερικό σημείο ݔ του,߂ τότε ποδείξετε ότι υπάρχει στθερά τέτοι ώστε γι κάθε ߂ ݔ ισχύει = ݔ ݔ + Δε έχει πέσει, ως τώρ σελ5 7 Έστω μι συάρτηση, η οποί είι συεχής σε έ διάστημ ߂ Ν ποδείξετε ότι > ݔ ᇱ σε κάθε εσωτερικό σημείο ݔ του,߂ τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ 6,, Επληπτικές σελ 53 8Έστω συάρτηση με πεδίο ορισμού ܣ Πότε λέμε ότι η προυσιάζει στο ݔ ܣ τοπικό μέγιστο; σελ 58 9Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ ࢤ κι ݔ έ εσωτερικό σημείο του κι είι πργωγίσιμη στο σημείο ݔ προυσιάζει τοπικό κρόττο στο Α η ࢤ υτό, ποδείξετε ότι ݔ ᇱ = 4, 9, σελ 6, 6 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σε έ διάστημ,ߙ,ߚ με εξίρεση ίσως έ σημείο του ݔ, στο οποίο όμως η είι συεχής Α ݔ ᇱ > στο ݔ,ߙ κι ݔ ᇱ < στο είι τοπικό μέγιστο της ݔ τότε ποδείξετε ότι το,ߚ, ݔ Επληπτικές σελ 6 ࢤ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του ࢤ Έστω μι συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Πότε λέμε ότι η στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο ;ࢤ 6 σελ 73 ࢤ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του ࢤ Έστω μι συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Πότε λέμε ότι η στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο ;ࢤ σελ 73 3Πότε η ευθεί ݔ = ݔ λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ; σελ 79 4Πότε η ευθεί ݕ = λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο + ; 7 σελ 8 5Πότε η ευθεί ߚ + ݔߣ = ݕ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συάρτησης στο + ; 5, σελ 8 6Έστω μί συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ ࢤ Τι οομάζουμε ρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο ;ࢤ Επληπτικές 6, σελ 33,ࢤ είι μι πράγουσ της στο ܨ Α ࢤ 7Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ ποδείξετε ότι: όλες οι συρτήσεις της μορφής: = ݔܩ ݔܨ +, είι πράγουσες της στο ࢤ κι κάθε άλλη πράγουσ ܩ της στο ࢤ πίρει τη μορφή 34 σελ, Επληπτικές, 3, + ݔܨ = ݔܩ

30 8Ν συμπληρώσετε στο τετράδιό σς τις πρκάτω σχέσεις ώστε προκύψου γωστές ఉ = ݔ ݔ ߣ ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώμτος: ఈ ఉ ݔ ݔ + ݔ ఈ = γ ఉ ఈ ݔ ߣ] = ݔ [ݔ ߤ + όπου ߤ,ߣ κι, συεχείς συρτήσεις στο,ߙ] [ߚ Επληπτικές σελ 35 9Έστω μι συεχής συάρτηση σ' έ διάστημ,ߙ] [ߚ Α ܩ είι μι πράγουσ της στο ఉ ఈ 8-3, Επληπτικές ߙܩ ߚܩ = ݐ ݐ ότι τότε δείξετε,[ߚ,ߙ] 3Πότε λέμε ότι μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της; 3 3Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι = γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ποδείξετε ότι η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ 3Έστω μι συάρτηση συεχής σε έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ; 33Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Fermat 34Έστω συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Ποι σημεί λέγοτι κρίσιμ σημεί της ; 35Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σε έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο στο οποίο, όμως, η είι συεχής Α η διτηρεί πρόσημο στο,,, τότε ποδείξετε ότι το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο, 36Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Bolzano 37Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Τι οομάζουμε ρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ ;

31 Γ Το Σ-Λ τω Πελλδικώ Εξετάσεω 5 Α γι δύο συρτήσεις, g ορίζοτι οι υποχρεωτικά g g ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ g κι g, τότε είι Α, g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού το κι ορίζοτι οι συθέσεις g κι g, τότε υτές οι συθέσεις είι υποχρεωτικά ίσες 3 Μι συάρτηση : είι συάρτηση -, κι μόο γι οποιδήποτε, ισχύει η συεπγωγή:, τότε 4 Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω γρφικώ πρστάσεω τω συρτήσεω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι ' ' 5 Α μι συάρτηση : είι -, τότε γι τη τίστροφη συάρτηση ισχύει:,, κι, 6 Α η έχει τίστροφη συάρτηση κι η γρφική πράστση της έχει κοιό σημείο Α με τη ευθεί, τότε το σημείο Α ήκει κι στη γρφική πράστση της 7 Μι συάρτηση : είι -, κι μόο γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση έχει κριώς μι λύση ως προς 8 Κάθε συάρτηση, που είι στο πεδίο ορισμού της είι γήσι μοότοη 9 Υπάρχου συρτήσεις που είι, λλά δε είι γήσι μοότοες Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ σύολο της μορφής,, κι l ές πργμτικός ριθμός Τότε ισχύει η ισοδυμί: l l Α υπάρχει το όριο της συάρτησης στο κι, τότε

32 Α υπάρχει το όριο, τότε κοτά στο 3, κι μόο 4 Α υπάρχει το g, τότε κτ άγκη υπάρχου τ κι g 5 Α υπάρχει το όριο της στο, τότε, εφ όσο κοτά στο, με κι 6 Α κι κοτά στο, τότε 7 Α τότε 8 Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο, τότε η σύθεση τους g είι συεχής στο 9 Α η είι συεχής στο [, ] με κι υπάρχει, ώστε, τότε κτ άγκη Α η συάρτηση είι συεχής στο διάστημ [, ] κι υπάρχει, τέτοιο ώστε, τότε κτ άγκη θ ισχύει Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε ή είι ρητική γι κάθε, δηλδή διτηρεί στθερό πρόσημο στο διάστημ Δ Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό τ διστήμτ στ οποί χωρίζου οι ρίζες της το πεδίο ορισμού της 3 Α η συάρτηση είι ορισμέη στο [, ] κι συεχής στο, ], τότε η πίρει πάτοτε στο [, ] μι μέγιστη τιμή 4 Η εικό εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ 5 Η εικό εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς συάρτησης είι διάστημ 6 Α μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ, όπου 7 Α <, τότε < κοτά στο o o κι

33 8Ισχύει ότι: γι κάθε R 9 Ισχύει ότι: 3 Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της 3 Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της 3 Α o 33 Ισχύει ότι: ημ <, τότε < κοτά στο o γι κάθε R συ 34 Ισχύει ότι: 35 Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της 36Έστω μι συάρτηση που είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,, Ισχύει η ισοδυμί = = 37Α είι < <, τότε = = 38Α μι συάρτηση είι - στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχου σημεί της γρφικής πράστσης της με τη ίδι τετγμέη 39Α =, τότε = 4Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σε υτό, τότε η διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ 4Α ή, τότε o o ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Α η είι πργωγίσιμη στο, τότε η είι πάτ συεχής στο Α η δε είι συεχής στο, τότε η είι πργωγίσιμη στο 3 Α η έχει δεύτερη πράγωγο στο, τότε η είι συεχής στο 4 Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της τότε είι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό 5 Α οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει g g 6 Α οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιμες στο κι g, τότε η

34 συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: g g g g 7 Γι κάθε ισχύει ln 8 Ισχύει ο τύπος 3 3, γι κάθε 9 Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι δε είι τιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημ [, ], στο οποίο η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήμτος Rolle Έστω μι συάρτηση η οποί είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Α η είι γησίως ύξουσ στο Δ τότε σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Έστω μι συάρτηση η οποί είι συεχής σε έ διάστημ Δ Α σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι γήσι φθίουσ σε όλο το Δ Έστω δύο συρτήσεις, g ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι, g είι συεχείς στο Δ κι g σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ισχύει g γι κάθε Δ 3 Τ εσωτερικά σημεί εός διστήμτος Δ, στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το, λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 4 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η είι πργωγίσιμη στο κι, τότε η προυσιάζει υποχρεωτικά τοπικό κρόττο στο 5 Έστω συάρτηση ορισμέη κι πργωγίσιμη στο διάστημ [, ] κι σημείο [, ] στο οποίο η προυσιάζει τοπικό μέγιστο Τότε πάτ ισχύει ότι 6 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σε έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του, στο οποίο όμως η είι συεχής Α στο, κι στο,, τότε το είι τοπικό ελάχιστο 7 Έστω μι συάρτηση συεχής σε έ διάστημ Δ κι δύο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι κυρτή στο Δ 8 Α μι συάρτηση είι δύο φορές πργωγίσιμη στο κι στρέφει τ

35 κοίλ προς τ άω, τότε κτ άγκη θ ισχύει γι κάθε πργμτικό ριθμό 9 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σε έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο, κι κοίλη στο, ή τιστρόφως, τότε το σημείο, είι υποχρεωτικά σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της Α μι συάρτηση είι κυρτή σε έ διάστημ Δ, τότε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σημείο του Δ, ρίσκετι πάω πό τη γρφική της πράστση Α μι συάρτηση είι κοίλη σε έ διάστημ Δ, τότε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σημείο του Δ, ρίσκετι κάτω πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής Γι δύο οποιεσδήποτε συρτήσεις, g πργωγίσιμες στο ισχύει: g = g - g 3Έστω μι συάρτηση συεχής σε έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Α η είι κυρτή στο Δ, τότε υποχρεωτικά > γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ 4Α μι συάρτηση προυσιάζει ολικό μέγιστο, τότε υτό θ είι το μεγλύτερο πό τ τοπικά της μέγιστ 5Έστω συάρτηση συεχής σε έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Α η συάρτηση είι γησίως φθίουσ στο Δ, τότε η πράγωγός της είι υποχρεωτικά ρητική στο εσωτερικό του Δ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Α η είι συεχής σε έ διάστημ κι,,, τότε ισχύει: d d d Α συάρτηση συεχής στο [, ] κι γι κάθε [, ] ισχύει τότε d 3 Α d [, ], τότε κτ άγκη θ είι γι κάθε 4 Έστω μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, ] Α G είι μι πράγουσ της στο [, ], τότε t dt G G 5 Έστω μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, ] Α G είι μι πράγουσ της στο [, ], τότε t dt G G

36 6 Ισχύει η σχέση g d g g d, g είι συεχείς συρτήσεις στο [, ], όπου 7 Α, g, g είι συεχείς συρτήσεις στο διάστημ [, ], τότε g d d g d 8 Το ολοκλήρωμ d είι ίσο με το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω που ρίσκοτι πάω πό το άξο ' μείο το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω που ρίσκοτι κάτω πό το άξο ' 9Α η συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι,, γ Δ, τότε ισχύει d d d

37 Δ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ Μι συάρτηση είι πργωγίσιμη στο σημείο o του πεδίου ορισμού της, o με R o o Α η είι πργωγίσιμη στο R, τότε ισχύει 3 Α γι μι συάρτηση ισχύει τότε η δε είι συεχής στο o o 4 Έστω = 5 Τότε η έχει σημείο κμπής στο o = 5 5 Α η είι συεχής κι πργωγισιμη στο,,τότε ισχύει d d 6 Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι όπου, με <, τότε ισχύει γι κάθε, 7 Α γι μι συάρτηση ισχύει κι το ήκει στο πεδίο ορισμού o o o της τότε η είι συεχής στο o 8 Γι τη συάρτηση,, ισχύει γι κάθε * Επομέως η είι γησίως φθίουσ στο R * 9 Κάθε πολυωυμική συάρτηση τρίτου θμού έχει οπωσδήποτε έ σημείο κμπής Α οι συρτήσεις κι g είι τότε κτ άγκη κι η συάρτηση og είι - Α ισχύει, τότε η δε είι πργωγίσιμη στο o o o o Έστω F, G δύο πράγουσες της στο διάστημ Δ, τότε ισχύει F = G c γι κάθε χ Δ,όπου cr 3 Α η συάρτηση είι, οι συρτήσεις g, h έχου πεδίο ορισμού το R κι ισχύει g = h γι κάθε R, τότε οι συρτήσεις g κι h είι ίσες 4 Το όριο μις συάρτησης στο o εξρτάτι πό τη τιμή της συάρτησης στο σημείο υτό 5 A μι συάρτηση είι συεχής στο [, ], πργωγίσιμη στο, κι = τότε υπάρχει τουλάχιστο έ σημείο o εσωτερικό του διστήμτος [, ], στο οποίο η εφπτομέη της κμπύλης της είι πράλληλη στο άξο 6 Κάθε πολυωυμική συάρτηση τετάρτου θμού έχει τουλάχιστο έ σημείο κμπής

38 7 Α μι συάρτηση είι συεχής στο R τότε δε έχει κτκόρυφες σύμπτωτες t 8 Α t d τότε t d t 9 Έστω συεχής στο o τότε κ λ κ λ o 6 Ισχύει ότι 6 6d d Έ τοπικό μέγιστο μις συάρτησης, μπορεί είι μικρότερο πό έ τοπικό ελάχιστο της Έστω πργωγίσιμη στο [, ] με <, τότε υπάρχει o, τέτοιο ώστε o < 3 Μι συάρτηση μπορεί έχει τοπικό κρόττο κι σε σημείο o στο οποίο δε είι συεχής 4 Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι o R τότε γι κάθε R υπάρχει τουλάχιστο έ ξr τέτοιο ώστε o = ξ o 5 Α η στρέφει τ κοίλ προς τ άω, τότε σε κάθε σημείο της C η εφπτομέη είι «κάτω» πό τη C 6 Α μι συάρτηση είι άρτι τότε δε είι γησίως μοότοη 7 Ισχύει d d 8 Α η συάρτηση είι τότε οι γρφικές πρστάσεις τω κι έχου τ κοιά τους σημεί πάω στη ευθεί ψ = 9 A η είι πργωγίσιμη στο ο τότε ισχύει o h o o h o h h h h 3 Δίετι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ διάστημ Δ Α ο λόγος είι θετικός γι κάθε, Δ με, τότε η συάρτηση είι γησίως ύξουσ στο Δ 3 Α η είι πργωγίσιμη στο ο = τότε ισχύει o 3 Έστω πργωγίσιμη στο [, ], τότε υπάρχει o, ώστε η εφπτομέη στο A o, o έχει συτελεστή διεύθυσης λ 33 Η συάρτηση = 6 προυσιάζει τοπικό ελάχιστο στο o = 6 34 Έστω συεχής στο [, 4] τότε ισχύει 4 4 d d d d 35 Έστω η συάρτηση γησίως ύξουσ τότε οι γρφικές πρστάσεις τω κι τέμοτι σε σημεί της ευθείς ψ = 36 Έστω συάρτηση γι τη οποί ορίζετι η εφπτομέη στο σημείο Μ ο, ο της C, τότε η εφπτομέη δε τέμει τη C σε άλλο σημείο 37 Α η συάρτηση είι γησίως μοότοη κι < 3 τότε η είι γησίως ύξουσ 38 Α οι, g δε είι συεχείς στο o τότε κι η συάρτηση g δε είι συεχής στο o

39 39 Α μι συάρτηση είι πργωγίσιμη στο τότε υπάρχει διάστημ [, ] γι το οποίο ισχύει το θεώρημ μέσης τιμής 4 Α μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ σ έ διάστημ Δ, τότε η συάρτηση - είι γησίως φθίουσ στο Δ 4 Έστω η πολυωυμική συάρτηση, τότε μετξύ δύο διδοχικώ ριζώ της, υπάρχει μί τουλάχιστο ρίζ της 4 Έστω η συεχής συάρτηση στο με > γι < < 7Α 3 = 5, τότε μπορεί ισχύει 5 = 4 43 Έστω συεχής στο [, ] τότε ισχύει d d d 44 Α η συάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημ Δ είι συεχής κι σ υτό τότε κι η συάρτηση είι συεχής στο Δ 45 Το σημείο Α πρόσημο εκτέρωθε, είι σημείο κμπής μις συάρτησης, ότ η λλάζει o o του o 46 Α d κι η δε είι πτού μηδέ στο [, ], τότε η πίρει δύο τουλάχιστο ετερόσημες τιμές 47 Α η συάρτηση είι συεχής στο [, ], πργωγίσιμη στο, με = κι > γι κάθε [, ] τότε η εξίσωση = έχει τουλάχιστο μί ρίζ στο, 48 Κάθε συεχής κι γησίως ύξουσ συάρτηση με πεδίο ορισμού [, ] έχει μέγιστο το κι ελάχιστο το 49 Α μι συάρτηση έχει οριζότι σύμπτωτη ότ +, τότε δε έχει πλάγι ότ 5 Έστω συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, η οποί είι Τότε ισχύει: = γι κάθε A 5 Α τότε Α η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο ο τότε κι οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιμες στο ο 53 Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη τότε είι κι 54 Έστω συάρτηση γι τη οποί δε ισχύου όλες οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος RolleΤότε μπορεί υπάρχει ο του πεδίου ορισμού της ώστε ο = 8 55 Η συάρτηση είι γησίως φθίουσ στο σύολο A,, 56 Α οι συρτήσεις, g είι γησίως φθίουσες στο R τότε η συάρτηση og είι γησίως φθίουσ στο R 57 Α g κοτά το o τότε 58 Α o o g o o, g τότε g o

40 59 Έστω οι πργωγίσιμες συρτήσεις, g στο [, ] γι τις οποίες ισχύει =g κι = g, τότε υπάρχει ο, ώστε στ σημεί A, κι εφπτόμεες είι πράλληλες o o B,g οι 6 Έστω συεχής στο [, ] κι γι κάθε, Α υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε ξ <, τότε < γι κάθε, 6 Α η έχει πεδίο ορισμού το R τότε δε έχει κτκόρυφη σύμπτωτη 6 Α η συάρτηση είι συεχής στο o με o τότε κοτά στο o οι τιμές της είι ομόσημες του o π 63 Η συάρτηση = εφ δε έχει όριο στο o 64 Α μι συάρτηση είι συεχής κι γησίως ύξουσ στο διάστημ Δ τότε κι η τίστροφή της είι συεχής κι γησίως ύξουσ στο διάστημ Δ 65 Α γι μι συάρτηση ισχύου οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος Fermat, τότε υπάρχει ο στο οποίο η εφπτομέη της C είι οριζότι 66 Α η συεχής κι γησίως φθίουσ στο, + τότε το σύολο τιμώ της είι το σύολο,, 67 Α > γι κάθε R κι συεχής, τότε ισχύει ln d 68 Α η συεχής στο R κι < < γ κι είι = γ = - =, τότε υπάρχου δύο τουλάχιστο,, γ ώστε = 69 Α μι συάρτηση δε είι συεχής στο ο, τότε δε είι πργωγίσιμη στο ο 7 Υπάρχει συάρτηση γι τη οποί ισχύου οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος Rolle σε έ [, ] κι δε ισχύου οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής 7 Α μι συάρτηση δε είι πργωγίσιμη στο ο, τότε δε είι συεχής στο ο 7 Το μεγλύτερο πό τ τοπικά μέγιστ μις συάρτησης είι μέγιστο υτής 73 Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο o, με είι τοπικό κρόττο της o o = τότε το o 74 Α η ευθεί ψ = + 8 είι πλάγι σύμπτωτη στο + της C τότε ισχύει 8 75 Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο, κι η εφπτόμεη της C στο o, είι πράλληλη στο άξο χ χ, τότε το είι κτ άγκη θέση τοπικού κροτάτου 76 Α μι συάρτηση είι κυρτή σε διάστημ Δ τότε η εφπτομέη της γρφικής της πράστσης σε κάθε σημείο του διστήμτος Δ δε ρίσκετι πάω πό τη 77 Έστω στθερά c τότε ισχύει c d c d 78 Α η,g είι συεχείς κι πργωγισιμες στο,,τότε ισχύει d g g g d o C

41 79 Α συεχής στο [, ] με t dt [, ], τότε γκστικά = ή = γι κάθε 8 Α οι συρτήσεις, g είι δυό φορές πργωγίσιμες τότε η πράγουσ της συάρτησης '' g'' είι η g c, c IR 8Μί συάρτηση : Α ΙR είι συάρτηση -, κι μόο γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή: =, τότε = 8 Α γι κάθε IR, τότε ln d 83 Α 5 d, το ελάχιστο της στο διάστημ [, 5] δε μπορεί είι το 3 84 Η συάρτηση = ln δε έχει πράγουσ στο διάστημ [, + 85 Η συάρτηση = είι γησίως φθίουσ στο πεδίο ορισμού της 86 Δίετι μι συεχής συάρτηση με > γι <<7 Α 3=5, τότε μπορεί ισχύει 5=4 87 Α, R, τότε η είι - 88 Ισχύει η ισοδυμί : g c, R g, R 88 Α : [a,b] R κι, [a,b], τότε σύολο τιμώ της είι το διάστημ [ a, b] Α g, R τότε g, R 89Α, g πργωγίσιμες στο R κι im δε υπάρχει, τότε επίσης κι g το im δε υπάρχει g 9 Α,g συεχείς στο Δ, a,,, τότε : a tdt gt dt t gtdt a