Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx
|
|
- Δάμαρις Βαρουξής
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική υτή λύση τη συμβολίζουμε με οgθ κι τη οομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση το. Είι δηλδή: θ og θ, 0, θ 0 Ισοδύμ υτό διτυπώετι ως εξής : O ogθ είι ο εκθέτης στο οποίο πρέπει υψώσουμε το γι βρούμε το θ. Πράδειγμ: og8 4 φού 4 8 og φού og 0, 00 φού 0 0, 00 0 Από το πιο πάω ορισμό του λογρίθμου προκύπτει μέσως ότι 0 τότε γι κάθε R κι γι κάθε θ 0 ισχύει: og κι Αφού είι τότε og Αφού είι 0 τότε og 0 Ιδιότητες λογρίθμω θ og θ. Α 0 τότε γι οποιουσδήποτε θ, θ, θ 0 κι κ R ισχύου : og θ θ og θ og θ.. og θ og θ og θ. og θκ κ og θ θ
2 6. Λογάριθμοι Πρτήρηση Επειδή γι κάθε θ 0 ισχύει θ θ έχουμε : og θ ogθ ogθ. Πρτήρηση Η ιδιότητ ισχύει γεικά γι θετικούς ριθμούς θ, θ,..., θ. og θ θ θ og θ og θ og θ Δηλδή: Πρτήρηση Από τη ιδιότητ προκύπτει ότι: og ogθ θ. Δεκδικοί λογάριθμοι Οι λογάριθμοι με βάση το 0 οομάζοτι δεκδικοί ή κοιοί λογάριθμοι. Είι δηλδή 0 θ ogθ, θ 0 Γι υτούς τους λογρίθμους ισχύου τ εξής :. og0 κι 0 ogθ θ. og0 κι og 0. og θ θ ogθ ogθ θ 4. og ogθ ogθ θ. ogθκ κ ogθ 6. og θ ogθ ogθ όπου θ,θ,θ 0 κι κ R. Φυσικοί λογάριθμοι Στ μθημτικά είι πολύ χρήσιμοι κι οι λογάριθμοι με βάση το ριθμό e. Οι λογάριθμοι υτοί οομάζοτι φυσικοί ή επέρειοι λογάριθμοι. Ο επέριος λογάριθμος εός θετικού ριθμού θ, συμβολίζετι με lnθ κι όχι με Είι δηλδή: e θ ln θ, θ 0 Γι υτούς τους λογρίθμους ισχύου τ εξής:. ne nθ κι e θ. ne κι n 0 θ n θ θ nθ nθ 4. n nθ nθ θ. ogeθ.
3 Λογάριθμοι 7. κ. nθ κ nθ 6. n θ nθ nθ όπου θ,θ,θ 0 κι κ R Αλλγή Βάσης og Α 0 θ κι β 0 τότε γι κάθε θ 0 ισχύει: ogβθ og β Πρτήρηση 4 nθ Είι ogθ n0 κι ogθ nθ oge B. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κτηγορί Μέθοδος Στις σκήσεις όπου ζητείτι υπολογίσουμε έ λογάριθμο εός ριθμού ή τη βάση εός λογρίθμου χρησιμοποιούμε τη ισοδυμί: Πράδειγμ θ ogθ. Ν υπολογίσετε το πό τη ισότητ: og8 β. Ν υπολογίσετε τη βάση με 0 πό τη ισότητ: 6 og γ. Ν υπολογίσετε το og 7. Είι: og β. Είι: og γ. Είι og 7 7
4 8. Λογάριθμοι Κτηγορί Μέθοδος Γι υπολογίσουμε πράστση με λογάριθμους εφρμόζουμε τις ιδιότητες τους κθώς κι το τύπο λλγής βάσης. Πράδειγμ Ν δείξετε ότι : og49 og7 og8 og6 4 Είι og49 og7 og8 og49 og7 og og 49 og 7 og 8 og7 og og og 7 og6 Πράδειγμ 4 Ν δειχθεί ότι: Είι ogθ ogβ og θ β ogθ ogθ og β og ogβ ogβ og og βθ θ og β Κτηγορί Μέθοδος Στις σκήσεις που μς ζητού βρούμε έχει έοι πργμτικού ές λογάριθμος χρησιμοποιούμε το ορισμό του λογρίθμου με τους τίστοιχους περιορισμούς. Δηλδή η πράστση ogθ ορίζετι ότ 0 κι θ 0 Πράδειγμ Γι ποιες τιμές του έχει όημ η πράστση: og Πρέπει 0 0 0,,. Άρ 0,,
5 Λογάριθμοι 9. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Ν υπολογίσετε τους ριθμούς: Είι:. og og β. 6 γ. og δ. n e e e e e Άσκηση Ν υπολογιστού οι λογάριθμοι :. og00, β. og, γ. og 64, δ. n e. og0,00 β.. og0, 00 og0 og 8 γ. og δ. og 4 β. 4 8 og 8 og og 8 γ. og og og og δ. og og og 4 Άσκηση Ν υπολογιστεί η τιμή της πράστσης : og og0, 0,0 og0,000 A og og 4og6 6 8
6 0. Λογάριθμοι Είι 4 0, 0, og og 0, 0 og0, 000 og og 0, og0 A og og 4og 6 og og 4og Άσκηση 4 Ν δειχθεί ότι:. og og0 og6 β. ne n n4. og og 4 og 4 γ. 60 og og0 og6 og 0 og6 og60 og6 og og0 6 β. ne n n4 ne n4 n n e 4 n ne n e n ne γ. og og 4 og og og 4 og og 4 og 4 og 7 og 4 og 4 08 og 7 4 og4 og08 og4 og og 4 og og og4 Άσκηση Α ισχύει og ogy ogz y z z y og ogy ogz Θέτουμε k κι έχουμε: y z z y og k og k y z y z, δειχθεί ότι yy zz og k y z, y, z 0, y z.
7 Λογάριθμοι. ogy k ogy k z y ogy y k z z ogz y κι k ogz k y z ogz z k y Προσθέτοτς τις (), (),() κτά μέλη έχουμε: og yogy z og k y z y k z zk y og yy zz 0 yy zz Άσκηση 6 Ν πλοποιηθεί η πράστση: β γ og 4β β γ β γ β γ og og og β 4 γ 4 4β β γ 4β β γ og β 0 γ 0 og og ogβ 0 ogγ og og og ogβ ogγ og og ogβ ogγ 0 0 Άσκηση 7 Ν υπολογιστού οι ριθμοί:. 0 og β. e n γ.. og og og , 8 n n n e β. e e e e e e og 8 og 8 og 8 γ Άσκηση 8 Α og k υπολογίσετε τους ριθμούς:. og0 κι β. og6 40 og 8
8 . Λογάριθμοι og0. og0 og k og40 og4 og0 og k og6 og 4og 4k β. og Άσκηση 9 Α,β 0 κι β β 7β δειχθεί ότι: n nβ n Είι: β β 7β β β 9β β 9β β 9 β β β β n n β n n nβ Άσκηση 0 Ν λυθού οι εξισώσεις:. β. 7 n. n n n n n β. (ή og ) 7 og og7 og og7 og og og7 9 og 9 og og og7 og og9 og7 og og 7 7 og Άσκηση n n n... n n k n, k Ν 4 k Ν δείξετε ότι: Είι n n n n 4 k 4 k 4 k n n n n n 4 k 4 k k n n k n *
9 Λογάριθμοι. Άσκηση Ν ποδειχθεί ότι γι κάθε,β, γ, 0 με,β, γ, ισχύει : og ogβ ogγ og ogβ ogβ og γ ogγ og og og og og og og og Είι β β γ γ og og og og og og og β og β og γ og γ og ogβ ogβ ogγ ogγ og γ og og β og β γ og og ogβ ogγ ogβ ogγ βγ Είι og og β γ og og og og og β og γ og og βγ og β γ og og β γ og β γ og og og β og γ og β og γ Από τη () κι τη () ισχύει το ζητούμεο. Άσκηση Ν υπολογιστεί ο ριθμός: κ 7 6 og og og og og Είι: 6 og 6 og 6 6 og κ Άσκηση 4 Σε μι ριθμητική πρόοδο με πρώτω όρω της δίετι πό το τύπο: n κι S n6 δειχθεί ότι το άθροισμ τω n
10 4. Λογάριθμοι Η διφορά ω της προόδου είι: ω n6 n n4 n 4n n n S ω n n Oπότε έχουμε: Άσκηση n n n n n n n R t Α nio ni δειχθεί ότι: L Io I e Rt L R t R t I Είι o R t Io nio ni nio ni n e L L L I L I Io Άσκηση 6 I e Rt L To ρδιεεργό ιώδιο έχει χρόο υποδιπλσισμού περίπου 7 ημέρες. Α είι Q 0 η ρχική ποσότητ του ρδιεεργού ιωδίου, τότε η ποσότητ που έχει πομείει μετά πό t ημέρες Q t Q e. δίετι πό τη σχέση: k t o n. Ν βρεθεί η στθερά k. (Δίετι ότι: 0,) 7 β. Γι Q0 000gr, βρείτε σε πόσες ημέρες θ έχου μείει gr ρδιεεργού ιωδίου.. Μετά πό 7 ημέρες θ έχει πομείει η μισή ποσότητ του ρδιεεργού ιωδίου. 0 Επομέως γι t = 7 κι γι Q7 η σχέση Q k t t Q e Q γίετι: k 7 0 Q 7 Q Q 7k 7k 7k 0e Q0e e ne n 7k n n n 7k n k k 0, 7 β. Γι Qt, Q0 000 κι k 0, η σχέση Q k t t Q e 0 0 γίετι: n , 000e 0,t e 0,t ne 0,t n 0,t n00 t Rt
11 Λογάριθμοι. Άσκηση 7 Ότ το φως του ήλιου περάει μέσ πό έ γυλί εός πρθύρου, η έτσή του μειώετι σύμφω με τη σχέση E E e 0 0, όπου Ε 0 η έτση που έχει το ηλικό φως ότ πέφτει στο γιλί κι το πάχος του γιλιού σε mm.. Πόση θ είι η έτση του φωτός ότ περάσει πό έ γυλί που έχει πάχος mm ; β. Ποιο το πάχος εός γυλιού ώστε η έτση του φωτός που το περά είι ίση με το 60% της ρχικής τιμής; (Δίετι: n, 0, n, 60 ) Είι:. Η E E 0 0e γι β. Έχουμε ότι E 0, 6E 0. Άρ: 0 0 E E e E E e γίετι: o 6 0,6Eo E e 0,6 e n0,6 ne n n , n n, 0, 60 0, 9 9, mm Δ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ν υπολογιστού οι λογάριθμοι: i. og 7 ii. og 64 iii. og (Απ.: i., ii. 0, iii. /). N υπολογιστεί ο στις πρκάτω ισότητες: i. og ii. og iii. og iv. n (Απ.: i., ii. 7, iii.,, iv. 8 e ). Ν υπολογιστεί ο στις πρκάτω πρστάσεις: i. og 8 ii. og 9 iii. og 0, 0 (Απ.: i. 6, ii., iii )
12 6. Λογάριθμοι 4. Ν υπολογιστεί ο στις πρκάτω πρστάσεις: i. og ii. og 64. N υπολογιστού οι λογάριθμοι: (Απ.: i., ii. ) i. og 0, 000 ii. n e e (Απ.: i. 4, ii. 7 ) 6. Ν υπολογιστού οι λογάριθμοι: π π π i. og4συ ii. ogπημ iii. og εφ 6 (Απ.: i., ii. 0, iii. ) 7. Ν υπολογιστεί ο στις πρκάτω πρστάσεις: i. og ημ ii. og εφ (Απ.: i. π κπ, κ Ζ 6, ii. π κπ, κ Ζ 6 κπ π, κ Ζ ) 8. N υπολογιστού οι πρστάσεις: i. og8 og og4 ii. n n n9 (Απ.: i. og, ii. n8 ) 9. Ν ποδειχθού οι ισότητες: i. og4 og og og ii. n6 n7 n n64 n n 4 (Υπ.: Εφρμόστε τις ιδιότητες τω λογρίθμω) 0. Ν δειχθεί ότι: og og7 ogog7 (Υπ.: Εφρμόστε το τύπο λλγής βάσης)
13 Λογάριθμοι 7.. N εφρμοστού όλες οι δυτές ιδιότητες τω λογρίθμω στις πρκάτω πρστάσεις: y yz yz i. n ii. og iii. n e y 4 y 4y z z (Απ.: i. 7 n 7 4 ny, ii. og ogy og og og4, 4 4 iii. og ogy og og ) 6. Α og κι ogy β υπολογιστεί η πράστση: A og y (Απ.: A β ) 6 6. Α n κ κι ny λ υπολογιστεί η πράστση: y Α n y (Απ.: 4 7 Α κ λ ) 4. N υπολογιστεί η πράστση: A n 7 e e e 9 e (Απ.: Α ). N υπολογιστεί η πράστση: A og og N υπολογιστού οι ριθμοί: i. e n og6 ii. 0 iii. og 7 (Απ.: Α ) 40 (Απ.: i. e 4, ii. 0 4, iii. 7 ) og 7. N υπολογιστού οι ριθμοί: 9 κι β og (Απ.: 6, β ) 8
14 8. Λογάριθμοι 8. N υπολογιστεί ο ριθμός: og (Απ.:.00 ) 9. Γι ποιες τιμές του ορίζοτι οι ριθμοί: i. n ii. og iii. og 4 (Απ.: i.,,, ii.,,, iii.,0, ) 0. Γι ποιες τιμές του έχου όημ οι πρστάσεις: i. og ii. n 4 (Απ.: i.,0,, ii., 4, ). Γι ποιες τιμές του έχου όημ οι πρστάσεις: i. A n ii. B n n Γι ποιες τιμές του είι A = B ; (Απ.: i.,0,, ii.,, ). Γι ποιες τιμές του έχει όημ η πράστση: A og. Σε μι γεωμετρική πρόοδο ο πρώτος της όρος είι: S (Απ.:,0 0,,, ) og κι ο δεύτερος είι og8. Ν δειχθεί ότι το άθροισμ τω πρώτω της όρω δίετι πό το τύπο: og δειχθεί ότι: og β β 4. Α β 0 0 (Υπ.: Ν θέσετε (Υπ.: og8 λ ) og 0 y κι μετά βρείτε το y κι λογριθμίσετε)
15 Λογάριθμοι 9.. Δίετι η f e e. Ν υπολογιστού οι τιμές : f n κι f n 6. Ά,β 0 κι β β 6 6β δειχθεί ότι: og β og og ogβ (Απ.: f n, f n ) (Υπ.: Ν δείξετε ότι β β ) 7. Ν δειχθεί ότι : ogβ ogγδ og γβ og δ,β,δ 0 κι, γ 0 8. N δειχθεί ότι: og 4og 6 og (Υπ.: Εφρμόστε το τύπο λλγής βάσης) (Υπ.: Είι 6 ) 9. Α y 0 og κι z 0 ogy δειχθεί ότι: 0 ogz όπου 0, y,z 0. (Υπ.: Είι ogy, ogz ) og ogy 0. Ν δειχθεί ότι: og og og *. Α,β, γ R κι ogβ, y ogβγ, z ogγ. y z Ν δειχθεί ότι: β γ (Υπ.: Εφρμόστε το τύπο λλγής βάσης) (Υπ.: Είι y z β, β γ, γ ). N υπολογιστεί η πράστση: A n n (Απ.: Α n7 n8 n n ). Α og κι og β υπολογιστού συρτήσει τω, β ο λογάριθμος: og6 48 β 8 ) (Απ.: β
16 40. Λογάριθμοι 4. N υπολογιστεί η πράστση : A ogεφο ogεφ ο... ogεφ89ο (Απ.: Α 0 ). Α ogβ ogβ, 0, β, β δειχθεί ότι : β 6. Α 0,,β, γ δειχθεί ότι: (Υπ.: Εφρμόστε το τύπο λλγής βάσης) β γ ή β γ og ogβ ogγ og ogβ ogγ 7. N δειχθεί ότι : ogkβ ogβ, k 0, 0, β 0. Στη συέχει υπολογι- k ρ στεί η πράστση β og y μ y, μρ 0, 0 y. 8. Α 0,β, γ (Υπ.: Εφρμόστε το τύπο λλγής βάσης) κι og βγ, y og γ, z og β βy γz δειχθεί ότι: β γ (Υπ.: Είι y z γ, β γ, γ β ) k k k 9. Ν δειχθεί ότι: n n n... knk n 6 (Υπ.: Είι... ) 6 ogog 40. Ν δειχθεί ότι: og og, 0, (Υπ.: ogog og og ogog 0 ) E. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Ν βρείτε τη τιμή του που ληθεύει τη og 6 9 og (Απ.: 0 )
ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ
Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει: Ν γωρίζει τις συρτήσεις f( )=, f( )= log, τις βσικές τους ιδιότητες κι μπορεί τις σχεδιάζει. Ν μπορεί επιλύει εκθετικές εξισώσεις, ισώσεις κι εκθετικά
Διαβάστε περισσότεραΕπομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.
Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο
Διαβάστε περισσότεραη οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
Διαβάστε περισσότεραΠαρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Α κι θετικός κέριος τότε η µη ρητική ρίζ της εξίσωσης λέγετι ιοστή ρίζ του κι συµολίζετι. ηλδή = Γράφουµε: = = ( ) = κι = Πρτηρήσεις. Ο συµολισµός έχει όηµ µόο ότ. Στη πράστση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ρούμε
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης
Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης Σελίδ πό 3 Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι
Διαβάστε περισσότεραπ.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι
Διαβάστε περισσότεραΕκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση
Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου
Μθημτιά Α Λυείου Μθημτιά γι τη Α τάξη του Λυείου Α Νιοστή ρίζ πργμτιού ριθμού. Κρδμίτσης Σπύρος ΟΡΙΣΜΟΣ Η ιοστή ρίζ θετιός έριος εός μη ρητιού ριθμού συμολίζετι με ι είι ο μη ρητιός ριθμός που ότ υψωθεί
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι
Διαβάστε περισσότεραΚ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Η Έοι του Ορίου Ορισμός Ότ οι τιμές μις συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουμε έ πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο το ριθμό, τότε γράφουμε:
Διαβάστε περισσότεραΠ ρ ό λ ο γ ο ς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε με στόχο την πληρέστερη προετοιμασία των μαθητών μας.
Π ρ ό λ ο γ ο ς Το ιλίο υτό γράφτηκε με στόχο τη πληρέστερη προετοιμσί τω μθητώ μς. Περιέχει συοπτική θεωρί,πρωτότυπες σκήσεις λλά κι θέμτ εξετάσεω τω τελευτίω ετώ του σχολείου μς. Ελπίζουμε ποτελέσει
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους
Θεωρήμτ κι προτάσεις με τις ποδείξεις τους Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγώ: Α i κι i δ γ είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: 3 4 Αποδεικύοτι με εφρμογή του ορισμού κι πράξεις Γι πράδειγμ έχουμε: i δ γ δi γ i i i
Διαβάστε περισσότερα! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: 0 < 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ 1. 0 Όλες οι πόλυς τιμές είι θετικές ή μηδέ ( 0 0). 3.. Οι τίθετοι ριθμοί (ποσότης) έχου τη ίδι πόλυτη τιμή. 5. 6. θ ±θ με θ >
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;
ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Πόσ είδη ορίω υπάρχου; Υπάρχει όριο στο κι είι πργµτικός ριθµός (πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο κι είι, - (µη πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο ή - κι είι πργµτικός ριθµός. Υπάρχει όριο στο ή -
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά θέµατα Θεωρίας Γ Λυκείου
Επληπτικά θέµτ Θεωρίς Γ Λυκείου Α i κι γ δi είι δυο µιγδικοί ριθµοί τότε: 3 4 Οι ιδιότητες υτές µπορού ποδειχτού µε εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγµ έχουµε: i γ δi γ δ i γ δ i i γδi Οι πρπάω ιδιότητες κι
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Τι οομάζετι πληθυσμός μις σττιστικής έρευς; Οομάζετι το σύολο τω τικειμέω (έμψυχω ή άψυχω γι τ οποί συλλέγοτι στοιχεί.. Τι οομάζετι άτομο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ
Διαβάστε περισσότεραα β α < β ν θετικός ακέραιος.
Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ
Διαβάστε περισσότερα4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότερα1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Στο σχήμ 4 έχουμε τη γρφιή πράστση μις συάρτησης οτά στο Πρτηρούμε ότι, θώς το ιούμεο με οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργμτιό ριθμό, οι
Διαβάστε περισσότεραQwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.
. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,
Διαβάστε περισσότεραAΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Διαβάστε περισσότερα+ 4 µε x >0. x = f(x) f(t) dt. Άρα από κριτήριο παρεµβολής lim f(t) dt = 4.
993 ΘΕΜΑΤΑ. ίετι η συάρτηση f() = + + µε >. ) Ν εξετάσετε τη µοοτοί της συάρτησης f. β) Ν υπολογίσετε το lim f(t) dt. + + ) Έχουµε f () = () + ( + ) ( + ) + = + (+ ) ( + ) = - 3 + + = - 3 . + +
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου
Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (τω οποίω πρέπει ξέρουμε & τις ποδείξεις πό το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου υ υ όπου υ το υπόλοιπο της διίρεσης του με
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν
Διαβάστε περισσότεραΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΘΕΜΑ Α, είι µιγδικοί ριθµοί, τότε κι κι επειδή η τελευτί σχέση ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύη ρχικική. Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ ΘΕΜΑ Όριο πολυωυµικής συάρτησης Α -... P πολυώυµο του κι R, δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις
Διαβάστε περισσότερα5.2 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ. 1. Ορισµός. 2. Ιδιότητες από τον ορισµό. 3. Ιδιότητες. 4. εκαδικοί και Φυσικοί λογάριθµοι. 5. Ιδιότητες logθ = x
. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός θ λέγετι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει ν υψώσουµε τον γι ν βρούµε τον θ, δηλδή : θ θ Περιορισµοί : > 0 κι, θ > 0. Ιδιότητες πό τον ορισµό. Ιδιότητες θ θ 0 ( θθ ) θ + θ θ θ θ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
Διαβάστε περισσότερα( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:
Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραf (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι,
Διαβάστε περισσότερα1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R
64 Aκοουθίες Ορισμός : Ακοουθί οομάζετι κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύοο Ν* τω θετικώ κερίω κι πίρει τιμές στο R. a: Ν* R H τιμή μί κοουθίς στο συμβοίζετι με Αδρομικός Τύπος Ακοουθίς: Οομάζετι μί
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :
Σελίδ πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi
Διαβάστε περισσότεραα+ βi, όπου α, ii) Ο µιγαδικός α+ βi είναι ίσος µε το µηδέν αν και µόνο αν α= 0 και β = 0
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - Τι οοµάζουµε µιγδικό ριθµό Μιγδικός ριθµός είι κάθε ριθµός που έχει τη µορφή + i, όπου, R κι i Τι λέγετι πργµτικό κι τι φτστικό
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότερα1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:
Διαβάστε περισσότεραΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 1, Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή i, όπου,
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ποιο είι το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι, ώστε
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε
Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΥΠΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΝΑΜΕΩΝ I. ν... ν πράγοντες, ν, ν ν> ν Rκι ν Ν II. ν, ν µ, ν Ν µ ν ν µ, >, µ Ζ, µ ν ν Ν κι εάν Ορισµός : Αν > κι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:
Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε
Διαβάστε περισσότερα1o ΓΕ.Λ. Λιβαδειάς Μαθηματικά Προσανατολισμού Ορισμοί Θεωρήματα- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηνείες- Σχόλια Αντιπαραδείγματα - Παρατηρήσεις.
o ΓΕΛ Λιδειάς Μθημτικά Προστολισμού Ορισμοί Θεωρήμτ- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηείες- Σχόλι Ατιπρδείγμτ - Πρτηρήσεις* ΟΡΙΣΜΟΣ ος πργμτική συάρτησησελ5 Έστω Α έ υποσύολο του Οομάζουμε πργμτική συάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις
Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Η Θεωρί σε 99 Ερωτήσεις Ορισμοί, Θεωρήμτ 4 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Μ Ππγρηγοράκης Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς
Διαβάστε περισσότεραρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλει: Οµάδ Μθηµτικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρ, 7 Μ ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, β]. Α G είι μι πράγουσ
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :
Σελίδ πό 5 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi
Διαβάστε περισσότεραΟρισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν
AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Α κ ο λ ο υ θ ι ε ς Ορισμος. Ν δειχτει οτι + 0 0. Ποτε ισχυει το ισο; Κθε συρτηση. A :, β * θετικοι οομζετι, συγκριετι κολουθι τους ριθμους πργμτικω Α = ριθμω. + β, Β = β + β. * Η τιμη
Διαβάστε περισσότερααριθμών Ιδιότητες της διάταξης
Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια
Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου
Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Μπορεί πρχθεί κι διεμηθεί ελεύθερ ρκεί διτηρηθεί η μορφή του. Προλεγόμε Η διδσκλί ποδείξεω στη Άλγεβρ της Α Τάξης μπορεί υποβοηθηθεί ο δάσκλος
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.
Διαβάστε περισσότερα[ ] ( ) [( ) ] ( ) υ
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ) Α Θέτω στη συάρτηση ι οπότε έχω () ( ) Η εξίσωση γίετι η Α η Α δε ισχύει η Α ι ( ) ( ) ( ) τότε ( ) [ ] ( ) Διρίω τις περιπτώσεις άρ δε ισχύει τότε ( ) άρ
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ
Διαβάστε περισσότεραΓ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω
Διαβάστε περισσότεραΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι
Διαβάστε περισσότερα1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ
Ζωοδόχου Πηγς Σλμί Τηλ 466- /4644..Οι πράξεις ι οι ιδιότητές τους i Στο προομστεός λάσμτος ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ έχουμε το μηδέ γιτί το λάσμ δε ορίζετι.,.π.χ: δε ορίζετι i Ότ ο ριθμητς εός λάσμτος είι ίσος με το
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1ο 55 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες:
Κεφάλιο ο Ερωτήσεις Κτόησης Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με (Σ) είι σωστές ή με (Λ) είι λθσμέες: ) Γι κάθε ριθμό ισχύει + + + 4 β) Γι κάθε ριθμό ισχύει 4 γ) Οι ριθμοί (-) 6 κι - 6 είι τίθετοι δ)
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ
Διαβάστε περισσότεραΟρισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Ατί προλόγου: Το προτειόμεο Κριτήριο Αξιολόγησης δε φέρετι στη θεωρί που πιτείτι στο ο κι ο θέμ, λλά φορού τ θέμτ διβθμισμέης
Διαβάστε περισσότεραν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ
B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρούμε μ ριθμούς ij, i,,, μ κι j,,, τοποθετημέους σε μ γρμμές κι v στήλες Το σύμολο μ μ λέγετι πίκς διάστσης μ Οι ριθμοί ij λέγοτι στοιχεί του πίκ Α Ο πίκς Α μπορεί συμολιστεί ως Α[ [
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η
ΜΑΘΗΜΑ.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έοι του τοικού κρόττου Προσδιορισµός τω τοικώ κρόττω Θεώρηµ Frmat Θεωρί Σχόλι Μέθοδοι Ασκήσεις Frmat Αισώσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μι συάρτηση µε εδίο ορισµού Α, θ λέµε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n
ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια της συνάρτησης
Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 01 Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο. Παράγραφος 1.1. Ποιο πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιο πείραμα τύχης;
ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Πράγρφος 1.1 Ποιο πείρμ λέγετι ιτιοκρτικό κι ποιο πείρμ τύχης; Τι οομάζουμε χώρο εός πειράμτος τύχης; Τι λέμε εδεχόμεο εός πειράμτος τύχης; Ποιο εδεχόμεο λέγετι πλό κι ποιο σύθετο;
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει f f ( ) d = e e e Α) Ν ποδείξετε ότι: f = e i) η f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ii) f() = e Β)
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ
Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Το σύολο C τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε
Διαβάστε περισσότερα