Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι, ώστε έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο R, με το μηδέ είι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έ το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού Υπάρχει έ στοιχείο i τέτοιο ώστε i = Κάθε στοιχείο z του C γράφετι κτά μοδικό τρόπο με τη μορφή z=+i, όπου,r Σημείωση: Α z=+i, το λέγετι πργμτικό μέρος του z κι συμολίζετι με Rez, δηλδή Rez= κι το λέγετι φτστικό μέρος του z κι συμολίζετι με Imz, δηλδή Imz= Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί +i κι γ+δi είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός ι- σούτι με μηδέ; Δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι ίσοι, κι μόο γ κι δ Δηλδή ισχύει: i γ δi γ κι δ Επομέως, επειδή i, έχουμε: i κι 3 Τι είι εικό εός μιγδικού ριθμού κι τι είι το μιγδικό επίπεδο; Κάθε μιγδικό ριθμό +i μπορούμε το τιστοιχίσουμε στο σημείο Μ, εός κρτεσιού επιπέδου Αλλά κι τιστρόφως, κάθε σημείο Μ, του κρτεσιού επιπέδου μπορούμε το τιστοιχίσουμε στο μιγδικό +i Το σημείο Μ λέγετι εικό του μιγδικού +i Α θέσουμε z=+i, τότε το σημείο Μ, μπορούμε το συμολίσουμε κι με Μz Έ κρτεσιό επίπεδο του οποίου τ σημεί είι εικόες μιγδικώ ριθμώ θ φέρετι ως μιγδικό επίπεδο Ο άξος λέγετι πργμτικός άξος, φού ήκου σε υτό τ σημεί Μ, που είι εικόες τω πργμτικώ =+i, εώ ο άξος y y λέγετι φτστικός άξος, φού σε υτό ήκου τ σημεί Μ, που είι εικόες τω φτστικώ i=+i Ές μιγδικός z=+i πριστάετι επίσης κι με τη διυσμτική κτί, του σημείου Μ, Επιμέλει : Κμπελής Ηλίς - Μθημτικός

2 4 Τι λέγετι συζυγής εός μιγδικού ριθμού; Θεωρί γι τις εξετάσεις Α z=+i τότε ο μιγδικός i λέγετι συζυγής του z κι συμολίζετι με z Δηλδή είι z i i 5 Πως ορίζετι η δύμη μιγδικού; Ορίζουμε: z z, z z z,, κι γεικά z z z, γι κάθε κέριο, με Α z, ορίζουμε z, z z γι κάθε θετικό κέριο Ισχύει : i 3, i i, i, i i i i Γεικά =4ρ+υ, όπου ρ το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της Ευκλείδεις διίρεσης του με το 4, τότε: i i i i i i i i, i,, i, Ποιες είι οι ιδιότητες τω συζυγώ μιγδικώ; z z z z 3 z z z z 4 z z z z 5 z z z z 6 z z z z v 7 z z v 7 Πως ορίζετι το μέτρο μιγδικού; Έστω M,y η εικό του μιγδικού z=+yi στο μιγδικό επίπεδο Oy Ορίζουμε ως μέτρο του z τη πόστση του Μ πό τη ρχή τω ξόω O, δηλδή: z OM y 8 Ποιες είι οι ιδιότητες του μέτρου; z z z z z z 3 z z z 4 z z z z z 5 z z z z z z τριγωική ισότητ 6 MM z z, όπου Μ, Μ οι εικόες τω z, z, δηλδή :το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους 9 Τι πριστάου γεωμετρικά οι εξισώσεις: zz =ρ, ρ> κι zz = zz ; Η εξίσωση z z ρ, ρ πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο K z κι κτί ρ, εώ η εξίσωση z z z z, τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ A z κι B z Σημείωση: Η εξίσωση z z z z με > κι z z πριστάει έλλειψη με εστίες τ σημεί A z κι B z μεγάλο άξο ίσο με Α z z πριστάει το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ, εώ z z είι κεό σύολο Η εξίσωση z z z z, > πριστάει υπερολή με εστίες τ σημεί A z κι B z

3 Θεωρί γι τις εξετάσεις 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Τι οομάζουμε συάρτηση; Έστω Α έ υποσύολο του R Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί, με τη οποί κάθε στοιχείο οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με Τι οομάζουμε σύολο τιμώ μις συάρτησης; Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό y Το y συμολίζετι με A Είι δηλδή: A { y y γι κάποιο A} Τι οομάζουμε γρφική πράστση συάρτησης; A, λέγετι σύολο τιμώ της κι Έστω συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι Oy έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M, y γι τ οποί ισχύει y, δηλδή το σύολο τω σημείω M,, A, λέγετι γρφική πράστση της κι συμολίζετι με 3 Πότε δυο συρτήσεις λέγοτι ίσες; C Δύο συρτήσεις κι g λέγοτι ίσες ότ έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε g A ισχύει 4 Πως ορίζοτι οι πράξεις μετξύ συρτήσεω; Ορίζουμε ως άθροισμ, διφορά, γιόμεο κι πηλίκο, τίστοιχ, δύο συρτήσεω, g τις συρτήσεις με τύπους: g g, g g, g g, g Το πεδίο ορισμού τω g g, g κι g είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι g τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της g είι το σύολο { A κι B, με g } 5 Τι οομάζουμε σύθεση συρτήσεω; Α, g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της με τη g, κι τη συμολίζουμε με g, τη συάρτηση με τύπο: g g Το πεδίο ορισμού της g ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είι το σύολο A B /

4 Θεωρί γι τις εξετάσεις 4 6 Τι λέγετι γησίως ύξουσ κι τι γησίως φθίουσ συάρτηση; Μι συάρτηση λέγετι: γησίως ύξουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε ισχύει: γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε ισχύει:, Δ με, Δ με 7 Πότε μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο κι πότε ελάχιστο; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, ότ γι κάθε A A ολικό ελάχιστο, το, ότ γι κάθε A Το ολικό μέγιστο κι το ολικό ελάχιστο, εφόσο υπάρχου, λέγοτι ολικά κρόττ της 8 Πότε μι συάρτηση λέγετι έ προς έ; Μι συάρτηση : A R λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή:, τότε Ισοδύμος ορισμός: Μι συάρτηση : A R είι συάρτηση, κι μόο γι ο- ποιδήποτε, A ισχύει :, τότε Σχόλι: Κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση μις συάρτησης το πολύ σε έ σημείο της Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη τότε είι συάρτηση Το τίστροφο ΔΕΝ ισχύει, δηλδή μι συάρτηση είι τότε δε είι πρίτητ γησίως μοότοη 3 Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση =y έχει κριώς μι λύση ως προς 9 Τι οομάζουμε τίστροφη συάρτηση κι τι σχέση έχου οι γρφικές πρστάσεις δύο τίστροφω συρτήσεω; Έστω μι συάρτηση : A R Τότε γι κάθε στοιχείο y του συόλου τιμώ, A, της υ- πάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει y Επομέως ορίζετι μι συάρτηση g : A R με τη οποί κάθε y A τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει y H g λέγετι τίστροφη συάρτηση της κι συμολίζετι με Επομέως έχουμε y y

5 Από το ορισμό προκύπτου οι σχέσεις:, A κι Θεωρί γι τις εξετάσεις y y, y A 5 Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί y= που διχοτομεί τις γωίες Oy κι Oy ΟΡΙΑ Ποιες είι οι άμεσες συέπειες του ορισμού του ορίου; h h Πως συδέετι το όριο με τ πλευρικά όρι; Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,,, τότε ισχύει η ισοδυμί: Ποιες ισότητες ισχύου στ όρι; όριο κι διάτξη Α, τότε εώ, τότε, κοτά στο Α οι συρτήσεις, g έχου όριο στο κι ισχύει g κοτά στο, τότε g 3 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω το τείει στο ; Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι g στο, τότε: g g κ κ, γι κάθε κ R 3 g g 4, εφόσο g g g 5 6 k k, ότ κοτά στο 7 [ ], N * 4 Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συρτήσεις, g, h Α h g κοτά στο κι h g, τότε 5 Ποι είι τ σικά τριγωομετρικά όρι; ημ γ συ δ

6 6 Πως υπολογίζουμε το όριο σύθετης συάρτησης; Θεωρί γι τις εξετάσεις 6 Γι υπολογίσουμε το g ως εξής:, της σύθετης συάρτησης g στο σημείο, τότε εργζόμστε Θέτουμε u g κι υπολογίζουμε το u g κι το u uu υπάρχου Αποδεικύετι ότι, g u κοτά στο, τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με, δηλδή ισχύει: g u uu 7 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω το τείει στο ; Α, τότε, εώ, τότε κοτά στο Α, τότε, εώ, τότε Α ή, τότε Α κι κοτά στο, τότε, εώ κοτά στο, τότε Α ή, τότε κι, τότε k κι γεικά, * κι γεικά, εώ κι *, δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της *, Όριο θροίσμτος κι γιομέου Το όριο της είι: R R κι το όριο της g είι: τότε το όριο της g είι: ; ; Το όριο της είι: κι το όριο της g είι: τότε το όριο της g είι: > < > < ; ; + +

7 κι,, -, Θεωρί γι τις εξετάσεις 7 άρτιος * κι, περιττός, P κι P,, lg, lg 8 Πότε η λέγετι συεχής στο ; Έστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο, ότ : 9 Πότε η λέγετι συεχής στο πεδίο ορισμού της; Ότ η είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της Ειδικότερ : Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, κι επιπλέο : κι 3 Τι γωρίζετε γι τις πράξεις μετξύ συεχώ συρτήσεω; Α οι συρτήσεις κι g είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: g, c, όπου c R, g,, κι g με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους g είι συεχής στο Σχόλι: Κάθε πολυωυμική συάρτηση P είι συεχής, φού γι κάθε R ισχύει P P Κάθε ρητή συάρτηση P Q είι συεχής, φού γι κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει P P Q Q γ Οι συρτήσεις κι g είι συεχείς, φού γι κάθε R ισχύει κι δ Οι συρτήσεις κι g lg, < είι συεχείς ε Α μι συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο, τότε η σύθεση τους g είι συεχής στο

8 3 Ν διτυπώσετε το θεώρημ Blzan Θεωρί γι τις εξετάσεις 8 Έστω μι συάρτηση, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α η είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, τέτοιο, ώστε 3 Ν δώσετε τη γεωμετρική ερμηεί του θεωρήμτος Blzan Α ισχύου οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος Blzan, μις συεχούς συάρτησης στο διάστημ [,], τότε τ σημεί Α, κι Β, ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο Έτσι η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο Σχόλι: Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Δ, ή είι ρητική γι κάθε Δ, δηλδή η διτηρεί στθερό πρόσημο στο διάστημ Δ Γι προσδιορίσουμε το πρόσημο μις συεχούς συάρτησης σε κθέ πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της κολουθούμε τ εξής ήμτ: Βρίσκουμε τις ρίζες της Λύουμε τη εξίσωση = Σε κθέ πό τ υποδιστήμτ που ορίζου οι διδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έ ριθμό κι ρίσκουμε το πρόσημο της στο ριθμό υτό Το πρόσημο υτό είι κι το πρόσημο της στο τίστοιχο διάστημ 33 Πως σχετίζετι η συέχει με τ διστήμτ; Η εικό Δ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ 34 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέγιστης - Ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η πίρει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή υπάρχου, [,] τέτοι, ώστε m= κι M=, ισχύει m M, γι κάθε [,] 35 Ποιο είι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης ορισμέης σε διάστημ; Α μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α, Β, όπου Α κι B Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B, A Αάλογ συμπεράσμτ έχουμε κι ότ μι συάρτηση είι συεχής κι γησίως μοότοη σε διστήμτ της μορφής [, ], [, κι, ]

9 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Θεωρί γι τις εξετάσεις 9 36 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο κι τι οομάζουμε πράγωγο της στο ; Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμολίζετι με Δηλδή: 37 Πως ορίζετι η εφπτομέη στο σημείο A, της C ; Έστω μι συάρτηση κι A, έ σημείο της C Α υπάρχει το κι είι ο πργμτικός ριθμός, τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ= C στο σημείο της Α, τη ευθεί ε που Επομέως, η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A, είι y ' Σχόλιο: Το συτελεστή διεύθυσης λ= της εφπτομέης ε στο σημείο A, το οομάζουμε κι κλίση της C στο Α ή κλίση της στο 38 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο, Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη στο, κι επιπλέο ισχύει R κι R 39 Τι είι η πράγωγος συάρτηση; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A το σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο, ορίζουμε τη συάρτηση : A R, ωστε : η οποί οομάζετι πράγωγος της

10 Θεωρί γι τις εξετάσεις 4 Τι οομάζουμε ρυθμό μετολής του y ως προς το ; Α δύο μετλητά μεγέθη, y συδέοτι με τη σχέση y, ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του y ως προς το στο σημείο τη πράγωγο 4 Πως πργωγίζετι μι σύθετη συάρτηση κι ποιος είι ο κός λυσίδς; Α η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο g, τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει g g g Γεικά, μι συάρτηση g είι πργωγίσιμη σ έ διάστημ Δ κι η είι πργωγίσιμη στο gδ, τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει Δηλδή, u=g, τότε: u u u g g g Με το συμολισμό του Leibniz, y=u κι u=g, έχουμε το τύπο ως κός λυσίδς 4 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Rlle dy dy du που είι γωστός d du d Α μι συάρτηση είι συεχής στο κλειστό διάστημ [, ], πργωγίσιμη στο οικτό, κι τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ 43 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Rlle Το Θεώρημ Rlle γεωμετρικά, σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ, ξ y Μξ,ξ Α, Β, είι πράλληλη στο άξο τω O ξ ξ 44 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΤ Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ

11 45 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής Θεωρί γι τις εξετάσεις Γεωμετρικά, το ΘΜΤ σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο y Mξ,ξ Β, M ξ, ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ A, Ο a ξ ξ 46 Τι οομάζουμε τοπικό μέγιστο κι τι τοπικό ελάχιστο της ; Μι συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο πάρχει δ, τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ, δ A τοπικό μέγιστο, ότ υ- Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το τοπικό μέγιστο της Μί συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο υπάρχει δ, τέτοιο ώστε :, γι κάθε A δ, δ A τοπικό ελάχιστο, ότ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το τοπικό ελάχιστο της 47 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε: 48 Ποι σημεί μις συάρτησης λέγοτι κρίσιμ σ έ διάστημ Δ; Κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ λέγοτι τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ 49 Ποιες είι οι πιθές θέσεις τω τοπικώ κροτάτω μις συάρτησης ; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ, λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 5 Τι γωρίζετε γι τη πράγωγο συάρτησης στο σημείο που προυσιάζει - κρόττο σε εσωτερικό σημείο διστήμτος Δ; Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη σ υτό, τότε:

12 5 Πότε μι συάρτηση οομάζετι κυρτή κι πότε κοίλη; Θεωρί γι τις εξετάσεις Έστω μί συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ, η είι γησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ, η είι γησίως φθίουσ στο εσωτερικό του Δ Σχόλι: Α η είι κυρτή σ έ διάστημ Δ τότε η είι γησίως ύξουσ συάρτηση εώ, η είι κοίλη στο Δ τότε η είι γησίως φθίουσ συάρτηση Α μι συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σ έ διάστημ Δ, τότε η εφπτομέη της C σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω τιστοίχως πάω πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής της 5 Πως σχετίζετι η δεύτερη πράγωγος με τη κυρτότητ; Έστω μι συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι κυρτή στο Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι κοίλη στο Δ Σχόλιο: Το τίστροφο της πρπάω πρότσης θεωρήμτος δε ισχύει, δηλδή η είι κυρτή ή κοίλη στο Δ, τότε δε είι πρίτητ ή τίστοιχ Μπορεί ισχύει ή τίστοιχ 53 Τι οομάζουμε σημείο κμπής της γρφικής πράστσης μις συάρτησης; Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο, κι κοίλη στο,, ή τιστρόφως, κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A,, τότε το σημείο A, οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της 54 Πως σχετίζετι η με το σημείο κμπής; Α το A, είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ, κι, Α η λλάζει πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της C στο A,, τότε το A, είι σημείο κμπής

13 Θεωρί γι τις εξετάσεις 55 Τι οομάζουμε κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; 3 Α έ τουλάχιστο πό τ όρι, είι ή, τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της 56 Τι οομάζουμε οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; Α τιστοίχως, τότε η ευθεί y λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο 57 Τι οομάζουμε πλάγι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; Η ευθεί y λ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, [ λ ] κι στο [ λ ] 58 Πως προσδιορίζουμε τη σύμπτωτη πλάγι ή οριζότι της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ; Η ευθεί y=λ+ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συάρτησης στο, τιστοίχως στο, κι μόο R κι R, τιστοίχως R κι R Σχόλι στις σύμπτωτες: Οι πολυωυμικές συρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του δύο δε έχου σύμπτωτες Οι ρητές συρτήσεις P, με θμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστο κτά δύο του Q θμού του προομστή, δε έχου πλάγιες σύμπτωτες γ Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: - Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι - Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δε είι συεχής - Στο,, εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής,, τιστοίχως, 59 Ποιοι είι οι κόες De l Hspital; Α, g, R {, } κι υπάρχει το g πεπερσμέο ή άπειρο, τότε: g g

14 Α, g, R {, } κι υπάρχει το Θεωρί γι τις εξετάσεις 4 πεπερσμέο ή άπει- g ρο, τότε: g g Σχόλι: Οι πρπάω κόες ισχύου κι γι τις μορφές,, Οι πρπάω κόες ισχύου κι γι πλευρικά όρι κι μπορούμε, χρειάζετι, τους εφρμόσουμε περισσότερες φορές, ρκεί πληρούτι οι προϋποθέσεις τους ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6 Τι οομάζουμε Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ; Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F, γι κάθε Δ 6 Τι οομάζουμε ορισμέο ολοκλήρωμ της στο [,] ; Α η είι συεχής στο [,] τότε ορίζουμε : d Επίσης ορίζουμε : d d κι d 6 Ποιες είι οι ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώμτος; Έστω, g συεχείς συρτήσεις στο [, ] κι λ, μ R Τότε ισχύου λ d λ d [ g ] d d 3 [ μg ] d λ d μ λ g d g d 4 Α η είι συεχής σε διάστημ Δ κι,,, τότε ισχύει: γ d d d γ 5 Έστω μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, ] Α γι κάθε [, ] κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό, τότε d 63 Τι γωρίζετε γι τη συάρτηση F = tdt ; Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση F t dt, Δ, είι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: t dt, γι κάθε Δ a

15 Θεωρί γι τις εξετάσεις 5 64 Ποιος είι ο τύπος της Ολοκλήρωσης κτά πράγοτες στ ορισμέ ολοκληρώμτ; g d [ g ] g d 65 Ποιος είι ο τύπος της Ολοκλήρωσης με τικτάστση στ ορισμέ ολοκληρώμτ; Ισχύει : u g g d u du, όπου, g είι συεχείς συρτήσεις, u g, du g d κι u g, u g u 66 Πως ορίζετι το εμδό ΕΩ εός χωρίου που περικλείετι πό τις ευθείες =, = κι τις γρφικές πρστάσεις τω κι g; Ισχύει : E Ω g d

16 Θεωρήμτ με ποδείξεις Θεωρί γι τις εξετάσεις 6 Ν ποδείξετε ότι η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ +i κι γ+δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α Μ, κι Μ γ,δ είι οι εικόες τω +i κι γ+δi τίστοιχ στο μιγδικό επίπεδο τότε το άθροισμ: +i+γ+δi=+γ++δi πριστάετι με το σημείο Μ+γ, +δ Επομέως Ν ποδείξετε ότι η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ +i κι γ+δi είι η διφορά τω διυσμτικώ κτίω τους Η διφορά +iγ+δi=γ+δ πριστάετι με το σημείο Νγ, δ Επομέως 3 Ν ποδείξετε ότι +iγ+δi=γδ+δ+γi Έχουμε: i i i i i i i i i i i i i i i 4 Ν εκφράσετε το πηλίκο +i, όπου γ+δi, στη μορφή κ+λi γ + δi Απάτηση Πολλπλσιάζουμε τους όρους του κλάσμτος με το συζυγή του προομστή κι έχουμε: i i i i i i i i Δηλδή i i i

17 Θεωρί γι τις εξετάσεις 5 Α z =+i κι z =γ+δi είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: z z z z 7 z z i γ δi γ δ i γ δ i i γ δi z z 6 Ν λύσετε τη εξίσωση z +z+γ= με zc,,,γr, κι Δ< Απάτηση Εργζόμστε όπως στη τίστοιχη περίπτωση στο R κι τη μετσχημτίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετράγωου, στη μορφή z 4, όπου Δ= 4γ η δικρίουσ της εξίσωσης Επειδή i i η εξίσωση γράφετι: 4 4 i z Άρ οι λύσεις της είι: z, i οι οποίες είι συζυγείς μιγδικοί Σημείωση: Κι στη δευτεροάθμι εξίσωση με άγωστο μιγδικό ριθμό κι συτελεστές πργμτι- κούς ισχύου οι τύποι του Vieta, δηλδή z z κι z z 7 Α z, z είι μιγδικοί ριθμοί, τότε: z z z z Πράγμτι, έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική 8 Δείξτε ότι : P P Έστω το πολυώυμο P κι Σύμφω με τις ιδιότητες τω ορίω έχουμε: P R P

18 P P 9 Δείξτε ότι :, εφόσο Q Q Q Θεωρί γι τις εξετάσεις 8 Έστω η ρητή συάρτηση P, όπου P, Q πολυώυμ του κι ο R με Q Τότε, Q P P P Q Q Q Έστω μι συάρτηση, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [,] Α η είι συεχής στο [,] κι δείξτε ότι, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι υπάρχει ές, τουλάχιστο,, ώστε Ας υποθέσουμε ότι Τότε θ ισχύει η Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g η, [, ], πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [, ] κι g g, φού g η κι g η Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Blzan, υπάρχει, τέτοιο, ώστε g η, οπότε η Σχόλιο Α μι συάρτηση δε είι συεχής στο διάστημ [,], τότε, όπως φίετι κι στο διπλό σχήμ, δε πίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές Α η είι πργωγίσιμη στο σημείο ο, τότε είι κι συεχής σ υτό Γι έχουμε, Οπότε [ ], φού η είι πργωγίσιμη στο Άρ,, δηλδή η είι συεχής στο

19 Θεωρί γι τις εξετάσεις 9 Προσοχή!!! Το τίστροφο δε ισχύει πάτ, δηλδή: Α μι συάρτηση είι συεχής, τότε δε είι πρίτητ κι πργωγίσιμη Α μι συάρτηση δε είι συεχής τότε δε είι κι πργωγίσιμη, γιτί ήτ πργωγίσιμη τότε θ ήτ κι συεχής Έστω η στθερή συάρτηση c, c R Δείξτε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει, δηλδή c = Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει: c c Επομέως,, δηλδή c 3 Έστω η συάρτηση Δείξτε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει, δηλδή = Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει: Επομέως,, δηλδή 4 Έστω η συάρτηση, R {, } Δείξτε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει, δηλδή Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει:, οπότε:, δηλδή

20 Θεωρί γι τις εξετάσεις 5 Έστω Δείξτε ότι γι κάθε, ισχύει Πράγμτι, είι έ σημείο του,, τότε γι ισχύει:, Οπότε, δηλδή 6 Α οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση +g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: g g Γι,ισχύει: g g g g g g Επειδή οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιμες στο, έχουμε: g g g g g, Δηλδή : g g 7 Α οι συρτήσεις, g, h είι πργωγίσιμες τότε ισχύει: g h g h g h g h Είι: g h g h g h g h g g h g h g h g h g h 8 Έστω η συάρτηση, * Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει, δηλδή Πράγμτι, γι κάθε * R έχουμε:

21 Θεωρί γι τις εξετάσεις Είδμε, όμως, πιο πρι ότι κ κ κ, γι κάθε φυσικό Επομέως, N {, }, τότε: 9 Έστω η συάρτηση =εφ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο D R { / } κι ισχύει, δηλδή : ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ εφ συ συ συ συ ημ συ συ Η συάρτηση, R Z είι πργωγίσιμη στο,+ κι ισχύει, δηλδή Πράγμτι, y ln e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u y e Επομέως, u u ln y e e u e Η συάρτηση, > είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ln, δηλδή : ln Πράγμτι, y ln e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u y e Επομέως, u u ln y e e u e ln ln Η συάρτηση ln ln, R * είι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει Πράγμτι:, τότε ln ln ln, εώ, τότε : ln, οπότε, θέσουμε y ln κι u, έχουμε y ln u Επομέως, y ln u u κι άρ u ln

22 Θεωρί γι τις εξετάσεις 3 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι = γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε, Δ ισχύει Πράγμτι Α, τότε προφώς Α, τότε στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ξ, οπότε, λόγω της, είι Α, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι 4 Έστω δυο συρτήσεις, g ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι,g είι συεχείς στο Δ κι g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει: g c Η συάρτηση g είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει g g Επομέως, σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση g είι στθερή στο Δ Άρ, υ- πάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει g c, οπότε g c 5 Έστω μι συάρτηση, η οποί είι συεχής σε έ διάστημ Δ Α σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ Α σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως φθίουσ σε όλο το Δ Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι Έστω, Δ με Θ δείξουμε ότι Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ, οπότε έ- χουμε ξ Επειδή ξ κι, έχουμε, οπότε

23 Στη περίπτωση που είι εργζόμστε λόγως Θεωρί γι τις εξετάσεις 3 Σχόλιο: Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ισχύει Δηλδή η είι γησίως ύξουσ ή φθίουσ στο Δ, η πράγωγός της δε είι υποχρεωτικά θετική ή ρητική τίστοιχ στο εσωτερικό του Δ Μπορεί ισχύει ή 6 Θεώρημ Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη σ υτό, τότε: Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε δ, δ Δ κι, γι κάθε δ, δ Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιμη στο, ισχύει Επομέως, δ,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε, δ, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη 3 Έτσι, πό τις κι 3 έχουμε 7 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του στο i Α ' της ii Α ', τότε το είι τοπικό ελάχιστο της, στο οποίο η είι συεχής κι ', στο iii Α η ' κι ', στο, στο διτηρεί πρόσημο στο,, κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο,,, τότε το είι τοπικό μέγιστο, τότε το δε είι τοπικό

24 i Επειδή ' Θεωρί γι τις εξετάσεις γι κάθε κι η είι συεχής στο, η είι γησίως ύξουσ στο, Έτσι έχουμε, γι κάθε, Επειδή γι κάθε κι η είι συεχής στο, η είι γησίως φθίουσ στο Έτσι έχουμε, γι κάθε,, Επομέως λόγω τω κι, ισχύει: γι κάθε,, που σημίει ότι το μέγιστο της στο, κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii Εργζόμστε λόγως iii Έστω ότι γι κάθε,,,, 4 είι Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ, κι, Επομέως γι της ισχύει Άρ το δε είι τοπικό κρόττο Θ δείξουμε, τώρ ότι η είι γησίως ύξουσ στο, Πράγμτι, έστω,, Α, επειδή η είι γησίως ύξουσ στο, θ ισχύει,,, με Α,,, επειδή η είι γησίως ύξουσ στο, θ ισχύει Τέλος, τότε όπως είδμε, Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει Ομοίως, γι κάθε,,, οπότε η είι γησίως ύξουσ στο, 8 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της στο Δ, τότε: όλες οι συρτήσεις της μορφής G F c, cr, είι πράγουσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή G F c, cr Κάθε συάρτηση της μορφής G F c, όπου c R, είι μι πράγουσ της στο Δ, φού G F c F, γι κάθε Δ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε Δ ισχύου F κι G, οπότε G F, γι κάθε Δ Άρ υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G F c, γι κάθε Δ

25 Θεωρί γι τις εξετάσεις 5 9 Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση Δηλδή ισχύει: F t dt, Δ, είι μι πράγουσ της στο Δ t dt, γι κάθε Δ a Εποπτικά το συμπέρσμ του πρπάω θεωρήμτος προκύπτει ως εξής: h F h F t dt Εμδό του χωρίου Ω h, γι μικρά F h F h Άρ, γι μικρά h είι,οπότε h F h F F h h 3 Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [,] Α G είι μι πράγουσ της στο [,], τότε t dt G G Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση F t dt είι μι πράγουσ της στο [, ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [, ], θ υπάρχει c R τέτοιο, ώστε : G F c Από τη, γι, έχουμε G F c t dt c c, οπότε c G Επομέως, G F G, οπότε, γι, έχουμε G F G t dt G κι άρ t dt G G

26 Θεωρί γι τις εξετάσεις 6 Κόες πργώγισης g g c c g g g g g g g g g Πράγωγοι σικώ συρτήσεω Πράγωγοι σύθετω c'= συρτήσεω '= v v, v v v γι κάθε > v v, με με ημ'=συ ημ συ συ'=ημ ln, ln εφ εφ συ σφ σφ ημ συ ημ ln, ln συ εφ σφ ημ e e, > ln τ τ e e, > ln τ, τ, > τ τ τ,

27 Θεωρί γι τις εξετάσεις 7 Πίκς ρχικώ συρτήσεω Συάρτηση c F,,, \, Μι ρχική της F, c στθερά F F F, ή ln F F F F e F e, F ln