Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ"

Transcript

1 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι, ώστε έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο R, με το μηδέ είι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έ το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού Υπάρχει έ στοιχείο i τέτοιο ώστε i = Κάθε στοιχείο z του C γράφετι κτά μοδικό τρόπο με τη μορφή z=+i, όπου,r Σημείωση: Α z=+i, το λέγετι πργμτικό μέρος του z κι συμολίζετι με Rez, δηλδή Rez= κι το λέγετι φτστικό μέρος του z κι συμολίζετι με Imz, δηλδή Imz= Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί +i κι γ+δi είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός ι- σούτι με μηδέ; Δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι ίσοι, κι μόο γ κι δ Δηλδή ισχύει: i γ δi γ κι δ Επομέως, επειδή i, έχουμε: i κι 3 Τι είι εικό εός μιγδικού ριθμού κι τι είι το μιγδικό επίπεδο; Κάθε μιγδικό ριθμό +i μπορούμε το τιστοιχίσουμε στο σημείο Μ, εός κρτεσιού επιπέδου Αλλά κι τιστρόφως, κάθε σημείο Μ, του κρτεσιού επιπέδου μπορούμε το τιστοιχίσουμε στο μιγδικό +i Το σημείο Μ λέγετι εικό του μιγδικού +i Α θέσουμε z=+i, τότε το σημείο Μ, μπορούμε το συμολίσουμε κι με Μz Έ κρτεσιό επίπεδο του οποίου τ σημεί είι εικόες μιγδικώ ριθμώ θ φέρετι ως μιγδικό επίπεδο Ο άξος λέγετι πργμτικός άξος, φού ήκου σε υτό τ σημεί Μ, που είι εικόες τω πργμτικώ =+i, εώ ο άξος y y λέγετι φτστικός άξος, φού σε υτό ήκου τ σημεί Μ, που είι εικόες τω φτστικώ i=+i Ές μιγδικός z=+i πριστάετι επίσης κι με τη διυσμτική κτί, του σημείου Μ, Επιμέλει : Κμπελής Ηλίς - Μθημτικός

2 4 Τι λέγετι συζυγής εός μιγδικού ριθμού; Θεωρί γι τις εξετάσεις Α z=+i τότε ο μιγδικός i λέγετι συζυγής του z κι συμολίζετι με z Δηλδή είι z i i 5 Πως ορίζετι η δύμη μιγδικού; Ορίζουμε: z z, z z z,, κι γεικά z z z, γι κάθε κέριο, με Α z, ορίζουμε z, z z γι κάθε θετικό κέριο Ισχύει : i 3, i i, i, i i i i Γεικά =4ρ+υ, όπου ρ το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της Ευκλείδεις διίρεσης του με το 4, τότε: i i i i i i i i, i,, i, Ποιες είι οι ιδιότητες τω συζυγώ μιγδικώ; z z z z 3 z z z z 4 z z z z 5 z z z z 6 z z z z v 7 z z v 7 Πως ορίζετι το μέτρο μιγδικού; Έστω M,y η εικό του μιγδικού z=+yi στο μιγδικό επίπεδο Oy Ορίζουμε ως μέτρο του z τη πόστση του Μ πό τη ρχή τω ξόω O, δηλδή: z OM y 8 Ποιες είι οι ιδιότητες του μέτρου; z z z z z z 3 z z z 4 z z z z z 5 z z z z z z τριγωική ισότητ 6 MM z z, όπου Μ, Μ οι εικόες τω z, z, δηλδή :το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους 9 Τι πριστάου γεωμετρικά οι εξισώσεις: zz =ρ, ρ> κι zz = zz ; Η εξίσωση z z ρ, ρ πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο K z κι κτί ρ, εώ η εξίσωση z z z z, τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ A z κι B z Σημείωση: Η εξίσωση z z z z με > κι z z πριστάει έλλειψη με εστίες τ σημεί A z κι B z μεγάλο άξο ίσο με Α z z πριστάει το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ, εώ z z είι κεό σύολο Η εξίσωση z z z z, > πριστάει υπερολή με εστίες τ σημεί A z κι B z

3 Θεωρί γι τις εξετάσεις 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Τι οομάζουμε συάρτηση; Έστω Α έ υποσύολο του R Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί, με τη οποί κάθε στοιχείο οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με Τι οομάζουμε σύολο τιμώ μις συάρτησης; Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό y Το y συμολίζετι με A Είι δηλδή: A { y y γι κάποιο A} Τι οομάζουμε γρφική πράστση συάρτησης; A, λέγετι σύολο τιμώ της κι Έστω συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι Oy έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M, y γι τ οποί ισχύει y, δηλδή το σύολο τω σημείω M,, A, λέγετι γρφική πράστση της κι συμολίζετι με 3 Πότε δυο συρτήσεις λέγοτι ίσες; C Δύο συρτήσεις κι g λέγοτι ίσες ότ έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε g A ισχύει 4 Πως ορίζοτι οι πράξεις μετξύ συρτήσεω; Ορίζουμε ως άθροισμ, διφορά, γιόμεο κι πηλίκο, τίστοιχ, δύο συρτήσεω, g τις συρτήσεις με τύπους: g g, g g, g g, g Το πεδίο ορισμού τω g g, g κι g είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι g τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της g είι το σύολο { A κι B, με g } 5 Τι οομάζουμε σύθεση συρτήσεω; Α, g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της με τη g, κι τη συμολίζουμε με g, τη συάρτηση με τύπο: g g Το πεδίο ορισμού της g ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είι το σύολο A B /

4 Θεωρί γι τις εξετάσεις 4 6 Τι λέγετι γησίως ύξουσ κι τι γησίως φθίουσ συάρτηση; Μι συάρτηση λέγετι: γησίως ύξουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε ισχύει: γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε ισχύει:, Δ με, Δ με 7 Πότε μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο κι πότε ελάχιστο; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, ότ γι κάθε A A ολικό ελάχιστο, το, ότ γι κάθε A Το ολικό μέγιστο κι το ολικό ελάχιστο, εφόσο υπάρχου, λέγοτι ολικά κρόττ της 8 Πότε μι συάρτηση λέγετι έ προς έ; Μι συάρτηση : A R λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή:, τότε Ισοδύμος ορισμός: Μι συάρτηση : A R είι συάρτηση, κι μόο γι ο- ποιδήποτε, A ισχύει :, τότε Σχόλι: Κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση μις συάρτησης το πολύ σε έ σημείο της Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη τότε είι συάρτηση Το τίστροφο ΔΕΝ ισχύει, δηλδή μι συάρτηση είι τότε δε είι πρίτητ γησίως μοότοη 3 Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση =y έχει κριώς μι λύση ως προς 9 Τι οομάζουμε τίστροφη συάρτηση κι τι σχέση έχου οι γρφικές πρστάσεις δύο τίστροφω συρτήσεω; Έστω μι συάρτηση : A R Τότε γι κάθε στοιχείο y του συόλου τιμώ, A, της υ- πάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει y Επομέως ορίζετι μι συάρτηση g : A R με τη οποί κάθε y A τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει y H g λέγετι τίστροφη συάρτηση της κι συμολίζετι με Επομέως έχουμε y y

5 Από το ορισμό προκύπτου οι σχέσεις:, A κι Θεωρί γι τις εξετάσεις y y, y A 5 Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί y= που διχοτομεί τις γωίες Oy κι Oy ΟΡΙΑ Ποιες είι οι άμεσες συέπειες του ορισμού του ορίου; h h Πως συδέετι το όριο με τ πλευρικά όρι; Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,,, τότε ισχύει η ισοδυμί: Ποιες ισότητες ισχύου στ όρι; όριο κι διάτξη Α, τότε εώ, τότε, κοτά στο Α οι συρτήσεις, g έχου όριο στο κι ισχύει g κοτά στο, τότε g 3 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω το τείει στο ; Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι g στο, τότε: g g κ κ, γι κάθε κ R 3 g g 4, εφόσο g g g 5 6 k k, ότ κοτά στο 7 [ ], N * 4 Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συρτήσεις, g, h Α h g κοτά στο κι h g, τότε 5 Ποι είι τ σικά τριγωομετρικά όρι; ημ γ συ δ

6 6 Πως υπολογίζουμε το όριο σύθετης συάρτησης; Θεωρί γι τις εξετάσεις 6 Γι υπολογίσουμε το g ως εξής:, της σύθετης συάρτησης g στο σημείο, τότε εργζόμστε Θέτουμε u g κι υπολογίζουμε το u g κι το u uu υπάρχου Αποδεικύετι ότι, g u κοτά στο, τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με, δηλδή ισχύει: g u uu 7 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω το τείει στο ; Α, τότε, εώ, τότε κοτά στο Α, τότε, εώ, τότε Α ή, τότε Α κι κοτά στο, τότε, εώ κοτά στο, τότε Α ή, τότε κι, τότε k κι γεικά, * κι γεικά, εώ κι *, δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της *, Όριο θροίσμτος κι γιομέου Το όριο της είι: R R κι το όριο της g είι: τότε το όριο της g είι: ; ; Το όριο της είι: κι το όριο της g είι: τότε το όριο της g είι: > < > < ; ; + +

7 κι,, -, Θεωρί γι τις εξετάσεις 7 άρτιος * κι, περιττός, P κι P,, lg, lg 8 Πότε η λέγετι συεχής στο ; Έστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο, ότ : 9 Πότε η λέγετι συεχής στο πεδίο ορισμού της; Ότ η είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της Ειδικότερ : Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, κι επιπλέο : κι 3 Τι γωρίζετε γι τις πράξεις μετξύ συεχώ συρτήσεω; Α οι συρτήσεις κι g είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: g, c, όπου c R, g,, κι g με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους g είι συεχής στο Σχόλι: Κάθε πολυωυμική συάρτηση P είι συεχής, φού γι κάθε R ισχύει P P Κάθε ρητή συάρτηση P Q είι συεχής, φού γι κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει P P Q Q γ Οι συρτήσεις κι g είι συεχείς, φού γι κάθε R ισχύει κι δ Οι συρτήσεις κι g lg, < είι συεχείς ε Α μι συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο, τότε η σύθεση τους g είι συεχής στο

8 3 Ν διτυπώσετε το θεώρημ Blzan Θεωρί γι τις εξετάσεις 8 Έστω μι συάρτηση, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α η είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, τέτοιο, ώστε 3 Ν δώσετε τη γεωμετρική ερμηεί του θεωρήμτος Blzan Α ισχύου οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος Blzan, μις συεχούς συάρτησης στο διάστημ [,], τότε τ σημεί Α, κι Β, ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο Έτσι η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο Σχόλι: Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Δ, ή είι ρητική γι κάθε Δ, δηλδή η διτηρεί στθερό πρόσημο στο διάστημ Δ Γι προσδιορίσουμε το πρόσημο μις συεχούς συάρτησης σε κθέ πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της κολουθούμε τ εξής ήμτ: Βρίσκουμε τις ρίζες της Λύουμε τη εξίσωση = Σε κθέ πό τ υποδιστήμτ που ορίζου οι διδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έ ριθμό κι ρίσκουμε το πρόσημο της στο ριθμό υτό Το πρόσημο υτό είι κι το πρόσημο της στο τίστοιχο διάστημ 33 Πως σχετίζετι η συέχει με τ διστήμτ; Η εικό Δ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ 34 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέγιστης - Ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η πίρει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή υπάρχου, [,] τέτοι, ώστε m= κι M=, ισχύει m M, γι κάθε [,] 35 Ποιο είι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης ορισμέης σε διάστημ; Α μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α, Β, όπου Α κι B Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B, A Αάλογ συμπεράσμτ έχουμε κι ότ μι συάρτηση είι συεχής κι γησίως μοότοη σε διστήμτ της μορφής [, ], [, κι, ]

9 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Θεωρί γι τις εξετάσεις 9 36 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο κι τι οομάζουμε πράγωγο της στο ; Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμολίζετι με Δηλδή: 37 Πως ορίζετι η εφπτομέη στο σημείο A, της C ; Έστω μι συάρτηση κι A, έ σημείο της C Α υπάρχει το κι είι ο πργμτικός ριθμός, τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ= C στο σημείο της Α, τη ευθεί ε που Επομέως, η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A, είι y ' Σχόλιο: Το συτελεστή διεύθυσης λ= της εφπτομέης ε στο σημείο A, το οομάζουμε κι κλίση της C στο Α ή κλίση της στο 38 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο, Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη στο, κι επιπλέο ισχύει R κι R 39 Τι είι η πράγωγος συάρτηση; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A το σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο, ορίζουμε τη συάρτηση : A R, ωστε : η οποί οομάζετι πράγωγος της

10 Θεωρί γι τις εξετάσεις 4 Τι οομάζουμε ρυθμό μετολής του y ως προς το ; Α δύο μετλητά μεγέθη, y συδέοτι με τη σχέση y, ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του y ως προς το στο σημείο τη πράγωγο 4 Πως πργωγίζετι μι σύθετη συάρτηση κι ποιος είι ο κός λυσίδς; Α η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο g, τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει g g g Γεικά, μι συάρτηση g είι πργωγίσιμη σ έ διάστημ Δ κι η είι πργωγίσιμη στο gδ, τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει Δηλδή, u=g, τότε: u u u g g g Με το συμολισμό του Leibniz, y=u κι u=g, έχουμε το τύπο ως κός λυσίδς 4 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Rlle dy dy du που είι γωστός d du d Α μι συάρτηση είι συεχής στο κλειστό διάστημ [, ], πργωγίσιμη στο οικτό, κι τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ 43 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Rlle Το Θεώρημ Rlle γεωμετρικά, σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ, ξ y Μξ,ξ Α, Β, είι πράλληλη στο άξο τω O ξ ξ 44 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΤ Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ

11 45 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής Θεωρί γι τις εξετάσεις Γεωμετρικά, το ΘΜΤ σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο y Mξ,ξ Β, M ξ, ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ A, Ο a ξ ξ 46 Τι οομάζουμε τοπικό μέγιστο κι τι τοπικό ελάχιστο της ; Μι συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο πάρχει δ, τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ, δ A τοπικό μέγιστο, ότ υ- Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το τοπικό μέγιστο της Μί συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο υπάρχει δ, τέτοιο ώστε :, γι κάθε A δ, δ A τοπικό ελάχιστο, ότ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το τοπικό ελάχιστο της 47 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε: 48 Ποι σημεί μις συάρτησης λέγοτι κρίσιμ σ έ διάστημ Δ; Κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ λέγοτι τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ 49 Ποιες είι οι πιθές θέσεις τω τοπικώ κροτάτω μις συάρτησης ; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ, λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 5 Τι γωρίζετε γι τη πράγωγο συάρτησης στο σημείο που προυσιάζει - κρόττο σε εσωτερικό σημείο διστήμτος Δ; Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη σ υτό, τότε:

12 5 Πότε μι συάρτηση οομάζετι κυρτή κι πότε κοίλη; Θεωρί γι τις εξετάσεις Έστω μί συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ, η είι γησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ, η είι γησίως φθίουσ στο εσωτερικό του Δ Σχόλι: Α η είι κυρτή σ έ διάστημ Δ τότε η είι γησίως ύξουσ συάρτηση εώ, η είι κοίλη στο Δ τότε η είι γησίως φθίουσ συάρτηση Α μι συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σ έ διάστημ Δ, τότε η εφπτομέη της C σε κάθε σημείο του Δ ρίσκετι κάτω τιστοίχως πάω πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής της 5 Πως σχετίζετι η δεύτερη πράγωγος με τη κυρτότητ; Έστω μι συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι κυρτή στο Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι κοίλη στο Δ Σχόλιο: Το τίστροφο της πρπάω πρότσης θεωρήμτος δε ισχύει, δηλδή η είι κυρτή ή κοίλη στο Δ, τότε δε είι πρίτητ ή τίστοιχ Μπορεί ισχύει ή τίστοιχ 53 Τι οομάζουμε σημείο κμπής της γρφικής πράστσης μις συάρτησης; Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο, κι κοίλη στο,, ή τιστρόφως, κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A,, τότε το σημείο A, οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της 54 Πως σχετίζετι η με το σημείο κμπής; Α το A, είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ, κι, Α η λλάζει πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της C στο A,, τότε το A, είι σημείο κμπής

13 Θεωρί γι τις εξετάσεις 55 Τι οομάζουμε κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; 3 Α έ τουλάχιστο πό τ όρι, είι ή, τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της 56 Τι οομάζουμε οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; Α τιστοίχως, τότε η ευθεί y λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο 57 Τι οομάζουμε πλάγι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; Η ευθεί y λ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, [ λ ] κι στο [ λ ] 58 Πως προσδιορίζουμε τη σύμπτωτη πλάγι ή οριζότι της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ; Η ευθεί y=λ+ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συάρτησης στο, τιστοίχως στο, κι μόο R κι R, τιστοίχως R κι R Σχόλι στις σύμπτωτες: Οι πολυωυμικές συρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του δύο δε έχου σύμπτωτες Οι ρητές συρτήσεις P, με θμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστο κτά δύο του Q θμού του προομστή, δε έχου πλάγιες σύμπτωτες γ Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: - Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι - Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δε είι συεχής - Στο,, εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής,, τιστοίχως, 59 Ποιοι είι οι κόες De l Hspital; Α, g, R {, } κι υπάρχει το g πεπερσμέο ή άπειρο, τότε: g g

14 Α, g, R {, } κι υπάρχει το Θεωρί γι τις εξετάσεις 4 πεπερσμέο ή άπει- g ρο, τότε: g g Σχόλι: Οι πρπάω κόες ισχύου κι γι τις μορφές,, Οι πρπάω κόες ισχύου κι γι πλευρικά όρι κι μπορούμε, χρειάζετι, τους εφρμόσουμε περισσότερες φορές, ρκεί πληρούτι οι προϋποθέσεις τους ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6 Τι οομάζουμε Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ; Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F, γι κάθε Δ 6 Τι οομάζουμε ορισμέο ολοκλήρωμ της στο [,] ; Α η είι συεχής στο [,] τότε ορίζουμε : d Επίσης ορίζουμε : d d κι d 6 Ποιες είι οι ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώμτος; Έστω, g συεχείς συρτήσεις στο [, ] κι λ, μ R Τότε ισχύου λ d λ d [ g ] d d 3 [ μg ] d λ d μ λ g d g d 4 Α η είι συεχής σε διάστημ Δ κι,,, τότε ισχύει: γ d d d γ 5 Έστω μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, ] Α γι κάθε [, ] κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό, τότε d 63 Τι γωρίζετε γι τη συάρτηση F = tdt ; Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση F t dt, Δ, είι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: t dt, γι κάθε Δ a

15 Θεωρί γι τις εξετάσεις 5 64 Ποιος είι ο τύπος της Ολοκλήρωσης κτά πράγοτες στ ορισμέ ολοκληρώμτ; g d [ g ] g d 65 Ποιος είι ο τύπος της Ολοκλήρωσης με τικτάστση στ ορισμέ ολοκληρώμτ; Ισχύει : u g g d u du, όπου, g είι συεχείς συρτήσεις, u g, du g d κι u g, u g u 66 Πως ορίζετι το εμδό ΕΩ εός χωρίου που περικλείετι πό τις ευθείες =, = κι τις γρφικές πρστάσεις τω κι g; Ισχύει : E Ω g d

16 Θεωρήμτ με ποδείξεις Θεωρί γι τις εξετάσεις 6 Ν ποδείξετε ότι η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ +i κι γ+δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α Μ, κι Μ γ,δ είι οι εικόες τω +i κι γ+δi τίστοιχ στο μιγδικό επίπεδο τότε το άθροισμ: +i+γ+δi=+γ++δi πριστάετι με το σημείο Μ+γ, +δ Επομέως Ν ποδείξετε ότι η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ +i κι γ+δi είι η διφορά τω διυσμτικώ κτίω τους Η διφορά +iγ+δi=γ+δ πριστάετι με το σημείο Νγ, δ Επομέως 3 Ν ποδείξετε ότι +iγ+δi=γδ+δ+γi Έχουμε: i i i i i i i i i i i i i i i 4 Ν εκφράσετε το πηλίκο +i, όπου γ+δi, στη μορφή κ+λi γ + δi Απάτηση Πολλπλσιάζουμε τους όρους του κλάσμτος με το συζυγή του προομστή κι έχουμε: i i i i i i i i Δηλδή i i i

17 Θεωρί γι τις εξετάσεις 5 Α z =+i κι z =γ+δi είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: z z z z 7 z z i γ δi γ δ i γ δ i i γ δi z z 6 Ν λύσετε τη εξίσωση z +z+γ= με zc,,,γr, κι Δ< Απάτηση Εργζόμστε όπως στη τίστοιχη περίπτωση στο R κι τη μετσχημτίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετράγωου, στη μορφή z 4, όπου Δ= 4γ η δικρίουσ της εξίσωσης Επειδή i i η εξίσωση γράφετι: 4 4 i z Άρ οι λύσεις της είι: z, i οι οποίες είι συζυγείς μιγδικοί Σημείωση: Κι στη δευτεροάθμι εξίσωση με άγωστο μιγδικό ριθμό κι συτελεστές πργμτι- κούς ισχύου οι τύποι του Vieta, δηλδή z z κι z z 7 Α z, z είι μιγδικοί ριθμοί, τότε: z z z z Πράγμτι, έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική 8 Δείξτε ότι : P P Έστω το πολυώυμο P κι Σύμφω με τις ιδιότητες τω ορίω έχουμε: P R P

18 P P 9 Δείξτε ότι :, εφόσο Q Q Q Θεωρί γι τις εξετάσεις 8 Έστω η ρητή συάρτηση P, όπου P, Q πολυώυμ του κι ο R με Q Τότε, Q P P P Q Q Q Έστω μι συάρτηση, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [,] Α η είι συεχής στο [,] κι δείξτε ότι, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι υπάρχει ές, τουλάχιστο,, ώστε Ας υποθέσουμε ότι Τότε θ ισχύει η Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g η, [, ], πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [, ] κι g g, φού g η κι g η Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Blzan, υπάρχει, τέτοιο, ώστε g η, οπότε η Σχόλιο Α μι συάρτηση δε είι συεχής στο διάστημ [,], τότε, όπως φίετι κι στο διπλό σχήμ, δε πίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές Α η είι πργωγίσιμη στο σημείο ο, τότε είι κι συεχής σ υτό Γι έχουμε, Οπότε [ ], φού η είι πργωγίσιμη στο Άρ,, δηλδή η είι συεχής στο

19 Θεωρί γι τις εξετάσεις 9 Προσοχή!!! Το τίστροφο δε ισχύει πάτ, δηλδή: Α μι συάρτηση είι συεχής, τότε δε είι πρίτητ κι πργωγίσιμη Α μι συάρτηση δε είι συεχής τότε δε είι κι πργωγίσιμη, γιτί ήτ πργωγίσιμη τότε θ ήτ κι συεχής Έστω η στθερή συάρτηση c, c R Δείξτε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει, δηλδή c = Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει: c c Επομέως,, δηλδή c 3 Έστω η συάρτηση Δείξτε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει, δηλδή = Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει: Επομέως,, δηλδή 4 Έστω η συάρτηση, R {, } Δείξτε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει, δηλδή Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει:, οπότε:, δηλδή

20 Θεωρί γι τις εξετάσεις 5 Έστω Δείξτε ότι γι κάθε, ισχύει Πράγμτι, είι έ σημείο του,, τότε γι ισχύει:, Οπότε, δηλδή 6 Α οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση +g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: g g Γι,ισχύει: g g g g g g Επειδή οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιμες στο, έχουμε: g g g g g, Δηλδή : g g 7 Α οι συρτήσεις, g, h είι πργωγίσιμες τότε ισχύει: g h g h g h g h Είι: g h g h g h g h g g h g h g h g h g h 8 Έστω η συάρτηση, * Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει, δηλδή Πράγμτι, γι κάθε * R έχουμε:

21 Θεωρί γι τις εξετάσεις Είδμε, όμως, πιο πρι ότι κ κ κ, γι κάθε φυσικό Επομέως, N {, }, τότε: 9 Έστω η συάρτηση =εφ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο D R { / } κι ισχύει, δηλδή : ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ εφ συ συ συ συ ημ συ συ Η συάρτηση, R Z είι πργωγίσιμη στο,+ κι ισχύει, δηλδή Πράγμτι, y ln e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u y e Επομέως, u u ln y e e u e Η συάρτηση, > είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ln, δηλδή : ln Πράγμτι, y ln e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u y e Επομέως, u u ln y e e u e ln ln Η συάρτηση ln ln, R * είι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει Πράγμτι:, τότε ln ln ln, εώ, τότε : ln, οπότε, θέσουμε y ln κι u, έχουμε y ln u Επομέως, y ln u u κι άρ u ln

22 Θεωρί γι τις εξετάσεις 3 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι = γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε, Δ ισχύει Πράγμτι Α, τότε προφώς Α, τότε στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ξ, οπότε, λόγω της, είι Α, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι 4 Έστω δυο συρτήσεις, g ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι,g είι συεχείς στο Δ κι g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει: g c Η συάρτηση g είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει g g Επομέως, σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση g είι στθερή στο Δ Άρ, υ- πάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει g c, οπότε g c 5 Έστω μι συάρτηση, η οποί είι συεχής σε έ διάστημ Δ Α σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ Α σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως φθίουσ σε όλο το Δ Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι Έστω, Δ με Θ δείξουμε ότι Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ, οπότε έ- χουμε ξ Επειδή ξ κι, έχουμε, οπότε

23 Στη περίπτωση που είι εργζόμστε λόγως Θεωρί γι τις εξετάσεις 3 Σχόλιο: Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ισχύει Δηλδή η είι γησίως ύξουσ ή φθίουσ στο Δ, η πράγωγός της δε είι υποχρεωτικά θετική ή ρητική τίστοιχ στο εσωτερικό του Δ Μπορεί ισχύει ή 6 Θεώρημ Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη σ υτό, τότε: Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε δ, δ Δ κι, γι κάθε δ, δ Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιμη στο, ισχύει Επομέως, δ,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε, δ, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη 3 Έτσι, πό τις κι 3 έχουμε 7 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του στο i Α ' της ii Α ', τότε το είι τοπικό ελάχιστο της, στο οποίο η είι συεχής κι ', στο iii Α η ' κι ', στο, στο διτηρεί πρόσημο στο,, κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο,,, τότε το είι τοπικό μέγιστο, τότε το δε είι τοπικό

24 i Επειδή ' Θεωρί γι τις εξετάσεις γι κάθε κι η είι συεχής στο, η είι γησίως ύξουσ στο, Έτσι έχουμε, γι κάθε, Επειδή γι κάθε κι η είι συεχής στο, η είι γησίως φθίουσ στο Έτσι έχουμε, γι κάθε,, Επομέως λόγω τω κι, ισχύει: γι κάθε,, που σημίει ότι το μέγιστο της στο, κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii Εργζόμστε λόγως iii Έστω ότι γι κάθε,,,, 4 είι Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ, κι, Επομέως γι της ισχύει Άρ το δε είι τοπικό κρόττο Θ δείξουμε, τώρ ότι η είι γησίως ύξουσ στο, Πράγμτι, έστω,, Α, επειδή η είι γησίως ύξουσ στο, θ ισχύει,,, με Α,,, επειδή η είι γησίως ύξουσ στο, θ ισχύει Τέλος, τότε όπως είδμε, Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει Ομοίως, γι κάθε,,, οπότε η είι γησίως ύξουσ στο, 8 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της στο Δ, τότε: όλες οι συρτήσεις της μορφής G F c, cr, είι πράγουσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή G F c, cr Κάθε συάρτηση της μορφής G F c, όπου c R, είι μι πράγουσ της στο Δ, φού G F c F, γι κάθε Δ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε Δ ισχύου F κι G, οπότε G F, γι κάθε Δ Άρ υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G F c, γι κάθε Δ

25 Θεωρί γι τις εξετάσεις 5 9 Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση Δηλδή ισχύει: F t dt, Δ, είι μι πράγουσ της στο Δ t dt, γι κάθε Δ a Εποπτικά το συμπέρσμ του πρπάω θεωρήμτος προκύπτει ως εξής: h F h F t dt Εμδό του χωρίου Ω h, γι μικρά F h F h Άρ, γι μικρά h είι,οπότε h F h F F h h 3 Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [,] Α G είι μι πράγουσ της στο [,], τότε t dt G G Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση F t dt είι μι πράγουσ της στο [, ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [, ], θ υπάρχει c R τέτοιο, ώστε : G F c Από τη, γι, έχουμε G F c t dt c c, οπότε c G Επομέως, G F G, οπότε, γι, έχουμε G F G t dt G κι άρ t dt G G

26 Θεωρί γι τις εξετάσεις 6 Κόες πργώγισης g g c c g g g g g g g g g Πράγωγοι σικώ συρτήσεω Πράγωγοι σύθετω c'= συρτήσεω '= v v, v v v γι κάθε > v v, με με ημ'=συ ημ συ συ'=ημ ln, ln εφ εφ συ σφ σφ ημ συ ημ ln, ln συ εφ σφ ημ e e, > ln τ τ e e, > ln τ, τ, > τ τ τ,

27 Θεωρί γι τις εξετάσεις 7 Πίκς ρχικώ συρτήσεω Συάρτηση c F,,, \, Μι ρχική της F, c στθερά F F F, ή ln F F F F e F e, F ln

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών Μθημτικά Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθµώ Το σύολο τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχλγικής Κτεύθυσης Μθημτικά Γ Λυκείυ Θεωρί ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: inf@iliasks.gr www.iliasks.gr Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ Τ σύλ C τω

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία Θάση Π. Ξέου Απρίτητο βοήθημ γι κάθε μθητή Λυκείου Ορισμοί τω εοιώ Τύποι κι ιδιότητες Βσική μεθοδολογί ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Πρόλογος Τ ο βιβλιράκι που κρτάς στ χέρι σου, μοδικό στη ελληική βιβλιογρφί, θ σου φεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει: Ν γωρίζει τις συρτήσεις f( )=, f( )= log, τις βσικές τους ιδιότητες κι μπορεί τις σχεδιάζει. Ν μπορεί επιλύει εκθετικές εξισώσεις, ισώσεις κι εκθετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία της Α Λυκείου

Η θεωρία της Α Λυκείου Η θεωρί της Α Λυκείου Τι λέγετι σύολο; Σύολο είι κάθε συλλογή τικειμέω, που προέρχοτι πό τη εμπειρί μς ή τη διόησή μς, είι κλά ορισμέ κι δικρίοτι το έ πό το άλλο. Τ τικείμε υτά, που ποτελού το σύολο, οομάζοτι

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Μπορεί πρχθεί κι διεμηθεί ελεύθερ ρκεί διτηρηθεί η μορφή του. Προλεγόμε Η διδσκλί ποδείξεω στη Άλγεβρ της Α Τάξης μπορεί υποβοηθηθεί ο δάσκλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 01 Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β)

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β) οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) τυτότητες (+) + + (+) + + + + +(+) + (+) + (+) (+) (+)() + (+)( + ) ()( ++ ) (++γ) + +γ ++γ+γ + +γ γ (++γ)( () +(γ) +(γ) ) (++γ)( + +γ γγ) ()( + + + ) Ν + (+)( + +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α} 1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμβουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

x 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων αριθμών είναι ομοιοτρόπως άνισες: Αν α, β ε IR

x 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων αριθμών είναι ομοιοτρόπως άνισες: Αν α, β ε IR Σερίφης Κωννος Α. Βσικές γνώσεις Τυτότητες ± ) ± + ± ) 3 3 ± 3 +3 ± 3 + ± ) ++γ) + +γ ++γ+γ - -)+) 3-3 -) ++ ) ν - ν -) ν- + ν- + + ν- + ν- ) 3 + 3 +) -+ ) ν + ν +) ν- - ν- + - ν- + ν- ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ν ΠΕΡΙΤΤΟ.

Διαβάστε περισσότερα

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: 0 < 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ 1. 0 Όλες οι πόλυς τιμές είι θετικές ή μηδέ ( 0 0). 3.. Οι τίθετοι ριθμοί (ποσότης) έχου τη ίδι πόλυτη τιμή. 5. 6. θ ±θ με θ >

Διαβάστε περισσότερα

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία.

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4. Α) νι Β) όχι 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4.4 δες ντίστοιχη θεωρί 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ 4. 6 f d f ()g()d f()g() f()g ()d f()d f () f()d f () () () f(g())d f(g( ())

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21)

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21) È Ö Ñ Ø Ä Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ ¾½ÆÓ Ñ ÖÓÙ¾¼¼ È Ö ØÛÔ Ö Ð Ñ ÒÓÒØ Ñ Ö ÔÖÓØ Ñ Ö Ð ÑÑ Ø ÕÖ Ñ È ÖÐ Ý Ø Ü Ø ØÓÑ Ñ Ø ÙÒ Ø ³ÄÙ ÓÙº Σημειωση Αν κποι προτση πο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειζετι ποδειξη. Εξιρεση ποτελουν

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Αφού είναι x α > 0, από την τελευταία προκύπτουν όλες οι προς απόδειξη ανισότητες.

Αφού είναι x α > 0, από την τελευταία προκύπτουν όλες οι προς απόδειξη ανισότητες. I Βσικά συμπεράσμτ Στις σκσεις που κολουθούν θ χρησιμοποισουμε τ επόμεν βσικά συμπεράσμτ Α, Β κι Γ: Α Έστω R κι :[,+)R συνάρτηση τέτοι, ώστε συνεχς στο [,+), πργωγίσιμη στο (,+) κι () = Ν ποδειχθεί ότι:

Διαβάστε περισσότερα