ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Transcript

1 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με τ σημεί εός άξο, του άξο τω πργμτικώ ριθμώ. Θυμίζουμε ότι: Κάθε ρητός ριθμός έχει (ή μπορεί πάρει) κλσμτική μορφή, δηλδή τη μορφή, όπου, κέριοι, με 0. Κάθε ρητός ριθμός μπορεί γρφεί ως δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός κι, τιστρόφως, κάθε δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός μπορεί πάρει κλσμτική μορφή. Γι πράδειγμ, 14,8 5, , 5, 5, , 5 0,5 κι, Μπορούμε δηλδή πούμε ότι οι ρητοί ριθμοί ποτελούτι πό τους δεκδικούς κι τους περιοδικούς δεκδικούς ριθμούς. Υπάρχου όμως κι ριθμοί, όπως οι,,, κτλ., που δε μπορού πάρου τη μορφή, όπου, κέριοι, με 0(ή, με άλλ λόγι, δε μπορού γρφού ούτε ως δεκδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκδικοί). Οι ριθμοί υτοί λέγοτι άρρητοι ριθμοί.

2 0 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πράξεις Στους πργμτικούς ριθμούς ορίστηκ οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού κι, με τη οήθειά τους, η φίρεση κι η διίρεση. Γι τη πρόσθεση κι το πολλπλσισμό ισχύου οι ιδιότητες που φέροτι στο επόμεο πίκ, οι οποίες κι ποτελού τη άση του λγερικού λογισμού. Ιδιότητ Πρόσθεση Πολλπλσισμός Ατιμετθετική = Προσετιριστική γ γ γ Ουδέτερο Στοιχείο Ατίθετος/Ατίστροφος Αριθμού γ Επιμεριστική γ γ 1 1, 0 Στο πίκ υτό, λλά κι στη συέχει του ιλίου, τ γράμμτ που χρησιμοποιούτι πριστάου οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς, ε- κτός δηλώετι διφορετικά. Ο ριθμός 0 λέγετι κι ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, διότι προστιθέμεος σε οποιοδήποτε ριθμό δε το μετάλλει. Επίσης ο ριθμός 1 λέγετι κι ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού, διότι οποιοσδήποτε ριθμός πολλπλσιζόμεος με υτό δε μετάλλετι. ΣΧΟΛΙΟ Η τιμετθετική κι η προσετιριστική ιδιότητ της πρόσθεσης έχου ως συέπει, κάθε άθροισμ με περισσότερους πό δυο προσθετέους, ισούτι με οποιοδήποτε άλλο άθροισμ που σχημτίζετι πό τους ίδιους ριθμούς με οποιδήποτε σειρά κι τους πάρουμε. Γι πράδειγμ, Ομοίως, έ γιόμεο με περισσότερους πό δυο πράγοτες ισούτι με ο- ποιοδήποτε άλλο γιόμεο που μπορεί σχημτισθεί πό τους ίδιους ριθμούς με οποιδήποτε σειρά κι τους πάρουμε. Γι πράδειγμ,

3 1.1 Οι πράξεις κι οι ιδιότητές του 1 (Η πόδειξη τω πρπάω ισχυρισμώ είι ρκετά πολύπλοκη κι πρλείπετι). Η φίρεση κι η διίρεση ορίζοτι με τη οήθει της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού τιστοίχως ως εξής: 1 κι : ( 0) Δηλδή: Γι ρούμε τη διφορά, προσθέτουμε στο μειωτέο το τίθετο του φιρετέου, εώ γι ρούμε το πηλίκο, με 0, πολλπλσιάζουμε το διιρετέο με το τίστροφο του διιρέτη. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Επειδή διίρεση με διιρέτη το μηδέ δε ορίζετι, όπου στο εξής συτάμε το πηλίκο, εοείτι ότι 0 κι δε θ τοίζετι ιδιίτερ. Γι τις τέσσερις πράξεις κι τη ισότητ ισχύου κι οι κόλουθες ιδιότητες που είι γωστές πό το Γυμάσιο: 1. κι γδ γ δ δηλδή, δυο ισότητες μπορούμε τις προσθέσουμε κτά μέλη.. κι γδ γ δ δηλδή, δυο ισότητες μπορούμε τις πολλπλσιάσουμε κτά μέλη.. γ γ δηλδή, μπορούμε κι στ δυο μέλη μις ισότητς προσθέσουμε ή φιρέσουμε το ίδιο ριθμό. 4. Α γ 0, τότε: γ γ δηλδή, μπορούμε κι τ δυο μέλη μις ισότητς τ πολλπλσιάσουμε ή τ διιρέσουμε με το ίδιο μη μηδεικό ριθμό ή 0

4 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ δηλδή, το γιόμεο δύο πργμτικώ ριθμώ είι ίσο με το μηδέ, κι μόο ές τουλάχιστο πό τους ριθμούς είι ίσος με το μηδέ. Άμεση συέπει της ιδιότητς υτής είι η κόλουθη: 00 κι 0 ΣΧΟΛΙΟ Ότ πό τη ισότητ γ γ ή πό τη ισότητ γ γ μετίουμε στη ισότητ, τότε λέμε ότι διγράφουμε το ίδιο προσθετέο ή το ίδιο πράγοτ τιστοίχως. Όμως στη περίπτωση που διγράφουμε το ίδιο πράγοτ πρέπει ελέγχουμε μήπως ο πράγοτς υτός είι ίσος με μηδέ, οπότε εδέχετι οδηγηθούμε σε λάθος, όπως συμίει στο κόλουθο πράδειγμ. Έστω 1. Τότε έχουμε διδοχικά: Όμως έχουμε κι 1, οπότε το 1 θ είι ίσο με το 0. Οδηγηθήκμε στο λθσμέο υτό συμπέρσμ, διότι στη ισότητ διγράψμε το πράγοτ 1 ο οποίος, λόγω της υπόθεσης, ήτ ίσος με μηδέ. Δυάμεις Είι γωστή πό το Γυμάσιο η έοι της δύμης ριθμού με εκθέτη - κέριο. Συγκεκριμέ, ο είι πργμτικός ριθμός κι ο φυσικός, έχουμε ορίσει ότι:, γι 1 κι πράγοτες 1, γι 1. Α επιπλέο είι 0, τότε ορίσμε ότι: 0 1 κι 1

5 1.1 Οι πράξεις κι οι ιδιότητές του ΣΧΟΛΙΟ Εώ είι φερό ότι,, τότε φού γι πράδειγμ είι, λλά., δε ισχύει το τίστροφο, - Στο επόμεο πίκ συοψίζοτι οι ιδιότητες τω δυάμεω με εκθέτη κέριο, με τη προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζοτι οι δυάμεις κι οι πράξεις που σημειώοτι. κ λ κ λ κ κ κ κ λ κλ κ λ κ κ κλ κ Αξιοσημείωτες τυτότητες Η έοι της τυτότητς είι γωστή πό το Γυμάσιο. Συγκεκριμέ, κάθε ισότητ που περιέχει μετλητές κι επληθεύετι γι όλες τις τιμές τω μετλητώ υτώ λέγετι τυτότητ. Στο πίκ που κολουθεί φέροτι οι γωστές μς πιο ξιοσημείωτες τυτότητες: γ γ γ γ

6 4 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μέθοδοι πόδειξης 1 η ) Ευθεί Απόδειξη Έστω ότι γι τρεις πργμτικούς ριθμούς, κι γ ισχύει η συθήκη γ 0 κι θέλουμε ποδείξουμε ότι γ γ, δηλδή έστω ότι θέλουμε ποδείξουμε τη συεπγωγή: Επειδή γ 0 «Α γ 0, τότε γ γ»., είι γ, οπότε θ έχουμε: γ γ γ γ γ γγ γ γ γγ γ γ γ, φού γ. Γι τη πόδειξη της πρπάω συεπγωγής ξεκιήσμε με τη υπόθεση γ 0 κι με διδοχικά ήμτ κτλήξμε στο συμπέρσμ γ γ. Μι τέτοι διδικσί λέγετι ευθεί πόδειξη. ΣΧΟΛΙΑ 1 ο ) Ευθεί πόδειξη χρησιμοποιήσμε κι στο Γυμάσιο γι τη πόδειξη τω γωστώ μς τυτοτήτω. Γι πράδειγμ, γι τη πόδειξη της, με, R, έχουμε διδοχικά: τυτότητς Ορισμός δύμης Επιμεριστική ιδιότητ Επιμεριστική ιδιότητ Αγωγή όμοιω όρω ο ) Γι ποδείξουμε ότι ές ισχυρισμός είι ληθής, μερικές φορές με διδοχικούς μετσχημτισμούς κτλήγουμε σε έ λογικά ισοδύμο ισχυρισμό που είι ληθής. Έτσι συμπερίουμε ότι κι ο ρχικός ι- σχυρισμός είι ληθής. Γι πράδειγμ, έστω ότι γι τους πργμτικούς ριθμούς,, x, y θέλουμε ποδείξουμε τη τυτότητ:

7 1.1 Οι πράξεις κι οι ιδιότητές του 5 Έχουμε διδοχικά: x y x + y y x x y x + y y x x y x y x xy y y xy x x y x y x y x y, που ισχύει. ο ) Γι ποδείξουμε ότι ές ισχυρισμός δε είι πάτ ληθής, ρκεί ρούμε έ πράδειγμ γι το οποίο ο συγκεκριμέος ισχυρισμός δε ισχύει ή, όπως λέμε, ρκεί ρούμε έ τιπράδειγμ. Έτσι ο ισχυρισμός δε είι ληθής, φού γι «γι κάθε 0 ισχύει η ) Μέθοδος της Απγωγής σε Άτοπο 1 έχουμε Έστω ότι θέλουμε ποδείξουμε το ισχυρισμό:», δηλδή 4 1. «Α το τετράγωο εός κερίου ριθμού είι άρτιος, τότε κι ο ριθμός υτός είι άρτιος», δηλδή «Α ο είι άρτιος ριθμός, τότε κι ο είι άρτιος ριθμός» Γι τη πόδειξη του ισχυρισμού υτού σκεπτόμστε ως εξής: Έστω ότι ο δε είι άρτιος. Τότε ο θ είι περιττός, δηλδή θ έχει τη μορφή κ 1, όπου κ κέριος, οπότε θ έχουμε: κ1 4κ 4κ1 κ κ 1 λ 1 (όπου λ κ κ). Δηλδή λ1, λ, που σημίει ότι ο είι περιττός. Αυτό όμως έρχετι σε τίθεση με τη υπόθεση ότι ο είι άρτιος. Επομέως, η πρδοχή ότι δε είι άρτιος είι λθσμέη. Άρ ο είι άρτιος. Στη πρπάω πόδειξη υποθέσμε ότι δε ισχύει υτό που θέλμε - ποδείξουμε κι χρησιμοποιώτς ληθείς προτάσεις φθάσμε σε έ συμπέρσμ που έρχετι σε τίθεση με υτό που γωρίζουμε ότι ισχύει. Οδηγηθήκμε όπως λέμε σε άτοπο.

8 6 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η μέθοδος υτή πόδειξης χρησιμοποιήθηκε γι πρώτη φορά πό τους Αρχίους Έλληες κι λέγετι πγωγή σε άτοπο. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 η Ν ποδειχθού οι εξής ιδιότητες τω λογιώ: γ i) δ γ εφόσο δ 0 δ γ ii) εφόσο γδ 0 δ γ δ γ γδ iii) εφόσο δ 0 δ δ γ γ γ iv) εφόσο δ δ 0 δ δ δ ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Γι δ 0 έχουμε: γ γ δ δ δ γ. δ δ ii) Γι γδ 0 έχουμε: γ δ γ δ γ. δ γδ γδ γ δ iii) Γι δ 0 έχουμε: γ γ γ δ 1 1 δ δ δ γ iv) Γι δ δ 0, θέσουμε λ, έχουμε: δ λ κι γ λδ, οπότε γ λ( δ). γ γ γ Επομέως, λ, δηλδή δ δ δ η Ν ποδειχθεί ότι ο ριθμός είι άρρητος. Στη συέχει, με τη χρήση του κό κι του διήτη, πρστθού οι κι στο άξο τω πργμτικώ ριθμώ.

9 1.1 Οι πράξεις κι οι ιδιότητές του 7 ΑΠΟΔΕΙΞΗ κ Έστω ότι ο είι ρητός. Τότε μπορούμε γράψουμε, όπου κ, λ είι λ φυσικοί ριθμοί κι κ λ άγωγο κλάσμ (δηλδή κλάσμ στο οποίο έχου γίει όλες οι δυτές πλοποιήσεις). Τότε έχουμε διδοχικά: κ λ κ λ κ λ που σημίει ότι ο κ είι άρτιος, οπότε (σελ. 5) κι ο κ είι άρτιος, δηλδή είι της μορφής κ=μ. Τότε έχουμε διδοχικά: κ λ μ λ 4μ λ λ μ Που σημίει ότι ο λ είι άρτιος, άρ κι ο λ είι άρτιος. Αφού λοιπό οι κ, λ είι άρτιοι, το κλάσμ κ λ δε είι άγωγο (άτοπο). Στο σημείο Α του πργμτικού άξο που πριστάει το ριθμό 1 υψώουμε κάθετο τμήμ ΑΒ με μήκος 1. Τότε η υποτείουσ του ορθογωίου τριγώου ΟΑΒ έχει μήκος ίσο με. Στη συέχει με κέτρο το Ο κι κτί ΟΒ = γράφουμε κύκλο ο οποίος τέμει το άξο x x στ σημεί Μ κι M που πριστάου τους - ριθμούς κι τιστοίχως.

10 8 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 4 x Δίετι η πράστση Α xy xy i) Ν δείξετε ότι y 9 9 Α x y. ii) Ν ρείτε τη τιμή της πράστσης γι 1 x 010 κι y Ν ρείτε τη τιμή της πράστσης 1 7 Α : x0, 4 κι y,5. xy x y γι. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις : i) ii) iii) 7, 4, 11, i) Ν δείξετε ότι 4. ii) Ν υπολογίσετε τη τιμή της πράστσης: i) Ν ποδείξετε ότι ii) Ν υπολογίσετε τη τιμή της πράστσης: 1,65 0,65, Ν δείξετε ότι η διφορά τω τετργώω δυο διδοχικώ φυσικώ ριθμώ (του μικρότερου πό του μεγλύτερου) ισούτι με το άθροισμ τους. 7. Α φυσικός ριθμός, δείξετε ότι ο ριθμός 1 είι πολλπλάσιο του 7.

11 1.1 Οι πράξεις κι οι ιδιότητές του 9 Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: i) ii). 1. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις i) 1 1 ii) Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις 1 1 i) x y x y ii) x y x y x y x y Ν δείξετε ότι x y x : y 1. x y x y 5. Έστω, κι γ τ μήκη τω πλευρώ εός τριγώου ΑΒΓ. Ν δείξετε ότι το τρίγωο είι ισόπλευρο σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: i) Α γ. γ ii) Α - -γ γ-. 6. Ν δείξετε ότι, έ ορθογώιο έχει περίμετρο L 4 κι εμδό E, τότε το ορθογώιο υτό είι τετράγωο με πλευρά ίση με. 7. Ν δείξετε ότι: i) Α ρητός κι άρρητος, τότε άρρητος. ii) Α ρητός, με 0, κι άρρητος, τότε άρρητος.

12 1. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Έοι της διάτξης Οι έοιες «μεγλύτερος πό», «μικρότερος πό», που είι γωστές πό το Γυμάσιο, ορίστηκ ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Ές ριθμός λέμε ότι είι μεγλύτερος πό έ ριθμό, κι γράφουμε, ότ η διφορά είι θετικός ριθμός. Στη περίπτωση υτή λέμε επίσης ότι ο είι μικρότερος του κι γράφουμε Από το πρπάω ορισμό προκύπτει μέσως ότι: Κάθε θετικός ριθμός είι μεγλύτερος πό το μηδέ. Κάθε ρητικός ριθμός είι μικρότερος πό το μηδέ. Έτσι ο ρχικός ορισμός γράφετι ισοδύμ: 0 Γεωμετρικά η ισότητ σημίει ότι, πάω στο άξο τω πργμτικώ ο ριθμός είι δεξιότερ πό το. Α γι τους ριθμούς κι ισχύει ή, τότε γράφουμε κι διάζουμε: «μεγλύτερος ή ίσος του». Από το τρόπο με το οποίο γίοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού, προκύπτει ότι: 0 κι κι 0 0, ομόσημοι 0 0, ετερόσημοι 0 0

13 1. Διάτξη πργμτικώ ριθμώ 1 0, γι κάθε Η ισότητ ισχύει μόο ότ 0 Από τη τελευτί εύκολ προκύπτου κι οι ισοδυμίες: κι ή Ιδιότητες τω ισοτήτω Στηριζόμεοι στη ισοδυμί 0, μπορούμε ποδείξουμε τις πρκάτω ιδιότητες τω ισοτήτω: 1. κι γ γ γ γ. Α γ 0, τότε: γ γ Α γ 0, τότε: γ γ κι γδ γ δ. Γι θετικούς ριθμούς,, γ, δ ισχύει η συεπγωγή: κι γδ γ δ Η ιδιότητ. ισχύει κι γι περισσότερες ισότητες. Συγκεκριμέ: κι κι...κι Α, επιπλέο, τ μέλη τω ισοτήτω είι θετικοί ριθμοί, τότε: κι κι...κι (*) Στη συέχει θ ποδείξουμε κι τη πρκάτω ιδιότητ. 4. Γι θετικούς ριθμούς, κι θετικό κέριο ισχύει η ισοδυμί:

14 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω. Τότε, πό τη (*), γι κι , προκύπτει ότι:. Γι τη πόδειξη του τιστρόφου θ χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της πγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπό ότι κι. Τότε: ήτ, πό το ορισμό της ισότητς θ είχμε (άτοπο), εώ ήτ, θ είχμε Άρ,. ( άτοπο). Με τη οήθει της πρπάω ιδιότητς θ ποδείξουμε τώρ ότι: Γι θετικούς ριθμούς, κι θετικό κέριο ισχύει η ισοδυμί: ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω. Τότε, πό το ορισμό της ισότητς προκύπτει, όπως είπμε κι προηγουμέως, ότι. Άρ, Γι τη πόδειξη του τιστρόφου θ χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της πγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπό ότι κι. Τότε: ήτ, λόγω της (4), θ είχμε (άτοπο), εώ ήτ, λόγω της (4), θ είχμε. (άτοπο). ΣΧΟΛΙΑ 1 ο Σύμφω με τη ιδιότητ, δυο ισότητες της ίδις φοράς τις προσθέσουμε κτά μέλη, προκύπτει ισότητ της ίδις φοράς. Δε συμίει όμως το ίδιο με τη φίρεση. Γι πράδειγμ, είι 10 6 κι 7, λλά o Επίσης, σύμφω με τη ιδιότητ, δυο ισότητες της ίδις φοράς με θετικούς, όμως, όρους τις πολλπλσιάσουμε κτά μέλη, προκύπτει ισότητ της ίδις φοράς. Δε συμίει όμως το ίδιο με τη διίρεση. Γι πράδειγμ, είι

15 1. Διάτξη πργμτικώ ριθμώ Διστήμτ κι 6, λλά. 6 Το σύολο τω πργμτικώ ριθμώ x με x λέγετι κλειστό διάστημ πό μέχρι κι συμολίζετι με [, ]. Α τώρ πό το κλειστό διάστημ [, ] πρλείψουμε τ κι προκύπτει το τίστοιχο οικτό διάστημ πό το μέχρι που συμολίζετι με,. Οι ριθμοί κι λέγοτι άκρ τω διστημάτω υτώ κι κάθε - ριθμός μετξύ τω κι λέγετι εσωτερικό σημείο υτώ. Η διφορά δηλδή μετξύ εός κλειστού κι του τίστοιχου οικτού διστήμτος είι ότι το πρώτο περιέχει τ άκρ του, εώ το δεύτερο δε τ περιέχει. Άλλες μορφές διστημάτω είι: Το οικτό δεξιά διάστημ [, ) που ποτελείτι πό τους ριθμούς x γι τους οποίους ισχύει x κι Το οικτό ριστερά διάστημ (, ] που ποτελείτι πό τους - ριθμούς με x γι τους οποίους ισχύει x. Τέλος, υπό μορφή διστήμτος, Το σύολο τω ριθμώ x γι τους οποίους ισχύει x συμολίζετι με [, ), εώ Το σύολο τω ριθμώ x γι τους οποίους ισχύει x συμολίζετι με (, ]. Με άλογο τρόπο ορίζοτι κι τ διστήμτ (, ) κι (, ). Τ σύμολ κι, που διάζοτι «συ άπειρο» κι «πλη άπειρο» τιστοίχως, δε πριστάου πργμτικούς ριθμούς. Στο πρκάτω πίκ συοψίζοτι οι μορφές διστημάτω πργμτικώ ριθμώ κι οι διάφορες πρστάσεις τους:

16 4 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ x [, ] x [, ) x (, ] x (, ) x [, ) x (, ) x (, ] x (, ) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 η Ν ποδειχθεί ότι : i) Α, ομόσημοι ριθμοί, τότε 1 1 ii) Γι όλους τους πργμτικούς ριθμούς, ισχύει iii) Α 0, τότε ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1 i) Αφού, είι ομόσημοι ριθμοί έχουμε 0. Επομέως ισχύει: ii) Έχουμε: 0 0, που ισχύει iii) Έχουμε: , που ισχύει.

17 1. Διάτξη πργμτικώ ριθμώ 5 η Α 1 x κι 4 5 y, ποδειχθεί ότι: x1 y 17 ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1 Από τη ισότητ x έχουμε διδοχικά: x x 6 (1) 5 Ομοίως πό τη y έχουμε διδοχικά: y y<10 81y y<8 () Προσθέτουμε τώρ κτά μέλη τις ισότητες (1) κι (), που έχου τη ίδι φορά, κι έχουμε: 14 8x1y 14, οπότε θ ισχύει: 14 8x1y 14 Άρ 11 8x1y 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Ν ποδείξετε ότι: i) 96 ii). Ν ποδείξετε ότι 1 0. Πότε ισχύει η ισότητ;. Ν ρείτε τους πργμτικούς ριθμούς x κι y σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: i) Α x y 1 0 ii) Α x y x y 4 50

18 6 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4. Α 4,5 x 4,6 κι 5, y 5, 4, ρείτε τ όρι μετξύ τω οποίω περιέχετι η τιμή κθεμιάς πό τις πρστάσεις: x i) x y ii) x y iii) y iv) x y 5. Το πλάτος x κι το μήκος y εός ορθογωίου ικοποιού τις ισότητες x κι y 5. Α υξήσουμε το πλάτος κτά 0, κι ελττώσουμε το μήκος κτά 0,1, ρείτε τις δυτές τιμές: i) της περιμέτρου ii) του εμδού του έου ορθογωίου. 6. Α 0, δείξετε ότι Ν ρείτε το λάθος στους πρκάτω συλλογισμούς: Έστω x 5 Β ΟΜΑΔΑΣ. Τότε έχουμε διδοχικά x 5 5x 5 5xx 5x x 5 x 5x 5x x 5 x Δίοτι έ κλάσμ με θετικούς όρους κι ές θετικός ριθμός γ. Ν ποδείξετε ότι: i) Α 1, τότε ii) Α 1, τότε γ γ γ γ. Α 1, ποδείξετε ότι Α, θετικοί ριθμοί, δείξετε ότι Ν ποδείξετε ότι: i) 0 ii) 0

19 1. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός της πόλυτης τιμής Θεωρούμε έ ριθμό που πριστάετι με το σημείο Α πάω σε έ άξο. Γωρίζουμε πό το Γυμάσιο ότι η πόστση του σημείου Α πό τη ρχή Ο, δηλδή το μήκος του ευθύγρμμου τμήμτος ΟΑ, οομάζετι πόλυτη τιμή του ριθμού κι τη συμολίζετι με. Από το τρόπο με το οποίο κτσκευάστηκε ο άξος προκύπτει ότι: 1 1,, κι γεικά:, γι κάθε Δηλδή: Η πόλυτη τιμή θετικού ριθμού είι ο ίδιος ο ριθμός. 1 1,, κι γεικά:, γι κάθε Δηλδή: Η πόλυτη τιμή ρητικού ριθμού είι ο τίθετός του Επομέως, έχουμε το κόλουθο λγερικό ορισμό της πόλυτης τιμής πργμτικού ριθμού. ΟΡΙΣΜΟΣ Η πόλυτη τιμή εός πργμτικού ριθμού συμολίζετι με κι ορίζετι πό το τύπο:, 0, 0

20 8 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Από τ προηγούμε συμπερίουμε μέσως ότι: 0 κι Γι πράδειγμ, x 5 x5 ή x 5 Α θ 0, τότε: x θ x θ ή x θ x x ή x ή 4 ή Ιδιότητες τω πόλυτω τιμώ Από το τρόπο εκτέλεσης τω πράξεω μετξύ πργμτικώ ριθμώ, προκύπτου γι τις πόλυτες τιμές οι κόλουθες ιδιότητες: 1... Οι ιδιότητες υτές, όμως, μπορού ποδειχθού κι με τη οήθει τω προηγούμεω συμπερσμάτω. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1. Επειδή κι τ δύο μέλη της ισότητς είι μη ρητικοί ριθμοί, έχουμε διδοχικά:. Αποδεικύετι με το ίδιο τρόπο., που ισχύει.

21 1. Απόλυτη τιμή πργμτικού ριθμού 9. Επειδή κι τ δύο μέλη της ισότητς είι μη ρητικοί ριθμοί, έχουμε διδοχικά:, που ισχύει. Είι φερό ότι η ισότητ ισχύει κι μόο 0, δηλδή κι μόο οι ριθμοί κι είι ομόσημοι ή ές τουλάχιστο πό υτούς είι ίσος με μηδέ. ΣΧΟΛΙΟ Η ισότητ ισχύει κι γι περισσότερους πράγοτες. Συγκεκριμέ: Στη ειδική μάλιστ περίπτωση που είι 1..., έχουμε: Η ισότητ ισχύει κι γι περισσότερους προσθετέους. Συγκεκριμέ: Απόστση δυο ριθμώ 1 1 Ας πάρουμε τώρ δυο ριθμούς, γι πράδειγμ τους κι, που πριστάοτι πάω στο άξο με τ σημεί Α κι Β τιστοίχως. Το μήκος του τμήμτος ΑΒ λέγετι πόστση τω ριθμώ κι. Πρτηρούμε ότι ΑΒ 5. Γεικότερ, ς θεωρήσουμε δυο ριθμούς κι που πριστάοτι πάω στο άξο με τ σημεί Α κι Β τιστοίχως.

22 40 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το μήκος του τμήμτος ΑΒ λέγετι πόστση τω ριθμώ κι, συμολίζετι με, d κι είι ίση με. Είι δηλδή: Προφώς ισχύει d, d, d,. Στη περίπτωση μάλιστ που είι, τότε η πόστση τω κι είι ίση με κι λέγετι μήκος του διστήμτος [, ]. Ας θεωρήσουμε τώρ έ διάστημ [, ] κι ς οομάσουμε Α κι Β τ σημεί που πριστάου στο άξο τ άκρ κι τιστοίχως. Α Μ x 0 είι το μέσο του τμήμτος AB, τότε έχουμε ( MA) ( MB) d x, d x, Ο ριθμός 0 0 x0 x0 x0 x0 x0 x0, φού x που τιστοιχεί στο μέσο Μ του τμήμτος ΑΒ λέγετι κέτρο του διστήμτος [, ], εώ ο ριθμός του [, ]. Ως μήκος, κέτρο κι κτί τω διστημάτω 0 ρ λέγετι κτί,, [, ) κι (, ] ορίζουμε το μήκος, το κέτρο κι τη κτί του διστήμτος [, ]. Έστω τώρ ότι θέλουμε ρούμε τους πργμτικούς ριθμούς x γι τους οποίους ισχύει x.

23 1. Απόλυτη τιμή πργμτικού ριθμού 41 Από το ορισμό της πόστσης έχουμε: x d x, x<+ x, Γεικά: Γι x0 κι ρ 0, ισχύει: xx0 ρ x x0 ρ, x0 ρ x ρ x x ρ 0 0 Δηλδή, οι ριθμοί x που ικοποιού τη σχέση x x0 ρ είι τ σημεί του διστήμτος x0 ρ, x0 ρ που έχει κέτρο το x 0 κι κτί ρ. Στη ειδική περίπτωση που είι x0 0, έχουμε: x ρ xρ, ρ ρ x ρ. Γι πράδειγμ, x x, x. Έστω, τώρ, ότι θέλουμε ρούμε τους πργμτικούς ριθμούς x γι τους οποίους ισχύει x. Από το ορισμό της πόστσης έχουμε: x d x, Γεικά: x ή x,, x.

24 4 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Γι x κι ρ 0, ισχύει: 0,, xx ρ x x ρ x ρ x x ρ ή x x ρ 0 0 Δηλδή οι ριθμοί x που ικοποιού τη σχέση x x0 ρ τιστοιχού σε Μ x του άξο σημεί μεγλύτερη του ρ. x x που πέχου πό το σημείο Κ x πόστση 0 Στη ειδική περίπτωση που είι x0 0,η τελευτί ισοδυμί πίρει τη μορφή: x ρ x ρ ή x ρ Γι πράδειγμ: x x ή x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Ν γράψετε τις πρκάτω πρστάσεις χωρίς πόλυτες τιμές. i) π ii) π 4 iii) π 4 π iv).. Α x 4, γράψετε χωρίς τη πόλυτη τιμή τη πράστση x x 4. Ν γράψετε χωρίς τη πόλυτη τιμή τη πράστση x 4 x, ότ: i) x ii) x 4.

25 1. Απόλυτη τιμή πργμτικού ριθμού 4 4. Α, ρείτε τη τιμή της πράστσης. 5. Α x 0 κι y 0, ρείτε τις τιμές που μπορεί πάρει η πράστση Α x y x y 6. Η διάμετρος εός δίσκου μετρήθηκε κι ρέθηκε,7dm. Το λάθος της μέτρησης είι το πολύ 0,005dm. Α D είι η πργμτική διάμετρος του κύκλου, τότε: i) Ν εκφράσετε τη πρπάω πρδοχή με τη οήθει της έοις της πόστσης ii) Ν ρείτε μετξύ ποιώ ορίω ρίσκετι η τιμή D. 7. Ν συμπληρώσετε το πρκάτω πίκ όπως δείχει η πρώτη γρμμή του. ΠΙΝΑΚΑΣ Απόλυτη Τιμή Απόστση Διάστημ ή έωση διστημάτω x 4 d( x,4), 6 x 4 x 4 x 4 d( x,5) 1 d( x, 1) d( x,5) 1 d( x, 1), 5, 1,,, 5 1,

26 44 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Ν ποδείξετε ότι γ γ.. Α, δείξετε ότι: i) ii). Τι σημίει γι τους ριθμούς x κι y : i) Η ισότητ x y 0 ; ii) Η ισότητ x y 0 ; 4. Έστω 0. i) Ν διτάξετε πό το μικρότερο στο μεγλύτερο τους ριθμούς 1, κι. ii) Ν δείξετε ότι στο πργμτικό άξο ο ριθμός ρίσκετι πλησιέστερ στο 1 πό ότι ο ριθμός. 5. Α x 0,1 κι y 4 0,, εκτιμήσετε τη τιμή της περιμέτρου τω πρκάτω σχημάτω:

27 1.4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Τετργωική ρίζ μη ρητικού ριθμού Στο Γυμάσιο μάθμε τη έοι της τετργωικής ρίζς μη ρητικού - ριθμού κι τις ιδιότητές της. Συγκεκριμέ μάθμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ H τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού συμολίζετι με κι είι ο μη ρητικός ριθμός που, ότ υψωθεί στο τετράγωο, δίει το. Μπορούμε επομέως πούμε ότι: Α 0, η πριστάει τη μη ρητική λύση της εξίσωσης x. Γι τις τετργωικές ρίζες μη ρητικώ ριθμώ γωρίσμε τις πρκάτω ιδιότητες: -οστή ρίζ μη ρητικού ριθμού Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε κτσκευάσουμε μι κυική δεξμεή χωρητικότητς 64 κυικώ μέτρω κι ζητάμε τη πλευρά της. Α x μέτρ είι η πλευρά της δεξμεής, τότε ο όγκος της θ είι x κυικά μέτρ κι επομέως θ ισχύει: x 64. Αζητούμε λοιπό έ ριθμό x που, ότ υψωθεί στο κύο, θ μς δώσει 64. Ο ριθμός υτός, φού πριστάει μήκος, πρέπει είι θετικός. Με δοκιμές ρίσκουμε ότι ο ζητούμεος

28 46 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ριθμός είι ο 4, διότι Ο ριθμός 4 λέγετι τρίτη ρίζ του 64 κι συμολίζετι με 64. Δηλδή 64 =4. Η τρίτη ρίζ εός ριθμού λέγετι κι κυική ρίζ του ριθμού υτού. Γεικεύοτς τώρ τ πρπάω γι κάθε θετικό κέριο, δίουμε το κόλουθο ορισμό. ΟΡΙΣΜΟΣ Η -οστή ρίζ εός μη ρητικού ριθμού συμολίζετι με κι είι ο μη ρητικός ριθμός (1) που, ότ υψωθεί στη, δίει το. Επίσης γράφουμε 1 κι. Μπορούμε επομέως πούμε ότι: Α 0, τότε η πριστάει τη μη ρητική λύση της εξίσωσης x. ΣΧΟΛΙΟ Είι , οπότε Είι επίσης κι Όμως, δε επιτρέπετι γράφουμε , φού, σύμφω με το πρπάω ορισμό, η είι η μη ρητική λύση της εξίσωσης 4 x Ιδιότητες τω ριζώ Από το ορισμό της -οστής ρίζς εός μη ρητικού ριθμού, συμπερίουμε μέσως ότι: Α 0, τότε: κι Α 0 κι άρτιος, τότε:. (1) Αποδεικύετι ότι υπάρχει κι είι μοδικός.

29 1.4 Ρίζες πργμτικώ ριθμώ 47 Γι πράδειγμ: 6 6, εώ 6 6. Ισχύου όμως κι οι κόλουθες ιδιότητες, πό τις οποίες οι δύο πρώτες είι άλογες τω ιδιοτήτω της τετργωικής ρίζς: Α, 0, τότε: 1.. (εφόσο 0). 4. μ ρ μρ μ μ ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1. Έχουμε:. Αποδεικύετι όπως κι η 1.. Έχουμε: 4. Έχουμε: μ μ, που ισχύει. μ μ μ μ μ ρ μ, που ισχύει. μρ ρ μρ ρ μ ρ μ ΣΧΟΛΙΟ Η ιδιότητ 1. ισχύει κι γι περισσότερους πό δυο μη ρητικούς πράγοτες. Συγκεκριμέ, γι μη ρητικούς ριθμούς 1,,..., κ ισχύει: κ 1 κ

30 48 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Στη ειδική μάλιστ περίπτωση που είι , ισχύει: κ κ, οπότε, λόγω της ιδιότητς 1, γι, 0έχουμε. κ Δυάμεις με ρητό εκθέτη Στη συέχει θ ορίσουμε πρστάσεις της μορφής a, όπου 0, μ κέριος κι θετικός κέριος, τις οποίες θ οομάσουμε δυάμεις με ρητό εκθέτη. Ο ορισμός θ γίει με τέτοιο τρόπο, ώστε διτηρούτι οι γωστές μς ιδιότητες τω δυάμεω με κέριο εκθέτη. 5 Τι θ πρέπει, γι πράδειγμ, σημίει το ; Α πιτήσουμε ισχύει p η ιδιότητ q pq a κι γι δυάμεις με ρητό εκθέτη, τότε θ είι μ Άρ πρέπει ο Δηλδή πρέπει είι είι λύση της εξίσωσης. Γεικά: 5 x. ΟΡΙΣΜΟΣ Α a 0, μ κέριος κι θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: μ Επιπλέο, μ, θετικοί κέριοι, τότε ορίζουμε 0 0. Γι πράδειγμ: a μ μ κι Με τη οήθει τω ιδιοτήτω τω ριζώ ποδεικύετι ότι οι ιδιότητες τω δυάμεω με κέριο εκθέτη ισχύου κι γι δυάμεις με ρητό εκθέτη. Το γεγοός υτό διευκολύει το λογισμό με τ ριζικά. Έτσι έχουμε γι πράδειγμ είι:

31 1.4 Ρίζες πργμτικώ ριθμώ 49 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 η Α a κι είι μη ρητικοί ριθμοί, ποδειχθεί η ισοδυμί: a ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε:, που ισχύει. η Ν τρπού οι πρστάσεις σε ισοδύμες, χωρίς ριζικά στους προομστές: i) `ii) 5 1 iii) 7 5. ΛΥΣΗ Έχουμε ii) iii) iv) η Ν ποδειχθεί ότι: ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε:

32 50 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Ν υπολογίσετε τις ρίζες: i) 100, 1000, , ii) 4, 8, 4 16, 5. iii) 0,01, 0,001, 4 0,0001, 5 0, Ν γράψετε τις πρκάτω πρστάσεις χωρίς ριζικά i) π 4 ii) 0 iii) 1 x iv) x 4. Ν ποδείξετε ότι: Ν ποδείξετε ότι: x x x x 5. Ν ποδείξετε ότι: i) ii) Ν ποδείξετε ότι: i) ii) Ν ποδείξετε ότι: i) ii) Ν ποδείξετε ότι: i) iii) 4 1 ii) Ν ποδείξετε ότι: 5 1 i) 10 ii)

33 1.4 Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Ν μεττρέψετε τις πρκάτω πρστάσεις σε ισοδύμες με ρητούς προομστές: i) Ν ποδείξετε ότι ii) 7 5 iii) i) 16 ii), φού λύσετε τ υπόριζ σε γιόμε πρώτω πργότω. Β ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Ν ποδείξετε ότι 5 6 ii) Α, 0 ποδείξετε ότι ( ).. i) Ν ρείτε τ πτύγμτ τω 7 κι 7 ii) Ν ποδείξετε ότι: i) Ν ποδείξετε ότι ο ριθμός είι ρητός. ii) Α θετικός ρητός, ποδείξετε ότι ο 1 είι ρητός. 4. Ν ποδείξετε ότι i) ii) Σε έ ορθογώιο τρίγωο οι κάθετες πλευρές του είι ΑΒ ΑΓ. i) Ν υπολογίσετε τη υποτείουσ ΒΓ του τριγώου. ii) Με τη οήθει της τριγωικής ισότητς ποδείξετε ότι:. iii) Γι μη ρητικούς ριθμούς κι, ποδείξετε ότι. Πότε ισχύει η ισότητ; κι

34 5 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις κυκλώσετε το γράμμ Α, ο ισχυρισμός είι ληθής γι όλους τους πργμτικούς ριθμούς,, γ κι δ. Διφορετικά κυκλώσετε το γράμμ Ψ. 1. ( κι γ δ) γ δ. Α Ψ. Α., τότε. Α Ψ ( ). Α Ψ 4. Το άθροισμ δύο άρρητω ριθμώ κι είι άρρητος ριθμός 5. Το γιόμεο δύο άρρητω ριθμώ κι είι άρρητος ριθμός. 6. Α κι γδ, τότε γ δ. Α Ψ 7. Α, τότε. Α Ψ 8. Α 1, τότε. Α Ψ 9. Α κι, τότε 0. Α Ψ Α, τότε 1. Α Ψ 11. Α 0, τότε. Α Ψ 1. Α κι, τότε 6. Α Ψ 1. Α κι, τότε 6. Α Ψ Α Ψ Α Ψ 16. a Α Ψ 0 0. Α Ψ Α 0, τότε. Α Ψ 19. Α, τότε. Α Ψ Α Α Ψ Ψ 0.. Α Ψ

35 1.4 Ρίζες πργμτικώ ριθμώ 5 1. Α 0, τότε. Α Ψ. Α 0, τότε μπορούμε πάτοτε γράφουμε. Α Ψ. Α 0, τότε. Α Ψ 4.. Α Ψ 5. Α 0, τότε μπορούμε πάτοτε γράφουμε Μπορούμε πάτοτε γράφουμε 4 Α Ψ. Α Ψ Α Ψ Α Ψ II. Ν επιλέξετε τη σωστή πάτηση σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις. 1. Α x 5 τότε η πράστση x x 5 είι ίση με: Α) x 7 Β) 7 x Γ) Δ). x10 x0. Α 10 x 0 τότε η τιμή της πράστσης είι ίση με: x10 x0 Α) Β) Γ) 10 Δ) 0.. Α 6 10, κι γ τότε: Α) γ Β) γ Γ) γ Δ) γ. 4. Ο ριθμός είι ίσος με: Α) 5 Β) 4 5 Γ) 5 Δ) 4 5. III. Στο πρκάτω άξο τ σημεί Ο, Ι, Α κι Β πριστάου τους ριθμούς 0, 1, κι τιστοίχως, με 0 1 κι 1, εώ τ σημεί Γ, Δ, Ε, Ζ, Η κι Θ πριστάου του ριθμούς,,,, κι, όχι όμως με τη σειρά που γράφοτι. Ν τιστοιχίσετε τ σημεί Γ, Δ, Ε, Ζ, Η κι Θ με τους ριθμούς που πριστάου. Γ Δ Ε Ζ Η Θ

36 54 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ο «διπλσισμός του τετργώου», δηλδή η κτσκευή εός τετργώου με εμδό διπλάσιο εός άλλου δοθέτος τετργώου, μπορεί γίει με μι πλή «γεωμετρική» κτσκευή. Λέγοτς «γεωμετρική» κτσκευή εοούμε κτσκευή με χάρκ κι διήτη. Ωστόσο, η πλευρά, του τετργώου με το διπλάσιο εμδό, δε προκύπτει πό τη πλευρά με πολλπλσισμό επί ρητό ριθμό. Αυτό σημίει ότι δε υπάρχει ευθύγρμμο τμήμ (ως μοάδ μέτρησης) με το οποίο μπορούμε μετρήσουμε κριώς τ δυο υτά τμήμτ, πλευρά κι διγώιο τετργώου. Η πόδειξη της ύπρξης άρρητω ριθμώ θεωρείτι μι πό τις σπουδιότερες κλύψεις τω Πυθγορείω. (Πυθγόρς: 6 ος π. Χ. ιώς). Οι ρχίοι Έλληες είχ μι θειά πίστη ότι πάτοτε δυο ευθύγρμμ τμήμτ έχου κοιό μέτρο. Γι υτό, στ πλίσι της εποχής εκείης, η κάλυψη υτή τω Πυθγορείω δε ήτ πλά κι μόο μι εδιφέρουσ μθημτική πρότση, λλά σήμιε τη τροπή θεμελιωδώ φιλοσοφικώ τιλήψεω γι το κόσμο κι τη φύση. Ήτ κετρική τίληψη τω Πυθγορείω ότι η ουσί κάθε ότος μπορεί χθεί σε φυσικούς ριθμούς. Ο εοπυθγόρειος Φιλόλος γύρω στ 450 π.χ., έγρφε: «Πργμτικά το κθετί που γωρίζουμε έχει έ ριθμό (δηλδή φυσικό). Αλλιώς θ ήτ δύτο το γωρίσουμε κι το κτλάουμε με τη λογική. Το έ είι η ρχή του πτός». Η κάλυψη λοιπό ότι υπάρχου μεγέθη κι μάλιστ πλά, όπως η υποτείουσ τετργώου, τ οποί δε μπορού εκφρστού στ πλίσι τω φυσικώ ριθμώ, θεωρήθηκε ληθιή συμφορά γι τη πυθγόρει φιλοσοφί. Χρκτηριστικοί είι οι θρύλοι που περιάλλου το γεγοός υτό. Κτά έ πό υτούς, η κάλυψη της ύπρξης τω άρρητω ριθμώ έγιε πό το πυθγόρειο Ίπσσο, ότ υτός κι άλλοι Πυθγόρειοι τξίδευ με πλοίο. Η τίδρση τω Πυθγορείω ήτ πίξου το Ίπσσο κι συμφωήσου μετξύ τους μη διδοθεί η κάλυψη προς τ έξω. Η υπέρση τω «δυσκολιώ» που φέρει στ Μθημτικά η ύπρξη άρρητω ριθμώ, κτέστη δυτή πό το Εύδοξο (60π.Χ.) με τη ιδιοφυή «θεωρί τω Λόγω». Η πόδειξη γι το ότι ές συγκεκριμέος ριθμός είι άρρητος είι έ πρόλημ που πιτεί πολλές φορές πολύπλοκούς συλλογισμούς.