Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj"

Transcript

1 Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ cvbnmσγqwφertuioσδφpγρaηsόρ ΟΡΙΣΜΟΙ ωυdfghjργklzcvbnφδγωmζqwert ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3-4 λκοθξuiύσφdfghjklzcvbnmqwert uiopasdfghjklzcεrυtγεuiιopasdf ghjklzcηvbnσφδmqwertσδ uiopasdfσδφγθμκcvυξσφbnmσφγ qwθeξτσδφrtuφγςοιopaσδφsdfghj klzcvσδςbnγμ,mqwertuiopas dfgσργκοϊτbnmqwertσδφγuiopasσ δφγdfghjklzσδδγσφγcvbnmqwertu ioκσλπpasdfghjklzcvb\ nmςwertuiopasdγεορlzcvbnmqw

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M, κι M γ, δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο, τότε το άθροισμ i γ δi γ δ i πριστάετι με το σημείο M γ, δ Επομέως, M M M Ο M γ,δ M, M+γ,+δ Η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ i κι γ δi είι η διφορά τω διυσμτικώ κτίω τους Επίσης, η διφορά i γ δi γ δi πριστάετι με το σημείο N γ, δ Επομέως, N M M Ο Μ γ,δ Μ, Μ 3 γ, δ Ν γ, δ 3 Δυάμεις του i Γι υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύμη του i, γράφουμε το εκθέτη στη μορφή 4 ρ υ, όπου ρ το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4, οπότε έχουμε:, υ i i 4 ρ υ i i 4 ρ υ 4 ρ i i υ ρ i υ i υ i - i,,, ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ υ υ υ 4 Ιδιότητες Συζυγώ Α z i κι z i μπορούμε εύκολ, με εκτέλεση τω πράξεω, διπιστώσουμε ότι: i z z ii z z i Α z i κι z γ δi είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: z z z z z z z z 3 z z z z 4 Οι ιδιότητες υτές μπορού ποδειχτού με εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγμ έχουμε: z z i γ δi γ δ i γ δ i i γ δi z z 3 z z z z

3 Οι πρπάω ιδιότητες κι 3 ισχύου κι γι περισσότερους πό δυο μιγδικούς ριθμούς Είι δηλδή: z z zv z z z v, z z zv z z z v Ιδιίτερ, είι 5 Επίλυση της Εξίσωσης z z z z, τότε η τελευτί ισότητ γίετι: z z γ με,,γ κι v v z z Εύκολ, όμως, μπορούμε διπιστώσουμε ότι κι κάθε εξίσωση δεύτερου θμού με πργμτικούς συτελεστές έχει πάτ λύση στο σύολο C Πράγμτι, έστω η εξίσωση z z γ, με,, γ κι Εργζόμστε όπως στη τίστοιχη περίπτωση στο κι τη μετσχημτίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώω, z z z z z z 4 z z, ό η δικρίουσ της εξίσωσης Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: z Δ Τότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: z, Δ Τότε έχει μι διπλή πργμτική λύση: z Δ< Τότε, επειδή i Δ συζυγείς μιγδικοί ριθμοί Δ Δ i Δ i Δ 4 4 Άρ οι λύσεις της είι: z, Τι οομάζουμε μέτρο εός μιγδικού z i, Δ, η εξίσωση γράφετι: i Δ, οι οποίες είι Έστω M, η εικό του μιγδικού στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z τη πόστση του M πό τη ρχή, δηλδή z M 6 Μέτρο μιγδικού ριθμού Α z, z είι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z Πράγμτι, έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ Γεικά, ποδεικύετι ότι: z z z z z z κι ειδικότερ z z ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ

4 ΘΕΩΡΙΑ 7 Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τουςδηλδή: M M z z N M M Mz+z Επίσης, είι φερό ότι το μέτρο του διύσμτος Mz N είι ίσο με το μέτρο του διύσμτος M M Επομέως: M M z z Από τη γωστή μς τριγωική ισότητ κι πό τη γεωμετρική ερμηεί του θροίσμτος z z κι της διφοράς z z δύο μιγδικώ προκύπτει ότι: z z z 3 Mz M M Ο Nz z M 3 z z z z ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ Τι οομάζουμε πργμτική συάρτηση Έστω Α έ υποσύολο του Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί κό f, με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της f στο κι συμολίζετι με f 3 Τι οομάζουμε γρφική πράστση συάρτησης Έστω f μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M, γι τ οποί ισχύει f, δηλδή το σύολο τω σημείω M, f, A, λέγετι γρφική πράστση της f κι συμολίζετι συήθως με Cf 4 Πότε δύο συρτήσεις f κι g είι ίσες Δύο συρτήσεις f κι g λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει f = Τι οομάζουμε σύθεση της f με τη g 5 Α f, g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της f με τη g, κι τη συμολίζουμε με gof τη συάρτηση με τύπο gof g f f A B 4 f f B A g f g f A Το πεδίο ορισμού της gof ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της f γι τ οποί το f ήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είι το σύολο ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 3

5 A { A f } B Είι φερό ότι η gof ορίζετι A, δηλδή f A B 6 Πότε μι συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ συάρτηση κι πότε γησίως φθίουσ συάρτηση Μι συάρτηση f λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, με ισχύει: f f Σχ γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, με ισχύει: f f Σχ f f f f Δ Δ Ο Δ a Ο Δ 7 Τι οομάζουμε μέγιστο, ελάχιστο, συάρτησης Μι συάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το f, ότ f f γι κάθε A Προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο, το f, ότ f f γι κάθε A f f f C f f a C f 8 Πότε μι συάρτηση λέγετι - Μι συάρτηση f :A λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή:, τότε f f 9 Τι οομάζουμε τίστροφη συάρτηση Έστω μι συάρτηση f :A Α υποθέσουμε ότι υτή είι, τότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ, f A το οποίο ισχύει, της f υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι f Επομέως ορίζετι μι συάρτηση g:f A ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 4

6 με τη οποί κάθε f A τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει f Από το τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύολο τιμώ f A της f, έχει σύολο τιμώ το πεδίο ορισμού Α της f κι ισχύει η ισοδυμί: f A = f fa =f Αυτό σημίει ότι, η f τιστοιχίζει το στο, τότε g η g τιστοιχίζει το στο κι τιστρόφως Δηλδή η g είι η τίστροφη διδικσί της f Γι το λόγο υτό η g λέγετι τίστροφη συάρτηση της f κι συμολίζετι με f Επομέως έχουμε f f Οπότε f f, A κι f f, f A Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συρτήσεις f, g, h Α h f κοτά στο κι h, Τότε f Τι οομάζουμε κολουθί Ακολουθί οομάζετι κάθε πργμτική συάρτηση * : 8 Έστω τώρ το πολυώυμο Τότε P P P κι Έστω τώρ το πολυώυμο P κι Σύμφω με τις ιδιότητες έχουμε: P P Επομέως, P P Απόδειξη: 9 Έστω η ρητή συάρτηση κι με Q Τότε, P P P f Q Q Q P f, όπου P, Q πολυώυμ του Q P P Q Q, εφόσο Q ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 5

7 Πότε μι συάρτηση f λέμε ότι είι συεχής στο o Έστω μι συάρτηση f κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η f είι συεχής στο, ότ f f 3 Πότε μι συάρτηση f λέμε ότι είι συεχής Μί συάρτηση f που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση 4 Πότε μι συάρτηση είι συεχής σε έ οικτό διάστημ, Μι συάρτηση f θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, 5 Πότε μι συάρτηση είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ] Μι συάρτηση f θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, κι επιπλέο f f κι f f 6 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Bolzano Έστω μι συάρτηση f, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η f είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει f f, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, τέτοιο, ώστε f Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης f στο οικτό διάστημ, 7 Ν εξηγήσετε γεωμετρικά το Θ Bolzano Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συεχούς συάρτησης f στο [, ] Επειδή τ σημεί A, f κι B, f ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο, η γρφική πράστση της f τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο f fa a Α,f B,f ΘΕΩΡΗΜΑ εδιάμεσω τιμώ Έστω μι συάρτηση f, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η f είι συεχής στο [, ] κι f f τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω f κι f υπάρχει ές, τουλάχιστο, τέτοιος, ώστε f η ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 6

8 Ας υποθέσουμε ότι f f Τότε θ ισχύει f η f Σχ 5 Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g f η, [, ], πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [, ] κι g, φού g f η κι g f η Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε f η g, οπότε f η f η fa a Α,f 5 B,f =η 8 Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Α f είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η f πίρει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή, υπάρχου [, ] τέτοι, ώστε, m f κι, M f, ισχύει m f M, γι κάθε [, ] ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Τι ορίζουμε ως εφπτομέη της C f στο σημείο της Α; f f Έστω f μι συάρτηση κι A, f έ σημείο της C f Α υπάρχει το κι είι ές πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της C f στο σημείο της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ Επομέως, η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A, f είι f λ, όπου λ f f Πότε μι συάρτηση f λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο o του πεδίου ορισμού της Μι συάρτηση f λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το f f κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της f στο κι συμολίζετι με f Δηλδή: f f f ΘΕΩΡΗΜΑ Α μι συάρτηση f είι πργωγίσιμη σ έ σημείο, τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό f f Γι έχουμε f f, Οπότε f f [f f ] ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 7

9 ΘΕΩΡΙΑ f f f, φού η f είι πργωγίσιμη στο Επομέως, f f, δηλδή η f είι συεχής στο Πότε μι συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α f ; H f είι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο o Af Πότε μι συάρτηση f είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, ; Η f είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο 3 Πότε μι συάρτηση f είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, ] ; Η f είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, ] του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη στο, κι επιπλέο ισχύει f f f f κι 4 Τι οομάζετι πρώτη πράγωγος της f ; Έστω f μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο f, ορίζουμε τη συάρτηση f : A R f, η οποί οομάζετι πρώτη πράγωγος της f ή πλά πράγωγος της f H πρώτη πράγωγος της f συμολίζετι κι με df που διάζετι τε εφ προς τε χι d 5 Ti οομάζετι δεύτερη πράγωγος της f ; Α υποθέσουμε ότι το Α είι διάστημ ή έωση διστημάτω, τότε η πράγωγος της f, υπάρχει, λέγετι δεύτερη πράγωγος της f κι συμολίζετι με f 6 Ti οομάζετι ιοστή πράγωγος της f ; Επγωγικά ορίζετι η ιοστή πράγωγος της f, με 3, κι συμολίζετι με f Δηλδή f [ f ], 3 Πράγωγος μερικώ σικώ συρτήσεω Εστω η στθερή συάρτηση f c, c Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f, δηλδή c Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι f f ισχύει: c c Επομέως, ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 8

10 δηλδή c f ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 9 f 3 Έστω η συάρτηση f Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f, δηλδή Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: f f Επομέως, f f, δηλδή 4 Έστω η συάρτηση f, {,} Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f, δηλδή, Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: οπότε f f f f δηλδή, 5 Έστω η συάρτηση f Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει f, δηλδή Πράγμτι, είι έ σημείο του,, τότε γι ισχύει: f f Οπότε H f f, δηλδή f δε είι πργωγίσιμη στο 6 ΘΕΩΡΗΜΑ Πράγωγος θροίσμτος Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση f g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: f g f g Γι, ισχύει: f f Επειδή οι συρτήσεις f f f f f, g είι πργωγίσιμες στο, έχουμε:,

11 f f f f f g, Δηλδή f g f g 7 Έστω η συάρτηση f, κι ισχύει f, δηλδή * Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο * Πράγμτι, γι κάθε * έχουμε: Είδμε, όμως, πιο πρι ότι, γι κάθε φυσικό Επομέως, κ {,}, κ κ τότε κ 8 Έστω η συάρτηση f εφ Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο { συ } κι ισχύει Πράγμτι, γι κάθε έχουμε: εφ ημ συ ημ συ ημσυ, δηλδή συ f εφ συ συ συ συ συ ημημ συ συ ημ συ 9 Η συάρτηση f, είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει f Πράγμτι,, δηλδή ln e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u u ln e e u e u e Επομέως, Η συάρτηση f, είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f ln, δηλδή Πράγμτι, Η συάρτηση f ln, e ln κι θέσουμε ln u u ln, τότε έχουμε e Επομέως, u u ln e e u e ln ln * είι πργωγίσιμη στο * κι ισχύει ln Πράγμτι, τότε ln ln, εώ, τότε ln ln, οπότε, θέσουμε ln κι u, έχουμε ln u Επομέως, ln u u κι άρ ln u 7 Α δύο μετλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση =f, τι οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ

12 Α δύο μετλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση f, ότ f είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο f 8 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Rolle κι το εξηγήσετε γεωμετρικά Α μι συάρτηση f είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, κι f f τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: f ξ Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ, f ξ είι πράλληλη στο f άξο τω Μξ,fξ Α,f ξ ξ Β,f 9 Ν διτυπώσετε το θεώρημ Μέσης Τιμής κι το εξηγήσετε γεωμετρικά Α μι συάρτηση f είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: f f f ξ Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο M ξ, f ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Mξ,fξ Aa,fa Β,f Ο a ξ ξ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση f ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η f είι συεχής στο Δ κι f γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Α, τότε προφώς f f, Δ ισχύει f f Πράγμτι ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ

13 Α, τότε στο διάστημ [, ] η f ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε f f f ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ξ,οπότε, λόγω της, είι f f Α, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι f f Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι f f 3 ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συρτήσεις f, g ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι f, g είι συεχείς στο Δ κι f g γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει: f c Η συάρτηση f g είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει f g f g Επομέως, σύμφω με το πρπάω θεώρημ, η συάρτηση f g είι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει f c, οπότε f c 4 ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση f, η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστημ Δ Α f σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ Α f σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είι γησίως φθίουσ σε όλο το Δ Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι f Έστω, Δ με Θ δείξουμε ότι f f Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η f ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε f f f ξ, οπότε έχουμε f f f ξ Επειδή f ξ κι, έχουμε f f, οπότε f f Στη περίπτωση που είι f εργζόμστε λόγως 3 Πότε λέμε ότι μι συάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, προυσιάζει στο o A τοπικό μέγιστο; Μι συάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε f f γι κάθε A δ, δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το f τοπικό μέγιστο της f A η ισότητ f f ισχύει γι κάθε A, τότε, η f προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο ή πλά μέγιστο, το f =+c = 5 ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ

14 3 Πότε λέμε ότι μι συάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, προυσιάζει στο o A τοπικό ελάχιστο; Μί συάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε f f, γι κάθε A δ, δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το f τοπικό ελάχιστο της f 5 ΘΕΩΡΗΜΑ Fermat Έστω μι συάρτηση f ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε: f Ας υποθέσουμε ότι η f προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ f κι η f προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε δ, δ Δ κι f f, γι κάθε δ, δ Επειδή, επιπλέο, η f είι πργωγίσιμη στο, ισχύει f f f f f Επομέως, f f δ,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε f f f f, δ, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε f f Έτσι, πό τις κι 3 έχουμε f Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη f f δ +δ Ποιες είι οι πιθές θέσεις τω τοπικώ κροτάτω μις συάρτησης f σ έ διάστημ Δ; Οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ κ ρ ο τ ά τ ω μις συάρτησης f σ έ διάστημ Δ είι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της f μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η f δε πργωγίζετι 3 Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της Τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ στ οποί η f δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ, λέγοτι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 3

15 6 ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση f πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του, στο οποίο όμως η f είι συεχής i Α f στο, κι f στο,, τότε το f είι τοπικό μέγιστο της f Σχ ii Α f στο, κι f στο,, τότε το f είι τοπικό ελάχιστο της f Σχ iii A η f διτηρεί πρόσημο στο,,, τότε το f δε είι τοπικό κρόττο κι η f είι γησίως μοότοη στο, Σχ γ i Eπειδή f γι κάθε, κι η f είι συεχής στο, η f είι γησίως ύξουσ στο, ] Έτσι έχουμε f f, γι κάθε, ] Επειδή f γι κάθε, κι η f είι συεχής στο, η f είι γησίως φθίουσ στο [, Έτσι έχουμε: f f, γι κάθε [, f > f < f > f < a f f a a Επομέως, λόγω τω κι, ισχύει: f f, γι κάθε,, που σημίει ότι το f είι μέγιστο της f στο, κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii Εργζόμστε λόγως f < f > f < f > iii Έστω ότι a f, γι κάθε,, f > a f > γ f > f > a ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 4 a Επειδή η f είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ, ] κι [, Επομέως, γι ισχύει f f f Άρ το f δε είι τοπικό κρόττο της f Θ δείξουμε, τώρ, ότι η f είι γησίως ύξουσ στο, Πράγμτι, έστω,, με Α,, ], επειδή η f είι γησίως ύξουσ στο, ], θ ισχύει f f Α [,, επειδή η f είι γησίως ύξουσ στο [,, θ ισχύει f f,

16 ΘΕΩΡΙΑ Τέλος,, τότε όπως είδμε f f f Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f f, οπότε η f είι γησίως ύξουσ στο, Ομοίως, f γι κάθε,, 33 Πότε θ λέμε ότι η f στρέφει τ κοίλ προς τ άω κι πότε προς τ κάτω; Έστω μί συάρτηση f σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι π ρ γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ, η f είι γησίως ύξουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συάρτηση f στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ, η f είι γησίως φθίουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ 34 Πότε το σημείο A, f οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f Έστω μι συάρτηση f πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η f είι κυρτή στο, κι κοίλη στο,, ή τιστρόφως, κι η C f έχει εφπτομέη στο σημείο A, f, τότε το σημείο A, f οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f 35 Πότε η ευθεί =ο λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της Cf ; Α έ τουλάχιστο πό τ όρι f, f είι ή, τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f 36 Πότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της Cf στο + ή στο - ; Α f τιστοίχως f, τότε η ευθεί σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο 37 Πότε η ευθεί f στο + ; Η ευθεί τιστοίχως στο λέγετι οριζότι λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της λ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο [ f λ ], [ f λ ] τιστοίχως στο,, ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 5

17 38 Ν διτυπώσετε τους κόες de l Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α f, ή άπειρο, τότε: f ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή, {, } κι υπάρχει το f g f g πεπερσμέο Α f, πεπερσμέο ή άπειρο, τότε:, {, } κι υπάρχει το f f g f g ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 39 Έστω f μι ορισμέη συάρτηση σε έ διάστημ Δ τι οομάζετι ρχική συάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ Έστω f μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F f, γι κάθε Δ 7 ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω f μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της f στο Δ, τότε όλες οι συρτήσεις της μορφής G = F + c, c είι πράγουσες της f στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρει τη μορφή G F c, c Κάθε συάρτηση της μορφής G F c, όπου c f στο Δ, φού G F c F f, γι κάθε Δ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της f στο Δ Τότε γι κάθε Δ ισχύου F f κι G f, οπότε G F, γι κάθε Δ Άρ, σύμφω με το πόρισμ της 6, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G F c, γι κάθε Δ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 6

18 4 Ποιος είι ο ορισμός εμδού Έστω f μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, ], με f γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, το άξο τω κι τις ευθείες, Γι ορίσουμε το εμδό του χωρίου Ω Σχ εργζόμστε ως εξής = =f fξ Ω fξ fξ fξ k ξ k = ξ k- ξ k - ξ Δ a v Χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ισομήκη υποδιστήμτ, μήκους Δ, με τ σημεί Σε κάθε υποδιάστημ [ κ, κ ] επιλέγουμε υθίρετ έ σημείο ξ κ κι σχημτίζουμε τ ορθογώι που έχου άση ορθογωίω υτώ είι Δ κι ύψη τ f ξ Το άθροισμ τω εμδώ τω S f ξ Δ f ξ Δ f ξ Δ [ f ξ f ξ ] Δ κ Υπολογίζουμε το S Αποδεικύετι ότι το σημείω S υπάρχει στο κι είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω ξ κ Το όριο υτό οομάζετι εμδό του επιπέδου χωρίου Ω κι συμολίζετι με Ε Ω Είι φερό ότι Ε Ω 4 Τι οομάζουμε ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης f πό το στο ; Έστω μι συάρτηση f σ υ ε χ ή ς στο [, ] Με τ σημεί a= =f χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ισομήκη υποδιστήμτ μήκους ξ k ξ v- ξ v v = Δ Στη συέχει επιλέγουμε υθίρετ έ ξ, ], γι κάθε κ {,,, }, κι σχημτίζουμε το άθροισμ κ ξ [ κ κ S f ξ Δ f ξ Δ f ξ κ Δ f ξ Δ το οποίο συμολίζετι, σύτομ, ως εξής: Αποδεικύετι ότι, S κ f ξ Δ κ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 7

19 Το όριο του θροίσμτος S, δηλδή το f ξ Δ υπάρχει στο κι είι κ εξάρτητο πό τη επιλογή τω εδιάμεσω σημείω κ ξ κ Οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης f πό το στο, το όριο f ξ Δ, συμολίζετι με κ κ f d κι διάζετι ολοκλήρωμ της f πό το στο Δηλδή, f d κ f ξ Δ κ 8 ΘΕΩΡΗΜΑ Α f είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση F f t dt, Δ, είι μι πράγουσ της f στο Δ Δηλδή ισχύει: f a t dt f, γι κάθε Δ ΣΧΟΛΙA Εποπτικά το συμπέρσμ του πρπάω θεωρήμτος προκύπτει Σχ 3 ως εξής: =f 3 h F h F f t dt Εμδό του χωρίου Ω f h, γι μικρά h f Ω +h Άρ, γι μικρά h είι F h h F f, F h F οπότε F f h h 9 ΘΕΩΡΗΜΑ Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού Έστω f μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [, ] Α G είι μι πράγουσ της f στο [, ], τότε f t dt G G Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση F f t dt είι μι πράγουσ της f στο [, ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της f στο [, ], θ υπάρχει c τέτοιο, ώστε G F c Από τη, γι, έχουμε Επομέως, G F G, οπότε, γι, έχουμε G F c f t dt c c, οπότε c G G F G f t dt G ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 8

20 κι άρ f t dt G G 3 Α f κι γ τι δηλώει γεωμετρικά η ιδιότητ: Α η f είι σ υ ε χ ή ς σε διάστημ Δ κι,, γ Δ, τότε ισχύει γ f d f d f d γ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η πρπάω ιδιότητ δηλώει ότι: Ε Ω Ε Ω Ε φού Ε Ω f d, γ Ε Ω f d γ Ω =f 4 κι Ε Ω f d Ω Ω γ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ Ν ποδείξετε ότι το εμδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω f κι g, συεχείς στο διάστημ [, ] με f είι E Ω f d Έστω, τώρ, δυο συρτήσεις f κι g, συεχείς στο διάστημ [, ] με f γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω f, g κι τις ευθείες κι Σχ 5 =f =f 5 Ω = = Ω Ω γ Πρτηρούμε ότι Ω Ε Ω Ε Ω f d d f d Ε Επομέως, Ο τύπος ρέθηκε με τη προϋπόθεση ότι: E Ω f d i f γι κάθε [, ] κι ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ 9

21 ii οι f, g είι μη ρητικές στο [, ] Θ ποδείξουμε, τώρ, ότι ο τύπος ισχύει κι χωρίς τη υπόθεση ii Πράγμτι, επειδή οι συρτήσεις f, g είι συεχείς στο [, ], θ υπάρχει ριθμός c τέτοιος ώστε f c c, γι κάθε [, ] Είι φερό ότι το χωρίο Ω Σχ 6 έχει το ίδιο εμδό με το χωρίο Ω Σχ 6 =f+c 6 Ω =f Ω =+c = Επομέως, σύμφω με το τύπο, έχουμε: Ε Ω Ε Ω [ f c c] d f d Άρ, E Ω f d 3 ΘΕΩΡΗΜΑ Το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό το άξο, τη γρφική πράστση μις συάρτησης g, με g γι κάθε [, ] κι τις ευθείες κι E Ω d Επειδή ο άξος είι η γρφική πράστση της συάρτησης f, ζητούμε το εμδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω f κι g, συεχείς στο διάστημ [, ] με f οπότε έχουμε Ω 7 E Ω f d [ g ] d d = Επομέως, γι μι συάρτηση g ισχύει g γι κάθε [, ], τότε E Ω d ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ

22 33ΘΕΩΡΗΜΑ Ότ η διφορά f δε διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ],τότε E Ω f d Ότ η διφορά f δε διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ], όπως στο Σχήμ 8, τότε το εμδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω f, g κι τις ευθείες κι είι ίσο με το άθροισμ τω εμδώ τω Ω γ = Ω δ =f Ω 3 8 χωρίω Ω, Ω κι Ω 3 Δηλδή, Ε Ω Ε Ω Ε Ω Ε Ω3 γ f d γ δ g f d f d δ γ γ δ f d f d f d δ f d Επομέως, E Ω f d ΣΧΟΛΙΟ Σύμφω με τ πρπάω το f d είι ίσο με το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω που ρίσκοτι πάω πό το άξο μείο το άθροισμ τω εμδώ τω χωρίω που ρίσκοτι κάτω πό το άξο Σχ 8 Ο a ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ

23 Περιέχει τις ποδείξεις τω θεωρημάτω κι τους ορισμούς πό το σχολικό ιλίο : Μθημτικά Θετικής κι Τεχολογικής Κτεύθυσης Γ τάξης Ειίου Λυκείου ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχλγικής Κτεύθυσης Μθημτικά Γ Λυκείυ Θεωρί ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: inf@iliasks.gr www.iliasks.gr Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ Τ σύλ C τω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Αόριστο ολοκλήρωμα. Ερωτήσεις θεωρίας

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Αόριστο ολοκλήρωμα. Ερωτήσεις θεωρίας ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αόριστο ολοκλήρωμ Ερωτήσεις θεωρίς Ποι ρολήμτ οδήγησν στην νάγκη ορισμού της ρχικής συνάρτησης ; Δώστε τον ορισμό της ρχικής συνάρτησης ή ράγουσς f στο Δ κι έν ράδειγμ Πολλές φορές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21)

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21) È Ö Ñ Ø Ä Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ ¾½ÆÓ Ñ ÖÓÙ¾¼¼ È Ö ØÛÔ Ö Ð Ñ ÒÓÒØ Ñ Ö ÔÖÓØ Ñ Ö Ð ÑÑ Ø ÕÖ Ñ È ÖÐ Ý Ø Ü Ø ØÓÑ Ñ Ø ÙÒ Ø ³ÄÙ ÓÙº Σημειωση Αν κποι προτση πο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειζετι ποδειξη. Εξιρεση ποτελουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mρτίου Aρ. πρ. 66 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµουλος Μθηµτικών Τχ. /νση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [4] ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝAΡΤΗΣΗ Ορισµός Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ Αρχική ή ράγουσ συνάρτηση της f στο, ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F, ργωγίσιµη στο, τέτοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα