ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β)

Transcript

1 οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) τυτότητες (+) + + (+) (+) + (+) + (+) (+) (+)() + (+)( + ) ()( ++ ) (++γ) + +γ ++γ+γ + +γ γ (++γ)( () +(γ) +(γ) ) (++γ)( + +γ γγ) ()( ) Ν + (+)( + + ) εριττό! διάτξη < < > κι κι γ γ κι γ γ γ > : γ γ γ < : γ γ κι γ δ +γ +δ < κι < γ δ γ δ δυάµεις ( ) ( Ν * ) () ( ) µ µ+ µ µ µ µ ( µ ) µ

2 δηµήτρη οιµείδη λογίες γ δ δγ γ δ... λ + + δ γ λ γ + δ δ όλυτες τιµές,, ή ή + + (τριγωική ισότητ) > : < :, δύτη ή, ισχύει R ριζικά [, + ) υάρχει µοδικός [, + ): ( Ν) κι ( ) µ κ µκ µ µ µ µ ( ) µ µ η εξίσωση ( R) ( Ν) ρίζες της Ν > < άρτιος εριττός άρτιος κι δε υάρχου εριττός

3 οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) εξισώσεις κι ισώσεις ου θµού (µοδική λύση) δύτη (κµί λύση) όριστη (άειρες λύσεις) < > < > < δύτη R(όριστη) > > + +: < + + το τριώυµο f()++γ ( ) 4γ ρίζες µορφή ρόσηµο >, ± ρ ( )( ) (ρ) + οµόσηµο ετερόσηµο οµόσηµο του του του ρ + οµόσηµο οµόσηµο του του + < οµόσηµο του S + γ P +S κι P τότε οι, ( υάρχου) είι οι ρίζες της: ω Sω+P κι τιστρόφως

4 4 δηµήτρη οιµείδη ολυώυµ δύο ολυώυµ είι ίσ ότ έχου ίσους συτελεστές τω οµοάθµιω όρω η τυτότητ της διίρεσης του ολυωύµου Ρ() µε το µη µηδεικό ολυώυµο Q() είι: P() Q()()+υ() θµόςp()θµόςq()+θµός() κι θµόςυ()<θµόςq() ή υ() είι το µηδεικό ολυώυµο το υόλοιο της διίρεσης P():(ρ) είι υ Ρ(ρ) έ ολυώυµο P() έχει ράγοτ το ρ κι µόο το ρ είι ρίζ του Ρ() ο κέριος ρ, είι ρίζ της: ο µε κέριους συτελεστές, τότε ο ρ είι διιρέτης του ο το ηλίκο κι το υόλοιο της διίρεσης εός ολυωύµου Ρ() µε το ρ µορού ρεθού εύκολ µε το σχήµ του Horner γι ράδειγµ, σύµφω µε το διλό σχήµ του Horner: 4 ++(+)( 4 +7) γρµµικά συστήµτ (Σ) : + γ + γ D D D γ γ γ γ γ γ γ γ D : το (Σ) έχει µοδική λύση τη: (, ) ( D, D D D ) D : το (Σ) είι δύτο (κµί λύση) ή όριστο (άειρες λύσεις), ειδικότερ: D ή D : το (Σ) είι δύτο D D : το (Σ) είι όριστο εκτός ό τη ερίτωση ου είι: κι γ ή γ οότε το (Σ) είι δύτο

5 οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) 5 η ευθεί γεική µορφή εξίσωσης ευθείς (ε): Α+Β+Γ (όου:α ή Β ) ειδικές µορφές: + ο κθορίζει τη διεύθυση της ευθείς ε, συµολίζετι λ ε κι οοµάζετι συτελεστής διεύθυσης της ε ω είι η γωί ου σχηµτίζει η ε µε το τότε είι: λ ε εφω ο κθορίζει το σηµείο τοµής της ε µε το διέρχετι ό το Ο(,) ράλληλη στο, τέµει το στο (, ) ράλληλη στο, τέµει το στο (,) η εξίσωση κάθε ευθείς έχει ή µορεί άρει τη µορφή: + κι είι η γρφική ράστση της συάρτησης f()+ εκτός ό τη η οοί δε είι γρφική ράστση συάρτησης κι ούτε µορεί άρει τη µορφή + φού δε έχει συτελεστή διεύθυσης γι σχεδιάσουµε τη + χρειζόµστε σηµεί της συήθως τ Α(/,) & Β(,) (ε ): + κι (ε ): + είι δύο ευθείες, τότε: οι ε,ε τέµοτι (ειδικά, οι ε,ε είι κάθετες) συεώς το σύστηµ τω εξισώσεώ τους έχει µοδική λύση (το σηµείο τοµής τους) κι οι ε,ε είι ράλληλες συεώς το σύστηµ τω εξισώσεώ τους είι δύτο (δε έχει κµί λύση) κι οι ε,ε τυτίζοτι συεώς το σύστηµ τω εξισώσεώ τους είι όριστο (έχει άειρες λύσεις) o + o o ω o O

6 6 δηµήτρη οιµείδη ρόοδοι οστός όρος ριθµητικής ροόδου µε διφορά ω : +ω +()ω οι,,γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής ροόδου κι µόο : +γ, + γ είι ο ριθµητικός µέσος τω κι γ άθροισµ τω ρώτω όρω ριθµητικής ροόδου: Σ οστός όρος γεωµετρικής ροόδου µε λόγο λ : λ λ + οι,, γ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής ροόδου κι µόο : γ, γ είι ο γεωµετρικός µέσος τω κι γ λ άθροισµ τω ρώτω όρω γεωµετρικής ροόδου: Σ λ άθροισµ «άειρω όρω» γεωµετρικής ροόδου µε λόγο λ (όου: λ < ) : S (λ ) λ εκθετικές κι λογριθµικές µορφές > θ log θ log R ( < ) log log θ θ log log log θ logθ log e θ lnθ log log +log log log log log log log (λλγή εκθετικής άσης) log log log (λλγή λογριθµικής άσης) > < < log log log log log log log log

7 οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) 7 τριγωοµετρί ρ θ ηµθ ρ συθ ρ εφθ σφθ M(,) ρ O θ L R Rµ l AB 8 l R AB µ 8 A O R θµ ο rad L B ηµθ συθ εφθ (, + ) σφθ (, + ) ηµθ εφθ συθ συθ σφθ εφθσφθ ηµθ ηµ θ+συ θ εφ θ ηµ θ + εφ θ συ θ + εφ θ ηµ εφ + σφ + σφ ηµ εφ + συ, συ

8 8 δηµήτρη οιµείδη τόξο σε rad 6 4 ο συάρτηση ο ο ηµ συ εφ 45 ο σφ _ 6 ο 4 9 ο _ τίθετ τόξ (θ,θ) έχου το ίδιο συ ρληρωµτικά τόξ (θ,θ) έχου το ίδιο ηµ τόξ ου διφέρου κτά (θ,+θ) έχου τίθετο ηµ κι συ τόξ ου διφέρου κτά κ (θ,κ+θ) τ έχου όλ ίδι συµληρωµτικά τόξ (θ, θ) έχου: ηµ συ κι εφ σφ θ +θ θ θ θ ηµ ηµθ κ+θ ή κ+θ ειδικά: ηµ κ συ συθ κ+θ ή κθ ειδικά: συ κ+ εφ εφθ κ+θ σφ σφθ κ+θ (κ Ζ) η f()ρηµω (ρ,ω>) έχει ερίοδο: Τ ω ma: ρ κι min: ρ (οµοίως η f(χ)ρσυωχ) η f()ρεφω (ω>) έχει ερίοδο: Τ ω (οµοίως η f()ρσφω)

9 οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) 9 ηµ(+) ηµσυ+ηµσυ () εφ(+) ηµ() ηµσυηµσυ () συ(+) συσυηµηµ () εφ() συ() συσυ+ηµηµ (4) εφ + εφ εφεφ εφ εφ + εφεφ (τύοι θροισµάτω) ηµ ηµσυ συ συ ηµ συ ηµ (τύοι διλσίω) ηµ συ συ + συ εφ συ + συ (τύοι οτετργωισµού) εφ εφ εφ ηµ εφ + εφ συ εφ + εφ (τύοι κθολικής τικτάστσης) ()+() ηµσυ ηµ(+)+ηµ() (5) (4)() ηµηµ συ()συ(+) (6) ()+(4) συσυ συ(+)+συ() (7) (τύοι µετσχηµτισµού γιοµέω) Α + Β Α Β (5) ηµα+ηµβ ηµ συ (8) Α Β Α + Β (8) ηµα ηµβ ηµ συ Α + Β Α Β (7) συα + συβ συ συ Α + Β Α Β (6) συα συβ ηµ ηµ (τύοι µετσχηµτισµού θροισµάτω) f()ηµ+συρηµ(+φ) ( ) όου : ρ + κι φ τόξο µε συφ κι ηµφ ρ ρ σε τρίγωο ΑΒΓ: ηµα γ R (R η κτί του εριγεγρµµέου κύκλου) ηµβ ηµγ (. ηµιτόω) +γ γσυα (κι κυκλικά) (. συηµιτόω)

10 δηµήτρη οιµείδη συρτήσεις τ εδί ορισµού, η µοοτοί, τ κρόττ κι τ σύολ τιµώ τω κολούθω συρτήσεω θεωρούτι γωστά (ροκύτου άλλωστε µέσως ό τις γρφικές τους ρστάσεις), >, < > > < < Κ(, f( )) + + γ >, < + + γ >, Κ(, f( )) + + γ <, > Κ(, f( ))

11 οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) ηµ συ εφ e ln κι άλλες ολλές γρφικές ρστάσεις g() f() g() f()+ g() f() g() f() g() f() η c g είι η c f µετκιηµέη οριζότι κτά η c g είι η c f µετκιηµέη κτκόρυφ κτά η c g είι η συµµετρική της c f ως ρος το άξο η c g είι η συµµετρική της c f ως ρος το άξο η c g είι η συµµετρική της c f ως ρος το Ο(,) A f ισχύει A f κι : f() f() η f είι άρτι κι η c f συµµετρική ως ρος το f() f() η f είι εριττή κι η c f συµµετρική ως ρος O(,) η c f έχει κοιό σηµείο µε το το (,f() ), έι Α f η c f έχει κοιά σηµεί µε το τ σηµεί µε τετµηµέες τις λύσεις της: f() η c f είι άω (κάτω) ό το ότ: f() > (f() < ) τ κοιά σηµεί ( υάρχου) τω c f κι c g έχου τετµηµέες τις λύσεις της: f() g() η c f είι άω (κάτω) ό τη c g ότ: f() > g() (f() < g()) όως

12 δηµήτρη οιµείδη ρκετά σχοληθήκµε όµως µε όλ υτά Vincent Willem van Gogh (8589) Starr night (889)