ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική Κτεύθυση

2 ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Θωμΐδης Ιωάης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης OMAΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Πολύζος Γεώργιος ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ Αδμόπουλος Λεωίδς Επίτιμος Σύμβουλος του ΠΙ Δκτυλογράφηση: Σχήμτ: Γρδέρη Ρόζ Μπούτσικς Μιχάλης Με πόφση της ελληικής κυβερήσεως τ διδκτικά βιβλί του Δημοτικού, του Γυμσίου κι του Λυκείου τυπώοτι πό το Οργισμό Εκδόσεως Διδκτικώ Βιβλίω κι διέμοτι δωρεά

3 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική Κτεύθυση Αδρεδάκης Στυλιός Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κτσργύρης Βσίλειος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Μέτης Στέφος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Μπρουχούτς Κω/ος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Ππστυρίδης Στύρος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ 999

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ To βιβλίο που κρτάτε στ χέρι σς περιλμβάει τη ύλη τω Μθημτικώ, όπως προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδώ της Θετικής Κτεύθυσης της Γ τάξης του Ειίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 999- Το βιβλίο υτό προήλθε πό μόρφωση του βιβλίου τω Μθημτικώ της ης κι της ης δέσμης της Γ τάξης του Γεικού Λυκείου κι ποτελείτι πό δύο μέρη To πρώτο μέρος, που φέρει το τίτλο ΑΛΓΕΒΡΑ, ποτελείτι πό δυο κεφάλι To πρώτο κεφάλιο ποτελεί μι εισγωγή στη Θεωρί τω Πιάκω, η ο- ποί μετξύ άλλω είι έ εργλείο γι τη μελέτη τω Γεωμετρικώ Μετσχημτισμώ κι τω Γρμμικώ Συστημάτω, τ οποί μελετώτι στο ίδιο κεφάλιο Το δεύτερο κεφάλιο εισάγει στους Μιγδικούς Αριθμούς, οι οποίοι είι προέκτση τω Πργμτικώ Αριθμώ Οι Μιγδικοί Αριθμοί κλύφθηκ τη περίοδο της Αγέησης στη προσπάθει επίλυσης εξισώσεω τρίτου βθμού Όμως, στους ιώες που κολούθησ ποδείχτηκε η μεγάλη σημσί τους γι πάρ πολλά προβλήμτ της μθημτικής επιστήμης κι τω εφρμογώ της Το κεφάλιο υτό έχει ληφθεί πό το βιβλίο τω Μθημτικώ Θετικής Κτεύθυσης Β τάξης Ειίου Λυκείου τω συγγρφέω: Αδμόπουλου Λ, Βισκδουράκη Β, Γβλά Δ, Πολύζου Γ κι Σβέρκου Α Tο δεύτερο μέρος, που φέρει το τίτλο ΑΝΑΛΥΣΗ, ποτελείτι πό τρί κεφάλι Το πρώτο κεφάλιο σημτοδοτεί έ έο ξεκίημ Είι το πέρσμ πό τις πεπερσμέες πράξεις στις «άπειρες διδικσίες» Τ σπέρμτ της έοις του ορίου υπάρχου σφλώς με πολύ σφή κι συγκεκριμέο τρόπο στ γρπτά του Αρχιμήδη Η άπτυξη, όμως, υτής της έοις έγιε στ χρόι της Αγέησης κι έκτοτε κτέχει κετρική θέση στο κόσμο τω μθημτικώ εοιώ Κτ ρχάς στο κεφάλιο υτό προυσιάζοτι βσικές κι ήδη γωστές στους μθητές - έοιες τω συρτήσεω, κθώς κι μερικές κόμη βσικές έοιες της Αάλυσης Στη συέχει εισάγετι η έοι του ορίου στο, η έοι του ορίου στο κι στο κι δίοτι οι πιο χρκτηριστικές ιδιότητές του Τέλος, δίετι η έοι της συέχεις μις συάρτησης κι προυσιάζοτι οι βσικότερες ιδιότητές της Στο δεύτερο κι τρίτο κεφάλιο προυσιάζοτι οι έοιες της πργώγου κι του ολοκληρώμτος τιστοίχως κι γίετι χρήση τω εοιώ υτώ σε πολλές εφρμογές Η πράγωγος κι το ολοκλήρωμ είι κτά κάποιο τρόπο οι

5 δύο διφορετικές όψεις του ίδιου ομίσμτος Σε μι έκφρσή τους είι η κλίση της εφπτομέης κι το εμβδό, σε άλλη η τχύτητ κι το μήκος της τροχιάς εός κιητού κτλ Αυτό το βιβλίο ως θρώπιο δημιούργημ δε είι τέλειο Ο μόος τρόπος γι έχουμε στ σχολεί μς ύστερ πό μερικά χρόι έ κλύτερο μέσο διδσκλίς είι ο ηφάλιος κι ελεύθερος διάλογος, το οποίο η επιστημοική πράδοση έχει κθιερώσει γι ιώες τώρ Γι υτό το λόγο η συγγρφική ομάδ με ιδιίτερη ικοποίηση θ δέχετι σχόλι κι πρτηρήσεις γι το βιβλίο πό οποιοδήποτε συάδελφο, μθητή ή άλλο πολίτη εδιφέρετι γι τ ζητήμτ της πιδείς Τ σχόλι κι οι πρτηρήσεις μπορού ποστέλλοτι στο Πιδγωγικό Ιστιτούτο, Μεσογείω 96, 5 Αγί Πρσκευή Μάρτιος 999 Οι Συγγρφείς

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α ΜΕΡΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Πίκες Γρμμικά Συστήμτ Σελ Η έοι του πίκ Πρόσθεση πιάκω - Πολλπλσισμός ριθμού με πίκ 6 Πολλπλσισμός πιάκω Γεωμετρικοί μετσχημτισμοί 7 5 Η έοι του γρμμικού συστήμτος 5 6 Επίλυση γρμμικού συστήμτος με τη μέθοδο πλοιφής του Gauss 5 7 Eπίλυση γρμμικού συστήμτος με τη μέθοδο τω οριζουσώ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Μιγδικοί Αριθμοί Η Έοι του Μιγδικού Αριθμού 85 Πράξεις στο Σύολο τω Μιγδικώ 88 Μέτρο Μιγδικού Αριθμού 97 Τριγωομετρική Μορφή Μιγδικού 5 Πολυωυμικές Εξισώσεις στο Β ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Όριο - συέχει συάρτησης Σελ Πργμτικοί Αριθμοί 9 Συρτήσεις Μοότοες συρτήσεις - Ατίστροφη συάρτηση 8 Όριο συάρτησης στο 57 5 Ιδιότητες τω ορίω 65 6 Μη πεπερσμέο όριο στο 76 7 Όριο συάρτησης στο άπειρο 8 8 Συέχει συάρτησης 88

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Διφορικός Λογισμός Η έοι της πργώγου 9 Πργωγίσιμες συρτήσεις - Πράγωγος συάρτήση Κόες πργώγισης 9 Ρυθμός μετβολής 5 Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού 5 6 Συέπειες του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής 5 7 Τοπικά κρόττ συάρτησης 58 8 Κυρτότητ - σημεί κμπής συάρτησης 7 9 Ασύμπτωτες - Κόες De L Hospital 79 Μελέτη κι χάρξη της γρφικής πράστσης μις συάρτησης 87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Ολοκληρωτικός Λογισμός Αόριστο ολοκλήρωμ Μέθοδοι ολοκλήρωσης 9 Διφορικές εξισώσεις 8 Ορισμέο ολοκλήρωμ 6 5 Η συάρτηση F t dt 6 Θεώρημ Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού 7 Εμβδό επιπέδου χωρίου ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 65

8 Β ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ

9 Α ΜΕΡΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

10 ΠΡΟΛΟΓΟΣ To βιβλίο που κρτάτε στ χέρι σς περιλμβάει τη ύλη τω Μθημτικώ, όπως προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδώ της Θετικής Κτεύθυσης της Γ τάξης του Ειίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 999- Το βιβλίο υτό προήλθε πό μόρφωση του βιβλίου τω Μθημτικώ της ης κι της ης δέσμης κι ποτελείτι πό δύο μέρη To πρώτο μέρος, που φέρει το τίτλο ΑΛΓΕΒΡΑ, ποτελείτι πό δυο κεφάλι To πρώτο κεφάλιο ποτελεί μι εισγωγή στη Θεωρί τω Πιάκω, η ο- ποί μετξύ άλλω είι έ εργλείο γι τη μελέτη τω Γεωμετρικώ Μετσχημτισμώ κι τω Γρμμικώ Συστημάτω, τ οποί μελετώτι στο ίδιο κεφάλιο Το δεύτερο κεφάλιο εισάγει στους Μιγδικούς Αριθμούς, οι οποίοι είι προέκτση τω Πργμτικώ Αριθμώ Οι Μιγδικοί Αριθμοί κλύφθηκ τη περίοδο της Αγέησης στη προσπάθει επίλυσης εξισώσεω τρίτου βθμού Όμως, στους ιώες που κολούθησ ποδείχτηκε η μεγάλη σημσί τους γι πάρ πολλά προβλήμτ της μθημτικής επιστήμης κι τω εφρμογώ της Το κεφάλιο υτό είι πρμέο πό το βιβλίο τω Μθημτικώ Θετικής Κτεύθυσης Β τάξης Ειίου Λυκείου τω συγγρφέω: Αδμόπουλου Λ, Βισκδουράκη Β, Γβλά Δ, Πολύζου Γ κι Σβέρκου Α Tο δεύτερο μέρος, που φέρει το τίτλο ΑΝΑΛΥΣΗ, ποτελείτι πό τρί κεφάλι Το πρώτο κεφάλιο σημτοδοτεί έ έο ξεκίημ Είι το πέρσμ πό τις πεπερσμέες πράξεις στις «άπειρες διδικσίες» Τ σπέρμτ της έοις του ορίου υπάρχου σφλώς με πολύ σφή κι συγκεκριμέο τρόπο στ γρπτά του Αρχιμήδη Η άπτυξη, όμως, υτής της έοις έγιε στ χρόι της Αγέησης κι έκτοτε κτέχει κετρική θέση στο κόσμο τω μθημτικώ εοιώ Κτ ρχάς στο κεφάλιο υτό προυσιάζοτι βσικές κι ήδη γωστές στους μθητές - έοιες τω συρτήσεω, κθώς κι μερικές κόμη βσικές έοιες της Αάλυσης Στη συέχει εισάγετι η έοι του ορίου στο, η έοι του ορίου στο κι στο κι δίοτι οι πιο χρκτηριστικές ιδιότητές του Τέλος, δίετι η έοι της συέχεις μις συάρτησης κι προυσιάζοτι οι βσικότερες ιδιότητές της Στο δεύτερο κι τρίτο κεφάλιο προυσιάζοτι οι έοιες της πργώγου κι του ολοκληρώμτος τιστοίχως κι γίετι χρήση τω εοιώ υτώ σε πολλές εφρμογές Η πράγωγος κι το ολοκλήρωμ είι κτά κάποιο τρόπο οι δύο διφορετικές όψεις του ίδιου ομίσμτος Σε μι έκφρσή τους είι η κλίση της εφπτομέης κι το εμβδό, σε άλλη η τχύτητ κι το μήκος της τροχιάς εός κιητού κτλ

11 Αυτό το βιβλίο ως θρώπιο δημιούργημ δε είι τέλειο Ο μόος τρόπος γι έχουμε στ σχολεί μς ύστερ πό μερικά χρόι έ κλύτερο μέσο διδσκλίς είι ο ηφάλιος κι ελεύθερος διάλογος, το οποίο η επιστημοική πράδοση έχει κθιερώσει γι ιώες τώρ Γι υτό το λόγο η συγγρφική ο- μάδ με ιδιίτερη ικοποίηση θ δέχετι σχόλι κι πρτηρήσεις γι το βιβλίο πό οποιοδήποτε συάδελφο, μθητή ή άλλο πολίτη εδιφέρετι γι τ ζητήμτ της πιδείς Τ σχόλι κι οι πρτηρήσεις μπορού ποστέλλοτι στο Πιδγωγικό Ιστιτούτο, Μεσογείω 96, 5 Αγί Πρσκευή Μάρτιος 999 Μάρτιος 999 Οι Συγγρφείς

12 ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Θωμΐδης Ιωάης : Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης OMAΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Πολύζος Γεώργιος ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ Αδμόπουλος Λεωίδς: Επίτιμος Σύμβουλος του ΠΙ Δκτυλογράφηση: Σχήμτ: Γρδέρη Ρόζ Μπούτσικς Μιχάλης Με πόφση της ελληικής κυβερήσεως τ διδκτικά βιβλί του Δημοτικού, του Γυμσίου κι του Λυκείου τυπώοτι πό το Οργισμό Εκδόσεως Διδκτικώ Βιβλίω κι διέμοτι δωρεά

13

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πίκες κι Γρμμικά Συστήμτ

15 OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύολο τω πργμτικώ ριθμώ Υπεθυμίζουμε ότι το σύολο τω πργμτικώ ριθμώ ποτελείτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάετι με τ σημεί εός άξο, τ ο υ ά ξ ο τ ω π ρ γ μ τ ι κ ώ ρ ι θ μ ώ Σχ 5 5 Ρητοί ριθμοί λέγοτι οι ριθμοί που έχου ή μπορού πάρου τη μορφή, όπου, β κέριοι με β Το σύολο τω ρητώ ριθμώ συμβολίζετι β με Είι, δηλδή,,β κέριοι με β β Υπεθυμίζουμε ότι το σύολο τω κέριω ριθμώ είι το {,,,,,,,,}, εώ το σύολο τω φυσικώ ριθμώ είι το e π

16 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γι τ σύολ {,,,,},, κι ισχύει: Τ σύολ { }, {}, {} κι {} * * * τ συμβολίζουμε συτομότερ με,, * κι τιστοίχως Πράξεις κι διάτξη στο Στο σύολο τω πργμτικώ ριθμώ ορίστηκ οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού κι με τη βοήθειά τους η φίρεση κι η διίρεση Οι ιδιότητες τω πράξεω υτώ είι γωστές πό προηγούμεες τάξεις Στη συέχει ορίστηκε η έοι της διάτξης, οι σπουδιότερες ιδιότητες της οποίς είι οι: A β κι β γ, τότε γ β γ β γ β γ βγ εώ β γ βγ,, ότ ότ γ > γ < Α β κι γ δ, β κι γ δ A κι,,β,γ,δ > τότε τότε γ β δ γ βδ 5 Α,β κι *, τότε ισχύει η ισοδυμί: β β 6 β κι β β 7 A β >, τότε ισχύει η ισοδυμί β β Διστήμτ πργμτικώ ριθμώ

17 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α,β με < β, τότε οομάζουμε διστήμτ με άκρ τ,β κθέ πό τ πρκάτω σύολ:,β { < < β}: οικτό διάστημ [,β] { β}: κλειστό διάστημ [, β { < β}: κλειστό-οικτό διάστημ,β] { < β}: οικτό-κλειστό διάστημ a a a a β β β β Α, τότε οομάζουμε μη φργμέ διστήμτ με άκρο το κθέ πό τ πρκάτω σύολ:, { > } [, { }, { < }, ] { } a a a a Υπό μορφή διστήμτος το σύολο το συμβολίζουμε με, Τ σημεί εός διστήμτος Δ, που είι διφορετικά πό τ άκρ του, λέγοτι εσωτερικά σημεί του Δ Απόλυτη τιμή πργμτικού ριθμού Η πόλυτη τιμή εός πργμτικού ριθμού, που συμβολίζετι με, ορίζετι ως εξής:,, < Γεωμετρικά, η πόλυτη τιμή του πριστάει τη πόστση του ριθμού πό το μηδέ, a εώ η πόλυτη τιμή του β πριστάει τη πόστση τω ριθμώ κι β 5

18 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ aβ β Μερικές πό τις βσικές ιδιότητες της πόλυτης τιμής είι οι εξής: 6 β β β β 5 β β β 6 < δ δ < < δ, δ > ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ν γρφού υπό μορφή διστήμτος ή έωσης διστημάτω τ σύολ: i A ii A < ΛΥΣΗ i Eίι κι Άρ A, [, ii Είι < ή < < < < < > >

19 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Άρ A, ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έοι της πργμτικής συάρτησης Η έοι της συάρτησης είι γωστή πό προηγούμεες τάξεις Στη πράγρφο υτή υπεθυμίζουμε το ορισμό της πργμτικής συάρτησης με πεδίο ορισμού έ υποσύολο του, επλμβάουμε γωστές έοιες κι τέλος ορίζουμε πράξεις μετξύ τω πργμτικώ συρτήσεω ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α έ υποσύολο του Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί κό, με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της στο κι συμβολίζετι με Γι εκφράσουμε τη διδικσί υτή, γράφουμε: : A Το γράμμ, που πριστάει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγετι εξάρτητη μετβλητή, εώ το γράμμ, που πριστάει τη τιμή της στο, λέγετι εξρτημέη μετβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συάρτησης συήθως συμβολίζετι με D Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ A, λέγετι σύολο τιμώ της κι συμβολίζετι με A Είι δηλδή: A { γι κάποιο A} ΠΡΟΣΟΧΗ Στ επόμε κι σε όλη τη έκτση του βιβλίου : Θ σχοληθούμε μόο με συρτήσεις που έχου πεδίο ορισμού διάστημ ή έωση διστημάτω Οτ θ λέμε ότι Η συάρτηση είι ορισμέη σ έ σύολο Β, θ εοούμε ότι το Β είι υποσύολο του πεδίου ορισμού της Στη περίπτωση υτή με B θ συμβολίζουμε το σύολο τω τιμώ της σε κάθε B Είι δηλδή:

20 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ B { γι κάποιο B} Συτομογρφί συάρτησης Είδμε πρπάω ότι γι οριστεί μι συάρτηση, ρκεί δοθού δύο στοιχεί: το πεδίο ορισμού της κι η τιμή της,, γι κάθε του πεδίου ορισμού της Συήθως, όμως, φερόμστε σε μι συάρτηση δίοτς μόο το τύπο με το οποίο εκφράζετι το Σε μι τέτοι περίπτωση θ θ ε ω ρ ο ύ μ ε σ υμ β τ ι κ ά ότι το πεδίο ορισμού της είι το σύολο όλω τω πργμτικώ ριθμώ, γι τους οποίους το έχει όημ Έτσι, γι πράδειγμ, τί λέμε δίετι η συάρτηση :,], με θ λέμε δίετι η συάρτηση με τύπο ή, πιο πλά, δίετι η συάρτηση, ή δίετι η συάρτηση ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ποιo είι το πεδίο ορισμού της συάρτησης με τύπο: i ii ln ΛΥΣΗ i H συάρτηση ορίζετι, ότ κι μόο ότ κι Το τριώυμο όμως έχει ρίζες τους ριθμούς κι Έτσι, η ίσωση ληθεύει, ότ κι μόο ότ ή Επομέως, το πεδίο ορισμού της είι το σύολο A,,] [, ii Η συάρτηση ορίζετι, ότ κι μόο ότ ln Είι όμως ln ln

21 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 ln ln e < e Επομέως, το πεδίο ορισμού της είι το σύολο A, e] Γρφική πράστση συάρτησης Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι O έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M, γι τ οποί ισχύει, δηλδή το σύολο τω σημείω M,, A, λέγετι γρφική πράστση της κι συμβολίζετι συήθως με C Η εξίσωση, λοιπό, επληθεύετι μόο πό τ σημεί της C Επομέως, η είι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της Επειδή κάθε A τιστοιχίζετι σε έ μόο, δε υπάρχου σημεί της γρφικής πράστσης της με τη ίδι τετμημέη Αυτό σημίει ότι κάθε κτκόρυφη ευθεί έχει με τη γρφική πράστση της το πολύ έ κοιό σημείο Σχ 7 Έτσι, ο κύκλος δε ποτελεί γρφική πράστση συάρτησης Σχ 7β 7 C C O Α O a β Οτ δίετι η γρφική πράστση C μις συάρτησης, τότε: Το πεδίο ορισμού της είι το σύολο Α τω τετμημέω τω σημείω της C β Το σύολο τιμώ της είι το σύολο A τω τετγμέω τω σημείω της C γ Η τιμή της στο A είι η τετγμέη του σημείου τομής της ευθείς κι της C Σχ 8

22 6 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 C Α C C A, O Α O β O γ Ότ δίετι η γρφική πράστση σχεδιάσουμε κι τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω C, μις συάρτησης μπορούμε, επίσης, κι Η γρφική πράστσης της συάρτησης είι συμμετρική, ως προς το άξο, της γρφικής πράστσης της, γιτί ποτελείτι πό τ σημεί M, που είι συμμετρικά τω M,, ως προς το ά- ξο Σχ 9 O Μ, Μ, 9 β Η γρφική πράστση της ποτελείτι πό τ τμήμτ της C που βρίσκοτι πάω πό το άξο κι πό τ συμμετρικά, ως προς το άξο, τω τμημάτω της C που βρίσκοτι κάτω πό το άξο υτό Σχ O Μερικές βσικές συρτήσεις Στη πράγρφο υτή δίουμε τις γρφικές πρστάσεις μερικώ βσικώ συρτήσεω, τις οποίες γωρίσμε σε προηγούμεες τάξεις Η πολυωυμική συάρτηση β

23 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 O O O a> Η πολυωυμική συάρτηση a<, a O > O < Η πολυωυμική συάρτηση, O O > < Η ρητή συάρτηση, O O > <

24 8 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Οι συρτήσεις, g 5 O O Επειδή, < g, η γρφική πράστση της ποτελείτι πο, κι ο άλλος η συμ- δύο κλάδους Ο ές είι η γρφική πράστση της μετρική της ως προς το άξο

25 8 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Οι τριγωικές συρτήσεις : ημ, συ, εφ 6 O π π ημ O π π συ β π/ O π/ π/ εφ γ Υπεθυμίζουμε ότι, οι συρτήσεις ημ κι συ είι περιοδικές με περίοδο T π, εώ η συάρτηση εφ είι περιοδική με περίοδο T π Η εκθετική συάρτηση, < 7 O O > << β

26 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 Υπεθυμίζουμε ότι: >, τότε: < < εώ < <, τότε: < > Η λογριθμική συάρτηση log, < 8 O O > << β Υπεθυμίζουμε ότι: log log log log log log κι 5 log log log k log κι log 6 log κlog 7 >, τότε: log < log < εώ < <, τότε : log < log > 8 ln e, φού ln e Οι πρπάω τύποι ισχύου με τη προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμε σύμβολ έχου όημ Με τη βοήθει τω πρπάω γρφικώ πρστάσεω μπορούμε σχεδιάσουμε τις γρφικές πρστάσεις εός μεγάλου ριθμού συρτήσεω, όπως στη πρκάτω εφρμογή

27 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ν πρστήσετε γρφικά κάθε μι πό τις πρκάτω συρτήσεις: i, ii g, iii h - ΛΥΣΗ i Αρχικά πριστάουμε γρφικά τη συάρτηση φ κι έπειτ τη φ 9 O ii Αρχικά πριστάουμε γρφικά τη συάρτηση φ κι έπειτ τη g φ O iiiεπειδή h g,η γρφική πράστση της h προκύπτει, μεττοπίσουμε τη γρφική πράστση της g κτά μί μοάδ προς τ δεξιά Ισότητ συρτήσεω Έστω οι συρτήσεις: O Πρτηρούμε ότι: κι g

28 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ οι συρτήσεις κι g έχου κοιό πεδίο ορισμού το σύολο A κι γι κάθε A ισχύει g, φού g Στη περίπτωση υτή λέμε ότι οι συρτήσεις κι g είι ίσες Γεικά: OΡΙΣΜΟΣ Δύο συρτήσεις κι g λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει g Γι δηλώσουμε ότι δύο συρτήσεις κι g είι ίσες γράφουμε g Έστω τώρ, g δύο συρτήσεις με πεδί ορισμού Α, Β τιστοίχως κι Γ έ υποσύολο τω Α κι Β Α γι κάθε Γ ισχύει g, τότε λέμε ότι οι συρτήσεις κι g είι ίσες στο σύολο Γ Σχ Γι πράδειγμ, οι συρτήσεις Ο B κι g, A που έχου πεδί ορισμού τ σύολ A { } κι B { } τιστοίχως, είι ίσες στο σύολο Γ {, }, φού γι κάθε Γ ισχύει Πράξεις με συρτήσεις Έστω οι συρτήσεις κι οι g, g φ, φ, φ Πρτηρούμε ότι:, Γ φ Το πεδίο ορισμού τω φ,φ κι φ είι το σύολο [,], που είι η τομή τω πεδίω ορισμού A,] κι B [, τω, g, εώ το πεδίο ορισμού της φ είι το σύολο,], που είι η τομή τω Α, Β εξιρέσουμε τ γι τ οποί ισχύει g, κι

29 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ β φ g, φ g, φ g, φ g Τις συρτήσεις φ, φ, φ κι φ τις λέμε άθροισμ, διφορά, γιόμεο κι πηλίκο τιστοίχως τω, g Γεικά: Ορίζουμε ως άθροισμ g, διφορά - g, γιόμεο g κι πηλίκο g δύο συρτήσεω, g τις συρτήσεις με τύπους g g g g g g g g Το πεδίο ορισμού τω g, g κι g είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι g τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της είι το A B, εξιρουμέω τω τιμώ του που μηδείζου το προομστή g, δηλδή το g σύολο Σύθεση συρτήσεω { A κι B, με g } Έστω η συάρτηση φ Η τιμή της φ στο μπορεί οριστεί σε δύο φάσεις ως εξής: Στο τιστοιχίζουμε το ριθμό κι στη συέχει β στο τιστοιχίζουμε το ριθμό, εφόσο g g Στη διδικσί υτή εμφίζοτι δύο συρτήσεις: η, που έχει πεδίο ορισμού το σύολο A φάση κι β η g, που έχει πεδίο ορισμού το σύολο B [, β φάση Έτσι, η τιμή της φ στο γράφετι τελικά

30 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ φ g Η συάρτηση φ λέγετι σύθεση της με τη g κι συμβολίζετι με go Το πεδίο ορισμού της φ δε είι ολόκληρο το πεδίο ορισμού Α της, λλά περιορίζετι στ A γι τ οποί η τιμή ήκει στο πεδίο ορισμού Β της g, δηλδή είι το σύολο A [, Γεικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Α, g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της με τη g, κι τη συμβολίζουμε με go, τη συάρτηση με τύπο go g A A B gb g g g A Το πεδίο ορισμού της go ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είι το σύολο A { A } B Είι φερό ότι η go ορίζετι A, δηλδή A B ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συέχει κι σε όλη τη έκτση του βιβλίου, θ σχοληθούμε μόο με συρτήσεις που οι συθέσεις τους έχου πεδίο ορισμού διάστημ ή έωση διστημάτω ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω οι συρτήσεις ln κι g Ν βρείτε τις συρτήσεις: i go ii og

31 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΣΗ Η συάρτηση έχει πεδίο ορισμού το D,, εώ η g το D [ i Γι ορίζετι η πράστση g πρέπει: g ή, ισοδύμ, D κι Dg > > > ln δηλδή πρέπει Επομέως, ορίζετι η go κι είι, go g gln ln, γι κάθε [ ii Γι ορίζετι η πράστση g πρέπει: ή, ισοδύμ, D g κι g D g > > > >, δηλδή πρέπει > Επομέως,ορίζετι η og κι είι og g ln, γι κάθε ΣΧΟΛΙΑ Στη πρπάω εφρμογή πρτηρούμε ότι go og Γεικά,, g είι δύο συρτήσεις κι ορίζοτι οι go κι og, τότε υτές δ ε ε ί ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Α, g, h είι τρεις συρτήσεις κι ορίζετι η ho go, τότε ορίζετι κι η hog o κι ισχύει ho go hog o Τη συάρτηση υτή τη λέμε σύθεση τω, g κι h κι τη συμβολίζουμε με hogo Η σύθεση συρτήσεω γεικεύετι κι γι περισσότερες πό τρεις συρτήσεις

32 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ποιο είι το πεδίο ορισμού τω πρκάτω συρτήσεω; i iii, ii iv ln e Γι ποιές τιμές του η γρφική πράστση της συάρτησης βρίσκετι πάω πό το άξο, ότ: i, ii, iii e Γι ποιές τιμές του η γρφική πράστση της συάρτησης βρίσκετι πάω πό τη γρφική πράστση της συάρτησης g, ότ: i κι g ii κι g Οι θρωπολόγοι εκτιμού οτι το ύψος του θρώπου δίετι πό τις συρτήσεις: A,89 7,6 γι τους άδρες κι Γ,75 7,8 γι τις γυίκες όπου σε εκτοστά, το μήκος του βρχίο Σε μί σκφή βρέθηκε έ οστό πό βρχίο μήκους,5 m Α προέρχετι πό άδρ ποιο ήτ το ύψος του; β A προέρχετι πό γυίκ ποιο ήτ το ύψος της; 5 Σύρμ μήκους cm κόβετι σε δύο κομμάτι με μήκη cm κι cm Με το πρώτο κομμάτι σχημτίζουμε τετράγωο κι με το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωο Ν βρείτε το άθροισμ τω εμβδώ τω δύο σχημάτω ως συάρτηση του 6 N πρστήσετε γρφικά τη συάρτηση:

33 6 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ i, ii,, < iii iv ln, Κι πό τη γρφική πράστση προσδιορίσετε το σύολο τω τιμώ της σε κθεμιά περίπτωση 7 Ν εξετάσετε σε ποιες πό τις πρκάτω περιπτώσεις είι g Στις περιπτώσεις που είι g προσδιορίσετε το ευρύτερο δυτό υποσύολο του στο οποίο ισχύει g i ii κι κι g g iii κι g 8 Δίοτι οι συρτήσεις κι g Ν βρείτε τις συρτήσεις g, g, g κι g 9 Ομοίως γι τις συρτήσεις κι g Ν προσδιορίσετε τη συάρτηση go, i iii κι g π κι g εφ, ii ημ κι g Δίοτι οι συρτήσεις κι g Ν προσδιορίσετε τις συρτήσεις go κι og Ν εκφράσετε τη συάρτηση ως σύθεση δύο ή περισσοτέρω συρτήσεω, i ημ, ii ημ

34 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 iii ln e, iv ημ B ΟΜΑΔΑΣ Ν προσδιορίσετε τη συάρτηση της οποίς η γρφική πράστση είι: i ii iii O O O Έ κουτί κυλιδρικού σχήμτος έχει κτί βάσης cm κι όγκο 68 cm Το υλικό τω βάσεω κοστίζει δρχ ά cm, εώ το υλικό της κυλιδρικής επιφάεις,5 δρχ ά cm Ν εκφράσετε το συολικό κόστος ως συάρτηση του Πόσο κοστίζει έ κουτί με κτί βάσης 5 cm, κι ύψος 8 cm; Στο διπλό σχήμ είι AB, ΑΓ κι ΓΔ Ν εκφράσετε το εμβδό του γρμμοσκισμέου χωρίου ως συάρτηση του AM, ότ το Μ διγράφει το ευθύγρμμο τμήμ ΑΓ Ε Δ Ν A M B Γ Έ ορθογώιο ΚΛΜΝ ύ- ψους cm είι εγγεγρμμέο σε έ τρίγωο ΑΒΓ A βάσης BΓ cm κι ύ- ψους ΑΔ 5 cm Ν εκφράσετε N Ε Μ το εμβδό Ε κι τη περίμετρο Ρ του ορθογωίου ως συάρτηση του 5 Ν πρστήσετε γρφικά τη συάρτηση: B K Δ Λ Γ ημ ημ i, ii, [,π] Aπό τη γρφική πράστση της προσδιορίσετε το σύολο τιμώ της σε κθεμιά περίπτωση

35 8 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Ν βρείτε συάρτηση τέτοι, ώστε ισχύει: i og, g ii og, g iii go συ, g 7 Δίοτι οι συρτήσεις κι g Γι ποι τιμή του ισχύει og go 8 Δίοτι οι συρτήσεις: β, με Ν ποδείξετε ότι, γι κάθε {} κι β g g, γι κάθε [,] β κι g 9 Οι πολεοδόμοι μις πόλης εκτιμού ότι, ότ ο πληθυσμός Ρ της πόλης είι εκτοτάδες χιλιάδες άτομ, θ υπάρχου στη πόλη N χιλιάδες υτοκίητ Έρευες δείχου ότι σε t έτη πό σήμερ ο πληθυσμός της πόλης θ είι t εκτοτάδες χιλιάδες άτομ i Ν εκφράσετε το ριθμό Ν τω υτοκιήτω της πόλης ως συάρτηση του t ii Πότε θ υπάρχου στη πόλη χιλιάδες υτοκίητ; ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μοοτοί συάρτησης Οι έοιες γησίως ύξουσ συάρτηση, γησίως φθίουσ συάρτηση είι γωστές πό προηγούμεη τάξη Συγκεκριμέ, μάθμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ

36 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 Μι συάρτηση λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: < Σχ γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει: > Σχ β 5 Ο Δ a Ο Γι δηλώσουμε ότι η είι γησίως ύξουσ τιστοίχως γησίως φθίουσ σε έ διάστημ Δ, γράφουμε Δ τιστοίχως Δ Γι πράδειγμ, η συάρτηση : είι γησίως ύξουσ στο [,, φού γι < έχουμε <, δηλδή < είι γησίως φθίουσ στο,], φού γι < έχουμε <, οπότε <, δηλδή > O Α μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ ή γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είι γησίως μοότοη στο Δ Στη περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είι έ διάστημ Δ κι η είι γησίως μοότοη σ υτό, τότε θ λέμε, πλώς, ότι η είι γησίως μοότοη Ακρόττ συάρτησης Δ β 6 Μι συάρτηση λέγετι, πλώς,: ύξουσ σ έ διάστημ Δ, ότ γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει φθίουσ σ έ διάστημ Δ, ότ γι οποιδήποτε, Δ με < ισχύει

37 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Οι έοιες μέγιστο, ελάχιστο, συάρτησης είι κι υτές γωστές πό προηγούμεες τάξεις Συγκεκριμέ μάθμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, ότ γι κάθε A Σχ 7 A ολικό ελάχιστο, το, ότ γι κάθε A Σχ 7β 7 C O O a C β Γι πράδειγμ: Η συάρτηση Σχ 8 προυσιάζει μέγιστο στο, το, φού γι κάθε Η συάρτηση Σχ 8β προυσιάζει ελάχιστο στο, το, φού γι κάθε 8 O O γ δ

38 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 Η συάρτηση ημ Σχ 9 προυσιάζει μέγιστο, το, σε κθέ π πό τ σημεί kπ, k κι ελάχιστο, το, σε κθέ πό τ σημεί kπ, k, φού ημ γι κάθε π Η συάρτηση Σχ 9β δε προυσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, φού είι γησίως ύξουσ 9 ημ π/ O π/ π ε π/ π 5π/ O στ Όπως είδμε κι στ προηγούμε πρδείγμτ, άλλες συρτήσεις προυσιάζου μόο μέγιστο, άλλες μόο ελάχιστο, άλλες κι μέγιστο κι ελάχιστο κι άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο Το ολικό μέγιστο κι το ολικό ελάχιστο μις συάρτησης λέγοτι ολικά κρόττ της Συάρτηση Έστω η συάρτηση Πρτηρούμε ότι γι οποιδήποτε ισχύει η συεπγωγή:, A, τότε, που σημίει ότι: Τ διφορετικά στοιχεί, D έχου πάτοτε διφορετικές εικόες Λόγω της τελευτίς ιδιότητς η συάρτηση λέγετι συάρτηση έ προς έ Γεικά: ΟΡΙΣΜΟΣ O Μι συάρτηση, A ισχύει η συεπγωγή: : A λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, τότε

39 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

40 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Με πγωγή σε άτοπο ποδεικύετι ότι: Μι συάρτηση : A είι συάρτηση, κι μόο γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή: Έτσι γι πράδειγμ:, τότε Η συάρτηση β, με είι συάρτηση Σχ, β β O O O a β φού, υποθέσουμε ότι, τότε έχουμε διδοχικά: γ β β Η συάρτηση β δε είι συάρτηση - Σχ γ, φού β γι οποιδήποτε,, Η συάρτηση Σχ δε είι συάρτηση, φού κι είι ΣΧΟΛΙΑ O Από το πρπάω ορισμό προκύπτει ότι μι συάρτηση είι, κι μόο : Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση έχει κριβώς μι λύση ως προς Δε υπάρχου σημεί της γρφικής της πράστσης με τη ίδι τετγμέη Αυτό σημίει ότι κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έ σημείο Σχ

41 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 A B O συάρτηση - O συάρτηση όχι - Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη, τότε προφώς, είι συάρτηση " " Έτσι, οι συρτήσεις β,,,,, < κι log, <, είι συρτήσεις Υπάρχου, όμως, συρτήσεις που είι λλά δε είι γησίως μοότοες, όπως γι πράδειγμ η συάρτηση, g Σχ, > Ατίστροφη συάρτηση g O Έστω μι συάρτηση : A Α υποθέσουμε ότι υτή είι, τότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ, A, της υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει Επομέως ορίζετι μι συάρτηση g : A με τη οποί κάθε A τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει Από το τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύολο τιμώ A της, έχει σύολο τιμώ το πεδίο ορισμού Α της κι ισχύει η ισοδυμί: g O 5

42 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αυτό σημίει ότι, η τιστοιχίζει το στο, τότε η g τιστοιχίζει το στο κι τιστρόφως Δηλδή η g είι η τίστροφη διδικσί της Γι το λόγο υτό η g λέγετι τίστροφη συάρτηση της κι συμβολίζετι με Επομέως έχουμε A g A 6a g οπότε, A κι, A Γι πράδειγμ, έστω η εκθετική συάρτηση Όπως είι γωστό η συάρτηση υτή είι με πεδίο ορισμού το κι σύολο τιμώ το, Επομέως ορίζετι η log a, a 6β τίστροφη συάρτηση της Η συάρτηση υτή, σύμφω με όσ είπμε προηγουμέως, - έχει πεδίο ορισμού το, έχει σύολο τιμώ το κι τιστοιχίζει κάθε, στο μοάδικό γι το οποίο ισχύει Επειδή όμως θ είι log, log Επομέως, η τίστροφη της εκθετικής συάρτησης <, είι η λογριθμική συάρτηση g log Συεπώς log log κι,,, Ας πάρουμε τώρ μι συάρτηση κι ς θεωρήσουμε τις γρφικές πρστάσεις C κι C τω κι της στο ίδιο σύστημ ξόω Σχ 7 Επειδή, έ σημείο M, β ήκει στη γρφική πράστση C της, τότε το σημείο Μ β, θ ήκει στη γρφική πράστση C M,β 7 M β, O C

43 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 55 C της κι τιστρόφως Τ σημεί, όμως, υτά είι συμμετρικά ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες O κι O Επομέως: Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες O κι O Έτσι, οι γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω κι g log, <, είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ν ποδειχτεί ότι η συάρτηση e είι κι βρεθεί η τίστροφή της ΛΥΣΗ Έστω, με Θ δείξουμε ότι Πράγμτι έχουμε διδοχικά: e e e e e e Γι βρούμε τη τίστροφη της θέτουμε κι λύουμε ως προς Έχουμε λοιπό: e e e ln, > ln, >

44 56 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ln, > Επομέως, ln, >, οπότε η τίστροφη της είι η συ- ln, > άρτηση ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε ποιες πό τις πρκάτω συρτήσεις είι γησίως ύξουσες κι ποιες γησίως φθίουσες i ii ln iii e iv, Ν βρείτε ποιες πό τις πρκάτω συρτήσεις είι " " κι γι κθεμί π υτές βρείτε τη τίστροφή της i v ln ii vi e iii vii iv e e viii Δίοτι οι γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω, g, φ κι ψ g O O

45 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 57 φ ψ O O Ν βρείτε ποιες πό τις συρτήσεις, g, φ, ψ έχου τίστροφη κι γι κθεμί π υτές χράξετε τη γρφική πράστση της τίστροφής της Ν δείξετε ότι: i Α μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ σε έ διάστημ Δ, τότε η συάρτηση είι γησίως φθίουσ στο Δ, g είι γησίως ύξουσες σε έ διάστη- ii Α δύο συρτήσεις μ Δ, τότε η συάρτηση g είι γησίως ύξουσ στο Δ iii Α δύο συρτήσεις, g είι γησίως ύξουσες σε έ διάστημ Δ κι ισχύει κι g γι κάθε Δ, τότε η συάρτηση g είι γησίως ύξουσ στο Δ, g είι γησίως φθί- Αάλογ συμπεράσμτ διτυπώοτι, οι ουσες σε έ διάστημ Δ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Εισγωγή Η έοι του ορίου γεήθηκε στη προσπάθει τω μθημτικώ πτήσου σε ερωτήμτ όπως: Τι οομάζουμε στιγμιί τχύτητ εός κιητού; Tι οομάζουμε εφπτομέη μις κμπύλης σε έ σημείο της; Τι οομάζουμε εμβδό εός μικτόγρμμου χωρίου; Στις πργράφους που κολουθού, ρχικά προσεγγίζουμε τη έοι του ορίου διισθητικά, στη συέχει διτυπώουμε το υστηρό μθημτικό ορισμό του ορίου κι μερικές βάσικές ιδιότητές του κι τέλος, εισάγουμε τη έοι της συέχεις μις συάρτησης

46 58 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έοι του ορίου Έστω η συάρτηση Η συάρτηση υτή έχει πεδίο ορισμού το σύολο D {} κι γράφετι O, Επομέως, η γρφική της πράστση είι η ευθεί με εξίρεση το σημείο A, Σχ 8 Στο σχήμ υτό, πρτηρούμε ότι: Κθώς το, κιούμεο με οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο, προσεγγίζει το πργμτικό ριθμό, το, κιούμεο πάω στο άξο, προσεγγίζει το πργμτικό ριθμό Κι μάλιστ, οι τιμές είι τόσο κοτά στο όσο θέλουμε, γι όλ τ που είι ρκούτως κοτά στο Στη περίπτωση υτή γράφουμε κι διβάζουμε lim το όριο της, ότ το τείει στο, είι Γεικά: Ότ οι τιμές μις συάρτησης προσεγγίζου όσο θέλουμε έ πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο το ριθμό, τότε γράφουμε lim κι διβάζουμε το όριο της, ότ το τείει στο, είι ή 8 το όριο της στο είι 9 O a O β O γ ΣΧΟΛΙΟ

47 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 59 Από τ πρπάω σχήμτ πρτηρούμε ότι: Γι ζητήσουμε το όριο της στο, πρέπει η ορίζετι όσο θέλουμε κοτά στο, δηλδή η είι ορισμέη σ έ σύολο της μορφής,, ή, ή, β β Το μπορεί ήκει στο πεδίο ορισμού της συάρτησης Σχ 9, 9β ή μη ήκει σ υτό Σχ 9γ Η τιμή της στο, ότ υπάρχει, μπορεί είι ίση με το όριό της στο Σχ 9 ή διφορετική πό υτό Σχ 9β Έστω, τώρ, η συάρτηση, <, 5, > της οποίς η γρφική πράστση ποτελείτι πό τις ημιευθείες του διπλού σχήμτος Πρτηρούμε ότι: Ότ το προσεγγίζει το πό ριστερά <, τότε οι τιμές της προσεγγίζου όσο θέλουμε το πργμτικό ριθμό Στη περίπτωση υτή γράφουμε: lim Οτ το προσεγγίζει το πό δεξιά >, τότε οι τιμές της προσεγγίζου όσο θελουμε το πργμτικό ριθμό Στη περίπτωση υτή γράφουμε: Γεικά: lim Οτ οι τιμές μις συάρτησης προσεγγίζου όσο θέλουμε το πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει το πό μικρότερες τιμές <, τότε γράφουμε: lim κι διβάζουμε: το όριο της, ότ το τείει στο πό τ ριστερά, είι Οτ οι τιμές μις συάρτησης προσεγγίζου όσο θέλουμε το πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει το πό μεγλύτερες τιμές >, τότε γράφουμε: lim κι διβάζουμε: O

48 6 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ το όριο της, ότ το τείει στο πό τ δεξιά, είι O a O β O γ Τους ριθμούς lim κι lim τους λέμε πλευρικά όρι της στο κι συγκεκριμέ το ριστερό όριο της στο, εώ το δεξιό όριο της στο Από τ πρπάω σχήμτ φίετι ότι: lim, κι μόο lim lim Γι πράδειγμ, η συάρτηση δε έχει όριο στο, φού: Σχ γι < είι, οπότε lim εώ γι > είι, οπότε lim,, O κι έτσι lim lim Ορισμός του ορίου στο Στ προηγούμε γωρίσμε τη έοι του ορίου διισθητικά Είδμε ότι, ότ γράφουμε lim, εοούμε ότι οι τιμές βρίσκοτι όσο θέλουμε κοτά στο, γι όλ τ τ οποί βρίσκοτι ρκούτως κοτά στο Γι διτυπώσουμε, τώρ, τ πρπάω σε μθημτική γλώσσ εργζόμστε ως εξής:

49 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Στη θέση της φράσης οι τιμές βρίσκοτι οσοδήποτε θέλουμε κοτά στο χρησιμοποιούμε τη ισότητ < ε, όπου ε οποιοσδήποτε θετικός ριθμός Στη θέση της φράσης γι όλ τ που βρίσκοτι ρκούτως κοτά στο χρησιμοποιούμε τη ισότητ < < δ, ε ε O δ δ όπου δ είι ές ρκούτως μικρός θετικός ριθμός Η ισότητ < δηλώει ότι Γι συδέσουμε τις δυο υτές φράσεις σύμφω με το διισθητικό ορισμό λέμε ότι γι οποιοδήποτε θετικό ριθμό ε μπορούμε βρούμε έ θετικό ριθμό δ τέτοιο ώστε, το ικοποιεί τη, τότε το θ ικοποιεί τη Έχουμε δηλδή το κόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,, β Θ λέμε ότι η έχει στο όριο, ότ γι κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιος, ώστε γι κάθε,,, με < < δ, ισχύει: β < ε Αποδεικύετι ότι, μι συάρτηση έχει όριο στο, τότε υτό είι μοδικό κι συμβολίζετι, όπως είδμε, με lim Στη συέχει, ότ γράφουμε στο κι είι ίσο με lim, θ εοούμε ότι υπάρχει το όριο της Συέπει του πρπάω ορισμού είι οι κόλουθες ισοδυμίες: lim lim β lim lim h h Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ διάστημ της μορφής, β κι τη ισότητ < < δ τη τικτστήσουμε με τη < < δ, τότε έχουμε το ορισμό του lim, εώ η είι ορισμέη σε έ διάστημ

50 6 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ της μορφής, κι τη ισότητ < < δ τη τικτστήσουμε με δ < τη <, τότε έχουμε το ορισμό του lim Αποδεικύετι ότι: Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,, β, τότε ισχύει η ισοδυμί: lim lim lim Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ διάστημ της μορφής, β, λλά δε ορίζετι σε διάστημ της μορφής,, τότε ορίζουμε: Γι πράδειγμ, lim lim lim lim Σχ O Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ διάστημ της μορφής,, λλά δε ορίζετι σε διάστημ της μορφής, β, τότε ορίζουμε: 5 Γι πράδειγμ, lim lim lim lim Σχ 5 O ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικύετι ότι το lim είι εξάρτητο τω άκρω, β τω διστημάτω, κι, β στ οποί θεωρούμε ότι είι ορισμέη η Έτσι γι πράδειγμ, θέλουμε βρούμε το όριο της συάρτησης στο, περιοριζόμστε στο 6 υποσύολο,, του πεδίου ορισμού της, στο οποίο υτή πίρει τη μορφή O Επομέως, όπως φίετι κι πό το διπλό σχήμ, το ζητούμεο όριο είι lim

51 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 ΣΥΜΒΑΣΗ Στη συέχει, ότ λέμε ότι μι συάρτηση έχει κοτά στο μι ιδιότητ Ρ θ εοούμε ότι ισχύει μι πό τις πρκάτω τρεις συθήκες: Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,, β κι στο σύολο υτό έχει τη ιδιότητ Ρ β Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,, έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ, λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής, β γ Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής, β, έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ, λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής, Γι πράδειγμ, η συάρτηση ημ είι θετική κοτά στο, φού ορίζετι στο σύολο π π,, κι είι θετική σε υτό Όριο τυτοτικής - στθερής συάρτησης Με τη βοήθει του ορισμού του ορίου ποδεικύετι ότι: lim lim c c 7 c O a O β Η πρώτη ισότητ δηλώει ότι το όριο της τυτοτικής συάρτησης Σχ 7 στο είι ίσο με τη τιμή της στο, εώ η δεύτερη ισότητ δηλώει ότι το όριο της στθερής συάρτησης g c Σχ 7β στο είι ίσο με c

52 6 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε το lim κι το, εφόσο υπάρχου, ότ η γρφική πράστση της συάρτησης είι: O O O O,,, Ν χράξετε τη γρφική πράστση της συάρτησης κι με τη βοήθει υτής βρείτε, εφόσο υπάρχει, το lim, ότ:, 5 6 i, ii,, >, iii, iv,, > Ομοίως ότ: i, ή ii 9 6,

53 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 65 Δίετι η συάρτηση που είι ορισμέη στο [, κι έχει γρφική πράστση που φίετι στο πρκάτω σχήμ Ν εξετάσετε ποιοι πό τους επόμεους ισχυρισμούς είι ληθείς i lim ii lim iii lim iv lim v lim vi lim - O 5 Δίετι μι συάρτηση ορισμέη στο,,, με lim λ 6 β lim λ Ν βρείτε τις τιμές του λ, γι τις οποίες υπάρχει το lim κι 5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όριο κι διάτξη Γι το όριο κι τη διάτξη ποδεικύετι ότι ισχύου τ πρκάτω θεωρήμτ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α lim >, τότε > κοτά στο Σχ 8 Α lim <, τότε < κοτά στο Σχ 8β

54 66 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ C C 8 O β O β ΘΕΩΡΗΜΑ ο a Α οι συρτήσεις, τότε, g έχου όριο στο κι ισχύει g κοτά στο lim C lim g β C 9 C g C g O β O β a β Όρι κι πράξεις Τ δύο βσικά όρι lim, lim c c κι το θεώρημ που κολουθεί διευκολύου το υπολογισμό τω ορίω ΘΕΩΡΗΜΑ Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι g στο, τότε: lim g lim lim g lim κ κ lim, γι κάθε στθερά κ lim g lim lim g lim lim, εφόσο lim g g lim g

55 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 67 5 lim lim 6 k k lim lim, εφόσο κοτά στο Οι ιδιότητες κι του θεωρήμτος ισχύου κι γι περισσότερες πό δυο συρτήσεις Άμεση συέπει υτού είι: lim ] lim[, * Γι πράδειγμ, lim Έστω τώρ το πολυώυμο P κι Σύμφω με τις πρπάω ιδιότητες έχουμε: lim lim P lim lim lim lim lim lim P Επομέως, lim P P Γι πράδειγμ, lim Έστω η ρητή συάρτηση Q P, όπου P, Q πολυώυμ του κι με Q Τότε, lim lim lim lim Q P Q P Q P Επομέως,

56 68 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ P P lim Q Q, εφόσο Q Γι πράδειγμ, ΣΧΟΛΙΟ lim Ότ Q, τότε δε εφρμόζετι η ιδιότητ του πρπάω θεωρήμτος Στη περίπτωση υτή εργζόμστε όπως στη εφρμογή ii, που κολουθεί ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 8 9 N βρεθού τ πρκάτω όρι: 9 i lim[ ] ii 5 lim 6 iii lim ΛΥΣΗ i Έχουμε 9 9 lim [ ] lim lim 9 [ lim ] lim 9 ii Επειδή lim, δε μπορούμε εφρμόσουμε το κό του πηλίκου ιδιότητ Πρτηρούμε όμως ότι γι μηδείζοτι κι οι δύο όροι του κλάσμτος Οπότε η συάρτηση Επομέως, 5 6, γι, γράφετι: 5 6 lim lim iii Γι μηδείζοτι οι όροι του κλάσμτος Στη περίπτωση υτή εργζόμστε ως εξής:

57 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 69 Πολλπλσιάζουμε κι τους δύο όρους του κλάσμτος με κι έτσι έχουμε: Επομέως, 6 lim lim lim lim N βρεθεί, υπάρχει, το όριο στο της συάρτησης <,, ΛΥΣΗ Α <, τότε, οπότε lim lim Α >, τότε, οπότε lim lim Επομέως lim

58 7 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Κριτήριο πρεμβολής Υποθέτουμε ότι κοτά στο μι συάρτηση εγκλωβίζετι Σχ 5 άμεσ σε δύο συρτήσεις h κι g Α, κθώς το τείει στο, οι g κι h έχου κοιό όριο, τότε, όπως φίετι κι στο σχήμ, η θ έχει το ίδιο όριο Αυτό δίει τη ιδέ του πρκάτω θεωρήμτος που είι γωστό ως κριτήριο πρεμβολής ΘΕΩΡΗΜΑ O C g C C h 5 β Έστω οι συρτήσεις, g, h Α τότε h g κοτά στο κι lim h lim g, lim Γι πράδειγμ, lim ημ Πράγμτι, γι έχουμε ημ ημ, οπότε ημ Επειδή lim lim, σύμφω με το πρπάω κριτήριο, έχουμε: lim ημ Tριγωομετρικά όρι Το κριτήριο πρεμβολής είι πολύ χρήσιμο γι το υπολογισμό ορισμέω τριγωομετρικώ ορίω Αρχικά ποδεικύουμε ότι: ημ, γι κάθε η ισότητ ισχύει μόο ότ

59 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γι προφώς ισχύει η ισότητ Γι, π πό το διπλό σχήμ έχουμε Άρ ημ MM < MA < τοξma ημ <, γι κάθε, π 5 M O A M π Γι, είι, π, οπότε λόγω της έχουμε, ημ < ή, ισοδύμ, ημ < π π π Γι, είι > ημ, οπότε ημ < Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις ισχύει ημ, με τη ισότητ ισχύει μόο γι Με τη βοήθει της πρπάω ισότητς κι του κριτηρίου πρεμβολής θ - ποδείξουμε ότι: ΑΠΟΔΕΙΞΗ lim ημ ημ lim συ συ Αρχικά θ ποδείξουμε ότι lim ημ κι lim συ Πράγμτι: Σύμφω με τη προηγούμεη ισότητ έχουμε ημ, οπότε ημ Επειδή lim lim, σύμφω με το κριτήριο πρεμβολής, θ είι lim ημ Γωρίζουμε ότι συ ημ, οπότε

60 7 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επομέως π π συ ημ, γι κάθε,, lim συ lim ημ lim ημ Θ ποδείξουμε, τώρ, ότι lim ημ ημ Πράγμτι έχουμε lim ημ lim ημ h limημσυh συημh h h ημ lim συh συ lim ημh h h ημ συ ημ Αάλογ ποδεικύετι κι ότι lim συ συ ημ lim β συ lim ΑΠΟΔΕΙΞΗ π Α < <, τότε πό το διπλό σχήμ προκύπτει ότι εμβτριγ ΟΑΜ < εμβτομ ΟΑΜ < εμβτριγ ΟΑΝ, oπότε έχουμε διδοχικά: ημ < < εφ ημ < < εφ N 5 M εφ ημ O A M < < ημ ημ συ < < συ π Α < <, τότε π ημ < <, οπότε έχουμε συ < <

61 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 κι άρ ημ συ < < π π ημ Επομέως, γι κάθε,, ισχύει συ < < ημ Επειδή lim συ, πό το κριτήριο πρεμβολής προκύπτει ότι lim ημ 5 -π -π -π O π π π β Έχουμε συ συ συ lim lim συ συ lim συ ημ lim συ

62 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 ημ ημ lim συ ημ ημ lim lim συ Όριο σύθετης συάρτησης Με τις ιδιότητες που φέρουμε μέχρι τώρ μπορούμε προσδιορίσουμε τ όρι πλώ συρτήσεω Α, όμως, θέλουμε υπολογίσουμε το lim g, της σύθετης συάρτησης g στο σημείο, τότε εργζόμστε ως εξής: Θέτουμε u g Υπολογίζουμε υπάρχει το u lim g κι Υπολογίζουμε υπάρχει το lim u u u Αποδεικύετι ότι, g u κοτά στο, τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με, δηλδή ισχύει: lim g lim u u u ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συέχει κι σε όλη τη έκτση του βιβλίου τ όρι της μορφής lim g με τ οποί θ σχοληθούμε θ είι τέτοι, ώστε ικοποιείτι η συθήκη: g u κοτά στο κι γιυτό δε θ ελέγχετι Γι πράδειγμ: Έστω ότι θέλουμε υπολογίσουμε το όριο π lim ημ Α θέσουμε u, τότε π lim u lim π π, οπότε lim ημ π π lim ημu ημ π u β Έστω ότι θέλουμε υπολογίσουμε το όριο lim ημ

63 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Είι Έτσι, θέσουμε ημ ημ u, τότε lim u lim, οπότε ημ ημ ημu lim lim lim u u ΑΣΚΗΣΕΙΣ N βρείτε τ όρι: Α ΟΜΑΔΑΣ 5 i lim 5 iii 8 lim ii lim iv lim[ 5 ] v lim 5 vi lim vii lim viii lim Έστω μι συάρτηση με lim Ν βρείτε το lim g : i g 5 ii g iii g Ν βρείτε τ όρι i 6 lim ii 8 ii lim iii lim iv 7 lim

64 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 75 Ν βρείτε τ όρι i iii lim ii lim 9 9 lim iv 5 lim 5 5 Ν βρείτε υπάρχει, το όριο της στο :, i κι 5, > ii, < κι, 6 Ν βρείτε τ όρι: i ημ lim ii εφ lim iii εφ lim ημ iv ημ ημ lim v lim vi ημ5 lim 5 7 Ν βρείτε τ όρι: i ημ lim π συ ii συ lim ημ iii ημ lim ημ 8 N βρείτε το lim, : i ii γι κάθε π γι κάθε συ, π β, 9 Δίετι η συάρτηση Ν βρείτε τις τιμές β, > τω, β, γι τις οποίες ισχύει lim Ν βρείτε τ όρι: Β ΟΜΑΔΑΣ

65 76 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ i iii lim 8 lim ii lim N βρείτε όσ πό τ πρκάτω όρι υπάρχου i iii 5 lim lim ii 5 5 lim 5 5 iv lim Στο διπλό σχήμ το τρίγωο ΑΒΓ είι ορθογώιο με γ Ν υπολογίσετε τ όρι: i lim β, ii lim β iii π θ lim π θ β Ν βρείτε το lim, : i lim π θ Γ β Α γ ii lim θ Β 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Στο σχήμ 5 έχουμε τη γρφική πράστση μις συάρτησης κοτά στο Πρτηρούμε ότι, κθώς το κιούμεο με οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργμτικό ριθμό, οι τιμές υξάοτι περιόριστ κι γίοτι μεγλύτερες πό οποιοδήποτε θετικό ριθμό Μ Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η συάρτηση έχει στο όριο κι γράφουμε lim M O 5

66 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 77 Στο σχήμ 55 έχουμε τη γρφική πράστση μις συάρτησης κοτά στο Πρτηρούμε ότι, κθώς το κιούμεο με οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργμτικό ριθμό, οι τιμές ελττώοτι περιόριστ κι γίοτι μικρότερες πό οποιοδήποτε ρητικό ριθμό M M > Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η συάρτηση έχει στο όριο κι γράφουμε lim O -M 55 ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μι συάρτηση που είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,, Ορίζουμε β lim,, β, ότ γι κάθε >, με < < δ ισχύει lim,, β M υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε γι κάθε > M, ότ γι κάθε >, με < < δ ισχύει M υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε γι κάθε < M Αάλογοι ορισμοί μπορού διτυπωθού ότ κι 56 C C C g O C g O a β Όπως στη περίπτωση τω πεπερσμέω ορίω έτσι κι γι τ άπειρ όρι συρτήσεω, που ορίζοτι σε έ σύολο της μορφής,, β, ισχύου οι πρκάτω ισοδυμίες:

67 78 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ lim lim lim lim lim lim Με τη βοήθει του ορισμού ποδεικύοτι οι πρκάτω ιδιότητες: Α lim, τότε > κοτά στο, εώ lim, τότε < κοτά στο Α lim, τότε lim, εώ lim, τότε lim Α lim ή, τότε lim Α lim κι > κοτά στο, τότε lim, εώ lim κι < κοτά στο, τότε lim Α lim ή, τότε lim Α lim, τότε lim k Σύμφω με τις ιδιότητες υτές έχουμε: lim κι γεικά lim, * Σχ O O β

68 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 79 lim εώ lim κι γεικά lim κι γεικά, lim, Σχ 57β Επομέως, δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της, Γι τ όρι θροίσμτος κι γιομέου δύο συρτήσεω ποδεικύοτι τ πρκάτω θεωρήμτ: ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο θροίσμτος Α στο το όριο της είι: - - κι το όριο της g είι: τότε το όριο της g είι: - - ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο γιομέου Α στο, το όριο της είι: κι το όριο της g είι: τότε το όριο της g είι: > < > < ; ; - - Στους πίκες τω πρπάω θεωρημάτω, όπου υπάρχει ερωτημτικό, σημίει ότι το όριο υπάρχει εξρτάτι κάθε φορά πό τις συρτήσεις που πίρουμε Στις περιπτώσεις υτές λέμε ότι έχουμε προσδιόριστη μορφή Δηλδή, προσδιόριστες μορφές γι τ όρι θροίσμτος κι γιομέου συρτήσεω είι οι: κι ± Επειδή g g κι, προσδιόριστες μορφές γι τ όρι της g g διφοράς κι του πηλίκου συρτήσεω είι οι:

69 8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, κι ±, ± Γι πράδειγμ: πάρουμε τις συρτήσεις κι g, τότε έχουμε: lim lim, lim g lim κι lim g lim εώ, πάρουμε τις συρτήσεις κι g, τότε έχουμε: lim lim, lim g lim κι lim g lim lim Αάλογ πρδείγμτ μπορούμε δώσουμε κι γι τις άλλες μορφές ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ N βρεθού τ όρι: i 5 6 lim ii lim ΛΥΣΗ i Επειδή lim κι > κοτά στο, είι lim Eπειδή επιπλέο είι lim 5 6, έχουμε: 5 6 lim lim 5 6 ii Επειδή lim κι > κοτά στο, είι lim Επειδή επιπλέο είι lim, έχουμε

70 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 lim lim Ν βρεθού τ πλευρικά όρι της συάρτησης στο κι στη συέχει εξετσθεί, υπάρχει το όριο της στο ΛΥΣΗ Επειδή lim επιπλέο lim, έχουμε κι > γι >, είι lim Επειδή lim lim Επειδή lim κι < γι <, είι lim Επειδή επιπλέο lim, έχουμε lim lim Πρτηρούμε ότι τ δύο πλευρικά όρι δε είι ίσ Επομέως δε υπάρχει όριο της στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε υπάρχει το όριο της στο ότ: 5 i, ii, iii, Ν βρείτε υπάρχει το όριο της στο, ότ: i, ii,

71 8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ iii, Β ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε εφόσο υπάρχει το Ν ποδείξετε ότι: 9 lim 8 π i Η συάρτηση εφ δε έχει όριο στο ii Η συάρτηση σφ δε έχει όριο στο Δίοτι οι συρτήσεις λ μ κι g N βρείτε τις τιμές τω λ, μ γι τις οποίες υπάρχου στο τ όρι lim κι lim g Στη συέχει υπολογίσετε τ πρπάω όρι Ν βρείτε το lim, ότ: i lim ii lim iii lim[ ] 7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πρκάτω σχήμτ έχουμε τις γρφικές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 58 O a C g C g O β O h γ C h

72 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Πρτηρούμε ότι κθώς το υξάετι περιόριστ με οποιοδήποτε τρόπο, το προσεγγίζει όσο θέλουμε το πργμτικό ριθμό Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η έχει στο όριο το κι γράφουμε lim το g υξάετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η g έχει στο όριο το κι γράφουμε lim g το h μειώετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η h έχει στο όριο το κι γράφουμε lim h ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Από τ πρπάω προκύπτει ότι γι ζητήσουμε το όριο μις συάρτησης στο, πρέπει η είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής, Αάλογοι ορισμοί μπορού διτυπωθού, ότ γι μι συάρτηση που είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής, β Ετσι, γι τις συρτήσεις, g, h τω πρκάτω σχημάτω έχουμε: C O Cg g O β C h γ O h 59 lim lim g κι lim h Γι το υπολογισμό του ορίου στο ή εός μεγάλου ριθμού συρτήσεω χρειζόμστε τ πρκάτω βσικά όρι: lim κι lim,, lim -, Γι πράδειγμ, lim άρτιος περιττός, lim κι lim, κι lim * *

73 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Γι τ όρι στο, ισχύου οι γωστές ιδιότητες τω ορίω στο με τη προϋπόθεση ότι: οι συρτήσεις είι ορισμέες σε κτάλληλ σύολ κι δε κτλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή Όριο πολυωυμικής κι ρητής συάρτησης Έστω η συάρτηση 5 Α εφρμόσουμε τις ιδιότητες τω ορίω γι το υπολογισμό του lim, κτλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή Στη περίπτωση υτή εργζόμστε ως εξής: Γι έχουμε 5 Επειδή 5 lim κι lim έχουμε lim lim Γεικά Γι τη πολυωυμική συάρτηση P, με ι- σχύει: lim lim P κι lim lim P Γι πράδειγμ, lim 7 6 lim 5 5 Έστω τώρ η συάρτηση 7 5 Γι έχουμε: Επειδή lim lim lim κι

74 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 85 έχουμε Γεικά, lim lim 5 5 lim lim 5 Γι τη ρητή συάρτηση ισχύει: Γι πράδειγμ, κ κ βκ βκ lim lim κ κι βκ β β lim lim βκ lim lim 5,, β κ κ Όρι εκθετικής - λογριθμικής συάρτησης Αποδεικύετι ότι: Α > Σχ 6, τότε lim, lim lim log, lim log 6 a log a O Α < < Σχ 6, τότε a 6 lim, lim lim log, lim log Πεπερσμέο όριο κολουθίς O log a Η πόδειξη πρλείπετι

75 86 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έοι της κολουθίς είι γωστή πό προηγούμεες τάξεις Συγκεκριμέ: ΟΡΙΣΜΟΣ Ακολουθί οομάζετι κάθε πργμτική συάρτηση : * Η εικό της κολουθίς συμβολίζετι συήθως με, εώ η κολουθί συμβολίζετι με Γι πράδειγμ, η συάρτηση, * είι μι κολουθί Επειδή το πεδίο ορισμού κάθε κολουθίς, είι το * {,,,, }, έχει όημ μελετήσουμε τη συμπεριφορά της γι πολύ μεγάλες τιμές του, δηλδή ότ Ο ορισμός του ορίου κολουθίς είι άλογος του ορισμού του ορίου συάρτησης στο κι διτυπώετι ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Θ λέμε ότι η κολουθί έχει όριο το κι θ γράφουμε lim, ότ γι κάθε ε >, υπάρχει * τέτοιο, ώστε γι κάθε > ισχύει < ε Οι γωστές ιδιότητες τω ορίω συρτήσεω ότ, που μελετήσμε στ προηγούμε, ισχύου κι γι τις κολουθίες Με τη βοήθει τω ιδιοτήτω υτώ μπορούμε υπολογίζουμε όρι κολουθιώ Γι πράδειγμ, lim 5 lim ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε τ όρι: i lim 5 ii lim 5 iii 5 lim 8 ii vii 5 lim 5 lim v lim vi lim 5 viii lim

76 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 87 Ν βρείτε τ όρι: i lim iii lim v lim Ν βρείτε τ όρι: ii lim 9 iv lim β, β i lim ii lim iii lim iv lim v lim vi lim B ΟΜΑΔΑΣ Γι τις διάφορες πργμτικές τιμές του μ, υπολογίσετε τ πρκάτω όρι: i lim μ ii μ lim μ 5 6 N προσδιορίσετε το λ, ώστε το lim 5 λ υπάρχει στο Α β, βρείτε τις τιμές τω, β, γι τις ο- ποίες ισχύει lim Ν βρείτε τ όρι: 5 i lim ii lim 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 iii lim

77 88 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Oρισμός της συέχεις Έστω οι συρτήσεις πρκάτω σχήμτ, g, h τω οποίω οι γρφικές πρστάσεις δίοτι στ C h 6 C g C g O a Πρτηρούμε ότι: O Η συάρτηση είι ορισμέη στο κι ισχύει: β lim Η συάρτηση g είι ορισμέη στο λλά lim g g O γ Η συάρτηση h είι ορισμέη στο λλά δε υπάρχει το όριό της Από τις τρεις γρφικές πρστάσεις του σχήμτος μόο η γρφική πράστση της δε δικόπτετι στο Είι, επομέως, φυσικό οομάσουμε συεχή στο μόο τη συάρτηση Γεικά, έχουμε το κόλουθο ορισμό ΟΡΙΣΜΟΣ Εστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο, ότ lim Γι πράδειγμ, η συάρτηση είι συεχής στο, φού lim lim Σύμφω με το πρπάω ορισμό, μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ: Δε υπάρχει το όριό της στο ή β Υπάρχει το όριό της στο, λλά είι διφορετικό πό τη τιμή της,, στο σημείο

78 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 89 Γι πράδειγμ: Η συάρτηση, δε είι συεχής στο, φού, > lim lim, εώ lim lim, οπότε δε υπάρχει το όριο της στο Η συάρτηση, δε είι συεχής στο, φού, lim lim lim, εώ Μί συάρτηση που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση Γι πράδειγμ: Κάθε πολυωυμική συάρτηση Ρ είι συεχής, φού γι κάθε ισχύει lim P P P Κάθε ρητή συάρτηση είι συεχής, φού γι κάθε του πεδίου ο- Q ρισμού της ισχύει P P lim Q Q Οι συρτήσεις ημ κι g συ είι συεχείς, φού γι κάθε ισχύει lim ημ ημ κι lim συ συ Τέλος, ποδεικύετι ότι: Οι συρτήσεις κι g log, < είι συεχείς Πράξεις με συεχείς συρτήσεις Από το ορισμό της συέχεις στο κι τις ιδιότητες τω ορίω προκύπτει το πρκάτω θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ

79 9 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α οι συρτήσεις κι g είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: g, c, όπου c, g,, κι g με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το Γι πράδειγμ: Οι συρτήσεις εφ κι g σφ είι συεχείς ως πηλίκ συεχώ συρτήσεω Η συάρτηση είι συεχής στο πεδίο ορισμού της,, φού η συάρτηση g είι συεχής Η συάρτηση ημ είι συεχής, φού είι της μορφής g, όπου g ημ η οποί είι συεχής συάρτηση ως γιόμεο τω συεχώ συρτήσεω κι ημ Τέλος, ποδεικύετι ότι γι τη σύθεση συεχώ συρτήσεω ισχύει το κόλουθο θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους go είι συεχής στο Γι πράδειγμ, η συάρτηση φ ημ είι συεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύθεση τω συεχώ συρτήσεω κι g ημ g g ωημημ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Γι ποι τιμή του η συάρτηση, ημ είι συεχής;, >

80 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ΛΥΣΗ Στο διάστημ, η έχει τύπο κι επομέως είι συεχής ως πολυωυμική ημ Στο διάστημ, η έχει τύπο κι επομέως είι συεχής ως πηλίκο συεχώ συρτήσεω Γι είι η συεχής, ρκεί είι συεχής κι στο, δηλδή ρκεί lim Έχουμε όμως: lim lim, lim ημ lim κι Επομέως, ρκεί ή, ισοδύμ, Συέχει συάρτησης σε διάστημ κι βσικά θεωρήμτ Πολλά πό τ θεωρήμτ της Αάλυσης φέροτι σε συρτήσεις οι οποίες είι συεχείς σε διστήμτ του πεδίου ορισμού τους Είι, επομέως, πρίτητο γωρίζουμε τι εοούμε ότ λέμε ότι μι συάρτηση είι συεχής σ έ διάστημ ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ, β, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, β Σχ 6 Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, β], ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, β κι επιπλέο lim κι lim β β Σχ 6β 6 O a β O [ ] a β β Αάλογοι ορισμοί διτυπώοτι γι διστήμτ της μορφής, β], [, β

81 9 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δυο βσικές ιδιότητες τω συεχώ συρτήσεω σε διστήμτ εκφράζοτι πό τ πρκάτω θεωρήμτ: Θεώρημ του Bolzano Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συεχούς συάρτησης στο [, β] Επειδή τ σημεί A, κι B β, β βρίσκοτι εκτέρωθε του ά- ξο, η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο Συγκεκριμέ ισχύει το πρκάτω θεώρημ του οποίου η πόδειξη πρλείπετι ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, β] Α: η είι συεχής στο [, β] κι, επιπλέο, ισχύει β <, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, τέτοιο, ώστε β Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης στο οικτό διάστημ, β ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημ του Bolzano προκύπτει ότι: Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Δ ή είι ρητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ Σχ 65 β a O β a Α, 65 6 Bβ,β > O a β O a < β Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της β

82 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 66 ρ ρ ρ ρ ρ 5 Αυτό μς διευκολύει στο προσδιορισμό του προσήμου της γι τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμέ, ο προσδιορισμός υτός γίετι ως εξής: Βρίσκουμε τις ρίζες της β Σε κθέ πό τ υποδιστήμτ που ορίζου οι διδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έ ριθμό κι βρίσκουμε το πρόσημο της στο ριθμό υτό Το πρόσημο υτό είι κι το πρόσημο της στο τίστοιχο διάστημ Γι πράδειγμ, έστω ότι θέλουμε βρούμε το πρόσημο της συάρτησης ημ συ, [, π] Αρχικά υπολογίζουμε τις ρίζες της στο [, π ] Έχουμε π 5π ημ συ ημ συ εφ ή Έτσι οι ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της στ διστήμτ, π π 5π,, 5π κι, π Ο πρκάτω πίκς δείχει τ ποτελέσμτ του ελέγχου του προσήμου της σε κάθε διάστημ Διάστημ Επιλεγμέος ριθμός, π π 5π, π 5π, π π Πρόσημο Επομέως, στ διστήμτ π 5π, είι >, π 5π,, π είι <, εώ στο διάστημ

83 9 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεώρημ εδιάμεσω τιμώ Το επόμεο θεώρημ ποτελεί γείκευση του θεωρήμτος του Bolzano κι είι γωστό ως θεώρημ εδιάμεσω τιμώ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση [, β] Α: η είι συεχής στο [, β] κι β, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι β υπάρχει ές, τουλάχιστο, τέτοιος, ώστε β ΑΠΟΔΕΙΞΗ η Ας υποθέσουμε ότι < β Τότε θ ισχύει < η < β Σχ 67 Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g η, [, β], πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [, β] κι g g β <, φού g η < κι g β β η > Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε β g η, οπότε η β η a Α, O a β 67 Bβ, β η ΣΧΟΛΙΟ Α μι συάρτηση δε είι συεχής στο διάστημ [, β], τότε, όπως φίετι κι στο διπλό σχήμ, δε πίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές β η a 68 η O a β Με τη βοήθει του θεωρήμτος εδιμέσω τιμώ ποδεικύετι ότι: Η εικό Δ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ

84 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ O a β O a β β Μ O [ a β γ m O Μ m [ ] a β δ Στη ειδική περίπτωση που το Δ είι έ κλειστό διάστημ [, β], ισχύει το πρκάτω θεώρημ ΘΕΩΡΗΜΑ Μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [, β], τότε η πίρει στο [, β] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Σχ 69δ Δηλδή, υπάρχου, [, β] τέτοι, ώστε, m κι M, ισχύει ΣΧΟΛΙΟ m M, γι κάθε [, β] Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [, β] είι το κλειστό διάστημ [ m, M ], όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της Γι πράδειγμ, η συάρτηση ημ, [, π] έχει σύολο τιμώ το [,], φού είι συεχής στο [, π ] με m κι M π/ O π/ π π 7

85 96 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τέλος, ποδεικύετι ότι: A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ, β, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α, Β Σχ 7, όπου Α lim κι B lim β Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο, β, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B, A Σχ 7β 7 B Α A Β O a β O a β β Γι πράδειγμ, Το σύολο τιμώ της ln,, e, η οποί είι γησίως ύξουσ κι συεχής συάρτηση Σχ 7, είι το διάστημ,, φού lim κι lim e 7 7 O e O Το σύολο τιμώ της,,, η οποί είι γησίως φθίουσ κι συεχής συάρτηση, Σχ 7 είι το διάστημ,, φού lim κι lim Αάλογ συμπεράσμτ έχουμε κι ότ μι συάρτηση είι συεχής κι γησίως μοότοη σε διστήμτ της μορφής [, β], [, β κι, β]

86 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 97 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ν δειχτεί ότι η εξίσωση συ έχει μι, τουλάχιστο, ρίζ στο διάστημ π, π ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τη συάρτηση συ, [ π,π] Τότε: Η είι συεχής στο [ π, π] ως άθροισμ συεχώ συρτήσεω Είι π π <, φού π π συπ π 5 < κι π π συπ π > Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Bolzano υπάρχει έ, τουλάχιστο, π,π τέτοιο, ώστε, οπότε συ κι συεπώς συ Άρ, η εξίσωση συ έχει μι τουλάχιστο ρίζ στο διάστημ π,π ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Στ πρκάτω σχήμτ δίοτι οι γρφικές πρστάσεις δυο συρτήσεω Ν βρείτε τ σημεί στ οποί υτές δε είι συεχείς O,5 O Ν μελετήσετε ως προς τη συέχει στο τις πρκάτω συρτήσεις: i, <,,

87 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 98 ii <,,, iii,,, Ν μελετήσετε ως προς τη συέχει τις πρκάτω συρτήσεις κι μετά χράξετε τη γρφική τους πράστση, i >,, ii, 5, 6 5 iii <, ln, iv >,, e Ν μελετήσετε ως προς τη συέχει τις συρτήσεις i >,, ii <, συ, ημ 5 Ν ποδείξετε ότι οι πρκάτω συρτήσεις είι συεχείς: i ημσυ ii ln iii ημ iv e ημ v lnln 6 Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ημ έχει μί τουλάχιστο λύση στο διάστημ, π 7 Γι κάθε μί πό τις πρκάτω πολυωυμικές συρτήσεις, βρείτε έ κέριο τέτοιο, ώστε στο διάστημ, η εξίσωση έχει μί τουλάχιστο ρίζ i ii 5 iii iv

88 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 99 8 Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση μ β λ γ λ μ, όπου, β, γ > κι λ < μ <, έχει δυο ρίζες άισες, μι στο διάστημ λ, μ κι μι στο μ, 9 Ν βρείτε το πρόσημ της συάρτησης γι όλες τις πργμτικές τιμές του, ότ: i ii 9 iii εφ, π, π iv ημ συ, [,π] Ν βρείτε το σύολο τιμώ τω συρτήσεω i ln, [, e] ii,, iii ημ,, π iv e,,] 6 B ΟΜΑΔΑΣ κ κ, Α, προσδιορίσετε το κ, ώστε η κ 5, > είι συεχής στο β, < Α 5,, βρείτε τις τιμές τω, β γι β, > τις οποίες η είι συεχής στο i Έστω μί συάρτηση η οποί είι συεχής στο Ν βρείτε το, γι κάθε * ισχύει συ ii Ομοίως, βρείτε το g γι τη συάρτηση g που είι συεχής στο κι γι κάθε ισχύει g ημ Α οι συρτήσεις, g είι ορισμέες κι συεχείς στο [,] κι πληρού τις σχέσεις < g κι > g, ποδείξετε ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ, τέτοιο ώστε ξ g ξ

89 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 Ν ποδείξετε ότι οι εξισώσεις: 6 e ln β έχου μι, τουλάχιστο, ρίζ στο, 6 Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω κι g έχου έ κριβώς κοιό σημείο i e κι g ii ln κι g 7 i Έστω μι συεχής συάρτηση στο διάστημ [,], γι τη οποί ισχύει γι κάθε [,] Ν βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης β Ν ποδείξετε ότι η διτηρεί το πρόσημό της στο διάστημ, γ Ποιος μπορεί είι ο τύπος της κι ποι η γρφική της πράστση; ii Με άλογο τρόπο βρείτε το τύπο της συεχούς συάρτησης στο σύολο, γι τη οποί ισχύει γι κάθε 8 Δίετι το τετράγωο ΟΑΒΓ του διπλού σχήμτος κι μί συεχής στο [,] συάρτηση της οποίς η γρφική πράστση βρίσκετι ολόκληρη μέσ στο τετράγωο υτό i Ν βρείτε τις εξισώσεις τω διγωίω του τετργώου κι Γ, Ο, Β, Α, ii Ν ποδείξετε με το θεώρημ του Bolzano ότι η C τέμει κι τις δύο διγώιες 9 Στο διπλό σχήμ η κμπύλη C είι η γρφική πράστση μις συάρτησης Μ, Bβ, β που είι συεχής Μ, στο [, β] κι το Α, Μ, είι έ σημείο του επιπέδου, O a β

90 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ i Ν βρείτε το τύπο της πόστσης d M M του σημείου M, πό το σημείο M, της C γι κάθε [, β] ii Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση d είι συεχής στο [, β] κι στη συέχει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, σημείο της C που πέχει πό το M λιγότερο πό ότι πέχου τ υπόλοιπ σημεί της κι έ-, τουλάχιστο, σημείο της πό ότι πέχου τ υπόλοιπ σημεί της C που πέχει πό το M περισσότερο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις κυκλώσετε το γράμμ Α, ο ισχυρισμός είι ληθής κι το γράμμ Ψ, ο ισχυρισμός είι ψευδής, ιτιολογώτς συγχρόως τη πάτησή σς Α ln κι g e, τότε * g, Α Ψ β g, Α Ψ Α lim l, τότε lim A Ψ Είι lim lim lim lim A Ψ Ι Α > γι κάθε κι υπάρχει το lim, τότε κτ άγκη lim > Α Ψ 5 Ισχύει: lim ημ Α Ψ ημ β lim Α Ψ

91 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Α κοτά στο, τότε lim Α Ψ 7 Α,,, τότε κτ άγκη θ είι lim Α Ψ 8 Α υπάρχει το lim g, τότε είι ίσο με 6 g6 Α Ψ 6 9 Α lim, τότε κτ άγκη θ είι lim ή lim Α Ψ Α lim, τότε lim Α Ψ Α η είι συεχής στο κι γι ισχύει 7, τότε το είι ίσο με Α η είι συεχής στο [,] κι,, τότε υπάρχει πργμτικός ριθμός, τέτοιος, ώστε π Α Α Ψ Ψ ΙΙ Ν κυκλώσετε τη σωστή πάτηση σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις Α lim l, lim g m τότε κτ άγκη θ είι:, l, m κι g < κοτά στο, Α l < m Β l m Γ l m Δ l m Ε m < l Το όριο lim είι ίσο με: Α 8 Β Γ Δ Ε 8 Το lim είι ίσο με: Α Β Γ Δ Ε

92 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α το lim δε υπάρχει, τότε: Α Β Γ Δ Δίοτι οι συρτήσεις ΙΙΙ κι g Από τους Πρκάτω ισχυρισμούς λάθος είι ο: Α η g είι συεχής στο Β η είι συεχής στο Γ η g έχει δυο σημεί στ οποί δε είι συεχής Δ lim Ποι πό τ πρκάτω όρι είι κλώς ορισμέ; Α lim 9 Γ lim Ε lim[ln ] Β lim 9 Δ lim ΣΤ lim[ln ] Δίετι η συάρτηση η οποί είι συεχής στο διάστημ Δ [,], με, κι Ποιος πό τους πρκάτω ισχυρισμούς δε προκύπτει κτ άγκη πό τις υποθέσεις; Α Υπάρχει, τέτοιος, ώστε Β lim Γ lim Δ [, ] Δ Ε Η μέγιστη τιμή της στο [, ] είι το κι η ελάχιστη τιμή της το

93 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έοι της συάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έοι της συάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης άμεσ σε δύο συγκεκριμέες ποσότητες, εμφίζετι μ έ υποοούμεο τρόπο ήδη πό τη ρχιότητ Έ χρκτηριστικό πράδειγμ ποτελού οι πίκες χορδώ της Αλμγέστης, του Έλλη μθημτικού κι στροόμου της λεξδριής περιόδου Κλύδιου Πτολεμίου Στη μι στήλη υτώ τω πιάκω υπάρχου τ μήκη τω τόξω εός κύκλου κι στη άλλη τ μήκη τω τίστοιχω χορδώ Χρησιμοποιώτς τη έοι του ημιτόου A στο μοδιίο κύκλο μπορούμε εκφράσουμε λυτικά τη συάρτηση τω πιάκω του Πτολεμίου ως Ο M εξής: χορδή τόξου AB AM ημ B Με το ίδιο υποοούμεο τρόπο η έοι της συάρτησης εμφίζετι στους λογριθμικούς πίκες που κτσκευάστηκ στις ρχές του 7υ ιώ Τ γεγοότ που έδωσ ποφσιστική ώθηση στη άπτυξη της έοις της συάρτησης ήτ η δημιουργί της Άλγεβρς χρήση γρμμάτω κι ειδικώ συμβόλω γι τη πράστση μθημτικώ πράξεω, σχέσεω, γώστω κλπ κι της λυτικής γεωμετρίς χρήση του λγεβρικού συμβολισμού σε γεωμετρικά προβλήμτ Ο Descartes, στο έργο του La Geometrie 67, προυσιάζοτς τη μέθοδο προσδιορισμού μις κμπύλης πό μι εξίσωση ως προς κι τ οποί εκφράζου τ ευθύγρμμ τμήμτ-συτετγμέες τω σημείω της κμπύλης, περιέγρψε γι πρώτη φορά τη δυτότητ λυτικής πράστσης μις σχέσης εξάρτησης άμεσ σε μετβλητές ποσότητες: Α λοιπό πάρουμε διδοχικά έ άπειρο πλήθος διφορετικώ τιμώ γι το τμήμ τότε θ προκύψει έ άπειρο πλήθος τιμώ γι το τμήμ κι επομέως μι πειρί διφορετικώ σημείω, με τη βοήθει τω οποίω μπορεί σχεδιστεί η ζητούμεη κμπύλη Ο όρος συάρτηση πό το λτιικό ρήμ ungor, που σημίει εκτελώ, λειτουργώ εμφίστηκε γι πρώτη φορά το 67 σ έ χειρόγρφο του Leibniz με τίτλο Η τίστροφη μέθοδος τω εφπτομέω ή περί συρτήσεω Methodus tangentium inversa, seu de unctionibus, στο οποίο εξετάζετι ο υπολογισμός τω τετγμέω τω σημείω μις κμπύλης ότ είι γωστή κάποι ιδιότητ τω τίστοιχω εφπτομέω Ο όρος υτός άρχισε ποκτά πό εκείη τη εποχή μι ιδιίτερη σημσί γι τη -

94 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 πράστση ποσοτήτω που εξρτώτι πό άλλες μετβλητές ποσότητες, ιδιίτερ ότ η εξάρτηση υτή μπορεί πάρει τη μορφή μις λυτικής έκφρσης Ο J Bernoulli έδωσε το 78 το επόμεο γεικό ορισμό: Οομάζω συάρτηση εός μετβλητού μεγέθους μι ποσότητ που σχημτίζετι με οποιοδήποτε τρόπο πό υτό το μετβλητό μέγεθος κι πό στθερές Η τίληψη της συάρτησης ως λυτικής έκφρσης κυριάρχησε γι έ μεγάλο χροικό διάστημ, στη διάρκει του οποίου η μθημτική - άλυση ορίζοτ ως η γεική επιστήμη τω μετβλητώ κι τω συρτήσεώ τους Ο επόμεος ορισμός, που τυτίζει τη έοι της συάρτησης με υτή της λυτικής έκφρσης, δόθηκε πό το L Euler το 78, στο έργο του Εισγωγή στη πειροστική άλυση Συάρτηση μις μετβλητής ποσότητς οομάζετι μι λυτική έκφρση που σχημτίζετι με οποιοδήποτε τρόπο πό υτή τη μετβλητή ποσότητ κι ριθμούς ή στθερές ποσότητες Η πρπέρ εξέλιξη της έοις της συάρτησης προήλθε κυρίως πό τη προσπάθει μθημτικής ερμηείς φυσικώ προβλημάτω, όπως πχ το πρόβλημ μις πλλόμεης χορδής, στερεωμέης στ δυο άκρ της Σ υτό το πρόβλημ, που πσχόλησε ιδιίτερ τους επιστήμοες στη διάρκει του 8ου ιώ, ζητείτι προσδιοριστεί μι συάρτηση της μορφής, t που περιγράφει το σχήμ της χορδής σε μι δεδομέη χροική στιγμή t Το είδος όμως τω συρτήσεω που υπεισέρχοτι σ υτό το ζήτημ είι τόσο γεικό, που άγκσε τους μθημτικούς - θεωρήσου τη κθιερωμέη τίληψη ότι κάθε συάρτηση τυτίζετι με μι λυτική έκφρση κι ζητήσου γεικότερους ορισμούς Ο L Euler, ήδη πό το 755 διτύπωσε έ τέτοιο ορισμό, πλλγμέο πό τη άμεση φορά στη έοι της λυτικής έκφρσης Α κάποιες ποσότητες εξρτώτι πό άλλες ποσότητες με τέτοιο τρόπο ώστε, ότ οι τελευτίες λλάζου συμβίει το ίδιο κι με τις πρώτες, τότε οι πρώτες οομάζοτι συρτήσεις τω τελευτίω Αυτός ο ορισμός είι πολύ ευρύς κι περιλμβάει κάθε μέθοδο με τη οποί μι ποσότητ θ μπορούσε προσδιοριστεί πό άλλες Α λοιπό το υποδηλώει μι μετβλητή ποσότητ, τότε όλες οι ποσότητες που εξρτώτι πό το με ο- ποιοδήποτε τρόπο ή προσδιορίζοτι πό υτό, οομάζοτι συρτήσεις του Οι έες υτές τιλήψεις οδήγησ βθμιί στη έοι της συάρτησης ως υθίρετης τιστοιχίς άμεσ στ στοιχεί δυο συόλω, που δε κολουθεί υποχρεωτικά κάποιο όμο Ο J Fourier, το 8, επισήμε ρητά υτό το σημείο με τη εξής πρτήρηση: Γεικά, η συάρτηση πριστάει μι διδοχή τιμώ ή τετγμέω, κθεμιά πό τις οποίες είι υθίρετη Α δοθεί μι πειρί τιμώ στη τετμημέη, θ υπάρχου ίσου πλήθους τετγμέες Όλες έχου πργμτικές ριθμητικές τιμές, θετικές ή ρητικές ή μηδέ Δε προϋποθέτουμε ότι υτές οι τετγμέες υπόκειτι σ έ κοιό όμο διδέχοτι η μι τη άλλη με οποιο-

95 6 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ δήποτε τρόπο κι κθεμιά πό υτές δίετι σ ήτ μι μοδική ποσότητ Η έοι της συέχεις Τη περίοδο που η έοι της συάρτησης τυτίζοτ με υτή της λυτικής έκφρσης, υπήρχ δυο διφορετικές τιλήψεις γι τη έοι της συέχεις Η μί πό υτές, με κθρά γεωμετρική προέλευση, εξέφρζε τη ιδιότητ μις κμπύλης μη προυσιάζει δικοπές η άλλη, με προέλευση κυρίως πό τη φυσική, εξέφρζε τη ιδιότητ εός φιομέου κολουθεί το ίδιο όμο, τη ιδιότητ μις συάρτησης διτηρεί τη ί- δι λυτική έκφρση σ ολόκληρο το πεδίο ορισμού της Σ υτή τη τελευτί τίληψη περί συέχεις ά- σκησε έτοη κριτική ο A L Cauch το 8, σημειώοτς τ εξής: Στ έργ τω Euler κι Lagrange, μι συάρτηση οομάζετι συεχής ή συεχής άλογ με το οι διφορετικές τιμές υτής της συάρτησης υπόκειτι ή όχι στο ίδιο όμο, προκύπτου ή όχι πό μι μοδική εξίσωση Όμως υτός ο ορισμός πολύ πέχει πό το θεωρηθεί μθημτικά κριβής γιτί οι διφορετικές τιμές μις συάρτησης εξρτώτι πό δυο ή περισσότερες διφορετικές εξισώσεις, τίποτ δε μς εμποδίζει μειώσουμε το ριθμό υτώ τω εξισώσεω ή κόμη κι τις τικτστήσουμε πό μι πλή εξίσωση, της οποίς η άλυση θ μς έδιε όλες τις υπόλοιπες Επομέως, κείς θεωρήσει το ορισμό τω Euler κι Langrange εφρμόσιμο σε όλ τ είδη τω συρτήσεω, τότε μι πλή λλγή του συμβολισμού είι συχά ρκετή γι μετσχημτίσει μι συεχή συάρτηση σε συεχή κι τίστροφ Έτσι πχ, το συμβολίζει μι πργμτική μετβλητή, τότε η συάρτηση που ισούτι με ή, άλογ με το η μετβλητή είι θετική ή ρητική, πρέπει γι το λόγο υτό τοποθετηθεί στη κλάση τω συεχώ συρτήσεω όμως η ίδι συάρτηση θ μπορούσε θεωρηθεί ως συεχής ότ γρφεί στη μορφή Έτσι, ο χρκτήρς της συέχεις τω συρτήσεω, θεωρούμεος πό το σημείο όπου οι γεωμέτρες στμάτησ γι πρώτη φορά, είι σφής κι βέβιος Η βεβιότητ όμως θ εξφιστεί, στη θέση του ορισμού O Ασυέχει στο λόγω δικοπής της κμπύλης σ υτό το σημείο O Ασυέχει στο λόγω μετβολής της λυτικής έκφρσης σ υτό το σημείο Είι φερό ότι ο Cauch χρησιμοποιεί εδώ, χωρίς τη οομάζει, τη συάρτηση πόλυτη τιμή

96 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 του Euler τικτστήσουμε υτό που έχω δώσει στο κεφάλιο ΙΙ του έργου μου Αλγεβρική άλυση Ο ορισμός, στο οποίο φέρετι εδώ ο Cauch, ποτελεί ουσιστικά τη πρώτη πόπειρ μελέτης της έοις της συέχεις με λογική υστηρότητ Αποσυδέοτς υτή τη έοι πό κάθε γεωμετρική εποπτεί κι εξάρτηση πό τη έοι της λυτικής έκφρσης, τη μετσχημάτισε σε μι κθρά ριθμητική ιδιότητ τω συρτήσεω, που μπορεί γίει τικείμεο λογισμού Ο ορισμός υτός του Cauch, που δόθηκε το 8, έχει ως εξής: έ πρόμοιο ορισμό είχε δώσει κι ο B Bolzano το 87 Έστω μι συάρτηση της μετβλητής κι ς υποθέσουμε ότι γι κάθε τιμή του σ έ δοσμέο διάστημ η συάρτηση υτή έχει πάτοτε μι μοδική κι πεπερσμέη τιμή Α δώσουμε στη μετβλητή μι - πειροελάχιστη ύξηση, η συάρτηση θ υξηθεί κτά τη διφορά, η οποί εξρτάτι πό τη έ μετβλητή κι τη τιμή που είχε το Σ υτή τη περίπτωση, η συάρτηση θ οομάζετι συεχής στο διάστημ της μετβλητής, γι κάθε τιμή του σ υτό το διάστημ, η πόλυτη τιμή της διφοράς μικρίει επ άπειρο μζί μ υτή του Με άλλ λόγι, η θ πρμέει συεχής ως προς, μι πειροελάχιστη ύξηση της μετβλητής πράγει πάτοτε μι πειροελάχιστη ύξηση της ίδις της συάρτησης Η έοι του ορίου Η έοι της συέχεις κθώς κι ορισμέες άλλες βσικές έοιες της άλυσης που θ γωρίσουμε στ επόμε κεφάλι όπως πχ η πράγωγος κι το ολοκλήρωμ περιείχ, στ πρώτ στάδι της εξέλιξής τους, ορισμέες σάφειες, που οφείλοτ κυρίως στη δυμί τω μθημτικώ διπργμτευθού με λογική υστηρότητ τη έοι του πείρως μικρού κι του πείρως μεγάλου Αυτή η δυμί οδηγούσε πολλούς μφισβητού τ θεμέλι πάω στ οποί στηρίζοτ το οικοδόμημ της μθημτικής άλυσης κι συδέου τ ετυπωσικά ποτελέσμτά της με ορισμέες μετφυσικές ερμηείες Οι μθημτικοί προσπάθησ ξεπεράσου υτές τις δυσκολίες εισάγοτς τη ιδέ του ορίου, με τη οποί, ρχικά, εκφράζοτ η δυτότητ μις μετβλλόμεης ποσότητς προσεγγίζει επ άπειρο μι στθερή ποσότητ χωρίς στη πργμτικότητ τη φτάει ποτέ Ο d Alembert όρισε το 765 υτή τη έοι στη Εγκυκλοπίδει του Diderot ως εξής: Ε μέγεθος οομάζετι όριο εός άλλου ότ το δεύτερο μπορεί προσεγγίζει το πρώτο σε μι πόστση οσοδήποτε μικρή, κι έ μέγεθος δε μπορεί ξεπερά ποτέ το μέγεθος που προσεγγίζει έτσι ώστε η διφορά μις τέτοις ποσότητς πό το όριό της είι ετελώς μελητέ Σύμφω λοιπό μ υτό το ορισμό, που περικλείει τη έοι της κίησης ως μι διδικσί προσέγγισης, ο ριθμός είι το όριο της κο-

97 8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ λουθίς,9,99,999,9999, λλά όχι όριο κολουθίς,9,99 γιτί υτή φτάει το, ούτε όριο της κολουθίς,9,,9999, γιτί υτή ξεπερά το Ο τρόπος με το οποίο οι μθημτικοί χρησιμοποιούσ τη έοι υτή του ορίου φίετι χρκτηριστικά στο επόμεο πράδειγμ, στο οποίο ο SF Lacroi ποδεικύει το 8 ότι lim : Έστω ότι δίετι η συάρτηση, στη οποί υποθέτουμε ότι το υξάετι θετικά χωρίς τέλος Διιρώτς ριθμητή κι προομστή με το, βρίσκουμε, έ ποτέλεσμ που δείχει κθρά ότι η συάρτηση θ πρμέει πάτοτε μικρότερη πό το λλά θ προσεγγίζει συέχει υτή τη τιμή, φού το μέρος του προομστή μειώετι όλο κι περισσότερο κι μπορεί μειωθεί όσο θέλουμε Η διφορά άμεσ στο δο- σμέο κλάσμ κι τη τιμή εκφράζετι ως κι επομέως γίετι ολοέ κι πιο μικρή, όσο το γίετι μεγλύτερο, κι μπορεί γίει μικρότερη πό οποιδήποτε ποσότητ, οσοδήποτε μικρή Συεπώς, το δοσμέο κλάσμ μπορεί προσεγγίζει το όσο κοτά θέλουμε: άρ το είι το όριο της συάρτησης ως προς τη όριστη ύξηση του Γι τυποποιήσουμε υτή τη μκροσκελή διδικσί, οι μθημτικοί προσπάθησ ποσυδέσου τη έοι του ορίου πό τη έοι της κίησης κι τη ορίσου με κθρά ριθμητικούς όρους, έτσι ώστε γίει έ τικείμεο μθημτικού λογισμού Το ποτέλεσμ υτής της προσπάθεις υπήρξε ο σημεριός σττικός ορισμός με τη βοήθει τω ισοτήτω κι της πόλυσης τιμής, που διτυπώθηκε πό το Weierstrass στ μέσ του 9ου ιώ Με υτό το ορισμό, η έοι του ορίου πογυμώθηκε πό κάθε στοιχείο εποπτείς λλά έγιε έτσι δυτό ποδειχθού με λογική υστηρότητ οι ιδιότητες τω ορίω κι τυποποιηθεί η διδικσί υπολογισμού τους

98 ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Γεικά Τέσσερ εργοστάσι πργωγής υτοκιήτω A, B, Γ κι Δ δίου γι το τελευτίο μοτέλο τους ως προς πέτε τεχικά χρκτηριστικά τις εξής πληροφορίες: Εργοστάσιο Α: Ισχύς 97 DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h,7 sec, τελική τχύτητ 8 km/h, κτάλωση στη πόλη ά km 9,5 lit, φορολογήσιμοι ίπποι Εργοστάσιο Β: Ισχύς DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h,9 sec, τελική τχύτητ 9 km/h, κτάλωση στη πόλη ά km lit, φορολογήσιμοι ίπποι Εργοστάσιο Γ: Ισχύς 5 DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h 7,9 sec, τελική τχύτητ km/h, κτάλωση στη πόλη ά km, 7, lit, φορολογήσιμοι ίπποι 6 Εργοστάσιο Δ: Ισχύς 7 DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h 7,6 sec, τελική τχύτητ 5 km/h, κτάλωση στη πόλη ά km,5 lit, φορολογήσιμοι ίπποι Τις πληροφορίες υτές μπορούμε τις προυσιάσουμε πιο οργωμέ ως ε- ξής: Εργοστάσιο Τεχικά Χρκτηρ Ισχύς DIN Α 97 Β Γ 5 Δ 7 Χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h,7,9 7,9 7,6 Τελική Τχύτητ km/h Κτάλωση στη πόλη lit ά km 9,5 7,,5 Φορολογήσι μοι ίπποι 6

99 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ ριθμητικά δεδομέ της ορθογώις υτής διάτξης, κλεισμέ μέσ σε γκύλες, 97,7 8 9,5, ,9 7, 6 7 7,6 5,5 λέμε ότι σχημτίζου έ πίκ με γρμμές κι 5 στήλες ή, συτομότερ, έ πίκ τύπου 5 ή κόμ έ 5 πίκ Έστω το σύστημ z ω 5 z ω 7z ω Το σύστημ υτό θ μπορούσε πρστθεί ως εξής: Συτελεστής Εξίσωση η η η του του του z του ω στθ όρος Έτσι οι συτελεστές τω γώστω σχημτίζου το πίκ 5 7 κι οι συτελεστές τω γώστω μζί με τους στθερούς όρους το 5 πίκ 5 Γεικά έχουμε το κόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ 7 Μι διάτξη γρμμές κι στήλες, λέγετι πίκς τύπου μ ή πλούστερ μ πίκς μ το πλήθος ριθμώ σε μορφή ορθογωίου σχήμτος με μ

100 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τους πίκες τους συμβολίζουμε συήθως με κεφλί γράμμτ A, B, Γ κτλ Οι ριθμοί με τους οποίους σχημτίζουμε έ πίκ λέγοτι στοιχεί του πίκ Το στοιχείο εός μ πίκ Α που ήκει στη i-γρμμή κι j-στήλη συμβολίζετι με ij Έτσι ο μ πίκς Α γράφετι: j στήλη j j i i ij i i γρμμή μ μ μj μ ή συτομογρφικά [ ij ], i μ, j Γι πράδειγμ, ο πίκς ] με i j έχει στοιχεί, [ ij ij, κι Επομέως, ο πίκς υτός γράφετι Η ισότητ μετξύ τω πιάκω ορίζετι ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο πίκες A, B λέμε ότι είι ίσοι, ότ έχου το ίδιο ριθμό γρμμώ, το ίδιο ριθμό στηλώ δηλδή είι του ίδιου τύπου κι τ τίστοιχ στοιχεί τους είι ίσ Γι δηλώσουμε ότι δύο πίκες είι ίσοι γράφουμε A B Από το ορισμό υτό προκύπτει ότι δύο πίκες διφορετικού τύπου δε μπορεί είι ίσοι Α ές πίκς έχει το ίδιο ριθμό γρμμώ κι στηλώ, δηλδή είι τύπου * γι κάποιο, τότε ο πίκς υτός λέγετι τετργωικός πίκς Τ στοιχεί,,,, εός τετργωικού πίκ Α, λέμε ότι σχημτίζου τη κύρι διγώιο του Α Α τ στοιχεί εός τετργωικού πίκ Α που δε βρίσκοτι στη κύρι διγώιο είι όλ, τότε ο Α λέγετι διγώιος πίκς Γι πράδειγμ, οι πίκες:, είι διγώιοι πίκες, 6

101 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ές πίκς που έχει μί μόο γρμμή, όπως ο [ ] λέγετι πίκς 7 γρμμή, εώ ές πίκς που έχει μί μόο στήλη, όπως ο λέγετι πίκς στήλη Ές πίκς που έχει έ μόο στοιχείο, όπως ο [ ] λέγετι πί- κς στοιχείο Τέλος, ές τετργωικός πίκς λέγετι τριγωικός άω, ότ όλ τ στοιχεί του που βρίσκοτι κάτω πό τη κύρι διγώιο είι μηδεικά κι τριγωικός κάτω, ότ όλ τ στοιχεί του που βρίσκοτι πάω πό τη κύρι διγώιο είι μηδεικά Γι πράδειγμ, οι πίκες 6 5, είι τριγωικοί άω, εώ οι πίκες 6 5 είι τριγωικοί κάτω 7, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Το διπλό σχήμ πριστάει το οδικό δίκτυο που συδέει τις πόλεις Α, Β, Γ, Δ κι Ε Ν πρστθεί το δίκτυο υτό με έ A B πίκ του οποίου κάθε στοιχείο φερώει το πλήθος τω δυτώ τρόπω μετάβσης πό πόλη σε πόλη, όχι οπωσδήποτε διφορετική πόλη, φού προηγουμέως περά- Δ Ε Γ σουμε πό μί μόο πόλη, πχ ΑΒΑ κτλ ΛΥΣΗ Από τη πόλη Α στη Α υπάρχου τρόποι: ABA, AΔ Α, AEA, πό τη Α στη Β δε υπάρχει τρόπος, φού πρέπει περάσουμε πό μί μόο πόλη, πό τη Α στη Γ υπάρχου τρόποι AΔ Γ, ΑΒΓ, πό τη Α στη Δ υπάρχει ές τρόπος ΑΕΔ, πό τη Α στη Ε υπάρχει τρόπος ΑΔΕ κτλ

102 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Έτσι το οδικό δίκτυο μπορεί πρστθεί με το πίκ διπλής εισόδου ή πλά με το 5 5 πίκ Ν εξετστεί υπάρχου τιμές τω, γι τις οποίες ισχύου: i ii ΛΥΣΗ i H ισότητ ισχύει, κι μόο συληθεύου οι ισότητες Η τρίτη ισότητ ληθεύει γι Η τιμή υτή του επληθεύει κι τις άλλες δύο ισότητες Επομέως, οι πρπάω ισότητες συληθεύου γι ii Η ισότητ ισχύει, κι μόο συληθεύου οι ισότητες Η δεύτερη κι τρίτη ισότητ γράφοτι 6 κι προφώς δε συληθεύου γι κμί τιμή τω κι Επομέως, δε υπάρχου τιμές τω, γι τις οποίες οι πίκες υτοί είι ίσοι ΣΤΗΝ ΑΠΟ Α Β Γ Δ Ε Α Β Γ Δ Ε

103 6 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ο διπλός πίκς δείχει ΟΜΑΔΕΣ γι τρεις ομάδες ποδοσφίρου τους γώες Α, τις ίκες Ν, τις ΝΙΚΗ ήττες Η, τις ισοπλίες Ι, τ ΘΥΕΛΛΑ τέρμτ Ε που πέτυχε η ομάδ, τ τέρμτ Δ που δέχτηκε ΔΑΦΝΗ η ομάδ κι τους βθμούς Β που έχει Α A [ ij ] είι ο πίκς υτός, τότε βρείτε: i Ποιος είι ο τύπος του πίκ A N 6 7 ii Ποιες πληροφορίες μς δίου τ στοιχεί, 5, κι 7 H I 5 E Δ 6 B 5 7 Δίετι συτομογρφικά ο πίκς A [ ij ] όπου ij i j Ν πρστήσετε το πίκ υτό, φού βρείτε τ στοιχεί του Ν βρείτε τ, γι τ οποί ισχύει: i ii ln Γι ποι τιμή του θετικού ριθμού ο πίκς ln ln είι διγώιος 5 Ν βρεθού οι τιμές τω [,π γι τις οποίες ισχύει: ημ εφ ημ συ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΠΙΝΑΚΑ Πρόσθεση πιάκω Μί ετιρεί πουλάει τηλεοράσεις, ψυγεί, κουζίες κι πλυτήρι σε Αθή, Θεσσλοίκη κι Πάτρ Οι πωλήσεις τους μήες Σεπτέμβριο κι Οκτώβριο προυσίσ τη εξής κίηση:

104 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 Σεπτέμβριος Οκτώβριος Aθή Θεσ/κη Πάτρ Aθή Θεσ/κη Πάτρ Τηλεοράσεις Ψυγεί 9 5 Κουζίες 9 8 Πλυτήρι Επομέως, τους δυο υτούς μήες οι συολικές πωλήσεις της ετιρείς ήτ οι εξής: Τηλεοράσεις Ψυγεί Κουζίες Πλυτήρι Αθή Θεσ/ίκη Πάτρ Α τώρ θεωρήσουμε τους πίκες τω πρπάω πωλήσεω έχουμε: Γι το Σεπτέμβριο: 8 A Γι το Οκτώβριο: 5 B κι γι τις συολικές πωλήσεις: Γ O πίκς Γ λέγετι άθροισμ τω πιάκω Α κι Β κι συμβολίζετι με δηλδή Γ A B Γεικά έχουμε το κόλουθο ορισμό: A B, ΟΡΙΣΜΟΣ Άθροισμ δυο [ ij μ πιάκω A ] κι B β ] λέγετι ο μ πίκς του οποίου κάθε στοιχείο είι το άθροισμ τω τίστοιχω στοιχείω τω Α κι Β Ο πίκς υτός συμβολίζετι με A B Δηλδή, A B ij β [ ij ] [ ij

105 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Δε ορίζουμε άθροισμ πιάκω διφορετικού τύπου 9 7 Γι πράδειγμ, οι πίκες A 8 5 κι B 9 6 που είι του ίδιου τύπου, με βάση το πρπάω ορισμό, μπορού προστεθού κι το άθροισμά τους είι A B , εώ οι πίκες Γ κι Δ 5, που δε είι του ίδιου τύπου δε μπορού προστεθού Η πράξη με τη οποί βρίσκουμε το άθροισμ δύο πιάκω λέγετι π ρ ό σ θ ε σ η π ι ά κ ω Ιδιότητες της πρόσθεσης τω πιάκω Η πρόσθεση τω πιάκω έχει ιδιότητες άλογες με τη πρόσθεση τω πργμτικώ ριθμώ Συγκεκριμέ: Α A, B, Γ είι μ πίκες, τότε A B B A τιμετθετική A B Γ A B Γ προσετιριστική Α είι ο μ πίκς που όλ τ στοιχεί του είι μηδέ, τότε γι κάθε μ πίκ Α ισχύει A A A Ο πίκς λέγετι μηδεικός πίκς Γι πράδειγμ, οι πίκες, είι μηδεικοί Α με A συμβολίσουμε το πίκ του οποίου όλ τ στοιχεί είι τίθετ τω τίστοιχω στοιχείω εός πίκ Α, τότε ισχύει Ο πίκς A A A A A λέγετι τίθετος του πίκ Α

106 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 Γι πράδειγμ, ο τίθετος του πίκ 7 6 είι ο πίκς 7 6 Η προσετιριστική ιδιότητ μς επιτρέπει γράφουμε Γ B A γι κθέ πό τ ίσ θροίσμτ Γ B A, Γ B A Ομοίως, Γ,Δ B A,, είι πίκες του ίδιου τύπου, τότε έχουμε: ] [ ] [ ] [ Δ Γ B A Δ Γ B A Δ Γ B A Δ Γ B A Δ Γ A B Δ Γ B A ] [ ] [ κτλ κι επομέως, μπορούμε γράφουμε Δ Γ B A γι κθέ πό τ θροίσμτ υτά Γεικά, επειδή ισχύει η τιμετθετική κι η προσετιριστική ιδιότητ, μπορεί ποδειχθεί ότι το άθροισμ τριώ ή περισσοτέρω πιάκω A A A,,, είι το ίδιο κτά οποιοδήποτε τρόπο κι εκτελεστεί η πρόσθεση κι συμβολίζετι με A A A Αφίρεση πιάκω Όπως κι στη περίπτωση τω πργμτικώ ριθμώ, έτσι κι στους πίκες η φίρεση ορίζετι με τη βοήθει της πρόσθεσης Συγκεκριμέ, B A, είι δύο μ πίκες, τότε η διφορά B A ορίζετι ως εξής: B A B A Γι πράδειγμ, 6 A κι B, τότε B A Δηλδή, ο πίκς B A προκύπτει με φίρεση τω στοιχείω του Β πό τ τίστοιχ στοιχεί του Α Από τους πρπάω ορισμούς της πρόσθεσης κι της φίρεσης προκύπτει ότι: B A X A B X Πράγμτι: Α A B X, τότε B A B B X, οπότε B A X, εώ Α B A X, τότε B B A B X, οπότε A B X Πολλπλσισμός ριθμού με πίκ Ο πρκάτω πίκς Α περιγράφει τις τιμές πώλησης σε δρχμές τριώ ηλεκτρικώ ειδώ μις βιομηχίς σε δύο υποκτστήμτ:

107 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ A Tηλεοράσεις Βίτεο Στερεοφωικά ο υποκτάστημ ο υποκτάστημ Α κτά τη περίοδο τω εκπτώσεω, ο βιομήχος προτίθετι κάει έκπτωση % στ προϊότ του, τότε πρέπει διμορφώσει τις έες τιμές στο 8% τω προηγουμέω Οι έες τιμές πώλησης θ προκύψου πολλπλσιάσουμε τις πλιές τιμές με,8, όπως φίετι στο πρκάτω πίκ:,8 6,8, B,8 5,8, Ο πίκς Β λέγετι γιόμεο του ριθμού,8 με το πίκ Α κι συμβολίζετι με,8 A, δηλδή είι B, 8A Γεικά, έχουμε το κόλουθο ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ Γιόμεο εός πργμτικού ριθμού λ με έ πίκ A [ ij ], λέγετι ο πίκς που προκύπτει πολλπλσιάσουμε κάθε στοιχείο του Α με λ Ο πίκς υτός συμβολίζετι με λ A ή λa Δηλδή, λ A Η πράξη με τη οποί βρίσκουμε το γιόμεο ριθμού με πίκ λέγετι π ο λ- λ π λ σ ι σ μ ό ς ρ ι θ μ ο ύ μ ε π ί κ Γι πράδειγμ, το γιόμεο του ριθμού λ με το πίκ 5 A είι ο πίκς: [ λij ] A Iδιότητες του πολλπλσισμού ριθμού με πίκ Α A, B είι μ πίκες κι κ, λ πργμτικοί ριθμοί, τότε ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες, που είι άμεση συέπει του ορισμού: Επιπλέο, ισχύει η ισοδυμί: κ λ A κα λα λ A B λα λβ κ λα κλ A A A λa λ ή A

108 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓH N βρεθεί ο πίκς Χ γι το οποίο ισχύει: X Mι τέτοι ισότητ είι μι ε ξ ί σ ω σ η με π ί κ ε ς ΛΥΣΗ Έχουμε X X X X X X ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις, βρείτε το άθροισμ B A κι τη διφορά B A, εφόσο φυσικά ορίζοτι: i 5 A, 5 6 B ii A, B

109 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ iii ] 6 5 [ A, ] 6 5 [ B iv 6 5 A, 5 B v μ λ κ ω γ β A, μ λ κ ω γ β B Α είι A, 5 A, 5 6 A κι A, βρείτε το άθροισμ A A A A Ν βρείτε τ ω,, γι τ οποί ισχύει η ισότητ: ω Ν κάετε τις πράξεις: i ii 6 5 iii λ λ λ λ λ λ λ 5 Α A κι 8 6 B, βρείτε τους πίκες: i A ii A iii A B 5 iv B A 6 Ν λύσετε τις εξισώσεις: i X ii X 7 Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ

110 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ συ συ ημ είι ές διγώιος πίκς ημ ημ συ ημ συ συ ημ β β 8 Α X κι Y γ δ, βρείτε τις τιμές τω,β,γ,δ γ δ ώστε ισχύει: 8 X 5Y B ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τ, γι τ οποί ισχύει: i ii N βρείτε τους πίκες X, Y γι τους οποίους ισχύει: X Y κι 5X Y Α A κι 5 B, λύσετε τη εξίσωση X B X A 5B Μι βιομηχί που κτσκευάζει τηλεοράσεις, βίτεο κι κάμερες έχει δύο εργοστάσι πργωγής Π κι Π Το κόστος πργωγής ά συσκευή δίετι σε χιλιάδες δρχ στους πρκάτω πίκες: Τηλ Βιτ Κμ 8 Υλικά Π 5 6 Εργσί Τηλ Βιτ Κμ 8 Υλικά Π 8 8 Εργσί Ν βρείτε το πίκ Π Π κι εξηγήσετε τι εκφράζει 5 Μι βιομηχί έχει τέσσερ εργοστάσι πργωγής Π, Π, Π κι Π, κθέ πό τ οποί πράγει δύο προϊότ E κι E Το ημερήσιο επίπεδο πργωγής σε μοάδες προϊότω δίετι στο επόμεο πίκ:

111 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Π Π Π Π 8 6 E A 8 E i N βρείτε το ημερήσιο επίπεδο πργωγής, υτή υξηθεί κτά % ii Ν βρείτε το σύολο της πργωγής ά προϊό σε 5 μήες, υποτεθεί ότι τ εργοστάσι δούλεψ μήες με το προηγούμεο επίπεδο κι μήες με το έο επίπεδο πργωγής μής μέρες ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός του γιομέου δύο πιάκω Ας υποθέσουμε ότι γι τη κτσκευή δύο ειδώ γλυκισμάτω Γ κι Γ χρειζόμστε τ υλικά σε kg που φίοτι στο πρκάτω πίκ: Αλεύρι Ζάχρη Βούτυρο, A,,6,8,, Γ Γ γλύκισμ γλύκισμ Έστω επίσης ότι το κόστος σε δρχ τω υλικώ υτώ ά κιλό, γι τ έτη 99 κι 99, είι όπως δείχει ο πρκάτω πίκς: B λεύρι ζάχρη βούτυρο Γι βρούμε το κόστος σε δρχμές τω υλικώ του γλυκίσμτος Γ, πολλπλσιάζουμε τις ποσότητες τω υλικώ με τις τίστοιχες τιμές κι προσθέτουμε τ γιόμε υτά Δηλδή το κόστος του Γ το 99 ήτ, 6,6 7, 9 56 Η πρπάω διδικσί περιγράφετι με τη βοήθει τω πιάκω ως εξής:

112 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 6 [,,6,] 7 [, 6,6 7, 9] [56] 9 O πίκς [56] λέγετι γιόμεο της πρώτης γρμμής του Α επί τη πρώτη στήλη του Β Αλόγως, το κόστος του Γ το 99 ήτ, 8,6, 696 Δηλδή πριστάετι με το γιόμεο της πρώτης γρμμής του Α επί τη δεύτερη στήλη του Β 8 [,,6,] [696] Ομοίως, το κόστος του Γ το 99 ήτ: εώ το 99 ήτ:, 6,8 7, 9 7 ή 6 [,,8,] 7 [7], 9, 8,8, 89 ή 8 [,,8,] [89] Ο πίκς Γ δείχει το κόστος τω δύο γλυκισμάτω κτά τ έτη κι 99 Ο πίκς Γ που προκύπτει με το πιο πάω τρόπο λέγετι γιόμεο του πίκ Α με το πίκ Β κι συμβολίζετι με A B ή AB, δηλδή 6 8,,6, Γ 7,,8, Γεικά έχουμε το κόλουθο ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ

113 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6 Α ] [ ik A είι ές μ πίκς κι ] [ kj β B είι ές ρ πίκς, τότε ορίζουμε ως γιόμεο του πίκ Α με το πίκ Β κι το συμβολίζουμε με B A ή με ΑΒ το ρ μ πίκ, του οποίου κάθε στοιχείο ij γ είι το ά- θροισμ τω γιομέω τω στοιχείω της i -γρμμής του Α με τ τίστοιχ στοιχεί της j -στήλης του Β Δηλδή, j i j i j i ij β β β γ Σχημτικά j -στήλη μρ μj μ μ iρ ij i i ρ j ρ j ρ j ρ j ρ j μ μ μ i i i γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ β β β β β β β β β β β β i γρμμή Γι πράδειγμ, το γιόμεο 5 βρίσκετι ως εξής:, γ γ κι γ γ Επομέως, Τοίζετι ότι το γιόμεο ΑΒ ορίζετι ότ ο ριθμός τω στηλώ του πίκ Α είι ίσος με το ριθμό τω γρμμώ του πίκ Β Σχημτικά: ρ μ ρ μ AB Β A, Γι πράδειγμ, A, B κι 5 Γ, τότε, σύμφω με το πρπάω ορισμό, ορίζοτι τ γιόμε AΓ BA AB,, κι είι

114 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ AB, BA κι AΓ, εώ δε ορίζοτι τ γιόμε ΓΒ BΓ, κι ΓΑ Ιδιότητες του πολλπλσισμού τω πιάκω Α μ λ, είι πργμτικοί ριθμοί κι B A, είι πίκες, τότε ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες με τη προϋπόθεση οτι ορίζοτι οι πράξεις που σημειώοτι Γ AB BΓ A προσετιριστική ΑΓ AB Γ Β Α κι ΓΑ BA A Γ Β επιμεριστική AB λμ μb λa Α με I συμβολίσουμε το διγώιο πίκ του οποίου κάθε στοιχείο της κυρίς διγωίου είι ίσο με, τότε γι κάθε τετργωικό πίκ Α ισχύει: A A I AI O πίκς υτός λέγετι μοδιίος πίκς Γι πράδειγμ, οι πίκες I, I είι μοδιίοι Το πίκ I θ το συμβολίζουμε πλούστερ με Ι, ότ είι προφής ο τύπος του Α τώρ Α είι ές μ πίκς, τότε ισχύου ΑΙ A κι I μ A A Γι πράδειγμ

115 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ κι Η προσετιριστική ιδιότητ μς επιτρέπει γράφουμε ABΓ γι κθέ πό τ ίσ γιόμε A BΓ, AB Γ Ομοίως, Α,Β,Γ,Δ είι πίκες τέτοιοι, ώστε ορίζοτι τ γιόμε ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ τότε έχουμε [ AB Γ] Δ AB ΓΔ A[ B ΓΔ] A[ ΒΓ Δ] [ A BΓ] Δ κι μπορούμε γράφουμε ΑΒΓΔ γι κθέ πό τ γιόμε υτά Γεικά, επειδή ισχύει η προσετιριστική ιδιότητ, μπορεί ποδειχτεί ότι ότ πολλπλσιάζουμε έ ριθμό πιάκω A, A,, A το γιόμεο θ είι το ίδιο κτά οποιοδήποτε τρόπο κι εκτελεστεί ο πολλπλσισμός, χωρίς ό- μως λλάξει η σειρά τω πργότω κι συμβολίζετι με A A A Α ο Α είι ές τετργωικός πίκς, τότε ορίζοτι τ γιόμε ΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΑΑ, κτλ κι τ συμβολίζουμε με μορφή δυάμεω ως εξής: A, A, A,, - τιστοίχως Ορίζουμε επίσης A A Α p, q είι θετικοί κέριοι, κι κ πργμτικός ριθμός, ποδεικύετι ότι: A p q p q A A, p q pq A A κι p p p κa κ A ΣΧΟΛΙΟ Γωρίζουμε ότι γι το πολλπλσισμό τω πργμτικώ ριθμώ ισχύει, επιπλέο, κι η τιμετθετική ιδιότητ Δηλδή, ισχύει β β γι οποιουσδήποτε,β Η ιδιότητ, όμως, υτή δε ισχύει γι το πολλπλσισμό τω πιάκω, φού υπάρχου πίκες A, B με AB BA Γι πράδειγμ, A κι B 5, τότε AB BA, φού: 9 8 AB, εώ BA Επειδή, λοιπό, δε ισχύει η τιμετθετική ιδιότητ οι ισότητες: A B ± B A ± AB, A ± B ± B A ± A B AB, A B A B A B, A B A B A AB B κτλ AB BA οι πρπάω ισότη- δε ισχύου πάτοτε Στη περίπτωση, όμως, που τες ισχύου

116 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 ΕΦΑΡΜΟΓH Δίοτι οι πίκες A κι B Ν ποδειχτεί ότι: i I A, I B κι B A ii I BA AB iii AB B A B A ΛΥΣΗ i Είι I A B I Άρ B A ii Είι AB BA Άρ I BA AB iii Είι I BA AB I B BA AB A B A B A B A I BA AB λόγω της ii AB AB B A λόγω της ii Άρ, AB B A B A Ατιστρέψιμοι πίκες Γωρίζουμε ότι γι κάθε πργμτικό ριθμό με υπάρχει ο τίστροφός του, που συμβολίζετι με ή, γι το οποίο ισχύει

117 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Είι λογικό τώρ ρωτήσουμε: Α δοθεί ές πίκς Α μπορούμε βρούμε έ πίκ Β τέτοιο ώστε ισχύει AB BA I ; Σύμφω με το πολλπλσισμό που ορίσμε μι τέτοι ερώτηση έχει όημ μόο ο Α είι ές τετργωικός πίκς Οδηγούμστε έτσι στο εξής ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ές τετργωικός πίκς τύπου Α υπάρχει τετργωικός πίκς Β τύπου, τέτοιος ώστε ισχύει AB BA I, τότε ο Α λέγετι - τιστρέψιμος πίκς κι ο Β τίστροφος του Α Α ές πίκς Α έχει τίστροφο, τότε ποδεικύετι ότι υτός είι μοδικός κι συμβολίζετι με A Έτσι έχουμε: Γι πράδειγμ, τότε έχουμε: AB I Άρ, ο Β είι ο τίστροφος του Α AA A A I A κι B, κι BA I Σύμφω με το πρπάω ορισμό, ο πίκς Β είι τίστροφος του Α, ότ AB I κι BA I Αποδεικύετι, όμως, ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ Α γι δυο πίκες A, B ισχύει μι πό τις ισότητες τότε θ ισχύει κι η άλλη AB I κι BA I, Με βάση υτό το θεώρημ, γι ποδείξουμε ότι ές πίκς Β είι τίστροφος εός πίκ Α, ρκεί ποδείξουμε μί μόο πό τις ισότητες AB I κι BA I Τέλος, ές πίκς Α είι τιστρέψιμος, τότε ισχύου οι ισοδυμίες: i ii AX B X A XA B X BA B Πράγμτι, γι τη i έχουμε: Α AX B, τότε A AX A B, οπότε X A B

118 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α X A B, τότε AX AA B, οπότε AX B Ομοίως ποδεικύετι κι η ii ΣΧΟΛΙΟ Γωρίζουμε ότι γι το πολλπλσισμό τω πργμτικώ ριθμώ ισχύει επιπλέο κι η ιδιότητ: β, τότε ή β Η ιδιότητ, όμως, υτή δε ισχύει γι το πολλπλσισμό τω πιάκω, φού πχ γι τους πίκες A κι B ισχύει AB χωρίς, ωστόσο, είι A O ή B O Δηλδή: Μπορεί έ γιόμεο πιάκω ισούτι με το μηδεικό πίκ, χωρίς κές είι μηδεικός Στη περίπτωση όμως που ισχύει AB κι ο ές πό τους πίκες είι - τιστρέψιμος, τότε ο άλλος είι μηδεικός Πράγμτι, ο Α είι τιστρέψιμος, τότε έχουμε διδοχικά: Aτίστροφος εός πίκ A AB AB A IB B β Έστω A ές πίκς Θ εξετάσουμε πότε υτός τιστρέφετι γ δ κι θ βρούμε το τίστροφό του Γι τιστρέφετι ο Α, πρέπει κι ρκεί υπάρχει πίκς X τέτοιος, ώστε ισχύει AX I ή, z ω ισοδύμ, γ β δ z ω βz γ δz βω γ δω βz γ δz Σ κι βω γ δω Αρκεί, επομέως, τ συστήμτ Σ κι Σ έχου λύση Τ συστήμτ υτά έχου Σ

119 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ D γ β δ βγ δ κι β β D δ, D z γ, D β, D ω δ γ δ γ Επομέως: A D, τότε τ συστήμτ Σ κι Σ έχου μοδική λύση, οπότε ο πίκς Α τιστρέφετι Η λύση του Σ είι το ζεύγος, z με D δ D z γ κι z, D D D D εώ η λύση του Σ είι το ζεύγος, ω με D β κι D D D ω ω D D Άρ X δ D γ D β D, οπότε ο τίστροφος του Α είι ο πίκς D A δ D γ β Α D, τότε έ τουλάχιστο πό τ συστήμτ Σ κι Σ είι δύτο, οπότε ο πίκς Α δε τιστρέφετι Πράγμτι Α D ή D ή D ή D, τότε έ τουλάχιστο πό τ συστήμτ Σ κι Σ θ είι δύτο z β Α D D D D, τότε β γ δ, οπότε κι πάλι τ δύο z ω συστήμτ θ είι δύτ Αποδείξμε λοιπό ότι: ω O πίκς β β A είι τιστρέψιμος, κι μόο γ δ γ δ β Ο τίστροφος εός πίκ A, υπάρχει, δίετι πό το τύπο γ δ δ β β A, όπου D D γ γ δ Γι πράδειγμ:

120 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ο πίκς A τιστρέφετι, γιτί κι ο τίστροφός του είι ο A β Ο πίκς A δε τιστρέφετι, γιτί ΕΦΑΡΜΟΓH Δίοτι οι πίκες A κι B i N βρεθεί ο τίστροφος του πίκ Α ii Ν λυθεί η εξίσωση AX B ΛΥΣΗ i Γι το πίκ Α έχουμε D Άρ A ii Επειδή ο πίκς Α είι τιστρέψιμος, έχουμε: AX B X A B X 6 X ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε τ γιόμε AB κι BA σε όποιες πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζοτι:

121 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ i ] [ A, B ii A, B iii 5 A, 5 B iv A, 7 B Α A, B κι Γ Ν βρείτε τους πίκες: i AB ii Γ AB iii ABΓ T στοιχεί γι τις μοιβές κι το ριθμό τω εργτώ σε δύο οικοδομικές ετιρείες Α κι Β έχου με μορφή πιάκω ως εξής: Aριθμός εργτώ Εβδομδιίες ποδοχές Ειδικευμέοι Αειδίκευτοι σε χιλ δρχμές B A Αειδίκευτοι Ειδικευμέοι 5 Ν εκφράσετε με τη βοήθει του πολλπλσισμού τω πιάκω το σύολο τω μοιβώ τω εργτώ στις δύο ετιρείες Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ποδείξετε ότι ο πίκς Β είι τίστροφος του Α i A, B ii 5 A, B 5 Ν βρείτε το τίστροφο, εφόσο υπάρχει, κθεός πό τους πρκάτω πίκες: A, B κι θ θ θ θ Γ συ ημ ημ συ 6 i Ν βρείτε το τίστροφο του πίκ ημ συ συ ημ

122 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 ii Ν λύσετε τη εξίσωση: ημ συ συ ημ X συ ημ ημ συ B ΟΜΑΔΑΣ Α A, τότε: i Ν βρείτε τις τιμές τω, γι τις οποίες ισχύει A A I ii Ν υπολογίσετε τους πίκες A κι A A A, βρείτε το πργμτικό ριθμό, ώστε ισχύει A A I Ν βρείτε τους πίκες X,,β γι τους οποίους ισχύει β X I Α A, i A I, B I B iii A B A B A B, ποδείξετε ότι: ii A B, A B I 5 A A, ποδείξετε ότι: i Ο πίκς Α τιστρέφετι κι βρείτε το ii A A * I, A συ - ημ ημ συ 6 A A, B ημ συ, τότε: συ ημ i Ν ποδείξετε ότι A A, B A ii Ν ποδείξετε ότι A B iii Ν λύσετε τη εξίσωση A B I 7 Mι βιομηχί επίπλω κουζίς έχει δύο εργοστάσι E κι E Οι πίκες Μ κι Ν δίου τις ώρες εργσίς που πιτούτι γι τη κτσκευή κάθε επίπλου κι τις ωριίες μοιβές του προσωπικού σε δρχμές τιστοίχως

123 6 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κτσκευή Βάψιμο Συσκευσί E E,6,6, Πάγκος 5 55 M,9, Κρέκλ, N 6 7,5,, Τρπέζι 5 Κτσκευή Βάψιμο Συσκευσί i Ν βρείτε το πίκ ΜΝ κι εξηγήσετε τι εκφράζει ii Ποιο είι το κόστος εργσίς γι τη πργωγή μις κρέκλς στο εργοστάσιο E κι εός πάγκου στο εργοστάσιο E ; 8 Α A 5 6 κι B, ποδείξετε ότι: i A κι γεικά A, I άρτιος θετικός ii B I, B B κι γεικά B B περιττός θετικός ημ π 9 Δίετι ο πίκς A, συ ημ, π i Ν ποδείξετε ότι A A ii Ν λύσετε τη εξίσωση A I Α A, i Ν ποδείξετε ότι A A A ii Ν βρείτε τη σχέση μετξύ τω, ώστε ο πίκς A είι τίστροφος του A iii N βρείτε το τίστροφο του πίκ M λ λ Α A, λ λ λ, τότε: i Ν ποδείξετε ότι A I, A A I, άρτιος A A, περιττός κι γεικά ότι

124 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 ii Α λ, βρείτε το πίκ Χ γι το οποίο ισχύει A 99 X iii Ν υπολογίσετε το άθροισμ I A A A Δίετι ο πίκς A i Ν βρείτε το τίστροφο του πίκ Α ii Ν βρείτε το πίκ Χ σε κάθε μι πό τις πρκάτω περιπτώσεις: AX β AXA γ AX A A Α A, τότε: i Ν ποδείξετε ότι A I κι γεικά ότι Ι, άρτιος A I, περιττός ii Ν βρείτε τις πργμτικές τιμές του γι τις οποίες ισχύει A A ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Η Έοι του Γεωμετρικού Μετσχημτισμού Γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ότι συάρτηση πό έ σύολο Α σε έ σύολο Β είι μι διδικσί με τη οποί κάθε στοιχείο του Α τιστοιχίζετι σε έ κι μοδικό στοιχείο του Β Στη πράγρφο υτή θ σχοληθούμε με συρτήσεις γι τις οποίες τ Α κι Β συμπίπτου με το σύολο E τω σημείω εός κρτεσιού επιπέδου O Οι συρτήσεις υτές λέγοτι γεωμετρικοί μετσχημτισμοί στο επίπεδο ή, πλά, γεωμετρικοί μετσχημτισμοί Δηλδή, γεωμετρικός μετσχημτισμός είι οποιδήποτε συάρτηση Τ M, T :E E M, O

125 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ως προς τη συάρτηση υτή η εικό, T M, του σημείου M, θ συμβολίζετι με M, Έ πράδειγμ γεωμετρικού μετσχημτισμού είι η συάρτηση T :E E M, M,, η οποί τιστοιχίζει κάθε σημείο Μ στο συμμετρικό του M ως προς το άξο C C M, O M, Στη συέχει θ σχοληθούμε μόο με τους γεωμετρικούς μετσχημτισμούς που πεικοίζου τ σημεί M, στ M, τω οποίω οι συτετγμέες δίοτι πό έ σύστημ της μορφής β μ γ δ ή, ισοδύμ, πό μι εξίσωση της μορφής β μ γ δ όπου,β,γ,δ,μ, πργμτικοί ριθμοί Α μ κι, τότε η εξίσωση πίρει τη μορφή β γ δ Στη περίπτωση υτή ο γεωμετρικός μετσχημτισμός λέγετι γρμμικός μετσχημτισμός κι ο πίκς λέγετι πίκς του γρμμικού μετ- β γ δ σχημτισμού Γι πράδειγμ, ο γεωμετρικός μετσχημτισμός που ορίζετι πό το σύστημ 7 7 ή, ισοδύμ, πό τη εξίσωση είι ές γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ το Με υτό το μετσχημτισμό 7 το σημείο A, πεικοίζετι στο A,6, εώ το σημείο B, στο B,, δηλδή στο ευτό του Ας θεωρήσουμε τώρ το γρμμικό μετσχημτισμό

126 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 T : β γ δ κι τ μοδιί διύσμτ i, κι j, Τότε, η εικό A του πέρτος A, του διύσμτος i έχει συτετγμέες, γ, φού γ β, δ γ Β β,δ Β, j Α,γ O i Α, εώ η εικό B του πέρτος B, του διύσμτος j έχει συτετγμέες β, δ, φού γ β β δ δ Πρτηρούμε, δηλδή, ότι: Oι συτετγμέες της εικός του πέρτος, A,, του διύσμτος i, είι η πρώτη στήλη, εώ οι συτετγμέες της εικός του πέρτος, Β,, του διύσμτος j είι η δεύτερη στήλη του πίκ του γρμμικού μετσχημτισμού Γι πράδειγμ, ο γρμμικός μετσχημτισμός, που πεικοίζει τ πέρτ A, κι B, τω διυσμάτω i, κι j, στ σημεί A, κι B, τιστοίχως, έχει πίκ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός T : i Ν βρεθού οι εικόες A, κι B, τω σημείω A, κι B, τιστοίχως ii Ν ποδειχτεί ότι A B AB

127 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΣΗ i Έχουμε Επομέως, οι εικόες τω, A κι, B είι τ σημεί, A κι, B τιστοίχως ii Είι AB B A Πρτηρούμε ότι ο μετσχημτισμός υτός διτηρεί τις ποστάσεις Οι γρμμικοί μετσχημτισμοί που διτηρού τις ποστάσεις λέγοτι ισομετρίες Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός: T : N βρεθεί: i Το πρότυπο του σημείου, A, δηλδή το σημείο, Α που πεικοίζετι στο, A ii Η εικό της ευθείς : ε ΛΥΣΗ i Ισχύει Επειδή ο πίκς είι τιστρέψιμος, πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το τίστροφό του, που είι ο πίκς κι έχουμε διδοχικά:

128 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άρ το σημείο Α έχει συτετγμέες, ii Αρκεί βρούμε τη εξίσωση η οποί επληθεύετι πό τις συτετγμέες τω εικόω τω σημείω της ευθείς ε κι μόο π υτές Πράγμτι, έχουμε: Eπομέως, το σημείο M, ήκει στη ε, τότε θ ισχύει: ε 5 ε 6 O Άρ, το σημείο M, ήκει στη ευθεί ε : Αλλά κι τιστρόφως, το σημείο M, ήκει στη ευθεί ε :, τότε το M, ήκει στη ευθεί ε : Συεπώς, η εικό της ευθείς ε : είι η ευθεί ε : ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικύετι ότι κάθε γρμμικός μετσχημτισμός, του οποίου ο πίκς - τιστρέφετι, πεικοίζει: ευθείες σε ευθείες ευθύγρμμ τμήμτ σε ευθύγρμμ τμήμτ με άκρ τις εικόες τω άκρω πολύγω σε πολύγω με κορυφές τις εικόες τω κορυφώ Γι πράδειγμ, με το μετσχημτισμό

129 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ T : το τρίγωο ΑΒΓ με κορυφές A,, B, κι Γ, πεικοίζετι στο τρίγωο A B Γ που έχει ως κορυφές τις εικόες A,, B, κι Γ, τω κορυφώ του τριγώου ΑΒΓ Είι βολικό, πολλές φορές, έ πολύγωο A A A το πριστάουμε με το πίκ, που έχει ως στήλες τις συτετγμέες τω κορυφώ του Το πίκ υτό θ το λέμε πίκ του πολυγώου Έτσι, ο πίκς του ΑΒΓ είι ο, εώ του A B Γ ο Eίι φερό ότι 6 Β Γ A B Γ Α Β Γ Β Άρ ο πίκς του τριγώου A B Γ προκύπτει Γ πολλπλσιάσουμε το πίκ του γρμμικού μετσχημτισμού με το πίκ του τριγώου ΑΒΓ O Α Α Αυτό ισχύει κι γι οποιοδήποτε πολύγωο Βσικοί γεωμετρικοί μετσχημτισμοί Συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω Κλούμε συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω το γεωμετρικό εκείο μετσχημτισμό με το οποίο κάθε σημείο M, του κρτεσιού επιπέδου πεικοίζετι στο συμμετρικό του M, ως προς τη ρχή τω ξόω Όπως γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ισχύει C Μ -,- 7 Μ, C O Άρ, η συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω είι γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ I

130 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Συμμετρί ως προς άξο μι ευθεί ε Κλούμε συμμετρί ως προς άξο μι ευθεί ε, το γεωμετρικό εκείο μετσχημτισμό με το οποίο κάθε σημείο, M του κρτεσιού επιπέδου πεικοίζετι στο συμμετρικό του,, M, ως προς τη ευθεί ε Στη πράγρφο υτή θ σχοληθούμε με τη συμμετρί ως προς το άξο, τη συμμετρί ως προς το άξο κι τη συμμετρί ως προς τη ευθεί Συμμετρί ως προς το άξο Οπως γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ισχύει: Άρ, η συμμετρί ως προς το άξο είι γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ β Συμμετρί ως προς το άξο Όπως γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ισχύει: Άρ η συμμετρί ως προς το άξο είι ές γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ γ Συμμετρί ως προς άξο τη ευθεί Όπως γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ισχύει: Άρ, η συμμετρί ως προς άξο τη ευθεί είι ές γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ Oι πρπάω γρμμικοί μετσχημτισμοί είι όλοι ισομετρίες O ε Μ, Μ, 8 O 9 C C Μ, Μ, O C C Μ, Μ, O C ε C Μ, Μ,

131 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ Έστω O έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο κι θ μι θετική ή ρητική γωί Κλούμε στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ το γεωμετρικό εκείο μετσχημτισμό με το ο- ποίο κάθε σημείο M, του επιπέδου τιστοιχίζετι στο πέρς M,, του διύσμτος O M που είι η τελική θέση του OM, υτό στρφεί γύρω πό το Ο κτά γωί θ Α φ είι η γωί που σχημτίζει το διάυσμ OM με το άξο ρσυφ ρημφ Έτσι, θ ισχύει κι ρ το μέτρο του διύσμτος OM, τότε θ ισχύει: κι ρσυ φ θ ρημ φ θ ρσυφσυθ ημφημθ ρσυφσυθ ρημφημθ ρημφσυθ συφημθ ρημφσυθ ρσυφημθ συθ ημθ ημθ συθ συθ ημθ ημθ συθ Άρ, η στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ είι γρμμικός μετσχημτισμός με συθ ημθ πίκ Ειδικότερ: ημθ συθ π Η στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ έχει πίκ β Η στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ π έχει πίκ I κι είι η συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω γ Η στροφή με κέτρο Ο κι γωί π θ έχει πίκ δ Τέλος, η στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ π έχει πίκ Ι κι είι η τυτοτική πεικόιση Εύκολ ποδεικύετι ότι κι η στροφή είι μι ισομετρί Μ, ρ Μ, θ φ O

132 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Ομοιοθεσί Κλούμε ομοιοθεσί με κέτρο τη ρχή * τω ξόω Ο κι λόγο λ το μετσχημτισμό με το οποίο κάθε σημείο M, του επιπέδου τιστοιχίζετι στο σημείο M, που ορίζετι πό τη ισότητ O M λom Επειδή OM, κι O M,, έχουμε: O M λom, λ, O Μ, Μ, λ> λ λ λ λ λ λ Άρ,η ομοιοθεσί με κέτρο τη ρχή τω ξόω κι λόγο λ είι ές λ γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ λi λ ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ Γι θυμόμστε το πίκ τω πρπάω γρμμικώ μετσχημτισμώ, ρκεί θυμόμστε ότι η πρώτη στήλη του είι οι συτετγμέες της εικός του σημείου A,, εώ η δεύτερη στήλη του είι οι συτετγμέες της εικός του B, Γι πράδειγμ, ο πίκς της συμμετρίς ως προς το άξο είι ο που έχει γι πρώτη κι δεύτερη στήλη τις συτετγμέες τω συμμετρικώ ως προς το άξο τω σημείω A, κι B, τιστοίχως 5 Πράλληλη μετφορά Έστω δ δ, δ έ διάυσμ του κρτεσιού επιπέδου O Κλούμε πράλληλη μετφορά κτά διάυσμ δ το γεωμετρικό εκείο μετσχημτισμό με το οποίο κάθε σημείο M, του επιπέδου τιστοιχίζετι στο σημείο M, που ορίζετι πό τη ισότητ MM δ Σχ

133 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6 Επειδή, M M, έχουμε,, δ δ δ M M δ δ δ δ δ δ δ δ Άρ, η πράλληλη μετφορά δε είι γρμμικός μετσχημτισμός ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έστω Τ ο μετσχημτισμός στροφή με κέτρο Ο κι γωί π θ Ν βρεθεί η εικό C της κμπύλης C : ως προς το μετσχημτισμό Τ ΛΥΣΗ Έστω, M έ σημείο του επιπέδου κι, M η εικό του ως προς το μετσχημτισμό Τ Τότε θ ισχύει π π π π / / / / συ - ημ ημ συ / / / / / / / / δ δ O Μ, Μ,

134 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 Επομέως, το M, ήκει στη κμπύλη C, τότε θ ισχύει: [ ], οπότε το σημείο M, θ είι σημείο της ισοσκελούς υπερβολής C : 5 C C O Αλλά κι τιστρόφως, το M, ήκει στη κμπύλη C, τότε το M, θ ήκει στη C π Άρ, η εικό της C :, ως προς τη στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ, είι η υπερβολή C : Συεπώς, η κμπύλη C : είι μι υπερβολή που προκύπτει στρέψουμε τη C κτά γωί π θ Έστω T κι T οι γρμμικοί μετσχημτισμοί με πίκες A κι A τιστοίχως Ν βρεθεί ο πίκς του γρμμικού μετσχημτισμού που προκύπτει, εφρμόσουμε πρώτ το T κι έπειτ το T, δηλδή του μετσχημτισμού T T ΛΥΣΗ Έστω M, έ σημείο του επιπέδου Α M, είι η εικό του Μ μέσω του μετσχημτισμού T κι M, η εικό του M μέσω του μετσχημτισμού T, τότε θ ισχύει κι, οπότε θ έχουμε

135 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 8 που είι το γιόμεο A A τω πι- 8 Άρ, ο πίκς του T T είι ο άκω τω μετσχημτισμώ T κι T Γεικά: Α A, A είι πίκες δύο γρμμικώ μετσχημτισμώ, T κι T τιστοίχως, τότε ο πίκς του γρμμικού μετσχημτισμού T T είι ο A A, εώ του T T είι ο A A ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν γράψετε τους πίκες τω γρμμικώ μετσχημτισμώ: T :, T :, T : κι βρείτε τις εικόες τω σημείω A, κι B, Ν βρείτε το γρμμικό μετσχημτισμό που πεικοίζει τ πέρτ A, κι B, τω μοδιίω διυσμάτω i κι j στ σημεί i, κι, τιστοίχως, ii, κι, τιστοίχως Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός: T : Ν βρείτε τις εικόες τω σημείω O, κι A, κι στη συέχει ποδείξετε ότι ο Τ δε είι ισομετρί Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός: T : i Ν βρείτε τη εικό A B Γ Δ του τετργώου ΑΒΓΔ που έχει πίκ ii Ν ποδείξετε ότι το Α Β Γ Δ είι πλάγιο πρλληλόγρμμο

136 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 5 Δίετι ο μετσχημτισμός: T : N βρείτε i το πρότυπο του σημείου A,5 ii τη εικό της ευθείς ε : 6 Τι πριστάου γεωμετρικά οι γρμμικοί μετσχημτισμοί που έχου πίκ: i iii / / A, ii A / / A, iv A v A, vi A B ΟΜΑΔΑΣ Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός: T : i Ν ποδείξετε ότι ο Τ πεικοίζει όλ τ σημεί του επιπέδου στη ευθεί ε: ii N βρείτε τ πρότυπ του σημείου O, iii Ν ποδείξετε ότι το σημείο A, δε έχει πρότυπο Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός: T : κι δύο οποιδήποτε σημεί A,, B, του επιπέδου Ν ποδείξετε ότι i O T δε είι ισομετρί, δηλδή ότι A B AB ii iii Ο Τ πεικοίζει το μέσο του ευθ τμήμτος ΑΒ στο μέσο της εικός του A B Το εμβδό του τριγώου ΟΑΒ είι ίσο με το εμβδό της εικός του O A B

137 5 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ν βρείτε το γρμμικό μετσχημτισμό που πεικοίζει τ σημεί A, κι B, στ σημεί: i A, κι B, τιστοίχως ii A 6, κι B, τιστοίχως Σε κθεμιά περίπτωση βρείτε τη εικό της ευθείς ε: Ν ποδείξετε ότι κθές πό τους πρκάτω γεωμετρικούς μετσχημτισμούς είι γρμμικός μετσχημτισμός i Η συμμετρί ως προς τη ευθεί ii Η προβολή πάω στο άξο iii Η προβολή πάω στο άξο iv Η προβολή πάω στη ευθεί Στη συέχει βρείτε σε κθεμί περίπτωση τη εικό του τετργώου ΟΑΓΒ με πίκ κι επιβεβιώσετε γεωμετρικά τη πάτησή σς 5 Δίετι ο μετσχημτισμός Τ με πίκ A, όπου > β > β i Ν ποδείξετε ότι η εικό του κύκλου C : είι η έλλειψη : C β ii Αφού βρείτε τη εικό O A Γ B του τετργώου ΟΑΓΒ, που έχει πίκ, δείξετε ότι O A Γ B β OAΓΒ 5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Κάθε εξίσωση της μορφής β, όπου,,, β είι πργμτικοί ριθμοί κι,,, άγωστοι, λέγετι γρμμική εξίσωση με γώστους Οι ριθμοί,, λέγοτι συτελεστές τω γώστω κι ο β στθερός όρος Γι πράδειγμ, η εξίσωση είι μι γρμμική εξίσωση με δύο - γώστους Επίσης, η 5 είι γρμμική εξίσωση με τέσσε-

138 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 ρις γώστους, εώ οι εξισώσεις κι δε είι γρμμικές Κάθε διτετγμέη -άδ ριθμώ s, s,, s που επληθεύει μι γρμμική εξίσωση με γώστους λέγετι λύση της εξίσωσης Γι πράδειγμ, η διτετγμέη τριάδ,, είι λύση της εξίσωσης ω, φού Έ πλήθος μ γρμμικώ εξισώσεω με γώστους τω οποίω ζητάμε τις κοιές λύσεις, λέγετι γρμμικό σύστημ μ εξισώσεω με γώστους ή - πλούστερ μ γρμμικό σύστημ Γι πράδειγμ, το ω Σ ω είι έ γρμμικό σύστημ Γεικά, έ μ γρμμικό σύστημ έχει τη μορφή β β μ μ μ β μ Σ Ο ος δείκτης i του συτελεστή ij δείχει τη εξίσωση στη οποί ήκει ο ij, εώ ο ος δείκτης j δείχει το άγωστο με το οποίο πολλπλσιάζετι ο ij Γι πράδειγμ, ο είι ο συτελεστής του γώστου στη τρίτη εξίσωση εός συστήμτος Κάθε διτετγμέη -άδ ριθμώ η οποι επληθεύει όλες τις εξισώσεις εός μ γρμμικού συστήμτος, λέγετι λύση του συστήμτος Γι πράδειγμ, η διτετγμέη τριάδ,, είι λύση του συστήμτος Σ, φού κι Η διδικσί με τη οποί βρίσκουμε τις λύσεις εός συστήμτος λέγετι επίλυση του συστήμτος Έ σύστημ που έχει μι τουλάχιστο λύση λέγετι συμβιβστό, εώ έ σύστημ που δε έχει κμί λύση λέγετι δύτο Τέλος, δύο γρμμικά συστήμτ που έχου τις ίδιες κριβώς λύσεις λέγοτι ισοδύμ Με τη βοήθει τω πιάκω το σύστημ Σ γράφετι ω ω

139 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Το ο μέλος όμως της ισότητς υτής είι το γιόμεο του πίκ τω συτελεστώ τω γώστω με το πίκ στήλη ω τω γώστω Επομέως το σύστημ Σ γράφετι ω Γεικότερ, το μ γρμμικό σύστημ Σ γράφετι μ μ μ μ β β β Α τώρ συμβολίσουμε με Α το πίκ τω συτελεστώ τω γώστω, με Χ το πίκ-στήλη τω γώστω κι με Β το πίκ-στήλη τω στθερώ ό- ρω, τότε το Σ γράφετι B AX Α οι στθεροί όροι εός γρμμικού συστήμτος είι όλοι ίσοι με το μηδέ, τότε το σύστημ λέγετι ομογεές κι σύτομ γράφετι AX Τέλος ο πίκς μ μ μ μ β β β που ποτελείτι πό το πίκ Α τω συτελεστώ τω γώστω, συμπληρωμέο με τη στήλη τω στθερώ όρω λέγετι επυξημέος πίκς του συστήμτος Όπως θ δούμε στη συέχει, ο πίκς υτός πίζει σημτικό ρόλο στη επίλυση του συστήμτος Η κτκόρυφη δικεκομμέη γρμμή στο επυξημέο πίκ προστίθετι πλώς γι ξεχωρίζει τη στήλη τω στθερώ ό- ρω 6 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ΤΟΥ GAUSS Aποδεικύετι ότι, σε έ γρμμικό σύστημ εφρμόσουμε μι πό τις επόμεες διδικσίες, τότε προκύπτει ισοδύμο σύστημ:

140 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Ελλγή της θέσης δύο εξισώσεω Πολλπλσισμός τω μελώ μις εξίσωσης με έ μη μηδεικό ριθμό Πρόσθεση τω μελώ μις εξίσωσης πολλπλσισμέω με έ ριθμό στ μέλη μις άλλης Έτσι, ότ έχουμε λύσουμε έ γρμμικό σύστημ προσπθούμε, εφρμόζοτς τις προηγούμεες διδικσίες, το μετσχημτίσουμε σε έ άλλο ισοδύμο σύστημ του οποίου η λύση είι προφής Ας δούμε τώρ με έ πράδειγμ πως εφρμόζοτι κι πως συμβολίζοτι οι τρεις υτές διδικσίες Έστω το γρμμικό σύστημ Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της ης εξίσωσης E του Σ με κι τ προσθέτουμε στ τίστοιχ μέλη της ης εξίσωσης E του Σ Έτσι, πλείφετι πό τη Ε ο άγωστος Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της Ε του Σ με κι τ προσθέτουμε στ μέλη της Ε Ετσι, πλείφετι πό τη Ε ο άγωστος E E E E ω 5ω ω Σ ω E ω Σ ω ω E ω Σ 7 ω Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της Ε του Σ με στής του γίετι Έτσι, ο συτε- E E ω ω 7 ω Σ Συεχίζουμε εφρμόζοτς τις πρπάω διδικσίες που πριστάουμε πλέο μόο συμβολικά: E E 7E ω ω 8ω 8 Σ 5 E E 8 ω ω ω Σ 6

141 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 E E E ω ω Σ 7 E E E ω Σ 8 E E E ω Σ 9 Επειδή το σύστημ Σ 9 είι ισοδύμο με το ρχικό σύστημ Σ, συμπερίουμε ότι η λύση του συστήμτος είι η τριάδ,, Μπορούμε περιγράψουμε πλούστερ τη διδικσί επίλυσης εός μ γρμμικού συστήμτος, σκεφτούμε ως εξής: Αφού κάθε εξίσωση πριστάετι με μι γρμμή του επυξημέου πίκ, ρκεί οι πρπάω μεττροπές τω εξισώσεω γίοτι στις γρμμές μ Γ Γ Γ,,, του επυξημέου πίκ Οι μεττροπές υτές λέγοτι γρμμοπράξεις κι είι οι εξής: Γρμμοπράξη Συμβολισμός Ελλγή της θέσης δύο γρμμώ j i Γ Γ Πολλπλσισμός μις γρμμής με έ μη μηδεικό ριθμό i i λγ Γ, λ Πρόσθεση τω στοιχείω μις γρμμής, πολλπλσισμέω με έ ριθμό, στ j i i λγ Γ Γ τίστοιχ στοιχεί μις άλλης γρμμής Ότ έχουμε δύο πίκες Α, Β που ο ές προκύπτει πό το άλλο με γρμμοπράξεις, τότε οι πίκες υτοί λέγοτι γρμμοϊσοδύμοι ή πλώς ισοδύμοι κι γράφουμε B ~ A Είι προφές ότι, οι επυξημέοι πίκες δύο συστημάτω είι ισοδύμοι, τότε κι τ συστήμτ είι ισοδύμ, φού κθεμιά γρμμοπράξη ξεχωριστά οδηγεί σε σύστημ ισοδύμο με το ρχικό Έτσι, η επίλυση του προηγούμεου συστήμτος μπορεί γίει ως εξής: 5 ~ Γ Γ Γ ~ Γ Γ Γ 7 ~ Γ Γ 7 ~ 7Γ Γ Γ

142 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ~ 8 Γ Γ ~ Γ Γ Γ ~ Γ Γ Γ ~ Γ Γ Γ Ο τελευτίος πίκς τιστοιχεί στο σύστημ ω Επομέως, η λύση του συστήμτος είι η τριάδ,, Πρτηρούμε ότι ο τελευτίος πίκς τω συτελεστώ τω γώστω είι ο μοδιίος πίκς Έτσι μπορούμε διβάσουμε μέσως τη λύση του συστήμτος Γι πλοποιήσουμε κι συτομεύσουμε κόμη περισσότερο τη διδικσί επίλυσης εός συστήμτος, πολλές φορές στο ίδιο βήμ εφρμόζουμε περισσότερες πό μί γρμμοπράξεις Ας λύσουμε τώρ κι το σύστημ Πίρουμε το επυξημέο πίκ κι έχουμε διδοχικά: ~ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ~ Γ Γ ~ Γ Γ Γ 5 ~ Γ Γ 6 5 ~ 6 Γ Γ Γ Γ Γ Γ 5 ~ 5Γ Γ Γ

143 56 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA Έτσι το ρχικό σύστημ είι ισοδύμο με το σύστημ 5 Λύουμε τη πρώτη εξίσωση ως προς έ άγωστο, πχ ως προς υτό μς διευκολύει, φού ο συτελεστής του γώστου υτού είι κι έχουμε 5 Επειδή ο άγωστος εκφράζετι ως συάρτηση τω,, υτό σημίει ότι μπορούμε επιλέξουμε υθιρέτως τις τιμές τω, Δηλδή, το γρμμικό σύστημ έχει άπειρο πλήθος λύσεω, τις διτετγμέες πετάδες,,,,, όπου οι, μπορού πάρου οποιεσδήποτε πργμτικές τιμές Πχ γι, έχουμε τη λύση,,,, του συστήμτος Ο τελευτίος πό τους πρπάω ισοδύμους επυξημέους πίκες είι, ό- πως λέμε, ές ηγμέος κλιμκωτός πίκς Γεικά, δίουμε το επόμεο ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ Ές μ πίκς λέγετι ηγμέος κλιμκωτός, ισχύου συγχρόως τ πρκάτω: Οι μη μηδεικές γρμμές βρίσκοτι πρι πό τις μηδεικές β Το πρώτο πό ριστερά μη μηδεικό στοιχείο κάθε μη μηδεικής γρμμής είι το κι βρίσκετι δεξιότερ του τίστοιχου της προηγούμεης γρμμής γ Το πρώτο πό ριστερά κάθε μη μηδεικής γρμμής είι κι το μόο μη μηδεικό στοιχείο της στήλης στη οποί ήκει Έτσι πχ οι πίκες Ές μ πίκς λέγετι, πλώς, κλιμκωτός, Οι μη μηδεικές γρμμές βρίσκοτι πρι πό τις μηδεικές κι β Το πρώτο πό τ ριστερά μη μηδεικό στοιχείο κάθε γρμμής βρίσκετι δεξιότερ πό το τίστοιχο στοιχείο της προηγούμεης γρμμής, χωρίς είι κτάγκη ίσο με

144 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 57 είι ηγμέοι κλιμκωτοί, εώ οι πίκες, δε είι ηγμέοι κλιμκωτοί Σχετικά με τους ηγμέους κλιμκωτούς πίκες ισχύει το πρκάτω θεώρημ ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε πίκς μεττρέπετι σε ηγμέο κλιμκωτό πίκ με τη εκτέλεση εός πεπερσμέου πλήθους γρμμοπράξεω Σύμφω με το θεώρημ υτό κάθε πίκς είι ισοδύμος με έ ηγμέο κλιμκωτό πίκ Μπορεί ποδειχθεί ότι υτός ο ηγμέος κλιμκωτός πίκς είι κι μοδικός Ο πρκάτω λγόριθμος μς δίει μι μέθοδο με τη οποί μπορούμε βρίσκουμε κάθε φορά το μοδικό υτό ηγμέο κλιμκωτό πίκ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΒΗΜΑ ο: Βρίσκουμε τη πρώτη στήλη του πίκ που περιέχει μη μηδεικό στοιχείο ΒΗΜΑ ο: Μετφέρουμε στο πίκ πρώτη τη γρμμή που περιέχει μη μηδεικό στοιχείο της στήλης γρμμοπράξη ΒΗΜΑ ο: Κάουμε το μη μηδεικό στοιχείο της στήλης μοάδ γρμμοπράξη ΒΗΜΑ ο: Κάουμε όλ τ στοιχεί της στήλης που είι κάτω πό τη μοάδ μηδεικά γρμμοπράξη ΒΗΜΑ 5ο: Αγοούμε τη πρώτη γρμμή του πίκ κι επλμβάουμε τ βήμτ έως γι τις επόμεες γρμμές του πίκ Α όμως οι γρμμές που πέμει είι μηδεικές, πηγίουμε στο 6ο βήμ ΒΗΜΑ 6ο: Από γρμμή σε γρμμή χρησιμοποιώτς το πρώτο πό ριστερά κάθε γρμμής κι τη γρμμοπράξη κάουμε μηδέ όλ τ στοιχεί της στήλης στη οποί βρίσκετι η μοάδ υτή, 5,

145 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA 58 Ο πρπάω λγόριθμος, που οομάζετι κι λγόριθμος του Gauss, ολοκληρώετι ότ σε κάθε μη μηδεική γρμμή του πίκ το πρώτο πό ριστερά είι κι το μόο μη μηδεικό στοιχείο της στήλης στη οποί ήκει Έτσι γι λύσουμε έ γρμμικό σύστημ με το λγόριθμο του Gauss, μεττρέπουμε το επυξημέο πίκά του σε έ ισοδύμο ηγμέο κλιμκωτό πίκ Γι πράδειγμ, ς λύσουμε το σύστημ Σχημτίζουμε το επυξημέο πίκ του συστήμτος 5 κι έχουμε διδοχικά: Γ Γ βήμ ο 5 Γ Γ Γ Γ Γ Γ βήμ ο ο βήμ 5ο βήμ γρμμή η τη Αγοούμε Γ Γ Γ Γ βήμ ο Γ Γ Γ βήμ ο

146 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 59 ο βήμ 5ο βήμ γρμμή η τη Αγοούμε Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ βήμ 6ο Γ Γ Γ βήμ 6ο Ο τελευτίος πίκς είι ηγμέος κλιμκωτός κι τιστοιχεί στο σύστημ 5 που είι ισοδύμο με το σύστημ 5 Επομέως, το σύστημ έχει άπειρο πλήθος λύσεω της μορφής,,,,,, Ας λύσουμε τώρ κι το σύστημ: ω z ω z ω z Σχημτίζουμε το επυξημέο πίκ του συστήμτος κι έχουμε διδοχικά: ~ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ~ 5 Γ Γ ~ 5Γ Γ Γ

147 6 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA Από τη η γρμμή του τελευτίου πίκ έχουμε ότι z ω ή, που σημίει ότι το σύστημ είι δύτο Γεικά, Α κτά τη επίλυση εός συστήμτος με τη βοήθει του επυξημέου πίκ προυσιστεί μι γρμμή της μορφής, με, τότε το σύστημ είι δύτο ΣΧΟΛΙΟ Από τ συστήμτ που λύσμε μέχρι τώρ, πρτηρούμε ότι, όσ πό υτά είι συμβιβστά, ή έχου μί μοδική λύση ή έχου άπειρο πλήθος λύσεω Δηλδή, δε εμφίστηκε σύστημ που έχει περισσότερες πό μί λλά πεπερσμέου πλήθους λύσεις Αποδεικύετι ότι υτό ισχύει γεικά γι τ γρμμικά συστήμτ ΕΦΑΡΜΟΓH Ν λυθεί το σύστημ κ κ, κ ΛΥΣΗ Σχημτίζουμε το επυξημέο πίκ του συστήμτος κι έχουμε διδοχικά: κ Γ Γ κ ~ Γ Γ Γ κ ~ κ κ κ κ Γ Γ Γ ~ κ κ Α κ, τότε το σύστημ είι δύτο Α κ, τότε ο τελευτίος πίκς γράφετι Επομέως, το σύστημ ισοδυμεί με τη εξίσωση κι έτσι έχει άπειρο πλήθος λύσεω της μορφής,,

148 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν γράψετε τ συστήμτ i 5 ω ω κι ii 6 6 ω ω στη μορφή B AX, όπου Α ο πίκς τω συτελεστώ τω γώστω, Χ ο πίκς τω γώστω κι Β ο πίκς τω στθερώ ό- ρω Ν γράψετε τ γρμμικά συστήμτ που περιγράφου οι ισότητες: i φ ω ii ω Στη συέχει γράψετε τους επυξημέους πίκες τω συστημάτω υτώ Ν λύσετε τ συστήμτ που τιστοιχού στους ηγμέους κλιμκωτούς πίκες: Mε το λγόριθμο του Gauss λύσετε τ συστήμτ: i z z z ii z z z iii z z z i ii iii

149 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA 6 5 Oμοίως τ συστήμτ: i ω z ω z ω z ii z ω z ω z iii z ω z ω z 6 Ομοίως τ συστήμτ: i 6 ii z z z B ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τ γ β,, ώστε το σύστημ γω β γω γω β έχει ως λύση τη,,,, ω Ν βρείτε τη εξίσωση της πρβολής γ β, β,γ,, που διέρχετι πό τ σημεί,,, κι 6, Α π,β,γ < < κι εφ συ ημ εφ συ ημ εφ συ ημ γ β γ β γ β, ποδείξετε ότι π γ β Α A κι ω X, λύσετε το γρμμικό σύστημ AX X 5 Α A, βρείτε ολους τους πίκες Χ γι τους οποίους ι- σχύει:

150 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6 6 Ν λύσετε τ συστήμτ: i ω ω ω ii AX XA ω 6 ω λω μ iii κ κ, κ κ 7 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Εισγωγή Στη προηγούμεη πράγρφο περιγράψμε μι μέθοδο με τη οποί μπορούμε βρίσκουμε τη λύση εός γρμμικoύ συστήμτος Όμως, όπως έχουμε δει στ γρμμικά συστήμτ με δύο γώστους, είι χρήσιμο έχουμε κι έ τύπο, ο οποίος εκφράζει τις λύσεις εός γρμμικού συστήμτος ως συάρτηση τω συτελεστώ του Οι τύποι που θ βρούμε γεικεύου τους τύπους που ήδη ξέρουμε γι τη περίπτωση εός γρμμικού συστήμτος Θ προχωρήσουμε στη ζήτηση εός τέτοιου τύπου που τ εργλεί γι τη εύρεσή του είι οι ορίζουσες Ορίζουσ εός πίκ Έστω ο πίκς A Ο ριθμός λέγετι ορίζουσ του πίκ Α κι συμβολίζετι με A ή με Δηλδή, A Επειδή η ορίζουσ υτή τιστοιχεί σε έ πίκ, λέγετι ορίζουσ ης τάξης Γι πράδειγμ, η ορίζουσ του πίκ A είι A 6 του πίκ I είι I

151 6 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA του πίκ είι Ορίζουσ εός πίκ Η ορίζουσ εός πίκ ορίζετι με τη βοήθει της ορίζουσς ης τάξης ως εξής: Έστω o πίκς Ο ριθμός A λέγετι ορίζουσ του πί- κ Α κι συμβολίζετι με A ή με Δηλδή A Επειδή η ορίζουσ υτή τιστοιχεί σε έ πίκ, λέγετι ορίζουσ ης τάξης 5 Γι πράδειγμ, A, τότε A Η πράστση με τη οποί ορίζετι η A λέγετι άπτυγμ της A ως προς τ στοιχεί της πρώτης γρμμής Με εκτέλεση τω πράξεω στο άπτυγμ υτό έχουμε: A

152 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 65 H πράστση λέγετι άπτυγμ της A ως προς τ στοιχεί της δεύτερης γρμμής Ομοίως, μπορούμε διπιστώσουμε ότι ισχύει κι A, που λέγετι άπτυγμ A ως προς τ στοιχεί της τρίτης γρμμής Πρτηρούμε ότι σε κθέ πό τ πτύγμτ της A, κάθε στοιχείο ij της τίστοιχης γρμμής πολλπλσιάζετι με τη ορίζουσ ης τάξης του πίκ που προκύπτει πό το Α, πρλείψουμε τη γρμμή κι τη στήλη του στοιχείου Η ορίζουσ υτή λέγετι ελλάσω ορίζουσ του στοιχείου κι ij συμβολίζετι με M ij Πρτηρούμε επίσης ότι κάθε όρος εός πτύγμτος της A έχει πρόσημο ή, ίδιο με το πρόσημο του συμπλήρωμ του στοιχείου Δηλδή i j i j Το γιόμεο ij ij κι συμβολίζετι με i j A ij M ij M λέγετι λγεβρικό A ij Με τους συμβολισμούς υτούς τ πτύγμτ, κι γράφοτι: Mε εκτέλεση τω πράξεω προκύπτου A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A που είι άπτυγμ της A ως προς τ στοιχεί της ης, της ης κι της ης στήλης τιστοίχως ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στη πράξη το άπτυγμ που χρησιμοποιούμε γι το υπολογισμό μις ορίζουσς είι ως προς τη γρμμή ή στήλη που έχει τ περισσότερ μηδεικά ij

153 66 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA Γι πράδειγμ, A, τότε Ορίζουσ εός A πίκ Ορίσμε μέχρι τώρ τη ορίζουσ εός πίκ κι με τη βοήθειά της τη ορίζουσ εός πίκ Ορίζουμε επίσης ως ορίζουσ εός πίκ με έ στοιχείο [ ], είι το ίδιο το στοιχείο Γεικά, μπορούμε ορίσουμε τη ορίζουσ τάξης με τη βοήθει του ορισμού της ορίζουσς τάξης Ές τέτοιος ορισμός λέγετι ε π γ ω γ ι κ ό ς Συγκεκριμέ, έστω ο πίκς A Οομάζουμε ορίζουσ του πίκ Α κι τη συμβολίζουμε με A ή το ριθμό A A A A i j όπου A ij M ij κι M ij, η τάξης ορίζουσ του πίκ που προκύπτει πό το Α, πρλείψουμε τη γρμμή κι τη στήλη του στοιχείου ij Όπως κι στις ορίζουσες ης τάξης, η ορίζουσ M ij λέγετι ελάσσω ορίζουσ i j του στοιχείου ij κι το γιόμεο M ij λέγετι λγεβρικό συμπλήρωμ του στοιχείου ij Η πράστση A A A με τη οποί ορίσμε τη A λέγετι, όπως κι στις ορίζουσες ης τάξης, άπτυγμ της ορίζουσς κτά τ στοιχεί της ης γρμμής

154 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 67 Αποδεικύετι το επόμεο θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ Γι οποιδήποτε γρμμή i ή στήλη j εός πίκ Α ισχύει: A A A A κι β i j i j i j i A A A Η πράστση λέγετι άπτυγμ της ορίζουσς ως προς τ στοιχεί της i γρμμής, εώ η β άπτυγμ της ορίζουσς ως προς τ στοιχεί της j στήλης ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Είι φερό ότι τ στοιχεί μις γρμμής ή στήλης εός πίκ Α είι όλ μηδέ, τότε A Α ές πίκς είι τριγωικός άω ή κάτω, τότε ποδεικύετι ότι η ορίζουσά του είι ίση με το γιόμεο τω στοιχείω της κυρίς διγωίου Γι πράδειγμ j i j i A j ln 5 κ Αποδεικύετι επίσης ότι, δύο γρμμές δύο στήλες εός πίκ είι ίσες ή άλογες, τότε η ορίζουσ του πίκ είι ίση με μηδέ Γι πράδειγμ, 6 9, 5 φού Γ Γ ΕΦΑΡΜΟΓH Ν βρεθού τ λγεβρικά συμπληρώμτ τω στοιχείω της ης στήλης της ορίζουσς τω πιάκω

155 68 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA i A ii ημ B συ συ συ κι στη συέχει υπολογισθού οι A, B ΛΥΣΗ i Έχουμε A 6 8 A A Επομέως, A A A A 8 6 ii Έχουμε Επομέως B συ συ ημ συ B ημ συ συ συ συ B ημ συ συ ημ συ ημ συ B B B B Επίλυση γρμμικού συστήμτος με τη μέθοδο του Cramer Όπως είδμε στ προηγούμε, έ γρμμικό μ σύστημ μπορεί έχει μοδική λύση ή άπειρο πλήθος λύσεω ή είι δύτο Στη ειδική περίπτωση που το σύστημ είι, το επόμεο θεώρημ, του οποίου η πόδειξη πρλείπετι, μς πληροφορεί πότε το σύστημ υτό έχει μοδική λύση κι πότε έχει άπειρο πλήθος λύσεω ή είι δύτο ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω το γρμμικό σύστημ AX B

156 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 69 Α A, τότε το σύστημ έχει μοδική λύση τη,,, με D D D D, D,, D όπου D είι η ορίζουσ A τω συτελεστώ τω γώστω κι D i, i,,,, είι η ορίζουσ που προκύπτει πό τη D τικτστήσουμε τη i στήλη τω συτελεστώ του γώστου ρώ όρω i με τη στήλη τω στθε- Α A, τότε το σύστημ ή είι δύτο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεω Από το θεώρημ υτό προκύπτει ότι: ΠΟΡΙΣΜΑ Το ομογεές σύστημ AX, έχει μόο τη μηδεική λύση, κι μόο A έχει κι μη μηδεικές λύσεις άπειρο πλήθος, κι μόο A ΣΧΟΛΙΑ Έ γρμμικό σύστημ AX B με A, λέγετι κι σύστημ Cramer, η δε επίλυση του συστήμτος υτού φέρετι κι ως κός του Cramer Ο κός του Cramer δε είι ποδοτική μέθοδος γι χρησιμοποιηθεί στη λύση συστημάτω με έ μεγάλο ριθμό εξισώσεω, γιτί πρέπει υπολογιστού πολλές ορίζουσες μεγάλης τάξης Γιυτό στη συέχει με το κό υτό θ επιλύουμε μόο κι γρμμικά συστήμτ Ως προς τους ριθμητικούς υπολογισμούς η μέθοδος επίλυσης συστήμτος με το λγόριθμο του Gauss υπερτερεί του κό του Cramer Όμως, ο κός του Cramer είι ιδιίτερ χρήσιμος σε θεωρητικά ζητήμτ Γι τη επίλυση εός γρμμικού συστήμτος AX B με A εργζόμστε συήθως με τη μέθοδο πλοιφής του Gauss Α έ γρμμικό σύστημ είι ομογεές, τότε D D, φού όλες οι ορίζουσες έχου μι μηδεική στήλη D ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ N λυθεί το σύστημ ω ω 5ω

157 7 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA ΛΥΣΗ Έχουμε D, D D 7 κι Dω 5 Επομέως, σύμφω με το κό του Cramer, είι D 7, D D 7, D Dω ω D δηλδή το σύστημ έχει τη μοδική λύση 7, 7, Ν λυθεί το σύστημ ΛΥΣΗ Έχουμε λ λ - λ ω ω λω D λ λ λ λ λ λ λ λ λ D λ λ λ λ λ λ λ λ D λ λ λ λ λ λ λ Dω λ λ λ λ λ λ Οι τιμές της πρμέτρου λ που μηδείζου τη ορίζουσ D λ λ λ είι οι,, Γι λ κι λ κι λ είι D κι επομέως

158 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 λ λ λ λ λ λ D D, λ D D κι λ D Dω ω δηλδή το σύστημ έχει τη μοδική λύση λ λ λ,, Γι λ, το σύστημ γίετι ω ω Α προσθέσουμε κτά μέλη

159 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 τις δύο τελευτίες εξισώσεις βρίσκουμε το σύστημ ω ω ω, το οποίο προφώς είι δύτο Γι λ, το σύστημ γίετι ω ω ω ω ω ω εξισώσεις τις μέλη κτά προσθέσμε ω Επομέως, το σύστημ έχει άπειρες λύσεις της μορφής,, ω ω, ω Γι λ, το σύστημ γίετι ω ω ω ω ω ω ω εξισώσεις τις μέλη κτά προσθέσμε ω ω Επομέως, το σύστημ έχει άπειρες λύσεις της μορφής,,, Ν λυθεί το ομογεές σύστημ λω ω λ ω λ ΛΥΣΗ Έχουμε λ λ λ λ λ λ λ λ λ D

160 7 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA Οι τιμές της πρμέτρου λ που μηδείζου τη ορίζουσ D είι οι κι Γι λ κι λ είι D κι επομέως το σύστημ έχει μοδική λύση τη μηδεική,, Γι λ το σύστημ γίετι κι έχει άπειρες λύσεις της μορφής Γι λ το σύστημ γίετι ω ω ω ω ω,, ω,, ω ω ω ω ω ω φιρέσμε τη πρώτη εξίσωση πό τις άλλες δύο ω Αρ, το σύστημ έχει άπειρες λύσεις της μορφής,,, ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν υπολογίσετε τις ορίζουσες i 5, ii 5 e e e 5 8, iii ημθ - συθ συθ ημθ iv β, v β log 5 log, vi e e e Ν λύσετε τις εξισώσεις: i ii

161 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 iii iv ημ ημ Ν λύσετε τ συστήμτ i 7 5 ii ω ω iii 7 z z z iv συ ημ συ ημ,, [ π N βρείτε τις τιμές του κ γι τις οποίες τ πρκάτω συστήμτ έχου κι μη μηδεικές λύσεις i ω κ ω κ κ ii κω ω κ ω κ B ΟΜΑΔΑΣ Ν λύσετε γι τις διάφορες τιμές τω λ κ, τ συστήμτ: i ω κ κ ω κ κ ω ii λω λ λω λ ω λ Ν λύσετε το σύστημ: ω λ ω λ ω λ Ν βρείτε τη σχετική θέση τω ευθειώ i 5 : : : ε ε ε ii 5 : 5 : 5 : ε ε ε iii : : : ε ε ε iv 5 6 : : 9 : ε ε ε

162 7 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA Θεωρούμε τη εξίσωση t βt γ, κι το σύστημ z β γ β i Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες άισες, τότε το σύστημ έχει μοδική λύση Ν εξετάσετε ισχύει το τίστροφο ii Α η εξίσωση έχει μι διπλή ρίζ, εξετάσετε πόσες λύσεις έχει το σύστημ 5 Α γι τους,β,γ υπάρχου,, ω, που δε είι όλοι μηδέ, τέτοιοι ώστε ισχύει γ βω, ω γ κι ω β ποδείξετε ότι β γ βγ 6 Ν λύσετε τ συστήμτ λ λ i λ λ, λ, ii λ λ 5 λ 7 Δίετι ο πίκς A i Ν βρείτε τις τιμές του λ γι τις οποίες υπάρχει μη μηδεικός πίκς X τέτοιος, ώστε ΑΧ λχ ii Γι τις τιμές του λ που θ βρείτε λύσετε τη εξίσωση ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δίετι ο πίκς Ν ποδείξετε ότι Γ ΟΜΑΔΑΣ συ ημ A ημ συ

163 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 75 i A A A ii [ A ] A iii [ A ] A γι κάθε * Δίετι ο πίκς M i Ν ποδείξετε ότι M κι γεικά M γι κάθε ii Α A M M Ι κι B M M Ι,, τότε βρείτε το γιόμεο ΑΒ κι ποδείξετε ότι B A Α I κι J τότε ποδείξετε ότι: i J I ii Το άθροισμ κι το γιόμεο πιάκω της μορφής I βj, όπου,β πργμτικοί ριθμοί είι επίσης πίκες της ίδις μορφής iii Ο πίκς I βj έχει τίστροφο, κι μόο β Ν ποδείξετε ότι η συμμετρί ως προς άξο τη ευθεί ε Μ, ε του διπλού σχήμτος είι γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ Μ, φ συφ ημφ O A ημφ συφ Μπορείτε πό το πίκ Α βρείτε τους πίκες τω συμμετριώ ως προς το άξο, το άξο, τη ευθεί κι τη ευθεί ; 5 Έστω ο γρμμικός μετσχημτισμός β β T :, με γ δ γ δ i Ν ποδείξετε ότι ο Τ είι συάρτηση " " ii Ν βρείτε το τίστροφο του μετσχημτισμού Τ

164 76 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA iii Ν βρείτε τους τίστροφους μετσχημτισμούς τω συμμετριώ της στροφής κι της ομοιοθεσίς 6 Ν λύσετε το σύστημ: z β, β *, β 7 Ν λύσετε γι τις διάφορες τιμές του [, π το σύστημ: ω ημ συ ω ημ συ ω 8 Ν βρείτε γι τις διάφορες τιμές του κ τις σχετικές θέσεις τω ευθειώ ε :, ε : κ 9 Ν λύσετε το σύστημ: λ ω λ ω λω : κ ε, λ Έστω ο πίκς A Α υπάρχου μη μηδεικός πίκς X κι πργμτικός ριθμός λ τέτοιοι, ώστε ισχύει AX λx, ποδείξετε ότι i Ν λύσετε το σύστημ: 5λ, λ λ ii Ν βρείτε τις τιμές του λ γι τις οποίες οι εξισώσεις: t t 5λ t t λ έχου κοιή ρίζ Ποι είι η κοιή ρίζ σε κάθε μι περίπτωση;

165 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 77 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ι Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις κυκλώσετε το γράμμ Α, ο ισχυρισμός είι ληθής κι το γράμμ Ψ, ο ισχυρισμός είι ψευδής, ιτιολογώτς συγχρόως τη πάτησή σς Α λ Α, λ, τότε Α Α Ψ Α λ Α, λ, τότε κτ άγκη είι Α Α Ψ A λ λ Α Β, λ, τότε Α Β Α Ψ Α ΑΒ Ι, όπου Α, Β τετργωικοί πίκες, τότε οι Α, Β είι τιστρέψιμοι πίκες 5 Α ΑΒ Ι, όπου Α, Β τετργωικοί πίκες, τότε ΒΑ Ι 6 Α A I τότε κτ άγκη θ είι A Ι 7 Α A I τότε κτ άγκη θ είι A I ή A I 8 Α A τότε ο Α δε είι τιστρέψιμος 9 Ισχύει πάτοτε AB A B Α AX BX, τότε κτ άγκη θ είι A B Ο τίστροφος του πίκ Τ συστήμτ z z 5z είι ισοδύμ κι είι ο πίκς z z z Α Α Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ

166 78 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA Α έ γρμμικό σύστημ έχει δυο διφορετικές λύσεις, τότε θ έχει άπειρες λύσεις Έ ομογεές σύστημ μπορεί είι δύτο 5 Το σύστημ λύσεις λ λ λ έχει κι μη μηδεικές 6 Α η εξίσωση t βt γ, με,είι δύτη στο, τότε το σύστημ λύση 7 Το σύστημ β γ β β έχει μοδική κ, κ, είι δύτο Α Ψ κ κ 8 Έστω Σ έ γρμμικό σύστημ i A D D Dz >, τότε το σύστημ είι ομογεές ii Α D D Dz, τότε το σύστημ είι ομογεές ΙΙ Ν κυκλώσετε τη σωστή πάτηση σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις Ο πίκς λ λ είι ο μοδιίος, λ λ Α λ, Β λ, Γ λ, Δ λ Έστω Α ές πίκς Α υπάρχει πίκς Χ τέτοιος, ώστε AX XA, τότε ο Χ είι τύπου Α, Β, Γ, Δ Έστω Α ές τιστρέψιμος πίκς κι κ Ο τίστροφος του πίκ κα είι ο πίκς Α A, Β κ κ A, Γ A, Δ κ κ A Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Α Ψ Α Ψ

167 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 79 Το σύστημ λ είι δύτο, λ Α λ, Β λ, Γ λ, Δ λ,, 5 Οι ευθείες,, Α Περού πό το ίδιο σημείο Β Σχημτίζου τρίγωο Γ Είι πράλληλες ά δύο Δ Οι δύο είι πράλληλες κι η τρίτη τις τέμει Ε Οι δύο συμπίπτου κι η τρίτη τις τέμει ΙΙΙ Ν τιστοιχίσετε κάθε μετσχημτισμό της πρώτης στήλης στο πίκά του της δεύτερης στήλης ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜOΣ o Στροφή κτά γωί 9 κι στη συέχει συμμετρί ως προς τη ευθεί Συμμετρί ως προς το άξο κι στη συέχει συμμετρί ως προς τη ευθεί Συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω κι στη συέχει συμμετρί ως προς τη ευθεί ΠΙΝΑΚΑΣ β γ δ ε

168 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Οι γρμμοπράξεις σ έ κιέζικο πρόβλημ του ου ιώ πχ Το επόμεο πρόβλημ προέρχετι πό μι ρχί κιεζική συλλογή προβλημάτω με τίτλο Εέ κεφάλι στη μθημτική τέχη Η λύση που δίετι εκεί συμπίπτει ουσιστικά με τη σύγχροη μέθοδο του επυξημέου πίκ κι τω γρμμοπράξεω δεμάτι μις κλής συγκομιδής, δεμάτι μις μέτρις συγκομιδής κι δεμάτι μις κκής συγκομιδής δίου 9 dou σιτάρι δεμάτι της κλής, δεμάτι της μέτρις κι δεμάτι της κκής συγκομιδής δίου dou σιτάρι δεμάτι της κλής, δεμάτι της μέτρις κι δεμάτι της κκής συγκομιδής δίου 6 dou σιτάρι Ν βρεθεί πόσο σιτάρι δίει έ δεμάτι πό κάθε είδος συγκομιδής Το πρόβλημ υτό άγετι σήμερ στη επίλυση εός γρμμικού συστήμτος τριώ εξισώσεω με τρεις γώστους,, z: z 9 z z 6 Στο ρχίο κείμεο, στο οποίο δε υπάρχου κθόλου σύμβολ, δίοτι οδηγίες γι τη τοποθέτηση τω ριθμώ στις κτκόρυφες στήλες εός άβκ σύμφω με το εξής τρόπο: 6 9 Η πρπάω διάτξη μετσχημτίζετι στη συέχει ως εξής: Η η στήλη πολλπλσιάζετι επί κι κτόπι φιρείτι π υτή φορές η η στήλη, με ποτέλεσμ: 6 5 9

169 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 8 Κτόπι η η στήλη πολλπλσιάζετι επί κι π υτή φιρείτι η η στήλη, με ποτέλεσμ: Τέλος, η η στήλη πολλπλσιάζετι επί 5 κι π υτή φιρείτι φορές η η στήλη, με ποτέλεσμ Το ρχικό σύστημ έχει λοιπό μετσχημτιστεί στο 5 z 9 z 6z 99 πό το οποίο υπολογίζετι μέσως ο z κι με διδοχικές τικτστάσεις, οι, Στο ρχίο κείμεο, με μι άλογη διδικσί που εκτελείτι πάω στο άβκ, προσδιορίζετι η λύση του προβλήμτος: δεμάτι της κκής συγκομιδής δίει δεμάτι της μέτρις συγκομιδής δίει dou σιτάρι dou σιτάρι δεμάτι της κλής συγκομιδής δίει 9 dou σιτάρι Στο έργο Αριθμητικά, του Έλλη μθημτικού της Αλεξδριής περιόδου Διόφτου, υπάρχου πολλά προβλήμτ που άγοτι στη επίλυση γρμμικώ συστημάτω Στο επόμεο, που είι το πρόβλημ 9 του πρώτου βιβλίου, ο τρόπος επίλυσης βρίσκετι πολύ κοτά προς το σύγχροο λγεβρικό τρόπο σκέψης: Ευρεί τέσσρς ριθμούς όπως οι τρεις λμβόμεοι του λοιπού υπερέχωσι επιτχθέτι ριθμώ Ν βρεθού ριθμοί έτσι ώστε λμβόμεοι ά τρεις ξεπερού το άλλο κτά δοθέτ ριθμό Ο Διόφτος προυσιάζει τη λύση του προβλήμτος μέσ πό μι ειδική περίπτωση που γεικεύετι άμεσ Έστω, γράφει, ότι οι, β, γ ξεπερού το δ κτά, οι β, γ, δ ξεπερού το κτά, οι γ, δ, ξεπερού το β κτά κι οι δ,, β ξεπερού το γ κτά 5 Το πρόβλημ, όπως είι φερό, άγετι στη επίλυση του γρμμικού συστήμτος:

170 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA β γ δ β γ δ γ δ β δ β γ 5 Ο Διόφτος, ο οποίος δε χρησιμοποιεί ειδικά σύμβολ γι τη πρόσθεση κι τη ισότητ, λύει το πρόβλημ με τη εισγωγή εός βοηθητικού - γώστου, που εκφράζει το άθροισμ τω ζητούμεω ριθμώ Η μέθοδός του, με σύγχροο συμβολισμό, συοψίζετι ως εξής: Α β γ δ, τότε πό τη β γ δ έχουμε β γ δ δ ή δ ή δ Όμοι, πό τις άλλες εξισώσεις πίρουμε 5, β κι γ 5 Από τις τελευτίες ισότητες, με πρόσθεση πίρουμε β γ δ 7 ή 7 ή 5 κι άρ οι ζητούμεοι ριθμοί είι 5 5, β 5 5, γ 5 5, δ 5 5 Η πρώτη εμφάιση μις ορίζουσς σε πρόβλημ πλοιφής Ο GW Leibniz, σε μι επιστολή του προς το l Hospital στις 8--69, πρότειε μι μέθοδο χρησιμοποίησης τω ριθμώ γι τη έκφρση γεικώ σχέσεω, όπως κριβώς γίετι με τη χρήση τω γρμμάτω Ως πράδειγμ έδωσε έ γρμμικό σύστημ εξισώσεω με γώστους, γρμμέο στη μορφή: Οι συτελεστές του συστήμτος δε εκφράζου εδώ ριθμούς λλά λειτουργού όπως κι οι διπλοί δείκτες που χρησιμοποιούτι σήμερ γι τη πράστση τω στοιχείω εός πίκ Αυτοί οι ψευδοριθμοί όπως τους ποκλεί ο Leibniz δείχου με το πρώτο ψηφίο τους τη εξίσωση στη οποί βρίσκοτι κι με το δεύτερο, το γράμμ στο οποίο - ήκου Χρησιμοποιώτς τη μέθοδο τω τίθετω συτελεστώ, ο Leibniz πλείφει το άγωστο, ρχικά πό τη η κι η εξίσωση κι κτόπι πό τη η κι η Έτσι προκύπτου οι εξισώσεις: Στη συέχει πλείφει το πό τις δυο τελευτίες εξισώσεις λύοτς κθεμιά ως προς κι εξισώοτς τ ποτελέσμτ κι φτάει στη ι- σότητ: ή

171 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 8 Δηλδή σ υτό που σήμερ ποτελεί τη γκί συθήκη γι έχει λύση το σύστημ ο μηδεισμός της ορίζουσς του επυξημέου πίκ του συστήμτος Το προηγούμεο ποτέλεσμ του Leibniz έχει κυρίως τη σημσί της - πλείφουσς εός γρμμικού συστήμτος, δηλδή της σχέσης μετξύ τω συτελεστώ η οποί προκύπτει ότ γίετι πλοιφή όλω τω - γώστω Στη ίδι επιστολή ο Leibniz δίει κι έ γεικό κό γι το υπολογισμό της πλείφουσς εός οποιουδήποτε γρμμικού συστήμτος, που έχει επρκή ριθμό εξισώσεω γι τη πλοιφή όλω τω γώστω Οι ορίζουσες κι οι πίκες ως εξάρτητες έοιες Η χρησιμοποίηση τω οριζουσώ γι τη επίλυση γρμμικώ συστημάτω έγιε πρώτη φορά πό το C MacLaurin το 79, λλά η μέθοδος υτή έμειε γωστή με το όομ του G Cramer, ο οποίος τη προυσίσε στο βιβλίο του Εισγωγή στη άλυση τω λγεβρικώ κμπύλω γρμμώ 75 Θέλοτς προσδιορίσει μι κμπύλη που διέρχετι πό 5 γωστά σημεί κι έχει εξίσωση της μορφής A B C D E ο Cramer κτλήγει σ έ γρμμικό σύστημ 5 εξισώσεω με γώστους τ A, B, C, D, E Γι λύσει υτό το σύστημ, περιγράφει μι μέθοδο υπολογισμού τω γώστω με κτσκευή κλσμάτω, τω οποίω ο κοιός προομστής κι οι ριθμητές προσδιορίζοτι πό τους συτελεστές του συστήμτος σύμφω με γεικούς κόες Αυτή είι ουσιστικά η σημεριή μέθοδος τω οριζουσώ λλά ο Cramer δε χρησιμοποιεί κάποιο ειδικό όομ ή σύμβολο γι τη έοι της ορίζουσς Ο λτιικός όρος determinantem ορίζουσ χρησιμοποιήθηκε γι πρώτη φορά πό το CF Gauss το 8 λλά όχι με τη σημεριή σημσί Η πρώτη συστημτική διπργμάτευση της θεωρίς τω οριζουσώ έγιε πό το AL Cauch σε μι εργσί του που δημοσιεύτηκε το 85 Η λέξη ορίζουσ χρησιμοποιείτι εκεί με τη σημεριή σημσί εώ εισάγετι κι η τετργωική διάτξη τω στοιχείω της με τη βοήθει τω διπλώ δεικτώ: n a n οι κάθετες γρμμές γι το συμβολισμό μις ορίζουσς, χρησιμοποιήθηκ γι πρώτη φορά πό το A Cale το 8 Σε τίθεση πό τη σημεριή λογική σειρά προυσίσης, η έοι του πίκ υπήρξε, ιστορικά, μετγεέστερη πό τη έοι της ορίζουσς Το γεγοός ότι η ορίζουσ δε είι μόο ές ριθμός λλά συσχετίζει υτό το ριθμό με μι τετργωική διάτξη στοιχείω, οδήγησε βθ- n n nn

172 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA μιί στη μελέτη υτής της ίδις της διάτξης, εξάρτητ πό τη τιμή της ορίζουσς Ο όρος matri μήτρ, κλούπι, που σήμερ χρησιμοποιείτι διεθώς γι τη έοι του πίκ, πρωτοεμφίστηκε σε μι εργσί του JJ Slvester το 85, γι διχωριστεί η έοι της ορίζουσς πό τη τετργωική διάτξη τω στοιχείω που τη πράγει Το 855 ο Α Cale εισήγγε γι πρώτη φορά τους πίκες στη μελέτη τω γρμμικώ μετσχημτισμώ, εώ το 858 στη εργσί του Μι πργμτεί στη θεωρί τω μητρώ, έπτυξε συστημτικά όλη τη βσική θεωρί Όπως γράφει ο Cale, στη ιδεά του πίκ έφτσε τόσο πό τη έοι της ορίζουσς όσο κι πό τη άγκη εός βολικού τρόπου έκφρσης τω εξισώσεω b, c d εός μετσχημτισμού, ο οποίος πεικοίζει το σημείο, στο σημείο, Ως έ τέτοιο τρόπο έκφρσης, ο Cale εισάγει το πίκ b c d κι με βάση τις ιδιότητες τω μετσχημτισμώ ορίζει τις πράξεις τω πιάκω κι προσδιορίζει τις ιδιότητές τους Πχ, το προηγούμεο μετσχημτισμό πό το, στο, κολουθήσει ές έος μετσχημτισμός πό το, στο, κι με εξισώσεις e, g h τότε, όπως εύκολ μπορεί ποδειχθεί, ισχύει: e c eb d g hc gb hd Έτσι ο Cale ορίζει το πολλπλσισμό πιάκω, με βάση το πρότυπο της διδοχικής εκτέλεσης τω δυο μετσχημτισμώ, ως εξής: e g h c b e c d g hc eb d gb hd Στη ίδι εργσί επισημίει επίσης ότι υτός ο πολλπλσισμός είι μι πράξη μη τιμετθετική κθώς κι το γεγοός ότι υπάρχου μη μηδεικοί πίκες που έχου ως γιόμεο το μηδεικό πίκ Ο λογισμός τω πιάκω πτύχθηκε τ επόμε χρόι σε μι υτοτελή μθημτική θεωρί, που ποτελεί μέρος εός ευρύτερου κλάδου τω Μθημτικώ, της Γρμμικής Άλγεβρς Το 95, ο W Heisenberg βρβείο Νόμπελ Φυσικής 9 χρησιμοποίησε τη θεωρί τω πιάκω γι εκφράσει τ μη τιμετθετικά Μθημτικά που περιγράφου τ φιόμε της κβτικής μηχικής, εώ ργότερ η χρήση τω πιάκω επεκτάθηκε κι σε άλλες επιστήμες

173 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Στιγμιί τχύτητ Ας θεωρήσουμε έ σώμ που κιείτι κτά μήκος εός άξο κι ς υποθέσουμε ότι S St είι η τετμημέη του σώμτος υτού τη χροική στιμή t O A St St M M St H συάρτηση S κθορίζει τη θέση του σώμτος τη χροική στιγμή t κι οομάζετι συάρτηση θέσης του κιητού Ας υποθέσουμε, τώρ, ότι κάποι χροική στιγμή t το κιητό βρίσκετι στη θέση M κι ότι μετά πό πρέλευση χρόου h, δηλδή τη χροική στιγμή t t h, βρίσκετι στη θέση Μ Σχ Στο χροικό διάστημ πό t έως t η μεττόπιση του κιητού είι ίση με S t S t Άρ, η μέση τχύτητ του κιητού σ υτό το χροικό διάστημ είι S t S t t t μεττόπιση χρόος Όσο το t είι πλησιέστερ στο t, τόσο η μέση τχύτητ του κιητού δίει με κλύτερη προσέγγιση το ρ υ θ μ ό λ λ γ ή ς της θέσης του κιητού κοτά στο t Γι το λόγο υτό το όριο της μέσης τχύτητς, κθώς το t τείει στο t, το οομάζουμε στιγμιί τχύτητ του κιητού τη χροική στιγμή t κι τη συμβολίζουμε με υ t Δηλδή: υ t S t S t lim t t t t

174 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Γι πράδειγμ, S t t t είι η συάρτηση θέσης εός κιητού Σχβ, t t O t St O β St τότε η στιγμιί τχύτητ του κιητού κτά τις χροικές στιγμές t, t κι t είι τιστοίχως: S t S t t t t υ lim lim lim t t t t t t S t S t t t t υ lim lim lim t t t t t t S t S t t t t υ lim lim lim t t t t t t ΣΧΟΛΙΟ Οτ έ κιητό κιείτι προς τ δεξιά, τότε κοτά στο t ισχύει S t S t >, οπότε είι υ t, εώ, ότ το κιητό κιείτι προς τ ριστερά κοτά στο t t t S t S t ισχύει <, οπότε είι υ t t t Πρόβλημ εφπτομέης Είι γωστό πό τη Ευκλείδει Γεωμετρί ότι εφπτομέη εός κύκλου σε έ σημείο του Α ο- ομάζουμε τη ευθεί η οποί έχει με το κύκλο έ μόο κοιό σημείο, το Α Ο ορισμός υτός δε μπορεί γεικευτεί γι οποιδήποτε κμπύλη, γιτί, με έ τέτοιο ορισμό η πρβολή θ είχε στο σημείο A, δύο εφπτόμεες ε κι ζ Σχ, εώ η δε θ είχε στο σημείο A, κμί εφπτομέη Σχ β O Α t ε

175 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ A, A, Ο Ο ε ζ Επομέως, πρέπει ζητήσουμε έ άλλο ορισμό της εφπτομέης του κύκλου, ο οποίος μπορεί γεικευτεί γι όλες τις κμπύλες Θεωρούμε, λοιπό, έ άλλο σημείο Μ του κύκλου Σχ 5 Τ σημεί A, M ορίζου μι 5 A έ σημείο της γρφικής της πρά- τέμουσ του κύκλου, τη ευθεί AM Κθώς το σημείο Μ, κιούμεο πάω στο κύκλο πλησιάζει στο Α, η τέμουσ ΑΜ φίετι έχει ως ορική θέση τη εφπτομέη του κύκλου στο Α Τη διπίστωση υτή θ δούμε, τώρ, πως μπορούμε τη ξιοποιήσουμε γι ορίσουμε τη εφπτομέη της γρφικής πράστσης μις συάρτησης σε έ σημείο της Έστω μί συάρτηση κι, στσης C A, M, M ε C M, M O Α Μ Μ Μ A, β εφπτομέη στο Α ε 6 O O β Α πάρουμε έ κόμη σημείο M,,, της γρφικής πράστσης της κι τη ευθεί ΑΜ που ορίζου τ σημεί Α κι M, πρτηρούμε ότι: Κθώς το τείει στο με >, η τέμουσ ΑΜ φίετι πίρει μι ορική θέση ε Σχ 6 Τη ίδι ορική θέση φίετι πίρει κι ότ το

176 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ τείει στο με < Σχ 6β Τη ορική θέση της ΑΜ θ μπορούσμε τη οομάσουμε εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο Α Επειδή η κλίση της τέμουσς ΑΜ είι ίση με, είι λογικό μέουμε ότι η εφπτομέη της, C στο σημείο A θ έχει κλίση το lim Έτσι δίουμε το πρκάτω ορισμό ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μι συάρτηση κι A, έ σημείο της C Α υπάρχει το lim κι είι ές πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφ- πτομέη της C στο σημείο της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έ- χει συτελεστή διεύθυσης λ Επομέως, η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A, είι όπου λ, λ lim Γι πράδειγμ, έστω η συάρτηση το σημείο της A, Επειδή κι 7 lim lim lim, ορίζετι εφπτομέη της C στο σημείο της A, Η εφπτομέη υτή έχει συτελεστή διεύθυσης λ κι εξίσωση O A, Ορισμός πργώγου συάρτησης σε σημείο Στ προηγούμε, οι ορισμοί της στιγμιίς τχύτητς εός κιητού κι της εφπτομέης σε σημείο μις κμπύλης μς οδήγησ σε έ όριο της μορφής lim Γι τη ιδιίτερη περίπτωση που το πρπάω όριο υπάρχει κι είι πργμτικός ριθμός, δίουμε το κόλουθο ορισμό:

177 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το lim κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμβολίζετι με Δηλδή: lim Γι πράδειγμ,, τότε στο έχουμε lim lim lim lim Επομέως, Α, τώρ, στη ισότητ lim θέσουμε h, τότε έ- χουμε h lim h h Πολλές φορές το h συμβολίζετι με Δ, εώ το h Δ συμβολίζετι με Δ, οπότε ο πρπάω τύπος γράφετι: Δ lim Δ Δ Η τελευτί ισότητ οδήγησε το Leibniz συμβολίσει τη πράγωγο στο d με d ή Ο συμβολισμός είι μετγεέστερος κι οφείλετι στο Lagrange d d Είι φερό ότι, το είι εσωτερικό σημείο εός διστήμτος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είι πργωγίσιμη στο, κι μόο υπάρχου στο τ όρι lim, lim κι είι ίσ

178 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Γι πράδειγμ,, < η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο με,, φού 8 κι εώ lim lim lim lim,, < η συάρτηση δε είι πργωγίσιμη στο, 5, φού O 9 5 κι lim lim lim 5 lim 5 O ΣΧΟΛΙΑ Σύμφω με το πρπάω ορισμό: Η στιγμιί τχύτητ εός κιητού, τη χροική στιγμή t, είι η πράγωγος της συάρτησης θέσης St τη χροική στιγμή t Δηλδή, είι υ t S t Ο συτελεστής διεύθυσης της εφπτομέης ε της C μις πργωγίσιμης συάρτησης, στο σημείο A, είι η πράγωγος της στο Δηλδή, είι λ, οπότε η εξίσωση της ε φ π τ ο μ έ η ς ε είι: Τη κλίση της εφπτομέης ε στο A, θ τη λέμε κι κλίση της C στο Α ή κλίση της στο Κτκόρυφη εφπτομέη

179 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 Ας δούμε, τώρ, μπορούμε ορίσουμε εφπτομέη της γρφικής πράστσης μις συεχούς συάρτησης σ έ σημείο της A,, ότ η δε είι πργωγίσιμη στο Έστω γι πράδειγμ η συάρτηση M, Σχ Η συάρτηση υτή είι συεχής στο, λλά δε είι πργωγίσιμη σ υτό, φού lim lim lim O Πρτηρούμε όμως ότι, M,,, είι έ σημείο της C, τότε, κθώς το τείει στο, η τέμουσ ΟΜ φίετι πίρει ως ορική θέση τη κτκόρυφη ευθεί που περάει πό το Ο, δηλδή τείει συμπέσει με το άξο Στη περίπτωση υτή ως εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο O, ορίζουμε τη κτκόρυφη ευθεί Εστω τώρ κι η συάρτηση Σχ Η συάρτηση υτή είι συεχής στο, λλά δε είι πργωγίσιμη σ υτό, φού M, M, lim lim lim O κι lim lim lim Πρτηρούμε όμως κι εδώ ότι, M,,, είι έ σημείο της C, τότε, κθώς το τείει στο, η τέμουσ ΟΜ τείει συμπέσει με το άξο Στη περίπτωση υτή ως εφπτομέη της C στο O, ορίζουμε τη κτκόρυφη ευθεί Γεικά: ΟΡΙΣΜΟΣ

180 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Α μι συάρτηση είι συεχής στο κι ισχύει μι πό τις πρκάτω συθήκες: lim ή β lim κι lim, γ lim κι lim, τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της C στο σημείο A, τη κτκόρυφη ευθεί Γι πράδειγμ, η γρφική πράστση της συάρτησης, < Σχ, δέχετι στο σημείο της O, κτκόρυφη εφπτομέη, τη, φού είι συεχής στο κι ισχύει lim lim lim lim lim lim O Α μι συάρτηση δε είι πργωγίσιμη στο κι δε ισχύου οι προϋποθέσεις του πρπάω ορισμού, τότε δε ορίζουμε εφπτομέη της C στο σημείο A, Γι πράδειγμ, η γρφική πράστση της συάρτησης O, <,, δε έχει εφπτομέη στο O,, φού lim lim,

181 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 εώ lim lim lim Πράγωγος κι συέχει Έστω η συάρτηση Η είι συεχής στο, λλά δε είι πργωγίσιμη σ υτό, φού lim lim lim, εώ lim O Πρτηρούμε, δηλδή, ότι μι συάρτηση μπορεί είι συεχής σ έ σημείο χωρίς είι πργωγίσιμη σ υτό Α, όμως, η είι πργωγίσιμη στο, τότε θ είι κι συεχής στο, δηλδή ισχύει το πρκάτω θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ Α μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σ έ σημείο, τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γι έχουμε οπότε, lim[ ] lim lim lim, φού η είι πργωγίσιμη στο Επομέως, lim, δηλδή η είι συεχής στο ΣΧΟΛΙΟ

182 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Α μι συάρτηση δε είι συεχής σ έ σημείο, τότε, σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, δε μπορεί είι πργωγίσιμη στο ΕΦΑΡΜΟΓΗ Γι ποιες τιμές του ΛΥΣΗ, η συάρτηση, < είι:, i συεχής στο ; ii πργωγίσιμη στο ; i Η είι συεχής στο, κι μόο lim lim ή, ισοδύμ, ii Δικρίουμε τις εξής περιπτώσεις: ή Α,, η συάρτηση δε είι συεχής κι επομέως δε είι πργωγίσιμη Α, η συάρτηση γράφετι Γι <, έχουμε, <, οπότε Γι > έχουμε lim, lim οπότε lim lim,

183 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Άρ lim lim κι επομέως, γι η είι πργωγίσιμη στο Α, η συάρτηση γράφετι Γι <, έχουμε,, < οπότε Γι > έχουμε οπότε Άρ lim, lim lim lim lim lim, κι επομέως, γι η δε είι πργωγίσιμη στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τη πράγωγο της συάρτησης στο σημείο, ότ i, ii, iii ημ, Ν βρείτε υπάρχει τη πράγωγο της συάρτησης στο σημείο, ότ

184 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ i, ii, iii, iv, <,, Α η συάρτηση είι συεχής στο, ποδείξετε ότι η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο Αφού μελετήσετε ως προς τη συέχει στο τις πρκάτω συρτήσεις, εξετάσετε είι πργωγίσιμες στο σημείο υτό i, <, ii,, 5 Ν βρείτε τη εξίσωση της εφπτομέης της C ορίζετι στο A, γι κάθε μί πό τις συρτήσεις τω σκήσεω κι Β ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τη πράγωγο της συάρτησης ημ στο σημείο Α γι μί συάρτηση ισχύει h, ποδείξετε ότι: i ii h h h h, γι κάθε, < Α, ποδείξετε ότι ορίζετι εφπτομέη της ημ, γρφικής πράστσης στο σημείο A, κι σχημτίζει με το άξο τω γωί π Ν βρείτε τη πράγωγο της συάρτησης συ, στο, 5 Α, γι κάθε, ποδείξετε ότι: i

185 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii, γι < κι, γι > iii 6 Α μι συάρτηση είι συεχής στο σημείο κι γι κάθε ισχύει: ημ ημ ποδείξετε ότι i ii 7 A η συάρτηση είι συεχής στο κι lim, ποδείξετε ότι: i ii 8 N ποδείξετε ότι, μι συάρτηση είι πργωγίσιμη στο, τότε h i lim h h h h ii lim h h 9 Στο πρκάτω σχήμ δίοτι οι γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω θέσεως τριώ κιητώ που κιήθηκ πάω στο άξο στο χροικό διάστημ πό sec έως 8sec Ν βρείτε: St κιητό Γ κιητό Α O t sec κιητό Β i Ποιο κιητό ξεκίησε πό τη ρχή του άξο κίησης; ii Ποιο κιητό κιήθηκε μόο προς τ δεξιά;

186 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii Ποιο κιητό άλλξε φορά κίησης τη χροική στιγμή t sec, ποιο τη χροική στιγμή t sec κι ποιο τη χροική στιγμή t 5 sec; iv Ποιο κιητό κιήθηκε προς τ ριστερά σε όλο το χροικό διάστημ πό sec έως sec; v Ποιο κιητό τερμάτισε πιο κοτά στη ρχή του άξο κίησης; vi Ποιο κιητό διάυσε το μεγλύτερο διάστημ; ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, β του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο, β Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, β] του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη στο, β κι επιπλέο ισχύει β lim κι lim β β Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο, ορίζουμε τη συάρτηση : A R, η οποί οομάζετι πρώτη πράγωγος της ή πλά πράγωγος της H d πρώτη πράγωγος της συμβολίζετι κι με που διβάζετι τε εφ προς d τε χι Γι πρκτικούς λόγους τη πράγωγο συάρτηση θ τη συμβολίζουμε κι με Α υποθέσουμε ότι το Α είι διάστημ ή έωση διστημάτω, τότε η πράγωγος της, υπάρχει, λέγετι δεύτερη πράγωγος της κι συμβολίζετι με

187 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Επγωγικά ορίζετι η ιοστή πράγωγος της, με, κι συμβολίζετι με Δηλδή [ ], Η εύρεση της πργώγου συάρτησης, με βάση το ορισμό που δώσμε, δε είι πάτ εύκολη Στη συέχει θ δούμε μερικές βσικές περιπτώσεις πργώγισης συρτήσεω, που θ τις χρησιμοποιούμε στη εύρεση πργώγου συρτήσεω τί χρησιμοποιούμε το ορισμό κάθε φορά Πράγωγος μερικώ βσικώ συρτήσεω Εστω η στθερή συάρτηση c, c Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει, δηλδή c Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: Επομέως, δηλδή c c c lim, Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει, δηλδή Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει: Επομέως, lim lim, δηλδή Έστω η συάρτηση, {, } Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει, δηλδή

188 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πράγμτι, είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει:, οπότε lim lim, δηλδή Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει, δηλδή Πράγμτι, είι έ σημείο του,, τότε γι ισχύει:, οπότε lim lim, δηλδή Όπως είδμε στη πράγρφο η δε είι πργωγίσιμη στο Έστω συάρτηση ημ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει συ, δηλδή συ ημ Πράγμτι, γι κάθε κι h ισχύει

189 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 h ημ h ημ ημ συh συ ημh ημ h h h Επειδή έχουμε Δηλδή, συh ημh ημ συ h h ημh συh lim κι lim, h h h h h lim ημ συ συ h h ημ συ Έστω η συάρτηση συ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ημ, δηλδή συ ημ Πράγμτι, γι κάθε κι h ισχύει: h συ h συ συ συh ημ ημh συ h h h οπότε Δηλδή, συh ημh συ ημ, h h h συh ημh lim lim συ lim ημ h h h h h h συ ημ ημ συ ημ ΣΧΟΛΙΟ Τ όρι ημ συ lim, lim, τ οποί χρησιμοποιήσμε γι υπολογίσουμε τη πράγωγο τω συρτήσεω ημ, g συ είι η πράγωγος στο τω συρτήσεω, g τιστοίχως, φού ημ lim ημ ημ lim

190 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έστω η συάρτηση κι ισχύει συ συ συ lim lim g e, δηλδή e Αποδεικύετι ότι η είι πργωγίσιμη στο e e Έστω η συάρτηση στο, κι ισχύει ln Αποδεικύετι ότι η είι πργωγίσιμη, δηλδή ln ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν βρεθεί το σημείο της γρφικής πράστσης της συάρτησης ln, στο οποίο η εφπτομέη διέρχετι πό τη ρχή τω ξόω ΛΥΣΗ Επειδή ln, η εξίσωση της εφπτομέης ε της C σε έ σημείο M, είι ln Η ευθεί ε διέρχετι πό τη ρχή τω ξόω O,, κι μόο Μ O e 5 ln ln e Άρ, το ζητούμεο σημείο είι το M e,

191 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Στο διπλό σχήμ οι ευθείες ε κι ε είι οι εφπτόμεες της γρφικής πράστσης της συάρτησης ημ στ σημεί O, κι A π, τιστοίχως Ν βρεθού: i Οι εξισώσεις τω ε κι ε ii Το εμβδό του τριγώου που σχημτίζου οι ε, ε κι ο άξος τω O, ε Β 6 Aπ, ε ΛΥΣΗ i Επειδή ημ συ, είι κι π οπότε οι ε, ε έχου εξισώσεις κι π τιστοίχως ii Α λύσουμε το σύστημ τω πρπάω δύο εξισώσεω βρίσκουμε ότι οι ευθείες ε π π, ε τέμοτι στο σημείο Β, Άρ, το τρίγωο ΟΑΒ έχει εμβδό π π Ε π ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τη πράγωγο της συάρτησης στο σημείο ότ: i iii v, συ, e, ii, 9 π iv ln, e 6 ln N βρείτε, όπου ορίζετι, τη πράγωγο τω συρτήσεω: i, < ii, ημ,, <

192 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii, < iv,, /, > / N ποδείξετε ότι δε υπάρχου σημεί της πρβολής στ οποί οι εφπτόμεες της γρφικής πράστσης είι μετξύ τους πράλληλες Ισχύει το ίδιο γι τη γρφική πράστση της συάρτησης ; Ν πρστήσετε γρφικά τη πράγωγο της συάρτησης του διπλού σχήμτος O Ν πρστήσετε γρφικά τη συάρτηση :[,8], η ο- ποί είι συεχής, με, κι της οποίς η πράγωγος πριστάετι γρφικά στο διπλό σχήμ O 8 Β ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τις τιμές τω, β γι τις οποίες η συάρτηση ημ, < π, είι πργωγίσιμη στο π β, π Έστω η συάρτηση κι το σημείο A ξ, ξ, ξ της γρφικής πράστσης της Ν ποδείξετε ότι η ευθεί που διέρχετι πό τ σημεί Α ξ, ξ κι Β ξ, εφάπτετι της C στο Α Ν ποδείξετε ότι η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της σε οποιοδήποτε σημείο της M,, έχει με υτή κι άλλο κοιό σημείο Ν εκτός του Μ Στο σημείο Ν η κλίση της C είι τετρπλάσι της κλίσης της στο Μ Έστω ε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της συάρτησης σε έ σημείο της M ξ, Α Α, Β είι τ σημεί στ ξ

193 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 οποί η ε τέμει τους άξοες κι τιστοίχως, ποδείξετε ότι i Το Μ είι μέσο του ΑΒ ii Το εμβδό του τριγώου ΟΑΒ είι στθερό, δηλδή εξάρτητο * του ξ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Πράγωγος θροίσμτος ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει:, g είι πργωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση g g g ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γι, ισχύει: g g g g g g Επειδή οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιμες στο, έχουμε: g g g g lim lim lim g, δηλδή Α οι συρτήσεις Δ ισχύει: g g, g είι πργωγίσιμες σ έ διάστημ Δ, τότε γι κάθε g g Το πρπάω θεώρημ ισχύει κι γι περισσότερες πό δύο συρτήσεις Δηλδή,,,, k, είι πργωγίσιμες στο Δ, τότε Γι πράδειγμ, ημ Πράγωγος γιομέου k k e ημ e συ e

194 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις g, είι πργωγίσιμες στο, τότε κι η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: g g g ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γι ισχύει: g g g g g g g g g g g Επειδή οι g, είι πργωγίσιμες, άρ κι συεχείς στο, έχουμε: lim lim lim lim g g g g g g g, δηλδή g g g Α οι συρτήσεις g, είι πργωγίσιμες σ έ διάστημ Δ, τότε γι κάθε Δ ισχύει: g g g Γι πράδειγμ, e e e e e ln ln ln ln, > Το πρπάω θεώρημ επεκτείετι κι γι περισσότερες πό δύο συρτήσεις Έτσι, γι τρεις πργωγίσιμες συρτήσεις ισχύει: ] [ h g h g h g h g ] [ h g h g g h g h g h g Γι πράδειγμ,

195 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ημ ln ημ ln ημ ln ημ ln ημ ln συ ln ημ, > Α είι πργωγίσιμη συάρτηση σ έ διάστημ Δ κι c, επειδή c, σύμφω με το θεώρημ έχουμε: Γι πράδειγμ, c c Πράγωγος πηλίκου ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις συάρτηση g Η πόδειξη πρλείπετι Α οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιμες στο κι g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: g g g [ g ], τότε κι η, g είι πργωγίσιμες σ έ διάστημ Δ κι γι κάθε Δ ισχύει g, τότε γι κάθε Δ έχουμε: g g g [ g ] Γι πράδειγμ, , Χρησιμοποιώτς τις προηγούμεες προτάσεις μπορούμε τώρ βρούμε τις πργώγους μερικώ κόμη βσικώ συρτήσεω * Έστω η συάρτηση, Η συάρτηση είι πργωγίσιμη * στο κι ισχύει, δηλδή Πράγμτι, γι κάθε * έχουμε: 5

196 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Γι πράδειγμ, 5 5, Είδμε, όμως, πιο πρι ότι κ {,}, τότε, γι κάθε φυσικό > Επομέως, Έστω η συάρτήση { συ } κι ισχύει Πράγμτι, γι κάθε έχουμε: κ κ κ εφ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο, δηλδή συ εφ συ ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ εφ συ συ συ συ ημ συ συ Έστω η συάρτηση { ημ } κι ισχύει σφ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο, δηλδή ημ σφ ημ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν βρεθεί η πράγωγος της συάρτησης ln

197 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΣΗ Έχουμε: ln ln ln ln ln ln ln ln ln Ν ποδειχθεί ότι οι γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω κι g έχου κοιή εφπτομέη στο κοιό τους σημείο A, κι βρεθεί η εξίσωση της εφπτομέης υτής ΛΥΣΗ Αρκεί δείξουμε ότι g Έχουμε: κι οπότε Άρ g, κι g g Η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A, είι: Πράγωγος σύθετης συάρτησης Έστω ότι ζητάμε τη πράγωγο της συάρτησης ημ, η οποί είι σύθεση της g κι της ημ Επειδή ημ ημ συ, έχουμε ημ ημσυ ημ συ ημσυ συ ημ συ ημ συ Πρτηρούμε ότι η πράγωγος της ημ δε είι η συάρτηση συ, όπως ίσως θ περίμεε κείς πό το τύπο ημ συ Αυτό εξηγείτι με το πρκάτω θεώρημ:

198 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Α η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο g, τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει g g g Γεικά, μι συάρτηση g είι πργωγίσιμη σε έ διάστημ Δ κι η είι πργωγίσιμη στο g Δ, τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει Δηλδή, u g, τότε g g g u u u Με το συμβολισμό του Leibniz, u κι u g, έχουμε το τύπο d d du d du d που είι γωστός ως κός της λυσίδς ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ d Το σύμβολο δε είι πηλίκο Στο κό της λυσίδς πλά συμπεριφέρετι ως πηλίκο, πράγμ που ευκολύει τη πομημόευση του κό d Άμεση συέπει του πρπάω θεωρήμτος είι τ εξής: Η συάρτηση,, δηλδή είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει Επομέ- Πράγμτι, ως, ln e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u u ln e e u e u e Η συάρτηση ln, δηλδή, > είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ln Αποδεικύετι ότι, γι > η είι πργωγίσιμη κι στο σημείο κι η πράγωγός της είι ίση με, επομέως δίετι πό το ίδιο τύπο

199 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 Επομέ- Πράγμτι, ως, ln e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u u ln e e u e ln ln u e Η συάρτηση ln, Πράγμτι >, τότε < χουμε * είι πργωγίσιμη στο ln * κι ισχύει ln ln, εώ, τότε ln ln, οπότε, θέσουμε ln κι u, έ- ln u Επομέως, ln u u u κι άρ ln Ακεφλιώοτς, η συάρτηση u είι πργωγίσιμη, τότε έχουμε: u u u εφu u συ u u u σφu u u ημ u ημu συu u u e e u u συu ημu u u ln u u ln u u u ΕΦΑΡΜΟΓEΣ Ν βρεθού οι πράγωγοι τω συρτήσεω i 9 5 ii g e iii h ln

200 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΣΗ i Α θέσουμε u 5, τότε η συάρτηση γράφετι οπότε έχουμε 9 u, 9 8 u 9u u Ομοίως, έχουμε ii g e e θέσμε u e e iii h ln θέσμε u Ν βρεθεί η εξίσωση της εφπτομέης ε του κύκλου C : ρ στο σημείο του M, ΛΥΣΗ Α λύσουμε τη εξίσωση του κύκλου ως προς, βρίσκουμε ότι A -ρ, ε O 7 C Aρ, Μ, ρ, κι ρ, Επομέως, ο κύκλος C ποτελείτι πό τ σημεί τω γρφικώ πρστάσεω τω συρτήσεω ρ κι ρ

201 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 οι οποίες είι ορισμέες στο κλειστό διάστημ [ ρ, ρ] κι πργωγίσιμες στο οικτό διάστημ ρ, ρ Α, τώρ, με συμβολίσουμε εκείη πό τις πρπάω συρτήσεις στη οποί ήκει το M,, τότε θ ισχύει λ ε κι ρ Έτσι, με πργώγιση κι τω δύο μελώ της, έχουμε οπότε, γι, θ ισχύει Έτσι, λόγω της θ έχουμε λε οπότε, γι, θ είι λ ε Άρ, η εφπτομέη ε έχει εξίσωση: η οποί γράφετι διδοχικά:,, ρ φού ρ Α, που συμβίει ότ το σημείο M, είι το A ρ, ή το Α ρ,, τότε εύκολ ποδεικύετι ότι οι εφπτόμεες της C στ σημεί υτά είι οι κτκόρυφες ευθείες ρ κι ρ τιστοίχως Κι οι δυο υτές εξισώσεις δίοτι πό το πρπάω τύπο γι,, κι,, τιστοίχως ρ ρ Με άλογο τρόπο βρίσκουμε τη εξίσωση της εφπτομέης οποισδήποτε άλλης κωικής τομής

202 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τη πράγωγο τω συρτήσεω 7 i 6 ii ln iii iv συ ημ ln Ομοίως τω συρτήσεω: i ii e ημ iii iv ημ συ συ v ημσυ Oμοίως τω συρτήσεω: i e ii εφ σφ ln iii ημ iv e N βρείτε, όπου ορίζετι, τη πράγωγο τω συρτήσεω: i, < ii 6, ημ,, > 5 N βρείτε τ σημεί της γρφικής πράστσης της, στ οποί οι εφπτόμεες είι πράλληλες στο άξο τω, ότ i ii iii e, βρείτε τις συρτή- 6 A κι g σεις, g Ισχύει g ;

203 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 7 Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμεες τω γρφικώ πρστάσεω τω συρτήσεω κι g στο κοιό σημείο τους A,, είι κάθετες 8 Δίετι η συάρτηση, * Ν βρείτε τις τιμές του, γι τις οποίες η κλίση της C στο σημείο της A, είι ίση με 9 Ν βρείτε τ σημεί της γρφικής πράστσης της συάρτησης 5, στ οποί η εφπτομέη είι: i πράλληλη προς τη ευθεί 9 ii κάθετη προς τη ευθεί Ν βρείτε τη εξίσωση της εφπτομέης της γρφικής πράστσης της η οποί άγετι πό το σημείο A, Δίετι η συάρτηση β γ,, β, γ Ν βρείτε τις τιμές τω, β, γ γι τις οποίες η C, διέρχετι πό το σημείο A, κι εφάπτετι της ευθείς στη ρχή τω ξόω Ν βρείτε τη πράγωγο τω συρτήσεω: i ii / iii v ημ iv ln e N βρείτε τη πράγωγο της συάρτησης στο σημείο ότ: i, ii iii ημ π, iv 6 / /,, N βρείτε τη πράγωγο τω συρτήσεω: i ln ii 5 iii ln, > iv ημ e συ 5 A ημ, ποδείξετε ότι

204 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ B ΟΜΑΔΑΣ N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω κι g έχου έ μόο κοιό σημείο, στο οποίο οι εφπτομέες τους είι κάθετες Ν ποδείξετε ότι η ευθεί έχει με τη γρφική πράστση της συάρτησης δύο κοιά σημεί κι εφάπτετι υτής σε έ πό τ σημεί υτά Δίοτι οι συρτήσεις β κι g Ν βρείτε τ, β γι τ οποί οι γρφικές πρστάσεις τους έχου κοιή εφπτομέη στο σημείο με τετμημέη Δίοτι οι συρτήσεις e κι g Ν ποδείξετε ότι η εφπτομέη της C στο σημείο A, εφάπτετι κι στη C g 5 Ν βρείτε πολυώυμο τρίτου βθμού τέτοιο, ώστε,, κι 6 6 Ν ποδείξετε ότι δε υπάρχει πολυώυμο δεύτερου βθμού του οποίου η γρφική πράστση εφάπτετι τω ευθειώ κι στ σημεί A, κι B, τιστοίχως 7 Α μί συάρτηση : είι πργωγίσιμη στο σημείο ποδείξετε ότι i lim a e e ii lim e 8 Ν βρείτε τ σημεί της γρφικής πράστσης της συάρτησης ημ ημ, [,π], στ οποί η εφπτομέη της είι πράλληλη στο άξο τω 9 Ν βρείτε τη πράγωγο τω συρτήσεω i, ii,

205 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ κι στη συέχει τη εξίσωση της εφπτομέης της κθεμι περίπτωση χωριστά C στο O, σε Έστω μι πργωγίσιμη στο συάρτηση γι τη οποί ισχύει κι g η συάρτηση που ορίζετι πό τη ισότητ g, Ν ποδείξετε οτι η εφπτομέη της C στο A, εφάπτετι της C g στο B, g Έστω μι πργωγίσιμη συάρτηση γι τη οποί ισχύει i Ν βρείτε τη ημ e συ, γι κάθε ii Ν ποδείξετε ότι η εφπτομέη της C στο σημείο A, σχημτίζει με τους άξοες ισοσκελές τρίγωο ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Στη ρχή του κεφλίου υτού, ορίσμε τη στιγμιί τχύτητ εός κιητού τη χροική στιγμή t ως το όριο S t S t lim S t t t t t Το όριο υτό το λέμε κι ρυθμό μετβολής της τετμημέης S του κιητού ως προς το χρόο t τη χροική στιγμή t Γεικά, ΟΡΙΣΜΟΣ Α δύο μετβλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση, ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετβολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο Γι πράδειγμ, ο ρυθμός μετβολής της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγμή t είι η πράγωγος υ t, της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγμή t Η πράγωγος υ t λέγετι επιτάχυση του κιητού τη χροική στιγμή t κι συμβολίζετι με t Είι δηλδή t υ t S t Στη οικοομί, το κόστος πργωγής Κ, η είσπρξη Ε κι το κέρδος Ρ εκφράζοτι συρτήσει της ποσότητς του πργόμεου προϊότος Έτσι, η πρά-

206 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ γωγος Κ πριστάει το ρυθμό μετβολής του κόστους Κ ως προς τη ποσότητ, ότ κι λέγετι ορικό κόστος στο Αάλογ, ορίζοτι κι οι έοιες ορική είσπρξη στο κι ορικό κέρδος στο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έ βότσλο που ρίχετι σε μί λίμη προκλεί κυκλικό κυμτισμό Μί συσκευή μέτρησης δείχει ότι τη χροική στιγμή t που η κτί r του κυμτισμού είι 5 cm, ο ρυθμός μετβολής της r είι cm/sec Ν βρεθεί ο ρυθμός μετβολής του εμβδού Ε που περικλείετι πό το κυκλικό κύμ, τη χροική στιγμή t ΛΥΣΗ Επειδή E π r κι η κτί r είι συάρτηση του χρόου t, έχουμε οπότε Επομέως, E t πr t, E t πr t r t E t πr t r t π 5 π cm /sec A το συολικό κόστος πργωγής μοάδω εός βιομηχικού προϊότος είι Κ κι η συολική είσπρξη πό τη πώλησή τους είι E, K τότε P E K είι το συολικό κέρδος κι K μ είι το μέσο κόστος i Ν ποδείξετε ότι ο ρυθμός μετβολής του κέρδους μηδείζετι ότ ο ρυθμός μετβολής του κόστους κι ο ρυθμός μετβολής της είσπρξης είι ίσοι ii Ν ποδείξετε ότι ο ρυθμός μετβολής του μέσου κόστους μηδείζετι ότ το μέσο κόστος είι ίσο με το ορικό κόστος ΛΥΣΗ i Ο ρυθμός μετβολής του κέρδους είι P E K Επομέως, P E K E K ii Ο ρυθμός μετβολής του μέσου κόστους είι

207 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Επομέως K μ K μ K K K K K K K K μ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Mι σφιρική μπάλ χιοιού ρχίζει λυώει Η κτί της, που ελττώετι, δίετι σε cm πό το τύπο r t, όπου t ο χρόος σε sec Ν βρείτε το ρυθμό μετβολής της επιφάεις Ε κι του ό- γκου V της μπάλς, ότ t sec Θυμηθείτε ότι E πr κι V πr Ο όγκος V εός σφιρικού μπλοιού που φουσκώει υξάετι με ρυθμό cm /sec Με ποιο ρυθμό υξάετι η κτί του r τη χροική στιγμή t, που υτή είι ίση με 9cm; To κόστος πργωγής, K, κι η τιμή πώλησης, Π, μοάδω εός βιομηχικού προϊότος δίοτι πό τις συρτήσεις K 6 κι Π τιστοίχως Ν βρείτε πότε ο ρυθμός μετβολής του κέρδους, P Π K, είι θετικός Δύο πλοί Π κι Π χωρού συγχρόως πό έ λιμάι Λ Το πλοίο Π κιείτι τολικά με τχύτητ 5km/h κι το Π βόρει με τχύτητ km/h i Ν βρείτε τις συρτήσεις θέσεως τω Π κι Π Π Βορράς ddt Λ Π Ατολή

208 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ii Ν ποδείξετε ότι η πόστση d Π Π τω δυο πλοίω υξάετι με στθερό ρυθμό το οποίο κι προσδιορίσετε 5 Έ κιητό Μ ξεκιά πό τη ρχή τω ξόω κι κιείτι κτά μήκος της κμπύλης, Σε ποιο σημείο της κμπύλης ο ρυθμός μετβολής της τετμημέης του Μ είι ίσος με το ρυθμό μετβολής της τετγμέης του, υποτεθεί ότι t > γι κάθε t Β ΟΜΑΔΑΣ Α η επιφάει μις σφίρς υξάετι με ρυθμό cm /sec, βρείτε το ρυθμό με το οποίο υξάετι ο όγκος υτής ότ r 85 cm Έστω Τ το εμβδό του τριγώου ΟΑΒ που ορίζου τ σημεί O,, A, κι B,ln, με > Α το μετβάλλετι με ρυθμό cm/sec, βρείτε το ρυθμό μετβολής του εμβδού Τ, ότ 5 cm Ές άθρωπος σπρώχει έ κουτί στη ράμπ του διπλού σχήμτος κι το κουτί κιείτι με τχύτητ m/s Ν βρείτε πόσο γρήγορ υψώετι το κουτί, δηλδή το ρυθμό μετβολής του Έ ερόσττο Α φήει το έ- δφος σε πόστση m πό έ πρτηρητή Π με τχύτητ 5m/min Με ποιο ρυθμό υξάετι η γωί θ που σχημτίζει η ΑΠ με το έδφος τη χροική στιγμή κτά τη οποί το μπλλόι βρίσκετι σε ύψος m Φ Π s θ m A h 5m 5 Mί γυίκ ύψους,6m πομκρύετι πό τη βάση εός φοστάτη ύψους 8m με τχύτητ,8m/s Με ποι τχύτητ υξάετι ο ί- σκιος της; 8 Ο,6 Π Κ s Σ

209 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 6 Έ περιπολικό Α κιείτι κτά μήκος της κμπύλης, πλησιάζοτς τη κτή κι ο προβολές του φωτίζει κτευθεί εμπρός Σχήμ Α ο ρυθμός μετβολής της τετμημέης του περιπολικού δίετι πό το τύπο t t βρείτε το ρυθμό μετβολής της τετμημέης του σημείου Μ της κτής στο οποίο πέφτου τ φώτ του προβολέ τη χροική στιγμή κτά τη οποί το περιπολικό έχει τετμημέη a Aa, B M Ο Ακτή 7 Μί σκάλ μήκους m είι τοποθετημέη σ έ τοίχο Το κάτω μέρος της σκάλς γλυστράει στο δάπεδο με ρυθμό,m/sec Τη χροική στιγμή t, που η κορυφή της σκάλς πέχέι πό το δάπεδο,5m, βρείτε: i Το ρυθμό μετβολής της γωίς θ Σχήμ A Ο m θ Β ii Τη τχύτητ με τη οποί πέφτει η κορυφή Α της σκάλς 8 Έ κιητό κιείτι σε κυκλική τροχιά με εξίσωση Κθώς περάει πό το σημείο A,, η τετγμέη ελττώετι με ρυθ- μό μοάδες το δευτερόλεπτο Ν βρείτε το ρυθμό μετβολής της τετμημέης τη χροική στιγμή που το κιητό περάει πό το Α 5 TO ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Στη πράγρφο υτή θ γωρίσουμε έ πό τ πλέο βσικά θεωρήμτ του Διφορικού Λογισμού που είι γωστό ως Θεώρημ Μέσης Τιμής Αρχικά διτυπώουμε το Θεώρημ του Rolle, το οποίο είι ειδική περίπτωση του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής κι στη συέχει διτυπώουμε το Θεώρημ Μέσης Τιμής, το οποίο ποδεικύετι με τη βοήθει του Θεωρήμτος του Rolle

210 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Rolle Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, β] πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, β κι β τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, β τέτοιο, ώστε: ξ Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, β τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ, ξ είι πράλληλη στο άξο τω Μξ,ξ Α, 8 Ββ,β O ξ ξ β Γι πράδειγμ, έστω η συάρτηση 5, [, ] Σχ 9 9 Επειδή η είι συεχής στο [,], πργωγίσιμη στο,, με κι, σύμφω με το θεώρημ Rolle, θ υπάρχει ές ριθμός ξ, τέτοιος, ώστε ξ Γι τη εύρεση του ριθμού ξ, έχουμε: ξ ξ ξ A B M O ξ ΘΕΩΡΗΜΑ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΤ Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, β] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, β τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, β τέτοιο, ώστε: ξ β β

211 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, β τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο M ξ, ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Mξ,ξ Aa,a Ββ,β Γι πράδειγμ, έστω η συάρτηση, [, ] Ο a ξ ξ β Επειδή η είι συεχής στο [, ] κι πργωγίσιμη στο,, με, σύμ- φω με το θεώρημ μέσης τιμής, θ υπάρχει ές ριθμός ξ, τέτοιος, ώστε ξ Γι τη εύρεση του ριθμού ξ, έχουμε: ξ ξ ξ ξ Μ, Ο, Α, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ N ποδειχτεί ότι: i Η συάρτηση λ λ, του θεωρήμτος του Rolle στο διάστημ [, ] * λ, ικοποιεί τις υποθέσεις ii Η εξίσωση λ λ, διάστημ, * λ έχει μι, τουλάχιστο, ρίζ στο ΑΠΟΔΕΙΞΗ i Η συάρτηση ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος Rolle στο [,] φού είι συεχής στο [,] ως πολυωυμική είι πργωγίσιμη στο, με λ λ κι ισχύει

212 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ * ii Αφού, λοιπό, γι τη συάρτηση λ λ, λ ισχύου οι υποθέσεις του θεωρήμτος Rolle, θ υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ ή, ισοδύμ, λξ ξ λ Επομέως, το ξ, θ είι ρίζ της εξίσωσης λ λ Ν ποδειχτεί ότι γι τη συάρτηση β γ, κι γι οποιοδήποτε διάστημ [, ], ο ριθμός,, που ικοποιεί το συμπέρσμ του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής, είι το κέτρο του διστήμτος [, ], δηλδή είι ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η συάρτηση β γ είι συεχής στο [, ] ως πολυωυμική κι πργωγίσιμη στο,, με β Επομέως, σύμφω με το θεώρημ μέσης τιμής υπάρχει,, τέτοιο, ώστε Είι όμως: β γ β γ β Επομέως, η σχέση γράφετι: [ β] β β β Έ υτοκίητο διήυσε μί διδρομή χιλιομέτρω σε,5 ώρες Ν ποδειχθεί ότι κάποι χροική στιγμή, κτά τη διάρκει της διδρομής, η τχύτητ του υτοκιήτου ήτ 8 χιλιόμετρ τη ώρ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω St, t [,,5] η συάρτηση θέσης του κιητού Αρκεί δείξουμε ότι υπάρχει t [,,5], τέτοι ώστε υ t S t 8 Η συάρτηση S είι συεχής στο [,,5] κι πργωγίσιμη στο,,5 Επομέως, σύμφω με το Θεώρημ Μέσης Τιμής υπάρχει t,,5 τέτοιο, ώστε S, 5 S υ t S t 8 χιλιόμετρ τη ώρ,5,5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

213 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Α ΟΜΑΔΑΣ N εξετάσετε ποιες πό τις πρκάτω συρτήσεις ικοποιού τις υποθέσεις του θεωρήμτος Rolle στο διάστημ που φέρετι, κι στη συέχει, γι εκείες που ισχύει, βρείτε όλ τ ξ, β γι τ οποί ισχύει ξ i, [, ] ii ημ,, π iii συ, [, π ] iv, [,] Ν εξετάσετε, ποιές πό τις πρκάτω συρτήσεις ικοποιού τις υποθέσεις του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής στο διάστημ που φέρετι κι στη συέχει, γι εκείες που ισχύει το θεώρημ, βρείτε β όλ τ ξ, β γι τ οποί ισχύει ξ β i, [,] ii ημ,, π iii,, [,], > Α < β, ποδείξετε ότι οι συρτήσεις e κι g ln ικοποιού τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημ [, β] κι στη συέχει ότι: β e e β ln β ln e < < e κι < < β β β Γι τη συάρτηση g ln υποθέτουμε επιπλέο ότι < < β Β ΟΜΑΔΑΣ Δίετι η συάρτηση 5 i Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μι, τουλάχιστο, ρίζ στο διάστημ, κι μι, τουλάχιστο, στο διάστημ, ii Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση 6 5 έχει μι, τουλάχιστο, ρίζ στο διάστημ, Δίετι η συάρτηση ημ Ν ποδείξετε ότι:

214 5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ i Η εξίσωση έχει μι, τουλάχιστο, ρίζ στο οικτό διάστημ, ii Η εξίσωση εφ έχει μι, τουλάχιστο, ρίζ στο οικτό διάστημ, i Δίετι μι συάρτηση με γι κάθε Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ μι πργμτική ρίζ ii Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ημ ληθεύει μόο γι i Ν ποδείξετε ότι, γι κάθε ii A είι μί συάρτηση πργωγίσιμη στο, με, ποδείξετε ότι γι όλ τ, β ισχύει: β β 5 Έστω μι συάρτηση η οποί είι συεχής στο [,] κι ισχύει 5 γι κάθε, Α, ποδείξετε ότι 9 6 Έστω μι συάρτηση η οποί είι συεχής στο [,] κι ισχύει γι κάθε, Α κι, ποδείξετε ότι, εφρμόζοτς το ΘΜΤ γι τη σε κθέ πό τ διστήμτ [,] κι [,] 7 Ν ποδείξετε με το θεώρημ του Rolle ότι οι γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω κι g έχου κριβώς δυο κοιά σημεί τ A,, B, 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤHΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Το Θεώρημ Μέσης Τιμής του διφορικού λογισμού θεωρείτι μί πό τις σπουδιότερες προτάσεις της άλυσης, φού με τη βοήθειά του ποδεικύοτι πολλά άλλ θεωρήμτ Θ χρησιμοποιήσουμε τώρ το ΘΜΤ γι - ποδείξουμε τ επόμε δύο βσικά θεωρήμτ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α

215 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 η είι συεχής στο Δ κι γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Πράγμτι, Δ ισχύει Α, τότε προφώς Α <, τότε στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ξ,οπότε, λόγω της, είι Α <, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συρτήσεις, g ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι, g είι συεχείς στο Δ κι g γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η συάρτηση γι κάθε εσωτερικό σημείο g c g είι συεχής στο Δ κι Δ ισχύει g g Επομέως, σύμφω με το πρπάω θεώρημ, η συάρτηση g είι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει g c, οπότε g c ΣΧΟΛΙΟ Δ ισχύει: Το πρπάω θεώρημ κθώς κι το πόρισμά του ισχύου σε διάστημ κι όχι σε έωση διστημάτω gc g O

216 5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Γι πράδειγμ, έστω η συάρτηση, <, > Πρτηρούμε ότι, κι γι κάθε,,, ετούτοις η δε είι στθερή στο,, ΕΦΑΡΜΟΓH Δίετι μί συάρτηση γι τη οποί ισχύει γι κάθε i Ν ποδειχτεί ότι η συάρτηση φ είι στθερή κι e ii Ν βρεθεί ο τύπος της, δίετι επιπλέο ότι ΛΥΣΗ i Γι κάθε έχουμε: e e φ, e e e Επομέως, η φ είι στθερή στο ii Επειδή η φ είι στθερή, υπάρχει ή, ισοδύμ, c γι κάθε e c τέτοιο, ώστε φ c γι κάθε Επομέως ce γι κάθε Επειδή, έχουμε c, οπότε Μοοτοί συάρτησης e γι κάθε

217 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 Έστω η συάρτηση Πρτηρούμε ότι στο διάστημ,, στο οποίο η είι γησίως φθίουσ, ισχύει <, εώ στο διάστημ,, στο οποίο η είι γησίως ύξουσ, ι- σχύει > Βλέπουμε, δηλδή, ότι υπάρχει μι σχέση άμεσ στη μοοτοί κι στο πρόσημο της πργώγου της συάρτησης Συγκεκριμέ ισχύει: < > O ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση, η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστημ Δ Α > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ Α < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως φθίουσ σε όλο το Δ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι > Έστω, Δ με < Θ δείξουμε ότι < Πράγμτι, στο διάστημ, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει [ ξ, τέτοιο, ώστε ξ, οπότε έχουμε ξ Επειδή ξ > κι, έχουμε, οπότε < > > Στη περίπτωση που είι < εργζόμστε λόγως Γι πράδειγμ: η συάρτηση, είι γησίως ύξουσ στο [,, φού είι συεχής στο [, κι ισχύει > γι κάθε, Ο

218 5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ η συάρτηση είι γησίως ύξουσ στο [,, φού είι συεχής στο [, κι > γι κάθε,, εώ είι γησίως φθίουσ στο,], φού είι συεχής στο,] κι < γι κάθε, Ο 5 6 η συάρτηση είι γησίως φθίουσ σε κθέ πό τ διστήμτ,, κι,, φού < γι κάθε Ο, κι γι κάθε, ΣΧΟΛΙΟ Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ι- σχύει Δηλδή, η είι γησίως ύξουσ τιστοίχως γησίως φθίουσ στο Δ, η πράγωγός της δε είι υποχρεωτικά θετική τιστοίχως ρητική στο εσωτερικό του Δ Γι πράδειγμ, η συάρτηση, κι είι γησίως ύξουσ στο, ετούτοις έχει πράγωγο η οποί δε είι θετική σε όλο το, φού Ισχύει όμως γι κάθε Ο 7 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ N βρεθού τ διστήμτ στ οποί η συάρτηση είι γησίως ύξουσ, γησίως φθίουσ ΛΥΣΗ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη με Το πρόσημο της δίετι στο πρκάτω πίκ

219 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 55 Eπομέως, η συάρτηση : είι γησίως ύξουσ στο, ], φού είι συεχής στο, ] κι ισχύει > στο, είι γησίως φθίουσ στο [,], φού είι συεχής στο [,] κι ισχύει < στο, είι γησίως ύξουσ στο [,, φού είι συεχής στο [, κι ισχύει > στο, Το πρόσημο της κι το είδος μοοτοίς της στ διστήμτ, ], [,] κι [, συγκετρώοτι συοπτικά στο πρκάτω πίκ: i Ν ποδειχτεί ότι η συάρτηση συ, [,π] είι γησίως ύξουσ κι βρείτε το σύολο τιμώ της ii Ν ποδειχτεί ότι η εξίσωση συ έχει κριβώς μι λύση στο [,π] ΑΠΟΔΕΙΞΗ i Είι συ ημ >, γι κάθε [, π ] Επομέως, η είι γησίως ύξουσ στο [, π ] Επειδή η είι συεχής κι γησίως ύξουσ, σύμφω με τη πράγρφο 8, το σύολο τιμώ της είι το διάστημ [, π] [, π ] ii Έχουμε: συ συ,, [, π] Επειδή το σύολο τιμώ της είι το διάστημ [, π ], που περιέχει το, θ υπάρχει έ τουλάχιστο, π, τέτοιο ώστε Επειδή επιπλέο η είι γησίως ύξουσ στο [, π ], η είι μοδική ρίζ της στο διάστημ υ O συ π/ π 8

220 56 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ τό Η ρίζ υτή, όπως φίετι κι στο σχήμ 8, είι η τετμημέη του σημείου τομής της κι της συ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Α γι τις συρτήσεις, g ισχύου: g κι g γι κάθε, ποδείξετε ότι η συάρτηση φ [ ] [ g ] είι στθερή Ν βρείτε τ διστήμτ μοοτοίς τω συρτήσεω: i ii iii Oμοίως τω συρτήσεω:, i ii, > Oμοίως τω συρτήσεω: i ii ln iii ημ ημ, [,π] e 5 5 Δίοτι οι συρτήσεις 5 6 κι g i Ν ποδείξετε ότι oι, g είι γησίως ύξουσες ii Ν βρείτε το σύολο τιμώ τους iii Ν ποδείξετε ότι οι εξισώσεις: κι έχου κριβώς μί ρίζ τη 6 Ν ποδείξετε ότι: i H συάρτηση e ln είι γησίως ύξουσ ii Η εξίσωση e ln έχει κριβώς μί λύση τη

221 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 57 Β ΟΜΑΔΑΣ Α γι μί συάρτηση που είι ορισμέη σ όλο το ισχύει γι όλ τ ποδείξετε ότι η είι στθερή,, i Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι γησίως φθίουσ στο διάστημ [,] ii Ν βρείτε το σύολο τιμώ της στο διάστημ [, ] iii Α < <, ποδείξετε ότι η εξίσωση έ- χει κριβώς μί λύση στο διάστημ, Η θέση εός κιητού πάω σε έ άξο τη χροική στιγμή t δίετι πό τη συάρτηση: S t t 8t 8t 6t 6, t 5 Ν βρείτε τη τχύτητ κι τη επιτάχυση του κιητού κι στη συέχει πτήσετε στ κόλουθ ερωτήμτ: i Πότε το κιητό έχει τχύτητ μηδέ; ii Πότε το κιητό κιείτι προς τ δεξιά κι πότε προς τ ριστερά; iii Πότε η κίηση του κιητού είι επιτχυόμεη κι πότε επιβρδυόμεη; Η τιμή V σε χιλιάδες δρχμές εός προϊότος, t μήες μετά τη πργωγή του, δίετι πό το τύπο 5t V 5 t Ν ποδείξετε ότι το προϊό συεχώς υποτιμάτι χωρίς, όμως, η τιμή του μπορεί γίει μικρότερη πό το μισό της ρχικής τιμής του 5 Ν ποδείξετε ότι: 9 i Η συάρτηση είι γησίως ύξουσ σε κθέ πό τ διστήμτ του πεδίου ορισμού της κι βρείτε το σύολο τω τιμώ της σε κθέ πό τ διστήμτ υτά ii H εξίσωση 9 είι ισοδύμη με τη κι στη συέχει ότι έχει τρεις πργμτικές ρίζες γι κάθε 6 Ν βρείτε τις τιμές του * γι τις οποίες η συάρτηση είι γησίως ύξουσ στο

222 58 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Ν ποδείξετε οτι: i H συάρτηση ημ συ είι γησίως ύξουσ στο κλειστό διάστημ, π ii ημ συ >, γι κάθε, π ημ iii H συάρτηση είι γησίως φθίουσ στο οικτό διάστημ, π 8 Ν ποδείξετε ότι: i H συάρτηση ημ εφ,, π είι γησίως ύξουσ ii ημ εφ, γι κάθε, π 7 TOΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έοι του τοπικού κροτάτου Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συάρτησης σ έ διάστημ, β] Πρτηρούμε ότι στο σημείο η τιμή της συάρτησης είι μεγλύτερη πό τη τιμή της σε κάθε γειτοικό σημείο του Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Το ίδιο συμβίει κι στ σημεί το κόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ κι Γεικά έχουμε Μι συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο, ότ υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε γι κάθε A δ, O A, δ A Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το τοπικό μέγιστο της C a β 9

223 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 59 A η ισότητ ισχύει γι κάθε A, τότε, όπως είδμε στη πράγρφο, η προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο ή πλά μέγιστο, το Στο διπλό σχήμ πρτηρούμε ότι στο σημείο η τιμή της συάρτησης είι μικρότερη πό τη τιμή της σε κάθε γειτοικό σημείο του Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό ελάχιστο Το ίδιο συμβίει κι στ σημεί κι β Γεικά, έχουμε το κόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ O C a β Μί συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο τοπικό ελάχιστο, ότ υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε, γι κάθε A δ, δ A Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το τοπικό ελάχιστο της Α η ισότητ ισχύει γι κάθε A, τότε, όπως είδμε στη πράγρφο, η προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο ή πλά ελάχιστο, το Τ τοπικά μέγιστ κι τοπικά ελάχιστ της λέγοτι τοπικά κρόττ υτής, εώ τ σημεί στ οποί η προυσιάζει τοπικά κρόττ λέγοτι θέσεις τοπικώ κροτάτω Το μέγιστο κι το ελάχιστο της λέγοτι ολικά κρόττ ή πλά κρόττ υτής Γι πράδειγμ, η συάρτηση,, > προυσιάζει: i στο τοπικό ελάχιστο, το, το οποίο είι κι ολικό ελάχιστο κι ii στο τοπικό μέγιστο, το Η συάρτηση κι προυσιάζει τοπικό μέγιστο, ετούτοις δε προυσιάζει ολικό μέγιστο C O

224 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΙΑ i Έ τοπικό μέγιστο μπορεί είι μικρότερο πό έ τοπικό ελάχιστο Σχ O a ma min a O β β ii Α μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο, τότε υτό θ είι το μεγλύτερο πό τ τοπικά μέγιστ, εώ προυσιάζει, ελάχιστο, τότε υτό θ είι το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ Σχ β Το μεγλύτερο όμως πό τ τοπικά μέγιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε μέγιστο υτής Επίσης το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε ελάχιστο της συάρτησης Σχ Προσδιορισμός τω τοπικώ κροτάτω Με μι προσεκτική πρτήρηση του σχήμτος β βλέπουμε ότι σ έ εσωτερικό σημείο εός διστήμτος του πεδίου ορισμού της η προυσιάζει τοπικό κρόττο κι επιπλέο είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε στο σημείο A, η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της είι οριζότι, δηλδή ισχύει Αυτό επιβεβιώετι πό το πρκάτω θεώρημ, που είι γωστό ως Θεώρημ του Fermat ΘΕΩΡΗΜΑ Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε: ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε δ, δ Δ κι, γι κάθε δ, δ O δ δ

225 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιμη στο, ισχύει Επομέως, lim lim δ,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε lim, δ, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε lim Έτσι, πό τις κι έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη ΣΧΟΛΙΟ Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, τ εσωτερικά σημεί του Δ, στ οποί η είι διφορετική πό το μηδέ, δε είι θέσεις τοπικώ κροτάτω Επομέως, όπως φίετι κι στ σχήμτ 9 κι, οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ κ ρ ο τ ά τ ω μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της Τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ, λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ Γι πράδειγμ, έστω η συάρτηση, < C, Η είι συεχής στο κι πργωγίσιμη στο { } με O, <, > Οι ρίζες της είι οι κι

226 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Eπειδή η μηδείζετι στ σημεί κι, εώ δε υπάρχει στο, τ κρίσιμ σημεί της είι οι ριθμοί, κι Όμως, όπως φίετι στο σχήμ, τ σημεί κι είι θέσεις τοπικώ κροτάτω, εώ το σημείο δε είι θέση τοπικού κροτάτου Άρ δε είι όλ τ κρίσιμ σημεί θέσεις τοπικώ κροτάτω της Επομέως, χρειζόμστε έ κριτήριο το οποίο μς πληροφορεί ποι πό τ κρίσιμ σημεί της είι θέσεις τοπικώ κροτάτω υτής Σχετικά ισχύει το πρκάτω θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ, β, με εξίρεση ίσως έ σημείο του, στο οποίο όμως η είι συεχής i Α > στο, κι < στο, β, τότε το είι τοπικό μέγιστο της Σχ 5 ii Α < στο, κι > στο, β, τότε το είι τοπικό ελάχιστο της Σχ 5β iii A η διτηρεί πρόσημο στο,,, τότε το δε είι β τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο, β Σχ 5γ ΑΠΟΔΕΙΞΗ i Eπειδή > γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως ύξουσ στο, ] Έτσι έχουμε, γι κάθε, ] Επειδή < γι κάθε, β κι η είι συεχής στο, η είι γησίως φθίουσ στο [, β Έτσι έχουμε:, γι κάθε [, β > < > < 5a O a β O a β Επομέως, λόγω τω κι, ισχύει:, γι κάθε, β, που σημίει ότι το είι μέγιστο της στο, β κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii Εργζόμστε λόγως

227 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 6 5β < > < > O a β O a β iii Έστω ότι >, γι κάθε,, β > > 5γ > > O a β O a β Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ, ] κι [, β Επομέως, γι < < ισχύει < < Άρ το δε είι τοπικό κρόττο της Θ δείξουμε, τώρ, ότι η είι γησίως ύξουσ στο, β Πράγμτι, έστω,, β με < Α, ], επειδή η είι γησίως ύξουσ στο, ], θ ισχύει, < Α [,, επειδή η είι γησίως ύξουσ στο [, β, θ ισχύει, β < Τέλος, < <, τότε όπως είδμε < < Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει <, οπότε η είι γησίως ύξουσ στο, β Ομοίως, < γι κάθε,, β Γι πράδειγμ, έστω η συάρτηση που είι ορισμέη στο Η είι πργωγίσιμη στο, με Οι ρίζες της είι διπλή ή, το δε πρόσημο της φίετι στο πρκάτω πίκ:

228 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σύμφω με το πρπάω κριτήριο, η συάρτηση είι γησίως φθίουσ στο διάστημ, ], γησίως ύξουσ στο διάστημ [, κι προυσιάζει έ μόο τοπικό κρόττο, συγκεκριμέ ολικό ελάχιστο γι, το 7 ΣΧΟΛΙΑ Οπως είδμε στη πόδειξη του πρπάω θεωρήμτος στη πρώτη περίπτωση το είι η μέγιστη τιμή της στο, β, εώ στη δεύτερη περίπτωση το είι η ελάχιστη τιμή της στο, β Α μι συάρτηση είι συεχής σ έ κλειστό διάστημ [, β], όπως γωρίζουμε Θεώρημ 8,η προυσιάζει μέγιστο κι ελάχιστο Γι τη εύρεση του μέγιστου κι ελάχιστου εργζόμστε ως εξής: Βρίσκουμε τ κρίσιμ σημεί της Υπολογίζουμε τις τιμές της στ σημεί υτά κι στ άκρ τω διστημάτω Από υτές τις τιμές η μεγλύτερη είι το μέγιστο κι η μικρότερη το ελάχιστο της Γι πράδειγμ, έστω η συάρτηση 5 9, [, 5] Έχουμε 6, [, 5] Οι ρίζες της είι οι, Επομέως, τ κρίσιμ σημεί της είι τ, Οι τιμές της στ κρίσιμ σημεί κι στ άκρ του διστήμτος [, 5] είι,, 9 κι 5 Άρ, η μέγιστη τιμή της στο [, 5] είι ίση με κι προυσιάζετι γι, εώ η ελάχιστη τιμή της είι ίση με κι προυσιάζετι γι Γι εφρμόσουμε το προηγούμεο θεώρημ πιτείτι προσδιορίσουμε το πρόσημο της εκτέρωθε του Ότ ο προσδιορισμός υτός δε είι εύκολος ή είι δύτος, τότε το πρκάτω θεώρημ, του οποίου η πόδειξη πρλείπετι, μπορεί μς πληροφορήσει το είι θέση τοπικού κρόττου ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σε έ διάστημ, β κι έ σημείο του, β στο οποίο η είι δυο φορές πργωγίσιμη Α κι <, τότε το είι τοπικό μέγιστο Α κι >, τότε το είι τοπικό ελάχιστο Γι πράδειγμ, έστω ότι θέλουμε βρούμε τ τοπικά κρόττ της συάρτησης

229 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 65 συ, [, π Έχουμε ημ κι συ, π 5π οπότε οι ρίζες της είι οι κι 6 6 π π Γι, είι <, εώ γι 6 6 Έτσι έχουμε 5π 5π, είι > π π κι 6 < π, οπότε το είι τοπικό μέγιστο της 6 5π 5π 5π β κι >, οπότε το είι τοπικό ελάχιστο της ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ N βρεθεί το [, ] έτσι, ώστε το ορθογώιο ΑΒΓΔ του διπλού σχήμτος έχει μέγιστο εμβδό ΛΥΣΗ Το εμβδό του ορθογωίου είι Γ Δ 6 E AB AΔ 6 Έχουμε E Οι ρίζες της E είι οι, Η μοοτοί κι τ κρόττ της Ε φίοτι στο πρκάτω πίκ O B, A, E E ma min Άρ, η μέγιστη τιμή του εμβδού είι ίση με κι προυσιάζετι ότ min

230 66 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έστω η συάρτηση ln i Ν μελετηθεί ως προς τη μοοτοί κι τ κρόττ ii Ν ποδειχτεί ότι ln, γι κάθε > ΛΥΣΗ i Έχουμε,, Η εξίσωση έχει μί μόο ρίζ, τη Η μοοτοί κι τ κρόττ της φίοτι στο πρκάτω πίκ: ln 7 O min ii Επειδή η γι προυσιάζει ολικό ελάχιστο, γι κάθε, ισχύει: ln Η ισότητ ισχύει μόο ότ ln Μί βιομηχί κθορίζει τη τιμή πώλησης Π κάθε μοάδς εός προϊότος, συρτήσει του πλήθους τω μοάδω πργωγής, σύμφω με το τύπο Π 6 Το κόστος πργωγής μις μοάδς είι δρχ Α η βιομηχί πληρώει φόρο δρχγι κάθε μοάδ προϊότος, βρεθεί πόσες μοάδες προϊότος πρέπει πράγει η βιομηχί, ώστε έχει το μέγιστο δυτό κέρδος ΛΥΣΗ Η είσπρξη πό τη πώληση μοάδω πργωγής είι E Π 6 6 Το κόστος πό τη πργωγή μοάδω είι K Το ολικό κόστος μετά τη πληρωμή του φόρου είι: K ολ 5 Επομέως, το κέρδος της βιομηχίς είι P E K ολ

231 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έχουμε P 8, οπότε η P έχει ρίζ τη 9 Η μοοτοί κι τ κρόττ της Ρ στο, φίοτι στο πρκάτω πίκ: 9 P 56 P ma Επομέως, το μέγιστο κέρδος προυσιάζετι ότ η βιομηχί πράγει 9 μοάδες πό το προϊό υτό κι είι ίσο με 56 χιλιάδες δρχ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ H πράγωγος μις συάρτησης είι Γι ποιές τιμές του η προυσιάζει τοπικό μέγιστο κι γι ποιες προυσιάζει τοπικό ελάχιστο; Ν μελετήσετε ως προς τη μοοτοί κι τ κρόττ τις συρτήσεις: i ii g iii h β Ν βρείτε το πλήθος τω πργμτικώ ριζώ τω εξισώσεω:,, Ν μελετήσετε ως προς τη μοοτοί κι τ κρόττ τις συρτήσεις:

232 68 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ i, ii e, >, < g, N μελετήσετε ως προς τη μοοτοί κι τ κρόττ τις συρτήσεις: i e ii, > 5 N βρείτε τις τιμές τω, β γι τις οποίες η συάρτηση β προυσιάζει τοπικά κρόττ στ σημεί κι Ν κθορίσετε το είδος τω κροτάτω 6 Ν ποδείξετε ότι, πό όλ τ οικόπεδ σχήμτος ορθογωίου με εμβδό m, το τετράγωο χρειάζετι τη μικρότερη περίφρξη 7 Με συρμτόπλεγμ μήκους 8m θέλουμε περιφράξουμε οικόπεδο σχήμτος ορθογωίου Ν βρείτε τις διστάσεις του οικοπέδου που έχει το μεγλύτερο εμβδό 8 Μί ώρ μετά τη λήψη mgr εός τιπυρετικού, η μείωση της θερμοκρσίς εός σθεούς δίετι πό τη συάρτηση T, < < Ν βρείτε ποι πρέπει είι η δόση του τιπυρετικού, ώστε ο ρυθμός μετβολής της μείωσης της θερμοκρσίς ως προς, γίει μέγιστος 9 Δίετι τετράγωο ΑΒΓΔ του διπλού σχήμτος με πλευρά cm Α το τετράγωο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓΔ, i εκφράσετε τη πλευρά ΕΖ συρτήσει του ii βρείτε το έτσι, ώστε το εμβδό E του ΕΖΗΘ γίει ελάχιστο Δ H Γ Ζ Ε Θ A Ε B Το κόστος της ημερήσις πργωγής μοάδω εός βιομηχικού προϊότος είι K 6 χιλιάδες δρχμές, 5 Η είσπρξη πό τη πώληση τω μοάδω είι E του εργοστσίου, γι τη οποί το κέρδος γίετι μέγιστο χιλιάδες δρχμές Ν βρεθεί η ημερήσι πργωγή Β ΟΜΑΔΑΣ

233 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 69 Δίετι η συάρτηση ημ, [, π] i Ν μελετήσετε τη ως προς τη μοοτοί κι κρόττ ii Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση στο, π ημ έχει κριβώς μί ρίζ i Ν μελετήσετε ως προς τη μοοτοί κι τ κρόττ τη συάρτηση ln κι βρείτε τις ρίζες κι το πρόσημό της ii Ν μελετήσετε ως προς τη μοοτοί κι τ κρόττ τη συάρτηση φ ln iii Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω g ln κι h έχου έ μόο κοιό σημείο στο οποίο έχου κι κοιή εφπτομέη Ν ποδείξετε ότι γι κάθε > ισχύει i e > ii β e > β συ > ημ > 6 iii β >, με >, με Ν ποδείξετε ότι, γι μι συάρτηση, που είι πργωγίσιμη στο, ισχύει τότε η δε έχει κρόττ 6 6,

234 7 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 Στο διπλό σχήμ έχουμε τις γρφικές πρστάσεις δύο πργωγίσιμω συρτήσεω ξ, g σ έ διάστημ [, β] Το σημείο ξ, β είι το σημείο στο οποίο η κρκόρυφη πόστση ΑΒ μετξύ τω C κι C g πίρει τη μεγλύτερη gξ O τιμή Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμεες τω A ξ, ξ κι Β ξ, g ξ είι πράλληλες 6 Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση γ C κι β, με < β < γ C g στ σημεί έχει τρί τοπικά ελάχιστ κι δύο τοπικά μέγιστ 7 Με έ σύρμ μήκους m κτσκευάζουμε έ ισόπλευρο τρίγωο πλευράς m κι έ τετράγωο πλευράς m i Ν βρείτε το άθροισμ τω εμβδώ τω δύο σχημάτω συρτήσει της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώου ii Γι ποι τιμή του το εμβδό γίετι ελάχιστο 9 8 Δίετι η συάρτηση κι το σημείο A, i Ν βρείτε το σημείο Μ της C που πέχει πό το σημείο Α τη μικρότερη πόστση ii Ν ποδείξετε ότι η εφπτομέη της ΑΜ 9 Όπως γωρίζουμε, ο στίβος του κλσικού θλητισμού ποτελείτι πό έ ορθογώιο κι δύο ημικύκλι Α η περίμετρος του στίβου είι m, βρείτε τις διστάσεις του, ώστε το εμβδό του ορθογωίου μέρους γίει μέγιστο C στο Μ είι κάθετη στη Η ύλωση μις κρουζιέρς πιτεί συμμετοχή τουλάχιστο - τόμω Α δηλώου κριβώς άτομ, το τίτιμο έρχετι σε χιλιάδες δρχμές το άτομο Γι κάθε επιπλέο άτομο το τίτιμο ά άτομο μειώετι κτά 5 δρχ Πόσ άτομ πρέπει δηλώσου συμμετοχή, ώστε έχουμε τ περισσότερ έσοδ Α Β C C g ξ β E

235 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Έστω Ε το εμβδό του κυκλικού δκτυλίου του διπλού σχήμτος Υποθέτουμε οτι τη χροική στιγμή t είι r cm κι r 5 cm κι ότι γι t > η κτί r υξάετι με στθερό ρυθμό,5cm/s, εώ η κτί r r υξάετι με στθερό ρυθμό, cm/s Ν βρείτε: i πότε θ μηδειστεί το εμβδό του κυκλικού δκτυλίου κι ii πότε θ μεγιστοποιηθεί το εμβδό του κυκλικού δκτυλίου Θέλουμε κτσκευάσουμε έ κάλι του οποίου η κάθετη διτομή ΑΒΓΔ φίετι στο διπλό σχήμ i Ν ποδείξετε ότι το εμβδό της διτομής ΑΒΓΔ είι ίσο με E ημθ συθ ii Γι ποι τιμή του θ το εμβδό της κάθετης διτομής μεγιστοποιείτι; Ές κολυμβητής Κ βρίσκετι στη θάλσσ t μ- t Κ κριά πό το πλησιέστερο σημείο Α μις ευθύγρμμης A M Σ κτής, εώ το σπίτι του Σ t βρίσκετι t μκρυά πό το σημείο Α Υποθέτουμε ότι ο κολυμβητής μπορεί κολυμβήσει με τχύτητ t/s κι τρέξει στη κτή με τχύτητ 5t/s i Ν ποδείξετε οτι γι διύσει τη διδρομή ΚΜΣ του διπλού σχήμτος χρειάζετι χρόο Τ 5 ii Γι ποι τιμή του o κολυμβητής θ χρειστεί το λιγότερο δυτό χρόο γι φθάσει στο σπίτι του; Δ m θ Α r Γ m θ m Β t,8 cm

236 7 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Όμως, οι συρτήσεις υτές έχου διφορετικές γρφικές πρστάσεις Δηλδή, έρχοτι κι κτέρχοτι με διφορετικό τρόπο σε κάθε έ πό τ διστήμτ, ] κι [, Επομέως, οι πληροφορίες που μς δίει το πρό- Ές εργολάβος επιθυμεί χτίσει έ σπίτι στο δρόμο που συδέει δύο εργοστάσι E κι E τ οποί βρίσκοτι σε - πόστση km κι εκπέμπου κπό με προχές Ε Σ km Ε Ρ κι 8 P τιστοίχως Α η πυκότητ του κπού σε μι - πόστση d πό έ τέτοιο εργοστάσιο είι άλογη της προχής κπού του εργοστσίου κι τιστρόφως άλογη του τετργώου της πόστσης d, βρείτε σε ποι πόστση πό το εργοστάσιο E πρέπει ο εργολάβος χτίσει το σπίτι γι έχει τη λιγότερη δυτή ρύπση Προχή κπού μις κποδόχου εός εργοστσίου λέγετι η ποσότητ του κπού που εκπέμπετι πό τη κποδόχο στη μοάδ του χρόου 8 KΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Κοίλ - κυρτά συάρτησης Έστω οι συρτήσεις κι g Σχ 8 8 g Ο Ο a β Οι πληροφορίες τις οποίες μς δίει η πρώτη πράγωγος γι τη συμπεριφορά κάθε μις πό τις δύο συρτήσεις, όπως φίετι κι στο σχήμ 8 είι ίδιες Δηλδή οι συρτήσεις, είι γησίως φθίουσες στο, ] είι γησίως ύξουσες στο [, προυσιάζου τοπικό ελάχιστο γι, το οποίο είι ίσο με

237 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 σημο της πρώτης πργώγου δε είι ικές γι τη χάρξη της γρφικής πράστσης μις συάρτησης Ας θεωρήσουμε τώρ τις γρφικές πρστάσεις τω πρκάτω συρτήσεω στο διάστημ [, 9 Ο a Κθώς το υξάετι η εφπτομέη της C στρέφετι κτά τη θετική φορά Ο β Κθώς το υξάετι η εφπτομέη της C g στρέφετι κτά τη ρητική φορά Πρτηρούμε ότι κθώς το υξάετι: η κλίση της C υξάετι, δηλδή η είι γησίως ύξουσ στο [,, εώ η κλίση της g της C g ελττώετι, δηλδή η g είι γησίως φθίουσ στο [, Στη πρώτη περίπτωση λέμε ότι η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω στο [,, εώ στη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι η g στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο [, Γεικά δίουμε το πρκάτω ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μί συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι π ρ γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ, η είι γησίως ύξουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ, η είι γησίως φθίουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Εποπτικά, μί συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σε έ διάστημ Δ, ότ έ κιητό, που κιείτι πάω στη C, γι διγράψει το τόξο που τιστοιχεί στο διάστημ Δ πρέπει στρφεί κτά τη θετική τιστοίχως ρητική φορά Σχ

238 7 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ C O Γι δηλώσουμε στο πίκ μετβολώ ότι μι συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σε έ διάστημ Δ, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό τιστοίχως ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικύετι ότι, μι συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σ έ διάστημ Δ, τότε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκετι κάτω τιστοίχως πάω πό τη γρφική της πράστση Σχ 9, με εξίρεση το σημείο επφής τους Η μελέτη μις συάρτησης ως προς τ κοίλ κι κυρτά διευκολύετι με τη βοήθει του επόμεου θεωρήμτος, που είι άμεση συέπει του προηγούμεου ορισμού κι του θεωρήμτος μοοτοίς ΘΕΩΡΗΜΑ Εστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Α > γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κυρτή στο Δ Α < γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κοίλη στο Δ Γι πράδειγμ, η συάρτηση Σχ, είι κοίλη στο, ], φού 6 <, γι, κι η είι συεχής στο, ] εώ, είι κυρτή στο [,, φού 6 >, γι, κι η είι συεχής στο [, O

239 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 75 ΣΧΟΛΙΟ Το τίστροφο του θεωρήμτος δε ισχύει Γι πράδειγμ, έστω η συάρτηση Σχ Ε- πειδή η είι γησίως ύξουσ στο, η δε είι κυρτή στο Ετούτοις, η είι θετική στο, φού Σημεί κμπής Στη γρφική πράστση της συάρτησης Σχ πρτηρούμε ότι, στο σημείο O, η γρφική πράστση της έχει εφπτομέη κι β εκτέρωθε του, η κυρτότητ της κμπύλης λλάζει O

240 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 75 Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η γρφική πράστση της κάμπτετι στο σημείο O, Το σημείο Ο λέγετι σημείο κμπής της C Γεικά δίουμε το πρκάτω ορισμό ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ, β, με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο, κι κοίλη στο, β, ή τιστρόφως, κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A,, τότε το σημείο A, οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της Ότ το A, είι σημείο κμπής της C, τότε λέμε ότι η προυσιάζει στο κμπή κι το λέγετι θέση σημείου κμπής Στ σημεί κμπής η εφπτομέη της C διπερά τη κμπύλη Αποδεικύετι, επιπλέο, ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ Α το A, είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε Σύμφω με το πρπάω θεώρημ, τ εσωτερικά σημεί εός διστήμτος Δ στ οποί η είι διφορετική πό το μηδέ δε είι θέσεις σημείω κμπής Επομέως, ο ι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω κ μ π ή ς μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: i τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η μηδείζετι, κι ii τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί δε υπάρχει η Σχ O Γι πράδειγμ, έστω η συάρτηση, < Σχ, Η είι δύο φορές πργωγίσιμη στο { } με 6, <, > C O Έτσι έχουμε το πρκάτω πίκ:

241 76 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ κοίλη κυρτή κυρτή κυρτή Επειδή η μηδείζετι στ σημεί κι, εώ δε υπάρχει στο, οι πιθές θέσεις τω σημείω κμπής είι τ σημεί, κι Όμως, όπως φίετι στο πρπάω πίκ κι στο σχήμ, τ σημεί κι δε είι θέσεις σημείω κμπής, φού σ υτά η δε λλάζει κυρτότητ, εώ το σημείο είι θέση σημείου κμπής, φού στο O, υπάρχει εφπτομέη της C κι η στο λλάζει κυρτότητ Πρτηρούμε λοιπό ότι πό τις πιθές θέσεις σημείω κμπής, θέση σημείου κμπής είι μόο το, εκτέρωθε του οποίου η λλάζει πρόσημο Γεικά: Έστω μι συάρτηση oρισμέη σ έ διάστημ, β κι, Α η λλάζει πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της C στο A,, τότε το A, είι σημείο κμπής β ΕΦΑΡΜΟΓH N προσδιορισθού τ διστήμτ στ οποί η συάρτηση 6 5, - είι κυρτή ή κοίλη κι βρεθού τ σημεί κμπής της γρφικής της πράστσης ΛΥΣΗ i Η είι δύο φορές πργωγίσιμη στο, με Το πρόσημο της φίετι στο κόλουθο πίκ: - ΣΚ ΣΚ Επομέως, η είι κυρτή σε κθέ πό τ διστήμτ, ] κι [, κι κοίλη στο διάστημ [,]

242 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 77 Επειδή η μηδείζετι στ σημεί, κι εκτέρωθε λλάζει πρόσημο, τ σημεί A, κι B, είι σημεί κμπής της C Τ συμπεράσμτ υτά κτχωρούτι στη τελευτί γρμμή του πρπάω πίκ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τ διστήμτ στ οποί οι πρκάτω συρτήσεις είι κυρτές ή κοίλες κι προσδιορίσετε υπάρχου τ σημεί κμπής τω γρφικώ τους πρστάσεω 5 i 5 ii g Ομοίως γι τις συρτήσεις: i iii e ii g ln 5, < h, Oμοίως γι τις συρτήσεις: i π π g εφ,, e ii iii h iv φ v, < ψ, Στο πρκάτω σχήμ δίετι η γρφική πράστση της πργώγου μίς συάρτησης στο διάστημ [,] - O

243 78 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ν προσδιορίσετε τ διστήμτ στ οποί η είι γησίως ύξουσ, γησίως φθίουσ, κυρτή, κοίλη κι τις θέσεις τοπικώ κροτάτω κι σημείω κμπής 5 Στο διπλό σχήμ δίετι η γρφική πράστση C της συάρτησης θέσεως St εός κιητού που κιείτι πάω σε έ ά- ξο Α η C προυσιάζει κμπή τις χροικές στιγμές t κι t, βρείτε: O St St t t t t i Πότε το κιητό κιείτι κτά τη θετική φορά κι πότε κτά τη ρητική φορά ii Πότε η κίηση του κιητού είι επιτχυόμεη κι πότε επιβρδυόμεη Β ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τ σημεί κμπής της γρφικής πράστσης της συάρτησης: κι ποδείξετε ότι δύο πό υτά είι συμμετρικά ως προς το τρίτο Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της συάρτησης: e έχει γι κάθε τιμή του, κριβώς έ σημείο κμπής που βρίσκετι στη πρβολή Ν ποδείξετε ότι γι κάθε, η συάρτηση 6 είι κυρτή σε όλο το Δίετι η συάρτηση i Ν ποδείξετε ότι η προυσιάζει έ τοπικό μέγιστο, έ τοπικό ελάχιστο κι έ σημείο κμπής ii A, είι οι θέσεις τω τοπικώ κροτάτω κι η θέση του σημείου κμπής, ποδείξετε ότι τ σημεί A,, B, κι Γ, είι συευθεικά

244 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 79 5 Έστω μι συάρτηση, δυο φορές πργωγίσιμη στο [, ], γι τη οποί ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δε έχει σημεί κμπής 9 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL Aσύμπτωτες Έστω η συάρτηση Σχ 5 Όπως είδμε: lim lim Αυτό σημίει ότι, κθώς το τείει στο πό θετικές τιμές, η γρφική πράστση της τείει συμπέσει με τη ευθεί Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η ευθεί είι κτκόρυφη σύμπτωτη της C Γεικά: Ο 5 ΟΡΙΣΜΟΣ Α έ τουλάχιστο πό τ όρι lim, lim είι ή, τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της Γι τη ίδι συάρτηση πρτηρούμε ότι: lim lim Αυτό σημίει ότι, κθώς το τείει στο, η γρφική πράστση της τείει συμπέσει με τη ευθεί Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η ευθεί είι οριζότι σύμπτωτη της C στο Επίσης πρτηρούμε ότι lim lim Αυτό σημίει ότι, κθώς το τείει στο, η γρφική πράστση της τείει συμπέσει με τη ευθεί Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η ευθεί είι οριζότι σύμπτωτη της C στο Γεικά:

245 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Α lim τιστοίχως lim, τότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο Έστω η συάρτηση 6 κι η ευθεί C g Σχ 6 Επειδή lim [ g ] lim, κθώς το τείει στο, οι τιμές της προσεγγίζου τις τιμές της g Δηλδή, η γρφική πράστση Ο της προσεγγίζει τη ευθεί Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η ευθεί είι σύμπτωτη πλάγι της C στο Γεικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Η ευθεί λ β λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, τιστοίχως lim [ λ β], lim [ λ β] Η σύμπτωτη λ β είι οριζότι λ, εώ λ λέγετι πλάγι σύμπτωτη Γι το προσδιορισμό τω συμπτώτω μις συάρτησης ισχύει το πρκάτω θεώρημ, του οποίου η πόδειξη πρλείπετι ΘΕΩΡΗΜΑ Η ευθεί λ β είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, κι μόο τιστοίχως ΣΧΟΛΙΑ lim λ κι lim [ λ] β, lim λ κι lim [ λ] β

246 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Αποδεικύετι ότι: Οι πολυωυμικές συρτήσεις βθμού μεγλύτερου ή ίσου του δε έχου σύμπτωτες Οι ρητές συρτήσεις P Q, με βθμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστο κτά δύο του βθμού του προομστή, δε έχου πλάγιες σύμπτωτες Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δε είι συεχής Στο,, εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής,, τιστοίχως, ΕΦΑΡΜΟΓH N βρεθού οι σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της συάρτησης ΛΥΣΗ * Επειδή η έχει πεδίο ορισμού το κι ειι συεχής σ υτό, θ ζητήσουμε κτκόρυφη σύμπτωτη στο κι πλάγιες στο κι Είι lim κι lim, Άρ, η ευθεί είι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της Eξετάζουμε, τώρ, υπάρχει στο σύμπτωτη της μορφής λ β Έ- χουμε: lim lim, οπότε λ κι lim λ lim lim, οπότε β

247 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Επομέως, η ευθεί της στο Αάλογ βρίσκουμε ότι η ευθεί πράστσης της κι στο είι πλάγι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης είι πλάγι σύμπτωτη της γρφικής Κόες de L Hospital e Έστω η συάρτηση Γι εξετάσουμε η ευθεί είι κτκόρυφη σύμπτωτη της C, χρειάζετι υπολογίσουμε το e lim Πρτηρούμε ότι, εφρμόσουμε το κό του ορίου πηλίκου, προυσιάζετι προσδιοριστί της μορφής Οι μέθοδοι που εφρμόσμε στο κεφάλιο του ορίου γι τη άρση της προσδιοριστίς πλοποίηση κτλ δε εφρμόζοτι στο πιο πάω όριο ± Γι τ όρι πηλίκου που οδηγού σε προσδιόριστες μορφές,, ισχύου ± τ επόμε θεωρήμτ η πόδειξή τους πρλείπετι, που είι γωστά ως κόες de l Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α lim, lim g, {, } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο, τότε: lim g lim g lim g Έτσι το πρπάω όριο υπολογίζετι ως εξής: Έχουμε: lim e, lim κι e e lim lim Επομέως: e lim, που σημίει ότι η ευθεί είι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της

248 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α lim, lim g, {, } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο, τότε: lim g lim g lim g Γι πράδειγμ, ο υπολογισμός του Έχουμε: κι Επομέως: ΣΧΟΛΙΑ e lim γίετι ως εξής: lim e, lim e e lim lim e lim Το θεώρημ ισχύει κι γι τις μορφές,, Τ πρπάω θεωρήμτ ισχύου κι γι πλευρικά όρι κι μπορούμε, χρειάζετι, τ εφρμόσουμε περισσότερες φορές, ρκεί πληρούτι οι προϋποθέσεις τους ΕΦΑΡΜΟΓEΣ e Δίετι η συάρτηση Ν ποδειχτεί ότι: e i Η ευθεί είι σύμπτωτη της C στο ii Η ευθεί - είι σύμπτωτη της C στο ΑΠΟΔΕΙΞΗ i Αρκεί δείξουμε ότι lim [ ]

249 8 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πράγμτι, έχουμε e lim [ ] lim e ii Αρκεί δείξουμε ότι lim [ ] Πράγμτι, έχουμε e lim [ ] lim lim e e Ν βρεθού οι σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της συάρτησης ΛΥΣΗ e Επειδή η συάρτηση είι συεχής στο η γρφική της πράστση δε έχει κτκόρυφες σύμπτωτες Θ ζητήσουμε, επομέως, σύμπτωτες στο κι στο Γι είι η λ β σύμπτωτη της C στο, ρκεί τ όρι λ lim κι β lim [ λ] είι πργμτικοί ριθμοί Επειδή lim lim e, η C δε έχει σύμπτωτη στο Γι είι η λ β σύμπτωτη της C στο, ρκεί τ όρι λ lim κι β lim [ λ] είι πργμτικοί ριθμοί Έχουμε: λ lim lim κι e β lim [ λ] lim e lim e Κός De L Hospital lim e Άρ, η ευθεί, δηλδή ο άξος, είι σύμπτωτη της C στο

250 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 85 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε υπάρχου τις κτκόρυφες σύμπτωτες τω γρφικώ πρστάσεω τω συρτήσεω: i π π ii εφ,, iii iv,, > N βρείτε τις οριζότιες σύμπτωτες τω γρφικώ πρστάσεω τω συρτήσεω: i ii N βρείτε τις σύμπτωτες τω γρφικώ πρστάσεω τω συρτήσεω: i ii iii N υπολογίσετε τ πρκάτω όρι: i lim ημ ln συ ii lim iii ημ lim συ B ΟΜΑΔΑΣ Δίετι η συάρτηση κι οι ευθείες ε : κι ε : Ν ποδείξετε ότι i H ε είι σύμπτωτη της της C στο C στο, εώ η ε είι σύμπτωτη ii Γι κάθε ισχύει > κι στη συέχει ποδείξετε ότι η C βρίσκετι πάω πό τη ε κοτά στο κι πάω πό τη ε κοτά στο

251 86 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ν βρείτε τις σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της ότ: i ii ln N βρείτε τις τιμές τω, β, ώστε η συάρτηση ημ β e είι πργωγίσιμη στο,, > ln, < Δίετι η συάρτηση, Ν ποδείξετε ότι: i η είι συεχής ii 5 Δίοτι οι συρτήσεις ln, κι, Ν ποδείξετε ότι:, g ln, > i Η είι συεχής κι πργωγίσιμη στο, εώ ii Η g είι συεχής λλά μη πργωγίσιμη στο 6 Δίετι η συάρτηση, e ln,,] i Ν υπολογίσετε τ όρι e lim κι lim ln ii N ποδείξετε ότι η είι συεχής στο iii Ν βρείτε τη εξίσωση της εφπτομέης της O, C στο σημείο

252 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 87 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Στη πράγρφο υτή θ δούμε πώς, με τη βοήθει τω πληροφοριώ που ποκτήσμε μέχρι τώρ, μπορούμε χράξουμε τη γρφική πράστση μις συάρτησης με ικοποιητική κρίβει Η πορεί τη οποί κολουθούμε λέγετι μελέτη της συάρτησης κι περιλμβάει τ πρκάτω βήμτ: ο Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της o Eξετάζουμε τη συέχει της στο πεδίο ορισμού της ο Βρίσκουμε τις πργώγους κι κι κτσκευάζουμε τους πίκες τω προσήμω τους Με τη βοήθει του προσήμου της προσδιορίζουμε τ διστήμτ μοοτοίς κι τ τοπικά κρόττ της, εώ με τη βοήθει του προσήμου της κθορίζουμε τ διστήμτ στ οποί η είι κυρτή ή κοίλη κι βρίσκουμε τ σημεί κμπής ο Μελετούμε τη συμπεριφορά της συάρτησης στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της ορικές τιμές, σύμπτωτες, κτλ 5ο Συγκετρώουμε τ πρπάω συμπεράσμτ σ έ συοπτικό πίκ που λέγετι κι πίκς μετβολώ της κι με τη βοήθειά του χράσσουμε τη γρφική πράστση της Γι κλύτερη σχεδίση της C κτσκευάζουμε έ- πίκ τιμώ της ΣΧΟΛΙΟ Όπως είι γωστό, μι συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α είι ά ρ τ ι, τότε η C έχει άξο συμμετρίς το άξο, εώ είι π ε ρ ιτ τ ή, η C έχει κέτρο συμμετρίς τη ρχή τω ξόω Ο Επομέως, γι τη μελέτη μις τέτοις συάρτησης μπορούμε περιοριστούμε στ A, με Α μι συάρτηση είι π ε ρ ι ο δ ι κ ή με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμε τη μελέτη της C σ έ διάστημ πλάτους Τ ΕΦΑΡΜΟΓEΣ Ν μελετηθεί κι πρστθεί γρφικά η συάρτηση

253 88 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΣΗ H έχει πεδίο ορισμού το Η είι συεχής στο ως πολυωυμική Έχουμε Οι ρίζες της είι οι, διπλή κι το πρόσημό της δίοτι στο διπλό πίκ, πό το οποίο προσδιορίζουμε τ διστήμτ μοοτοίς κι τ τοπικά κρόττ Έχουμε επίσης 6 ΤΕ Οι ρίζες της είι οι, κι το πρόσημό της δίοτι στο διπλό πίκ, πό το οποίο προσδιορίζουμε τ διστήμτ στ οποί η είι κυρτή ή κοίλη κι βρίσκουμε τ σημεί κμπής Η συάρτηση δε έχει σύμπτωτες στο κι, φού είι πολυωυμική τέτρτου βθμού Είι όμως: 5 ΣΚ ΣΚ κι lim lim lim lim 5 Σχημτίζουμε το πίκ μετβολώ της κι χράσσουμε τη γρφική πράστση της 7 O -5 ΣΚ 5 ΣΚ 6 ΤΕ -6

254 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 89 Ν μελετηθεί κι πρστθεί γρφικά η συάρτηση ΛΥΣΗ H έχει πεδίο ορισμού το { } Η είι συεχής ως ρητή Έχουμε Οι ρίζες της είι, κι το πρόσημό της δίοτι στο διπλό πίκ, πό το οποίο προσδιορίζουμε τ διστήμτ μοοτοίς κι τ κρόττ ΤΜ 5 ΤΕ Έχουμε επίσης 8 Η δε έχει ρίζες κι το πρόσημό της δίετι στο διπλό πίκ, πό το οποίο προσδιορίζουμε τ διστήμτ στ οποί η είι κυρτή ή κοίλη Επειδή lim, lim, η ευθεί είι κτκόρυφη σύμπτωτη της C Εξετάζουμε τώρ υπάρχει στο σύμπτωτη της μορφής με: lim lim, οπότε λ κι lim λ lim lim Επομέως, η ευθεί Αάλογ βρίσκουμε ότι η ευθεί Επίσης έχουμε:, οπότε β είι σύμπτωτη της C στο λ β Έχου- είι σύμπτωτη της C κι στο

255 9 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ lim lim κι lim lim 5 Σχημτίζουμε το πίκ μετβολώ της κι χράσσουμε τη γρφική της πράστση 8 ΤΜ 5 ΤΕ 5 - O - - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N μελετήσετε κι πρστήσετε γρφικά τις συρτήσεις: i 9 ii Oμοίως τις συρτήσεις: iii i ii Ν μελετήσετε κι πρστήσετε γρφικά τη συάρτηση ημ στο διάστημ [ π, π]

256 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ i Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω κι g,, έχου κοιή εφπτομέη στο σημείο A, ii Ν βρείτε τη σχετική θέση τω C κι Α, g είι πργωγίσιμες συρτήσεις στο, με ποδείξετε ότι C στο διάστημ, g κι > g γι κάθε, < g στο, κι > g στο, Ισοσκελές τρίγωο είι εγγεγρμμέο σε κύκλο με κτί Α θ είι η γωί μετξύ τω ίσω πλευρώ του τριγώου, ποδείξετε ότι το εμβδό του είι E συθ ημθ Ν βρείτε τη τιμή της γωίς θ, π γι τη οποί εμβδό του τριγώου μεγιστοποιείτι g Έ σύρμ μήκους m διτίθετι γι τη περίφρξη εός θόκηπου σχήμτος κυκλικού τομέ Ν βρείτε τη κτί r του κύκλου, επιθυμούμε έχουμε τη μεγλύτερη δυτή επιφάει του κήπου θ Ο r 5 Δύο διάδρομοι πλάτους m τέμοτι κάθετ Σχήμ Ν βρείτε το μεγλύτερο δυτό μήκος μις σκάλς που μπορεί, μετφερθεί οριζότι, στρίψει στη γωί Υπόδειξη: i Ν εκφράσετε τ ΟΑ, ΟΒ συρτήσει της γωίς θ, m Α θ Γ Ο Δ θ Β m

257 9 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ π < θ < ii Ν ποδείξετε ότι ΑΒ θ ημθ συθ iii Ν βρείτε τη τιμή της γωίς θ, γι τη οποί το ΑΒ γίετι ελάχιστο 6 i Ν μελετήσετε κι πρστήσετε γρφικά τη συάρτηση ln ii Ν ποδείξετε ότι > γι κάθε > e iii Ν ποδείξετε ότι γι > ισχύει κι στη συέχει ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο κριβώς λύσεις, τις, 7 i Α, β > κι γι κάθε ισχύει β, ποδείξετε ότι β ii Α > κι γι κάθε ισχύει, ποδείξετε ότι e 8 i Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση g ln είι κοίλη ii Ν βρείτε τη εφπτομέη της C στο σημείο A, κι της C g στο B, iii Ν ποδείξετε ότι: e, β ln,, Πότε ισχύου οι ισότητες; iv Η C βρίσκετι πάω πό τη C g 9 i Ν βρείτε τη ελάχιστη τιμή της συάρτησης e είι κυρτή, εώ η e λ, λ > ii Ν βρείτε τη μεγλύτερη τιμή του λ > γι τη οποί ισχύει e λ, γι κάθε iii Γι τη τιμή του λ που θ βρείτε πρπάω ποδείξετε ότι η ευθεί λ εφάπτετι της γρφικής πράστσης της συάρτησης g e

258 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Δίετι η συάρτηση ημ,, O Ν ποδείξετε ότι i Η είι πργωγίσιμη στο κι στη συέχει ότι η ευθεί ο άξος είι η εφπτομέη της C στο O, ii Ο άξος εφάπτετι της έχει με τη C άπειρ κοιά σημεί, πρόλο που C iii Η ευθεί είι σύμπτωτη της C στο κι στο A Έστω μι συάρτηση φ τέτοι, ώστε φ, φ κι φ φ γι κάθε Ν ποδείξετε ότι: i Η συάρτηση ψ [ φ ] [ φ ] είι στθερή στο κι βρείτε το τύπο της ii φ γι κάθε Β Έστω δύο συρτήσεις κι g τέτοιες ώστε:, κι γι κάθε g, g κι g g γι κάθε Ν ποδείξετε ότι:

259 9 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ i Οι συρτήσεις φ ημ κι ψ g συ ικοποιού τις υποθέσεις του ερωτήμτος Α ii ημ κι g συ γι κάθε Στο διπλό σχήμ ο κύκλος έχει κτί cm κι η ε εφάπτετι σε υτό στο σημείο Α Το τόξο ΑΜ είι θ rad κι το ευθ τμήμ ΑΝ είι θ cm Η ευθεί ΜΝ τέμει το άξο στο σημείο P, Ν δείξετε ότι: P, Ο θ Μ N,θ Α, θσυθ ημθ i θ θ ημθ ii lim θ θ Ές πεζοπόρος Π ξεκιάει πό έ σημείο Α κι βδίζει γύρω πό μι κυκλική λίμη κτίς ρ km με τχύτητ υ km/h A S είι το μήκος του τόξου ΑΠ κι το μήκος της πόστσης ΑΠ του πεζοπόρου πό το σημείο εκκίησης τη χροική στιμή t: A Ν ποδείξετε ότι S θ i θ κι ημ, ii S t, θ t κι ημt km/h Π l θ Ο km s Α Β Ν βρείτε το ρυθμό μετβολής της πόστσης Ποιος είι ο ρυθμός μετβολής της πόστσης, ότ π θ, β θ π κι γ π θ ; Ές γρότης θέλει προσλάβει εργάτες γι μζέψου 5 κιλά τομάτες Κάθε εργάτης μζεύει 5 κιλά τη ώρ κι πληρώετι 8 δρχ τη ώρ Γι το συτοισμό κι επιστσί τω εργτώ ο γρότης θ προσλάβει κι έ επιστάτη το οποίο θ πληρώει δρχ τη ώρ Ο γρότης, επιπλέο, θ πληρώσει στο σωμτείο τω εργτώ εισφορά δρχ γι το επιστάτη κι κάθε εργάτη Ν βρείτε πόσους εργάτες πρέπει προσλάβει ο γρότης γι του κοστίσει το ελάχιστο δυτό κι ποιο θ είι το ελάχιστο κόστος

260 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 95 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις κυκλώσετε το γράμμ Α, ο ισχυρισμός είι ληθής κι το γράμμ Ψ, ο ισχυρισμός είι ψευδής δικιολογώτς συγχρόως τη πάτηση σς Ι Α η συάρτηση είι συεχής στο [,], πργωγίσιμη στο, κι γι όλ τ,, τότε Α η συάρτηση πργωγίζετι στο [, β] με β <, τότε υπάρχει, β τέτοιο, ώστε < Α οι, g είι συρτήσεις πργωγίσιμες στο [, β], με g κι β g β, τότε υπάρχει, β τέτοιο, ώστε στ σημεί A, κι B, g οι εφπτόμεες είι πράλληλες Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α γι κάθε, τότε: το είι τοπικό μέγιστο της A Ψ β το είι τοπικό ελάχιστο της Α Ψ 5 Η γρφική πράστση μις πολυωυμικής συάρτησης άρτιου βθμού έχει πάτοτε οριζότι εφπτομέη β Η γρφική πράστση μις πολυωυμικής συάρτησης περιττού βθμού έχει πάτοτε οριζότι εφπτομέη 6 Η συάρτηση β γ δ με, β, γ, δ κι έχει πάτ έ σημείο κμπής 7 Α οι συρτήσεις, g έχου στο σημείο κμπής, τότε κι η h g έχει στο σημείο κμπής Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ

261 96 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Δίετι ότι η συάρτηση πργωγίζετι στο κι ότι η γρφική της πράστση είι πάω πό το άξο Α υπάρχει κάποιο σημείο A, της C του οποίου η πόστση πό το άξο είι μέγιστη ή ελάχιστη, τότε σε Α Ψ υτό το σημείο η εφπτομέη της C είι οριζότι 9 Η ευθεί είι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της συάρτησης: Α Ψ β g Α Ψ Α γρφική πράστση της συάρτησης δίετι πό το πρκάτω σχήμ, τότε: O i το πεδίο ορισμού της είι το, Α Ψ ii το πεδίο ορισμού της είι το [, ] Α Ψ iii > γι κάθε, Α Ψ iv υπάρχει, : Α Ψ Η συάρτηση έχει: μι, τουλάχιστο, ρίζ στο, Α Ψ β μι, κριβώς, ρίζ στο, Α Ψ γ τρεις πργμτικές ρίζες Α Ψ Α γι τις πργωγίσιμες στο συρτήσεις, g ισχύου,, 5 6, g 5, g, g, τότε g g Α Ψ ΙI

262 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 97 Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις κυκλώσετε τη σωστή πάτηση Το Α π π εφ h εφ 6 6 lim h h Β ισούτι με: Γ Δ Ε Το lim h ισούτι με: h h Α Β Γ Δ Ε Α Α Δ 5 τότε η 5 Β ισούτι με: 5 Ε 5 ln5 5 Γ ln 5 5 Α συ τότε η π ισούτι με: Α συ π ημ π Β συ π Γ συ π ημ π Δ π συ π 5 Α τότε η έβδομη πράγωγος υτής στο ισούτι με: Α Β Γ Δ 7 Ε δε υπάρχει 6 Α οι εφπτόμεες τω συρτήσεω ln κι g στ σημεί με τετμημέη είι πράλληλες, τότε το είι: 7 Α Α Β Γ β e, g e κι g, τότε το β ως συάρ- g τηση του ισούτι με: Α Δ Β Ε Δ Ε Γ

263 98 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Α > γι κάθε [,] κι, τότε: Α Β > Γ > Δ ΙΙΙ Ν τιστοιχίσετε κθεμιά πό τις συρτήσεις, β, γ, δ σε εκείη πό τις συρτήσεις Α, Β, Γ, Δ, Ε, Z που ομίζετε ότι είι η πράγωγός της a β γ O δ O O Α Β Γ O O O -

264 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 99 Δ Ε Ζ O O O Κθεμιά πό τις πρκάτω συρτήσεις τιστοιχίσετε στη ευθεί που είι σύμπτωτη της γρφικής της πράστσης στο ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ Α e Β Γ Δ Ε

265 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έοι της πργώγου Οι ρχίοι Έλληες οόμζ εφπτομέη μις κμπύλης τη ευθεί που έχει έ μόο κοιό σημείο μ υτή, χωρίς τη τέμει κι τη κτσκεύζ με βάση γεωμετρικές ιδιότητες που πορρέου π υτό το ορισμό Έτσι ήτ γωστός ο τρόπος κτσκευής εφπτομέω στο κύκλο κι τις κωικές τομές έλλειψη, πρβολή, υπερβολή Επίσης, με προσφυγή σε κιημτικές μεθόδους, ο Αρχιμήδης είχε επιοήσει μέθοδο κτσκευής της εφπτομέης μις κμπύλης που είι σήμερ γωστή ως έλικ του Αρχιμήδη Η επόμεη εξέλιξη στο ζήτημ υτό έγιε στις ρχές του 7ου ιώ, ό- τ άρχισε η συστημτική εφρμογή λγεβρικώ μεθόδω στη γεωμετρί Το επόμεο πράδειγμ δείχει το τρόπο με το οποίο η Άλγεβρ εφρμόζετι στο προσδιορισμό της εφπτομέης μις πρβολής Έστω η εξίσωση μις πρβολής με κορυφή τη ρχή ε τω ξόω κι M, έ Ν σημείο της, στο οποίο ζητείτι Μ κτσκευστεί μι εφπτομέη ε Σ Η κτσκευή υτή μπορεί γίει O T P προσδιορίσουμε έ άλλο χρκτηριστικό σημείο της ε, όπως h πχ το σημείο Τ στο οποίο τέμει το άξο τω τετμημέω Θεωρούμε έ άλλο σημείο της πρβολής, το N,, πολύ γειτοικό του Μ, τέτοιο ώστε h το h θεωρείτι εδώ μι πειροελάχιστη μετβολή του Στη περίπτωση υτή τ ορθογώι τρίγω ΜΡΤ κι ΝΣΤ μπορού θεωρηθού κτά προσέγγιση όμοι κι άρ θ ισχύει κτά προσέγγιση η λογί NΣ ΣΤ Α θέσουμε ΤΡ s, τότε διδοχικά θ ισχύει: ΜΡ ΤΡ s h h h ή ή ή s s s h s Το πρώτο μέλος υτής της κτά προσέγγιση ισότητς γράφετι: h h h h h h h h h κι έτσι η γίετι h Α τώρ θέσουμε, όπως οι μθημτικοί του 7ου ιώ, h βρίσκουμε πό τη τελευτί ότι ή s s

266 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ s Γωρίζοτς λοιπό το σημείο επφής M,, προσδιορί- ζουμε πό τη τελευτί το μήκος TP s που μς δίει μέσως το σημείο Τ Η ευθεί ΜΤ είι η ζητούμεη εφπτομέη της πρβολής Η προηγούμεη διδικσί ήτ ές πό τους δρόμους που οδήγησ ιστορικά, στη έοι της πργώγου Κόες πργώγισης Στο δεύτερο μισό του 7ου ιώ, οι μθημτικοί είχ κτορθώσει μετσχημτίσου όλη τη μκροσκελή διδικσί πργώγισης σε εφρμογή ορισμέω κόω κι τύπω, με τη βοήθει κτάλληλ επιλεγμέω συμβόλω Πρωτοπόροι προς υτή τη κτεύθυση υπήρξ οι I Newton κι ο G Leibniz O Leibniz συμβόλιζε τη πειροελάχιστη μετβολή μις ποσότητς με d διφορικό του έτσι, πχ γι τη συάρτηση του προηγούμεου πρδείγμτος, η τίστοιχη μετβολή του διφορικό του ήτ: d d d d d d d Πρλείποτς τη πολύ μικρή συγκριόμεη με τις άλλες ποσότητ d προέκυπτε η d d εδώ η πράγωγος οομάζοτ διφορικός συτελεστής κι τελικά η d d, ές συμβολισμός που διτηρείτι μέχρι σήμερ, χωρίς όμως έχει όημ πηλίκου Με το τρόπο υτό ο Leibniz πέδειξε το 677 το κό γι το υπολογισμό της μετβολής του γιομέου δύο μετβλητώ κι, που ποτελεί μι πρωτόγοη μορφή του σημεριού κό της πργώγου εός γιομέου συρτήσεω d d d d d dd d d dd Πρλείποτς κι εδώ τη πολύ μικρή ποσότητ dd, πίρουμε τη σχέση d d d Με τη εισγωγή κι κθιέρωση υτώ τω κόω κι συμβολισμώ, η έοι της πργώγου εξελίχθηκε σ έ εξιρετικά ποτελεσμτικό εργλείο κι διεύρυε σε μεγάλο βθμό τις εφρμογές της μθημτικής - άλυσης Πράλληλ όμως, οι σάφειες που επισημάμε ποτελούσ μι διρκή πρόκληση γι τους μθημτικούς που τιμετώπιζ με κριτικό πεύμ τ θεμέλι της επιστήμης τους Ο πρώτος υστηρός ορισμός υτής της έοις, που στηρίζετι στη έοι του ορίου, δόθηκε γι πρώτη φορά το 8 πό το AL Cauch:

267 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ότ η συάρτηση πρμέει συεχής σ έ διάστημ της μετβλητής κι δοθεί σ υτή τη μετβλητή μι τιμή που ήκει σ υτό το διάστημ, τότε κάθε πειροελάχιστη ύξηση της μετβλητής πράγει μι πειροελάχιστη ύξηση της συάρτησης Συεπώς, τεθεί Δ i, τότε οι δυο όροι του πηλίκου διφορώ Δ i Δ i θ είι πειροελάχιστες ποσότητες Αλλά εώ υτοί οι δυο όροι θ προσεγγίζου επ άπειρο κι τυτόχρο το όριο μηδέ, το πηλίκο μπορεί συγκλίει προς κάποιο άλλο όριο, θετικό ή ρητικό, Αυτό το όριο, ότ υπάρχει έχει μι ορισμέη τιμή γι κάθε συγκεκριμέο, λλά μετβάλλετι μζί με το Η μορφή της ές συάρτησης που θ εκφράζει το όριο του λόγου i i θ εξρτάτι πό τη μορφή της δοσμέης συάρτησης Γι ξεχωρίσουμε υτή τη εξάρτηση, δίουμε στη έ συάρτηση το όομ πράγωγος συάρτηση κι τη συμβολίζουμε, με τη βοήθει εός τόου, ή Με φετηρί υτό το ορισμό, ο Cauch υπολόγισε τις πργώγους τω βσικώ συρτήσεω κι πέδειξε τους κόες της πργώγισης Πχ γι το ιδιίτερ σημτικό κό της πργώγου μις σύθετης συάρτησης, έδωσε τη κόλουθη πόδειξη: Έστω z μι δεύτερη συάρτηση του, συδεόμεη με τη πρώτη μέσω του τύπου z F Η z ή F [ ] είι υτή που οομάζετι συάρτηση μις συάρτησης της μετβλητής κι οι πειροελάχιστες κι τυτόχροες υξήσεις τω, κι z συμβολιστού με Δ, Δ, Δ z τίστοιχ, τότε θ είι Δz F Δ F F Δ F Δ Δ Δ Δ Δ Από υτή, περώτς στ όρι, έχουμε z F F [ ] * * Έ δύτο σημείο υτής της πόδειξης, που φορά τη ισότητ, είι ότι γι μικρές, μη μηδεικές τιμές του Δ, μπορεί ισχύει Δ Δ

268 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Εισγωγή Η δημιουργί τω μιγδικώ ριθμώ οφείλετι στη προσπάθει επίλυσης τω β εξισώσεω ου βθμού Α στη a β γ δ θέσουμε κι a εκτελέσουμε τις πράξεις, τότε προκύπτει μι εξίσωση της μορφής p q Στις ρχές του 6ου ιώ οι Ιτλοί λγεβριστές S del Ferro κι N Tartaglia κάλυψ μι μέθοδο επίλυσης τέτοιω εξισώσεω, που με σημεριό συμβολισμό ισοδυμεί με το τύπο q q q p D D, όπου D Στη περίπτωση που η δικρίουσ D είι θετική, ο τύπος υτός δίει μέσως μι ρίζ της εξίσωσης Γι πράδειγμ, στη 9 8 είι D 69 κι ο τύπος δίει, που είι η μοδική πργμτική ρίζ Διπιστώθηκε, ό- μως, τότε έ φιόμεο τελείως διφορετικό πό τη περίπτωση τω εξισώσεω ου βθμού: Υπάρχου εξισώσεις με πργμτικές ρίζες, όπως, γι πράδειγμ, η 5, που έχει μι προφή ρίζ το οι άλλες δύο είι οι,, λλά η δικρίουσ D είι ρητική! Ο τύπος στη συγκεκριμέη περίπτωση δίει Όπως είι φερό, οι μθημτικοί βρέθηκ, εδώ, μπροστά σε έ δίλημμ: ή θ έπρεπε εγκτλείψου τη μέθοδο τω Ferro-Tartaglia ως γεική μέθοδο επίλυσης εξισώσεω ου βθμού ή δεχτού ότι ές συγκεκριμέος ριθμός, όπως το, μπορεί εκφρστεί με πρστάσεις που περιέχου τετργωικές ρίζες ρητικώ ριθμώ Η δεύτερη άποψη φιότ διόητη λλά υτό δε To κεφάλιο υτό έχει ληφθεί πό το βιβλίο: «Μθημτικά Β Τάξης Ειίου Λυκείου Θετικής Κτεύθυσης» τω: Αδμόπουλου Λ, Βισκδουράκη Β, Γβλά Δ, Πολύζου Γ κι Σβέρκου Α

269 86 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ εμπόδισε τη εφρμογή τω λγεβρικώ πράξεω σε τέτοιες πρστάσεις Στ μέσ του 6ου ιώ ο R Bombelli, κάοτς τολμηρές υποθέσεις, βρήκε ότι ισχύει κι Ατικθιστώτς υτές τις ισότητες στη προκύπτει μέσως ότι, δηλδή το διόητο γίετι πργμτικότητ! Οι ριθμοί της μορφής a βi με i, που οομάστηκ ρχικά φτστικοί κι ργότερ μιγδικοί, έγι πό τότε πόσπστο εργλείο τω Μθημτικώ κι τω εφρμογώ τους στις άλλες επιστήμες Ο J Hadamard, ο οποίος το 896 πέδειξε με χρήση της μιγδικής άλυσης το θεώρημ τω πρώτω ριθμώ, έγρψε ότι: Ο συτομότερος δρόμος άμεσ σε δύο λήθειες στο πεδίο τω πργμτικώ περά μέσ πό το πεδίο τω μιγδικώ Το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθμώ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμι εξίσωση με ρητική δικρίουσ δε έχει λύση στο σύολο τω πργμτικώ ριθμώ Ειδικότερ η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πργμτικώ ριθμώ, φού το τετράγωο κάθε πργμτικού ριθμού είι μη ρητικός ριθμός Γι ξεπεράσουμε τη δυμί υτή, διευρύουμε το σύολο σε έ σύολο, το οποίο έχει τις ίδιες πράξεις με το, τις ίδιες ιδιότητες τω πράξεω υτώ κι στο οποίο υπάρχει μί τουλάχιστο ρίζ της εξίσωσης, δηλδή έ στοιχείο i, τέτοιο, ώστε i Σύμφω με τις πρδοχές υτές το διευρυμέο σύολο θ έχει ως στοιχεί: Όλους τους πργμτικούς ριθμούς Όλ τ στοιχεί της μορφής το i κι β i, που είι γιόμε τω στοιχείω του με Όλ τ θροίσμτ της μορφής βi, με κι β πργμτικούς ριθμούς Τ στοιχεί του λέγοτι μιγδικοί ριθμοί κι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ Επομέως: Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι, ώστε έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο, με το μηδέ είι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έ το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού, Υπάρχει έ στοιχείο i τέτοιο, ώστε i, Κάθε στοιχείο z του γράφετι κτά μοδικό τρόπο με τη μορφή z βi, όπου, β

270 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 87 Η έκφρση βi,, β είι κριβώς ό,τι λέμε μιγδικό ριθμό Είι η σύθεση δύο ριθμώ, του πργμτικού κι του β i, το οποίο οομάζουμε φτστικό ριθμό Ο λέγετι πργμτικό μέρος του z κι σημειώετι Rez, εώ ο β λέγετι φτστικό μέρος του z κι σημειώετι Imz Επιπλέο, στο κάθε πργμτικός ριθμός εκφράζετι ως i, εώ κάθε φτστικός ριθμός β i εκφράζετι ως βi Στη συέχει, ότ λέμε ο μιγδικός z βi, εοούμε ότι οι κι β είι πργμτικοί ριθμοί κι το γεγοός υτό δε θ τοίζετι ιδιίτερ Ισότητ Μιγδικώ Αριθμώ Επειδή κάθε μιγδικός ριθμός z γράφετι με μοδικό τρόπο στη μορφή βi, δύο μιγδικοί ριθμοί βi κι γ δi είι ίσοι, κι μόο γ κι β δ Δηλδή ισχύει: βi γ δi γ κι β δ Επομέως, επειδή i, έχουμε βi κι β Μετά το ορισμό της ισότητς μιγδικώ ριθμώ δημιουργείτι το ερώτημ διτάσσοτι οι μιγδικοί ριθμοί Γωρίζουμε ότι, κτά τη επέκτση πό το στο, οι πράξεις, η διάτξη κι οι ιδιότητες υτώ οι οποίες ισχύου στο, μετφέροτι κι στο Τ ίδι συμβίου κι γι τις επεκτάσεις πό το στο κι πό το στο Στη επέκτση, όμως, πό το στο, εώ οι πράξεις κι οι ιδιότητες υτώ που ισχύου στο εξκολουθού ισχύου κι στο, ε τούτοις η διάτξη κι οι ιδιότητές της δε μετφέροτι Γεωμετρική Πράστση Μιγδικώ Kάθε μιγδικό ριθμό βi μπορούμε το τιστοιχίσουμε στο σημείο M, β εός κρτεσιού επιπέδου Αλλά κι τιστρόφως, κάθε σημείο M, β του κρτεσιού υτού επιπέδου μπορούμε το τιστοιχίσουμε στο μιγδικό βi Το σημείο M λέγετι εικό του μιγδικού βi A θέσουμε z βi, τότε το σημείο M, β μπορούμε το συμβολίζουμε κι με M z Ο a Έ κρτεσιό επίπεδο του οποίου τ σημεί είι εικόες μιγδικώ ριθμώ θ φέρετι ως μιγδικό επίπεδο Ο άξος λέγετι πργμτικός άξος, φού ήκου σε υτό τ σημεί M, που είι εικόες τω πργμτιβ M,β ή Μz

271 88 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ κώ ριθμώ i, εώ ο άξος λέγετι φτστικός άξος, φού ήκου σε υτό τ σημεί M, β που είι εικόες τω φτστικώ β i βi Ές μιγδικός OM, του σημείου M, β z βi πριστάετι επίσης κι με τη διυσμτική κτί, ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφω με το ορισμό του, η πρόσθεση κι ο πολλπλσισμός δύο μιγδικώ ριθμώ γίοτι όπως κριβώς κι οι τίστοιχες πράξεις με διώυμ β στο, όπου βέβι τί γι έχουμε το i Έτσι: Γι τη πρόσθεση δύο μιγδικώ ριθμώ βi κι γ δi έχουμε: βi γ δi γ β δ i Γι πράδειγμ, i 5 6i 5 6 i 8 i Γι τη φίρεση του μιγδικού ριθμού γ δi πό το βi, επειδή ο - τίθετος του μιγδικού γ δi είι ο μιγδικός γ δi, έχουμε: Δηλδή Γι πράδειγμ βi γ δi βi γ δi γ β δ i βi γ δi γ β δ i i 5 6i 5 6 i i

272 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 89 Α M, κι M γ, είι οι εικόες τω β δ βi κι γ δi τιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο, τότε το άθροισμ βi γ δi γ β δ i M γ,δ Mγ, βδ πριστάετι με το σημείο M γ, β δ Επομέως, OM OM OM, δηλδή: M,β Ο Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ βi κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Μ γ,δ Επίσης, η διφορά βi γ δi γ β δ i Μ,β πριστάετι με το σημείο N γ, β δ Ο Επομέως, ON OM OM, δηλδή: Νγ,βδ Μ γ,δ Η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ βi κι γ δi είι η διφορά τω διυσμτικώ κτίω τους Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ βi κι γ δi έχουμε: βi γ δi γ δi βi γ δi γ δi βγi βi δi γ δi βγi βδi γ δi βγi βδ γ βδ δ βγ i Δηλδή, βi γ δi γ βδ δ βγ i Γι πράδειγμ, i 5 6i 5 8i i i 5 8 i 9 i

273 9 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Ειδικότερ, έχουμε: του βi βi Ο ριθμός βi β βi κι συμβολίζετι με βi Δηλδή, βi βi λέγετι συζυγής Επειδή είι κι βi βi, οι βi, βi λέγοτι συζυγείς μιγδικοί βi Τέλος, γι εκφράσουμε το πηλίκο, όπου γ δi, στη μορφή γ δi κ λi, πολλπλσιάζουμε τους όρους του κλάσμτος με το συζυγή του προομστή κι έχουμε: βi βi γ δi γ βδ βγ δ i γ βδ βγ δ i γ δi γ δi γ δi γ δ γ δ γ δ Δηλδή, βi γ δi γ βδ βγ δ i γ δ γ δ Γι πράδειγμ: i i i 6i i i i i i 9 7i 7 i Δύμη Μιγδικού Οι δυάμεις εός μιγδικού ριθμού z με εκθέτη κέριο ορίζοτι κριβώς όπως κι στους πργμτικούς, δηλδή ορίζουμε: z z, z z z,, κι γεικά z z z, γι κάθε θετικο κέριο, με > Επίσης, z, ορίζουμε z, z γι κάθε θετικό κέριο z Γι τις δυάμεις τω μιγδικώ ριθμώ ισχύου οι ίδιες ιδιότητες που ισχύου κι γι τις δυάμεις τω πργμτικώ ριθμώ Ιδιίτερ γι τις δυάμεις του i έχουμε: i, i i, i, i i i i Στη συέχει, πρτηρούμε ότι είι: i i i 5 6 7, i i i i i, i i i i, i i i i i, δηλδή, μετά το i οι τιμές του i επλμβάοτι Άρ, γι υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύμη του i, γράφουμε το εκθέτη στη μορφή ρ υ, όπου ρ το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το, οπότε έχουμε:

274 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 i i ρ υ i i ρ υ ρ i i υ ρ i υ i υ i - i,,,, υ υ υ υ Γι πράδειγμ: i i i i 9 i i i i 6 i i 5 i i i i Ιδιότητες Συζυγώ Επειδή οι συζυγείς μιγδικοί, όπως θ δούμε στις επόμεες πργράφους, μς διευκολύου στη μελέτη τω μιγδικώ ριθμώ, θ φερθούμε ιδιιτέρως σε υτούς Στο μιγδικό επίπεδο οι εικόες M, β κι M, β δύο συζυγώ μιγδικώ z βi κι z βi είι σημεί συμμετρικά ως προς το πργμτικό άξο Mz Ο M z Γι δύο συζυγείς μιγδικούς ριθμούς z βi κι z βi μπορούμε εύκολ, με εκτέλεση τω πράξεω, διπιστώσουμε ότι: z z z z βi Α z βi κι z γ δi είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: z z z z z z z z z z z z z z z z

275 9 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Οι ιδιότητες υτές μπορού ποδειχτού με εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγμ έχουμε: z z βi γ δi γ β δ i γ β δ i βi γ δi z z Οι πρπάω ιδιότητες κι ισχύου κι γι περισσότερους πό δυο μιγδικούς ριθμούς Είι δηλδή: z z z z z z z z z z z z Ιδιίτερ, είι z z z z, τότε η τελευτί ισότητ γίετι: z z Γι πράδειγμ, i 5i i 5i i 5i Επίλυση της Εξίσωσης z βz γ με, β,γ κι Επειδή i κι i i, η εξίσωση έχει στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ δύο λύσεις, τις i κι i Ομοίως, η εξίσωση έχει στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ δύο λύσεις, τις i κι i, φού z z i z i z i ή z i Εύκολ, όμως, μπορούμε διπιστώσουμε ότι κι κάθε εξίσωση δεύτερου βθμού με πργμτικούς συτελεστές έχει πάτ λύση στο σύολο C Πράγμτι, έστω η εξίσωση z βz γ, με, β, γ κι Εργζόμστε όπως στη τίστοιχη περίπτωση στο κι τη μετσχημτίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώω, στη μορφή: Δ β γ η δικρίουσ της εξίσωσης Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώ- όπου σεις: β Δ z, Δ > Tότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: z, β ± Δ

276 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 Δ Tότε έχει μι διπλή πργμτική λύση: Δ < Tότε, επειδή, η εξίσωση γρά- β φετι: i z Δ Άρ οι λύσεις της είι: β z Δ Δ i Δ ι Δ z, β ± i Δ, οι οποίες είι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί Γι πράδειγμ, η εξίσωση z 5z 6 έχει Δ 5 > κι οι λύσεις 5 5 της είι: z, z Όμως, η εξίσωση z z έχει Δ 8 < κι οι λύσεις της είι οι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί: i i z i, z i ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Πρτηρούμε ότι κι εδώ ισχύου οι σχέσεις: β z z κι γ z z ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Γι τις διάφορες τιμές του θετικού κέριου υπολογιστεί το άθροισμ S i i i i ΛΥΣΗ Οι προσθετέοι του θροίσμτος έχου πλήθος κι είι διδοχικοί όροι γεω- i μετρικής προόδου με πρώτο όρο i κι λόγο επίσης i Επομέως, S i, i οπότε, λόγω της ισότητς ρ υ της ευκλείδεις διίρεσης του με το, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: υ Τότε ρ, οπότε S i i

277 9 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ υ Τότε ρ, οπότε S i i i i υ Τότε ρ, οπότε S i i i i υ Τότε ρ, οπότε S i i i i i i i i i i Ν βρεθεί το σύολο τω εικόω τω μιγδικώ z στις περιπτώσεις κτά τις οποίες ο ριθμός είι φτστικός β πργμτικός z z i ΛΥΣΗ Α z i, τότε:

278 9 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ z i zi i i i Επομέως: z Ο ριθμός είι φτστικός, κι μόο, δηλδή, κι μόο κι ή, zi ισοδύμ, 5 κι,, Άρ, το σύολο τω εικόω του z είι τ σημεί του κύκλου με κέτρο 5 K, κι κτί, με εξίρεση το σημείο A, z β Ο ριθμός είι πργμτικός, κι μόο, δηλδή, zi κι μόο κι Άρ, το σύολο τω εικόω του z είι τ σημεί της ευθείς με εξίσωση, με εξίρεση το σημείο A, ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τις τιμές του λ, ώστε ο z λ i i είι: πργμτικός ριθμός β φτστικός ριθμός Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς, γι τους οποίους ισχύει: i i β 6 i i γ 9 7i i

279 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 95 Στο μιγδικό επίπεδο σημειώσετε τις εικόες κι τις διυσμτικές κτίες τω μιγδικώ ριθμώ: i,, i, i, i, i, 5, Ν περιγράψετε γεωμετρικά το σύολο τω εικόω τω μιγδικώ ριθμώ z που ικοποιού τις σχέσεις: Το πργμτικό μέρος του z είι ίσο με μηδέ β Το φτστικό μέρος του z είι ίσο με μηδέ γ Το πργμτικό μέρος του z είι ίσο με το φτστικό του μέρος 5 Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις εκτελέσετε τις πράξεις που σημειώοτι κι γράψετε το ποτέλεσμ στη μορφή βi 6i 7 i β i 6 i γ i 8 7i 5 i δ i 5i ε i 6 i στ i i ζ i i i 6 Ν γράψετε τους πρκάτω μιγδικούς στη μορφή βi : i β γ i i δ ε i i στ 7 Ν βρείτε τους,, γι τους οποίους ισχύει: i i i β i i i i γ i i i i 8 Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: i i i i i i i i i β 75 i 56 6 i i 6 i i 9 Ποιος είι ο z, ότ: z 5 7i β z 9i γ z i δ z ε z i στ z

280 96 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Με ποιες συμμετρίες μπορού προκύψου πό τη εικό του μιγδικού z i οι εικόες τω μιγδικώ z, z κι z ; 5 9i 5 9i Α z κι z, δείξετε ότι ο z z είι πργμτικός ριθμός, εώ ο z z 7 i 7 i φτστικός ριθμός Ν περιγράψετε γεωμετρικά το σύολο τω εικόω τω μιγδικώ ριθμώ z που ικοποιού τις πρκάτω σχέσεις: z z 6i β z z γ z z δ z z Ν λύσετε στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ τις εξισώσεις: β γ Α μι ρίζ της εξίσωσης β γ, όπου β, γ, είι i, βρείτε τις τιμές τω β κι γ Β ΟΜΑΔΑΣ Α, β, γ κι δ είι πργμτικοί ριθμοί, εξετάσετε πότε το πηλίκο είι πργμτικός ριθμός βi γ δi Α i z, βρείτε τη τιμή της πράστσης z z Ν βρείτε τη τιμή της πράστσης i i Πόσες διφορετικές τιμές μπορεί πάρει η πράστση i i ; 5 Ν λύσετε τις εξισώσεις z z β z z 6 Έστω ο μιγδικός z με z Ν δείξετε ότι ο z z είι πργμτι- z z z z κός κι ότι z z 7 Ν ποδείξετε ότι βi β i, όπου, β 8 Γι έ μιγδικό ριθμό z ποδείξετε ότι:

281 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 97 Ο z είι πργμτικός, κι μόο z z Ο z είι φτστικός, κι μόο β Α z κι z εί- z z μός u zz ι φτστικός z z z κι z z, ποδείξετε ότι ο ριθ- z είι πργμτικός, εώ ο ριθμός v z z z z 9 Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω τω μιγδικώ z γι τους οποίους ισχύει: Re z 5Re z β Im z Im z z z ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω M, η εικό του μιγδικού z i στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z τη πόστση του M πό τη ρχή O, δηλδή β 5 M, z OM z Γι πράδειγμ, i 5 Ο a Ότ ο μιγδικός z είι της μορφής z i, τότε z, που είι η γωστή μς πόλυτη τιμή του πργμτικού ριθμού Α z i, τότε z i κι z i Eπομέως, z z z z z z Οι επόμεες ιδιότητες φέροτι στις σχέσεις που συδέου το γιόμεο κι το πηλίκο μιγδικώ με τ μέτρ τους κι είι ίδιες με τις τίστοιχες ιδιότητες τω πόλυτω τιμώ πργμτικώ ριθμώ Α z, z είι μιγδικοί ριθμοί, τότε

282 98 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ z z z z z z z z Πράγμτι, έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ Γεικά, ποδεικύετι ότι z z z z z z M z κι ειδικότερ z z Τέλος, πό τη γωστή μς τριγωική ισότητ Mz z M z 6 κι πό τη γεωμετρική ερμηεί του θροίσμτος z z κι της διφοράς Ο z z δύο μιγδικώ προκύπτει ότι: z z z z z z M z Nz z Επίσης, είι φερό ότι το μέτρο του διύσμτος ON είι ίσο με το μέτρο του διύσμτος Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους Δηλδή: M M z z Έτσι, γι πράδειγμ, η εξίσωση z i επληθεύετι μόο πό τους μιγδικούς z που έχου τη ιδιότητ οι εικόες τους πέχου πό τη εικό του μιγδικού i, δηλδή πό το σημείο K,, πόστση μοάδες Επομέως, η εξίσωση υτή είι εξίσωση κύκλου με κέτρο το σημείο K, κι κτί ρ K, 7 Ο

283 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 99 Γεικά, η εξίσωση z z ρ, ρ > πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο Kz κι κτί ρ Επίσης, η εξίσωση z i z i επληθεύετι μόο πό τους μιγδικούς z που έχου τη ιδιότητ οι εικόες τους ισπέχου πό τις εικόες τω μιγδικώ i κι i, δηλδή πό τ σημεί A, κι B, Επομέως, η εξίσωση υτή είι εξίσωση της μεσοκθέτου του ευθύγρμμου τμήμτος K Λ Γεικά, η εξίσωση z z z z 8 B, A, Ο πριστάει τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ σημεί Az κι Bz ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α γι τους μιγδικούς z, z,, z ισχύει z z i i z z i i z i <, z i ποδειχτεί ότι κές πό υτούς δε είι πργμτικός ριθμός ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α ές πό τους z,,, z z, γι πράδειγμ ο κ z, ήτ πργμτικός, τότε οι z κ i z κ i μιγδικοί z κ i κι z κ i θ ήτ συζυγείς κι επομέως, z κ i z κ i φού τ μέτρ δύο συζυγώ μιγδικώ είι ίσ Τότε όμως θ είχμε z i z i z z i i zκ i z i, z i z i κ που είι άτοπο Α γι το μιγδικό z ισχύει z i, βρεθεί: Ο γεωμετρικός τόπος της εικός του z στο μιγδικό επίπεδο

284 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ β Η μέγιστη κι η ελάχιστη τιμή του z ΛΥΣΗ Η ισότητ z i επληθεύετι πό όλους τους μιγδικούς z που έχου τη ιδιότητ οι εικόες τους πέχου πό το σημείο K, στθερή πόστση ίση με κι μόο πό υτούς Επομέως, ο ζητούμεος γεωμετρικός τόπος είι ο κύκλος με κέτρο K, κι κτί ρ, δηλδή ο κύκλος β Το z είι η πόστση της εικός M z πό τη ρχή O,, δηλδή το μήκος OM Από τη Γεωμετρί, όμως, γωρίζουμε ότι η ευθεί O Κ τέμει το κύκλο στ A κι B, τότε OA OM OB, που σημίει ότι η μέγιστη τιμή του z είι το μήκος OB κι η ελάχιστη το μήκος OA 9 Η εξίσωση, όμως, της ευθείς O Κ είι η Επομέως, οι συτετγμέες τω σημείω A κι B θ είι οι λύσεις του συστήμτος A B K, Μz Ο, που είι τ ζεύγη, κι, Άρ, η μέγιστη τιμή του z είι ίση με OB κι η ελάχιστη ίση με OA ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τ μέτρ τω μιγδικώ ριθμώ: i, i, i, i, 5i,, i i, i i κι i i i, i Ν βρείτε τ μέτρ τω μιγδικώ ριθμώ: i, i, i i, i λ μi λ μi, όπου λ, μ με λ μ

285 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ν βρείτε τους μιγδικούς z i γι τους οποίους ισχύει: z z β z z γ z i z Ν βρείτε πού ήκου οι μιγδικοί z γι τους οποίους ισχύει: z β z i γ z i δ < z < ε z 5 Ν βρείτε πού ήκου οι εικόες τω μιγδικώ z γι τους οποίους ισχύει: z z i β z i > z 6 Α, βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικός του μιγδικού z, i όπου z i 7 Από τους μιγδικούς z, γι τους οποίους ισχύει z i, ποιος έχει το ελάχιστο κι ποιος το μέγιστο δυτό μέτρο; 8 Α γι τους μιγδικούς z ισχύει z, βρείτε που ήκου οι εικόες τω μιγδικώ w με w z 9 Γι δύο μιγδικούς ριθμούς z κι z ποδείξετε ότι z z z z z z Β ΟΜΑΔΑΣ Ν δείξετε ότι γι κάθε μιγδικό z ισχύει: z Re z Im z Έστω ο μιγδικός z, γι το οποίο ισχύει z Ν ποδείξετε ότι: z Α z, τότε ο w είι φτστικός ριθμός κι τιστρόφως z Έστω ο μιγδικός z με z Ν ποδείξετε ότι: Ο w z είι z πργμτικός, κι μόο ο z είι πργμτικός ή z * Έστω ο μιγδικός z με z i, όπου Ν ποδείξετε ότι: ο z i w είι φτστικός, κι μόο ο z είι φτστικός iz

286 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Α η εικό του μιγδικού z ήκει στο κύκλο κέτρου O, κι κτίς ρ, δείξετε ότι το ίδιο ισχύει κι γι τη εικό του μιγδικού zi w iz 6 Α γι το μιγδικό z ισχύει z z, δείξετε ότι η εικό του z ήκει στο κύκλο με κέτρο O, κι κτί ρ 7 Α γι το μιγδικό z ισχύει z, βρείτε τη τιμή της πράστσης A z z Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το συμπέρσμ 8 Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω Μ τω μιγδικώ z, γι τους οποίους ισχύει: z z i Ποιο πό τ σημεί Μ πέχει τη ελάχιστη πόστση πό τη ρχή O, 9 Α M κι M είι οι εικόες τω μιγδικώ z κι z τιστοίχως κι z z, ποδείξετε ότι: Ότ το M κιείτι σε κύκλο z κέτρου O, κι κτίς, τότε το M κιείτι σε μι έλλειψη Α z, δείξετε ότι z z β Α γι τους μιγδικούς z, z,, z κ ισχύει z z z κ, ποδείξετε ότι: z z z z κ z z κ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Εισγωγή Η ποδοχή τω μιγδικώ ριθμώ, εκτός πό τις δυτότητες που άοιξε στη επίλυση τω εξισώσεω, έδωσε μεγάλη ευελιξί στο λγεβρικό λογισμό Γι πράδειγμ, η πράστση μπορεί τώρ πργοτοποιηθεί στη μορφή i i Οι μθημτικοί εκμετλλεύτηκ υτό το γεγοός σε πολλά ζητήμτ, όπως είι, γι πράδειγμ, ο πολλπλσισμός κι η διίρεση τω τόξω εός κύκλου Το 79 ο A de Moivre, συδυάζοτς το υπολογισμό τω

287 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ κυβικώ ριζώ πρστάσεω της μορφής a i β που εμφίζοτι στο τύπο επίλυσης της p q με τη τριγωομετρική τυτότητ ημθ ημ θ ημθ, έδωσε τις πρώτες ιδέες γι τη τριγωομετρική πράστση τω μιγδικώ ριθμώ Το 78 ο L Euler, ξεκιώτς πό τη άλυση της ισότητς συ θ ημ θ στη μορφή συθ iημθσυθ iημθ, τόισε τη σημσί τω πρστάσεω της μορφής συ θ iημθ κι έδειξε ότι συ iημσυ iημ συ i ημ Γεικεύοτς έφτσε στη σχέση συz ± iημz συnz ± iημnz που σήμερ φέρει το όομ του de Moivre, n πό τη οποί, με χρήση του διωυμικού πτύγμτος, βρήκε τύπους γι τ ημ nz κι συ nz Σε όλες τις προηγούμεες περιπτώσεις οι μιγδικοί τιμετωπίζοτ ως κθρά συμβολικές πρστάσεις, που δε πεικόιζ κάποι συγκεκριμέη πργμτικότητ Η τριγωομετρική πράστση έδωσε όμως τη δυτότητ χρησιμοποιηθού πό το C Wessel το 799 κι το R Argand το 86 γι τη λυτική έκφρση της διεύθυσης στο επίπεδο, κριβώς όπως οι θετικοί κι ρητικοί χρησιμοποιούτι γι τη διάκριση της φοράς στη ευθεί Αυτές οι εξελίξεις διεύρυ τις εφρμογές τω μιγδικώ κι άοιξ το δρόμο γι τη γεωμετρική ερμηεί τους, τη οποί κθιέρωσε ο CF Gauss το 8 Όρισμ Μιγδικού Έστω ές μη μηδεικός μιγδικός ριθμός z i κι OM η τίστοιχη διυσμτική κτί του Μz Οομάζουμε όρισμ του μιγδικού z κθεμιά πό τις γωίες που έχου ρχική πλευρά τη ημιευθεί O κι τελική πλευρά τη ημιευθεί OM Από όλ τ ορίσμτ του z έ κριβώς βρίσκετι στο διάστημ [,π Αυτό λέγετι πρωτεύο όρισμ του μιγδικού z κι συμβολίζετι με Arg z Είι φερό ότι: Ο θ Tο Arg z είι η γωί που σχημτίζει η διυσμτική κτί του μιγδικού z με το άξο Δυο ορίσμτ του z διφέρου κτά γωί κπ, κ Γι το μιγδικό z δε ορίζετι όρισμ Γι υτό, στη συέχει, ότ φερόμστε σε όρισμ μιγδικού, θ εοούμε ότι z Τριγωομετρική Μορφή Μιγδικού

288 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Έστω ο μιγδικός z i, που έχει μέτρο ρ Α θ είι έ όρισμ του z, τότε, πό το ορισμό τω τριγωομετρικώ ριθμώ σε ορθοκοικό σύστημ, έχουμε συ θ κι ημ θ M, ρ ρ οπότε ρσυθ κι ρημθ ρ Επομέως, ο μιγδικός z γράφετι θ z i ρσυ θ ρημθ i, δηλδή πίρει τη μορφή z ρ συθ iημθ Ο Ο τρόπος υτός γρφής του μιγδικού z λέγετι τριγωομετρική ή πολική μορφή του z Γι πράδειγμ, z i, τότε το μέτρο του z είι ρ κι γι κάθε όρισμά του θ ισχύου: συθ κι ημ θ Επομέως, μι τιμή του ορίσμτος είι η 5π 5π z συ iημ ή γεικότερ: 6 6 5π θ Άρ, έχουμε 6 5π 5π z συ κπ iημ κπ, κ 6 6 Αποδεικύετι ότι, γι έ μιγδικό ριθμό z ισχύει z r συθ iημθ, ό- που r > κι θ, τότε η πράστση r συθ iημθ είι τριγωομετρική μορφή του μιγδικού ριθμού z Επειδή ίσοι μιγδικοί ριθμοί έχου τη ίδι εικό στο μιγδικό επίπεδο κι τιστρόφως, έχουμε το κόλουθο κριτήριο ισότητς μιγδικώ: Δυο μη μηδεικοί μιγδικοί ριθμοί είι ίσοι, κι μόο έχου ίσ μέτρ κι η διφορά τω ορισμάτω τους είι κέριο πολλπλάσιο του π

289 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Δηλδή: Α z ρ συθ iημ κι z ρ συθ iημ είι τριγωομετρικές θ μορφές τω μιγδικώ z κι z, τότε: θ z z ρ ρ κι θ θ κ π, κ Τριγωομετρική Μορφή Γιομέου Μιγδικώ Α z ρ συθ iημθ κι z ρ συθ iημθ είι οι τριγωομετρικές μορφές δύο μιγδικώ ριθμώ z κι z, τότε γι το γιόμεό τους έχουμε: z z ρ συθ iημθ ρ συθ iημθ ρ ρ[ συθ iημθ συθ iημθ ] ρ ρ[ συθσυθ ημθημθ iημθσυθ συθημθ ] ρ ρ συ θ θ iημ θ ] Ομοίως, γι το πηλίκο τους z z [ θ ρ συθ ρ συθ z z, έχουμε: iημθ ρ iημθ ] ρ συθ συθ iημθ συθ iημθ συθ iημθ iημθ ] ρ ρ συθ iημ-θ iημθ [συ-θ συ θ ημ θ ] Αποδείξμε λοιπό ότι: ρ [ συ θ θ iημ θ θ ] ρ Α z ρ συθ iημθ κι z ρ συθ iημθ είι δυο μιγδικοί σε τριγωομετρική μορφή, τότε z z ρ ρ[ συ θ θ iημ θ θ ] z z ρ [ συ θ θ iημ θ θ ] ρ Γι πράδειγμ, τότε έχουμε: π π π π z συ iημ κι z συ iημ, 6 6

290 6 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ κι π π π π 5π 5π z z συ iημ 6 συ iημ 6i 6 6 z z π π συ 6 π π 7π 7 iημ συ iημ π i i Από τις τριγωομετρικές μορφές του γιομέου κι του πηλίκου μιγδικώ προκύπτου οι ιδιότητες zz z z κι τις οποίες έχουμε συτήσει κι στη z z z, z Η γεωμετρική ερμηεί του γιομέου κι του πηλίκου δύο μιγδικώ φίετι στ πρκάτω σχήμτ: Mz z M z M z Mz /z θ θ θ M z θ M z θ θ O Α Τ τρίγω ΟΑΜ κι ΟΜ Μ είι όμοι θ θ θ θ O Α Τ τρίγω ΟΑΜ κι ΟΜΜ είι όμοι Σύμφω με τ πρπάω: Ο πολλπλσισμός του μιγδικού z ρ συθ iημθ με το μιγδικό z ρ συθ iημθ σημίει στροφή της διυσμτικής κτίς του z κτά γωί θ κι μετά πολλπλσισμό της με ρ Σχ Επομέως, ο πολλπλσισμός εός μιγδικού z με το μιγδικό συ θ iημθ στρέφει μόο τη διυσμτική κτί του z κτά γωί θ, φού συθ iημθ Ειδικότερ, ο πολλπλσισμός του z με i στρέφει τη διυσμτική κτί του z κτά γωί π π π, φού i συ iημ

291 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7 Η διίρεση του μιγδικού z συθ iημθ με το μιγδικό z ρ συθ iημθ σημίει στροφή της διυσμτικής κτίς του z κτά γωί θ κι μετά πολλπλσισμό της με Σχ ρ Θεώρημ του De Moivre Α z ρ συθ iημθ είι ές μιγδικός ριθμός σε τριγωομετρική μορφή, σύμφω με τ προηγούμε έχουμε: z z z ρσυθ iημθ ρσυθ iημθ ρ συθ iημθ z z z ρ συθ iημθ ρσυθ iημθ ρ συθ iημθ Ομοίως, βρίσκουμε ότι Γεικά, ισχύει το επόμεο θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ z z 5 ρ συθ iημθ ρ 5 συ5θ iημ5θ Α z ρ συθ iημθ είι ές μιγδικός ριθμός σε τριγωομετρική μορφή κι είι ές θετικός κέριος, τότε z ρ [ συ θ iημ θ] ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω P η ισότητ που θέλουμε ποδείξουμε Γι η ισότητ γίετι z ρ [συ θ iημ θ] ή, ισοδύμ, z ρ συθ iημθ, που ισχύει Άρ η P είι ληθής Θ ποδείξουμε ότι, P ληθής, τότε P ληθής δηλδή, z ρ [ συ θ iημ θ], τότε z ρ [συ θ iημ θ] Πράγμτι, έχουμε z z z ρ [συ θ iημ θ] ρσυθ iημθ ρ [συ θ iημ θ] Άρ, η P ληθεύει γι όλους τους θετικούς κερίους

292 8 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Γι πράδειγμ, z 998 π π z i, επειδή z συ iημ 6 6 π π συ iημ , έχουμε: π π συ iημ συπ iημπ συπ iημπ [ ρσυθ iημθ] ρ συθ iημθ ρ συ iημ συ θ iημ θ ρ [ συ - θ iημ - θ] Το προηγούμεο θεώρημ ποδίδετι στο μθημτικό De Moivre κι γι υτό φέρει το όομά του Το Θεώρημ του De Moivre ισχύει κι ότ ο εκθέτης είι ρητικός κέριος Πράγμτι, έχουμε ρ [ συ-θ iημ-θ] ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν βρεθεί το σύολο τω εικόω τω μιγδικώ z, γι τους οποίους ι- z π σχύει Arg z 6 ΛΥΣΗ Α z i z i, τότε i z i Άρ, z A Bi, όπου A κι z B

293 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 z π Επομέως, η συθήκη Arg z 6 ισοδύμη με τις σχέσεις: είι B εφ π A 6 Β > > > K, Ο B, A, Άρ, το σύολο τω εικόω του z είι το τόξο του κύκλου κέτρου K, κι κτίς ρ που είι πάω πό το άξο Α ημ ημβ ημγ κι συ συβ συγ, ποδειχτεί ότι συ συβ συγ συ β γ β ημ ημβ ημγ ημ β γ ΛΥΣΗ Έστω οι μιγδικοί a συ iημ, b συ β iημβ, c συ γ iημγ Έχουμε a b c συ συβ συγ iημ ημβ ημγ i κι επομέως, a b c abc Με τικτάστση τω a, b κι c έχουμε διδοχικά: συ iημ συβ iημβ συγ iημγ συ iημσυβ iημβσυγ iημγ συ iημ συβ iημβ συγ iημγ [συ β γ iημ β γ] συ συβ συγ iημ ημβ ημγ συ β γ iημ β γ Εξισώοτς τ πργμτικά κι τ φτστικά μέρη τω δύο μελώ έχουμε: συ συβ συγ συ β γ κι ημ ημβ ημγ ημ β γ

294 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν γράψετε σε τριγωομετρική μορφή τους μιγδικούς: i β i γ i δ i ε στ Ν κάετε τις πράξεις: συ5 i ημ5 6συ iημ β π π π π 5 συ iημ συ iημ γ π π π π συ iημ συ iημ Ν κάετε τις πράξεις γ 5συ6 5συ iημ6 iημ 7συ iημ συ iημ β 5π 5π 6 συ iημ 6 6 π π συ iημ Ν βρείτε τις δυάμεις γ [ συ i ημ ] β π π συ ημ i π π συ iημ 8 5 Ν υπολογίσετε τη πράστση i 6 6 Α i z, υπολογίσετε το z

295 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7 Α z i κι z i, υπολογίσετε τη πράστση z z, όπου θετικός κέριος 8 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά τη διίρεση εός μιγδικού z με i 9 Α z i κι w i, δείξετε ότι το ημ π κι το συ π z Arg w π κι βρείτε Ν βρείτε το μέτρο κι το βσικό όρισμ του μιγδικού z z z Β ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε το μέτρο κι το όρισμ του μιγδικού w, όπου συθ iημθ w θ i θ, συ ημ β Ν βρείτε τη τιμή της πράστσης Ν δείξετε ότι * κι θ κ π, κ i i, όπου i i * τότε κ, κ β Α i i, δείξετε ότι Ν ποδείξετε ότι z z z z, κι μόο Arg z Arg z Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω Μ τω μιγδικώ z, γι τους οποίους ισχύει: π π z π Arg z i β Arg z γ Arg 6 z i 5 Μετξύ όλω τω μιγδικώ z που ικοποιού τη συθήκη z 5i, βρείτε εκείο που έχει: Το μικρότερο πρωτεύο όρισμ β Το μεγλύτερο πρωτεύο όρισμ

296 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 6 Α z συ θ iημθ, ποδείξετε ότι: z συ θ β z i ημ θ z z 7 Α γι τους μιγδικούς z κι w ισχύου z κι w i z, τότε: Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω του μιγδικού w β Ν βρείτε τη εικό εκείου του μιγδικού πό τους w, γι το π οποίο ισχύει Arg w κ κ 8 Α z i κι κ κ ριθμό κ π Arg z, βρείτε το πργμτικό - 9 Δίετι το τριώυμο z z z z, όπου z κι z είι δύο μιγδικοί ριθμοί Ν ποδείξετε ότι, γι κάθε Πότε ισχύει η ισότητ; 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ Εισγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου κι ου βθμού, η γκστική επφή με τους μιγδικούς ριθμούς γι τη έκφρση τω πργμτικώ ριζώ κι η εξέλιξη του λγεβρικού λογισμού δημιούργησ στις ρχές του 7ου ιώ τις προϋποθέσεις γι τη άπτυξη μις γεικής θεωρίς τω πολυωυμικώ εξισώσεω στη Άλγεβρ Βσικά στοιχεί υτής της θεωρίς δε ήτ μόο οι μέθοδοι επίλυσης, λλά κι δομικά ζητήμτ, όπως οι σχέσεις ριζώ κι συτελεστώ μις εξίσωσης, κθώς κι η σχέση άμεσ στο βθμό κι στο πλήθος τω ριζώ Το τελευτίο, που κθιερώθηκε ργότερ ως Θεμελιώδες Θεώρημ της Άλγεβρς κάθε πολυωυμική εξίσωση βθμού έχει στο σύολο τω μιγδικώ κριβώς ρίζες, διτυπώετι στη ρχή διστκτικά, κθώς οι μιγδικοί δε θεωρούτι κόμη ισότιμοι προς τους υπόλοιπους ριθμούς Ο R Descartes, στο βιβλίο ΙΙΙ της La Geometrie 67 γράφει ότι: κάθε εξίσωση μπορεί έχει τόσες διφορετικές ρίζες όσες κι οι διστάσεις [δηλ ο βθμός] της άγωστης ποσότητς στη εξίσωση, λλά οομάζει τις θετικές ρίζες ληθιές, τις ρητικές ψεύτικες κι εισάγει γι πρώτη φορά το όρο φτστικές γι τις υπόλοιπες:

297 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ εώ μπορούμε θεωρήσουμε ότι η εξίσωση 6 έ- χει τρεις ρίζες, ε τούτοις υπάρχει μί μόο πργμτική ρίζ, το, εώ οι άλλες δύο πρμέου φτστικές Το θεμελιώδες θεώρημ της Άλγεβρς άρχισε ποκτά εξιρετική σημσί με τη άπτυξη της Αάλυσης, κθώς η πργοτοποίηση τω πολυωύμω έπιζε πρωτρχικό ρόλο στο υπολογισμό ολοκληρωμάτω διάσπση ρητώ κλσμάτω σε πλά κλάσμτ Ο GW Leibniz έθεσε το 7 υτό το ζήτημ ι- σχυριζόμεος λθεμέ ότι το πολυώυμο δε λύετι σε γιόμεο πργότω ου ή ου βθμού με πργμτικούς συτελεστές Το γεγοός υτό οδήγησε στις πρώτες συστημτικές προσπάθειες ποδειχτεί ότι κάθε πολυώυμο με πργμτικούς συτελεστές λύετι σε γιόμεο πργότω ου ή ου βθμού, που ποτελεί μι άλλη ισοδύμη μορφή του θεμελιώδους θεωρήμτος Ύστερ πό ορισμέες ημιτελείς προσπάθειες τω d Alembert 76, L Euler 79 κι JL Lagrange 77, ο CF Gauss έδωσε τη πρώτη υστηρή πόδειξη το 799 σε ηλικί χροώ, στη διδκτορική του διτριβή που είχε τίτλο: Νέ πόδειξη του θεωρήμτος ότι κάθε κέρι ρητή συάρτηση μις μετβλητής μπορεί λυθεί σε πργμτικούς πράγοτες πρώτου κι δεύτερου βθμού Η Eξίσωση z Γωρίζουμε ότι στο σύολο τω πργμτικώ ριθμώ η εξίσωση z έχει μι λύση, τη z, ο είι περιττός κι δύο λύσεις, τις z κι z, ο είι άρτιος Ας λύσουμε τώρ στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ μερικές εξισώσεις της μορφής z, όπου θετικός κέριος Έχουμε: z z z z z z ή z z z ή i z ή i z, δηλδή η εξίσωση έχει στο τρεις ρίζες z z z z z ή z z ή z i ή z i ή z i, δηλδή η εξίσωση έχει στο σύολο τέσσερις λύσεις

298 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Γεικά ισχύει το επόμεο θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ Στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ η εξίσωση z, όπου θετικός κέριος, έχει κριβώς διφορετικές λύσεις, οι οποίες δίοτι πό το τύπο: κπ κπ z κ συ iημ, κ,,,,, ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω r συθ iημθ μι λύση, σε τριγωομετρική μορφή, της εξίσωσης z Τότε, [ r συθ iημθ], οπότε r συ θ iημ θ συ iημ κπ Άρ, r κι θ κπ, γι κάποιο κ, οπότε r κι θ Επομέως, οι λύσεις της εξίσωσης z, θ είι της μορφής κπ κπ z κ συ iημ, κ κπ κπ Αλλά κι τιστρόφως, κάθε μιγδικός της μορφής z κ συ iημ, κ είι λύση της εξίσωσης z, φού κπ κπ z κ συ iημ συκπ iημκπ Άρ, οι λύσεις της εξίσωσης z είι όλοι οι ριθμοί της μορφής κπ κπ z κ συ iημ, κ Γι κ έχουμε τη προφή λύση z Α θέσουμε π π z συ iημ ω, τότε γι τις ρίζες της z, θ ισχύει: κ κπ κπ π π κ συ iημ συ iημ ω, z κ κ

299 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Είι λοιπό: z z z z ω ω z ω ω ω ω ω z ω ω ω ω ω z z ω ω ω ω κτλ Πρτηρούμε, λοιπό, ότι οι λύσεις της z που δίοτι πό τη δε είι όλες διφορετικές μετξύ τους Θ εξετάσουμε γι ποιες τιμές του κ έχουμε διφορετικές λύσεις Επειδή γι κάθε κ υπάρχου κέριοι ρ κι υ τέτοιοι, ώστε ισχύει κ ρ υ με υ <, έχουμε: Δηλδή, γι κάθε κ ρ υ ρ υ υ υ ω ω ω ω ω ω κ η λύση z κ τυτίζετι με μι πό τις, ω, ω, ω,, ω Θ δείξουμε τώρ ότι οι λύσεις ω, ω, ω, ω,, ω είι διφορετικές μετξύ τους Έστω ότι δε συμβίει υτό Τότε θ υπάρχου φυσικοί λ, λ με λ λ < λ <, τέτοιοι, ώστε λ ω ω, οπότε θ έχουμε διδοχικά: λπ λπ λπ λπ συ iημ συ iημ λπ λπ μ π, γι κάποιο μ λ λ μ, γι κάποιο μ Από τη τελευτί ισότητ προκύπτει ότι ο κέριος διιρεί τη διφορά λ λ Αυτό όμως είι άτοπο, φού < λ λ < Επομέως, οι λύσεις της εξίσωσης z είι οι διφορετικοί ριθμοί π π, ω, ω, ω,, ω, όπου ω συ iημ Οι λύσεις υτές λέγοτι κι ιοστές ρίζες της μοάδς ΣΧΟΛΙΟ Οι εικόες A, A, A,, A τω λύσεω, ω, ω, ω,, ω της εξίσωσης z είι κορυφές κοικού πολυγώου με πλευρές, εγγεγρμμέου σε κύκλο με κέτρο O, κι κτί r Πιο συγκεκριμέ: A A A A A 5 Ο A 5 A 7 A 6

300 6 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η κορυφή A πριστάει τη λύση Η επόμεη κορυφή A πριστάει τη λύση π π ω συ iημ Η κορυφή A πριστάει τη διύσμτος OA κτά γωί γωί του κοικού -γωου H κορυφή A πριστάει τη διύσμτος OA κτά γωί ω κι προκύπτει πό τη ω με στροφή του π, δηλδή κτά γωί ίση με τη κετρική ω κι προκύπτει πό τη ω με στροφή του π κτλ Η Eξίσωση z a, a Έστω a ρ συθ iημθ μι τριγωομετρική μορφή του μιγδικού a Τότε πό το τύπο του de Moivre έχουμε: θ θ a ρ συ iημ θ θ Α θέσουμε z ρ συ iημ, τότε η εξίσωση z a γράφετι ή, ισοδύμ, z z Επομέως, το, z z οπότε οι λύσεις της εξίσωσης z z μπορεί πάρει τις διφορετικές τιμές π π συ, ω, ω, ω,, ω, όπου ω iημ z a είι οι ριθμοί z κ z ω κ ρ συ θ θ κπ iημ συ κπ iημ Αποδείξμε λοιπό ότι: κπ θ κπ θ ρ συ iημ, κ,,,,

301 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7 Στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ η εξίσωση z a, όπου θετικός κέριος κι a ρ συθ iημθ, ρ, έχει διφορετικές λύσεις οι οποίες δίοτι πό το τύπο: z κπ θ κπ θ ρ συ iημ, κ,,,, κ Οι εικόες τω λύσεω της εξίσωσης z a στο μιγδικό επίπεδο είι κορυφές κοικού πολυγώου με πλευρές, εγγεγρμμέου σε κύκλο με κέτρο O, κι κτί ρ, όπου ρ a Έστω γι πράδειγμ η εξίσωση 5 z 6 i π π Επειδή 6 i συ iημ, οι λύσεις z κ της εξίσωσης δίδοτι 6 6 πό το τύπο π π κπ κπ 5 6 συ 6 ημ κπ π κπ π z κ i συ iημ, κ,,,, 5 5 Πιο συγκεκριμέ οι λύσεις είι: 6 π π A z συ iημ, π π A z συ iημ, A 5π 5π z συ iημ, Ο 7π 7π z συ iημ, A A 9π 9π z συ iημ Οι λύσεις υτές είι κορυφές κοικού πετγώου εγγεγρμμέου σε κύκλο κτίς ρ Πολυωυμικές Εξισώσεις με Πργμτικούς Συτελεστές Όπως φέρθηκε στη εισγωγή, κάθε πολυωυμική εξίσωση P z, ιοστού βθμού, δηλδή κάθε εξίσωση της μορφής z z z,,

302 8 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ έχει στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ κριβώς ρίζες Α z, z,, z είι οι ρίζες του πολυωύμου P z οι οποίες δε είι κτάγκη διφορετικές, τότε ποδεικύετι ότι το πολυώυμο λύετι σε γιόμεο πργότω ως εξής: P z z z z z z z Επομέως, η επίλυση πολυωυμικώ εξισώσεω στο γίετι με τις ίδιες μεθόδους που χρησιμοποιούτι κι στο σύολο τω πργμτικώ ριθμώ Στη συέχει θ περιοριστούμε σε πολυωυμικές εξισώσεις με πργμτικούς μόο συτελεστές Έχουμε ήδη λύσει τη δευτεροβάθμι εξίσωση, η οποί, όπως είδμε, έχει δύο ρίζες, οι οποίες, δε είι πργμτικές, είι μιγδικές συζυγείς Ας λύσουμε τώρ μί ωτέρου βθμού, γι πράδειγμ τη z z 5z, που είι πολυωυμική τρίτου βθμού Με σχήμ Horner έχουμε: z z 5z z z z z z ή z Όμως, z z z i ή z i Άρ, οι ρίζες της εξίσωσης είι i, i κι Κι στη περίπτωση υτή πρτηρούμε ότι οι μιγδικές ρίζες της εξίσωσης είι συζυγείς Το συμπέρσμ υτό γεικεύετι γι οποιδήποτε πολυωυμική εξίσωση με πργμτικούς συτελεστές ΘΕΩΡΗΜΑ Α ο μιγδικός ριθμός z βi είι ρίζ μις πολυωυμικής εξίσωσης με πργμτικούς συτελεστές, τότε κι ο συζυγής του z βi είι ρίζ της εξίσωσης υτής ΑΠΟΔΕΙΞΗ Μι πολυωυμική εξίσωση, όπως γωρίζουμε, έχει τη μορφή: z z z, όπου,,, με Αφού ο ριθμός z είι ρίζ της εξίσωσης, έχουμε κτά σειρά: z z z z z z z z z a

303 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 z z z z z z, φού,,, Άρ, ο z είι κι υτός ρίζ της εξίσωσης ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ π π Α ω συ iημ, ποδειχτεί ότι: ω ω ω ω β ΑΠΟΔΕΙΞΗ ω Έχουμε ω ω ω ω ω ω β ω ω ω ω ω ω π π συ iημ π π συ iημ συ π iημ π συπ iημπ ω ω ω ω Ν λυθεί η εξίσωση συθ Α, είι οι ρίζες της εξίσωσης υτής, κτσκευστεί εξίσωση ου βθμού που έχει ρίζες τις, ΛΥΣΗ Έχουμε Δ συ θ συ θ ημ θ Επομέως, Η ζητούμεη εξίσωση θ είι η συθ ± ημθ i συθ iημθ, ±

304 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Έχουμε κι συθ iημθ συ θ iημ θ κι συ θ iημ θ συ θ iημ θ συ θ συθ iημθ [συ θ iημ-θ] συ-θ iημ-θ συ θ iημ θ Επομέως: συ θ iημ θσυ-θ iημ-θ συ iημ Άρ, η ζητούμεη εξίσωση είι η: συ θ Ν λυθεί σε γιόμεο πολυωύμω το πολυώυμο ΛΥΣΗ P 5 6, γωρίζουμε ότι έχει ρίζ το μιγδικό ριθμό i Αφού το P έχει ρίζ το ριθμό i, θ έχει ρίζ κι το συζυγή του, i Επομέως, το πολυώυμο P διιρείτι με το γιόμεο Q, γι το οποίο έχουμε Q [ i][ i] [ i][ i] i Α κάουμε τη διίρεση του πολυωύμου P με το πολυώυμο Q, βρίσκουμε πηλίκο Επομέως είι P

305 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΟ Γεικά, όπως φέρθηκε κι στη εισγωγή, κάθε πολυώυμο με πργμτικούς συτελεστές μπορεί γρφεί ως γιόμεο πρωτοβάθμιω κι δευτεροβάθμιω πργότω με πργμτικούς συτελεστές, όπου οι δευτεροβάθμιοι πράγοτες υπάρχου έχου ρητική δικρίουσ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν λύσετε τις εξισώσεις κι πρστήσετε τις λύσεις στο μιγδικό επίπεδο: z β z γ z 6 Ν λύσετε τις εξισώσεις: z i β π z 6 συ iημ π γ 5 5π 5 z συ iημ π 6 6 Ν λύσετε τις εξισώσεις: z β i z 6 γ z 6 i Ν λύσετε τις εξισώσεις: z z z 8 β z 5z 5 Α ο μιγδικός i είι ρίζ της εξίσωσης 7, βρείτε κι τις άλλες ρίζες της 6 Α w είι μι κυβική ρίζ της μοάδος, με w, βρείτε τη τιμή της πράστσης w w w w 7 Ν λύσετε τη εξίσωση 5

306 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 8 Ν λύσετε τη εξίσωση z z z 9 κι δείξετε ότι οι εικόες τω ριζώ είι κορυφές ισόπλευρου τριγώου Β ΟΜΑΔΑΣ Ν λύσετε τις εξισώσεις: z i β z i z 6 5 Ν λύσετε τη εξίσωση z z z z z z 7 Ν λύσετε τη εξίσωση z κι στη συέχει βρείτε τ τριώυμ με πργμτικούς συτελεστές που είι πράγοτες του πολυωύμου z z z z z z 6 5 Στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ βρείτε τις κοιές λύσεις τω εξισώσεω z z z κι z 6 z 5 Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς z, γι τους οποίους ισχύει 7 z z 6 Α η εξίσωση iz p iz, * ποδείξετε ότι p έχει πργμτική ρίζ, 7 Δίετι η εξίσωση με ρίζες τις κι Ν υπολογίσετε τις τιμές τω πρστάσεω, κι, βρεί- β Α η εξίσωση p q έχει ως ρίζες τις τε τις τιμές τω p κι q κι 8 Ν λύσετε τη εξίσωση π π συ θ z συθ z 5 συ θ, < θ < β Ν ποδείξετε ότι κθώς το θ μετβάλλετι στο διάστημ π π,, οι εικόες τω λύσεω της εξίσωσης κιούτι σε μι υπερβολή 8 Ν λύσετε τη εξίσωση 9 5

307 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ z z Δίετι η συάρτηση με z με z κι Re z z z Ν ποδείξετε ότι z z β Έστω, β δυο στθεροί πργμτικοί ριθμοί διφορετικοί πό το Ν βρείτε το είδος της κμπύλης στη οποί ήκου τ σημεί M,, με, γι τ οποί οι μιγδικοί ριθμοί z βi ικοποιού τη σχέση Re z Θεωρούμε τους μιγδικούς z, w κι w, γι τους οποίους ισχύου: w z zi κι w i, όπου Ν δείξετε ότι το μετβάλλετι στο κι ισχύει w w, τότε η εικό P του z στο μιγ- * δικό επίπεδο κιείτι σε μι υπερβολή Θεωρούμε τους μιγδικούς z λ λ i, λ Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω του μιγδικού z β Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω του μιγδικού w γι το οποίο ισχύει w z i γ Ν βρείτε το μιγδικό z που έχει τη πλησιέστερη εικό στη ρχή O, Ν γρμμοσκιάσετε το τμήμ του μιγδικού επιπέδου που ορίζου οι εικόες τω μιγδικώ z, γι τους οποίους ισχύει: z < z i β z Re z 5 Ν ποδείξετε ότι οι μιγδικοί z, z,, zκ έχου τις εικόες τους στο ίδιο ημιεπίπεδο μις ευθείς που διέρχετι πό τη ρχή O,, τότε ισχύει z z z κ 6 Ν ποδείξετε ότι οι εικόες τω λύσεω της εξίσωσης είι σημεί της ευθείς z z 7 Α το τριώυμο β γ με πργμτικούς συτελεστές κι δε έχει πργμτικές ρίζες, ποδείξετε ότι: Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς κ κι λ ισχύει

308 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ κ βκ γ λ βλ γ > β Γι οποιουσδήποτε συζυγείς μιγδικούς z κι z διφορετικούς πό τις ρίζες του τριωύμου ισχύει επίσης > z βz γ z βz γ 8 Γωρίζοτς ότι γι τις ιοστές ρίζες της μοάδς, z, z,, z ι- σχύει z z, ποδείξετε τις τυτότητες: z π π 6π π ημ ημ ημ ημ, π π 6π π β συ συ συ συ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ν βάλετε σε κύκλο τη σωστή πάτηση: i Α στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ ισχύει u v, τότε : Α u Β v Γ u v Δ Τίποτ πό τ προηγούμε ii Ο ριθμός z 5i 5i είι: Α Φτστικός Β Μηδέ Γ Πργμτικός Δ Τίποτ πό τ προηγούμε Ποιες πό τις επόμεες ισότητες ληθεύου γι κάθε μιγδικό z : Α z z Β Δ z z z Ε z z z Γ z z z z z Σύμφω με τη συθήκη που ικοποιού οι μιγδικοί z κι φέρετι στη πρώτη στήλη, τους τιστοιχίσετε στη ευθεί της δεύτερη στήλης που ήκει η εικό τους: Συθήκη Ευθεί A z i z i B z z β

309 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Γ z z i γ δ Δ z z i ε Ν τιστοιχίσετε κάθε μιγδικό z της πρώτης στήλης στο όρισμά του της δεύτερης στήλης: Μιγδικός k > Όρισμ Α k ki -5 Β k ki β 5 Γ k ki γ 5 Δ k ki δ 8 ε 6 ζ 5 5 Ν βάλετε σε κύκλο τις σωστές πτήσεις Ό ριθμός τω πργμτικώ ριζώ μις πολυωυμικής εξίσωσης 5 ου βθμού με πργμτικούς συτελεστές μπορεί είι: Α Β Γ Δ Ε 5 6 Ν γράψετε τους μιγδικούς που έχου ως εικόες τ σημεί Α, Β, Γ κι Δ του διπλού σχήμτος: Α: Β: B Γ O A 5 Δ Γ: Δ: 7 Α z είι ο μιγδικός που έχει ως εικό το Α, τιστοιχίσετε κάθε μιγδικό της πρώτης στήλης στη εικό του που φέρετι στη δεύτερη στήλη κι σημειώετι στο πρκάτω σχήμ:

310 6 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μιγδικός z z z z Εικό Β Γ Δ Ε z Ζ Η B A Ε Η θ O 5 Θ -θ Ζ Γ Δ Θ

311 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αρχική συάρτηση Πολλές φορές στη πράξη προυσιάζοτι προβλήμτ, που η λύση τους πιτεί πορεί τίστροφη της πργώγισης Τέτοι προβλήμτ είι γι πράδειγμ τ πρκάτω: Η εύρεση της θέσης S t εός κιητού τη χροική στιγμή t, είι γωστή η τχύτητά του υ t που, όπως γωρίζουμε, είι η πράγωγος της συάρτησης θέσης St Η εύρεση της τχύτητς υ t εός κιητού τη χροική στιγμή t, είι γωστή η επιτάχυσή του γ t που, όπως γωρίζουμε, είι η πράγωγος της συάρτησης υ υt Η εύρεση του πληθυσμού N t μις κοιωίς βκτηριδίω τη χροική στιγμή t, είι γωστός ο ρυθμός ύξησης N t του πληθυσμού Το κοιό χρκτηριστικό τω προβλημάτω υτώ είι ότι, δίετι μι συάρτηση κι ζητείτι βρεθεί μι άλλη συάρτηση F γι τη οποί ισχύει F σε έ διάστημ Δ Οδηγούμστε έτσι στο πρκάτω ορισμό ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F, γι κάθε Δ Αποδεικύετι ότι κάθε συεχής συάρτηση σε διάστημ Δ έχει πράγουσ στο διάστημ υτό

312 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Γι πράδειγμ, η συάρτηση F είι μι πράγουσ της στο, φού Πρτηρούμε ότι κι όλες οι συρτήσεις της μορφής G c F c, όπου c, είι πράγουσες της στο, φού c Γεικά ισχύει το πρκάτω θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της στο Δ, τότε όλες οι συρτήσεις της μορφής G F c, c, είι πράγουσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή ΑΠΟΔΕΙΞΗ G F c, όπου c, είι μι πρά- Κάθε συάρτηση της μορφής γουσ της στο Δ, φού G F c, c G F c F, γι κάθε Δ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε F κι G, οπότε Δ ισχύου G F, γι κάθε Δ Άρ, σύμφω με το πόρισμ της 6, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G F c, γι κάθε Δ Αόριστο ολοκλήρωμ Το σύολο όλω τω πργουσώ μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ οομάζετι όριστο ολοκλήρωμ της στο Δ, συμβολίζετι d κι διβάζετι ολοκλήρωμ εφ του τε Δηλδή, d F c, c, όπου F μι πράγουσ της στο Δ Γι πράδειγμ, συ d ημ c, φού ημ συ

313 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 Από το τρόπο που ορίστηκε το όριστο ολοκλήρωμ προκύπτει ότι: Γι κάθε συάρτηση, πργωγίσιμη σε έ διάστημ Δ, ισχύει d c, c Η διδικσί εύρεσης του όριστου ολοκληρώμτος είι τίστροφη πορεί της πργώγισης κι λέγετι ολοκλήρωση Η στθερά c λέγετι στθερά ολοκλήρωσης Από το πίκ τω πργώγω βσικώ συρτήσεω βρίσκουμε το πρκάτω πίκ όριστω ολοκληρωμάτω Οι τύποι του πίκ υτού ισχύου σε κάθε διάστημ στο οποίο οι πρστάσεις του που εμφίζοτι έχου όημ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ d c 6 ημd συ c d c 7 d εφ c συ d ln c 8 d σφ c ημ d 5 συd c, ημ c 9 e d d e c c ln Συέπει του ορισμού του όριστου ολοκληρώμτος κι τω κόω πργώγισης είι οι εξής δύο ιδιότητες: Α οι συρτήσεις κι g έχου πράγουσ σ έ διάστημ Δ, τότε d λ λ d, * λ g d d g d Σύμφω με τους πρπάω τύπους έχουμε γι πράδειγμ: c d d ημ e d ημd ημd e d e d συ e c

314 6 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ d d d d d c c ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ N βρεθεί συάρτηση τέτοι, ώστε η γρφική της πράστση διέρχετι πό το σημείο A, κι ισχύει, γι κάθε ΛΥΣΗ Επειδή, έχουμε διδοχικά: d d c c, c, c, c, c c c c, c Γι διέρχετι η πό το σημείο A, πρέπει κι ρκεί ή, ισοδύμ, c, δηλδή c Επομέως, Η είσπρξη E, πό τη πώληση μοάδω εός προϊότος μις βιομηχίς, μετβάλλετι με ρυθμό E σε χιλιάδες δρχμές ά μοάδ προϊότος, εώ ο ρυθμός μετβολής του κόστους πργωγής είι στθερός κι ισούτι με σε χιλιάδες δρχμές ά μοάδ προϊότος Ν βρεθεί το κέρδος της βιομηχίς πό τη πργωγή μοάδω προϊότος, υποθέτοτς ότι το κέρδος είι μηδέ ότ η βιομηχί δε πράγει προϊότ ΛΥΣΗ Α P είι το κέρδος κι K είι το κόστος πργωγής γι μοάδες προϊότος, τότε P E K,

315 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 οπότε Δηλδή οπότε κι άρ P E K 98 P 98, P d 98 d P 98 c, c Οτ η βιομηχί δε πράγει προϊότ, το κέρδος είι μηδέ, δηλδή ισχύει P,οπότε c Επομέως, P 98 Άρ, το κέρδος πό μοάδες προϊότος είι P σε χιλιάδες δρχμές ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i ημ συ d ii d 8 iii d iv d v e συ d vi συ d ημ vii d

316 8 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ N βρείτε τη συάρτηση, με πεδίο ορισμού το διάστημ,, γι τη οποί ισχύει κι 9 Ν βρείτε τη συάρτηση, γι τη οποί ισχύει, 6 κι Ν βρείτε τη συάρτηση, γι τη οποί ισχύει κι η γρφική της πράστση στο σημείο της A, έχει κλίση 5 Ο πληθυσμός N t, σε εκτομμύρι, μις κοιωίς βκτηριδίω, υ- ξάετι με ρυθμό N του πληθυσμού στ πρώτ 6 λεπτά t / t e ά λεπτό Ν βρείτε τη ύξηση 6 Μι βιομηχί έχει διπιστώσει ότι γι εβδομδιί πργωγή ε- ξρτημάτω έχει ορικό κόστος 5 χιλιάδες δρχμές ά μοάδ προϊότος Ν βρείτε τη συάρτηση κόστους της εβδομδιίς πργωγής, είι γωστό ότι τ στθερά εβδομδιί έξοδ της βιομηχίς, ότ δε πράγει κέ εξάρτημ, είι χιλιάδες δρχμές 7 Μι έ γεώτρηση εξώρυξης πετρελίου έχει ρυθμό άτλησης που δίετι πό το τύπο R t t t, όπου R t είι ο ριθμός, σε χιλιάδες, τω βρελιώ που τλήθηκ στους t πρώτους μήες λειτουργίς της Ν βρείτε πόσ βρέλι θ έχου τληθεί τους 8 πρώτους μήες λειτουργίς της Β ΟΜΑΔΑΣ Η θερμοκρσί Τ εός σώμτος, που περιβάλλετι πό έ ψυκτικό kt υγρό, ελττώετι με ρυθμό κe, όπου, κ είι θετικές στθερές κι t ο χρόος Η ρχική θερμοκρσί T του σώμτος είι T, όπου Τ η θερμοκρσί του υγρού η οποί με κτάλληλο μηχάημ διτηρείτι στθερή Ν βρείτε τη θερμοκρσί του σώμτος τη χροική στιγμή t Ές βιομήχος, ο οποίος επεδύει χιλιάδες δρχμές στη βελτίωση της πργωγής του εργοστσίου του, μέει έχει κέρδος P χιλιάδες δρχμές πό υτή τη επέδυση Μι άλυση της πργωγής έδειξε ότι ο ρυθμός μετβολής του κέρδους P, που οφείλετι

317 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 / στη επέδυση υτή, δίετι πό το τύπο P 5,8 e Ν βρείτε το συολικό κέρδος που οφείλετι σε ύξηση της επέδυσης πό σε 6 δρχμές Από τη πώληση εός έου προϊότος μις ετιρείς διπιστώθηκε ότι ο ρυθμός μετβολής του κόστους K t δίετι πό το τύπο K t 8, 6t σε χιλιάδες δρχμές τη ημέρ, εώ ο ρυθμός μετβολής της είσπρξης E t στο τέλος τω t ημερώ δίετι πό το τύπο E t, t σε χιλιάδες δρχμές τη ημέρ Ν βρείτε το συολικό κέρδος της ετιρείς πό τη τρίτη έως κι τη έκτη ημέρ πργωγής Έστω, g δύο συρτήσεις με g, g κι g γι κάθε Ν ποδείξετε ότι: i g, γι κάθε ii A η συάρτηση g έχει δύο ρίζες, β με < < β, τότε η συάρτηση έχει μι τουλάχιστο, ρίζ στο, β MEΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ο πίκς τω όριστω ολοκληρωμάτω, που δώσμε πρπάω, δε είι ρκετός γι υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ μίς οποισδήποτε συάρτησης, ό- πως πχ τ ολοκληρώμτ d κι e d Σε τέτοιες περιπτώσεις ο υπολογισμός γίετι πλούστερος με τη βοήθει τω πρκάτω μεθόδω ολοκλήρωσης Μέθοδος ολοκλήρωσης κτά πράγοτες Η μέθοδος υτή εκφράζετι με το τύπο: g d g g d που είι συέπει του κό πργώγισης του γιομέου δύο πργωγίσιμω συρτήσεω, g σε έ διάστημ Δ Πράγμτι, γι κάθε Δ, έχουμε g g g, οπότε g g g

318 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Επομέως ή, ισοδύμ, g d g d g d g d g c g d Επειδή το ολοκλήρωμ του δεύτερου μέλους της περιέχει μι στθερά ολοκλήρωσης, το c μπορεί πρλειφθεί, οπότε έχουμε το πρπάω τύπο Ο πρπάω τύπος χρησιμοποιείτι γι το υπολογισμό ολοκληρωμάτω με τη προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμ του β μέλους υπολογίζετι ευκολότερ Γι πράδειγμ, ς υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ e d Έχουμε: e d e d e e d e e c Α, τώρ, δοκιμάσουμε υπολογίσουμε το πρπάω ολοκλήρωμ, λλάζοτς τους ρόλους τω κι e, βρίσκουμε e d e d e e d Το τελευτίο, όμως, ολοκλήρωμ είι πιο σύθετο πό το ρχικό ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ N υπολογιστού τ ολοκληρώμτ i e d ii ημ d iii lnd iv e ημ d ΛΥΣΗ i Έχουμε e d e d e e d e e d e e d e e e d e e e c Με το ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής

319 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ όπου P πολυώυμο του κι ii Έχουμε P e * ημd συ d συ συd συ ημ c Με το ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής όπου P πολυώυμο του κι iii Έχουμε d P ημ d, P συ d * d ln d ln d ln ln d ln c Με το ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής όπου P πολυώυμο του κι P ln d, * iv Θέτουμε I e ημ d, οπότε έχουμε I e ημ d e ημ e συ d e ημ e συ d e ημ e συ e ημd e ημ e συ I Επομέως, 5I e ημ e συ c, οπότε I e ημ e συ c 5 5 Με το ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής

320 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ e e ημ β d, συ β d όπου *, β Ο πληθυσμός P t, t, μις πόλης, που προέκυψε πό συγχώευση κοιοτήτω, υξάετι με ρυθμό σε άτομ ά έτος που δίετι πό το t/ τύπο P t te, t, όπου t είι ο ριθμός τω ετώ μετά τη συγχώευση Ν βρεθεί ο πληθυσμός P t της πόλης t χρόι μετά τη συγχώευση, γωρίζουμε ότι ο πληθυσμός ήτ κάτοικοι κτά τη στιγμή της συγχώευσης ΛΥΣΗ Έχουμε / P t dt te dt e t / tdt t / t / e t e dt οπότε t / t / te e c, t / t / P t te e c, γι κάποιο c Ότ t, ο πληθυσμός είι Συεπώς: P e e c c Αρ, ο πληθυσμός της πόλης, t χρόι μετά τη συγχώευση, είι t / t / P t te e Ολοκλήρωση με τικτάστση Με τη μέθοδο υτή υπολογίζουμε ολοκληρώμτ που έχου ή μπορού πάρου τη μορφή g g d Η μέθοδος ολοκλήρωσης με τικτάστση εκφράζετι με το κόλουθο τύπο: g g d u du, όπου u g κι du g d Ο πρπάω τύπος χρησιμοποιείτι με τη προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμ u du του δευτέρου μέλους υπολογίζετι ευκολότερ

321 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η πόδειξη του τύπου υτού στηρίζετι στο γωστό κό πργώγισης σύθετης συάρτησης Πράγμτι, F είι μι πράγουσ της, τότε F u u, οπότε F g g κι άρ g g d F g g d F g d φού F g F g g F g c F u c, όπου u g u du λόγω της Γι πράδειγμ, ς υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ d Θέτουμε u κι du d d, οπότε το ολοκλήρωμ γράφετι: d udu u / du u / c / c c ΕΦΑΡΜΟΓEΣ N υπολογισθού τ ολοκληρώμτ i e d e ii εφ d

322 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΛΥΣΗ i Θέτουμε u e, οπότε du e d e d Επομέως, e du d e u ημ ii Έχουμε εφd d συ du συ d ημd, έχουμε: u du c c u e Επομέως, θέσουμε u συ, οπότε εφd du ln u c ln συ c u Ν υπολογισθού τ ολοκληρώμτ i π ημ d ii 6 d 99 iii d ΛΥΣΗ i Θέτουμε Επομέως, ii Θέτουμε π π u, οπότε du d d 6 6 ημ π d 6 ημ π d ημudu 6 π συu c συ c 6 u, οπότε du d d Επομέως, d du u ln u iii Θέτουμε u, οπότε du d Άρ c ln c u d u du c c Ν υπολογισθού τ ολοκληρώμτ i d ii d 5 6

323 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 ΛΥΣΗ i Η συάρτηση έχει πεδίο ορισμού το {, } κι γράφετι 5 6 Αζητούμε πργμτικούς ριθμούς Α, Β έτσι, ώστε ισχύει A B, γι κάθε {, } Με πλοιφή προομστώ έχουμε τελικά: A B A B, γι κάθε {, } Η τελευτί ισότητ ισχύει γι κάθε {, }, κι μόο A B A B ή, ισοδύμ, A B 5 7 Επομέως, d d d 5 ln 7 ln c Με το ίδιο τρόπο εργζόμστε γι το υπολογισμό ολοκληρωμάτω της μορφής κ λ d, με β γ > β γ ii Α εκτελέσουμε τη διίρεση του πολυωύμου 7 με το πολυώυμο 5 6, βρίσκουμε ότι Επομέως, 7 d 5 6 d d ln 7 ln c λόγω του i Mε το ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής P d, β γ

324 6 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ όπου P πολυώυμο του βθμού μεγλύτερου ή ίσου του κι β γ > ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i e d ii e d iii ln d iv ημd v συd vi ln d, vii ln d viii e συ d i e ημ d N υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i ημ d ii 6 7 d iii 6 d iv d v d N υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i e ημ e d ii e e d iii d ln iv e d e ln e ημ v d B ΟΜΑΔΑΣ Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i ημ d συ ημ ii εφ lnσυ d iii συ e d

325 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i d ii d iii ln d N υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i ln d ii ln t dt iii e συe d N υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i εφ d κι d συ ii συ d ημ κι συ d ημ iii ημ d κι συ d 5 Με τη βοήθει τω τύπω συ ημ κι υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ: συ συ i ημ d ii συ d iii ημ συ d 6 Mε τη βοήθει τω τύπω ημ συβ ημ β ημ β, συ συβ συ β συ β ημ ημβ συ β συ β υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ: i ημ συd ii συ συ5d iii ημ ημd 7 Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i d ii d iii d iv d

326 8 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Γεικά Στο προηγούμεο κεφάλιο είδμε ότι, ότ γωρίζουμε τη συάρτηση θέσης St εός κιητού, μπορούμε βρούμε τη τχύτητ κι τη επιτάχυση του κιητού Πολλές φορές, όμως, είι γωστή η τχύτητ υ υt ή η επιτάχυση t του κιητού κι ζητείτι η θέση του Γι πράδειγμ: A έ κιητό κιείτι ευθυγράμμως με στθερή τχύτητ c, γι προσδιορίσουμε τη θέση του St, ρκεί λύσουμε ως προς τη εξίσωση c A σε έ σώμ μάζς m σκείτι δύμη F Ft, τότε το σώμ κιείτι με επιτάχυση t η οποί, σύμφω με το ο όμο της μηχικής, δίετι πό το τύπο F m ή, ισοδύμ, F m, όπου St η συάρτηση θέσης του σώμτος Επομέως, γι προσδιορίσουμε τη θέση St του σώμτος, ρκεί λύσουμε τη εξίσωση m F Εξισώσεις όπως οι κι λέγοτι διφορικές εξισώσεις Γεικά, ΟΡΙΣΜΟΣ Διφορική εξίσωση λέγετι κάθε εξίσωση που περιέχει τη μετβλητή, μι άγωστη συάρτηση κι κάποιες πό τις πργώγους της,, Γι πράδειγμ, οι εξισώσεις,, είι διφορικές εξισώσεις Η μεγλύτερη πό τις τάξεις τω πργώγω που εμφίζοτι στη εξίσωση οομάζετι τάξη της διφορικής εξίσωσης Έτσι οι εξισώσεις κι είι διφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως, εώ η είι δευτέρς τάξεως Κάθε συάρτηση που επληθεύει τη διφορική εξίσωση λέγετι λύση της εξίσωσης Γι πράδειγμ, η συάρτηση είι μι λύση της διφορικής εξίσωσης, φού Το σύολο όλω τω λύσεω μις διφορικής εξίσωσης λέγετι γεική λύση της εξίσωσης

327 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Γι πράδειγμ, η γεική λύση της εξίσωσης είι η c, c Συχά ζητάμε εκείη τη λύση της διφορικής εξίσωσης που ικοποιεί μι ρχική συθήκη Γι βρούμε τη λύση υτή, βρίσκουμε πρώτ τη γεική λύση της εξίσωσης κι με τη βοήθει της ρχικής συθήκης προσδιορίζουμε τη ζητούμεη λύση Γι πράδειγμ, η λύση της διφορικής εξίσωσης, που ικοποιεί τη ρχική συθήκη, είι η συάρτηση, φού πό τη γεική λύση c, γι κι είι c Στη συέχει θ σχοληθούμε μόο με δυο ειδικές μορφές διφορικώ εξισώσεω πρώτης τάξεως: Τις εξισώσεις με χωριζόμεες μετβλητές κι Tις γρμμικές διφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως Διφορικές εξισώσεις με χωριζόμεες μετβλητές Έχει ποδειχτεί πειρμτικά, ότι ο ρυθμός μετβολής, ως προς το χρόο, του πληθυσμού Pt μις κοιωίς, η οποί δε επηρεάζετι πό εξωτερικούς πράγοτες, είι άλογος του πληθυσμού Δηλδή, ισχύει P t P t, όπου θετική στθερά Α ο ρχικός πληθυσμός της κοιωίς είι P, δηλδή P P, γι βρούμε το πληθυσμό P t ύστερ πό χρόο t, θ λύσουμε τη πρπάω διφορική εξίσωση Επειδή P t >, η εξίσωση γράφετι P t, P t οπότε ολοκληρώοτς κι τ δυο μέλη της, έχουμε διδοχικά: P t dt P t dt ln P t t c P t t c e, t t ce, με c P Επειδή P P, είι c P, οπότε P t t P e c e

328 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η πρπάω διφορική εξίσωση λέγετι διφορική εξίσωση με χωριζόμεες μετβλητές Γεικά, OΡΙΣΜΟΣ Διφορική εξίσωση με χωριζόμεες μετβλητές λέγετι κάθε εξίσωση της μορφής β, όπου η άγωστη συάρτηση, συάρτηση του κι β συάρτηση του Γι λύσουμε τη εξίσωση υτή ολοκληρώουμε κι τ δύο μέλη της ως προς Έχουμε d β d Επειδή, είι d d d, οπότε έχουμε d β d Α A είι μι πράγουσ κι B μι πράγουσ της β, τότε η γράφετι A B c, c Από τη τελευτί εξίσωση προσδιορίζουμε τη γεική λύση της διφορικής εξίσωσης ΣΧΟΛΙΟ Η ισότητ μς επιτρέπει γράφουμε τη διφορική εξίσωση στη άτυπη μορφή της d β d κι ολοκληρώουμε τ μέλη της, το με πρώτο μέλος της ως προς, το δε δεύτερο μέλος της ως προς ΕΦΑΡΜΟΓH N λυθού οι διφορικές εξισώσεις i, κι > ii, iii -, > ΛΥΣΗ

329 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ i H εξίσωση γράφετι διδοχικά Άρ, d, d d d d d ln ln c, c ln c ln c c ln e e c, όπου e c, c > > *, c > Σχ O c c c ii Η εξίσωση γράφετι διδοχικά d d d d d d c O c c Άρ, όπου c Σχ c iii Η εξίσωση γράφετι διδοχικά d d c9 c d d d d c O c c, c > Άρ, c, > c Σχ

330 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Γρμμικές διφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως Από τη Φυσική γωρίζουμε ότι στο διπλό L κύκλωμ ισχύει ο κός του Kicrhho Δηλδή, di t L R I t V t R I dt Γι προσδιορίσουμε τη έτση, I t, του ρεύμτος που διρρέει το κύκλωμ, είι άγκη λύσουμε τη διφορική εξίσωση Η εξίσωση υτή λέγετι γρμμική διφορική εξίσωση πρώτης τάξεως Γεικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Γρμμική διφορική εξίσωση πρώτης τάξεως λέγετι κάθε εξίσωση της μορφής β, όπου είι η άγωστη συάρτηση κι, β συρτήσεις του Γι τη επίλυση της εξίσωσης υτής: Αζητούμε μι πράγουσ A της συάρτησης κι έπειτ Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της εξίσωσης με Έτσι, έχουμε διδοχικά A A e e A A e A e β e A e β e A A A A A e e β e e A A e β e A d β e d A e A B c, όπου B μι πράγουσ της A β e ΕΦΑΡΜΟΓH Ν λυθεί η διφορική εξίσωση ΛΥΣΗ

331 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Επειδή μι πράγουσ της είι η A, πολλπλσιάζουμε κι τ δυο μέλη της εξίσωσης με e Έτσι, έχουμε διδοχικά e e e e e e e c ce, c ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N λύσετε τις διφορικές εξισώσεις: i, > ii, > iii Ν λύσετε τις διφορικές εξισώσεις: iv e συ i ii e iii iv N βρείτε τη λύση της διφορικής εξίσωσης, <, της οποίς η γρφική πράστση διέρχετι πό το σημείο A, Ν βρείτε τη λύση της διφορικής εξίσωσης που ικοποιεί τη συθήκη / 5 Ν λύσετε τις διφορικές εξισώσεις: i ii, συ συ ln, Β ΟΜΑΔΑΣ

332 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η έτση του ηλεκτρικού ρεύμτος Ι σε έ ηλεκτρικό κύκλωμ ικοποιεί τη εξίσωση I ημt Α I, βρείτε τη έτση di dt I t Ν βρείτε τη λύση της διφορικής εξίσωσης διέρχετι πό το σημείο A, e e, η οποί Ν λύσετε τη διφορική εξίσωση Η κλίση της εφπτομέης μις γρμμής C με εξίσωση, > στο σημείο M, είι ίση με Ν βρείτε τη εξίσωση της C, είι γωστό ότι διέρχετι πό το σημείο A, 5 Έστω, β, λ στθερές, με > λ > i Ν λύσετε τη εξίσωση λt βe ii Α t είι μι λύση της εξίσωσης, ποδείξετε ότι ισχύει lim t t 6 Έχει ποδειχτεί πειρμτικά ότι ο ρυθμός μετβολής της θερμοκρσίς θ εός σώμτος, ότ υτό βρεθεί σε περιβάλλο στθερής θερμοκρσίς Τ με θ > T, είι dθ dt k θ Τ, k > Ν βρείτε τη θερμοκρσί θ t, θ θ 7 Ο πληθυσμός P Pt μις χώρς μετστεύει με στθερό ρυθμό m > Δίετι ότι ο ρυθμός ύξησης του πληθυσμού Ρ, δε υπήρχε η μετάστευση, θ ήτ άλογος του Ρ i Ν δικιολογήσετε ότι ο πληθυσμός Ρ ικοποιεί τη εξίσωση P kp m, k > στθερά ii Ν βρείτε τη συάρτηση P Pt, P P iii Ν ποδείξετε ότι: A m < kp, τότε ο πληθυσμός υξάετι A m > kp, τότε ο πληθυσμός μειώετι

333 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 5 A m kp, τότε ο πληθυσμός πρμέει στθερός 8 Έστω t το ύψος κι V V t ο όγκος του ερού μις δεξμεής τη χροική στιγμή t Η δεξμεή δειάζει πό μι κυκλική οπή εμβδού που βρίσκετι στο πυθμέ της Σύμφω με το όμο του Torricelli ο ρυθμός μετβολής του όγκου του ερού είι dv dt g, g m/s i Α η δεξμεή είι κυλιδρική με ύψος,6m, κτί m κι η κτί της οπής είι,m, ποδείξετε ότι το ικοποιεί τη εξίσωση 5 Vt t 5 ii Ν βρείτε το ύψος t, είι γωστό ότι τη χροική στιγμή t η δεξμεή ήτ γεμάτη iii Πόσος χρόος θ χρειστεί γι - δειάσει τελείως η δεξμεή; Δίετι ότι ο όγκος του κυλίδρου είι V πr υ 9 Ές βημτοδότης ποτελείτι πό μι μπτρί κι έ πυκωτή, κρδιά εώ η κρδιά πίζει το ρόλο της τίστσης, όπως φίετι στο σχήμ Οτ ο δικόπτης S Q R βρίσκετι στη θέση Ρ, ο πυκωτής φορτίζετι ε- P S C ώ, ότ βρίσκετι στη θέση Q, ο πυκωτής εκφορτίζετι κι προκλεί E ηλεκτρικό ερέθισμ στη κρδιά Κτά τη διάρκει υτή στη κρδιά εφρμόζετι ηλεκτρεγερτική δύμη Ε που ικοποιεί τη εξίσωση όπου de E, t < t < t dt RC R, C στθερές Ν βρείτε τη E t, E t E υ