Κεφ αλαιο9. ΗΧαµιλτονιαν ηθε ωρηση. 9.1 Εισαγωγ η

Transcript

1 Κεφ αλαιο9 ΗΧαµιλτονιαν ηθε ωρηση Μεαντρε ια,µεσκληρ οτηταστερ εωσεαπ ανω στοσαλευ οµενοχ αο τοκαταστρ ογγυλο, τοκαταφ ωτιστοαλ ωνιτουνου, ν αλων ισει,ναλιχν ισει,σανοικοκ υρη,τασ υµπαντα. Ν ικο Καζαντζ ακη 9.1 Εισαγωγ η d 2 x i dt 2 = F i. (9.1) εδοµ ενωντωναρχικ ωνθ εσεωνκαιτωνταχυτ ητωντωνσωµατιδ ιων, κ αθεσωµατ ιδιοδιαγρ αφειµ ιατροχι αστοντρισδι αστατοευκλε ιδειοχ ωρο. Οτανπρ οκειταιγια Nσωµατ ιδια, εχουµε Nτροχι ε στοντρισδι αστατο χ ωρο. Στηνευτ ωνειαθε ωρησηηκ ινησηεξελ ισσεταιστοντρισδι αστατο φυσικ οχ ωροκαικ αθεσωµατ ιδιοδιαγρ αφειµ ιαξεχωριστ ητροχι α. Αντ ιθεταµετησ υµφωνηµετι αισθ ησει µα εξ ελιξητουσυστ ηµατο στηνευτ ωνειαθε ωρηση,στηλαγκρανζιαν ηθε ωρησηηκ ινησητουσυστ η- Ηκ ινησηαπ οτοχ ωρο Κατ ατηνευτ ωνειαθε ωρησητη µηχανικ η,µπορο υµεναπροσδιορ ισουµετηθ εση x i κ αθεσωµατιδ ιουσε ενααδρανειακ οκαρτεσιαν οσ υστηµααναφορ α,ανγνωρ ιζουµετηδ υναµη F i πουασκε ιταιστοσωµατ ιδιο,ολοκληρ ωνοντα τοδε υτερον οµοτουνε υτωνα µατο διαδραµατ ιζεταιστοναφηρηµ ενοπολυδι αστατοκαι οχικατ αν αγκηνευκλε ιδειοχ ωροτωνγενικευµ ενωνθ εσεωνκαιητροχι α ολουτουσυστ ηµατο σεαυτ οτοχ ωροε ιναιµ ιακαιµοναδικ η.αυτ οσηµα ινει οτι,αν ηθ εσητωνσωµατιδ ιωνπροσδιορ ιζεταιαπ οτι nγενικευµ ενε συντεταγ- µ ενε q i,ητροχι ατουσυστ ηµατο ε ιναιµ ιαµοναδικ ηκαµπ υληστον n- δι αστατοχ ωροτωνγενικευµ ενωνθ εσεων.οχ ωρο αυτ ο, οπω εχουµε αναφ ερειστοκεφ αλαιο 4,ε ιναιοκαλο υµενο θεσεογραφικ ο χ ωρο.η τροχι ατουσυστ ηµατο Nσωµατιδ ιωνστοθεσεογραφικ οχ ωροε ιναιµ ια καµπ υλησε εναχ ωρο 3Nδιαστ ασεων,αφο υαπαιτο υνται 3Nσυντεταγ- µ ενε γιατονπροσδιορισµ οτη θ εση ολωντωνσωµατιδ ιων. Γιαναγ ινειπιοαπτ ηηδιαφορ αµεταξ υτουχ ωρουστονοπο ιοπραγ- µατοποιε ιταιηκ ινησηστηνευτ ωνειαθε ωρησηκαιτουαντ ιστοιχουχ ω- 273 τωναισθ ησεωνστο θεσεογραφικ οχ ωρο

2 274 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ρουστηλαγκρανζιαν ηθε ωρηση,απεικον ιζουµεστου αντ ιστοιχου χ ωρου τηνκ ινησηδ υοασ υζευκτωνεκκρεµ ων,ταοπο ιαεκτελο υνµικρ ε ταλαντ ωσει στο ιδιοκατακ ορυφοεπ ιπεδοµ εσαστοπεδ ιοβαρ υτητα τη Γη.Ταµ ηκητωνεκκρεµ ων εχουνλ ογο 1 : 2.Ητροχι ατουσυστ ηµατο τωνεκκρεµ ωνστηνευτ ωνειαθε ωρησηαποτελε ιταιαπ οδ υοκυκλικ α τ οξαστοκατακ ορυφοεπ ιπεδο x y, οπω φα ινεταιστοσχ ηµα9.1(α).στη λαγκρανζιαν ηθε ωρησηητροχι ατουσυστ ηµατο ε ιναιµ ιαπερ ιπλοκηκα- µπ υλη.ανπροσδιορ ισουµετηθ εσητωνδ υοεκκρεµ ωνµετι δ υογων ιε απ οκλιση αυτ ωναπ οτηνκατακ ορυφο,ηκ ινησητου γιαορισµ ενε αρχικ ε συνθ ηκε καιγιακ αποιοχρονικ οδι αστηµαδ ινεταιαπ οτηνκαµπ υλη τουσχ ηµατο 9.1(β). Ανθ ελουµεναε ιµαστεακρι ολ ογοι,οχ ωρο των θ εσεωνεξαιτ ια τη περιοδικ οτητα τωνσυντεταγµ ενωναυτ ωνθαε ιναι τοπολογικ α ενα τ ορο (που εχειτοσχ ηµαµια σαµπρ ελα ), ενα κλειστ ο δηλαδ ηχ ωρο (βλ.σχ ηµα 9.1(γ)). Επειδ ηστηλαγκρανζιαν ηθε ωρησηοιανεξ αρτητε µετα λητ ε ε ιναιοιθ εσει q i καιοιγενικευµ ενε τα- Σχ ηµα9.1: (α)οιτροχι ε δ υοασ υζευκτωνεπ ιπεδωνεκκρεµ ωνστηνευτ ωνειαθε ωρηση. (β)ητροχι ατουσυστ ηµατο τωνδ υοεκκρεµ ωνστοχ ωροτωνγενικευµ ενωνθ εσεων.η θ εσητουσυστ ηµατο προσδιορ ιζεταιαπ οτι γων ιε θ 1 και θ 2 πουσχηµατ ιζουνταεκκρεµ ηµετηνκατακ ορυφο.ητροχι αστοθεσεογραφικ οχ ωρογια εναπεπερασµ ενοχρονικ οδι αστηµαε ιναιηκαµπ υληπουφα ινεταιστοσχ ηµα.οθεσεογραφικ ο χ ωρο ε ιναι τοτετρ αγωνο π θ 1 < π, π θ 2 < πτουοπο ιουοιαντ ιθετε πλευρ ε ταυτ ιζονται λ ογωτη κυκλικ οτητα τουορισµο υτωνγωνι ων.τ ετοιατετρ αγωναε ιναιτοπολογικ α ισοδ υναµαµε εναναπλ οτ ορο (γ).οθεσεογραφικ ο χ ωρο µπορε ι,λοιπ ον,ναε ιναικα- µπ υλο. Οποιαµορφ η, οµω,καιαν εχειοχ ωρο,ηκ ινησηστηλαγκρανζιαν ηθε ωρηση δ ινεταιπ αντααπ οτι ιδιε εξισ ωσει,τι εξισ ωσει Euler-Lagrange.

3 9.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 275 χ υτητε q i,οιτροχι ε στοχ ωροτωνθ εσεωνµπορο υννατ εµνονται,δι οτι σεκ αθεσηµε ιοτουχ ωρουτωνθ εσεωναντιστοιχο υνπολλ ε γενικευµ ενε Στοθεσεογραφικ ο ταχ υτητε.γιαπαρ αδειγµα,τοκ αθεεκκρεµ ε δι ερχεταιαπ οτοκατ ωτερο χ ωροοιτροχι ε σηµε ιοκινο υµενοπ οτεµεθετικ ηκαιπ οτεµεαρνητικ ηταχ υτητα. µπορο υννατ εµνονται Γιανααποφ υγουµετηντοµ ητωντροχι ων (πουε ιναιεµφαν η στο Σχ ηµα 9.1(β)),επειδ ηοιεξισ ωσει Euler-Lagrangeε ιναιδε υτερη τ αξη, πρ επειγια ενασ υστηµα nβαθµ ωνελευθερ ια ναθεωρ ησουµε εναχ ωρο 2nδιαστ ασεων. Ενα τ ετοιο χ ωρο στηλαγκρανζιαν ηθε ωρησηε ιναι οχ ωρο τωνθ εσεωνκαιτωνταχυτ ητων 1 τονοπο ιογρ αφουµε (q, q), εχοντα παραλε ιψειγιαλ ογου συντοµ ια του δε ικτε. Σεαυτ οντοχ ωρο τωνθ εσεωνκαιτωνταχυτ ητωνοιτροχι ε τουσυστ ηµατο προσδιορ ιζονταιαπ οτι εξισ ωσει Euler-Lagrangeπουµπορο υνναγραφο υνισοδυν αµω ω ενασ υστηµα 2nδιαφορικ ωνεξισ ωσεωνπρ ωτη τ αξη dq i dt dp i dt = q i, (9.2) = L. (9.3) οπουηκανονικ ηορµ η p i ορ ιζεταιω συν αρτηση ολωντων q, qµ εσωτη σχ εση p i = L q i. (9.4) Στι εξισ ωσει αυτ ε οιγενικευµ ενε θ εσει qκαιοιγενικευµ ενε ταχ υτητε qεµφαν ιζονταιω ανεξ αρτητε µετα λητ ε,καταδεικν υοντα οτι γιατονπροσδιορισµ οτη τροχι α απαιτε ιται οχιµ ονοηγν ωσητων q i αλλ α καιτων q i. Ηκατασκευ η, οµω,τη µοναδικ η αυτ η τροχι α στοχ ωροτωνθ εσεωνκαιτωνταχυτ ητων (q, q)ε ιναιιδια ιτεραπερ ιπλοκη.α υποθ εσουµε Χτ ιζοντα β ηµα-β ηµα οτιτοσ υστηµαβρ ισκεταιστηναρχικ ηκατ ασταση (q(0), q(0)).υπολογ ιζουµεπρ ωτααπ οτηνεξ ισωση (9.4)τηναντ ιστοιχηκανονικ ηορ-µ η p(0). Στησυν εχειαυπολογ ιζουµε υστερααπ οχρ ονο δt,αρκο υντω µικρ ο,την p(δt)απ οτην (9.3)µ εσωτη σχ εση p(δt) p(0) + δt L, (9.5) (q(0), q(0)) ηκ αποιου αλλουακρι εστερουτ υπουαριθµητικ η ολοκλ ηρωση.ην εα θ εσηπροσδιορ ιζεταιµ εσωτη (9.2)ω q(δt) q(0) + δt q(0). (9.6) Εχοντα προσδιορ ισειτην εαθ εση q(δt)καιτηνορµ η p(δt),προσδιορ ιζουµεαπ οτην (9.4),πουε ιναιµιααλγε ρικ ηεξ ισωσηω προ q(δt),τη 1 Προσ εξτε οτικαισεαυτ οντοχ ωροενδ εχεταινατ εµνονταιοιτροχι ε.αυτ ο,β ε αια, συµ α ινειµ ονο οτανηλαγκρανζιαν η εχει αµεσηεξ αρτησηαπ οτοχρ ονο. Ανθ ελαµε νααποφ υγουµετηντοµ ητωντροχι ωνκαιγιατι χρονοεξαρτ ωµενε Λαγκρανζιαν ε θα επρεπεναεµ απτ ισουµετηνκ ινησηστο (2n+1)-δι αστατοχ ωροτωνθ εσεων,τωνταχυτ ητωνκαιτουχρ ονου (q, q, t).σε εναντ ετοιοχ ωροε ιναιαδ υνατοννατµηθο υνοιτροχι ε τουσυστ ηµατο. τηντροχι αστοχ ωρο θ εσεων-ταχυτ ητων.

4 276 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ Μ ηπω ε ιναι ευκολ οτερηη κατασκευ ητη τροχι α στοχ ωροτων θ εσεων-ορµ ων; Πρ αγµατι,αλλ α χρειαζ οµαστεµια κατ αλληλησυν αρτηση εξ ελιξη ν εα q(δt)καιεπαναλαµ ανοντα πολλ ε φορ ε ολαταπροηγο υµεναβ η- µαταπροσδιορ ιζουµετελικ α ολητηντροχι α. Ηδιαδικασ ιααυτ ηκατασκευ η τη τροχι α ε ιναιανµητι αλλο ακο- µψη.ηµεγ αλησυµ ολ ητουhamiltonσυν ισταταιστηνπαρατ ηρηση οτιη τροχι αδενπρ επειναθεωρηθε ι οτιεκτυλ ισσεταιστοχ ωροτωνθ εσεωνκαι τωνταχυτ ητων (q, q),αλλ αστοχ ωροτωνθ εσεωνκαιτωνορµ ων (q, p).ο χ ωρο αυτ ο ονοµ αζεταιχ ωρο τωνφ ασεων.στηχαµιλτονιαν ηθε ωρηση, εναµηχανικ οσ υστηµαπεριγρ αφεταιµεανεξ αρτητε µετα λητ ε τι θ εσει καιτι ορµ ε,εν ωοιγενικευµ ενε ταχ υτητε qθεωρο υνταισυναρτ ησει τωνθ εσεωνκαιτωνορµ ων. Αυτ οσηµα ινει οτιστηχαµιλτονιαν η θε ωρησηηγενικευµ ενηταχ υτητα q(q, p)θαπα ιζειτορ ολοπου επαιζεη κανονικ ηορµ η p(q, q)στηλαγκρανζιαν ηθε ωρηση. Στηλαγκρανζιαν ηθε ωρησηηορµ η p(q, q)ορ ιζεταιµ εσωτη λαγκρανζιαν η συν αρτηση ω ηακ ολουθησυν αρτησητωνθ εσεωνκαιτωνταχυ- τ ητων: p i = L(q, q, t) q i. (9.7) Θαδε ιξουµε οτιαπ οτηλαγκρανζιαν ηµπορε ινακατασκευαστε ιµ ιαν εα συν αρτησητωνθ εσεωνκαιτωνορµ ων H(q, p, t)µ εσωτη οπο ια οιγενικευµ ενε ταχ υτητε q(q, p)προκ υπτουναπ οτησχ εση q i = H(q, p, t). (9.8) Ησυν αρτησηαυτ η H(q, p, t)λ εγεταιχαµιλτονιαν ησυν αρτηση ηαπλ αχα- µιλτονιαν η.στηχαµιλτονιαν ηθε ωρησηανταλλ ασσονταιοιρ ολοιτωνγενικευµ ενωνταχυτ ητωνµετι κανονικ ε ορµ ε καιαντικαθ ισταταιηλαγκρανζιαν η L(q, q, t)απ οτηχαµιλτονιαν η H(q, p, t),ηοπο ια, οπω θα δο υµεπαρακ ατω,παρ αγειτηνκ ινησητουσυστ ηµατο µεαπλ οτρ οπο. 9.2 Μετασχηµατισµ ο Legendre Τιε ιναιο µετασχηµατισµ ο Legendre; Ηαλλαγ ηαπ οτην L(q, q, t)στην H(q, p, t), ετσι ωστεναικανοποιο υνταιοιαντ ιστροφε σχ εσει (9.7)και (9.8),επιτυγχ ανεταιµετοναποκαλο υµενοµετασχηµατισµ ο Legendre. Γιανακατανο ησουµετοντρ οποµε τονοπο ιο δουλε υει αυτ ο οµετασχηµατισµ ο,θαξεκιν ησουµεκατασκευ αζοντα τοµετασχηµατισµ οlegendreµια συν αρτηση µ ια µετα λητ η. Εστω,ησυν αρτησηµ ια µετα λητ η f(x).ηπαρ αγωγ ο τη ορ ιζει την εασυν αρτηση p(x) = df dx. (9.9) Οµετασχηµατισµ ο Legendreτη f(x)ε ιναιεκε ινηησυν αρτησητη p, g(p),ηοπο ια εχειτηνιδι οτητανα εχειω παρ αγωγοτηναντ ιστροφησυ- ν αρτησητη p(x), x(p) x(p) = dg dp. (9.10)

5 9.2. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LEGENDRE 277 Σχ ηµα9.2:γραφικ ηκατασκευ ητουµετασχηµατισµο υlegendre.ανµ ιασυν αρτηση f(x) εχεικαµπυλ οτητασταθερο υπροσ ηµου,δηλαδ ηηp(x) = df/dxε ιναιαυστηρ αµον οτονη,µπορε ιναοριστε ιηαντ ιστροφητη p(x),ηx(p).στοδι αγραµµααπεικον ιζεταιη µον οτονηκαµπ υλη p(x)καιαναντιστρ εψεικανε ι του αξονε µπορε ιναδια ασεικαι τηναντ ιστροφησυν αρτηση, x(p). Π ω µπορε ι, οµω,κανε ι νακατασκευ ασειµιατ ετοιασυν αρτηση g(p); Α υποθ εσουµε οτιηx(p),ηαντ ιστροφηδηλαδ ησυν αρτησητη p(x), υπ αρχει. Ανγιαπαρ αδειγµαεπιλ εξουµετησυν αρτηση f(x) = x 3 /3,η συν αρτηση p(x)ε ιναιηp(x) = df/dx = x 2,οπ οτε x(p) = p. Αυτ ηη αντιστροφ ηµπορε ιναεπιτευχθε ιαν dp dx = d2 f dx 2 0, (9.11) δι οτι,τ οτε,υπ αρχειαµφιµονοσ ηµαντηαντιστοιχ ιαµεταξ υτη xκαιτη p, οπ οτευπ αρχειηαντ ιστροφησυν αρτηση x(p).εννοε ιται οτιηπαραπ ανω συνθ ηκηθαπρ επειναισχ υεισε ολητηνπεριοχ ηενδιαφ εροντο.με αλλα λ ογιαγιαναυπ αρχειµετασχηµατισµ ο Legendreτη fαπαιτε ιταιηκα- µπυλ οτητατη συν αρτηση στηνπεριοχ ηαυτ ηναπαρουσι αζεισταθερ ο πρ οσηµο. Απ οτηστιγµ ηπου εχουµεπροσδιορ ισειτην p(x),ορ ιζουµετησυν αρτηση g(p) = x(p)p f (x(p)), (9.12) στηνοπο ιατο xθεωρε ιταισυν αρτησητου p. Η g(p)ε ιναιοζητο υµενο µετασχηµατισµ ο Legendreτη f(x).πρ αγµατι Συνθ ηκη υπαρξη του µετασχηµατισµο υ Ησυνταγ ητου µετασχηµατισµο υ ουλε υεισωστ α; dg dp = dx(p) df dx(p) p + x(p) = x(p), (9.13) dp dx dp αφο υεξορισµο υ p = df/dx. Τακαταφ εραµε,αλλ απ ω σκεφτ ηκαµεαυτ ητηνκατασκευ η; Εστω Ναι,αλλ αγιατ ι; οτιηp(x) εχειω γρ αφηµααυτ οτουσχ ηµατο 9.2.Το ιδιογρ αφηµαµπορε ιναεκφρ ασεικαιτην x(p),ανανταλλ αξουµετου αξονε.τοεµ αδ ον

6 278 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ τουχωρ ιου (x 0 xba)ε ιναι E (x0 xba) = x x 0 p(x)dx = x x 0 df dx dx = f(x) f(x 0). (9.14) Οµο ιω,τοεµ αδ οντουχωρ ιου (p 0 pba)ε ιναι E (p0 pba) = p p 0 x(p)dp = p p 0 dg dp dp = g(p) g(p 0). (9.15) Το αθροισµατωνδ υοαυτ ωνεµ αδ ωνε ιναιηδιαφορ ατωνδ υοορθογων ιων E (x0 xba) + E (p0 pba) = p x p 0 x 0. (9.16) Συνεπ ω, f(x) f(x 0 ) + g(p) g(p 0 ) = p x p 0 x 0. (9.17) Αυτ οσηµα ινει οτιηποσ οτητα f(x) + g(p) p x, (9.18) πρ επειναισο υταιµεµ ιασταθερ α C.Μ αλιστα,επειδ ηηαντ ιστροφησυν αρτησητη p(x) x(p) = dg(p) dp, προσδιορ ιζεται υστερααπ οπαραγ ωγισητη g(p)µπορο υµεναενσωµατ ωσουµεστην g(p)τησταθερ α Cκαινασυναγ αγουµε, οπω διαπιστ ωσαµεπροηγουµ ενω, οτιοπλ εονγενικ ο µετασχηµατισµ ο Legendreτη f(x)ε ιναιο g(p) = p x(p) f (x(p)). (9.19) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση9.1. ε ιξτε οτιοµετασχηµατισµ ο Legendreτη f(x) = x α /αµε α > 1 ε ιναιηg(p) = p β /βµετου εκθ ετε ακαι βναικανοποιο υντησχ εση 1 α + 1 β = 1. Ασκηση9.2. ε ιξτε οτι,ανικανοποιε ιταιηεξ ισωση Clairaut y = px g(p)µε p = dy/dxκαι g(p)κ αποιασυν αρτησηµεκαµπυλ οτητασταθερο υπροσ ηµου,τ οτεικανοποιε ιταικαιηδιαφορικ ηεξ ισωση x = dg/dp.βρε ιτεµ ιαλ υσητη εξ ισωση Clairaut για g(p) = p 2 /2.Κατασκευ αστεµ ιαοικογ ενειαλ υσεωνδοκιµ αζοντα λ υσει τη µορφ η y = αx+βκαισχεδι αστετι λ υσει αυτ ε.μπορε ιτεναβρε ιτετησχ εσηπου εχουνοιλ υσει αυτ ε µετηνπρ ωτηλ υσηπουβρ ηκατε;[απ αντηση:ηπρ ωτηλ υσηαποτελε ιτηνπερι αλλουσατη οικογ ενεια τωνλ υσεων.ηπερι αλλουσατη οικογ ενεια f(x, α) = 0 ορ ιζεταιηκαµπ υληπουεφ απτεταισε ολε τι καµπ υλε τη οικογ ενεια καιπροσδιορ ιζεταιαναπαλε ιψουµετο ααπ οτι f = 0και f/ α = 0.] Ποιο ε ιναιο µετασχηµατισµ ο Legendre του µετασχηµατισµο υ Legendre; Ε ανηg(p)ε ιναιοµετασχηµατισµ ο Legendreτη f(x),τ οτεποιο ε ιναιοµετασχηµατισµ ο Legendreτη g(p);θαδε ιξουµε οτιε ιναιηαρχικ η συν αρτηση f(x).πρ αγµατι,ηαρχικ ησυν αρτηση f(x)εκφρ αζεταιµ εσω τη (9.19) ω f(x) = p x g(p), (9.20)

7 9.2. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LEGENDRE 279 οπουτ ωρα ολατα pπουεµφαν ιζονταιθεωρο υνταισυναρτ ησει του x. Μπορο υµεναπροσδιορ ισουµετησυν αρτηση p(x)επιλ υοντα την x(p) = dg/dpω προ p. Γιαναµπορε ι,β ε αια,ναεκφραστε ιηpω συν αρτησητου xµ εσωτη σχ εση x(p) = dg/dpπρ επειναισχ υει οτι Επειδ η, οµω,ισχ υει οτι dx dp = d2 g dp 2 0. (9.21) d 2 f dx 2 d 2 g dp 2 = dp dx dx dp = 1, (9.22) η υπαρξηµετασχηµατισµο υ Legendreτη f(x)επι ε αι ωνειαυτοµ ατω την υπαρξηµετασχηµατισµο υlegendreκαιτη g(p). Ασκηση9.3.Επι ε αι ωστε οτιπρ αγµατιηf(x)ε ιναιοµετασχηµατισµ ο Legendre ΑΣΚΗΣΕΙΣ τη g(p),δηλαδ η οτιισχ υει p = df/dx. Η ιδιαδιαδικασ ιαµπορε ιναακολουθηθε ι,αν εχουµεπολλ ε µετα λη- Καιαν εχουµε τ ε. Εστω,γιαπαρ αδειγµα,ησυν αρτηση συν αρτηση περισσ οτερων f(x 1, x 2,...,x n ), µετα λητ ων; ηοπο ιαορ ιζειτι συναρτ ησει των x k p i = f x i. Εστω οτιεπιλ εξαµενααπαλε ιψουµε εναυποσ υνολοτωνµετα λητ ων {x i,µε i = 1,...,k}αντικαθιστ ωντα τε µετι αντ ιστοιχε p i καιαναζητο υµετοµετασχηµατισµ οlegendre g(p 1,...,p k, x k+1,...,x n ) τη fω προ τι µετα λητ ε {x i,µε i = 1,...,k}.Αυτ ο οµετασχηµατισµ ο Legendreδ ινεταιαπ οτοντ υπο ( k ) g(p 1,...,p k, x k+1,...,x n ) = p i x i f(x 1, x 2,...,x n ). (9.23) Ε υκολαδιαπιστ ωνουµε οτιηπαραπ ανω gικανοποιε ιτι σχ εσει i=1 x i = g,για i = 1,..., k. (9.24)

8 280 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ Στην εκφραση (9.23)τα {x i,µε i = 1,..., k}θεωρο υνταισυναρτ ησει των p 1,...,p k, x k+1,...,x n καιπροσδιορ ιζονταιανεπιλ υσουµετι kεξισ ωσει p i = f x i. Απαρα ιτητηπρο π οθεσηγιαναε ιναιδυνατ ηαυτ ηηαντιστροφ ηε ιναιο ακ ολουθο k kεσσιαν ο (Hessian), οπω αποκαλε ιται,π ινακα ναε ιναιθετικ ο. 2 f x i x j για 1 i, j k, (9.25) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση9.4.Αποδε ιξτετηνισχ υτωνεξισ ωσεων (9.24). 9.3 ΗΧαµιλτονιαν η HΛαγκρανζιαν ηεν ο φυσικο υσυστ ηµατο ε ιναισυν αρτησητωνγενικευµ ενωνσυντεταγµ ενων q i,τωνταχυτ ητων q i και,ενγ ενει,τουχρ ονου, δηλαδ ηε ιναιµιασυν αρτησητη µορφ η L(q 1,...,q n, q 1,..., q n, t). Οικανονικ ε ορµ ε πουορ ιζονταιω p i = L q i, Απ οτα qκαι qστα qκαι p ε ιναισυναρτ ησει των q i, q i καιτουχρ ονουκαιορ ιζονταιχωρ ι ναγ ινεται καµ ιααναφορ αστηφυσικ ηκ ινησητουσυστ ηµατο.προκ υπτουνω µαθηµατικ ακατασκευ ασµατα αµεσααπ οτηλαγκρανζιαν η.ηχαµιλτονιαν ηορ ιζεταιω οµετασχηµατισµ ο Legendreτη Λαγκρανζιαν η ω προ ολε τι γενικευµ ενε ταχ υτητε,δηλαδ ηε ιναιησυν αρτηση H(q 1,...,q n, p 1,...,p n, t), ηοπο ιαικανοποιε ιτησχ εση q i = H. Απ οτην L(q, q, t)στην H(q, p, t) Σ υµφωναµεταπροηγο υµενα,ηχαµιλτονιαν ηδ ινεταιαπ οτησχ εση n H(q 1,...,q n, p 1,...,p n, t) = p i q i L, (9.26) i=1

9 9.3. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ 281 στηνοπο ιατα q i,οπουδ ηποτεκαιανεµφαν ιζονται,θεωρο υνταισυναρτ ησει των q i, p i και,ενγ ενει,τουχρ ονου.μπορο υµεναπροσδιορ ισουµε αυτ ε τι συναρτ ησει, q i (q, p),επιλ υοντα τι αλγε ρικ ε εξισ ωσει p i = L q i ω προ q i. Γιαναµπορε ιναεπιτευχθε ιαυτ ηηαντιστροφ η,πουε ιναι αναγκα ιαγιατονπροσδιορισµ οτη Χαµιλτονιαν η,απαιτε ιταιοεσσιαν ο π ινακα 2 L q i q j,µε 1 i, j n, ναε ιναιθετικ ο. Αυτ ηησυνθ ηκησυν ηθω ικανοποιε ιται,δι οτιστασυ- Μπορο υµενα ν ηθηπρο λ ηµαταπου εχουµεαντιµετωπ ισει εω τ ωραηλαγκρανζιαν η κατασκευ ασουµετη ε ιναιδιγραµµικ ησυν αρτησητωνγενικευµ ενωνταχυτ ητων,οπ οτεοεσσι- Χαµιλτονιαν ηγιακ αθε αν ο π ινακα ισο υταιµετονπ ινακατωνσυντελεστ ωντη κινητικ η εν ερ- γεια,πουε ιναισυν ηθω θετικ ο (βλ.κεφ αλαιο8).στηναπλ ηπερ ιπτωση φυσικ οπρ ο ληµα; Nµαζ ωνσε ενακαρτεσιαν οσ υστηµασυντεταγµ ενων,οεσσιαν ο π ινακα ε ιναιοδιαγ ωνιο π ινακα µεστοιχε ιατι µ αζε τωνσωµ ατων. Ασκηση9.5. Υπολογ ιστετηχαµιλτονιαν ηεν ο ελε υθερουσωµατιδ ιουκαιεν ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ αρµονικο υταλαντωτ ησεµ ιαδι ασταση. Α αποδε ιξουµε οτιηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηε ιναιοµετασχηµατισµ ο Legendreτη Λαγκρανζιαν η.θαδε ιξουµεδηλαδ η οτιηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηικανοποιε ιτι σχ εσει q i = H, γιακ αθε i.παραγωγ ιζοντα την (9.26)ω προ p i,λαµ ανουµετησχ εση H = q i + p j q j L q j q j, (9.27) απ οτηνοπο ια εχειπαραλειφθε ιτοσ υµ ολοτη αθροιση.στοεξ η,σε ολε τι αντ ιστοιχε σχ εσει οτανεµφαν ιζονταιζευγ αρια ιδιωνδεικτ ων θαυπονοε ιταιηαθροιστικ ησ υµ αση.επειδ ηεξορισµο υισχ υει οτι p j = L/ q j,συµπερα ινουµε οτιοιδ υοτελευτα ιοι οροιτη (9.27)ε ιναι ισοικαι συνεπ ω γιακ αθε iισχ υειηζητο υµενησχ εση q i = H. (9.28) Εποµ ενω,ηhε ιναιοµετασχηµατισµ ο Legendreτη L.

10 282 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ Σεαυτ οτοσηµε ιοε ιναιχρ ησιµοναυπολογ ισουµετηµερικ ηπαρ αγωγο τη χαµιλτονιαν η συν αρτηση ω προ τι µετα λητ ε qκαι t,οιοπο ιε εµεινανανενεργ ε κατ ατοµετασχηµατισµ οlegendre. Εχουµε H = p j q j L L q j q j, (9.29) Προσοχ ηστοτι διατηρε ιταισταθερ ο κατ ατι µερικ ε παραγωγ ισει οπουκατ ατηµερικ ηπαραγ ωγιση H/ και q j / παραµ ενουνσταθερ α ολατα pκαθ ω και ολατα qεκτ ο του q i,εν ωκατ ατηνπαραγ ωγιση L/ παραµ ενουνσταθερ α ολατα qκαθ ω και ολατα qεκτ ο του q i. Σηµει ωνουµε οτιοιτελευτα ιοιδ υο οροιτουαθρο ισµατο προκ υπτουν,αφο υηlε ιναισυν αρτηση ολωντων qκαιτων q τα q, οµω,τ ωραθεωρο υνταισυναρτ ησει των q, pκαι t. Ετσι L = L + L q j. (9.30) q j pl,q k, k i ql,q k, k i ql, q k, k j pl,q k, k i Επειδ ηεξορισµο υε ιναι καταλ ηγουµεστησχ εση H Οµο ιω,υπολογ ιζουµε οτι pl,q k, k i p j = L q j, = L ql,q k, k i H t = p q j j t L q j q j t L t. (9.31) (9.32) Απ οτηλαγκρανζιαν η προ ερχεταιη Χαµιλτονιαν η ηαπ ο τηχαµιλτονιαν ηη Λαγκρανζιαν η; καιεποµ ενω H t = L pl,q l t. (9.33) ql,q l Κλε ινοντα το υτοτοεδ αφιο,α σηµει ωσουµε οτι, οταντοσ υστηµα ε ιναιχρονικ αανεξ αρτητο,ηχαµιλτονιαν ηε ιναιηγενικευµ ενηεν εργεια τουσυστ ηµατο.στηφ υση, οµω,πρωταρχικ ηθ εσηκατ εχειηλαγκρανζιαν η,ηοπο ια, οπω ε ιδαµε,µπορε ιπολλ ε φορ ε νακατασκευαστε ιαπ ο τι συµµετρ ιε τουφυσικο υσυστ ηµατο η αµεσααπ οτηναν αλυσητου ιδιουτουφυσικο υσυστ ηµατο. Αντιθ ετω ηχαµιλτονιαν η, οπω καιη διατηρο υµενηεν εργεια,δενπροκ υπτεισυν ηθω αµεσακαιπρ επειναυπολογιστε ιµ εσωτουµετασχηµατισµο υlegendreτη Λαγκρανζιαν η. Α υποθ εσουµε,τ ωρα, οτιω διαµαγε ια µα δ ινεταιηχαµιλτονιαν η εν ο συστ ηµατο H(q, p, t)καιθ ελουµενακατασκευ ασουµετηλαγκρανζιαν ητουσυστ ηµατο L(q, q, t). Ηλαγκρανζιαν ησυν αρτηση L(q, q, t) προσδιορ ιζεται ω ο µετασχηµατισµ ο Legendre τη Χαµιλτονιαν η H(q, p, t)ω προ ολε τι ορµ ε p i, οπουοισυναρτ ησει q i ορ ιζονταιω q i = H.

11 9.4. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ 283 Ηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηδηλαδ ηε ιναι L(q 1,...,q n, q 1,..., q n, t) = i p i q i H, (9.34) οπουτα p i θεωρο υνταισυναρτ ησει των qκαι qκαιπροσδιορ ιζονταιαν επιλ υσουµεω προ p i τι q i = H/. E ιναιε υκολοναδιαπιστ ωσουµε µεαπλ ε παραγωγ ισει τη L οτι L/ q i = p i. Ασκηση9.6. ε ιξτεαπ οτηνπαραπ ανω εκφρασητη Λαγκρανζιαν η (9.34) οτι ΑΣΚΗΣΕΙΣ L/ = H/ και L/ t = H/ tσηµει ωνοντα µεπροσοχ ηποιε µετα λητ ε παραµ ενουνσταθερ ε σεκ αθεµερικ ηπαραγ ωγιση. 9.4 Οιεξισ ωσει τουχ αµιλτον Επειδ ηηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηε ιναιοµετασχηµατισµ ο Legendre τη λαγκρανζιαν η συν αρτηση,θαισχ υουνοισχ εσει ṗ i q i = L q i, (9.35) = H. (9.36) Οισχ εσει αυτ ε δεν εχουνκαν εναδυναµικ οπεριεχ οµενοκαιδενεκφρ α- Μαθηµατικ α,δ ιχω ζουνκαν εναφυσικ ον οµο.ηπρ ωτηε ιναιαπλ ω οορισµ ο τη κανονικ η φυσικ η ορµ η,εν ωηδε υτερηε ιναιηαντ ιστροφητη πρ ωτη.ησχ εση (9.35)εκφρ αζειτι ορµ ε συναρτ ησειτωνταχυτ ητωνκαι,ενγ ενει,τωνθ εσεωνκαι τουχρ ονου,µ εσωτη Λαγκρανζιαν η,εν ωησχ εση(9.36)εκφρ αζειτι ταχ υτητε συναρτ ησειτωνορµ ωνκαι,ενγ ενει,τωνθ εσεωνκαιτουχρ ονου, µ εσωτη Χαµιλτονιαν η.ε ανισχ υειηµ ιααπ οαυτ ε τι σχ εσει,η αλλη προκ υπτειεξορισµο υαπ οτοµετασχηµατισµ οlegendre. Α επιστρ εψουµετ ωραστηλαγκρανζιαν ηθε ωρησητωνφυσικ ωνσυστηµ ατων. εδοµ ενη τη Λαγκρανζιαν η εν ο συστ ηµατο,µπορο υµε ναγνωρ ιζουµεπλ ηρω τηδυναµικ ησυµπεριφορ ατουσυστ ηµατο,επιλ υοντα τι εξισ ωσει Euler-Lagrange ( ) d L dt q i L = 0, η ṗ i = L. (9.37) Συγχρ ονω,επειδ ηαπ οτονορισµ οτουµετασχηµατισµο υlegendreισχ υει (βλ. (9.31)) οτι H = L, (9.38) pl,q k k i ql,q k k i Εδ ωκρ υ εται οληηφυσικ η τουσυστ ηµατο.

12 284 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ οιδυναµικ ε εξισ ωσει µπορε ιναγραφο υνισοδυν αµω καιω Οι 2nσυνολικ αεξισ ωσει (9.36)και(9.39) q i ṗ i ṗ i = H. (9.39) = H, = H. (9.40) Ισοδυναµ ιαεξισ ωσεων Euler- Lagrange και εξισ ωσεωνχ αµιλτον ΑΣΚΗΣΕΙΣ λ εγονταιεξισ ωσει τουχ αµιλτον ηκανονικ ε εξισ ωσει τουχ αµιλτον 2 και προσδιορ ιζουντηντροχι ατουσυστ ηµατο στον 2n-δι αστατοχ ωροτων φ ασεων.οι 2nεξισ ωσει τουχ αµιλτον,οιοπο ιε ε ιναιπρ ωτη τ αξη ω προ τοχρ ονο,ε ιναιισοδ υναµε µετι nεξισ ωσει Euler - Lagrange,οι οπο ιε ε ιναιδιαφορικ ε εξισ ωσει δε υτερη τ αξη ω προ τοχρ ονο.οι κανονικ ε εξισ ωσει τουχ αµιλτον,εν ωουσιαστικ αε ιναιοιεξισ ωσει Euler-Lagrangeσεδιαφορετικ ηµαθηµατικ ηµορφ η,ε ιναιαπ οτεχνικ η πλευρ α αν ωτερε απ οτι εξισ ωσει Euler-Lagrange.Αυτ οοφε ιλεταιστοιδια ιτεροπλεον εκτηµαπου εχουνοικανονικ ε εξισ ωσει ναεµφαν ιζουνστο αριστερ οσκ ελο του τι χρονικ ε παραγ ωγου τωνµετα λητ ων.π ερα, οµω,απ οαυτ ο,ηχαµιλτονιαν ηθε ωρησηοδηγε ι, οπω θαδο υµεσταεπ ο- µεναδ υοκεφ αλαια,σεµιαν εαθε ωρησητη µηχανικ η καιπροετοιµ αζει το εδαφο γιατηµετ α ασηστηνκ αντικ ηµηχανικ ηστηνοπο ιαηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηπα ιζειτονκυρ ιαρχορ ολο. Ασκηση9.7. ε ιξαµε οτι εναφυσικ οσ υστηµαπουικανοποιε ιτι εξισ ωσει Euler- Lagrangeικανοποιε ικαιτι εξισ ωσει τουχ αµιλτον. ε ιξτε οτιισχ υεικαιτοαντ ιστροφο. 9.5 ΗΧαµιλτονιαν ηφορτισµ ενουσωµατιδ ιου Στοεδ αφιο 3.4κατασκευ ασαµετηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηγια ενα φορτισµ ενοσωµατ ιδιοσεηλεκτροµαγνητικ οπεδ ιο.ηλαγκρανζιαν η L = m 2 x 2 + q x A qφ V ( x) παρ αγειτηνκ ινησηεν ο σωµατιδ ιουµ αζα mκαιφορτ ιου qµ εσασε ενα ηλεκτρικ οκαιµαγνητικ οπεδ ιο E, B,υπ οτηνεπ ιδρασηκ αποιουεπιπλ εον 2 Οιεξισ ωσει αυτ ε παρουσι αστηκανγιαπρ ωτηφορ ααπ οτονlagrangeτο 1809σε εργασ ιατουπουπραγµατευ οταντηθεωρ ιαδιαταραχ ωντωνµηχανικ ωνσυστηµ ατων. ΟLagrange, οµω,δεναναγν ωρισεαµ εσω τησηµασ ιατου.οcauchy,σεαδηµοσ ιευτο µνηµ ονιοτο1831,φα ινεταιναε ιναιοπρ ωτο πουκαταν οησετησηµασ ιατωνεξισ ωσεων αυτ ων. Οιρλανδ ο φυσικ ο Hamiltonστ ηριξεολ οκληρητην ερευν ατουστηµηχανικ η καιτηνοπτικ ησεαυτ ε τι εξισ ωσει,τι οπο ιε καιπαρουσ ιασεσεδηµοσ ιευσ ητουτο 1835.

13 9.5. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ 285 δυναµικο υ V.Το φε ιναιτοηλεκτρικ οδυναµικ οκαιτο Aε ιναιτοανυσµατικ οδυναµικ ο. Γιανακατασκευ ασουµετηχαµιλτονιαν ησυν αρτηση,υπολογ ιζουµε πρ ωτατηνκανονικ ηορµ ητουσωµατιδ ιου p = L x = m x + q A. (9.41) HΧαµιλτονιαν ηπροκ υπτειαπ οτοµετασχηµατισµ οlegendreτη Λαγκρανζιαν η ω προ τι ταχ υτητε καιε ιναι H( x, p) = p x L. Στηνπαραπ ανω εκφρασηηταχ υτητα xθεωρε ιταισυν αρτησητη γενικευ- µ ενη ορµ η pκαιθ εση xτουσωµατιδ ιου.ησυν αρτησηαυτ ηπροσδιορ ιζεταιµ εσωτη σχ εση (9.41) Εποµ ενω,ηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηε ιναι x = p q A m. (9.42) H( x, p) = p p q A m L. Εκτελ ωντα τι πρ αξει καιαντικαθιστ ωντα τηνταχ υτητακαιστην εκφρασητη Λαγκρανζιαν η µ εσωτη σχ εση (9.42)συν αγουµε οτιηχα- µιλτονιαν ησυν αρτησηεν ο φορτισµ ενουσωµατιδ ιουπουκινε ιταιµ εσασε εναηλεκτροµαγνητικ οπεδ ιοκαι εναδυναµικ ο Vε ιναι H = p q A 2 2m + qφ + V. (9.43) Απ οαυτ ητηγενικ ηχαµιλτονιαν ηπροκ υπτει αµεσαηχαµιλτονιαν η συν αρτησηεν ο ελε υθερουσωµατιδ ιου H = p 2 2m. Επ ιση ανθ εσουµε V = k x 2 /2,προκ υπτειηχαµιλτονιαν ησυν αρτηση εν ο µηφορτισµ ενουισ οτροπουαρµονικο υταλαντωτ η H = p 2 2m + k 2 x 2. Στηγενικ ηπερ ιπτωσητουφορτισµ ενουσωµατιδ ιουοι εξιεξισ ωσει τουχ αµιλτονε ιναι και ẋ i ṗ i = H = p i qa i m, = H x i = q A j (p j qa j ) q φ V. m x i x i x i

14 286 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9.6 Κυκλικ ε µετα λητ ε καιαγκ υλε Poisson Ασκηση9.8. ε ιξτε οτιοιπαραπ ανωεξισ ωσει τουχ αµιλτονοδηγο υνστι εξισ ωσει κ ινηση mẍ i = q(ǫ ijk ẋ j B k + E i ) V. x i Οικυκλικ ε µετα λητ ε ορ ιζονται οπω καιστηλαγκρανζιαν ηθε ωρηση:ε ανηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηδεν εχει αµεσηεξ αρτησηαπ οκ αποιααπ οτι µετα λητ ε q η p,τ οτεηµετα λητ ηαυτ ηονοµ αζεταικυκλικ η. Επειδ ηστηχαµιλτονιαν ηδυναµικ ηοιθ εσει καιοιορµ ε θεωρο υνταιανεξ αρτητε µετα λητ ε,κυκλικ ε µετα λητ ε µπορο υνναε ιναι οχιµ ονοοι θ εσει αλλ ακαιοιορµ ε.ε ανγιαπαρ αδειγµαηχαµιλτονιαν ηδενεξαρτ αταιαπ οτηµετα λητ η q i,τ οτεαπ οτηνεξ ισωσητουχ αµιλτον ṗ i = H = 0 προκ υπτει οτιησυζυγ η στηνκυκλικ ηµετα λητ ηορµ η p i διατηρε ιταικατ ατηνκ ινηση. Στηχαµιλτονιαν ηθε ωρηση, οµω,οιδιατηρο υµενε ποσ οτητε ε ιναι δυνατ οναχαρακτηριστο υνκαιµε εναν αλλοτρ οπο.α θεωρ ησουµεµια δυναµικ ηµετα λητ η F(q, p),ηοπο ιαε ιναισυν αρτησητωνθ εσεων qκαι τωνορµ ων pκαιδεν εχει αµεσηεξ αρτησηαπ οτοχρ ονο t,ε ιναιδηλαδ η F/ t = 0.Ηχρονικ ηπαρ αγωγο αυτ η τη µετα λητ η καθ ω εξελ ισσεταιτοσ υστηµαε ιναι (µεαθροιστικ ησ υµ αση) df dt = F t + F q i + F ṗ i = F H F H (9.44) Αγκ υληpoisson Στηδε υτερησχ εσηκαταλ ηξαµεκ ανοντα χρ ησητουµηδενισµο υτη F/ t,αφο υηδυναµικ ηµετα λητ ηδενε ιχε αµεσηεξ αρτησηαπ οτοχρ ονο, καιεφαρµ οζοντα στησυν εχειατι εξισ ωσει τουχ αµιλτον (9.40) Ορ ιζουµεω αγκ υληpoisson 3 δ υοσυναρτ ησεων A, Bτωνανεξαρτ ητωνµετα λητ ων q i, p i την εασυν αρτηση {A, B} = A B A B. (9.45) 3 Simιon-DenisPoisson[ ]:Γ αλλο µαθηµατικ ο,µαθητ η τωνlaplaceκαι Lagrange,γνωστ ο κυρ ιω γιατηµαθηµατικ ηθεµελ ιωσητουηλεκτρισµο υκαιτουµαγνητισµο υ,καθ ω καιγιατησυν εχισητου εργουτουlagrangeστηναναλυτικ ηµηχανικ η.ο συµ ολισµ ο πουχρησιµοποι ηθηκεγιατηφερ ωνυµηαγκ υληαπ οτον ιδιοτονpoissonτο 1809 ηταν (A, B).Οσ υγχρονο συµ ολισµ ο {A, B}καθιερ ωθηκεαπ οτονplummerτο 1960.

15 9.6. ΚΥΚΛΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΓΚΥΛΕΣ POISSON 287 Μετονορισµ οτη αγκ υλη Poisson,ησχ εση(9.44)γρ αφεται df dt = {F, H}. (9.46) Η εκφρασηαυτ ηµα οδηγε ισε εναν εοχαρακτηρισµ οτωνποσοτ ητωνπου διατηρο υνταικατ ατηνκ ινηση,κατ αναλογ ιανµετι ορµ ε πουαντιστοιχο υνστι κυκλικ ε µετα λητ ε στηλαγκρανζιαν ηθε ωρηση:οποιαδ ηποτε δυναµικ ηµετα λητ η, F(q, p),πουδεν εχει αµεσηεξ αρτησηαπ οτοχρ ονο, διατηρε ιταιανµηδεν ιζεταιηαγκ υληpoissonτη ποσ οτητα αυτ η µετη χαµιλτονιαν ησυν αρτηση H. ηλαδ η,ηf(q, p)διατηρε ιταιαν {F, H} = 0. Επειδ ηηαγκ υληpoissonµια συν αρτηση µετονεαυτ οτη µηδεν ιζεται ταυτοτικ α,θαε ιναι {H, H} = 0, dh dt = {H, H} = 0. Ηπρ οτασηαυτ ηαποτελε ιεπαναδιατ υπωσητουν οµουδιατ ηρηση τη εν εργεια. Ασκηση9.9. ε ιξτε οτιοιαγκ υλε Poissonικανοποιο υντι ακ ολουθε αλγε ρικ ε ΑΣΚΗΣΕΙΣ ιδι οτητε : {A, A} = 0, {A, B} = {B, A}, {A, kb} = k{a, B}, {A, B + C} = {A, B} + {A, C}. {A, BC} = B{A, C} + {A, B}C Στι παραπ ανωσχ εσει οι A, B, Cε ιναιδυναµικ ε µετα λητ ε καιηkε ιναιµ ιασταθερ α. Χρ ησιµε αγκ υλε Poissonε ιναιοιακ ολουθε : {q i, q j } = {p i, p j } = 0, {q i, p j } = δ ij. (9.47) οπ οτε,ανηχαµιλτονιαν ηδεν εχει αµεσηχρονικ ηεξ αρτηση,θαδιατηρε ιταικατ ατηνκ ινηση,δεδοµ ενου οτι Αυτ ε αποδεικν υονταιε υκολααπ οτονορισµ οτη αγκ υλη Poissonανπαρατηρ ησουµε οτιστηχαµιλτονιαν ηδυναµικ ηοιθ εσει q i καιοιορµ ε p i ε ιναιανεξ αρτητε µετα λητ ε καισυνεπ ω ισχ υει οτι Ορµ ε καιθ εσει σχηµατ ιζουνζε υγη συζυγ ων συντεταγµ ενων q j = δ ij, p j = 0

16 288 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ καιαντ ιστοιχαγιατι ορµ ε p j = δ ij, q j = 0. υναµικ ε µετα λητ ε πουικανοποιο υντι σχ εσει (9.47)ονοµ αζονταικανονικ ε συζυγε ι µετα λητ ε.ο ορο συζυγε ι αναφ ερεταισταζε υγητων συντεταγµ ενωνθ εση ορµ η πουσχηµατ ιζονται.στηνκ αντοµηχανικ η ολααυτ αταζε υγη εχουνγιν οµενοα ε αιοτ ητωνµεγαλ υτερο η ισοµετη σταθερ ατουplanckκαιεποµ ενω οιαντ ιστοιχε ποσ οτητε δενµπορο υν ναµετρηθο υνταυτ οχροναµεοσοδ ηποτεµεγ αληακρ ι εια. Τι εξισ ωσει τουχ αµιλτονµπορο υµενατι γρ αψουµεµεκοµψ οκαι ενια ιοτρ οποχρησιµοποι ωντα τι αγκ υλε Poisson. Λαµ ανοντα στην (9.44)ω δυναµικ ηµετα λητ ητην F = q i,συν αγουµε οτιηδυναµικ ηεξ ελιξητωνθ εσεωνικανοποιε ιτι εξισ ωσει dq i dt = {q i, H} = H, (9.48) εν ωλαµ ανοντα F = p i καταλ ηγουµεστι εξισ ωσει dp i dt = {p i, H} = H, (9.49) Οδυναµικ ο ν οµο µετα ολ η µια συν αρτηση F(q, p) στηχαµιλτονιαν η δυναµικ η πουαποτελο υνισοδ υναµηδιατ υπωσητωνεξισ ωσεωντουχ αµιλτον.εν ω οιεξισ ωσει τουχ αµιλτονγιατι θ εσει καιτι ορµ ε ε ιναιδιαφορετικ ε,µετηνεισαγωγ ητη αγκ υλη Poissonοιεξισ ωσει εξ ελιξη καιτων θ εσεωνκαιτωνορµ ωνλαµ ανειτην ιδιαµορφ η. Αυτ οµα οδηγε ιστην υποψ ια οτιηπιοθεµελι ωδη γραφ ητωνεξισ ωσεωνκ ινηση ε ιναιαυτ ηµε τι αγκ υλε Poisson. Αντιλαµ αν οµαστε, λοιπ ον, οτι, χρησιµοποι ωντα την αγκ υληpoisson,ε ιµαστεσεθ εσηναπροσδιορ ισουµεµεενια ιοτρ οποτη χαµιλτονιαν ηεξ ελιξη, οχιµ ονοτωνθ εσεωνκαιτωνορµ ων,αλλ ακαιοποιασδ ηποτεδυναµικ η µετα λητ η.ηεξ ισωση df dt = {F, H}, (9.50) αποτυπ ωνειπλ ηρω τηχρονικ ηεξ ελιξητη µετα λητ η Fσε ενασ υστηµα µεχαµιλτονιαν ησυν αρτηση H. B ε αια,ανηδυναµικ ηµετα λητ η F(q, p, t) εχει αµεσηεξ αρτησηαπ ο τοχρ ονο,στοδυναµικ ον οµοπρ επεινασυµπεριληφθε ικαιη αµεσηµετα- ολ ητη µετα λητ η Fµετοχρ ονο.σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηκαταλ ηγουµε στονακ ολουθοδυναµικ ον οµοεξ ελιξη τη µετα λητ η F: df dt = F t + {F, H}. (9.51)

17 9.7. H ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ Hγενικευµ ενηαρχ ητουχ αµιλτον Οιεξισ ωσει τουχ αµιλτον, οπω καιοιεξισ ωσει Euler-Lagrange,ε ιναιδυνατ ονναπροκ υψουναπ οµ ιααρχ ηακροτ ατου. Επειδ ηηδρ αση εχειοριστε ιω S = t2 t 1 L(q, q, t)dt, ορ ιζουµεαντ ιστοιχατηδρ ασηγιαµ ιατροχι α (q i (t), p i (t))στοχ ωροτων φ ασεων,συναρτ ησειτωνανεξ αρτητωνπλ εονµετα λητ ων q i, p i καιτη Χαµιλτονιαν η,ω Ηδρ ασηστη χαµιλτονιαν ηθε ωρηση S = t1 t 0 [p i (t) q i H(q i (t), p i (t), t)] dt, (9.52) ηισοδ υναµαω S = t1 t 0 p i (t) dq i (t) t1 t 0 H(q i (t), p i (t), t) dt. (9.53) Σ υµφωναµετηγενικευµ ενηαρχ ητουχ αµιλτον,ηφυσικ ηκ ινησηκαθιστ ατηδρ ασηακρ οτατηγιαοποιεσδ ηποτεανεξ αρτητε µετα ολ ε των q i (t)και p i (t),στι οπο ιε οµω δενµετα αλλονταιοιαρχικ ε καιοιτελικ ε θ εσει καθ ω καιοιαντ ιστοιχε ορµ ε τουσυστ ηµατο q i (t 1 )και q i (t 2 ), p i (t 1 )και p i (t 2 ). Αυτ ηηαρχ ηακροτ ατουαποτελε ιγεν ικευσητη αρχ η τουχ αµιλτον, δι οτιαντιµετωπ ιζειτι θ εσει καιτι ορµ ε,ισ οτιµα,ω ανεξ αρτητε µετα λητ ε.αντιθ ετω,ηαρχ ητουχ αµιλτον,πουσυναντ ησαµεσταπρ ωτα κεφ αλαια,θεωρε ιω ανεξ αρτητε µετα λητ ε µ ονοτι θ εσει q i,εν ωοι µετα ολ ε τωνταχυτ ητων q i προσδιορ ιζονταιαπ οτι µετα ολ ε τωνθ εσεων, οπω συµ α ινεικαιµετι µετα ολ ε τωνκανονικ ωνορµ ωνπουορ ιζονταιαπ οτι σχ εσει p i = L q i. Θαδε ιξουµεστησυν εχεια οτι, οτανικανοποιε ιταιηγενικευµ ενηαρχ ητου Χ αµιλτον,ηφυσικ ηδιαδροµ ηικανοποιε ιτι εξισ ωσει τουχ αµιλτον. Εστω (q i (t), p i (t))ηφυσικ ηδιαδροµ η. Θεωρο υµεµικρ ε µετα ολ ε απ οτηφυσικ ηδιαδροµ η Ηγενικευµ ενηαρχ η τουχ αµιλτονστοχ ωρο τωνφ ασεων q i (t, ǫ) = q i (t) + ǫη i (t), p i (t, ǫ) = p i (t) + ǫξ i (t), οπου ǫκ αποιαµικρ ηπαρ αµετρο και η i (t), ξ i (t)οτρ οπο µετονοπο ιο µετα αλλονταιοισυντεταγµ ενε τη φυσικ η διαδροµ η στοχ ωροτων φ ασεων. Οµοναδικ ο περιορισµ ο πουεπι αλλουµεε ιναιναµηδεν ιζονταιοιµετα ολ ε στι θ εσει καιστι ορµ ε στοναρχικ οκαιτελικ οχρ ονο η i (t 1 ) = η i (t 2 ) = 0και ξ i (t 1 ) = ξ i (t 2 ) = 0. Επειδ ηηφυσικ ηδιαδροµ η (q i (t)p i (t))καθιστ ατηδρ ασηακρ οτατη,ηπρ ωτη τ αξη,ω προ ǫ,µετα ολ ητη δρ αση δsµηδεν ιζεται.εποµ ενω,για ολε τι επιτρεπτ ε µετα ολ ε πρ επειναικανοποιε ιταιησυνθ ηκη

18 290 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ 0 = = = t2 ξ i t 1 t2 ξ i t 1 t2 ξ i t 1 ( q i H ( q i H ( q i H ) t2 dt + ) dt + ) dt t 1 t2 t 1 t2 η i t 1 ( H p i η i η i ) dt ( d(pi η i ) H η i ṗ i η i dt ( ṗ i + H ) dt ) dt + [p i η i ] t 2 t 1. Ισοδυναµ ιαεξισ ωσεων Χ αµιλτονκαι γενικευµ ενη αρχ η τουχ αµιλτον Οτελευτα ιο ορο ε ιναιµηδ εναφο υ η i (t 1 ) = η i (t 2 ) = 0.Επιπλ εον,επειδ η οµηδενισµ ο τη πρ ωτη µετα ολ η τη δρ αση πρ επειναεπιτυγχ ανεται γιακ αθε η i (t)καιγιακ αθε ξ i (t),ανικανοποιε ιταιηγενικευµ ενηαρχ ητου Χ αµιλτον,ικανοποιο υνταιαυτ οµατακαιοιεξισ ωσει τουχ αµιλτον Ισχ υειβ ε αιακαιτοαντ ιστροφο. 4 q i = H, ṗ i = H. (9.54) 9.8 Κανονικο ιµετασχηµατισµο ι Χαµιλτονιαν ηκαι µετασχηµατισµο ι βαθµον οµηση Κανονικο ι µετασχηµατισµο ι t 0 t 0 Παρατηρο υµε οτι, οπω καιστηλαγκρανζιαν ηθε ωρηση,στονορισµ ο τη δρ αση µπορο υµεναπροσθ εσουµεµιαοποιαδ ηποτεολικ ηπαρ αγωγο τουχρ ονουκ αποια συν αρτηση F(q, p, t),χωρ ι ναµετα αλουµετηφυσικ ηκ ινηση.πρ αγµατι,ηφυσικ ηκ ινησηπουκαθιστ αακρ οτατητηδρ αση t1 t1 ( ) df(q, p, t) S = p i (t)dq i (t) H(q i (t), p i (t), t) dt (9.55) dt δενδιαφ ερεισετ ιποτεαπ οτηφυσικ ηκ ινησηπουπροκ υπτειαπ οτοακρ οτατοτη δρ αση (9.52). Ηπαρατ ηρησηαυτ ηε ιναισηµαντικ η,δι οτιµα επιτρ επεινακατασκευ- ασουµεµετασχηµατισµο υ τωνσυντεταγµ ενων q i, p i Q i = Q i (q, p, t), P i = P i (q, p, t), τ ετοιου ωστεηφυσικ ηκ ινηση,εκπεφρασµ ενηστι ν εε συντεταγµ ενε, ναικανοποιε ικαιπ αλιτι εξισ ωσει τουχ αµιλτον Q i = K P i, P i = K Q i, (9.56) 4 Σηµει ωνουµε οτιγιατηνεξαγωγ ητωνεξισ ωσεωντουχ αµιλτονδεν ηταναναγκα ιο ναεπι αλουµεµηδενικ ηµετα ολ ητωνορµ ωνστοναρχικ οκαιτοντελικ οχρ ονο. Επιλ εξαµεναεπι αλουµετοµηδενισµ οτωνµετα ολ ωντωνορµ ωνστοναρχικ οκαιτοντελικ οχρ ονο,γιαναµπορ εσουµεστησυν εχειαναπροσδιορ ισουµετου µετασχηµατισµο υ βαθµον οµηση.ηαδυναµ ιααυτ ηοφε ιλεταιστηδιατ υπωσητη αρχ η τουχ αµιλτον.η αρχ ητουχ αµιλτονπρ επειναδιατυπ ωνεταιω εξ η :ηκλασικ ηκ ινησηε ιναιαυτ ηπου καθιστ ατι πρ ωτη τ αξη,ω προ τηναπ οκλισηαπ οτηνκλασικ ηκ ινηση,µετα ολ ε τη δρ αση συναρτ ησει µ ονοτωναρχικ ωνκαιτελικ ωνθ εσεων,ορµ ωνκαιχρ ονων.

19 9.8. ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 291 µεχαµιλτονιαν ητησυν αρτηση K(Q, P, t).τ ετοιουε ιδου µετασχηµατισµο ιπουαφ ηνουναναλλο ιωτητηχαµιλτονιαν ηδυναµικ ηονοµ αζονται κανονικο ιµετασχηµατισµο ι, ηµετασχηµατισµο ιεπαφ η καιθατου µελετ ησουµεδιεξοδικ αστοκεφ αλαιο 11. Σεαυτ οτοσηµε ιοθααρκεστο υµεστηνπαρατ ηρηση οτι,ε ανοµετασχηµατισµ ο Q i = Q i (q, p, t), P i = P i (q, p, t) ικανοποιε ιτησχ εση p i q i H(q i, p i, t) = P i Q i K(Q i, P i, t) + df dt, (9.57) τ οτεηφυσικ ηδιαδροµ ηπουκαθιστ ατηδρ αση S 1 = t1 t 0 P i dq i ακρ οτατη,ικανοποιε ιτι εξισ ωσει t1 t 0 K(Q, P, t)dt, (9.58) Q i = K P i, P i = K Q i. (9.59) Οµω,λ ογωτη σχ εση (9.57),ηδιαδροµ ηπουκαθιστ ατηδρ αση (9.58) ακρ οτατηκαθιστ αακρ οτατηκαιτηδρ αση S 2 = t1 t 0 p i dq i t1 t 0 H(q, p, t)dt. Συνεπ ω,ηφυσικ ηδιαδροµ ηπουστι συντεταγµ ενε (Q, P)δι επεταιαπ ο τι εξισ ωσει τουχ αµιλτον (9.59),ε ιναιη ιδιαδιαδροµ ηπουστι συντεταγµ ενε (q, p)δι επεταιαπ οτι εξισ ωσει τουχ αµιλτον q i = H, ṗ i = H. (9.60) Αυτ οσηµα ινει οτιοικανονικο ιµετασχηµατισµο ιπρ επειναικανοποιο υν σχ εσει τη µορφ η (9.57). Hσχ εση(9.57)µπορε ιναγραφε ικαιω df = (p i dq i P i dq i ) + (K H)dt. (9.61) Εποµ ενω,ε ανεπιλ εξουµεµ ιασυν αρτηση F 1 (q, Q, t),ηοπο ιαεξαρτ αται µ ονοαπ οτα q, Qκαιενδεχοµ ενω τοχρ ονο t,τ οτε,αφο υ ( F1 df 1 = dq i + F ) 1 dq i + F 1 dt, (9.62) Q i t καιη(9.62)θαπρ επεινα εχειτην ιδιαµορφ ηµετησχ εση(9.61),γιακ αθε dq i, dq i και dt,συµπερα ινουµε οτιηf 1 (q, Q, t)ορ ιζειτονκανονικ οµετασχηµατισµ ο (q, p) (Q, P) εµµεσαµ εσωτωνσχ εσεων p i = F 1, P i = F 1 Q i. (9.63) Κατασκευ η κανονικ ων µετασχηµατισµ ων

20 292 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ Επιλ υοντα τι αλγε ρικ ε αυτ ε εξισ ωσει,προσδιορ ιζουµετι ν εε συντεταγµ ενε συναρτ ησειτωνπαλαι ων Q i = Q i (q, p, t), P i = P i (q, p, t). Αντιπαραθ ετοντα τι εξισ ωσει (9.61)και (9.62),συµπερα ινουµεεπ ιση οτιηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηπουδι επειτηδυναµικ ηστι ν εε συντεταγ- µ ενε ε ιναιηακ ολουθη: K = H + F 1 t. (9.64) Ανγιαπαρ αδειγµαεπιλ εξουµε F 1 = q i Q i,τ οτεοµετασχηµατισµ ο πουεπιτελε ιταιε ιναιο Q i = p i, P i = q i. Οµετασχηµατισµ ο αυτ ο ανταλλ ασσειτι θ εσει µετι ορµ ε 5µετοσωστ οπρ οσηµο ωστεναδιατηρε ιταιηχαµιλτονιαν ηδυναµικ η.σεαυτ ητην περ ιπτωση, οπω καισε ολε τι περιπτ ωσει πουοµετασχηµατισµ ο δεν εχει αµεσηεξ αρτησηαπ οτοχρ ονο,ηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηπουδι επει τηδυναµικ ηστι ν εε συντεταγµ ενε παραµ ενειη ιδια(βλ. 9.64),δηλαδ η ε ιναι K = H. Οµετασχηµατισµ ο Legendre 6 τη τυχα ια συν αρτηση F 1 (q, Q, t),µ ονοω προ τα Q(παρ α αλεµετηδε υτερηαπ οτι σχ εσει (9.63)) F 2 (q, P, t) = Q i (q, P, t)p i + F 1 (q, Q(q, P, t), t) αντιστρ εφειτηδε υτερηαπ οτι σχ εσει (9.63)καιορ ιζειτονκανονικ οµετασχηµατισµ οπουπαρ αγεταιαπ οσυναρτ ησει τ υπου F 2 (q, P, t) p i = F 2, Q i = F 2 P i, K = H + F 2 t. (9.65) Γιαπαρ αδειγµα,ανεπιλ εξουµε F 2 = q i P i,τ οτεοµετασχηµατισµ ο πουεπιτελε ιταιε ιναιοταυτοτικ ο µετασχηµατισµ ο Q i = q i, P i = p i. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση9.10.Αποδε ιξτεµεπροσοχ η οτιοµετασχηµατισµ ο Legendreτη F 1 (q, Q, t) ω προ Qικανοποιε ιτι εξισ ωσει (9.65). Ασκηση9.11. Μεδιαδοχικο υ µετασχηµατισµο υ Legendreπροσδιορ ιστετι σχ εσει πουορ ιζουντου κανονικο υ µετασχηµατισµο υ πουπαρ αγονται, οτανεπιλεγο υν 5 Μεαυτ οντοµετασχηµατισµ οαναδεικν υεταιγια αλληµιαφορ αηισοδυναµ ιατων συντεταγµ ενωνθ εση καιορµ η στοχαµιλτονιαν οφορµαλισµ ο. Ηαφα ιρεσηπου εχει επιτευχθε ιε ιναιτερ αστια:δενε ιναιπλ εονπροφαν ε τιε ιναιθ εσηκαιτιορµ ηεν ο συστ ηµατο. 6 Προσ εξτε οτιτ ωραστοµετασχηµατισµ ο Legendreχρησιµοποιο υµεαντ ιθετοπρ οσηµοαπ ο,τιστηνκατασκευ ητη Χαµιλτονιαν η εξαιτ ια τουαρνητικο υπροσ ηµουστην P i τη σχ εση (9.63).

21 9.9. ΕΞΙΣΩΣΗ HAMILTON-JACOBI 293 συναρτ ησει τη µορφ η F 3 (p, Q, t)και F 4 (p, P, t). ε ιξτε οτικατ αλληλαεπιλεγµ ενε γενν ητριε τ υπου F 3 (p, Q, t)ορ ιζουντοµετασχηµατισµ ο q i = F 3, P i = F 3 Q i, εν ωγενν ητριε τ υπου F 4 (p, P, t)ορ ιζουντοµετασχηµατισµ ο q i = F 4, Q i = F 4 P i. Οιτ εσσερι αυτ ε συναρτ ησει οιδ υοπουε ιδαµεστοκε ιµενοκαιοιδ υοπουµ ολι κατασκευ ασατε ονοµ αζονταιγενν ητριε συναρτ ησει τ υπου 1,2,3και 4,αντ ιστοιχα. ε ιξτε τ ελο οτιγια ολου του τ υπου τωνγεννητρι ωνην εαχαµιλτονιαν ηε ιναι K = H + F i t. 9.9 Ηδια ολικ ηιδ εατωνχ αµιλτονκαιjacobi Στοπροηγο υµενοεδ αφιοµ αθαµεπ ω ναµετατρ επουµετι εξισ ωσει κ ινηση εν ο χαµιλτονιανο υσυστ ηµατο σεν εε συντεταγµ ενε στι οπο ιε ηδυναµικ ηπαραµ ενειχαµιλτονιαν η.συν ηθω επιζητο υµεκανονικο υ µετασχηµατισµο υ,οιοπο ιοιοδηγο υνσεεξισ ωσει τουχ αµιλτονπουεπιλ υονταιευκολ οτερααπ ο,τιοιεξισ ωσει τουχ αµιλτονστι αρχικ ε κανονικ ε συντεταγµ ενε.ηδια ολικ ηιδ εατουhamiltonκαιτουkarlgustavjacobi[ ] ητανναµετασχηµατ ισουντι εξισ ωσει τουχ αµιλτον ετσι ωστεηχαµιλτονιαν ηστι ν εε κανονικ ε συντεταγµ ενε ναε ιναι µηδενικ η.ε αν ητανδυνατ ονναπροσδιοριστε ιοκανονικ ο µετασχηµατισµ ο,οοπο ιο µετασχηµατ ιζειτηναρχικ ηχαµιλτονιαν η Hστηµηδενικ η Xαµιλτονιαν η K = 0,τ οτετοαρχικ οδυναµικ οπρ ο ληµαεπιλ υεταιαµ ε- Αφο υµπορο υµενα σω στι ν εε συντεταγµ ενε,αφο υοιεξισ ωσει κ ινηση µετασχηµατ ιζονταιστι τετριµµ ενε εξισ ωσει οιοπο ιε εχουντηνακ ολουθηλ υση Q i = 0, P i = 0, (9.66) Q i = α i, P i = β i, οπου α i,και β i οισταθερ ε τιµ ε τωνν εωνσυντεταγµ ενων Q i και P i.ο κανονικ ο µετασχηµατισµ ο χ αρηστονοπο ιοεπιτε υχθηκεοµηδενισµ ο τη Kπροσδιορ ιζειτι θ εσει καιτι ορµ ε τουσυστ ηµατο σεκ αθεχρονικ ηστιγµ η.πρ αγµατι,υπ οτηνπρο π οθεση οτιοµετασχηµατισµ ο επιτελ εστηκεµεµ ιασυν αρτησητ υπου F 1 (q, Q, t),µπορο υµε,επιλ υοντα τι αλγε ρικ ε εξισ ωσει p i = F 1, P i = F 1 Q i, (9.67) αλλ αξουµετηντιµ ητη Χαµιλτονιαν η,γιατ ι ναµηντηµηδεν ισουµε;

22 294 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ναπροσδιορ ισουµετι θ εσει καιτι ορµ ε, q i = q i (α i, β i, t), p i = p i (α i, β i, t), (9.68) συναρτ ησειτωνσταθερ ων α i και β i πουε ιναιοισταθερ ε τιµ ε τωνν εων συντεταγµ ενων Q i και P i.ανµ αλισταεπιλ εξουµετι σταθερ ε α i και β i ετσι ωστε α i = q i (t 0 ), β i = p i (t 0 ), επειδ ηοισυντεταγµ ενε (q i, p i )καθ ω καιοι (Q i, P i )αν απ ασαστιγµ η δι επονταιαπ οτην ιδιαουσιαστικ αχαµιλτονιαν ηδυναµικ η,οµετασχη- µατισµ ο F 1 (q, Q, t)παρ αγει,µ εσωτων εµµεσωνσχ εσεων (9.67),τι τι- µ ε τωνθ εσεωνκαιτωνορµ ων q i (t),p i (t)στοχρ ονο tδεδοµ ενου οτιστο χρ ονο t 0 ηταναντ ιστοιχα Q i, P i.αυτ οσηµα ινει, οτι,οµετασχηµατισµ ο F 1 (q, Q, t)πουοδ ηγησεστοµηδενισµ οτη χαµιλτονιαν η συν αρτηση πα- ρακολουθε ιτηφυσικ ηκ ινησητουσυστ ηµατο καιαπεικον ιζεικ αθεση- µε ιοτη τροχι α στοχ ωροτωνφ ασεωνστοσηµε ιοπουβρισκ οταντοσ υστηµαµ ιαδεδοµ ενηχρονικ ηστιγµ η. Π ω µπορο υµε, οµω,ναπροσδιορ ισουµετησυν αρτηση F 1 (q, Q, t); Επειδ ηοκανονικ ο µετασχηµατισµ ο εχεικατασκευστε ι ετσι ωστε K = 0, ησυν αρτηση F 1 (q, Q, t)πρ επειναικανοποιε ιτηνεξ ισωση H(q, p, t) + F 1 t = 0. Επιπλ εον,αφο υοιαρχικ ε συντεταγµ ενε ορµ η,ε ιναι p i = F 1, καταλ ηγουµεστοσυµπ ερασµα οτιηf 1 (q, Q, t)πρ επεινααποτελε ιλ υση τη µερικ η διαφορικ η εξ ισωση ( F 1 t + H q i, F ) 1, t = 0. (9.69) Ηεξ ισωση Hamilton-Jacobi Ηεξ ισωσηαυτ ηπουπροσδιορ ιζειτοζητο υµενοµετασχηµατισµ οονοµ αζεταιεξ ισωσηhamilton-jacobiκαιηεπ ιλυσ ητη ισοδυναµε ιµετηνεπ ιλυσητωνεξισ ωσεωντουχ αµιλτον,δηλαδ ηµετονπροσδιορισµ οτη κ ινηση τουσυστ ηµατο. Α προσπαθ ησουµεναβρο υµεµ ιαλ υση 7 τωνεξισ ωσεων Hamilton - Jacobiγιατηνπερ ιπτωσηεν ο ελε υθερουσωµατιδ ιουµεχαµιλτονιαν η Ανχρησιµοποι ησουµετησυν αρτηση F 1 (q, Q, t) = H = p2 2m. (q Q)2 2m(t T), 7 Ω πρ ο ληµαδιαφορικ η εξ ισωση µεµερικ ε παραγ ωγου µπορε ινα εχειπερισσ οτερε απ οµ ιαλ υσει.

23 9.9. ΕΞΙΣΩΣΗ HAMILTON-JACOBI 295 τ οτεε υκολαδιαπιστ ωνουµε οτιαυτ ηικανοποιε ιτηνεξ ισωσηhamilton - Jacobi (9.69)γιατοελε υθεροσωµατ ιδιο F 1 t + 1 2m ( F1 q ) 2 = 0 καικατασυν επειαεπιτυγχ ανεταιοζητο υµενο µετασχηµατισµ ο. Ποια ε ιναι, οµω,ηφυσικ ησηµασ ιαµια τ ετοια επιλογ η γιατησυν αρτηση F 1 ;Ανθυµηθο υµετηνκατασκευ ητη ελ αχιστη δρ αση για εναελε υθερο σωµατ ιδιο,αναγνωρ ιζουµεαµ εσω στηµορφ ητη F 1 τηδρ ασηπουαντιστοιχε ιστηφυσικ ηκ ινησητουελε υθερουσωµατιδ ιουπουβρ ισκεταιτη χρονικ ηστιγµ η Tστηθ εση Qκαιτηχρονικ ηστιγµ η tστηθ εση q.ε ιναι, αραγε,τυχα ιοαυτ ο; Ορ ιζουµετησυν αρτηση-δρ αση S(q 1, q 2, t 1, t 2 )ω τηδρ ασηπουπρο- Ηδρ ασηω κ υπτειαπ οτηφυσικ ηδιαδροµ ηπουδι ερχεταιαπ οτα q 1 (t 1 )και q 2 (t 2 ).Η συν αρτηση-δρ αση, S(q 1, q 2, t 1, t 2 ) = t2 t 1 (p q H)dt = q2 q 1 pdq t2 t 1 Hdt, συν αρτησηκαι οχι ω συναρτησοειδ ε δενε ιναιπλ εονσυναρτησοειδ ε,αλλ αµ ιασυν αρτησηστοχ ωροτωνθ εσεων,πουεξαρτ αταιµ ονοαπ οτι αρχικ ε καιτελικ ε θ εσει καιχρ ονου, ησ υνδεσητωνοπο ιωνεπιτυγχ ανεταιµονοσ ηµανταµ εσωτη φυσικ η διαδροµ η.μιαµικρ ηχωροχρονικ ηµετατ οπισητουαρχικο υκαιτουτελικο υ σηµε ιουθαπροκαλ εσειαντ ιστοιχηµετα ολ ηστησυν αρτηση-δρ αση ιση µε Μετα ολ ητη δρ αση ds = p 2 dq 2 p 1 dq 1 H 2 dt 2 + H 1 dt 1. λ ογωµετατ οπιση Στηνπαραπ ανωσχ εσηοιτιµ ε των p 1,2 και H 1,2 ε ιναιοιτιµ ε τη ορµ η καιτη Χαµιλτονιαν η στααντ ιστοιχα ακρα.συν αγεται,λοιπ ον, οτι και p 2 = S q 2, p 1 = S q 1, (9.70) H 2 = S t 2, H 1 = S t 1. (9.71) Εποµ ενω,ησυν αρτηση S(q, Q, t, T)πουαντιστοιχε ιστηδρ ασητη φυσικ η διαδροµ η απ οτο Qτηχρονικ ηστιγµ η Tστο qτηχρονικ ηστιγµ η t ε ιναιµ ιαλ υσητη εξ ισωση Hamilton-Jacobi ( S t + H q i, S ), t = 0, (9.72) καιεποµ ενω ηs(q, Q, t, T)ε ιναιηζητο υµενησυν αρτηση F 1 (q, Q, t)που δηµιουργε ιτονκανονικ οµετασχηµατισµ οαπ οτι (q, p)στι (Q, P)και καθιστ ατηχαµιλτονιαν ηστι συντεταγµ ενε Q, Pµηδενικ η. Βε α ιω,οπροσδιορισµ ο τη συν αρτηση S(q, Q, t, T)απαιτε ιτη γν ωσητη φυσικ η κ ινηση καιγι αυτ οηιδ εατωνhamiltonκαιjacobiδεν αποτελε ιπαν ακειαγιατηνεπ ιλυσητωνδυναµικ ωνεξισ ωσεων.ωστ οσο, τωναρχικ ωνκαι τελικ ωνσηµε ιωντη τροχι α στοχ ωρο τωνφ ασεων Ιδο υ,τικρ υ εται π ισωαπ οτη συν αρτηση F 1

24 296 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ σεαρκετ ε περιπτ ωσει πουηχαµιλτονιαν ηστην εκφραση(9.69)µπορε ι ναδιαχωριστε ισεµ ερηπουεξαρτ ωνταιαπ οδιαφορετικ ε µεταξ υτου µετα λητ ε,ηεξ ισωσηhamilton-jacobiµπορε ιναεξασφαλ ισειµιαγρ ηγορη µαθηµατικ ηλ υσητουφυσικο υπρο λ ηµατο (βλ. Ασκηση 9.12).Εκτ ο, οµω,απ οτηνπρακτικ ητη σηµασ ια,ηεξ ισωσηhamilton-jacobiεισ αγει µελεπτ οτητα ενανενδιαφ εροντατρ οποσκ εψη,οοπο ιο επαιξεσηµαντικ ορ ολοκατ ατηµετ α ασηαπ οτηνκλασικ ηστηνκ αντικ ηµηχανικ η. Ασκηση9.12.Προσπαθ ηστεναεπιλ υσετεπ αλιτοπρ ο ληµατουελε υθερουσωµατιδ ιουκατευθε ιανµ εσωτη σχ εση (9.69)διαχωρ ιζοντα τησυν αρτηση F 1 ω ακολο υθω F 1 = E(t T) + W(q), οπου Eµιασταθερ αδιαχωρισµο υ.

25 9.10. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Προ λ ηµατα 1.Κατασκευ αστετοµετασχηµατισµ οlegendre g(p)τη f(v) = v 2 /2+ av.αν vε ιναιηταχ υτητα,ποιοφυσικ οσ υστηµαπεριγρ αφειηχα- µιλτονιαν ηπουβρ ηκατε;κατασκευ αστεεπ ιση τοµετασχηµατισµ ο Legendreτη f(v) = b 1 v 2 για v 1και b > 0.Ποιοφυσικ ο σ υστηµαπεριγρ αφειαυτ ηηχαµιλτονιαν η; 2.Μετασχηµατισµο ιlegendreστηθερµοδυναµικ η:ηθερµοδυναµικ η κατ αστασηεν ο συστ ηµατο µπορε ιναπροσδιοριστε ιµεδεδοµ ενε δ υοµ ονοαπ οτι τεσσερι µετα λητ ε : p(π ιεση), V ( ογκο ), T (θερ- µοκρασ ια), S (εντροπ ια).σ υµφωναµετονπρ ωτον οµοτη θερµοδυναµικ η ισχ υει οτι du = TdS pdv καιηεσωτερικ ηεν εργεια Uµπορε ιναθεωρηθε ισυν αρτησητων Sκαι V.Συνεπ ω,ηπ ιεση οντα καιαυτ ησυν αρτησητων Sκαι V,ε ιναι p = U/ V S. H ενθαλπ ια Hµετησειρ ατη ε ιναισυν αρτησητων Sκαι pκαιικανοποιε ιτησχ εση V = H/ p S.Προσδιορ ιστετην Hκαιδε ιξτε οτι T = H/ S p.ηελε υθερηεν εργειαgibbsε ιναισυν αρτησητων p και Tκαιικανοποιε ιτησχ εση S = G/ T p.προσδιορ ιστετη G καιδε ιξτε οτι V = G/ p T.Ησυν αρτησητουhelmholtz Aε ιναι συν αρτησητων Tκαι Vκαιικανοποιε ιτησχ εση p = A/ V T. Προσδιορ ιστετην Aκαιδε ιξτε οτι S = A/ T V. 3.Υπολογ ιστετηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηπουαντιστοιχε ιστηχα- µιλτονιαν η H(q, p) = p2 2 + p sin q. 4.Σηµειακ ηµ αζακινε ιταιστοεπ ιπεδουπ οτηνεπ ιδρασηκεντρικ η δ υναµη f(r).ηκ ινησηπεριγρ αφεταισεπολικ ε συντεταγµ ενε (r, θ). Υπολογ ιστετηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηκαιγρ αψτετι εξισ ωσει τουχ αµιλτον. 5.Σηµειακ ηµ αζακινε ιταιστοχ ωρουπ οτηνεπ ιδρασηκεντρικ η δ υναµη f(r).ηκ ινησηπεριγρ αφεταισεσφαιρικ ε συντεταγµ ενε (r, θ, φ).προσδιορ ιστετι κανονικ ε ορµ ε p r, p θ, p φ.γρ αψτετηχα- µιλτονιαν ηκαιτι εξισ ωσει τουχ αµιλτον.αποδε ιξτε οτιηκ ινηση περιορ ιζεταισεκ αποιοεπ ιπεδο. 6.Γρ αψτετηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηπουδι επειτηνκ ινησηεν ο αρ- µονικο υταλαντωτ ηµεαπ οσ εση. 7. ε ιξτε οτιηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηδ υοσωµατιδ ιωνπουαλληλεπιδρο υνµενευτ ωνειοδυναµικ οε ιναι H = P 2 2M + p 2 2µ + V ( x ), οπου Pηορµ ητουκ εντρουµ αζα τωνσωµατιδ ιων, Mησυνολικ η µ αζα, pκαι xαντ ιστοιχαησχετικ ηορµ ηκαιθ εσητωνσωµατιδ ιων

26 298 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ και µηανηγµ ενηµ αζατων.γρ αψτετι εξισ ωσει τουχ αµιλτονπου δι επουντηνκ ινηση. 8.ΗΛαγκρανζιαν ηελε υθερουσχετικιστικο υσωµατιδ ιουπουκινε ιται στον αξονα xε ιναι L(ẋ) = mc 2 1 (ẋ/c) 2, οπου xηθ εσητου σωµατιδ ιουστον αξονα.υποθ εστε οτιστοσωµατ ιδιοασκε ιταιµ ια δ υναµητ ετοια ωστεηλαγκρανζιαν ηναε ιναι L(x, ẋ) = mc 2 1 (ẋ/c) mω2 x 2. Γρ αψτετηχαµιλτονιαν ησυν αρτησητουσωµατιδ ιου. ιατηρε ιται ηχαµιλτονιαν ηκατ ατηνκ ινηση;ποιαε ιναιητιµ ητη (α) οτανη ταχ υτητατουσωµατιδ ιουε ιναιµηδ ενκαι (β) οτανβρ ισκεταιστην αρχ ητωναξ ονωνστοχ ωροτωνφ ασεων; ε ιξτε οτιηπερ ιοδο τη ταλ αντωση µπορε ιναλ α ειτηµορφ η T = 4 cω 2 m π/2 0 dθ; E (E mc 2 ) sin 2 θ (E + mc2 ) (E mc 2 ) sin 2 θ, οπου Eηεν εργειατουσωµατιδ ιου. Επι ε αι ωστε οτιηπερ ιοδο τη κ ινηση τε ινειστηµη-σχετικιστικ ητιµ ητη, οτανηταχ υτηταε ιναισυνεχ ω πολ υµικρ ησυγκριτικ αµετηνταχ υτητατουφωτ ο. 9.Θεωρ ηστε εναελε υθεροσωµατ ιδιοµ αζα mπουκινε ιταιστοεπ ιπεδο x y.αντ ιτωνκαρτεσιαν ωνσυντεταγµ ενων (x, y)επιλ εγουµε ναπεριγρ αψουµετηνκ ινησηστι περιστρεφ οµενε συντεταγµ ενε Παρατηρ ηστε οτι ξ = x cos ωt + y sin ωt, η = x sin ωt + y cosωt. x = ξ cosωt η sin ωt, y = ξ sin ωt + η cosωt. (α)γρ αψτετηλαγκρανζιαν ησυν αρτησητουσωµατιδ ιουστι συντεταγµ ενε (ξ, η)καιτι εξισ ωσει Euler -Lagrange πουδι επουν τηνκ ινηση. (β)υπολογ ιστετηχαµιλτονιαν ησυν αρτηση Hπουαντιστοιχε ισεαυτ ητηλαγκρανζιαν η. (γ)μπορε ιτεναυπολογ ισετετην εντασηεν ο οµογενο υ µαγνητικο υπεδ ιου, ωστεηπαραπ ανωχα- µιλτονιαν ηναπεριγρ αφειτηνεπ ιπεδηκ ινησηεν ο φορτισµ ενουσω- µατιδ ιουµ εσαστοπεδ ιοαυτ ο,θεωρ ωντα οτιστοσωµατ ιδιοδρα επιπλ εον ενα ανεστραµµ ενο (απωθητικ ο )αρµονικ ο ταλαντωτ η ;δ) ιατηρε ιταιηκινητικ ηεν εργεια E κιν = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ); ιατηρε ιταιηχαµιλτονιαν η H; 10.ΑνηΧαµιλτονιαν ηεν ο σωµατιδ ιουπουκινε ιταισεµ ιαδι ασταση ε ιναιηh,δε ιξτε οτιηθ εσητουσωµατιδ ιουσεκ αθεχρονικ ηστιγµ η

27 9.10. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 299 tµπορε ιναυπολογιστε ιαπ οτοαν απτυγµα x(t) = x(0) + t 1! {x, H} t=0 + t2 2! {{x, H}, H} t=0 + + t3 3! {{{x, H}, H}, H} t= Ολε οιαγκ υλε Poissonυπολογ ιζονταιτηχρονικ ηστιγµ η t = 0. Χρησιµοποι ηστετοπαραπ ανωαν απτυγµαγιαναβρε ιτετηνεξ ισωση κ ινηση εν ο σωµατιδ ιουµ εσαστοοµογεν ε βαρυτικ οπεδ ιοτη Γη, περιοριζ οµενοιµ ονοστηνκατακ ορυφηκ ινηση. 11.Προσδιορ ιστετονκανονικ οµετασχηµατισµ οπουορ ιζεταιαπ οτη συν αρτηση (q Q)2 F 1 (q, Q, t) =. 2t Τισυµ α ινειστοµετασχηµατισµ ο οτανστο οριο t 0ε ιναι q Q = O(t);Προσδιορ ιστετηχαµιλτονιαν ηπουδι επειτηδυναµικ ηστι ν εε συντεταγµ ενε. 12.Γρ αψτετηνεξ ισωσηhamilton-jacobiγιατοναρµονικ οταλαντωτ η L = 1 ( q 2 q 2). 2 Υπολογ ιστετησυν αρτηση-δρ αση S = Ldtκαιεπαληθε υστε οτιαυτ ηεπιλ υειτηνεξ ισωσηhamilton-jacobiτουαρµονικο υταλαντωτ η. 13.Θεωρ ηστετηλαγκρανζιαν η L(x, ẋ, ẍ, t)ηοπο ια,εκτ ο των αλλων εξαρτ αταικαιαπ οαν ωτερε παραγ ωγου.μπορε ιτενακατασκευ- ασετεχαµιλτονιαν ηθεωρ ιαγιααυτ ητηλαγκρανζιαν η;(φ.χατζη- ω αννου) 14.Θεωρ ηστετηγραµµικοποιηµ ενηλαγκρανζιαν η (8.113),τουΚεφαλα ιου8,πουδι επειµικρ ε ταλαντ ωσει µια αλυσ ιδα µ εσασεοµογεν ε πεδ ιοβαρ υτητα.προσδιορ ιστετι κανονικ ε ορµ ε πουαντιστοιχο υνστι γων ιε καικατασκευ αστετηχαµιλτονιαν ησυν αρτηση τη αλυσ ιδα.στησυν εχειαγρ αψτετι εξισ ωσει τουχ αµιλτον. 15.Θεωρ ηστετηλαγκρανζιαν ησυν αρτηση L = 1 2 qt A q V (q), οπου Aσυµµετρικ ο π ινακα.αποδε ιξτε οτικαιοb = A 1 ε ιναι συµµετρικ ο π ινακα καιδε ιξτε οτιηαντ ιστοιχηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηε ιναιη H = 1 2 pt Bp + V (q). Γρ αψτετι εξισ ωσει τουχ αµιλτονκαιπροσδιορ ιστετασηµε ιαισορροπ ια τη.στησυν εχειακατασκευ αστετι γραµµικοποιηµ ενε εξισ ωσει κ ινηση καιπροσδιορ ιστετηχαµιλτονιαν ηπουτι παρ αγει.

28 300 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Η ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΘΕΩΡΗΣΗ 16.Θεωρ ηστεµικρ ε κιν ησει τωνδ υοσυζευγµ ενωνεκκρεµ ωνπουαναλ υσαµεστοεδ αφιο8.2.ηκ ινησ ητου δι επεταιαπ οτηλαγκρανζιαν η (8.12). ε ιξτε οτιοιεξισ ωσει τουχ αµιλτονµπορο υνναγραφο υνστηµορφ η d dt θ 1 p 1 θ 2 p 2 = ω 2 0 ω 2 k ω 2 k 0 ω 2 0 οπου ω 2 = ω 2 g + ω2 k.θ ετοντα λ υσει τη µορφ η ae iωt στηνπαραπ ανωεξ ισωσηπροσδιορ ιστετου χαρακτηριστικο υ τρ οπου ταλ αντωση στοχ ωροτωνθ εσεωνκαιτωνορµ ων.κ αθεχαρακτηριστικ ο τρ οπο ταλ αντωση προσδιορ ιζεταιαπ οτηστ ηλη aπου εχει τ εσσεραστοιχε ια. θ 1 p 1 θ 2 p 2