Κεφ αλαιο10. ΟΧ ωρο τωνφ ασεων Εισαγωγ η

Transcript

1 Κεφ αλαιο10 ΟΧ ωρο τωνφ ασεων Πολ υπαρ αξενη,ε ιπε,ε ιναιηεικ οναπουµου παρουσι αζει καιοιδεσµ ωτε σουπαρ αξενοι. Οµοιοιµεµα ε ιναι,ε ιπαεγ ω καιπρ ωτα-πρ ωτα,πιστε υει πω τ ετοιοιδεσµ ωτε, εκτ ο τουεαυτο υτου καιτωνσυντρ οφωντου, εχουνδειτ ιποτε αλλοεκτ ο απ οτι σκι ε πουπρο αλλονται,λ ογωτη φωτι α, στοναντικριν οτο ιχοτουσπηλα ιου; Πλ ατωνα 10.1 Εισαγωγ η Στηχαµιλτονιαν ηθε ωρησηηεξ ελιξηεν ο µηχανικο υσυστ ηµατο διαδραµατ ιζεταιστοχ ωροτωνφ ασεων (q, p). Οπω εχουµεαναφ ερει,για ενασ υστηµα nβαθµ ωνελευθερ ια οχ ωρο τωνφ ασεωνε ιναι ενα χ ωρο 2nδιαστ ασεων.ηδυναµικ ηκατ αστασητουσυστ ηµατο δ ινεταιαπ ο ενασηµε ιοτουχ ωρουαυτο υκαιπροσδιορ ιζεταιαπ οτι nσυντεταγµ ενε τωνγενικευµ ενωνθ εσεων qκαιτι nσυντεταγµ ενε τωνγενικευµ ενωνορ- µ ων p. ιαφορετικ ε καταστ ασει τουδυναµικο υσυστ ηµατο αντιστοιχο υναναγκαστικ ασεδιαφορετικ ασηµε ιατουχ ωρουτωνφ ασεων. Κ αθεσηµε ιοτουχ ωρουτωνφ ασεωνπροσδιορ ιζειπλ ηρω τηνκατ α- Ηαρχικ ηθ εσηµ ονο στασητουσυστ ηµατο καισεκ αθεχρονικ ηστιγµ ηοικανονικ ε εξισ ωσει τουχ αµιλτον q i = H p i, ṗ i = H q i (10.1) προσδιορ ιζουνεπακρι ω τασηµε ιατουχ ωρουτωνφ ασεωνσταοπο ια τοσ υστηµαθαµετα ε ιτι επ οµενε χρονικ ε στιγµ ε ητασηµε ιατουχ ωρουτωνφ ασεωνσταοπο ιατοσ υστηµαβρισκ οτανστοπαρελθ ον.αυτ ο ισχ υει,δι οτιοιεξισ ωσει τουχ αµιλτονε ιναιπρ ωτη τ αξη καιεποµ ενω ηαρχικ ηθ εσηστοχ ωροτωνφ ασεωνε ιναιαρκετ ηγιανακαθοριστε ιπλ ηρω ητροχι αστοµ ελλονκαιστοπαρελθ ον.πρ αγµατι,αντοσ υστηµαβρ ισκεταιαρχικ ασεκ αποιοσηµε ιοτουχ ωρουτωνφ ασεων,ηδιαφορικ ηµετα ολ ητη θ εση καιτη ορµ η τουσυστ ηµατο στοχ ωροτωνφ ασεων 301 καθορ ιζειτοµ ελλον καιτοπαρελθ ον

2 302 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ ε ιναι dq i = H p i dt, dp i = H q i dt, (10.2) οπ οτε,ην εαθ εσηκαιορµ ηε ιναικατ απροσ εγγιση 1 ισηµε q i (t + δt) = q i (t) + δt H p i, q(t),p(t) p i (t + δt) = p i (t) δt H q i. (10.3) q(t),p(t) Ηταχ υτηταστο χ ωροτωνφ ασεων Μεαυτ οτοντρ οποκατασκευ αζεταιβ ηµαπρο β ηµαητροχι ατουσυστ ηµατο στοχ ωροτωνφ ασεων,ηοπο ιαπροσδιορ ιζειπλ ηρω τηνκατ αστασητουσυστ ηµατο σε ολου του χρ ονου. Στησυν εχειατη µελ ετη µα θαεπικεντρ ωσουµετοενδιαφ ερονµα στηνπερ ιπτωσηπουηχαµιλτονιαν η Hδενεξαρτ αται αµεσααπ οτοχρ ονο t,ε ιναιδηλαδ ησυν αρτησηµ ονοτωνθ εσεωνκαιτωνορµ ων H(q, p). Εξ αρτησητη Χαµιλτονιαν η απ οτοχρ ονοπαρατηρε ιται, οταντοφυσικ οσ υστηµαπουµελετο υµεδενε ιναιαποµονωµ ενοκαιδ εχεταικ αποια χρονοεξαρτ ωµενηεπ ιδραση.χαρακτηριστικ οτ ετοιοπαρ αδειγµαε ιναιη µελ ετητη κ ινηση εν ο εξαναγκασµ ενουαρµονικο υταλαντωτ η.ταθε- µελι ωδηφυσικ ασυστ ηµατα εχουνχρονοανεξ αρτητηλαγκρανζιαν ηλ ογω τη συν ηθου υπ οθεση οτιοφυσικ ο κ οσµο ε ιναιοµογεν η στοχρ ονο και,συνεπ ω,ηχαµιλτονιαν ησυν αρτησηαυτ ωνε ιναιχρονοανεξ αρτητη. Εντο υτοι,γιαλ ογου πληρ οτητα καιεξαιτ ια του οτιδεναποκλε ισαµε καιστηλαγκρανζιαν ηθε ωρησητηχρονικ ηεξ αρτηση,θαασχοληθο υµε στοπαρ ονκεφ αλαιοκαιµεχρονοεξαρτ ωµενε Χαµιλτονιαν ε. ΟτανηΧαµιλτονιαν ηδενεξαρτ αταιαπ οτοχρ ονο,σεκ αθεσηµε ιο τουχ ωρουτωνφ ασεωναντιστοιχε ιµ ονοµ ιατροχι α πρ οκειταιγι αυτ ην ηοπο ιαβα ινειπρο τηδιε υθυνσητουδιαν υσµατο τη ταχ υτητα τουσυστ ηµατο στοχ ωροτωνφ ασεων: 2 v = q 1,..., q n,ṗ 1,...,ṗ n ) ( H =,..., H, H,..., H ). (10.4) p 1 p n q 1 q n Τοδι ανυσµααυτ οκαθορ ιζειτορυθµ οµετα ολ η τωνθ εσεωνκαιτωνορ- µ ωνσεκ αθεσηµε ιοτουχ ωρουτωνφ ασεων.μπορο υµε, ετσι,ναφανταστο υµε ολοτοχ ωροτωνφ ασεωνω µιαρο ηκ αποιουυποθετικο υρευστο υ 1 Ηπροσ εγγισηστι παραπ ανωσχ εσει εγκειταιστο οτιοιπαρ αγωγοιτη Χαµιλτονιαν η υπολογ ιστηκανστοαρχικ οσηµε ιο.απ οτοθε ωρηµατη µ εση τιµ η γνωρ ιζουµε οτιοισχ εσει ε ιναιακρι ε ι,ανοιπαρ αγωγοιυπολογιστο υνσεκ αποιοενδι αµεσοσηµε ιο τη τροχι α (q(t + θδt), p(t + θδt))µε 0 θ 1.Ταενδι αµεσασηµε ιαδενε ιναι, οµω, γνωστ ακαιγι αυτ οκαταφ υγαµεσεαυτ ητηνπροσ εγγιση,ηοπο ιαονοµ αζεταικαιολοκλ ηρωσηκατ αeulerκαικαθ ισταταιακρι η στο οριο δt 0.Υπ αρχουνακρι εστεροι τρ οποιαριθµητικ η ολοκλ ηρωση,στου οπο ιου, οµω,θααναφερθο υµεστοεπ οµενο κεφ αλαιο. 2 Ηκατ αστασηε ιναιαν αλογηµετηναριστοτ ελειαµηχανικ ησ υµφωναµετηνοπο ια κ αποιοα ιτιο εδ ωοιπαρ αγωγοιτη Χαµιλτονιαν η προκαλε ι αµεσατηνταχ υτητακ ινηση τουσ ωµατο εδ ωτηνταχ υτηταµετα ολ η τη κατ ασταση τουσ ωµατο στο χ ωροτωνφ ασεων.

3 10.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 303 µεπεδ ιοταχυτ ητων v.οιτροχι ε τουσυστ ηµατο θαε ιναιοικαµπ υλε, οιο-πο ιε ε ιναιεφαπτ οµενε στα vσεκ αθεσηµε ιοκαιταυτ ιζονταιµετην τροχι αεν ο νοητο υµικροσκοπικο υκ οκκουσκ ονη πουπαρασ υρεταιαπ ο τηρο ητη οπο ια τοπεδ ιοτωνταχυτ ητωνε ιναιτο v. Επειδ ησεκ αθε σηµε ιοαντιστοιχε ιµ ονο εναδι ανυσµα v,οιτροχι ε τουσυστ ηµατο δεν µπορο υννατµηθο υν σεαντ ιθετηπερ ιπτωσηστοσηµε ιοαυτ οθααντιστοιχο υσανδ υοδιαφορετικ ε κατευθ υνσει. 3 Επιπλ εον,ε ιναιδυνατ οννα αποδειχθε ι οτιοιτροχι ε δενµπορο υνο υτεκαινακαταστο υνεφαπτ οµενε ηµ ιαστην αλλη,αντοπεδ ιοτωνταχυτ ητων vε ιναισυνεχ η συν αρτηση,εν ωτο ιδιοσυµ α ινεικαιµε ολε τι µερικ ε παραγ ωγου αυτ η. Τογεγον ο αυτ οπηγ αζειαπ οτοθε ωρηµαµοναδικ οτητα τη λ υση των διαφορικ ωνεξισ ωσεων. 4 ΗΧαµιλτονιαν η,στηνπερ ιπτωσηπουδενεξαρτ αταιαπ οτοχρ ονο, διατηρε ιταικατ ατηνκ ινησηµεαποτ ελεσµαοιτροχι ε τουσυστ ηµατο νακε ινταισεεπιφ ανειε H(q, p) = Cτουχ ωρουτωνφ ασεων, οπουη σταθερ απροσδιορ ιζεταιαπ οτηναρχικ ηθ εσηκαιορµ ητουσυστ ηµατο C = H(q(0), p(0)). ιαπιστ ωνουµε οτι,εφαρµ οζοντα τι εξισ ωσει του Χ αµιλτον,προκ υπτειµηδενικ ηµετα ολ ητη Χαµιλτονιαν η κατ αµ ηκο τη τροχι α τουσυστ ηµατο dh dt = H dq i q i dt + H dp ( ) i p i dt = q,p H v = ṗ i q i q i ṗ i = 0, (10.5) οπου vε ιναιηταχ υτηταστοχ ωροτωνφ ασεων (µεδιε υθυνσηεφαπτο- µενικ ητη τροχι α )πουδ ινεταιαπ οτην εκφραση (10.4)και q,p ηβαθ- µ ιδατη Χαµιλτονιαν η ω προ ολε τι συντεταγµ ενε τουχ ωρουτων φ ασεων.απ οτην (10.5)συν αγεταιηδιατ ηρησητη Χαµιλτονιαν η κατ α τηνκ ινησητουσυστ ηµατο,αφο υηταχ υτητα,πουε ιναιεφαπτ οµενηστην τροχι α,ε ιναικ αθετηστηβαθµ ιδατη Χαµιλτονιαν η καισυνεπ ω ε ιναι κ αθετηστηνκ αθετοτη επιφ ανεια H(q, p) = C.Ητροχι α,λοιπ ον,κε ιταιστηνεπιφ ανεια H(q, p) = C. Στησυν εχειαπαραθ ετουµετρ ιαπαραδε ιγµαταµηχανικ ωνσυστηµ ατων,καιαναλ υουµετηντροχι ατου στοχ ωροτωνφ ασεων. Παρ αδειγµα1:ηχαµιλτονιαν ηελε υθερουσωµατιδ ιουπουκινε ιταισε µ ιαδι αστασηε ιναι H(q, p) = p2 2m. (10.6) 3 Οµω,ε ανηχαµιλτονιαν ηεξαρτ αται αµεσααπ οτοχρ ονο,σεκ αθεσηµε ιοτουχ ωρουτωνφ ασεωνηκατε υθυνσηαλλ αζειµετηνπ αροδοτουχρ ονουκαιω αποτ ελεσµα αυτ η τη αλλαγ η,ητροχι αε ιναιδυνατ οννατ εµνειτονεαυτ οτη. Στηνπερ ιπτωση αυτ ηηµοναδικ οτητατη λ υση δεναποκλε ιειτηντοµ ητωντροχι ων. 4 Τοθε ωρηµαµοναδικ οτητα αποδεικν υεταικ ατωαπ οπολ υχαλαρ οτερε συνθ ηκε. Αρκε ιτοπεδ ιοταχυτ ητων vναε ιναι Lipschitz. Μιααπεικ ονισηλ εγεται Lipschitzαν ηαπ οστασηµεταξ υτη απεικ ονιση δ υοσηµε ιωνε ιναιτοπολ υ Lφορ ε µεγαλ υτερη απ οτηναπ οστασηµεταξ υτωναρχικ ωνσηµε ιων,δηλαδ ηισχ υει οτι v( x 2 ) v( x 1 ) L x 2 x 1, οπου x (q, p). Οισυν ηθει, οµω,χαµιλτονιαν ε πουσυναντο υµεστη φυσικ η εχουνσυνεχε ι παραγ ωγου κ αθετ αξη και ετσιδεναπαιτε ιταιηαναφορ αστη χαλαρ οτερησυνθ ηκηlipschitz.

4 304 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ Οιτροχι ε στοχ ωροτωνφ ασεωνπροσδιορ ιζονταιαπ οτι σχ εσει dq = p dt, dp = 0 (10.7) m καικατ ασυν επειαηταχ υτηταστοχ ωροτωνφ ασεωνε ιναι v = (p/m, 0). Σχ ηµα 10.1:Ηρο ηστοχ ωροτωνφ ασεωνεν ο ελε υθερουσωµατιδ ιου,µοναδια ια µ αζα,τοοπο ιοκινε ιταισεµ ιαδι ασταση.οιτροχι ε ε ιναιευθε ιε καιηταχ υτητα(β ελητου σχ ηµατο )τουεκ αστοτεσηµε ιουτουχ ωρουτωνφ ασεων,πουαντιστοιχε ισεµ ιασυγκεκριµ ενηαρχικ ηκατ ασταση,ε ιναιαν αλογητη συντεταγµ ενη pτουενλ ογωσηµε ιου. Ε ανθεωρ ησουµε ενακαρτεσιαν οδι αγραµµατουχ ωρουτωνφ ασεωνµε ορθογ ωνιου αξονε (q, p),οιτροχι ε τουσυστ ηµατο ε ιναιευθε ιε,παρ αλληλε στον αξονα q,πουω αφετηρ ιατου εχουντοσηµε ιο οπουβρισκ οταναρχικ ατοσ υστηµακαιδιατρ εχουντηνευθε ια p =σταθερ οµεταχ υτητασταθερ ηκαιαν αλογητη αρχικ η ορµ η.αν p = 0,τοσωµατ ιδιο παραµ ενειστοαρχικ οτουσηµε ιο q(0)καιητροχι αεκφυλ ιζεταισεσηµε ιο. Οιτροχι ε p =σταθερ οε ιναιπροφαν ω επιφ ανειε σταθερ η Χαµιλτονιαν η H = C.Ηρο ηστοχ ωροτωνφ ασεωναπεικον ιζεταιστοσχ ηµα10.1. Τοπεδ ιοταχ υτητα εµφαν ιζειτηνεικ οναµια διαστρωµατωµ ενη ρο η ρευστο υµεγραµµικ οπροφ ιλ. Παρ αδειγµα2:ηχαµιλτονιαν ηεν ο αρµονικο υταλαντωτ ησεµ ιαδι αστασηε ιναι H(q, p) = 1 2m p2 + k 2 q2. (10.8) Οιτροχι ε στοχ ωροτωνφ ασεωνπροσδιορ ιζονταιαπ οτι σχ εσει dq = p m dt, dp = kq dt. (10.9) Εποµ ενω,ηταχ υτηταστοχ ωροτωνφ ασεωνε ιναι ( p ) v = m, kq εν ω,ε ανθεωρ ησουµεκαιπ αλι ενακαρτεσιαν οδι αγραµµατουχ ωρουτων φ ασεωνµεορθογ ωνιου αξονε (q, p),οιτροχι ε τουσυστ ηµατο ε ιναιοι καµπ υλε H(q, p) = C,οιοπο ιε ε ιναιελλε ιψει πουδιαγρ αφονταιµετη φορ ατωνδεικτ ωντουρολογιο υ. Ηρο ηστοχ ωροτωνφ ασεωναπεικον ιζεταιστοσχ ηµα Ολε οιελλε ιψει ε ιναι ιδιουσχ ηµατο,δηλαδ η

5 10.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 305 Σχ ηµα 10.2:Ηρο ηστοχ ωροτωνφ ασεωνεν ο αρµονικο υταλαντωτ ησεµ ιαδι ασταση. Οιτροχι ε ε ιναιελλε ιψει,οιοπο ιε διαγρ αφονταιµετηνφορ ατωνδεικτ ωντουρολογιο υ. εχουν ιδιολ ογοµεγ αλου µικρο υηµι αξονα.επειδ η,µ αλιστα,καιοιδ υο ηµι αξονε ε ιναιαν αλογοιτη τετραγωνικ η ρ ιζα τη εν εργεια (τη τιµ η τη Χαµιλτονιαν η ),τοεµ αδ οντη κ αθε ελλειψη αυξ ανειγραµµικ αµε τηνεν εργεια. Παρ αδειγµα3:ηχαµιλτονιαν ηεν ο εκκρεµο υ πουεκτελε ικ ινησησε κατακ ορυφοεπ ιπεδοµ εσαστοοµογεν ε πεδ ιοβαρ υτητα ε ιναι H(θ, p) = p2 θ mgl cos θ. (10.10) 2ml2 Στηνκατασκευ ητη Χαµιλτονιαν η χρησιµοποι ησαµεω θ εσητηγων ια θπουσχηµατ ιζειτοεκκρεµ ε µετηνκατακ ορυφο (θ = 0ε ιναιτοσηµε ιο ευσταθο υ ισορροπ ια ). Ηγων ια θπα ιρνειτιµ ε στοδι αστηµα [ π, π). Ετσι,οχ ωρο τωνφ ασεωνε ιναιηεπιφ ανειαεν ο ορθο υκυλ ινδρου.η γων ια θ,τ οτε,προσδιορ ιζειτηγωνιακ ηθ εσηεπ ανωστηνεπιφ ανεια,αν οκ υλινδρο τµηθε ιαπ ο εναεπ ιπεδοκ αθετοστον αξονασυµµετρ ια του, εν ωηp θ προσδιορ ιζειτηθ εσητουκ αθετουαυτο υεπιπ εδου.σεαυτ οτο παρ αδειγµαοδισδι αστατο χ ωρο τωνφ ασεωνδενε ιναιτοεπ ιπεδο. Ωστ οσο,επειδ ηηεπιφ ανειατουκυλ ινδρουµπορε ιναξεδιπλωθε ικαινα καταστε ιεπ ιπεδη,µπορο υµεναθεωρ ησουµε οτιηκ ινησηστοχ ωροτων φ ασεωνεξελ ισσεταιστοορθογ ωνιοκαρτεσιαν οχωρ ιο [ π, π) (, ), οιπλευρ ε τουοπο ιου θ = πκαι θ = π εχουνταυτιστε ι.ηρο ηαπεικον ιζεταιστοσχ ηµα 10.3.Οιεξισ ωσει τουχ αµιλτονε ιναι θ = 1 ml 2p θ, ṗ θ = mgl sin θ. (10.11) Τοσηµε ιο (0, 0)ε ιναισηµε ιοευσταθο υ ισορροπ ια,εν ωτοσηµε ιο ( π, 0) ε ιναισηµε ιοασταθο υ ισορροπ ια. Τασηµε ιααυτ ααποτελο υνεκφυλισµ ενε τροχι ε τουεκκρεµο υ στοχ ωροτωνφ ασεων,αφο υ,αναρχικ α

6 306 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ Σχ ηµα10.3: Ηρο ηστοχ ωροτωνφ ασεωνεν ο εκκρεµο υ µεχαµιλτονιαν ηαυτ ηπουδ ινεταιστην εκφραση(10.10).ηκ ινησητουεκκρεµο υ ε ιναιπεριοδικ η,εκτ ο ανηαρχικ η κατ αστασηε ιναιεπ ανωστηδιαχωρ ιζουσα δ 1,2. Στηνπεριοχ ηβηκ ινησηε ιναιταλαντωτικ η.στι περιοχ ε ΑκαιΓτοεκκρεµ ε εχειαρκετ ηεν εργεια ωστεναεκτελε ισυνεχ η περιστροφικ ηκ ινηση,στηνπεριοχ ηασ υµφωναµετηφορ ακατ ατηνοπο ιααυξ ανεταιη γων ια θ,εν ωστηνπεριοχ ηγαντ ιθετααπ οτηφορ ααυτ η.μ ονοεπ ιτη διαχωρ ιζουσα η κ ινησηδενε ιναιπεριοδικ η: Οταντοεκκρεµ ε διατρ εχειτη δ 1,κινε ιταιαεν αω προ το σηµε ιοασταθο υ ισορροπ ια π,εν ω, οτανηαρχικ ηκατ αστασητουεκκρεµο υ βρ ισκεταιστην δ 2,τοεκκρεµ ε κινε ιταιαεν αω προ το π. Στηνουσ ια,β ε αια,καιταδ υο σηµε ιααντιστοιχο υνστην ιδιαθ εσητουεκκρεµο υ.σηµει ωστε οτιτοσηµε ιο ( π, 0)δεν αν ηκειστι διαχωρ ιζουσε,αφο υε ιναισηµε ιοασταθο υ ισορροπ ια.αυτ οτοσηµε ιοτο προσεγγ ιζουνοιτροχι ε επ ιτωνδιαχωριζουσ ων,χωρ ι β ε αιαποτ ενακατορθ ωνουννα τοφτ ασουν. τοεκκρεµ ε βρεθε ιστασηµε ιααυτ α,θαπαραµε ινειεκε ιεπ απειρον.η διαχωρ ιζουσα(separatrix) δ 1, δ 2 πουτε ινειπρο τοσηµε ιοασταθο υ ισορροπ ια (στοσχ ηµα 10.3τοσηµε ιοαυτ οαπεικον ιζεταισεδ υοξεχωριστ α σηµε ια),χωρ ι νακαταφ ερνεινατοφτ ασει,αποτελε ιτηνισοενεργειακ η επιφ ανεια p θ = ±2m gl 3 cos(θ/2), (10.12) ηοπο ιαδιαχωρ ιζειτοχ ωροτωνφ ασεωνσετρει περιοχ ε.σεκ αθεπεριοχ ηηκ ινησηε ιναιπεριοδικ η.στι περιοχ ε ΑκαιΓ(βλ.Σχ ηµα 10.3)το εκκρεµ ε εκτελε ιπεριστροφικ ηκ ινηση (κατ ατηθετικ η ηαρνητικ ηφορ α αντιστο ιχω ),εν ωστηµεσα ιαπεριοχ ηβεκτελε ιταλ αντωση. Γενικ οτερα,οιπεριοδικ ε κιν ησει στοχ ωροτωνφ ασεωνµπορε ινα ε ιναιπεριστροφικ ε ηταλαντωτικ ε. Ε ιναιπεριστροφικ ε, οτανη qδεν αλλ αζειπρ οσηµοκαιταλαντωτικ ε, οτανη qαλλ αζειπεριοδικ απρ οσηµο. Ανοιθ εσει λαµ ανουντιµ ε επ ιµ ια ευθε ια,δενµπορο υµενα εχουµε περιστροφικ ηκ ινηση.αν, οµω,οιθ εσει ορ ιζονταιεπ ιεν ο κ υκλου,τ οτε µπορο υµενα εχουµεκαιτου δ υοτ υπου περιοδικ η κ ινηση.εποµ ενω, οτ υπο τη περιοδικ η κ ινηση εξαρτ αταιαπ οτηντοπολογ ιατουχ ωρου τωνφ ασεων (βλ.σχ ηµα 10.4).

7 10.2. ΘΕΩΡΗΜΑ LIOUVILLE 307 Σχ ηµα 10.4: Ητοπολογ ιατουχ ωρουτωνφ ασεωντουπαραδε ιγµατο 3. Στοσχ ηµα απεικον ιζονταιτρει ταλαντωτικ ε κιν ησει (οιοπο ιε δεντυλ ιγονταιγ υρωαπ οτονκ υλινδρο)καιτ εσσερι περιστροφικ ε κιν ησει δ υοδεξι οστροφε καιδ υοαριστερ οστροφε (οιοπο ιε τυλ ιγονταιγ υρωαπ οτονκ υλινδρο). Ασκηση10.1. Αποδε ιξτε οτιηδιαχωρ ιζουσαδ ινεταιαπ οτην εκφραση (10.12). ΑΣΚΗΣΕΙΣ Υποθ εστετ ωρα οτιοιαρχικ ε συνθ ηκε ε ιναιεπ ιτη διαχωρ ιζουσα καιδε ιξτε οτιαπαιτε ιται απειρο χρ ονο γιαναπροσεγγ ισειτοεκκρεµ ε το ακροτη διαχωρ ιζουσα που αποτελε ισηµε ιοασταθο υ ισορροπ ια Θε ωρηµαliouville Κ αθεχαµιλτονιαν οσ υστηµα,κ αθεσ υστηµαδηλαδ ηπουµπορε ιναπεριγραφε ιµ εσωκ αποια χαµιλτονιαν η συν αρτηση,κατ ατηνκ ινησ ητου στοχ ωροτωνφ ασεωνδιατηρε ιτον ογκο του.αυτ ηηιδι οτητατωνχα- µιλτονιαν ωνσυστηµ ατωναποτελε ιτοπεριεχ οµενοτουθεωρ ηµατο του Liouville.Γιανακατανο ησουµεγιατ ισυµ α ινειαυτ ο,α θεωρ ησουµε ενα κλειστ οχωρ ιοτουχ ωρουτωνφ ασεων Γ 0. Υστερααπ οχρ ονο tηχαµιλτονιαν ηδυναµικ ηθατοµετασχηµατ ισειστοχωρ ιο Γ t (βλ.σχ ηµα10.5). O διαφορικ ο ογκο στοχ ωροτωνφ ασεωνε ιναι d n qd n p dq 1...dq n dp 1...dp n d 2n x, (10.13)

8 308 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ οπου x = (q, p)και nοιβαθµο ιελευθερ ια τουσυστ ηµατο.συνεπ ω,ο αρχικ ο ογκο τουχωρ ιου Γ 0 δ ινεταιαπ οτην εκφραση V (0) = d 2n x(0), (10.14) Γ 0 οπουτα x(0)ε ιναιτασηµε ιατουχ ωρουτωνφ ασεωνπουβρ ισκονταιεντ ο τουχωρ ιου Γ 0. Ο ογκο του ιδιουχωρ ιου, οπω θα εχειµετεξελιχθε ιτη χρονικ ηστιγµ η tθαε ιναι V (t) = d 2n x(t), (10.15) Γ t οπου x(t)ε ιναιτασηµε ιατουχ ωρουτωνφ ασεωνπουβρ ισκονταιεντ ο τουχωρ ιου Γ t.θααποδε ιξουµε οτιγιακ αθε tισχ υει οτι V (t) = V (0).Το θε ωρηµατουαµετ α λητουτων ογκωνδιατυπ ωθηκεαπ οτονγ αλλοµαθηµατικ οjosephliouville[ ]το Σχ ηµα 10.5:Τοαρχικ οχωρ ιο Γ 0 µετασχηµατ ιζεταιστοχωρ ιο Γ t στοχρ ονο t.κ αθεση- µε ιο x(0)εντ ο τουχωρ ιου Γ 0 µετασχηµατ ιζεταισεσηµε ιο x(t)εντ ο τουχωρ ιου Γ t µ εσω τη απεικ ονιση φ t.ανηεξ ελιξητουχωρ ιουε ιναιχαµιλτονιαν η,τ οτεο ογκο τουχωρ ιουπαραµ ενειαµετ α λητο. Επειδ ηηµελ ετητη εξ ελιξη του ογκου εχειιδια ιτερησηµασ ιακαισε γενικ οτεραδυναµικ ασυστ ηµατα,ταοπο ιαµπορε ιναµηνε ιναιχαµιλτονιαν α,α υπολογ ισουµετορυθµ οµετα ολ η του ογκουγια εναγενικ οδυναµικ οσ υστηµα,πουπεριλαµ ανεικαιταχαµιλτονιαν ασυστ ηµατα (βλ. σχ εση 10.4) d x = v( x, t), (10.16) dt οπουµε xσυµ ολ ιζουµετι Nµετα λητ ε (x 1,...,x N )καιη v εχει Nσυνιστ ωσε (v 1,...,v N ).Μπορο υµεναφανταστο υµε οτιτοπαραπ ανωδυναµικ οσ υστηµαπεριγρ αφειτηνεξ ελιξητη θ εση εν ο κ οκκουσκ ονη σε

9 10.2. ΘΕΩΡΗΜΑ LIOUVILLE 309 Σχ ηµα 10.6:Εξ ελιξηχωρ ιουστηνατµοσφαιρικ ηρο ηπουπροκαλε ιταιαπ οτοστ ασιµο βαροµετρικ οχαµηλ οπουδιακρ ινεταιστοχ αρτηστο ανωµ ερο τουσχ ηµατο. Στο χ αρτηαπεικον ιζεταιηρο ηστηνεπιφ ανειαπ ιεση 500mb,ηοπο ιαβρ ισκεταιπερ ιπου στα 5kmεπ ανωαπ οτηνεπιφ ανειατη θ αλασσα. Ηρο ηθεωρε ιταιχρονικ αανεξ αρτητηκαιασυµπ ιεστη,οπ οτεε ιναιχαµιλτονιαν η,εν ωο ογκο τωνχωρ ιωνπουβρ ισκονται στηνεπιφ ανειααυτ ηδιατηρε ιται. Εχεισχεδιαστε ιηεξ ελιξητουαρχικο υτετραγωνικο υ χωρ ιουστου χρ ονου 6h, 12h,24hκαι 36h.Ηµε ιωσητη προ λεπτικ οτητα τη θ εση τωνκ οκκωνεν ο αδρανο υ ιχνηλ ατη (πουκινε ιταισ υµφωναµετηρο η)µετηνπ αροδο τουχρ ονουε ιναιεµφαν η.απ οτηνεργασ ιατουp.welander,1955:studiesonthegeneral development of motion in a two dimensional fluid flow, Tellus, 7, εναρευστ οτουοπο ιουτοπεδ ιοταχυτ ητων v( x, t)σεκ αθεσηµε ιοτουχ ωρουκαισεκ αθεχρονικ ηστιγµ ηθεωρε ιταιγνωστ ο.θαδε ιξουµε οτι,ανη ρο η v εχειµηδενικ ηαπ οκλιση(ασυµπ ιεστορευστ ο),δηλαδ ηαν v = N i=1 v i x i = 0, (10.17) τ οτεδιατηρε ιταιο ογκο κ αθεχωρ ιουτουρευστο υ. Κ αθεσηµε ιο x(t)τουχωρ ιου Γ t ε ιναιαπεικ ονισητουαντ ιστοιχουση- µε ιου x(0)του Γ 0, φ t : x(0) x(t). Ηαπεικ ονισηαυτ ηε ιναιαπλ ω ηταυτοτικ ηαπεικ ονισηγια t = 0. O ογκο τηχρονικ ηστιγµ η tε ιναι V (t) = d N x(t) = J(t)d N x(0), (10.18) Γ t Γ 0 Ηρο ηασυµπ ιεστου ρευστο υ

10 310 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ οπου J(t)ηΙακω ιαν ητουµετασχηµατιασµο υ φ t τωνσυντεταγµ ενωνολοκλ ηρωση J(t) = det(j(t)), (10.19) και J(t)οιακω ιαν ο π ινακα µεστοιχε ια J ij (t) = x i(t) x j (0). (10.20) Παρατηρο υµε οτιµ εσωτη ιακω ιαν η ορ ιζουσα µετα α ινουµεαπ οτι συντεταγµ ενε x(t)στι συντεταγµ ενε x(0),οπ οτεκαιτοχωρ ιοολοκλ ηρωση αλλ αζειαπ ο Γ t σε Γ 0.Ηαναφορ αστηναπεικ ονιση φ t απ οτι αρχικ ε συντεταγµ ενε στι ν εε συντεταγµ ενε εγινεακρι ω γι αυτ οντο λ ογο:τοκ αθεσηµε ιο x(t),αντ ινατοβλ επουµεω εξ ελιξητου x(0),µπορο υµενατοθεωρο υµεω το ιδιοσηµε ιοµετο x(0)αλλ ασεκαινο υργιε συντεταγµ ενε µεµετασχηµατισµ οσυντεταγµ ενωναυτ οντη απεικ ονιση. Κ ατιαν αλογοσυναντ ησαµεστοκεφ αλαιο 6µετου ενεργο υ καιτου παθητικο υ µετασχηµατισµο υ στροφ η τηστροφ ηεν ο διαν υσµατο µπορο υµενατηνεννο ησουµεε ιτεενεργητικ αω στροφ ητου ιδιουτου διαν υσµατο,ε ιτεπαθητικ αω τηµετα ολ ητωνσυνιστωσ ωνεν ο σταθερο υδιαν υσµατο εξαιτ ια τη αντ ιστροφη στροφ η τουσυστ ηµατο των συντεταγµ ενων. Προκειµ ενουναυπολογ ισουµετηναλλαγ ητου ογκουτουχωρ ιου,α υπολογ ισουµετο J ij (ǫ)γιαπολ υµικρο υ χρ ονου ǫ << 1. Eπειδ η θαε ιναι x i (ǫ) = x i (0) + ǫv i ( x(0), 0) + O(ǫ 2 ), (10.21) x i (ǫ) x j (0) = δ ij + ǫ v i( x(0), 0) + O(ǫ 2 ), (10.22) x j (0) οπου δ ij ε ιναιτοδ ελτατουkronecker,ταστοιχε ιαδηλαδ ητουµοναδια ιου π ινακα Iσε Nδιαστ ασει. ΗΙακω ιαν η,λοιπ ον,τουµετασχηµατισµο υ γιαµικρο υ χρ ονου µπορε ιναγραφε ιυπ οµορφ ηπιν ακωνω J(ǫ) = det(i + ǫa + O(ǫ 2 )), (10.23) οπουοπ ινακα A εχειστοιχε ια A ij = v i( x(0), 0) x j (0). Αναπτ υσσοντα την J(ǫ)σε ορου αυξαν οµενη τ αξη ω προ ǫ,λαµ ανουµε (βλ.μαθηµατικ οπαρ αρτηµα) J(ǫ) = 1 + ǫtrace(a) + O(ǫ 2 ), (10.24) οπου trace(a) = A ii (υπονοε ιταιηαθροιστικ ησ υµ αση)ε ιναιτο ιχνο τουπ ινακαπουισο υταιµετο αθροισµατωνδιαγ ωνιωνστοιχε ιωντου.

11 10.2. ΘΕΩΡΗΜΑ LIOUVILLE 311 Ασκηση10.2.Αναπτ υσσοντα τηνορ ιζουσασε ορου αυξαν οµενη τ αξη ω προ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ǫαποδε ιξτετηνταυτ οτητα (10.24). Σχ ηµα10.7:εξ ελιξηεν ο χρωµατισµ ενουτετραγ ωνουπουβρ ισκεταιστηνεπιφ ανειαπεριστρεφ οµενουρευστο υ,τοοπο ιοαναδε υεται.ηχαµιλτονιαν ηεξ ελιξητουχωρ ιουε ιναι χαοτικ η, οπω φα ινεταιαπ οτηνευα ισθητηεξ αρτησητη τελικ η θ εση εκ αστουσηµε ιου απ οτι αρχικ ε συνθ ηκε,καιοδηγε ιτελικ αστηνπλ ηρηδι αχυσητουχρ ωµατο στην επιφ ανειατουρευστο υ.απ οτηνεργασ ιατουp.welander, 1955: Studiesonthegeneral development of motion in a two dimensional fluid flow, Tellus, 7, Eπειδ ηοφ 0 ε ιναιταυτοτικ ο µετασχηµατισµ ο,θαισχ υει J(0) = 1 εποµ ενω,ησχ εση (10.24)γρ αφεταιω J(ǫ) J(0) ǫ = trace(a) + O(ǫ). (10.25) Στο οριο ǫ 0προκ υπτειηδιαφορικ ηεξ ισωσηµετα ολ η τη Ιακω ιαν η dj dt = trace(a) = v( x(0), 0). (10.26) t=0

12 312 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ Μολον οτιηπαραπ ανωεξ ισωσηπροκ υπτειγιατηδιαφορικ ηεξ ελιξητη J(t)τηχρονικ ηστιγµ η t = 0,καταλ ηγουµεσεταυτ οσηµασυµπερ ασµατα καιγιατηδιαφορικ ηεξ ελιξητη J(t)απ οτοχρ ονο tστοχρ ονο t+ǫ.επο- µ ενω,ορυθµ ο µετα ολ η τη J(t)τηχρονικ ηστιγµ η tε ιναι dj dt = trace(a) = v( x(t), t). (10.27) Ολοκληρ ωνοντα την (10.27),βρ ισκουµε οτιητιµ ητη Ιακω ιαν η J(t) υστερααπ οπεπερασµ ενοχρ ονο tε ιναι J(t) = 1 + t 0 v( x(s), s) ds. (10.28) Aνηαπ οκλισητου vε ιναιµηδενικ η,ηιακω ιαν ητουµετασχηµατισµο υ θαε ιναι J(t) = 1 για ολου του χρ ονου και, οπω προκ υπτειαπ οτησχ εση(10.18),ο ογκο τουχρονικ αεξελιγµ ενουχωρ ιου V (t)θαπαραµε ινει ισο µετοναρχικ ο ογκο V (0). Mπορο υµεεπ ιση ναπροσδιορ ισουµετηδιαφορικ ηεξ ισωσηµετα ολ η του ογκουσυναρτ ησειτουρυθµο υµετα ολ η τη Ιακω ιαν η.παραγωγ ιζοντα την (10.18),λαµ ανουµε dv (t) dt = d d N x(t) dt Γ t Γ = lim t+ǫ d N x(t + ǫ) Γ t d N x(t) ǫ 0 ǫ Γ = lim t [1 + ǫ (dj/dt)]d N x(t) Γ t d N x(t) ǫ 0 ǫ dj = Γ t dt dn x(t) = v( x(t), t) d N x(t). (10.29) Γ t Ειδικ αταχαµιλτονιαν ασυστ ηµαταικανοποιο υντηνασυµπ ιεστηιδι- οτητατουδιανυσµατικο υπεδ ιου v = 0, αφο υ,ανθ εσουµε x = ( q, p)και v( x, t) = ( H/ p H/ q ), (10.30) οπουµε H/ pσυµ ολ ιζουµετηβαθµ ιδατη Χαµιλτονιαν η ω προ τι pµετα λητ ε καιπαροµο ιω µε H/ qτηβαθµ ιδαω προ τι qµετα λητ ε,οικανονικ ε εξισ ωσει τουχ αµιλτονλαµ ανουνστι συντεταγµ ενε αυτ ε τηµορφ η d x = v( x, t), (10.31) dt

13 10.2. ΘΕΩΡΗΜΑ LIOUVILLE 313 και εχουντηνιδι οτηταηαπ οκλισητουπεδ ιουτωνταχυτ ητωνναµηδεν ιζεται ( ( ) H v = + ( H )) = 0. (10.32) q i p i p i q i Συνεπ ω,ηρο ηστοχ ωροτωνφ ασεωνε ιναιασυµπ ιεστηκαι ετσικ αθεχα- Ηρο ηστοχ ωρο µιλτονιαν οσ υστηµακατ ατηνκ ινησ ητουστοχ ωροτωνφ ασεωνδιατηρε ι τωνφ ασεωνε ιναι τοναρχικ οτου ογκο. ασυµπ ιεστη Παρατηρο υµε οτιτοασυµπ ιεστοτη ρο η στοχ ωροτωνφ ασεωνε ιναιαπ ορροιατη ιδια ιτερη συµπλεκτικ η µορφ η τωνκανονικ ωνεξισ ωσεων.ε ανθεωρο υσαµετηδυναµικ ηστοχ ωροτων (q, q),τοθε ωρηµαli- Τοθε ωρηµαliouville ouvilleδενθα ισχυεγενικ αγιακ αθελαγκρανζιαν η.παρατηρο υµεεπ ιση οτιτοθε ωρηµαισχ υεικαιγιαχρονοεξαρτ ωµενε Χαµιλτονιαν ε,αφο υ σεκαν ενασηµε ιοτη απ οδειξη δενχρει αστηκεναεπικαλεστο υµετηµη εξ αρτησητη Χαµιλτονιαν η απ οτοχρ ονο. Τιφυσικ ον οηµα οµω,µπορε ινα εχει εναχωρ ιοστοχ ωροτωνφ ασεων ;Μπορε ιναφανταστε ικανε ι οτι εναχωρ ιοαντιπροσωπε υει εναµεγ αλο δε ιγµα ιδιωνφυσικ ωνσυστηµ ατωνµεπαρεµφερε ι αρχικ ε συνθ ηκε για Τιν οηµα εχει ενα ισχ υεικαιγια Χαµιλτονιαν ε που αλλ αζουνµετοχρ ονο παρ αδειγµα,µιαµεγ αληπαιδικ ηχαρ αµεπανοµοι οτυπε κο υνιε,οιοπο ιε τηχρονικ ηστιγµ η t = 0καταλαµ ανουν ολε τι γων ιε εντ ο κ αποιου φ ασεων; διαστ ηµατο,γιαπαρ αδειγµα,µεταξ υ 5 και 10,και ολε τι γωνιακ ε ταχ υτητε,γιαπαρ αδειγµα,µεταξ υ 1 s 1 και +1 s 1.Μπορε ι,ακ οµη, ναφανταστε ικανε ι τοχωρ ιοω ενακαιµοναδικ οφυσικ οσ υστηµατη θ εσηκαιτηνορµ ητουοπο ιουδενγνωρ ιζουµεµεαπ ολυτηβε αι οτητα για παρ αδειγµα,µιακο υνιαγιατηνοπο ιαδενε ιµαστεαπολ υτω σ ιγουροιτι αρχικ ηγων ιακαιτιαρχικ ηγωνιακ ηταχ υτητα εχει,αλλ αγνωρ ιζουµετο ε υρο τη α ε αι οτητ α µα οσοναφορ ασταµεγ εθηαυτ α. Τοθε ωρηµαliouville εχειθεµελι ωδησηµασ ιαστηνκλασικ ηστατιστικ ηµηχανικ η,σ υµφωναµετηνοπο ια ενασ υστηµα εχειτην ιδιαπιθαν οτητακατ αληψη ισων ογκωνστοχ ωροτωνφ ασεων. Τοθε ωρηµαliou- Ηπυκν οτητα villeβε αι ωνει οτιαυτ ηηπρ οτασηπαραµ ενεισεισχ υαν απ ασαχρονικ η στιγµ η.γιαναγ ινειαντιληπτ οπ ω εξελ ισσεταιηκατανοµ ητωνκαταστ ασεωνστοχ ωροτωνφ ασεωνγια εναστατιστικ οσ υστηµα,υποθ ετουµε οτι κ αποιαχρονικ ηστιγµ η dnσυστ ηµαταβρ ισκονταισεµ ιααπειροστ ηπεριοχ η dv = d n qd n pτουχ ωρουτωνφ ασεων.ηπυκν οτητατωνκαταστ ασεωνστηνπεριοχ ηαυτ ηε ιναι ρ = dn/dv.μετηνπ αροδοτουχρ ονουο στοιχει ωδη ογκο dvεξελ ισσεταιστον dv.επειδ ηοαριθµ ο τωνκαταστ ασεων dnπουπεριλαµ ανονταιστοστοιχει ωδη ογκοπαραµ ενεισταθερ ο,ηπυκν οτηταπρ επειναικανοποιε ιτησχ εση ρ dv = ρ dv, οπου ρ ηπυκν οτητατωνκαταστ ασεωνστονχρονικ αεξελιγµ ενο ογκο. Απ οτοθε ωρηµατουliouville, οµω,γνωρ ιζουµε οτιο ογκο παραµ ενει σταθερ ο καιω εκτο υτουπρ επειναπαραµ ενεισταθερ ηκαιηπυκν οτητα καταστ ασεων ρ.καταλ ηγουµε,εποµ ενω,στοσυµπ ερασµα οτιστοχ ωρο τωνφ ασεωνηπυκν οτητακαταστ ασεωνπαραµ ενεισταθερ η,πρ αγµαπου χωρ ιοστοχ ωροτων καταστ ασεων παραµ ενεισταθερ ηαν ακολουθ ησουµετηρο η

14 314 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ Ταχαοτικ ασυστ ηµατα βρ ισκονταισε συµφων ιαµετο θε ωρηµαliouville. Ηαν αλωση καταστρ εφειτη διατ ηρησητου ογκου σηµα ινει οτικατ αµ ηκο τη ρο η στοχ ωροτωνφ ασεωνθαισχ υει οτι d ρ ρ( x(t), t) = dt t + v q,p ρ = 0. (10.33) Ηεξ ισωσηαυτ ηλ εγεταιεξ ισωσηliouvilleκαιαποτελε ιαναδιατ υπωσητου θεωρ ηµατο Liouville.Ε αναρχικ α ολατασηµε ιατουχ ωρουτωνφ ασεων ε ιχαντην ιδιαπυκν οτητακαταστ ασεων,τ οτεηπυκν οτητακαταστ ασεων στοχ ωροτωνφ ασεωνθαπαρ εµενεπ αντοτεσταθερ η. Ενδ εχεται,ωστ οσο,παρ οτιο ογκο παραµ ενειαµετ α λητο,ηεξ ελιξη στοχ ωροτωνφ ασεωνναε ιναιιδιαιτ ερω περ ιπλοκηκαιµ αλιστασετ ετοιοβαθµ ο, ωστεηαπ οστασηαρχικ αγειτονικ ωνσηµε ιωννααυξ ανειεκθετικ αµετοχρ ονοδιατηρ ωντα συγχρ ονω τοσυνολικ ο ογκοτουχωρ ιουσταθερ ο.σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηµιαµικρ ηαρχικ αα ε αι οτητατου συστ ηµατο µεγαλ ωνειµετηνπ αροδοτουχρ ονοσετ ετοιοβαθµ ο, ωστε τοσ υστηµαναεµφαν ιζειευα ισθητηεξ αρτησηαπ οτι αρχικ ε συνθ ηκε. Οτανσυµ α ινειαυτ ο,ηδυναµικ ητουσυστ ηµατο λ εγεταιχαοτικ η.τ οτε τοεξελιγµ ενοχωρ ιοαποκτ αµ ιαιδια ιτεραπολ υπλοκηµορφ η,δι οτιαφεν ο πρ επειναδιατηρε ιτον ογκοτουκαιαφετ ερουηαπ οστασηµεταξ υ γειτονικ ωνσηµε ιωνπρ επει,τουλ αχιστοναρχικ α,νααποκλ ινειεκθετικ α (βλ.σχ ηµατα 10.6,10.7). Στηµακροσκοπικ ηπεριγραφ ητη φ υση υπεισ ερχονταιφαιν οµενααν αλωση οπ οτεηδυναµικ ητουαντ ιστοιχουσυστ ηµατο πα υειναε ιναι χαµιλτονιαν η.στι περιπτ ωσει αυτ ε ο ογκο στοχ ωροτωνφ ασεωνδεν παραµ ενεισταθερ ο καιµετηνπ αροδοτουχρ ονουσυν ηθω τε ινειναεκ- µηδενιστε ι(βλ.σχ ηµα10.8). Εναχαρακτηριστικ οπαρ αδειγµαµηχαµιλτονιανο υσυστ ηµατο ε ιναιτοτρισδι αστατο 5 σ υστηµατουlorenz dx dt dy dt dz dt = σ(y x) = ρx y xz = βz + xy, (10.34) µε σ, ρ, βθετικ ε σταθερ ε. Απ οτηνπροηγο υµενηαν αλυσηε ιναιε υκολοναδιαπιστ ωσουµε οτιο ογκο στοχ ωρο (x, y, z)ικανοποιε ιτηνεξ ισωση dv dt = (σ + β + 1), (10.35) καισυνεπ ω µει ωνεταιµον οτονα, οταν σ + β + 1 > 0. Παρ ολο, οµω, πουο ογκο κ αθεαρχικο υχωρ ιουτε ινειστοµηδ εν,ηπαραπ ανωδυνα- µικ ηεµφαν ιζεικαιαυτ η(γιαορισµ ενε τιµ ε τωνπαραµ ετρων)ευα ισθητη εξ αρτησηαπ οτι αρχικ ε συνθ ηκε.ταχωρ ιαστι περιπτ ωσει αυτ ε τε ινουνναεξελιχθο υνστου καλο υµενου παρ αξενου ελκυστ ε (strangeattractors),περιοχ ε µηδενικο υ ογκου οχι οµω καιµηδενικ ωνδιαστ ασεων. 5 Μολον οτιοτρισδι αστατο αυτ ο χ ωρο δενµπορε ιναε ιναιχ ωρο φ ασεωνλ ογωπεριττ η δι ασταση,αυτ οδεναποτελε ιουσιαστικ οπρ ο ληµα,αφο υτοσ υστηµαθαµπορο υσεναεπεκταθε ιαν αλογακατ αµ ιαακ οµηδι ασταση.

15 10.2. ΘΕΩΡΗΜΑ LIOUVILLE 315 Κατ αναλογ ιανφανταστε ιτε εναστερε οσ ωµαπου εχειισοπεδωθε ι,αλλ α εχειυποστε ιτ ετοιαπαραµ ορφωση ωστεναυπ αρχουνζευγ αριασηµε ιων που,εν ωαρχικ αβρ ισκοντανοσοδ ηποτεκοντ ατο εναστο αλλο, υστερα απ οτηνισοπ εδωσητουσ ωµατο βρ ισκονταισεπεπερασµ ενηµεταξ υτου απ οσταση. Ασκηση10.3. Επι ε αι ωστετηνπαραπ ανωεξ ισωσηεξ ελιξη του ογκουστοσ υ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ στηµα του Lorenz. Σχ ηµα 10.8:Οκτ ωδιαφορετικ ε αρχικ ε συνθ ηκε στι ακρε εν ο κ υ ουεξελ ισσονται σ υµφωναµετοσ υστηµατου Lorenz (10.34)µετιµ ε σταθερ ων σ = 10, ρ = 28, β = 8/3. Εν ωτοαρχικ οχωρ ιοε ιναιτρισδι αστατο,τοτελικ οχωρ ιογ ινεταιµετηνπ αροδο τουχρ ονουολο ενακαιπιοδισδι αστατοσχηµατ ιζοντα τηγνωστ ηµ ασκατουlorenz. Ηαπ οδειξηπουπαραθ εσαµεπαραπ ανωσχετικ αµετηδιατ ηρησητου ογκουτουχωρ ιουµπορε ιναεπαναληφθε ιµετον ιδιοακρι ω τρ οπογια ναδειχθε ι οτιδιατηρε ιταιτοεµ αδ οντη τοµ η τουχωρ ιουαπ ο εναεπ ιπεδοπουορ ιζεταιαπ οκ αποιο q i καιαπ οτοσυζυγ ε του p i. Συγκεκρι- µ ενα,γιακ αθεσυντεταγµ ενη iκαιγιακ αθεχρονικ ηστιγµ η t,ηιακω ιαν η

16 316 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ ορ ιζουσατουµετασχηµατισµο υαπ οτι αρχικ ε θ εσει καιορµ ε µεδε ικτη iστι κατοπιν ε θ εσει καιορµ ε µεδε ικτη iε ιναι (χωρ ι αθροιστικ η σ υµ αση) (q i (t), p i (t)) (q i (0), p i (0)) = q i(t) p i (t) q i (0) p i (0) q i(t) p i (t) p i (0) q i (0) = 1, (10.36) οπ οτεκατ ατηνκ ινησηδιατηρε ιταιηεπιφ ανειατη προ ολ η τη τοµ η στοεπ ιπεδο (q i, p i ) dq i dp i. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ηδιατ ηρησηαυτ ηπηγ αζειαπ οτησυµπλεκτικ ηδοµ ητωνεξισ ωσεωντου Χ αµιλτονγιακ αθεζε υγο συζυγ ωνθ εσεωνκαιορµ ων. Εξαιτ ια αυτ η τη διατ ηρηση οισχ εσει α ε αι οτητα τουheisenberg,σεκλασικ οεπ ιπεδο,παραµ ενουναναλλο ιωτε µετηνπ αροδοτουχρ ονου. Ασκηση10.4.Ακολουθ ωντα ταβ ηµατατη απ οδειξη τουθεωρ ηµατο τουliouville,αποδε ιξτε οτιγιαοποιαδ ηποτεµετα λητ η iηστοιχει ωδη επιφ ανεια dq i dp i παρα- µ ενεισταθερ ηστηχαµιλτονιαν ηδυναµικ η.μεαυτ οτοντρ οποαποδεικν υεταιηεξ ισωση (10.36). Επιπλ εον,επειδ ηισχ υει dq i dp i = p i dq i, (10.37) C(t) οπου C(t)τοσ υνοροτουχωρ ιουστοεπ ιπεδο (q i, p i ),ηκυκλοφορ ιαπου ορ ιζεταιω p i dq i C(t) i=1 Τααναλλο ιωτατου Poincaré (χωρ ι αθροιστικ ησ υµ αση),παραµ ενειαναλλο ιωτηκατ ατηνκ ινησηεν ο χαµιλτονιανο υσυστ ηµατο. Τ ελο,επειδ ητο dq i dp i παραµ ενειαναλλο ιωτογιακ αθε i,θαπαραµ ενειεπ ιση αναλλο ιωτοκαιτο n dq i dp i. (10.38) Οµο ιω,αποδεικν υεται οτιπαραµ ενουναναλλο ιωτακαιταεκ αστοτεολοκληρ ωµατα dq i dp i dq j dp j (10.39) οπουηολοκλ ηρωσηγ ινεταιστου χ ωρου τωντεσσ αρων, εξι,κ.ο.κ.διαστ ασεωνστοχ ωροτωνφ ασεων. Τααναλλο ιωτααυτ αµεγ εθηλ εγονται αναλλο ιωταολοκληρ ωµατατουpoincarɴe.τοθε ωρηµατουliouvilleαναφ ερεταιστοτελευτα ιοαναλλο ιωτοολοκλ ηρωµατουpoincarɴe οπουηολοκλ ηρωσηλαµ ανεταικαιστι 2nδιαστ ασει.

17 10.3. A ΙΑΒΑΤΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ Aδια ατικ ααναλλο ιωτα Σεορισµ ενε περιπτ ωσει κατ ατι οπο ιε ηχαµιλτονιαν η εχειχρονικ η εξ αρτηση,ηχρονικ ηµετα ολ ηαυτ η πραγµατοποιε ιταισεχρ ονου πολ υ πιοαργο υ απ οτοχαρακτηριστικ οχρ ονοπουχαρακτηρ ιζειτηνκ ινηση τουσυστ ηµατο. Οτανσυµ α ινειαυτ ο,ηµετα ολ ηονοµ αζεταιαδια- ατικ η. 6 Γι αυτ ε τι περιπτ ωσει πουηκ ινησηε ιναισχεδ ονπεριοδικ η ισχ υειτολεγ οµενοαδια ατικ οθε ωρηµα (Ehrenfest, 1913). Εχουµεανα- Σχ ηµα 10.9:Περιοδικ ητροχι αχαµιλτονιανο υσυστ ηµατο.τοεµ αδ οντη επιφ ανεια πουπερικλε ιεταιαπ οτηντροχι αε ιναι pdq. ΟτανηΧαµιλτονιαν ηµετα αλλεταιαδια- ατικ α,ηκαµπ υληαυτ ηαλλ αζει,αλλ ατοεµ αδ ονπουπερικλε ιειπαραµ ενεισταθερ ο. φ ερει οτισε εναπεριοδικ οσ υστηµαµεχρονικ αανεξ αρτητηχαµιλτονιαν ητο pdqε ιναιηεπιφ ανειαπουπεριγρ αφεταιαπ οτηνκλειστ ητροχι α τουσυστ ηµατο στοεπ ιπεδο (q, p)(βλ.σχ ηµα10.9).τισυµ α ινει, αραγε, οτανηχαµιλτονιαν ηεν ο τ ετοιουσυστ ηµατο µετα αλλεταιαδια ατικ α; Σ υµφωναµετοαδια ατικ οθε ωρηµακατ ατηναδια ατικ ηµετα ολ ητη Ποιο θατο Χαµιλτονιαν η,το pdqκατ αµ ηκο µια κλειστ η διαδροµ η στοχ ωρο τωνφ ασεων (ακρι εστερα,κατ αµ ηκο µ ια σχεδ ονκλειστ η διαδροµ η, αφο υηεν εργειαµετα αλλεταικαιεποµ ενω ητροχι αδενκλε ινει)παρα- µ ενεισταθερ ο.ηποσ οτητα pdq φανταζ οταν οτι, οταν ολααλλ αζουν, υπ αρχεικ ατιπου µ ενειαναλλο ιωτο! καλε ιταιαδια ατικ οαναλλο ιωτο. Τοθε ωρηµατουehrenfestβρ ηκεδ οκιµηεφαρµογ ησταπρ ωταβ ηµατα προ τηνκ αντικ ηµηχανικ η οτανοnielshenrikdavidbohr [ ] Αδια ατικ ο 6 Ηελληνογεν η λ εξηαδια ατικ ο (adiabatic),πουπρο ερχεταιαπ οτοελληνικ οεπ ιθετοαδι α ατο,πρωτοχρησιµοποι ηθηκεαπ οτονclausius,γιαναπεριγρ αψειµιαδιεργασ ιακατ ατηνοπο ιαηθερµοκρασ ιαδεν βα ινει,δηλαδ ηδενπροχωρε ι.αργ οτεραοι Carnot,Clapeyron,καιRankine εδωσανστον οροτησηµεριν ηθερµοδυναµικ ητου εννοια. Στηνκλασικ ηµηχανικ ηο ορο πρωτοχρησιµοποιε ιταιτο 1916απ οτον Paul Ehrenfest [ ],οοπο ιο µετησειρ ατουδανε ιστηκετον οροαπ οτονeinstein. αναλλο ιωτοκαι γ εννησητη κ αντοµηχανικ η

18 318 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ καιοarnold Johannes Wilhelm Sommerfeld [ ]πρ οτειναντον κ αντισµ οποσοτ ητωντη µορφ η pdq.σ υµφωναµετηθεωρ ιατωνbohr- Sommerfeldποσ οτητε τη µορφ η pdqλαµ ανουνδιακριτ ε τιµ ε.το επιχε ιρηµατωνbohrκαιehrenferstγιατηνπαγκοσµι οτηταεν ο τ ετοιου ν οµουβασιζ οτανστοαδια ατικ οαναλλο ιωτοτη ποσ οτητα αυτ η :αν, γιαπαρ αδειγµα,διαπιστ ωσουµε 7 οτισε εναναρµονικ οταλαντωτ ηισχ υει οτι ( pdx = n + 1 ) h, (10.40) 2 Τιµπορο υµενα υπολογ ισουµεµε τααδια ατικ α αναλλο ιωτα; Επ ιδειξητου αδια ατικο υ αναλλοι ωτουµε εναµονοδι αστατο µονοατοµικ οα εριο οπου hησταθερ ατουplanckκαιnκ αποιο φυσικ ο αριθµ ο,τ οτεησχ εση (10.40)πρ επεινα εχειπαγκ οσµιαισχ υ,δι οτι,µετα αλλοντα αδια ατικ α (µεπολ υαργ ορυθµ ο)τοπαρα ολικ οδυναµικ οτουταλαντωτ η,µπορο υµε νακαταλ ηξουµεσεοποιοδ ηποτε αλλοδυναµικ ο,ακ οµηκαισεαυτ οτου ατ οµουτουυδρογ ονου. Ετσι,γιαοποιοδ ηποτεδυναµικ οθαισχ υειησχ εση(10.40).συνεπ ω, ενα τ ετοιο ν οµο πρ επεινα εχειθεµελιακ ηκαιπαγκ οσµιαισχ υ. Ηαδια ατικ ηθεωρ ια εχειπολλ ε εφαρµογ ε καισεκλασικ απρο λ η- µατα.ηκ ινηση,γιαπαρ αδειγµα,τωνπλανητ ωνεπηρε αζεταιαπ οτηµετα ολ ητη µ αζα του Ηλιου. Φυσικ ααυτ ηηµετα ολ ησυντελε ιταιµε πολ υβραδ υρυθµ οσεσ υγκρισηµετηνπερ ιοδοπεριφορ α τωνπλανητ ων. Συγκεκριµ ενα,ηµ αζατου Ηλιουµει ωνεταικατ α ενανπαρ αγοντατ αξη αν α ετο,οπ οτεηαδια ατικ ηθε ωρησηµπορε ιναεφαρµοστε ιστο ηλιακ οσ υστηµαµεστ οχοτηµελ ετητωνεπιπτ ωσεωντη µετα ολ η τη ηλιακ η µ αζα στι τροχι ε τωνπλανητ ων.οµο ιω,σεµικροσκοπικ ηκλ ι- µακα,σε εναδοχε ιοχαµηλ η π ιεση τα ατοµαπροσκρο υουνστατοιχ ω- µατατουδοχε ιουµεπερ ιοδοτη τ αξη των s. Ανο ογκο τουδοχε ιουµετα αλλεταιµεχαρακτηριστικ οχρ ονοµετα ολ η 1s,οιαλλαγ ε πουθαπαρατηρ ησουµεστοσ υστηµαερµηνε υονταικαιαυτ ε απ ο τοαδια ατικ οθε ωρηµα. Αλλε εφαρµογ ε τουαδια ατικο υθεωρ ηµατο συναντο υµεστηδι αδοσηκυµ ατωνσεµ εσασταοπο ιαοδε ικτη δι αθλαση µετα αλλεταιε ιτεχρονικ α,ε ιτεχωρικ α.ανηχρονικ ηµετα ολ ητου δε ικτηδι αθλαση ε ιναιπολ υαργ ησεσχ εσηµετηνπερ ιοδοτουκ υµατο η ανηχωρικ ηµετα ολ ητουε ιναιεξαιρετικ αµικρ ησε εναµ ηκο κ υµατο, τ οτεηαδια ατικ ηθεωρ ιαµπορε ιναεφαρµοστε ιστηµελ ετητη δι αδοση τουκ υµατο. Πριναποδε ιξουµετοαδια ατικ οθε ωρηµα,θαδε ιξουµεµε ενααπλ ο παρ αδειγµατηνισχ υτου.θεωρο υµεµιαµπ αλαµοναδια ια µ αζα,ηοπο ιακινε ιταισεµιαευθε ιακ αθετησεδ υοτοιχ ωµατα. Οτανηµπ αλα συγκρουστε ιµεκ αποιοαπ οτατοιχ ωµατα,ανακλ αταιελαστικ α.τοαριστερ οτο ιχωµαε ιναιακ ινητο,αλλ ατοδεξι οτο ιχωµαπλησι αζειτοπρ ωτο το ιχωµαµεταχ υτητα Uσαν εµ ολοπουσυστ ελλειτοχ ωροκ ινηση τη µπ αλα.αν U = 0,τατοιχ ωµαταπαραµ ενουνστηθ εσητου εν ωηποσ οτητα 7 Εκε ινητηνεποχ ηυπ ηρχαναρκετ ε πειραµατικ ε ενδε ιξει οτικ ατιτ ετοιοισχ υει.τ ετοιε ενδε ιξει προ ερχοντανγιαπαρ αδειγµααπ οτοφ ασµατη ακτινο ολ ια τουµ ελανο σ ωµατο.

19 10.3. A ΙΑΒΑΤΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ 319 Σχ ηµα 10.10:Ητροχι αστοχ ωροτωνφ ασεωνεν ο σωµατιδ ιουπουκινε ιταισεµ ιαδι αστασηκαιανακλ αταιελαστικ ασετοιχ ωµαταπουβρ ισκονταισεαπ οσταση L.Λ ιγοπροτο υτοσωµατ ιδιοπροσπ εσειστοδεξι οτο ιχωµα(σηµε ιοβ),κινε ιταιµεταχ υτητα u.αµ εσω µετ ατηνκρο υσητοσωµατ ιδιοανακλ αταικαιαποκτ αταχ υτητα u.ητροχι αστο χ ωροτωνφ ασεωνδιαν υειακαρια ιακατ ατηναν ακλασητοευθ υγραµµοτµ ηµαβγ.τα ιδιασυµ α ινουν οταντοσωµατ ιδιοεπιστρ εφειστοαριστερ οτο ιχωµα.συνολικ α,ητροχι ατουσωµατιδ ιουµεσυγκεκριµ ενηεν εργειαε ιναιτοορθογ ωνιοαβγ Α. I = 1 2π pdq = Lu 0 π (10.41) διατηρε ιταισταθερ η, οπου Lε ιναιηαπ οστασηµεταξ υτωντοιχωµ ατων και u 0 ηταχ υτητατη µπ αλα (βλ.σχ ηµα 10.10).Θαδε ιξουµε οτιηποσ οτητααυτ ηπαραµ ενεισταθερ η, οταντατοιχ ωµαταπλησι αζουντο ενα το αλλοµεταχ υτητα U << u, ωστετοσ υστηµαναµετα αλλεταιελ αχισταστοχαρακτηριστικ οχρ ονοτουσυστ ηµατο 2L/u,δηλαδ ητοχρ ονο πουαντιστοιχε ισε εναπ ηγαινε ελατη µπ αλα. Κατ ατηνεξ ελιξητου συστ ηµατο ηταχ υτητατη µπ αλα δενπαραµ ενεισταθερ η.ε ανηταχ υτητατη µπ αλα πριναπ οτη n-οστ ηκρο υσηαυτ η µετοκινο υµενοτο ιχωµαε ιναι u n 1 καιαµ εσω µετ ατη n-οστ ηκρο υσηε ιναι u n,τ οτε,επειδ η ησχετικ ηταχ υτητατη µπ αλα ω προ τοτο ιχωµαε ιναισταθερ η,θαε ιναι u n U = u n 1 + U,οπ οτε u n = u n 1 + 2U. (10.42) Απ οτηναναδροµικ ηαυτ ησχ εσησυµπερα ινουµε οτιηταχ υτηταµετ ατη n-οστ ηκρο υσηε ιναι u n = u 0 + 2nU, (10.43) οπου u 0 ηαρχικ ηταχ υτητατη µπ αλα, οταντατοιχ ωµαταβρισκ οντουσανσεαπ οσταση L. Εστω x n ηαπ οστασηµεταξ υτωντοιχωµ ατωντη στιγµ ητη n-οστ η κρο υση και τ n τοχρονικ οδι αστηµαµεταξ υτη n- οστ η καιτη (n + 1)-οστ η κρο υση.ηµε ιωσητη απ οσταση τωντοι-

20 320 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ χωµ ατωνικανοποιε ιτηναναδροµικ ησχ εση x n+1 x n = Uτ n, (10.44) Εντωµεταξ υστοχρονικ οδι αστηµαµεταξ υτη n-οστ η καιτη (n + 1)- οστ η κρο υση τ n ηµπ αλα,κινο υµενηµεταχ υτητα u n,θα εχειδιαν υσει απ οσταση x n + x n+1 οπ οτε τ n = x n + x n+1 u n. (10.45) Ανσυνδυ ασουµε ολε τι παραπ ανωσχ εσει καταλ ηγουµεστοναναγωγικ οτ υπο x n+1 = x n u 0 + (2n 1)U u 0 + (2n + 1)U, (10.46) οοπο ιο δ ινει u 0 x n+1 = L u 0 + (2n + 1)U, (10.47) ανυποθ εσουµε οτιαρχικ α (για t = 0)ηµπ αλαβρισκ οτανστοσταθερ ο το ιχωµα,οπ οτε x 1 = Lu 0 /(u 0 +U).Ορ ιζουµετ ωρατηµετα λητ ηδρ αση (action variable) I n = 1 pdx, (10.48) 2π υπολογισµ ενηστηνκλειστ ηδιαδροµ ηαπ οτη n-οστ ηκρο υσηστοσταθερ ο το ιχωµα 8 µ εχριτη (n+1)-οστ ηκρο υσηστο ιδιοτο ιχωµα.ηδιαδροµ ηαυτ η περιλαµ ανειενµ ερειτηδιαδροµ ηπρο τοκινητ οτο ιχωµαµεταχ υτητα u n καιενµ ερειτηδιαδροµ ηπρο τοσταθερ οτο ιχωµαµετ ατη n+1-οστ η κρο υσηµεταχ υτητα u n+1. Ετσι,ηµετα λητ ηδρ αση γιατηνκλειστ η αυτ ηδιαδροµ ηθαε ιναι I n = x n+1(u n + u n+1 ) 2π = Lu 0 π = I 0. (10.49) Παρατηρο υµε οτιηποσ οτητααυτ ηπαραµ ενεισταθερ ηκαθ ολητηδι αρκειατη διεργασ ια,παρ οτι ολατα αλλαφυσικ αµεγ εθητουπρο λ ηµατο,τοµ ηκο τη ελε υθερη κ ινηση,ηταχ υτητατουσωµατιδ ιουκαιη εν εργειατουσωµατιδ ιουµετα αλλονταικαιµ αλισταδραµατικ α.ηαλ ηθειαε ιναι οτιαυτ ηηαπ ολυτησταθερ οτητατουµεγ εθου I n ε ιναιπλασµατικ η.γιαπαρ αδειγµα,ανοεκ αστοτε κ υκλο στοχ ωροτωνφ ασεων ε ιχεω αφετηρ ια οχιτοακ ινητοτο ιχωµααλλ ατοκινητ ο,τοολοκλ ηρωµα pdxθαλ αµ ανεελαφρ ω διαφορετικ ητιµ η I n = u n+1(x n + x n+1 ) 2π = I 0 u nUu 0 + 4n 2 U 2 u nUu 0 + (4n 2 1)U 2. (10.50) Θ ελουµεναεκτιµ ησουµετηµετα ολ ητη ν εα µετα λητ η δρ αση I n, οταντατοιχ ωµατακινο υνταιαδια ατικ α,δηλαδ η οταν u 0 >> U. Α 8 Χρησιµοποι ησαµεαυτ οτοσηµε ιοο υτω ωστενακλε ινειηδιαδροµ ηστοχ ωροτων φ ασεων.

21 10.3. A ΙΑΒΑΤΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ 321 εκτελ εσουµε ενααριθµητικ οπε ιραµα:θεωρο υµετι τιµ ε u 0 = 1, L = 1 και U = Οπω φα ινεταιστονπ ινακαπουακολουθε ικαιην εαποσ οτητα I n ε ιναιπερ ιπου (αλλ α οχιακρι ω )σταθερ η,αφο υ u 0 >> U, καθ ολητηδι αρκειατη διεργασ ια.στονπ ινακαπαρατ ιθεταιακ οµηη ταχ υτητατη µπ αλα u n,ηκινητικ ηεν εργειατη µπ αλα E n = u 2 n/2και ηαπ οστασηµεταξ υτωντοιχωµ ατων x n τηστιγµ ηαµ εσω µετ ατη n-οστ η κρο υσητη µπ αλα µετοκινο υµενοτο ιχωµα.σηµει ωνουµε οτιοιδ υοποσ οτητε I n και I n δεναφορο υνακρι ω στον ιδιοκ υκλο ηi n σχετ ιζεται µετονκ υκλογ υρωαπ οτην n-οστ ηκρο υσηστοκινο υµενοτο ιχωµα,εν ω η I nσχετ ιζεταιµετονκ υκλοπου εχειω αφετηρ ιααυτ ητηνκρο υση. n x n E n π I n π I n Σχ ηµα 10.11:Ητροχι αστοχ ωροτωνφ ασεων, οταντο ενατο ιχωµαπλησι αζειαργ ατο αλλο.ηαρχικ ηθ εσηε ιναιτοσηµε ιοα,εν ωητελικ η, υστερααπ ο30 κ υκλου,ε ιναιτο σηµε ιοω.ηφορ αδιαγραφ η ε ιναισηµειωµ ενηστοδι αγραµµα.τοαρχικ οορθογ ωνιο ε ιναισηµειωµ ενοµε ασπρου κ υκλου,εν ωτοτελικ οµεµα υρου κ υκλου.ηδιατ ηρηση τουεµ αδο υτων κ υκλων ε ιναιεµφαν η. Παρατηρο υµε, οτι,παρ ολοπουηεν εργειατη µπ αλα υστερααπ ο 1000κρο υσει εχειαυξηθε ιπερισσ οτεροαπ ο 400φορ ε καιηαπ οσταση Κιεν ω ολααλλ αζουν, µεταξ υτωντοιχωµ ατων εχεισχεδ ονεκµηδενιστε ι,ηµετα λητ ηδρ αση ηµετα λητ ηδρ αση εχειπαραµε ινεισεεκπληκτικ οβαθµ οσταθερ η.τοεκπληκτικ οαυτ οαποτ ελεσµααποτελε ιτοπεριεχ οµενοτουαδια ατικο υθεωρ ηµατο. µ ενειπερ ιπου ιδια Αξ ιζει

22 322 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ Σχετικ αµετην απ οδειξητου αδια ατικο υ θεωρ ηµατο Γιαµικρο υ χρ ονου ητροχι αδιατρ εχει µιαισοενεργειακ η επιφ ανεια ναδοκιµ ασεικανε ι καιµεαρκετ αµεγαλ υτερε τιµ ε τη U,γιαναδιαπιστ ωσειπ οσοισχυρ οε ιναιτοθε ωρηµα.επειδ ητατοιχ ωµαταπλησι αζουν µεταξ υτου,ηπερ ιοδο τη κ ινηση τη µπ αλα µικρα ινεικαιηαδια- ατικ ησυνθ ηκη οσοναφορ αστηµετα ολ ητη απ οσταση µεταξ υτων τοιχωµ ατωνγ ινεταιολο ενακαιπιοακρι η. Τιθασυν ε αινε, οµω,αν τατοιχ ωµατα,αντ ιναπλησι αζουν,αποµακρ υνονταντο ενααπ οτο αλλο;σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηηκ ινησητη µπ αλα θαεπι ραδυν οτανολο ενακαιπερισσ οτερο,οπ οτεηταχ υτηταµετηνοπο ιαθααποµακρ υνονταν µεταξ υτου τατοιχ ωµαταθαγιν οταντελικ ασυγκρ ισιµηµετηνταχ υτητα τη µπ αλα.τοκαταπληκτικ οε ιναι οτιακ οµηκαισεαυτ ητηνπερ ιπτωση ηµετα λητ ηδρ αση παραµ ενεισχεδ ονσταθερ η,τουλ αχιστονωσ οτουκαταστο υνσυγκρ ισιµοιοιχαρακτηριστικο ιχρ ονοικ ινηση τη µπ αλα και µετακ ινηση τουτοιχ ωµατο. οκιµ αστετο! (Γιατοενλ ογωπρ ο ληµα υπ αρχεικ αποιο γρ ηγορο τρ οπο ναµετατρ εψετεκατ αλληλατι προηγο υµενε σχ εσει.) Τοαδια ατικ οθε ωρηµα εχειπροσεγγιστικ ηισχ υκαιηαπ οδειξ ητου ε ιναιδιαφορετικ η φ υσεω απ οεκε ινε πουαφορο υνσεθεωρ ηµατασαν αυτ απου εχουµεσυναντ ησει εω τ ωρα.θαπαρουσι ασουµεστησυν εχεια µιααπ οδειξηπουαναδεικν υειπαραστατικ ατισυµ α ινεικατ ατι αδια- ατικ ε µετα ολ ε.θαθεωρ ησουµε εναχαµιλτονιαν οσ υστηµα,πολλ ων ενγ ενειβαθµ ωνελευθερ ια,πουπεριγρ αφεταιαπ οµιαχαµιλτονιαν ητη µορφ η H(q, p, λ), οπουηπαρ αµετρο λδηλ ωνειµιαπαρ αµετροτουσυστ ηµατο,ηοπο ιαεξελ ισσεταιµετηνπ αροδοτουχρ ονου. Θαυποθ εσουµε,επιπλ εον, οτιηυπερεπιφ ανεια H(q, p, λ) = Eε ιναιµιακλειστ η επιφ ανειαστοχ ωροτωνφ ασεωνγιακ αθεσταθερ ητιµ ητη παραµ ετρου λ πουθαεξετ ασουµε.τογεγον ο οτιηεπιφ ανειαε ιναικλειστ ησηµα ινει οτι γιαδεδοµ ενοσταθερ ο λ ολε οισυντεταγµ ενε λαµ ανουντιµ ε σεκλειστ αδιαστ ηµατα.με αλλαλ ογια,ησυνθ ηκηαυτ ηεξασφαλ ιζειτηναπα ιτησηηκ ινησηναε ιναιταλαντωτικ η.υποθ ετουµε,επιπλ εον, οτιηκ ινηση σαρ ωνει ολατασηµε ιατη επιφ ανεια καιεποµ ενω ολε οισυντεταγµ ενε διαγρ αφουνκ αποιοκλειστ οδι αστηµαχωρ ι κατ αν αγκηνηκ ινηση ναε ιναιπεριοδικ η. Γιαναγ ινεικατανοητ οαυτ ο,α φανταστο υµεµια τροχι αεπ ανωσε εναντ ορο,ηοπο ιαπεριτυλ ισσεταιµετ ετοιοτρ οπογ υρω απ οαυτ ον, ωστεναµηνκλε ινει,αλλ ανακαλ υπτεισιγ α-σιγ αµετησυνεχ η περι ελιξ ητη ολ οκληρητηνεπιφ ανειατουτ ορου.στηνπερ ιπτωσηεν ο βαθµο υελευθερ ια ηενλ ογω επιφ ανεια ε ιναιµιακλειστ ηκαµπ υληστο χ ωροτωνφ ασεωνκαιηκ ινησηε ιναιτ οτεκατ αν αγκηνπεριοδικ η. Ησυνθ ηκηαδια ατικ οτητα τη µετα ολ η,πουθαχρησιµοποι ησου- µεπαρακ ατωστηναπ οδειξητουαδια ατικο υαναλλοι ωτου,συνοψ ιζεται στο οτιηπαρ αµετρο λ(t)µετα αλλεταιµεπολ υαργ ορυθµ οσεσχ εσηµε ολου του χαρακτηριστικο υ χρ ονου τουσυστ ηµατο,δηλαδ ησεσχ εση µετονεκ αστοτεχρ ονοπουαπαιτε ιται ωστεκ αθεσυντεταγµ ενηναδιαγρ αψει ενανπλ ηρηκ υκλο. Α δο υµετιθασυν ε αινεγενικ α,στηνπερ ιπτωσηδηλαδ ηπουηεξ ελιξητη παραµ ετρου λδενε ιναιαδια ατικ η. Εστω οτιαρχικ ατοσ υστηµακε ιταιστηνυπερεπιφ ανεια H(q, p, λ(0)) = Eπουαντιστοιχε ισε µ ιαορισµ ενητιµ ητη παραµ ετρου λ = λ(0)καισεορισµ ενητιµ ητη Χα-

23 10.3. A ΙΑΒΑΤΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ 323 µιλτονιαν η E. Μετηνπ αροδοτουχρ ονουηυπερεπιφ ανειααυτ ηεξε- Ηισοενεργειακ η λ ισσεταισεµιαν εαυπερεπιφ ανεια,υπ οτην εννοια οτικ αθεσηµε ιοαυτ η επιφ ανεια εξελ ισσεταισεκ αποιο αλλοσηµε ιοτουχ ωρουτωνφ ασεων.ην εααυτ η µετα αλλεταιµε υπερεπιφ ανεια, οµω,δενε ιναιαναγκαστικ αεπιφ ανειασταθερ η εν εργεια (βλ.σχ ηµα10.12).το υτοοφε ιλεταιστοεξ η φαιν οµενο:ηενλ ογω τοχρ ονο υπερεπιφ ανειαπεριγρ αφεισυστ ηµαταπουξεκινο υν ολαµετην ιδιαεν εργεια. Ωστ οσο,ηπαρ αµετρο λαρχ ιζειναεξελ ισσεταιτηστιγµ ηπουτο κ αθεσ υστηµαβρ ισκεταισεδιαφορετικ ηφ ασητη κ ινησ η του.γιαπαρ αδειγµα,αν,εν ωκ ανουµεκο υνια,αρχ ισουµεναανε οκατε αζουµεταπ οδιαµα µετον ιδιοακρι ω τρ οποπουθαταανε οκατε αζαµεανθ ελαµε νααυξ ησουµετοπλ ατο τη αι ωρησ η µα,αλλ ασεεντελ ω λ αθο χρονικ ηστιγµ η,τοπλ ατο τη αι ωρηση καιµαζ ικαιηεν εργειατη ταλ αντωσ η µα οχιµ ονοδενθααυξηθε ιπολ υαλλ αµπορε ιακ οµηκαιναµειωθε ι. οκιµ αστετοµετηνπρ ωτηευκαιρ ια!παρ ατα υτα,σ υµφωναµετοθε ωρηµατουliouvilleπου, οπω θυµ αστε,ισχ υειακ οµηκαι οτανηχαµιλτονιαν η εχει αµεσηχρονικ ηεξ αρτηση,ην εαυπερεπιφ ανειαθαπερικλε ιει τον ιδιο ογκοµετηναρχικ ηυπερεπιφ ανεια.το ιδιοθαισχ υεικαιγιατο εµ αδ οντη προ ολ η αυτο υτου ογκουσεκ αθεεπ ιπεδο (q i, p i ) τοεµ- αδ οναυτ οθαπαραµ ενειεπ ιση σταθερ ο.τοεµ αδ οντη προ ολ η του ογκουσεκ αποιοεπ ιπεδο (q i, p i )δ ινεταιαπ οτοεπικαµπ υλιοολοκλ ηρωµα κατ αµ ηκο τη καµπ υλη πουορ ιζειηπρο ολ ητη υπερεπιφ ανεια σε αυτ οτοεπ ιπεδο,ε ιναιδηλαδ η p i dq i.κ αθεσηµε ιοτη υπερεπιφ ανεια εξελισσ οµενοθαδιαγρ αψειµ ιακαµπ υληκαιτελικ α,αφ οτουολοκληρωθε ιηµετα ολ ητη παραµ ετρου λκαιηλσταθεροποιηθε ι,τοσ υστηµα θαβρεθε ιναδιαγρ αφειµιαν εαισοενεργειακ ηυπερεπιφ ανειαµεεν εργεια E (q 0, p 0 ).Γενικ α,αυτ ηητελικ ηισοενεργειακ ηεπιφ ανειαθαεξαρτ αται απ οτοαρχικ οσηµε ιοεκκ ινηση στοχ ωροτωνφ ασεων (q 0, p 0 ),εν ωτοεµ- αδ οντωνπρο ολ ωντ ετοιωνυπερεπιφανει ωνπουπροκ υπτουναπ οδιαφορετικ ε αρχικ ε συνθ ηκε θαε ιναιδιαφορετικ ο (βλ.σχ ηµα 10.12).Αν δε ιξουµε οτιγιααδια ατικ ε µετα ολ ε κ αθεσηµε ιοπουδιαγρ αφειαρχικ ατηνυπερεπιφ ανεια H(q, p, λ(0)) = Eθακαταλ ηξειναδιαγρ αφεικαι την ιδιααντ ιστοιχηχρονικ αεξελιγµ ενηυπερεπιφ ανεια H(q, p, λ(t)) = E, δηλαδ η οτικατ ατηναργ ηµετα ολ ητου λοιυπερεπιφ ανειε παραµ ενουν συνεχ ω ισοενεργειακ ε,τ οτετοθε ωρηµαliouvilleοδηγε ιστοσυµπ ερασµα οτιο ογκο πουπερικλε ιεταιαπ οτηνυπερεπιφ ανειαπουδιαγρ αφεταιαπ οτηντροχι αε ιναιπ αντοτεσταθερ ο.ο ογκο αυτ ο ε ιναιτοαδια- ατικ οαναλλο ιωτο.στηνπερ ιπτωσητη µονοδι αστατη κ ινηση τοαδια- ατικ οαναλλο ιωτοε ιναιτο pdq. Α θεωρ ησουµε,λοιπ ον,µιααδια ατικ ηεξ ελιξητουσυστ ηµατο απ ο Σεµεγ αλου χρ ονου κ αποιοσηµε ιο q 0, p 0 τουχ ωρουτωνφ ασεων (το qσυµ ολ ιζει ολε τι συντεταγµ ενε τωνθ εσεωνκαιοµο ιω το p ολε τι ορµ ε ).Εφαρµ οζοντα ισοενεργειακ ε ητροχι ατ εµνειτι τι κανονικ ε εξισ ωσει τουχ αµιλτονβρ ισκουµε οτιηχρονικ ηµετα ολ η υπερεπιφ ανειε

24 324 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ Σχ ηµα 10.12:Μ ιαµηαδια ατικ ηµετα ολ ητη συχν οτητα αρµονικο υταλαντωτ η. Η συχν οτητατουταλαντωτ ηµετα αλλεταισεµ ιαχρονικ ηµον αδααπ ο ω 2 = 1σε ω 2 = 2, σ υµφωναµετον οµο ω 2 = 1 + t.ανησυχν οτητατουταλαντωτ η ητανσταθερ α ω 2 = 1, ητροχι αστοχ ωροτωνφ ασεωνθα ητανηισοενεργειακ ηκυκλικ ητροχι α1.ηδιακεκοµ- µ ενηκαµπ υλη2ε ιναιηεξ ελιξη ολωντωνσηµε ιωντη αρχικ η ισοενεργειακ η καµπ υλη 1 υστερααπ οχρ ονο t = 1κατ ατηνενλ ογωµηαδια ατικ ηµετα ολ ηαπ ο t = 0σε t = 1. Τοθε ωρηµαliouvilleβε αι ωνει οτιτοεµ αδ ονπουπερικλε ιεταιαπ οτι καµπ υλε 1και 2ε ιναιτο ιδιο.προσ εξτε οτιηκαµπ υλη2δενε ιναιισοενεργειακ ηκαµπ υλη(δενπρ οκειταιγια ελλειψη).τοσηµε ιο Aµετα α ινειστοσηµε ιο A σεχρ ονο t = 1ακολουθ ωντα τη λεπτ ηγραµµ ηπουτασυνδ εειεν ωη3ε ιναιηισοενεργειακ η ελλειψηπουθαδιαγρ αφει τοσηµε ιο A ανσταµατ ησειγια t 1ναµετα αλλεταιησυχν οτητα. Ενα αλλοσηµε ιο, το B,µετα α ινειστοσηµε ιο B σεχρ ονο t = 1ακολουθ ωντα την αλληλεπτ ηγραµµ η, εν ωηκαµπ υλη 4ε ιναιηισοενεργειακ η ελλειψηπουθαδιαγρ αφειτο B ανσταµατ ησει ναµετα αλλεταιησυχν οτηταγια t 1.Προσ εξτε οτιοιισοενεργειακ ε καµπ υλε 3και 4δεναντιστοιχο υνστην ιδιαεν εργειακαιδενπερικλε ιουν ισα εµ αδ α.ανηµετα ολ η τη συχν οτητα γιν οταναδια ατικ α,οικαµπ υλε 2,3,4θαταυτ ιζοντανκαιτοεµ αδ ον πουπερικλε ιεταιαπ οαυτ ε θα ηταν ισοµετοεµ αδ ονπουπερικλε ιεταιαπ οτηναρχικ η καµπ υλη1.

25 10.3. A ΙΑΒΑΤΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ 325 τη Χαµιλτονιαν η ε ιναι dh dt ( H dq i = q i dt + H ) dp i + H p i dt λ λ ( H H = H ) H + H q i p i p i q i λ λ = H λ λ. (10.51) Αυτ οσηµα ινει οτιηµετα ολ ητη Χαµιλτονιαν η προ ερχεταιµ ονοαπ ο τηχρονικ ηεξ αρτησητη παραµ ετρου λ. Στηνπερ ιπτωση,β ε αια,που δενυπ αρχειχρονικ ηεξ αρτησητη παραµ ετρου ληεν εργειαδιατηρε ιται κατ ατηνκ ινηση. Εποµ ενω,ηµετα ολ ητη εν εργεια τουσυστ ηµατο πουξεκ ινησεαπ οτο q 0, p 0 σε εναχρονικ οδι αστηµα Tε ιναι E (q0,p 0 ) = T 0 H λ λ dt. (10.52) Σηµει ωνουµε οτιηµετα ολ ηαυτ ηεξαρτ αταιαπ οτοαρχικ οσηµε ιο (q 0, p 0 ) εκκ ινηση. Εστω οτι T >> τ, οπου τοχαρακτηριστικ ο χρ ονο τη µεγαλ υτερη περι οδουτη κυκλικ η µετα ολ η τωνσυντεταγµ ενωντου συστ ηµατο.εµε ι θαθεωρ ησουµεαδια ατικ ε µετα ολ ε του λτ ετοιε Τισηµα ινειπρακτικ α αδια ατικ ηµετα ολ η; ωστεηµετα ολ ητου λκαιτωνπαραγ ωγωντουστοχαρακτηριστικ οχρ ονο πουοισυντεταγµ ενε διαγρ αφουν ενανπλ ηρηκ υκλοστηνυπερεπιφ ανεια (µιαπερι ελιξητη τροχι α στοντ ορο)ναε ιναιµηδαµιν η,δηλαδ η δλ = λτ << λ, λτ << λκ.ο.κ.αφο υηλκαιη λδενµετα αλλονταισηµαντικ α σεκ αθεχρονικ οδι αστηµα τ,µπορο υνναεκληφθο υνω σταθερ ε.συνεπ ω,ηµετα ολ ητη Χαµιλτονιαν η θαδ ινεται,µεπολ υκαλ ηπροσ εγγιση, απ οτο αθροισµατωνµετα ολ ωναυτ η σεκ αθεχρονικ οδι αστηµα τ E = j ( H λ ) λ(jτ) τ, (10.53) οπουηµ εσητιµ η ( ) H = 1 λ τ (j+1)τ jτ H λ dt (10.54) λ=λ(jτ) υπολογ ιζεταιγιατησυγκεκριµ ενητιµ ητου λστοδι αστηµα jτ t (j + 1)τ.Αυτ οσηµα ινει οτιτοολοκλ ηρωµααυτ ουπολογ ιζεταιγια ενανπλ ηρη κ υκλοτουσυστ ηµατο µεσταθερ ητιµ ητη παραµ ετρου λ.τοενδιαφ ε- Ητροχι αθα ρονε ιναι οτιηµ εσηαυτ ητιµ ηε ιναιανεξ αρτητηαπ οτοαρχικ οσηµε ιο (q 0, p 0 )καισυνεπ ω ηολικ ηµετα ολ ητη Χαµιλτονιαν η ε ιναικαιαυτ η ανεξ αρτητηαπ οτοαρχικ οσηµε ιο αυτ ο ε ιναικαιολ ογο πουπαραλε ιψαµετονπροσδιοριστικ οδε ικτη (q 0, p 0 )στηµετα ολ ητη εν εργεια.συν αγεται,λοιπ ον, οτιγιααδια ατικ ε µετα ολ ε ολατασηµε ιατη υπερεπιφ ανεια H(q, p, λ(0)) = Eθααπεικονιστο υν υστερααπ οχρ ονο T >> τ στηνισοενεργειακ ηυπερεπιφ ανεια H(q, p, λ(t)) = E + E, διατρ εχειτην ιδια ισοενεργειακ η υπερεπιφ ανεια απ οπουκαιαν ξεκιν ησει

26 326 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ 10.4 Ταλαντωτ η µεµετα λητ ησυχν οτητα καισυνεπ ω κ αθεαρχικ ησυνθ ηκηστηναρχικ ηυπερεπιφ ανεια υστερα απ οχρ ονο Tθαδιαγρ αφειτην εαισοενεργειακ ηυπερεπιφ ανεια,οπ οτεo ογκο πουπερικλε ιεταιαπ οαυτ ητηνυπερεπιφ ανειαθαε ιναισταθερ ο. Παρατηρο υµεεποµ ενω οτιτοθε ωρηµαliouvilleε ιναιαυτ οπουεξασφαλ ιζειτοαδια ατικ οαναλλο ιωτοτου ογκουπουπερικλε ιεταιαπ οτηντροχι α. Ω παρ αδειγµαεφαρµογ η τουαδια ατικο υαναλλοι ωτουθαπροσπα- Εκκρεµ ε µεαργ α θ ησουµενααπαντ ησουµεστοακ ολουθοερ ωτηµα:τισυµ α ινειµετηνπε- µετα αλλ οµενοµ ηκο ρ ιοδοεν ο εκκρεµο υ, οταντοµ ηκο τουν ηµατο µετα αλλεταιµεαργ ο ρυθµ ο (βλ.σχ ηµα 10.13);Τοπρ ο ληµααυτ ο εχειιστορικ ησηµασ ια συ- ζητ ηθηκεκαιαπαντ ηθηκεαπ οτονeinsteinκατ ατηδι αρκειατουπερ ιφη- µουπρ ωτουσυνεδρ ιουτουsolvayτο 1911,κατ οπινσχετικ η ερ ωτηση πουτου εθεσεοlorentz. Προκειµ ενουνααπλοποι ησουµετου υπολογισµο υ,θεωρο υµε οτιτο εκκρεµ ε εκτελε ιταλαντ ωσει µικρο υπλ ατου.σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηη Χαµιλτονιαν η ανδιαγρ αψουµεσταθερ ε πουδεναλλοι ωνουντ οφυσικ ο περιεχ οµενοτουπρο λ ηµατο εχειτηµορφ η H = p2 2 + ω2 (t) 2 q2, (10.55) οπου ω(t)ε ιναιηαργ αµετα αλλ οµενησυχν οτητατουταλαντωτ η.ε ανη συχν οτηταδενπαρουσ ιαζεκαµ ιαµετα ολ η,ηεν εργειαθαπαρ εµενεσταθερ ηκαιηµετα λητ ηδρ αση θα ηταν I(E, ω) = 1 2π p(q, E, ω) dq = E ω, (10.56) δεδοµ ενου οτιτο pdqε ιναιτοεµ αδ ονπουπερικλε ιεταιαπ οτηνελλειπτικ ητροχι α H = Eστοχ ωροτωνφ ασεων(οιηµι αξονε τη ελλειψη ε ιναι 2E/ωκαι 2E αντ ιστοιχα, εν ωτοεµ αδ οντη ελλειψη ε ιναι 2πE/ω).Εποµ ενω,απ οτοαδια ατικ οθε ωρηµασυν αγεται οτιηποσ οτητα E/ωδιατηρε ιταισεαδια ατικ ε µετα ολ ε τη συχν οτητα.επειδ η, µ αλιστα,ηεν εργειαε ιναι E = 1 2 ω2 A 2, τοπλ ατο τη ταλ αντωση A(t)µετα αλλεταισεαδια ατικ ε µετα ολ ε τη συχν οτητα σ υµφωναµετον οµο ω(0) A(t) = A(0) ω(t), (10.57) οπου A(0)τοαρχικ οπλ ατο και ω(0)ηαρχικ ησυχν οτητα. Α εφαρµ οσουµετ ωρααυτ ατααποτ ελεσµαταστηνπερ ιπτωσηεν ο εκκρεµο υ πουεκτελε ιµικρ ε ταλαντ ωσει.τοµ εγιστοπλ ατο ταλ αντωση τουεκκρεµο υ ε ιναι A = lθ max, οπου lτοµ ηκο τουν ηµατο και θ max

27 10.5. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ WKB 327 Σχ ηµα10.13: Οτανρουφ ατεταµακαρ ονιασα,θυµηθε ιτε οτιτοε υρο αι ωρηση µετα- αλλεταιµετοµ ηκο σ υµφωναµετον οµο l 3/4, οπου lε ιναιτοµ ηκο τουµακαρονιο υ πουκρ εµεταικ αθεστιγµ ηαπ οτοστ οµασα.προσ εξτε,λοιπ ον,ιδια ιτερα οτανηµακαρον αδασα συνοδε υεταιαπ οπλο υσιασ αλτσα! τογωνιακ οπλ ατο τη ταλ αντωση.ησυχν οτητατη ταλ αντωση ε ιναι ω = g/lοπ οτεσεαδια ατικ ε µετα ολ ε τουµ ηκου τουεκκρεµο υ το πλ ατο τωνµικρ ωνταλαντ ωσεωνθαε ιναι θ max l 3/ Προσ εγγισηwkb Μετηναδια ατικ ηµ εθοδοπροσδιορ ισαµετοπλ ατο τη ταλ αντωση εν ο ταλαντωτ η,αλλ αδενπροσδιορ ισαµετηνεξ ελιξητη φ αση τη τα- Αφο υε ιδαµεπ ω λ αντωση. Γιατονπλ ηρηπροσδιορισµ οτη κ ινηση τουταλαντωτ ηθα αλλ αζειτοπλ ατο χρησιµοποι ησουµετηχρ ησιµηπροσεγγιστικ ηµ εθοδοwkb 9,ηοπο ια εχει τη ταλ αντωση, ευρ υτατε εφαρµογ ε.στηνπερ ιπτωσητουαρµονικο υταλαντωτ ηµεµετα λητ ησυχν οτηταηεξ ισωσηκ ινηση ε ιναι τηνεξ ελιξητη ιδια α υπολογ ισουµεκαι τη κ ινηση q + ω 2 (t)q = 0. (10.58) οκιµ αζοντα ταλαντωτικ ε λ υσει τη µορφ η καιαντικαθιστ ωντα στην (10.58)λαµ ανουµε q = e im(t), (10.59) i m + ṁ 2 = ω 2 (t). (10.60) Εφ οσοντο ω(t)µετα αλλεταιαδια ατικ α,ο ορο m ε ιναιπολ υµικρ οτε- Π ω λ υνουµεαυτ η ρο απ οτον ṁ 2,οοπο ιο λαµ ανειτηνπερ ιπουσταθερ ητιµ ητου ω 2 (t) τηνεξ ισωση µεπολ υκαλ ηπροσ εγγιση προσεγγιστικ α; ṁ 2 = ω 2 (t), 9 Απ οτααρχικ ατων Gregor Wentzel [ ], Hendrik Anthony Kramers [ ]και Lιon-Nicolas Brillouin [ ]πουχρησιµοπο ιησαντο 1926τηµ εθοδο αυτ ηγιατονπροσδιορισµ οτωνενεργειακ ωνεπιπ εδωνσεπρο λ ηµατακ αντικ η µηχανικ η.ηµ εθοδο αυτ ηαναφ ερεταικαιω µ εθοδο Liοuville-Green,δι οτιε ιχεπαρουσιαστε ινωρ ιτερα,το1837,σεεργασ ιε τωνliοuvilleκαιgeorgegreen[ ].στη βι λιογραφ ιααναφ ερεταικαιω µ εθοδο WKBJ,προ τιµ ηνκαιτουsirharoldjeffreys [ ],οοπο ιο χρησιµοπο ιησετηµ εθοδοσεµετεωρολογικ ε µελ ετε to 1923.