Κεφ αλαιο7. Παραδε ιγµαταλαγκρανζιαν ων Συναρτ ησεων. 7.1 Ισ οτροπο καιανισ οτροπο αρµονικ ο ταλαντωτ η σε2διαστ ασει

Transcript

1 Κεφ αλαιο7 Παραδε ιγµαταλαγκρανζιαν ων Συναρτ ησεων Σκο υπε σκουπ ακια ρουφηχτ ηριαφτερ ατιναχτ ηρια ξεσκον οπανακουρελ οπανακλ οουν θ ορυ οικαιτρ οποιακρο ατε, µαστ ιγιοπ εφτουνοικιν ησει π ανωστηνκατοικ ιδιασκ ονη Κικ η ηµουλ α Σετο υτοτοκεφ αλαιοθακατασκευ ασουµετηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηγιαµιασειρ ααπ οπολ υδιαφορετικ αφυσικ αµηχανικ ασυστ ηµατα, απ οπαιδικ απαιχν ιδια εω κοσµολογικ αµοντ ελα. Στ οχο µα εδ ωδεν ε ιναιτ οσοηεπ ιδειξητη απλοπο ιηση καιτη γεν ικευση πουπροσφ ερειολαγκρανζιαν ο φορµαλισµ ο αυτ οεξ αλλουε ιναι εναθ εµατοοπο ιο εχουµεσυζητ ησειδιεξοδικ ασεπροηγο υµενακεφ αλαια οσοηπαρουσ ιασητωντεχνικ ωνπουχρησιµοποιε ικανε ι γιανακατασκευ ασειλαγκρανζιαν ε συναρτ ησει σεπολ υετερ οκλητη προ ελευση συστ ηµατα,καθ ω επ ιση καιηακ ολουθηαν αλυσητη εξ ελιξη τουσυστ ηµατο µ εσωτων εξισ ωσεωνeuler -Lagrange.Ε υκολασυνειδητοποιε ικανε ι οτιηδυσκολ ιαεπ ιλυση εν ο µηχανικο υπρο λ ηµατο εστι αζεταιαποκλειστικ αστη γραφ ητη σχετικ η µεαυτ ολαγκρανζιαν η. Επιπλ εον,κ αποιε διατηρο υµενε ποσ οτητε αναδεικν υονται αµεσααπ οτηµορφ ητη ιδια τη Λαγκρανζιαν η καιµπορο υνναβοηθ ησουνστηνευκολ οτερηε υρεσητων εξισ ωσεωνκ ινηση. 7.1 Ισ οτροπο καιανισ οτροπο αρµονικ ο ταλαντωτ η σε2διαστ ασει Ενασωµατ ιδιοκινε ιταιστοεπ ιπεδουπ οτηνεπ ιδρασηελκτικ η δ υναµη αν αλογη τη απ οσταση τουσωµατιδ ιουαπ οκ αποιοσηµε ιοτου χ ωρου. Σε ενακαρτεσιαν οσ υστηµασυντεταγµ ενωνµεαρχ ητοελκτικ ο κ εντρο,ηλαγκρανζιαν ητουσωµατιδ ιουδ ιδεταιαπ οτηδιαφορ αµεταξ υ 193

2 194 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Σχ ηµα 7.1: (α)ητροχι αεν ο ισ οτροπουταλαντωτ ηε ιναιελλειπτικ η (εδ ω ω = 1και x = cost, y = cos(t + π/3). (β)ηπεριοδικ ητροχι αανισ οτροπουταλαντωτ ηµε ω x = 1 και ω y = 2(x = cost, y = cos(2t+π/3)). (γ)περιοδικ ητροχι αανισ οτροπουταλαντωτ η µε ω x = 2και ω y = 3 (x = cos2t, y = cos(3t + π/3)). (δ)ψευδο-περιοδικ ητροχι α ανισ οτροπουταλαντωτ ηµε ω x = 1και ω y = (2) 1/4 (x = cost, y = cos((2) 1/4 t + π/3)). Μετηνπ αροδοτουχρ ονουητροχι αθακαλ υψειπυκν α ολατασηµε ιατουορθογων ιου. τη κινητικ η καιτη δυναµικ η τουεν εργεια L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) 1 2 k(x2 + y 2 ). (7.1) mẍ + kx = 0, mÿ + ky = 0. (7.2) Ηισοτροπ ιατουαρµονικο υταλαντωτ ηκρ υ εταιστονκοιν οσυντελεστ η σκληρ οτητα kκαιστι δ υοκατευθ υνσει x, yκαιηλαγκρανζιαν ηαυτ η αναφ ερεταιω Λαγκρανζιαν ηεν ο ισ οτροπουταλαντωτ ησεδ υοδιαστ ασει.οιδ υοεξισ ωσει Euler-Lagrangeε ιναιοι Εκτελο υνται,δηλαδ η,δ υοανεξ αρτητε ταλαντ ωσει µετην ιδιασυχν οτητα ω = k/m x = A cos(ωt + θ 0 ), y = B cos(ωt + φ 0 ). Οισταθερ ε A, B, θ 0 και φ 0 προσδιορ ιζονταιαπ οτι αρχικ ε συνθ ηκε.η ισ οτητατωνδ υοσυχνοτ ητωνπουπηγ αζειαπ οτηνισοτροπ ιατουαρµονικο υταλαντωτ ηοδηγε ισεελλειπτικ ε τροχι ε στοεπ ιπεδο (x, y), οπω φα ινεταιστοσχ ηµα 7.1(α). Ισω,ναφαιν οτανπιοκατ αλληληηχρ ησηπολικ ωνσυντεταγµ ενων γιατηνκατασκευ ητη Λαγκρανζιαν η εν ο τ ετοιουσυστ ηµατο,αφο υη δυναµικ ηεν εργειαεξαρτ αταιµ ονοαπ οτηναπ οσταση r (r = x 2 + y 2 )

3 7.1. ΙΣΟΤΡΟΠΟΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 195 και οχιαπ οτηγων ια θ, οπω συµ α ινειµε ολε τι κεντρικ ε δυν αµει. Χρησιµοποι ωντα τοτ εχνασµατουlandau,ε ιναιε υκολονααποδε ιξουµε οτιηλαγκρανζιαν ησεπολικ ε συντεταγµ ενε ε ιναι L = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ) 1 2 kr2. (7.3) Ηαπουσ ιατη συντεταγµ ενη θαπ οτηλαγκρανζιαν ησηµα ινειαυτ οµατα τηδιατ ηρησητη αντ ιστοιχη ορµ η L/ θ στηνπροκειµ ενηπερ ιπτωση τη στροφορµ η mr 2 θ,αφο υηεξ ισωσηeuler-lagrangeπουαντιστοιχε ι σεαυτ ητησυντεταγµ ενηλαµ ανειτηναπλ ηµορφ η d dt (mr2 θ) = 0. (7.4) Οσογιατηνακτινικ ηεξ ισωσηeuler -Lagrange αυτ ηε ιναιµιαδ υσκολα επιλ υσιµηδιαφορικ ηεξ ισωσηδε υτερη τ αξη m r mr θ 2 + kr = 0, ηοπο ιααπλοποιε ιταικαιλαµ ανειτηµορφ η m r L2 mr 3 + kr = 0, ανεκµεταλλευτο υµετηδιατ ηρησητη στροφορµ η L = mr 2 θ. Ηπερ ιπλοκηµορφ ητη ακτινικ η εξ ισωση οφε ιλεταιστογεγον ο οτιε ιναιδ υσκοληηπεριγραφ ηµια ελλειψη σεπολικ ε συντεταγµ ενε µετοκ εντρο τη ελλειψη ναβρ ισκεταιστηναρχ ητωναξ ονων. Τοπαρ αδειγµααυτ οκαταδεικν υει οτιηεπιλογ ητουσυστ ηµατο συντεταγµ ενωνµπορε ινακαταστ ησειτηνε υρεσητη τροχι α εν ο φυσικο υ συστ ηµατο ευκολ οτερη ηδυσκολ οτερη. Ταυτ οχρονα, οµω,µπορε ινα αναδε ιξει αµεσακ αποιασυµµετρ ιατουφυσικο υσυστ ηµατο εδ ωτηµη εξ αρτησητη Λαγκρανζιαν η απ οτηγων ια θ ηοπο ια οπω ε ιδαµεσυνδ εεταιπ αντοτεµεµιαδιατηρο υµενηποσ οτητα εδ ωµετηστροφορµ η. Ανοαρµονικ ο ταλαντωτ η ητανανισ οτροπο,δηλαδ ηανηδυναµικ η εν εργειαε ιχετηµορφ η V = 1 2 ( kx x 2 + k y y 2), µε k x k y,τ οτεοιταλαντ ωσει στηδιε υθυνση xκαιστηδιε υθυνση yδεν θαεκτελο υντανµετην ιδιασυχν οτητα,µεαποτ ελεσµαητροχι αναµην ε ιναικατ αν αγκηνκλειστ η.ανοισυχν οτητε εχουνρητ ολ ογο ω x ω y = κ λ, τ οτε υστερααπ ο λπερι οδου τη yταλ αντωση,πουδιαρκο υν οσοακρι- ω κπερ ιοδοιτη xταλ αντωση,τοσωµατ ιδιοεπαν ερχεταιστοαρχικ ο σηµε ιο. Σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηητροχι ακλε ινεικαιεπαναλαµ ανεται πρ οκειταιγιατι λεγ οµενε καµπ υλε Lissajous καιηκ ινησηε ιναιπεριοδικ η (βλ.σχ ηµα 7.1β,γ).Τ ελο,ανοισυχν οτητε εχουν αρρητολ ογο,

4 196 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ ητροχι αδενκλε ινεικαιµετηνπ αροδοτουχρ ονουτοσωµατ ιδιοθαπερ ασεισεοσοδ ηποτεµικρ ηαπ οστασηαπ οκ αθεσηµε ιοτουορθογ ωνιουπαραλληλογρ αµµου.ητροχι α,λοιπ ον,τουσωµατιδ ιουθα σαρ ωσει τελικ α ολ οκληροαυτ οτοορθογ ωνιοπαραλληλ ογραµµοπου εχειπλ ατο και υψο αντ ιστοιχα οσοταπλ ατητωνδ υοταλαντ ωσεωνταοπο ιαµετησειρ α του καθορ ιζονταιπλ ηρω απ οτι αρχικ ε συνθ ηκε (βλ.σχ ηµα7.1δ).σε αυτ ητηνπερ ιπτωσηηκ ινησηλ εγεταιψευδο-περιοδικ η (quasi-periodic). 7.2 Κ ινησηφορτισµ ενουσωµατιδ ιουσε οµογεν ε ηλεκτρικ οκαιµαγνητικ οπεδ ιο Θεωρο υµε εναφορτισµ ενοσωµατ ιδιοµ αζα mκαιφορτ ιου q,τοοπο ιο κινε ιταιµ εσασε ενασυνδυασµ ενοοµογεν ε ηλεκτρικ οκαιµαγνητικ οπεδ ιο.ηλαγκρανζιαν ητουσωµατιδ ιου, οπω ε ιδαµεστοκεφ αλαιο3, 1 εχει τηµορφ η L = 1 2 m v 2 + q A c v qφ. (7.5) Στοιδια ιτεροαυτ οηλεκτροµαγνητικ οπεδ ιοπουε ιναιστατικ ο,δηλαδ η χρονοανεξ αρτητο,τοµενβαθµωτ οδυναµικ οσχετ ιζεταιαποκλειστικ αµε τοηλεκτρικ οπεδ ιο ( φ = E),εν ωτοανυσµατικ οδυναµικ οµετοµαγνητικ οπεδ ιο ( B = A).Ε ιναιε υκολοναδειχθε ι οτιλ ογωτη οµογ ενεια τωνσυγκεκριµ ενωνπεδ ιων (ταπεδ ιαε ιναισταθερ ασεολ οκληρο τοχ ωρο),τοβαθµωτ οκαιτοανυσµατικ οδυναµικ οµπορο υνναγραφο υν ω ακολο υθω : φ = E x, A = 1 2 B x. (7.6) Προκειµ ενουνααπλοποι ησουµετηναν αλυσ ηµα,α θ εσουµε εναναπ ο του καρτεσιανο υ αξονε, 2 γιαπαρ αδειγµατον αξονα z,παρ αλληλοµε τοµαγνητικ οπεδ ιο,αφο υαυτ οκαθιστ απολ υπλοκητηναν αλυσηεξαιτ ια τουεξωτερικο υγινοµ ενου,καια θεωρ ησουµε οτιτοδι ανυσµατου ηλεκτρικο υπεδ ιουβρ ισκεταιστοεπ ιπεδο x z.μεαυτ ε τι επιλογ ε η Λαγκρανζιαν ητουφορτισµ ενουσωµατιδ ιουγρ αφεται L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) + qb 2c ( yẋ + xẏ) + q(e xx + E z z), (7.7) 1 Σετο υτοτοεδ αφιοεµφαν ιζεταιστηλαγκρανζιαν ητουφορτισµ ενουσωµατιδ ιουη ταχ υτητατουφωτ ο c,σεαντ ιθεσηµετηλαγκρανζιαν ηπουκατασκευ ασαµεστοκεφ αλαιο 3.Ηδιαφορ αοφε ιλεταιστοδιαφορετικ οσ υστηµαµον αδωνπουθεωρο υµεστο παρ ονπρ ο ληµα.βλ επεσχετικ αστηναντ ιστοιχηυποσηµε ιωσητουκεφαλα ιου 3. 2 οκιµ αστε αλλοσ υστηµασυντεταγµ ενων, οπω γιαπαρ αδειγµατι κυλινδροπολικ ε συντεταγµ ενε,γιαναπειστε ιτε οτιοικαρτεσιαν ε συντεταγµ ενε ε ιναικαταλληλ οτερε γιατηναντιµετ ωπισητουπρο λ ηµατο αυτο υ.

5 7.2. ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ 197 καιοιεξισ ωσει Euler-Lagrangeδιαµορφ ωνονταιω εξ η : mẍ = qb c ẏ + qe x (7.8) mÿ = qb c ẋ (7.9) m z = qe z. (7.10) Παρατηρο υµε οτιοιεξισ ωσει αυτ ε δενε ιναι αλλε απ οεκε ινε πουθα λαµ αναµε,ανγρ αφαµετοδε υτερον οµοτουνε υτωνακαιυπολογ ιζαµε τι συνιστ ωσε τη δ υναµη Lorentz. Εδ ωοιεξισ ωσει Euler -Lagrange προ εκυψανα ιαστααπ οτηντυποποιηµ ενηλαγκρανζιαν ητουφορτισµ ενουσωµατιδ ιου.ηεπ ιλυσητωνεξισ ωσεωναυτ ωνπαρουσι αζειδυσκολ ια εξαιτ ια του οτιοιδ υοπρ ωτε ε ιναιπεπλεγµ ενε διαφορικ ε εξισ ωσει. Ηδυσκολ ιααυτ η, οµω,µπορε ιµεκοµψ οτροπ ονααντιµετωπισθε ιµετη χρ ησητη µιγαδικ η συντεταγµ ενη ζ = x + iy. Πρ αγµατι,οιδ υοπρ ωτε εξισ ωσει συµπτ υσσονταισεµιαµιγαδικ ηδιαφορικ ηεξ ισωση m ζ = i qb c ζ + qe x. (7.11) Αυτ ηε ιναιµ ιαµηοµογεν η,γραµµικ ηδιαφορικ ηεξ ισωσηπρ ωτη τ αξη ω προ τη ζκαιω εκτο υτουηλ υσητη ε ιναι ζ = ζ 0 e iqbt/mc ice x B. Μεµιαεπιπλ εονολοκλ ηρωσηηπαραπ ανωεξ ισωσηδ ινει δηλαδ η ζ = ζ 0 imc ζ 0 qb ( 1 e iqbt/mc ) ice x B t, x(t) = x 0 + α ω sin ωt + β (1 cosωt) (7.12) ω y(t) = y 0 + β ω sin ωt α ω (1 cosωt) ce x B t, (7.13) οπου εχουµεορ ισειω ω qb mc, τηνκυκλοτρονικ ησυχν οτητα.ανυπολογ ισουµετι σταθερ ε τη ολοκλ ηρωση α, βσυναρτ ησειτωναρχικ ωνταχυτ ητων u 0x, u 0y,ηκ ινησηστοεπ ιπεδο x yε ιναι ( sin ωt x(t) = x 0 + u 0x ω + u 0y + ce ) x 1 cos ωt, B ω ( y(t) = y 0 + u 0y + ce ) x sin ωt B ω u 1 cosωt 0x ce x ω B t.

6 198 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Σχ ηµα7.2:ηελικοειδ η κ ινησηφορτισµ ενουσωµατιδ ιουσεσταθερ οµαγνητικ οκαιηλεκτρικ οπεδ ιο.τοµαγνητικ οπεδ ιοε ιναιστηδιε υθυνση z,εν ωτοηλεκτρικ οπεδ ιοκε ιται στοεπ ιπεδο x z.εν ωηελικοειδ η κ ινησητουσωµατιδ ιουαναπτ υσσεταικατ αµ ηκο του αξονα zµεαυξαν οµενοβ ηµα,η ελικαµετατοπ ιζεταικατ ατηδιε υθυνση yµεσταθερ ηταχ υτητα. Οσογιατηνκ ινησηκατ ατον αξονα z,αυτ ηυπολογ ιζεταιε υκολααπ ο τηντρ ιτηεξ ισωσηeuler-lagrange (7.10) z(t) = z 0 + u 0z t + qe z 2m t2. (7.14) Ηκ ινησητουφορτισµ ενουσωµατιδ ιουε ιναιαυτ ηπουφα ινεταιστοσχ ηµα 7.2 µια ελικαµεαυξαν οµενοβ ηµακατ αµ ηκο του αξονα z,ηοπο ιασυνεχ ω µετατοπ ιζεταικατ ατον y αξονα,οοπο ιο ε ιναιο αξονα οκ αθετο στοηλεκτρικ οπεδ ιο! Ανκαιηλ υση x(t)µεµιαπρ ωτηµατι αφα ινεταιλανθασµ ενηστο οριο πουτοµαγνητικ οπεδ ιοµηδεν ιζεται φυσιολογικ α,αναµ ενουµεεπιταχυν οµενηκ ινηση,λαµ ανοντα το οριο B 0,οπ οτεκαι ω 0,καιχρησιµοποι ωντα το οριο sin ωt lim = t ω 0 ω καταλ ηγουµεστηνοµαλ ω επιταχυν οµενηκ ινησηπουαναµ ενεται οταν απουσι αζειτοµαγνητικ οπεδ ιο x(t) = x 0 + u 0x t + qe x 2m t2, y(t) = y 0 + u 0y t, z(t) = z 0 + u 0z t + qe z 2m t2.

7 7.3. ΑΤΜΟΜΗΧΑΝΗ Ατµοµηχαν η Στοεδ αφιοαυτ οθαεπιχειρ ησουµενακατασκευ ασουµε ενααπλοποιη- µ ενοµηχανικ οαν αλογοµια ατµοµηχαν η (βλ.σχ ηµα 7.3). Γι αυτ οτο λ ογοθαθεωρ ησουµε οτιηµ αζαολ οκληρη τη ατµοµηχαν η ε ιναι M,εν ω ταµ ονακινητ αµ ερηαυτ η ε ιναιοκινητ ηριο τροχ ο µεροπ ηαδρ ανεια Iκαιτο εµ ολο,τοοπο ιοσυνδ εεταιµετοντροχ οµ εσωεν ο διωστ ηρα. Τατελευτα ιααυτ αεξαρτ ηµαταθαταθεωρ ησουµεα αρ η.το εµ ολοθα υποθ εσουµεπω ωθε ιταιµεσταθερ ηδ υναµη F (φ ασηεκτ ονωση ),περιστρ εφοντα τοντροχ οκατ αµισ οκ υκλο,καιεπιστρ εφειχωρ ι ναασκε ιται σεαυτ οκ αποιαδ υναµη (φ ασησυµπ ιεση ).Ηαπλουστευµ ενηαυτ ηπεριγραφ ηαποτελε ιµιαικανοποιητικ ηπροσ εγγισητη λειτουργ ια τωνµηχαν ωνεσωτερικ η κα υση, οσοναφορ αστοσκοπ οµα. ΗΛαγκρανζιαν η τη ατµοµηχαν η,λοιπ ον,θα εχειτηµορφ η 3 L = 1 2 M(R φ) I φ 2 + F(φ)x(φ). (7.15) ΗΛαγκρανζιαν ηπουπροκ υπτειορ ιζει εναµηχανικ οσ υστηµαεν ο βαθ- µο υελευθερ ια,αφο υηγων ιαπεριστροφ η τουκινητ ηριουτροχο υε ιναι αρκετ ηγιαναπεριγρ αψειπλ ηρω τηνκατ αστασητη ατµοµηχαν η.με απλ ηγεωµετρ ιαµπορο υµενασυσχετ ισουµετηδιαδροµ η xπουδιαν υει το εµ ολοµετηγων ιαστροφ η φτουκινητ ηριουτροχο υ. Εστω lτοµ ηκο τουδιωστ ηρα τη ρ α δουπουµεταφ ερειτηνπαλινδροµικ ηκ ινηση τουεµ ολουστοντροχ ο και Rηακτ ινατουτροχο υ.θεωρο υµε οτιη αρθρωσητουδιωστ ηραµετοντροχ οβρ ισκεταιστηνπεριφ ερειατουδε υτερου.ε ιναιε υκολοναδε ιξουµετ οτε οτι x + l cos ω + R cosφ =σταθερ ο, l sin ω = R sin φ, (7.16) οπου ωε ιναιηγων ιαπουσχηµατ ιζειοδιωστ ηρα µετον αξονακ ινηση τουεµ ολου. Μεµιαµικρ ηανακατανοµ ητων ορωνµπορο υµεναγρ αψουµετο xω x = C R cosφ l 2 R 2 sin 2 φ, οπ οτετ ωραηλαγκρανζιαν ηθα εχειτηµορφ η L = 1 2 (MR2 + I) φ 2 F l 2 R 2 sin 2 φ FR cosφ. (7.17) Προφαν ω οσταθερ ο ορο εχειαπαλειφθε ιαπ οτηλαγκρανζιαν η,εν ωη εξ ισωσηκ ινηση πρ επειναυπολογιστε ιµ ονογιαγων ιε 0 φ π,αφο υ 3 Τογεγον ο οτιηκινητικ ηεν εργειατουπεριστρεφ οµενουτροχο υµπορε ινααναλυθε ιστηνκινητικ ηεν εργειατη καθαρ η µεταφορικ η τουκ ινηση καιτη περιστροφικ η τουεν εργεια γ υρωαπ οτοκ εντροµ αζα τουαποδεικν υεταιε υκολαανπροσθ εσουµετι κινητικ ε εν εργειε ολωντωνυλικ ωνσηµε ιωναπ οταοπο ιααποτελε ιταιοτροχ ο.

8 200 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Σχ ηµα 7.3:Ηατµοµηχαν ηµετονκινητ ηριοµηχανισµ οτη (το εµ ολο,τοδιωστ ηρακαι τονκινητ ηριοτροχ ο) µ ονοτ οτεδραηδ υναµη. 4 Γρ αφοντα τι εξισ ωσει Euler -Lagrange καταλ ηγουµεστησχ εση ( ) FR R cosφ φ = 1 + sin φ. (7.18) MR 2 + I l2 R 2 sin 2 φ Σεαυτ οτοσηµε ιοαξ ιζεινασηµει ωσουµεπω ηδιαφορικ ηαυτ ηεξ ισωση δενε ιναικαιτ οσοχρ ησιµηαπ οπρακτικ η αποψη,αφο υπρ επειναλ υσουµετηδ υσκοληαυτ ηδιαφορικ ηεξ ισωσηπροκειµ ενουναδο υµεπ ω κινε ιταιηατµοµηχαν ηµετηνπ αροδοτουχρ ονου.χρησιµ οτεροθα ηταννα γνωρ ιζουµετηνταχ υτηταπουαποκτ αηατµοµηχαν ηµεκ αθεπεριστροφ η τουκινητ ηριουτροχο υ.αυτ ο, οµω,ε ιναικ ατιπουε υκολαµπορο υµενα µ αθουµεαπ οτηδιατ ηρησητη εν εργεια.α µηνξεχν αµε οτιτοσ υστηµα πουµελετ αµεε ιναισυντηρητικ ο,γι αυτ οκαικαταφ εραµενακατασκευ ασουµε αµεσατηλαγκρανζιαν ητουσυν αρτηση.εποµ ενω, 1 2 (MR2 + I) φ 2 Fx =σταθερ ο γιακ αθεµισ οκ υκλο,αφο υστονυπ ολοιποµισ οκ υκλοηγωνιακ ηταχ υτηταδενµετα αλλεται. Ετσι, υστερααπ ο Nκ υκλου ηταχ υτηταπου θα εχειαναπτ υξειηατµοµηχαν ηθαε ιναι u N = R φ 4NFR 3 N = MR 2 + I. 4 Θαµπορο υσαµε τονπεριορισµ ο αυτ οννατονεισαγ αγουµε στησυναρτησιακ η µορφ ητη δυναµικ η εν εργεια,µ εσωγιαπαρ αδειγµατη συν αρτηση αλµατο Θ,αλλ α θα επρεπεναε ιµαστεπολ υπροσεκτικο ι ωστεναµηνδηµιουργ ησουµεασυν εχειε στηδυναµικ ηεν εργεια,οιοπο ιε θαοδηγο υσανσε απειρε δυν αµει. (Ησυν αρτηση αλµατο ε ιναι Θ(x) = 1για x > 0και Θ(x) = 0για x < 0.)Οκαλ υτερο τρ οπο γιαναεπιτευχθε ιαυτ οστοενλ ογωπρ ο ληµαθα ηταννααντικαταστ ησουµεστηδυναµικ ηεν εργειατη γων ια φµε φθ[φ(π φ)]+πθ[φ π] αλλι ω,ανµηδεν ιζαµετηδ υναµηεκτ ο τωνορ ιων φ = 0, φ = π,θακαταλ ηγαµεσε απειρε δυν αµει απ οτηνπαραγ ωγισητη δυναµικ η εν εργεια στασηµε ιααυτ α.

9 7.4. ΕΚΤΙΝΑΣΣΟΜΕΝΗ ΓΡΟΘΙΑ 201 Σχ ηµα 7.4: Hεκτινασσ οµενηγροθι α. Στονυπολογισµ οτη ταχ υτητα εχειληφθε ιυπ οψηησυνολικ ηδιαδροµ η τουεµ ολουσεκ αθεκ υκλο, x oλ = 2R. 7.4 Εκτινασσ οµενηγροθι α Μ εσασε ενακουτ ιβρ ισκεταιµιαπλαστικ ηγροθι αστερεωµ ενηστο ακροεν ο συµπιεσµ ενουελατηρ ιου (βλ.σχ ηµα7.4).ο τυχερ ο παραλ ηπτη εν ο τ ετοιουδ εµατο,ανπρολ α αινενααποφ υγειτηδραµατικ ησ υγκρουσητη γροθι α µετοσαστισµ ενοτουπρ οσωπο,σ ιγουραθα ε λεπε τηγροθι αναεκτιν ασσεταιστονα ερασυµπαρασ υροντα ισω µαζ ιτη το κουτ ι.παρακολουθ ωντα τηνκ ινηση ολουτουσυστ ηµατο,θαµπορο υσε κανε ι νακαταλ ηξεισεενδιαφ εροντασυµπερ ασµαταγιατοβαθµ οκακεντρ εχεια τουδωρητ η οσοναφορ αστησκληρ οτητατουελατηρ ιουπου επ ελεξεκαιστηναρχικ ητουσυσπε ιρωση. Προσπαθ ωντα νακ ανουµε ευκολ οτεροτοπρ ο ληµα,χωρ ι οµω νααλλ αξουµετηγενικ ηδυναµικ η του,θαθεωρ ησουµε οτιηγροθι α εχειµ αζα M,εν ωτοελατ ηριοσκληρ οτητα kε ιναιαµελητ εα µ αζα, οπω επ ιση καιτοκουτ ι. Ενα αλλοστοιχε ιοπουθαχρειαστε ιστηναν αλυσητουσυστ ηµατο ε ιναιτοφυσικ οµ ηκο τουελατηρ ιου L.Αντοελατ ηριοφτ ασεισεαυτ οτοµ ηκο,δενθαεπι- µηκυνθε ιπλ εον αλλο,εν ωτοελε υθερο ακροτουθαεγκαταλε ιψειτο εδαφο. Θεωρ ωντα αποκλειστικ ακιν ησει κατ αµ ηκο του αξονα z, οπου το zµετρ ατι αποστ ασει απ οτο εδαφο,µπορο υµεναγρ αψουµετηλαγκρανζιαν ητουσυστ ηµατο ω L = 1 2 Mż2 Mgz 1 2 k(l z)2 Θ(L z), (7.19) αφο υγιαz > Lτοελατ ηριοδιατηρε ιτοφυσικ οτουµ ηκο δ ιχω δυναµικ η εν εργειακαιανυψ ωνεταιστονα εραµαζ ιµετηγροθι α.ηεξ ισωσηκ ινηση για ενατ ετοιοφυσικ οσ υστηµαε ιναι M z = Mg + k(l z)θ(l z) k(l z)2 δ(l z). (7.20)

10 202 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Ητελευτα ιαδ υναµηπουεµφαν ιζεταιστηνπαραπ ανωσχ εσηπρο εκυψε απ οτηνπαραγ ωγισητη συν αρτηση Θκαιισο υταιµεµηδ εν,αφο υησυν αρτηση δ(l z)πολλαπλασι αζειµιασυν αρτηση,ηοπο ιαµηδεν ιζεται στοσηµε ιο z = L(βλ.Μαθηµατικ οπαρ αρτηµα). Ετσι,γιαπαρ αδειγµα, ανξεκιν ησουµεµετηγροθι αακ ινητηκαιτοελατ ηριοσυσπειρωµ ενοκατ α s,τοελατ ηριοθααποσυσπειρωθε ισ υµφωναµετηνεξ ισωσηκ ινηση M z = Mg + k(l z), (7.21) καιστησυν εχεια,αφ οτουτοελατ ηριοαποκτ ησειτοφυσικ οτουµ ηκο,η γροθι αθασυνεχ ισεινακινε ιταισ υµφωναµετηνεξ ισωση M z = Mg. (7.22) Μετι δεδοµ ενε αρχικ ε συνθ ηκε ηεξ ισωση (7.21)δ ινει ( ) k z(t) = (L Mg/k) (s Mg/k) cos M t, (7.23) εν οσω z < L.Γιαναφτ ασειτοελατ ηριοστοφυσικ οτουµ ηκο θαπρ επει s 2Mg/k,αλλι ω ηγροθι αθαταλαντ ωνεταιγ υρωαπ οτηθ εσηισορροπ ια z = L Mg/kκαιτοελατ ηριοδενθαµπορ εσειποτ ενααποκτ ησει τοφυσικ οτουµ ηκο πουαπαιτε ιταιγιανααποδεσµευθε ιηγροθι ααπ ο το εδαφο.αν, οµω, s 2Mg/k,στησυν εχειαηεξ ισωση(7.22)δ ινειω λ υση k z(t + t 0 ) = L + st 1 2Mg M sk 1 2 gt2, Εποµ ενω,τοµ εγιστο υψο στοοπο ιοφτ ανειηγροθι αε ιναι ( ) sk H max = L + s 2Mg 1. οπου t 0 ε ιναιηχρονικ ηστιγµ ηπουτοελατ ηριοαποκτ ατοφυσικ οτουµ ηκο z = L.Ηπαραπ ανωσχ εσηβασ ιστηκεστονυπολογισµ οτη ταχ υτητα żαπ οτησχ εση (7.23) οταν z = L, οπω αυτ ηδ ινεταιαπ οτηνακ ολουθησχ εση: k ż(t 0 ) = s 1 2Mg M sk. Πρ οκειταιγια ενααποτ ελεσµα,τοοπο ιοε υκολαθαµπορο υσατεναεπαληθε υσετεχρησιµοποι ωντα τηδιατ ηρησητη εν εργεια,εφ οσονφυσικ α τοκεφ αλισα βρισκ οτανπιοψηλ ααπ οτοενλ ογω υψο. 7.5 Ηλεκτρικ ησκο υπα Σεαυτ οτοπαρ αδειγµαθακατασκευ ασουµετηλαγκρανζιαν ηεν ο µηχανικο υσυστ ηµατο µετα λητ η µ αζα καισυγκεκριµ εναµια αυτ οµατη ηλεκτρικ η σκο υπα πουµαζε υειτοκαλ ωδι οτη,τοοπο ιοβρ ισκεται

11 7.5. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΣΚΟΥΠΑ 203 Σχ ηµα 7.5:Ηηλεκτρικ ησκο υπαεν ωµαζε υειτοκαλ ωδι οτη. απλωµ ενοστοοριζ οντιοεπ ιπεδο (βλ. Σχ ηµα 7.5). Γιαευκολ ιαθαυποθ εσουµε οτιηκ ινησητη σκο υπα καιτουκαλωδ ιουεκτελε ιταιστηνευθε ιατου αξονα x. Εστω Mηµ αζατη σκο υπα χωρ ι τοκαλ ωδιοκαι µ = m/lηγραµµικ ηπυκν οτηταµ αζα τουκαλωδ ιου.ανοµηχανισµ ο τη σκο υπα µαζε υειτοκαλ ωδιοσ υµφωναµετον οµο y(t),τ οτεηκινητικ η εν εργειατη σκο υπα,τη οπο ια ηθ εσηκαθορ ιζεταιαπ οτησυντεταγ- µ ενη x,ε ιναι 1 2 Mẋ2, εν ωηκινητικ ηεν εργειατουκαλωδ ιουε ιναι 1 2 µy(t)ẋ2, γιατοτµ ηµατουκαλωδ ιουπου εχει ηδηµαζευτε ιστοεσωτερικ οτη σκο υπα,ανθεωρ ησουµε οτιτοκαλ ωδιο,αφ οτουµαζευτε ι,µ ενειακ ινητοω προ τησκο υπα.τ ελο,τοτµ ηµατουκαλωδ ιουπουσ ερνεταιστοπ ισω µ ερο τη σκο υπα εχεικινητικ ηεν εργεια 1 2 µ(l y(t))(ẋ + ẏ)2. Τοσ υστηµααυτ οδεν εχειδυναµικ ηεν εργεια,αφο υθεωρ ησαµε οτιηκ ινησ ητουπραγµατοποιε ιταιστοοριζ οντιοεπ ιπεδοκαι οτιον οµο που καθορ ιζειτοµ αζεµατουκαλωδ ιουε ιναιδεδοµ ενο. Αν ηθελεκ αποιο νακ ανειτηλαγκρανζιαν ηπεριγραφ ηπιορεαλιστικ η,θα επρεπε ισω να θεωρ ησει ενασυγκεκριµ ενοµηχανισµ οµαζ εµατο τουκαλωδ ιου,γιαπαρ αδειγµα ενακαρο υλιτυλ ιγµατο συνδεδεµ ενοµεπεριστροφικ οελατ ηριο,οπ οτετοσ υστηµαθαε ιχεπαραπ ανωαπ ο ενανβαθµ οελευθερ ια και θα επρεπενασυµπεριλ α ειστηλαγκρανζιαν ηκαιτηδυναµικ ηεν εργεια τουελατηρ ιουκαιτηνπεριστροφικ ηεν εργειατουκαρουλιο υ.γι αυτ ον ακρι ω τολ ογοαποφ υγαµεναµιλ ησουµεγιατ υλιγµατουκαλωδ ιουκαι χρησιµοποι ησαµετηλ εξηµ αζεµα. Συνολικ α,λοιπ ον,ηλαγκρανζιαν ητη σκο υπα µαζ ιµετοκαλ ωδιο ε ιναι L = 1 2 [M + µy(t)]ẋ µ[l y(t)][ẋ + ẏ(t)]2. (7.24) Οιεξισ ωσει Euler-Lagrangeτουσυστ ηµατο λαµ ανουντηµορφ η d [(M + µy)ẋ + µ(l y)(ẋ + ẏ)] = 0. (7.25) dt

12 204 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Ηδιατηρο υµενηποσ οτηταεντ ο τωναγκυλ ωνε ιναιπροφαν ω ηορµ η p τουσυστ ηµατο. Ετσι, ẋ = p µ(l y)ẏ M + µl. (7.26) Ανυποθ εσουµε οτιαρχικ αησκο υπαε ιναιακ ινητηκαιον οµο πουδι επει τοµ αζεµατουκαλωδ ιουε ιναι 5 y(t) = l(1 cosωt), γιαχρ ονου t π/2ω,ε υκολαβρ ισκουµε οτιησκο υπαθα εχεικ αθεστιγµ η ταχ υτητα ẋ = µl lω sin 2ωt. M + µl 2 Ηταχ υτητααυτ ηµηδεν ιζεταιστοτ ελο τη κ ινηση (για t = π/2ω), οπω ε ιναιαναµεν οµενοαπ οτηδιατ ηρησητη ορµ η τουσυστ ηµατο. Αυτ ο που ισω ερχεταισεαντ ιθεσηµετηδια ισθησ ηµα ε ιναι οτιηεπιτ αχυνση τη σκο υπα ε ιναιαρνητικ ηγια 0 < t < π/4ωκαιθετικ ηγια π/4ω < t < π/2ω.απ οπο υµπορε ιναπρο ερχεταιµιαθετικ ηεπιτ αχυνση; ενε ιναιη τ ασητουκαλωδ ιου,καθ ω αυτ οµαζε υεταιστοεσωτερικ οτη σκο υπα, ηµοναδικ ηδ υναµηπουασκε ιταιστησκο υπα; Οχι.Στοεσωτερικ οτη σκο υπα ασκε ιταιεπιπλ εονµιαδ υναµηστησκο υπααπ οτοκαλ ωδιο,καθ ω αυτ οακινητοποιε ιταιω προ τησκο υπα, οπω θασυν ε αινεσεµια πλαστικ ηκρο υση.στοδε υτεροµισ οτη κ ινηση τη σκο υπα ηδ υναµη αυτ ηε ιναιµεγαλ υτερηαπ οτηντ αση,οπ οτεκαιησκο υπαεπι ραδ υνεται. Π οσοµ ηκο θαδιαν υσεισυνολικ αησκο υπαµ εχριναακινητοποιηθε ι;ε ιναιε υκολοναδε ιξουµε οτι x ολ = µl 2 2(M + µl). Αυτ οτοαποτ ελεσµαε ιναι,µ αλιστα,ανεξ αρτητοαπ οτοντρ οποµετον οπο ιοµαζε υεταιτοκαλ ωδιο.αυτ οκαιπ αλιε ιναιαναµεν οµενοαφο υτο κ εντροµ αζα τουαποµονωµ ενουσυστ ηµατο πρ επειναβρ ισκεταιστην ιδιαθ εσηπουβρισκ οταναρχικ α. 7.6 Πολυανελκυστ ηρα τ υπουatwood Α θεωρ ησουµε n + 1σταθερ ε α αρε ι τροχαλ ιε κρεµασµ ενε απ ο τηνοροφ ηκαι αλλε nκινητ ε α αρε ι τροχαλ ιε πουεναλλ ασσονταιµε τι σταθερ ε τροχαλ ιε. Ολε οιτροχαλ ιε συνδ εονταιµε ενασχοιν ι,το οπο ιοκλε ινει οπω στοσχ ηµα 7.6. Εστω z 1, z 2,...,z n τα υψητωνβαριδι ων m 1, m 2,...,m n πουκρ εµονταιαπ οτι κινητ ε τροχαλ ιε.τοσταθερ οσυνολικ οµ ηκο τουσχοινιο υυποχρε ωνειτι συντεταγµ ενε τουσυστ ηµατο ναικανοποιο υντοδεσµ ο z 1 + z z n = 0, 5 Ανηκ ινησηπρο ερχεταιαπ οκ αποιοελατ ηριοε ιναιαναµεν οµενηµιατ ετοιαχρονικ η εξ ελιξη.

13 7.6. ΠΟΛΥΑΝΕΛΚΥΣΤΗΡΑΣ ΤΥΠΟΥ ATWOOD 205 Σχ ηµα 7.6:Τοσ υστηµατωντροχαλι ωντουπολυανελκυστ ηρα. αφο υ, οσοανυψ ωνεταιµιαµ αζα,πρ επει ολε οι αλλε νακατ ερχονται αθροιστικ αακρι ω κατ ατο ιδιοδι αστηµα. Συνεπ ω,ηλαγκρανζιαν η τουσυστ ηµατο ε ιναιη L = 1 2 (m 1ż m nż 2 n ) + g(m 1z m n z n ), (7.27) καιαναντικαταστ ησουµετην z n,γιαπαρ αδειγµα,συντεταγµ ενηαπ οτην εξ ισωσητουσυνδ εσµουκαταλ ηγουµεστηλαγκρανζιαν η L = 1 n 1 m i żi m n i=1 ( n 1 ) 2 n 1 ż i + g (m i m n )z i. i=1 Οι n 1εξισ ωσει Euler-Lagrangeτουσυστ ηµατο µπορο υνναγραφο υν συνοπτικ αυπ οµορφ ηπιν ακων m 1 + m n m n m n z 1 m 1 m n m n m 2 + m n m n z = m 2 m n. g. m n m n m n 1 + m n z n m n 1 m n Πολλαπλασι αζοντα τοπαραπ ανωσ υστηµαµετοναντ ιστροφοτουπρ ωτουπ ινακα,υπολογ ιζουµετι επιταχ υνσει τωνπρ ωτων n 1βαριδι ων καιτ ελο απ οτηνεξ ισωσησυνδ εσµουτηνεπιτ αχυνσητουτελευτα ιουβαριδιο υ.ανθ ελαµεναπροσδιορ ισουµετηνεξ ελιξητουσυστ ηµατο καταφε υγοντα στου πολλαπλασιαστ ε Lagrange,θα επρεπεναχρησιµοποι ησουµετηλαγκρανζιαν η ανευσυνδ εσµου(7.27),αλλ αστι nεξισ ωσει Euler-Lagrangeπουθαπρο εκυπτανθα επρεπενααντικαταστ ησουµετο0, πουσυν ηθω γρ αφουµεστοδεξι οµ ελο,µετονκοιν οπολλαπλασιαστ η Lagrangeτουσυνδ εσµου,αφο υ i=1 dz 1 + dz dz n = 0.

14 206 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Γιαπαρ αδειγµαηi-οστ ηεξ ισωσηeuler-lagrangeθαε ιναι m i ( z i g) = λ, (7.28) οπ οτεηεπιτ αχυνσητου i-οστο υβαριδιο υθαε ιναι z i = g + λ/m i. Αν,τ ωρα,προσθ εσουµε ολε τι επιταχ υνσει,θαπρ επειαπ οτηνεξ ισωση τουσυνδ εσµουναπ αρουµε αθροισµαµηδ εν.συνεπ ω,µπορο υµεναυπολογ ισουµετο λ λ = ngµ, οπου µηανηγµ ενηµ αζα ολωντωνβαριδι ων.σεαυτ οτοσηµε ιοµπορο υµε αµ εσω ναυπολογ ισουµετηντ ασητουσχοινιο υ,αφο υ, οπω εχουµεαναφ ερει,τοφυσικ ον οηµατωνπολλαπλασιαστ ωνlagrangeστολαγκρανζιαν οφορµαλισµ οε ιναιηδ υναµηπουαναπτ υσσεταιπροκειµ ενουναικανοποιε ιταιηεξ ισωσητουσυνδ εσµου.ητ αση,λοιπ ον,αυτ ησεκ αθεπλευρ ατη κινητ η τροχαλ ια ε ιναι ngµ/2,εν ωτοαρνητικ οπρ οσηµοσηµα ινει οτιηδ υναµηαυτ ησεκ αθεκινητ ητροχαλ ια εχεικατε υθυνσηπρο τα επ ανω(αρνητικ ηκατε υθυνση).γνωρ ιζοντα τηντιµ ητου λ,υπολογ ιζου- µεστησυν εχειακ αθεεπιτ αχυνσηχωριστ α.συγκεκριµ ενα ( z i = g 1 nµ ). (7.29) m i Ετσι,αναρχικ ατοσ υστηµαε ιναιακ ινητο,οιµ αζε,οιοπο ιε υπερ α ινουντηντιµ η nµ,θακατευθυνθο υνπρο τακ ατω,εν ωοι αλλε προ τα επ ανω. Ε ιναισκ οπιµοναεπισηµ ανουµετοκ ερδο πουαποκοµ ισαµεµε τηχρ ησητωνπολλαπλασιαστ ωνlagrange οσοναφορ αστοτεχνικ οµ ερο επ ιλυση τουπρο λ ηµατο. 7.7 Μπιζ ελισεγα αθα Α περιγρ αψουµετηνκ ινησηεν ο µπιζελιο υστοεσωτερικ οµια αξονικ ασυµµετρικ η γα αθα. Εστω z(ρ)ε ιναιτοσχ ηµατη γα αθα και κατ ασυν επειαηεξ ισωσησυνδ εσµουτουµπιζελιο υ.ηλαγκρανζιαν ητου µπιζελιο υσεκυλινδροπολικ ε συντεταγµ ενε ε ιναι [ L = 1 ( ) )] 2 dz(ρ) 2 m ρ 2 φ2 + ρ (1 2 + mgz(ρ). (7.30) dρ Προφαν ω ηµ αζα, οντα πολλαπλασιαστικ ησταθερ ατη Λαγκρανζιαν η,δενπα ιζεικαν εναρ ολοστηνκ ινηση, οπω συµ α ινειπ αντοτεµετην κ ινησηεν ο σωµατιδ ιουσεκ αποιοβαρυτικ οπεδ ιο.οιεξισ ωσει κ ινηση ε ιναιδ υο, οσοιδηλαδ ηκαιοιβαθµο ιελευθερ ια τουσυστ ηµατο, ρ 2 φ =σταθερ ο = l, ρ(z 2 + 1) + ρ 2 z z l2 ρ 3 + gz = 0,

15 7.7. ΜΠΙΖΕΛΙ ΣΕ ΓΑΒΑΘΑ 207 Σχ ηµα 7.7: Εναµπιζ ελιστριφογυρ ιζειστοεσωτερικ οµια συµµετρικ η γα αθα.θα περ ασειποτ εαπ οτον αξοναπεριστροφ η του;τισχ ηµαπρ επεινα εχειηγα αθαγιανα µπορ εσουµεναπετ υχουµεκυκλικ ε τροχι ε ; οπουστηντελευτα ιαεξ ισωσηχρησιµοποι ηθηκεηπρ ωτη,εν ωοτ ονο συµ- ολ ιζειπαραγ ωγισηω προ ρ.ηπρ ωτησχ εσηυποδηλ ωνειτηδιατ ηρηση τη στροφορµ η τουµπιζελιο υγ υρωαπ οτον αξονα zπουεξασφαλ ιζει τησταθερ ηφορ απεριστροφ η τουµπιζελιο υγ υρωαπ οτον αξονασυµ- µετρ ια τη γα αθα καιτηναδυναµ ιατουµπιζελιο υνατονπροσεγγ ισει ( οταν l 0). Ηδε υτερηεξ ισωσηε ιναιµιαδ υσκολη,µηγραµµικ ηδιαφορικ ηεξ ισωσηπουπεριγρ αφειτηνακτινικ ηµετακ ινησητουµπιζελιο υ. Ε ιναιδυνατ ονπ αντω ναβρο υµετηλ υσητουπρο λ ηµατο γιακυκλικ ε κιν ησει,δηλαδ ηγια ρ = ρ = 0, ρ = ρ κ =σταθερ η. Τ οτεηδε υτερηεξ ισωσηµετατρ επεταιστην ρ 3 κz (ρ κ ) = ρ 3 κz κ = l2 g. (7.31) Θαµπορο υσαµεναυπολογ ισουµεκαικ ατιακ οµη.κατ απ οσονοικυκλικ ε αυτ ε τροχι ε ε ιναιευσταθε ι.γι αυτ οτολ ογοθαθεωρ ησουµεµικρ ε διαταραχ ε γ υρωαπ οτηνακτ ινατη κυκλικ η τροχι α,δ ιχω νααλλ αξει ηστροφορµ η l, ρ = ρ κ + η, µε η << ρ κ καιθααναπτ υξουµετηγενικ ηεξ ισωσητη ακτινικ η κ ινηση σεπρ ωτητ αξηω προ ηγ υρωαπ οτηνκυκλικ ηκ ινηση.ηακτινικ η εξ ισωση,αναγνο ησουµετονπολ υµικρ ο ορο η 2,αποκτ ατηνακ ολουθη µορφ η: ( ) 3z η(1 + (z κ) 2 ) + g κ + z κ η = 0. (7.32) ρ κ Στηνπαραπ ανωσχ εσηχρησιµοποι ηθηκεηαναγκα ιασχ εση (7.31)τηνοπο ιαπρ επειναικανοποιε ιηκυκλικ ητροχι α.συνεπ ω,ητροχι αθαε ιναι ευσταθ η (α θυµηθο υµετοναρµονικ οταλαντωτ η)εφ οσον 3z κ ρ κ + z κ > 0.

16 208 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Στηνπερ ιπτωσηπουτοσχ ηµατη γα αθα εχειπολυωνυµικ ηµορφ η z(ρ) ρ σ, φα ινεταιαµ εσω οτιµ ονογια 2 < σ < 0θα εχουµεασταθε ι κυκλικ ε τροχι ε,εν ωγιακ αθε αλλητιµ ητου σοικυκλικ ε τροχι ε θαε ιναιευσταθε ι καιεποµ ενω πραγµατοποι ησιµε. 7.8 BungeeJumpσετσουλ ηθρα Εστω ενασ ωµαµ αζα mπουολισθα ινειχωρ ι τρι ηστηρ αχηεν ο κεκλιµ ενουεπιπ εδουµ αζα M,τοοπο ιοµετησειρ ατουκινε ιταιελε υθερα σεοριζ οντιοδ απεδο(βλ.σχ ηµα7.8).ηγων ιακλ ιση τουκεκλιµ ενουεπιπ εδουε ιναι φκαιτοσ ωµακρ εµεταιαπ οτηνεπ ανωγων ιατουκεκλιµ ενου επιπ εδουµ εσωελατηρ ιουσταθερ α k.τικ ινησηεκτελε ιτοσ υστηµα;η Λαγκρανζιαν ητουσυστ ηµατο περιλαµ ανειτηνκινητικ ηεν εργειακαι τουσ ωµατο καιτουκεκλιµ ενουεπιπ εδου (αυτ ητουσ ωµατο ε ιναικ απω πιοπολ υπλοκη,αφο υτοσ ωµαµετ εχειστηνκ ινησητουκεκλιµ ενου επιπ εδου),τηδυναµικ ηεν εργειατουσ ωµατο λ ογωτη κ ινησ η τουστο βαρυτικ οπεδ ιοκαιτηδυναµικ ηεν εργειατουελατηρ ιου.χρησιµοποι ωντα ω συντεταγµ ενε τουπρο λ ηµατο τηνοριζ οντιαµετακ ινησητου κεκλιµ ενουεπιπ εδου x(t)καιτηναπ οστασητουολισθα ινοντο σ ωµατο απ οτοαν ωτατο ακροτουκεκλιµ ενουεπιπ εδου y(t),τοτετρ αγωνοτη ταχ υτητα τουολισθα ινοντο σ ωµατο ε ιναι u 2 2 = (ẋ + ẏ cosφ)2 + (ẏ sin φ) 2, καιηλαγκρανζιαν ητουσυστ ηµατο ε ιναι: L = 1 2 Mẋ m [ (ẋ + ẏ cosφ) 2 + ẏ 2 sin 2 φ ] + mgy sin φ 1 2 ky2. Θεωρ ησαµεγιαευκολ ια οτιτοελατ ηριο εχειµηδενικ οφυσικ οµ ηκο.οι εξισ ωσει κ ινηση,λοιπ ον,τωνδ υοσωµ ατωνε ιναι (M + m)ẍ + mÿ cosφ = 0, (7.33) m(ẍ cosφ + ÿ) mg sin φ + ky = 0. (7.34) Ηπρ ωτηαπ οαυτ ε τι εξισ ωσει εκφρ αζειτηδιατ ηρησητη ορµ η στον αξονα xκαιµπορε ιναχρησιµοποιηθε ιγιααντικατ αστασητου ẍστηδε υτερηεξ ισωση.μετηναντικατ αστασηαυτ ηηδε υτερηεξ ισωσηξαναγρ α- φεταιω ακολο υθω : ( ) ( m cos 2 φ M + m + 1 mÿ = k y ) mg sin φ k. (7.35) Ηµορφ ηαυτ ηδ οθηκεπροκειµ ενουναδιαφανε ιηyσυνιστ ωσατη κ ινηση.πρ οκειταιγιαταλ αντωσηγ υρωαπ οτηθ εσηισορροπ ια y 0 = mg k sin φ,

17 7.9. ΡΥΘΜΙΣΤΗΣ ΜΗΧΑΝΗΣ ΤΟΥ WATT 209 Σχ ηµα 7.8: Ενασ ωµααγκιστρωµ ενοµ εσωελατηρ ιουστηνκορυφ ηµια τσουλ ηθρα ολισθα ινειεπ ανωσεαυτ η.ητσουλ ηθραβρ ισκεταισεπαγοδρ οµιοκαιµπορε ινακινε ιται ελε υθεραστοοριζ οντιοεπ ιπεδο.τικ ινησηεκτελε ιτοσ υστηµα; µεσυχν οτητα ω = k m M + m M + m(1 + cos 2 φ). Αφο υµ αλισταοιεπιταχ υνσει τουκεκλιµ ενουεπιπ εδουκαιτουολισθα ι- νοντο σ ωµατο ω προ τοκεκλιµ ενοεπ ιπεδοε ιναιαν αλογε,τοκεκλι- µ ενοεπ ιπεδο,ανεξαιρ εσεικανε ι µιαπιθαν ηοµαλ ηκ ινησηπουθαµπορο υσεναεκτελε ι,αναµ ενεταιναεκτελε ικαιαυτ οοριζ οντιαταλ αντωσηµε την ιδιασυχν οτητα ω.μπορο υµεµ αλισταναεξετ ασουµεταδ υοακρα ια οριατωνµαζ ων: (α)αν M >> m,τ οτεη(7.33)οδηγε ισεµηδενικ ηεπιτ αχυνση ẍ,οπ οτετοσ ωµαταλαντ ωνεταιµεσυχν οτητα k/m, οπω θα συν ε αινεαντοκεκλιµ ενοεπ ιπεδο ητανπακτωµ ενο. (β)αν M << m, τ οτεηοριζ οντιαθ εσητουολισθα ινοντο σ ωµατο x + y cosφ εχειεπιτ αχυνσηµηδενικ η (βλ.σχ εση (7.33)),γεγον ο τοοπο ιοσηµα ινει οτι,αναρ- χικ α ολαταµ ερητουσυστ ηµατο ητανακ ινητα,τοσ ωµααυτ οθαπαρ ε- µενεστην ιδιαοριζ οντιαθ εση,εν ωπαρ αλληλαθαταλαντων οτανκατακ ορυφακαιαντ ιστοιχατοκεκλιµ ενοεπ ιπεδοθαταλαντων οτανοριζ οντια, ωστεταδ υοσ ωµαταναβρ ισκονταισυνεχ ω σεεπαφ η,µεσυχν οτητα k ω = m(1 + cos 2 φ). Προφαν ω,οιεξισ ωσει κ ινηση πουγρ αψαµε εχουνισχ υεφ οσοντοολισθα ινονσ ωµαδενφτ ασεισεαρνητικ ε yτιµ ε,δηλαδ ηπ ερααπ οτο ακρο τουκεκλιµ ενουεπιπ εδου. 7.9 Ρυθµιστ η µηχαν η τουwatt Στατ ελητου 18ουαι ωναοεφευρ ετη καικατασκευαστ η τη οµ ωνυµη ατµοµηχαν η JamesWatt [ ]επιν οησετονακ ολουθοµηχανισµ οπροκειµ ενουναδιατηρε ιταιαυτ οµαταηταχ υτηταµια µηχαν η

18 210 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Σχ ηµα 7.9:Οαυτ οµατο ρυθµιστ η τουwattδιατηρε ιτηνταχ υτηταµια µηχαν η σταθερ η. (βλ.σχ ηµα 7.9). υοβαρει ε µεταλλικ ε σφα ιρε στηριγµ ενε σεαρθρ ωσει αναγκ αζονταιναπεριστρ εφονταισ υµφωναµετορυθµ οπεριστροφ η τη µηχαν η. Λ ογωτη περιστροφ η του οισφα ιρε αναγκ αζονταινα ανυψωθο υνρυθµ ιζοντα ετσιτηνπαροχ ηκαυσ ιµουστηµηχαν η. Εστω οτιηµηχαν ηπεριστρ εφεταιµεταχ υτητα ω. Ηγωνιακ ηαυτ ηταχ υτητα ρυθµ ιζεταιαπ οτο υψο zτουδακτυλ ιου,τοοπο ιοµετησειρ ατουκαθορ ιζεταιαπ οτο υψο στοοπο ιοανυψ ωνονταιλ ογωφυγοκ εντρουοιβραχ ιονε στου οπο ιου ε ιναιαναρτηµ ενε οιµεταλλικ ε σφα ιρε.ανγιακ αποιολ ογοηταχ υτητατη µηχαν η αυξηθε ι,οισφα ιρε θαανυψωθο υνκαι µαζ ιτου θαανυψωθε ικαιοαρθρωτ ο δακτ υλιο,υποχρε ωνοντα τηµηχαν ηναελαττ ωσειταχ υτητα.ηλαγκρανζιαν ητουσυστ ηµατο αποτελε ιταιαπ οτηνκινητικ ηκαιτηδυναµικ ηεν εργειατωνσφαιρ ων.μπορο υµε, µ αλιστα,ναχρησιµοποι ησουµετηγων ιααν υψωση φπουσχηµατ ιζουν οιβραχ ιονε µετηνκατακ ορυφογιαναπεριγρ αψουµετηθ εσητωνσφαιρ ων.ανθεωρ ησουµε οτιοιβραχ ιονε στου οπο ιου αναρτ ωνταιοισφα ιρε εχουνµ ηκο lκαι οτιοιδε υτεροιβραχ ιονε πουσυνδ εουντοµ εσοτων πρ ωτωνβραχι ονωνµετονδακτ υλιο εχουντοµισ οµ ηκο l/2,ηλαγκρανζιαν ητουσυστ ηµατο λαµ ανειτηνακ ολουθηµορφ η L = 1 2 (2m)l2 ( φ 2 + ω 2 sin 2 φ) 2mgl(1 cosφ). (7.36) Ηεξ ισωσηκ ινηση τωνσφαιρ ωνε ιναι ( φ = sin φ ω 2 cosφ g ) l. (7.37) Ανησυχν οτηταπεριστροφ η ε ιναιαρκετ αµικρ η (µικρ οτερηαπ ο g/l), ηθ εση φ = 0ε ιναιθ εσηευσταθο υ ισορροπ ια,αφο υηπαραπ ανωδιαφορικ ηεξ ισωσηµοι αζειµεαυτ ητουαρµονικο υταλαντωτ ηγιαµικρ α φ,

19 7.10. ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ 211 καιοισφα ιρε παραµ ενουνκολληµ ενε στον αξονα.α υποθ εσουµε οτι θ ελουµεναδιατηρο υµετηνταχ υτητατη µηχαν η στησταθερ ητιµ η ω 0,η οπο ιαξεπερν ατο οριο g/l.ε ιναιπροφαν ε οτισεαυτ ητηνπερ ιπτωση ηθ εση φ = 0πα υειναε ιναιθ εσηευσταθο υ ισορροπ ια καιεµφαν ιζεται µια αλληθ εσηισορροπ ια,ηγων ια φ 0,πουαποτελε ιρ ιζατη εξ ισωση ω 2 cosφ g l = 0. Αναναπτ υξουµετοδε υτεροµ ελο τη διαφορικ η εξ ισωση (7.37)γ υρω απ οαυτ οτοσηµε ιοισορροπ ια µπορο υµενααποδε ιξουµε οτιαυτ οτον εο σηµε ιοισορροπ ια ε ιναιευσταθ ε.ανµ αλισταεξασφαλ ισουµετον ελεγχο τη ταχ υτητα περιστροφ η αν αλογαµετηναν υψωσητωνσφαιρ ων,σ υµφωναµετον οµο ω = ω 0 + α(cosφ cos φ 0 ), µε α > 0,πουσυνεπ αγεταιελ αττωσητη ταχ υτητα, οτανηγων ια φξεπερ ασειτηθ εσηισορροπ ια φ 0,ηµηχαν ηθαλειτουργε ιµεσταθερ ηταχ υτητα.μπορο υµε,επιπλ εον,νααποδε ιξουµε οτιτ οτεησυχν οτητατων µικρ ωνταλαντ ωσεωνγ υρωαπ οτηθ εσηισορροπ ια θαε ιναιακ οµηµεγαλ υτερηαπ ο,τιανησυχν οτηταδενµετα αλλ οταν.το υτοε ιναιαναµεν οµενοαφο υοµηχανισµ ο κατασκευ αστηκεγιαναπροκαλε ιαν αδραση. Ετσι,σεκ αθεµετα ολ ητη συχν οτητα,οποιουδ ηποτεε ιδου τρι ησταθεροποιε ιταχ υτερατοσ υστηµαστηθ εσηισορροπ ια Κοσµολογ ιασε ενακλειστ ο,µονοδι αστατο καισχεδ ονοµογεν ε Σ υµπαν Α υποθ εσουµε οτιοκ οσµο ε ιναιµονοδι αστατο καιµ αλισταπεπερασµ ενο.θαµπορο υσαµεναπεριγρ αψουµε εναντ ετοιοκ οσµο εχοντα κατ ανουτηντοπολογ ιαεν ο δακτυλ ιου. Ανσυµπληρ ωναµετογεωµετρικ οαυτ ουπ ο αθροµεµ αζε,οιοπο ιε θα επαιζαντορ ολοτωνγαλαξι ωναυτο υτουκ οσµουκαιθααλληλεπιδρο υσανβαρυτικ αµεταξ υτου, θαε ιχαµε ενακοσµολογικ οµοντ ελογι αυτ οτονκ οσµο. Αυτ οπουθ ελουµεναελ εγξουµεε ιναιπ ω θαεξελισσ οτανµιαοµοι οµορφηκατανοµ η µαζ ωνκατ αµ ηκο τουδακτυλ ιουσε ενατ ετοιοσ υµπαν.ηβαρυτικ ηδ υναµησε εναµονοδι αστατοκ οσµο οπω συµ α ινεικαιµετηνελκτικ ηδ υναµηδ υοφορτισµ ενων απειρωνπλακ ωνεν ο πυκνωτ ηπουε ιναιανεξ αρτητητη µεταξ υτου απ οσταση αποδεικν υεται οτιε ιναισταθερ ηκαι ανεξ αρτητηαπ οτηναπ οστασηµεταξ υτωνσωµ ατων.συνεπ ω,τοαντ ιστοιχοτη νευτ ωνεια βαρυτικ η ελξη δ υοµαζ ωνσε εναµονοδι αστατο κ οσµοθαε ιναι F 1 2 = Gm 1 m 2 x 2 x 1 x 2 x 1. 6 Aν,β ε αια,ητρι ηε ιναιαν αλογηµετηνταχ υτητακ ινηση,οχρ ονο απ οσ εση, οπω γνωρ ιζουµεαπ οτηνπερ ιπτωσητουταλαντωτ ηµεαπ οσ εση,δενθαεξαρτ αται απ οτησυχν οτητατη ταλ αντωση.

20 212 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Σχ ηµα 7.10 : Το µονοδι αστατο Σ υµπαν µε του γαλαξ ιε του. Γενν αται, β ε1αια, το ερ ωτηµα τι γ ινεται ο ασταση παρουσι α ταν η µ ια δι ζει περιοδικ ε συνθ ηκε. Σε αυτ ην την περ ιπτωση πρ επει να λ α1ουµε τη δ υναµη ω ανωτ ερω, µετρ ωντα τι αποστ ασει µεταξ υ των µαζ ων δεξιο οστροφα; Θα επιλ εξουµε εκε ινη τη φορ α κατ α στροφα ο µω η αριστερ 7 την οπο ια η απ οσταση των δ υο µαζ ων ε ιναι ελ αχιστη. Η δυναµικ η, λοιπ ον, εν εργεια εν ο ζε υγου σωµατιδ ιων, οι θ εσει των οπο ιων σε αυτ ο τον κ οσµο καθορ ιζονται απ ο τι γων ιε θi, θj, θα εχει τη µορφ η (1 ) Vij (θi, θj ) = G mi mj R min θi θj 2nπ, (7.38) n=0,±1,±2,... ο ο G(1 ) αναφ ερεται στη σταθερ α τη βαρ υτητα στο που ο συµ1ολισµ µονοδι αστατο κλειστ ο Σ υµπαν και R ε ιναι η ακτ ινα του δακτυλ ιου. Ε ιναι ε υκολο να διαπιστ ωσουµε ο αγµατι η δυναµικ η εν εργεια τη σχ εση τι πρ (7.38) δηµιουργε ι µεταξ υ δ υο µαζ ων µια ελκτικ η δ υναµη µε σταθερ ο µ ετρο και φορ α αυτ ην του κοντιν οτερου τ οξου που συνδ εει τι δ υο µ αζε, ανεξαρτ ητω των πολλαπλασ ιων του 2π που πιθαν ω εµπερι εχονται στη µ ετρηση τη κ αθε γων ια. Α υποθ εσουµε στη συν εχεια ο οκληρο το δακτυλιοει τι γεµ ιζουµε ολ δ ε Σ υµπαν µε ισε µ αζε οµοι οµορφα κατανεµηµ ενε, ετσι ωστε να σχηµατ ιζουν ενα κανονικ ο N-γωνο. Λ ογω τη κανονικ οτητα του N-γ ωνου οι µ αζε θα ισορροπο υν στην αρχικ η του θ εση. Αν, µ αλιστα, σα προ1λη7 Για ενεργειακο υ λ ογου θα πρ επει να επιλεγε ι εκε ινη η φορ α που οδηγε ι στη µικρ οτερη δυνατ η συνολικ η δυναµικ η εν εργεια του πεδ ιου και, επειδ η η δ υναµη ε ιναι σταθερ η, η εκταση ισχ υο τη δ υναµη πρ επει να ε ιναι η µικρ οτερη δυνατ η, δηλαδ η η κοντιν οτερη απ οσταση. Ευχαριστο υµε τον Καθηγητ η Φ. Χατζη ω αννου για την επισ ηµανση αυτ η.

21 7.10. ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ 213 µατ ιζειηευστ αθει ατου,υποθ εστε οτιοnε ιναιπεριττ ο αριθµ ο,οπ οτε, επειδ ηηδ υναµηε ιναισταθερ ηκαιυπ αρχει ισο αριθµ ο µαζ ωνστααριστερ ακαισταδεξι ατη κ αθεµ αζα,θαασκε ιταισεκ αθεµ αζαµηδενικ η συνολικ ηδ υναµη. Επιπλ εον,ακ οµηκαιανµετακιν ησουµεελαφρ ω (λιγ οτεροαπ ο 2π/N)τι µ αζε απ οτηθ εσηισορροπ ια του,αυτ ε θαεξακολουθ ησουν ολε ναβρ ισκονταισεισορροπ ια.υποθ ετουµε,λοιπ ον, οτι οιγωνιακ ε θ εσει τωνµαζ ωνε ιναισταθερ ε στι κορυφ ε τουκανονικο υ N-γ ωνου.θαεπιτρ εψουµε οµω στοδακτυλιοειδ ε αυτ οσ υµπαννα εχει µετα λητ ηµετοχρ ονοακτ ινα R(t). Ποιαθαε ιναιτ οτεηκινητικ ηεν εργειατουσυστ ηµατο ;Χρειαζ οµαστε ενασ υστηµαεντ ο τουσ υµπαντο αυτο υγιαναµετρ αµεταχ υτητε.αν επιλ εξουµεναµετρ αµετι ταχ υτητε ω προ µ ιαοποιαδ ηποτεµ αζα, 8 η ταχ υτητατη k-οστ η µ αζα σταδεξι α ηστααριστερ ααπ οτηµ αζαπου επιλ εξαµεθαε ιναι v k = Ṙ(t)2πk N, 1 k N 1. 2 Εποµ ενω,ηκινητικ ηεν εργεια ολουτουσ υµπαντο θαε ιναιαν αλογητου Ṙ(t) 2.Ηδυναµικ ηεν εργεια, οντα το αθροισµα ολωντωνδυναµικ ωνενεργει ωναλληλεπ ιδραση τωνεπ ιµ ερου µαζ ωνθαε ιναι V = 1 V ij = N 2 2 i j i N 1 i=1 V in, δηλαδ ηθαε ιναιαν αλογητη ακτ ινα R(t). Συνολικ α,ηλαγκρανζιαν η τουσ υµπαντο θαε ιναι L = 1 ( ) 2 2π 2 mα N Ṙ2 1 ( ) 2π 2 G(1 ) m 2 β R, (7.39) N οπου α, βαριθµητικο ιπαρ αγοντε πουσχετ ιζονταιµετο αθροισµατων κινητικ ωνκαιδυναµικ ωνενεργει ωναντ ιστοιχα.συγκεκριµ ενα, (N 1)/2 α = 2 k 2 = k=1 N(N 1)(N + 1) 12 τοδιπλ ασιοτουαθρο ισµατο τωντετραγ ωνωντωνσχετικ ωνθ εσεωνγια κ αθεηµικ υκλιο και β = 2N (N 1)/2 k=1 k = N(N 1)(N + 1) 4 τοδιπλ ασιοτουαθρο ισµατο τωνσχετικ ωνθ εσεωνγιακ αθεηµικ υκλιο καιγιακ αθεµ αζα.ηεξ ελιξητουσ υµπαντο θαδι επεταιαπ οτηδυναµικ η σχ εσηπουυπαγορε υειηεξ ισωσηeuler-lagrange R = G (1 ) m ( β α ) N 4π = 3G(1 ) 4π M ολ (7.40) 8 Αυτ ο ε ιναιουσιαστικ αοαντ ιστοιχο ν οµο τουhubbleγιατοµονοδι αστατοαυτ ο Σ υµπαν,αφο υ, οσοµακρ υτεραβρ ισκεται ενα αστρο,τ οσοταχ υτεραθαφα ινεται οτι αποµακρ υνεται.,,

22 214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ οπου M ολ = Nmηολικ ηµ αζατουσ υµπαντο.με αλλαλ ογιατοσ υµπαν θαεπι ραδ υνειτηνα υξησητη ακτ ινα τουµεσταθερ ορυθµ ο.ανοαρχικ ο ρυθµ ο διαστολ η τουσ υµπαντο ηταν Ṙ(0) = u 0,τοΣ υµπανθα φτ ασειστοµ εγιστοµ εγεθ ο του σεχρ ονο R max = 2πu2 0 3G (1 ) M ολ (7.41) T = 4πu 0 3G (1 ) M ολ (7.42) µετηνπρο π οθεσηβ ε αια οτιε ιχεξεκιν ησειµεσχεδ ονµηδενικ ε διαστ ασει.φυσικ α, υστερααπ ο αλλοτ οσοχρονικ οδι αστηµαοιδιαστ ασει του θαεκµηδενιστο υνκαιπ αλι.απ οµια αποψηαυτ οε ιναιτοµονοδι αστατο αν αλογοτουχρονικο υτη εξ ελιξη τουπραγµατικο υµα Σ υµπαντο,εφ οσονοιµοναδικ ε δυν αµει πουδρουνε ιναιοιβαρυτικ ε ελξει µεταξ υτων συνιστωσ ωντου.

23 7.11. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Προ λ ηµατα 1. Εναφορτισµ ενοσωµατ ιδιοε ιναιυποχρεωµ ενονακινε ιταιεπ ανω σε εναεπ ιπεδο. Τοσωµατ ιδιοβρ ισκεταιµ εσασεοµογεν ε µαγνητικ οπεδ ιο,ενγ ενειπλ αγιοσεσχ εσηµετοεπ ιπεδο.τιµορφ η εχειη τροχι ατη κ ινηση πουεκτελε ιτοσωµατ ιδιο; 2. Ενασωµατ ιδιοκινε ιταιελε υθεραστηνεπιφ ανειαµ ια σφα ιρα. Προσδιορ ιστετηνκ ινησ ητου. 3.Αβαρ ε σχοιν ιπερν αγ υρωαπ οα αρ ητροχαλ ιαπουε ιναιστηριγ- µ ενηστηνοροφ ηεν ο δωµατ ιου.στηµ ια ακρητουσχοινιο υε ιναι δεµ ενηµ ιααρµαθι αµπαν ανε µ αζα M,εν ωστην αλλη ακρη ενα π ιθηκο µ αζα επ ιση Mαναρριχ αταιµεσκοπ οναφτ ασειτι µπαν ανε. Αρχικ αοπ ιθηκο καιοιµπαν ανε δενβρ ισκονταιστο ιδιο υψο. Ησχετικ ηµετατ οπισητουπιθ ηκουω προ την ακρητου σχοινιο υε ιναι ψ(t)µεαρχικ ε συνθ ηκε ψ(0) = ψ(0) = 0.Γρ αψτε τηλαγκρανζιαν ησυν αρτησητουσυστ ηµατο καιµελετ ηστετηνκ ινηση. Ποιε ε ιναιοιδιατηρο υµενε ποσ οτητε καιποιαηφυσικ η σηµασ ιατου.θακαταφ ερειναφτ ασειοπ ιθηκο τι µπαν ανε ; 4.Κυκλικ ο δακτ υλιο ακτ ινα Rκυλ ιεταιχωρ ι ναολισθα ινειεπ ανω σεοριζ οντιοδ απεδοπουκινε ιταιοριζ οντιακατ α x(t) οπω στοσχ η- µα.ηµ αζατουδακτυλ ιου Mε ιναισυγκεντρωµ ενηστηνπεριφ ερει α του.προσδιορ ιστετολ ογοτη µετατ οπιση τουκ εντρουτουδακτυλ ιουπρο τηµετατ οπισητουδαπ εδου.θεωρ ηστεστησυν εχεια ενα ν οµισµαµετην ιδιασυνολικ ηµ αζα M,την ιδιαακτ ινα Rκαιτο ιδιο κ εντροµ αζα,αλλ αµετηµ αζακατανεµηµ ενηµετ ετοιοτρ οπο ωστε ηπεριστροφικ ηκινητικ ηεν εργειαναε ιναι 1 2 M R 2 θ2, µε M < M. Προσδιορ ιστετον εολ ογοµετατ οπιση τουκ εντρου β αρου προ τηµετατ οπισητουδαπ εδου.τιθασυµ ε ιστι δ υοπεριπτ ωσει,αντοποθετηθο υνδ υοδακτ υλιοιδιαφορετικ η ακτ ινα, ο ενα δ ιπλαστον αλλο,στοκινο υµενοδ απεδο;επι ε αι ωστετην απ αντησ ησα εκτελ ωντα τοπε ιραµα.

24 216 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ 5.Κατασκευ αστετηλαγκρανζιαν ηκαιστησυν εχειαυπολογ ιστετην κ ινησηεν ο συστ ηµατο πουαποτελε ιταιαπ ο εναδακτ υλιοµ αζα Mκαιακτ ινα R,οοπο ιο µπορε ινακυλ ιεταισεοριζ οντιοεπ ιπεδο, καιεν ο σωµατιδ ιουµ αζα mπουολισθα ινειχωρ ι τρι ε επ ανω στοδακτ υλιοξεκιν ωντα απ οτοαν ωτεροσηµε ιοτουδακτυλ ιου ο- ταναυτ ο ε ιναιακ ινητο.πο υβρ ισκονταιταδ υοσ ωµατα, οτανσυµ- α ινειοδιαχωρισµ ο του ; 6.ΗΛαγκρανζιαν ηµια εκρηξη :Θεωρ ηστεω απλουστευµ ενοµοντ ελοµια εκρηξη ενασ υστηµαδ υοµαζ ωνπουµπορο υννακινο υνταιπ ανωσε εναν αξοναδ ιχω τρι ε.μεταξ υτωνδ υοµαζ ωνυπ αρχεισυµπιεσµ ενοελατ ηριο,τοοπο ιοκ αποιαστιγµ ηαφ ηνεταιελε υθερονααποσυµπιεστε ι, εω οτουαποκτ ησειτοφυσικ οτουµ ηκο οπ οτεοιδ υοµ αζε διαχωρ ιζονται. Γρ αψτετηλαγκρανζιαν η καιυπολογ ιστετηνκ ινησητωνδ υοσωµ ατων,αναρχικ ααυτ α ηταν ακ ινητα.στο οριοπουησταθερ ατουελατηρ ιουτε ινειστο απειρο, αλλ αηεν εργειατουσυµπιεσµ ενουελατηρ ιουε ιναιδεδοµ ενη,ποια ε ιναιηεξ ισωσητη κ ινηση ; Εχοντα καταλ ηξειστοεπιθυµητ οαποτ ελεσµαθαµπορο υσατεµ ηπω ναγρ αψετετηλαγκρανζιαν ησυν αρτησητουσυστ ηµατο συµπεριλαµ ανοντα µ ονοτι κινητικ ε εν εργειε τωνσωµ ατωνµεδεδοµ ενητησχετικ ηταχ υτητατωνδ υο σωµ ατωνπρινκαιµετ ατηνεκτ ιναξητουελατηρ ιου; 7.Στηριζ οµενοιστοαποτ ελεσµατη προηγο υµενη ασκηση,γρ αψτε τηλαγκρανζιαν ηεν ο πυρα υλου,οοπο ιο προωθε ιταιαπ οτηνεκτ οξευσηαερ ιωνµεσταθερ ορυθµ οκαισχετικ ηταχ υτητα V,απουσ ιαοποιουδ ηποτεπεδ ιου.στησυν εχειαυπολογ ιστετηνεξ ισωσηκ ινηση τουπυρα υλου. 8. Ενασωµατ ιδιοκινε ιταιµ εσασεοµογεν ε µαγνητικ οπεδ ιο.νααναφ ερετε ολε τι συµµετρ ιε τη λαγκρανζιαν η συν αρτηση καινα προσδιορ ισετετι διατηρο υµενε ποσ οτητε.νασυγκρ ινετεκατ οπιντι διατηρο υµενε ποσ οτητε µεαυτ ε πουδιατηρο υνταισε ενα ελε υθεροσωµατ ιδιο. 9.Προσδιορ ιστετηνκ ινησησωµατιδ ιουπουκινε ιταιελε υθεραεπ ιµια ζ ωνη του Mɻobius. Ηζ ωνηπροσδιορ ιζεταιπαραµετρικ ααπ οτι σχ εσει x = v sin(u/2) cos(u) + cos(u), y = v sin(u/2) sin(u) + sin(u), z = cos(u/2), µε 0 v 0.2και 0 u < 4π.