Κεφ αλαιο4. Απ οτηνaρχ ητουd Alembert στηνaρχ ητη Ισοδυναµ ια. 4.1 Απ οτηδυναµικ ηστηστατικ η

Transcript

1 Κεφ αλαιο4 Απ οτηνaρχ ητουd Alembert στηνaρχ ητη Ισοδυναµ ια Ανστοµν ηµασα χαρ αξουνκ ατισαναυτ ο, τα εχετεπ αειπερ ιφηµα. Richard Feynman Σχ ηµα4.1:τοσχ εδιοαυτ οε ιναιχαραγµ ενοστοµν ηµατουφλαµανδο υµηχανικο υsimon Stevin [ ].Οικ αθετε πλευρ ε τουαπ ολυταλε ιουκεκλιµ ενουεπιπ εδου εχουν λ ογο2:1.τοερ ωτηµαπουτ ιθεταιε ιναιανηαλυσ ιδατουσχ ηµατο θακινε ιταιαεν αω. Σ ηµεραγνωρ ιζουµε οτι,µολον οτιηαριστερ ηπλευρ ατη αλυσ ιδα εχειδιπλ ασιοβ αρο απ οτηδεξι α,οιγων ιε ε ιναιτ ετοιε ωστετοσ υστηµαναβρ ισκεταισεισορροπ ια.στο κεφ αλαιοαυτ οθαδιευρ υνουµετην εννοιατη ισορροπ ια τωνδυν αµεων ετσι ωστενα µπορο υµεναπεριγρ αψουµετηδυναµικ ητωνµηχανικ ωνσυστηµ ατωνµε ορου στατικ η. 4.1 Απ οτηδυναµικ ηστηστατικ η Στηνευτ ωνειαµηχανικ ηοιδυν αµει κατ εχουνπρωταρχικ ορ ολοκαι θεωρο υνταιεκτωνπροτ ερωνγνωστ ε. Οταν,γιαπαρ αδειγµα,διατυπ ω- νουµετοδε υτερον οµοτουνε υτωναπουπεριγρ αφειτηνκ ινησηεν ο σω- µατιδ ιου m a = F, 81

2 82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D ALEMBERT Ηδ υναµηκατ ατον Νε υτωνα θεωρο υµε οτιηµ αζα,ηεπιτ αχυνσηαλλ ακαιηδ υναµηε ιναι εννοιε ανεξ αρτητε ηµ ιααπ οτην αλληκαιοιαριθµητικ ε τιµ ε του,σεκ αθεπερ ιπτωση,συνδ εονταιµ εσωτη παραπ ανωσχ εση. Ανηδ υναµηοριζ οτανµ εσωτουδε υτερουν οµουτουνε υτωνα,τ οτεον οµο αυτ ο δενθα ηταντ ιποτε αλλοπαρ α ενα ορισµ ο τη εννοια τη δ υναµη χωρ ι κα- ν εναουσιαστικ οφυσικ οπεριεχ οµενο.ηδ υναµηπουασκε ιταισε ενασω- µατ ιδιο εχειυλικ ηυπ οστασηκαιε ιναιανεξ αρτητηαπ οτηνεπ ιπτωσηπου αυτ η εχειστηνκ ινησητουσωµατιδ ιου.μεταξ υδ υοβαρυτικ ωνσωµ ατων, γιαπαρ αδειγµα,ασκε ιταιηελκτικ ηδ υναµητη βαρ υτητα,ηοπο ιαε ιναιυπε υθυνηγιατηνκ ινησητωνσωµ ατωνγ υρωαπ οτοκ εντροµ αζα του. Σε εναµ ηλοεπ ιση πουισορροπε ιεπ ανωσε ενατραπ εζιασκο υνταιδ υοδυν αµει πουαλληλοεξουδετερ ωνονται: ηβαρυτικ η ελξηαπ ο τηγηκαιηαντ ιδρασητουτραπεζιο υ,πουοφε ιλεταιστηνηλεκτροµαγνητικ ηαλληλεπ ιδρασητωνµορ ιωντουµ ηλουκαιτουτραπεζιο υ,ταοπο ια βρ ισκονταισε επαφ η.ε ανσπρ ωξουµετοµ ηλοκαιαυτ οαρχ ισεινακινε ιταιεπ ανωστοτραπ εζιπιθαν οταταθαασκηθε ισεαυτ οεπιπλ εονκ αποιαδ υναµητρι η,ηοπο ιαε ιναικαιαυτ ηηλεκτροµαγνητικ η φ υσεω. Σεκ αθεπερ ιπτωσητοα ιτιοτη δ υναµη θεωρε ιταιγνωστ οκαιδεδοµ ενωντωνδυν αµεωνηκ ινησητουσ ωµατο µπορε ιναπεριγραφε ιπλ ηρω ε ανε ιναιγνωστ ε οιαρχικ ε συνθ ηκε τη κ ινηση. Σταπαραδε ιγµατα πουαναφ εραµεοιδυν αµει ε ιναιηβαρυτικ η ελξη,οιηλεκτροµαγνητικ ε δυν αµει,πουαναπτ υσσονταιµεταξ υτωννεφ ωντωνηλεκτρον ιωντων µορ ιωντουµ ηλουκαιτουτραπεζιο υπουπλησι αζουντο ενατο αλλοκαι προκαλο υντηναντ ιδρασηπουασκε ιτοτραπ εζιστοµ ηλοκαθ ω καιτη δ υναµητη τρι η πουεπι ραδ υνειτηνκ ινησητουσ ωµατο,καιτ ελο η ωθησηαπ οτοχ εριµα. Επισηµα ινουµε,ακ οµη, οτιοδε υτερο ν οµο τουνε υτωνααναφ ερεταισεκ αποιοαδρανειακ οσ υστηµααναφορ α,η υπαρξητουοπο ιου εχειεξασφαλιστε ιαπ οτονπρ ωτον οµοτουνε υτωνα. Περιγρ αψαµεπαραπ ανωµεαδρ ε γραµµ ε τοπλα ισιοτη νευτ ωνεια θε ωρηση σ υµφωναµετοοπο ιοηδ υναµηε ιναιµ ιαανεξ αρτητη εννοια που εχεισυγκεκριµ ενηυλικ ηπρο ελευση. Εχοντα διευκριν ισειποιοε ιναιτον οηµατωνπραγµατικ ωνδυν αµεων,µπορο υµετ ωρανακ ανουµε εναακ οµηβ ηµακαιναορ ισουµεν εε ποσ οτητε τ υπουδ υναµη,δ ιχω να υπ αρχεικ ινδυνο παραν οηση.υπ οαυτ οτοπρ ισµαορ ιζουµεω ενεργ ο δ υναµη τηνποσ οτητα f = m a. Μεαυτ οτονορισµ οοδε υτερο ν οµο τουνε υτωναλαµ ανειτηµορφ η ( F + f ) = 0, ηοπο ιαµπορε ιναθεωρηθε ι οτιπεριγρ αφειτηνισορροπ ιαµεταξ υτη ασκο υµενη πραγµατικ η δ υναµη καιτη αντ ιθετη τη ενεργο υ δ υνα- µη,τηνοπο ιακαλο υµεδ υναµηαδρ ανεια f (A) m a. Ηπαραπ ανωσχ εσηεκφρ αζειστηνουσ ιατηνισορροπ ιατουσ ωµατο που αντιλαµ ανεται ενα παρατηρητ η,οοπο ιο κινε ιταιµαζ ιµετοσ ωµακαι

3 4.2. ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ 83 δενε ιναιενγ ενειαδρανειακ ο.αυτ ηησχ εσηισορροπ ια µπορε ιναεπεκταθε ικαισε ενασ υστηµασωµατιδ ιων j F ij + f (A) i = 0, (4.1) οπου F ij ε ιναιηεκ αστοτεπραγµατικ ηδ υναµηπουασκε ιταιστο i-οστ ο σωµατ ιδιοαπ οτοκ αθεα ιτιο jκαι f (A) i = m i a i ε ιναιη δ υναµη αδρ ανεια του i-οστο υσωµατιδ ιου.αυτ ηε ιναιηαρχ ηπουδιατ υπωσεογ αλλο µαθηµατικ ο JeanLeRondD Alembert [ ]το Οιδυν αµει αδρ ανεια εν ο σωµατιδ ιουκαιοιασκο υµενε σε αυτ οπραγµατικ ε δυν αµει βρ ισκονταισεισορροπ ια ηισοδυν αµω,ησυνισταµ ενητωνδυν αµεωνπουασκο υνταισε ενα σωµατ ιδιοε ιναιµηδενικ η,ανθεωρ ησουµεω δυν αµει καιτι δυν αµει αδρ ανεια. Ηαρχ ητουd Alembert:ηκ ινηση ω ισορροπ ια Ηαρχ ηαυτ ηδενπροσφ ερειπρο τοπαρ οντ ιποτετοκαινο υργιοστη δυναµικ ητουνε υτωνα,αλλ α, οπω θαδο υµε,ηαλλαγ ηθε ωρηση και αναγωγ η τουδυναµικο υπρο λ ηµατο σεστατικ οπρ ο ληµαοδηγε ισε πολ υενδιαφ ερουσε γενικε υσει.β ε αια,ηαρχ ητουd Alembert µετατρ επειµ ονοφορµαλιστικ ατοδυναµικ οπρ ο ληµασεπρ ο ληµαστατικ η. Η εκφραση (4.1),µολον οτιε ιναιτυπικ ασυνθ ηκηισορροπ ια εν ο σ ωµατο,περιλαµ ανειτι δυν αµει αδρ ανεια,οιοπο ιε ε ιναιαν αλογε των επιταχ υνσεωνκαισυνεπ ω ησυνθ ηκηισορροπ ια δενε ιναιτ ιποτε αλλο απ οµιαδιαφορικ ηεξ ισωσητη κ ινηση τουσ ωµατο. 4.2 Αρχ ητωνδυνατ ων εργων Γνωρ ιζουµε οτι ενασ ωµαβρ ισκεταισεισορροπ ια οτανησυνολικ η πραγµατικ ηδ υναµηπουασκε ιταισεαυτ οε ιναιµηδενικ η.μπορε ι, οµω, ναδοθε ιµιαακ οµηπιοχρ ησιµηδιατ υπωσητη συνθ ηκη ισορροπ ια.α θεωρ ησουµε ενασωµατ ιδιο,τοοπο ιο,εν ωβρ ισκεταισεισορροπ ια,µετατοπ ιζεταιαπειροελ αχιστα.τοδιαφορικ ο εργοτωνδυν αµεωνσεαυτ ητην περ ιπτωσηθαε ιναιµηδενικ ο. Ετσι,µπορο υµεναορ ισουµετηνκατ α- Ηαρχ ητωνδυνατ ων στασηισορροπ ια εν ο συστ ηµατο σωµατιδ ιωνω τηνκατ αστασηκατ α τηνοπο ια ολε οιαπειροστ ε µετατοπ ισει τωνσωµατιδ ιωνδενπαρ αγουν εργο.αυτ ηηδιατ υπωσητη αρχ η τη ισορροπ ια,πουονοµ αζεταιαρχ η τωνδυνατ ων εργων,δ οθηκεουσιαστικ ααπ οτονstevinτο1586,οοπο ιο κατ εληξεσεαυτ ηνξεκιν ωντα απ οτηνυπ οθεση οτιδενυπ αρχεια εναη κ ινησηπουναπαρ αγει εργο, οτι,δηλαδ η,δενυπ αρχουναεικ ινητα. Ε ιναιε υκολοναδε ιξουµε οτιηαρχ ητωνδυνατ ων εργωνσυνεπ αγεται κατ αστασηισορροπ ια στηνπερ ιπτωση Nσωµατιδ ιωνσταοπο ιαασκο υνταιεξωτερικ ε δυν αµει αλλ ακαιδυν αµει αλληλεπ ιδραση τ ετοιε ωστε τασωµατ ιδιαναβρ ισκονταισεκατ αστασηισορροπ ια. Εστω οτισεκ αθε σωµατ ιδιοασκε ιταισυνολικ ηδ υναµη F i, οπου iοδε ικτη τουσωµατιδ ιου εργωνω συνθ ηκη ισορροπ ια

4 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D ALEMBERT και δ x i µιααπειροστ ηµετατ οπισηαυτο υ. 1 Σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηηαρχ η τωνδυνατ ων εργωναπαιτε ιοποιαδ ηποτεµετατ οπιση δ x i απ οτηνκατ αστασηισορροπ ια ναπαρ αγειµηδενικ οσυνολικ ο εργο,δηλαδ η δw = N F i δ x i = 0. (4.2) i=1 ο µοιπο υστ ωκα ι κιν ωτ ηνγ ην Αφο υοιµετατοπ ισει ε ιναιανεξ αρτητε µεταξ υτου καιαυθα ιρετε η Σχ ηµα 4.2:Χαρακτικ οτουholzschnittmechanicsmagazine(london)του 1824πουπαριστ ανειτοναρχιµ ηδηναανυψ ωνειτηγηµε εναµοχλ ο.ηισορροπ ιαµεταξ υτωνδυν αµεωντουαρχιµ ηδηκαιτουυποτιθ εµενου β αρου τη Γη βρ ισκεταισεσυµφων ια µετηναρχ ητωνδυνατ ων εργων.οποιαδ ηποτενοητ ηµετατ οπισητουσυστ ηµατο,ε ιτε προ τηµιαε ιτεπρο την αλληκατε υθυνση,καταλ ηγεισεµηδενικ οσυνολικ ο εργοτων δ υοδυν αµεων. παραπ ανωαρχ ησυνεπ αγεται οτιησυνολικ ηδ υναµηπουασκε ιταισεκ αθε σωµατ ιδιοπρ επειναµηδεν ιζεται, F i = 0, (4.3) γιακ αθε i,δι οτι, οτανµετατοπ ιζεταιµ ονοτο k-στ οσωµατ ιδιο,ησχ εση (4.2)απαιτε ι F k δxk = 0, (4.4) γιακ αθεµετ οπισητουσωµατιδ ιουκατ α δ x k,οπ οτεησυνολικ ηδ υναµη πουασκε ιταιστο k-στ οσωµατ ιδιοπρ επειναε ιναιµηδενικ η.το υτοισχ υει, αφο υσ υµφωναµετηνσχ εση (4.4)τοδι ανυσµα F k ε ιναικ αθετοσεκ αθε δ x k καιτοµ ονοδι ανυσµαπουε ιναικ αθετοσε ολαταδιαν υσµατατουχ ωρουε ιναιτοµηδενικ ο.επιπλ εον,αφο υτοσωµατ ιδιοπουµετατοπ ιστηκε 1 Ισω αναρωτι εστεγιατ ιχρησιµοποιο υµετοσ υµ ολο δ xαντ ιτου d x. Ανκαιστο σηµε ιοαυτ οηεπιλογ ηδεν εχειιδια ιτερησηµασ ια,αυτ η εγινεγιανααποφευχθε ιοποιαδ ηποτεσ υγχυσηµετηνπραγµατικ ηκ ινησητωνσωµατιδ ιων.οιαπειροστ ε µετατοπ ισει µετι οπο ιε ασχολο υµαστεε ιναιυποθετικ ε µετατοπ ισει τι οπο ιε υιοθετο υµεστηµελ ετηµα προκειµ ενουναµετρ ησουµετο εργοτωνδυν αµεωνανοιµετατοπ ισει αυτ ε πραγµατοποιο υνταν.

5 4.3. Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ ΣΕ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 85 ηταντυχα ιο,συµπερα ινουµε οτιησυνολικ ηδ υναµηπουασκε ιταισεκ αθε σωµατ ιδιοπρ επειναµηδεν ιζεταιγιανα εχουµεισορροπ ια,γιαναικανοποιε ιται,δηλαδ η,ηκλασικ ησυνθ ηκηισορροπ ια.στοσηµε ιοαυτ ο ισω συλλογιστε ιτε οτιηαν αλυσ ηµα ε ιναιµ αλλοναν οητη. Ξεκιν ησαµεαπ ο κ ατιπολ υαπλ ο,τοµηδενισµ οτωνδυν αµεωνω συνθ ηκηισορροπ ια,για νατοεπαναδιατυπ ωσουµεστηνπολ υπιοσ υνθετηµορφ η:οµηδενισµ ο τωνδυνατ ων εργωναποτελε ισυνθ ηκηισορροπ ια. Ηπορε ιαπουακολουθ ησαµεε ιναιαντ ιστροφηαπ οτησυν ηθηδιαδροµ ηπου εχουµεµ αθει ναακολουθο υµεστηφυσικ η συν ηθω ξεκιν ωντα απ ο εναφαιν οµενο πουε ιναιπολ υσ υνθετοπροσπαθο υµεναδιατυπ ωσουµεαρχ ε οσοτοδυνατ ονπιοαπλ ε πουναπεριγρ αφουντηνουσ ιατουφαινοµ ενου.πρ οκειται, οµω,γιαµιαεπαναδιατ υπωσηπουµετηνενσωµ ατωσητων δυν α- µεων αδρ ανεια οδηγε ιστηναρχ ητουχ αµιλτον ηοπο ια, οπω εχουµε δε ιξει,αποτελε ιµιααρχ ηευρ υτερηαπ οτου ν οµου τουνε υτωνα και επιπλ εονµα δ ινειτηδυνατ οτητανασυµπεριλ α ουµεστολαγκρανζιαν ο φορµαλισµ οδεσµευµ ενε κιν ησει σωµατιδ ιων. Ασκηση4.1.Σ υµφωναµετησχ εση(4.4)τοδι ανυσµα F k ε ιναικ αθετοσεκ αθε δ x k. ΑΣΚΗΣΕΙΣ (α) ε ιξτε οτιτοµ ονοδι ανυσµαπουε ιναικ αθετοσε ολαταδιαν υσµαταε ιναιτοµηδενικ ο.σεαυτ ητηνπερ ιπτωσητο δ x k αν ηκειστοντρισδι αστατοδιανυσµατικ οχ ωρο. (β) Αντο δ x k κε ιταισε εναεπ ιπεδο (αν ηκεισε εναδισδι αστατοδιανυσµατικ οχ ωρο),ε ιναι δηλαδ η δ x k = δλ a+δµ b, οπου aκαι bσταθερ αµησυγγραµµικ αδιαν υσµατακαιτα δλ, δµλαµ ανουνπραγµατικ ε τιµ ε,τισυµπερα ινετεγιατηδ υναµη F k ;Εκφρ αστεσεαυτ η τηνπερ ιπτωσητηδ υναµησυναρτ ησειτων aκαι b. (γ)τ ελο,αντο δ x k κε ιταισεµ ιαευθε ια(αν ηκεισε εναµονοδι αστατοχ ωρο),τισυµπερα ινετεγιατηδ υναµη F k ;Ποιαε ιναιη δι αστασητουχ ωρουστονοπο ιοαν ηκειη F k ;(δ)σεκ αθεπερ ιπτωσηποιοε ιναιτο αθροισµατωνδιαστ ασεωντουχ ωρουστονοπο ιοαν ηκειη F k καιτο δ x k ανικανοποιε ιταιη (4.4);Μπορε ιτεναγενικε υσετετοσυµπ ερασµασα οτανηδ υναµηκαιοιµετατοπ ισει αν ηκουνσε εναν n-δι αστατοχ ωρο; 4.3 Ηαρχ ητουχ αµιλτονσεδεσµευµ ενη κ ινηση Σετο υτοτοεδ αφιοθαβασιστο υµεστηναρχ ητουχ αµιλτονγιαναπεριγρ αψουµετηνεξ ελιξηεν ο µηχανικο υσυστ ηµατο οταναυτ ουπ οκειταισεκ αποιου δεσµο υ,εκµεταλλευ οµενοιτηναρχ ητουd Alembert η οπο ιαδενε ιναιτ ιποτε αλλοαπ οµιαιδι ορρυθµηγραφ ητουδε υτερουν ο- µουτουνε υτωνα καιτην ακρω παρανοικ η,σεπρ ωτηαν αγνωση,συνθ ηκηισορροπ ια,τηναρχ ητωνδυνατ ων εργων. 2 2 Ηπορε ιαπουθαπεριγρ αψουµεακολουθε ιαντ ιστροφαταιστορικ αβ ηµατατουlagrangeστηνπροσπ αθει ατουνααπελευθερ ωσειτι εξισ ωσει τουνε υτωνααπ οτι δυν αµει πουαναπτ υσσονταιµεταξ υτωνσυνδ εσµων.μολον οτιταβ ηµατατουlagrange οδηγο υν,απ οφορµαλιστικ η αποψη,στηναρχ ητουχ αµιλτον,απ εχουνπολ υαπ οτο

6 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D ALEMBERT Α θεωρ ησουµε,λοιπ ον, ενασ υστηµα Nσωµατιδ ιωνµεµ αζα m i το καθ ενα,ταοπο ιααλληλεπιδρο υνµεταξ υτου,εν ωπαρ αλληλαασκο υνταισεαυτ ακαιεξωτερικ ε δυν αµει πουπρο ερχονταιαπ οδι αφοραπεδ ια. Προ τοπαρ οντασωµατ ιδιαε ιναιελε υθερανακινο υνταιυπ οτην επ ιδρασητωνδυν αµεωνχωρ ι καµ ιαδ εσµευση. Συµ ολ ιζουµεµε V τη συνολικ ηδυναµικ ηεν εργειατουσυστ ηµατο ετσι ωστεηδ υναµηπουασκε ιταιστο i-οστ οσωµατ ιδιοπουβρ ισκεταιστηθ εση x i ναε ιναι F i i V = V x i. (4.5) ΣτοΚεφ αλαιο2δε ιξαµετηνισοδυναµ ιαµεταξ υτουδε υτερουν οµουτου Νε υτωνακαιτη αρχ η τουχ αµιλτον, οτανγρ αψαµετηµετα ολ ητη δρ αση γιατοσ υστηµατωνσωµατιδ ιωνσεπρ ωτητ αξηω προ τηνπαρ εκκλιση ω δs = t2 t 1 N i=1 ( m i xi + ) i V δ x i (t) dt = 0, (4.6) Ε αντοσωµατ ιδιοδεν ητανεδ ωαλλ α ηταν εκε ι; Οθεσεογραφικ ο χ ωρο µε δ x i (t 1 ) = δ x i (t 2 ) = 0. Οιµετατοπ ισει δ x i ε ιναιοιλεγ οµενε νοητ ε µετατοπ ισει (virtualdisplacements)πουµετρο υντηνπαρ εκκλισητουσυστ ηµατο απ οτηφυσικ ηδιαδροµ ηκαιµολον οτιαπειροστ ε δεν εχουνκα- µ ιασχ εσηµεπραγµατικ ηκ ινησητουσυστ ηµατο.οινοητ ε µετατοπ ισει αφορο υνσεακαρια ιαµετατ οπισητωνσωµατιδ ιωνκαιδεν εχουνκ αποιο χρονικ ο π αχο.πρ οκειταιγιακαθαρ αυποθετικ ε µετατοπ ισει τουφυσικο υσυστ ηµατο στοθεσεογραφικ οχ ωρο(configurationspace).οχ ωρο αυτ ο ε ιναιυπ οµια εννοιαοφυσικ ο χ ωρο µ εσαστονοπο ιοεξελ ισσε- ταιτοσ υστηµατωνσωµατιδ ιων ε ιναιοχ ωρο τωνθ εσεωνπουκαταλαµ- ανειτοσ υστηµακ αθεχρονικ ηστιγµ η.αντοσ υστηµααποτελε ιταιαπ ο εναµ ονοσωµατ ιδιοπουκινε ιταιστοντρισδι αστατοχ ωρο,τ οτεοθεσεογραφικ ο χ ωρο τουσυστ ηµατο ε ιναιοτρισδι αστατο χ ωρο τωντρι ων συντεταγµ ενωνπουχρει αζονταιγιαναπεριγρ αψουντηθ εσητουσωµατιδ ιου. Αν, οµω,τοσ υστηµααποτελε ιταιαπ οπερισσ οτερασωµατ ιδια, τ οτεοθεσεογραφικ ο χ ωρο εχειτ οσε διαστ ασει οσε καιοισυντεταγ- µ ενε πουχρει αζονταιγιαναπεριγραφε ιηθ εση ολωντωνσωµατιδ ιων. Τοπλ ηθο αυτ ωντωνσυντεταγµ ενωνκαλο υνταιβαθµο ιελευθερ ια του συστ ηµατο.ηεξ ελιξητουσυστ ηµατο,δηλαδ ηηφυσικ ηδιαδροµ ητου, µπορε ιναπεριγραφε ιµεµιακαµπ υληστοθεσεογραφικ οχ ωρο,κ αθεση- µε ιοτη οπο ια αντιστοιχε ιστηθ εση ολωντωνσωµατιδ ιωνπουαπαρτ ιζουντοσ υστηµατησυγκεκριµ ενηχρονικ ηστιγµ η.ηκαµπ υληαυτ ηµπορε ιναπαραµετροποιηθε ιε ιτεµ εσωτουχρ ονουε ιτεµ εσωοποιασδ ηποτε τελικ οδηµιο υργηµατουχ αµιλτον,τοοπο ιοκατ εχειεξ εχουσαθ εσηστοχ ωροτωνµεγ αλωνιδε ωντη φυσικ η. Αυτ ο ε ιναικαιολ ογο πουπροτιµ ησαµε,σεαντ ιθεσηµε ταπερισσ οτεραεγχειρ ιδιαπουπραγµατε υονταιτοαντικε ιµενοτη αναλυτικ η µηχανικ η,ναµηνακολουθ ησουµεστηνπαρουσ ιασητηνιστορικ ηδιαδροµ η.θαπρ επει, οµω, νασηµει ωσουµε οτι,εκτ ο απ οτοτεχνικ οενδιαφ ερονπουπαρουσι αζειηιστορικ ηκατασκευ ητωνεξισ ωσεωνeuler -Lagrange,οιιδ εε πουκρ υ ονταιπ ισωαπ οτοντρ οπο κατασκευ η του εµπερι εχουντοσπ οροπολ υπιογ ονιµωνφυσικ ωνιδε ων,πρ αγµατο οπο ιοθαεπιχειρ ησουµενααναδε ιξουµεστοπαρ ονκεφ αλαιο.

7 4.3. Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ ΣΕ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 87 αλλη παραµ ετρου,ηοπο ιαµετα αλλεταιµον οτονακατ αµ ηκο τη κα- µπ υλη, οπω,γιαπαρ αδειγµα,τοµ ηκο τη καµπ υλη.παρ ολοπουσε απλ ε περιπτ ωσει οθεσεογραφικ ο χ ωρο ε ιναιδιαισθητικ απροσιτ ο, σεπιοπολ υπλοκε περιπτ ωσει ε ιναιδ υσκολονατονφανταστο υµε.για παρ αδειγµα,ανθεωρ ησουµε εναφυσικ οσ υστηµαπουαποτελε ιταιαπ ο δ υοσωµατ ιδιαπουβρ ισκονταιστοντρισδι αστατοχ ωρο,απαιτο υνται εξι συντεταγµ ενε γιαναπροσδιοριστε ιηθ εσητουσυστ ηµατο,οι (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2 ) αν οµω τασωµατ ιδιααυτ ασυνδ εονταιµεµιαστερε αα αρ η ρ α δο,οθεσεογραφικ ο χ ωρο γ ινεταιπενταδι αστατο,αφο υγιατον προσδιορισµ οτη θ εση τουσυστ ηµατο απαιτο υνταιοιτρει συντεταγ- µ ενε (x 1, y 1, z 1 )τουεν ο σωµατιδ ιουκαιοιδ υογων ιε θ, φπουπεριγρ αφουντηνκατε υθυνσητη ρ α δου. Αντ ωραεπικαλεστο υµετηναρχ ητουd Alembert,ηποσ οτηταεντ ο τη παρ ενθεση στησχ εση (4.6)ε ιναιτο αθροισµατωνπραγµατικ ωνδυν αµεωνκαιτωνδυν αµεωναδρ ανεια (εκτ ο απ ο ενασυνολικ οαρνητικ ο πρ οσηµο), N t2 δs = t 1 i=1 ( Fi + f ) (A) i δ x i (t) dt = 0. (4.7) Μεβ ασηταεπιχειρ ηµαταπουπαραθ εσαµεστοκεφαλα ιο 1,γιαναικανοποιε ιταιησχ εση (4.7),πρ επεισεκ αθεχρονικ ηστιγµ η tναισχ υει N ( Fi + f ) (A) i δ x i (t) = 0. (4.8) i=1 Απ οτηνπαραπ ανωσχ εσησυν αγεται οτι,ανεκτελ εσουµεκ αποιανοητ η µετατ οπισηµ ονοστο i-οστ οσωµατ ιδιο,ηφυσικ ητροχι ατουσωµατιδ ιου αυτο υπρ επειναικανοποιε ιτησυνθ ηκη ( Fi + f ) (A) i δ x i (t) γιακ αθεαπειροστ ηνοητ ηµετατ οπιση δ x i (t). Οµω,τοµ ονοδι ανυσµα πουε ιναικ αθετοσε ολαταδιαν υσµατατουχ ωρουε ιναιτοµηδενικ οδι ανυσµα. Ετσιηαρχ ητουχ αµιλτον,αναγνο ησουµετοπερ ιεργοφυσικ ο ν οηµατωνδυν αµεωναδρ ανεια,λαµ ανειτηµορφ ητη αρχ η τωνδυνατ ων εργων, οπουη ισορροπ ια τουσυστ ηµατο στηνοπο ιαοδηγε ιο µηδενισµ ο τη µετα ολ η τη δρ αση δενε ιναιτ ιποτε αλλοαπ οτηνεξ ισωσηκ ινηση τουσυστ ηµατο m i xi f (A) i = F i. (4.9) Τισυµ α ινει, οµω,αντασωµατ ιδιαδενε ιναιελε υθερανακινηθο υν υπ οτηνεπ ιδρασητωνδυν αµεωνπουασκο υνταισεαυτ αστοντρισδι αστατοχ ωρο;θαεξετ ασουµεστησυν εχειατηνπερ ιπτωσηκατ ατηνοπο ια ηκ ινησητωνσωµατιδ ιωνδεσµε υεταιµεκ αποιοτρ οπο γιαπαρ αδειγµα, τασωµατ ιδιαµπορε ιναε ιναιαναγκασµ ενανακινο υνταιεπ ανωσεκ αποιαεπιφ ανεια ηοιαποστ ασει µεταξ υτωνσωµατιδ ιωνναπρ επειναικανοποιο υνορισµ ενε συνθ ηκε.τοερ ωτηµαπουτ ιθεταιε ιναιποιε θαε ιναιτ οτεοιδυναµικ ε εξισ ωσει κ ινηση τωνσωµατιδ ιων;α εξετ ασουµε

8 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D ALEMBERT h( x 1,..., x N, t) = 0. (4.10) Οινοητ ε µετατοπ ισει πρ επεινασ ε ονται του επι αλλ οµενου περιορισµο υ κατ αρχ α τηνπερ ιπτωσηµια δ εσµευση πουπεριγρ αφεταιαπ οτηγενικ ηχρονοεξαρτ ωµενησχ εση Στηνπερ ιπτωσηαυτ ηοινοητ ε µετατοπ ισει τουσυστ ηµατο δ x i (t)δεν ε ιναιφυσικ ατυχα ιε,αλλ αε ιναιτ ετοιε ωστετονοητ αµετατοπισµ ενοσ υστηµαναεξακολουθε ιναικανοποιε ικ αθεχρονικ ηστιγµ ητον οµοτουδεσµο υ (4.10).Συνεπ ω,ησυνθ ηκη (4.8)πουπρ επειναικανοποιε ιταιαπ ο τηφυσικ ηκ ινησητουσυστ ηµατο δενσυνεπ αγεταιτην(4.9),αφο υοινοητ ε µετατοπ ισει δ x i (t)πουυπεισ ερχονταιστην(4.8)δενε ιναιαυθα ιρετε. Ανεκτελ εσουµετηναπειροστ ηνοητ ηµετατ οπιση δ x i στοεκ αστοτεσωµατ ιδιο,θαπρ επεικ αθεχρονικ ηστιγµ ηναικανοποιε ιταιοδεσµ ο h( x 1 + δ x 1,..., x N + δ x N, t) = 0, (4.11) δεδοµ ενου οτιοινοητ ε µετατοπ ισει ε ιναιεκκατασκευ η µετατοπ ισει στι θ εσει τωνσωµατιδ ιωνπουαναφ ερονταιστην ιδιαχρονικ ηστιγµ η. Ηεξ ισωσητουδεσµο υ,αναναπτυχθε ικατ αtaylor,δ ινει h( x 1 + δ x 1,..., x N + δ x N, t) = N h( x 1,..., x N, t) + δ x i i h, (4.12) i=1 οπουηβαθµ ιδατη hυπολογ ιζεταιστοσηµε ιο ( x 1,..., x N, t).συνεπ ω, οισυµ ατ ε µετοδεσµ οαπειροστ ε νοητ ε µετατοπ ισει πρ επειναικανοποιο υντησυνθ ηκη N i h δ x i = 0. (4.13) Ετσι, οτανοιµετατοπ ισει υπ οκεινταισεδεσµε υσει,ησυνθ ηκηστασι- µ οτητα τη δρ αση (4.8)πρ επειναικανοποιε ιταιγιαεκε ινε τι µετατοπ ισει πουικανοποιο υντην (4.13).Οισυνθ ηκε (4.8)και (4.13)µπορο υν ναγραφο υνπιοκοµψ αανορ ισουµεταδιαν υσµατασε εναχ ωρο 3Nδιαστ ασεων δ x (δ x 1,..., δ x N ), h ( 1 h,..., ) N h, και i=1 ( N F1 + f (A) 1,..., F N + f ) (A) N Α ορ ισουµεεπ ιση τοεσωτερικ ογιν οµενοσεαυτ οντοχ ωρο ετσι ωστεη (4.8)ναλ α ειτηµορφ η N N i δ x i N δ x = 0, (4.14) καιη(4.13)τηµορφ η i=1 h δ x = 0. (4.15).

9 4.3. Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ ΣΕ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 89 Ανθ ελουµε,λοιπ ον,ναισχ υειη(4.14)γιακ αθενοητ ηµετατ οπισηπουικανοποιε ιτην (4.15),πρ επειτοδι ανυσµα Nναε ιναικ αθετοσε ολε τι µετατοπ ισει,οιοπο ιε ε ιναικ αθετε στοδι ανυσµα h.συνεπ ω,τα Nκαι hπρ επειναε ιναισυνευθειακ α,δηλαδ ηναυπ αρχειαριθµ ο λ(t)τ ετοιο ωστε N = λ(t) h. (4.16) Οαριθµ ο 3 λ(t)πουεκφρ αζειαυτ ητηναναλογ ια εχειγραφε ιω συν αρτησητουχρ ονου,δι οτιενδ εχεταιναµετα αλλεταιµετοχρ ονοδεδοµ ενου οτιοισυνθ ηκε (4.14)και(4.15),ανικανοποιο υνταιταυτ οχρονασεκ αθε χρονικ ηστιγµ η,εξασφαλ ιζουναπλ ω τηνπαραλληλ ιατωνενλ ογωδια- νυσµ ατων.λαµ ανοντα τι συνιστ ωσε τη (4.16),καταλ ηγουµεστοσυ- µπ ερασµα οτικ αθεσωµατ ιδιοπρ επεινακινε ιταισ υµφωναµετοδυναµικ ο ν οµο m i xi = F i + λ(t) i h. (4.17) Ετσι,ε ανηκ ινησητωνσωµατιδ ιωνµπορε ιναπροκ υψειαπ οτηναρχ η Ον οµο τουνε υτωνα τουχ αµιλτονκαιεπιπλ εονυπ οκειταιστοδεσµ ο h = 0,τ οτετοκ αθεσω- οταντασωµατ ιδια µατ ιδιοθακινηθε ισ υµφωναµετοδυναµικ ον οµο (4.17)στονοπο ιο,π ε- δεσµε υονται ραντωνγνωστ ωνδυν αµεωνπουπρο ερχονταιαπ οδυναµικ ο,εµφαν ιζο- νταικαιδυν αµει N i πουπρ ερχονταιαπ οτοδεσµ ο. Αυτ ε οιδυν αµει ε ιναιοιδυν αµει τωναντιδρ ασεωνπουεµφαν ιζονται ετσι ωστεναικανοποιε ιταιηδ εσµευσηκαιε ιναικ αθετε στηνεπιφ ανειατουδεσµο υ (βλ. σχ εσει (4.15)και(4.16)).Ηκατε υθυνσητωνδυν αµεωντωναντιδρ ασεων, N i,πουπρο λ επεταιαπ οτηναρχ ητουχ αµιλτονε ιναιτ ετοια ωστετοσυνολικ οδυνατ ο εργοτωνδυν αµεωναυτ ωνναε ιναιµηδενικ ο i N i δx i = 0.Καταλ ηγουµε ετσισεµιαπιοενδιαφ ερουσαδιατ υπωσητη αρχ η των δυνατ ων εργων.σ υµφωναµεαυτ ητοδιαφορικ ο εργοπουεκτελε ιταιαπ ο τι πραγµατικ ε καιτι αδρανειακ ε δυν αµει πουασκο υνταισε ενασ υστηµασωµατιδ ιων, οταντοσ υστηµαµετατοπ ιζεταινοητ αικανοποι ωντα παρ αλληλακαιτι επι αλλ οµενε δεσµε υσει,ε ιναιµηδενικ ο. Εγε ιρεταιωστ οσοτοερ ωτηµακατ απ οσονοιαντιδρ ασει πουεµφαν ιζονταιστηφ υσηπαρ αγουνπρ αγµατιµηδενικ οδυνατ ο εργο.αυτ οπαρατηρε ιται οτανηεπαφ ηµεταξ υτωνµηχανικ ωνσυστηµ ατωνδενπαρουσι- αζειτρι ηκαιπρο ποθ ετει οτιοιεπιφ ανειε επαφ η τωνµηχανικ ωνσυστηµ ατωνε ιναιλε ιε (frictionlessconstraints). Στι περιπτ ωσει αυτ ε η αρχ ητουχ αµιλτονπαρ αγειτι εξισ ωσει κ ινηση.πρ οκειταιγιατι περιπτ ωσει κατ ατι οπο ιε, οπω δε ιξαµεστοπροηγο υµενοκεφ αλαιο,οιδυν αµει τωναντιδρ ασεωνε ιναιαποτ ελεσµακ αποιουσκληρο υδυναµικο υ, πουγιαλογικ αεπ ιπεδαενεργει ωντουσυστ ηµατο (θυµηθε ιτετι αρχικ ε συνθ ηκε πουθεωρ ησαµεγιατοσωµατ ιδιοπουυποχρεο υταινακινε ιται στοδ απεδο)επι αλλειτι δεσµε υσει. Ε ανηκ ινησητουσωµατιδ ιουπ εραντη (4.10)δεσµε υεταιναικανοποιε ικαικ αποια αλληεξ ισωσηδεσµο υ,την g( x 1,..., x N, t) = 0. (4.18) 3 Τοπρ οσηµοστηπαραπ ανωσχ εση εχειεπιλεγε ι ετσι ωστεηλ(t) hνααποκτ ησει φυσικ ον οηµα. Οπω θαδο υµεπαρακ ατωαυτ ηε ιναιηδ υναµητουσυνδ εσµου.

10 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D ALEMBERT τ οτε,ανχρησιµοποι ησουµετοσυµ ολισµ ο ( g 1 g,..., ) N g, οινοητ ε µετατοπ ισει πρ επειεκτ ο τη (4.15)ναικανοποιο υνκαιτην g δ x = 0, (4.19) οπουπροφαν ω ηπαραγ ωγισηλαµ ανεταικαιπ αλιστοσηµε ιο ( x 1,..., x N, t).σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηγιαναισχ υειη(4.14)γιακ αθενοητ ηµετατ οπισηπουικανοποιε ιταυτ οχρονακαιτην (4.15)καιτην (4.19),θαπρ επειτοδι ανυσµα Nναε ιναικ αθετοσε ολε τι µετατοπ ισει,οιοπο ιε µε τησειρ ατου ε ιναικ αθετε σταδιαν υσµατα hκαι g.αυτ οσυµ α ινει οτανη Nαν ηκειστογραµµικ οχ ωροπουσχηµατ ιζουντα hκαι g µε αλλαλ ογιαπρ επειναυπ αρχουν λ(t)και µ(t)τ ετοια ωστε N = λ(t) h µ(t) g. (4.20) m i xi = F i + λ(t) i h + µ(t) i g. (4.21) Αναλ υοντα τοαριστερ οσκ ελο τη (4.20),συν αγουµε οτικ αθεσωµατ ιδιοπρ επειναικανοποιε ιτοδυναµικ ον οµο Οµο ιω συµπερα ινουµε οτι,αντασωµατ ιδιαυποχρε ωνονταιναικανοποιο υντι Mδεσµε υσει h k = 0,για k = 1,..., M,τ οτεοιεξισ ωσει κ ινηση θαλαµ ανουντηµορφ η m i xi = F i + M λ k (t) i h k. (4.22) k=1 Ηαντ ιδρασηεξαιτ ια τουδεσµο υ Αυτ οσηµα ινει οτιστηνπερ ιπτωσηδι αφορωνδεσµε υσεωντουσυστ ηµατο εκτ ο απ οτηδ υναµηπουπρο ερχεταιαπ οτοδυναµικ ο Vσεκ αθεσω- µατ ιδιοασκο υνταικαιοιδυν αµει τωναντιδρ ασεων R i = M λ k (t) i h k. k=1 Οδυναµικ ο ν οµο (4.22),µολον οτιπρο λ επειτην υπαρξην εωνδυν α- µεωνπουεπι αλλουντι δεσµε υσει,προσδιορ ιζειµ ονοτηνκατε υθυνση τωναντιδρ ασεωνκαι οχιτοµ εγεθ ο του.οπροσδιορισµ ο τουµεγ εθου τωναντιδρ ασεωναπαιτε ιτηνεπ ιλυσητωνδυναµικ ωνεξισ ωσεωνκαιπαρ αλληλατηνε υρεσητωντροχι ων x i (t, λ 1,...,λ M )σεπαραµετρικ ηµορφ η ω προ ταδι αφορα λ k (t). Οι Mπαρ αµετροι λ k (t)προδιορ ιζονταιστη συν εχειααπ οτηναπα ιτησηοιθ εσει τωνσωµατιδ ιωνναικανοποιο υνκ αθεστιγµ ητι Mδεσµε υσει h k ( x 1 (t, λ 1,..., λ M ),..., x N (t, λ 1,...,λ M )) = 0. Οιπολλαπλασιαστ ε λ k (t)ονοµ αζονταιπολλαπλασιαστ ε Lagrange.

11 4.4. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Παρ αδειγµαπροσδιορισµο υτη δεσµευµ ενη κ ινηση σωµατιδ ιου Γιανακατανο ησουµεκαλ υτερατηδιαδικασ ιαπροσδιορισµο υτη κ ινηση καιτωνδυν αµεωναντ ιδραση απ οτου δεσµο υ,α θεωρ ησουµε ενασωµατ ιδιοπουκινε ιταιστοοµογεν ε πεδ ιοβαρ υτητα,αλλ απαρ αλληλαε ιναιυποχρεωµ ενοναβρ ισκεταισυνεχ ω στοκινο υµενοκεκλιµ ενο επ ιπεδο (βλ. Σχ ηµα 4.3) αx + βy + γz = 1 + t, (4.23) Ολ ισθησησεκινο υµενο κεκλιµ ενοεπ ιπεδο Θεωρο υµε οτιο αξονα z εχεικατακ ορυφηδιε υθυνση. Θαπροσδιορ ισουµετηνκ ινησητουσωµατιδ ιουκαιτι αντιδρ ασει πουασκο υνταιστο σωµατ ιδιοαπ οτοεπ ιπεδο. Οδεσµ ο τη κ ινηση τουσωµατιδ ιουδ ινεταιαπ οτησυν αρτηση h( x, t) = αx + βy + γz 1 t = 0, (4.24) οπ οτετο h εχεισυνιστ ωσε h = (α, β, γ).ταυτ οχροναηλαγκρανζιαν ητουσωµατιδ ιουε ιναι L = m 2 x 2 mgz, εν ωοιεξισ ωσει κ ινηση τουδεσµευµ ενουσωµατιδ ιουσ υµφωναµετην (4.22)ε ιναι mẍ = λ(t)α, mÿ = λ(t)β, m z = λ(t)γ mg. (4.25) Απ οτι παραπ ανωσχ εσει προκ υπτει οτιηαντ ιδρασηπουασκε ιταιστο σωµατ ιδιοαπ οτοκεκλιµ ενοεπ ιπεδοε ιναι R = λ(t) h = λ(t)(α, β, γ). Παρατηρο υµε οτιηαντ ιδρασηε ιναικ αθετηστοεπ ιπεδο αx + βy + γz = 1 + t. Oπολλαπλασιαστ η λ(t)θαπροσδιοριστε ιαπ οτηναπα ιτησηναικανοποιε ιταισεκ αθεχρονικ ηστιγµ ηηεξ ισωσητουσυνδ εσµου(4.24).εναλλακτικ α,θαµπορο υσαµεναπροσδιορ ισουµετο λ(t)επιλ υοντα τι εξισ ωσει κ ινηση παραµετρικ αω προ λ(t)καιστησυν εχειααπαιτ ωντα το λ(t)ναε ιναιτ ετοιο ωστεηκ ινησητουσωµατιδ ιουναικανοποιε ισε κ αθεχρονικ ηστιγµ ητην (4.24). Οµω,αυτ ο οτρ οπο προσδιορισµο υ του λ(t)ε ιναιεπ ιπονο οπ οτεειδικ αγιατηνενλ ογωκ ινησητουεπιπ εδου θαεργαστο υµεω εξ η :επειδ ησεκ αθεχρονικ ηστιγµ ηισχ υει h = 0,θα ισχ υειεπ ιση οτι dh/dt = 0,αλλ ακαι d 2 h/dt 2 = 0. Ετσι,οιεπιταχ υνσει θαικανοποιο υνπ αντοτετησχ εση αẍ + βÿ + γ z = 0.

12 92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D ALEMBERT Σχ ηµα 4.3: Ενασωµατ ιδιοολισθα ινειεπ ανωστοκινο υµενοεπ ιπεδο αx + βy + γz = 1 + t.π ω θακινηθε ιτοσωµατ ιδιοκαιποιαθαε ιναιηαντ ιδρασηπουθαασκηθε ιστο σωµατ ιδιοαπ οτοεπ ιπεδο; Αντικαθιστ ωντα τι επιταχ υνσει µ εσωτωνεξισ ωσεωνκ ινηση (4.25),βρ ισκουµε οτιοπολλαπλασιαστ η Lagrange λ(t)ε ιναι λ(t) = mgγ α 2 + β 2 + γ 2. Σεαυτ ητηνπερ ιπτωση,επειδ ηηκ ινησητουεπιπ εδουε ιναιοµαλ η,οπολλαπλασιαστ η Lagrangeε ιναιχρονοανεξ αρτητο καιηαντ ιδρασητουεπιπ εδουστοσωµατ ιδιοε ιναι R = λ h = mgγ (α, β, γ). α 2 + β 2 + γ2 Παρατηρο υµε οτιηαντ ιδρασηε ιναιαυτ ηπουθαε ιχαµεαντοεπ ιπεδο τουπρο λ ηµατ ο µα ηταν ενασταθερ οκεκλιµ ενοεπ ιπεδο. (Μπορε ιτε ναδ ωσετεµιαεξ ηγησηγι αυτ ο;σκεφτε ιτεαντοσ υστηµατουκεκλιµ ενου επιπ εδουε ιναιαδρανειακ ο.) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση4.2. Χρησιµοποι ωντα στοιχει ωδει γν ωσει νευτ ωνεια µηχανικ ηεπι ε- αι ωστετααποτελ εσµατατουπαραδε ιγµατο γιατηνολ ισθησηεν ο σωµατιδ ιουστο κεκλιµ ενοεπιπ εδο αx + γz = 1µ εσαστοοµογεν ε πεδ ιοβαρ υτητα. Οπω διαπιστ ωνουµε,ηαπα ιτησηναπροκ υπτειηκ ινησητουσωµατιδ ιουαπ οτηνεφαρµογ ητη αρχ η τουχ αµιλτονοδ ηγησε οχιµ ονοσε

13 4.5. ΙΕΥΡΥΜΕΝΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ 93 µιαν εαδ υναµη,τηναντ ιδρασητουσυνδ εσµου,αλλ ακαισεσυγκεκριµ ενη µορφ ηγι αυτ ητηδ υναµη R = λ(t) h. (4.26) Με αλλαλ ογιαπροκ υπτει οτιηαντ ιδρασηε ιναικ αθετηστησυνθ ηκηδ εσµευση h = 0.Θυµηθε ιτε οτιαυτ οπρο εκυψεαπ οτηναπα ιτησηοινοητ ε µετατοπ ισει ναικανοποιο υντηνεξ ισωσητουδεσµο υ (4.23). 4.5 ιευρυµ ενηδιατ υπωσητη αρχ η του Χ αµιλτον Στοπροηγο υµενοεδ αφιοχειριστ ηκαµετου δεσµο υ τουφυσικο υσυ- στ ηµατο ω δεσµε υσει στι επιτρεπτ ε νοητ ε µετατοπ ισει κατ ατηνεπι- ολ ητη αρχ η τουχ αµιλτονστοελε υθεροαπ οδεσµο υ φυσικ οσ υστηµα. Στοπαρ ονεδ αφιοθαπροσπαθ ησουµεναενσωµατ ωσουµεστηναρχ ητου Χ αµιλτοντου δεσµο υ κατασκευ αζοντα µιαν εαλαγκρανζιαν ητουσυστ ηµατο.ανκαιητεχνικ ηαυτ ηµοι αζειπερισσ οτεροµεµαθηµατικ οτ εχνασµα,ε ιναιστηνουσ ιαπαρ οµοιαµετηφυσικ ηµ εθοδοπουακολουθ ησαµεστοπροηγο υµενοκεφ αλαιο οτανκατασκευ ασαµεν εαυποθετικ αδυναµικ α,ταοπο ιαεπ ε αλανµετεχνητ οτρ οποτου δεσµο υ. (Θυµηθε ιτε τασκληρ αελατ ηριαπουαν αγκαζαντοσ ωµανακινε ιταιεπ ιτουεπιπ εδου z = 0στοΕδ αφιο3.5!) Α εξετ ασουµε αλληµιαφορ ατοπρ ο ληµαπροσδιορισµο υτη κ ινηση Nσωµατιδ ιωνυπ οτηνεπ ιδρασηδυν αµεων,πουπρο ερχονταιαπ οτο δυναµικ ο V,ταοπο ιαδεσµε υονταιναικανοποιο υντι Mσχ εσει h i ( x 1,..., x n, t) = 0,για i = 1,...,M. (4.27) Προ το υτοθαχρησιµοποι ησουµετηλαγκρανζιαν η L = N i=1 1 2 m i x i 2 V ( x 1,..., x N ) + M λ j (t)h j, (4.28) j=1 Προσθ ετοντα στη Λαγκρανζιαν ητου δεσµο υ αν ωδυνα αλλ α εξυπνα ηοπο ιααριθµητικ αδενδιαφ ερειαπ οτηλαγκρανζιαν ητουαδ εσµευτου συστ ηµατο,αφο υ εχουµεπροσθ εσεισεαυτ ην Mµηδενικ α (βλ.σχ εση (4.27)).Ξεχν αµετ ωρα οτιπρ επειναικανοποιο υνταιοιδεσµο ι (4.27)και θεωρο υµετοφυσικ οσ υστηµαπουδι επεταιαπ οτηλαγκρανζιαν ητη εκφραση (4.28),ηοπο ιαε ιναισυν αρτησητωνθ εσεων x i,τωνταχυτ ητων x i καιτωνν εωνµετα λητ ων λ j.προτε ινουµεω ν εααρχ ητουχ αµιλτοντην ακ ολουθη:ηφυσικ ηκ ινησηε ιναιαυτ ηπουκαθιστ ατηδρ ασηπουπαρ αγεταιαπ οτηλαγκρανζιαν η (4.28))στ ασιµηω προ ανεξ αρτητε µετα- ολ ε τωνθ εσεωντωνσωµατιδ ιων x i κατ α δ x i καιτωνµετα λητ ων λ j (t) κατ α δλ j (t),µεµ ονηαπα ιτησηοιµετα ολ ε τωνθ εσεων δ x i ναε ιναιµηδενικ ε στηναρχικ ηκαιτηντελικ ηχρονικ ηστιγµ η.θαδε ιξουµε οτιαυτ η ην εααρχ ητουχ αµιλτονπαρ αγειτι εξισ ωσει κ ινηση τωνδεσµευµ ενων σωµατιδ ιων.

14 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D ALEMBERT Πρ αγµατι,ηπρ ωτη τ αξη µετα ολ ητη δρ αση δsπρ επειναµηδεν ιζεταιγιαµετα ολ ε των λ j (t)κατ α δλ j (t)οπ οτεηφυσικ ηκ ινησηπρ επει ναικανοποιε ιτησχ εση Οιεξισ ωσει Euler- Lagrange ω προ τα λπαρ αγουντου δεσµο υ... t2 t 1 M δλ j (t)h j dt = 0, j=1 γιακ αθε δλ j (t).οµ ονο τρ οπο γιαναικανοποιε ιταιηπαραπ ανωσχ εση γιακ αθε δλ j (t)ε ιναιναικανοποιο υνται ολε οιεξισ ωσει τωνδεσµ ων h j ( x 1,..., x N, t) = 0,για j = 1,..., M....καιω προ τι συντεταγµ ενε δ ινουν τι εξισ ωσει κ ινηση µαζ ιµετι αντιδρ ασει = i=1 t 1 t2 N i=1 t 1 ( m i xi i V + j=1 ) M λ j (t) i h j δ x i (t)dt. j=1 Ητελευτα ιασχ εση,ω συν ηθω,προκ υπτεικατ οπινολοκλ ηρωση κατ α µ ερηκαιεφαρµογ η τη συνθ ηκη δ x i (t 1 ) = δ x i (t 2 ) = 0.Ηικανοπο ιηση τη παραπ ανωσχ εση γιααυθα ιρετε νοητ ε µετατοπ ισει, δ x i,οδηγε ισε φυσικ ηκ ινηση,ηοπο ιαικανοποιε ιτι εξισ ωσει m i xi = i V + M λ j (t) i h j, Με αλλαλ ογιαηστασιµ οτητατη δρ αση ω προ τι µετα ολ ε των λ j (t) επι αλλειτηνικανοπο ιησητωνδεσµε υσεωνκατ ατηνκ ινηση. Α δο υµετ ωρατισυµ α ινειµετι µετα ολ ε τωνθ εσεωντωνσωµατιδ ιων.ηστασιµ οτητατη δρ αση ω προ αυτ ε τι µετα ολ ε οδηγε ιστι ακ ολουθε σχ εσει : N ( ) t2 0 = m i xi δ x i (t) M i V δ x i (t) + λ j (t) i h j δ x i (t) dt πουδενε ιναι αλλε απ οτι εξισ ωσει (4.22)πουπρο εκυψαναπ οτηνκλασικ ηλαγκρανζιαν ηµεδεσµευµ ενε νοητ ε µετατοπ ισει. Το αθροισµα πουεµφαν ιζεταιστοδεξι οσκ ελο ε ιναιτοσ υνολοτωναντιδρ ασεωνεξαιτ ια ολωντωνεπ ιµ ερου δεσµ ων. Μετηνεισαγωγ ητωνπολλαπλασιαστ ωνlagrangeστηλαγκρανζιαν η ηδιευρυµ ενηαρχ ητουχ αµιλτονοδηγε ισυγχρ ονω στηνε υρεσητωνεξισ ωσεωνκ ινηση καιτωνδεσµε υσεωνπουπρ επειναικανοποιε ιηκ ινηση. Ητεχνικ ηαυτ ηεισ ηχθηαπ οτονlagrangeκαιηεφαρµογ ητη στηνε υρεση τωνστ ασιµωντιµ ωντωνσυναρτ ησεωνκαιτωνσυναρτησοειδ ωνπαρουσι- αζεταιστομαθηµατικ οπαρ αρτηµα.αξ ιζεινασηµει ωσουµε οτιητεχνικ η αυτ ηδεναποτελε ιαπλ α ενακοµψ οτ εχνασµααλλ α εχειβαθει αφυσικ ηση- µασ ια, οπω συµ α ινεισυν ηθω µε ολε τι µητετριµµ ενε µαθηµατικ ε θεωρ ησει.ητεχνικ ηαυτ ηβρ ισκειεφαρµογ ηστι δι αφορε θεωρ ιε πεδ ιουστι οπο ιε οιπολλαπλασιαστ ε Lagrange, λ,αποκτο υνφυσικ ηοντ οτηταω ν εαπεδ ιαπουαπαιτο υνταιγιατηνικανοπο ιησητωνσυµµετρι ων j=1

15 4.6. ΟΛΟΝΟΜΟΙ ΚΑΙ ΜΗ ΟΛΟΝΟΜΟΙ ΕΣΜΟΙ 95 Ασκηση4.3.Θεωρ ηστε εναµαθηµατικ οεκκρεµ ε στοχ ωρο.ηθ εσητη µ αζα του ΑΣΚΗΣΕΙΣ εκκρεµο υ δεσµε υεταιαπ οτησυνθ ηκη x2 + y 2 + z 2 = a. τη φ υση η αλλωνεπι ε ληµ ενωνσυνθηκ ων.μεαυτ ητηµ εθοδοµπορο υνναεισαχθο υνοιπηγ ε (ταρε υµατα)σε εναελε υθεροηλεκτροµαγνητικ οπεδ ιο,εν ωστηνυδροδυναµικ ητωνιδανικ ωνρευστ ωντοπεδ ιοτη π ιεση τουρευστο υε ιναιοπολλαπλασιαστ η Lagrangeπουπρ επειναεισαχθε ιο υτω ωστεναικανοποιε ιταιαν απ ασαστιγµ ηησυν εχειατουρευστο υ. Ηκ ινησητουεκκρεµο υ προσδιορ ιζεταιαπ οδ υοβαθµο υ ελευθερ ια στορ ολοτωνοπο ιωνµπορο υµεναεπιλ εξουµετηγων ια θπουσχηµατ ιζειτον ηµατουεκκρεµο υ µετην κατακ ορυφοηµιευθε ιαπουδι ερχεταιαπ οτοσηµε ιοαν αρτηση τουεκκρεµο υ καιτην αζιµουθιακ ηγων ια φ.επιλ εγοντα ω τρ ιτησυντεταγµ ενητηναπ οστασητη µ αζα απ ο τοσηµε ιοαν αρτηση r = x 2 + y 2 + z 2 συν αγουµε οτιηδ εσµευσηστηνκ ινησηε ιναι r a = 0,εν ωηκ ινησηδι επεταιαπ οτηλαγκρανζιαν η L = m ( ṙ r2 θ2 + r 2 sin 2 θ φ 2) + mgr cosθ + λ(r a). Προσδιορ ιστετηδ υναµηπουασκε ιταιστηµ αζατουεκκρεµο υ απ οτον ηµακαθ ω και τι εξισ ωσει κ ινηση τουεκκρεµο υ. 4.6 Ολ ονοµοικαιµηολ ονοµοιδεσµο ι ε ιξαµε οτι,ε ανηκ ινησητωνσωµατιδ ιωνπεριορ ιζεταιαπ οκ αποια συναρτησιακ ησχ εσηµεταξ υτωνσυντεταγµ ενωνπουορ ιζουντηθ εσητων σωµατιδ ιωνστοχ ωρο,τ οτεηφυσικ ηκ ινησ ητου µπορε ιναπροσδιοριστε ιε ιτεαπ οτηλαγκρανζιαν η L = T V, οπουηκινητικ ηκαιηδυναµικ ηεν εργειαεκφρ αζονταιω συν αρτησητωνελε υθερωνσυντεταγµ ενωντουσυστ ηµατο στι οπο ιε οµω εχουνληφθε ιυπ οψηοιπεριορισµο ι,ε ιτεαπ οτην ιδιαλαγκρανζιαν ηπροσαυξηµ ενηκατ ατι συναρτ ησει τωνδεσµ ωνµ εσωκ αποιωνπολλαπλασιαστ ωνlagrange. εσµο ιτη µορφ η h(q i, t) = 0, οπου hκ αποιασυν αρτησητωνσυντεταγµ ενων q i και ισω καιτουχρ ονου,καλο υνταιολ ονοµοιδεσµο ι. Τοπλ ηθο τωνανε- Ολ ονοµοιδεσµο ι: οταν ξ αρτητωνσυντεταγµ ενωνπουαπαιτο υνταιγιαναπροσδιοριστε ιηθ εση τουσυστ ηµατο,αφο υ εχουνληφθε ιυπ οψηοιπεριορισµο ιτη κ ινηση, ε ιναιοιπραγµατικο ιβαθµο ιελευθερ ια τουφυσικο υσυστ ηµατο. Ετσι εναελε υθεροσωµατ ιδιοστοχ ωρο εχειτρει βαθµο υ ελευθερ ια οταν, οµω,τοσωµατ ιδιουπ οκειταιστοδεσµ ο r = a + ct (θεωρο υµεσφαιρικ ε συντεταγµ ενε )µε a, cσταθερ ε, οτανδηλαδ ηαυτ ουποχρε ωνεταινα κινηθε ισεµιασφα ιραµετα αλλ οµενη ακτ ινα,τ οτετοσωµατ ιδιοαυτ ο εχειδ υοβαθµο υ ελευθερ ια,τηνπολικ ηκαιτηναζιµουθιακ ηγων ιαπου οισυντεταγµ ενε του συστ ηµατο συνδ εονται µεταξ υτου µ εσω µια συναρτησιακ η σχ εση

16 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D ALEMBERT Σχ ηµα4.4:toεπ ιπεδοτουνοµ ισµατο ε ιναικ αθετοστοεπ ιπεδο x y.τον οµισµακυλ ιεταιχωρ ι ναολισθα ινειεπ ανωστοεπ ιπεδο x y,κινο υµενοστιγµια ιακατ ατηδιε υθυνση τη ευθε ια,ηοπο ιασχηµατ ιζειγων ια ψµετον αξονα x.κ αθεσηµε ιοστηνπεριφ ερεια τουνοµ ισµατο προσδιορ ιζεταιαπ οτηγων ια θκατ ατηνοπο ια εχειπεριστραφε ιγ υρω απ οτον αξον ατουσυνολικ ατον οµισµα. Τοκυλι οµενον οµισµα χαρακτηριστικ ο παρ αδειγµαµη ολ ονοµουδεσµο υ προσδιορ ιζουνσεκ αθεχρονικ ηστιγµ ητηθ εσητουεπ ανωστησυγκεκρι- µ ενησφαιρικ ηεπιφ ανεια. Ωστ οσοδενε ιναιδυνατ ον ολοιοιδεσµο ινα λ α ουντ ετοιαµορφ η.υπ αρχουνδεσµο ι,οιοπο ιοιδενµπορο υνναγραφο υνστηµορφ η h(q i, t) = 0, οπω γιαπαρ αδειγµαεκε ινοιπουεπι αλλουνσε ενασωµατ ιδιονακινε ιταιστηνπεριοχ η z 0. Τ ετοιουε ιδου δεσµο ικαλο υνταιµηολ ονοµοιδεσµο ι. Ενα αλλοπαρ αδειγµαµηολ ονοµουδεσµο υ εχουµε οτανοιταχ υτητε υπ οκεινταισετ ετοιαδ εσµευση, ωστεναµηνµπορο υνναολοκληρωθο υνοισχ εσει δ εσµευση τωνσυντεταγµ ενωνγιανακαταλ ηξουνσεµιαολοκληρωτικ ησχ εσηµεταξ υτωνσυντεταγµ ενων. Τοπιοκοιν οπαρ αδειγµαµηολ ονοµουδεσµο υε ιναιηπερ ιπτωσηεν ο νοµ ισµατο πουκυλ ιεταιεπ ανωσεεπ ιπεδοδ απεδο (βλ.σχ ηµα 4.4). Α θεωρ ησουµε οτι εναν οµισµαακτ ινα aπαραµ ενεικατακ ορυφο, 4 εν ωκυλ ιεταιεπ ανωστηνεπιφ ανειατουδαπ εδουχωρ ι ναολισθα ινει. Ηθ εση τουνοµ ισµατο προσδιορ ιζεταιγενικ ααπ οτοσηµε ιοεπαφ η τουνοµ ισµατο µετοδ απεδο (x, y),τηγων ια ψπουσχηµατ ιζειτοκατακ ορυφο επ ιπεδοτουνοµ ισµατο µετον αξονα xκαιτηγων ιακ υλιση θγ υρωαπ ο τον αξονατουνοµ ισµατο. Απ οτι τ εσσερι συντεταγµ ενε (x, y, ψ, θ) πουαπαιτο υνταιγιατονπροσδιορισµ οτη θ εση τουνοµ ισµατο µ ονο δ υοε ιναιπραγµατικ αανεξ αρτητε.ησυνθ ηκηκ υλιση τουνοµ ισµατο συνεπ αγεταιτι δ υοακ ολουθε σχ εσει : dx = a cosψ dθ, dy = a sin ψ dθ. (4.29) Ε ιναιδυνατ ονναολοκληρ ωσουµεαυτ ε τι σχ εσει ωστεναεκφρ ασουµε δ υοοποιεσδ ηποτεσυντεταγµ ενε συναρτ ησειτων αλλων;θααποδε ιξου- µεστησυν εχεια οτικ ατιτ ετοιοδενε ιναιδυνατ ονναισχ υει. Εστω οτι υπ αρχουνσυναρτ ησει ψ = g(x, y)και θ = h(x, y). 4 Ηπαραδοχ η οτιτον οµισµαπαραµ ενεικατακ ορυφοε ιναιπρο ληµατικ η,δι οτι,ε αν τον οµισµαεκτελε ικαµπ υλητροχι α,τ οτεγιαναισορροπε ιπρ επειτοεπ ιπεδ οτουναµην ε ιναικατακ ορυφο κ ατιαν αλογοσυµ α ινειµετοµοτοσυκλετιστ η οτανστρ ι ει.τοσυ- µπ ερασµαβ ε αια, οσοναφορ αστοχαρακτ ηρατουδεσµο υ,δεναλλ αζει.

17 4.6. ΟΛΟΝΟΜΟΙ ΚΑΙ ΜΗ ΟΛΟΝΟΜΟΙ ΕΣΜΟΙ 97 Ε ιναιαδ υνατον, οµω,ναυπ αρξειτ ετοιασυν αρτηση g(x, y). Γιακ αθε σηµε ιοεπαφ η τουνοµ ισµατο µετοδ απεδοµπορο υµεναστρ εψουµετο επ ιπεδοτουνοµ ισµατο σεοποιαδ ηποτεγων ια ψ ω εκτο υτουηγων ια ψ δενµπορε ιναε ιναισυν αρτησητων x, y.ο υτε οµω καιτ ετοιασυν αρτηση h(x, y)µπορε ιναυπ αρχει.γιανατοαποδε ιξουµεαυτ ο,α θεωρ ησουµε τηνκ ινησητουνοµ ισµατο κατ αµ ηκο τη ευθ υγραµµη τροχι α ψ = ψ 0 µεαρχικ ηγων ιακ υλιση θ = 0.Τον οµισµακυλ ιεταικατ αγων ια θ 0,στα- µατ α,στρ εφεταιγ υρωαπ οτηνκατακ ορυφηδι αµετρ οτουκατ α πκαιεπαν ερχεταικυλι οµενοστηναρχικ ητουθ εση,στοσηµε ιοεκκ ινησ η του.σε αυτ οτοσηµε ιοτον οµισµαθα εχειπεριστραφε ικατ αγων ια 2θ 0 και ετσι στο ιδιοσηµε ιοθααντιστοιχο υνδ υογων ιε θ,η0καιη 2θ 0.Συνεπ ω, δενε ιναιδυνατ ονηθναε ιναισυν αρτησητων x, y. Εν ωγιαολ ονοµου δεσµο υ ηφυσικ ηκ ινησηκαιοιαντιδρ ασει µπορο υνναπροκ υψουν, οπω ε ιδαµε,απ οτηδιευρυµ ενηαρχ ητουχ αµιλτονµετηνεπαυξηµ ενηλαγκρανζιαν η(4.28)στηνοπο ιαεµφαν ιζονταιοι δεσµο ισεολοκληρωµ ενηµορφ η,ηδιευρυµ ενηαυτ ηαρχ ηδενµπορε ι,εν γ ενει,ναεφαρµοστε ι οτανοιδεσµο ιδενε ιναιολ ονοµοι.στηνπερ ιπτωση, β ε αια,πουτοφυσικ οσ υστηµαπεριορ ιζεταιαπ οµηολ ονοµου δεσµο υ πουδ ινονταισεδιαφορικ ηµορφ η, οπω αυτο ιγιατηνκυλι οµενηκ ινηση ανευολ ισθηση (4.29),ηδιαδικασ ιαπουακολουθ ησαµεστοεδ αφιο4.3ε ιναιδυνατ ονναοδηγ ησεισεπροσδιορισµ οκαιτη κ ινηση καιτωναντιδρ ασεων. Α εφαρµ οσουµεαυτ ητηµ εθοδογιαναπροσδιορ ισουµετην κ ινησητουκυλι οµενουνοµ ισµατο. Ηλαγκρανζιαν ησυν αρτησητουνοµ ισµατο ε ιναι L = 1 2 I 0 θ I 1 ψ m ( ẋ 2 + ẏ 2), (4.30) οπου I 0 ε ιναιηροπ ηαδρ ανεια τουνοµ ισµατο γ υρωαπ οτον αξονασυµ- µετρ ια κ αθεταστοεπ ιπεδοτουνοµ ισµατο, I 1 ηροπ ηαδρ ανεια αυτο υ γιαπεριστροφ ε γ υρωαπ οµιαδι αµετρ οτου, mηµ αζατουνοµ ισµατο και (x, y)οισυντεταγµ ενε τουκ εντρουτουνοµ ισµατο.οιγων ιε θκαι ψε ιναιαυτ ε πουπαρουσι αζονταιστοσχ ηµα 4.4.Η εκφρασητη παραπ ανωλαγκρανζιαν η ε ιναιη εκφρασητη συνολικ η κινητικ η εν εργεια τουνοµ ισµατο πουε ιναιτο αθροισµατη µεταφορικ η κινητικ η εν εργεια τουκ εντρουµ αζα καιτη περιστροφικ η κινητικ η εν εργεια του νοµ ισµατο. Ησυνθ ηκηστασιµ οτητα τη δρ αση πουπροκ υπτειαπ οτηλαγκρανζιαν η(4.30)γιανοητ ε µετατοπ ισει δx, δy, δθκαι δψε ιναι I 0 θ δθ + I1 ψ δψ + mẍ δx + mÿ δy = 0, (4.31) καισ υµφωναµεαυτ ητοδι ανυσµατωννοητ ωνµετατοπ ισεων (δθ, δψ, δx, δy)ε ιναικ αθετοστοδι ανυσµα (I 0 θ, I1 ψ, mẍ, mÿ),δηλαδ η (I 0 θ, I1 ψ, mẍ, mÿ) (δθ, δψ, δx, δy). (4.32) Οινοητ ε µετατοπ ισει, οµω,ικανοποιο υντι συνθ ηκε (4.29) δx a cosψ δθ = 0, δy a sin ψ δθ = 0, (4.33)

18 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D ALEMBERT Συνεπ ω,αφο υτοδι ανυσµα ( a cosψ, 0, 1, 0)και ( a sin ψ, 0, 0, 1). (4.34) (I 0 θ, I1 ψ, mẍ, mÿ) ικανοποιε ιτην (4.32)γιακ αθενοητ ηµετατ οπισησυµ ατ ηµετοδεσµ ο, πρ επεινααν ηκειστονυποχ ωροπουσχηµατ ιζεταιαπ οταδιαν υσµατατη εκφραση (4.34). ηλαδ η,πρ επειναε ιναι (I 0 θ, I1 ψ, mẍ, mÿ) = λ( a cos ψ, 0, 1, 0) + µ( a sin ψ, 0, 0, 1), οπ οτεοιεξισ ωσει κ ινηση διαµορφ ωνονταιω εξ η : I 0 θ = λa cosψ µa sin ψ, (4.35) I 1 ψ = 0, (4.36) mẍ = λ, (4.37) mÿ = µ. (4.38) οιοπο ιε επι αλλουνστι νοητ ε µετατοπ ισει (δθ, δψ, δx, δy)ναε ιναικ αθετε σταδιαν υσµατα Γιαναπροσδιορ ισουµετηνκ ινησητουνοµ ισµατο διαιρο υµετι εκφρ ασει (4.29)µετοναπειροστ οχρ ονοστονοπο ιοπραγµατοποιο υνταιοιαπειροστ ε µετα ολ ε τωνσυντεταγµ ενων,οπ οτελαµ ανουµετι σχ εσει a cosψ = ẋ/ θκαι a sin ψ = ẏ/ θ. (4.39) Ε αναντικαταστ ησουµεαυτ ε τι εκφρ ασει στηνεξ ισωσηκ ινηση (4.35) καιχρησιµοποι ησουµεκαιτι εξισ ωσει (4.37, 4.38),καταλ ηγουµεστην εξ ισωση I 0 θ θ = λẋ µẏ = m (ẋẍ + ẏÿ). (4.40) Ηδιαφορικ ηεξ ισωση (4.40)ολοκληρ ωνεταιαµ εσω καιδ ινειτηδιατ ηρησητη ποσ οτητα 1 2 I 0 θ m ( ẋ 2 + ẏ 2) = E 1, (4.41) κατ ατηνκ ινησητουνοµ ισµατο. Απ οτησυνθ ηκηκ υλιση (4.39)συν αγουµεεπιπλ εον οτι ẋ 2 + ẏ 2 = a 2 θ2, οπ οτεη(4.41)µετατρ επεταιστηνακ ολουθησχ εση: 1 ( I0 + ma 2) 2 θ2 = E 1. Ηεξ ισωσηαυτ ησυνεπ αγεται οτιτον οµισµακυλ ιεταιµεσταθερ ηγωνιακ η ταχ υτητα, θ = ω,οπ οτεηγων ιακ υλιση ε ιναι θ(t) = ωt + θ(0).

19 4.6. ΟΛΟΝΟΜΟΙ ΚΑΙ ΜΗ ΟΛΟΝΟΜΟΙ ΕΣΜΟΙ 99 Απ οτην(4.36)προκ υπτει οτιηγωνιακ ηταχ υτηταπεριστροφ η γ υρωαπ ο τηνκατακ ορυφοδι αµετροε ιναιεπ ιση σταθερ η ψ = Ω καισυνεπ ω ψ(t) = Ωt + ψ(0). Εχοντα προσδιορ ισειτηνεξ ελιξητωνγωνι ωνστροφ η,προσδιορ ιζουµε αµ εσω τηνκ ινησητουκ εντρουµ αζα ολοκληρ ωνοντα τι σχ εσει (4.39) x(t) = x(0) + a ω [sin(ψ(0) + Ωt) sin(ψ(0))], Ω y(t) = y(0) + a ω [cos(ψ(0)) cos(ψ(0) + Ωt)]. Ω Hτροχι α,λοιπ ον,πουδιαγρ αφειτοκ εντροµ αζα ε ιναικυκλικ η µεκ εντροτοσηµε ιο (x 0, y 0 ) οπου (x(t) x 0 ) 2 + (y(t) y 0 ) 2 = a 2 ω2 Ω 2, x 0 = x(0) a ω Ω sin(ψ(0)), y 0 = y(0) + a ω Ω cos(ψ(0)), καιακτ ινα aω/ω.ηκυκλικ ηαυτ ητροχι αδιαγρ αφεταιµεσταθερ ηγωνιακ ηταχ υτητα Ω. Απ οτι (4.37)και (4.38)µπορο υνναυπολογιστο υνοιπολλαπλασιαστ ε λκαι µ,οιοπο ιοιπροσδιορ ιζουνκαιτι αντιδρ ασει πουυποχρε ωνουντον οµισµαναεκτελε ικυκλικ ηκ ινηση.οιαντιδρ ασει ε ιναι λ = maωω sin[ψ(0) + Ωt], µ = maωω cos[ψ(0) + Ωt]. Οιαντιδρ ασει αυτ ε ε ιναιοισυνιστ ωσε τη κεντροµ ολουδ υναµη η οπο ιαε ιναικ αθετηστηνταχ υτητατουνοµ ισµατο.αυτ ηηφυγ οκεντρο δ υναµηασκε ιταιαπ οτοδ απεδοκαιε ιναιυπε υθυνηγιατογεγον ο οτιτο ν οµισµαδενολισθα ινειστηνκατε υθυνσητηνκ αθετηστηνκυκλικ ητου τροχι α. Η ιδιαηκ υλισητουνοµ ισµατο,γιαναπραγµατοποιηθε ι,δεν απαιτε ικαµ ιαδ υναµηκαιεξασφαλ ιζεταιαπ οτηµορφ ητη κ ινηση,αφο υ ηταχ υτηταµετηνοπο ιαδιαγρ αφεταιηκυκλικ ητροχι αισο υταιµετηγωνιακ ηταχ υτητακ υλιση επ ιτηνακτ ινατουνοµ ισµατο. Ασκηση4.4. Εξειδικε υστεκαιπροσδιορ ιστετηνκ ινησητουνοµ ισµατο καιτην ΑΣΚΗΣΕΙΣ αντ ιδρασηπουασκε ιταισεαυτ ο, οταν (i)τον οµισµακυλ ιεταιαλλ αδενπεριστρ εφεται γ υρωαπ οτονκατακ ορυφο αξονα (Ω = 0)και (ii) οτανπεριστρ εφεταιγ υρωαπ οτον κατακ ορυφο αξονααλλ αδενκυλ ιεται (ω = 0).

20 100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D ALEMBERT 4.7 Φαιν οµενε δυν αµει σε εναεπιταχυν οµενο σ υστηµααναφορ α καιηαρχ ητη ισοδυναµ ια Οπω αναφ εραµεκαισεπροηγο υµενοεδ αφιοηιδ εατου D Alembert οδ ηγησετονlagrangeµ εσωτη αρχ η τωνδυνατ ων εργωνστι εξισ ωσει Euler -Lagrange. Ηµετατροπ ηεν ο προ λ ηµατο δυναµικ η σε εναπρ ο ληµαστατικ η,τουλ αχιστονφορµαλιστικ α,δενφα ινεταιναπερικλε ιειτ ιποτεβαθ υτεροαπ οµιααπλ ηεπαναδιατ υπωσητουδυναµικο υ ν οµουτουνε υτωναµετηµορφ ητη αρχ η τουχ αµιλτον. ενµπορο υµε β ε αιαναπαρα λ εψουµετησπουδαι οτητααυτ η τη αρχ η,τηνοπο ια εχουµεαναλ υσειεκτεν ω, οσοναφορ αστην εαθε ωρησητη φυσικ η που αυτ ηεισ αγει. Πρ οκειταιγια εναεπ ιτευγµα,ησηµασ ιατουοπο ιουαναγνωρ ιστηκεαρκετ ααργ οτερααπ οτονhamilton. 5 Π ερα οµω απ οαυτ οη ιδ εα οτισε ενασωµατ ιδιοασκε ιταιµιαν εα δ υναµη,ηδ υναµητη αδρ ανεια,ηοπο ιαδρα οπω ολε οιπραγµατικ ε δυν αµει µεαποτ ελεσµα ολε οιδυν αµει πουασκο υνταιστοσωµατ ιδιοναβρ ισκονταισεισορροπ ια,κρ υ εικ ατιεπαναστατικ ο. Ηαρχ ητουd Alembertδεναναφ ερεταισεκ αποιοσυγκεκριµ ενοσ υστηµααναφορ α ισχ υεισε ολατασυστ ηµατααναφορ α.απ οτην αλλη πλευρ αστηδιατ υπωσητη αρχ η τουd Alembert ηδ υναµητη αδρ ανεια ορ ιστηκεω προ κ αποιοαδρανειακ οσ υστηµααναφορ α Σκαιεπο- µ ενω εξαρτ αταιαπ οτοσ υστηµααναφορ α.ανθεωρ ησουµε εναεπιταχυν οµενοσ υστηµααναφορ α Σ,τοοπο ιοκινε ιταιµεταχ υτητα u(t)ω προ τοαρχικ οαδρανειακ οσ υστηµα Σ, ετσι ωστεηθ εσητωνσωµατιδ ιων r ναδ ινεταιαπ οτησχ εση r(t) = r (t) + t u(τ)dτ, ηδ υναµηαδρ ανεια πουθααποδ ιδεταιστοσ ωµαστοσ υστηµα Σ θαε ιναι f (A) = m r = f (A) + m a, οπου a = d u/dtηστιγµα ιαεπιτ αχυνσητου Σ ω προ το Σ.Ανηαρχ η τουd Alembertστοαρχικ οσ υστηµα Σεπ ε αλλετην ισορροπ ια F + f (A) = 0, στον εοσ υστηµα Σ η ισορροπ ια θααποκτο υσετηµορφ η F + φ + f (A) = 0, (4.42) οπου φ = m a. 5 Σηµειωτ εον οτιαπ οτηνεποχ ητουlagrange εω τηνεποχ ητουhamiltonην εαµ εθοδο αποτ ελεσεαπλ ω µιατεχνικ ηβελτ ιωση τωνεξισ ωσεωντουνε υτωνα,αφο υδεν απαιτο υσεκαµ ιααναφορ αστι δυν αµει τωνσυνδ εσµων.

21 4.7. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ 101 Ησχ εση ισορροπ ια (4.42)στον εοσ υστηµααναφορ α Σ επιδ εχεταιδ υοερµηνε ιε. Σ υµφωναµετηνπρ ωτηερµηνε ιαοπαρατηρητ η ε ιναιαποµονωµ ενο καιδενγνωρ ιζει οτικινε ιταισε εναεπιταχυν οµενοσ υστηµααναφορ α οπ οτεµεβ ασητηνεπιτ αχυνσητουσωµατιδ ιουπουµετρ αθαυπολογ ισειτηδ υναµηαδρ ανεια f (A) καιθαθεωρ ησει οτιστο σωµατ ιδιοασκο υνταιεξωτερικ αοιπραγµατικ ε δυν αµει F + φ ωστενα ικανοποιε ιταιησχ εση ισορροπ ια (4.42) ( F + φ) + f (A) = 0, εκλαµ ανοντα ω πραγµατικ ηδ υναµηκαιτηφαιν οµενηδ υναµη φ.για τοναποµονωµ ενοπαρατηρητ η,οοπο ιο δενγνωρ ιζειτηµηαδρανειακ ο- τητατουσυστ ηµατο αναφορ α του,οιφαιν οµενε δυν αµει εχουνπραγ- µατικ ηυπ οστασηκαιδενυπ αρχειτρ οπο νατι διαχωρ ισειαπ οτι πραγ- µατικ ε δυν αµει. Σχ ηµα 4.5:Οπαρατηρητ η βρ ισκεταιµ εσασε ενανανελκυστ ηρα,οοπο ιο ε ιναιακ ινητο στηνεπιφ ανειατη Γη.Μιαµπ αλακαι ενακλαδ ιεκτελο υνελε υθερηπτ ωσηκαι επιταχ υνονταιπρο το εδαφο µεεπιτ αχυνση g.υποθ ετουµε οτιοανελκυστ ηρα ε ιναι κεν ο καιδενυπ αρχειαντ ισταση. Σ υµφωναµετηδε υτερηερµηνε ιατη κατ ασταση ισορροπ ια του σ ωµατο στο Σ,οπαρατηρητ η,γνωρ ιζοντα οτικινε ιταισεεπιταχυν ο- µενοσ υστηµα,αντιλαµ ανεται οτιοιδυν αµει αδρ ανεια στοεπιταχυν ο- µενοσ υστηµαπρ επειναδιορθωθο υνκαιπροσθ ετειστηδ υναµηαδρ α- νεια τουσωµατιδ ιουτηδ υναµηαδρ ανεια τουεπιταχυν οµενουσυστ η- µατο αναφορ α οπ οτεηκατ ασταση ισορροπ ια ερµηνε υεταιω F + ( φ + f (A) ) = 0. Α συγκρ ινουµεστησυν εχειααυτ ε τι δ υοερµηνε ιε στηνπερ ιπτωση τη ελε υθερη πτ ωση εν ο σ ωµατο µ εσασεοµογεν ε βαρυτικ οπεδ ιο. Σ υµφωναµετηναρχ ητουd Alembert ενα αδρανειακ ο παρατηρητ η (βλ.σχ ηµα 4.5)γρ αφειτησχ εση ισορροπ ια ω ακολο υθω : m g + f (A) = 0. (4.43) Β αρο συνδ υναµη αδρ ανεια Αυτ ηησχ εση οµω επιδ εχεται, οπω ε ιδαµε,και αλληερµηνε ια(βλ.σχ η- µα 4.6). Α εξαφαν ισουµετηβαρυτικ ηδ υναµηκαια επιταχ υνουµεµε επιτ αχυνση gτονπαρατηρητ ηπουπαρακολουθε ιτηνκ ινησητουσ ωµατο.ηεπιτ αχυνσηπουεπιλ εξαµεε ιναι ισηκαιαντ ιθετηµετηνεπιτ αχυνση

22 102 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D ALEMBERT Σχ ηµα 4.6:Οανελκυστ ηρα τ ωραβρ ισκεταιµακρι ααπ ο ολατασ ωµατακαιδενασκε ιταισεαυτ ονκαµ ιαβαρυτικ ηδ υναµη.επιταχ υνεται, οµω,µεεπιτ αχυνση g.οπαρατηρητ η,οοπο ιο βρ ισκεταιµ εσαστονανελκυστ ηρα,δενµπορε ιαπ οτι κιν ησει των σωµ ατωνναδιακρ ινειανστοεσωτερικ οτουανελκυστ ηραασκε ιταιβαρυτικ ηδ υναµη προ τακ ατω, ηανοανελκυστ ηρα επιταχ υνεταιπρο ταπ ανω.θεωρο υµε οτιοιανελκυστ ηρε καισταδ υοσχ ηµαταε ιναιµικροσκοπικο ισεµ εγεθο.ανυποθ εσουµε οτιδεν συµ α ινεικ ατιτ ετοιο,µπορε ιτεναπροτε ινετεεσε ι εναπε ιραµαµετοοπο ιοναε ιναισε θ εσηοπαρατηρητ η νααντιληφθε ιανβρ ισκεταιστοπεδ ιοβαρ υτητα τη Γη ησε ενα επιταχυν οµενοσ υστηµα; υναµηαδρ ανεια µ ονο τη βαρ υτητα.η ισορροπ ια τουσ ωµατο γι αυτ οντονπαρατηρητ ηθα λ α ειτηµορφ η 0 + ( m( g) + f ) (A) = 0. (4.44) Αντοπεδ ιοβαρ υτητα ηταναπ ολυταοµογεν ε πρ αγµαπουθα ισχυε ανε ιχαµεθεωρ ησει εναπολ υµικρ οεργαστ ηριο ενα παρατηρητ η κλεισµ ενο στοεργαστ ηριοδενθαµπορο υσεναδιακρ ινειανστοσωµατ ιδιο ασκε ιταιηδ υναµητη βαρ υτητα (πραγµατικ ηδ υναµη) ηαντοεργαστ ηρι οτουεπιταχ υνεταιστηναντ ιθετηκατε υθυνσηκαιαυτ οπου βλ επει ω βαρ υτητατουσωµατιδ ιουε ιναιµιαδ υναµηαδρ ανεια,αφο υκαιστι δ υο περιπτ ωσει (4.43,4.44)ηδ υναµηαδρ ανεια πουµετρ αειε ιναι ιδια f (A) = f (A), λ ογωκοιν η επιτ αχυνση τουσ ωµατο καιγιατου δ υοπαρατηρητ ε.β ε- αια, ολα οσααναφ εραµεπαραπ ανωισχ υουνεπειδ ηηβαρυτικ ηδ υναµη ε ιναιαν αλογητη µ αζα τουσ ωµατο πουδ εχεταιτηβαρυτικ ηδ υναµη, οπω ακρι ω συµ α ινεικαιµετι δυν αµει αδρ ανεια. Ισοδυν αµω, ενα παρατηρητ η πουβρ ισκεταιµ εσασε εναεργαστ ηριοπουεκτελε ιελε υθερηπτ ωσηδεναισθ ανεταιτηδ υναµητη βαρ υτητα.αυτ οσυµ α ινειδι οτιηφαιν οµενηδ υναµηκατ ατην ισορροπ ια D Alembertε ιναι ισηκαιαντ ιθετηµετηδ υναµητη βαρ υτητα καιτααποτελ εσµαταοποιουδ ηποτεφυσικο υπειρ αµατο πουθαεκτελο υτανσεαυτ ο τοσ υστηµααναφορ α ε ιναιπανοµοι οτυπαµεεκε ιναπουθαλαµ ανονταναντοπε ιραµαεκτελο υτανσε ενααδρανειακ οσ υστηµαστοοπο ιο

23 4.7. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ 103 m a = m β g καιαφο υυποθ ετουµε οτι συν αγουµε οτι m = m β, a = g. (4.45) Ισ οτηταβαρυτικ η αδρανειακ η µ αζα ισχ υουνοιν οµοιτουνε υτωνα. Αυτ οακρι ω συµ α ινεισεπειρ αµατα, ταοπο ιαεκτελο υνταιµ εσασε εναδιαστηµ οπλοιοπουβρ ισκεταισετροχι αγ υρωαπ οτηγη. Τοδιαστηµ οπλοιο,επειδ ηβρ ισκεταισεελε υθερη πτ ωσηµ εσαστοπεδ ιοβαρ υτητα,ε ιναικατ απροσ εγγιση 6 ενααδρανειακ οσ υστηµααναφορ α. 7 Συνεπ ω, εναοµαλ ω επιταχυν οµενοσ υστηµα αναφορ α στοοπο ιοδενασκε ιταιηδ υναµητη βαρ υτητα και εναµηεπιταχυν οµενοσ υστηµααναφορ α στοοπο ιοασκε ιταιηδ υναµητη βαρ υτητα,µε ενταση ισηµετηνεπιτ αχυνσητουπροηγο υµενουσυστ ηµατο, ε ιναιισοδ υναµα. Απ οτηστιγµ η,λοιπ ον,πουαυτ οπου εχουµεσυνηθ ισειναθεωρο υµεω αδρανειακ οσ υστηµα,υπ οτηνπαρουσ ιαεν ο πεδ ιου βαρ υτητα ε ιναιισοδ υναµοµε εναεπιταχυν οµενοσ υστηµασε ενανχ ωρο δ ιχω βαρ υτητα,τααδρανειακ ασυστ ηµατα, οπω τα εχουµεσυνηθ ισει στηνευτ ωνειαµηχανικ η,πα υουνναε ιναιπλεονεκτικ α.καταλληλ οτερο αδρανειακ οσ υστηµαθα ητανεκε ινο,τοοπο ιοπαρουσ ιακ αποιουβαρυτικο υπεδ ιουθα επεφτεελε υθεραµ εσασεαυτ οτοπεδ ιο.σε ενατ ετοιοσ υστηµατα αλλασ ωµαταπουπ εφτουναποκλειστικ αεξαιτ ια τουπεδ ιουθα αιωρο υνταιδ ιπλαστονπαρατηρητ η ηθακινο υνταιω ελε υθερασ ωµατα µεσταθερ ηταχ υτηταω προ αυτ ον.ηιδ εατη απουσ ια βαρ υτητα σε ενασ υστηµαπουπ εφτειελε υθερα ηταν, οπω συν ηθιζεναλ εειοalbert Einstein[ ], ηευτυχ εστερησκ εψητη ζω η του,και ηταναυτ η πουτονοδ ηγησε υστερααπ οαγωνι ωδηκαιπολυετ ηπροσπ αθειαστηδιατ υπωσητη γενικ η θεωρ ια τη σχετικ οτητα.πρ οκειταιγιατηλεγ οµενη αρχ ητη ισοδυναµ ια πουεισ ηγαγεαρχικ αοeinsteinτο1916γιαναεξηγ ησειτηδ υναµητη βαρ υτητα προτο υδιατυπ ωσειτηγενικ ηθεωρ ιατη σχετικ οτητα.ηαρχ ητουd Alembertυπ ηρξε,σεεπ ιπεδοαρχ ωνβ ε αια, οπροποµπ ο τη αρχ η τη ισοδυναµ ια σ υµφωναµετηνοπο ιαηδ υναµη τη βαρ υτητα ε ιναιµ ιαφαιν οµενηδ υναµη. Οµω,ηισοδυναµ ιαεπιταχυν οµενωνσυστηµ ατωναναφορ α καιβαρ υτητα ε ιναι, οπω αναφ εραµε,δυνατ ηεπειδ ηηβαρυτικ ηµ αζα m β η µ αζαπουυπεισ ερχεταιστον οµοτη Παγκ οσµια Ελξη ε ιναι ιδιαµε τηναδρανειακ ηµ αζαmπουυπεισ ερχεταιστοδε υτερον οµοτουνε υτωνα. Πρ αγµατι,γιατηνκ ινησητουσωµατιδ ιουµ εσασεοµογεν ε πεδ ιοβαρ υτητα οδε υτερο ν οµο τουνε υτωνααπαιτε ι Ηισ οτητααυτ ηαποτελε ιτοκλειδ ιστηδιατ υπωσητη αρχ η τη ισοδυναµ ια. 6 Ηπροσ εγγισηε ιναιτ οσοακρι εστερη, οσοµικρ οτεροε ιναιτοδιαστηµ οπλοιο η οσο πιοµακρι αβρ ισκεταιαυτ οαπ οτηγη, ωστετοβαρυτικ οπεδ ιοεντ ο αυτο υναµπορε ινα εκληφθε ιω οµογεν ε. 7 Βλ.τοβι λ ιοτωνtaylor&wheeler,spacetimephysics,εδ αφιο 1.2.

24 104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D ALEMBERT Ηισ οτηταβαρυτικ η καιαδρανειακ η µ αζα στοπλα ισιοτη νευτ ωνεια θεωρ ια γιατηβαρ υτηταε ιναι ακρω αξιοπερ ιεργηκαιαπασχ ολησε καιτον ιδιοτονε υτωνα οτανδιατ υπωνετον οµοτη Παγκ οσµια Ελξη.Θ ελοντα,µ αλιστα,ναελ εγξειο ιδιο τηνακρ ι ειααυτ η τη ισ οτητα πρ οτεινετοακ ολουθοπε ιραµα: 8 Κατασκε υασε εναεκκρεµ ε αποτελο υµενοαπ ο ενακο υφιοσφαιρ ιδιοµ εσαστοοπο ιοτοποθετο υσεδι αφορα σ ωµατα ιδια µ αζα αλλ ααπ οδιαφορετικ ουλικ οκ αθεφορ α. Μεαυτ ο τοντρ οποπροσπ αθησεναµετρ ησειτι διαφορ ε στηνπερ ιοδοτουεκκρεµο υ,εν ωτοεξωτερικ οσφαιρικ οκ ελυφο τουεξασφ αλιζε οτιηαντ ιστασηαπ οτονα εραθα ητανκ αθεφορ αη ιδια. ΟΝε υτωνα δενµπ ορεσεναεντοπ ισεικαµ ιαδιαφορ αµεταξ υαδρανειακ η καιβαρυτικ η µ αζα. Αργ οτερα,το 1889καιτο 1922,οο υγγρο πειραµατικ ο φυσικ ο Roland von Eɻotvɻos [ ]πραγµατοπο ιησεαν αλογαπειρ αµαταµε ζυγ οστρ εψη βελτι ωνοντα τηνακρ ι ειασ υµπτωση τωνδ υοµαζ ωναπ ο το 10 3 πουε ιχεεπιτ υχειονε υτωνα στο Ηακρ ι ειααυτ ωντων πειραµ ατωνσ ηµερα εχειξεπερ ασειτο 10 12! Μιατ ετοια ακρ ι εια σ υµπτωσηδ υοτ οσοδιαφορετικ ωνφυσικ ωνποσοτ ητωνπρ επεινακρ υ εικ ατιπολ υπιοβαθ υ.αυτ ηησκ εψηαποτ ελεσε τηβασικ ηιδ εαπου ωθησετονeinsteinνααντικαταστ ησειτηνευτ ωνεια θε ωρησηγιατηβαρ υτηταµεαυτ ητη Γενικ η Θεωρ ια τη Σχετικ οτητα. Σ υµφωναµετην εαθε ωρησηµιαµ αζα Mπαραµορφ ωνειτοχ ωρο(καιτο χρ ονο)γ υρωτη µετ ετοιοτρ οπο ωστε ολατασ ωµαταπουβρ ισκονται µ εσαστοπεδ ιοτη µ αζα Mνακινο υνταιµ εσαστονπαραµορφωµ ενο αυτ οχ ωροακολουθ ωντα τι συντοµ οτερε διαδροµ ε,ανεξαρτ ητω τη µ αζα που εχειτοκαθ ενααπ οαυτ α. Ετσι,αυτ οπουεκλαµ ανουµεεµε ι ω βαρυτικ ηδ υναµηε ιναιηµετ αφρασητ η κατ ατα αλλααπλο υστατη γεωδαισιακ η τροχι α τωνσωµ ατωνσεσυµ ατικ ε ευκλε ιδειε συντεταγ- µ ενε πουθεωρο υµε οτιπεριγρ αφουνορθ ατοχ ωροπουµα περι αλλει. Επειδ η,λοιπ ον,παρακολουθο υµε ολατασ ωµατανακινο υνταιµετον ιδιο τρ οποµ εσαστοβαρυτικ οπεδ ιοκαιηδ υναµηπουθεωρο υµεω α ιτιοτη µηοµαλ η κ ινηση τωνσωµ ατωνε ιναι ισηµετηµ αζατουεκ αστοτεσ ω- µατο επ ιτηνεπιτ αχυνσηαυτο υ,θεωρο υµευπε υθυνηγιατηνκ ινησητου σ ωµατο µιαδ υναµηηοπο ιαε ιναιαν αλογητη αδρανειακ η τουµ αζα. Αυτ οεξηγε ικαιτηνισ οτηταβαρυτικ η καιαδρανειακ η µ αζα. 8 Τοπερ ιφηµοπε ιραµατουγαλιλα ιουστονπ υργοτη Π ιζα,στ οχο τουοπο ιου ηταν νααποδε ιξει οτι ολατασ ωµατα,ανεξαρτ ητω τη µ αζα του,π εφτουνστηγησε ιδιο χρ ονο, ητανστηνουσ ιααπ οδειξητη ισ οτητα µεταξ υβαρυτικ η καιαδρανειακ η µ αζα.ογαλιλα ιο,β ε αια,επιθυµο υσεναεπι ε αι ωσειπειραµατικ α, οπω εκανεκαιµε κεκλιµ εναεπ ιπεδακαιβολ ε, οτιηεπιτ αχυνσητη βαρ υτητα ε ιναιη ιδιαγια ολατασ ω- µατασεαντ ιθεσηµετηνεπικρατο υσααντ ιληψητουαριστοτ ελη,οοπο ιο στο εργοτου Φυσικ αiv,8216a12-16,υποστ ηριζε οτιταβαρ υτερασ ωµαταπρ επειναφτ ανουνστην επιφ ανειατη Γη γρηγορ οτερααπ ο,τιταελαφρ οτερα.ογαλιλα ιο ε ιχεεκλογικε υσει τηνπαρατ ηρησ ητου οτιοχρ ονο πουαπαιτε ιταιε ιναιανεξ αρτητο απ οτηµ αζατου σ ωµατο µετονεξ η ενδιαφ εροντασυλλογισµ ο:α υποθ εσουµε οτιδ υοσ ωµατα,το ενα ελαφρ υκαιτο αλλοβαρ υ,π εφτουνµεδιαφορετικ ηεπιτ αχυνση. Ανδ εσουµεαυτ ατα δ υοσ ωµαταµαζ ι,θαπρ επειλογικ αναπ εφτουνµεµιαενδι αµεσηεπιτ αχυνση,πρ αγµα τοοπο ιο ερχεταισεαντ ιθεσηµετονισχυρισµ ο οτιτοσυσσωµ ατωµα, οντα βαρ υτεροκαι απ οταδ υοσ ωµατα,θαπ εφτειακ οµηπιογρ ηγορααπ οτοκ αθεσ ωµαχωριστ α.