Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ"

Transcript

1 Κεφάλιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ ρ. Ν. Αλεξό ουλος

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο : ΚΟΠΩΣΗ ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Έχει πρτηρηθεί ότι εάν έν µετλλικό εξάρτηµ ή δοκίµιο υποβληθεί ε ενλλόµενες περιοδικές κι υνεχείς κτπονήεις, είνι δυντό ν τοχήει πό θρύη γι τιµές τάεων κτά πολύ µικρότερες της ντοχής του ε εφελκυµό R m ή κόµ κι του ορίου διρροής του R p. Η θρύη επέρχετι δίχως πρτηρούµενη πλτική πρµόρφωη, προυίζοντς τις χρκτηριτικές δυο διφορετικές επιφάνειες την επιφάνει θρύης του δοκιµίου, κι οφείλετι το φινόµενο της κόπωης του υλικού. Περιγρφή τως µηχνικών υνθηκών κτ όνηης ε κό ωη Τ χρκτηριτικά µεγέθη των δοκιµών κόπωης είνι: Η µέγιτη mx κι η ελάχιτη min τάη κτπόνηης, το εύρος της κτπόνηης, όπου η µέη τιµή της κτπόνηης m, όπου mx min, mx + min m, το πλάτος ή η µετβολή της κτπόνηης, όπου, κι τέλος mx min min ο λόγος των τάεων της κτπόνηης R, όπου R. Γι ν χρκτηριτεί πλήρως µι δυνµική κτπόνηη κόπωης, πιτείτι η γνώη µόνο δυο πό τις πρπάνω πρµέτρους: mx, min,, m, κι R. Ανάλογ µε τις τιµές που λµβάνει ο λόγος των τάεων R, µπορούµε ν διχωρίουµε τις πρκάτω περιπτώεις κτπονήεων: Α) υµµετρική ντιτρε τή Αυτή η κτπόνηη είνι πλήρως ντιτρεπτή, έχει m 0 κι mx min, η mx είνι εφελκυτική κι η min είνι θλιπτική τάη. Ο λόγος τάεων λµβάνει τιµή R - κι υτή η κτπόνηη είνι χρκτηριτική γι την εξγωγή της κµπύλης Wöhler του υλικού (Σχήµ 9.) mx

3 Β) υµµετρική µη ντιτρε τή 3 Αυτή η κτπόνηη έχει υµµετρί κθώς η µέη τάη m ιούτι µε το εύρος τάης, δηλδή m. ιχωρίζετι ε δυο περιπτώεις: ) εφελκυµός ιορροπί (µηδέν) εφελκυµός, δηλδή το m > 0 κι β) θλίψη ιορροπί (µηδέν) θλίψη µε το m < 0. Ο λόγος τάεων γι υτές τις κτπονήεις λµβάνει τιµή ίη µε µηδέν, R 0 (Σχήµ 9.β). Γ) ύµµετρη ντιτρε τή Η κτπόνηη υτή είνι ντιτρεπτή (πό εφελκυµό θλίψη εφελκυµό) κι έχουν µέη τάη 0. Η µέη τάη µπορεί ν είνι εφελκυτική ( m > 0), όπως το Σχήµ 9.γ ή κι θλιπτική ( m < m 0). Ο λόγος τάεων γι υτές τις κτπονήεις λµβάνει τιµές ρνητικές, - < R < 0. ) ύµµετρη µη ντιτρε τή Αυτή η κτπόνηη είνι µη ντιτρεπτή κι µπορεί ν γίνετι την περιοχή της θλίψης (m < 0) ή της περιοχής του εφελκυµού (m > 0), που προυιάζετι κι το Σχήµ 9.δ. Ο λόγος τάεων γι υτές τις κτπονήεις λµβάνει τιµές θετικές, 0 < R <. mx 0 min ¼ κύκλου ) t mx m 0 ¼ κύκλου β) t mx m 0 min ¼ κύκλου γ) t mx m min 0 ¼ κύκλου δ) t Σχήµ 9.: Χρκτηριτικές κµπύλες κτπόνηης κόπωης ε υνάρτηη µε τον χρόνο. Οριµοί µεγεθών την κό ωη Όριο ντοχής ε κό ωη ενός υλικού γι µι οριµένη µέη τάη m, είνι εκείνη η τάη κάτω πό την οποί θεωρείτι ότι το υλικό δεν τοχεί γι οποιοδήποτε ριθµό κύκλων φόρτιης (Ν ). Τεχνητό όριο κό ωης είνι το όριο κόπωης του υλικού, κάτω πό το οποίο δεν ηµειώνετι ηµντική µείωη της

4 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ντοχής του µε ύξηη των κύκλων φόρτιης. Συµβτικό όριο κό ωης υλικού γι µι οριµένη µέη τάη m, ονοµάζετι η µέγιτη τιµή του πλάτους της περιοδικής φόρτιης, η οποί µπορεί ν εφρµοτεί το δοκίµιο χωρίς υτό ν τοχήει ε έν οριµένο ριθµό κύκλων φόρτιης Ν. Στους χάλυβες, ως υµβτικό όριο κόπωης ορίζετι η τάη την οποί το δοκίµιο ντέχει γι Ν 0 8 κύκλους κτπόνηης. Στ κράµτ λουµινίου, ως υµβτικό όριο κόπωης ορίζετι η τάη την οποί το δοκίµιο ντέχει γι Ν 0 7 κύκλους κτπόνηης. Σε µι κµπύλη Wöhler µπορεί ν πρτηρηθούν τρείς χρκτηριτικές περιοχές (Σχήµ 9.): Α) η περιοχή ολιγοκυκλικής κό ωης (Low Cycle Ftigue LCF), κτά την οποί η διάρκει ζωής του υλικού είνι ύντοµη, έως κι κύκλοι φόρτιης γι την τοχί. Το υλικό υπόκειντι ε φορτίεις µε υψηλές τιµές τάης, οι οποίες είνι µεγλύτερες ή ίες πό το όριο διρροής του υλικού κι εποµένως νµένοντι ηµντικές πλτικές πρµορφώεις. Β) η περιοχή ολυκυκλικής κό ωης (High Cycle Ftigue HCF), κτά την οποί η διάρκει ζωής του υλικού κυµίνετι πό τις έως περίπου τους (0 6 ) κύκλους φορτίεων γι την τοχί. Οι εφρµοζόµενες τάεις δεν ξεπερνούν το όριο διρροής του υλικού. Γ) η περιοχή διρκούς ντοχής (Endurnce Limit), κτά την οποί το υλικό δεν πρόκειτι ν τοχήει υπό τ επιβλλόµεν φορτί κόπωης. Ενδεικτικά νφέρετι ότι η περιοχή υτή µπορεί ν ξεκινάει τους 0 8 κι 0 7 κύκλους φόρτιης γι κράµτ χάλυβ κι λουµινίου, ντίτοιχ Κμπύλες κόπωης Woehler κράμ λουμινίου 04 κράμ λουμινίου 98 κράμ λουμινίου 656 Έυρος τάης [MP] Περιοχή Περιοχή Περιοχή ολιγοκυκλικής πολυκυκλικής ορίου διρκούς κόπωης κόπωης ντοχής ε 0 (LCF) (HCF) κόπωη Κύκλοι κτπόνηης ε κόπωη Ν [-] Σχήµ 9.: Χρκτηριτικές κµπύλες Wöhler γι τρί διφορετικά κράµτ λουµινίου ( ιπλωµτική εργί Ευάγγελου Μιγκλή, 0, Πνεπιτήµιο Αιγίου).

5 5 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Στην περίπτωη που το υλικό φορτίζετι την περιοχή της πολυκυκλικής περιοχής της κµπύλης Wöhler κι η µέγιτη επιβλλόµενη τάη δεν ξεπερνά το όριο διρροής του υλικού, πρτηρήθηκε εµπειρικά ότι τ πειρµτικά δεδοµέν (πειρµτικά ζεύγη τιµών εύρους τάης κι κύκλοι τοχίς Ν ) µπορούν ν προρµοτούν την εξίωη της µορφής: Ν C, (9.) όπου κι C είνι τθερές που εξρτώντι πό το υλικό. Η τθερά m λµβάνει τιµές πό /8 έως /5 γι τ περιότερ τεχνολογικά υλικά. Η πρπάνω εξίωη είνι επίης γνωτή κι ως ο νόµος του Bsquin. Στην περίπτωη που το υλικό φορτίζετι την περιοχή της πολυκυκλικής περιοχής της κµπύλης Wöhler, όπου η µέγιτη επιβλλόµενη τάη ξεπερνά το όριο διρροής του υλικού, ο νόµος του Bsquin πλέον δεν ιχύει. Πρτηρήθηκε εµπειρικά πως τ πειρµτικά ποτελέµτ (ζεύγη τιµών εύρους πλτικής πρµόρφωης επλ κι κύκλους τοχίς Ν) κολουθούν µι γρµµική εξίωη, εάν ποτυπωθούν ε έν διάγρµµ µε ηµιλογριθµική κλίµκ. Η εξίωη είνι της µορφής: ε b πλ D, (9.) όπου b κι D είνι τθερές που εξρτώντι πό το υλικό. Η τθερά b λµβάνει τιµές πό 0,5 έως 0,6 γι τ περιότερ τεχνολογικά υλικά. Η πρπάνω εξίωη είνι επίης γνωτή κι ως ο νόµος των Coin - Mnson. Οι πρπάνω νόµοι των Bsquin κι Coin-Mnson, περιγράφουν ικνοποιητικά τ πειρµτικά ποτελέµτ ενός υλικού γι τη θρύη λόγω κόπωης µη-ρηγµτωµένων δοκιµίων, έχοντς ως δεδοµέν τις τθερές, b, C κι D. Ωτόο οι πρπάνω εξιώεις ιχύουν γι υµµετρική ντιτρεπτή φόρτιη, δηλδή γι m 0 (Σχήµ 9.). Σε περίπτωη που η εφρµοζόµενη µέη τάη m 0, τότε πρέπει ν υπολογιτεί έν υποκτάττο εύρος τάης, που θ επιφέρει τους ίδιους κύκλους κόπωης γι την τοχί µε την πργµτική κτπόνηη µε µέη τάη m κι εύρος τάης. Γι τον υπολογιµό του υποκτάττου εύρους τάης., έχει προτθεί ο κνόνς του Goodmn : + m Β, (9.3) όπου είνι το πργµτικό εύρος τάης, m είνι η πργµτική µέη τάη, είνι το ιοδύνµο εύρος τάης µε µέη τάη m 0, κι που επιφέρει τους ίδιους κύκλους θρύης µε την κτπόνηη ( m, ), κι Β είνι το όριο θρύης του υλικού ε εφελκυµό. Ο κνόνς του Goodmn είνι εµπειρικός κι δεν εφρµόζετι µε επιτυχί ε όλες τις περιπτώεις.

6 6 Υ ολογιµός διάρκεις ζωής ε κό ωη Ο υπολογιµός διάρκεις ζωής γι δοκίµι που κτπονούντι ε κόπωη µε τθερό εύρος τάης κι γι µέη τάη ίη µε µηδέν, µπορεί ν εξχθεί πό έν διάγρµµ Wöhler (Σχήµ 9.). Ωτόο, τις περιότερες των περιπτώεων κτπόνηης ε κόπωη, τ δοµικά τοιχεί κτπονούντι µε κνόνιτο τρόπο, που δεν προυιάζουν τθερή ούτε την επιβλλόµενη µέη τάη, ούτε κι το εύρος κτπόνηης (Σχήµ 9.3). Με κτάλληλες µετρητικές µεθόδους (π.χ. µέθοδος Rinlow) που ξεφεύγουν πό τον κοπό του πρόντος υγγράµτος, οι φορτίεις κόπωης νάγοντι ε επιµέρους τάδι κτπονήεων µε τθερή µέη τάη κι τθερό εύρος κτπόνηης, όπως προυιάζετι το Σχήµ 9.3β. Το κάθε έν τάδιο κτπόνηης προθέτει έν ποοτό βλάβης κόπωης το υλικό, το οποίο υπολογίζετι έχοντς ως πρµέτρους τις υνθήκες κτπόνηης ( m, ) κι τους κύκλους κτπόνηης του τδίου. Η υνάρτηη της βλάβης (dmge) έχει ορικές τιµές D 0 γι µηδενική βλάβη (πρθένο υλικό), κι D γι 00% βλάβη που ηµίνει τοχί λόγω κόπωης του υλικού (Σχήµ 9.4). Τάη Τάη Στάδιο Στάδιο Στάδιο 3 Χρόνος t () (β) Σχήµ 9.3: () Πργµτική κτπόνηη ε κόπωη ενός κτκευτικού τοιχείου κι (β) κτκερµτιµός του ιτορικού φόρτιης ε επιµέρους τάδι κτπόνηης. Χρόνος t Ο Miner διτύπωε έν γρµµικό νόµο υώρευης της βλάβης της µορφής D n, όπου n είνι ο ριθµός των επιβλλοµένων κύκλων κόπωης γι τθερές υνθήκες κτπόνηης ( m, ) κι Ν είνι ο ριθµός των επιβλλοµένων κύκλων κόπωης γι τοχί µε τις ίδιες υνθήκες κτπόνηης ( m, ). Ατοχί του υλικού θ υπάρξει ότν το άθροιµ των επιµέρους βλβών των τδίων κτπονήεων ιούτι µε την µονάδ, δηλδή: i ni i n n n3 nn, δηλ (9.4) 3 n

7 7 Η πρπάνω γρµµική εξίωη που είνι γνωτή κι ως γρµµικός κνόνς του Miner, έχει βρεί µεγάλη εφρµογή γι τον χονδρικό υπολογιµό της διάρκεις ζωής κτκευτικών τοιχείων κυρίως λόγω της πλότητάς του. Ωτόο, µειονέκτηµ ποτελεί το γεγονός ότι δεν λµβάνει υπόψη την επίδρη του πρελθόντος, ούτε την επίδρη της ειράς τοποθέτηης των τδίων κτπόνηης κι οδηγεί ε ηµντικές πώλειες. Σχήµ 9.4 Ο γρµµικός κνόνς του Miner γι τον υπολογιµό της υώρευης της βλάβης κόπωης ε έν υλικό. Συνάρτηη βλάβης D D D 0 n/ n/ n/

8 8 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Η Κ Ο Π Ω Σ Η 9. Ν χεδιτεί η χρκτηριτική κµ ύλη Wöhler γι έν κράµ λουµινίου κι ν οριτεί το όριο διρκούς ντοχής. Πως µετβάλλετι η ρ άνω κµ ύλη µε την: ) ύξηη της µέης τάης, ) ύξηη της θερµοκρίς, 3) ε ίδρη της διάβρωης. ΛΥΣΗ

9 9 9. Έν µετλλικό υλικό µε όριο ντοχής Rm υ οβάλλετι ε δοκιµή κό ωης. Γι εύρος τάης, ρουίε διάρκει ζωής. Ν εκτιµηθεί η διάρκει ζωής ενός δοκιµίου ό το ίδιο υλικό, ε ερί τωη ου εφρµοτεί εύρος τάης. ίδετι ότι γι το υλικό ιχύει η εξίωη του Bsquin : C. ΛΥΣΗ Από την εξίωη του Bsquin ιχύει: Ν C Ν C (9..) Γι ν εκτιµηθεί η διάρκει ζωής πό την πρπάνω εξίωη, πρέπει ν προδιοριτούν οι τθερές C κι γι το υγκεκριµένο υλικό. Ο εφελκυµός µπορεί ν θεωρηθεί κόπωη µε διάρκει ¼ κύκλου, όπως φίνετι κι το Σχήµ 9.5. Στην περίπτωη υτή η φόρτιη έχει εύρος κόπωης Rm. Συνεπώς η εξίωη του Bsquin δίδει: R m 4 C (9..) R m ¼ κύκλου t κύκλος Σχήµ 9.5 Θεώρηη της δοκιµής του εφελκυµού ως κόπωη µε εύρος τάης ίο µε το όριο ντοχής Rm. O κνόνς του Bsquin ιχύει κι γι το ζεύγος τιµών. Οπότε: C. (9..3) Από τις εξιώεις (9..) κι (9..3) προκύπτει: ln( Rm / ), (9..4) ln ln(/ 4) κι ln( Rm / ) ln ln(/ 4) C R m (/ 4). (9..5) Αντικθιτώντς τις (9..4) κι (9..5) την (9..), προκύπτει πως: ln ln(/ 4) Rm ln( Rm / ) 4 (9..6)

10 9.3 ίδετι το ρκάτω ιτορικό φορτίεων ου εφρµόζετι ε έν δοκίµιο ό µετλλικό υλικό. Ν βρεθεί ο ριθµός των κύκλων φορτίεων κό ωης n ου ιτείτι γι την τελική τοχί του υλικού, εάν έχει ήδη υ οβληθεί ε n κύκλους φόρτιης. ίδετι ότι ιχύει ο κνόνς του Miner, κι ότι το υλικό του δοκιµίου υµ εριφέρετι ύµφων µε την εξίωη του Bsquin µε C, ό ου είνι το εύρος κό ωης, είνι οι κύκλοι τοχίς κι C 400 MP κι 0, είνι τθερές του εν λόγω υλικού. 0 Σχήµ 9.6 Φoρτί κόπωης του δοκιµίου γι τ δυο διφορετικά τάδι κτπόνηης. ΛΥΣΗ Εφόον ιχύει ο γρµµικός κνόνς του Miner, τη υγκεκριµένη περίπτωη κι γι τ δυο διφορετικά τάδι κτπόνηης, ιχύει: n n +, (9.3.) όπου n κι n είνι οι κύκλοι κτπόνηης ε κόπωη του υλικού γι τ ντίτοιχ τάδι κτπόνηης κι κι είνι οι κύκλοι τοχίς γι τ δυο διφορετικά τάδι κτπόνηης. Οι πρπάνω κύκλοι τοχίς πρέπει ν νφέροντι ε κτπόνηη µε την ίδι µέη τάη m, η οποί την υγκεκριµένη περίπτωη είνι µηδενική, δηλδή m 0. Από την πρπάνω εξίωη γνωρίζουµε τους κύκλους n κι πρέπει ν βρεθούν οι κύκλοι φόρτιης n. Οι υπόλοιποι άγνωτοι Ν κι της εξίωης (9.3.) υπολογίζοντι µε την χρήη της εξίωης του Bsquin, ξεχωριτά γι κάθε τάδιο κτπόνηης. Γι το υγκεκριµένο µετλλικό υλικό, ιχύει η εξίωη του Bsquin: C (9.3.) Γι το πρώτο τάδιο κτπόνηης, η πρπάνω εξίωη δίδει: / / 0. C 400 MP C 80MP κύκλοι φόρτιης (9.3.3) Γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης, η ίδι εξίωη δίδει: / / 0. C 400 MP C 0 MP κύκλοι φόρτιης (9.3.4) Αντικθιτώντς τις (9.3.3) κι (9.3.4) την (9.3.), ιχύει:

11 n n + n n n n κύκλοι φόρτιης (9.3.5) Εποµένως ποµένουν κύκλοι φόρτιης γι την τελική τοχί του δοκιµίου πό µετλλικό υλικό.

12 9.4 ίδετι το ίδιο ιτορικό φορτίεων του Σχήµτος 9.6, κι εφρµόζετι ε έν άλλο δοκίµιο ό το ίδιο µετλλικό υλικό. Ν βρεθεί ο ριθµός των κύκλων φορτίεων κό ωης n ου ιτείτι γι την τελική τοχί του υλικού, εάν έχει ήδη υ οβληθεί ε n κύκλους φόρτιης. Ν υ ολογιτεί ο ριθµός των κύκλων, εάν το δεύτερο τάδιο κτ όνηης εφρµοτεί ρώτο. ίδετι ότι ιχύει ο κνόνς των Mnson-Hlord κι ότι το υλικό του δοκιµίου υµ εριφέρετι ύµφων µε την εξίωη του Bsquin µε C, ό ου είνι το εύρος κό ωης, είνι οι κύκλοι τοχίς κι C 400 MP κι 0, είνι τθερές του εν λόγω υλικού. ΛΥΣΗ Ο µη-γρµµικός κνόνς των Mnson-Hlord υχετίζει τους κύκλους κόπωης n, n των δυο τδίων κτπόνηης µε τους κύκλους τοχίς κι, ντίτοιχ: 0,4 ( / ) n n + (9.4.) Γι το µετλλικό υλικό, ιχύει η εξίωη του Bsquin, οπότε υπολογίζοντι οι τιµές των Ν κι Ν, ε ντιτοιχί µε την άκηη 9.3. Γι το πρώτο τάδιο κτπόνηης, υπολογίζετι ότι κύκλοι φόρτιης, (9.4.) ενώ γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης, ιχύει: κύκλοι φόρτιης. (9.4.3) Αντικθιτώντς τις εξιώεις (9.4.) κι (9.4.3) την (9.4.) κι γι n κύκλους, ιχύει: 0.4 ( ) / 0.4 ( 56.68/.60. ) n n n n κύκλοι φόρτιης. (9.4.4) Εάν το δεύτερο τάδιο εφρµοτεί πρώτο, τότε η εξίωη (9.4.) γράφετι: 0.4 ( ) / 0.4 ( / 56. ) n n n n κύκλοι φόρτιης. (9.4.5) Πρτηρείτι µεγάλη διφορά µετξύ της υπολογιµένης τιµής των κύκλων γι την τοχί του πρώτου τδίου εάν λλάξουµε την ειρά της φόρτιης. Αυτό είνι χρκτηριτικό των µη-γρµµικών κνόνων που χρηιµοποιούντι γι την υώρευη της βλάβης ε κόπωη. Εάν είχε χρηιµοποιηθεί ο γρµµικός κνόνς του Miner, οι κύκλοι τοχίς n θ ήτν ίδιοι κι γι τις δυο περιπτώεις.

13 3 9.5 Η κµ ύλη Wöhler ενός υλικού γι m 0 εριγράφετι ό την εξίωη του Bsquin Ν C, ό ου 0,07 κι C 650 MP τθερές του υλικού. Έν δοκίµιο ό το ρ άνω υλικό ου ρουιάζει όριο ντοχής Β 500 MP, κτ ονείτι µε τ φορτί Α κι Β ου φίνοντι τον ρκάτω ίνκ. Ν βρεθεί όο χρόνο θ ζήει το ρ άνω δοκίµιο εάν µετά τ φορτί Α κι Β ε ιβληθεί το φορτίο Γ. Στάδιο Κτ όνηης Μέη Τάη Εύρος Τάης Κύκλοι κτ όνηης m [MP] [MP] Α Β Γ n3 ίδετι ότι η υχνότητ κτ όνηης είνι ν 0 Hz κι ότι ιχύει ο κνόνς του Miner κι η εξίωη του Goodmn γι το υλικό. ΛΥΣΗ Εφόον ιχύει ο γρµµικός κνόνς του Miner, τη υγκεκριµένη περίπτωη κι γι τ τρι διφορετικά µπλοκ κτπόνηης, ιχύει: n n n3 + +, (9.5.) 3 όπου n, n κι n3 είνι οι κύκλοι κτπόνηης ε κόπωη του υλικού γι τ ντίτοιχ τάδι κτπόνηης κι, κι 3 είνι οι κύκλοι τοχίς γι τ τρι διφορετικά τάδι κτπόνηης. Οι πρπάνω κύκλοι τοχίς πρέπει ν νφέροντι ε κτπόνηη µε την ίδι µέη τάη m. Πρτηρούµε ότι γι τ τρι τάδι κτπόνηης εφρµόζετι διφορετική µέη τάη κόπωης. Γι την εφρµογή του κνόν του Miner, µεττρέπουµε τις τρεις διφορετικές κτπονήεις ε κτπονήεις µε την ίδι µέη τάη m 0 κι διφορετικό ιοδύνµο εύρος κτπόνηης, µε τη χρήη της εξίωης του Goodmn. Οπότε ιχύει: m + (9.5.) B m B Οι κύκλοι τοχίς γι κάθε ιοδύνµη κτπόνηη µπορεί ν υπολογιτεί πό την εξίωη του Bsquin, που µπορεί ν εφρµοτεί µόνο γι m 0. Συνεπώς οι κύκλοι τοχίς υπολογίζοντι ως: C C (9.5.3) Υπολογιµός γι το Στάδιο Α Το ιοδύνµο εύρος τάης υπολογίζετι πό την εξίωη (9.5.) ως: 80MP 0 MP 500 MP 05,6 ΜP (9.5.4) Οι κύκλοι τοχίς υπολογίζοντι µε εφρµογή της εξίωης (9.5.3) ως:

14 MP ,6 MP Ν 9, κύκλοι κτπόνηης. (9.5.5) Υπολογιµός γι το Στάδιο Β Όµοι γι το τάδιο Β: 00 MP 80MP 500 MP κι 9,05 ΜP (9.5.6) MP ,05MP Ν 3, κύκλοι κτπόνηης. (9.5.7) Υπολογιµός γι το Στάδιο Γ Όµοι γι το τάδιο Γ: 75MP 3 50 MP 500 MP κι 3 07,5 ΜP (9.5.8) MP ,5 MP Ν 3 5, κύκλοι κτπόνηης. (9.5.9) Στην εξίωη (9.5.), ο µονδικός άγνωτος είνι οι κύκλοι κτπόνηης n3. Με ντικτάτη των εξιώεων (9.5.4) έως (9.5.9) την (9.5.), ιχύει: n 3 n n n n n n 3 5, ,7 0 3,39 0 n 3, κύκλοι κτπόνηης. (9.5.0) Με δεδοµένο ότι η υχνότητ της κτπόνηης είνι τ v 0 Hz, δηλδή 0 κύκλοι κτπόνηης νά sec, ιχύει πως: 0 t n 3 ν t,03 0 / 0 t, sec, που ντιτοιχεί περίπου ε 39 ηµερολογικά έτη. 4

15 5 9.6 οκίµιο ό χάλυβ AISI 4340 υ οβάλλετι ε ε νλµβνόµενη κυκλική κτ όνηη µε εφελκυτική µέη τιµή ε ιβλλόµενης τάης m 00 MP. Ν βρεθούν ) Ποι είνι η εκτιµώµενη διάρκει ζωής ε κό ωη εάν το εύρος κτ όνηης είνι 450 MP, κι β) ν εκτιµηθεί η κµ ύλη γι την ρ άνω τιµή της ε ιβλλόµενης µέης τάης κό ωης. ΛΥΣΗ

16 9.7 Μι χλύβδινη κυλινδρική ράβδος υ οβάλλετι ε κό ωη µε λήρη ντιτρέψιµ, εφελκυτικά φορτί: () µε 0 k γι κύκλους κτ όνηης κι (β) µε 3 k γι κύκλους κτ όνηης. Ν υ ολογιτεί η ιτούµενη διάµετρος της ράβδου, ώτε ν ντέχει τ ρ άνω φορτί γι τους κύκλους λειτουργίς δίχως τοχί. Ν θεωρηθεί ότι ιχύει ο κνόνς του Miner κι η εξίωη του Bsquin C, µε C 400 MP κι 0, ν είνι οι τθερές του χάλυβ. ΛΥΣΗ Εφόον ιχύει ο γρµµικός κνόνς του Miner, τη υγκεκριµένη περίπτωη κι γι τ δυο διφορετικά τάδι κτπόνηης, η ράβδος θ λειτουργεί µε φάλει, εάν: n n +, (9.7.) όπου n κι n είνι οι κύκλοι κτπόνηης ε κόπωη του υλικού γι τ ντίτοιχ τάδι κτπόνηης κι κι είνι οι κύκλοι τοχίς γι τ δυο διφορετικά τάδι κτπόνηης. Οι πρπάνω κύκλοι τοχίς, οι οποίοι πρέπει ν υπολογιτούν, νφέροντι ε κτπόνηη µε την ίδι µέη τάη m, η οποί την υγκεκριµένη περίπτωη είνι µηδενική, δηλδή m 0 (πλήρης ντιτρέψιµη φόρτιη). Εποµένως το εύρος τάης γι τo πρώτο τάδιο κτπόνηης είνι: P/A 4. P/π. d, (9.7.) µε P 0 k ν είνι το µέγιτο φορτίο κτά το πρώτο τάδιο κτπόνηης, Α κι d ν είνι η διτοµή κι η διάµετρος της ράβδου, ντίτοιχ. Όµοι, γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης, ιχύει: 4. P /π. d, (9.7.3) µε P 3 k ν είνι το µέγιτο φορτίο κτά το δεύτερο τάδιο κτπόνηης. Γι τον χάλυβ, ιχύει η εξίωη του Bsquin. Με βάη υτή την εξίωη υπολογίζοντι οι κύκλοι τοχίς γι κάθε τάδιο κτπόνηης. Γι το πρώτο τάδιο κι µε ντικτάτη της (9.7.), ιχύει: C / C / C A P Όµοι, γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης, ιχύει: / (9.7.4) C A P (9.7.5) Αντικθιτώντς τις εξιώεις (9.7.4) κι (9.7.5) την (9.7.), ιχύει: / / n P n P / / / + n + / / P n P ( C A ( C A) ( C A) ) / / A ( n ) P + n P. (9.7.6) C Αντικθιτώντς τις τιµές n , n , P 0.000, P κι C 400 MP, η πρπάνω εξίωη (9.7.6) δίδει: π d / 4 ( (0.000) / (3.000) / ) 400 6

17 d 3 mm. (9.7.7) Εποµένως η ελάχιτη διάµετρος της ράβδου γι φλή λειτουργί είνι 3 mm. 9.8 Ένς κυλινδρικός άξονς εριτρέφετι µε τθερή γωνική τχύτητ 0 rpm κι υ οβάλλετι ε υγκεντρωµένο φορτίο το έν άκρο του, ό ως φίνετι το Σχήµ 9.7 (L 0 cm). Το φορτίο µετβάλλετι µε τον χρόνο, ε διτήµτ της µίς ώρς, ό k ε. k, ό ως ρουιάζετι γρφικά το Σχήµ 9.3. Ν υ ολογιτεί η ιτούµενη διάµετρος του άξον ώτε ν λειτουργεί µε φάλει γι έν µήν. Ν θεωρηθεί ότι ιχύει ο κνόνς του Miner κι η εξίωη του Bsquin C, µε C 300 MP κι 0,. 7 Σχήµ 9.7: Σκρίφηµ του περιτρεφόµενου άξον. Σχήµ 9.3: Εφρµοζόµεν φορτί τον άξον. ΛΥΣΗ Λόγω του εφρµοζόµενυ φορτίου, ο άξονς υποβάλλετι ε κµπτική ροπή, η οποί λµβάνει τη µέγιτη τιµή της (Μ mx P. L), την έδρη. Η κµπτική τάη που νπτύετι είνι εφελκυτική το επάνω µέρος κι θλιπτική το κάτω µέρος του άξον. Ωτόο, λόγω της περιτροφής, µι τοιχειώδης ίν την επιφάνει του υλικού υποβάλλετι ε κόπωη (εφελκυµός θλίψη) µε µηδενική µέη τάη. Το εύρος υτής της φόρτιης είνι η κµπτική τάη την επιφάνει, η οποί υπολογίζετι ως εξής: M mx, P L 3 I π d 3 6 6,4 0 MP ( dε [mm]). (9.8.) π 3 d Όµοι, γι το φορτίο P, υπολογίζετι το εύρος της φόρτιης: 6 P L 7,68 0 MP ( dε [mm]) 3 3 π d π d. (9.8.) 3 Ο ριθµός των κύκλων φόρτιης γι την τοχί γι κάθε τάδιο κτπόνηης υπολογίζετι µε την χρήη της εξίωης του Bsquin: C / π 3/ d 6 C / C. (9.8.3) 6,4 0 Όµοι, γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης προκύπτει ότι: / π 3/ d 6 C. (9.8.4) 7,68 0

18 8 Σύµφων µε τον γρµµικό κνόν του Miner, ο άξονς θ λειτουργεί µε φάλει εάν: n n +. (9.8.5) Από το Σχήµ 9.3 προκύπτει ότι οι κύκλοι φόρτιης είνι ίδιοι, δηλδή n n. O άξονς πρέπει ν λειτουργεί µε φάλει γι έν µήν (43.00 min), µε τχύτητ περιτροφής 0 τροφές νά λεπτό (rpm). Συνεπώς οι ολικοί κύκλοι κτπόνηης είνι: n ολ t. v n ολ κύκλοι φόρτιης. (9.8.6) Εποµένως, ιχύει ότι: nολ n n κύκλοι φόρτιης. (9.8.7) Με ντικτάτη των (9.8.3), (9.8.4), (9.8.6) κι (9.8.7) την (9.8.5), προκύπτει: / 0, / 0, 6 6 6,4 0 7,68 0 3/ 0, d π π d 3 mm. (9.8.8) Εποµένως η ελάχιτη διάµετρος του άξον είνι 3 mm.

19 9.9 Ένς µετλλικός γωγός µεγάλου µήκους, διµέτρου m κι άχους 4 cm, χρηιµο οιείτι γι τη µετφορά φυικού ερίου. Ο γωγός έχει κτκευτεί µε υγκόλληη µεγάλων ωλήνων µετξύ τους. Μετρήεις την εριοχή της υγκόλληης νέδειξν την ύ ρξη εφελκυτικών, εν οµενουών τάεων την εριφερεική διεύθυνη του ωλήν. Η τιµή των εν οµενουών τάεων δικυµίνοντι κτά το άχος του ωλήν, κι έχουν µέη τιµή ερί ου το 0% του ορίου διρροής του υλικού. Ο γωγός έχει χρηιµο οιηθεί γι 3 έτη ε µι εωτερική ίεη ου µετβάλλετι ό 0 ε 0 MP, ε διτήµτ των ωρών. Α οφίτηκε η ύξηη της µέγιτης ίεης τ MP. Ν εκτιµηθεί η οµένου διάρκει ζωής του γωγού µε κι δίχως τον υνυ ολογιµό της ε ίδρης των εν οµενουών τάεων. Ν θεωρηθεί ότι ιχύει ο κνόνς του Miner, η εξίωη του Goodmn κι του Bsquin: C, µε C 300 MP κι 0,. ίδοντι ε ίης το όριο διρροής Rp 50 ΜP κι το όριο ντοχής Rm 300 MP. ΛΥΣΗ Γι έν γωγό µεγάλου µήκους, νπτύετι µόνο περιφερεική τάη. Η τάη υτή δίδετι πό την εξίωη: t P d / t, (9.9.) όπου P είνι η εωτερική πίεη, d είνι η εωτερική διάµετρος κι t το πάχος του γωγού. Γι τις µέγιτες τιµές της πίεης, Ρ 0 MP κι Ρ MP, η εξίωη (9.9.) δίδει τις µέγιτες τιµές των περιφερεικών τάεων, ενώ οι ελάχιτες είνι µηδενικές. ) Ε ίλυη δίχως την ε ίδρη των εν οµενουών τάεων Οι τιµές του εύρους κι της µέης τάης υπολογίζοντι ως εξής: mx + min ( P d / t) + (0) m 6,5 MP κι m 6,5 MP (9.9.) κι mx + min ( P d / t) + (0) m 75 MP κι m 75 MP (9.9.3) Εφόον ιχύει ο γρµµικός κνόνς του Miner, τη υγκεκριµένη περίπτωη κι γι τ δυο διφορετικά µπλοκ κτπόνηης, ιχύει: n n +, (9.9.4) όπου n, κι n είνι οι κύκλοι κτπόνηης ε κόπωη του υλικού γι τ ντίτοιχ τάδι κτπόνηης κι, κι είνι οι κύκλοι τοχίς γι τ δυο διφορετικά τάδι κτπόνηης. Οι πρπάνω κύκλοι τοχίς πρέπει ν νφέροντι ε κτπόνηη µε την ίδι µέη τάη m. Πρτηρούµε ότι γι τ δυο τάδι κτπόνηης εφρµόζετι διφορετική µέη τάη κόπωης. Γι την εφρµογή του κνόν του Miner, µεττρέπουµε τις δυο διφορετικές κτπονήεις ε κτπονήεις µε την ίδι µέη τάη m 0 κι διφορετικό ιοδύνµο εύρος κτπόνηης, µε τη χρήη της εξίωης του Goodmn. Οπότε ιχύει: 9

20 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ m + (9.9.5) B m B Γι το πρώτο τάδιο κτπόνηης, το ιοδύνµο εύρος τάης υπολογίζετι: 6,5 MP m 6,5 MP B 300 MP 78,95 ΜP (9.9.6) Γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης, ιχύει: 75MP m 75MP B 300 MP 00 ΜP (9.9.7) Ο ριθµός των κύκλων φόρτιης γι την τοχί γι κάθε τάδιο κτπόνηης υπολογίζετι µε την χρήη της εξίωης του Bsquin: / C 300 MP C 78,95MP Ν κύκλοι φόρτιης (9.9.8) Όµοι, γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης προκύπτει ότι: / / 0, / 0, C 300 MP C 00 MP Ν.750 κύκλοι φόρτιης (9.9.9) ίδετι επίης ότι ο γωγός ήδη έχει χρηιµοποιηθεί (πρώτο τάδιο κτπόνηης) γι 3 χρόνι 6.80 ώρες, δηλδή: n 3.40 κύκλοι φόρτιης (9.9.0) Με ντικτάτη των (9.9.0), (9.9.8), (9.9.9) την (9.9.4) προκύπτουν οι νµενόµενοι κύκλοι φόρτιης n γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης: n n 3.40 n n 0.7 κύκλοι φόρτιης ή 4,6 έτη λειτουργίς (9.9.) β) Ε ίλυη µε την ε ίδρη των εν οµενουών τάεων Εάν υνυπολογιτεί κι η επίδρη των ενποµενουών τάεων, τότε υτή πρέπει ν προτεθεί την ελάχιτη κι τη µέγιτη περιφερεική τάη που προκλλείτι πό την εωτερική πίεη του γωγού. Η τιµή της ενποµένους τάης είνι: res 0, Rp 0, 50 MP res 50 ΜP (9.9.) Οι τιµές του εύρους κι της µέης τάης υπολογίζοντι ως εξής: mx + min ( res + P d / t) + ( res ) 75 MP + 50MP m

21 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ m,5 MP (9.9.3) κι mx + min ( res + P d / t) + ( res ) 00 MP + 50MP m m 5 MP (9.9.4) Εποµένως, 0,5 ( mx min) 6,5 MP (9.9.5) κι.5 ( ) 75 MP (9.9.6) 0 mx min Πρτηρείτι ότι οι ενποµένουες τάεις λλάζουν τόο την µέη τάη όο κι το εύρος της κόπωης. Όµοι µε την πρώτη περίπτωη, υπολογίζοντι γι τ δυο τάδι κτπόνηης τ ιοδύνµ εύρη τάεων κόπωης κθώς κι οι νµενόµενοι κύκλοι φόρτιης γι την τοχί: 6,5 MP m,5mp B 300 MP 00 ΜP, (9.9.7) κι 75MP m 5MP B 300 MP 8,75 ΜP (9.9.8) Υπολογίζοντι οι ριθµοί των κύκλων φόρτιης γι την τοχί γι κάθε τάδιο κτπόνηης: κι / / 0, C 300 MP C 00 MP Ν.750 κύκλοι φόρτιης, (9.9.9) / / 0, C 300 MP C 8,75MP Ν.5 κύκλοι φόρτιης (9.9.0) Με ντικτάτη των (9.9.0), (9.9.9), (9.9.0) την (9.9.4), προκύπτουν οι νµενόµενοι κύκλοι φόρτιης n γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης: n n 3.40 n n 877 κύκλοι φόρτιης ή 0, έτη λειτουργίς (9.9.) Πρτηρείτι µι δρµτική µείωη την ενποµένου διάρκει ζωής (0, έτη υγκρινόµεν µε τ 4,6 έτη), ότν υνυπολογιτεί η επίδρη των ενποµενουών τάεων την περιοχή της υγκόλληης. Ωτόο, πρέπει ν ηµειωθεί ότι το τελικό ποτέλεµ κρίνετι υπερβολικά υντηριτικό, κθώς το πιθνότερο είνι πως οι ενλόγω τάεις θ έχουν εξοµλυνθεί πολύ πριν την τοχί του γωγού.

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

To φαινόµενο της κό ωσης. N.. Αλεξόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ

To φαινόµενο της κό ωσης. N.. Αλεξόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ To φαινόµενο της κό ωης N.. Αλεξόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ 1 οµή Παρουίαης Η κόπωη ε µηχανολογικές εφαρµογές Μηχανιµός κόπωης Στάδιο 1: ηµιουργία των µικρο-ρωγµών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

α Κατά τη μεταφορά με δεξαμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όγκου. Λ γ Κατά την εκφόρτωση υπό πίεση. Λ

α Κατά τη μεταφορά με δεξαμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όγκου. Λ γ Κατά την εκφόρτωση υπό πίεση. Λ ΚΕΦΑΑΙΟ 1: ΔΕΞΑΜΕΝΗ 30 Τ κπάκι των νθρωποθυρίδων μπορούν ν πρμένουν νοικτά: Κτά τη μετφορά με δεξμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όκου. Κτά τις ερσίες κθρισμού της δεξμενής (gasfree). Κτά την εκφόρτωση

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη µέτρηση της ωµικής λλά κι της σύνθετης ντίστσης µε υψηλή κρίβει χρησιµοποιούντι οι γέφυρες µέτρησης. Γι τη µέτρηση της ωµικής ντίστσης η πηγή τροφοδοσίς της γέφυρς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΑΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΑΤΟΣ

ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΑΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΑΤΟΣ ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΤΟΣ Ο ομογενής κύλινδρος(γιο-γιό) του σχήμτος έχει μάζ Μ=5kg κι κτίν R=0,m. Γύρω πό τον κύλινδρο είνι τυλιγμένο βρές κι μη εκττό νήμ, το ελεύθερο άκρο του οποίου τρβάμε προς τ πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν.

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν. ΑΔΑ: 6ΩΗΩΗ 5ΓΡ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήν, 15 Ιουνίου 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟΔΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΑΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ: Β Τχ.

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

Ηλώ σεις. 1 Άσκηση. 2 Άσκηση

Ηλώ σεις. 1 Άσκηση. 2 Άσκηση ΠΜΣ : Σχεδισμός & κτσκευή υπογείων έργων Ακδ. Έτος: 2013-2014 ΜΑΘΗΜΑ: Μέτρ Υποστήριξης Σηράγγων Διδάσκων : Κθηγητής Α.Ι. ΣΟΦΙΑΝΟΣ Επιμέλει σκήσεων: Π. Γιούτ Ηλώ σεις 1 Άσκηση Σχεδιάστε τη μέγιστη πίεση

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ Δύο ομογενείς δίσκοι, ένς μεγάλος μάζς Μ=3kg κι κτίνς =40 κι ένς μικρός μάζς m=kg κι κτίνς =10, ενώνοντι έτσι ώστε ν συμπίπτουν τ κέντρ τους. Ο δίσκος κτίνς διθέτει υλάκι

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας;

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας; Τ οικονομικά της Υγείς: μι υάρετη επιτήμη ή έν χρήιμο εργλείο γι τις πολιτικές Υγείς; Ιωάννης Κυριόπουλος Κθηγητής Οικονομικών της Υγείς, Διευθυντής του Τομέ Οικονομικών της Υγείς, Εθνική Σχολή Δημόις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 4 IOYNIOY 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015 ΠΝΤΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ ΙΟΛΟΓΙΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΣ 2015 ΘΕΜ 1. 2. γ 3. 4. δ 5. γ ΘΕΜ 1. 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8. νφορά στις σελίδες γίνετι µε τη σελιδοποίηση του πλιού ιλίου. 2. Σχολικό ιλίο σελ.36 «Κτά την ένρξη

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΘΕΜΑ 376/Β. Σε έν σώμ μάζς m που ρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο σκούμε κτκόρυφη στθερή δύνμη μέτρου F, οπότε το σώμ κινείτι κτκόρυφ προς τ πάνω με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ Γ. Αλεξίου, Α. Κλμπούνις, Ε. Αμντίδης, Δ. Μτράς Εργστήριο Τεχνολογίς Πλάσμτος, Τμήμ Χημικών Μηχνικών, Πνεπιστήμιο Πτρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου.

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου. Ο 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ-1 σχετίζει τη µετβολή της θερµοκρσίς ενός ερίου µετηµετφορά ενέργεις µετξύ του ερίου κι του περιβάλλοντός του κι το πργόµενο/ποδιδόµενο έργο Q U W Q * *

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕ :.ΜΡΙΝΟΥ ΤΗΛ.210-3332926 ΝΡΤΗΤΕ ΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ ΚΙ ΠΛΤΕΙ ΥΝΤΓΜΤΟ, ΘΗΝ 2014 ΦΟΡΕ : ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ ΚΙ ΤΟΜΕ : ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΚ ΠΡΟΓΡΜΜΤ ΥΠΟΤΟΜΕ : ΕΡΓ ΝΟΜΟΥ ΔΩΔΕΚΝΗΟΥ ΥΛΛΟΓΙΚΗ ΠΟΦΗ :Ν0098

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ, ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ στα ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1, 2

ΜΕΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ, ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ στα ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1, 2 ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ κι ΦΑΡΜΟΓΣ ΜΡΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ, ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΣ κι ΑΣΚΗΣΙΣ στ ΚΦΑΛΑΙΑ 1, ρ. Α. Μγουλάς Φερουάριος 015 1 Μερικά σχόλι ρτηρήσεις γι το εδίο ροής συνεχούς ηλεκτρικού ρεύµτος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ. Από το πρακτικό της αριθμ.15-11 ης Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής Δήμου Λεβαδέων Αριθμός απόφασης : 142.

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ. Από το πρακτικό της αριθμ.15-11 ης Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής Δήμου Λεβαδέων Αριθμός απόφασης : 142. ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ Λιβδειά 24 04-2015 Αριθ Πρωτ: 10259 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το πρκτικό της ριθμ15-11 ης Συνεδρίσης της Οικονομικής Επιτροπής Δήμου Λεβδέων Αριθμός πόφσης : 142 Περίληψη Εκθεση ποτελεσμάτων εκτέλεσης προϋπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 008 Μρτίου 008 Θεωρητικό Μέρος Θέμ o B Λυκείου. Έν δοχείο με διβτικά τοιχώμτ περιέχει μονοτομικό ιδνικό έριο με σχετική μορική μάζ M r κι ενώ κινείτι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΔΙΕΥΘΥΝΗ ΔΗΜΟΙΩΝ ΕΠΕΝΔΥΕΩΝ ΤΜΗΜ : ΚΤΡΤΙΗ ΕΤΗ. ΠΡΟΓΡΜ. ΔΗΜ. ΕΠΕΝΔ. ΤΜΗΜΤΡΧΗ : Δ. ΓΡΟΥΖΗ ΤΗΛ. 210-3332990 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕ : Ι.ΖΡΦΕΤ ΤΗΛ.210-3332864 ΝΡΤΗΤΕ ΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ, ΝΤΓΩΝΙΤΙΚΟΤΗΤ,

Διαβάστε περισσότερα

* 4. Οµογενές στερεό σώµ στρέφετι γύρω πό στθερό άξον, υπό την επίδρση στθερής ροπής τ. Συνεπώς όλ τ υλικά σηµεί που το ποτελούν. έχουν την ίδι επιτρό

* 4. Οµογενές στερεό σώµ στρέφετι γύρω πό στθερό άξον, υπό την επίδρση στθερής ροπής τ. Συνεπώς όλ τ υλικά σηµεί που το ποτελούν. έχουν την ίδι επιτρό *! " # $ # # " % $ " " % $ " ( # " ) % $ THΛ: 270727 222594 THΛ: 919113 949422 " % +, Α. Γι τις πρκάτω προτάσεις 1-4 ν γράψετε το γράµµ, β, γ ή δ, που ντιστοιχεί στην σωστή πάντηση 1. Αν στο διπλνό κύκλωµ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Συνοπτικές σημειώσεις

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Συνοπτικές σημειώσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Συνοπτιές ημειώεις Δημήτριος Πντελής ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Βιό μοντέλο Σε τιμές της νεξάρτητης μετλητής (δείγμ )

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής:

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής: III Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ Μετθέσεις Θεωρούμε έν σύνολο Ν με πεπερσμένο το πλήθος ντικείμεν Τ ριθμούμε υτά κτά κάποιο τρόπο, κι στη συνέχει, νφερόμεθ σ υτά με τον ριθμό τους Εστω, λοιπόν, Ν {,,, } το δοσμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) ΔΙΓΩΝΙΣΜ Θέµ 1 ο πό τις πρκάτω πολλπλές πντήσεις ν επιλέξετε τη σωστή. 1. Ηκυττρική διφοροποίηση συνίσττι. στην πύση της λειτουργίς όλων των γονιδίων β. στην εκλεκτική λειτουργί των γονιδίων γ. σε δυνµί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Είνι γνωστό ότι γι πολλά ορισµέν ολοκληρώµτ δεν υπάρχουν νλυτικές µέθοδοι κριβούς επίλυσής τους. Ετσι λοιπόν έχουν νπτυχθεί προσεγγιστικές µέθοδοι υπολογισµού τέτοιων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Τίτλος Διπλωμτικής Εργσίς «Οικονομοτεχνική ξιολόγηση της ενεργεικής νβάθμισης συμβτικών κτιρίων, με την εφρμογή

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος.

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1. ΙΑΛΥΜΑΤΑ (ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ) Όπως νφέρµε διάλυµ είνι έν οµογενές µίγµ που ποτελείτι πό δύο ή περισσότερες χηµικές ουσίες. Περιεκτικότητ διλύµτος είνι η ποσότητ της διλυµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΤΜΗΜΤΡΧΗ : Δ. ΓΡΟΥΖΗ ΤΗΛ. 210-3332990 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕ :.ΜΡΙΝΟΥ ΤΗΛ.210-3332926 ΝΡΤΗΤΕ ΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ ΚΙ ΝΤΓΩΝΙΤΙΚΟΤΗΤ ΠΛΤΕΙ ΥΝΤΓΜΤΟ, ΘΗΝ 2014 ΦΟΡΕ : ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ ΚΙ ΝΤΓΩΝΙΤΙΚΟΤΗΤ

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα