Apeirostikìc Logismìc. Mia Pragmatik Metablht

Transcript

1 Apeirostikìc Logismìc Mi Prgmtik Metblht Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης

2

3 Proktrktikˆ. Οι σημειώσεις αυτές ασχολούνται με τον απειροστικό λογισμό, δηλαδή τον λογισμό των απειροστών μεγεθών, δηλαδή τον λογισμό των ορίων. Περιορίζονται στο πλαίσιο των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής με πραγματικές τιμές. Αφού αναφερθούν οι κυριότερες ιδιότητες των (πραγματικών) αριθμών, ορίζονται οι έννοιες του ορίου ακολουθίας και του ορίου συνάρτησης καθώς και η συγγενική έννοια της συνεχούς συνάρτησης. Κατόπιν ο απειροστικός λογισμός χωρίζεται στον λογισμό των παραγώγων - τον διαφορικό λογισμό - και στον λογισμό των ολοκληρωμάτων - τον ολοκληρωτικό λογισμό. Τους δυο αυτούς λογισμούς ενώνει το Θεμελιώδες Θεώρημα του απειροστικού λογισμού. Οι σημειώσεις τελειώνουν με μερικά ζητήματα προσεγγιστικών υπολογισμών και με τις σειρές αριθμών.. Το επίπεδο των σημειώσεων είναι στοιχειώδες. Δηλαδή δεν ασχολούνται με τη βαθύτερη ιδιότητα των πραγματικών αριθμών, τη λεγόμενη Ιδιότητα Συνέχειας, οπότε και δεν αποδεικνύουν κανένα από τα αποτελέσματα που στηρίζονται στην ιδιότητα αυτή. Για παράδειγμα, δεν αποδεικνύεται η ύπαρξη ριζών των θετικών αριθμών ούτε τα βασικά θεωρήματα για συνεχείς συναρτήσεις ούτε η ολοκληρωσιμότητα των συνεχών συναρτήσεων. Επίσης, δεν αναφέρονται καν διάφορα μη στοιχειώδη αποτελέσματα όπως το θεώρημα των Bolzo - Weierstrss για ακολουθίες. Στο άμεσο μέλλον θα προστεθούν ως παραρτήματα των αντίστοιχων κεφαλαίων όλα τα μη στοιχειώδη αποτελέσματα του απειροστικού λογισμού, οπότε οι σημειώσεις αυτές θα αποτελούν μια πλήρη έκθεση της βασικής Ανάλυσης Μιας Μεταβλητής. 3. Η Ιδιότητα Συνέχειας δεν αναφέρεται καν εκτός σε ελάχιστα σημεία (και πάλι, όχι ως τέτοια) και μόνο για να στηριχτούν στοιχειωδώς οι ανάλογες περιγραφές. Μάλιστα, η Ιδιότητα Συνέχειας αναφέρεται όχι με τη λιγότερο εύληπτη διατύπωσή της με το ελάχιστο άνω φράγμα αλλά με την εξής απλούστερη - και ισοδύναμη - μορφή της: αν έχουμε δυο μη κενά υποσύνολα της πραγματικής ευθείας και το ένα βρίσκεται αριστερά του άλλου, τότε υπάρχει σημείο της ευθείας που βρίσκεται ανάμεσα στα δυο αυτά σύνολα. 4. Από πολύ νωρίς - από το πρώτο μόλις κεφάλαιο - δίνονται κάποιοι μη τετριμμένοι ορισμοί: ο ορισμός της ρίζας θετικού αριθμού (και ο συνακόλουθος ορισμός της δύναμης με ρητό εκθέτη), ο ορισμός της δύναμης με άρρητο εκθέτη, ο ορισμός του λογαρίθμου και ο ορισμός των τριγωνομετρικών αριθμών και των αντιστρόφων τους. Ο ορισμός των τριγωνομετρικών αριθμών είναι γεωμετρικός και βασίζεται στον τριγωνομετρικό κύκλο. Αυτό κρίνεται απαραίτητο διότι αφ ενός ένας αυστηρά μαθηματικός ορισμός μπορεί να δοθεί μόνο σε πολύ κατοπινότερο στάδιο και αφ ετέρου οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι τόσο βασικές ώστε δεν είναι σωστό να μαθαίνει κάποιος τις έννοιες του απειροστικού λογισμού χωρίς ταυτόχρονα να τις εφαρμόζει στις συναρτήσεις αυτές. Οι άλλοι τρεις ορισμοί είναι αυστηρά μαθηματικοί χωρίς, όμως, πλήρη αιτι- 3

4 ολόγηση, αφού αποφεύγουμε να χρησιμοποιήσουμε την Ιδιότητα Συνέχειας. Ισως υπάρξει κάποια ένσταση διότι σε διάφορα βιβλία επιλέγεται διαφορετική σειρά παρουσίασης αυτών των ορισμών. Για παράδειγμα, ο ορισμός της ρίζας προκύπτει ως εφαρμογή του θεωρήματος ενδιάμεσης τιμής στη συνάρτηση y = x, ο ορισμός του λογαρίθμου γίνεται με το ολοκλήρωμα log x = x t dt και ο ορισμός της δύναμης με άρρητο εκθέτη γίνεται μέσω της εκθετικής συνάρτησης η οποία ορίζεται ως αντίστροφη της λογαριθμικής. Η παρουσίαση αυτή, παρά το ότι είναι πολύ βολική, μάλλον δεν είναι «φυσιολογική» εννοιολογικά. 5. Δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στους αυστηρά μαθηματικούς ορισμούς του ορίου ακολουθίας - «με τους ɛ και 0» - και του ορίου συνάρτησης - «με τους ɛ και δ». Υπάρχουν πολλά σχετικά παραδείγματα και οι φοιτητές πρέπει να λύσουν αρκετές ασκήσεις υπολογισμού των 0 και δ από τον ɛ. Το σωστό πλαίσιο για τους ορισμούς αυτούς είναι μάλλον ένα μάθημα στοιχειώδους απειροστικού λογισμού με έμφαση στην έννοια της προσέγγισης παρά κάποιο μετέπειτα μάθημα με έμφαση στο θεωρητικό μέρος και στην Ιδιότητα Συνέχειας. 6. Ο ορισμός του ολοκληρώματος βασίζεται στα αθροίσματα Riem και όχι στα αθροίσματα Drboux. Η αιτία είναι διπλή. Αφ ενός ο ορισμός του ολοκληρώματος μέσω των αθροισμάτων Drboux απαιτεί μεγαλύτερη προετοιμασία αλλά και την έννοια του ελάχιστου άνω φράγματος και αφ ετέρου τα αθροίσματα Riem συνδέονται πιο άμεσα και φυσιολογικά με τις εφαρμογές των ολοκληρωμάτων. 7. Οι αποδείξεις που περιέχονται στις σημειώσεις αυτές είναι πολλές. Εκτός από ελάχιστες εξαιρέσεις οι αποδείξεις παρουσιάζονται με μικρά τυπογραφικά στοιχεία ώστε κατά την πρώτη ανάγνωση οι φοιτητές να επικεντρώσουν την προσοχή τους στις διατυπώσεις των αποτελεσμάτων, στα παραδείγματα και κυρίως στις ασκήσεις. Ας αποφασίσει ο εκάστοτε διδάσκων ποιες από αυτές τις αποδείξεις θα παρουσιάσει στον πίνακα - η πίεση χρόνου δεν αφήνει πολλά περιθώρια! 8. Οι σημειώσεις αυτές είχαν χρησιμοποιηθεί σε μια πρώτη μορφή το χειμερινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους στο μάθημα του Απειροστικού Λογισμού Ι για τους φοιτητές του Τμήματος Επιστήμης Υπολογιστών. Η παρούσα μορφή, η οποία είναι διαφορετική από την πρώτη σε πολλά σημεία και, ελπίζω, βελτιωμένη, απευθύνεται στους φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών, αλλά και στους φοιτητές των Τμημάτων Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Επιστήμης Υπολογιστών. Τέλος, επειδή είναι σαφές ότι κι αυτή η μορφή απέχει αρκετά από το να είναι βέλτιστη, είναι απείρως ευπρόσδεκτες οποιεσδήποτε επισημάνσεις λαθών αλλά και παρατηρήσεις ως προς το στυλ παρουσίασης ή την επιλογή των θεμάτων αυτών των σημειώσεων. Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Κρήτης 3 Σεπτεμβρίου

5 Perieqìme Οι Πραγματικοί Αριθμοί 9. Η πραγματική ευθεία Δυνάμεις και ρίζες Δεκαδικά αναπτύγματα Λογάριθμοι Τριγωνομετρικοί αριθμοί. Αντίστροφοι τριγωνομετρικοί αριθμοί.. 3 Ακολουθίες και Ορια Ακολουθιών 4. Ορισμοί Οριο ακολουθίας Τα ± ως όρια ακολουθιών Ιδιότητες σχετικές με όρια ακολουθιών Μονότονες ακολουθίες. Ο αριθμοί e, π Συναρτήσεις Φυσικά και γεωμετρικά παραδείγματα Η γενική έννοια της συνάρτησης Αναλυτική έκφραση μιας συνάρτησης Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Αντίστροφη συνάρτηση Πολυωνυμικές και ρητές συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Δυνάμεις Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση Τριγωνομετρικές και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις Υπερβολικές και αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις Ορια Συναρτήσεων 5 4. Ορισμοί, παραδείγματα Οριο και γράφημα Ιδιότητες ορίων Ορια συναρτήσεων και ακολουθίες Ρητές συναρτήσεις Δυνάμεις

6 4.7 Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Μονότονες συναρτήσεις Συνεχείς Συναρτήσεις Ορισμοί, παραδείγματα Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων Συνεχείς συναρτήσεις και ακολουθίες Τα τρία βασικά θεωρήματα Εφαρμογές των βασικών θεωρημάτων Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Παράγωγοι Ενα γεωμετρικό και ένα φυσικό πρόβλημα Παράγωγος Παραδείγματα παραγώγων, Ι Παράγωγος και γράφημα συνάρτησης Ιδιότητες των παραγώγων Παραδείγματα παραγώγων, ΙΙ Τέσσερα σημαντικά θεωρήματα Εφαρμογές: ακρότατα και μονοτονία Δεύτερη παράγωγος και εφαρμογές Ασύμπτωτες ευθείες Υπολογισμός απροσδιόριστων μορφών Ιεράρχηση ρυθμών αύξησης Ολοκληρώματα Εμβαδό Το ολοκλήρωμα Ιδιότητες ολοκληρωμάτων Εφαρμογές των ολοκληρωμάτων Σχέση παραγώγου και ολοκληρώματος Αντιπαράγωγος και αόριστο ολοκλήρωμα Το Θεμελιώδες Θεώρημα Τεχνικές υπολογισμού ολοκληρωμάτων Γενικευμένα ολοκληρώματα Μερικά ζητήματα προσέγγισης Ο τύπος του Tylor Προσεγγιστική επίλυση εξισώσεων Προσεγγιστική ολοκλήρωση

7 0 Σειρές Ορισμοί και βασικές ιδιότητες Σειρές με μη αρνητικούς όρους Κριτήρια σύγκλισης σειρών Δυναμοσειρές Σειρές Tylor

8 8

9 Kefˆlio Oi PrgmtikoÐ ArijmoÐ Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται κατ αρχήν μια σύντομη επανάληψη εννοιών και συμβόλων - όλα γνωστά από το λύκειο - για τους αριθμούς και την αναπαράστασή τους στην πραγματική ευθεία. Υπάρχουν, όμως, και νέα στοιχεία. Δίνεται κάποια έμφαση στην Αρχιμήδεια ιδιότητα, στον ορισμό του ακέραιου μέρους, στην πυκνότητα του συνόλου των ρητών μέσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αναφέρονται διεξοδικά οι ορισμοί των ριζών, των δυνάμεων με ρητούς και άρρητους εκθέτες, των λογαρίθμων θετικών αριθμών και των τριγωνομετρικών αριθμών και των αντίστροφων τριγωνομετρικών αριθμών. Τέλος, μελετώνται τα δεκαδικά αναπτύγματα των μη αρνητικών αριθμών ως πρώτη εισαγωγή στην έννοια της προσέγγισης.. H prgmtik eujeð. Ολοι έχουμε στοιχειώδη γνώση των πραγματικών αριθμών και των ιδιοτήτων τους. Τους πραγματικούς αριθμούς θα τους λέμε, απλώς, αριθμούς. Α. Φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί. Το άθροισμα x + y, η διαφορά x y, το γινόμενο xy και ο λόγος x y (y 0) αριθμών x, y είναι αριθμοί. Οι ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετικότητα, προσεταιριστικότητα κλπ.) είναι γνωστές από το γυμνάσιο. Οι απλούστεροι αριθμοί είναι οι φυσικοί,, 3,..., οι ακέραιοι 0,,,,, 3, 3,... και οι ρητοί, δηλαδή οι λόγοι m, όπου m, είναι ακέραιοι με τον περιορισμό 0. Επειδή κάθε ακέραιος m είναι ίσος με τον λόγο m, το σύνολο των ακεραίων περιέχεται στο σύνολο των ρητών. Το άθροισμα και το γινόμενο φυσικών είναι φυσικοί. Το άθροισμα, το γινόμενο και η διαφορά ακεραίων είναι ακέραιοι. Τέλος, το άθροισμα, το γινόμενο, η διαφορά και ο λόγος ρητών είναι ρητοί. Οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί χαρακτηρίζονται άρρητοι. Τέτοιοι αριθμοί ήταν γνωστοί από την αρχαιότητα για παράδειγμα, ο λόγος του μήκους της διαγωνίου 9

10 προς το μήκος της πλευράς οποιουδήποτε τετραγώνου. Περισσότερα για τους αρρήτους θα δούμε στην επόμενη ενότητα, όπου θα μιλήσουμε για τις ρίζες. Παρατηρήσεις: () Κάθε ρητός γράφεται με άπειρους τρόπους ως λόγος ακεραίων: πράγματι, όλοι οι λόγοι ±m ±, ±m ±, ±3m ±3,... είναι μεταξύ τους ίσοι. () Κάθε ρητός μπορεί να γραφτεί ως λόγος m έτσι ώστε ο m να είναι ακέραιος και ο φυσικός, δηλαδή θετικός ακέραιος. Για παράδειγμα, ο γράφεται και 3 και ο 4 3 γράφεται και 4 3. Με το σύμβολο R συμβολίζουμε το σύνολο των αριθμών. Επίσης, με τα σύμβολα N, Z και Q συμβολίζουμε τα σύνολα των φυσικών, των ακεραίων και των ρητών, αντιστοίχως. Προσέξτε: μερικά βιβλία θεωρούν φυσικό και τον 0, οπότε με N συμβολίζουν το σύνολο των 0,,,... και με N το σύνολο των,,.... Β. Ανισότητες, απόλυτες τιμές. Οι ιδιότητες των ανισοτήτων είναι γνωστές. Η πρόταση που ακολουθεί παραθέτει μερικές από αυτές. Πρόταση. () Αν x y και y z, τότε x z. Αν μια τουλάχιστον από τις δυο αρχικές ανισότητες είναι γνήσια, τότε και η τελική είναι γνήσια ανισότητα. () Αν x y, τότε x + z y + z και x z y z. (3) Αν x y και z w, τότε x + z y + w. Αν μια τουλάχιστον από τις δυο αρχικές ανισότητες είναι γνήσια, τότε και η τελική είναι γνήσια ανισότητα. (4) Αν x y και z > 0, τότε xz yz και x z y z. (5) Αν x y και z < 0, τότε xz yz και x z y z. (6) Αν 0 < x y και 0 < z w, τότε 0 < xz yw. Αν μια τουλάχιστον από τις δυο αρχικές ανισότητες είναι γνήσια, τότε και η τελική είναι γνήσια ανισότητα. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού x συμβολίζεται x και ορίζεται να είναι ο ίδιος ο x, αν x 0, και ο x, αν x 0. Δηλαδή { x, αν x 0, x = x, αν x 0. Προφανώς, η απόλυτη τιμή κάθε αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός. μερικές γνωστές ιδιότητες των απόλυτων τιμών. Ιδού Πρόταση. () xy = x y. () x y x ± y x + y. (3) Αν y 0, τότε x y = x y. (4) x αν και μόνο αν x. (5) x < αν και μόνο αν < x <. Ο μεγαλύτερος από δυο αριθμούς x, y συμβολίζεται mx{x, y} και ο μικρότερος mi{x, y}. Τα σύμβολα αυτά χρησιμοποιούνται και για περισσότερους από δυο αριθμούς: mx{x,..., x } και mi{x,..., x }. Αν ένα υποσύνολο A του R έχει μέγιστο στοιχείο, δηλαδή στοιχείο του A μεγαλύτερο από κάθε άλλο 0

11 στοιχείο του A, τότε το στοιχείο αυτό ονομάζεται και mximum του A και συμβολίζεται mx A. Επίσης, αν το A έχει ελάχιστο στοιχείο, τότε αυτό ονομάζεται και miimum του A και συμβολίζεται mi A. Γ. Η γεωμετρική αναπαράσταση του R. Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί αναπαρίστανται από σημεία ευθείας ως εξής. Θεωρούμε αυθαίρετη ευθεία γραμμή και ξεχωρίζουμε αυθαίρετο σημείο της Ο το οποίο αναπαριστά τον αριθμό 0. Επειτα ξεχωρίζουμε δεύτερο αυθαίρετο σημείο Ι της ευθείας το οποίο αναπαριστά τον αριθμό. Η απόσταση του Ι από το Ο παίζει τον ρόλο της μονάδας μέτρησης αποστάσεων. Αφού καθοριστούν αυτά τα δυο σημεία, κάθε άλλος αριθμός x αναπαρίσταται από το αντίστοιχο σημείο Χ της ευθείας το οποίο βρίσκεται στην ίδια μεριά του Ο στην οποία βρίσκεται και το Ι, αν x > 0, και στην αντίθετη μεριά του Ο, αν x < 0, και του οποίου η απόσταση από το Ο είναι ίση με x. Επομένως, είναι αυτονόητο ότι: Κάθε σημείο της ευθείας αναπαριστά ένα μοναδικό αριθμό και κάθε αριθμός αναπαρίσταται από ένα μοναδικό σημείο της ευθείας. Ειδικώτερα, τα σημεία της ευθείας είναι σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με τους αριθμούς. Σχήμα.: Η πραγματική ευθεία. Κάθε ευθεία που χρησιμοποιούμε για να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς την ονομάζουμε πραγματική ευθεία και στο εξής δε θα κάνουμε διάκριση ανάμεσα στο οποιοδήποτε σημείο Χ μιας πραγματικής ευθείας και στον αριθμό x που αναπαρίσταται από το σημείο αυτό. Θα λέμε: το σημείο x καθώς και ο αριθμός x. Επίσης, θα λέμε: ρητά σημεία και ακέραια σημεία της πραγματικής ευθείας. Είναι φανερό από τον κανόνα αντιστοίχισης αριθμών και σημείων ότι η απόσταση κάθε σημείου x της πραγματικής ευθείας από το σημείο 0 είναι ίση με x. Επίσης, γενικότερα, γνωρίζουμε ότι: Η απόσταση οποιωνδήποτε σημείων x, y της πραγματικής ευθείας είναι ίση με x y. Τέλος, γνωρίζουμε τη σχέση ανάμεσα στις ανισότητες αριθμών και στη διάταξη των αντίστοιχων σημείων της πραγματικής ευθείας: Είναι x < y αν και μόνο αν τα σημεία x, y έχουν την ίδια διάταξη με τα αντίστοιχα σημεία 0,. Δηλαδή, αν η ευθεία είναι οριζόντια και το σημείο είναι δεξιά του σημείου 0,

12 τότε: είναι x < y αν και μόνο αν το σημείο y είναι δεξιά του σημείου x. Αν η ευθεία είναι κατακόρυφη και το σημείο είναι πάνω από το σημείο 0, τότε: είναι x < y αν και μόνο αν το σημείο y είναι πάνω από το σημείο x. Σ αυτές τις σημειώσεις θα ακολουθούμε τη συνηθισμένη πρακτική: για τη γεωμετρική αναπαράσταση των αριθμών θα χρησιμοποιούμε οριζόντια ευθεία με το σημείο δεξιά του σημείου 0. Εναλλακτικά, όταν χρειαζόμαστε και δεύτερη ευθεία (για παράδειγμα, όταν σχεδιάζουμε γραφήματα συναρτήσεων), θα χρησιμοποιούμε και κατακόρυφη ευθεία με το σημείο πάνω από το σημείο 0. Δ. Διαστήματα και τα σύμβολα ±. Τα διαστήματα είναι χαρακτηριστικά υποσύνολα του R. Αν < b, ορίζουμε (, b) = {x : < x < b}, (, b] = {x : < x b} και [, b) = {x : x < b}. Αν b, ορίζουμε [, b] = {x : x b}. Ολα αυτά χαρακτηρίζονται φραγμένα διαστήματα με άκρα, b. Από αυτά το (, b) χαρακτηρίζεται ανοικτό διάστημα και το [, b] κλειστό διάστημα. Κατόπιν ορίζουμε (, + ) = {x : x > }, (, b) = {x : x < b}, [, + ) = {x : x } και (, b] = {x : x b}. Αυτά χαρακτηρίζονται μη φραγμένα διαστήματα (ή ημιευθείες) και τα δυο πρώτα χαρακτηρίζονται ανοικτά διαστήματα (ή ανοικτές ημιευθείες) ενώ τα δυο τελευταία κλειστά διαστήματα (ή κλειστές ημιευθείες). Φυσικά, ορίζεται και το μη φραγμένο διάστημα (, + ) = R, δηλαδή ολόκληρη η πραγματική ευθεία. Παρατήρηση: Πρέπει να τονίσουμε ότι τα σύμβολα +, δεν είναι τίποτε άλλο παρά σκέτα σύμβολα: δεν είναι αριθμοί. Μπορούμε να σκεφτόμαστε το + ως ένα (φανταστικό) σημείο που είναι δεξιά κάθε σημείου της πραγματικής ευθείας και το ως ένα (φανταστικό) σημείο που είναι αριστερά κάθε σημείου της πραγματικής ευθείας. Αυτός είναι ο λόγος που επεκτείνουμε την χρήση των συμβόλων <, > των ανισοτήτων, γράφοντας < x, x < +, < + για κάθε αριθμό x. Επίσης, μπορούμε να σκεφτόμαστε το + ως μια (φανταστική) απείρως μεγάλη θετική ποσότητα και το ως μια (φανταστική) απείρως μεγάλη (σε μέγεθος) αρνητική ποσότητα. Θα ξανααναφέρουμε τα σύμβολα ± και σε επόμενα κεφάλαια, όπου θα μελετήσουμε την έννοια του ορίου. Ε. Η σχέση των φυσικών με τους υπόλοιπους αριθμούς. Αν έχουμε δυο ευθύγραμμα τμήματα με μήκη και b, τότε, αν πάρουμε έναν αρκετά μεγάλο αριθμό αντιγράφων του πρώτου και τα κολλήσουμε το ένα μετά το άλλο πάνω στην ίδια ευθεία, το ευθύγραμμο τμήμα που θα προκύψει θα έχει μήκος μεγαλύτερο από το μήκος του δεύτερου ευθύγραμμου τμήματος. Το πόσο μεγάλο αριθμό αντιγράφων χρειαζόμαστε εξαρτάται, φυσικά, από το μέγεθος του δεύτερου ευθύγραμμου τμήματος (σε σχέση με τη μονάδα μέτρησης αποστάσεων). Η μαθηματική έκφραση αυτής της εμπειρικά προφανούς ιδιότητας είναι: «για κάθε b > 0 υπάρχει φυσικός ώστε να είναι > b». Επομένως:

13 Πρόταση.3 Για κάθε b > 0 υπάρχει φυσικός > b. Σχήμα.: Υπάρχει κάποιος > b. Η Πρόταση.3 συμπληρώνεται ως εξής. Αφού υπάρχει κάποιος φυσικός μεγαλύτερος από τον b, είναι και όλοι οι επόμενοι φυσικοί +, +, + 3,... μεγαλύτεροι από τον b. Αυτό το εκφράζουμε ως εξής. Οι φυσικοί γίνονται μεγαλύτεροι από κάθε θετικό αριθμό. Ισοδύναμα: όσο μεγάλος κι αν είναι ένας θετικός αριθμός, όλοι οι φυσικοί από κάποιον και πέρα είναι μεγαλύτεροί του. Αν πάρουμε b =, όπου είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός, τότε από την Πρόταση.3 συνεπάγεται: Πρόταση.4 Αρχιμήδεια Ιδιότητα. Για κάθε > 0 υπάρχει φυσικός ώστε να είναι <. Σχήμα.3: Υπάρχει κάποιος <. Παρατηρούμε πάλι ότι, από τη στιγμή που υπάρχει κάποιος μικρότερος από τον, συνεπάγεται ότι και όλοι οι επόμενοι αριθμοί +, +, +3,... είναι μικρότεροι από τον. Αυτό το εκφράζουμε με την εξής διατύπωση. Οι αντίστροφοι των φυσικών γίνονται μικρότεροι από κάθε θετικό α- ριθμό. Ισοδύναμα: όσο μικρός κι αν είναι ένας θετικός αριθμός, όλοι οι αντίστροφοι φυσικών από κάποιον και πέρα είναι μικρότεροί του. Υπάρχει ένα αποτέλεσμα για το πώς κατανέμονται οι αριθμοί ανάμεσα στους ακεραίους και διατυπώνεται στην πρόταση που ακολουθεί. Πρόταση.5 Για κάθε x υπάρχει μοναδικός ακέραιος k ώστε k x < k +. Το αποτέλεσμα αυτό λέει με άλλα λόγια ότι κάθε αριθμός x ανήκει σε ένα ακριβώς διάστημα [k, k + ), όπου ο k είναι ακέραιος. Δηλαδή τα διαδοχικά διαστήματα..., [ 3, ), [, ), [, 0), [0, ), [, ), [, 3),... είναι ξένα ανά δύο και καλύπτουν ολόκληρη την πραγματική ευθεία. 3

14 Ο ακέραιος k με την ιδιότητα k x < k + ονομάζεται ακέραιο μέρος του x και συμβολίζεται [x]. Παράδειγμα: [3] = 3, [ 4] = 4, [ 8 5 ] =, [ 3 ] = 0, [ 8 5 ] =. ΣΤ. Η σχέση των ρητών με τους υπόλοιπους αριθμούς. Εχουμε ήδη αναφέρει ότι η πραγματική ευθεία δεν αποτελείται μόνο από ρητά σημεία. Θα δούμε τώρα ένα αποτέλεσμα για το πώς κατανέμονται τα ρητά σημεία ανάμεσα στα υπόλοιπα σημεία της πραγματικής ευθείας. Πρόταση.6 Πυκνότητα του Q στο R. Για κάθε, b με < b υπάρχει ρητός r ώστε < r < b. Το αποτέλεσμα αυτό μπορούμε να το διατυπώσουμε και ως εξής. Κάθε ανοικτό διάστημα πάνω στην πραγματική ευθεία περιέχει τουλάχιστον ένα ρητό σημείο. Για να κατανοήσουμε τη φύση της προηγούμενης ιδιότητας ας παρατηρήσουμε ότι, αν μας ζητούσαν να αποδείξουμε ότι για κάθε, b με < b υπάρχει αριθμός x ώστε < x < b, τότε η απάντησή μας θα ήταν άμεση: πράγματι, υπάρχει τέτοιος x για παράδειγμα, ο x = +b +b. Παρεμπιπτόντως, το σημείο είναι ακριβώς στο μέσο του διαστήματος με άκρα τα σημεία και b. Ομως, εμείς ζητάμε ρητό αριθμό ανάμεσα στους, b ενώ ο αριθμός +b ενδέχεται να μην είναι ρητός. Παρατηρήστε ότι στην ειδική περίπτωση που οι, b είναι ρητοί ο +b είναι κι αυτός ρητός. Βάσει της πυκνότητας του Q στο R μπορούμε να διατυπώσουμε το εξής αποτέλεσμα. Για κάθε σημείο της πραγματικής ευθείας υπάρχουν ρητά σημεία όσο κοντά του θέλουμε και δεξιά και αριστερά του. Πράγματι, αν πάρουμε οποιονδήποτε αριθμό x και οσοδήποτε μικρή απόσταση ɛ > 0, υπάρχει ρητός r ώστε x < r < x + ɛ και ρητός r ώστε x ɛ < r < x. Ask seic. Ρητοί, άρρητοι.. Αν ο r είναι ρητός και ο είναι άρρητος, αποδείξτε ότι ο r + είναι άρρητος.. Αν ο r είναι ρητός 0 και ο είναι άρρητος, αποδείξτε ότι ο r είναι άρρητος. 3. Αν ο είναι άρρητος, οι p, q, r, s είναι ρητοί και p + q = r + s, αποδείξτε ότι p = r και q = s. Ανισότητες, απόλυτες τιμές.. Αν x y < 0 και z w < 0, αποδείξτε ότι 0 < yw xz. 4

15 . Αν x y, z w, t s και x + z + t = y + w + s, αποδείξτε ότι x = y, z = w και t = s. Αν 0 < x y, 0 < z w, 0 < t s και xzt = yws, αποδείξτε ότι x = y, z = w και t = s. 3. Αποδείξτε ότι x + y = x + y αν και μόνο αν x, y 0 ή x, y 0. Αποδείξτε ότι x+y +z x + y + z. Επίσης, αποδείξτε ότι x+y +z = x + y + z αν και μόνο αν x, y, z 0 ή x, y, z Αποδείξτε ότι t x και t y αν και μόνο αν t mi{x, y}. Αποδείξτε ότι t x και t y αν και μόνο αν t mx{x, y}. 5. Αποδείξτε ότι mx{x, y} = x+y+ x y και mi{x, y} = x+y x y. 6. Ποια από τα παρακάτω σύνολα έχουν μέγιστο ή ελάχιστο στοιχείο; { } [, b], (, b), [, b), N, Z, Q, : είναι φυσικός. Η γεωμετρική αναπαράσταση.. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία των πρώτων δυο ιδιοτήτων των ανισοτήτων καθώς και των τελευταίων δυο ιδιοτήτων των απόλυτων τιμών;. Μέσω της γεωμετρικής αναπαράστασης αιτιολογήστε τις εξής δυο προτάσεις. Κατόπιν αποδείξτε τις με μαθηματικό τρόπο. Αν x b και y b, τότε x y b. Αν < x < b και < y < b, τότε x y < b. 3. Αν γνωρίζουμε τα σημεία Χ, Υ της πραγματικής ευθείας που αναπαριστούν τους x, y, περιγράψτε γεωμετρικές κατασκευές οι οποίες καταλήγουν στην εύρεση των σημείων που αναπαριστούν τους x + y, x y, xy και x y. (Υπόδειξη για το xy : Εστω x, y > 0. Φτιάξτε δεύτερη πραγματική ευθεία ώστε οι δυο ευθείες να έχουν την ίδια μονάδα μέτρησης και το σημείο τομής τους Ο να αναπαριστά τον 0 και στις δυο τους. Εστω Ι, Υ τα σημεία της δεύτερης ευθείας που αναπαριστούν τους, y, αντιστοίχως. Από το Υ φέρτε ευθεία παράλληλη προς την ευθεία που διέρχεται από τα Ι, Χ. Αν αυτή τέμνει την πρώτη πραγματική ευθεία στο Κ, τότε ποιον αριθμό αναπαριστά το Κ;) Διαστήματα.. Για καθεμιά από τις παρακάτω ανισότητες γράψτε σε μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο των x για τους οποίους είναι αληθής. x + >, x < x +, x 7x > x 7x, x x + > x + 3 3x +, (x ) 4, (x )(x + 4) (x 7)(x + 5) > 0, (x )(x 3) (x ) 0. 5

16 . Για καθένα από τα επόμενα σύνολα βρείτε μία ανισότητα με μεταβλητή x ώστε το σύνολο αυτό να είναι το σύνολο των x για τους οποίους η ανισότητα είναι αληθής. Ακέραιο μέρος. (, 3], (, + ), (3, 7), (, ) (, 4) (7, + ), [, 4] [6, + ), [, 4) (4, 8], (, ] [, 4) [7, + ).. Για ποιους x ισχύει [ x] = [x] ;. Αν ο k είναι ακέραιος, αποδείξτε ότι [x + k] = [x] + k. 3. Αποδείξτε ότι [x+y] = [x]+[y] ή [x+y] = [x]+[y]+ και βρείτε παραδείγματα και για τις δυο περιπτώσεις. Αποδείξτε ανάλογο συμπέρασμα για το [x + y + z]. 4. Αποδείξτε ότι, αν 0 < x, τότε υπάρχει μοναδικός φυσικός ώστε + < x και γράψτε τύπο για τον συναρτήσει του x. 5. Εστω l > 0. Γνωρίζουμε ότι υπάρχει φυσικός > l. Πώς θα εκφράσετε τον ελάχιστο τέτοιο φυσικό συναρτήσει του l; Πώς θα εκφράσετε συναρτήσει του l τον ελάχιστο φυσικό με την ιδιότητα l; Εστω > 0. Η Αρχιμήδεια Ιδιότητα λέει ότι υπάρχει φυσικός ώστε να είναι <. Πώς θα εκφράσετε τον ελάχιστο τέτοιο φυσικό συναρτήσει του ; Η πυκνότητα των ρητών.. Για κάθε x αποδείξτε ότι ανάμεσα στους ρητούς που είναι < x δεν υπάρχει μέγιστος και ότι ανάμεσα στους ρητούς που είναι > x δεν υπάρχει ελάχιστος.. Αποδείξτε ότι κάθε ανοικτό διάστημα της πραγματικής ευθείας περιέχει άπειρα ρητά σημεία.. Duˆmeic ki rðzec. Α. Δυνάμεις με ακέραιους εκθέτες. Η δύναμη με θετικό ακέραιο (δηλαδή φυσικό) εκθέτη ορίζεται με τον τύπο = } {{ }, 6

17 δηλαδή το γινόμενο αριθμών ίσων με. Αν 0, τότε ορίζεται η δύναμη 0 καθώς και η δύναμη με αρνητικό ακέραιο εκθέτη με τους τύπους 0 =, = =. } {{ } Από τον γνωστό κανόνα πολλαπλασιασμού προσήμων εύκολα προκύπτει ότι ( ) =, αν ο είναι άρτιος ακέραιος, και ( ) =, αν ο είναι περιττός ακέραιος. Είναι, επίσης, φανερό ότι, αν ο είναι άρτιος ακέραιος, τότε > 0 για κάθε 0 ενώ, αν ο είναι περιττός ακέραιος, τότε (i) > 0 για κάθε > 0 και (ii) < 0 για κάθε < 0. Η πρόταση που ακολουθεί είναι γνωστή από το γυμνάσιο και αποδεικνύεται εύκολα με την επιμεριστική ιδιότητα. Πρόταση.7 Αν ο είναι φυσικός, τότε x y = (x y)(x + x y + + xy + y ). Επίσης, αν ο είναι περιττός φυσικός 3, τότε x + y = (x + y)(x x y + xy + y ). Ονομάζουμε παραγοντικό ενός φυσικού το γινόμενο ( ) και το συμβολίζουμε!. Δηλαδή! = ( ). Παράδειγμα:! =,! = =, 3! = 3 = 6, 4! = 3 4 = 4. Επίσης, ορίζουμε 0! = και παρατηρούμε ότι για κάθε φυσικό ισχύει! = ( )!. Κατόπιν ορίζουμε τους δυωνυμικούς συντελεστές ( m) για οποιουσδήποτε ακεραίους m, με 0 m με τον τύπο (! = m) m!( m)!. Παράδειγμα: ( ) ( 0 = ( ) =, ) ( ) = Αν m, τότε, απλοποιώντας, βρίσκουμε ( = m) ( ) ( m + ) m! 7 =, ( ) ( ) = = ( )..

18 Πρόταση.8 Ο δυωνυμικός τύπος του Newto. Για κάθε x, y και για κάθε φυσικό ισχύει ( ) ( ) ( ) ( (x + y) = x + x y + + xy + y 0 ). Παράδειγμα: Οι γνωστές ισότητες (x + y) = x + y, (x + y) = x + xy + y, (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y 3, (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4, (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 0x 3 y + 0x y 3 + 5xy 4 + y 5 είναι ειδικές περιπτώσεις του δυωνυμικού τύπου του Newto. Β. Ρίζες. Το θεώρημα που ακολουθεί είναι σημαντικό διότι εξασφαλίζει ότι κάποιες απλές αλγεβρικές εξισώσεις έχουν λύση για παράδειγμα, οι εξισώσεις δεύτερου βαθμού. Η απόδειξή του είναι αρκετά δύσκολη και απαιτεί διεξοδικότερη μελέτη των ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. Θεώρημα. Αν ο είναι φυσικός και > 0, τότε η εξίσωση x = με άγνωστο τον x έχει μοναδική λύση > 0. Το Θεώρημα. αναφέρεται στην εξίσωση x = μόνο στην περίπτωση > 0 και μόνο στη θετική λύση της. Η πρόταση που ακολουθεί, γνωστή κι αυτή από το γυμνάσιο, καλύπτει όλες τις περιπτώσεις. Πρόταση.9 () Αν ο είναι άρτιος φυσικός, τότε η εξίσωση x = έχει (i) ακριβώς δυο λύσεις, μια θετική και την αντίθετη αρνητική, αν > 0, (ii) ακριβώς μια λύση, τον 0, αν = 0, και (iii) καμιά λύση, αν < 0. () Αν ο είναι περιττός φυσικός, τότε η x = έχει (i) ακριβώς μια λύση, θετική, αν > 0, (ii) ακριβώς μια λύση, τον 0, αν = 0, και (iii) ακριβώς μια λύση, αρνητική, αν < 0. Αν ο είναι περιττός, τότε για κάθε τη μοναδική λύση της εξίσωσης x = την ονομάζουμε -οστή ρίζα του και τη συμβολίζουμε. Αν ο είναι άρτιος, τότε για κάθε 0 τη μοναδική μη αρνητική λύση της x = την ονομάζουμε και πάλι -οστή ρίζα του και τη συμβολίζουμε και πάλι. Είναι, λοιπόν, 0 = 0 για κάθε και > 0 για κάθε > 0 και κάθε. Επίσης, στην περίπτωση < 0 είναι < 0 για κάθε περιττό ενώ δεν ορίζεται ο για κανένα άρτιο. 8

19 Αν =, 3, 4,..., ο ονομάζεται δεύτερη, τρίτη, τέταρτη,... ρίζα του. Στην περίπτωση = ο συμβολίζεται και και ονομάζεται και τετραγωνική ρίζα ή, απλώς, ρίζα του. Στην περίπτωση = 3 ο 3 ονομάζεται και κυβική ρίζα του. Παραδείγματα: () Η εξίσωση x 4 = 6 έχει δυο λύσεις, τον 4 6 = και τον 4 6 =. Ομως, η x 4 = 6 δεν έχει καμιά λύση. () Η εξίσωση x 5 = 3 έχει μια λύση, τον 5 3 =. Η x 5 = 3 έχει μια λύση, τον 5 3 =. Παρατηρήστε ότι 5 3 = = 5 3. Ετσι ο 5 3 είναι η λύση της x 5 = 3, όπως ακριβώς και ο 5 3 είναι η λύση της x 5 = 3. Αυτό, φυσικά, ισχύει γενικότερα: = για κάθε και κάθε περιττό. Ας δούμε τώρα ένα χρήσιμο κριτήριο για το αν μια ρίζα είναι ρητός ή άρρητος. Πρόταση.0 Εστω φυσικοί, k. Τότε ο k είναι ρητός αν και μόνο αν ο k είναι -οστή δύναμη φυσικού. Παραδείγματα: () Ο είναι άρρητος διότι, προφανώς, δεν υπάρχει φυσικός m ώστε να είναι m =. Ομοίως, ο 3 5 είναι άρρητος διότι δεν υπάρχει φυσικός m ώστε να είναι m 3 = 5. () Ο + 3 είναι άρρητος. Διότι, αν είναι ρητός και τον συμβολίσουμε r, τότε ( + 3) = r, οπότε 6 = r 5 και, επομένως, ο 6 είναι ρητός. Αυτό είναι αδύνατο διότι δεν υπάρχει φυσικός m ώστε να είναι m = 6. Γ. Δυνάμεις με ρητούς εκθέτες. Σ αυτή την υποενότητα θα ορίσουμε τη δύναμη r όταν ο εκθέτης r είναι ρητός. Θεωρούμε οποιονδήποτε ρητό r και γράφουμε r = m, όπου ο m είναι ακέραιος, ο είναι φυσικός, δηλαδή θετικός ακέραιος, και οι m, είναι σχετικά πρώτοι, δηλαδή έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη τον. Η συγκεκριμένη γραφή του r ονομάζεται ανάγωγη μορφή του και είναι μοναδική. Παράδειγμα: Η ανάγωγη μορφή του 6 0 είναι η 8 5 και προκύπτει με απλοποίηση του αρχικού λόγου. Ομοίως, η ανάγωγη μορφή του είναι η. Τώρα ορίζουμε r = ( ) m με τις εξής διευκρινήσεις: (i) αν > 0, δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα διότι ο ορίζεται, (ii) αν = 0, τότε είναι 0 = 0, οπότε πρέπει να είναι m > 0 ή, ισοδύναμα, r > 0 και τότε 0 r = ( 0) m = 0 m = 0 και (iii) αν < 0, τότε πρέπει ο να είναι περιττός για να ορίζεται ο. Με άλλα λόγια: Ο r ορίζεται (i) αν > 0, (ii) αν = 0 και r > 0 και (iii) αν < 0 και ο παρονομαστής στην ανάγωγη μορφή του r είναι περιττός. 9

20 Παραδείγματα: () 3 4 = ( 4 ) 3, 6 8 = 3 4 = ( 4 ) 3, 3 4 = ( 4 ) 3 = ( 4, ) 3 6 = 3 = 8 και 6 = 3 = = 3 8. () = 0 και = 0. Οι 0 3 4, και 0 0 δεν ορίζονται. (3) ( ) 5 3 = ( 3 ) 5 = ( 3 ) 5 = ( 3 ) 5, ( ) 0 6 = ( ) 5 3 και ( ) 0 =. Οι ( ) 5 και ( ) 4 4 δεν ορίζονται. Παρατηρήσεις: () Ας θεωρήσουμε οποιονδήποτε φυσικό και τον αντίστοιχο ρητό. Είναι φανερό ότι η ανάγωγη μορφή του είναι ακριβώς η. Άρα ο ταυτίζεται εξ ορισμού με τον : =. () Οπως είδαμε, υπάρχει μια περιπλοκή στον ορισμό του r όταν < 0 : πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις για τον παρονομαστή της ανάγωγης μορφής του r. Αυτό, φυσικά, δημιουργεί περαιτέρω περιπλοκές στη διατύπωση αλλά και στη χρήση των διαφόρων ιδιοτήτων των δυνάμεων, αφού για να τις χρησιμοποιούμε με αρνητική βάση θα πρέπει να βάζουμε περιορισμούς στους παρονομαστές των ρητών εκθετών. Γι αυτό στα περισσότερα βιβλία δεν ορίζεται καν το σύμβολο r όταν < 0 και ο r είναι ρητός. Σε σχέση με το πρόσημο του r, είναι φανερό ότι είναι r > 0 για κάθε ρητό r και κάθε > 0. Παρατήρηση: Ξεκινώντας από τις ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιους εκθέτες, μπορούν να αποδειχθούν και οι αντίστοιχες ιδιότητες των δυνάμεων με ρητούς εκθέτες. Οι βασικές ιδιότητες καταγράφονται στην Πρόταση. της επόμενης υποενότητας ως ειδικές περιπτώσεις των ιδιοτήτων των δυνάμεων με πραγματικούς εκθέτες. Δ. Δυνάμεις με άρρητους εκθέτες. Τέλος, θα ορίσουμε το σύμβολο x όταν 0 και ο x είναι άρρητος. Κατ αρχήν θεωρούμε την περίπτωση >. Παρατηρούμε ότι, αν για τρεις ρητούς r, s, t ισχύει s < r < t, τότε, φυσικά, συνεπάγεται s < r < t. Σκεφτόμαστε τώρα ότι, αν ειχαμε ορισει τις δυνάμεις με άρρητους εκθέτες έτσι ώστε να ισχύουν και γι αυτές οι συνηθισμένες ιδιότητες των δυνάμεων με ρητούς εκθέτες, τότε, αν παίρναμε ρητούς s, t και άρρητο x ώστε να είναι s < x < t, θα συνεπαγόταν s < x < t. Φυσικά, στη διπλή αυτή ανισότητα οι s, t είναι ήδη ορισμένοι ενώ ο x δεν έχει ακόμη οριστεί. Ομως, η ανισότητα αυτή αποτελεί τον «οδηγό» για το πώς πρέπει να οριστεί και ο x : πρέπει να οριστεί με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι s < x < t για όλους τους ρητούς s, t με s < x < t. Αυτό γίνεται ως εξής. Θεωρούμε όλους τους ρητούς s < x και όλους τους ρητούς t > x. Επειδή για όλους αυτούς τους ρητούς s, t ισχύει, προφανώς, s < t και επειδή >, συνεπάγεται s < t. Εχουμε, λοιπόν, ένα πρώτο σύνολο, το σύνολο των s, και ένα δεύτερο σύνολο, το σύνολο των t, τα οποία φαίνονται πάνω στην πραγματική 0

21 ευθεία να είναι το πρώτο αριστερά του δεύτερου (κάθε σημείο του πρώτου συνόλου είναι αριστερά κάθε σημείου του δεύτερου). Είναι φανερό ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο ανάμεσα στα δυο αυτά σύνολα. Δηλαδή υπάρχει κάποιος αριθμός, ας τον συμβολίσουμε ξ, που είναι ανάμεσα στους s και στους t : s < ξ < t για όλους τους ρητούς s, t με s < x < t. Μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει δεύτερος τέτοιος αριθμός, δηλαδή κάποιος ξ ξ ώστε να είναι s < ξ < t για όλους τους ρητούς s, t με s < x < t. Καταλήγουμε, λοιπόν, στο εξής αποτέλεσμα. Πρόταση. Εστω > και άρρητος x. Τότε υπάρχει μοναδικός ξ ώστε να είναι s < ξ < t για όλους τους ρητούς s, t με s < x < t. Αν > και ο x είναι άρρητος, οριζουμε τον x να είναι ακριβώς ο αριθμός ξ που αναφέρεται στην Πρόταση.. Από τον ορισμό του, λοιπόν, ο x ικανοποιεί τη διπλή ανισότητα s < x < t για όλους τους ρητούς s, t με s < x < t και είναι ο μοναδικός αριθμός με αυτή την ιδιότητα. Αν = και ο x είναι άρρητος, ορίζουμε x =. Επίσης, αν 0 < < και ο x είναι άρρητος, τότε είναι άρρητος. Άρα έχει ορισθεί ο ( ) x και ορίζουμε: ( ) x x =. Τέλος, αν ο x είναι θετικός άρρητος, ορίζουμε 0 x = 0. > και ο x είναι Παρατηρήσεις: () Βλέπουμε ότι, αν ο x είναι άρρητος, το σύμβολο x ορίζεται, (i) αν > 0 και (ii) αν = 0 και x > 0. Το σύμβολο x δεν ορίζεται, (i) αν < 0 και ο x είναι άρρητος και (ii) αν = 0 και ο x είναι άρρητος < 0. () Αν συνυπολογίσουμε τα συμπεράσματα των προηγούμενων υποενοτήτων, βλέπουμε ότι ο x ορίζεται, (i) αν > 0 και ο x είναι οποιοσδήποτε αριθμός, (ii) αν = 0 και x > 0 και (iii) αν < 0 και ο x είναι ρητός με περιττό παρονομαστή στην ανάγωγη μορφή του. Ας πούμε μερικά λόγια για το πρόσημο του x : αν ο x είναι άρρητος και > 0 (δεν έχει νόημα η περίπτωση < 0), τότε (βάσει του ορισμού του x ) είναι x > s για κάθε ρητό s < x, οπότε, επειδή s > 0, συνεπάγεται x > 0. Η πρόταση που ακολουθεί καταγράφει τις γνωστές μας βασικές ιδιότητες των δυνάμεων.

22 Πρόταση. () Αν > 0, τότε x y = x+y, ( x ) y = ( y ) x = xy, x b x = (b) x. () Αν 0 < < b, τότε (i) x < b x, αν x > 0, (ii) 0 = b 0 = και (iii) x > b x, αν x < 0. (3) Αν x < y, τότε (i) x < y, αν >, (ii) x = y = και (iii) x > y, αν 0 < <. Ask seic. Δυνάμεις με ακέραιους εκθέτες.. Εστω ότι ο είναι φυσικός. Αν ο είναι περιττός, αποδείξτε ότι x < y αν και μόνο αν x < y. Αν ο είναι άρτιος, αποδείξτε ότι x < y αν και μόνο αν x < y.. Αν οι x, y δεν είναι και οι δυο = 0, αποδείξτε ότι x + xy + y > 0 και x 4 +x 3 y+x y +xy 3 +y 4 > 0. Ποια είναι η γενίκευση αυτών των ανισοτήτων; Τι μπορείτε να πείτε για τις ανισότητες x 3 + x y + xy + y 3 > 0 και x 5 + x 4 y + x 3 y + x y 3 + xy 4 + y 5 > 0; Ποια είναι η γενίκευσή τους; 3. Αποδείξτε με την αρχή της επαγωγής ότι για κάθε φυσικό ισχύει (i) = ( + ), (ii) = 6 ( + )( + ), (iii) = 4 ( + ). 4. Παρατηρείτε κάποια σχέση ανάμεσα στον δυωνυμικό τύπο του Newto και στο παρακάτω λεγόμενο τρίγωνο του Pscl; Αν m, αποδείξτε ότι ( ) ( ( ) + m = m) + m. Παρατηρείτε τη σχέση ανάμεσα στην ισότητα αυτή και στο τρίγωνο του Pscl; Μπορείτε τώρα να αποδείξετε τον δυωνυμικό τύπο του Newto με την αρχή της επαγωγής ως προς τον, χρησιμοποιώντας την παραπάνω ισότητα;

23 5. Αυξάνουν ή φθίνουν οι ( m), όταν αυξάνει ο από τον m και πέρα; Αυξάνουν ή φθίνουν οι ( m), όταν αυξάνει ο m ανάμεσα στους 0 και ; Πώς φαίνονται αυτές οι δυο ιδιότητες στο τρίγωνο του Pscl; Ρίζες.. Αν ο είναι περιττός φυσικός, αποδείξτε ότι =. Αν ο είναι άρτιος φυσικός, αποδείξτε ότι =.. Αποδείξτε ότι + b + b για κάθε, b 0. Αποδείξτε ότι + b = + b αν και μόνο αν = 0 ή b = Βεβαιωθείτε ότι γνωρίζετε τις ιδιότητες των ριζών: b = m b, = m = m. Μπορείτε να τις αποδείξετε; Ποιοι περιορισμοί υπάρχουν, αν < 0 ή b < 0 ; 4. Αν ο είναι άρτιος φυσικός και 0 < b, αποδείξτε ότι < b. Αν ο είναι περιττός φυσικός και < b, αποδείξτε ότι < b. 5. Να συγκρίνετε τους και Αποδείξτε ότι οι 7 9, και είναι άρρητοι. 7. Αποδείξτε ότι το σύνολο των αρρήτων είναι πυκνό στο R, δηλαδή ότι για κάθε, b με < b υπάρχει άρρητος x ώστε < x < b. (Υπόδειξη: Εφαρμόστε την πυκνότητα των ρητών για τους +, b+.) 8. Αν > 0, αποδείξτε ότι =, αν στο αριστερό μέλος της ισότητας υπάρχουν διαδοχικές ρίζες. 9. Περιγράψτε γεωμετρική κατασκευή του. (Υπόδειξη: Εστω <. Αν Ο, Ι και Α είναι τα σημεία της πραγματικής ευθείας που αναπαριστούν τους 0, και, φτιάξτε ημικύκλιο με διάμετρο ΟΑ και ευθεία κάθετη στην πραγματική ευθεία στο Ι η οποία να τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο Β. Αν x είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΒ, αποδείξτε ότι x =.) Περιγράψτε γεωμετρική κατασκευή των 4 και 8. Δυνάμεις με ρητούς εκθέτες.. Ποιοι από τους ( ) 0, 0 0, ( 3) 7 3, ( ) 6, ( ) 0 ορίζονται; Υπολογίστε τους ( 8) 4 3, ( ) Ισχύει ( ) ( ) = ( ) ; 3

24 3. Για ποιους ρητούς r ισχύει ( ) r < 0; Δυνάμεις με άρρητους εκθέτες.. Ορίζονται οι, ( ), 0, 0 ;. Αποδείξτε ότι ( 7 3) 4 < 3 < ( 7 3) Να συγκρίνετε τους 3 και Υπολογίστε τους [0 ] και [00 ]. 5. Ισχύει ( ( ) ) 3 = ( ) 3 ;.3 Dekdikˆ ptôgmt. Α. Δεκαδικό ανάπτυγμα φυσικού. Ας πάρουμε τον φυσικό x = Γνωρίζουμε από το δημοτικό σχολείο ότι το σύμβολο (διότι περί συμβόλου πρόκειται) σημαίνει = Μαθαίνουμε, λοιπόν, από πολύ νωρίς ότι κάθε φυσικός γράφεται ως άθροισμα κάθε όρος του οποίου είναι δύναμη του 0 πολλαπλασιασμένη με έναν από τους αριθμούς 0,,..., 9. Οι δέκα αυτοί αριθμοί ονομάζονται δεκαδικά ψηφία. Στο παράδειγμά μας οι 4, 8, 3, 0, 5 είναι τα δεκαδικά ψηφία του x = και το σύμβολο ονομάζεται δεκαδικό ανάπτυγμα του x. Το να γράφουμε τους φυσικούς με αυτόν τον τρόπο, χρησιμοποιώντας τις δυνάμεις του 0 και τα δεκαδικά ψηφία, σημαίνει ότι εφαρμόζουμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Πρόταση.3 Κάθε φυσικός x γράφεται με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα x = X N 0 N + X N 0 N + + X 0 + X 0 όπου όλοι οι X N,..., X 0 ανήκουν στο {0,,..., 9} και X N 0. Οι X N,..., X 0 στην ισότητα x = X N 0 N + X N 0 N + + X 0 + X 0 ονομάζονται δεκαδικά ψηφία του x και η παράσταση X N X N... X X 0 ονομάζεται δεκαδικό ανάπτυγμα του x. Β. Δεκαδικό ανάπτυγμα αριθμού που ανήκει στο διάστημα [0, ). Οπως έχουμε μάθει από το δημοτικό σχολείο, με το σύμβολο 0, 5 δηλώνουμε τον αριθμό = = 5 00 = 4. 4

25 Ομοίως, με το σύμβολο 0, 5403 δηλώνουμε τον αριθμό = = Τα σύμβολα 0, 5 και 0, 5403 τα γράφουμε και 0, και 0, , με το ψηφίο 0 να επαναλαμβάνεται συνεχώς από κάποιο σημείο και πέρα. Τα σύμβολα αυτά ονομάζονται δεκαδικά αναπτύγματα των αντίστοιχων αριθμών 4 και Γνωρίζουμε, επίσης, ότι το δεκαδικό ανάπτυγμα του αριθμού 3 7 είναι το σύμβολο 0, τα ψηφία του οποίου συνεχίζουν επ άπειρον χωρίς να είναι όλα 0 από κάποιο σημείο και πέρα. Τώρα τίθεται το εξής ερώτημα: με ποιες πράξεις πιστοποιείται η σχέση ανάμεσα στον αριθμό 3 7 και στο δεκαδικό ανάπτυγμα 0, ; Θα μπορούσαμε, κατ αναλογία προς τους δυο προηγούμενους αριθμούς, να πούμε ότι το άθροισμα είναι ίσο με τον αριθμό 3 7. Το πρόβλημα είναι ότι η τελευταία παράσταση περιέχει ΑΠΕΙΡΕΣ προσθέσεις και ο υπολογισμός του αποτελέσματός της ξεφεύγει από το πλαίσιο χειρισμού στοιχειωδών αλγεβρικών παραστάσεων. Με το γενικό πρόβλημα των άπειρων προσθέσεων θα ασχοληθούμε σε επόμενο κεφάλαιο αυτών των σημειώσεων. Προς το παρόν θα κάνουμε κάποιες προκαταρκτικές παρατηρήσεις ειδικά για δεκαδικά αναπτύγματα. Οταν λέμε ότι το δεκαδικό ανάπτυγμα του 3 7 είναι το 0, καταλαβαίνουμε ότι ο 3 7 ικανοποιεί την παρακάτω άπειρη διαδοχή διπλών ανισοτήτων. 0, < 0, 5, 0, < 0, 43, 0, 48 3 < 0, 49, 7 0, < 0, 486, 0, < 0, 4858, Οι αριθμοί 0, 4, 0, 4, 0, 48, 0, 485, 0, 4857,... είναι οι διαδοχικές δεκαδικές προσεγγίσεις του 3 7 και οι αριθμοί 4,, 8, 5, 7,... είναι τα δεκαδικά ψηφία του 3 7. Γιατί οι 0, 4, 0, 4, 0, 48, 0, 485, 0, 4857,... ονομάζονται διαδοχικές προσεγγίσεις του 3 7 ; Λόγω των διπλών ανισοτήτων, οι αποστάσεις τους από τον 3 7 είναι μικρότερες από τους αντίστοιχους αριθμούς 0, 0, 0, 3 0, 4 0,... 5 κι αυτοί με τη σειρά τους είναι μικρότεροι από τους αντίστοιχους,, 3, 4, 5,.... Ομως, όταν συζητάγαμε την Αρχιμήδεια ιδιότητα είπαμε ότι οι τελευταίοι αριθμοί, δηλαδή οι, γίνονται μικρότεροι από κάθε θετικό αριθμό. Επομένως, και οι (μικρότεροι) αριθμοί 0, 0, 0, 3 0, 4 0,..., δηλαδή οι 5 0, γίνονται μικρότεροι από κάθε θετικό αριθμό. Συμπεραίνουμε ότι «οι αποστάσεις των 0, 4, 0, 4, 0, 48, 0, 485, 0, 4857,... από τον 3 7 γίνονται μικρότερες από κάθε θετικό αριθμό». Αυτό ακριβώς είναι το νόημα του όρου: διαδοχικές δεκαδικές προσεγγίσεις. Φυσικά, όσα είπαμε για το δεκαδικό ανάπτυγμα του 3 7, το οποίο έχει άπειρα μη μηδενικά δεκαδικά ψηφία, ισχύουν και για το δεκαδικό ανάπτυγμα 0,

26 του αριθμού 4. Πράγματι, είναι 0, 4 < 0, 3, 0, 5 4 < 0, 6, 0, 50 < 0, 5, 4 0, < 0, 50, 0, 5000 < 0, 500, Γνωρίζουμε, τέλος, ότι το ανάπτυγμα 0, , στο οποίο το ψηφίο 9 επαναλαμβάνεται συνεχώς από κάποιο σημείο και πέρα, θεωρείται ίδιο με το 0, , δηλαδή με το δεκαδικό ανάπτυγμα του Γενικότερα, όλα τα δεκαδικά αναπτύγματα στα οποία το ψηφίο 9 επαναλαμβάνεται από ένα σημείο και πέρα είναι ίδια με δεκαδικά αναπτύγματα στα οποία το ψηφίο 0 επαναλαμβάνεται από ένα σημείο και πέρα κι αυτά τα τελευταία είναι, προφανώς, προτιμητέα. Ολα αυτά γενικεύονται με την πρόταση που ακολουθεί. Πρόταση.4 Για κάθε x στο [0, ) υπάρχουν άπειρα διαδοχικά δεκαδικά ψηφία x, x, x 3,..., δηλαδή αριθμοί από το σύνολο {0,,..., 9}, ώστε να ισχύει x 0 + x x 0 x < x 0 + x x για κάθε. Τα διαδοχικά δεκαδικά ψηφία x, x, x 3,... με την ιδιότητα αυτή καθορίζονται μονοσήμαντα από τον x και δε μπορούν να είναι όλα ίσα με 9 από κάποιο σημείο και πέρα. Αν για τον x και για τα δεκαδικά ψηφία x, x,... ισχύουν οι άπειρες ανισότητες της Πρότασης.4, λέμε ότι το δεκαδικό ανάπτυγμα του x είναι 0, x x x 3..., ότι ο x είναι το -οστό δεκαδικό ψηφίο του x και ότι το άθροισμα s = x 0 + x x 0 είναι η -οστή δεκαδική προσέγγιση του x. Από τη διπλή ανισότητα s x < s + 0, που συσχετίζει τον x με τη -οστή δεκαδική προσέγγισή του, συνεπάγεται, φυσικά, η 0 x s < 0. Εχουμε ήδη παρατηρήσει ότι οι αριθμοί 0 γίνονται μικρότεροι από κάθε θετικό αριθμό. Επομένως, κατά μείζονα λόγο, και οι διαφορές x s γίνονται μικρότερες από κάθε θετικό αριθμό. Άρα: Οι x s γίνονται μικρότεροι από κάθε θετικό αριθμό. Ισοδύναμα: όσο μικρός κι αν είναι ένας θετικός αριθμός, όλοι οι x s από κά- 6

27 ποιον και πέρα είναι μικρότεροί του. Υπολογισμός δεκαδικού αναπτύγματος. Θα περιγράψουμε μέθοδο πρακτικού υπολογισμού του δεκαδικού αναπτύγματος οποιουδήποτε x στο διάστημα [0, ). Από τη διπλή ανισότητα x 0 x < x συνεπάγεται x 0x < x + και, επομένως, ο ακέραιος x είναι το ακέραιο μέρος του 0x. Δηλαδή x = [0x]. Από την x 0 + x 0 x < x 0 + x 0 + 0, δηλαδή την s + x 0 x < s + x 0 + 0, συνεπάγεται x 0 (x s ) < x + και, επομένως, ο ακέραιος x είναι το ακέραιο μέρος του 0 (x s ). Δηλαδή x = [0 (x s )]. Γενικότερα, αν έχουμε βρεί τα δεκαδικά ψηφία x,..., x, οπότε έχουμε βρεί την ( )- οστή δεκαδική προσέγγιση s = x x 0, τότε από τη διπλή ανισότητα s + x 0 x < s + x συνεπάγεται x 0 (x s ) < x + και, επομένως, x = [0 (x s )]. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να υπολογίσουμε τα δεκαδικά ψηφία του x με μια επαγωγική διαδικασία : υπολογίζουμε το ψηφίο x με τον τύπο x = [0x] και κατόπιν για κάθε υπολογίζουμε το ψηφίο x από τα προηγούμενα ψηφία x,..., x (δηλαδή τον x από τον x, τον x 3 από τους x, x και ούτω καθ εξής) βάσει του τύπου x = [0 (x s )]. Η διαδικασία αυτή περιγράφεται με το συνοπτικό «σχήμα» x = [0x], x = [0 (x s )] ( ), που αποτελείται από έναν τύπο για το πρώτο ψηφίο και από έναν αναδρομικό τύπο που καθορίζει το -οστό ψηφίο συναρτήσει των προηγούμενων ψηφίων. Παράδειγμα: Θα υπολογίσουμε το δεκαδικό ανάπτυγμα του 3 [ x = 0 3 ] [ 65 ] = = 8, s = = 4 5, [ x = 0 ( )] [ 5 = =, s = s + 5 4] 0 = 8 00, [ x 3 = 0 3( )] [ 5 = =, s 3 = s + 00 ] 0 3 = 03 50, [ x 4 = 0 4( )] = [5] = 5, s 4 = s = 3 6, [ x 5 = 0 5( )] = [0] = 0, s 5 = s = 3 6, [ x 6 = 0 6( )] = [0] = 0, s 6 = s = 3 6 και ούτω καθ εξής. Άρα το δεκαδικό ανάπτυγμα του 3 6 είναι το 0, Παρατηρήστε ότι η τέταρτη δεκαδική προσέγγιση s 4 προέκυψε ίση με τον ίδιο τον 3 6 και ότι αυτό είχε ως συνέπεια όλα τα ψηφία x 5, x 6,... να είναι ίσα με 0. Παράδειγμα: Θα υπολογίσουμε μερικά αρχικά δεκαδικά ψηφία του. x = [ ] 0 = 7, s = 7 0, 6. 7

28 [ x = 0 ( 7 )] = 0, s = s = 7 0, [ x 3 = 0 3( 7 )] = 7, s 3 = s = , [ x 4 = 0 4( 707 )] =, s 4 = s 3 + x 5 = x 6 = 000 [ 0 5( [ 0 6( )] )] 0 4 = , = 0, s 5 = s = , = 6, s 6 = s = και συνεχίζουμε μέχρι να υπολογίσουμε οποιονδήποτε αριθμό αρχικών δεκαδικών ψηφίων. Το δεκαδικό ανάπτυγμα του αρχίζει με 0, Ac doôme th pìdeixh thc Prìtshc.4. 'Estw 0 x <. OrÐzoume x = [0x], opìte x 0x < x + ki, epomèwc, x 0 x < x PrthroÔme ìti 0 0x < 0, opìte o x kei sto {0,,..., 9}. Ktìpi orðzoume s = x 0 ki x = [0 (x s )]. 'Ar x 0 (x s ) < x +, opìte x 0 + x 0 x < x 0 + x Epeid 0 0 (x s ) < 0, o x kei sto {0,,..., 9}. Ktìpi orðzoume s = x 0 + x 0 ki x 3 = [0 3 (x s )]. 'Ar x (x s ) < x 3 +, opìte x 0 + x 0 + x x < x 0 + x 0 + x Epeid (x s ) < 0, o x 3 kei sto {0,,..., 9}. Aut h periìristh epgwgik didiksð dhmiourgeð touc x, to è metˆ to ˆllo, gi kˆje. Dhld èstw ìti èqoume breð x,..., x pì to {0,,..., 9} ètsi ste eði x x 0 x < x x Tìte orðzoume s = x x ki 0 x = [0 (x s )]. Autì shmðei ìti x 0 (x s ) < x +, opìte x x 0 + x 0 x < x x 0 + x Epeid 0 0 (x s ) < 0, o x kei sto {0,,..., 9}. 'Estw ìti upˆrqou ki oi rijmoð y, y,..., ìloi sto {0,,..., 9}, ste isqôei y y y x < y y y gi kˆje. Apì tic duo teleutðec diplèc isìthtec eði < (y y 0 + y ) (x x 0 + x ) < ki, epeid o (y y 0 + y ) (x x 0 + x ) eði kèrioc, suepˆgeti y y 0 + y = x x 0 + x gi kˆje. Efrmìzotc ut th isìtht ìt o pðrei tic timèc,, 3,..., brðskoume didoqikˆ y = x, y = x, y 3 = x 3,.... 8

29 Ac upojèsoume, tèloc, ìti pì kˆpoio shmeðo ki pèr ìloi oi x eði Ðsoi me 9. Dhld ìti upˆrqei kˆpoioc fusikìc m ste eði x = 9 gi kˆje m. Tìte x x m 0 m m x < x x m 0 m m gi kˆje m. Epeid 0 m + + 9, suepˆgeti 0 0 m 0 = 9 0 (0 m ) = 0 m+ 0 = x x m 0 m + 0 m 0 x < x x m 0 m + 0 m gi kˆje m. OrÐzoume = x x m 0 m + 0 m x, opìte eði 0 < gi 0 kˆje m. Epeid oi gðoti mikrìteroi pì kˆje jetikì rijmì, suepˆgeti ìti pì 0 kˆpoio ki pèr j eði 0 <. Autì eði ˆtopo foô eði gi kˆje 0 m. Γ. Δεκαδικό ανάπτυγμα μη αρνητικού αριθμού. Στην προηγούμενη υποενότητα μελετήσαμε τα δεκαδικά αναπτύγματα των αριθμών του διαστήματος [0, ). Αν x, μπορούμε να γράψουμε x = [x]+(x [x]), όπου ο [x] είναι το ακέραιο μέρος του x, δηλαδή φυσικός αριθμός, και ο x [x] ανήκει στο [0, ). Εχουμε τώρα τα δεκαδικά αναπτύγματα των δυο αυτών αριθμών: το X N... X 0 για τον [x] και το 0, x x... για τον x [x]. Συνδυάζοντας τα δυο αυτά αναπτύγματα, λέμε ότι το X N... X 0, x x... είναι το δεκαδικό ανάπτυγμα του x. Η -οστή δεκαδική προσέγγιση του x είναι ο αριθμός s = [x] + x x 0 = X N 0 N + + X 0 + X 0 + x x 0. Προφανώς, ισχύει s x < s + 0 για κάθε. Συνεπάγεται 0 x s < 0 και, επομένως, το συμπέρασμα της προηγούμενης υποενότητας για τις δεκαδικές προσεγγίσεις αριθμών x από το [0, ) επεκτείνεται και για τις δεκαδικές προσεγγίσεις αριθμών x 0. Οι x s γίνονται μικρότεροι από κάθε θετικό αριθμό. Ισοδύναμα: όσο μικρός κι αν είναι ένας θετικός αριθμός, όλοι οι x s από κάποιον και πέρα είναι μικρότεροί του. Αν συμβολίσουμε τότε, προφανώς, είναι t = s + 0, s x < t και t s = 0. 9

30 και Παρατηρήστε τώρα ότι s + = s + x s t + = s = s + x s = s + 0 = t. Αυτό, φυσικά, σημαίνει ότι οι διαδοχικοί αριθμοί s, s, s 3,... μεγαλώνουν (και είναι όλοι x) ενώ οι διαδοχικοί αριθμοί t, t, t 3,... μικραίνουν (και είναι όλοι > x). Από τη σχέση t s = 0 καταλαβαίνουμε ότι οι t s γίνονται μικρότεροι από κάθε θετικό αριθμό. Επειδή ο x βρίσκεται ανάμεσα στους s, t, συνεπάγεται ότι οι x s γίνονται μικρότεροι από κάθε θετικό αριθμό (αυτό ήδη το γνωρίζουμε) και οι t x γίνονται, ομοίως, μικρότεροι από κάθε θετικό αριθμό. Εχουμε, λοιπόν, την εξής κατάσταση. Οι s μεγαλώνουν και οι x s γίνονται μικρότεροι από κάθε θετικό αριθμό και οι t μικραίνουν και οι t x γίνονται μικρότεροι από κάθε θετικό αριθμό. Ask seic. Δεκαδικό ανάπτυγμα φυσικού.. Εστω ότι ο x είναι φυσικός και ο N είναι μη αρνητικός ακέραιος. Αν όλοι οι X N,..., X 0 ανήκουν στο {0,,..., 9} και X N 0, αποδείξτε ότι 0 N X N 0 N + + X 0 + X 0 0 N+ < 0 N+. Αποδείξτε ότι το πλήθος των ψηφίων στο δεκαδικό ανάπτυγμα του x είναι ίσο με N + αν και μόνο αν 0 N x < 0 N+. Δεκαδικό ανάπτυγμα αριθμού στο [0, ).. Βρείτε «πολλά» δεκαδικά ψηφία του 3 7. Τι παρατηρείτε;. Εστω x, y στο [0, ). Αν για κάποιο οι -οστές δεκαδικές προσεγγίσεις των x, y είναι ίδιες, αποδείξτε ότι x y < Εστω x στο [0, ). Αν x, x,... είναι τα δεκαδικά ψηφία του x και s είναι η -οστή δεκαδική προσέγγισή του, ποιο είναι το δεκαδικό ανάπτυγμα του 0 (x s ); 4. Εστω x, y στο [0, ). Αποδείξτε ότι το σφάλμα στον υπολογισμό του α- θροίσματος x + y με την αντικατάσταση των x, y από τις -οστές δεκαδικές προσεγγίσεις τους είναι μικρότερο από 0. Αποδείξτε ότι το αντίστοιχο σφάλμα στον υπολογισμό του γινομένου xy είναι μικρότερο από

31 Δεκαδικό ανάπτυγμα μη αρνητικού αριθμού.. Βρείτε την έκτη δεκαδική προσέγγιση του..4 Logˆrijmoi. Θεωρούμε στο διάστημα (0, ) ή στο (, + ), δηλαδή θετικό και. Διατυπώνουμε το εξής ερώτημα: για ποιους y η εξίσωση x = y (με άγνωστο τον x) έχει λύση; Γνωρίζουμε ότι για κάθε x είναι x > 0, οπότε, για να έχει λύση η εξίσωση x = y, πρέπει να είναι y > 0. Το θεώρημα που ακολουθεί μας λέει ότι αυτός είναι ο μοναδικός περιορισμός για τον y. Θεώρημα. Εστω > 0 και. Για κάθε y > 0 υπάρχει μοναδικός x ώστε να είναι x = y. Το ουσιαστικό αποτέλεσμα του Θεωρήματος. είναι η ύπαρξη της λύσης της εξίσωσης x = y. Η μοναδικότητα της λύσης είναι σχεδόν προφανής. Πράγματι, δε μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές λύσεις x, x της x = y (με τον ίδιο y), διότι γνωρίζουμε ότι, αν x x, τότε x x. Η μοναδική λύση της εξίσωσης x = y ονομάζεται λογάριθμος του y με βάση και συμβολίζεται log y. Με άλλα λόγια, ισχύει η ισοδυναμία: x = log y αν και μόνο αν x = y. Παρατήρηση: Η περίπτωση =, σε σχέση με την εξίσωση x = y, δεν παρουσιάζει ενδιαφέρον. Πράγματι, επειδή είναι x = για κάθε x, ο μοναδικός y για τον οποίο έχει λύση η εξίσωση είναι ο και σ αυτή την περίπτωση η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις, όλους τους αριθμούς. Για τον ίδιο λόγο ούτε η περίπτωση = 0 έχει ενδιαφέρον. Η εξίσωση 0 x = y έχει λύση μόνο όταν y = 0 και σ αυτή την περίπτωση έχει άπειρες λύσεις, όλους τους θετικούς αριθμούς. Η περίπτωση < 0 δεν αποτελεί αντικείμενο μελέτης λόγω των γνωστών περιπλοκών με τον x όταν ο x είναι ρητός και λόγω του ότι ο x δεν ορίζεται όταν ο x είναι άρρητος. Η πρόταση που ακολουθεί αναφέρει τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Πρόταση.5 Εστω > 0 και. () log (yz) = log y + log z για κάθε y, z > 0. y () log z = log y log z για κάθε y, z > 0. (3) log (y z ) = z log y για κάθε y > 0 και κάθε z. (4) log = 0 και log =. (5) Εστω 0 < y < z. Τότε (i) log y < log z, αν >, και (ii) log y > log z, αν 0 < <. 3