Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος"

Transcript

1

2

3 Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος

4

5 Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής Πανειστημίου Πάτρας Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής μαθηματικών Β Λυκείου Αμαρουσίου Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής μαθηματικών Β Λυκείου Αγ. Παρασκευής Α ΕΚΔΟΣΗ: 1991 ΕΠΑΝΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΕ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ: 199, 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 01 Η ροσαρμογή του βιβλίου στο νέο αναλυτικό ρόγραμμα έγινε αό το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο.

6 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΕΙΩΜΕΝΗ ΟΡΑΣΗ Ομάδα Εργασίας του Ινστιτούτου Εκαιδευτικής Πολιτικής ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ-ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Γραμμένος Νικόλαος, Εκαιδευτικός

7 3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Ας θεωρήσουμε δυο γωνίες α, β ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία M,M αντιστοίχως (Σχ. 1). 1 Έστω ειλέον και η γωνία α β, ου η τελική της λευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ. (Σχ. ). 5 / 89

8 Όως είναι γνωστό, τα σημεία M 1,M, Α και Μ έχουν συντεταγμένες: το Μ1: τετμημένη συνα και τεταγμένη ημα το Μ: τετμημένη συνβ και τεταγμένη ημβ το Α: τετμημένη 1 και τεταγμένη 0 το Μ: τετμημένη συν(α β) και τεταγμένη ημ(α β) Εειδή M ˆ ˆ OM1 AOM α β, θα είναι και (MM 1) (AM). Άρα (M M ) (AM) 1 Αν τώρα χρησιμοοιήσουμε το γνωστό μας τύο: (PP 1 ) (x x 1) (y y 1), ου δίνει την αόσταση δύο σημείων P 1(x 1,y 1) και P (x,y ), έχουμε: (M M ) 1 (συνα συνβ) (ημα ημβ) συν α συν β συνασυνβ ημ α ημ β ημαημβ (συνασυνβ ημαημβ) και (ΑΜ) [συν(α β) 1] [ημ(α β) 0] συν (α β) 1 συν(α β). συν(α β) ημ (α β) Έτσι η σχέση (ΜΜ 1) (ΑΜ) γράφεται (συνασυνβ ημαημβ) συν(α β) ή 6 / 90

9 συνασυνβ ημαημβ συν(α β) Εομένως: συν(α β) συνασυνβ ημαημβ Η ισότητα αυτή, ου αοδείξαμε για γωνίες α, β με 0 0 β α 360, ισχύει και για οοιεσδήοτε γωνίες α, β. Αν στην αραάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το β, έχουμε: συν(α ( β)) συνασυν( β) ημαημ( β) συνασυνβ ημαημβ Εομένως: συν(α β) συνασυνβ ημαημβ Με τη βοήθεια των τύων (1) και () μορούμε να υολογίσουμε το συνημίτονο ορισμένων γωνιών, χωρίς να χρησιμοοιήσουμε τριγωνομετρικούς ίνακες ή υολογιστικές μηχανές. Για αράδειγμα, έχουμε: 7 / 90-91

10 συν15 συν(45 30 ) συν45 συν30 ημ45 ημ ( 3 1) 4 συν75 συν(45 30 ) συν45 συν30 ημ45 ημ ( 3 1) 4 Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια του τύου (1), ου βρήκαμε ροηγουμένως, θα υολογίσουμε τώρα το ημίτονο του αθροίσματος δυο γωνιών. Εειδή συν x ημx και ημ x συνx, έχουμε: ημ(α β) συν (α β) συν ( α) β συν ασυνβ ημ αημβ ημασυνβ συναημβ Εομένως: ημ(α β) ημασυνβ συναημβ 8 / 91 (3)

11 Αν στην αραάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με β βρίσκουμε ότι: ημ(α β) ημασυνβ συναημβ (4) Σύμφωνα με τους τύους αυτούς για αράδειγμα, έχουμε: ημ15 ημ(45 30 ) ημ45 συν30 συν45 ημ ( 3 1) 4 ημ75 ημ(45 30 ) ημ45 συν30 συν45 ημ ( 3 1). 4 Εφατομένη αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια των ροηγούμενων τύων θα υολογίσουμε την εφατομένη του αθροίσματος α+β δυο γωνιών α, β, αν γνωρίζουμε την εφατομένη καθεμιάς. Όως ξέρουμε, για να ορίζονται οι: εφ(α β), εφα και εφβ, ρέει συν(α β) 0, συνα 0 και συνβ 0. Με την ροϋόθεση αυτή έχουμε: 9 / 91-9

12 Διαιρούμε με συνασυνβ 0 ημ(α β) εφ(α β) συν(α β) ημασυνβ συναημβ συνασυνβ ημαημβ ημασυνβ συνασυνβ συνασυνβ συνασυνβ εφα εφβ 1 εφαεφβ συναημβ συνασυνβ ημαημβ συνασυνβ Εομένως έχουμε: εφα εφβ εφ(α β) 1 εφαεφβ (5) Αν τώρα στην αραάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το β, βρίσκουμε ότι: εφα εφβ εφ(α β) 1 εφαεφβ (6) 10 / 9

13 1Τέλος με ανάλογο τρόο αοδεικνύεται ότι: σφ(α β) σφασφβ 1 σφβ σφα (7) σφ(α β) σφασφβ 1 σφβ σφα (8) Σύμφωνα με τους αραάνω τύους για αράδειγμα, έχουμε: εφ15 εφ(45 30 ) 3 1 εφ45 εφ εφ45 εφ (3 3)(3 3) 3 3 (3 3)(3 3) / 9-93

14 εφ75 εφ(45 30 ) 3 1 εφ45 εφ εφ45 εφ (3 3)(3 3) 3 3 (3 3)(3 3) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 3 1ο Αν ημα, με 3 α 5 και 1 συνβ, με 13 3 β, να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του α+β. ΛΥΣΗ Εειδή ημ(α+β) = ημασυνβ+συναημβ και συν(α β) συνασυνβ ημαημβ αρκεί να υολογίσουμε το συνα και το ημβ. Έχουμε λοιόν: συν α 1 ημ α 1, όοτε συνα, αφού 3 α και ημ β 1 συν β 1, οότε ημβ, αφού β / 93

15 Εομένως 3 1 ημ(α β) συν(α β) , οότε: 16 εφ(α β) και σφ(α β) 16 ο Να αοδειχθεί ότι: ημ(α β) ημ(α β) ημ α ημ β ΑΠΟΔΕΙΞΗ ημ(α β)ημ(α β) (ημασυνβ συναημβ) (ημασυνβ συναημβ) ημ ασυν β συν αημ β ημ α(1 ημ β) (1 ημ α)ημ β ημ α ημ αημ β ημ β ημ αημ β ημ α ημ β 13 / 93

16 3ο Να λυθεί η εξίσωση: συνx ημx 6 ΛΥΣΗ συνx ημx 6 συνx ημxσυν συνxημ συνx ημx συνx 4συνx 3ημx συνx 3συνx εφx 3 3ημx εφx εφ 3 x κ,κ 3 Αφού συνx 1 4ο Να αοδειχθεί ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: εφα εφβ εφγ εφαεφβεφγ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αφού το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, ορίζονται οι εφα, εφβ, εφγ. Εειδή ειλέον Α Β Γ, ορίζεται η εφ(α Β) και έχουμε διαδοχικά: εφ(α Β) εφ( Γ) 14 / 94

17 εφα εφβ εφγ 1 εφαεφβ εφα εφβ εφγ εφαεφβεφγ εφα εφβ εφγ εφαεφβεφγ 5ο Θεωρούμε έναν αγωγό αό τον οοίο διέρχονται τρία εναλλασσόμενα ρεύματα της ίδιας κυκλικής συχνότητας ω με στιγμιαίες εντάσεις Ι 1 ημωt, Ι ημ(ωt ) 3 και Ι ημ(ωt 4 ). Να αοδειχθεί ότι η 3 3 ολική ένταση Ι Ι1 Ι Ι3 του ρεύματος ου διέρχεται αό τον αγωγό είναι μηδέν. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι 4 Ι ημωt ημ(ωt ) ημ(ωt ) 3 3 ημωt ημωtσυν συνωtημ ημωtσυν συνωtημ ημωt ημωt συνωt 1 3 ημωt συνωt 1 1 ημωt ημωt ημωt 0 15 / 94-95

18 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, την τιμή των αραστά-σεων: i) συν συν ημ ημ ii) συν170 συν50 ημ170 ημ50 iii) ημ110 ημ70 συν110 συν iv) συν συν ημ ημ Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις: i) συν3xσυν( x) ημ3xημ( x) ii) συν(x )συνx ημ(x )ημx Να αοδείξετε ότι: i) συν(x ) συν(x ) συνx 4 4 συν (x ) συν (x ) ii) 4 4 ημxσυνx 4. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, την τιμή των αραστάσεων: i) ημ συν συν ημ ii) ημ70 συν0 συν70 ημ0 16 / 95

19 7 εφ εφ iii) εφ εφ 1 4 iv) εφ165 εφ15 1 εφ165 εφ15 5. Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις: i) ημxσυνx συνxημx ii) ημ x συνx συν x ημx 6 6 iii) εφx εφx 1 εφxεφx εφ x εφ x 3 6 iv) 1 εφ x εφ x Να αοδείξετε ότι: i) ημ x ημ x ημx 3 3 (ημα συνα)(ημβ συνβ) ii) ημ(α β) συν(α β) 7. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 105 και Να αοδείξετε ότι: ημ(α β) i) εφα εφβ συνασυνβ 17 / 95-96

20 ii) σφα σφβ ημ(α β) ημαημβ 9. Να αοδείξετε ότι για τις γωνίες α, β του διλανού σχήματος ισχύει: 63 i) ημ(α β) ii) συν(α β) Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α+β, αν: 3 5 i) ημα, συνβ, 0 α και β / 96

21 ii) 3 συνα, 5 4 ημβ, 5 3 α και 3 β 11. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημx συν(x ) ii) εφx εφ( x) 6 4 iii) εφ(x α), αν εφα 3 Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αοδείξετε ότι: ημ(α β) ημ(β γ) ημ(γ α) 0 συνασυνβ συνβσυνγ συνγσυνα. Αν συν(α β) 0, να αοδείξετε ότι: ημ(α β) ημα 3. Αν εφα 3, να λύσετε στο [0,] τη εξίσωση: ημ(x α) ημ(x α) 4. Αν α β, να αοδείξετε ότι: (1 εφα)(1 εφβ) 4 5. Αν στο αρακάτω σχήμα είναι ΑΓ 3 ΑΔ, να αοδείξετε ότι: εφβ i) εφω, όου Β ΑΒΓ ˆ 3 εφ Β 0 ii) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, αν Β / 96-97

22 6. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημα ημ(β Γ) εφβ, συν(β Γ) να αοδείξετε ότι Α και αντιστρόφως. *7. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: i) σφασφβ σφβσφγ σφγσφα 1, συνα συνβ συνγ ii) ημβημγ ημγημα ημαημβ 8. Να λυθεί στο διάστημα [0,] η εξίσωση: εφ( x) εφ( x) *9. Αν 0 x, y,z με εφx, αοδείξετε ότι: x y z 4 εφy 1 και 5 1 εφz, να 8 0 / 97

23 3.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α Οι τύοι ου εκφράζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, ως συνάρτηση των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας α, είναι ειδικές εριτώσεις των τύων της ροηγούμενης αραγράφου. Συγκεκριμένα, αν στους τύους του ημ(α β), του συν(α β) και της εφ(α β) αντικαταστήσουμε το β με το α, έχουμε: ημα ημ(α α) ημασυνα συναημα ημασυνα Εομένως: ημα = ημασυνα (1) συνα συν(α α) συνασυνα ημαημα συν α ημ α συν α (1 συν α) συν α 1 Είσης συνα συν α ημ α (1 ημ α) ημ α 1 ημ α Εομένως: συνα συν α ημ α συν α 1 1ημ α () 1 / 97-98

24 εφα εφα εφα 1 εφαεφα εφα 1 εφ α Εομένως: εφα εφα 1 εφ α (3) Αό τους τύους () μορούμε να υολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, αν γνωρίζουμε το συνα. Πράγματι, έχουμε: συνα συν α 1 1 συνα συν α 1συνα συν α συνα 1 ημ α 1 συνα ημ α ημ α 1συνα 1 συνα ημ α εφ α 1 συνα συν α 1 συνα 1 συνα Εομένως: 1 συνα ημ α (4) / 98

25 1 συνα συν α (5) 1 συνα εφ α 1 συνα (6) Με τη βοήθεια των αραάνω τύων μορούμε να υολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του μισού μιας γωνίας, αν γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας αυτής. Για αράδειγμα οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της 45 γωνίας,5 υολογίζονται ως εξής: 1 συν45 ημ,5 οότε ημ,5 1, 4 1 συν45 συν,5 οότε συν,5 1, 4 Εομένως εφ,5 1 και σφ,5 1 3 / 98-99

26 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1ο Να αοδειχθεί ότι: 3 i) ημ3α 3ημα 4ημ α 3 ii) συν3α 4συν α 3συνα ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: i) ημ3α=ημ(α α) ημασυνα συναημα ημασυν α (1 ημ α)ημα ημα(1 ημ α) (1 ημ α)ημα 3ημα 4ημ α ημα 3 ημ α ημα 3 ημ α 3 ii) συν3α συν(α α) συνασυνα ημαημα (συν α 1)συνα ημ ασυνα (συν α 1)συνα (1 συν α)συνα 3 3 συν α συνα συνα συν α 3 4συν α 3συνα o Να αοδείξετε ότι για κάθε γωνία α με συνα 0ισχύει: i) ημα εφα 1 εφ α 1 εφ α ii) συνα 1 εφ α 4 / 99

27 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν συνα 0, έχουμε: i) ημασυνα ημα ημασυνα συν α ημ α ημασυνα συν α εφα συν α ημ α 1 εφ α συν α συν α συνα συν α ημ α συν α ημ α συν α ημ α συν α ημ α συν α συν α 1 εφ α συν α ημ α 1 εφ α συν α συν α 3o Αν 3 εφα και α, να βρεθεί η εφα. 4 ΛΥΣΗ Αό τον τύο (3) έχουμε: 3 εφα 8εφα 3 3εφ α 4 1 εφ α 3εφ α 8εφα εφα 6 1 εφα 3 ή εφα 3 5 / 100 [αφού Δ=100]

28 Αό τις τιμές της εφα ου βρήκαμε δεκτή είναι μόνο η 3, αφού α. 4o Να αοδειχθεί ότι 1 ημx εφ x 4 1 ημx ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1 συνα Εειδή εφ α, έχουμε: 1 συνα εφ x 4 1συν x αφού συν x ημx 1συν x 1 ημx, 1 ημx 5o Να λυθεί η εξίσωση: x ημ x συν ΛΥΣΗ Σύμφωνα με τον τύο (5) έχουμε: x ημ x συν ημ x 1 συνx 6 /

29 (1 συν x) 1 συνx συν x συνx 0 συνx(συνx 1) 0 συνx 0 ή συνx 1 x κ ή x κ κ 6o Να εκφρασθεί το 8συν4α ως συνάρτηση του συνα και του συν4α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με τον τύο (5) έχουμε: 4 8συν α 8(συν α) 1 συνα 8 1συνα συν α 8 4 4συνα συν α 4συναα 1 συν4α 3 4συνα συν4α. 7 / 101

30 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να υολογίσετε την τιμή των αραστάσεων: 3 3 i) ημ συν 4 4 ii) 1 ημ 1 0 iii) συν εφ75 iv) 0 1 εφ 75. Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις: i) ημασυνα ii) συν α1 4 εφ3α iii) 1 εφ 3α 3. Να αοδείξετε ότι: ημα i) ημ α συνα συν α ii) 1 ημ α εφα iii) σφα εφα σφα iv) εφα σφα ημα 4. Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α, αν: 8 / 101

31 i) συνα α 4 και 5 3 α ii) 3 ημα και 5 5. Να υολογίσετε την εφ(α+β), αν 1 εφα και 4 1 εφβ 3 6. Να αοδείξετε ότι: i) ημ ασυνα συν αημα ημα ii) ημαεφα συν α ημα iii) 1 συνα εφα iv) 1 συνα ημα εφα 1συνα ημα Να λύσετε τις εξισώσεις: i) συνx ημx 1 0 ii) ημx συνx ημx Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α,αν: 9 /

32 i) ii) 5 συνα και 13 0 α 3 συνα και 3 α Να λύσετε τις εξισώσεις: i) συνx συν 0 x x ii) συνx ημ 0 x iii) συν x 4ημ x iv) συν x 1 συν Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν 0 α, να αοδείξετε ότι: 4 συνα ημα 1 ημα.. Να αοδείξετε ότι: 3. Να αοδείξετε ότι: ημ α 1συν α α εφ ημα(1 συνα) ημ 3 1 συν Να αοδείξετε ότι: 1 εφαεφα εφα i) εφα σφα 30 / 10

33 ii) 34συνα συν4α εφ 4 α 34συνα συν4α 5. Να αοδείξετε ότι: 0 συνα 1 εφ(45 α) εφα 1 ημα συνα και με τη βοήθεια αυτού του τύου να υολογίσετε την εφ Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εφx συνx ii) εφx εφx 3 7. Να αοδείξετε ότι: 4 συν4α 8συν α 8συν α 1 8. Να αοδείξετε ότι: i) συν συν ii) ημ ημ iii) 8ημ ασυν α 1 συν4α α 9. Αν συνx, συνy β β γ γ α αοδείξετε ότι: x y z εφ εφ εφ 1. και γ συνz, α β να 31 /

34 3.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Σε αρκετές εφαρμογές της Τριγωνομετρίας χρειάζεται το γινόμενο τριγωνομετρικών αριθμών να μετασχηματισθεί σε άθροισμα ή αντιστρόφως το άθροισμα σε γινόμενο. Στην αράγραφο αυτή θα αναζητήσουμε τύους, με τους οοίους γίνονται οι αραάνω μετασχηματισμοί. Μετασχηματισμός γινομένου σε άθροισμα Αό τις γνωστές μας ισότητες: ημ(α β) ημασυνβ συναημβ ημ(α β) ημασυνβ συναημβ με ρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: ημ(α β) ημ(α β) ημασυνβ δηλαδή: ημασυνβ ημ(α β) ημ(α β) (1) ενώ αό τις: συν(α β) συνασυνβ ημαημβ συν(α β) συνασυνβ ημαημβ με ρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: συνασυνβ συν(α β) συν(α β)() ημαημβ συν(α β) συν(α β)(3) 3 / 103

35 Μετασχηματισμός αθροίσματος σε γινόμενο Με τη βοήθεια των ροηγούμενων τριών τύων μορούμε να μετασχηματίσουμε το άθροισμα τριγωνομετρικών αριθμών σε γινόμενο. Πράγματι, αν θέσουμε α+β=α και α β Β, τότε έχουμε Α Β α β α β α, οότε α Α Β Α Β α β α β β, οότε β Α Β Έτσι ο αραάνω τύος (1) γράφεται Α Β Α Β ημ συν ημα ημβ. Δηλαδή έχουμε: Α Β Α Β ημα ημβ ημ συν (4) Αν τώρα στον τύο (4) αντικαταστήσουμε το Β με Β, βρίσκουμε: Α Β Α Β ημα ημβ ημ συν (5) Ομοίως, αό τον τύο (), βρίσκουμε: 33 / 104

36 Α Β Α Β συνα συνβ συν συν (6) ενώ αό τον τύο (3) βρίσκουμε Α Β Α Β ημ ημ συνβ συνα, οότε Α Β Α Β συνα συνβ ημ ημ (7) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 Να λυθεί η εξίσωση: ημ6xσυν3x=ημ5xσυν4x (1) ΛΥΣΗ Έχουμε: (1) ημ6xσυν3x ημ5xσυν4x ημ9x ημ3x ημ9x ημx ημ3x ημx 3x κ x ή,κ 3x κ x x x κ ή,κ κ 4 34 /

37 Να λυθεί η εξίσωση: συν3x+συνx=ημx ΛΥΣΗ Έχουμε: : (1) 3x x 3x x συν συν ημxσυνx συνxσυνx ημxσυνx συνxσυνx ημxσυνx 0 συνx(συνx ημx) 0 συνx 0() ή συνx ημx(3) Αλλά () συνx συν x κ, κ και 3 συνx συν( x) x κ x ή, κ x κ x 3x κ ή, κ x κ 4κ x 6 ή, κ x κ 35 / 105

38 3ο Να αοδειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Α Β Γ ημα ημβ ημγ 4συν συν συν ΑΠΟΔΕΙΞΗ ημα ημβ ημγ Α Β Α Β ημ συν Γ Γ ημ συν Γ Α Β συν συν Α Β Γ συν συν Α Β Γ γιατί Γ Α Β Α Β συν συν συν Γ Α Β συν συν συν Α Β Γ 4συν συν συν. 36 / 106

39 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, τα γινόμενα: i) συν75 συν15 ii) ημ105 συν15 13 iii) ημ συν 1 iv) 11 ημ 7 ημ 1 1. Να μετατρέψετε σε αθροίσματα τριγωνομετρικών αριθμών τα αρακάτω γινόμενα: i) ημxσυνx ii) ημ4xημx iii) συν3xσυν5x iv) συν6xημx v) ημ( x)ημ( x) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ3xσυνx ημ6xσυνx ii) συν3xσυνx ημxημx 4. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, τα αθροίσματα: i) ημ75 ημ ii) ημ ημ 1 1 iii) συν40 συν80 συν / 106

40 5. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τριγωνομετρικών αριθμών τα αρακάτω αθροίσματα: i) ημ4x ημx ii) συν5x συν3x iii) συν3x συνx iv) 1 ημx v) 1 συνx 6. Αν Β και Γ είναι οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, να αοδείξετε ότι: i) ημβ ημγ συν(β Γ) Β Γ ii) ημβ ημγ ημ 7. Να αοδείξετε ότι: i) συν3α συν5α εφα ημ3α ημ5α ημα ημ3α ημ5α ii) εφ3α συνα συν3α συν5α ημαημα ημ3αημ6α iii) εφ5α ημασυνα ημ3ασυν6α 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ3x ημx συνx ii) συν5x συνx ημ3x iii) ημ3x ημ6x ημ9x 0 Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αοδείξετε ότι: 1 i) ημ50 1 συν0 38 /

41 ημ5 ημ68 ii) συν65 συν81 1 ημ47 συν77. Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισχύει 4ημΒσυνΓ 1, να αοδείξετε ότι Β = Να αοδείξετε ότι: α β i) ημαημβ ημ α β ii) συνασυνβ συν 4. Να αοδείξετε ότι: ημα ημβ α β i) ημ, για οοιαδήοτε α,β [0,] συνα συνβ α β ii) συν, για οοιαδήοτε α,β [, ] 5. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: i) ημα ημ(β Γ) ημβσυνγ ii) συν(β Γ) συνα συνβσυνγ συνα συνβ συνγ iii) Α Β Γ 14ημ ημ ημ. 6. Να αοδείξετε ότι για τις οξείες γωνίες Β, Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισχύει: 39 / 107

42 Β Γ Β Γ συν συν 1 συν 7. Αν για τις γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ημα συνβ συνγ, να αοδείξετε ότι Β=900 ή Γ=900 και αντιστρόφως. 3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνx Στην ροηγούμενη τάξη είδαμε ότι μια συνάρτηση της μορφής f(x)=ρημx, ρ > 0 είναι εριοδική με ερίοδο και έχει μέγιστο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσο με ρ. Η γραφική της αράσταση είναι μια ημιτονοειδής καμύλη. Μια τέτοια συνάρτηση είναι,.χ., και η f(x)=ημx, της οοίας η γραφική αράσταση φαίνεται στο αρακάτω σχήμα: 40 /

43 Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ) Έστω για αράδειγμα η συνάρτηση συνάρτηση αυτή f(x) ημ(x ). Παρατηρούμε ότι η 4 41 / 108

44 ροκύτει αό την g(x) ημx αν, όου x, θέσουμε x δη- 4 λαδή ισχύει f(x) g(x ) 4 Αυτό σημαίνει ότι η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της γραφικής αράστασης της g κατά 4 μονάδες, ρος τα αριστερά. Όμως η συνάρτηση g(x) ημx έχει ερίοδο, μέγιστο ίσο με και ελάχιστο ίσο με. Εομένως η συνάρτηση f είναι εριοδική με ερίοδο και έχει μέγιστο ίσο με και ελάχιστο ίσο με. Ο σταθερός αριθμός λέγεται διαφορά φάσεως των 4 καμυλών yημ(x ) και y = ημx. Οι καμύλες 4 αυτές φαίνονται στο αρακάτω σχήμα: 4 /

45 Γενικότερα, η γραφική αράσταση της συνάρτησης f(x)=ρημ(x+φ), ρ>0 ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της γραφικής αράστασης της συνάρτησης g(x) ρημx. Εομένως: Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ) είναι εριοδική με ερίοδο και έχει μέγιστο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσο με ρ. 43 / 109

46 Η συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx, α,β 0 Έστω για αράδειγμα η συνάρτηση f(x)=ημx+συνx. Για να τη μελετήσουμε θα ροσαθήσουμε να τη μετατρέψουμε σε άλλη συνάρτηση γνωστής μορφής. Έχουμε: ημx συνx ημx εφ συνx 4 ημ ημx 4 συνx συν 4 ημx συν συνx ημ 4 4 συν 4 ημx 4 ημx 4 Εομένως f(x) ημx. Αυτό σημαίνει ότι η 4 συνάρτηση f είναι εριοδική με ερίοδο και έχει μέγιστο ίσο με και ελάχιστο ίσο με. Η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της γραφικής αράστασης της συνάρτησης g(x) ημx κατά μονάδες ρος τα αριστερά, όως 4 φαίνεται στο αρακάτω σχήμα: 44 /

47 Γενικότερα θα αοδείξουμε ότι: 45 / 110

48 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν α,β 0, τότε για κάθε x ισχύει: αημx βσυνx ρημ(x φ) όου α συνφ ρ ρ α β και φ με β ημφ ρ Έστω το σημείο Μ(α,β) και φ μια αό τις γωνίες με αρχική λευρά Οx και τελική λευρά ΟΜ. Τότε έχουμε: ρ ΟΜ α β και α συνφ ή α ρσυνφ ρ β ημφ ή β ρημφ ρ Εομένως αημx βσυνx ρσυνφημx ρημφσυνx ρ(συνφημx ημφσυνx) ρημ(x φ) Η μελέτη λοιόν της συνάρτησης f(x)=αημx+βσυνx, α,β 0 μορεί να γίνει με τη μελέτη της συνάρτησης f(x) ρημ(x φ). 46 / 110

49 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1 ο i) Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) ημ(x ) 3 ii) Ομοίως η συνάρτηση f(x) ημx 3συνx ΛΥΣΗ i) Η συνάρτηση f γράφεται f(x) ημ(x ). 6 Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή ροκύτει αό τη συνάρτηση g(x) ημx αν, όου x θέσουμε x. 6 Αυτό σημαίνει ότι η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό μία οριζόντια μετατόιση της γραφικής αράστασης της g κατά 6 μονάδες ρος τα δεξιά. Όμως η συνάρτηση g(x) ημx έχει ερίοδο, μέγιστο και ελάχιστο. Άρα και η f είναι εριοδική με ερίοδο, μέγιστο και ελάχιστο. Οι γραφικές αραστάσεις των f και g φαίνονται στο αρακάτω σχήμα. 47 / 111

50 ii) Η αράσταση ημx 3συνx είναι της μορφής αημt βσυνt με α=1, β 3 και όου t το x. Εομένως αίρνει τη μορφή ρημ(x φ). Έχουμε 48 / 111

51 ρ 1 ( 3) 4 1 συνφ και, 3 ημφ οότε ένα φ 3 Άρα f(x) ημx 3συνx ημ(x ) 3 Τη συνάρτηση αυτή όμως τη μελετήσαμε ροηγουμένως. ο Να λυθεί η εξίσωση 3ημ4x συν4x ΛΥΣΗ Το 1ο μέλος της εξίσωσης είναι της μορφής αημt βσυνt με α 3, β=1 και όου t το 4x. Εομένως αίρνει τη μορφή ρημ(4x+φ). Έχουμε 49 /

52 ρ ( 3) συνφ, και 1 ημφ. οότε ένα φ 6 Άρα 3ημ4x συν4x ημ 4x και η εξίσωση 6 γίνεται ημ 4x ημ 4x 6 6 ημ4x ημ 6 4 4x κ 6 4 ή, κ 4x κ ( ) 6 4 x κ 48 ή, κ 7 x κ / 11

53 3o Δυο ρεύματα με την ίδια κυκλική συχνότητα ω και με εντάσεις Ι 1 ημωt και Ι ημωt διαρρέουν έναν αγωγό. Να δειχθεί 3 ότι το άθροισμα τους έχει την ίδια κυκλική συχνότητα. ΛΥΣΗ Έχουμε Ι Ι Ι ολ 1 ημωt ημωt 3 ημωt ημωtσυν συνωtημ ημωt ημωt συνωt ημωt 3συνωt ημωt, 3 ου σημαίνει ότι το Ι ολ έχει την ίδια κυκλική συχνότητα ω. 51 /

54 ΑΣΚΗΣΕΙΣ A ΟΜΑΔΑΣ 1. Να βρείτε την ερίοδο, τη μέγιστη τιμή και την ελάχιστη τιμή των αρακάτω συναρτήσεων και στη συνέχεια να τις αραστήσετε γραφικά: i) f(x) ημx 3 ii) f(x) ημx. Να γράψετε στη μορφή f(x) ρημx φ συναρτήσεις: i) f(x) 3ημx συνx ii) f(x) ημx συνx iii) f(x) ημx 3συνx iv) f(x) ημx συνx τις 3. Να μελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις της άσκησης. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 3ημx συνx, ii) συνx ημx 1, iii) ημx 6συνx 0 Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Να υολογίσετε τη γωνία ω του αρακάτω σχήματος, έτσι ώστε να ισχύει: 5 / 113

55 (ΜΑ) (ΜΒ) 6. Μια μάρα ΑΒ μήκους m τοοθετείται οριζόντια μεταξύ δυο κάθετων τοίχων. Για μεγαλύτερη αντοχή ρέει να τοοθετηθεί, έτσι ώστε το (ΟΑ)+(ΟΒ) να γίνει μέγιστο. i) Να εκφράσετε το (ΟΑ)+(ΟΒ) ως συνάρτηση του θ. ii) Να βρείτε την τιμή του θ για την οοία το (ΟΑ)+(ΟΒ) γίνεται μέγιστο και να ροσδιορίσετε το μέγιστο αυτό. 53 / 113

56 3. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i) f(x) 5ημx 1συνx 3, ii) f(x) 4συνx(ημx συνx) 4. Να λύσετε την εξίσωση: ημx( 3συνx ημx) 1 5. Με συρματόλεγμα μήκους 40m εριφράσσουμε τμήμα γης σχήματος ορθογωνίου τριγώνου. Αν η υοτείνουσα είναι h m και η μια οξεία γωνία Grad (Σχήμα). 54 /

57 i) Να αοδείξετε ότι: h 40 ημθ συνθ 1 ii) Για οια τιμή του θ το h αίρνει τη μικρότερη τιμή και οια είναι αυτή; 6. Στο αρακάτω σχήμα: i) Να δείξετε ότι η ερίμετρος Ρ του τριγώνου ΜΚΟ ισούται με Ρ 1 ημθ συνθ. ii) Για οια τιμή του θ το Ρ αίρνει τη μεγαλύτερη τιμή και οια είναι αυτή; 55 / 114

58 3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Το κλασικό ρόβλημα της Τριγωνομετρίας, αό το οοίο ήρε και το όνομά της, είναι η είλυση τριγώνου, δηλαδή ο υολογισμός των άγνωστων κύριων στοιχείων ενός τριγώνου, όταν δίνονται εαρκή στοιχεία του. Η είλυση τριγώνου μορεί να γίνει με τη βοήθεια των αρακάτω δυο βασικών θεωρημάτων, ου είναι γνωστά το ένα ως νόμος των ημίτονων και το άλλο ως νόμος των συνημίτονων. 56 / 114

59 Νόμος των ημίτονων ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α β γ ημα ημβ ημγ R Όου R, η ακτίνα του εριγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω (0,R) ο εριγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ. Αν φέρουμε τη διάμετρο ΒΔ και τη χορδή ΓΔ, τότε σχηματίζεται τρίγωνο ΓΒΔ ου είναι ορθογώνιο στο Γ. Εομένως έχουμε: (ΒΓ) α ημδ, (ΒΔ) R οότε α R ημδ (1) 57 /

60 Είναι όμως Δ=Α (Σχ. 1) ή Δ Α 180 (Σχ. ), οότε ημδ=ημα. Εομένως η (1) γράφεται 58 / 115

61 α ημα R Αν A 90,, τότε έχουμε: ημα=1 και α=r (Σχ. 3). Εομένως και στην ερίτωση αυτή ισχύει ισότητα α R. ημα Ομοίως αοδεικνύεται ότι: β R ημβ και γ ημγ Εομένως: R α β γ ημα ημβ ημγ R Σχόλιο. Με το νόμο των ημίτονων μορούμε εύκολα να ειλύσουμε ένα τρίγωνο, όταν δίνονται: i) Μια λευρά και δυο γωνίες του ή ii) Δυο λευρές και μια αό τις μη εριεχόμενες γωνίες του. 59 / 115

62 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1o Να ειλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 15, Α = 43 και Β = 8. ΛΥΣΗ Έτσι, σύμφωνα με το νόμο των ημίτονων έχουμε: 15 β γ ημ43 ημ8 ημ55 οότε: 15 ημ8 15 0,9903 β ημ43 0, ημ ,819 γ 18 ημ43 0,680 ο Να ειλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 3, β = 31 και Β = 35 ΛΥΣΗ Σύμφωνα με το νόμο των ημίτονων έχουμε: 60 / 116

63 3 31 γ (1) ημα ημ35 ημγ Οότε 3 ημ35 3 0,5736 ημα 0, Άρα Α 5 ή Α 155 Εειδή όμως α < β, θα είναι και Α < Β. Εομένως αό τις αραάνω τιμές της Α δεκτή είναι μόνο η Α 5. 'Ετσι έχουμε Γ 180 Α Β οότε, λόγω της (1), ισχύει 61 / 116

64 31 γ ημ35 ημ10 31ημ10 310,8660 γ 47 ημ35 0,5736 3ο Σε ένα υλικό σημείο Ο εφαρμόζονται τρεις δυνάμεις ου έχουν μέτρα F1, F και F3 αντιστοίχως και σχηματίζουν ανά δυο γωνίες ω1, ω και ω3, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα. Αν το υλικό σημείο ισορροεί, να αοδειχθεί ότι: F1 F F3 ημω ημω ημω ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1 3 Εειδή το σημείο Ο ισορροεί, η συνισταμένη F των F 1 και F θα έχει ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά και ίδιο μέτρο με την F. 3 Εομένως αό το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΟΒΓ έχουμε: (ΒΓ) (ΟΒ) (ΟΓ) ημβογ ˆ ημβγο ˆ ημοβγ ˆ F1 F F3, ημω1 ημω ημω3 αφού ΒΟΓ ˆ 180 ω 1, ΒΓΟ ˆ 180 ω και ΟΒΓ ˆ 180 ω. 3 6 /

65 Νόμος των συνημίτονων Όταν είναι γνωστές οι τρεις λευρές ενός τριγώνου ή οι δυο λευρές και η εριεχόμενη γωνία τους δεν μορούμε εύκολα με μόνο το νόμο των ημίτονων να υολογίσουμε τα άλλα στοιχεία του. Στην ερίτωση αυτή χρησιμοοιούμε το αρακάτω θεώρημα ου είναι γνωστό ως νόμος των συνημίτονων. ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α β γ βγσυνα.. β γ α γασυνβ. γ α β αβσυνγ 63 / 117

66 ΑΠΟΔΕΙΞΗ * Θα αοδείξουμε μόνο την ρώτη ισότητα. Με όμοιο τρόο αοδεικνύονται και οι υόλοιες ισότητες. Στο είεδο του τριγώνου θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων με αρχή το Α και θετικό ημιάξονα των x την ημιευθεία ΑΒ. Έτσι οι συντεταγμένες του Β θα είναι (γ,0), ενώ για τις συντεταγμένες (χ, y) του Γ θα ισχύει 64 / 118

67 x συνα και ημα β ή ισοδύναμα x βσυνα και y βημα (1) y β Αν χρησιμοοιήσουμε τώρα τον τύο της αόστασης για τα σημεία Β(γ,0) και Γ(x,y), βρίσκουμε ότι: α (ΒΓ) (x γ) (y 0) οότε, λόγω της (1), έχουμε: α (x γ) y (βσυνα γ) (βημα) β συν Α γ βγσυνα β ημ Α β (συν Α ημ Α) γ βγσυνα β γ βγσυνα. Σχόλιο. Είναι φανερό ότι με το νόμο των συνημίτονων μορούμε αμέσως να υολογίσουμε μια οοιαδήοτε λευρά ενός τριγώνου, αρκεί να δοθούν οι άλλες δύο και η εριεχόμενη τους γωνία. Με τον ίδιο νόμο μορούμε ειλέον να υολογίσουμε και τις γωνίες ενός τριγώνου, του οοίου είναι γνωστές και οι τρεις λευρές, αφού οι αραάνω ισότητες γράφονται: β γ α συνα, βγ α β γ συνγ αβ γ α β συνβ, γα 65 / 118

68 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1o Να ειλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 35, β = 0 και γ = 4 ΛΥΣΗ Αό το νόμο των συνημιτόνων έχουμε: συνΑ, οότε συνα 0 4 0,5589 Άρα Α συνΒ, οότε συνβ ,8806 Άρα Β 8 Άρα Γ 96 ο Να ειλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με β= 0, γ = 4 και Α = 56 ΛΥΣΗ Αό το νόμο των συνημιτόνων έχουμε α συν56 οότε α , Έτσι γνωρίζουμε και τις τρεις λευρές του τριγώνου, οότε αναγόμαστε στο ροηγούμενο ρόβλημα. 66 / 119

69 3ο Να αοδειχθεί ότι το εμβαδό Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ 1 δίνεται αό τον τύο: Ε βγημα ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν φέρουμε το ύψος ΓΚ του τριγώνου, έχουμε: 1 1 Ε (ΑΒ) (ΓΚ) (ΑΒ) (ΑΓ) ημα 1 γ β ημα (ΓΚ) γιατί ημα (ΑΓ) 67 /119

70 Ο αραάνω τύος ισχύει ροφανώς και στην ερίτωση ου Α = 90. 4ο Σε ένα υλικό σημείο Ο εφαρμόζονται δυο δυνάμεις ου έχουν μέτρα F1 και F αντίστοιχα και σχηματίζουν γωνία ω. Να αοδειχθεί ότι το μέτρο F της συνισταμένης τους δίνεται αό τον τύο: F F F FF συνω 1 1 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Εειδή (ΟΑ) F 1, ΟΑΓ έχουμε: F (ΟΓ) (ΑΓ) F και (ΟΓ) F, στο τρίγωνο (ΟΑ) (ΑΓ) (ΟΑ)(ΑΓ)συνΑ F F F F συν(180 ω) 1 1 F F F F συνω /

71 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Δυο ύργοι Α και Β βρίσκονται εκατέρωθεν ενός οταμού. Ένας αρατηρητής Π βρίσκεται ρος το ίδιο μέρος του οταμού με τον ύργο Α. Αν στο τρίγωνο ΠΑΒ είναι ΠΑ = 300m, Α = 63 και Π = 56, να βρείτε την αόσταση των ύργων Α και Β.. Ένας συλλέκτης ηλιακής ακτινοβολίας μήκους 5 m είναι τοοθετημένος στην οροφή ενός κτιρίου, όως δείχνει το διλανό σχήμα. Να υολογίσετε το μήκος του βραχίονα με τον οοίο στηρίζεται ο συλλέκτης. 69 / 10

72 3. Στο αρακάτω σχήμα να αοδείξετε ότι: dημx i) ΓΔ, ημ(y x) dημx ημy ii) ΑΓ ημ(y x) 4. Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με α=30, β=10 και Β Να υολογίσετε τη γωνία θ του αρακάτω σχήματος. 70 / 10

73 6. Να υολογίσετε το μήκος του έλους του αρακάτω σχήματος. 7. Να υολογίσετε τη γωνία θ του ορθογωνίου κουτιού του αρακάτω σχήματος: 71 / 10-11

74 8. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα συνα συνβ συνγ α β γ α β γ αβγ 9. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα: βσυνγ γσυνβ α 10. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα βσυνγ = γσυνβ, να αοδείξετε ότι β=γ και αντιστρόφως. 11. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα α = βσυνγ, να αοδείξετε ότι β = γ και αντιστρόφως. Β ΟΜΑΔΑΣ * 1. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα Β = Α, να αοδείξετε ότι: β i) συνα α ii) β α αγ. Στο αρακάτω σχήμα να αοδείξετε ότι: ΓΔ α(συνx ημx) 7 / 11

75 3. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει μια αό τις ισότητες: i) β αημβ, ii) αημα βημβ γημγ, να αοδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 4. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα ασυνα = βσυνβ, να αοδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές. 5. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα: α β Α Β Γ εφ εφ α β 6. Στο αρακάτω σχήμα να αοδείξετε ότι: 5 3συνθ (ΒΓ) 73 / 11-1

76 7. Να αοδείξετε ότι για το αρακάτω αραλληλόγραμμο ισχύουν οι ισότητες: i) x y α β ii) (ΑΒΓΔ) αβημω ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ' ΟΜΑΔΑΣ) 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος του ΑΔ είναι ίσο με το μισό της λευράς ΒΓ. Να αοδείξετε ότι ισχύει εφβ εφγ εφβεφγ και σφβ σφγ.. Αν για τις γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει εφβ ημ Β, να αοδείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι εφγ ημ Γ ορθογώνιο ή ισοσκελές. 3. Να αοδείξετε ότι τα σημεία Μ (x.y) του ειέδου με x 1 συνt, y = 3 + ημt, βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Κ(1,3) και ακτίνας ρ =. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 1 ημx συνx 4 συνx 1 ημx 74 / 1

77 ii) συνx σφx 3 1 ημx 5. i) Αν 0 x να αοδείξετε ότι εφx σφx ii) Αν 0 α β να αοδείξετε ότι ημα ημβ εφα εφβ συνα συνβ 6. Να λύσετε την εξίσωση διάστημα (4, 5). συν x 1 3 στο 7. Σε ένα λούνα-αρκ ο εριστρεφόμενος τροχός έχει ακτίνα 4m, το κέντρο του αέχει αό το έδαφος 10m και όταν αρχίζει να κινείται εκτελεί μια λήρη εριστροφή σε 8 δευτερόλετα με σταθερή ταχύτητα. Να βρείτε το ύψος του βαγονιού Α αό το έδαφος ύστερα αό χρόνο 1sec, sec, 5sec και γενικότερα ύστερα αό χρόνο t sec. Να λύσετε το ίδιο ρόβλημα για το βαγόνι Β. 75 / 1-13

78 i)σφx εφx σφx 8. Να αοδείξετε ότι ii)σφx εφx 4εφx 8εφx εφx 9. Με τη βοήθεια του τύου 3 ημ3α 3ημα 4ημ α, να λύσετε τις εξισώσεις: 3 i)8x 6x 0 3 ii)8x 6x Να αοδείξετε ότι το σύνολο των σημείων M(x,y), με x=συνθ και y=συνθ+1, όου θ [0,] είναι το τόξο της αραβολής y x με x [ 1,1] εφα 11. Με τη βοήθεια των τύων ημα και 1 εφ α 1 εφ α συνα 1 εφ α 1 ημx f(x) να αοδείξετε ότι η συνάρτηση 5 4συνx x (,) 10 αίρνει τιμές στο διάστημα [0, ) / 13

79 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημx ημx συνx 1 συν x Ένα γκαράζ σχήματος ορθογωνίου έχει σχεδιασθεί, έτσι ώστε να αοτελείται (αό ένα τετράγωνο ΑΒΓΑ και ένα ορθογώνιο ΟΑΔΕ με ΟΔ = 0m, όως εριγράφει το διλανό σχήμα. Για οια τιμή της γωνίας 0 rad το εμβαδό S m του γκαράζ γίνεται μέγιστο; Υόδειξη i) Να δείξετε ότι S 400συν θ 400ημθσυνθ ii) Να εκφράσετε το S στην μορφή 77 / 13

80 S ρημ(0 φ) c iii) Να βρείτε την τιμή του 0, για την οοία το S αίρνει τη μέγιστη τιμή, την οοία και να ροσδιορίσετε. 14. Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος του ΑΜ. Αν MAB ˆ x, MAΓ ˆ y και AΜΓ ˆ ω, να αοδείξετε ότι: σφω σφx σφy 15. Να υολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του διλανού σχήματος, αν ισχύει ΔΓ 3. ΔΒ 78 / 13-14

81 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ενώ είναι κοινώς αραδεκτό ότι η γεωμετρία είναι δημιούργημα της κλασικής εριόδου της αρχαίας Ελλάδας, εντούτοις δεν είναι εξίσου γνωστό ότι η τριγωνομετρία είναι δημιούργημα της ελληνιστικής εριόδου με ρωταγωνιστές τον 'Ιαρχο, τον Μενέλαο και τον Πτολεμαίο. Η τριγωνομετρία ξεήδησε στην ροσάθεια να θεμελιωθεί μια οσοτική αστρονομία η οοία θα μορούσε να χρησιμοοιηθεί για να ροβλεφθούν οι θέσεις των ουρανίων σωμάτων, ο υολογισμός του ημερολογίου και να εφαρμοσθεί στη ναυσιλοΐα και στη γεωγραφία. Θεμελιωτής της αστρονομίας υήρξε ο Ίαρχος ου έζησε στη Ρόδο και στην Αλεξάνδρεια και έθανε γύρω στο 15.Χ. Για την ροσωική του ζωή ξέρουμε ολύ λίγα και τα ερισσότερα ου ξέρουμε γι' αυτόν ροέρχονται αό τα βιβλία του Πτολεμαίου. Ο Ίαρχος συνέβαλε αοφασιστικά στη διαμόρφωση της θεωρίας των εικύκλων, και ήταν σε θέση να υολογίσει εκλείψεις της σελήνης με ακρίβεια μιας έως δύο ωρών. Διέθετε είσης και μια θεωρία για μια ικανοοιητική εξήγηση του φαινομένου των εοχών. Η σημαντικότερη ανακάλυψη του ήταν ότι τα σημεία ου ο άξονας εριστροφής της γης τέμνει την ουράνια σφαίρα μετακινούνται και διαγράφουν κύκλο με ερίοδο 600 χρόνια. 79 / 15

82 Το μεγαλύτερο μέρος της τριγωνομετρίας του Ιάρχου αναφέρεται σε αυτό ου σήμερα ονομάζουμε σφαιρική τριγωνομετρία. Και αυτό είναι μοιραίο, αφού τον ενδιέφεραν κυρίως τρίγωνα ου σχηματίζονται άνω στον ουράνιο θόλο. Όμως ανέτυξε και βασικά σημεία της ειέδου τριγωνομετρίας. Το έργο του Ίαρχου συνέχισε ο Μενέλαος ου έζησε γύρω στο 98 μ.χ. και του οοίου το βασικό έργο είναι τα «σφαιρικά». Η ανάτυξη της ελληνικής τριγωνομετρίας και των εφαρμογών της στην αστρονομία ολοκληρώνεται με το έργο του Πτολεμαίου ου έζησε στην Αλεξάνδρεια γύρω στο 168 μ.χ. και του οοίου το κύριο σύγγραμμα είναι η Αλμαγέστη (αραβική αραφθορά της λέξης «Μεγίστη»). Το βιβλίο Α της Αλμαγέστης εριέχει όλα τα αναγκαία θεωρήματα για την κατασκευή ενός ίνακα ημιτόνων και συνημιτόνων. Το Βασικό θεώρημα για την κατασκευή αυτού του ίνακα είναι το εξής: «Έστω ΑΒΓΔ είναι κυρτό τετράλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Τότε ισχύει: ΑΒ ΓΔ ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΒΔ». Στο θεώρημα αυτό στηρίχτηκε και ο Πτολεμαίος για να βρει διάφορους τριγωνομετρικούς τύους μεταξύ των οοίων και αυτού ου σήμερα εκφράζουμε ως ημ(α β) ημα συνβ συνα ημβ 80 / 15-16

83 Η Αλμαγέστη έκανε για την τριγωνομετρία ότι έκαναν τα «Στοιχεία του Ευκλείδη» για τη Γεωμετρία: Την διετύωσαν στη μορφή ου αρέμεινε για τα εόμενα 1000 χρόνια. Μετά το 00 μ.χ. με την τριγωνομετρία ασχολήθηκαν και οι Ινδοί με κίνητρο είσης την αντιμετώιση αστρονομικών ροβλημάτων. Δεν είχαν σημαντική συνεισφορά και αξίζει να σημειωθεί ότι για διάφορους τριγωνομετρικούς και αστρονομικούς όρους όως κέντρο, λετό κτλ., χρησιμοοιούσαν τις ελληνικές λέξεις. Κατά τα χρόνια του Μεσαίωνα με την τριγωνομετρία ασχολούνται και οι Άραβες, χωρίς να συνεισφέρουν σε αυτήν κάτι σημαντικό δικό τους. Συνέβαλαν όμως στο να μεταδώσουν την Ελληνική τριγωνομετρία στην Ευρώη. 81 / 16

84 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3ου ΤΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 3.6 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών Τριγωνομετρικοί Αριθμοί της Γωνίας α Μετασχηματισμοί Τριγωνομετρικών Παραστάσεων Η Συνάρτηση f(x)=αημχ+βσυνχ Είλυση Τριγώνου 56

85 Με αόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου και του Λυκείου τυώνονται αό τον Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μορεί να διατίθενται ρος ώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο ρος αόδειξη της γνησιότητάς τους. Κάθε αντίτυο ου διατίθεται ρος ώληση και δε φέρει βιβλιόσημο, θεωρείται κλεψίτυο και ο αραβάτης διώκεται σύμφωνα µε τις διατάξεις του άρθρου 7, του Νόμου 119 της 15/1 Μαρτίου 1946 (ΦEK 1946, 108,A ). Ααγορεύεται η ανααραγωγή οοιουδήοτε τμήματος αυτού του βιβλίου, ου καλύτεται αό δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οοιαδήοτε μορφή, χωρίς τη γρατή άδεια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx 1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08 Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Πώς ; ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας.

Πώς ; ΣΤ)Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας. ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. Γωνία Τριγωνοµετρικός αριθµός o ή rad o ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 6 ο ή rad 9 ο ή rad ημ (ημίτονο) συν (συνημίτονο) εφ (εφατομένη) +εν ορ-ζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 88-89 A Oµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση ηµx = 0 ηµx = 0 ηµx = ηµ0 x = k + 0 x = k + 0, k Z Σηµείωση: Οι λύσεις αυτές διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 05 Γιάννης Ζαµέλης Μαθηµατικός 855 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ακαι µε ( α, ) = και α =, = α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες 8)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου

Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου Χατζημανώλης Νίκος Μαθηματικός, M. Ed. Διδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηματικών Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 014 (B ΕΚΔΟΣΗ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Με τις σημειώσεις αυτές ροσαθώ να αοτυώσω τη δική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ . Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 8 A Oµάδας.i) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, στο ίδιο σύστηµα αξόνων: f() = ηµ, g() = 0,5.ηµ, h() = ηµ, 0 0 ηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. 2. Τι ονομάζουμε ημίτονο μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις:

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις: Εφαρμογή: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις () αλές αρμονικές ταλαντώσεις, ου έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροίας και εξισώσεις: x1 ( t) = 0.1 ηµ 99 t (S.I.) ( ) ηµ ( ) x t =

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ 008 65 ΥΜΝΑΣΙΟ 008 66 α. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και πότε επίκεντρη; β. Ποια είναι η σχέση μεταξύ επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας, που βαίνουν στο ίδιο τόξο; γ. Πότε δύο τόξα μ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ

2.7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ 33.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Ανάλυση διανύσματος σε δυο κάθετες συνιστώσες y x Α Γ x Δ Β y Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα κατασκευάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m = 1 kg και Μ = 2 kg και συνδέονται με νήμα.

Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m = 1 kg και Μ = 2 kg και συνδέονται με νήμα. Ταλάντωση μετά αό κόψιμο του νήματος. Σώματα δεμένα με νήμα σε κατακόρυο ελατήριο. Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες = g και Μ = g και συνδέονται με νήμα. Το σώμα μάζας αέχει αό το δάεδο αόσταση H = 7

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα