Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Transcript

1 Κεφάλαιο ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. τριγωνομετρικοι αριθμοι γωνιασ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν άνω στη μία αό τις δύο λευρές της γωνίας άρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις κάθετες MM και NN ρος την άλλη λευρά της γωνίας, τότε τα τρίγωνα OMM και ONN θα είναι όμοια, οότε θα ισχύει: Ο ω Μ Μ Ν Ν Β Α (MM ) (NN ) (OM) (ON) (OM ) (ON ), και (OM) (ON) (MM ) (NN ) (OM ) (ON ) = = = Εομένως, για τη γωνία ω τα ηλίκα (MM ) (OM) (OM, ) και (OM) (MM ) (OM ) είναι σταθερά, δηλαδή ανεξάρτητα της θέσης του σημείου Μ άνω στην λευρά της γωνίας. Τα ηλίκα αυτά, όως γνωρίζουμε αό Γυμνάσιο, ονομάζονται ημίτονο, συνημίτονο και εφατομένη της γωνίας ω και συμβολίζονται με ημω, συνω και εφω, αντιστοίχως. Δηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο M OM, ισχύει: ( ηµω = (MM ) αέναντι κάθετη ) (OM) υοτείνουσα

2 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ( ΟM) συνω = (OM) (MM ) εϕω = (OM ) Ορίζουμε ακόμα ως συνεφατομένη της οξείας γωνίας ω, την οοία συμβολίζουμε με σφω, το σταθερό ηλίκο ( ΟM) ροσκείμενη κάθετη σϕω = ( ) (M Μ ) αέναντι κάθετη Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0 0 ω 60 0 ροσκείμενη κάθετη ( υοτείνουσα ) αέναντι ( ροσκείμενη κάθετη) Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο είεδο, Ot μία ημιευθεία αυτού και ω η γωνία ου αράγεται αό τον ημιάξονα O αν εριστραφεί κατά τη θετική φορά γύρω αό το Ο μέχρι να συμέσει για ρώτη φορά με την ημιευθεία Ot (Σχ. α, β ). Ο θετικός ημιάξονας O λέγεται αρχική λευρά της γωνίας ω, ενώ η ημιευθεία Ot λέγεται τελική λευρά της ω. Μ Ο ρ ω t Μ(,) Μ t Μ(,) ρ Μ Μ Ο ω Σχήμα α Σχήμα β Πάνω στην τελική λευρά της γωνίας ω αίρνουμε τυχαίο σημείο Μ(, ) και φέρνουμε την κάθετη MΜ στον άξονα ' (Σχ. α και β ). Αν η γωνία ω είναι οξεία (Σχ. α ), τότε, όως είδαμε αραάνω, ισχύουν οι ισότητες: (MM ) ( ΟM) (MM ) ( ΟM) ηµω =, συνω =, εϕω = και σϕω = (OM) (OM) (OM ) (M Μ ) Όμως ( ΟΜ ) =, ( Μ M) = και οι αραάνω ισότητες γράφονται: ηµω = ρ (OM) = + =ρ> 0. Εομένως,, συνω =, εϕω = και σϕω =, όου ρ= + > 0. ρ

3 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 5 Γενικεύοντας τα αραάνω, ορίζουμε με τον ίδιο τρόο τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οοιασδήοτε γωνίας ω (Σχήμα β ). Σε κάθε λοιόν ερίτωση έχουμε:, ηµω = εϕω = (εφόσον ¹0) ρ συνω = ρ, σϕω = (εφόσον ¹0), ρ= + > 0 όου (, ) οι συντεταγμένες οοιουδήοτε σημείου Μ (διαφορετικού του Ο) της τελικής λευράς της γωνίας ω και αό το Ο. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων των 60 ο και αρνητικών γωνιών Ας υοθέσουμε ότι ο ημιάξονας O ενός συστήματος συντεταγμένων O εριστρέφεται γύρω αό το Ο κατά τη θετική φορά. Αν ραγματοοιήσει μια λήρη εριστροφή και εριστραφεί ειλέον και κατά γωνία μέτρου 0 0, τότε λέμε ότι ο O έχει διαγράψει γωνία ω= = 90. Με ανάλογο τρόο ορίζονται οι γωνίες ου είναι μεγαλύτερες των 60, δηλαδή οι γωνίες της μορφής: ω=ν 60 +µ, όου ν N * και 0 0 μ < 60 0 Αν τώρα ο ημιάξονας O, στρεφόμενος γύρω αό το Ο κατά την αρνητική φορά, ραγματοοιήσει μια λήρη εριστροφή και στη συνέχεια διαγράψει γωνία μέτρου 0, τότε λέμε ότι ο ημιάξονας O έχει διαγράψει αρνητική γωνία = 90 ή αλλιώς γωνία: ω= ( ) = 90. ρ= + > 0 η αόσταση του Μ Ο 0 Ο t t

4 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Με ανάλογο τρόο ορίζονται οι αρνητικές γωνίες δηλαδή οι γωνίες της μορφής: ω= ( ν 60 +µ ), όου ν N και 0 µ< 60 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών ου είναι μεγαλύτερες αό 60, καθώς και των αρνητικών γωνιών, ορίζονται όως και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών αό 0 μέχρι 60. Δηλαδή, για κάθε γωνία ω, θετική ή αρνητική, ορίζουμε: ηµω = ρ συνω = ρ, εϕω = (εφόσον ¹0), σϕω = (εφόσον ¹0), ρ= + > 0 όου (, ) οι συντεταγμένες οοιουδήοτε σημείου Μ της τελικής λευράς της γωνίας ω (διαφορετικού του Ο) και ρ= + > 0 η αόσταση του Μ αό το Ο. Ας θεωρήσουμε τώρα μια γωνία ω (θετική ή αρνητική) με αρχική λευρά τον ημιάξονα O. Αν ο ημιάξονας O, στρεφόμενος γύρω αό το Ο κατά τη θετική φορά, συμληρώσει ν λήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν 60 +ω, ου έχει την ίδια τελική λευρά με την ω. Αν όμως ο ημιάξονας O, στρεφόμενος γύρω αό το Ο κατά την αρνητική φορά, συμληρώσει ν λήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν 60 + ω, ου έχει και αυτή την ίδια τελική λευρά με την ω. Οι αραάνω γωνίες, ου είναι της μορφής k 60 +ω, k, εειδή έχουν την ίδια τελική λευρά θα έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Εομένως, για κάθε k θα ισχύει: ηµ (k 60 + ω ) = ηµω, συν(k 60 + ω ) = συνω, εϕ(k 60 + ω ) = εϕω σϕ(k 60 + ω ) = σϕω

5 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 5 Ο τριγωνομετρικός κύκλος Για έναν κατά ροσέγγιση, αλλά σύντομο, υολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών, χρησιμοοιούμε τον λεγόμενο τριγωνομετρικό κύκλο. Ο τριγωνομετρικός κύκλος θα μας εξυηρετήσει και σε άλλους σκοούς, όως θα φανεί στις εόμενες αραγράφους. Με κέντρο την αρχή Ο(0,0) ενός συστήματος συντεταγμένων και ακτίνα ρ= γράψουμε έναν κύκλο. Ο κύκλος αυτός λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος. Έστω τώρα ότι η τελική λευρά μιας γωνίας,.χ. της γωνίας ω= 5, τέμνει τον κύκλο αυτό στο σημείο Ν(α, β). β Εειδή ηµ 5 = και ρ= ρ θα ισχύει ηµ 5 = β 0, o o 60 o 50o 0 0o 0 50o β N(α,β) 60o 0o ω 70o 0o 0 0, 5 80o Ο 0, α o 90o 50 00o o 0 0o 0o 0o 0o 0o Μ(,) 0o o 00 50o 90o 60o o 70 80o α Ομοίως, εειδή συν 5 = και ρ =, θα ισχύει συν 5 = α 0,8. ρ Γενικότερα, αν η τελική λευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(, ), τότε ισχύει: συνω = = τετμημένη του σημείου Μ ημω = = τεταγμένη του σημείου Μ o o o o o o Για το λόγο αυτό ο άξονας ' λέγεται και άξονας των συνημίτονων, ενώ ο άξονας ' λέγεται και άξονας των ημίτονων. Άμεσες συνέειες του αραάνω συμεράσματος είναι οι εξής:. Οι τιμές του συνω και του ημω μιας γωνίας ω δεν μορούν να υερβούν κατ' αόλυτη τιμή την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου, ου είναι ίση με. Δηλαδή ισχύει: συνω και ηµω

6 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Τα ρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας αυτής, είναι όως δείχνει ο αρακάτω ίνακας ημω + + συνω + + εφω + + σφω + + Ο άξονας των εφατομένων Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια γωνία ω ου η τελική της λευρά τον τέμνει στο σημείο M(, ). Φέρνουμε την εφατομένη ε του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο Α. Αν η τελική λευρά της γωνίας βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο και η ευθεία ΟΜ τέμνει την ε στο Ε, τότε αό το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΕ θα έχουμε A B O B ω M ε E(, ) E A t ( ΑΕ) ( ΑΕ) εϕω = = = ( ΑΕ) ( ΟΑ) Αν με E αραστήσουμε την τεταγμένη του Ε, τότε θα ισχύει (AE)= E, οότε θα είναι εφω= E. Στο ίδιο συμέρασμα καταλήγουμε και όταν η τελική λευρά της γωνίας ω βρίσκεται σε οοιοδήοτε άλλο τεταρτημόριο. Εομένως σε κάθε ερίτωση ισχύει: εφω = E =τεταγμένη του σημείου Ε Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, ου έχει εξίσωση =, λέγεται άξονας των εφατομένων.

7 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 55 Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών Έχουμε γνωρίσει στο Γυμνάσιο το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης τόξων. Συγκεκριμένα, ένα τόξο AB ενός κύκλου (Ο, ρ) λέγεται τόξο ενός ακτινίου (ή rad), αν το τόξο αυτό έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου. Εομένως, το τόξο α ακτινίων (ή α rad) έχει μήκος S =α ρ. Ορίζουμε τώρα το ακτίνιο και ως μονάδα μέτρησης των γωνιών ως εξής: O ρ B rad ρ ρ A ΟΡΙΣΜΟΣ Ακτίνιο (ή rad ) είναι η γωνία η οοία, όταν γίνει είκεντρη σε έναν κύκλο, βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου (ή rad). Αό τον ορισμό αυτό ροκύτει και η σχέση μοίρας και ακτινίου ως μονάδων μέτρησης γωνιών, ως εξής: Έστω ότι μια γωνία ω είναι µ, και α rad. Εειδή το μήκος ενός κύκλου α- κτίνας ρ είναι ρ, η γωνία 60 είναι ίση με rad. οότε, Εομένως, η γωνία rad είναι ίση με 60 μοίρες, η γωνία α rad είναι ίση με Εειδή όμως η γωνία ω είναι µ, θα ισχύει 80 α 80 µ=α μοίρες., οότε θα έχουμε: α µ = 80 Για αράδειγμα: 9 Για να εκφράσουμε τη γωνία 60 σε ακτίνια, θέτουμε στον τύο όου μ = 60 0 και έχουμε α µ = α= 80 Άρα είναι 60 = rad. α µ = 80

8 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 Για να εκφράσουμε τη γωνία 5 rad σε μοίρες, θέτουμε στον τύο 6 α µ = 80 όου 5 α= και έχουμε µ 5 µ = = µ= Άρα 5 rad=50. 6 Στον αρακάτω ίνακα εαναλαμβάνουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μερικών γωνιών ου είχαμε υολογίσει στο Γυμνάσιο και οι οοίοι είναι ι- διαίτερα χρήσιμοι στις διάφορες εφαρμογές. Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί σε μοίρες σε rad ημω συνω εφω σφω Δεν ορίζεται Δεν 0 ορίζεται ΣΗΜΕΙΩΣΗ Στη συνέχεια, εειδή στον τριγωνομετρικό κύκλο το τόξο rad έχει μήκος, αντί να γράφουμε ημ( rad), συν( rad), εφ( rad) και σφ( rad), θα γράφουμε αλά ημ, συν, εφ και σφ. Για αράδειγμα, αντί να γράφουμε.χ. ηµ rad θα γράφουμε αλά ηµ και αντί ημ(00rad ) θα γράφουμε αλά ημ00.

9 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 57 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Οι μετρήσεις ου έκανε ένας μηχανικός για να βρει το ύψος h ενός καμαναριού ΓΚ, φαίνονται στο διλανό σχήμα. Να υολογιστεί το ύψος του καμαναριού σε μέτρα με ροσέγγιση ακέραιας μονάδας. ΛΥΣΗ Αό το σχήμα έχουμε: h εϕ 8 =, οότε ΑΓ h ΑΓ = εϕ 8 h h εϕ 70 =, οότε ΒΓ = ΒΓ εϕ 70 ΑΓ ΒΓ = ΑΒ = 0m Εομένως h h = 0, οότε εϕ8 εϕ70 0εϕ70 εϕ8 h =. εϕ 70 εϕ 8 Με τους τριγωνομετρικούς ίνακες ή με ένα κομιουτεράκι βρίσκουμε ότι εϕ70, 75 και εϕ8,. Αντικαθιστούμε στην () και έχουμε: 6,05 h 7, 6 Άρα το ύψος του καμαναριού είναι ερίου 7m. η Να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 750 o. ΛΥΣΗ Αν διαιρέσουμε το 750 με το 60 βρίσκουμε ηλίκο και υόλοιο 0, έτσι έχουμε 750 = Εομένως ηµ 750 = ηµ ( ) = ηµ 0 = συν 750 = συν 0 = εϕ 750 = εϕ 0 = σϕ 750 = σϕ 0 =

10 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ η Να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 79 rad. ΛΥΣΗ Είναι =. Αν τώρα διαιρέσουμε τον 79 με τον 6 βρίσκουμε ηλίκο και υόλοιο. Εομένως είναι = = + = +, 6 6 οότε θα έχουμε: ηµ = ηµ + = ηµ = συν = συν = εϕ = εϕ = σϕ = σϕ = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Στο διλανό σχήμα να υολογίσετε τα μήκη, και τη γωνία ω.. Να υολογίσετε τις λευρές του τριγώνου του διλανού σχήματος.. Μια είκεντρη γωνία ω βαίνει σε τόξο S = 6cm. Να εκφράσετε τη γωνία αυτή σε ακτίνια, αν η ακτίνα του κύκλου είναι: i) ρ = cm ii) ρ = cm iii) ρ = cm.. Να εκφράσετε σε rad γωνία i) 0 ii) 0 iii) 60 iv) Να μετατρέψετε σε μοίρες γωνία: 5 9 i) rad ii) rad iii) rad iv) 00rad Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας i) 80 ii) 90 iii) 980 iv) 600. B B 60 A Δ A ω Γ 0 0 Γ

11 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 59 Β ΟΜΑΔΑΣ. Σε μικρά αεροδρόμια υολογίζουν N (Nέφος) το ύψος των νεφών με τη βοήθεια μιας ισχυρής λάμας εντός αραβολικού h κατότρου, η οοία βρίσκεται ω 70 0 σε αόσταση 000 ό- δια ( όδι 0, m) αό το σημείο του αρατηρητή. Π (Παρατηρητής).000 όδια Δ Λ(Λάμα) Η λάμα είναι τοοθετημένη υό σταθερή γωνία και ο αρατηρητής στρέφει το όργανο αρατήρησης στο σημείο ανάκλασης του φωτός αό τα νέφη. i) Να ροσδιορίσετε το ύψος h για ω=0,5 και 60. ii) Πόση είναι η γωνία ω, αν h=000 όδια;. Με τη βοήθεια του διλανού σχήματος: Ε i) Να δείξετε ότι: (ΑΓ) = (ΒΓ) = ημ 5 Γ =. Δ ii) Να εξηγήσετε γιατί είναι ( ΕΒ ) = ηµ,5. iii) Να υολογίσετε το μήκος (ΓΕ). iv) Να δείξετε, χρησιμοοιώντας A,5 o Ο 5 o B το τρίγωνο ΒΕΓ, ότι ( ΕΒ ) =. v) Να υολογίσετε το ηµ,5. vi) Ποιων άλλων γωνιών μορείτε να υολογίσεται το ημίτονο και ώς ρέει να συνεχιστεί η κατασκευή για το σκοό αυτό;. Να βρείτε την ερίμετρο και το A εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΔ του 0 0 διλανού σχήματος. 6. Η ιο αργή κίνηση ου μορεί να εισημάνει το ανθρώινο μάτι είναι mm ανά δευτερόλετο. Να βρείτε όσο μήκος ρέει να έχει ο λετοδείκτης ενός ρολογιού για να μορούμε να εισημάνουμε την κίνηση του άκρου του. B Δ 0 0 Γ

12 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩνομετρικεσ ταυτοτητεσ Αό τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω ροκύτουν ορισμένες σχέσεις ου τους συνδέουν και είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες. Οι ταυτότητες αυτές είναι χρήσιμες στο λογισμό με αραστάσεις ου εριέχουν τριγωνομετρικούς αριθμούς. Συγκεκριμένα ισχύουν:. ηµ ω + συν ω = ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν M (, ) είναι το σημείο στο οοίο η τελική λευρά της γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε θα είναι: = συνω και = ημω Εειδή όμως, (OM) = και ( ΟΜ ) = + = + θα ισχύει: οότε θα έχουμε: + =, A t Μ(,) Β O ω A. συν ω + ηµ ω = ηµω συνω εϕω = και σϕω = συνω ηµω Β ΑΠΟΔΕΙΞΗ Στο ίδιο σχήμα έχουμε: ηµω εϕω = = (εφόσον = συνω 0) συνω συνω σϕω = = (εφόσον = ηµω 0) ηµω.

13 . ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 6 Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων () και (), θα αοδείξουμε δύο ειλέον χρήσιμες ταυτότητες.. εφω. σφω = ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι: ηµω εϕω = συνω και συνω σϕω = ηµω (εφόσον συνω ¹ 0 και ημω ¹ 0) Εομένως: ηµω συνω εϕω σϕω = =. συνω ηµω. εϕ ω συν ω= και ηµ ω= + εϕ ω + εϕ ω ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ταυτότητας με συν ω 0 και έχουμε: ηµ ω + συν ω = ηµ ω συν ω + = εϕω+ = συν ω= συν ω ηµ ω συν ω συν ω + εϕ ω. Άρα συν ω = + εϕ ω. ii) Αν στην ταυτότητα ηµ ω + συν ω = θέσουμε συν ω = + εϕ ω, εϕ ω έχουμε: ηµ ω+ = ηµ ω = ηµ ω =. + εϕ ω + εϕ ω + εϕ ω Άρα ηµ ω = εϕ ω + εϕ ω.

14 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 5 η o Αν ηµω = και 90 <ω< 80 o, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω. ΛΥΣΗ Αό την ταυτότητα ηµ ω + συν ω = ροκύτει ότι συν ω = ηµ ω. Αντικαθιστούμε το ημω με 5 και έχουμε: συν ω = = = = Εειδή 90 <ω< 80, είναι συνω < 0, οότε έχουμε: Αό τις ταυτότητες τώρα συνω = = 69 ηµω συνω εϕω = και σϕω =, συνω ηµω έχουμε: 5 5 εϕω = = και η Να αοδειχθεί ότι i) ηµ ω + συν ω = ηµ ωσυν ω ii) ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Έχουμε διαδοχικά: ηµ ω + συν ω = ( ηµ ω ) + ( συν ω) ii) Έχουμε διαδοχικά: σϕω = =. 5 5 = ( ηµ ω + συν ω) ηµ ω συν ω = ηµ ω συν ω, ηµ ω συν ω = ( ηµ ω) ( συν ω) ηµ ω συν ω = ηµ ω = ( ηµ ω + συν ω)( ηµ ω συν ω) = ηµ ω συν ω (Εειδή ηµ ω + συν ω = ) = ηµ ω ( ηµ ω ) = ηµ ω. (Εειδή ηµ ω + συν ω = )

15 . ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Αν ηµ = και < <, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. 5. Αν συν = και < <, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad.. Αν εϕ = και < <, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. 5. Αν σϕ = και 0< <, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad Αν σϕ = και < <, να υολογίσετε την τιμή της αράστασης ηµ συν. + συν 6. Να εξετάσετε, αν υάρχουν τιμές του για τις οοίες: i) Να ισχύει συγχρόνως ημ = 0 και συν = 0. ii) Να ισχύει συγχρόνως ημ = και συν =. iii) Να ισχύει συγχρόνως ηµ = και συν = Να αοδείξετε ότι, τα σημεία M (, ) του ειέδου με = συνθ και = ημθ, είναι σημεία κύκλου O(0,0) κέντρου και ακτίνας ρ =. 8. Αν ισχύει = συνθ και = ημθ, να δείξετε ότι 9 + =6. 9. Αν είναι = r ημθσυνφ, = r ημθημφ και z = r συνθ, να δείξετε ότι + + z = r. 0. Να αοδείξετε ότι: ηµα συνα i) = + συνα ηµα ii) συν α ηµ α = συν α.

16 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να αοδείξετε ότι: ηµθ + συνθ i) + = + συνθ ηµθ ηµθ ii) συν συν + =. ηµ + ηµ συν. Να αοδείξετε ότι: εϕα + σϕβ εϕα i) = εϕβ + σϕα εϕβ ii) εϕ α ηµ α = εϕ α ηµ α.. Να αοδείξετε ότι: συν ηµ i) + = ηµ + συν εϕ σϕ ii) ( συν ) + = ηµ εϕ συν iii) = ηµ συν εϕ + σϕ iv) ηµ συν = ηµ συν. ηµ συν B ΟΜΑΔΑΣ. Αν ημ + συν = α, να υολογίσετε ως συνάρτηση του α τις αραστάσεις: i) ηµ συν ii) + ηµ συν iii) εϕ + σϕ iv) ηµ + συν.. Να αοδείξετε ότι: 6 6 i) ηµ + συν = ηµ συν ii) ηµ + συν = ηµ συν. 6 6 iii) Η αράσταση ( ηµ + συν ) ( ηµ + συν ) έχει τιμή ανεξάρτητη του, δηλαδή είναι σταθερή.. Αν < <, να αοδείξετε ότι + ηµ ηµ ηµ + ηµ = εϕ.. Αν 0 <, να αοδείξετε ότι + συν + συν + ηµ συν = =. + συν συν συν ηµ

17 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 65. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 0 ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Ο υολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών οοιασδήοτε γωνίας μορεί να γίνει, όως θα δούμε στη συνέχεια, με τη βοήθεια ινάκων ου δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών αό 0 μέχρι 90. Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες ω και ω' ου οι τελικές λευρές τους τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ' αντιστοίχως. Γωνίες αντίθετες t Αν οι γωνίες ω και ω' είναι αντίθετες, Β δηλαδή αν ω ' = ω, τότε, όως φαίνεται Μ(,) στο διλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ είναι συμμετρικά ως ρος A ω A τον άξονα '. Εομένως τα σημεία Ο ω αυτά έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες. Έχοντας υόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμεραίνουμε ότι: Β Μ (, ) t' Δηλαδή: Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Για αράδειγμα: 9 Έχουμε: ηµ ( 0 ) = ηµ (0 ) = συν( 0 ) = συν (0 ) = εϕ( 0 ) = εϕ (0 ) = σϕ( 0 ) = σϕ (0 ) = 9 Είσης, έχουμε: συν( ω ) = συνω ηµ ( ω ) = ηµω εϕ( ω ) = εϕω σϕ( ω ) = σϕω ηµ = ηµ = εϕ = εϕ = συν = συν = σϕ = σϕ =

18 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Γωνίες με άθροισμα 80 ο Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισμα 80, δηλαδή αν ω ' = 80 ω, τότε, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως ρος τον άξονα '. Εομένως τα σημεία αυτά έχουν την ίδια τεταγμένη και αντίθετες τετμημένες. Έχοντας υόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμεραίνουμε ότι: t B t Μ (,) 0 80 ω Μ(,) ω A Ο A B ηµ (80 ω ) = ηµω συν(80 ω ) = συνω εϕ(80 ω ) = εϕω σϕ(80 ω ) = σϕω Δηλαδή: Οι γωνίες με άθροισμα 80 o έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Για αράδειγμα: 9 Εειδή 50 = 80 0, έχουμε: ηµ 50 = ηµ (80 0 ) = ηµ 0 = συν 50 = συν(80 0 ) = συν 0 = εϕ 50 = εϕ(80 0 ) = εϕ 0 = σϕ 50 = σϕ(80 0 ) = σϕ 0 = 9 Εειδή =, έχουμε: ηµ = ηµ = ηµ =

19 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 67 συν = συν = συν = εϕ = εϕ = εϕ = σϕ = σϕ = σϕ = Γωνίες ου διαφέρουν κατά 80 ο Αν οι γωνίες ω και ω' διαφέρουν κατά 80, δηλαδή αν ω ' = 80 +ω, τότε, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως ρος την αρχή των αξόνων. Εομένως τα σημεία αυτά έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες. Έχοντας υόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμεραίνουμε ότι: Μ (, ) t ω B A ω A Β t Μ(,) ηµ (80 + ω ) = ηµω συν (80 + ω ) = συνω εϕ (80 + ω ) = εϕω σϕ (80 + ω ) = σϕω Δηλαδή: Οι γωνίες ου διαφέρουν κατά 80 o έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφατομένη και συνεφατομένη. Για αράδειγμα: 9 Εειδή 0 = , έχουμε: ηµ 0 = ηµ ( ) = ηµ 0 = συν 0 = συν ( ) = συν 0 = εϕ 0 = εϕ ( ) = εϕ 0 = σϕ 0 = σϕ ( ) = σϕ 0 =

20 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 Εειδή =+, έχουμε: ηµ = ηµ + = ηµ = συν = συν + = συν = εϕ = εϕ + = εϕ = σϕ = σϕ + = σϕ = Γωνίες με άθροισμα 90 ο Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισμα 90, δηλαδή ω ' = 90 ω, τότε, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως ρος τη διχοτόμο της γωνίας O ˆ. Εομένως η τετμημένη του καθενός ισούται με την τεταγμένη του άλλου. Έχοντας υόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμεραίνουμε ότι: A B O B t Μ (,) = t Μ(,) 0 ω 90 ω A ηµ (90 ω ) = συνω συν(90 ω ) = ηµω εϕ(90 ω ) = σϕω σϕ(90 ω ) = εϕω Δηλαδή, Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα 90 o, τότε το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφατομένη της μιας ισούται με τη συνεφατομένη της άλλης. Για αράδειγμα, εειδή 60 = 90 0, έχουμε: ηµ 60 = συν 0 =, συν 60 = ηµ 0 =, σϕ 60 = εϕ 0 = εϕ 60 = σϕ 0 = και

21 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 69 ΣΧΟΛΙΟ Αό τα ροηγούμενα καταλαβαίνουμε ότι δεν χρειάζεται να έχουμε ίνακες τριγωνομετρικών αριθμών όλων των γωνιών, αλλά μόνο των γωνιών αό 0 μέχρι 90. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η o + 5 Δίνεται ότι συν 6 =. o αριθμοί της γωνίας 5. Να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί ΛΥΣΗ Εειδή 5 = 90 6, έχουμε + 5 ηµ 5 = συν 6 = Σύμφωνα με την ταυτότητα ηµ ω + συν ω = ισχύει ηµ 5 + συν 5 =, οότε: συν 5 = ηµ 5 = = =, 6 6 οότε: 0 5 συν 5 = Εομένως είναι: ηµ εϕ 5 = = συν5 0 5 και η Να υολογιστούν με τη βοήθεια της γωνίας ω οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: α) 90 +ω, ΛΥΣΗ β) 70 ω συν5 0 5 σϕ 5 = =. ηµ και γ) 70 +ω i) Εειδή 90 + ω = 90 ( ω), έχουμε: ηµ (90 + ω ) = ηµ (90 ( ω )) = συν( ω ) = συνω. Ομοίως υολογίζονται οι υόλοιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 90 +ω.

22 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ii) Εειδή 70 ω= 80 + (90 ω), έχουμε: ηµ (70 ω ) = ηµ (80 + (90 ω )) = ηµ (90 ω ) = συνω. Ομοίως υολογίζονται οι υόλοιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 70 ω. iii) Εειδή 70 +ω= ω= 60 + ( ω 90 ), έχουμε: εϕ (70 + ω ) = εϕ( ω 90 ) = εϕ(90 ω ) = σϕω. Ομοίως υολογίζονται οι υόλοιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 70 +ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας: i) 00 ii) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας i) 87 rad ii) rad. 6. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αοδείξετε ότι: i) ηµα = ηµ ( Β + Γ ) ii) συνα + συν( Β + Γ ) = 0 iii) Α Β+Γ Α Β+Γ ηµ = συν iv) συν = ηµ.. Να αλοοιήσετε την αράσταση συν( α) συν (80 + α). ηµ ( α) ηµ (90 + α) 9 εϕ( ) συν( + ) συν + 5. Να αοδείξετε ότι: =. ηµ ( + ) συν( ) σϕ 6. Να δείξετε ότι έχει σταθερή τιμή η αράσταση: ηµ ( ) +συν( ) συν( ) + ηµ.

23 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 7 Β ΟΜΑΔΑΣ. Να υολογίσετε την τιμή της αράστασης: ηµ 95 συν 0 + συν95 συν( 0 ). εϕ( 0 ) + εϕ95. Να αοδείξετε ότι: 5 7 ηµ (5 +ω) συν(7 ω) ηµ ω συν +ω 5 7 σϕ(5 +ω) ηµ (7 ω) συν ω σϕ +ω = ηµ ω. Αν εϕ + εϕ + = 5, να υολογίσετε την τιμή της αράστασης: 6 εϕ + εϕ Να αοδείξετε ότι: εϕ( + ) 0 < <. εϕ + σϕ( + ). ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I) Σε καθεμιά αό τις αρακάτω εριτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.. Αν ημω =, τότε υοχρεωτικά θα είναι συνω= 0. Α Ψ. Αν συνω= 0, τότε υοχρεωτικά θα είναι ημω=. Α Ψ. Υάρχει γωνία ω με ημω+ συνω =. Α Ψ. Για κάθε γωνία ω ισχύει ηµω = συν ω Α Ψ 5. ηµ 0 + ηµ 70 = Α Ψ 6. Για κάθε ισχύει ηµ ( ) = ηµ Α Ψ 7. Για κάθε ισχύει ηµ = ηµ Α Ψ 8. Αν συν( ) + ηµ = 0, τότε ηµ = 0 Α Ψ 9. Για κάθε ισχύει συν( ) ηµ ( + ) = 0 Α Ψ 6

24 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ II. Να αντιστοιχίσετε καθένα αό τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της Α ομάδας με τον ίσο του αό τη Β ομάδα. Α ΟΜΑΔΑ Β ΟΜΑΔΑ ημ0 0 Α συν50 0 ημ0 0 συν εφ0 0 6 σφ εφ σφ0 0 Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ III. Σε καθεμιά αό τις αρακάτω εριτώσεις να ειλέξετε τη σωστή αάντηση.. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( Α =90 0 ) και όχι ισοσκελές, τότε: Α) ηµ Β + ηµ Γ =, Β) ηµ Β + συν Γ =, Γ) εφβ=.. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Α) συν(β + Γ) = συνα, Β) ημ(β + Γ) = ημα, Γ) εφ(β + Γ) = εφα.. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Β+Γ Α Β+Γ Α Β+Γ Α Α) συν ( ) = ηµ, Β) συν ( ) = συν, Γ) εϕ ( ) = εϕ.

25 . ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδικές συναρτήσεις Έστω ότι ένα φέρι-μοτ ηγαινοέρχεται μεταξύ δύο λιμανιών Α και Β και η γραφική αράσταση της αόστασης του αό το λιμάνι Α ως συνάρτηση του χρόνου φαίνεται στο αρακάτω σχήμα Παρατηρούμε ότι κάθε ώρα το φέρι-μότ εαναλαμβάνει την ίδια ακριβώς κίνηση. Αυτό σημαίνει ότι σε όοια αόσταση βρίσκεται αό το λιμάνι Α σε κάοια χρονική στιγμή t, στην ίδια αόσταση θα βρίσκεται και τη χρονική στιγμή t+ ώρες και στην ίδια αόσταση βρισκόταν και τη χρονική στιγμή t ώρες. Εομένως η συνάρτηση ου εκφράζει την αόσταση του φέριμότ αό το λιμάνι Α, με τη βοήθεια του χρόνου t, έχει τις ίδιες τιμές τις χρο- νικές στιγμές t, t+, t. Λέμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι εριοδική με ερίοδο ώρες. Στο αρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική αράσταση του ύψους μιας κούνιας ως συνάρτηση του χρόνου t. Παρατηρούμε ότι, όοιο ύψος έχει η κούνια σε κάοια χρονική στιγμή t, το ίδιο ύψος θα έχει και τη χρονική στιγμή t + sec και το ίδιο ύψος είχε και τη χρονική στιγμή t sec.

26 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Λέμε άλι ότι η συνάρτηση (ου εκφράζει το ύψος της κούνιας με τη βοήθεια του χρόνου t) είναι εριοδική με ερίοδο sec. Γενικότερα: Μία συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος, ώστε για κάθε A να ισχύει: i) + T A, T A και ii) f( + T) = f( T) = f() Ο ραγματικός αριθμός Τ λέγεται ερίοδος της συνάρτησης f. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις ραγματικών αριθμών Όως γνωρίζουμε, για κάθε γωνία ω υάρχει μία μόνο τιμή του ημω, με ηµω. Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση με την οοία κάθε γωνία ω αντιστοιχίζεται στο ημίτονό της. Ομοίως ορίζονται και οι άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών. Πολλές εφαρμογές όμως των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν εριέχουν γωνίες, αλλά ραγματικούς αριθμούς, όως,.χ, ο τύος της αρμονικής ταλάντωσης f(t) = α ηµω t, στον οοίο τα α και ω είναι σταθερές και t είναι ένας ραγματικός αριθμός ου αριστάνει το χρόνο. Για το λόγο αυτό ορίζουμε στη συνέχεια τριγωνομετρικές συναρτήσεις ραγματικής μεταβλητής. Συγκεκριμένα: Η συνάρτηση με την οοία κάθε ραγματικός αριθμός αντιστοιχίζεται στο ημ ( rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και συμβολίζεται με ημ. Ορίζουμε δηλαδή ότι ηµ = ηµ ( rad) ο ο Εειδή ηµ ( ω+ 60 ) = ηµ ( ω 60 ) = ηµω, για κάθε θα ισχύει: ηµ ( + ) = ηµ ( ) = ηµ Άρα η συνάρτηση ημίτονο είναι εριοδική με ερίοδο. Ομοίως ορίζουμε και τη συνάρτηση συνημίτονο ου συμβολίζεται με συν.

27 . ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 75 Ορίζουμε δηλαδή ότι συν = συν( rad). Και η συνάρτηση συνημίτονο είναι εριοδική με ερίοδο. Η συνάρτηση εφατομένη ου συμβολίζεται με εφ, ορίζεται ως εξής: ηµ εϕ = συν Είναι φανερό ότι το εδίο ορισμού της συνάρτησης εφ είναι το σύνολο: = { συν 0} Εειδή για κάθε Î ισχύει εϕ ( + ) = εϕ( ) = εϕ, η συνάρτηση εφατομένη είναι εριοδική με ερίοδο. Η συνάρτηση συνεφατομένη, ου συμβολίζεται με σφ, ορίζεται ως εξής: συν σϕ = ηµ Είναι φανερό ότι το εδίο ορισμού της συνάρτησης σφ είναι το σύνολο: = { ηµ 0} Και η συνάρτηση συνεφατομένη είναι εριοδική με ερίοδο. Μελέτη της συνάρτησης f() = ημ Εειδή η συνάρτηση f() = ημ είναι εριοδική με ερίοδο, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα λάτους,.χ το [0,]. Έχουμε αναφέρει όμως ότι το ημ είναι η τεταγμένη του σημείου Μ στο οοίο η τελική λευρά της γωνίας rad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Εομένως αρκεί να εξετάσουμε ώς μεταβάλλεται η τεταγμένη του Μ, όταν αυτό εριφέρεται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά, ξεκινώντας αό το Α. Παρατηρούμε ότι: Όταν το μεταβάλλεται αό το 0 μέχρι το B M, το Μ κινείται αό το Α μέχρι το Β. Άρα η M τεταγμένη του αυξάνει, ου σημαίνει ότι η συνάρτηση f() = ημ είναι γνησίως αύξουσα O A rad στο διάστημα 0,. Ομοίως βρίσκουμε ότι η συνάρτηση f() = ημ είναι:

28 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστο για =, το ηµ = και ελάχιστο για =, το ηµ =. Τα συμεράσματα αυτά συνοψίζονται ως εξής: ημ μεγ. ελαχ. Για να κάνουμε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης χρειαζόμαστε έναν ίνακα τιμών της. Κατά τα γνωστά έχουμε: ημ ,7 0 0,7 0,7 0 0,7 Παριστάνουμε με σημεία του ειέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή. Έτσι ροκύτει η αρακάτω γραφική αράσταση της συνάρτησης ημίτονο στο διάστημα [0, ]: O = ημ 5 7 0

29 . ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 77 Εειδή η συνάρτηση f() = ημ είναι εριοδική, με ερίοδο, η γραφική της αράσταση έχει την ίδια μορφή στα διαστήματα [, ], [, 6] κτλ. καθώς και στα διαστήματα [,0],[, ] κτλ. Έτσι έχουμε την ακόλουθη γραφική αράσταση της συνάρτησης ημίτονο, η οοία λέγεται ημιτονοειδής καμύλη / 0.5 / / 5/.5 Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν αντίθετα ημίτονα. Άρα για κάθε ισχύει ηµ ( ) = ηµ. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f() = ημ είναι εριττή και εομένως η γραφική της αράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή 0(0,0) των αξόνων. Μελέτη της συνάρτησης f() = συν Εειδή η συνάρτηση f() = συν είναι εριοδική με ερίοδο, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα λάτους,.χ. το [0, ]. Αό τη μελέτη αυτή ροκύτουν τα συμεράσματα του εόμενου ίνακα: συν μεγ. ελαχ. μεγ. Συντάσσουμε τώρα κατά τα γνωστά και τον ακόλουθο ίνακα τιμών της συνάρτησης συνημίτονο: συν ,7 0 0,7 0,7 0 0,7

30 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Έτσι μορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική αράσταση της = συν για 0 p. 0 = συν 0 Εειδή η συνάρτηση f() = συν είναι εριοδική με ερίοδο, η γραφική της αράσταση στο είναι η ακόλουθη: = συν 5 7 Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν ίδιο συνημίτονο. Άρα για κάθε ισχύει συν( ) = συν. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f() = συν είναι άρτια και εομένως η γραφική της αράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα '. Μελέτη της συνάρτησης f() = εφ Εειδή η συνάρτηση f() = εφ είναι εριοδική με ερίοδο, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα λάτους,.χ. το,. (Το διάστημα είναι ανοικτό, αφού η συνάρτηση εφ δεν ορίζεται στα, ). Ας υοθέσουμε ότι η τελική λευρά της γωνίας rad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο Μ και την ευθεία των εφατομένων στο σημείο Ε. Όως έχουμε αναφέρει η εφ ισούται με την τεταγμένη του σημείου Ε. Εομένως: Όταν ο αίρνει τιμές αό ρος το το Μ κινείται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά αό το Β' ρος το Β, οότε η τεταγμένη του σημείου Ε αυξάνει. Αυτό σημαίνει ότι η f() = εφ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Α Β O Μ Β ε Α Μ Ε Ε

31 . ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 79 Όταν ο «τείνει» στο αό μεγαλύτερες τιμές η εφ «τείνει» στο. Γι αυτό λέμε ότι η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f. Είσης όταν ο «τείνει» στο αό μικρότερες τιμές η εφ τείνει στο +. Γι αυτό λέμε ότι και η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f. B A A O M B E B Ε Μ A A O B Για να κάνουμε τη γραφική αράσταση της f()=εφ συντάσσουμε, με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών ινάκων ή με ειστημονικό κομιουτεράκι, έναν ίνακα τιμών της: εφ Δεν ορίζεται, 7 0,6 0 0,6, 7 Δεν ορίζεται Στη συνέχεια αριστάνουμε με σημεία του ειέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή. Η γραφική αράσταση της f()=εφ φαίνεται στο αρακάτω σχήμα. = εφ Ο Είναι φανερό ότι η γραφική αράσταση της f()=εφ έχει κέντρο συμμετρίας το Ο, αφού( 5.: εφ( )= εφ είναι εριττή συνάρτηση.

32 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ο Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f()=ημ. ΛΥΣΗ Οι τιμές της συνάρτησης f()=ημ είναι ροφανώς τριλάσιες αό τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης φ()=ημ. Εξάλλου και η συνάρτηση αυτή είναι εριοδική με ερίοδο, αφού ισχύει: f( + ) = ηµ ( + ) = ηµ = f(), για κάθε. και f( ) = ηµ ( ) = ηµ = f(), για κάθε. Έχοντας υόψιν τα στοιχεία αυτά και με τη βοήθεια ενός ίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της f()=ημ. 0 ημ ημ ο Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f()=ημ ΛΥΣΗ = ημ = ημ Ο Κάθε τιμή της συνάρτησης f()=ημ εαναλαμβάνεται, όταν το αυξηθεί κατά, ου σημαίνει ότι η τιμή αυτή εαναλαμβάνεται, όταν το αυξηθεί κατά. Εομένως, η συνάρτηση f()=ημ είναι εριοδική με ερίοδο. Πράγματι: f( + ) = ηµ ( + ) = ηµ ( + ) = ηµ = f(), για κάθε και f( ) = ηµ ( ) = ηµ ( ) = ηµ = f(), για κάθε. Έχοντας υόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός ίνακα τιμών, σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της f()=ημ. 0 ημ = ημ Ο = ημ ο Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f()=ημ. ΛΥΣΗ Σύμφωνα με τα ροηγούμενα αραδείγματα η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο, ελάχιστο και είναι εριοδική με ερίοδο.

33 . ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 Ένας ίνακας τιμών της συνάρτησης f()=ημ είναι ο εξής: = ημ 0 ημ Με τη βοήθεια του ίνακα αυτού σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης. 0 ΣΧΟΛΙΟ Αό τα ροηγούμενα αραδείγματα γίνεται φανερό ότι, σε μια συνάρτηση της μορφής f()=ρ ημω, όου ρ,ω>0: (i) Το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, ου είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της ου είναι ίση με ρ. (ii) Το ω καθορίζει την ερίοδο της συνάρτησης ου είναι ίση με. ω Τα ίδια συμεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής f()=ρ συνω, όου ρ,ω>0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων i) f() = ηµ, g() = 0,5 ηµ, h() = ηµ, 0 ii) f() = συν, g() = 0,5 συν, h() = συν, 0.. Σε ένα σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f() = ηµ και στη συνέχεια τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων g() = + ηµ και h() = + ηµ. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f() = ηµ και g() = ηµ, 0.. Ομοίως των συναρτήσεων f() = συν και g() = συν, Έστω η συνάρτηση f() = ηµ. Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η ερίοδος της εν λόγω συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f σε διάστημα λάτους μιας εριόδου.

34 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6. Ομοίως για τη συνάρτηση f() = συν. 7. Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων i) f() = εϕ ii) g() = + εϕ και iii) h() = + εϕ στο ίδιο σύστημα αξόνων. 8. Να μελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f () = εϕ. 9. Να μελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f () = σϕ. B ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε τις εξισώσεις των ημιτονοειδών καμύλων: Η αλίρροια σε μια θαλάσσια εριοχή εριγράφεται κατά ροσέγγιση με τη συνάρτηση = ηµ t, όου το ύψος της στάθμης των 6 υδάτων σε μέτρα και t ο χρόνος σε ώρες. i) Να βρείτε την υψομετρική διαφορά ανάμεσα στην ψηλότερη λημμυρίδα και τη χαμηλότερη άμωτη. ii) Να κάνετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης για 0 t.

35 .5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 8. Ένα αιχνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο αό το ταβάνι και αέχει αό το άτωμα m. Όταν το ταβάνι αιχνίδι ανεβοκατεβαίνει, το ύψος του αό το άτωμα σε μέτρα είναι h = + συνt, όου t ο χρόνος σε δευτερόλετα. i) Να υολογίσετε τη διαφορά ανάμεσα στο μέγιστο και στο ελάχιστο ύψος. m ii) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης άτωμα iii) Να κάνετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης για 0 t.. H αόσταση του ιστονιού σε μέτρα αό το ένα άκρο του κυλίνδρου εριγράφεται με τη συνάρτηση (t) =0,+0,.ημt, όου t ο χρόνος σε δευτερόλετα. i) Να υολογίσετε το λάτος της κίνησης του ιστονιού. ii) Να κάνετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης για 0 t. Ποιες στιγμές του χρονικού αυτού διαστήματος η αόσταση είναι 0,5m;.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η εξίσωση ημ=α Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση ηµ =. Είναι φανερό ότι ζητάμε να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής της καμύλης = ημ και της ευθείας =. O 6 =ημ Ζητάμε δηλαδή εκείνα τα, για τα οοία η συνάρτηση f() 5 6 = ηµ αίρνει την τιμή. Εειδή η συνάρτηση αυτή είναι εριοδική με ερίοδο, για να βρούμε τα ζητούμενα, ου είναι άειρα σε λήθος (βλ. σχήμα), αρκεί να βρούμε όσα αό αυτά υάρχουν σε ένα διάστημα λάτους και σε κάθε ένα να ροσθέσουμε το κ., όου κ ακέραιος. =

36 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης ηµ = στο διάστημα [0, ], είναι οι και =, γιατί ηµ = ηµ =. 6 6 Εομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης ηµ = δίνεται αό τους τύους M M 5/6 /6 = κ + O A 6 ή, κ 5 = κ + 6 Γενικότερα, αν θ είναι μία λύση της εξίσωσης ημ = α, αν δηλαδή ισχύει ημθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: = κ + θ ή, κ = κ+ ( θ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ο Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ Εειδή ηµ =, ισχύει ηµ ( ) =. Εομένως η εξίσωση γράφεται ηµ = ηµ ( ), οότε οι λύσεις της δίνονται αό τους τύους: = κ ή, κ = κ++ ο Να λυθεί η εξίσωση ηµ + = ΛΥΣΗ ηµ = Εειδή ηµ =, έχουμε ηµ + = ηµ, οότε 6 6

37 .5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 85 Ισχύει όμως και + = κ + 6 ή, + = κ+ 6 κ + = κ + = κ + = κ = κ+ = κ+ =κ+ 6 6 Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους = κ ή, κ 7 = κ + Η εξίσωση συν = α Με ανάλογες σκέψεις όως ροηγουμένως, εργαζόμαστε για να λύσουμε.χ. την εξίσωση συν =. Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης συν = στο διάστημα [, ] είναι οι και, γιατί συν = συν =. Εομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης συν = δίνεται αό τους τύους = κ + ή, κ = κ Ο M M Α

38 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Γενικότερα, αν θ είναι μία λύση της εξίσωση συν = α, αν δηλαδή ισχύει συνθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται αό τους τύους = κ + θ ή = κ θ, κ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ο Να λυθεί η εξίσωση συν = ΛΥΣΗ Εειδή συν =, έχουμε συν = συν, οότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται αό τους τύους: = κ + ή, κ = κ ο Να λυθεί η εξίσωση συν = ΛΥΣΗ Εειδή συν =, ισχύει συν = Έχουμε εομένως συν = συν, οότε 6 δηλαδή 5 συν =. 6 5 = κ + 6 ή, 5 = κ 6 κ ή ισοδύναμα 5 = κ + ή, 5 = κ κ

39 .5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 87 Η εξίσωση εφ = α Έστω η εξίσωση εϕ =. Όως γνωρίζουμε η συνάρτηση εφ είναι εριοδική με ερίοδο. Εομένως, για να λύσουμε την εξίσωση, αρκεί να βρούμε τις λύσεις Ο της σε ένα διάστημα λάτους,.χ. το, και να ροσθέσουμε σε αυτές το κ, κ. Όως φαίνεται όμως και στο σχήμα, μια μόνο λύση της εξίσωσης εϕ = υάρχει στο διάστημα αυτό. Η λύση αυτή είναι η, γιατί εϕ =. Εομένως οι λύσεις της εξίσωσης εϕ = είναι: = κ +, κ. Γενικότερα, αν θ είναι μια λύση της εξίσωσης εφ = α, αν δηλαδή ισχύει εφ = εφθ, τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι: = κ + θ, κ Ο ίδιος τύος λύσεων ισχύει και για την εξίσωση σϕ = α. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ο Να λυθεί η εξίσωση εϕ = ΛΥΣΗ Εειδή εϕ =, ισχύει εϕ =. Έχουμε εομένως εϕ = εϕ, οότε = κ, κ ο Να λυθεί η εξίσωση σϕ = ΛΥΣΗ Εειδή σϕ =, έχουμε σϕ = σϕ, οότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι 6 6 = κ +, κ 6

40 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ = 0 ii) ηµ = iii) συν = 0 iv) συν =. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ = ii) ηµ = iii) συν = iv) συν =. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕ = 0 ii) εϕ = iii) σϕ = iv) σϕ =. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕ = ii) σϕ = 5. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( ηµ )(ηµ ) = 0 ii) (ηµ + )( συν ) = 0 6. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( + εϕ)( εϕ ) = 0 ii) (συν + )( εϕ ) σϕ = 0 7. Χρησιμοοιώντας τριγωνομετρικούς ίνακες ή ειστημονικό κομιουτεράκι να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ = 0,95 ii) συν = 0,809 iii) εϕ = 8,66 8. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ = ii) συν + = 0 iii) 5 εϕ = Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ + = ii) συν = iii) εϕ 5 = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ ω+ ηµω = 0 ii) συν + συν = 0 iii) εϕ t = + εϕt. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ + 5συν = ii) εϕ σϕ =. Να βρείτε για οιες τιμές του, καθεμιά αό τις εόμενες συναρτήσεις έχει τη μέγιστη και για οιες την ελάχιστη τιμή της: i) f() = ηµ, 0 <, ii) g() = 7συν, 0 <

41 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 89. Οι μηνιαίες ωλήσεις ενός εοχιακού ροϊόντος (σε χιλιάδες κομμάτια) δίνονται κατά ροσέγγιση αό τον τύο S = ηµ, όου t 6 t o χρόνος σε μήνες και με t = να αντιστοιχεί στον Ιανουάριο. i) Να βρείτε οιους μήνες οι ωλήσεις φτάνουν τις κομμάτια, ii) Να βρείτε οιο μήνα έχουμε το μεγαλύτερο αριθμό ωλήσεων και όσες είναι αυτές. Β ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ + συν = 0 ii) εϕ σϕ + = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕ ηµ + = ηµ + εϕ ii) συν εϕ =. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης εϕ = στο διάστημα (,). *. Να λύσετε την εξίσωση +συν=ημ στο διάστημα [0,). 5. Να λύσετε την εξίσωση: εϕ = σϕ + στο διάστημα [0, )..6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟι ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Ας θεωρήσουμε δυο γωνίες α, β ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία M,M αντιστοίχως (Σχ. ). Έστω ειλέον και η γωνία α β, ου η τελική της λευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ. (Σχ. ). M (συνα, ημα) α-β O M (συνβ, ημβ) α β Α(,0) O α-β M(συν(α-β), ημ(α-β)) Α(,0) Σχ. () Σχ. ()

42 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Όως είναι γνωστό, τα σημεία M,M, Α και Μ έχουν συντεταγμένες: το Μ : τετμημένη συνα και τεταγμένη ημα το Μ : τετμημένη συνβ και τεταγμένη ημβ το Α: τετμημένη και τεταγμένη 0 το Μ: τετμημένη συν( α β ) και τεταγμένη ηµ ( α β) Εειδή M ˆ ˆ OM = AOM =α β, θα είναι και (MM ) = (AM). Άρα (M M ) = (AM) Αν τώρα χρησιμοοιήσουμε το γνωστό μας τύο: (P P ) = ( ) + ( ), ου δίνει την αόσταση δύο σημείων P (, ) και P (, ), έχουμε: (M M ) = ( συνα συνβ ) + ( ηµα ηµβ) = ( συνασυνβ + ηµαηµβ) και = συν( α β). Έτσι η σχέση ( Μ Μ ) = ( ΑΜ ) γράφεται = συν α + συν β συνασυνβ + ηµ α + ηµ β ηµαηµβ ( ΑΜ) = [ συν( α β) ] + [ ηµ ( α β) 0] =συν ( α β ) + συν( α β ) +ηµ ( α β) ( συνασυνβ + ηµαηµβ ) = συν( α β) ή Εομένως: συνασυνβ + ηµαηµβ = συν( α β) συν( α β ) = συνασυνβ + ηµαηµβ () Η ισότητα αυτή, ου αοδείξαμε για γωνίες α, β με και για οοιεσδήοτε γωνίες α, β. 0 0 β<α< 60, ισχύει Αν στην αραάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το β, έχουμε: συν( α ( β )) = συνασυν( β ) + ηµαηµ ( β ) = συνασυνβ ηµαηµβ Εομένως: συν( α + β ) = συνασυνβ ηµαηµβ ()

43 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 9 Με τη βοήθεια των τύων () και () μορούμε να υολογίσουμε το συνημίτονο ορισμένων γωνιών, χωρίς να χρησιμοοιήσουμε τριγωνομετρικούς ίνακες ή υολογιστικές μηχανές. Για αράδειγμα, έχουμε: συν 5 = συν(5 0 ) = συν5 συν 0 + ηµ 5 ηµ 0 ( + ) = + = συν 75 = συν (5 + 0 ) = συν5 συν0 ηµ 5 ηµ 0 ( ) = = Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια του τύου (), ου βρήκαμε ροηγουμένως, θα υολογίσουμε τώρα το ημίτονο του αθροίσματος δυο γωνιών. Εειδή συν = ηµ και ηµ = συν, έχουμε: ηµ ( α + β ) = συν ( α + β ) = συν ( α) β = συν α συνβ + ηµ α ηµβ = ηµασυνβ + συναηµβ Εομένως: ηµ ( α + β ) = ηµασυνβ + συναηµβ Αν στην αραάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με β βρίσκουμε ότι: ηµ ( α β ) = ηµασυνβ συναηµβ () Σύμφωνα με τους τύους αυτούς για αράδειγμα, έχουμε: ηµ 5 = ηµ (5 0 ) = ηµ 5 συν0 συν5 ηµ 0 ( ) = = ηµ 75 = ηµ (5 + 0 ) = ηµ 5 συν 0 + συν5 ηµ 0 ( + ) = + =

44 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Εφατομένη αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια των ροηγούμενων τύων θα υολογίσουμε την εφατομένη του αθροίσματος α+β δυο γωνιών α, β, αν γνωρίζουμε την εφατομένη καθεμιάς. Όως ξέρουμε, για να ορίζονται οι: εϕ( α + β ), εϕα και εϕβ, ρέει συν( α + β) 0, συνα 0 και συνβ 0. Με την ροϋόθεση αυτή έχουμε: ηµ ( α + β) ηµασυνβ + συναηµβ Διαιρούμε με εϕ( α + β ) = = συν( α + β) συνασυνβ ηµαηµβ συνασυνβ 0 ηµασυνβ συναηµβ + συνασυνβ συνασυνβ εϕα + εϕβ = = συνασυνβ ηµαηµβ εϕαεϕβ συνασυνβ συνασυνβ Εομένως έχουμε: εϕα + εϕβ εϕ( α + β ) = εϕαεϕβ (5) Αν τώρα στην αραάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το β, βρίσκουμε ότι: εϕα εϕβ εϕ( α β ) = + εϕαεϕβ Τέλος με ανάλογο τρόο αοδεικνύεται ότι: σϕασϕβ ( ) (7) σϕασϕβ + σϕ α + β = σϕ( α β ) = (8) σϕβ + σϕα σϕβ σϕα (6) Σύμφωνα με τους αραάνω τύους για αράδειγμα, έχουμε: εϕ5 εϕ0 εϕ 5 = εϕ(5 0 ) = = = + εϕ5 εϕ ( )( ) 6 = = = ( + )( ) 6

45 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 9 + εϕ 5 + εϕ 0 + εϕ 75 = εϕ (5 + 0 ) = = = εϕ5 εϕ0 ( + )( + ) + 6 = = = + ( )( + ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ο Αν ηµα =, με <α< και συνβ =, με 5 υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του α+β. <β<, να ΛΥΣΗ Εειδή ημ(α+β) = ημασυνβ+συναημβ και συν( α + β ) = συνασυνβ ηµαηµβ αρκεί να υολογίσουμε το συνα και το ημβ. Έχουμε λοιόν: 9 6 συν α= ηµα= =, 5 5 οότε συνα = 6 = αφού, <α< και ηµβ= συν β= =, οότε ηµβ = 5 5 =, 69 αφού <β< Εομένως 5 6 ηµ ( α + β ) = + = συν( α + β ) = =, οότε: 6 6 εϕ( α + β ) = και σϕ( α + β ) = 6 6 ο Να αοδειχθεί ότι: ηµ ( α + β) ηµ ( α β ) = ηµ α ηµ β αοδειξη ηµ ( α + β) ηµ ( α β ) = ( ηµασυνβ + συναηµβ)( ηµασυνβ συναηµβ) = ηµ ασυν β συν αηµ β = ηµ α( ηµ β) ( ηµ α) ηµ β = ηµ α ηµ αηµ β ηµ β + ηµ αηµ β = ηµ α ηµ β

46 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ο Να λυθεί η εξίσωση: ΛΥΣΗ συν = ηµ + 6 συν = ηµ + συν = ηµ συν + συνηµ συν = ηµ + συν συν = ηµ + συν συν = ηµ εϕ = εϕ = εϕ = κ +, κ [αφού συν 0 ] ο Να αοδειχθεί ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ΑΠΟΔΕΙΞΗ εϕα + εϕβ + εϕγ = εϕαεϕβεϕγ Αφού το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, ορίζονται οι εφα, εφβ, εφγ. Εειδή ειλέον Α+Β= Γ, ορίζεται η εϕ( Α + Β) και έχουμε διαδοχικά: εϕ( Α + Β ) = εϕ( Γ) εϕα + εϕβ = εϕγ εϕαεϕβ εϕα + εϕβ = εϕγ + εϕαεϕβεϕγ εϕα + εϕβ + εϕγ = εϕαεϕβεϕγ 5 ο Θεωρούμε έναν αγωγό αό τον οοίο διέρχονται τρία εναλλασσόμενα ρεύματα της ίδιας κυκλικής συχνότητας ω με στιγμιαίες εντάσεις Ι = ηµω t, Ι = ηµ ( ω t + ) και Ι = ηµ ( ω t + ). Να αοδειχθεί ότι η ολική ένταση Ι=Ι +Ι +Ι του ρεύματος ου διέρχεται αό τον αγωγό είναι μηδέν.

47 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 95 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι Ι = ηµω t + ηµ ( ω t + ) + ηµ ( ω t + ) = ηµω t+ ηµωtσυν + συνωtηµ + ηµωtσυν + συνωtηµ =ηµω t+ηµωt +συνω t +ηµωt +συνωt = ηµωt ηµωt ηµω t = 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, την τιμή των αραστάσεων: i) συν συν ηµ ηµ ii) συν70 συν 50 + ηµ 70 ηµ iii) ηµ 0 ηµ 70 συν0 συν70 iv) συν συν + ηµ ηµ. Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις: i) συν συν( ) ηµ ηµ ( ) ii) συν ( + ) συν + ηµ ( + ) ηµ. Να αοδείξετε ότι: i) συν ( + ) + συν( ) = συν ii) συν ( ) συν ( + ) = ηµ συν. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, την τιμή των αραστάσεων: 7 7 i) ηµ συν συν ηµ ii) ηµ 70 συν 0 + συν70 ηµ εϕ εϕ iii) iv) εϕ 65 + εϕ5 7 + εϕ εϕ εϕ65 εϕ5 5. Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις: i) ηµ συν + συνηµ ii) ηµ + συν συν + ηµ 6 6 εϕ εϕ iii) εϕ + + εϕ + εϕεϕ 6 iv) εϕ + εϕ 6

48 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6. Να αοδείξετε ότι: i) ii) 7. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 05 και Να αοδείξετε ότι: ηµ ( α + β) ηµ ( α + β) i) εϕα + εϕβ = ii) συνασυνβ 9. Να αοδείξετε ότι για τις γωνίες α, β του διλανού σχήματος ισχύει: i) ii) ηµ + + ηµ = ηµ ( ηµα + συνα)( ηµβ + συνβ ) = ηµ ( α + β ) + συν( α β) 0. Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α+β, αν: 5 i) ηµα =, συνβ =, 0 <α< και <β< ii) 6 ηµ ( α + β ) = 65 6 συν( α + β ) = 65. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( ) ii) iii) 5 συνα =, 5 B ΟΜΑΔΑΣ. Να αοδείξετε ότι: ηµβ =, 5 αν <α< σϕα + σϕβ = ηµαηµβ 5 5 α β και ηµ = συν + εϕ + εϕ ( + ) = 6 εϕ( α ) =, εϕα = ηµ ( α β) ηµ ( β γ) ηµ ( γ α) + + = συνασυνβ συνβσυνγ συνγσυνα. Αν συν( α + β ) = 0, να αοδείξετε ότι: ηµ ( α + β ) = ηµα <β< 0. Αν εϕα =, να λύσετε στο [0,] την εξίσωση: ηµ ( α ) = ηµ ( + α). Αν α+β=, να αοδείξετε ότι: ( + εϕα )( + εϕβ ) =

49 .7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α Αν στο διλανό σχήμα είναι ΑΓ = Α, να αοδείξετε ότι: εϕβ i) εϕω =, όου Β = ΑΒΓ ˆ Γ + εϕ Β 0 ii) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, αν Β= 60 Δ 6. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι Α= και αντιστρόφως. ω Α Β ηµα + ηµ ( Β Γ ) = εϕβ, να αοδείξετε συν( Β Γ) *7. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: i) σϕασϕβ + σϕβσϕγ + σϕγσϕα =, ii) συνα συνβ συνγ + + = ηµβηµγ ηµγηµα ηµαηµβ 8. Να λυθεί στο διάστημα [0,] η εξίσωση: εϕ ( + ) εϕ( ) = *9. Αν 0 <,,z < με εϕ =, + + z= εϕ = και 5 εϕ z =, να αοδείξετε ότι: 8.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟι τησ γωνιασ α Οι τύοι ου εκφράζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, ως συνάρτηση των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας α, είναι ειδικές εριτώσεις των τύων της ροηγούμενης αραγράφου. Συγκεκριμένα, αν στους τύους του ηµ ( α + β ), του συν( α + β ) και της εϕ( α + β ) αντικαταστήσουμε το β με το α, έχουμε: ηµ α = ηµ ( α + α ) = ηµασυνα + συναηµα = ηµασυνα Εομένως: ηµ α = ηµασυνα () συνα = συν( α + α ) = συνασυνα ηµαηµα = συν α ηµ α Είσης συνα = συν α ηµ α = συν α ( συν α) = ( ηµ α) ηµ α = συν α = ηµ α

50 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Εομένως: συν α = συν α ηµ α = συν α = ηµ α () εϕα Εομένως: εϕα + εϕα = = εϕαεϕα εϕα εϕ α εϕα εϕα = εϕ α () Αό τους τύους () μορούμε να υολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, αν γνωρίζουμε το συνα. Πράγματι, έχουμε: + συνα συνα = συν α + συνα = συν α συν α = συνα συνα= ηµα ηµα= συνα ηµ α = συνα ηµ α εϕ α συνα = = = συν α + συνα + συνα Εομένως: συνα ηµ α = () + συνα συν α = (5) συνα εϕ α = + συν α (6)

51 .7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 99 Με τη βοήθεια των αραάνω τύων μορούμε να υολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του μισού μιας γωνίας, αν γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας αυτής. Για αράδειγμα οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας,5 = υολογίζονται ως εξής: 5 συν5 ηµ,5 = = =, οότε ηµ,5 = + + συν συν,5 = = =, οότε συν,5 = Εομένως εϕ,5 = = και σϕ,5 = + = + + ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ο Να αοδειχθεί ότι: i) ηµ α = ηµα ηµ α ii) συνα = συν α συνα ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: i) ηµ α = ηµ ( α + α ) = ηµ ασυνα + συναηµα = ηµασυν α + ( ηµ α) ηµα ( ) ( ) = ηµα ηµ α + ηµ α ηµα = ηµα ηµ α + ηµα ηµ α = ηµα ηµ α ii) συνα = συν( α + α ) = συνασυνα ηµ αηµα = (συν α ) συνα ηµ ασυνα = (συν α ) συνα ( συν α) συνα = συν α συνα συνα + συν α = συν α συνα o Να αοδείξετε ότι για κάθε γωνία α με συνα 0 ισχύει: εϕα εϕ α i) ηµ α = ii) συνα = + εϕ α + εϕ α

52 00 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν συνα 0, έχουμε: i) ηµασυνα ηµασυνα συν α εϕα ηµ α = ηµασυνα = = = συν α + ηµ α συν α ηµ α + εϕ α + συν α συν α ii) συν α ηµ α συν α+ηµ α συν α ηµ α εϕ α +εϕ α συνα = συν α ηµ α = = συν α συν α = συν α ηµ α + συν α συν α o Αν εϕα = και <α<, να βρεθεί η εφα. ΛΥΣΗ Αό τον τύο () έχουμε: εϕα εϕ α = 8εϕα = εϕ α εϕ α + εϕα = ± 0 εϕα = [αφού Δ=00] 6 εϕα = ή εϕα = Αό τις τιμές της εφα ου βρήκαμε δεκτή είναι μόνο η, αφού <α<. o Να αοδειχθεί ότι ηµ εϕ = + ηµ ΑΠΟΔΕΙΞΗ συν α Εειδή εϕ α =, + συν έχουμε: α συν ηµ, + ηµ + συν εϕ = = αφού συν = ηµ

53 .7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 0 5 o Να λυθεί η εξίσωση: ηµ = συν ΛΥΣΗ Σύμφωνα με τον τύο (5) έχουμε: ηµ = συν ηµ = + συν ( συν ) = + συν συν συν = 0 συν( συν ) = 0 συν = 0 ή συν = = κ ± ή = κ, κ 6 o Να εκφρασθεί το 8συν α ως συνάρτηση του συνα και του συνα ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με τον τύο (5) έχουμε: 8συν α = 8( συν α ) = 8 = 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να υολογίσετε την τιμή των αραστάσεων: 0 i) ηµ συν ii) ηµ iii) συν 5 iv). Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις: i) ii) ηµ ασυνα συν α iii) εϕα εϕ α. Να αοδείξεται ότι: i) ηµ α + συνα = συν α ii) ηµ α = εϕα ηµ α iii) σϕα εϕα = σϕα + συνα + συνα + συν α = + συν α + συν α = + συνα α + + συν α = + συν α + συν α. Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α, αν: i) συνα = και <α< ii) ηµα = και <α< Να υολογίσετε την εφ(α+β), αν εϕα = και εϕβ = iv) εϕα + σϕα = ηµ α 0 εϕ75 εϕ 75 0

54 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6. Να αοδείξετε ότι: i) ηµ ασυνα + συν αηµα = ηµ α ii) ηµ αεϕα + συν α = iii) ηµ α iv) συνα + ηµ α = εϕα = εϕα + συνα +συνα+ηµ α 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 0 ii) συν ηµ = ηµ συν + ηµ = 0 8. Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 9. Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α,αν: 6 5 i) συνα = και 0 <α< ii) συνα = και <α< 5 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) συν + συν = 0 ii) συν ηµ = 0 iii) συν = ηµ iv) συν = συν Β ΟΜΑΔΑΣ. Αν 0 α<, να αοδείξετε ότι: συνα ηµα = ηµ α.. Να αοδείξετε ότι: ηµ α + συν α = εϕ α ηµα ( + συνα). Να αοδείξετε ότι: ηµ συν = Να αοδείξετε ότι: i) + εϕαεϕ α εϕ α = ii) εϕα + σϕα + συνα + συνα συν α + συν α = εϕ α 0 συνα 5. Να αοδείξετε ότι: εϕ(5 α ) = = εϕα + ηµ α συνα και με τη βοήθεια αυτού του τύου να υολογίσετε την εφ Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εϕ = συν ii) εϕ εϕ = 7. Να αοδείξετε ότι: συνα = 8συν α 8συν α +

55 .8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 0 8. Να αοδείξετε ότι: i) συν + συν = ii) 8 8 ηµ + ηµ = 8 8 iii) 8ηµ ασυν α = συνα α β γ 9. Αν συν =, συν = και συν z =, β+γ γ+α α+β να αοδείξετε ότι: z εϕ + εϕ + εϕ =..8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Σε αρκετές εφαρμογές της Τριγωνομετρίας χρειάζεται το γινόμενο τριγωνομετρικών αριθμών να μετασχηματισθεί σε άθροισμα ή αντιστρόφως το άθροισμα σε γινόμενο. Στην αράγραφο αυτή θα αναζητήσουμε τύους, με τους οοίους γίνονται οι αραάνω μετασχηματισμοί. Μετασχηματισμός γινομένου σε άθροισμα Αό τις γνωστές μας ισότητες: ηµ ( α + β ) = ηµασυνβ + συναηµβ ηµ ( α β ) = ηµασυνβ συναηµβ με ρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: ηµ ( α + β ) + ηµ ( α β ) = ηµασυνβ δηλαδή: ηµασυνβ = ηµ ( α + β ) + ηµ ( α β) () ενώ αό τις: συν( α β ) = συνασυνβ + ηµαηµβ συν( α + β ) = συνασυνβ ηµαηµβ με ρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: συνασυνβ = συν( α β ) + συν( α + β) ηµαηµβ = συν( α β) συν( α + β) () ()

56 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Μετασχηματισμός αθροίσματος σε γινόμενο Με τη βοήθεια των ροηγούμενων τριών τύων μορούμε να μετασχηματίσουμε το άθροισμα τριγωνομετρικών αριθμών σε γινόμενο. Πράγματι, αν θέσουμε α+β=α και α β=β, τότε έχουμε Α+Β=α+β+α β= α, οότε Α Β=α+β α+β=, β οότε Α+Β α= Α Β Α+Β Α Β Έτσι ο αραάνω τύος () γράφεται ηµ συν = ηµα + ηµβ. Δηλαδή έχουμε: β= Α+Β Α Β ηµα + ηµβ = ηµ συν () Αν τώρα στον τύο () αντικαταστήσουμε το Β με Β, βρίσκουμε: Α Β Α+Β ηµα ηµβ = ηµ συν (5) Ομοίως, αό τον τύο (), βρίσκουμε: Α+Β Α Β συνα + συνβ = συν συν (6) Α+Β Α Β ενώ αό τον τύο () βρίσκουμε ηµ ηµ = συνβ συνα, οότε Α Β Α+Β συνα συνβ = ηµ ηµ (7)

57 .8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 05 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να λυθεί η εξίσωση: ημ6συν=ημ5συν () ΛΥΣΗ Έχουμε: () ηµ 6συν = ηµ 5συν ηµ 9 + ηµ = ηµ 9 + ηµ ηµ = ηµ = κ + ή, κ = κ+ = κ ή, κ κ + = Να λυθεί η εξίσωση: συν+συν=ημ () ΛΥΣΗ Έχουμε: () αλλά () + συν συν = ηµ συν συνσυν = ηµ συν συνσυν ηµ συν = 0 συν( συν ηµ ) = 0 συν = 0 () ή συν = ηµ () συν = συν = κ ±, κ και = κ + ( ) συν = συν( ) ή = κ, κ κ + = κ + = 6 ή, κ ή = κ = κ, κ

58 06 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ο Να αοδειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Α Β Γ ηµα + ηµβ + ηµγ = συν συν συν ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α+Β Α Β Γ Γ ηµα + ηµβ + ηµγ = ηµ συν + ηµ συν Γ Α Β Α+Β Γ = συν συν + συν συν γιατί Α+Β Γ + = Γ Α Β Α+Β = συν συν + συν Γ Α Β Α Β Γ = συν συν συν = συν συν συν ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, τα γινόμενα: i) συν75 συν5 ii) ηµ 05 συν5 7 iii) ηµ συν iv) ηµ ηµ. Να μετατρέψετε σε αθροίσματα τριγωνομετρικών αριθμών τα αρακάτω γινόμενα: i) ηµ συν ii) ηµ ηµ iii) συνσυν5 iv) συν6ηµ v) ηµ ( ) ηµ ( + ). Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ηµ συν = ηµ 6συν ii) συνσυν = ηµ ηµ. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, τα αθροίσματα: i) ηµ ηµ 5 ii) ηµ ηµ iii) συν 0 + συν 80 + συν60 5. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τριγωνομετρικών αριθμών τα αρακάτω αθροίσματα: i) ηµ + ηµ ii) συν5 συν iii) συν + συν iv) + ηµ v) + συν

59 .8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Αν Β και Γ είναι οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, να αοδείξετε ότι: Β Γ i) ηµ Β + ηµ Γ = συν( Β Γ) ii) ηµβ ηµγ = ηµ 7. Να αοδείξετε ότι: i) συνα συν5α = εϕα ii) ηµα + ηµ α + ηµ 5α = εϕ α ηµ α + ηµ 5α συνα + συνα + συν5α iii) ηµαηµ α + ηµ αηµ 6α = εϕ 5 α ηµασυνα + ηµ ασυν6α 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ηµ ηµ = συν ii) συν5 συν = ηµ iii) ηµ + ηµ 6 + ηµ 9 = 0 Β ΟΜΑΔΑΣ. Να αοδείξετε ότι: i) ηµ 50 = συν0 ii) ηµ 5 ηµ 68 ηµ 7 συν77 συν65 συν 8 =. Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ηµβσυνγ =, να αοδείξετε ότι Β = 0.. Να αοδείξετε ότι: α+β i) ηµαηµβ ηµ. Να αοδείξετε ότι: α+β ii) συνασυνβ συν i) ηµα + ηµβ α + β ηµ, για οοιαδήοτε α, β [0, ] ii) συνα + συνβ α + β συν, για οοιαδήοτε α, β [, ] 5. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: i) ηµα + ηµ ( Β Γ ) = ηµβσυνγ ii) συν( Β Γ) συνα = συνβσυνγ

60 08 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Β Γ iii) συνα + συνβ + συνγ = + ηµ ηµ ηµ 6. Να αοδείξετε ότι για τις οξείες γωνίες Β, Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισχύει: Β Γ Β Γ συν συν = συν 7. Αν για τις γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ηµα = συνβ + συνγ, να αοδείξετε ότι Β= 90 ή Γ= 90 και αντιστρόφως..9 η συναρτηση f()=αημ+βσυν Στην ροηγούμενη τάξη είδαμε ότι μια συνάρτηση της μορφής f()=ρημ, ρ > 0 είναι εριοδική με ερίοδο και έχει μέγιστο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσο με ρ. Η γραφική της αράσταση είναι μια ημιτονοειδής καμύλη. Μια τέτοια συνάρτηση είναι,.χ., και η f()=ημ, της οοίας η γραφική αράσταση φαίνεται στο αρακάτω σχήμα: = ημ = ημ O Η συνάρτηση f()=ρημ(+φ) Έστω για αράδειγμα η συνάρτηση f() = ηµ ( + ). Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή ροκύτει αό την g() = ηµ αν, όου, θέσουμε +, δηλαδή ισχύει f() = g( + ) Αυτό σημαίνει ότι η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της γραφικής αράστασης της g κατά μονάδες, ρος τα αριστερά. Όμως η συνάρτηση g() = ηµ έχει ερίοδο, μέγιστο ίσο με και ελάχιστο ίσο με.

61 .9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f()=αημ+βσυν 09 Εομένως η συνάρτηση f είναι εριοδική με ερίοδο και έχει μέγιστο ίσο με και ελάχιστο ίσο με. Ο σταθερός αριθμός λέγεται διαφορά φάσεως των καμυλών = ηµ ( + ) και = ημ. Οι καμύλες αυτές φαίνονται στο αρακάτω σχήμα: = ημ(+ ) 7 5 O Γενικότερα, η γραφική αράσταση της συνάρτησης f()=ρημ(+φ), ρ>0 ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της γραφικής αράστασης της συνάρτησης g() = ρηµ. Εομένως: Η συνάρτηση f()=ρημ(+φ) είναι εριοδική με ερίοδο και έχει μέγιστο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσο με ρ. Η συνάρτηση f()=αημ+βσυν, α, β 0 = ημ Έστω για αράδειγμα η συνάρτηση f()=ημ+συν. Για να τη μελετήσουμε θα ροσαθήσουμε να τη μετατρέψουμε σε άλλη συνάρτηση γνωστής μορφής. Έχουμε: ηµ + συν = ηµ + εϕ συν ηµ ηµ συν + συν ηµ = ηµ + συν = συν συν ηµ + = = ηµ + Εομένως f() = ηµ +. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f είναι εριοδική με ερίοδο και έχει μέγιστο ίσο με και ελάχιστο ίσο με.

62 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της γραφικής αράστασης της συνάρτησης g() = ηµ κατά μονάδες ρος τα αριστερά, όως φαίνεται στο αρακάτω σχήμα: 5 Ο = ημ(+ ) 7 = ημ Γενικότερα θα αοδείξουμε ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν αβ, 0, τότε για κάθε ισχύει: αηµ + βσυν = ρηµ ( + ϕ) όου ρ= α +β και ϕ με α συνϕ = ρ β ηµϕ = ρ Έστω το σημείο Μ(α,β) και φ μια αό τις γωνίες με αρχική λευρά Ο και τελική λευρά ΟΜ. Τότε έχουμε: και Εομένως ρ = ( ΟΜ ) = α + β α συνϕ = ή α = ρσυνϕ ρ β ηµϕ = ή β = ρηµϕ ρ M(α,β) αηµ + βσυν = ρσυνϕηµ + ρηµϕσυν O = ρ( συνϕηµ + ηµϕσυν) = ρηµ ( + ϕ) φ Η μελέτη λοιόν της συνάρτησης f()=αημ+βσυν, αβ, 0 μορεί να γίνει με τη μελέτη της συνάρτησης f() = ρηµ ( + ϕ).

63 .9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f()=αημ+βσυν ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ i) Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f() = ηµ ( ) ii) Ομοίως η συνάρτηση f() = ηµ συν ΛΥΣΗ i) Η συνάρτηση f γράφεται f() = ηµ ( ). Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή ροκύτει αό τη συνάρτηση g() = ηµ αν, όου θέ- 6 σουμε. 6 Αυτό σημαίνει ότι η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό μία οριζόντια μετατόιση της γραφικής αράστασης της g κατά μονάδες ρος τα δεξιά. 6 Όμως η συνάρτηση g() = ηµ έχει ερίοδο =, μέγιστο και ελάχιστο. Άρα και η f είναι εριοδική με ερίοδο, μέγιστο και ελάχιστο. Οι γραφικές αραστάσεις των f και g φαίνονται στο αρακάτω σχήμα. Ο 6 = ημ( ) = ημ ii) Η αράσταση ηµ συν είναι της μορφής αηµ t+ βσυν t με α=, β= και όου t το. Εομένως αίρνει τη μορφή ρηµ ( + ϕ). συνϕ = Έχουμε ρ= + ( ) = = και, οότε ένα ϕ= ηµϕ = Άρα f() = ηµ συν = ηµ ( ) Τη συνάρτηση αυτή όμως τη μελετήσαμε ροηγουμένως.

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ο Να λυθεί η εξίσωση ηµ + συν = ΛΥΣΗ Το ο μέλος της εξίσωσης είναι της μορφής αηµ t+ βσυν t με α=, β= και όου t το. Εομένως αίρνει τη μορφή ρημ(+φ). συνϕ = Έχουμε ρ= ( ) + = = και, οότε ένα ϕ=. 6 ηµϕ = Άρα ηµ + συν = ηµ + 6 και η εξίσωση γίνεται ηµ + = ηµ + = 6 6 ηµ + = ηµ 6 + = κ + 6 ή, κ + = κ+ ( ) 6 = κ + 8 ή, κ 7 = κ + 8 ο Δυο ρεύματα με την ίδια κυκλική συχνότητα ω και με εντάσεις Ι = ηµωt και Ι = ηµ ω t+ διαρρέουν έναν αγωγό. Να δειχθεί ότι το άθροισμα τους έχει την ίδια κυκλική συχνότητα. ΛΥΣΗ Έχουμε Ι ολ = Ι + Ι = ηµω t+ ηµ ω t+ = ηµω t+ ηµωtσυν + συνωtηµ = ηµω t+ ηµω t+ συνωt

65 .9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f()=αημ+βσυν = ηµω t+ συνωt = ηµ ω t +, ου σημαίνει ότι το Ι ολ έχει την ίδια κυκλική συχνότητα ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ A ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε την ερίοδο, τη μέγιστη τιμή και την ελάχιστη τιμή των αρακάτω συναρτήσεων και στη συνέχεια να τις αραστήσετε γραφικά: i) f() = ηµ + ii) f() = ηµ. Να γράψετε στη μορφή f() ( ) = ρηµ + ϕ τις συναρτήσεις: i) f() = ηµ συν ii) f() = ηµ + συν iii) f() = ηµ συν iv) f() = ηµ συν. Να μελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις της άσκησης.. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ηµ συν =, ii) συν ηµ =, iii) ηµ + 6συν + = 0 B ΟΜΑΔΑΣ. Να υολογίσετε τη γωνία ω του διλανού σχήματος, έτσι ώστε να ισχύει: ( MA ) + ( MB ) = 6 A ω. Μια μάρα ΑΒ μήκους m τοοθετείται οριζόντια μεταξύ δυο κάθετων τοίχων. Για μεγαλύτερη αντοχή ρέει να τοοθετηθεί, έτσι ώστε το (ΟΑ)+(ΟΒ) να γίνει μέγιστο. i) Να εκφράσετε το (ΟΑ)+(ΟΒ) ως συνάρτηση του θ. ii) Να βρείτε την τιμή του θ για την οοία το (ΟΑ)+(ΟΒ) γίνεται μέγιστο και να ροσδιορίσετε το μέγιστο αυτό. A M θ O m B B

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i) f () = 5ηµ + συν +, ii) f() = συν( ηµ + συν). Να λύσετε την εξίσωση: ηµ ( συν ηµ ) = 5. Με συρματόλεγμα μήκους 0m εριφράσσουμε τμήμα γης σχήματος ορθογωνίου τριγώνου. Αν η υοτείνουσα είναι h m και η μια οξεία γωνία θrad (Σχήμα). i) Να αοδείξετε ότι: 0 h = ηµθ+συνθ+ ii) Για οια τιμή του θ το h αίρνει τη μικρότερη τιμή και οια είναι αυτή; θ h 6. Στο διλανό σχήμα: i) Να δείξετε ότι η ερίμετρος Ρ του τριγώνου ΜΚΟ ισούται με Ρ= +ηµ θ+συν. θ ii) Για οια τιμή του θ το Ρ αίρνει τη μεγαλύτερη τιμή και οια είναι αυτή; Β M Κ Ο θ Α.0 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Το κλασικό ρόβλημα της Τριγωνομετρίας, αό το οοίο ήρε και το όνομά της, είναι η είλυση τριγώνου, δηλαδή ο υολογισμός των άγνωστων κύριων στοιχείων ενός τριγώνου, όταν δίνονται εαρκή στοιχεία του. Η είλυση τριγώνου μορεί να γίνει με τη βοήθεια των αρακάτω δυο βασικών θεωρημάτων, ου είναι γνωστά το ένα ως νόμος των ημίτονων και το άλλο ως νόμος των συνημίτονων. Νόμος των ημιτόνων ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α β γ = = = R ηµα ηµβ ηµγ όου R, η ακτίνα του εριγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

67 .0 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 5 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω (Ο,R) ο εριγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ. Αν φέρουμε τη διάμετρο ΒΔ και τη χορδή ΓΔ, τότε σχηματίζεται τρίγωνο ΓΒΔ ου είναι ορθογώνιο στο Γ. Εομένως έχουμε: ( ΒΓ) α ηµ = =, ( Β ) R α οότε = R () ηµ A A Δ Β α Γ Ο B α Γ Δ Σχήμα Σχήμα (Σχ. ), οότε ημδ=ημα. Εομέ- Είναι όμως Δ=Α (Σχ. ) ή +Α= 80 νως η () γράφεται α = R ηµα A Αν A = 90, τότε έχουμε: ημα= και α=r (Σχ. ). Εομένως και στην ερίτωση αυτή ισχύει ισότητα α = R. ηµα B α Γ Ομοίως αοδεικνύεται ότι: β = R ηµβ και γ ηµγ = R Σχήμα Εομένως: α β γ = = = ηµα ηµβ ηµγ R ΣΧΟΛΙΟ Με το νόμο των ημιτόνων μορούμε εύκολα να ειλύσουμε ένα τρίγωνο, όταν δίνονται: i) Μια λευρά και δυο γωνίες του ή ii) Δυο λευρές και μια αό τις μη εριεχόμενες γωνίες του.

68 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ o Να ειλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 5, Α = και Β = 8. ΛΥΣΗ Εειδή A + B +Γ= 80, έχουμε: Γ= 80 A B = 80 8 = 55 Έτσι, σύμφωνα με το νόμο των ημίτονων έχουμε: Α 5 β γ = = ηµ ηµ 8 ηµ 55 οότε: 5 ηµ 8 5 0,990 β= ηµ 0, ηµ ,89 γ= 8 ηµ 0, 680 Β γ α=5 β Γ ο Να ειλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α =, β = και Β = 5 ΛΥΣΗ Σύμφωνα με το νόμο των ημίτονων έχουμε: Α γ = = ηµα ηµ 5 ηµγ Κ γ β= ηµ 5 0,576 οότε 5 ηµα = 0, 55 Β 0 α= Γ Άρα 0 0 Α 5 ή Α 55 Εειδή όμως α < β, θα είναι και Α < Β. Εομένως αό τις αραάνω τιμές της Α δεκτή είναι μόνο η Α 5. Έτσι έχουμε οότε, λόγω της (), ισχύει Γ= 80 Α Β = 0 γ ηµ 0 0,8660 = γ= 7 ηµ 5 ηµ 0 ηµ 5 0,576

69 .0 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 7 ο Σε ένα υλικό σημείο Ο εφαρμόζονται τρεις δυνάμεις ου έχουν μέτρα F, F και F αντιστοίχως και σχηματίζουν ανά δυο γωνίες ω, ω και ω, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα. Αν το υλικό σημείο ισορροεί, να αοδειχθεί ότι: Α F ω Ο ω ω F F Γ Β F F F = = ηµω ηµω ηµω F ΑΠΟΔΕΙΞΗ Εειδή το σημείο Ο ισορροεί, η συνισταμένη F των F και F θα έχει ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά και ίδιο μέτρο με την F. Εομένως αό το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΟΒΓ έχουμε: ( ΒΓ) ( ΟΒ) ( ΟΓ) ηµβογ ˆ ηµβγο ˆ ηµοβγ ˆ F F F, ηµω ηµω ηµω = = = = αφού ˆ 80 ΒΟΓ = ω, ˆ ΒΓΟ = 80 ω και ˆ ΟΒΓ = 80 ω. Νόμος των συνημίτονων Όταν είναι γνωστές οι τρεις λευρές ενός τριγώνου ή οι δυο λευρές και η εριεχόμενη γωνία τους δεν μορούμε εύκολα με μόνο το νόμο των ημίτονων να υολογίσουμε τα άλλα στοιχεία του. Στην ερίτωση αυτή χρησιμοοιούμε το αρακάτω θεώρημα ου είναι γνωστό ως νόμος των συνημίτονων. ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α = β + γ βγσυνα β = γ + α γασυνβ γ = α + β αβσυνγ

70 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ* Θα αοδείξουμε μόνο την ρώτη ισότητα. Με όμοιο τρόο αοδεικνύονται και οι υόλοιες ισότητες. Στο είεδο του τριγώνου θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων με αρχή το Α και θετικό ημιάξονα των την ημιευθεία ΑΒ. Έτσι οι συντεταγμένες του Β θα είναι (γ,0), ενώ για τις συντεταγμένες (, ) του Γ θα ισχύει Γ(, ) β α O=A γ B(γ, 0) συνα = β και ηµα = β ή ισοδύναμα = βσυνα και = βηµα () Αν χρησιμοοιήσουμε τώρα τον τύο της αόστασης για τα σημεία Β(γ,0) και Γ(,), βρίσκουμε ότι: οότε, λόγω της (), έχουμε: α = ( ΒΓ ) = ( γ ) + ( 0) α = ( γ ) + = ( βσυνα γ ) + ( βηµα) = β συν Α + γ βγσυνα + β ηµ Α = β ( συν Α + ηµ Α ) + γ βγσυνα = β + γ βγσυνα. ΣΧΟΛΙΟ Είναι φανερό ότι με το νόμο των συνημίτονων μορούμε αμέσως να υολογίσουμε μια οοιαδήοτε λευρά ενός τριγώνου, αρκεί να δοθούν οι άλλες δύο και η εριεχόμενη τους γωνία. Με τον ίδιο νόμο μορούμε ειλέον να υολογίσουμε και τις γωνίες ενός τριγώνου, του οοίου είναι γνωστές και οι τρεις λευρές, αφού οι αραάνω ισότητες γράφονται: β +γ α συνα = βγ, γ +α β συνβ = γα, α +β γ συνγ = αβ

71 .0 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ o Να ειλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 5, β = 0 και γ = ΛΥΣΗ Αό το νόμο των συνημιτόνων έχουμε: = συνα, οότε συνα = 0 0, Άρα = συνβ, οότε συνβ = 0,8806. Άρα Β 8 5 Άρα Γ 96 ο Να ειλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με β= 0, γ = και Α = 56 ΛΥΣΗ Αό το νόμο των συνημιτόνων έχουμε α = συν56 5, οότε α 5. Έτσι γνωρίζουμε και τις τρεις λευρές του τριγώνου, οότε αναγόμαστε στο ροηγούμενο ρόβλημα. ο Να αοδειχθεί ότι το εμβαδό Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται αό τον τύο: Ε = βγηµα ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γ Γ Α 56 β β A Κ γ Β Κ Αν φέρουμε το ύψος ΓΚ του τριγώνου, έχουμε: Α γ Β Ε = ( ΑΒ) ( ΓΚ ) = ( ΑΒ) ( ΑΓ) ηµα = γ β ηµα ( ΓΚ) γιατί ηµα = ( ΑΓ) Ο αραάνω τύος ισχύει ροφανώς και στην ερίτωση ου Α = 90. ο Σε ένα υλικό σημείο Ο εφαρμόζονται δυο δυνάμεις ου έχουν μέτρα F και F αντίστοιχα και σχηματίζουν γωνία ω. Να αοδειχθεί ότι το μέτρο F της συνισταμένης τους δίνεται αό τον τύο: F = F + F + F F συνω Ο O F ω Β O F O F Α Γ

72 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Εειδή ( ΟΑ ) = F, ( ΑΓ ) = F και ( ΟΓ ) = F, στο τρίγωνο ΟΑΓ έχουμε: = ΟΓ = ΟΑ + ΑΓ ΟΑ ΑΓ συνα F ( ) ( ) ( ) ( )( ) = F + F F F συν(80 ω) = F + F + F F συνω ΑΣΚΗΣΕΙΣ A ΟΜΑΔΑΣ. Δυο ύργοι Α και Β βρίσκονται εκατέρωθεν ενός οταμού. Ένας αρατηρητής Π βρίσκεται ρος το ίδιο μέρος του οταμού με τον ύργο Α. Αν στο τρίγωνο ΠΑΒ είναι ΠΑ = 00m, Α = 6 και Π = 56, να βρείτε την αόσταση των ύργων Α και Β. A 00m Π Β. Ένας συλλέκτης ηλιακής ακτινοβολίας μήκους 5 m είναι τοοθετημένος στην οροφή ενός κτιρίου, όως δείχνει το διλανό σχήμα. Να υολογίσετε το μήκος του βραχίονα με τον οοίο στηρίζεται ο συλλέκτης. 5m στήριξη. Στο διλανό σχήμα να αοδείξετε ότι: i) ii) dηµ Γ =, ηµ ( ) dηµ ηµ ΑΓ = ηµ ( ). Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με α=0, β=0 και Β=. 5. Να υολογίσετε τη γωνία θ του διλανού σχήματος. Β d Δ θ,5 Γ Α

73 .0 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 6. Να υολογίσετε το μήκος του έλους του διλανού σχήματος. A Β m 6 Π 0 55m 7. Να υολογίσετε τη γωνία θ του ορθογωνίου κουτιού του διλανού σχήματος: 0 cm θ 60 cm 0cm 8. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα 9. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα: βσυνγ + γσυνβ = α 0. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα βσυνγ = γσυνβ, να αοδείξετε ότι β=γ και αντιστρόφως.. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα α = βσυνγ, να αοδείξετε ότι β = γ και αντιστρόφως. B ΟΜΑΔΑΣ συνα συνβ συνγ α + β + γ + + = α β γ αβγ *. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα Β = Α, να αοδείξετε ότι: β Β i) συνα = ii) β α = αγ α α. Στο διλανό σχήμα να αοδείξετε ότι: 5 Γ = α( συν ηµ ) A 0 Γ Δ. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει μια αό τις ισότητες: i) β = αηµβ, ii) αηµα = βηµβ + γηµγ, να αοδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα ασυνα = βσυνβ, να αοδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές.

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 5. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα: α β Α Β Γ = εϕ εϕ α+β 6. Στο διλανό σχήμα να αοδείξετε ότι: Μ 5+ συνθ Γ ( ΒΓ ) = Β θ Ο Α 7. Να αοδείξετε ότι για το διλανό αραλληλόγραμμο ισχύουν οι ισότητες: i) + = α + β ii) ( ΑΒΓ ) = αβηµω A Δ α β Ο ω α β B Γ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ' ΟΜΑΔΑΣ) I. Σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος του ΑΔ είναι ίσο με το μισό της λευράς ΒΓ. Να αοδείξετε ότι ισχύει εϕβ + εϕγ = εϕβεϕγ και σϕβ + σϕγ =. εϕβ. Αν για τις γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει = εϕγ ηµ Γ ότι το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές. ηµ Β,. Να αοδείξετε ότι τα σημεία Μ (.) του ειέδου με = + συνt, = + ημt, βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Κ(,) και ακτίνας ρ =. να αοδείξετε. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) + ηµ συν συν σϕ + = ii) = συν + ηµ ηµ 5. i) Αν 0< <, να αοδείξετε ότι εϕ + σϕ ηµα + ηµβ ii) Αν 0 α<β<, να αοδείξετε ότι εϕα < < εϕβ συνα + συνβ 6. Να λύσετε την εξίσωση συν = στο διάστημα (, 5).

75 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γʹ ΟΜΑΔΑΣ) 7. Σε ένα λούνα-αρκ ο εριστρεφόμενος τροχός έχει ακτίνα m, τo κέντρο του αέχει αό το έδαφος 0m και όταν αρχίζει να κινείται εκτελεί μια λήρη εριστροφή σε 8 δευτερόλετα με σταθερή ταχύτητα. Να βρείτε το ύψος του βαγονιού Α αό το έδαφος ύστερα αό χρόνο sec, sec, 5sec και γενικότερα ύστερα αό χρόνο t sec. Να λύσετε το ίδιο ρόβλημα για το βαγόνι Β. 0m O m Β A 8. Να αοδείξετε ότι i) σϕ εϕ = σϕ ii) σϕ εϕ εϕ 8εϕ = εϕ 9. Με τη βοήθεια του τύου ηµ α = ηµα ηµ α να λύσετε τις εξισώσεις: i) = 0 ii) 8 6 = 0 0. Να αοδείξετε ότι το σύνολο των σημείων M(,), με =συνθ και =συνθ+, όου θ [0, ], είναι το τόξο της αραβολής =, με [,]. εϕα. Με τη βοήθεια των τύων ηµ α = και + εϕ α συνα = εϕ α + εϕ α + ηµ να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f() =, (, ) αίρνει τιμές στο διάστημα [0, ]. 5 + συν 0 9 ηµ. Nα λύσετε την εξίσωση: ηµ + συν = συν +. Ένα γκαράζ σχήματος ορθογωνίου έχει σχεδιασθεί, έτσι ώστε να αοτελείται αό ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ και ένα ορθογώνιο ΟΑΔΕ με ΟΔ = 0m, όως εριγράφει το διλανό σχήμα. Για οια τιμή της γωνίας θ rad το εμβαδό S m του γκαράζ γίνεται μέγιστο; Υόδειξη i) Να δείξετε ότι S = 00συν θ + 00ηµθσυνθ ii) Να εκφράσετε το S στη μορφή O Α θ 0m Ε Δ S = ρηµ ( θ + ϕ ) + c Β Γ

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ iii) Να βρείτε την τιμή του θ, για την οοία το S αίρνει τη μέγιστη τιμή, την οοία και να ροσδιορίσετε.. Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος του ΑΜ. Αν MAB ˆ =, MAˆ Γ= και A ΜΓ ˆ = ω, να αοδείξετε ότι: Α σϕω = σϕ σϕ ω Β Μ Γ 5. Να υολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του διλανού σχήματος, αν ισχύει Γ =. Β Α Β Δ Γ

77 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 5