¾

Transcript

1 Ù Ð ÛÑ ØÖ Ë Ñ ô Áº º ÈÐ Ø ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ôò È Ò Ô Ø Ñ Ó ÃÖ Ø Ñ ÖÓÙ ¾¼¼

2 ¾

3 ÈÖ ÐÓ Ó Ç Ñ ô ÙØ Ö Ø Ò Ø Ó Ø ØÖ ØÓÙ Ó Ø Ø ØÓÙ ÌÑ ¹ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ôò ØÓÙ È Ò Ô Ø ÑÓÙ ÃÖ Ø ÔÓÙ Ô Ð Ü Ò ØÓ Ñ Ñ Å¾¼ Ù Ð ÛÑ ØÖ ØÓÙ ÒÓÒ Ó ÈÖÓ Ö ÑÑ ØÓ ËÔÓÙ ôòº Ë ÓÔ ÙØôÒ ØÛÒ Ñ ô ÛÒ Ò Ò ÔÖÓ ô ÓÙÒ Ò ÙÔÓÝ Ñ ÒÓ ÖÓ Ø Ö Ó Ô Ø Ò Ñ Ø Ò ØÓÖ Ô Ø Ò ÐÐ Ø Ò Ñ Ñ Ø Ù Ø Ö Ø Ø Ø Ù Ð ÛÑ ØÖ ÔÛ ÙØ Ô Ö Ø Ø Ø ËØÓ Õ º ÈÖÓ Òô Ø Ø Ö Ò Ø Ó Ü Ñ ÒÓÙ Ò ÔÓÐ ØÛ Ò ØÓ Ò ÐÙ Ó Ò Ø ØÖ Ð ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒ ØÛ Ø ÒÒ Û¹ Ñ ØÖ ³ س ³ ³µº Ç Ò Õ Ö Ñ ô ÓÖÓ Ò Ø Ø Ð ³ س Ô Ô ÓÑ ØÖ µº Ò ÕÓÑ ÒÛ Ò ÑÔÐÓÙØ ØÓ Ò ÔÓØ Ñ Ø Ò Ð ØÛÒ ÐÛÒ ³ ³ ËØ Ö ÓÑ ØÖ µ ÔÖ Ñ ÔÓÙ Ò Ñ ÐÐÓÒ Ô Ö Ø ØÓ Ó¹ Ñ Ò Ø ÔÐ ÖÓÙ Ø Ð Ý µ Ø ËØ Ö ÓÑ ØÖ Ø Ò Ø Ð ØÓÙ ÙÑÒ ÓÙ ØÓÙ ÄÙ ÓÙº ÌÓ Ø Ð ÙØ Ó ÓÒ Ò Ø Ö Þ Ñ Ó ¹ ÒÓ ô ÐÓ Ô Ö Ø ÖÓ Ò Ó Ó Ø Ø Ó Ø ØÖ ÒØ Ñ ØÛÔÞÓÙÒ Ó Ö ÔÖ Ð Ñ Ñ Ø Ò ÛÑ ØÖ ØÓÙ ÕôÖÓÙº À Ù Ð ÛÑ ØÖ Û Ð Ó ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôò Õ Ô Ö Ô Ý Ò Ö Ø Ø Ò ÓÖÙ Ø ÕÖÓÒ Ö ÙÒ º ÅÓÐ Ø Ø ÓÑÓÖ Ø Ô Û Ø Ø Ü Ô Ö Ñ ÒÓÙÒ Ü Ô Ö Ø ô Ô ÖÔÓÙ ¾ ¼¼ ÕÖ Ò º Ò Ó Ò Òô Ø Ö ØÓ ÒÓÙ ØÓÙ ÞÓÒØ ØÓ Ñ ÒÓ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ø Ø Ó Ñ ô ÙØ ÕÓÙÒ Ô Ø Õ ØÓ ÓÔ ØÓÙº Áº º ÈÐ Ø ÀÖ Ð Ó ÃÖ Ø Ë ÔØ Ñ Ö Ó ¾¼¼

4 Â ` ÛÑ ØÖ

5 Û Ã Ø Ð ÔÖÓ Ô Ó Ñ ô ÙØ Ò Ö ÓÒØ Ñ Ò Ù¹ Ø Ö Ñ Ñ Ø ÔÐ Ó Ô Ö Ø Ò Ö Ø Ñ Ð Ô Ö ØÓÖ ôò ÕÓ¹ ÐÛÒº ÈÓÐÐ Ô Ø Ö ÈÖÓØ ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒ ØÙÔôÒÓÒØ ¹ ÔÓ Ò ÓÒØ Ñ Ø Ö Ñ Ò Ô ØÓ ÖÕ Ó Ñ ÒÓ Ñ Ø Õ Ñ Ø ØÓÙ ô Ø Ò ÓÙÒ Ø Ò Ò Òô ØÖ ØÓÒ Ò Òô Ø Ô Ö Ò ØÓÙ ØÖ ÔÓÙ Ö ØÓÙ Ù Ð º ÐÐÓ ÔÛ Ô Ö Ñ ØÓ Ð Ó ½½ Ô Ö Ò ÐÓ ôò ÔÖÓØ Ñ Ó ÕÖÓÒÓ ØÖ ÔÓ Ö ÐÐ Ô Ð Ñ Ñ Ñ Ø ÓÔ º Ë Ô ÖÔØÛ Ó Ù Ð Ø Ò ÙØ ÔÓÙ Ñ Ñ ÐÓÙ Ò Ö ÓÙÑ Ò Ñ Ñ Ø Ñ ÒÓ Ð Ø Ù Ø Ö º ³ Ò Ô ØÓÙ Ð ÓÙ Ô ÖÜ Ø Ð ÙØÓ ØÓÙ Ñ Ñ ØÓ Ò ÑÔ Û¹ ÙØ Ø ÒØÐ Ý Ô ØÓÙ Ñ ÐÐÓÒØ Ó ÐÓÙ Ö ÙÒ Ø ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôòº Ç Ñ ô ÕÛÖÞÓÒØ ô Ð º ËØÓ Ð Ó ½ Ø ØÓ Ò ØÓÖ ÔÐ Ó Ø ÖÕ ÔÓÕ ØÓ Ð Ó ¾ Ô Ö Ø Ø Ñ ÖÓ Ø Ñ ÖØÙÖ ØÓÙ Ñ Ø ØÓÙ Ö ØÓØ Ð Ù ÑÓÙ Ø ÐÐ Ò Ñ ¹ Ñ Ø Ø Ò ÔÓÕ Ñ ÕÖ ØÓÒ Ù Ð º ÌÓ Ð Ó ÕÓÐ Ø Ñ ØÓ ÐÓ ³ ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒ ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ø Ò ÛÑ ØÖ Òô Ø Ð Ô Ö Ø ÒØ ÓÖ Õ Ð ØÓ Ô ÑÔØÓ Ø Ñ ØÓÒ ÈÙ ¹ Ö ÒØ ØÓ Õ º ËØÓ Ð Ó Ü Ø Þ Ø ØÓ ÐÓ ³ ÛÑ ØÖ ÓÕ ØÛÒ ÐÐ ÒÛÒ Ø ÕÖÓÒ ØÓ Õ ô Ð Ö ØÓ Ð Ó Ò Û Ø Ô Ö ÐÓÙ Ò Ö Ø Ô Ö Ð ÔØ ØÓÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ØÓÙ Ø ØÖ ÛÒ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙº ÌÓ Ð Ó Ò ÖÛÑ ÒÓ ØÓ ÐÓ ³ ÐÓ µ ØÓ Ð Ó ØÓ ÐÓ ³ ÒÓÒ ÔÓÐ ÛÒ µ Òô ØÓ Ð Ó ½¼ Ô Ö Õ Ð Õ Ð Ø Ò Ü Ð Ü Ø ÛÖ ØÛÒ ÒÓÒ ôò ÔÓÐÙ ôòûò Ñ ÕÖ Ø Ò ÔÓÕ ØÓÙ Gaussº Ì ÐÓ Ø Ð ½½ ½¾ ÕÓÐÓ ÒØ Ñ ØÓ Ð Ó ³ Ò ÐÓ µ ØÓ ÐÓ Ø³ ÓÑÓ Ø Ø µ ÒØ ØÓ Õ º ËØÓ È Ö ÖØ Ñ Ö Ø Ò Ö Ñ ÛÒ ÔÓÙ ÓÖÓ Ò Ø ÈÖÓ¹ Ø ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒº ÌÓ Ø Ò ÔÓÐ ØÛ Ò Ø ÙÔ ÖÕ Ñ ÔÐ

6 ÛÒ Ù Ð ÛÑ ØÖ Ñ Ø Ò ÓÔÓ ÖÕ Ñ Ø ÒØ Ñ ØÛÔÓ Ô Ø ÕÓÐ Ñ ÕÖ Ò º À Ô Ö ØÛÒ ÛÒ ØÓÙ Ô Ö ÖØ Ñ ØÓ Ò Õ Ù ÓÔ Ò ØÖ Ý Ø Ó Ø ØÖ ØÓÙ Ó Ø Ø ÐÐ Ñ ÓÖ Ø Ò ÔÛ Ø ÒØ Ñ Ñ Ø ÓÐÓ ÐÐ Ñ ÐÐÓÒ ØÓ ÒØ ØÓ Ð Ò ÙÔÓ Ü Ø Ø Ò Ð ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôò ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ ÔÖôØ ÞÓÙÑ ØÓ ÑÙ Ð Ñ Ò ÓÙÐ Ý ÔÖÓ Ø Û Ø Ø ÙÒ ÒØ Ð ¹ ÖÑ ÞÓÙÑ Ô ÒØÓØ ØÓ ÜÙÖ ØÓÙ ³Ç Ñ Ñ Ø Ü ÐÛÒ ØÛÒ ÙÒ ØôÒ Ð ÛÒ Ô Ð ÓÙÑ Ø Ò ÔÐÓ Ø Ö º Ð Ó Ö Ç Ñ ô ÞÓÒØ ØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ Ñ ÖÓ ØÓÙ ØÓ ÐÓ ½º Benno Artmann, Euclid, the creation of mathematics ØÓ ÔÐ ÓÒ Ð ÐÓ Ø ËØÓ Õ ØÓÙ Ù Ð ¾º Sir Thomas Heath, Euclid s elements, Volumes I, II, IIIº

7 È Ö Õ Ñ Ò ½ Ò Á ØÓÖ ËÕ Ð ¾ È Á ÑÓ ½½ ÐÓ ³ ÛÑ ØÖ ½ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÇÖ ÑÓ Ü ôñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÐÓ ³ Å ÖÓ Â Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ÈÖÓØ ³ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ ÈÖÓØ ³ ½ ¾¼ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ÈÖÓØ ³ ¾½ ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÐÓ ³ Å ÖÓ È Ö ÐÐ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÐÓ ³ Å ÖÓ È Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ Å Ö Õ Ð Ô ÒÛ Ø ÈÖÓØ ³» º º º º º º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ º º º º º º º º º º º º ¼ È ÁÁ È ÑÔØÓ Ø Ñ È ÁÁÁ ÈÙ Ö ½ ÐÓ ³ À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÇÖ Ó ÛÒÛÒ º½ ÇÖ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÖÓØ ØÓÙ ÐÓÙ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È IV Ì ØÖ ÛÒÞÓÒØ ØÓÒ ÐÓ ÐÓ ³ È Ö ÐÓÙ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÇÖ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

8 È ÊÁ ÉïÇÅ Æ º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÉÓÖ Õ Ø ÐÛÒ º º º º º º º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÔØ Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÐÓ ³ Å ÖÓ ½ ÛÒ ØÑ Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ¾ ÉÓÖ Ø Ü ÛÒ º º º º º º º º º º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÛÒ ÐÓÙ Ü Ò º º º º º º º º º º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÉÓÖ Ø ÑÒÓÙ ÔØ Ñ Ò º º º º º º ¼ ÐÓ ³ à ÒÓÒ ÔÓÐ ÛÒ º½ ÌÓ ÒÓÒ Ô ÒØ ÛÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ º¾ ØÓ Ô ÒØ ÛÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¼ È VI ÈÓÐ ÛÒ ½¼ ½¼º½ Ì Õ Ñ ØÓ ÐÓ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¼º¾ Ì ÒôÖ Þ Ó Ù Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ ½¼º Ì Ò Ó ÖÕ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ ½¼º Ì Ô Ü Ó Gauss º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ ½¼º ÈÛ ØÓ Ò Ó Gauss º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ ½½ ÐÓ ³ Ò ÐÓ ½½ ½½º½ Ò ÐÓ Ø Ñ Ñ Ø ôò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½½º¾ Ò Õ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½½º Ò ÐÓ Ë ÕÖÓÒ ÓÕ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½½º ÇÖ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ ½½º ÈÖÓØ ØÓÙ ÐÓÙ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾½ ½¾ ÐÓ Ø³ ÇÑÓ Ø Ø ½¾ ½¾º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓ٠س º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾º¾ ÇÖ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾º À Ø ÛÑ ØÖ Ø ÓÑÓ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾º ÛÖ Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ½¾º ÐÓ Ø³ Å ÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾º ÐÓ Ø³ Å ÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾º ÐÓ Ø³ Å ÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ½ È Ö ÖØ Ñ ½

9 Ã Ð Ó ½ Ò Á ØÓÖ ËÕ Ð À Ô Ö Ö ÖÕ ÐÐ Ô Ö Ô ÑÔ Ø Ò Ô ÖÓ Ó ÕÓÒ Ö Ô ØÓ ¼¼ Ժɺ Û ØÓ ½ ¼ Ժɺ Ô ÖÔÓÙ Ð Ô Ø Ò ÔÓÕ ØÓÙ ÇÑ ÖÓÙ Ñ ÕÖ Ø Ò ÖÛ Ø ÊÛÑ ÑÓÒ Ô ØÓÙ ÐÐ Ò Ó ÑÓÙº Ç ÔÖôØÓ ÇÐÙÑÔ Ó ôò Ò Ò ØÓ ÔºÉº ÑÓ Ö Ø Ø Ò Ø Ò ÔÓÐ Ø ¹ ÞÛ ØÛÒ Ô Ð ÛÒ Ö ØôÒ Ø Ô ØÓ ¼¼ Ժɺ Ñ Ø º Ç ³ ÐÐ Ò ÙÔ Ö Ô Ø Ò Ø Ò Ð Ù Ö ØÓÙ Ò ÒØÓÒ ØÛÒ È Ö ôò Ø Ø Ò Ö ØÛÒ È Ö ôò ÈÓÐ ÑÛÒ ¼¼¹ µ Ñ Ø Ô ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ñ Ð Ð ¹ Ô ÖÓ Ó Ø ÐÐ ÙÔ Ø Ò ÔÓÐ Ø Ø ÖÕ ØÛÒ ÒôÒ Ö Ñ ÕÖ ØÓÙ Ó Å Ò Ð Ð ÔÔÓ Ð Ü Ò ÖÓ Ó Å Ô ¹ Ð Ò ÔÓÐÙØ ÖÕ ØôØ ÖÛ ØÓ ¼ Ժɺ Å Þ Ñ ØÓÙ Ô ÒÓÙ ØÓÙ Û Ò ØÓÒ ÐÐ Ò ÔÓÐ Ø Ñ ÓÐ Ð ÖÓ ØÓÒ ÖÕ Ó ÑÓ Ø Ø Ò ÐÐ Ò Ø Ô ÖÓ Ó ÔÓÙ Ø Ð Û Ñ ØÓÒ Ò ØÓ Ø ÃÐ ÓÔ ØÖ Ø Ò ÙÔÓ Ó ÐÛ Ø ÔØÓÙ ØÓÙ ÊÛÑ ÓÙ ÖÛ ØÓ ¼ Ժɺ Ç Ô Ø Ñ ÐÓ Ó Ô Ö Ñ Ò Ò Ó ÕôÖÓ ØÛÒ ÐÐ ÒÛÒ Û ØÓ Ø ÐÓ Ø ÊÛÑ Ù¹ ØÓ Ö ØÓÖ º Ç Ó Ó Ó Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ø Ð ÙØ Ó ØÛÒ ÊÛÑ ÛÒ Ø Ò Ó ÔÖôØÓ Ù Ö ÔÓÙ Ñ Ø Ö Ñ Ñ Ø Ñ Ò Ô Ø ÐÐ Ò Ø Ä Ø Ò ÖÛ ØÓ ¼¼ Ѻɺ Ç ÊÛÑ Ó Ù ÖÒ Ò Ø Ò ÙØÓ Ö ØÓÖ ØÓÙ ÕÛÖ ÐÓÙ Ñ Ñ Ø º ½ Ì ÐÐ Ò Ñ Ñ Ø ÐÓ Ó ÒÓ Ò Ô ØÓÒ Â Ð ØÓÒ Å ¹ Ð Ó ÖÛ ØÓ ¼ ＃ ØÓÒ ÓÔÓÓ Ð Õ Ø Ò ÒÛ Ø º Ò Ó Ø Ó ³ ÐÐ Ò Ñ Ò ÔÓ ÓÙ Ñ Ñ Ø Ó Ò Ò Ø Ö ØÖÓÒÓÑ Ô ØÓÙ Ô Ð Ó ÔÓÐ Ø ÑÓ Ø ÔØÓÙ Ø ½ ΟιΡωμαίοιθεωρούσανότι π = 4!Είναιαπορίαςάξιοτοπωςκατόρθωσαννακατασκευάσουν τόσο τέλεια κυκλικά κτίρια όπως λ.χ. η Ροτόντα της Θεσσαλονίκης.

10 ½¼ à ï Ä ÁÇ ½º ÆÁÃï ÁËÌÇÊÁÃï ËÉïÇÄÁ Å ÓÔÓØ Ñ ÐÐ ØÔÓØ Ò Õ Ö ÙØ Ø Ô Ñ Ø Ò ÒÒÓ ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôò ÔÛ Ø Ü ÖÓÙÑ Ñ Ö ÔÓÙ Ø ÙÒ ÒØÓ Ñ Ø Ò Ö ØÓÙ Ù Ð º ¾ Ì Ñ Ñ Ø Û ÛÖ Ø Ô Ø Ñ Ò Ð Ò Ø Ò Ð Ô ¹ ÖÓ Ó Ø ÐÐ Ü ÒôÒØ Ô ØÓÒ Â Ð ØÓÒ ÈÙ Ö ØÓÒ Ë Ñ Ó ÖÛ ØÓ ¼ Ժɺ Ö Ò Ø Ò Ø Ð ÑÓÖ ØÓÙ Ñ ØÓÒ Ù Ð ÖÛ ØÓ ¼¼ Ժɺ Ç Ö ØÛÒ ÐÐ ÒÛÒ Ø Ñ Ñ Ø Ò ØÓÙ ÓÙ ÝÓÙ Ñ ÙØ Ø ÐÓÐÓ ÐÙÔØ ÞÛ Ö ÖÕ Ø ØÓÒ ØÓÖ Ó Ö ØÖ ÐÓ Ó º ¾ Σχετικάμετοθέμαείναιτοκλασσικόβιβλίοτου Van der Waerden,Οιαπαρχέςτων μαθηματικών όπως και το εκλαϊκευμένο του Ντενί Γκετζ, Το θεώρημα του παπαγάλου.

11 Ã Ð Ó ¾ È ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôò Á À Ñ ÖØÙÖ ØÓÙ Ù ÑÓÙ À ÔÓÙ Ø Ö Ô Ñ Ø Ò ØÓÖ ØÛÒ ÐÐ Ò ôò Ñ Ñ Ø ôò ÔÖÒ ØÓÒ Ù Ð Ó Ð Ø ØÓÒ ÑÓ ØÓÒ Ê Ó Ò Ò Ñ Ø ØÓÙ Ö ØÓØ Ð ÔÓÙ Þ Ô ÖÔÓÙ Ô ØÓ ¼ Û ØÓ ¼¼ Ժɺ ³ Ö Ý Ò ÐÓ Ô ÒÛ Ø Ò ØÓÖ ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôò ØÓ ÓÔÓÓ Õ º à ÔÓ ÓÑÑ Ø ØÓÙ ô Ò Ô Ò ÓÖ ÐÐÛÒ Ù Ö ÛÒ ØÓ ÐÓÙ Ó Ó Ð Ø ØÓÒ ÈÖ ÐÓ ½¼ Ѻɺµ Ö Ø Ø ËÕ Ð ØÓÙ Ô ÒÛ ØÓÒ Ù Ð º È Ö ÓÖÞÓÒØ Ø Ö ÙÒ Ñ Ø Ò ÖÕ ØÛÒ Ø ÕÒôÒ ØÛÒ Ô Ø ÑôÒ Ø ÔÓÕ Ñ Ð Ñ ÔÛ Ó Ô Ö Ø ÖÓ ØÓÖ Ó Ù Ö Ø ÛÑ ØÖ Ò Ð ÔÖôØ Ô ØÓÙ ÙÔØÓÙ Ñ ÓÔ Ø Ò Ñ ØÖ ØÛÒ ôò ØÓÙº ÙØ ØÓÙ Ø Ò Ò Ó Ø Ó Æ ÐÓ ÙÔ ÖÕ Ð Þ Ò Ø ÒÓÖ Ñ Ø Ü ØÛÒ Ó Ø ôò ØÓÙº Ò Ò ÔÐ Ü Ø ØÓ Ø Ò ÐÙÝ ÔÛ ÐÐ Ó Ð Ø Ò Ø Ò Ò ÓÒ Ð ØÓÒ ÑÓ ÔÖÓÕÛÖÓ Ò Ô Ø Ò Ø Ð Ø Ò Ø Ð Ø Ø ººº ºººÇ Â Ð Ó ÓÔÓÓ Õ Ø Ü Ý Ø Ò ÙÔØÓ Ø Ò Ó ÔÖôØÓ ÔÓÙ ¹ ÙØ Ò Ø Ò Ô Ø Ñ Ø Ò ÐÐ º ³ Ò ÔÓÐÐ ØÓÙ Ò Ð Ý Ü Ø ÖÕ ÔÓÐÐôÒ ÐÐÛÒ ØÓÙ ÕÓÙ ØÓÙ Ô Ø Ñ ÒÓ ÓÖ ¹ Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ò ØÖ ÔÓ ÐÐ Ñ ÑÔ Ö º Å Ø Ô³ ÙØ Ò Ø Ò Ó Å Ñ Ö Ó Ð ØÓÙ ÔÓ Ø ËØ ÕÓÖÓÙ ô Ó ÁÔÔ Ó À¹ Ð Óººº ºººÅ Ø Ô³ ÙØÓ Ó ÈÙ Ö Ñ Ø Õ Ñ Ø Ø Ñ Ñ Ø ÐÓ Ó Ò Õ Ñ Ð Ö Ô Ù Ù ÒØÖôÒÓ ÒØ Ø ÖÕ Ø Ô Ø ÙÝ Ð Ø Ö ÔÔ ÔÖ Ø ØÛ Ü Ö ÙÒôÒØ Ø ÛÖ Ñ Ø Ø Ñ ½½

12 ½¾ à ï Ä ÁÇ ¾º ÈÀ ï Ë Á ïí ÀÅÇË Ò ÙÐÓ ÒÓ Ø ØÖ ÔÓº ÙØ Ø Ò ÔÓÙ Ò ÐÙÝ Ø Ò ÛÖ ØÛÒ Ò ÐÓ ôò Ø Ò ÓÑ ØÛÒ Ó Ñ ôò Õ Ñ ØÛÒº Å Ø Ô³ ÙØ Ò Ø Ò Ó Ò Ü Ö Ó ÃÐ ÞÓÑ Ò Ó Ó Ç ÒÓÔ Ó ÉÓºººÌÓÙ ÓÐÓ Ò Ó ÁÔ¹ ÔÓ Ö Ø Ó ÉÓ ÔÓÙ Ò ÐÙÝ Ø Ò Ñ Ó Ó ØÓÙ Ø ØÖ ÛÒ ÑÓ ØÛÒ Ñ Ò ÛÒ ÙÒ Ö Ý Ø ÔÖôØ ËØÓ Õ Ó Â ÛÖÓ Ó ÃÙÖ Ò Óººº ºººÇ ÈÐ ØÛÒ ÔÓÙ Ñ Ò Ø Ñ Ø Ô ÙØÓ ÔÖÓô Ø Ñ Ø Ø Ñ Ñ Ø Ò Ø Ö Ø ÛÑ ØÖ Ø Ö Ð Û ØÓÙ Þ ÐÓÙ ØÓÙ ÙØ Ø ÔÓÙ º Ò ÒÛ Ø Ø Ø Ö ÔØ ØÓÙ Ò ÔÙ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ñ Ñ Ø Ó ÖÓÙ Ø Ô ÒØÓ ÔÖÓ Ô Ò Ö ØÓ ÙÑ Ñ Ø Ñ Ñ Ø Ô ØÓÙ Ñ Ø Ø ÐÓ Ó º ˳ ÙØ Ò Ø Ò ÔÓÕ Þ Ò Ó Ä Ó Ñ Ó Â Ó Ó ÖÕ Ø Ó Ì Ö ÒØÒÓ Ó Â Ø ØÓ Ó Ò Ó ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ø ÛÖ Ñ Ø ÙÜ Ò Ö Ñ Ø Ø Õ Ò Ñ Ô Ó Ô Ø ÑÓÒ ØÖ ÔÓººº ºººÇ ÓÜÓ Ó ÃÒ Ó Ñ Ø ØÓÙ ÈÐ ØÛÒ Ø Ò Ó ÔÖôØÓ ÔÓÙ Ü ØÓÒ Ö Ñ ØÛÒ ÔÓÒÓÑ ÞÓÑ ÒÛÒ Ò ôò ÛÖ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ÒÛ Ø Ò ÐÓ ÔÖ ÐÐ ØÖ ººº Ø Ò Ñ Ó Ó Ø Ò ÐÙ Ø Ñ Ñ Ø ººº ººº³ÇÕ ÔÓÐ Ñ Ø Ô ÐÓÙ ÙØÓ Ö Ó Ù Ð ½ ÔÓÙ Ù ÒØÖÛ Ø ËØÓ Õ Ø Ø ÓÒØ Ñ Ù Ø Ñ Ø ØÖ ÔÓ ÔÓÐÐ ÛÖ Ñ Ø ØÓÙ Ù¹ ÜÓÙ Ø Ð ÓÔÓ ôòø ÔÓÐÐ ØÓÙ Â Ø ØÓÙ ØÓÒØ Ø Ù ¹ Ô Ø ÑÓÖ ÔÖÓØ ÔÓÙ Ø Ò Ñ ÐÐÓÒ Õ Ð Ö ÔÓ Ñ Ò Ô ØÓÙ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓ ØÓÙº ³ Þ ØÓÒ Ö ØÓÙ ÈØÓÐ Ñ ÓÙ ØÓÙ ÔÖôØÓÙº Ø Ó ÖÕ Ñ Ó ÓÔÓÓ Ö Ñ Û Ñ Ø ØÓÒ ÈØÓÐ Ñ Ó Ò Ö ØÓÒ Ù Ð ¹ º Ô ÔÐ ÓÒ Ð Ò Ø Ó ÈØÓÐ Ñ Ó ÖôØ ÔÓØ ØÓÒ Ù Ð Ò ÙÔ ÖÕ ÙÒØÓÑ Ø ÖÓ Ö ÑÓ Ø ÛÑ ØÖ Ô ÙØ Ò ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒ ÙØ Ô ÒØ Ø Ò ÙÔ ÖÕ Ð Ó Ø ÛÑ ØÖ ¾ ººº Ì Ñ Ò Ð Ü Å ÂÀÅ ÌÁà À ØÙÑÓÐÓ Ø Ð Ü Ñ Ñ Ø Ò Û Ô ØÓ Ñ Ñ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ØÓ ÒØ ØÓ ÕÓ Ö Ñ Ò ØÓ Ñ Ò Ò Ò ÔÖÛØÓÕÖ ÑÓÔÓ Ñ ÙØ Ò Ø Ò ÒÒÓ Ô ØÓÒ ÈÐ ØÛÒ Ô Òô Ô ØÓÙ ÈÙ ÓÖ ÓÙº ËÕ Ø Ð Ü ½ ΟπωςφαίνεταικαιαπότοχωρίοτουΠρόκλου,ελάχισταήτανγνωστάγιατονΕυκλείδη ακόμα και στην αρχαία εποχή. μπορούμε να συμπεράνουμε μόνο ότι έζησε στην Αλεξάνδρεια περί το 300 π.χ. Για περισσότερες λεπτομέρεις και δοξασίες γύρω από τον Ευκλείδη, κοιτάξτε την Εισαγωγή του Heath. ¾ Ουκέστινβασιλικήατραπόςπροςτηνγεωμετρίαν.

13 ½ Ø ÐÐ Ò Ò Ñ Ó Ñ ÒØ ÑÓ ÈÖÓÑ º À Ð Ü Ô Ö Ø Ô Ø Ò ÁÒ Ó ÙÖÛÔ ÖÞ mendh Ò Ö Ö ¹ Þ µ ØÓ ÔÒ Ñ ÔÓ ÓÙº È Ö ØÛ Ö ÓÒØ Ñ Ö Õ Ø Ð Ü Ô ÐÐ Ðô Ð mind ÔÒ Ñ µ ÖÑ Ò munter Ü ÔÒ Ó ÞÛÒØ Ò µ Å ÍÝ Ð ÖÑ Ò minne Ô µ ÓØ munda ÓÔ Ûµ È Ð ËÐ modru Ó µ Ë Ò Ö Ø man ÔØÓÑ µ Ä Ø Ò mens ÔÒ Ñ µ. ΟΠρομηθέαςκατάτονμύθοήτανοεφευρέτηςτοναριθμών.ΟΑισχύλοςστονΠρομηθέα Δεσμώτη(459-60) τον βάζει να λέγει μεταξύ άλλων στον Ηρακλή: Και τον αριθμο, τον έξοχο των πραγμάτων, κατασκεύασα για τους ανθρώπους.

14 ½ à ï Ä ÁÇ ¾º ÈÀ ï Ë Á ïí ÀÅÇË ÉÖÓÒÓÐÓ ÔÒ ³ÇÐ Ó ÕÖÓÒÓÐÓ Ò ÔºÉºµ Á ØÓÖ ÓÒ Ø Å Ñ Ø ÛÑ ØÖ Ô ÖÓ Ó Ø ÐÐ Ò Ø ÕÒ ¼¼ ¼¼ Ò ÐÙÝ ØÛÒ ÒÓÑ Ñ ØÛÒ ¼¼  Р580µ ÈÙ Ö µ È Ö Ó Ô Ð ÑÓ µ ¼¼ 460 Æ ØÓÙ Ø Ò ÇÐÙÑÔ Ò ÐÓ ¾ ½ ÈÙ Ö Ó Ø Æ Ø Ó ÁØ Ð È Ö Ð ÉÖÙ ôò 440 È Ö ÒôÒ ËØÓ Õ ØÓÙ ÁÔÔÓ Ö Ø ØÓÙ ÉÓÙ 430µ ËÛ Ö Ø Â ÛÖÓ Ó ÃÙÖ Ò Ó ¼¼ ÈÐ ØÛÒ ¾ Â Ø ØÓ Ç Ä ÛÒ Ö Ò ËØÓ Õ Ö ØÓØ Ð ¾¾ Ø Ò ÈÐ ØÛÒÓ Ñ ÓÜÓ ¼ Å Ð Ü Ò ÖÓ ¾ ³ Ö ÖÛÒ Ù Ö ÛÒ ÐºÕº ÃÛÒ ØÓÙ Å Ò ÕÑÓÙ ¼¼ Ù Ð ËØÓ Õ Ð Ü Ò Ö Ò ÔÓÕ ¼¼ ¼ ¾ ¼ ÖÕ Ñ Ó ËÙÖ Ó ÔÓÐÐôÒ Ó Ó È Ö Ó

15 Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ ÛÑ ØÖ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½ ¾ ÒÒÓ ÓÖÞÓÒØ Ô Ö Ö ÓÒØ º Ü ôñ Ø ½ ÃÓ Ò ÒÒÓ ½ Ì Ü ôñ Ø Ó Ó Ò ÒÒÓ Ò Ø Ü ôñ Ø Ø Ô Ô ÓÑ ØÖ º ÈÖÓØ ½ ¾ ÈÖÓØ ¾ ¾ ÈÖÓØ ÈÖÓØ Â Ñ ÐÛ Ø Ô Ô ÓÑ ØÖ ÕÛÖ Ø Ò ÕÖ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒº À ÛÖ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ù ôòº ÛÒ ØÖ ôòóùº À ÛÖ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÛÒ ØÛÒ Ñ ôò ØÓÙº ÌÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ º ½

16 ½ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ º¾ ÇÖ ÑÓ Ü ôñ Ø Ç Ù Ð Ñ Ó Ö ØÓ ÑÓÒØ ÐÓ Ò Ñ Ñ Ø Ó Ñ ÒÓÙ Ò Ñ Ô Ö ô ØÙÔÓÔÓ Ñ ÒÓÙ ÓÖ ÑÓ Ü ôñ Ø Ø Ô Ò ÙÒ ÕÞ Ñ Û¹ Ö Ñ Ø ÔÓ Ü º Ô Ø Ò ÖÕ Ø Ö ØÓ Ô Ö ØÒÓ Ñ Ð ÔÓ ÓÙ ÓÙ Ô Ö Ö ØÛÒ ÒØ Ñ ÒÛÒ Ø ÛÑ ØÖ º ÌÓ Ò ÙØ Ñ Ø Ò ÔÖôØ ÓÑ ÓÖ ÑôÒ ½ º ÇÖ ÑÓ ½º Ë Ñ Ó Ò ÙØ ÔÓÙ Ò Õ Ñ ÖÓº ½ ¾º Ö ÑÑ Ò Ñ Ó ÕÛÖ ÔÐ ØÓº ¾ º Ì Ö Ö ÑÑ Ò Ñ º... º ÔÔ ÛÒ Ò Ð Ó Ø ÑÒ Ñ ÒÛÒ Ö ÑÑôÒ ØÓÙ Ô Ô ÓÙ ÔÓÙ Ò ÒØ Ô Ø Ù º º ³ÇØ Ò Ó Ô Ö ÕÓÙ Ø ÛÒ Ö ÑÑ Ò Ù ÛÒ Ð Ø Ù Ö ÑÑ º ³ Õ ÙÕÒ Ô Ö Ø Ö Ø Ó Ù Ð Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ ÑÓ Ø ÔÓ Ü ØÛÒ ÔÖÓØ ÛÒ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó Òº Ç ÓÖ ÑÓ ÙØÓ Ò Ü ÔÓÙ ÔÖ Ô Ò Ü ÖÞÓÙÒ ØÓÒ Ò Òô Ø Ø Ò Ñ ¹ ÖÓÙ ÐÐ Ò Ô ÞÓÙÒ ÔÓ Ó Ö ÐÓ Ø Ô Ñ Ò ÙÑÔ Ö Ñ Ø º ËØÓÒ ÇÖ Ñ Ó Ö ÑÑ ÑÔÓÖ Ò Ò ÑÔÙÐ Ö ÑÑ º ËØÓ ÐÓ ³ Ó Ù¹ Ð ÕÖ ÑÓÔÓ ÛÒ Ñ Ø Ü ÐÛÒ Ù ôò ÐÐ Ò Ü Ñ Ð Ø Ö ÑÓ Ð ÛÒ ôò ÑÔ ÐÛÒ Ö ÑÑôÒ ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ô Ö Ø ÖÓ ØÓÙ ÔÖÓ Ù Ð ÓÙ ÕÖ ÒÓÙº Ç Ô Ö Ø ÖÓ Ô ØÓÙ ÐÓÙ ÓÙ ÓÖ ÑÓ Ò ÙÒØÓÑ Ø ØÓÒ ÕÖÓÒÓ ØÖ ÔÓ Ö³ Ô Ò ÇÖ ÑÓ ½ ΚατάτονΑριστοτέλημέροςμενουνεστίνκαιτουείδουςδηλαδή,υπάρχειμέροςακόμα καιστημορφή. (ΜετάταΦυσικά,1035 b32). ΚατάτονΠρόκλο,οπρώτοςορισμόςτου σημείου δόθηκε από τους Πυθαγορείους ως μονάς προσλαβούσα θέσιν. Κατά τον Πλάτωνα σημείο είναι αρχή γραμμής. ¾ ΚατάτονΠρόκλο,γραμμήείναιμέγεθοςεφ ενδιαστατόν,δηλαδήμονοδιάστατομέγεθος. ΕναςαρχαιότεροςορισμόςτηςγωνίαςοφείλεταιστονΑπολλώνιοτονΠεργαίο,σύμφωνα με τον οποίο, γωνία είναι συναγωγή επιφανείας η στερεού προς ενί σημείω υπό κεκλασμένη γραμμή ή επιφανεία.

17 º¾º ÇÊÁËÅÇïÁ à Á ÁïÏÅ Ì ½ ½ º º º º ØÖÔÐ ÙÖ Õ Ñ Ø Ò ÙØ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÒØ ØÖ Ù º º º ¾¼º Ô Ø ØÖÔÐ ÙÖ Õ Ñ Ø ÔÐ ÙÖÓ ØÖ ÛÒÓ Ò ÙØ ÔÓÙ Õ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ØÓÙ Ó Ð ØÖ ÛÒÓ Ò ÙØ ÔÓÙ Õ Ñ ÒÓ Ø Ó ÔÐ ÙÖ ØÓÙ Ð Ò ØÖ ÛÒÓ Ò ÙØ ÔÓÙ Õ Ø ÔÐ ÙÖ ØÓÙ Ò º Ã Ø ØÓÒ ÕÖÓÒÓ ÓÖÑ Ð Ñ Ò ÔÐ ÙÖÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó ¹ Ð ÐÐ Õ ØÓÒ Ù Ð º È Ö ÑÓ ØÓÒ ÇÖ Ñ ¾¾ Ò ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ð Ø Ø Ö Ñ µ Ò Ò Ø ØÖ ÛÒÓº ÈÖÓ Òô Ô Ñ ÐÓ ÔÓÝ Ò ÔÖÓØ Ñ Ø ÖÓ Ò ÙÑÔ Ö Ð ÓÙÑ Ø Ø ØÖ ÛÒ Ø ÓÖ Ó ôò º Å Ø ØÓÙ ÓÖ ÑÓ Ó Ù Ð ÔÖÓÕÛÖ Ø Ô Ö Ñ Ø Ñ Ø ØÓÙ ¹ Ü ôñ Ø µº Ì ÕÖÓÒ Ü ôñ Ø Ø ÛÑ ØÖ ÓÑÓ ÞÓÙÒ Ö Ø Ñ Ø Ø Ñ Ø ÙØ º Ü ôñ Ø ½º Õ Ü Û Ø ÑÔÓÖ Ò Õ Ù Ö ÑÑ Ô Ñ Ó ÔÖÓ Ñ Óº ¾º Ã Ô Ô Ô Ö Ñ Ò Ù ÑÔÓÖ Ò Ô Ö Õ Ô Ö Ù Ø ÙÒ Õ ØÖ ÔÓº º à ÑÔÓÖ Ò Ö ÐÓ Ô ÒØ ÒØÖÓÙ Ø Ñ ØÓº º Ã Ð Ó ÓÖ ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº º ÌÓ Ô ÑÔØÓ Ø Ñ ÙÞ Ø ÕÛÖ Ø Ô Ö ØÛº Ì Ø Ñ Ø ½ ¾ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ØÙÔÛ Ó Ò Ø ØÓÒ ÕÖÓÒÓ ØÖ ÔÓ Û Ü ÓÑ ÒÛÒ Ó ÓÖ Ø ôò Ñ ÛÒ ÙÔ ÖÕ ÑÓÒ Ù ÔÓÙ Ô ÖÒ Ô ÙØ º À Ñ ØÓÙ Ù Ð Ò Ô Ö Ø ÖÓ Ø Ò Ø Ù Õ Ø Ò Ô ÖÜ ÓÖ Ð Ò ØÓÒ ØÖ ÔÓ Õ Ø Ò ÓÙ º ÓÐÓÙ Ó Ò Ó Ø ØÓÒ Ù Ð ÃÓ Ò ³ ÒÒÓ º ÙØ Ò Ü ôñ ¹ Ø Ô Ö Ø ÙÑÔ Ö ÓÖ Ò Ø ÖÛÒ Ñ ôò Õ Ñ ÒÓ ÛÑ ØÖ ôò ÒØ Ñ ÒÛÒº Οδιαχωρισμόςτωνσχημάτωνσετρίπλευρα,τετράπλευρακλπ. οφείλεταιστονίδιοτον Ευκλείδη, αφού δεν απαντάται ούτε στον Πλάτωνα ούτε στον Αριστοτέλη. Ηλέξησκαληνόπροέρχεταιείτεαπότοσκάζω(=κουτσαίνω)είτεαπότοσκολιός(= επικλινής, λοξός). Εδώδιάστημα=ακτίνα,ανκαιοΕυκλείδηςχρησιμοποιείτονόροδιάστημακαιγιατη διάσταση. Τοαίτημααυτόείναιισοδύναμομετηνισχύτηςισοδυναμίαςτωνσχημάτων,ήμεάλλα λόγια, της ομογένειας του χώρου.

18 ½ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ÃÓ Ò ÒÒÓ ½º Ì ÔÖÓ ØÓ Ó ÔÖ Ñ ÔÖ Ñ Ø Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº ¾º Ã Ò ÔÖ Ñ Ø ÔÖÓ Ø Ó Ò ÔÖ Ñ Ø Ø ÙÒÓÐ ÔÖ ¹ Ñ Ø Ò º º Ã Ò Ô ÔÖ Ñ Ø Ö Ó Ò ÔÖ Ñ Ø Ø ÙÔÓÐ Ô Ñ Ò ÔÖ Ñ Ø Ò º º Ã Ø ÖÑ ÞÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÔÖ Ñ Ø Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº º à ØÓ ÐÓÒ Ò Ñ Ð Ø ÖÓ ØÓÙ Ñ ÖÓÙº ÈÓÐÐÓ Ù Ö Ô Ö Ø Ö Ò Ø Ò Ò Ô Ö ØÛÒ Ü ÛÑ ØÛÒ ØÓÙ Ù¹ Ð Ö Ñ Ø ÕÖÓÒ Ñ Ð Ø ÛÑ ØÖ º ÌÓ ÔÐ ÓÒ ÔÖÓ ¹ Ò Ñ Ó Ò ÔÓÙ ÓÔÓ ÔÓØ Ý Ø Ò Ø Ü ØÛÒ Ñ ÛÒ Ô ÒÛ Ñ Ö ÑÑ Ø ÒÒÓ ØÓÙ Ñ Ø Ü º Ç Ù Ð ÕÖ ÑÓÔÓ Ð Ø ÙÔÓ Ô Ö Ø Ò Ø Ü ØÛÒ Ñ ÛÒ Ô ÒÛ Ñ Ø ¹ º È Ö³ Ð ÙØ Ø Ò Ò ØÖ ÔÓ Ò Ñ ôò Ø ØÓ Ö Ó ØÓÙ Ù Ð ØÓ ØÓÙ Ø Ö ÛÑ ËØ Ñ Ñ Ø ÔÓ Ó ÔÖ Ô Ò Ü Ò Ô Ò ÐÙØ Ø Ñ Ò ÖÕ Ò Ô Ö Ð Ø Ô Ñ Ò ÙÑÔ Ö Ñ Ø Ô Ø ÖÕ ÙØ º º ÐÓ ³ Å ÖÓ Â Ñ Ð Ì ÓÙ Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ Å ÖÓÙ ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ò ÔÖôØ Ø ÛÖ Ñ Ø Ø Ø ØÖ ôòûò ØÓ Õ ô Ø Ù ÔÛ ÕÓØ Ñ ¹ ÛÒ ôò Ù Ù Ö ÑÑÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒ ÙØ Ö Ù ÒØÛ ÔÓ ÔÖÓØ Ô Ö Ñ Ð Ø ÖÛÒ³ Õ ÛÒ ØÛÒ ÛÒ ôò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ Ò ØÖ ôòóù ÔÓÙ ÓÒØ Ø Ò ³ ½ ÓÖÙ ôòóòø Ñ Ø Ò ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø ³ ¾¼º ΚατάτονΑριστοτέλη,κανείςπροσπαθείνααποδείξειαξιώματαμόνοναπόαδημοσύνη. Σαν παράδειγμα, ο Πρόκλος παραθέτει την ακόλουθη απόδειξη του Απολλωνίου, της κοινής έννοιας1:αςείναι A = Bκαι B = C. Λέγωότι A = C. Διότι,εφ όσον A = B,τα A, B καταλαμβάνουντονίδιοχώρο,καιεφ όσον B = Cτα B, Cκαταλαμβάνουντονίδιοχώρο. Άρα A = C. Ηαπόδειξηαυτήεμπεριέχειτιςεπιπλέονυπόθεσειςότια) A = Bανκαιμόνοεάντα A, B καταλαμβάνουν τον ίδιο χώρο και β) πράγματα που καταλαμβάνουν τον ίδιο χώρο με κάποιο άλλο πράγμα καταλαμβάνουν και τον ίδιο χώρο μεταξύ τους. Με άλλα λόγια προσπαθείται να εξηγηθεί το προφανές με κάτι περισσότερο ομιχλώδες, αφού ο χώρος είναι μία ποσότητα πιο δύσκολη από τα καθεαυτά πράγματα του ίδιου του χώρου. Τούτηηκοινήέννοιανομιμοποιείτηνχρησιμοποίησητηςεναπόθεσηςγιατηναπόδειξη της ισότητας δύο σχημάτων που έχουν τα αναγκαία μέρη αντίστοιχα ίσα.

19 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË Â Åï ÄÁ ½ Ç ÖÕ ÔÖÓØ ÕÒÓÙÒ ÔÛ Ø Ù Þ Ø Ò ÔÐ ÙÖÓ ØÖ ÛÒÓ ÔÛ ÒØ Ö ÓÙÑ ØÑ Ñ Ø ÕÛÖ Ò Ø Ñ Ø ÒÓ Ñ º Ç Ð ÔØ Ø Ù Ø ³ ¾ ÞÓÒØ Ù Û Ø Ü ôñ Ø ½ ¾ º À ÈÖ Ø ³ Ò ØÓ ÔÖôØÓ Ñ ÒØ ôö Ñ ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ø Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ÛÒ º ÈÖ Ø ³ Ò Ó ØÖ ÛÒ ÕÓÙÒ Ø Ó ÔÐ ÙÖ Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ÙÔ ØÛÒ ÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÛÒ ÒØ ØÓ Õ ½¼ Ø Ø ÕÓÙÒ Ø Ø Ó ØÖ¹ ÛÒ Ò Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ô Ø ÓÔÓ Ó ÔÐ ÙÖ ÙÔÓØ ÒÓÒØ Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø ÐÓ Ô ÛÒ º ³ ØÛ Ó ØÖ ÛÒ Ø ÔÓÙ ÕÓÙÒ Ø Ó ÔÐ ÙÖ ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø Ð Ø Ò Ñ Ø Ò Ø Ò Ñ Ø Ò º à ØÛ Ø ÛÒ Ò Ñ Ø Ò º Ä Û Ø Ò Ñ Ø Ò ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ô Ø ÓÔÓ ÙÔÓØ ÒÓÒØ Ó ÔÐ ÙÖ Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø ÐÓ Ô ÛÒ Ð Ò Ñ Ø Ò Ò Ñ Ø Ò º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º ÈÖ Ò Ô Ñ Ø Ò Ô Ü Ü Ø ÓÙÑ ÓÖ Ñ Ò Ø Ö Ø Ø ØÓÙ ØÖ ÔÓÙ Ö ØÓÙ Ù Ð º È ÒØ Ø Ø ÛÖ Ñ Ø ØÓÙ Ñ Ó ØÖ ÔÓÙ ÖÕ Ñ Ò Ð Ñ Ñ Ø Ö ÓÖ Ø Ò ÓÒØ Ñ Ö ÑÑ ÛÒ ºÓº º Ñ ÓÖ Ö ÑÑ Ø º ½½ ÈÓÐ ÙÕÒ ØÓ ôö Ñ ½¼ Αντίτου μίαπροςμία πουαντιστοιχείστοευκλείδειο εκατέραεκατέρα προτιμούμε στο εξής το αντίστοιχα. ½½ Αυτόγίνεταικαιστιςμέρεςμας: Θεώρημα: Μίασυνεχήςπραγματικήσυνάρτησηαπεικονίζει κλειστά διαστήματα σε κλειστά διαστήματα. Εστω [a, b] ένα κλειστό διάστημα και f : [a, b] Rμίασυνεχής...

20 ¾¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ÙÒÓ Ø Ô Ø ÐÐ ÐÓ Õ Ñ º Å Ù Ö Ñ Ò Ö ÕÖ Þ Ô Ö Ø ÖÛ Ô Ü ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ º ÔÐô Ñ Ò Ø Ø ØÖ ÛÒ ÕÓÙÒ ØÓ Ó Ñ Òº Ç Ù Ð ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò Ð Ü Ñ Ò Ñ ÒÓ Ô Ö Ø º ½¾ Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ º Ø Ò ØÓ ØÖ ÛÒÓ ÖÑÓ Ø ½ Ô ØÓÙ ØÖ ôòóù ØÓ Ñ Ó Ø ØÓ Ñ Ó Ù Ô Ø Ò Ø Ø ØÓ Ñ Ó ÖÑ Þ Ô ØÓ Ñ Ó Ó Ò Ñ Ø Ò º ³ Ø Ô ÖÑ Þ Ô Ø Ò Ù ÖÑ Þ Ô Ô Ø Ò Ð Û ØÓÙ Ø ÛÒ Ò Ñ Ø Ò º ³Ï Ø ØÓ Ñ Ó ÖÑ Þ Ô ØÓ Ô Ø Ò Ñ Ø Ò º ÐÐ ØÓ Ñ Ó ÖÑ Þ Ô ØÓ ô Ø ÖÑ Þ Ô Ø º Ø Ò ØÓ ÖÑ Ô ØÓ ØÓ Ô ØÓ Ò ÖÑ Ô Ø Ò Ø Ø Ó Ù Ö ÑÑ Ô Ö ÕÓÙÒ Ñ Ò ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ½ ³ Ö ÖÑ Ô Ø Ò Ò Ñ ÙØ Òº ³Ï Ø ÐÓ ØÓ ØÖ ÛÒÓ ÖÑ Ô ÐÓ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ÙØ Ó ÐÓ Ô ÛÒ ÖÑ ÓÙÒ Ô Ø ÐÓ Ô ÛÒ Ò Ñ ÙØ Ð Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò º Ò Ö Ó ØÖ ÛÒ ÕÓÙÒ Ø Ó ÔÐ ÙÖ Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ÙÔ ØÛÒ ÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÛÒ ÒØ ØÓ Õ Ø Ø ÕÓÙÒ Ø Ø Ó ØÖ ÛÒ Ò Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ô Ø ÓÔÓ Ó ÔÐ ÙÖ ÙÔÓØ ¹ ÒÓÒØ Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø ÐÓ Ô ÛÒ Ô Ö Ü º ½ ½¾ Οι Ελληνεςήξερανπολύκαλάναμετρούντιςγαίεςτους, καιήξερανεπίσηςότιοι φοροεισπράκτορες του Φαραώ μετρούσαν τα χωράφια των Αιγυπτίων αγροτών με τρόπο που δεν ήταν καθόλου προς όφελος των τελευταίων. Στα μαθηματικά, αποφεύγουν την έννοια του εμβαδού προτιμώντας φράσεις όπως την παραπάνω, δηλαδή, το ορθογώνιο είναι ίσο με το ορθογώνιο κ.ο.κ. ½ εναποτεθεί. ½ ΛόγωτουΑξιώματος1. ½ =τοοποίοέπρεπενααποδειχθεί.οευκλείδηςχρησιμοποιείτηνφράσηαυτήστοτέλος όλων των αποδείξεων. Ο όρος χρησιμοποιείται αυτούσιος ως τις μέρες μας και στο εξής θα γράφουμε απλώς Ο.Ε.Δ.

21 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË Â Åï ÄÁ ¾½ ËÕ Ð Ô ÒÛ Ø Ò Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ À Ñ Ó Ó Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ Ò ÔÐ Ö ÒØ ØÓÐ Ñ Ø Ð ÔØÓÑ Ö ÔÓ Ü ØÛÒ ÔÖÓØ ÛÒ ³ ½ º Ô³ Ø Ð ÔÓÙÑ Ó Ù Ð ÔÐô Ò ÔÓ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ô ØÓÙ ØÖ ôòóù Ñ ØÖ ÔÓ ô Ø ØÓ Ò Ø Ô ØÓÙ ØÓ Ô ØÓÙ ØÓ Ô ØÓÙ Ô ÔÖÓ ÔØ ØÓ ÙÑÔ Ö Ñ º Ô Ø Ñ ÔÐ ÙÖ Ñ Ó Ó Ø Ò Ô Ò Õ ÑÑ Ø Ù Ð Ü ôñ Ø ÐÐ Ô Ø Ò ÐÐ ÔÖ Ø ØÔÓØ Ò Ò Ø ÕÛÖ Ø Ö Ø Ö Ø Ø ØÖ ôòûòº ËØ Ò ÈÖ Ø ³ ÓÐÓÙ Ø Ñ Ó¹ Óµº ÇÙ Ø ÙØ ÔÓÙ Ð ÔÓÙÑ ô Ò ÐÐÓ Ò ÜÛÑ º Ë ÕÖÓÒ Ü ÛÑ Ø Ñ Ð Ø Ô ØÓÒ ÉÐÑÔ ÖØ ÐÐÓÙ Ø Ü Ò Ø Ò ÙÔ ÖÕ ØÖ ÔÓ Ò Ü Ô Ö Ø ÙØ ØÓ ÐÐ Ñ Ø ÈÖÓØ ³ ÔÖ Ô Ò Ò ÜÛÑ ½ ÔÖ Ô Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ Ø Ò Ò Ô ÔÓ ÓÕ ÔÓÙ Þ Ø Ò Ø Ñ Ô ÖÜ ÔÓ ÛÒ Ø Ö ôò Ò ÛÒ ØÓÙ Ô Ô ÓÙº ËØÓ Ô Ñ ÒÓ Þ Ó ÔÖÓØ ÛÒ ³ Ó Ù Ð ÔÓ Ò Ò Ñ ¹ Ð ô Ð ÑÑ Ô Ö Ó ÐôÒ ØÖ ôòûò ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø ÙÕÒ Ø Ð ³ سº ÈÖ Ø ³ ½ Ç ÔÖ Ø Ò ÛÒ ØÛÒ Ó ÐôÒ ØÖ ôòûò Ò º º º ½ ³ ØÛ Ó Ð ØÖ ÛÒÓ ØÓ ÔÓÙ Õ Ø Ò ÔÐ ÙÖ Ñ Ø Ò ÔÐ ÙÖ º º º Ð Û Ø ÛÒ Ò Ñ Ø Ò º º º ÈÖ Ø ³ ½ Ò Ó ÛÒ ØÖ ôòóù Ò Ø Ø Ó ÔÐ ÙÖ ÔÓÙ ÙÔÓØ ÒÓÒØ Ô Ø ÛÒ Ò º Ø Ò Ô Ü Ó Ù Ð Ø Ù Þ Ó ØÖ ÛÒ À ³ ØÛ ØÙÕ Ó Ñ Ó Ô ÒÛ Ø Ò ØÛ À Ò Õ Ö Ô Ø Ò Ò Ò Ñ Ø Ò º ÒôÒÓÙÑ Ø Ù À º ½ ΟπωςπροτείνειοΡάσσελστα Principia Mathematica. ½ ΣύμφωναμετονΠρόκλο,ηαπόδειξηαυτήςτηςπρότασηςοφείλεταιστονΘαλή. Μία προ Ευκλείδεια απόδειξη που χρησιμοποιεί μεικτέσ γωνίες και οφείλεται στον Αριστοτέλη παρατίθεται στον Heath, vol. I II, p.252. ½ Παραλείπουμετοεπόμενοσυμπέρασμαπουλέειότικαιοιεξωτερικέςγωνίεςείναιίσες. ½ Είναιηαντίστροφητηςα 5.

22 ¾¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ËÕ Ñ º¾ ÈÖ Ø ³ º ËØ Ô Ñ Ò Ó Ñ Ø ÕÒ Ø ÔÖôØ Ø Ø ØÛÒ ØÖ ôòûò À ØÓÙ Ö Ø ÖÓÙ Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ÛÒ Ñ Ø Ô Ð Ô ØÓ Ó Ö Ø Ö Ó Ø Ø À ½º ³ ÕÓÙÑ À À Ô Ø Ù Ö À Ø Ö À À º ¾º Ô Ø Ù ÕÓÙÑ Ø À Ô ÔÐ ÓÒ Ò Ó Ò ÔÐ ÙÖ Ô ØÓ ½µ ÕÓÙÑ À Ö Ô ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ô Ö ÕÓÑ Ò ÛÒ ÔÖÓ ÔØ À º Ã Ø Ð Ó Ù Ð Ò Ó ØÖ ÛÒ ÕÓÙÒ Ø Ó ÔÐ ÙÖ ÒØ ØÓ Õ Ø Ô Ö Õ Ñ ¹ Ò Ô Ø Ù ÛÒ ÒØ ØÓ Õ Ø Ø ÕÓÙÒ Ø ÒØ ØÓ Õ Ø Ó ØÖ ÛÒ Ò Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ó ÓÔÓ ÙÔÓØ ¹ ÒÓÒØ Ô Ø ÔÐ ÙÖ Ò Ñ Ø ÒØ ØÓ Õ ÐÓ Ô ÛÒ Çº º º º ÜÞÓÙÒ Ò ÕÓÐ Ó Ò Ó Ó Ô Ö ØÛ ØÖ ÔÓ Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ º À ÔÖôØ Ó Ð Ø ØÓÒ ÈÖ ÐÓ ÔÓÙ ÛÖ Ñ Ô ÒÛ Ø ÒØ ØÓ Õ ÒØ Ò ÔÖÓ Ø Ò Ø º Ã Ø Ø ÐÐ ÓÐÓÙ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ Ù Ð º Ç È ÔÔÓ Ø Ò Ô Ö ØÛ Ò ÖÓÙ Ô Ü Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ º

23 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË Â Åï ÄÁ ¾ ³ ØÛ Ò Ó Ð ØÖ ÛÒÓ ÔÓÙ Ò Ñ Ø Ò º ÛÖ ÓÙÑ ÙØ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Û Ó ØÖ ÛÒ Ô Õ Ö Ñ ØÓÐÓ Ó Ñ Û Ü Ó Ó Ó ÔÐ ÙÖ Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø º Ô Ø Ò º ³ Ö Ð Ø ÒØ ØÓ Õ Ñ Ö ØÓÙ ØÖ ôòóù Ò Ô Ö ô Ø Ó ÔÐ ÙÖ ÙÔÓØ ÒÓÒØ Ô Ø ÙØ Ø ÛÒ º ³ Ö Ó Ô Ö Ø Ò ÛÒ Ó ÐÓ ØÖ ôòóù Ò Çº º º º º½ ÈÖÓØ ³ ½ ËØ ÈÖÓØ Ó Ù Ð ÔÓ Ò ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ø ØÛÒ ØÖ ôò ÔÐ ÙÖôÒ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò Ñ Ó Ó Ø Ò Ô Ø Ö ÓÖ º Ç ÈÖÓØ ½ Ò ÖÛÑ Ò Ø Ó Ò Ø Ù ÔÖÛØ ÖÕ ÔÖÓØ Ø Ô Ô ÓÑ ØÖ ÕÓØ Ñ ÛÒ ôò Ù Ö ÑÑÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒ Ø Ù Ñ Ó ØÛÒ Ô Ö ÔÐ ÖÛÑ Ø ôò ÓÖ ôò ÛÒ ôòº ÈÖ Ø ³ ½ º Ò ÔÓ Ô Ø ÔÐ ÙÖ ØÖ ôòóù ÔÖÓ Ø ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ñ ØÛÒ ÛØ Ö ôò Ô Ò ÒØ ÛÒ ôòº Á ÕÙÖ Ñ º α = < δ = º Ã Ø Ù º ÕÓØÓÑÓ Ñ Ø Ò ØÓ ÖÒÓÙÑ Ø Ò Ø Ò ÔÖÓ Ø ÒÓÙÑ Ø ô Ø ÒôÒÓÙÑ ØÓ Ñ ØÓ ØÛ α = º Ô Ü ½º ÌÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ Ô ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ÛÒ º ³ Ö α = α ¾º ÐÐ α Ò Ñ ÖÓ Ø δ. ³ Ö α = α < δ Ô Ø Ò Ó Ò ÒÒÓ Çº º º Ò Ó Ù Ð Õ Ø ØÓÙ Ø ÛÖ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ ÙØ ØÓ Ñ Ó ÈÖ Ø ³ ½ ÔÖÓ ÙÔØ Û Ø ØÖ ÑÑ ÒÓ Ô Ö Ñ Ø ÈÖ Ø ³ ¾ Ô Ö ØÓÙ ÖÓ Ñ ØÓ ØÛÒ ÛÒ ôò ØÖ ôòóù Ð ÔÓÙÑ ÑÛ Ô Ó ÔÖÓ ¹ Ø ÔÖÓÕÛÖ º ÙÞ Ø ÓÙÑ ÙØ ØÓ Ñ Ó Ø ÒÒ Ø Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ ½ Ñ Ø Ò Ó ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒº

24 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º À Ô Ü Ò ÔÖ Ñ Ø Ù Ù º à ÔÓ Ó ÑÔÓÖ Ò ÔÛ Ó Ù Ö Õ Ø Ò ÔÐ ÔÖÓ Ø Ø Ò ØÓ Õ Ñ º Ò Ð ÔÓÙÑ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ô Û Ô Ø Ò Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ ½ º Ë ÙØ ØÓ Ø Ó ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ô Ö ÐÐ Ð Ò ÕÓÙÑ α = α Ø ÑÒ Ø Ó Ô Ö ÐÐ Ð º Ô ÔÐ ÓÒ ØÓ Ò ØÓ Ñ Ó ØÓÑ ØÛÒ ÛÒÛÒº È Ö³ Ð ÙØ ÙØ Ò ÓÙ Ø Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½ Ò ÙÒ Ø Ò ÔÓ ÓÙÑ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ø ³ º ¾¼ Ô Ø Ò ÐÐ ÙÔ ÖÕ Ò Õ Ñ Ø Ò Ô Ü º Ç ÕÙÖ Ñ Ø α Ò Ñ ÖÓ Ø δ Ò ÓÐÓ Ø Ô Ø Ü ôñ Ø º Ô ÔÐ ÓÒ ÔÖ Ø Ò Õ ÐÐ ÛÑ ØÖ ÔÛ ÐºÕº Ö º ¾½ ¾¼ ΗεπιδεξιότητατουΕυκλείδηφαίνεταιαπότηνικανότητάτουνασυνδέσειτηνα 16μετο σημαντικό θεώρημα α 20, την τριγωνική ανισότητα και την α 27, την ύπαρξη των παραλλήλων ¾½ ΟΜενέλαος, πουέγραψεπερίσφαιρικήςγεωμετρίαςτο100μ.χ. σίγουραήξερετο φαινόμενο.

25 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË Â Åï ÄÁ ¾ º º¾ ÈÖÓØ ³ ½ ¾¼ À ÈÖ Ø ³ ½ Ò Ô Ö Ñ Ø ³ ½ º È Ð Ò Ñ Ò ÓÕ Ø ³ ¾ Ô Ö ØÓÙ ÖÓ Ñ ØÓ ÛÒ ôò ØÖ ôòóù ÈÖ Ø ³ ½ º ÌÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó ÛÒ ôò ØÖ ôòóù Ò Ñ Ö Ø ÖÓ Ô Ó ÓÖ Ñ ÔÓ Ó ØÖ ÔÓ Ò ÙØ Ð Ó Òº ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º À ÈÖ Ø ³ ½ Ñ Ð Ø ØÖ ÛÒÓ Ñ Ð Ø Ö ÔÐ ÙÖ Ù¹ ÔÓØ Ò Ø Ñ Ð Ø Ö ÛÒ ³ ½ Ò ÒØ ØÖÓ Ø º ÙØ Ó ÔÖÓØ Ó Ó Ò Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø ÈÖ Ø ³ ¾¼º ÌÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó ÔÐ ÙÖôÒ ØÖ ôòóù Ò Ô ÒØ Ñ Ð Ø ÖÓ Ô Ø Ò ÐÐ ÔÐ ÙÖ Ñ ÔÓ Ó ØÖ ÔÓ Ò ÙØ Ð Ó Òº ËÕÓÐ Þ Ó ÈÖ ÐÓ Ç Ô Ó Ö Ó ÔÓÙ ÐÓÙÒ Ò ÐÓ ÓÔÓ ÓÙÒ ÙØ ØÓ ôö Ñ Ð Ò Ø Ò ÔÖÓ Ò Ñ Ò ÖÓ Ò ÕÖ Þ Ø Ô Ü º º º ØÓ ÙÑÔ Ö ÒÓÙÒ ÙØ Ô Ø Ò Ô Ö Ø Ö Ø Ò ØÓ Ø ÕÙ ØÓÔÓ Ø ØÓ Ò ÖÓ Ñ ÔÐ ÙÖ Ò Ô Ò Ñ ÒÓ ÖÓ ÔÓÙ Ö Ø ØÓ ÐÐÓ ÖÓ Ø ÔÐ ÙÖ Ô ÖÔ Ø Ô ÒÛ Ø Ò ÔÐ ÙÖ ÔÓÙ Ö Ø Ò Ô ØÓ Ø ÕÙ Ñ Û ØÛÒ Ó ÐÐÛÒ ¾¾ ¾¾ ΟισημερινοίΕπικούρειοιθαμπορούσανίσωςναπροσθέσουνκάτιγιααυτούςπουδιασχίζουντογρασσίδιγιασυντομία,κατάτοντρόποτουγαϊδάρου...

26 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ Ç ÈÖ ÐÓ Ô ÒØ Û Ø Ø Ñ ÔÐ ÒØÐ Ý Ø Ð Ò ÔÓ¹ Ø Ð Ô Ø ÑÓÒ Ô Ü º ËØ Ò Ô ÖÔØÛ Ø Ù Ð ÛÑ ØÖ ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø ÑÔÓÖ ÔÖ Ñ Ø Ò Ô Ö Õ Ô Ø ÐÐ Ü ÓÙ ÐÓ Ü ôñ Ø º Ô Ø Ò ÐÐ Ó Ô Ó Ö Ó Ö ÞÓÙÒ Ø Ò ÕÖÓÒ ÛÖ ØÛÒ Ñ ØÖ ôò ÕôÖÛÒ ÔÓÙ ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø Ò ØÓ Ñ Ð ô ÜÛÑ ØÓÙ ÐÓÙ Ó Ó ÓÑ Ñ ØÓº º º ÈÖÓØ ³ ¾½ ¾ º ÌÖ Ô Ø Ò ÔÓÑ Ò ÔÖÓØ ØÓÙ Å ÖÓÙ ÓÖÓ Ò Ø ÓÐ Õ Ñ Ø Ü ÔÐ ÙÖôÒ ÛÒ ôò Ò ØÖ ôòóù ¾½ ¾ ¾ º À ÈÖ Ø ³ ¾¾ Ø Ò Ø Ù Ò ØÖ ôòóù Ô Ø ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ÙÔ Ø Ò ÙÒ Ø Õ ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø º Ç Ù Ð ØÓ ÕÖ ÑÓÔÓ ÙØ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ¾ Ò Ü ÔÛ ÒØ Ö ÓÙÑ Ñ ÛÒ º Ì ÙÔ ÐÓ Ô Ö Ø Ö Ø Ø ØÖ ôòûò ÔÖÓ ÓÐÐôÒØ Ø Ò ³ ¾ Û Ò Ó Õ Ð ÖÓ ÖÓÙº º ÐÓ ³ Å ÖÓ Â ÛÖ ØÛÒ Ô Ö Ð¹ Ð ÐÛÒ Ä Ó ÇÖ Ñ ³ ¾ ØÓÙ Ù Ð Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ù ¾ È Ö ÐÐ Ð Ò Ó Ù Ó ÓÔÓ Ò ØÓ Ó ÔÔ Ó ÔÖÓ Ø Ò ¹ Ñ Ò Ô ÖÛ ¾ Ô Ø Ó Ñ Ö ¾ Ò ÙÑÔÔØÓÙÒ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ò Ò Ô ÙØ Ø Ñ Ö µº ËÕ Ø Ñ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ù Ò ØÓ Ô Ö ÑÓ Ó Ø Ñ ¾ ÜÛÑ º Ã Ò Ñ Ù ÑÔÔØ ¾ Ó ÐÐ Ù Ø ô Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ¾ ÒØ Ô Ø ÙØ Ñ Ö ÛÒ ôò ¾ Ò Ò Ñ Ö Ø ÖÓ ØÛÒ ¾ ΚατάτονΑριστοτέλη,παράλληλεςευθείεςείναιαυτέςπουδεντέμνονται.Γιαδιάφορους άλλους ορισμούς, αρχαίους και σύγχρονους, παραπέμπουμε στον Heath, Vol I, σελ ¾ ΟΕυκλείδηςλέγειεκβαλλόμεναιειςάπειρον.Δενμεταφράζουμεόμωςπροεκτεινόμενες στο άπειρο διότι τότε θα πρέπει να ορίσουμε το άπειρο. Η μετάφρασή μας απλώς σημαίνει απεριόριστα. ¾ Δηλαδήαπόκάθεμίακατεύθυνση. ¾ ΤοΚεφάλαιο4πουακολουθείείναιαφιερωμένοστηνιστορίατου5ουΑιτήματος. ¾ =διασχίζει,τέμνει.σταεπόμεναδιατηρούμετοευκλείδειο εμπίπτει αντίτου τέμνει. ¾ ΟΕυκλείδηςδενγράφειτηνλέξη άθροισμα αλλατηνεννοείσαφώς. ¾ Αφήνουμεαμετάφραστοτπ εντόςκαιεπίτααυτάμέρηγωνιών αντίτου εσωτερικών

27 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Êï ÄÄÀÄ Ë ¾ Ó ÓÖ ôò Ø Ø Ø Ò Ô Ö ÔÖÓ Ø ØÓÙ Ó Ó Ù Ø ÑÒÓÒØ Ô ØÓ Ñ ÖÓ ÔÓÙ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÛÒ ôò Ò Ñ Ö Ø ÖÓ ØÛÒ Ó ÓÖ ôòº Å Ó Ò Ñ ÓÕ ØÓÙ ÓÙ Ø Ñ ØÓ ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ø Ò ¹ ÕÖÓÒ ÛÑ ØÖ ÑÔÓÖ Ò ØÙÔÛ Û Ü ³ ØÛ Ù Ñ Ó Ë Ø ÙØ º ÍÔ ÖÕ ÑÓÒ Ù ³ ÔÓÙ ÖÕ Ø Ô ØÓ Ë Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ò º À Ò ØÓÙ Ù Ð Ò ØÓ Ó Ø Ñ Ø Ò Ò ÔÓ Ü Ø Ò ÈÖ Ø ³ ¾ º ÈÖ Ò Ô ÙØ Ò ÔÓ Ò Ø Ò ÈÖ Ø ³ ¾ º ¼ Ò Ñ Ù ÑÔÔØ Ó ÐÐ Ù Ø ô Ø Ó Ò ÐÐ Ü ½ Û¹ Ò ¾ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ Ø Ø Ó Ó Ù Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ü ØÓÙº Ø Ò Ò Ó Ù Ò ÑÔÔØÓÙ Ø Ø Ó Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº Ä Û Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ò º Ô Ü Ø Ò Ò Ø Ò ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ó ÙÑÔ ÓÙÒ Ø Ô ØÓ Ñ ÖÓ ØÛÒ Ô ØÛÒ º ÔÖÓ Ø Ó Ò ÙÑÔ ÓÙÒ ØÓ À Ô ØÓ Ñ ÖÓ ØÛÒ º καιαπότοίδιομέροςγωνιών. ¼ ΗΠρότασηαυτήόπωςκαιηακόλουθηα 28ήτανγνωστέςστονΑριστοτέλη. ½ Προφανώςεννοείτιςεντόςεναλλάξ ¾ Απότηνδεύτερηεκφώνησηπουακολουθεί,φαίνεταιότιεννοείτιςεντόςεναλλάξγωνίες. ΟΝτεΜόργκανπαρατήρησεότιηΠρότασηα 27είναιλογικάισοδύναμητηςΠρότασης α 16: ΕστωΑηπρότασηευθείεςσχηματίζουντρίγωνομεμίαεμπίπτουσακαιΒηπρόταση ευθείες σχηματίζουν γωνίες με μία εμπίπτουσα στο ίδιο μέρος που το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι μικρότερο από δύο ορθές, έχουμε του οποίου το λογικό ισοδύναμο είναι A = B όχι B = όχι A. ΛόγωτουΟρισμού23.

28 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ¾ º Ì Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ À ÜÛØ Ö ÛÒ ÔÖ Ô Ò Ò Ñ Ø Ò ÛØ Ö Ô Ò ÒØ ÛÒ À ÔÖ Ñ Ò ØÓº ³ Ö ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ó Ò ÙÑÔÔØÓÙÒ Ô ØÓ Ñ ÖÓ ØÛÒ º ³ÇÑÓ ÑÔÓÖ Ò Õ Ø Ò ÙÑÔÔØÓÙÒ Ô ØÓ Ñ ÖÓ ØÛÒ º ÐÐ Ù ÔÓÙ Ò ÙÑÔÔØÓÙÒ Ô Ò Ò Ñ ÖÓ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ö Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ò º ³ Ö Ò Ñ Ù Ø ÑÒ Ó ÐÐ Ù Ø ô Ø Ó Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ Ø Ø Ó Ó Ù Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ü ØÓ٠Ǻ º º À ÈÖ Ø ³ ¾ Ò Ñ ÕÖ Ñ Ô Ö ÐÐ Ø ¾ ÈÖ Ø ³ ¾ º Ò Ñ Ù ÑÔÔØ Ó ÐÐ Ù Ø ô Ø Ó ÒØ Ô Ø ÙØ Ñ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÒØ Ø Ô Ø ÙØ Ñ Ö ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ Ø Ø Ó Ó Ù Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ü ØÓÙº ÌÓ Ó ÜÛÑ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø ØôÖ Ø Ò Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ ¾ º ÈÖ Ø ³ ¾ º À Ù ÔÓÙ ÑÔÔØ Ó Ô Ö ÐÐ Ð Ù Ò Ø Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ø Ò Ø Ñ Ø Ò ÒØ Ô Ò ÒØ Ø ÖÓ Ñ ØÛÒ ÒØ Ô Ø ÙØ Ñ Ö ÛÒ ôò Ó Ñ Ó ÓÖ º Ø ØÛ Ø Ù ÑÔÔØ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ù Ð Û Ø Ò Ø Ò ÐÐ Ü ÛÒ À ÀÂ Ø Ò Ø ÛÒ À ΑπότηνΠρότασηα 16.

29 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Êï ÄÄÀÄ Ë ¾ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ¾ º Ñ Ø Ò ÒØ Ô Ò ÒØ ÛÒ ÀÂ Ø ÖÓ Ñ ØÛÒ ÒØ Ô Ø ÙØ Ñ Ö ÛÒ ôò À ÀÂ Ó Ñ Ó ÓÖ º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ¾ º Ô Ü º Ø ØÛ ÓØ Ó ÛÒ À ÀÂ Ò Ò º Ì Ø Ñ Ô ÙØ Ò Ñ Ð Ø Ö º ³ ØÛ Ø Ñ Ð Ø Ö Ò Àº ³ ØÛ Ø À ÔÖÓ Ø Ø Ø Ó Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À ÀÂ Ò Ñ Ð Ø ÖÓ Ô ØÓ ÖÓ Ñ

30 ¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ØÛÒ À À º ÐÐ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À ÀÂ Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À ÀÂ Ò Ñ Ö Ø ÖÓ Ô Ó ÓÖ º Ç Ù ÔÓÙ ÔÖÓ Ø ÒÓÒØ Ô ÖÛ Ô ÛØ Ö ÛÒ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ ØÓ ÖÓ Ñ Ò Ñ Ö Ø ÖÓ ØÛÒ Ó ÓÖ ôò ÙÑÔÔØÓÙÒº ³ Ö Ó Ô Ö ÔÖÓ Ø ØÛÒ ÙÑÔ ÓÙÒ ÐÐ Ò ÙÑÔÔØÓÙÒ Ø ÙÔÓØ Ø ÙØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð º ³ Ö Ò Ò Ò Ó À ÀÂ Ö Ò º ÐÐ ÀÂ Ò Ñ Ø Ò À À Ò Ñ Ø Ò À º ÈÖÓ Ø Ø Ø Ó ÀÂ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À Àµ Ó Ø Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À ÂÀ º ÐÐ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À ÀÂ Ó Ø Ñ Ó ÓÖ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À ÀÂ Ó Ø Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö Ù ÔÓÙ ÑÔÔØ Ó Ô Ö ÐÐ Ð Ù Ò Ø Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ø Ò Ø Ñ Ø Ò ÒØ Ô Ò ÒØ Ø ÖÓ Ñ ØÛÒ ÒØ Ô Ø ÙØ Ñ Ö ÛÒ ôò Ó Ñ Ó ÓÖ Çº º º À ÈÖ Ø ³ ¼ ÕÒ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÈÖ Ø ³ ½ Ü Ö ÙÒ Ø Ò Ø Ù Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ô Ò ÐÐ Ü ÛÒ º ÈÖ Ø ³ ¾º Ë ØÖ ÛÒÓ Ò Ñ ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ø Ø Ø ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó Ô Ò ÒØ ÛØ Ö ôò ÛÒ ôò ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÖ ôò ÛØ Ö ôò ÛÒ ôò ØÓÙ ØÖ ôòóù Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ ØÛ ØÖ ÛÒÓ ØÓ ØÛ Ø Ñ ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ø Ò Ø Ô ØÓ Ð Û Ø ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó ÛØ Ö ôò Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÖ ôò ÛØ Ö ôò ÛÒ ôò ØÓÙ ØÖ ôòóù Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º Ô Ü º Õ Ô ØÓ Ñ Ó Ù Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ò º Ã Ô Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ò ÑÔÔØ ÙØ Ó Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº È Ð Ô Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ò ÑÔÔØ ÙØ ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø Ò ÛØ Ö Ô Ò ÒØ º Λόγωτου5ουΑξιώματος. Πρότασηα 31. Πρότασηα 29. ό.π.

31 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Êï ÄÄÀÄ Ë ½ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ¾º ÐÐ Õ Ø Ò Ñ Ø Ò Ö Ð ÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó ÛØ Ö ôò Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò º ÈÖÓ Ø Ø ÙØ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ º ÐÐ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ¼ ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö ØÖ ÛÒÓ Ò Ñ ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ø Ø Ø ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó Ô Ò ÒØ ÛØ Ö ôò ÛÒ ôò ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÖ ôò ÛØ Ö ôò ÛÒ ôò ØÓÙ ØÖ ôòóù Ò Ó Ñ Ó ÓÖ Çº º º ÌÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÛÒ ôò Ò ØÖ ôòóù Ò Ñ ÒØ Ø Ö Ñ Ð Û¹ Ø Ö Ò ÐÐÓÛØ Ø ÕÖÓÒ ÛÑ ØÖ º Ò Ü ÖØ Ø Ô ØÓ Õ Ñ ØÓÙ ØÖ ôòóù ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÛÒ ôò ØÓÙ Ò Ô ÒØÓØ Ó Ñ Ó ÓÖ ½ ¼ ÑÓÖ πºµ ÌÓ ØÓ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ø Ó ÙÕÒ ÔÓÙ Ø ÒÓÙÑ Ò Ð ÑÓ¹ ÒÓ Ñ Ø Ñ ØÓÙº Ç Heath Ö Ø ØÓ ÔÓØ Ð Ñ ÙØ Ò Ð Ø ÔÓÐ ÔÖô Ñ Ø Ø ÐÐ Ò ÛÑ ØÖ º Ø Ò ØÓÖ ØÓÙ ÕÓÙÒ Ö Ý Ó ÙØ Ó Ó ÈÖ ÐÓ Ó Ó Ò Ä ÖØ Óº ½ Å ÔÖôØ Ñ ÔÔØÛ Ò Ó Ø ÔÓ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÛØ Ö ôò ÛÒ ôò Ò ÙÖØÓ ÔÓÐÙ ôòóùº Ò ÙØ Õ n ÓÖÙ ÑÔÓÖ Ò ØÑ ¼ Πρότασηα 13 ½ Βλ. Heath, Vol. I, p

32 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ n 2 ØÖ ÛÒ Õ ÖÓ Ñ ÛÒ ôò Ó Ñ 2(n 2) ÓÖ = (n 2)πµº ¾ À ÈÖ Ø ³ ¾ Õ Ö Ø Ö Ô Ü Ö ÐÓ Ø ÐÓ Ó º Ò Ö Ó ÑÑ ÒÓÙ Ð Ã ÒØ Ø Ò ÃÖ Ø ØÓÙ Ã ÖÓ Ä ÓÙ Ø ÔÖ Ø ÙØ Ò Ô ÑÔØÓÙ ÙØÓ ÔÓÙ Ð ÙÒ Ø ØÛÒ ÔÖÓØ ÖÛÒ Ö Ð Ò Ò ÙÑÔ Ö Ñ Ô ÐÙØ Ø Ø Ò Ü ÖØ ØÓ Ø ÑÔ Ö ÔÓÙ ÔÖÓ Ø Ø Ò Òô Ñ º Ç ÓÑÔ ËØ Ò Ö ½ ½ µ Ö Ñ ÔÓÐ Ñ ÒØ Ô ÖÖÓ Ø ÈÖ Ø ³ ¾º ÉÖ ÑÓÔÓ ØÓÒ Ø ÔÓ (n 2)π Ò ô Ñ ÔÐ Ô Ü ØÓÙ Ø ÔÓÙ ØÓÙ ³Ç ÙÐ Ö Ø ÙÖØ ÔÓÐ Ö Ò Ò Ø ØÓ Ó ÔÓÐ ÖÓ Õ K ÓÖÙ A Ñ E Ö Ø Ø K + E A = 2. ËÙÒ Ôô ÔÐ Ò ÐÐÓÛØÓ ØÛÒ ØÖ ôòûò ÔÖÓÕÛÖ Ø Ó Ñ ÖÙ Ó Ñ ¹ ÕÖ Ø Ò Ô Ü Ñ ØÛÒ ÔÐ ÓÒ Ñ ÒØ ôò Ò ÐÐÓ ôøûò Ø Ò ÕÖÓÒ Ð Ö ØÓÔÓÐÓ Ø Õ Ö Ø Ö Ø ³Ç ÙÐ Ö Ø Ò ÔÖôØ Ò Ø Ô ÖÔØÛ ØÛÒ ÙÖØôÒ ÔÓÐÙ ÖÛÒº º ÐÓ ³ Å ÖÓ È Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ñ ØÓÙ ËØÓ Å ÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ö ÓÙÑ Ñ Ù Ø Ñ Ø Ñ Ð Ø ØÛÒ Ù Õ Ø ¹ ÛÒ ØÛÒ ÒÒÓ ôò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ØÓÙ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ º Ç Ù Ð ÓÖÞ ÖÛÒ ôò Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ Õ Ñ Ø ØÓÒ ÇÖ Ñ ¾¾ ÐÐ Õ Ø Ô ¹ Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ Ô ÞÓÙÒ ÙØ ØÓ Å ÖÓº ÒØ ÙØ Ø Ñ Þ Ñ Ø ØÓÙ Ø Ø Ø ÙÑÑ ØÖ Ø ÈÖÓØ º ÈÖ Ø ³ º Ç Ù ÔÓÙ ÙÒ ÓÙÒ Ô Ø ÙØ Ñ Ö Ô Ö ÐÐ Ð Ù Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ Ô Ö ÐÐ Ð º ¾ ΑυτόαποδεικνύεταιαπότονΠρόκλοστασχόλιάτουστηνΠρότασηα 32. Μάλιστα προσθέτει:..η ιδιότητα ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ισούται με δύο ορθές είναι μία ουσιαστική ιδιότητα για(χαρακτηρίζει) ένα τρίγωνο. Ο όρος ουσιαστική ιδιότητα είναι αριστοτέλειος. ΣύμφωναμετονΠρόκλο,ηπρότασηαυτήείναιοσυνδετικόςκρίκοςτηςθεωρίαςτων παραλλήλων και της διαπραγμάτευσης των παραλληλογράμμων. Διότι, ενώ μιλά μόνο για παράλληλες και ίσες ευθείες που συνδέονται επί τα αυτά μέρη, δίδει, χωρίς να το εκφράζει

33 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Ê ÄÄÀÄïÇ Ê ÅÅ ³ ØÛ Ø Ó Ò Ô Ö ÐÐ Ð ØÛ Ó Ù ÔÓÙ Ø ÙÒ ÓÙÒ Ô Ø ÙØ Ñ Ö Ð Û Ø Ó Ò Ô Ö ÐÐ Ð º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ º Ô Ü º ÙÒ º Ã Ô Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ò Õ ÑÔ ÙØ Ó Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº Ã Ô Ò Ñ Ø Ò Ò Ó Ò Ó Ò Ñ Ø º à ÛÒ Ò Ñ Ø º ³ Ö Ò Ñ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ô Ø ÓÔÓ ÙÔÓØ ÒÓÒØ Ó ÔÐ ÙÖ Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø ÐÓ Ô ÛÒ º ³ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø º Ã Ô ÑÔÔØÓÙ Ø Ó Ù Ò Ø Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ò º Õ Ø Ò Ñ Ø Ò º ³ Ö Ó Ù ÔÓÙ ÙÒ ÓÙÒ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ø ÙØ Ñ Ö Ù Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ Ô Ö ÐРРǺ º º ÈÖ Ø ³ º ρητά, την κατασκευή του παραλληλογράμμου. Ετσι, στην επόμενη ακριβώς πρόταση, αναφέρει παραλληλόγραμμα χωρία χωρίς καμμία άλλη εξήγηση.

34 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ Ç Ô Ò ÒØ ÔÐ ÙÖ Ó Ô Ò ÒØ ÛÒ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ Ñ ØÖÓ Ø ÕÓØÓÑ º ³ÇÔÛ Ð ÔÓÙÑ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ø Ó Ù Ð Ñ Ð ô ѹ ÕÛÖ Ò Ò Ö Ø Ò Ð Ü ÙØ ÙØ Ó Ø ô ÐÐ Ó Ø Ø Ô Ñ Ò ÔÖÓØ º ËØÒ Ñ Ö Ò ØÓÙ ÞÛ Ó ³ ÐÐ Ò Ñ ØÖÓ Ò Ø Ô Ö ÓÙ ØÓÙ ÐÐÛ Ø Ð Ü ÛÑ ØÖ Ñ Ò Ö ô ÙØ Ð ÔÖÓ ÖØÓ Ò Ò Ò Ö Ñ ÔÓ Ó Ù Ö Ñ ÒÓ ÔÓÐÙ ÛÒ µ Õ Ñ º ËØ Ñ Ñ Ø Ü ÖÓÙÑ Ø ÙØ Ò Ò ØÔÓØ ÐÐÓ Ô Ñ ÙÒ ÖØ ÑÓÐ ¹ Ø Ø ÒÒÓ Ø ÙÒ ÖØ Ò Ü Ò Ø ËØÓ Õ º Ç Ù Ð Ò Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ñ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ò Ò ÓÙ Ø ÔÓÙ ÔÓÙ Ö ¹ Þ Ò Ò ÕÓÑ ÒÛ ÔÓ ÙÒ ÖØ º Ä Ó Hartshorne ØÓ Ã º Áº ØÓÙ ÐÓÙ ØÓÙ The Theory of Area Ô ØÓÒ ØÖ ÔÓ ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ù Ð Ø Ò ÒÒÓ ØÓÙ Ñ Ó ÙÒ Ø Ø Ø Ò ÛÖ Û Ñ Õ Ó ÙÒ Ñ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ø Ó Ò ÒÒÓ º Ø Ö ½º ³Á ÕÛÖ ÕÓÙÒ Ó Ô Ö Õ Ñ ÒÓº ¾º Ò Ó ÕÛÖ ÕÓÙÒ Ó Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ñ ÔÓ Ó ØÖØÓ Ø Ø ÕÓÙÒ Ó Ô Ö Õ Ñ ÒÓº º Ò Þ ÕÛÖÛÒ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ ÔÖÓ Ø Ó Ò Ø ØÖ ÔÓÒ ô Ø Ò Ñ Ò Ô Ð ÔØÓÒØ Ò Õ Ñ Ø ÓÙÒ Ñ Ð Ø Ö ÕÛÖ Ø Ø Ø ÔÖÓ ÔØÓÒØ ÕÛÖ Ò ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙº º ÌÓ Ó Ø Ò Ö Õ Ñ ØÛÒº Ë Ñ ÛØ ÓÒ Ø Ø Ø Ô Ö ¹ ÕÓÑ ÒÓÙ ØÛÒ ÖÓÙÑ ÒÛÒ ÕÛÖÛÒ Ò Ü ÖØ Ø Ô ØÓ ÔÓÙ ÖÓ ÒØ Ø ÕÛÖ ÙØ º ΟΕυκλείδηςλέγει τωνπαραλληλογράμμωνχωρίων καιμετονόροαυτόεννοείχωρία φραγμένα από παράλληλες ευθείες με τον επιπλέον περιορισμό ότι κάτι τέτοιο μπορεί να ισχύει μόνο για τετράπλευρα σχήματα. Ο όρος παραλληλόγραμμο είναι Ευκλείδειος, σύμφωνα με τον Πρόκλο. =διαγώνιοςτουπαραλληλογράμμου.οόρος διάμετρος χρησιμοπιήθηκεπαντοιοτρόπως από τους μαθηματικούς της αρχαιότητας. Λέγει λόγου χάρη ο Απολλώνιος στα Κωνικά : Σε κάθε καμφθείσα καμπύλη του επιπέδου, ονομάζω διάμετρο κάθε ευθεία που φερόμενη από την δοθείσα καμπύλη, διχοτομεί όλες τις ευθείες(χορδές) που φέρονται από την καμπύλη προς δοθείσα ευθεία. Εδώ καμπύλη είναι, όπως λ.χ, στον Αρχιμήδη, κάθε σύνθετη γραμμή που αποτελείται από ευθείες και καμπύλες που συνδέονται με οποιοδήποτε τρόπο μεταξύτους.

35 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Ê ÄÄÀÄïÇ Ê ÅÅ º ÀÑ ÕÛÖ ÕÛÖÛÒ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ ÕÓÙÒ Ó Ô Ö Õ Ñ ÒÓº º ÌÓ ÐÓÒ Ò Ñ Ð Ø ÖÓ ØÓÙ Ñ ÖÓÙ ØÓ ÓÔÓÓ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ Ñ Ò Ø Ò Ò ÕÛÖÓ Ô Ö Õ Ø ÔÐ ÖÛ Ò ÐÐÓ Ø Ø Ø Ó ÕÛÖ Ò ÑÔÓÖ Ò Ò ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙº ÈÖÓ ÔØ Ø ØÓ Ñ Ó ÙØ Ó Ù Ð Ñ Ò Ñ ÓÖ Ñ Ò ÒÒÓ ÙØ ØÓÙ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ø Ø Ø ÔÛ Ð Ó Ó ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ø Û Ò Ü ôñ Ø ÔÓÙ Õ Ö Ø ÖÞÓÙÒ Ø Ò ÒÒÓ ÙØ º ÈÖ Ø ³ º Ì Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ü ØÛÒ ÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº ³ ØÛ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ø Ô ÒÛ Ø Ò Ñ Ø Ü ØÛÒ ÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ ØÛÒ Ð Û Ø ØÓ Ò Ó Ñ ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ º ËÕ Ñ º½¼ ÈÖ Ø ³ º Ô Ü º ΑυτόχρησιμοποιείταιστηναπόδειξητηςΠρότασηςα 37. ΤούτοχρησιμοποιείταιστηναπόδειξητηςΠρότασηςα 39. ΟΠρόκλοςλέγει,ότιτούτηηπρότασηείανιτοπρώτοτοπικόνθεώρηματουΕυκλείδη: δηλαδή αναφέρεται σε γεωμετρικούς τόπους. Το σχόλιο του Πρόκλου είναι σημαντικό, διότι, στον ίδιο, τον Ευτόκιο και τον Πάππο μπορούμε μόνο να βασιστούμε για το οτιδήποτε είναι γνωστό από την αρχαιότητα περί γεωμετρικών τόπων. Αλλά ας δούμε τον ορισμό του Πρόκλου: Καλώ τόπον γραμμής ή επιφανείας θέσιν ποιούσαν έν και το αυτόν σύμπτωμα.

36 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ Ø Ô ØÓ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ò Ñ Ø Ò º ØÓÒ Ó Ð Ó Ò Ñ Ø Ò º ³Ï Ø Ò Ñ Ø Ò Ò Ó Ò Ö Ð Ò Ñ Ð Ø Ò º Ò ÑÛ Ñ Ø Ò Ö Ó Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø º à ÒØ ÛÒ Ò Ñ Ø Ò Ø ÛÒ º ³ Ö Ò Ñ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ º Ö Ø ØÓ Ó Ò À ØÓ ÐÓ Ô ØÖ Ô Þ Ó À Ò Ó Ñ ØÓ ÐÓ Ô ØÖ Ô Þ Ó À Ò Ó Ò ØÓ À ØÖ ÛÒÓº ³ Ö ÐÓ ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ò Ó Ñ ÐÓ ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ º ³ Ö Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ü ØÛÒ ÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓ٠Ǻ º º È Ö ÐÐ Ø Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ø Ò ÈÖ Ø ³ º Ì Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ñ Ø Ü ØÛÒ ÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº Ç ÈÖ Ø ³ ¼ Ð Ò Ô Ö ÑÓ ÔÖ Ñ Ø ØÖ ÛÒ ÈÖ Ø ³ ½ ÙÒ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ØÖ ÛÒ º ËØÓ Ñ Ó ÙØ ÛÖ ØÓÙ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ð ôò Ø Ó Ø Ù Ò º Ç ÔÖôØÓ Ð Ó Ó Ø Ù Ò ØÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ ÈÖÓØ ³ µ Ó Ø ÖÓ Ð Ó Ñ Û ØÛÒ ÈÖÓØ ÛÒ ³ ¾ ØÓ Ñ ÒØ ÔÓØ Ð Ñ Ø ÈÖ Ø ³ ½ Ò ÙÒ Ø Ò Ø Ù Ø Ø ØÖ ÛÒÓ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ñ ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ ÕÛÖÓº ³À Ñ ÐÐ Ð Ç Ó ÔÓØ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ Ø ØÖ ÛÒÞ Ø º ËØ Ö ÑÑ ØÓÙ Ù Ð ÙÞ ØÓ Ñ Ô Ö ØÛ Ø ÈÖÓØ ³ ¾ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ó ÙÒ Õ Ö ÓÒØ ØÓ ÐÓ ³º ÈÖ Ø ³ ¾º ΣύμφωναμετονΠρόκλο,οιΠροτάσειςα 35και36ανήκουνσεαυτόπουοιΑρχαίοι Ελληνες ονόμαζαν ο παράδοξος τόπος υπό την έννοια ότι φαίνεται παράδοξο στον αρχάριο ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου παραμένει αναλλοίωτο, ενώ κάποια μήκη πλευρών μπορούν να αυξηθούν απεριόριστα! Ο παράδοξος τόπος, ή τόπος αναλυόμενος, ή τόπος αστρονομούμενος ήταν η συλλογή τέτοιων προτάσεων, σε αντιστοιχία με τα δείγματα των Στωϊκών.

37 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Ê ÄÄÀÄïÇ Ê ÅÅ Æ Ø Ù Ø Ó Ù Ö ÑÑ ÛÒ ¼ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ó Ñ Ó Ò ØÖ ÛÒÓº À Ô Ü Ò Ö Ø ÓÐ º Ø ØÓ Ô Ö ØÛ Õ Ñ ÔÓÙ Ø ØÓ ØÓ Ò ØÓ Ñ ÓÒ ØÓÙ º ËÕ Ñ º½½ ÈÖ Ø ³ ¾º ÈÖ Ø ³ º Ë Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ø Ô Ö ÔÐ ÖôÑ Ø ½ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑÛÒ ÖÛ Ô Ø ôò Ó Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº ÌÓ Ô Ö ØÛ Õ Ñ Õ Ñ ½½µÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ü Ò Ü Ò Ø ËØÓ Õ Ø Ò ÓÖ Ó ôò ØÓÙ Ó º Å Ð Ø Ö Ø ÓÖ Ó Ù Ð ØÓ Ð ¼ ΗδοθείσαγωνίαθαείναιορθήστιςεπόμενεςεφαρμογέςτουΕυκλείδη. Γιααυτότο λόγο, μπορούμε κάλλιστα να περιοριστούμε σ αυτήν την περίπτωση στις επόμενες προτάσεις. Δηλαδή στις Προτάσεις α μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα παραλληλόγραμμο και δοθείσα γωνία με τα ορθογώνιο και ορθή γωνία, αντίστοιχα. Το Βιβλίο β ασχολείται μόνο με ορθογώνια. ½ Οόροςαυτόςεξηγείταιπαρακάτω.

38 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ÔÐô ØÓ Õ Ñ º ÌÓ Ñ Ó Ã Ø ÛÒÓÙ ØÓÙ Ó Ù ÀÂ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø ÔÐ ÙÖ º Ç Ù Ð ÐôÒ ØÓ Àà ÔÐô Ñ Ã ØÓ Ã Â Ñ Ã º ÌÓ Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ò Ø Ð Ñ Ò Ô Ö ÔÐ ÖôÑ Ø º ËÕ Ñ º½¾ ÈÖ Ø ³ º Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ º Ô Ø Ò ÈÖ Ø ³ º È Ö ÑÓ Àà à ÃÀ º ÖôÒØ Ø Ó Ñ Ö Ø Ö ØÖ ÛÒ Ô ØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ ÔÐ ÙÖ Ø ÛÒÓÙ ÔÖÓ ÔØ ØÓ ÔÓØ Ð Ñ º ÈÖ Ø ³ º Æ ÖÑÓ Ø ¾ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ó Ñ Ó Ò ØÖ ÛÒÓ Ô ÒÛ Ó Ù Ñ ÓÑ Ò ÛÒ º Ã Ø Ù º ³ ØÛ ØÓ Ù ÔÛ ØÓ Õ Ñ º½¾º à ¹ Ø Ù ÞÓÙÑ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ À ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ñ ØÓ Ñ Û Ø ÈÖ Ø ³ ¾º ÌÓ ØÓÔÓ ØÓ Ñ Ø ô Ø Ò Ò ÔÖÓ Ø Ø Ø Ù ÞÓÙÑ ØÓ À º ÈÖÓ Ø ÒÓÙÑ Ø Â Ñ ÕÖ Ò ÙÒ Ò¹ Ø Ó Ò ØÓ Ãº ËÙÑÔÐ ÖôÒÓÙÑ ØôÖ ØÓ Õ Ñ º ÌÓ Å Ä Õ ÔÐ ÙÖ Ø Ò Ð Û Ø ÈÖ Ø ³ Ò ÓÙ Ô Ö Õ ÓÑ ÒÓÙ Ñ ØÓ Àº ÈÖ Ø ³ º ¾ Λέγοντας εφαρμοστεί,οευκλείδηςεννοείνακατασκευαστείπαραλληλόγραμμομεπλευράτηδοθείσα,γωνίατηδοθείσα,καιεμβαδόίσομεαυτότουδοθέντοςτριγώνου. ΟΕυκλείδηςδείχνειότιτούτοεπιτυγχάνεψαιλόγωτου5ουαξιώματος.

39 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Ê ÄÄÀÄïÇ Ê ÅÅ ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º Æ Ø Ù Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ó Ñ Ó Ò Ù Ö ÑÑÓ ÕÛÖÓ Ñ ÓÑ Ò ÛÒ º Ç Ù Ð ÕÛÖÞ ØÓ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ Ó ØÖ ÛÒ Ñ Û Ø ÈÖ ¹ Ø ³ Ø Ñ Ø Õ Ñ ØÞ Ó Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ ÕÓÙÒ Ñ Ó Ò ÔÐ ÙÖ º ËÙÒ ÓÒØ Ø Ô ÖÒ ØÓ Ô ÙÑ ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓº À Ô Ü Ò Ø Ð ÔØÓÑ Öô ÓÐÓ ôòø Ø Ñ º ËÕ Ñ º½ µº º º½ Å Ö Õ Ð Ô ÒÛ Ø ÈÖÓØ ³» ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ ÔÖÓ Ø Ñ ÕÖÓÒ ÓÖÓÐÓ ÙÔÓ ÓÙÑ Ø Ó ÈÖÓØ ³» Ò ÖÓÒØ ÓÖ Ó ôò º ÌÓ Ñ Ò A ØÓÙ ÓÖ Ó ÛÒÓÙ Ñ ÔÐ ÙÖ Ñ ÓÙµ a, b Ø Ô Ø Ò A = abº ËØ Ò ³ ØÛ R ØÓ Ó Ò ÓÖ Ó ôò Ó a Ó ÔÐ ÙÖ º Å ÙØ Ø Ö ÓÐÓ ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ø ³ Ò Ò ØÔÓØ ÐÐÓ Ô ØÓ Ò Ö Ð Ø Ö ÑÑ Ü Û R = ax ΟΕυκλείδηςλέγειευθυγράμμω,καιεννοείμεσύγχρονουςόρουςένακυρτόπλύγωνο. Είναι ενδιαφέρον το ότι ενώ η απόδειξη ασχολείται μόνο με την περίπτωση του τετραπλεύρου, περνά εύκολα στην γενική, χρησιμοποιώντας επαγωγή. Εντψπωσιακός επίσης είναι και ο τριγωνισμός του σχήματος.

40 ¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ÔÓÙ x Ò Ø Ö ÔÐ ÙÖ ØÓÙ Ô ÙÑ ØÓ Ò ÓÙ ØÖ ôòóùº  ÛÖÓ Ñ Ò ÙÔ ÙØ ØÓ ÔÖ Ñ ³ Ò Ð Ö Ñ Ø Ñ Ñ Ò ÛÑ ØÖ º Ò Ò ÓÔ ÙØôÒ ØÛÒ Ñ ô ÛÒ Ò Ô ÖÓÙÒ Ø Ò Ô Ð Ñ Õ ØÛÒ ØÓÖ ôò ÔÓÙ Ô Ø ÓÙÒ Ø ÙØ ÖÑ Ò Ò ÓÐÓ Ø Ò Ò ¹ ÕÖÓÒ Ø ÔÓ ÛÒµ Ñ Ñ Ø ôò ÔÓÙ Ô Ø ÓÙÒ Ø Ó Ð Ö Ó Ø ÔÓ ÔÛ Ó Ô Ö Ô ÒÛ Ò ÓÑÓÖ Ò Ø ÛÑ ØÖ Ø Ø Ö Ò Ó Û Ø ØÖ ÔÓ Ò ÖÑ Ò ÓÙÑ ØÓÒ Ù Ð º ÌÓ Ó ÔÖ Ð Ñ Ò ÔØ ØÓ ÐÓ Ø³º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÌÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ ËØ Ò ÈÖ Ø ³ Ó Ù Ð ÕÒ ÔÛ Ø Ù Þ Ø Ø ØÖ ÛÒÓ Ô ÒÛ Ó Ù ³ Ò ØÓ Ô Ö ÑÓ ÈÙ Ö Ó ôö Ñ ³ ØÓ ÒØ ØÖÓ ØÓÙº ÈÖ Ø ³ º Οιτελευταίοιείναιοιθιασώτεςτηςλεγόμενης ΓεωμετρικήςΆλγεβρας.

41 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÈÍ ïçê ÁÇ Â ïïêàå ½ ËØ ÓÖ Ó ôò ØÖ ÛÒ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø ÙÔÓØ ÒÓÙ Ø Ò ÓÖ ÛÒ ÔÐ ÙÖ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ø Ò ÓÖ ÛÒ º ³ ØÛ ÓÖ Ó ôò Ó ØÖ ÛÒÓ ØÓ ÔÓÙ Õ ÓÖ Ø Ò ÛÒ Ð Û Ø ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ º Ô Ü º Ø ØÛ Ø Õ Ö ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ô ÒÛ Ø Ò Ø À Â Ô ÒÛ Ø º Ã Ô ØÓ Ø Ä Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ñ Ô Ø ÙÒ ÓÒØ Ó º Ã Ô Ñ Ô Ø ÛÒ À Ò ÓÖ ÔÖ Ô Ó Ó Ù ÔÓÙ Ò Ö ÓÒØ ØÓ Ó Ñ ÖÓ Ò ÒÓÙÒ Ø Ü ÛÒ ΟλατατετράγωναμπορούννακατασκευαστούνλόγωτηςΠρότασηςα 46. Επίσης, τα ΗΒ, ΘΓ είναι τα τετράγωνα ΗΖΒΑ και ΘΑΓΚ αντίστοιχα. Ο Ευκλείδης συνηθίζει να συμβολίζει τα παραλληλόγραμμα με τα άκρα της μιας διαγωνίου τους.

42 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ Ñ ÔÓ Ù ØÓ Ñ Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö Ö Ø Ø Ò Ù Àº ØÓÒ Ó Ð Ó Ö Ø Ô ÒÛ Ø Ò Ù Âº Ã Ô ÛÒ Ò Ñ Ø Ò Ò Ñ ÓÖ ØÛ Ø ÔÖÓ Ø Ø Ø Ó º ³ Ö Ð Ò Ñ Ð Ø Ò º Ã Ô Ñ Ò Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò ÔÖ Ô Ó Ò Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø ÛÒ Ñ Ø ÛÒ º ³ Ö Ò Ñ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ º Ã Ò ØÓÙ Ñ Ò ØÖ ôòóù ÔÐ Ó ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ä Ø ÕÓÙÒ Ø Ò Ø Ö ÓÒØ Ø Ó ÒØ ØÛÒ ÛÒ Ô Ö Ð¹ Ð ÐÛÒ Ä ØÓÙ ØÖ ôòóù Ò ÔÐ Ó ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ À Ø Ô Ð ÕÓÙÒ Ø Ò Ö ÓÒØ ÒØ ØÛÒ ÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ À º Ì ÔÐ ÛÒ ÔÖ Ñ ØÛÒ Ò º ¼ ³ Ö ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ä Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ À º ½ ÇÑÓÛ Ò ÙÒ Ó Ò Ó Ã ÑÔÓÖ Ò Õ Ø ØÓ Ô Ö ÐÐ ¹ Ð Ö ÑÑÓ Ä Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Â º Ö ÐÓ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò À  º Ã Ò ØÓ Ñ Ò Ø ØÖ ÛÒÓ ÙØ ÔÓÙ Ò Ö Ø Ô Ø Ò Ø À  ÙØ ÔÓÙ Ò Ö ¹ ÓÒØ Ô Ø º Ö ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø ÔÐ ÙÖ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ º ³ Ö Ø ÓÖ Ó ôò ØÖ ÛÒ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø ÙÔÓØ ÒÓÙ Ø Ò ÓÖ ÛÒ ÔÐ ÙÖ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ø Ò ÓÖ ÛÒ Çº º º ÍÔ ÖÕÓÙÒ ÔÓ Ü ØÓÙ ÈÙ ÓÖ ÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓº ¾ Ç ÈÖ ÐÓ ΑπότηνΠρότασηα 14.Αυτόείναιτοπρώτοαποφασιστικόσημείοτηςαπόδειξης. ΖΒ,ΒΓστοαρχαίοκείμενο,κάτιπουείναιπροφανήςπαράβλεψητουαντιγραφέα. Πρότασηα 4. ¼ Εντόςπαρενθέσεωςκαιστοαρχαίοκείμενο.Πρόκειταιπερίάλληςμίαςκοινήςέννοιας. ½ Εδώβρίσκεταιτοδεύτεροαποφασιστικόσημείοτηςαπόδειξης.ΟΕυκλείδηςουσιαστικά δείχνει ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΖΒΓ είναι αντίστοιχα ίσου περιεχομένου με τα τρίγωνα ΒΖΑ καιβδλπουδενφαίνονταιστοσχήμα! Ομως,απότηνΠρότασηα 41,τούταείναιίσου περιεχομένου με τα ΖΒΓ και ΒΑΔ αντίστοιχα. ¾ Δείτελ.χ.τηνιστοσελίδα και πατήστε το σύνδεσμο του δεύτερου σχολίου για να δείτε 81(!) αποδείξεις του Π.Θ.

43 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÈÍ ïçê ÁÇ Â ïïêàå ÔÓ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ü ÔÖÓ ÛÔ ØÓÒ Ù Ð º Ò ÙÔ ÖÕ Ñ ¹ ÓÐ Ø ÔÖ Ø Ô Ö Ò ÙÑ ÓÙ Ñ ØÓ Ñ Ñ Ø Ö Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ó Ø ÐÔ Ó Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ø ÔÓ Ó Ø ÔÓº Å ÔÐ ØÖ ÔÓ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ À Ñ Ø Õ Ñ ØÞ Ø ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó Ä ÐÐ Ô Ö Ð Ø Ò ÔÐ Ø Ø ØÓÙ ØÓ Ô Õ Ö Ñ ÔÓÙ ÙÔÓ Ò Ò ÐÓÙ Ø ØÖ ÑÑ ÒÓº ÌÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ Ò Ø Ó Ñ Ð ô Ø Ñ Ñ Ø ØÓÙ ¹ Ñ Ö Ó Ø Ò Ø Ò ÔÓÕ ØÓÙ Ù Ð º Ò Ó ÔÖ ÓÒÓ ÐÛÒ ØÛÒ ÓÖ Ø ôò ôò ØÛÒ Ñ ØÖ ôò ØÛÒ Ø ØÖ ÛÒ ôò ÑÓÖ ôò ÛÖ ¹ Ñ ØÛÒ ÔÛ ØÓ sin 2 a + cos 2 a = 1º Å Û Ø Ò Ù ØÓÙ ØÓÙ Ò ÑÓÙ ØÛÒ ÙÒ Ñ Ø ÒÛÒ ØÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓÙ ÛØ Ö Ó ÒÓÑ ÒÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ ØÓ ôö Ñ ØÓÙ ÈÙ Ö Ø Ñ Ñ Ø Ø Ó Ñ ÖÙ Ó Ø Ò ØÓ Ñ Ø º ÈÖ Ø º Ò ØÖ ÛÒÓ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ñ ÔÐ ÙÖ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÐÓ ÔôÒ ÔÐ ÙÖôÒ ØÓÙ ØÖ ôòóù Ô Ö Õ Ñ Ò Ô Ø ÐÓ Ô ÔÐ ÙÖ ÛÒ Ò ÓÖ º Ø ØÛ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ø ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ñ ÔÐ Ö ØÓÙ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ØÓÙ ØÖ ôòóù Ð Û Ø ÛÒ Ò ÓÖ º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º ÌÓ ÒØ ØÖÓ Ó ØÓÙ ÈÙ Ö ÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓº Ô Ü º ³ ØÛ Ø Ô ØÓ Ø ÓÖ ÛÒ Ñ Ø Ò ØÓ Ñ Ó Πρότασηα 11.

44 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ØÛ Ø Ò Ñ Ø Ò ÙÒ Ø º Ô Ò Ñ Ø Ò Ò Ó ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø º ÈÖÓ Ø Ø Ø Ó ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø º ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ º ÐÐ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ñ Ò Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ Ø ÛÒ Ò ÓÖ º ÌÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ Ø ÙÔÓØ º ³ Ö ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ö ÔÐ ÙÖ Ò Ñ Ø Ò Ô Ò Ñ Ø Ò Ò Ó Ò Ó Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø º Ã Ò Ñ Ø Ö ÛÒ Ò Ñ Ø ÛÒ º ³ÇÑÛ Ò ÓÖ Ö Ò ÓÖ º Ò Ö ØÖ ÛÒÓ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ñ ÔÐ ÙÖ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÐÓ ÔôÒ ÔÐ ÙÖôÒ ØÓÙ ØÖ ôòóù Ô Ö Õ Ñ Ò Ô Ø ÐÓ Ô ÔÐ ÙÖ ÛÒ Ò ÓÖ Çº º º Ç ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ ÈÖÓØ ÛÒ ³» ÔÓØ Ð ØÓ ÔÐ Ö ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ º ÇÐÓ Ð ÖôÒÓÒØ ØÓ Ð Ó ÙØ Ô Ö ØÓÙÑ Ð Ö Ñ Ø Ö Ò ÓÒÒ ØÓ ØÓÙ ÖÑ ÒÓ ÔÓ Ø Adelbert von Chamissoº Ë Ñ ÛÒ Ñ ØÓ Ñ Ó Ó ÈÙ Ö Ù Ø Ñ Ø Ñ µ ØÓÙ Ó Ó Ò ÐÙÝ ØÓ ôö Ñ º Adelbert von Chamisso À Ð À ÄÀ Á Õ Ö Ø Ö Ø Ø ÁÏÆÁÇÌÀÌ Ô Ø Ø ÔÓÙ ØÓÒ Ò ØÓ ÑÓ ØÓ Û Ò ÒÛ Ø ØÓ ôö Ñ ØÓÙ ÈÍ ÇÊ Ñ Ö Ò Ø Ó Û Ø Ó Ø Ò Ø Ø ÔÓÙ ÔÖÛØÓ Õ Ø Ò Ä ÇÌÀÌ º Πρότασηα 3. Πρότασηα 47. Άλλημίαεπιπρόσθετηκοινήέννοια. Λίγοπαρακάτωχρησιμοποιείταικαιηαντίστροφή της. Κατάλλους,τοθεώρημαανκαλύφθηκεαπότονμαθητήτου ΙππασοτονΜεταποντίνο τονοποίοναμέσωςμετάέπνιξανοισυμμαθητέςτουγιαναμηγίνειγνωστότοθεώρημαστον υπόλοιπο κόσμο, μιας και σήμαινε την κατάρρευση της Σχολής του Πυθαγόρα. Αλλά φαίνεται ότιδιαρροέςυπήρχαναπότότε...δείτεκαιτοπαρακάτωκεφάλαιο5.

45 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÈÍ ïçê ÁÇ Â ïïêàå Ç Â ÇÁ ÔÓÙ ØÓÙ Ø Ð Ò ÙØ Ø Ò ÕØ Ô Û ÙÑ ÓÐ ³ ÙØÓ Ó ÈÍ ÇÊ Ë Ù Ø Ý Ñ Ò ÓÑÑ Ò Ø Ø Ñ Õ Ö ÞÓÒØ ØÓÙ ØÓ ÙÕ Ö Øô ØÓÙ ÔÖÓ Ø ÖÝ ØÓÙ ÔÖÓ Òôº Ì Ô Ò Ø Ñ Ö Ø Ò Ó Ò Ø ÑÓÒÓÔ Ø ØÓÙ Ø Ñ ÒÓ Ö Ð ÑÔÓÖ Ò Ü ÔÖÓ ÐÐ Ô³ ØÓ Ò ÙØÓ Ø Ñ ØÖ ÕÓÙÒ Ò Ü ÓÙÒ Ñ ÑÓÒ ô ÖÙ Ñ º Ô ØÓÒ ÈÍ ÇÊ Ô ÒØ Ô Ò Ó ÐÐÓÒØ ¹ ÈÓÐ Ò Ñ Ò ÔÛ ÓÙÒ Ø Ò ÕÙÖ Ø Ø ØÛÒ ØÒÛÒ ÔÓÙ Ô ÑÔÓÒØ ØÓÙ ÏÌÇË ØÖ ÑÓÙÒ ÐÞÓÙÒ Ø Ñ Ø ØÓÙº

46 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ

47 Ã Ð Ó È ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôò ÁÁ ÌÓ Ø Ñ ØÛÒ È Ö ÐÐ ÐÛÒ À ÙÞ Ø ØÓ ÜÛÑ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ ÙÔ ÖÜ Ó Ò Ñ Ø Ò Ü ÛÑ Ø Ñ ÐÛ ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôòº ËØ Ô Ö ØÛ Ô Ö Ö ÓÙÑ ÙÒÓ¹ ÔØ Ø Ò Ü Ð Ü Ø ÙÞ Ø ÙØ Ø Ò ØÓÖ ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôòº Ç ØÓÖ Ó Ò ÛÖÓ Ò Ø Û ØÓÙ ÓÙ Ø Ñ ØÓ Ø ÛÖ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ò Ø Ö Ø Ò Õ Ø ÔÖ Ø ØÓÙ Ù Ð ¹ ÓÙ ÕÖ ÒÓÙº È Ò Ò Ò Õ ÔÖÓ Ò ÓÖ Ñ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ ØÓÙ ÓÙ Ø ÔÓÙ Ñ ØÓÒ ÇÖ Ñ ³ ½ Ø Ñ ØÖÓÙ ØÓÙ ÐÓÙº Ñ ØÖÓ ÓÖÞ Ø Õ ÔÐô Û Ù ÔÓÙ Ö Ø Ô ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ ÐÐ Ô ÔÖ Ø ØÓÒÞ Ø Ø Ñ ØÖÓ ÕÓØÓÑ ØÓÒ ÐÓº ËÙÒ ÐÓÙ ¹ Ò ÓÖ Ñ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ ÔÓÙ ÑÔÓÖÓ Ò Õ ÙÔ ÖÜ Ü Ð Þ Ø Ò Ô ÖÜ Ø Ò ÑÓÒ Ø Ø ÐÐ ØÓ Ø ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ø Ù ¹ ØÓ Ò Ñ Ø Ò ÕÖ ØÛÒ Ò ÐÐ Ü ÔÐÓ Ø Ö ØÛÒ ÓÖ ôò ÛÒ ôòº ÙØ Ó Ø Ø ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ø Ò Ò Ø Ò ÔÓÕ Ö Ø Ù ÓÐÓ ÖÕ Ø ØÓÒ Ó Ó ÑÓÙ Ó ÓÔÓÓ Ö ÞÓÒØ Ò ÙÒ Õô Ñ Ô Ö ÐÐ Ð ØÖôÑ Ø Ð ÛÒ Õ Ò ÙÒ Ò ÒÓÙÒ ÔÓÐ Ö Ñ ØÖ º Ç ÈÖ ÐÓ Ò Õ Ð ØÓÙ Ñ ÕÒ ÙÔ Ü Ø Ò ÖÕ ØÓÙ Ø Ñ ØÓ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Øº ØÓ Ü µº ÌÓ Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ù ÔÓÙ ÔÐ ÞÓÙÒ Ô Ö Ö Ø Ñ Ø Ò ÐÐ ÐÐ Ò ÙÒ ÒØôÒØ ÔÓØ ÕÒ Ô Ö ÐÓ Ó Ô Ö ÓÜÓ ÑÓÐ Ø Ø Ò Ð Õ Û ÐÐ Ö ÑÑôÒº È Ò Ò ØÓ Ô Ó Ñ Ø Ô Ö Ñ ÙØôÒ ØÛÒ Ö ÑÑôÒ Ò Ø ÙÔ Ö Ó¹ Ð ØÛÒ ÙÑÔØôØÛÒ Ø º к ËÕ Ñ º½µº

48 à ï Ä ÁÇ º ÈÀ ï Ë ÁÁ Èï ÅÈÌÇ ïáìàå ËÕ Ñ º½ ÍÔ Ö ÓÐ ÑÔØÛØ Ø º ÔÓ Õ Ñ ÒÓ Ø Ñ Ø ÛÒ ØÓ ØÓ Ò Ò ÒØ Ô Ö Ñ ØÓ٠غ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ ÑÔÓÖÓ Ò ØÖ Ü Ø Ò ÔÖÓ ÓÕ ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôò Ø ÔÓÕ º Ç ÔÖôØÓ ÔÓÙ Ö Ý Ô Ö ÛÒ ôò ØÓÑôÒ Ø Ò Ó Å Ò ÕÑÓ ÔºÉºµº ³ Ò Ô Ö Ô ÒÛ Ò Û Ø ÙØ ØÓÔÓ ØÓ Ø Ò Û ØÓ٠غ ÖÛ ØÓ ¼ Ժɺ ³ ÐÐÓ ØÓÖ Ó ÔÓ ÓÙÒ ØÓ Øº ØÓÒ Ó ØÓÒ Ù Ð º Ç Ö ØÓØ Ð Ò Ò Ö ÔÓÙ Ò Ø Ü ôñ Ø ØÓÙ ÐÓÙ ³º ËÙ Ö Ò Ñ ÒÓ Ñ Ø ÐÐ Ø Ñ Ø ØÓ Øº Ò Ñ ÐÐÓÒ ÔÓÐ ÔÐÓ Ó Õ Ø Ó ÔÖÓ Ò Ó ÔÓ Ñ Ø Ø ÐÛÒ ØÛÒ ÓÖ ôò ÛÒ ôòº ÙØ ØÓ Ð Ó Ó Ñ Ñ Ø Ó Ø ÖÕ Ø Ø ÔÖÓ Ô Ò Ò ØÓ Ü Ð ÝÓÙÒ ÔÖÓ Ô ôòø Ø Ò ØÓ ÔÓ ÜÓÙÒ Ò ØÓ ÒØ Ø Ø ÓÙÒ Ñ ÔÓ Ó ÐÐÓ Ô Ó ÐÓ Ó ÜÛÑ º Ã Ò ÑÛ Ò Ø Ø Ö º ÌÓ ÔÖ Ð Ñ ÒØ Ñ ØÛÔ Ø Ü Ò Ø Ö Ô Ô ÖÔÓÙ ½ ¼¼ ÕÖ Ò º Ç John Wallis Û Ñ ÒÓ Ø Ð Ü Ø Ò ÇÜ Ö ØÓ ½ Ô Ö ØÓÙ Ñ ØÓ Ô Ü ØÓ ÐÓÙ Ó Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÑÓ ØÖ ÛÒ ÓÖ Ø Ó Ñ Ó Ø Ø ØÓ Øº Ð ¹ º ½ ÌÓ ÔÓØ Ð Ñ ØÓ ØÓ ÒØ Ø ØÓ Øº Ñ ÔÓ Ó ÔÐ ÓÒ ÙÐÓ Ó Ò º Ò Ñ ØÓÙ Ñ Ñ Ø Ó ÔÓÙ ÓÐÓ Ò ØÓÒ Ö ÑÓ ØÓÙ Wallis ÔÓÙ Ü ¹ ½ Αςπαρατηρήσουμεότιστηνσφαιρικήήστηνυπερβολικήγεωμετρίαόπουδεναληθεύει το Αίτ. 5, προκύπτει άμεσα από το αποτέλεσμα του Wallis ότι δεν υπάρχουν όμοια τρίγωνα διαφορετικού εμβαδού! Αυτό ισχύει απολύτως, καθόσον εκεί, δύο όμοια τρίγωνα είναι αναγκαστικά ίσα.

49 ÒÓ Ô Ø Ò ÖÒ ØÓ٠غ Ó Ó Ô Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø ÔÓÙ ÒØ ÖÓÙ Ò Ø Ø Ñ Ò ÛÖ Ñ Ø Ø Ò Ó ÓÙ³ Ø ÑÓÒ Õ Girolamo Saccheri Ó ÓÔÓÓ ØÓ ½ ÑÓ Ù Ó ÐÓ ØÓÙ Ç Ù Ð Ô ÐÐ Ñ ÒÓ Ô Ð ØØÛÑ º Ç Saccheri ôö Ò Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ ÔÓÙ Ø Ù ¹ Þ Ø Ñ ØÖ ÓÖ ÛÒ º Ì Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ ØÖ Ô Ö ÔØô Ø Ò ÐÓ Ô ÛÒ ÅÔÓÖ Ò Ò ÓÜ ÓÖ Ñ Ð º À Ô ÖÔØÛ Ø ÓÖ Ò Ó Ò Ñ Ñ ØÓ Øº º Ã Ø Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÙÔÓ ØÓÒØ Ø Û¹ Ò Ò Ñ Ð º À ÒØ Ø Ò ØÓ ÙÑÔ Ö Ñ Ø Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ù Ô ÖÓÙ Ñ ÓÙº ÙØ Ò Ø Ø Ø Ö µº Ô Ø Ò ÙÔ Ø ÓÜ ÛÒ Ø Ð Ü ÔÓÐÐ ÙÑÔ Ö Ñ Ø ÐÐ Ò Ò Ô ÙØ Ò ÖÕ Ø Ò ÒØ Ñ ÒÛ Ø ÔÓØ Ð Ñ º ÌÓ ½ Ó Johann Heinrich Lambert ÙÒ Ö Ý Ò Ö ÖÓ Ñ ØØÐÓ À ÛÖ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ù ôò ÔÓÙ ÑÓ Ø Ñ Ø ØÓ Ò Ø ØÓÙ ØÓ ½ º Ò Ø Ø ÔØ Ø Ò Ø ÑÔÓÖ Ò Ø Ù Ø Ñ ÛÑ ØÖ Ô Ø Ò ÙÔ ØÓÙ Saccheri Ø ÓÜ ÛÒ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø ÈÖÓØ ³ ½»½ Û ØÓ Õ ØÓÙ Ø Ó Ù Ð ÔÖ Ô Ò Õ Ø Ò ÒôÑ º Ì Ð ÖÛ Ø ½ ¼ ØÖ Ñ Ñ Ø Ó Ø Ò ÔÐ ÖÛ Ô Ô Ñ ÒÓ Ø Ò Ô ÖÜ Ñ ¹ Ù Ð ÛÒ ÛÑ ØÖ ôò Ó Carl Friedrich Gauss Ó János Bolyai Ó Nikolay Ivanovich Lobachevskyº ³ÇÑÛ Ó Ñ Ò Gauss Ò ÑÓ Ù ÔÓØ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ØÓÙ Òô Ó Ö ØÛÒ ÐÐÛÒ Ó Ø Ò ÔÓÐ ÓÐÓ Ò ØÓ Òº ³ Ø ØÓ ÒØ Ñ ÒÓ Ô Ö Ñ Ò Ò Ö Û ØÓÒ Ò ØÓ ØÓÙ Gauss ½ µ Ø Ò Õ Ò Ø ÙØ ÕÖÓÒ ÑÓ Ù ØÛÒ ÛØ ôò ØÓÙ Ô ¹ ØÓÐôÒº Ì Ø Ø Ø ÐÐ Ü Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò Ô ÔÖ Ø ÑÓ Ù ØÛÒ Ö ôò ØÓÙ Riemann Ô Ö Ö Ñ ÒÛÒ ÛÑ ØÖ ôò Ø Ò Ü Ð Ü Ø ÓÖ ÛÑ ØÖ º À ÙÔ Ø ÓÜ ÛÒ ÓÒÓÑ Ø Ø Ø ÙÔ Ö¹ ÓÐ ÛÑ ØÖ Ô Ò Ø Ø Ø Ô Ò ÒØ Ñ ÒÛ Ø ÜÛÑ Ô Ð Ô ØÓÒ Beltrami ØÓ ½ Ó ÓÔÓÓ Ø Ò Ô Ö Ø Û Ø ÛÑ ØÖ Ñ Ô Ò Ñ Ø Ö ÖÒ Ø ÑÔÙÐ Ø Ø º Ó Felix Klein Ö ØÓ ½ ½ ØÓ Ð Ñ ÒÓ Beltrami Klein ÑÓÒØ ÐÓ Ø ÙÔ Ö ÓÐ ÛÑ ØÖ ØÓ ½ ¾ Ó Poincaré Ø Ò ÙÔ Ö ÓÐ ÛÑ ØÖ ÒØ ØÓÙ ÔÐ ÓÙ Ø Ñ Ò ÐÙ º ÌÓ ÖôØ Ñ ØÓ ÜÛÑ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ô ÒØ ÓÖ Ø ÖÛ ØÓ ½ ¼ ÍÔ ÖÕÓÙÒ ØÖ Ø ÓÖ ÔÔ ÛÒ ÛÑ ØÖ ôò ÔÓÙ ÒÓ¹ ÔÓ Ó Ò Ð Ø ÐÐ Ù Ð Ü ôñ Ø ÐÐ ÔØ ÛÑ ØÖ Ô ÒÛ Ø Ö Ñ Ø ÙØ Ñ Ò Ø ÒØ ÔÓ Ñ ÙÔ Ø Ñ Ð ÛÒ µ Ñ ÐÓÙ Ô Ö ÐÐ Ð Ù Ð ÛÑ ØÖ Ñ ØÓ Øº ÙÔ Ø ÓÖ¹ ÛÒ ÑÓÒ Ô Ö ÐÐ ÐÓµ ÙÔ Ö ÓÐ ÛÑ ØÖ ÙÔ Ø

50 ¼ à ï Ä ÁÇ º ÈÀ ï Ë ÁÁ Èï ÅÈÌÇ ïáìàå ÓÜ ÛÒ Ô Ö Ô Ö ÐÐ Ð µº ¾ ÍÔ ÖÕÓÙÒ ÑÛ ÐÐ Ø Ò ØÓÖ ØÛÒ ÓÑ ØÖ ôò Ü ÛÑ ØÛÒº ÌÓ ½ ¾ Ó Moritz Pasch Ü Ö ØÓ ÒØ Ñ ÒÓ Ø Ø Ü ØÛÒ Ñ ÛÒ ØÓ ÓÔÓÓ Ó Ù Ð Õ ÖÞ Ø Ø º à ØÓ Ò ÙØ ÔÖÓ ØÓÒØ Ü ôñ Ø Ô Ö Ø Ü Ø ÙÔ ÖÕÓÒØ ØÓÙ Ù Ð º ÐÐ ØÓÒ Pasch ÛÑ ØÖ Ü ÓÐÓÙ Ó Ò Ò Ô Ø Ñ ØÓÙ Ù Ó ÕôÖÓÙº ÙØ ØÓ Ø Ð ÙØ Ó ÑÔ Ó Ü Ô Ö Ø Ô ØÓÒ David Hilbert ½ µ Ø Â Ñ Ð Ø ÛÑ ØÖ ØÓÙ Grundlagen der Geometrieºµ Ç Hilbert Ñ Ð Ø Ø ÒØ Ñ Ò Ø ÛÑ ØÖ ÐÓ ÒØ Ñ Ù ÔÔ ÐÔº ÐÐ ÙØ Ò Ø Ø ÙÒ º  ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ø ÓÒÓÑ Ø ÓÙÑ Ñ ÓÔÓ ÓÙ ÔÓØ ÓÙ Ô Ö Ü Ò ÓÒ Ñ Ø Ò ÕÓÙÑ ØÓ Ó ÔÓØ Ð Ñ º ÌÓ Ø Ø ÒØ ¹ Ñ Ò ÓÖÞÓÒØ Ñ ÒÓ Ô ÔÐ Ñ Ò Ô ØÓ Ø Õ ÔÛ ÙØ Ø Ü ôñ Ø º Ä ÓÙ Õ Ö Ò Ñ Ó ÑÔÓÖ Ò Ò Ò Ø Ø Ñ ÒÓ Þ Ó ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ÑôÒ Ò Ñ Ö Ñ ºÓº º ³ Ø Ñ Ð Ø Ø ÛÑ ØÖ Ñ Ø Õ Ñ Ø Ø Ô Ø Ò Ñ Ð Ø ØÓÙ ÕôÖÓÙ Ø Ò Ñ Ð Ø Ø ÐÓ ÐÐ ¹ Ð Ü ÖØ Ù Ö Ñ ÒÛÒ ÔÖÓØ ÛÒ Ô Ö ÔÓ ÛÒ ÓÖ ØÛÒ ÒØ Ñ ÒÛÒº Ç Hilbert Ø Ø Ü Ø Ü ôñ Ø ØÓÙ Ô ÒØ Ø ÓÖ Ü ôñ Ø Ø ¹ ÔÛ Ó ÓÖ Ø Ñ ÒØ Ñ ÑÓÒ Ù Ü ôñ Ø Ø Ü Ü ôñ Ø Ø Ø ØÓ ÜÛÑ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ø ÐÓ Ø Ü ôñ Ø Ø ÙÒ Õ º Ì Ü ôñ Ø Ø ÙÒ Õ Ü ÐÞÓÙÒ ØÓ Ø Ø Ñ Ñ Ù ÑÔÓ¹ ÖÓ Ò Ò Ø ÙØ ØÓ Ò Ñ ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ÑôÒº Å Ø Ò Ó ÙØÓ ÔÓ Ò ØÓ Ö Ó ôö Ñ ØÓÙ Ç Ô ÒØ ÓÑ Ü ÛÑ ØÛÒ ÓÖÞÓÙÒ Û ÓÑÓÖ ÑÓ ØÓ Ù Ð Ó ÔÔ Ó Ø ÑÓÒ ØÖ ÔÓº ÅÔÓÖ Ò ÛÖ Û ØÓ ÔÔ Ó Ø Ò ÐÙ¹ Ø ÛÑ ØÖ ÙÔ Ö ÒÛ ØÓÙ ôñ ØÓ ØÛÒ ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ÑôÒº Ë Ò Ô Ö ÖØ Ñ ØÓÙ ÐÓÙ ØÓÙ Ó Hilbert Ô ÖÓÙ Þ ØÓ ÔÖôØÓ Ü ÛÑ ¹ Ø Ø Ñ ØÓÙ ÔÖ Ñ Ø Ó Ö ÑÓ º Å ÙØ Ò Ñ Ó Ò Ü ÛÑ Ø Ñ Ó Ó ÙÖ ÖÕ Ø Ñ Ñ Ø ØÓÙ Ó ØÓ ôò º ¾ Στνελλειπτικήγεωμετρίατοάθροισματωνγωνιώντριγώνουείναι > πστηνευκλείδεια είναι = πκαιστηνυπερβολικήείναι < π. Ο Hilbertπίστευεακράδανταστηδύναμητηςσυνολοθεωρίαςτου Georg Cantor. Και θεωρούσε ότι τούτη επιτρέπει την απαλλαγή των μαθηματικών από κάθε είδους παράδοξα(δηλαδή προτάσεις ταυτογχρόνως αληθείς και ψευδείς). Αλλά, το 1940 ο Kürt Gödel απέδειξε, ότι οποαδήποτε αξιωματική θεμελίωση των μαθηματικών εμπεριέχει παράδοξα. Ευτυχώς για τη γεωμετρία, το θεώρημα του Gödel δεν αποτέλεσε για αυτήν ότι το Πυθαγόρειο Θεώρημα γιατησχολήτουπυθαγόρα...

51 Ã Ð Ó È ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôò ÁÁÁ ÈÙ Ö Ó Ë Ñ Ó Ç ÈÙ Ö Þ ÖÛ ØÓ ¼ ¼ Ôº ɺ À Ñ Ò ÕÒ ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ò Ñ ÖÓÑ Ò Ø ÞÛ ØÓÙ Ò ØÓ ¼ Ø Ò Ù Ô Ø Ë ÑÓ Ò Ø ¹ Ø ØÓÒ ÃÖ ØÛÒ Ø Ã ØÛ ÁØ Ð Å Ð ÐÐ µº ÖÙ Ñ Ö ÙØ ÐÓ Ó ÕÓÐ ÓÔÓ ÒØÓÑ Ô Ø ÕÙÖ ÔÓÐ Ø Ô ÖÖÓ Ø ÐÐ Ò Ô Ð Ø Ã ØÛ ÁØ Ð º ôõ Ô ØÓÒ ÃÖ ØÛ¹ Ò ÖÛ ØÓ ¼¼ Ò Ø Ø ØÓ Å Ø Ô ÒØ Ó Ø Ë Ð ÔÓÙ Ô Ò º к ËÕ Ñ Ô Ö ØÛµº ËÕ Ñ º½ aµ Æ Ñ Ñ ØÓÙ Å Ø ÔÓÒØÓÙ Ñ Ò Ô ÒØ Ö ÑÑÓ Ô Ô ÖÓÙ Ö Ö Ó ÖÛ ØÓ ¼ Ժɺ bµ Æ Ñ Ñ ØÛÒ ÖÛÒ ÖÛ ØÓ ¼ Ժɺµ ÔÓÙ Ô ÓÒÞ Ø Ø ÔÓÖØÖ ØÓ Ó ÈµÍ ÇÊÀ˺ cµ Æ Ñ Ñ Ø Å ÐÓÙ ÔÖ Ò ØÓ ¾¼ Ժɺ Ñ Ô ÒØ Ö ÑÑÓº Ç ÈÙ Ö Ó ÔÛ ÐÓ ÒØ Ò Ó Ñ Ø ØÓÙ ÙÒ Õ Ò Ò Ü Ó Ò ½

52 ¾ à ï Ä ÁÇ º ÈÀ ï Ë ÁÁÁ ÈÍ ïçê Ë ÔÓÐ Ø Ô ÖÖÓ Û ØÓÙ ÖÛ Ø Ñ ØÓÙ Ô ÑÔØÓÙ ôò Ñ Ô Ò Ø ¹ ØÛÒ ÑÓ Ö Ø ôò ØÓÙ ÛÜ ÓÖ Ø Ô Ø Ô Ð Ø Ã ØÛ ÁØ Ð º à ÔÓ Ó Ô³ ÙØÓ Ô Ò Ø Ë Ð ÔÓ Ó ÐÐÓ Ø Ò Ñ ØÖÓÔÓÐ Ø ÐÐ ÔÓÙ ÖÙ Ò Ò ÒØÖ Ø Ö Ø Ö Ø Ø ØÓÙº Ç Ø Ð ÙØ Ó ØÛÒ ÈÙ ÓÖ ÛÒ Ò ÖÓÒØ ÖÛ ØÓ ¼ Û ØÛÕÓ ÕÓÖØÓ Ó Ô Ö ÔÐ ¹ ÒôÑ ÒÓ ÔÖÓ ÙÒ Ø º À Ô Ð Ò Ó Ø Ë ÑÓÙ Ñ Þ Ñ Ø ØÓÒ ÅÐ ØÓ ³ Ó Ø Ò Ò ÞÓÒØ Ó ÓÒÓÑ ÒÓ Ø ÒØÖ ØÓÒ ØÓ ôò Ôº ɺ Ç Â Ð Ó Ñ Ø ØÓÙ Ò ÜÑ Ò ÖÓ Ü Ò Ø ÅÐ ØÓ ØÓ ÔÖôØÓ Ñ ØÓÙ ØÓÙ ôò º Ç Ð Ó Ó ÀÖ Ð ØÓ Ó Ó Ø Ò ÕÖÓÒÓ ØÓÙ ÔÙ Ö º Ó Ô Ö Ñ Ø ÔÖ Ø ÛÑ ØÖ Ø Ò ÓÙÒ Ø Ò ØÑ Ö Ø Ô Ð ÔÓÙ Ñ ÐÛ Ó ÈÙ Ö º ³ ÜÛ Ô Ø Ò Ô Ð Ø Ë ÑÓÙ ½ Ö ¹ Ø Ò ØÓ Ö Ø ³ÀÖ º È ÖÔÓÙ ØÓ ¼ Ò Ø Ô Ø Ò Ô Ð Ø Ë ÑÓÙ ØÓÙ ÖÕ Ø ØÓÒ ÊÓ Ó Â ÛÖÓ Ø Ù Ò Ò ÓÙ Ò Ó ÓÐÓ ¹ ÛÒ Ø ÛÒ Ç Ø ØÓÙ Ø Ò ¾º ½¼ Ñ ØÖ Ó ½¼ ÓÒ ØÓÙ Õ Ò ÝÓ ½ Ñ ØÖ º À ÓÒ Õ Ñ ØÖÓ Ñ ÕÖ ½º ¼ Ñ ØÖ Þ Þ Ô ÖÔÓÙ ½ ¼¼ Ð Ñ º È Ö Ø Ñ Ð ô Ø ØÓÙ Ó ÖÕ Ø ØÓÒ Õ Ò Ø Ô Ö Ø Ø Òô Ò Ø Ù ÓÙÒ ØÓÒ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ô Õ Ç Ò ÙØ Ø Ò ØÓ ÔÖ ØÙÔÓ ØÓÙ Ð Ñ ÒÓÙ ÁÛÒ Ó ÖÙ ÑÓ º ¾ ÌÓ Ø ÖÓ Ô Ö Ñ ÙÝ Ð Ø ÕÒÓÐÓ Ø Ò ØÓ Ô Ö ÑÓ ÙÔ ÐÒ Ó ÖÙ Ñ º ³ÀØ Ò Ñ Ö Ù Ö Û ÓÙ Ñ ÓÙ ½ Õ Ð ÓÑ ØÖÓÙ ÔÓÙ Õ Þ Ò ÓÙÒ Ñ Ø Ö Ò Ö Ø Ò Ô Ð Ø Ë ÑÓÙº ÌÓ Ô Ò Ø Ø Ø Ò Ø Ö ÒÓ Ø Ò Ø ÙØ ÕÖÓÒ Ô Ø Ó ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ÓÙÒÓ º Ç Ö Ø ÙÒ ÒØ Ò Ø Ñ ØÓÙ ÓÙÒÓ ÕÓÒØ Ô Ð Ñ ÒÓ ½¼ Ñ ØÖÛÒº ÙØ Ø Ò ØÓ ÙÔ ÖÓ Ø Ò Ø Ø ØÓÙ ÈÙ Ö º È Ò Ò Ò Ø Ü Ý ½ ΤοσημερινόΠυθαγόρειο. ¾ Παρ όλααυτάκαταστράφηκεσχεδόναμέσωςκατάτηνεπανάστασηπουέφερεστην εξουσία τον τύραννο Πολυκράτη. Αυτός έδωσε αμέσως εντολή για την ανέγερση ενός ακόμα πιο επιβλητικού ναού 155 κιόνων. Ο σημερινός επισκέπτης βλέπει σήμερα μόνο έναν από τους155γιγάντιουςκίονεςτουναούτης Ηρας.Γιατασχέδιατουναούδείτετηνιστοσελίδα Temple of Hera.html Πρόκειται για τους ανθρώπινους μετροπόντικες της εποχής. Με την διαφορά, ό- τι ήταν πιο γρήγοροι από τους σημερινούς και μάλλον άξιζαν περισσότερο τα χρήματα που τους πλήρωσαν οι πολίτεςτης Σάμου...Γιατο Ευπαλίνειοόρυγμα, δείτε λ.χ. την όρυγμα

53 Ø Ò ÙÔØÓ Ø ÙÐôÒ ÐÐ Ë ÑÓ Ø Ò ØÓ ÒØÖÓ Ø ÔÓÕ º Ì Å Ñ Ø ØÛÒ ÈÙ ÓÖ ÛÒ ËÕ Ò ØÔÓØ Ò Ò ÒÛ Ø Ø Ñ Ñ Ø Ô Ø Ñ Ø ØÓÙ ÓÙ ØÓÙ ÈÙ Ö º À ÔÖÓ ÓÖ Ô Ö Ó ØÛÒ Ñ ØôÒ ØÓÙ Ö Ø ÔÓÐ Ö Ø Ö Ô ØÓÙ Ñ Ø ØÓÙ Ö ØÓØ Ð º Ò ÒÛ Ø Ø Ó Ñ Ø ØÓÙ ÈÙ Ö Ø Ò Ã ØÛ ÁØ Ð ÕÛÖÞÓÒØ Ò Ó ÓÑ ØÓÙ ÓÙ Ñ Ø Ó ÙØÓ Ð ÔÓÙ Ô Ò Ð Ñ Ò Ò Ø ÛÖ ØÓÙ ÐÓÙ Ð Ü ÔÖÓ Ð Ü ØÓÙ Å Ñ Ø Ó ÙØÓ Ð ÔÓÙ Ò Ð Ñ Ò Ò Ò Ø Ü Ö ÙÒ ÓÙÒ Ò Ø Ô Ø ÒÓÙÒº Ó ÈÙ Ö Ó ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ò Ó Ñ ÓÐ Ø Ò ÔÓ ÐÓ Ñ ¹ Ò Ø ØÖ Ø Ò Ø Ò Ø Ü Ñ ÛÒ ÔÓÙ Ò Ô Ö ØÓ Ò ØÓ = 10 ØÓ Ô ÒØ Ö ÑÑÓ ËÕ Ñ º¾µº ËÕ Ñ º¾ aµ À Ø ØÖ Ø Ø ØÓÒ Á Ñ Ð ÕÓº bµ È ÒØ Ö ÑÑÓ Ô Ø Ò Ð Ø È Ò ØÓÙ Lemgo Ø ÖÑ Ò ½ ¼¼ Ѻɺµº ËÙÒ Û ÔÓ ÐÓ Ò ØÓ Ô ÒØ Ö ÑÑÓ Í Ó ØÓ Ô ÒØ Ö ÑÑÓ Ø Ò ØÖ Ñ ÓÐÓº Ò Ñ ÓÐ Ó ÑÓÙ ÖÑÓÒ Ø Õ Ò ÒØÖ Ø Ð ØÓÙ ÈÙ Ö º Ç Å ÛÒ ØÓÒ ÒôÖ Þ Û ØÓÒ Inventor Musicae Õ Û Ñ Ñ Ø º ΚάθεμαθητήςτουΠυθαγόραπάντωςέπρεπεναδιανύσειμίαπενταετίααπόλυτηςσιωπής με μόνο άλλη ασχολία το άκουσμα της διδασκαλίας του Πυθαγόρα, ο οποίος μάλιστα δίδασκε πίσω από ένα παραπέτασμα. Ισως αυτή η μέθοδος διδασκαλίας, παρότι μη πολιτικά ορθή, θα ήταν χρήσιμη για κάποιους φασαριόζους πολυλογάδες των αμφιθεάτρων... ΟσοιέχουνδιαβάσειτονκώδικαΝταΒίντσι,του Dan Brownθαθυμούνταιτοσχετικό χωρίο, όπου ο συγγραφέας ρητά διαχωρίζει(και σωστά) το πεντάγραμμο του Πυθαγόρα από την πεντάλφα του Δαυίδ.

54 à ï Ä ÁÇ º ÈÀ ï Ë ÁÁÁ ÈÍ ïçê Ë Ö Ó Ö ØÓØ Ð ØÓÙ ÈÙ ÓÖ ÓÙ Ø Å Ø Ø Ù º º º Ç ÈÙ Ö Ó Öô Ò Ø Ñ Ñ Ø Ø Ò Ó ÔÖôØÓ ÔÓÙ Ü Ð ¹ Ü Ò ÙØ Ø Ò Ô Ø Ñ ÕÓÒØ Ñ Ðô Ñ ÙØ Ò ôö Ò Ø Ó ÖÕ Ø Ò Ó ÖÕ ÔÓÙ Ø ÕÓÙÒ Ø Ô ÒØ º ÓÒ Ô ÙØ Ø ÖÕ ÔÖÛØ ÖÕ Ò ÙØ ØÓÙ Ö ÑÓ ØÓÙ Ö ÑÓ Ö Ò ÔÓÐÐ ÓÑÓ Ø ¹ Ø Ñ Ø ÙÔ ÖÕÓÒØ ÔÖ Ñ Ø Ñ ÙØ ÔÓÙ ÔÓ ØÓ Ò ÞÛ Ô Ö Ø ÖÓ Ô ØÓ Ô Ö Ø Ò ØÓ ÛÖº º º Ó Ô Ò Ø Ø Õ Ö Ø Ö Ø Ó Ò ÐÓ ØÛÒ ÑÓÙ ôò Ð Ñ ÛÒ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ö ØÓ Ò Ñ Ö ÑÓ Ô Ø Ø Ð Ø ÙÔ ÐÓ Ô ÔÖ Ñ Ø ÛÖÓ Ò Ø ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ø Ó Ò ÒØ ØÓÙ ÔÐ ÓÙ ØÛÒ Ö ¹ ÑôÒº º º Ò Ø Ø ÙÔ ÖÕ Ò Ø Ö Ñ Ö Ø ÔÙ Ö Ð Ö Ñ ¹ Ø ÛÑ ØÖ ÖÑÓÒ ÅÓÙ µ ØÖÓÒÓÑ º ÙØ Ò ØÓ Ð quadrivium Ñ ÖÓ ØÛÒ ÔØ Ð ÖÛÒ Ø ÕÒôÒº Ã Ø ØÛÒ Å ÛÒ Ø ØÖ Ø ØÖ ÑÑ Ò Ñ Ö ØÓ trivium Ö ÑÑ Ø Ö ØÓÖ Ð Ø Ø Ò ÔÐô Ø Û Ø ÙÔ ÐÓ Ô º Ç ÈÐ ØÛÒ Ø Ò Ó ÔÖôØÓ ÔÓÙ Û Ø Ñ Ö ØÓÙ quadrivium ØÓ ÒÓÑ Å Ñ Ø ÙØ ÔÓÙ ÔÖ Ô Ò Ñ ÙØÓ Òº Ö Ñ Ø ³ÇÔÛ Ò Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ó Ö ØÓØ Ð ØÓÒÞ ØÓÒ ÔÖÓ Ü ÕÓÒØ Ö ÐÓ ØÛÒ Ö ÑôÒ Ø ÈÙ Ö Å Ñ Ø º ËØ Ö ØÓÙ Æ Ñ ÕÓÙ ÔÓÙ Ô ¹ Ö Ð Ñ ÒÓÒØ ØÓ ÐÓ ³ ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÕÒ Ø ÈÙ Ö Ö Ñ Ø º ÖÑÓ Ø Ñ Ì Ò ÔÖôØ ÔÐ ÖÑÓ Ø Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò ÈÖ Ø ³ º ³ÇÔÛ Ò Ø Ò ÐÙØ ØÓ ÐÓ ³ ØÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓÙ Ø ÕÖÓÒ Ð Ö Ðô Ö ÞÓÒØ Û ÔÓÐÙÛÒÙÑ Ü ô ÙØ ÖÓÙ ÑÓ Ñ ÖÒÓÙ Ø º ÌÓ Ô Ö ØÛ Ñ Ô ÖÓÙ Þ Ø Ò Ð Ø ( x + b 2) 2 = c 2 + Εννοούσαντουςρητούςαριθμούς.ΤοΠυθαγόρειοΘεώρημαοδήγησεστηνανακάλυψη των αρρήτων, κάτι που έδωσε ισχυρό κτύπημα στη Σχολή του Πυθαγόρα. ΟδιαχωρισμόςτωνσπουδώνσεκλασσικέςκαιθετικέςστοσημερινόΕλληνικόΛύκειο σίγουρακάνειτακόκκαλατουπλάτωνανατρίζουν... ( b 2 ) 2,

55 ÔÓÙ ô c 2 Ò Ó Ò Ñ Ò Ø ØÖ ôòóù b ØÓ Ñ Ó Ó ÒØÓÙ Ù¹ Ö ÑÑÓÙ ØÑ Ñ ØÓº ÌÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ Ñ Ü ÐÞ Ø Ò Ô ÖÜ ÔÓ ÓÙ z ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ø Ò Ô Ø Ò ÓÔÓ Ö ÓÙÑ ØÓ xº c 2 + ( ) 2 b = z 2 2 ËÕ Ñ º À ÛÑ ØÖ Ð ÛÒÙÑ Ü Û º ÑÑ ØÖ ØÑ Ñ Ø ³ÇÔÛ ÔÖÓ Ô Ñ ÔÛ Ò Ö Ó È ÔÔÓ Ø Ñ ØÖ Ù Ö ÑÑ ØÑ Ñ Ø Ð Ø Ù Ö ÑÑ ØÑ Ñ Ø Ñ Ñ Ö Ø Ð Ó Ò Ð Ò Ð Ó Û ÔÓÐ Ô Ø Ò Ò Þ Ø ØÓÙ Ñ ÓÙ Ø ÙÔÓØ ÒÓÙ Ò Ó ÐÓ ÓÖ Ó ÛÒÓÙ ØÖ ôòóùº ÌÓ Û ÖÓ ³ Ò Ô ØÓÙ Ñ Ñ Ø Ó Ñ Ø ØÓÙ ÈÙ Ö Ø Ò Ó ³ÁÔÔ Ó Ó Å Ø ÔÓÒØÒÓº Ò Ö Ó Á Ñ Ð ÕÓ º º º Ø Ò ÈÙ Ö Ó ÐÐ ÒØ ÙØ ÔÓÙ ÙÒ Ö Ý ÑÓ Ù Ø Ò Ø Ù Ø Ö Ñ Ø ô Ô ÒØ ÛÒ Õ Ò Ù Ó Ø Ò ØÓÙ ÐÐ ÜÙÑÒ Ø Ò Ò ÐÙÝ ØÓÙº Είδαμεμίαδιαφορετικήέκδοσηαυτήςτηςιστορίαςστοπροηγούμενοκεφάλαιο.

56 à ï Ä ÁÇ º ÈÀ ï Ë ÁÁÁ ÈÍ ïçê Ë À ÔÓÐ Ø Ø Ñ ØÓÙ ÈÙ ÓÖ ÓÙ Â ÛÖ Ñ ¹ ØÓ Ò Ø Ñ Ø Ø ÔÓ Ó ØÙÕ Ó Ò Ð ØÓ Ö ÑÓ ØÓÒ ÖÛØ Ø Ø ÙÑ Ø Ô Ø ÕÓÐ Ñ Ñ Ø Ò Ô ÖÔÓÙ ÓÙÖÓ Ø Ô ÒØ ÌÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ º ÙØ Ò Ñ ÔÐ Ò Ü ØÓÙ ÓÒ ØÓ Ø ØÓ ÈºÂº Ø Ø Ø Û ÔÓÐ Ø Ø ÔØ Ù Ñ ÔÖôØÓÙ Ñ ÓÙ Ø Ò Ò ÖôÔ Ò ¹ ØÓÖ Òô ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ø Ø Ñ Ø Ò ØÓÙ Ñ Ø Û Ò ÓÑ ÒÓ Ø ÞÛ º À ÔÓÙ Ø Ø ØÓÙ Ø Ò ÐÐÓ Ó¹ Ò Ï Ñ Ñ Ø ÔØ Ù Ñ Ò ÔÓÐ Ø Ø Ð ÖÓÒÓÑ Ò Ð Ò Ü ÖØ Ø Ðô Ð ôò ÐÔº ÌÓ ÈºÂº Ø Ò Ø Ø ÒÓ Ø ÐÓ ØÓÒ ÑÓº Ã Ò Ô Ó Ñ ÒØ Ô Ø Ò ÑÓÙ pop ÔÓ Ñ º ³ Ò Ø Ð ÙØ Ó Õ Ð Ó ÈºÂº Ô ØÓ Õ Ñ Ó Ø ÔÓ a 2 = b 2 + c 2 Ò Ò ÐÓÙ Ñ ÐÓÙ ÔÖÓ Ò º Å ÒÓ Ô Ü Ø Ô Ö Ø Ø ÔÐ ÖÓ¹ ÓÖ Ø Ò Ð ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓº à ÙØ Ð Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ Ñ Ø º ³Á Û ØÓ Ñ Ó Ø ÔÖÓ Ô ÔÓÙ Ô Ø Ø Ø Ò ¹ Ü Û Ò Ó ÔÓØ Ð Ñ ØÓ Ò Ô Ö Ø Ò Ø ØÓ Ô Ö ØÛ ÐÙÔØ ØÓÙ Lander ÔÓÙ ÖÛÒ ØÓÙ Ñ Ñ Ø Ó ÓÒÓÑ Þ Ø Ë Ù Ó º ËÕ Ñ º Ç Ë Ù Ó ØÓÙ Landerº

57 Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÇÖ Ó ÛÒÛÒ º½ ÇÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÌÓ ÐÓ ³ Ò ÒØÓÑÓ ÓÑÓ Ò Ñ Ñ ÒÓ ½ ÔÖÓØ Ó ÓÖ ¹ ÑÓ Ø Ò ÖÕ º ËØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ Ñ ÖÓ ØÓÙ ÔÖ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ÔÓÙ ÓÖÓ Ò ÓÖÓÙ ÙÒ Ù ÑÓ ÓÖ Ó ÛÒÛÒ Ø ØÖ ôòûò ÓÙ Ô Ö ¹ ÕÓÑ ÒÓÙº ËØÓ Ø ÐÓ ØÓÙ ÙÔ ÖÕ Ò Ù ØÓÙ ÈÙ ÓÖ ÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ÔÓÙ Ñ Ö ÐÓ Ñ Æ ÑÓ ØÛÒ ËÙÒ Ñ Ø ÒÛÒ ÔÛ ØÓ ÔÛ Ø ØÖ ÛÒÞÓÙ¹ Ñ Ò ÙÖØ ÔÓÐ ÛÒÓº ½ Ë Ñ ÛÒ Ñ ÔÓ ÓÙ ØÓÖ Ó ØÓ ÐÓ ³ Õ ÈÙ Ö ÔÖÓ Ð Ù º Ï ÙÒ Û ÓÐÓÙ Ó Ñ ØÓÒ Ù Ð Ø Ò Ñ Ð ÓÖ Ó ôò Òô Ø Ð ÒÓÙÑ Ø ÔÖ Ø Ô Ö Ñ ôòº ÇÖ ÑÓ ½º à ÓÖ Ó ôò Ó Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ð Ø Ø Ô Ö Õ Ø Ó Ù ¹ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ø Ò ÓÖ ÛÒ º ¾º Ã Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ ÕÛÖÓ ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ô Ø Ô Ö ÐÐ Ð ¹ Ö ÑÑ ÖÛ Ô Ø Ò Ñ ØÖ ØÓÙ Ñ Þ Ñ Ø Ó ØÓÙ Ô Ö ÔÐ ÖôÑ Ø Ð Ø ÒôÑÛÒº ¾ ½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωση στην Πρόταση β 14. ¾ Γνώμωνστηνκυριολεξίασημαίνειέναπράγμαπουεπιτρέπεισεκάτιναγίνειγνωστό,εξ ου και τα σημερινά εμπειρογνώμονας, νηογνώμονας. Κατά τον Ηρόδοτο, οι Ελληνες έμαθαν

58 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï À ÏÅ ÌÊïÁ ÌÏÆ ÇÊÂÇ ÏÆïÁÏÆ ËÕ Ñ º½ ÒôÑÓÒ º ³ Ò ÒôÑÓÒ Ø Ò Ò Ó ÔÖÛØ ÓÒÓÙ Ð Ó ÖÓÐÓ Ó Ò Ö ØÓ ØÓÒ ÓÖÞÓÒØ ØÓ ÓÔÓÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ ØÓ Ò Ñ ØÖ Ø Ó ÕÖ ¹ ÒÓº Ç Ñ Ñ Ø Ó ÔÖÓ Òô Ñ Ø Ö Ò ØÓ ÒÓÑ ØÓ Ô Ö ÑÓ Ó ÛÑ ØÖ Õ Ñ ËÕ Ñ º½µº º¾ Ç ÈÖÓØ ØÓÙ ÐÓÙ ³ È Ö Ð ÔÓÙÑ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½ ÔÓÙ Ò Ñ Ò Ù ØÛÒ ÈÖÓØ ÛÒ ³ ¾» Ñ ÐÐÓÒ Ô Ö Ñ Ð ØÓÙ Ñ Ø ¹ Ù Ð ÓÙ ÕÖ ÒÓÙº Ë Ñ ôòóùñ Ñ ÒÓ Ø ØÓ ÔÓØ Ð Ñ ÑÔÓÖ Ò Ö Ø Û ÙØ ÔÓÙ Ñ Ö ÐÓ Ñ Ô Ñ Ö Ø Ø Ø a(b + c) = ab + ac. Ø ÈÖÓØ ³ ¾» ØÓ Ô Ö ØÛ ËÕ Ñ º¾ Ô Ü Ö Ñ ô ÓÙÑ Ñ ÒÓ Ø ÈÖ Ø ³ ¾ Ò Ö Ø Ø ØÖ ÛÒ Òô ³ ÓÖ Ó ôò º ³ ¾º AE = DC + FB, Ð Ö a 2 = ab + ac Ò a = b + c, ³ º AE = AD + BD, Ð Ö (a + b)a = ab + a 2. τονπόλο,τονγνώμονακαιτιςδώδεκαώρεςτιςμέραςαπότουςβαβυλωνίους.σύμφωναδε με το λεξικό του Σουίδα, ο Αναξίμανδρος( π.χ.) ήταν αυτός πρωτοχρησιμοποίησε τον γνώμονα. ΑκολουθούμετονΕυκλείδησυμβολίζονταςτετράγωνα,ορθογώνιακαιπαραλληλόγραμμα, με τις διαγωνίους τους.

59 º¾º ÈÊÇÌï Ë ÁË ÌÇÍ Á ÄïÁÇÍ ï ËÕ Ñ º¾ ÈÖÓØ ³ ¾» º ÈÖ Ø ³ º Ò Ñ Ù Ö ÑÑ ØÑ ØÙÕ Ø Ø ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ð Ø Ù Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒ Ø Ù Ó ÓÖ ØÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ ÓÖ Ó ÛÒÓÙº ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ º ÈÖ Ø Û ØÓÒ ÒÛ Ø ÛÒÙÑ Ø ÔÓ (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab. Å Ñ ¹ Ð Ö Ô Ü ÔÓÙ Þ Ø Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÔÖÓØ ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ò Ü Ô Ü Ø ³ º Ô Ø Ò ÈÖ Ø ³ ¾ (a + b) 2 = (a + b)b + a(a + b).

60 ¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï À ÏÅ ÌÊïÁ ÌÏÆ ÇÊÂÇ ÏÆïÁÏÆ ÐÐ Ô Ø Ò ÈÖ Ø ³ ÕÓÙÑ Ô (a + b)a = a 2 + ba, (a + b)b = ab + b 2. ³ Ö ÔÖÓ ÔØ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº Ç Ù Ð ØÓ Ð Ô Ö ÛÑ ØÖ º À Ô Ü Ò Ò ÓÐ ÐÐ Ñ ÐÐÓÒ ÕÓ ÒÓØ Ò º È Ö Ö Û ÔÛ ÈÖ Ø ³ Ò Ô Ö Ø Ø Ø Ò ÐÐ Ò ÆÓÑ Ñ Ø º È Ö Ø Ö Ø ØÓ ËÕ Ñ º ØÓ Ò Ñ Ñ Ø Ò ØÓÙ ¼¼ Ժɺ Ô ÖÔÓÙº ÈÖ Ø ³ º Ò Ù Ö ÑÑ ØÑ Ò ØÑ Ñ Ø Ø Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÓÙ Ô Ö Õ Ñ ÒÓÙ Ø Ò ØÑ Ñ Ø Ø Ð Ù ÓÖ Ó ôò Ó ØÓÙ Ø ØÖ ô¹ ÒÓÙ Ø ÓÖ ØÛÒ Ò ÛÒ ØÛÒ ÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ ØÓÙ Ñ Ó Ø Ù º Ø Ò Ù ØÑ ØÑ Ñ Ø ØÓ Ò ØÑ Ñ Ø ØÓ Ð Û Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÓÙ ÓÖ Ó ÛÒÓÙ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø ØÓÙ Ø ØÖ ôòóù Ø Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ab + [(a + b)/2 b] 2 = [(a + b)/2] 2 º Ø Ò ÙÑ Ø ³ ÈÖ Ø ³ Ô Ö ØÓÙÑ Ñ ÒÓ ØÓ Õ Ñ ËÕ Ñ º µº À Ð Ø ÈÖ Ø Ò Ø Ü Ö º Ανκαι,εφαρμόζειτηνΠρότασηβ 6στουςαριθμούςστοΛήμματηςΠρότασηςι 28. ΟιπαλαιότερεςεκδόσειςτωνΣτοιχείωνπεριείχανκαιμίαάλληαπόδειξητηςΠρότασης β 4 που αποδίδεται στον Θέωνα τον Αλεξανδρέα. Η απόδειξη αυτή διαφέρει ελάχιστα από την υπάρχουσα.

61 º¾º ÈÊÇÌï Ë ÁË ÌÇÍ Á ÄïÁÇÍ ï ½ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ (2a + b)b + a 2 = (a + b) 2 º ËÕ Ð Ø ÈÖÓØ ³» º Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø Õ Ñ Ø º º ÓÙÑ b xº ³ÇÔÛ ÑÔÓÖÓ Ñ ÓÐ Ò Ó Ñ Ó ÈÖÓØ ³» ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ñ Ø Ö ¹ ØÓ Ò ÓÐ Ø Ü ô Ð Ø Ü ô ( ) 2 ( b b = 2 2 x ( ) 2 b (b + x)x + = 2 ) 2 + x(b x), ( ) 2 b 2 + x, ( ) 2 ( ) 2 b b x 2 bx + = 2 2 x, ( ) 2 ( ) 2 b b x 2 + bx + = x, ÒØ ØÓ Õ º Ð Ó ÈÖÓØ» Ñ ÕÒÓÙÒ Ø Ò ÙÖ ÓÐ Ü ÔÛ Ùѹ ÔÐ ÖôÒ Ø ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓº Ç Ù Ð ÛÖ Ó Ü ÕÛÖ Ø Ô Ö ÔØô Ó Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÖÒ Ø Ñ Ñ º À ÙÑÔÐ ÖÛ ØÓÙ Ø ØÖ ô¹ ÒÓÙ Ò ØÓ ÔÖôØÓ Ñ Ø Ð Ø Ø ØÖ ÛÒ Ü Û ÔÛ ÐÓ Παρατηρείστεότιοιόροι x(b x)και (b+x)xδίδουντοαντίστοιχοεμβαδόντουγνώμονα.

62 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï À ÏÅ ÌÊïÁ ÌÏÆ ÇÊÂÇ ÏÆïÁÏÆ ÙÑ Ñ Ø Ô ØÓ ÕÓÐ Óº Ó Ñ Ø Ñ Ø x 2 + bx + c = 0, ( ) 2 ( ) 2 b b x 2 + bx + = c, 2 2 ( x + 2) b 2 ( ) 2 b = c. 2 ËØÓ Ô Ñ ÒÓ Ñ ÔÖ Ô Ò Ü Õ Ø ØÖ ÛÒ ÖÞ ØÓÙ ( b 2) 2 cº ÙØ Ü ÖØ Ø Ô ØÓ Ñ Ó ØÓ ÔÖ ÑÓ ØÓÙ c Ö Ô Ø ôö Ô ØÓÒ Ù Ð Ó ÓÔÓÓ Ò Õ ØÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ Ø Õ Ö ØÓÙ Ò ÐÐ ÙØ ØÓ Ñ Ñ ÕÖ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ¾ ÔÓÙ Ô Ð ØÓ Ñ ÙØ Ò ÔÛ ÖÙÑÑ ÒÓº ³ Ö ÐÓ Ô Ò Ò ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ñ Ð Ñ Ð Ø Ø ØÖ ÛÒ Ü Û ÓÒ ÓÖ Ø ÈÖÓØ ³» ÐÐ Ñ ÐÐÓÒ Ô ô ÒÛ ØôÒ Ð ÛÒº À ÈÖ Ø ³ Ô Õ Ø ÐÐ ÖÑ Ò º  ØÓÙÑ x yº Ì Ø = x + y x y Ô Ö Ø Ö Ø Ø Õ Ø ÈÖ Ø ³ Ò (x + y)(x y) = x 2 y 2, Ç Ô Ñ Ò ÈÖÓØ ³ ¹½¼ Ò Ô Ö ÐÐ Ø Ñ Ø ØÛÒ ³ º à ¹ Ø Ô Ò Ó Ù Ð ØÖ Ø ØÖ ÓÖ Ø Þ Ø Ñ Ø ÈÖ Ø ³ ½½ Ò Ø Ò Ø Ù ØÓÙ ÒÓÒ Ó Ô ÒØ ôòóù ØÓ ÐÓ ³ Ó ÈÖÓØ ³ ½¾ ½ Ò ÓÙÒ ØÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ Ø ÐÓ ÈÖ Ø ³ ½ Ò ÓÖÛÒ Ø ÓÐÓÙ ô ÕÓÐ Ø Ñ ØÓÒ Ø ØÖ ÛÒ Ñ ÔÓÐÙ ôòûòº ÈÖ Ø ³ ½½º Æ ØÑ Ó Ù ô Ø ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ð Ø Ò Ù Ò Ô Ø ØÑ Ñ Ø ÓÖ Ó ôò Ó Ò Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ ØÓÙ ÐÓ ÔÓ ØÑ Ñ ØÓº ³ ØÛ Ó Ù ÔÖ Ô Ò ØÑ ô Ø ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ð Ø Ò Ù Ò Ô Ø ØÑ Ñ Ø ÓÖ Ó ôò Ó Ò Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ ØÓÙ ÐÓ ÔÓ ØÑ Ñ ØÓº Ô Ü º ÒÓÙÑ Ø Ò Ô Ü Ñ Õ Ð º ØÓ Ñ Ñ Ó Â Ô ÒÛ Ø Ò Ø ØÓ Ó

63 º¾º ÈÊÇÌï Ë ÁË ÌÇÍ Á ÄïÁÇÍ ï ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½½º ô Ø Â Â Âº ËØ Ò ÖÕ Ó Ù Ð Ô Ö Ö Ø Ò Ø Ù ØÓÙ Õ Ñ ØÓ Ø Ö ØÓ Ô Ø Ø ØÖ ÛÒÓ ØÓ ÕÓØÓÑ ØÓ Ñ Ó ÙÒ Ø Ô ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ø ØÓ Ó ô Ø Ò Ñ Ø Ò ½¼ Ö Ô Ø Ò ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Â ½½ Ø ÀÂ Ô ØÓ Ãº Ä Û Ø Ø ÑÒ Ø ØÓ Â ô Ø ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ó Â Ò Ø Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Âº Å Ø Ò Ó Ø ÈÖ Ø ³ ØÓÙ ÈÙ ÓÖ ÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ³ ÕÒ Ø ØÓ Ñ Ó Â Õ Ø Ô ÙÑ Ø Ø Ø ΤοσημείοΘχωρίζειτοΑΒσεμέσοκαιάκρολόγο,δηλαδήείναιηχρυσήτομήτουΑΒ. Για την χρυσή τομή και τις τεράστιες επιπτώσεις της στα μαθηματικά, αλλά και σε άλλες επιστήμες,δείτελ.χ.τηνιστοσελίδα τομή. Πρότασηα 46. Πρότασηα 10. ½¼ Πρότασηα 3. ½½ ΠάλιλόγωτηςΠρότασηςα 46.

64 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï À ÏÅ ÌÊïÁ ÌÏÆ ÇÊÂÇ ÏÆïÁÏÆ ËØ Ò ÕÓÙÑ Ø Ò Ø Ø Ø ³ Ø Ô Ù ÕÓØÓÑ Ø ØÓ ÔÖÓ Ø Ø ÙØ Ö ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ø ÓÖ Ó ôò Ó Ñ Þ Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ º ½¾ Ã Ø Ô Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò ÙÔ ØÓ ÈºÂ À Ò Ñ Ø Ò Ö ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ó Ñ Þ Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ò Ó Ñ ØÓ ³Ø ØÖ ÛÒÓ Ø º ÐÐ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ø Ò ÓÖ ÛÒ ØÓ º ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ÓÖ Ó ÛÒÓÙ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ó ØÓÙ Ø ØÖ ôòóù Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ º ÙØ ØôÖ ÙÒ Ô Ø ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ô Ø ÓÖ Ó ÛÒÓÙ ØÓÙ Ø ØÖ ôòóù Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ º Ô Û Ô Ö Ø ÔÖ Ñ Ø ÒÓÒØ ÓÐ Ö ØÓ Ó Ò Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ö ÐÓ Ô Ò ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ø ÓÖ Ó ôò Ó Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø º ÌÓ Ã Ò ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ô Ò Ñ Ø Àº ÌÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ò ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø º ³ Ö ØÓ Ã Ò Ó Ñ ØÓ Ö ØÓ Ó Ò Ãº ³ Ö ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Â Ò Ó Ñ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó Â º à ØÓ Ñ Ò Â Ò ÙØÓ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø Â Ó Ò Ñ Ø Ò ØÓ Â Ò ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Âº ³ Ö ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ø Â ÓÖ Ó ôò Ó Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Âº ËÕ Ð Ó Ï ÙÒ Û Ó Ù Ð Ò Ñ Ð ÔÛ Ø Ø Ò Ø Ù ØÓÙ ÐÐ Ñ ÒÓ ôò Ø Ò Ð ØÓÙº Ø Ø Õ Ð Ø ³» µº ÔÓ Ð ÔØ ØÓ ÑÙ Ø ØÓÙ ÔÓÐ Ö Ø Ö Ø Ò Ø³ ¼º ½¾ Πρότασηβ 6.

65 º¾º ÈÊÇÌï Ë ÁË ÌÇÍ Á ÄïÁÇÍ ï ³ ØÛ b ØÓ Ó Ò ØÑ Ñ x ØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ ÓÑÑ Ø ØÓÙº ÙÒ ³ ÕÓÙÑ Ø b(b x) = x 2, b 2 = x 2 + bx. Å Ø Ò ³ ØÓ ØÓ Ñ Ø Õ Ñ ØÞ Ø Ø Ò ( ) 2 ( b b 2 + = x + b 2, 2 2) ØÓ ÈºÂº Ñ Ò ØÑ Ñ d Ø ØÓ Ó ô Ø ( ) 2 ( b d 2 = b 2 + = x + b 2, 2 2) Ö x = d b, ÔÛ Ø Ù Ø º 2 ËØ Ò Ø³ ¼ ÙØ Ô Û Ò Ò ÛÑ ØÛÑ Ò Ø Ò Ò Ø Ð Ø ØÖ ÛÒ ôò ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Ø³ ¼º ÌÓ Ø Ø Ð ÙØ ÔÖ Ø Ü ØÓ ÔÛ Ö ÓÙÑ Ò Ñ Ó ô µ ÙÔ Ø ÔÖÓ ÙÔÓ Ø ³ º ÇÙ ¹ Ø ÙØ Ò Ø ÔÛ Ô Ö Ô ÒÛ Ñ Ø Ò Ó Ø ³ Ò Ø Ö Ø Ø Ñ Ø Ò Ò Ù Ø Ø³ ¾ º Ø ÑÛ ³ ½½ Ò Ò ÖÓÙ À ÈÖ Ø ³ Ò Ô Ö ØÓÙ ÒÓÒ Ó Ô ÒØ ôòóù Ñ ÔÐ ÙÖ x ôò Ó bº ÔÓ Ò Ø Ø b : x = x : (b x) Ð Ó Ò Ñ Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ ½ b(b x) = x 2. Æ ÐÓ Ô Ò ØÓ ÓÙ Ø Ò Ñ Ø ³ ½½ Ò ÔÖÓ ÓÖ ÓÙÑ Ø Ò ÔÐ ÙÖ x Ò ÒÓÒ Ó Ô ÒØ ôòóù Ø Ò Ø ôò Ó bº Ç Ù Ð ØÓ ÔÓ¹ ÛÔ ÙØ ØÓ ÐÓ ³ ÐÐ ØÓ ÐÓ ³ ÔÓÙ Ø Ù Þ ØÓ Ô ÒØ ÛÒÓº ½ ½ Ημαθηματικήαλήθειαδενεξαρτάταιαπότακίνητρα.ΟΕυκλείδηςτοδίδαξεαυτόσεπολλές γενεές μαθηματικών. Το να διδάσκεις σε μία τάξη είναι τελείως διαφορετικό, βέβαια. Οι μαθητές έχουν κάθε δικαίωμα να καταλαβαίνουν το πως τα ειδικότερα βήματα κατευθύνονται στο συγκεκριμένο στόχο.

66 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï À ÏÅ ÌÊïÁ ÌÏÆ ÇÊÂÇ ÏÆïÁÏÆ Ç ÈÖÓØ ³ ½¾»½ Ò ÔÓÐ Ñ ÒØ Ñ Ö Ó Ò Ò ØÔÓØ ÐÐÓ Ô ØÓÒ Æ ÑÓ ØÛÒ ËÙÒ Ñ Ø ÒÛÒº ÅÓÐ Ø Ø Ø ËØÓ Õ Ô Ö ¹ Ø ÒØ Ò Ò ÖÓÒØ Ó Ø ÖÑ ÞÓÒØ ÔÓØ Ü Ò º ÈÖ Ø ³ ½¾º ËØ Ñ ÐÙ ôò ØÖ ÛÒ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø ÔÐ ÙÖ ÔÓÙ ÙÔÓØ Ò Ø Ò Ñ¹ Ð ÛÒ Ò Ñ Ð Ø ÖÓ Ô ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ø Ò Ñ Ð ÛÒ Ø Ó ÓÖ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ ¹ Ø Ô Ñ ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÖÛ Ô Ø Ò Ñ Ð ÛÒ Ø Ò ÓÔÓ Ö Ø ØÓ Ô Ø Ò ÔÐ ÙÖ ÔÓÙ Ð Ñ Ò Ø ÜÛØ Ö ØÓÙ ØÖ ôòóù Ô Ø Ò ØÓ ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ð ÛÒ º ³ ØÛ Ñ ÐÙ ôò Ó ØÖ ÛÒÓ ØÓ Ñ Ñ Ð ÛÒ Ø Ò Õ Ô ØÓ Ñ Ó ØÓ Ô Ø Ò º ½ Ä Û Ø ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ò Ñ Ð Ø ÖÓ Ô ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ Ø Ó ÓÖ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½¾º Æ ÑÓ ÙÒ Ñ Ø ÒÛÒ Ñ ÐÙ ôò ØÖ ÛÒ º Ô Ü º Ô ØÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ ³ Ò º Ô ØÓ ÛÒÙÑ ôö Ñ ³ ¾ ½ Πρότασηα 12.

67 º¾º ÈÊÇÌï Ë ÁË ÌÇÍ Á ÄïÁÇÍ ï Ô³ ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº ËØ ÕÖÓÒ Ðô Ò Ò cos º Ô Ò Ñ Ð ØÓ ÙÒ ÑØÓÒÓ Ò ÖÒ Ø Ô Ö¹ ÒÓÙÑ ØÓ ÔÓØ Ð Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º ¹¾ cos º ½ Æ Ø Ù Ø Ø ØÖ ÛÒÓ Ó Ñ Ó Ò Ù Ö ÑÑÓ Õ Ñ º ³ ØÛ ØÓ Ó Ò Ù Ö ÑÑÓ Õ Ñ º Ø Ø Ò Ø Ù Ø Ø ØÖ ¹ ÛÒÓ Ó Ñ ØÓ º ½ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º Ì ØÖ ÛÒ Ñ Ø ØÖ ÔÐ ÖÓÙº Ô Ü º Ã Ø Ù Þ Ø ÓÖ Ó ôò Ó Ñ ÔÐ ÙÖ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ñ ØÓ º ½ Ò Ò Ø ØÖ ÛÒÓ ÕÓÙÑ Ø Ð ô º Ñ Ð Ø Ö Ô Ø Ò º ÐÐÛ ØÛ Ø Ò ½ ΟΝόμοςτωνΣυνημιτόνωνθαανεπτύσσετοσεπλήρηδύναμηπολύκαιρόμετάτονΕυκλείδη. ½ ΚατάτονΑριστοτέλησταμετάταΦυσικά,οτετραγωνισμόςορίζεταικαλύτεραωςη εύρεση του μέσου ανάλογου, παρά του τετραγώνου ίσου περιεχομένου. Και αυτό διότι, το πρώτο αναφέρετσι στην αιτία ενώ το ύστερο στο συμπέρασμα και μόνο. ½ Πρότασηα 45.

68 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï À ÏÅ ÌÊïÁ ÌÏÆ ÇÊÂÇ ÏÆïÁÏÆ Ô Ø ÒÓÙÑ Ø Ò ØÓ Ø ô Ø º ÕÓØÓÑÓ Ñ Ø Ò ØÓ À Ö ÓÙÑ ØÓ Ñ Ð Ó Â ÒØÖÓÙ Àº Ô Ø ÒÓÙÑ Ø Ò ØÓ Âº Á ÕÙÖ Þ Ñ Ø Ø Â 2 º ÈÖ Ñ Ø À 2 À 2 º ½ À À Ò Ñ Ø Ò ÀÂ Ô Ø Ù º ³ Ö À 2 À 2 À 2  2 º ½ ÖôÒØ ØÓ À 2 Ô Ø Ó Ð Ô Ö Ø ÖôÒØ Ø À ÔÖÓ ÔØ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº ÌÓ Ô Ö Ô ÒÛ ôö Ñ Õ Ø Ò ØÓÙ Ü º Ò Ó ÓÔ Ø ÛÖ ÔÓÙ Ò ÔØ Õ Ø ³ ¹ Ñ Û Ø ³ ³ ÓÖÙ ô Ø Ò ³ ½ º Ò ÜÙÔ Ö Ø Ò Ò ÐÐÓ ÓÔ Ô ØÓ Ò Ñ Ø ô Ñ Ù Ö Ñ Ò Òô ÐÐ ô Ò Ô ÒØ Ñ Ñ ÒØ ÖôØ Ø ÛÖ ÐÐ Ø ÔÖ Ø ÙÒ Ñ º ½ Πρότασηβ 5. ½ Πρότασηα 47.

69 Ã Ð Ó È ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôò IV Ì ØÖ ÛÒÞÓÒØ ØÓÒ Ã ÐÓ ÌÓ Â ôö Ñ ³ ½ Ð Ò Ò Ñ ÒØ ÔÖ Ð Ñ Ã ÔÓÐÙ ÛÒ Õ Ñ ÑÔÓÖ Ò Ø ØÖ ÛÒ Ø º ³ÇÔÛ ÙÒ Û Ø Ñ Ñ Ø Ð Ò ÔÖÓ¹ Ð Ñ ØÓ Ò Ò Ô Ö ÖÕ Ò ÐÐÓÙº ÌÓ Ô Ñ ÒÓ Ñ ÒØ Õ Ñ Ò Ó ÐÓº ÈÛ ØÓÒ Ø ØÖ ÛÒÞÓÙÑ Ç ÈÖ ÐÓ ÙÔÓ Ø ÖÞ Ø ÈÖ Ø ³ ÔÓÙ Ò ØÓ Ø Ð ÙØ Ó Ñ ÔÖÒ Ø Ò ³ ½ Ø Ò ÙØ ÔÓÙ Ó ØÓ ÔÖ Ð Ñ º ÌÓ ÔÖ Ð Ñ ØÓÙ Ø ØÖ ÛÒ ÑÓ Ø Ò Ø Ó Ü ÕÓÒ ØÓÙ Ð Ó ÕÖ ¹ ÒÓÙ ½ Ô ÒÛ ØÓ ØÓÙ ÐÓÙ Ø Ò Õ Ñ ÒÓ ÔÓÙ Ñ Ó Ö ØÓ Ò Ò Ñ Ò ÓÖ ÙØ ØÓÙ ³ÇÖÒ ØÓÙ ½ Ժɺµº ¾ Ä Ø Ø Ó Ò Ü Ö ¼¼¹ ¼ Ժɺµ ÔÖÓ Ô Ò Ø ØÖ ÛÒ ØÓÒ ÐÓ ÒØ Ð ØÓ Ø ÙÐ º È ÖÔÓÙ Ø Ò ÕÖÓÒ Ô ÖÓ Ó Ó ÁÔÔÓ Ö Ø Ó ÉÓ Ø ØÖ ôò ØÓÙ Ñ Ò ÓÙº ½ Ητανένααπόταλεγόμενατρίαάλυταπροβλήματατηςαρχαιότητας.Ταάλλαδύοήταν ο διπλασιασμός του κύβου(το Δήλιον πρόβλημα) και η τρχοτόμηση της γωνίας. ¾ ΛέγειοΜέτων,οαυτοδιορισμένοςπολιτικόςεπίτροποςτηςΝεφελοκοκκυγίας: Ορθώ μετρήσω κανόνι προστιθείς, ο κύκλος γένηταί σοι τετράγωνος καν μέσω αγορά, φέρουσαι δ ώσιν εις αυτήν οδοί ορθαίπροςαυτότομέσον,ώσπερδ αστέρος αυτού κυκλοτερούς όντος ορθαί πανταχή ακτίνες απολάμπωσιν. Μηνίσκος=μικρόςμήνας. Ανεννοήσουμεσεληνιακόμήνα,τότεκαταλαβαίνουμετην

70 ¼ à ï Ä ÁÇ º ÈÀ ï Ë IV Ì ÌÊ ÏÆïÁ ÇÆÌ Ë ÌÇÆ ÃïÍÃÄÇ ËÕ Ñ º½ Ì ØÖ ÛÒ Ñ ØÓÙ Ñ Ò ÓÙº Ç ÁÔÔÓ Ö Ø Ø Ø Ò Ü ÖÕ Ç Ð Ó ØÛÒ Ñ ôò ØÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒ Ò ÐÓÙ Ò Ó Ñ ØÓÒ Ð Ó ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÛÒ ØÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒº Ã Ø Ô Ò Ø ØÓ Õ Ñ º½µ Ò Ó Ð ÓÖ Ó ôò Ó ØÖ ÛÒÓ Ø Ñ Ð Ñ Ø ÒØ ØÓ Õ ÔÐ ÙÖ º ÉÖ ÑÓÔÓ ôòø ØÓ ÈºÂº Ø Ò Ô Ó Ô ÒÛ ÖÕ Ü Ø ØÓ Ñ Ò ØÓÙ Ñ Ù ÐÓÙ Ñ Ñ ØÖÓ Ø Ò ÙÔÓØ ÒÓÙ Ò ÔÐ Ó ØÓÙ Ñ Ó ØÓÙ Ò Ô Ø Ñ Ð Ñ Ñ ØÖÓÙ Ø µ Ø ÔÐ ÙÖ º ³Í Ø Ö Ñ ÒØÙÔÛ Ø Ò ÔÓÕ ØÓÙ ØÖ ÔÓ Ò Ð ØÓ Ñ Ð Ó Ø ÙÔÓØ ÒÓÙ Ô ÒÛ ÙØ Ò Ô Ö Ø Ö Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÓÙ Ñ Ó ØÛÒ Ó Ñ Ò ÛÒ ØÓÙ Ñ Ó ØÓÙ Ñ ÐÓÙ Ñ Ù ÐÓÙ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÓÙ Ñ Ó ØÛÒ Ó Ñ ÖôÒ Ñ Ù ÐÛÒ ØÓÙ Ñ Ó ØÓÙ ØÖ ôòóùº Ä Û ÑÛ ØÓÙ Ø ØÓ Ñ Ò ØÓÙ Ñ Ð Ø ÖÓÙ Ñ Ù ÐÓÙ Õ Ó Ñ Ó ÓÖ ØÓ Ñ ØÓÙ Ò Ñ ÖÓ Ñ Ù ÐÓÙ ÔÖÓ ÔØ Ø ØÓ ÔÐ Ó ØÓÙ Ñ Ó ØÓÙ Ñ Ò ÓÙ Ó Ø Ñ ØÓ Ñ Ò ØÓÙ ØÖ ôòóù Å ÐÐ Ð Ó Ñ Ò Ó Ò ØÓ Ø Ö ÛÒÓ Ñ ÔÐ ÙÖ ØÓ Ñ Ø ÔÐ ÙÖ ØÓÙ Ó ÐÓ ÓÖ Ó ÛÒÓÙ ØÖ ôòóù Ð ØÓ Ñ Ø ØÓÙº À ÖÕ ØÓÙ ÁÔÔÓ Ö Ø ÔÓ Ò Ø Ô ØÓÒ Ù Ð Ø Ò ÈÖ Ø ³ ¾ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ñ ÓÙ ØÓÙ Ù ÜÓÙº Ò ÕÓÙÑ Ó ÐÓÙ Ñ Ñ E 1, E 2 ØÒ r 1, r 2 Ø Ø ³ ¾ Ñ Ð Ø E 1 : E 2 = r 2 1 : r2 2. ³ Ö Ó Ò Ñ E 1 : r 2 1 = E 2 : r 2 2, ονομασία. Οι ασχολούμενοι με τα αθλητικά θα ξέρουν βέβαια ότι ο μηνίσκος είναι σύνδεσμος του γονάτου, στον οποίο έχουν ευπάθεια οι ποδοσφαιριστές. Και αυτός ο μηνίσκος έχει σχήμα σελήνης στη χάση.

71 ½ ÔÓÙ Ñ Ò Ø Ó Ð Ó ØÓÙ Ñ Ó Ò ÐÓÙ ÔÖÓ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø ØÒ ØÓÙ Ò Ø Ö ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ πº Ð E : r 2 = π, E = πr 2. Ç ÔÖÓ ÓÖ Ñ ØÓÙ π Ò Ø Ò ÖÕ Ø Ø ÖÕ Ñ = < π < = Ñ Ñ Ð Ö ÔÓ ØÓÒ Ã Ø ØÓÒ Ñ Ø ØÓÙ ÈÖ ÐÓÙ ÑÑôÒ Ó ÔÓÙ Ö ¼¼ ÕÖ Ò Ñ Ø ØÓÒ ÁÔÔÓ Ö Ø Ò Ñ ÒÓ Ó ÖÕ Ñ ÔÓÙ Ö Ñ Ö ÔÖÓ ØÓÙ π Òô Ó ÔÖÓ Ô Ò Ò ØÓÒ Ø Ù ÓÙÒ Ö Ò Ø ØÖ ÛÒ ÓÙÒ ØÓÒ ÐÓµ Ô ØÙÕ Ò Ó ØÖ º Å Ø Ò Ö ØÓÙ Ó Ñ Ø ØÓÙ ÑÑôÒ ÓÙ Ë ÑÔÐ Ó Ö ØÓ ¼ Ѻɺ Ø Ó Ð Ó ÔÓÙ ØÓ ÔÖ Ð Ñ ØÓÙ Ø ØÖ ÛÒ ÑÓ Ò ÑÓ Ò Ò Ñ ÒÓ ØÓ Ø Ò Ò Ø ØÖ ôò ØÓÒ ÐÓ ÐÐ ØÓ Ø Ò Ò ÑÔ Ö Ò Ü Ø Ó ÐÓ Ò Ø ØÖ ÛÒÞ Ø º Ï ÕÓÐ Ø ØÓÙ Ö ØÓØ Ð Ó Ë ÑÔÐ Ó Þ Ø Ò ÔÓÐ ØÓÒ Å ¹ ÛÒ º ÙØ Ò Ø Ô ØÓ Ø Ó ÒØ ÖôÒ ØÓÙ Ø Ð ÙØ ÓÙ ô ØÕÓÙ Ø Â ÃÛÑÛ ØÓÙ Ñ Ò ÓÖ ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ë Ò ØÓÒ ÛÑ ØÖ ÔÓÙ Ù Þ Ø Ø Ý ØÓÙ Ò Ñ ØÖ ØÓÒ ÐÓ Ò ÑÔÓÖ Ó Ò Ø Ø Ò Ø ÐÐ Ð ÖÕ Ò Ö º Δείτεκαιεδώ: ΣτοβιβλίοτουΚύκλουΜέτρησις. Εκείαπέδειξεότικαιηπεριφέρειατουκύκλουείναι ίσημε 2πr. Χωρίςτηνπροϋπόθεσητηςχρησιμοποίησηςμόνοκανόνακαιδιαβήτη,οκύκλοςείχε τετραγωνιστεί από τον Δεινόστρατο, τον αδελφό του μεναίχμου και τον Νικομήδη, γύρω στο 350 και στο 200 π.χ. αντίστοιχα. Αυτοί χρησιμοποίησαν την καμπύλη του Ιππία του Ηλείου ( 450 π.χ.), που για αυτό το λόγο ονομάστηκε τετραγωνίζουσα, η οποία δεν είναι όμως κατασκευάσιμη με κανόνα και διαβήτη. Για λεπτομέρειες, δείτε λ.χ. την ιστοσελίδα dinostratus.html Σεπολικέςσυντεταγμένες,ητετραγωνίζουσαείναιηr=θ/ sinθ.γνωστήεπίσηςήτανη λύσητουαρχιμήδη,πουχρησιμποίησετηνέλικάτου, r = θ.δείτελ.χ.καιτηνιστοσελίδα του Αρχιμήδη Dante Aligheri( ). Φλωρεντίνοςποιητής,οπρώτοςπουέγραψεποίησηστη δημώδη γλώσσα και όχι στα κατεστημένα ως τότε, αλλά νεκρά Λατινικά.

72 ¾ à ï Ä ÁÇ º ÈÀ ï Ë IV Ì ÌÊ ÏÆïÁ ÇÆÌ Ë ÌÇÆ ÃïÍÃÄÇ Ã Ø ØÓÒ ØÓ ÓÑÓ ôò Ñ Ø Ù Ø Ñ Ø Ø Ö Ñ Ð Ø ØÛÒ ÓÖÛÒ Õ ÖÕ Ò Ò Ø Ø ØÓ ÔÖ Ð Ñ ØÓÙ Ø ØÖ ÛÒ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ Ø Ò ÓÙ Ø ÔÖ Ð Ñ ÔÓÙ ÓÖÓ Ø Ò Ø ØÛÒ Ö ÑôÒº Ç James Gregory Ø ÔÛ ØÓ ½ Ø Ò Ø Ñ ØÖ ØÓÙ ÐÓÙ ÕÖ Þ Ø Û Ò ÛÒ Ö ÑôÒº Ç Leibniz Ü ÔÐ Ø Ò Ô ØÛ Ø ØÓ π Ò ØÓ Ö Ó Ñ Ô Ö Ö ÐÐ Ñ ÒÓ Ô Ø Ò Ñ Ò ÐÙ ØÓÒ ÒÛ Ø Ø ÔÓ ØÓÙ Euler e 2πi = 1 ØÓ π Öô Ø Ò Ö ÕÑ ØÛÒ Ñ Ñ Ø ôòº Ø ÕÖ Ò Ñ Ø ØÓÒ Gregory Ó Lambert Û Ñ Ñ Ö Ô ÒØ ØÓÒ Ë ÑÔÐ Ó ÔÓ Ò ÓÒØ Ø ØÓ π Ò ÖÖ ØÓº Ç Euler, Legendre Ô ØÛ Ò ÖÛ Ø ½ ¼ Ø Ò ÖÖ ØÓ ÑÔÓÖ Ò Ò ÖÞ Ñ ÔÓ¹ ÐÙÛÒ Ñ Ü Û Ñ Ö ØÓ ÙÒØ Ð Ø ÑÔÓÖ Ò Ñ Ò Ò º ËØ Ò Ø Ð ÙØ Ô ÖÔØÛ Ó Ö ÑÓ ÙØÓ ÓÒÓÑ ÞÓÒØ ÙÔ Ö Ø Ó Ó Legendre Ø Ó π Ò ÙÔ Ö Ø º Ë Ñ ÛÒ Ñ Ø Â ÛÖ ØÓÙ Galois ÔÓÙ Ò ÔØÙ Ø Ò Ö Ô Ö Ø Ø Ð ØÓÙ ½ ÓÙ ôò Ò Ö Ñ Ø Ù Þ Ø Ñ Ò Ò Ø Ò Ñ ÒÓ Ò Ò Ò ÙÔ Ö Ø º Ç Lindemann Ô Ü ØÓ ½ ¾ Ø Ó π Ò ÙÔ Ö Ø Ô ÒØ ÓÖ Ø ÖÒ Ø ØÓ ÔÖ Ð Ñ ØÓÙ Ø ØÖ ÛÒ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙº ÙØ Ò Ø Ø Ö Ø Ò Ø Ñ Ø Ø ÕÓÖ ØÛÒ Ô Ö ÑÛÒ Ø ØÖ ÛÒ ØôÒ ÔÓÙ Ñ Ø Ñ Ö Ñ ÔÓØ ÐÓ Ò Ñ Ö Ø ÕÙÖ Ò Ø Ð Û Ø Ö Ð Ø ÓÑ º Ç ÔÓ Ü ØÓÙ Ø Ó ÐÓ Ø ØÖ ÛÒÞ Ø ÒÓ ÒØ Ô Ø Ö Ø ÐÓ Ø Ø Û Ø ÔÓÐ Ó Ö Ò Ø Ñ Ò ØÛÒ ÔÖÓØ ÖÛÒ ÔÖÓ Ô º ËØÓ ØÙÓ ½¼ ÐÐ Õ Ñ ÒÓ ÑÔÓÖ Ò Ò Ø ØÓ ÔÓ Ü º Τέτοιοιαριθμοίλέγονταιαλγεβρικοί. Λ.χ. ο 2ίναιαλγεβρικόςεφόσονείναιρίζατης x 2 2 = 0. Διότιυπερβαίνουντιςδυνάμειςτωναλγεβρικώνμεθόδων. ½¼ Απλώςπληκτρολογείστε τετραγωνισμόςκύκλου σεμίαοποιαδήποτεμηχανήαναζήτησης, και τα τέρατα θα εμφανιστούν μπροστά σας.

73 Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ È Ö ÐÓÙ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½ ½½ ÈÖ Ø ½ ÈÛ Ö ÓÙÑ ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙº ÈÖÓØ ¾ ½ ÉÓÖ ÐÓ Ø ÑÒ Ñ ÒÓ ÔØ Ñ ÒÓ º ÈÖÓØ ½ ½ ÔØ Ñ Ò º ÈÖÓØ ¾¼ ¾¾ ½ ÛÒ ØÑ Ñ Ø ÐÓÙ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÐÓÙº

74 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ÈÖÓØ ¾ ¾ ¾ ÉÓÖ Ø Ü ÛÒ º ÈÖ Ø ¼ ÈÛ ÕÓØÓÑ Ø Ò Ø ÜÓº ÈÖÓØ ½ È Ö Ø Ö Ô Ö ÛÒ ôò ÐÓÙº ÈÖÓØ ÌÓÑ ÕÓÖ ôò Ø ÑÒÓÙ ôò ÔØÓÑ ÒÛÒº º¾ ÇÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½º ³Á Ó ÐÓ Ò ÙØÓ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ó Ñ ØÖÓ Ò Ó ÔÓ Ø ¹ ØÓÙ Ô Ø ÒØÖ Ò º ½ Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ ô Ø ÒÒÓ Ø Ø Ø ÐÛÒ Ò Ò Ø Ø Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ ÔÛ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ñ ÐÐÓÒ Ø Ø Ñ ØÖÛÒ ØÒÛÒµº Ç Ù Ð ÓÔ Ò ÔÓ Ü Ø Ò ÖÕ ØÓÙ ÁÔÔÓ Ö Ø Ô Ø Ò ÓÔÓ ÔÖÓ ÔØ Ó ÙÒ Ñ ØÛÒ ÓÖ ÑôÒº ¾º Ì ÔØÓÑ Ò ØÓÙ ÐÓÙ Å Ù Ð Ø Ø ÔØ Ø Ò ÐÓ Ò Ø Ò ÙÒ ÒØ ¾ ØÓÒ ÐÓ ÔÖÓ Ø Ò Ø Ò Ø ÑÒ ØÓÒ ÐÓº... º ÌÑ Ñ ÐÓÙ Ò ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô ØÓÒ ÐÓ Ñ Ù Õ Ñ º ½ Κατάπολλούςόπωςλ.χοι Tartaglia, Borelli, Playfairτούτοςοορισμόςέπρεπεναείναι αξίωμα. Κατ άλλους, όπως ο Simson, είναι δυνατόν να αποδειχθεί ως πρόταση χρησιμοποιώντας φερ ειπείν την εναπόθεση, αλλά ο Ευκλείδης το αποφεύγει αυτό όπου μπορεί. Βλέπουμε ότι δεν υπάρχει ορισμός της ακτίνας, οι Αρχαίοι δεν χρησιμοποιούσαν αυτόν τον όρο. Ετσι ακτίναεδώείναιηαπόστασηαπότοκέντρο. ¾ άπτεταιστοαρχαίοκείμενο. Αςπαρατηρήσουμετηδιαφοράτουάπτεται=συναντάκαι εφάπτεται.

75 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë ËÉ ÌÁÃïÀ Âï ËÀ ÃïÍÃÄÏÆ º ÛÒ ØÑ Ñ ØÓ Ò Ô Ö Õ Ñ Ò Ô ÔÓ Ù Ô Ö ¹ Ö ÐÓÙº º ÛÒ ØÑ Ñ Ò ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø ÙÒ Ñ Ò ØÑ Ñ Ø Ø Ò ÔÓ Ó Ñ Ó Ð Ô Ø Ô Ö Ö ØÓÙ ØÑ Ñ ØÓ Ó Ù ÙÒ Ó Ò Ô ÙØ ÔÖÓ Ø Ö Ø Ù ÓÔÓ Ò ØÓÙ ØÑ Ñ ØÓº ËÕ Ñ º½ ÛÒ ØÑ Ñ ØÓ Ö Ø Ö µ ÛÒ ØÑ Ñ Ü µº... ½½º ³ÇÑÓ ØÑ Ñ Ø ÐÛÒ Ò Ø Õ Ñ Ò ÛÒ ÙØ Ó ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÉÓÖ ÐÛÒ ÐÓ Ø ÑÒ Ñ ÒÓ ÔØ Ñ ÒÓ ÈÖÒ Ü Ò Ñ ØÓ Å ÖÓ Ó Ù Ð Ô Ö Ø ØÓ ÔÖ Ð Ñ ³ ½ ÔÛ Ö Ø ØÓ ÒØÖÓ Ò ÐÓÙº ÌÓ ØÓ Ò Ø Ô Ö Ü ÒÓ Ó Ô ÖÜ ØÓÙ ÒØÖÓÙ Ü ÐÞ Ø ØÓÙ ÇÖ ÑÓ ³ ½ ½ Ò Ñ Ò Ø Ø Ù ØÓÙ ÐÓÙ Ñ Ø Ü ÐÞ ØÓÒ ÔÖÓ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÒØÖÓÙº Å ÐÐÓÒ Ô Ö ÙØ Ø ÔÖ Ø Ô Õ Ô Ð Ø Ö Ø ÕÒ º Ò¹ Ø ØÓ Ñ Ò Ò ÖÕ Ó ÛÑ ØÖ Ø ÕÒØ µ Ò Ö Ò ÐÓ ØÓ ÕôÑ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò ÓÙº ÈÓÙ Ò ØÓ ÒØÖÓ À Ô ÒØ Ò ÓÐ º Ç Ù Ð Ô ÖÒ Ñ ØÙÕ ÕÓÖ Ø Ò Ñ Ó Ø Ø º Ã Ø Ô Ò ÔÓ Ò Ø ØÓ Ñ ÓÒ Ø Ñ Ó ØÓÙ Ò ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ Οορισμόςτηςγωνίαςσετμήμααπηχείτηνπαράδοσητηςμεικτήςγωνίας.Σήμεραείναι παντελώς ξεπερασμένος. Είναιηγνωστήσεόλουςεγγεγραμμένηγωνία. Δηλαδή,ηχορδή. Προτάσειςα 9και11. Εδώόμωςυπάρχειέναχάσμα: απόπουθενάδενδικαιολογείται ότιημεσοκάθετοςθατέμνειτονκύκλοσεακριβώςδύοσημεία! Τούτοοδήγησετον De

76 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ Ñ Ø Ò Ô Û ØÓÔÓº Ò ØÓ ÒØÖÓ Ø Ò ÔÓ Ó ÐÐÓ Ñ Ó ÒØ ØÓÙ ÐÓÙ ØÓ ÒôÒ Ñ Ø Ö Ø ÕÓÖ ØÓ Ñ ÓÒ Ø ÔÓ Ò Ø ÜÛØ Ö ÛÒ ØÓÙ Ò Õ Ñ Ø Þ Ñ ÒÓÙ ØÖ ôòóù Ò Ñ Ø Ò ÛØ Ö ØÓÙ ÐÐÓÙ ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ËØ Ò ÈÖ Ø ³ ¾ ÔÓ Ò Ø Ø ÕÓÖ Ò ÐÓÙ Ò ØÓ ÛØ Ö ØÓÙ ÐÓÙ Òô Ø Ò ÈÖ Ø ³ ÔÓ Ò Ø Ø Ñ Ñ ØÖÓ ÕÓØÓÑ Ñ ÕÓÖ Ò Ñ ÒÓ Ò Ò Ø ÙØ Òº ÈÖ Ø ³ º Ò Ò ÐÓ Ó Ù ÔÓÙ Ò Ô ÖÒÓ Ò Ô ØÓ ÒØÖÓ Ø ÑÒÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ø Ø Ò ÕÓØÓÑÓ ÒØ º ³ ØÛ Ó ÐÓ Ñ ³ ÙØ Ò Ó Ù Ó ÔÓÙ Ò Ô ÖÒÓ Ò Ô ØÓ ÒØÖÓ Ø ÑÒÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ØÓ Ð Û Ø Ò ÕÓØÓÑÓ ÒØ º ËÕ Ñ º¾ ÈÖ Ø ³ º Ô Ü º Ø ØÛ Ø Ò ÙÒ Ø Ò Ò ÕÓØÓÑ Ó Ò ô Ø Ò Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò Õ Ð ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ ØÛ ØÓ ÙÒ º Morgan να δώσει μία εναλλακτική μέθοδο, αποδεικνύοντας πρώτα ότι η ευθεία που διχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει προβλήματα για λεπτομέρειες, κοιτάξτε τον Heath, vol. II, σελ Πρότασηγ 1.

77 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë ËÉ ÌÁÃïÀ Âï ËÀ ÃïÍÃÄÏÆ Ô ÐÓ Ô Ò ÔÓ Ù ÔÓÙ Ô ÖÒ Ô ØÓ ÒØÖÓ ÕÓØÓÑ ÔÓ Ø Ò Ø ÑÒ ØÛ Ò Ö ÓÖ º È Ð Ô ÔÓ Ù ÕÓØÓÑ ÔÓ Ø Ò Ø ÑÒ ¹ ØÛ Ö Ò ÓÖ º Õ Ø Ò ÓÖ Ö Ò Ñ Ø Ò Ñ Ö Ø Ö Ñ Ø Ò Ñ Ð Ø Ö ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ³ Ö Ò Ò ÐÓ Ó Ù ÔÓÙ Ò Ô ÖÒÓ Ò Ô ØÓ ÒØÖÓ Ø ÑÒÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ø Ø Ò ÕÓØÓÑÓ ÒØ Çº º º Ç ÈÖÓØ ³ ½½»½¾ Ò ÙÑ º  ÜÓÙÑ Ñ ÒÓ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½½ ÔÓÙ Ñ Ð ÛØ Ö ÔØ Ñ ÒÓÙ ÐÓÙ Ô Ü Ø ³ ½¾ ÔÓÙ Ñ Ð ÜÛØ Ö ÔØ Ñ ÒÓÙ ÐÓÙ Ò Ô Ö ÔÐ º ÈÖ Ø ³ ½½º Ò Ó ÐÓ ÔØÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÛØ Ö Ð Ó Ò Ø ÒØÖ ØÓÙ Ø Ø Ù ÔÓÙ ÙÒ Ø ÒØÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ô Ö Ô ØÓ Ñ Ó Ô ØÛÒ ÐÛÒº Ø Ò Ó ÐÓ ÔÓÙ ÔØÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÛØ Ö ¹ ØÓ Ñ Ó Ð ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ ØÓ ÒØÖÓ À ØÓÙ ÐÓÙ º Ä Û Ø Ù ÔÓÙ ÙÒ Ø À ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ô ÖÒ Ô ØÓ º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½½º Ô Ü º Πρότασηγ 3. Πρότασηγ 1.

78 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ Ø Ò Ò Ò ÙÒ Ø Ò ÑÔ ÔÛ À ÙÒ Ó Ò Ó Àº Ô ÐÓ Ô Ò ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À À Ò Ñ Ð Ø ÖÓ Ô Ø Ò Ð Ô Ø Ò Â ½¼ Ö Ó Ò Àº ³ Ö ÐÓ Ô À Ò Ñ Ð Ø Ö Ø ÐÓ Ô Àº À À Ò Ñ Ø Ò À Ö À Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ø Ò ÀÂ Ð Ñ Ö Ø Ö Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ø Ò Ñ ¹ Ð Ø Ö ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ³ Ö Ô Ø À ÙÒ Ñ Ò Ù Ò Ô Ö ÜÛØ Ö Ô ØÓÒ Ò ÐÓ ÐÐ ÛØ Ö ØÓÙ ÐÐÓÙµ Ö Ô Ö Ô ØÓ Ó Ò Ñ Ó º ³ Ö Ò Ó ÐÓ ÔØÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÛØ Ö Ð Ó Ò Ø ÒØÖ ØÓÙ Ø Ø Ù ÔÓÙ ÙÒ Ø ÒØÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ô Ö Ô ØÓ Ñ Ó Ô ØÛÒ ÐÛÒ Çº º º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½¾º Ç ÈÖÓØ ³ ½½»½¾ Õ Ò Ò Ö Ñ Ø ÖÑÓ Ø Ò ÖÕ Ø ØÓÒ ØÓÙ Å ÛÒ Ò ÓÙ Ø Ù Ø Ø ØÓÙ Ð Ñ ÒÓÙ ÓØ Ó ÖÙ ÑÓ º ËÕ Ñ º µ ½¼ Πρότασηα 20.

79 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë ËÉ ÌÁÃïÀ Âï ËÀ ÃïÍÃÄÏÆ ËÕ Ñ º ÖÑÓ ØÛÒ ÈÖÓØ ÛÒ ³ ½½»½¾ Ø Ò Ñ ÛÒ ÖÕ Ø ØÓ¹ Ò À Ý Ø Ritterstiftskirche ØÓ Wimpfen Ø ÖÑ Ò ½¾ ¼º ËÕ Ð Ø ÈÖÓØ ³ ½½»½¾ ËÕ Ø ¹ ÐÛÒ Ò Ò Ô Ö Ø Ô ØÓÙ Ñ Ð Ø Ø ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒ Ø Ó ÔÓ Ü ØÛÒ ÈÖÓØ ÛÒ ³ ½½»½¾ Ò Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø º ½½ À Ñ Ö Ò ÔÖ Ø ¹ ÔÓÙ ÒØ Ø ÙØ Ø ÈÖÓØ ÐÐ Ü ÓÐÓÙ Ò Þ Ø Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ù Ð ÛÖ Ñ Ø ÙÒ ØÓÒ Ö Ñ Ø Ò Ø Ò ¹ ØÛÒ Ó ÒôÒ Ñ ÛÒ Ó ÐÛÒ Ñ Ø Ò Õ ÔÓÙ Õ Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ ØÓÙ Ñ ØÓ Ñ Ó ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙº ½¾ ËÙÒÓÐ Ó ÈÖÓØ ³ ½½»½¾ ÒØ Ø ÒØ Ô Ø Ô Ñ Ò ½ ½º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó ÐÛÒ Ò Ñ Ð Ø Ö Ô ØÓ ¹ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø Ó ÐÓ Ò ÕÓÙÒ Ó Ò Ñ Ò ÜÛØ Ö Ó Ó Ò ÔÖÓ ØÓÒ ÐÐÓÒº ¾º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó Ò ÛÒ ÐÛÒ Ò Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ò Ô ÐÙØ Ø Ñ Ø ÓÖ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø Ó ÐÓ Ò ÕÓÙÒ Ó Ò Ñ Ó Ñ Ö Ø ÖÓ ÐÓ Ø ÓÐ Ð ÖÓ ÛØ Ö ØÓÙ Ñ Ð Ø ÖÓÙº º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó ÐÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø Ó ÐÓ ÕÓÙÒ Ò Ó Ò Ñ Ó Ñ ÒÓ ØÓ ÓÔÓÓ Ø Ø Ò ÒØÖÓº Ç ÐÓ Ò ÜÛØ Ö Ó Ó Ò ÔÖÓ ØÓÒ ÐÐÓÒº º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó Ò ÛÒ ÐÛÒ Ò Ñ Ø ÓÖ ½½ Δείτελ.χ.τον Heath, Vol. II,σελ ½¾ Οιρίζεςαυτήςτηςμεθόδουβρίσκονταιστους Veronese, Legendreκαιάλλους. ½ Γιατιςαποδείξεις,κοιτάξτετον Heath, Vol. II,σελ.30 32,ήταβιβλίατηςΓεωμετρίας του Λυκείου.

80 ¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø Ó ÐÓ ÕÓÙÒ Ò Ó Ò Ñ Ó Ñ ÒÓ ØÓ ÓÔÓÓ Ø Ø Ò ÒØÖÓº Ç Ñ Ö Ø ÖÓ ÐÓ Ø ÛØ Ö ØÓÙ Ñ Ð Ø ÖÓÙº º Ò Ô Ø ØÛÒ ÒØÖÛÒ Ó ÐÛÒ Ò Ñ Ö Ø Ö Ô ØÓ ÖÓ ¹ Ñ Ñ Ð Ø Ö Ô Ø ÓÖ ØÛÒ ØÒÛÒ ØÓÙ Ø Ø ÕÓÙÒ Ó Ó Ò Ñ ÔÓÙ Ö ÓÒØ ÙÑÑ ØÖ Û ÔÖÓ Ø ÒØÖÓ ÐÐ Ò ÒØ ³ ÙØ Òº º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÔØ Ñ Ò Ç Ø Ö ÔÖÓØ ÙØ Ø Ô Ö Ö ÓÙ Ò Ñ Ð ô Ø Ò ØÓ ¹ Õ ô ÛÑ ØÖ Ø Ñ Ø Õ Ñ ØÞÓÙÒ Ø Ò Ø ÒÒÓ Ø ÔØÓ¹ Ñ Ò Û Ñ Ö ÑÑ ÔÓÙ ÓÙÑÔ ØÓÒ ÐÓ Ò ÕÖ ØÓ Ö Ð Ó Ñ ØÓ Ò ô ÓÙÒ Ñ ÔÐ Ø Ù Ø ÔØ Ñ Ò À ÔØ Ñ Ò Ò Ø Ø Ò ØÒ ÔÓÙ Ø Ô ØÓ ÒØÖÓ ÔÖÓ ØÓ Ñ Ó Ô º ÈÖ Ø ³ ½ À Ù ÔÓÙ Ö Ø Ø Ô ØÓ ÖÓ Ø Ñ ØÖÓÙ Ò ÐÓÙ Ô Ø ØÓÙ ÐÓÙº à ØÓÒ Ø ÔÓ Ñ Ø Ü Ø Ù Ø Ô Ö Ö Ò ÑÔÓÖ Ò Ô Ö Ñ Ð ½ ÐÐ Ù º Ã Ñ Ò ÛÒ ØÓÙ Ñ Ù ÐÓÙ Ò Ñ Ð Ø Ö Ô ÓÜ Ù Ö ÑÑ ÛÒ ÐÓ Ô Ò Ñ Ö Ø Ö Ô ÓÜ Ù Ö ÑÑ ÛÒ µº ½ ³ ØÛ Ó ÐÓ ÖÛ Ô ØÓ ÒØÖÓ Ñ Ñ ØÖÓ Ð Û Ø Ñ Ò Ô ØÓ ÔÖÓ Ø Ò Ø Ô Ø ØÓÙ ÐÓÙº Ô Ü º Ø Ò Õ Õ Ô ÒØ ØÓÙ ÐÓÙ ÔÛ Õ ÙÒ º Ô Ò Ñ Ø Ò ÛÒ Ò Ñ Ø ÛÒ º ½ À Ò ÓÖ Ö º ³ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ½ ουπαρεμπεσείταιστοαρχαίοκείμενο=δενμπορείναπέσειμεταξύ. ½ Απότηναρχαιότηταήδη,αλλάκαιστοδιάστημααπότον13οέωςτον17οαιώνα,το τελευταίο μέρος της πρότασης έγινε αντικείμενο διαμάχης. Ποιες γωνίες εννοεί ο Ευκλείδης; ΚατάτονΠρόκλο,καιεδώαπηχείταιηπαράδοσητωνμεικτώνγωνιών,τιςοποίεςκατάτ άλλα ο Ευκλείδης χρησιμοπιεί από ελάχιστα έως καθόλου. Η γωνία που παρεμβάλλεται βέβεια δεν είναι μεικτή. Στν προ-ευκλείδεια εποχή, ο Δημόκριτος είχε γράψει περί της διαφορής γνώμης ή περί ψαύσεως κύκλου και σφαίρης. ½ Πρότασηα 5.

81 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÈÌïÇÅ Æ Ë ½ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º ÇÖ Ñ Ø ÔØÓÑ Ò º Ó ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ½ ³ Ö Ñ Ò Ô ØÓ Ø Ø Ò Ô ÒØ ØÓÙ ÐÓÙº ÇÑÓÛ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÜÓÙÑ Ø ÑÑ Ø ØÓ Ø Ô Ô Ø Ô Ö Ö º ³ Ö Ô ÓÙÒ Ð Ø º Ô ÔÛ º Ä Û Ø ØÓÒ Ø ÔÓ Ñ Ø Ü Ø Ø Ô Ö Ö Â Ò Ô Ö Ñ ÐÐ Ø ÑÑ ÐÐ Ù º Ø Ò Ø Ò ÙÒ Ø Ò Ô Ö Ñ Ð ÔÛ Õ Ô ØÓ Ñ Ó À Ø Ø Ò º ½ Ã Ô À Ò ÓÖ À Ò Ñ Ö Ø Ö Ô ÓÖ Ò Ö Ñ Ð Ø Ö Ô Ø Àº ½ À Ò Ñ Ø Â Ö Â Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ø À Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ñ Ð Ø Ö ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ³ Ö ØÓÒ Ø ÔÓ Ñ Ø Ü Ø Ù Ø Ô Ö Ö Ò Ô Ö Ñ ÐÐ Ø ÑÑ ÐÐ Ù º Ä Û Ø Ñ Ò ÛÒ ØÓÙ Ñ Ù ÐÓÙ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ô Ö Ö Â Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ù Ö ÑÑ ÓÜ ÛÒ ÐÓ Ô ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Â Ø Ò Ù Ò Ñ Ö Ø Ö Ô Ù Ö ÑÑ ÓÜ ÛÒ º Ø Ò ÙÔ ÖÕ Ù Ö ÑÑ ÛÒ Ñ Ð Ø Ö Ô Ø ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö ¹ Õ Ø Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ô Ö Ö Â Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ò ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Â Ø Ò Ù ØÓÒ Ø ÔÓ Ñ Ø Ü Ø Ô Ö Ö Â Ø Ù Ô Ö Ñ ÐÐ Ø Ù ÓÔÓ Ò Ø Ò ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø Ù µ Ñ Ð Ø Ö Ñ Ò Ô Ø Ò Ô Ö Õ ¹ Ñ Ò Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ô Ö Ö Â Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ò ÛÒ ½ Πρότασηα 17. ½ Πρότασηα 12. ½ Πρότασηα 19.

82 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Â Ø Ò Ù º ÐÐ Ò Ô Ö Ñ ÐÐ Ø º ³ Ö Ò ÙÔ ÖÕ Ù Ö ÑÑ ÓÜ ÛÒ ÔÓÙ Ò Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ø ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ô Ö Ö Â Ñ Ö Ø Ö Ô Ø ÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Â Ø Ò Ù º ËÕ Ñ º Ã Ö ØÓ ÛÒ º ËÕÓÐ ÞÓÒØ Ø Ò Ô Ü Ó Ñ Ü Ò Ø Ò Ö ØÓ ¾¼ ÛÒ ÔÓÙ Õ Ñ ØÞ Ø Ô Ø Ò Ù ØÓÒ ÐÓ ØÓ Ñ Ó Ô º Ñ Ø Ó Ù Ð ÔÓ Ò Ø ÛÒ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÐÓÙ Ø ÔØÓÑ Ò Ò Ñ Ö Ø Ö Ô Ù Ö ÑÑ ÛÒ º ÌÓ ØÓ Õ Ó Ö ÙÒ Ô Ø Ø Ü ØÛÒ ÛÒ ôò Ò Ð Û ØÓÙ Ñ ¹ ÓÙ ØÓÙº À ÛÒ α ØÓÙ Õ Ñ ØÓ º ÑÔÓÖ Ò ÕÓØÓÑ Ü Ò Ü Ò µ ÐÐ ÔÓØ ÔÖÓ ÔØÓÙ ÛÒ Ò Ò Ñ Ö Ø Ö Ô Ø Ò ¹ Ö ØÓ º Ñ ÕÖÓÒÓÙ ÖÓÙ Ø Ü ÙØ ØÛÒ ÛÒ ôò ØÛÒ Ñ ØôÒ ÙÑÔ Ö Ð Ñ ÒÓÑ ÒÛÒµ Ò Ñ ÖÕ Ñ º ¾½ Ç Ù Ð Ø Ò Ò Ñ ÖÓ Ø Ø Ø Ø ÐÐ Ô Ö ÔØô ÔÓ Ð Ñ ¹ ÖÕ Ñ Ø Ü º ËØÓÒ ÇÖ Ñ ³ Ñ Ð Ñ Ò Ø Ò ÔÓÐÐ ÔÐ ØÓ Ò Ò Ü Ô Ö ÓÙÒ ØÓ Ò ØÓ ÐÐÓ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½ Õ Ö ô Ø Ò Ø Ø Ø ³ ½ ÕÒ Ñ Ø Ó ØÓÙ ÓÖ ÑÓ ³ Ø Ø ÓÕ Ñ Ø Ð ÒÓÙÒ Ñ Ö Ø Ö Ô ØÓ Ø ÖÓ Ñ Óº Ç ÖÕ Ñ Ó Ñ ¹ ÖÕ Ñ Ø Ü Ø Ò ÒÛ Ø Ø Ô ÖÔÓÙ ÕÖ Ò ÔÖ Ò ØÓÒ ÖÕ Ñ º È Ö Ñ º ¾¼ ΟόροςοφείλεταιστονΠρόκλο. ¾½ Αςείναι xηγωνίαμεταξύτουκύκλουκαιτηςεφαπτομένηςκαι yμίατυχαίαευθύγραμμη γωνία. ΟΕυκλείδηςαπλάμαςλέγειότιγιακάθεφυσικόαριθμό n,το nx < yδηλαδήτο x είναιαπειροστόωςπροςτο y. Ενασύνολοπουέχειμίααλγεβρικήδομήκαιμίαδιάταξηκατά τηνοποίαυπάρχουν x, yμετο xναείναιαπειροστόωςπροςτο yκαλείταιμη-αρχιμήδειο.

83 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÈÌïÇÅ Æ Ë Ô ØÓ ØÓ Ò Ò Ö Ø Ù ÔÓÙ Ø Ø Ô Ø Ö Ñ Ñ ØÖÓÙ ÐÓÙ ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ Ø Ù ÔØ Ø Ò Ñ ÒÓ Ñ Ó Ô Õ Ø Ù ÔÓÙ Ø ÑÒ ØÓÒ ÐÓ Ó Ñ Ô Ø ÒØ ØÓÙ ÐÓÙº ¾¾ º Ǻ º º Ç ÈÖÓØ ³ ½»½ Ò Ñ Ö µ ÒØ ØÖÓ ØÓÙ ÈÓÖ Ñ ØÓº À ÈÖ ¹ Ø ³ ½ Ò Ó Ò ÖÓÒØÓ Ð Û Ø ØÙÔ Ø ÕÖ Ø Ùѹ Ñ ØÖ Ò Ñ Ñ Ø Ô Õ Ö Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º Æ Õ ÔØÓÑ Ò ØÓÙ ÐÓÙ Ô Ó Ò Ñ Ó ØÓÙº ³ ØÛ ØÓ Ó Ò Ñ Ó Ó Ó ÐÓº ÈÖ Ô Ò Õ Ô ØÓ ÔØÓÑ Ò ØÓÙ ÐÓÙ º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º Ô Ü º Ø Õ Ð ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ ¾ Õ ÙÒ º Ã Õ Ö Ó ÐÓ À Ñ ÒØÖÓ Ø Ñ ¾ º Ã Õ Õ Ø Ø Ò Ô ØÓ ¾ ÕÓÙÒ ÙÒ Ó º Ä Û Ø ÔØÓÑ Ò Ô ØÓ ØÓÒ ÐÓ Õ Õ º ¾¾ Πρότασηγ 2. ¾ Πρότασηγ 1. ¾ διάστημα=ακτίνα. ¾ Πρότασηα 11.

84 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ Ø Ô ØÓ Ò ÒØÖÓ ØÛÒ ÐÛÒ À Ö Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò º ³ Ø Ó Ó Ù Ò Ñ Ø Ó Ù Ô Ö ÕÓÙÒ Ó Ò ÛÒ º ¾ º ³ Ö Ò Ñ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ò Ñ Ø ÐÓ Ô ÛÒ º ¾ ³ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø ÛÒ º À Ò ÓÖ Ö ÓÖ º Ã Ò Ô ØÓ ÒØÖÓ ¾ º à ٠ÔÓÙ Ø Ø Ô ØÓ ÖÓ Ø Ñ ØÖÓÙ ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ ¾ Ö ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ º ³ Ö Ô ØÓ Ó Ò Ñ Ó ØÓÙ ÐÓÙ Õ ÔØÓÑ Ò Ù Çº ºÈº Ù ØÓ Ñ Ñ Ø Ô Ü Ò Ó ÔÖÓ ØÓ ØÖ ÔÓ Ñ ØÓÒ ÓÔÓÓ ÔØÓÑ Ò ÔÓÙ Ø Ò ÔÖôØ Ñ Ø Ò ÕÒ Ò Õ Õ Ñ ØÓ ÔÖ Ð Ñ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò Ô Ö Õ Þ ØÓ Ñ Ò ÔØÓÑ Ò ØÓ ØÓ Ò Ø Ò Ø Ù ÓÑÝÓØ ÕÒ Ñ º À Ø Ù ÕÒ Ô Ø Ô Ó Ò Ñ Ó Ø ÐÓÙµ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Õ Ó Ò Ó ÔØ Ñ Ò ØÓÒ ÐÓº Ò Ô Ò Ö Ø ØÓ Ø Ó ÔØ Ñ Ò Ò Ø Ó ÛÒ Ñ ÔÐ ÙÖ Ø ÔØ Ñ Ò Ø Ò Ù ÔÓÙ ÙÒ ØÓ Ó Ò Ñ Ó Ñ ØÓ ÒØÖÓ Ò Ô º ¼ Ç Ù¹ Ð Ô Ö Ð Ô Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ØÓ Ó Ò Ñ Ó Ö Ø Ô ÒÛ Ø Ò Ô Ö Ö ÔÖÓ Òô Ð Û Ø Ð ÔØÓÑ ÖÓ Ò ÐÙ Ø ÈÖ Ø ³ ½ º Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø ÐÓ Ø Ò Ü Ö Ñ Ø Ö ÑÑ Ò Ñ Ð Ó ÛÒ Ò ÓÖ ÈÖ Ø ³ ½ Ô Ö ØÛµ ÔÐô Õ Ñ Ò Ö ÝÓÙÑ ÐÓ Ñ ØÖÓÙ ØÓ ØÓ Ø ÑÒ ØÓÒ Ó ÒØ ÐÓ Ø Ó Ñ Ô º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ½ ÛÒ ØÑ ¹ Ñ Ø ÐÛÒ ³Á Û Ó Ø Ö Ô Ó Ñ ÒØ ÔÖÓØ ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒ Ò Ó Ô Ö ØÛ ½º À ÈÖ Ø ³ ¾ Ô Ö ØÓÙ ÖÓ Ñ ØÓ ÛÒ ôò ØÖ ôòóù ¾ ΜεκορυφήτοΕ. ¾ Πρότασηα 4. ¾ δηλαδήακτίνα. ¾ Πρότασηγ 16. ¼ Ταπαραπάνωδείχθηκαναπότον ΗρωνατονΑλεξανδρέα.

85 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ½ ÏÆïÁ Ë Ë ÌÅïÀÅ Ì ¾º ÈÖ Ø ³ ØÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ µ º ÈÖ Ø ³ ¾½ Ô Ö ØÓÙ Ò ÐÐÓ ôøóù ØÛÒ ÛÒ ôò ØÑ Ñ º ÈÖ Ø Ø³ ¾ Ô Ö ØÛÒ Ò ÐÓ ôò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÓÑÓÛÒ ØÖ ôòûòº À ÈÖ Ø ³ ¾¼ Ñ ØÓ ÓØ Ñ Ò ÖÕ ØÓ ÐÓ ³º ÈÖ Ø ³ ¾¼º Ë Ò ÐÓ ÛÒ ØÓ ÒØÖÓ ½ Ò ÔÐ Ø ÛÒ Ø Ò Ô Ö ¹ Ö Ø Ò Ó ÛÒ ÕÓÙÒ Ø Ò Ô Ö Ö º ¾ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ¾¼º Ô ÒØÖ Ö ÑÑ Ò ÛÒ º Ô Ü º ÉÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ÕÖÓÒÓ ÙÑ ÓÐ Ñ ÙÒØÓÑ ÐÐ Ø Ø³ ÐÐ ÓÐÓÙ Ó Ñ Ø Ð ÔØô ØÓÒ Ù Ð º ³ ØÛ α = Ñ ØÓ Ø ÜÓ º ÌÓ Ò ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙº Ø Ò ÔÖôØ Ô ÖÔØÛ Ò ØÓ ØÓ ÛØ Ö Ø αº À ÔÖÓ Ø Ò Ø ØÓ º Ì Ø ØÓ Ò Ó Ð Ö ÜÛØ Ö ÛÒ ǫ = = 2 2βº ³ÇÑÓ η = = 2 2γº ³ Ö µ = = ǫ + η = 2(β + γ) = 2αº À Ô ÖÔØÛ ØÓÙ Ñ ÓÙ ÒØ Ñ ØÛÔÞ Ø Ô Ö ÑÓ Ñ Ø ÓÖ Ø ÖÓ ÒØ ÒØ Ò ÔÖÓ Ø ÒØ Ó ÛÒ º À ÈÖ Ø ³ ¾½ Ò Ñ Ó Ô Ö Ñ Ø ³ ¾¼ ½ =ηεπίκεντρηγωνία. ¾ Μεάλλαλογιαηεπίκεντρηγωνίαενόςτόξουείναιδιπλάσιατηςεγγεγραμμένηςστοίδιο τόξο.

86 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ÈÖ Ø ³ ¾½º Ë Ò ÐÓ Ó ÛÒ ØÓ Ó ØÑ Ñ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº ËÕ Ñ º½¼ ÈÖ Ø ³ ¾½º Ç Ö ÑÑ Ò ØÓ Ó Ø ÜÓ Ò º À ÔÖôØ ÓÙ Ø ÖÑÓ Ø ÈÖ Ø ³ ¾½ Ò Ô Ö ØÛº ÈÖ Ø ³ ¾¾º ËØ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÒØ ÐÛÒ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ ØÛ Ó ÐÓ Ñ ³ ÙØ Ò ØÛ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ ØÓ Ð Û Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º Ô Ü º ÕÓÙÒ ÙÒ Ó º Ô ØÖ ÛÒÓ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÖ ôò ÛÒ ôò ØÓÙ Ò Ó Ñ Ó ÓÖ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÖ ôò ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º À Ñ Ò Ò Ñ Ø Ò Ò ØÓ Ó ØÑ Ñ Ò Ñ Ø Ò Ò ØÓ Ó ØÑ Ñ º ³ Ö Ð Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ º ÈÖÓ Ø Ø Ø Ó º ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ º ÐÐ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ Ó =εγγεγραμμένατετράπλευρα. Πρότασηα 32. Πρότασηγ 21.

87 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ¾ ÉÇÊ ï Ë ÌïÇ Ã Á ÏÆïÁ Ë ËÕ Ñ º½½ ÈÖ Ø ³ ¾¾º Ö ÑÑ ÒÓ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ Ç Ô Ò ÒØ ÛÒ ÕÓÙÒ ÖÓ Ñ Ó ÓÖ º ÓÖ º ³ÇÑÓ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö Ø Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÒØ ÐÛÒ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ Çº º º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ¾ ÉÓÖ Ø Ü ÛÒ Ë ØÓ Ø Ø Ô Ö Ö Ó ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ø ÒÓÒØ Ñ Ò Ø ÕÒ ØÖ ÔÓ Ò Ø Ö Ø Ø Ô Ö ÑÓ Ñ Ø ÔÖÓØ Ô Ö Ñ ôò Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑÛÒ ØÖ ôòûò ØÓ ÐÓ ³ ¹ º À Ø Ø ØÛÒ ÛÒ ôò Ñ Ø Ö Ø Ô ØÓ Ó ØÑ Ñ ØÑ Ñ Ø ÛÒ ÐÛÒ ÑÓ Ø ÕÓÖ Ø Ø Ü Ø Ü ÓÖÞÓÙÒ ÕÓÖ ÒØ ØÖ Û ØÓ Ó Õ Ø ÛÒ Ø Ø Ü º ³ÇÐ ÙØ Ö ÓÙÒ ÖÑÓ ØÓ ÐÓ ³º º ÐÓ ³ Å ÖÓ È Ö Ø Ö Ô Ö ÛÒ ôò ÐÓÙ ËØÓ Å ÖÓ ½ Ó Ö Ô Ö ÔØô Ò Ñ Ð Ø Òº À ÔÖôØ Ò ÙØ Ø ÛÒ Ñ Ð Óº À Ñ ØÖÓ Ò ÐÓÙ Ò Ñ Ù Ö ÑÑ

88 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ØÓÒ Ù Ð ÙØ Ò ÓÖÞ ÛÒ ½ ¼ ÑÓ ÖôÒ Ó ÓÖ ôòµ ØÓ ÒØÖÓº ÈÖ Ø ³ ½º Ë Ò ÐÓ ÛÒ Ñ Ð Ó Ò ÓÖ º º º ËÕ Ñ º½¾ ÈÖ Ø ³ ½º À Ö ÑÑ Ò Ñ ØÖÓ Ò ÓÖ º À Ô Ü Ò Ô Ð ÕÖ Ó ÐôÒ ØÖ ôòûò Ô Ö Ð ÔØ Õ Û Ü À ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ + Ö Ó + = + ÔÖÓ ÔØ Ø Ò ÓÖ º ÈÖ Ø ³ ¾º Ò ÔÓ Ù ÔØ Ø ÐÓ Ô ØÓ Ñ Ó Ô Õ Ù ÔÓÙ Ø ÑÒ ØÓÒ ÐÓ Ó ÛÒ ÔÓÙ Õ Ñ ØÞ Ñ Ø Ò ÔØÓÑ Ò Ò Ñ Ø ÛÒ Ø Ò ÐÐ Ü ØÑ Ñ Ø ØÓÙ ÐÓÙº Ø Ò Ù EF ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ ABCD ØÓ Ñ Ó B Ô ØÓ B Õ Ù BD ÔÓÙ Ø ÑÒ ØÓÒ ÐÓ Ð Û Ø Ó ÛÒ ÔÓÙ Õ Ñ ØÞ BD Ñ Ø Ò ÔØÓÑ Ò EF Ò Ñ Ø ÛÒ Ø Ò ÐÐ Ü ØÑ Ñ Ø ØÓÙ ÐÓÙ Ð ÛÒ FBD Ò Ñ Ø ÛÒ BAD ÛÒ EBD Ò Ñ Ø ÛÒ DCBº ΤοθεώρημααυτόαποδίδεταιστονΘαλή. Εχειειπωθείπροηγουμένωςότιείναιάμεση απόρροια της Πρότασης γ 20, αν αυτή επεκταθεί ώστε να περιέχει την περίπτωση είναι μικρότεροήίσοτουημικυκλίου,δηλαδήηγωνίαστοκέντροείναιίσημεδύοορθές. Υπάρχουν ενδείξεις στα Μετά τα Φυσικά του Αριστοτέλη, ότι υπήρχε διαφορετική απόδειξη του αποτελέσματος αυτού γνωστής στους προ-ευκλείδειους χρόνους. Ηπρότασηπεριέχεικαιάλλααποτελέσματαπουαφορούνγωνίεςτμημάτωνκαιγωνίες σε τμήμτα μεγαλύτερα ή μικρότερα ημικυκλίων.

89 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÏÆïÁ Ë Ë ÃïÍÃÄÇÍË Æï ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ ¾º  ôö Ñ ÛÒ ÕÓÖ ÔØÓÑ Ò º Ô Ü º  ÐÓÙÑ Ò ÜÓÙÑ Ø φ = FBD = BAD = α ψ = EBD = DCB = γº Ò Ò ØÓ Ò ØÙÕ Ó Ñ Ó ØÓÒ ÐÓ ÐÐ Ð Û ØÓÙ Ò ÐÐÓ ôøóù Ø ÛÒ BAD ÑÔ ÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø BA Ò Ñ ØÖÓº  ØÓÙÑ Ô β = ABCº À ADB Ò ÓÖ Ö ØÓ ÖÓ Ñ α+β Ò Ó Ñ ÓÖ º ÐÐ Ô β +φ Ò Ñ ÓÖ Ø α = φº Ô γ = π α = π φ = ψº ¼ Ç Ô Ñ Ò Ó ÔÖÓØ Ò Ô Ö ÐÐ Ø ³ ¾ ÔÓÙ Ò ÕÖ Ñ Ø Ñ ÓÙÖ Ó Ò Ø Ø Ø ÐÐ Ð Ø Ò ÖÑÓ Ø ³ ¾½º ÈÖ Ø ³ º Æ Ö Ó Ù ØÑ Ñ ÐÓÙ ÔÓÙ Õ Ø ÛÒ Ñ Ù¹ Ö ÑÑ ÛÒ º ÈÖ Ø ³ º Ô Ó ÒØ ÐÓ Ò Ö ØÑ Ñ ÔÓÙ Õ Ø ÛÒ Ñ Ó Ù Ö ÑÑ ÛÒ º ³ ØÛ Ó Ó ÐÓ Ó Ù Ö ÑÑ ÛÒ Þ Ø Ø Ò Ö ØÑ Ñ ÐÓÙ ÔÓÙ Õ Ø ÛÒ Ñ Ø Ò Ù Ö ÑÑ ÛÒ º Πρότασηγ 31 Πρότασηα 32. ¼ Πρότασηγ 22.

90 ¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º Ô Ü º Õ Ô ØÓ ÔØÓÑ Ò º Ã Õ Ø Ù Ø Ô ÒÛ ØÓ ÛÒ Ñ Ø Ò º ½ Ô ÐÓ Ô Ò Ù ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ Ô ØÓ Ñ Ó Ô ÖÕ Ø ÛÒ Ò Ö Ñ Ø Ò ÛÒ ÔÓÙ Ø ¹ Ù Ø ØÓ Ò ÐÐ Ü ØÑ Ñ º ÐÐ Ò Ñ Ø Ò Ö ÛÒ ØÓ ØÑ Ñ Ò Ñ Ø Ò º ³ Ö Ô ØÓÒ Ó ÒØ ÐÓ Ö ØÓ ÔÓÙ Õ Ø ÛÒ Ñ Ø Ó Ù Ö ÑÑ ÛÒ º Ǻ ºÈº ¾ º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÌÓÑ ÕÓÖ ôò Ø ¹ ÑÒÓÙ ôò ÔØÓÑ ÒÛÒ ËØ Ñ Ö Ò ÛÑ ØÖ ØÓÙ ÐÙ ÓÙ Ó Ø Ð ÙØ ØÖ ÔÖÓØ ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ø ÒØ ÒØ ØÓÙ ÔÐ ÓÙ Ø ÛÖ Ø ÓÑÓ Ø Ø ÔÓÙ Ó ÔÓ Ü ½ Πρότασηα 23. ¾ Μίαεναλλακτικήκατασκευήεδώθαήταννακατασκευάσουμεμίαεπίκεντρηγωνίαδιπλάσια της δοθείσας αν η δοθείσα είναι ορθή, χρειάζεται μόνο να φέρουμε την διάμετρο του κύκλου.

91 º º Á ÄïÁÇ ïåï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë Ìï ÅÆÇÍË Ë ÈÌïÇÅ Æ Ë ½ ØÓÙ Ò ÓÐ º Ë ÙØ ØÓ Ø Ó Ó Ù Ð Ò ÑÔÓÖ Ò ÕÖ ÑÓ¹ ÔÓ Ò ÐÓ ÙØ ØÓ Ð Ó Ô ÖÔÐÓ Ñ ÖÓ Ð ÔÓ Ü º È ÔÐ Ñ Ò Ø ÈÖÓØ ³» Ò Ø Ù Ø Ò ÐÐÓ ôøóù ÔÓÙ Ð Ø Ñ Ö Ò Ñ Ñ ÓÙ Û ÔÖÓ ÐÓ ÓÔÓ Õ Ô Ü Ñ Ò¹ Ø Ö ÐÓ Ø Ò ØÓÖ Ø ÛÑ ØÖ º ÈÖ Ø ³ º Ò Ó Ù Ø ÑÒÓÒØ ÐÓ ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ø ØÑ Ñ Ø Ø Ñ ÓÖ Ó ôò Ó Ó Ø Ñ ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ ÓÖ Ó ôò Ó Ô Ø ØÑ Ñ Ø Ø Ð¹ Ð º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º ÈÖ Ø ³ º Ò Ð ÔÓ Ó Ñ Ó Ø ØÓÙ ÐÓÙ ØÓÒ ÐÓ Ô ØÓÙÒ Ó Ù Ñ Ø ÑÒÓÙ ÐÐ ÔØÓÑ Ò Ø Ø ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö ¹ Õ Ø Ô Ð Ø Ò Ø ÑÒÓÙ ØÓ ØÑ Ñ Ø Ø ØÓÙ ÐÓÙ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ñ ÓÙ Ø ÙÖØ Ô Ö Ö Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø ÔØÓÑ ¹ Ò º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º  ÛÖ Ñ Ì ÑÒÓÙ ÔØÓÑ Ò 2 = º ΗΠρότασηαυτήείναιτογνωστόΘεώρημαΤέμνουσαςκαιΕφαπτομένης.

92 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ Ü Ò Ô Ö ÓÙÑ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÈÖ Ø ô Ø Ò ÙÑÔ Ö Ð Ñ Ò Ø Ò ÒØ ØÖÓ Ø ÈÖ Ø ³ Ø ØÓ Õ Ñ º½ ÔØÓÑ Ò Ò Ñ ÒÓ Ò 2 = º  ÜÓÙÑ Ñ ÒÓ ØÓ Ù ØÓ ÒØ ØÖÓ Ó Ò Õ Ø ÖÓ Ò ÖÓÒº Ô Ü Ñ Ø Ò ÕÖ ÓÑÓ Ø Ø º  ÛÖÓ Ñ Ø ØÖ ÛÒ Ø ÓÔÓ ÕÓÙÒ Ó Ò Ø Ò º Ò Ò ÔØÓÑ Ò Ø Ø Ô Ø Ò ³ ¾ Ò º Ô Ø Ò ³ ¾ Ó ÒØ ØÓ Õ ÐÓ Ô ÛÒ Ò Ø ØÖ ÛÒ Ò Ó ôò º ³ Ö : 2 = º À Ô Ü ØÓÙ Ù Ð º Ç Ù Ð ÛÖ ÔÖôØ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ô ÖÒ Ô ØÓ ÒØÖÓº È Ö Ð ÔÓÙÑ ÙØ Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ø Ó Ñ Ó Ó ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó ÒØ Ò Ô ÒÓÑÓ ØÙÔ Ñ ÙØ Ø Ò Ô ÖÔØÛ º ³ ØÛ Ø Ø Ò ÙÒ ÓÒØ Ó º ËØ Ò Ù ÕÓÙÑ Ø Ò Ø Ø Ø ³ 2 2 º ÌôÖ ØÖ ÖÑÓ ØÓ٠Ⱥ º Ó Ó Òº Ô Ø Ù º ³ Ö 2 2 Ô Πρότασηστ 4. Πρότασηστ 16. Τούτηηπερίπτωσηείναιαυτόπουστιςμέρεςμαςονομάζουμεοριακή. ΟΕυκλείδης, όπως και όλοι οι Ελληνες γεωμέτρες άλλωστε, δεν επιτρέπει στον εαυτό του να συνάγει την αλήθεια της οριακής περίπτωσης κατευθείαν από την γενική περίπτωση που την περιέχει, αλλά δίδει ξεχωριστή απόδειξη.

93 º º Á ÄïÁÇ ïåï ÊÇË ÉÇÊ ï Ë Ìï ÅÆÇÍË Ë ÈÌïÇÅ Æ Ë 2 2 º ÌôÖ Ô Ò ÔØÓÑ Ò º ÒØ ØôÒØ ÖôÒØ ØÓ 2 Ô Ö Ô ÒÛ 2 º ÔÖôØ Ý Û Ô Ü ØÓÙ Ù Ð ÕÒ Ô Ó Ô ÖÔÐÓ Ô Ø Ò Ô Ü Ñ Ø Ò ÕÖ ÓÑÓ Ø Ø º È Ö ØÓ ØÓ Ø Ð ÙØ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ Ø Ò Ø³ ½ Ó ÓÔÓ ÕÖ ÞÓÒØ Ø ÒÒÓ Ù ÓÐ Ø ¹ Ö Ñ Ð ØÓÙ ÐÓÙ ³º ËÙÒÓÐ ÐÓ Ô Ò Ô Ü ØÓÙ Ù Ð Ò ÔÐÓ Ø Ö Ò Ø ÕÒ ÔÓÐ ÔÐÓ º

94 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï È ÊïÁ ÃïÍÃÄÇÍ

95 Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ à ÒÓÒ ÔÓÐ ÛÒ Â ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ØÓÒ ÙÒ ÖÓ ÒÓÒ ÔÓÐ ÛÒÓ ÒØ ØÓÙ Ù Ð ÓÙ ÔÐ ÙÖÓÙ Ó ôò ÓÙ ÔÓÐÙ ôòóù ÙÖØ Ø Ø ÙÔÓÒÓ Ø Ô ÒØÓØ º ÌÓ ÐÓ ³ ÓÐÓÙ Ò ÕØ ÔÐ ÒÓ Ò Õ Ø ÙÔÓ Ö ÔÓÙ ÕÓÙÒ Ø ÐÐ Ð º Ì Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÖ Ñ Ø ÓÒØ Ù Ø Ñ Ø ½º À Ö Ù Ù Ö ÑÑÓÙ Õ Ñ ØÓ Ó ÒØ ÐÓ ¾º Ô Ö Ö Ù Ù Ö ÑÑÓÙ Õ Ñ ØÓ Ó ÒØ ÐÓ º Ö ÐÓÙ Ó Ò Ù Ö ÑÑÓ Õ Ñ º Ô Ö Ö ÐÓÙ Ó Ò Ù Ö ÑÑÓ Õ Ñ º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÙØ Ð ÒÓÒØ ØÖ ÛÒ Ø ÈÖÓØ ³ ¾¹ Ø ØÖ ÛÒ ÒÓÒ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ µ Ø ÈÖÓØ ³ ¹ ÒÓÒ Ô ÒØ ÛÒ Ø ÈÖÓØ ³ ½¼¹½ ÒÓÒ Ü ÛÒ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½ ÒÓÒ Ô ÒØ ÛÒ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½ º

96 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï à ÆÇÆÁÃï ÈÇÄïÍ ÏÆ Ç Ù Ø Ö Ù Ø Ñ Ø Õ Ñ ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ñ Ò Ò ¹ Ø Ð ÓÙÑ Ø Ò ÑÓÒÓ Ö Ò Ñ ÒÓ Ù Ö Ø Ò ÓÔÓ Ó Ù Ð Ò ÛÑ ØÛ Ø ËØÓ Õ º À Ô Ö Ð Ý ØÓÙ Ü ôñ ØÓ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ ¹ ÔÛ ÖÕ Ðô ÔÛ Ø Õ Ð ÔÓÙ ÔÖÓ Ø Ò ØÓ ÐÓ ÙØ Ø Ò Ñ Ø ¹ Ù Ð ÔÓÕ Ñ ÒÓÙÒ Ò Ø Ð ÓÙÑ Ø Ñ ÐÐÓÒ ØÓ ØÓ Ò Ö Ó ÔÓ ÓÙ ÈÙ ÓÖ ÓÙº Ç Ù Ð ÕÒ Ø Ô Ö Ü Ð Ò ØÓÙ ÖÕ Ó Ñ ÒÓÙ Ñ Ó ØÖ ÔÓÙ ÔÖôØ Ü Ò Ó Ð Ý Ø Ò Ø Ù ØÓÙ ÒÓÒ Ó Ô ÒØ ôòóù Ò Ü Ð Ý Ø Ò ÕÖ ØÛÒ Ò ÐÓ ôò Ø Ö Ò ÕÖ ¹ ÑÓÔÓ ÐÓÙ ØÓÙ ÓÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ Ø Ò Ö ÔÓÐÙ ôòûò ÔÓÐ ÛÒ Ø Ò ÓÔÓ ÔÖÓ Òô Ø Ö Ô Ø Ò ÖÕ ÑÓÒÓ Ö º Ô Ñ Ñ Ø ÔÓÝ ØÓ ÔÐ ÓÒ ÓÙ Ø ÔØ Ù Ñ ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ò Ø Ù ØÓÙ ÒÓÒ Ó Ô ÒØ ôòóùº Ì ÙÔ ÐÓ Ô ÛÖ Ñ Ø Ò Õ Ø ÓÐ Ö ÔÓ Ó ÑÔÓÖ Ò Ô Ø Ø Ù ØÓÙ Ô ÒØ ôòóù Ò Ó Ð Ó Ô ÖÜ ÐÓÙ ØÓÙ ÐÓÙº À ÛÖ ØÓ ÐÓ ³ Ò Ò ÖÓÙ Ñ ÒÓ Ü Ø ÙØ Ø ÓÐ Ô ÖÔØÛ Ø Ò ÓÔÓ ÔÖ Ñ Ø ÙØÓ Ñ Ü ÕÛÖ Ø Ø Ò Ô Ñ Ò Ô Ö Ö Óº Ë Ñ Ó Ò Ñ Ò ÈÖ Ø ³ ¾ Ñ Ø Ò Ü Ö Ø ÑÓÖ Ô ¹ Ü º ÈÖ Ø ³ ¾º Æ Ö Ó ÒØ ÐÓ ØÖ ÛÒÓ Ó ôò Ó Ñ Ó Ò ØÖ ÛÒÓº ³ ØÛ Ó Ó ÐÓ ØÓ Ó Ò ØÖ ÛÒÓ ØÓ Þ Ø Ø Ò Ö ØÓÒ ÐÓ ØÖ ÛÒÓ Ó ôò Ó Ñ ØÓ º Ô Ü º Õ Õ Ô ØÓ ÔØÓÑ Ò À ØÓÒ ÐÓ ØÛ Ø Õ Ø Ù Ø Ø Ò Ù Â ØÓ Ñ Ó Ø ÛÒ Â Ñ Ø Ø Ò Ù À ØÓ Ñ Ó Ø ÛÒ À Ñ Ø ½ Õ ÙÒ º Ô ÐÓ Ô Ò ÔÓ Ù Â ÔØ Ø ØÓÒ ÐÓ Ô ØÓ Ñ Ó Ô ÖÕ Ø Ù Ö ÛÒ Â Ò Ñ Ø Ò ÛÒ ØÓ Ò ÐÐ Ü ØÑ Ñ ØÓÙ ÐÓÙº ÐÐ Â Ò Ñ Ø Ö Ò Ñ Ø º ØÓÙ ÓÙ Ð ÓÙ Ò Ö Ñ Ø Ö ÐÓ Ô Ò Ñ Ø ÐÓ Ô Ö ½ Πρότασηα 23. ¾ Πρότασηγ 32. ¾

97 ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ ¾ Ö ÐÓ ØÖ ôòóù Ó ÛÒÓÙ Ñ Ó Ò ØÖ ÛÒÓº ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó ôò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ö Ø ÙØ ØÓÒ ÐÓ º ³ Ö ØÓÒ Ó ÒØ ÐÓ Ö Ø ØÖ ÛÒÓ Ó ôò Ó Ñ Ó Ò ØÖ ÛÒÓ Çº ºÈº º ÌÓ Ô Ñ ÒÓ ôö Ñ Ñ Ô Ø ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÈÖ Ø ³ ½ º ËØÓÒ Ó ÒØ ÐÓ Ò Ö ÔÐ ÙÖÓ Ó ôò Ó Ü ÛÒÓº Επειδήφυσικάκάθεσημείοτουκύκλουμπορείναληφθείωςγωνιακόσημείο,υπάρχουν άπειρες λύσεις στο πρόβλημα. Ακόμη και αν σταθεροποιήσουμε ένα σημείο Α, υπάρχουν έξι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να τοποθετήσουμε τις γωνίες. επίσης το πρόβλημα μπορείνααναχθείστηνγ 34,δηλαδήνααφαιρέσουμεαπότονκύκλοτμήμαπουπεριέχει γωνία ίση με δοθείσα γωνία. Μπορεί επίσης να επιλυθεί με την εναλλακτική μέθοδο που εφαρμόζεται και στην γ 34: γράφονται επίκεντρες γωνίες ίσες με το διπλάσιο των γωνιών του δοθέντος τριγώνου. Ως ειδική περίπτωση, μπορούμε με την μέθοδο αυτής της Πρότασης να εγγράψουμε ισόπλευρο τρίγωνο σε κάθε κύκλο αφού πρώτα το κατασκευάσουμε με την βοήθεια της Πρότασης α 1. Ι σοδύναμα, μπορούμε να χωρίσουμε την περιφέρεια κύκλου σε τρία ίσα τόξα.

98 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï à ÆÇÆÁÃï ÈÇÄïÍ ÏÆ ËÕ Ñ º¾ ÈÖ Ø ³ ½ Ö ÐÓ ÒÓÒ Ó Ü ôòóùº Ô Ü º  ô ÓÙÑ Ø Ò Ô Ü ÙÒØÓÑ ÓÒØ ÔÛ Ø Ô Õ Ö Ñ Ø ØÓÙ Ù¹ Ð º ³ ØÛ K Ó ÐÓ ÒØÖÓÙ Àº Ö Ø Ñ ØÖÓ Ó ÐÓ H ÒØÖÓÙ ØÒ À Ó ÓÔÓÓ Ø ÑÒ ØÓÒ K Ø Ñ º ½º ÌÓ Ü ÛÒÓ Ò ÔÐ ÙÖÓº Ô Ø Ù Ø ØÖ ÛÒ À À Ò ÔÐ ÙÖ Ó ÒØ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ ØÓ À Ò ØÓ Ò ØÖØÓ ØÛÒ Ó ÓÖ ôòº Ô Ò Ù ÐÓ Ô ÛÒ À Ò Ô Ñ ØÓ Ò ØÖØÓ ØÛÒ Ó ÓÖ ôòº Ç ØÖ ÙÔ ÐÓ Ô ÛÒ ØÓ À Ò Ø Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ö Ò Ð º ÐÐ ÛÒ ÒÓÙÒ Ø Ü ÙÔÓØ ÒÓÒØ Ô ÕÓÖ º º ³ Ö ØÓ Ü ÛÒÓ Ò ÔÐ ÙÖÓº ¾º Ò Ô Ó ôò Óº ÌÓ Ø ÜÓ Ò Ó Ñ ØÓ Ø ÜÓ Πρότασηγ 26. Πρότασηγ 29.

99 Ö Ô Ø Ò ³ ¾ Ò Ñ Ø Ò ºÓº º À Ø Ù ØÓÙ Ö ÑÑ ÒÓÙ ÐÓÙ Ë ÒØ Ñ ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ø Ö ÒÓÒ Ó n¹ ôòóù Ó ÒØ ÐÓ ÔÓÙ n ÔÖ Ô Ò ÒØ Ñ ØÛÔ Ø Ü ÕÛÖ Ø Ø Ù ØÓÙ Ö ÑÑ ÒÓÙ ÔÛ ØÓÙ Ô Ö Ö ÑÑ ÒÓÙµ ÐÓÙ ÒÓÒ Ó n¹ ôòóù Ô Õ Ø Ò Ð º À Ø ÈÖ Ø ³ ½ ÔÓÙ Ó Ù Ð ¹ Ö ÐÓ ÒÓÒ Ô ÒØ ÛÒÓ ÑÔÓÖ Ò Ò ÙØ ³ ÓÒ Ô Ü Ø Ò ÓÙ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÔÓÙ Ò Ø ØÓ Ò Ð Û ÔÓÐ ÛÒÓ Ò Ô ÒØ ÛÒÓº Ç Ù Ð ØÓ ÒÛÖÞ ÙØ Ø Ø Ò Ø³ ½ ØÓ Ü ÛÒÓ Ø Ò ³ ½ ØÓ Ô ÒØ ÛÒÓ Ð Ø Ø Ù Ò Ø ÔÛ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÓÙ Ô ÒØ ôòóùº ËÕ Ñ º Ã Ø Ù Ö ÑÑ ÒÓÙ ÐÓÙº Ó Ñ Ð Ó Ø Ò Ø Ù ØÓÙ Ö ÑÑ ÒÓÙ ÐÓÙ ÒÓÒ Ó n¹ ôòóù º º º ÌÓ Õ Ñ Ò Ö Ø ØÓ ÒÓÒ Ô ÒØ ÛÒÓ ÐÐ Ô³

100 ½¼¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï à ÆÇÆÁÃï ÈÇÄïÍ ÏÆ Ø Ô Ñ Ò Õ Ñ ºµ ÖÓÒØ Ó ÕÓØ ÑÓ ØÛÒ ÛÒ ôò ÒØ ØÓ Õ º Ô ØÓ ÖÓÒØ Ó º Ì ØÖ ÛÒ Ò Ò Ñ Ø Ò Ó Ò Ò Ñ Ø Ò Ô Ø Ù º Ö Ø Ý Â Ã Ò Ñ Ð Ø Ó ÒØ Ñ Ø Ò ØÒ ØÓÙ Ö ÑÑ ÒÓÙ ÐÓÙº Ò Ð Û Ø Ù ÞÓÒØ Ó Ä Å À ÐÔº º½ ÌÓ ÒÓÒ Ô ÒØ ÛÒÓ Ë ØÓ Ø Ø Ô Ö Ö Ó Ñ Ð Ø ÓÙÑ Ø Ò Ù Ð Ø Ù ØÓÙ ÒÓ¹ Ò Ó Ô ÒØ ôòóù ÔÓÙ Ô Ñ Ò Ø Ò Ò Ô Ò ÑÓÖ Ó ÓÑÑ Ø ØÛÒ Ñ ¹ Ñ Ø ôòº Ï ÙÒ Û Ó Ù Ð Ò Ñ Ð Ô Ö Ò ØÖÛÒ ÓÔôÒ ÔÓ ÛÒ Ù Ö Ñ ÒÛÒ Ò Ñ ÛÒ Ñ ØÛÒ ÔÛ ÐºÕº Ø Ò ³ ½¼ ÐÐ ÔÐ Ô Ö Ø ØÓ ÙÐ ØÓÙº ÌÓ ÔÓ Ø Ñ ÔÖÓ ØÓ Ô ÒØ ÛÒÓ Ò ØÓ Ð ÑÑ ³ ½¼º ÈÖ Ø ³ ½¼º Æ Ø Ù Ø Ó Ð ØÖ ÛÒÓ ÔÓÙ Õ Ñ Ô Ø ÛÒ ØÓÙ ÔÖÓ Ø ÔÐ Ø ÐÓ Ô º Ô Ü º Ò Ñ ÓÔÓ ÔÓØ Ù ØÑ ØÓ ô Ø 2 º ³ ØÛ K Ó ÐÓ ÒØÖÓÙ ØÒ º Ö Ø Ñ Ø Ò ÙÒ ÓÒØ Ó º ÌÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ ØÖ ÛÒÓ Ò ØÓ º ÈÖ Ñ Ø Ò H Ò ØÓ Ñ Ð Ó ÖÛ Ô ØÓ Ô ØÓ Ò Ø ØÓÙ H ØÓ Ø ÑÒ ØÓ ØÓ ÑÔÔØ ÙØ º Ô Ø Ù 2 = 2 º ÌôÖ ØÓ ÔÓ Ø Ñ Ò ÖÑÓ Ø ÈÖ Ø ³ 2 Ö Ò ÔØ Ñ Ò ØÓ Hº ³ Ö Ô Ø Ò ³ ¾ Ô Ø Ð ÙØ Ò ÛÒ ØÓ Ò ÐÐ Ü ØÑ Ñ ØÓÙ ÐÓÙ Hº Ì ÙÔ ÐÓ Ô Ò Ò Ø Ñ ÔÙÖÓØ ÕÒ ¹ Ñ ØÛÒ Ó ÐôÒ ØÖ ôòûò Ó ØÓ Ò Ó Ð Πρότασηα 4. ΟΕυκλείδηςτοαποδεικνύειαυτόλεπτομερώς. Πρότασηβ 11.

101 º½º ÌÇ Ã ÆÇÆÁÃïÇ È ÆÌï ÏÆÇ ½¼½ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½¼º º À Ò ÜÛØ Ö ØÓÙ º ³ Ö ØÓ Õ Ó ÛÒ Ò Ó Ð Ð Û Ø Ù º ÌôÖ ØÓ Ò Ó Ð Ö º ³ Ö Ó ÛÒ Ø Ò ÔÐ Ø ÐÓ Ô Çº º º ÈÖ Ø ³ ½½º ËØÓ Ó ÒØ ÐÓ Ò Ö Ô ÒØ ÛÒÓ ÔÐ ÙÖÓ Ó ôò Óº Ô Ü º

102 ½¼¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï à ÆÇÆÁÃï ÈÇÄïÍ ÏÆ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½½º Ö ÒÓÒ Ó Ô ÒØ ôòóù ÐÓº ËØÓ Ó ÒØ ÐÓ Ö Ø Ñ Ø Ò Ñ Ó Ó Ø ÈÖ Ø ³ ¾ ØÖ ÛÒÓ Ó ôò Ó Ñ ÙØ ÔÓÙ Ø Ù Ø Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½¼º ÕÓØÓ¹ ÑÓ ÒØ Ó ÛÒ Ø ÔÖÓ Ø ÒÓÒØ Ó ÕÓØ ÑÓ Ø º ËÙÒ ÓÒØ Ó º ½º ÌÓ Ô ÒØ ÛÒÓ Ò ÔÐ ÙÖÓº Ô Ø Ù Ó Ô ÒØ ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ Ö Ô Ø Ò ÈÖ ¹ Ø ³ ¾ ÒÓÙÒ Ø Ü Ô Ø Ò ³ ¾ ÕÓÖ º ¾º Ñ Ò Ô Õ Ö Ñ ÑÓ Ó Ñ ÙØ ØÓÙ Ü ôòóù ÔÖÓ ÔØ Ø ØÓ Ô ÒØ ¹ ÛÒÓ Ò Ó ôò Óº Ο De MorganσχολιάζειότιημέθοδοςτηςαπόδειξηςτηςΠρότασηςδ 11δενείναιτόσο φυσιολογική, αλλά, αν κοιτάξουμε το σχήμα θα καταλάβουμε ότι σχηματίζεται το πεντάγραμμο εκτός από την ευθεία ΒΕ. Είναι γνωστή η ενασχόληση του Ιππασου του Μεταποντίνου με το πεντάγωνο-δωδεκάεδρο. Άρα η μέθοδος δείχνει πυθαγόρεια και συνεπώς μεγάλου ιστορικού ενδιαφέροντος. Μίαάλλημέθοδοςθαμπορούσεναείναιηεξής:Μετηνδ 10,εγγράφεταιέναδεκάγωνο στον κύκλο, και κατόπιν ενώνονται οι εναλλάξ κορυφές.

103 º¾º Áà ËïÁ Ë Á ÌÇ È ÆÌï ÏÆÇ ½¼ º¾ ØÓ Ô ÒØ ÛÒÓ Ë ØÓ Ø Ø Ò Ô Ö Ö Ó Ô Ö ÓÙÑ ÓÖ Ñ Ò Ø Ò Ø Ù¹ ØÓÙ Ö ÑÑ ÒÓÙ ÒÓÒ Ó Ô ÒØ ôòóù Ø ÓÔÓ ÕÓÙÑ Ø Ò ÈÙ Ö ÔÖÓ Ð Ù º Â Ü Ø ÓÙÑ ØÓÙ Ô ØÖ ÔØÓ Ñ µ ØÖ ÔÓÙ Ø ÙôÒ ÓÐÓÙ ôòø Ø Ò ÕÖ Ñ Ø Ò ÐÙ Ø Ò¹ ÔÛ ÙØ Ô Ö Ö Ø Ø Ò ÒØÓÑ ÔÖÓ Ø ÈÖÓØ ³ ½ ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒ ½¼ Ò ÐÙ Ò Ô Ö ÓÕ ØÓÙ ÔÓØ Ð Ñ ØÓ Ü Ñ Û ÙØÓ ÔÓ Ð ÔÖ Ø º Ë Ò Ò Ô Ö ÓÕ ØÛÒ ÙÔÓ ÛÒ Ü Ñ Û ÙØôÒ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ ÔÓØ Ð Ñ º ËØ Ñ Ñ Ø Ö ÙÒ ØÓ Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ó ÒØ ÙÒ Õôº Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ÔÓ Ü Ñ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ü Ø ÞÓÙÑ Ò ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÒØ ØÖ ÝÓÙÑ Ø ÙÒ Ô Û Ò Ø ÓÙÑ Ø Ò ÙÔ º Å ÐÐ Ð Ò ÐÙ Ò ÔÖÓ Ô Ô Ü ØÓÙ ÒØ ØÖ ÓÙ Ñ ÔÖ Ø p = qº À Ò Ò ÙØ ÔÖÓ Ô Ø Ô Ü Ø ÔÖ Ø Ñ ÒÓ ÙØ Ø Ø Ò Ô Ü Õ ÓÙ º ËÕ Ñ º ÈÖôØ Ò ÐÙ ØÓÙ Ô ÒØ ôòóùº ½¼ ΗπροσθήκηαυτήπαραλείφθηκεαπότηνοριστικήεκδοχήτωνΣτοιχείων.