Διπλωματική Εργασία. Παίγνια δύο παικτών Υπολογιστικά Θέματα και Αλγόριθμοι. Δελιγκάς Αργύρης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διπλωματική Εργασία. Παίγνια δύο παικτών Υπολογιστικά Θέματα και Αλγόριθμοι. Δελιγκάς Αργύρης"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μαθηματικών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων". Διπλωματική Εργασία Παίγνια δύο παικτών Υπολογιστικά Θέματα και Αλγόριθμοι Δελιγκάς Αργύρης Πάτρα 2011

2 . 2

3 Ευχαριστίες H παρούσα διπλωματική εργασία είναι αποτέλεσμα δουλειάς αρκετών μηνών και δε θα είχε ολοκληρωθεί χωρίς τη βοήθεια και τη συμπαράσταση πολλών ανθρώπων. Αρχικά, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή που επέβλεψε αυτή την εργασία κ. Δημήτριο Καββαδία. Είναι ο άνθρωπος που μου υπόδειξε το θέμα αυτό, με βοήθησε να ξεπεράσω τις δυσκολίες που προέκυπταν στην πορεία και είδαμε μαζί πολλά καινούργια πράγματα. Οι υποδείξεις και οι συβουλές του με καθοδήγησαν στην περάτωση της εργασίας. Ευχαριστώ επίσης και τα άλλα δύο μέλη της Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής μου καθηγητές κ.κ. Παναγιώτη Αλεβίζο και Νικόλαο Τσάντα, για τη βοήθειά και τις συμβουλές τους όποτε και αν τις χρειάστηκα. Θα ήθελα, επιπλέον, να ευχαριστήσω τον μεταπτυχιακό φοιτητή και φίλο Νίκο Σαββίδη για τις παραγωγικές συζητήσεις που είχαμε σε όλη τη διάρκεια της εργασίας. Φυσικά δε γίνεται να παραλείψω όλους τους φίλους μου που μου συμπαρατάθηκαν και με ανέχτηκαν όλο αυτό τον καιρό. Τέλος, το μεγαλύτερο ίσως ευχαριστώ, το οφείλω στους γονείς μου -όσο τετριμμένο κι αν ακούγεται αυτό- διότι είναι οι άνθρωποι που με στηρίζουν πάντα, με όποιο τρόπο μπορούν, ψυχολογικά και οικονομικά, σε κάθε βήμα μου. 3

4 . 4

5 Περίληψη Σε αυτή τη διπλωματική εργασία μελετάμε το πρόβλημα εύρεσης ενός Nah σημείου ισορροπίας για παίγνια δύο παικτών. Παρουσιάζεται ο αλγόριθμος Lemke - Howon, η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου καθώς και η κλάση πολυπλοκότητας PPAD, όπου και αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα εύρεσης ενός Nah σημείου ισορροπίας είναι πλήρες για την κλάση αυτη. Αναλυτικότερα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία σύντομη ιστορική αναδρομή της θεωρίας παιγνίων, παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες και προτείνονται κάποιες καταστάσεις ως λύσεις ενός παιγνίου, με κύρια αυτή του Nah σημείου ισορροπίας. Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται με τα παίγνια δύο παικτών ή παίνγια διπίνακα. Αρχικά ορίζονται τα στοιχεία που συνιστούν το παίγνιο, δηλαδή οι παίκτες, οι στρατηγικές τους, η βέλτιστη απόκριση και το Νah σημείο ισορροπίας και παρουσιάζονται με τη βοήθεια ενός παραδείγματος. Στη συνέχεια, ορίζονται τα πολύεδρα και τα πολύτοπα βέλτιστης απόκρισης με βάση τους πίνακες κερδών των δύο παικτών, που αποτελούν και βάση του αλγορίθμου Lemke - Howon. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά ο αλγόριθμος Lemkle - Howon στη γεωμετρική και στην αριθμητική του μορφή και εφαρμόζεται για ένα συγκεκριμένο παίγνιο. Η γεωμετρική εφαρμογή γίνεται με τη βοήθεια των πολυτόπων βέλτιστης απόκρισης και η αριθμητική μέσω του ακέραιου pivoting, που είναι μια παραλλαγή της μεθόδου implex. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετάται μία κατηγορία παιγνίων όπου ο αλγόριθμος δεν είναι αποδοτικός. Για την κατασκευή των παιγνίων της κατηγορίας αυτής χρειάζεται πρώτα να δούμε τα κυκλικά πολύτοπα και να παρουσίασουμε κάποιες ιδιότητές τους. Στη συνέχεια αποδεικνύεται ότι ο αλγόριθμος απαιτεί εκθετικό χρόνο μέχρι να καταλήξει σε ένα Nah σημείο ισορροπίας του παιγνίου, σε σχέση με το μέγεθος του παιγνίου. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία αναγωγή του προβλήματος της εύρεσης ενός Nah σημείου ισορροπίας ενός παιγνίου δύο παικτών σε αυτό του πλήρους ταιριάσματος ενός γραφήματος, όπου και πάλι χρησιμοποιούμε ιδιότητες των πολυτόπων βέλτιστης απόκρισης καθώς και των δεικτοδοτημένων συμβολοσειρών Gale. Το έκτο και τελευταίο κεφάλαιο ασχολούμαστε με την κλάση πολυπλοκότητας PPAD. Αρχικά, ορίζουμε την κλάση και δίνουμε το πλήρες πρόβλημα οδηγό για την κλάση αυτη, το END OF LINE. Στη συνέχεια, δίνουμε μια διαισθητική αναγωγή του παραπάνω προβλήματος στο πρόβλημα SPERNER και έπειτα του SPERNER στο πρόβλημα BROUWER που πρόκειται για μία διακριτοποιημένη και απλόποιημένη εκδοχή της εύρεσης ενός σταθερού σημείου μίας συνάρτησης f. H τελευταία αναγωγή είναι αυτή του BROUWER στο 2NASH, δηλαδή την εύρεση ενός Nah σημείου ισορροπίας σε ένα παίγνιο δύο παικτών. Με αυτό τον τρόπο αποδεικνύεται ότι το 2NASH είναι PPAD πλήρες και δεν υπάρχει πολυωνυμικός αλγόριθμος για το πρόβλημα αυτό εκτός και αν P = PPAD. Στο τέλος της εργασίας υπάρχουν δύο παραρτήματα, όπου στο πρώτο παρουσιάζονται τα μονοπάτια που κατασκευάζει ο αλγόριθμος Lemke - Howon και κάποιες ιδιότητες αυτου και στο δεύτερο παράρτημα παρουσιάζεται ένα παράδειγμα κατασκευής ενός παιγνίου όπου ο αλγόριθμος δεν είναι αποδοτικός, παρατίθεται ο κώδικας σε MATLAB για την παραγωγή των παιγνίων της κλάσης αυτής και παρουσιάζονται τα μήκη των μονοπατιών που κατασκευάζει ο αλγόριθμος παίγνια της κλάσης. 5

6 Abtract In thi thei we tudy the problem of finding a Nah equilibrium for bimatrix game. We decribe Lemke - Howon algorithm and it complexity. Alo we tudy the PPAD complexity cla and we give the reduction which how that the problem of finding a Nah equilibrium (NASH) i PPAD complete even for bimatrix game. In ection 1, we give a hort hitory view of game theory and ome eential notion about game, player and game olution uch a Nah equilibrium. In ection 2, we define bimatrix game: each player' trategie, payoff, mixed trategie, bet repone, Nah equilibria and we demontrate all of them with an example. After that, we preent bet repone polyhedra and bet repone polyhedra in which the Lemke - Howon algorithm i baed. In ection 3, we dicribe in detail Lemke - Howon algorithm intuitively, by mone on bet repone polytope, and arithmetically, by integer pivoting, which i a variant of implex method. In ection 4, i decribed a cla of game where Lemke - Howon need exponetial time to find a Nah equilibrium. For the contruction of the game we ue cyclic polytope and the Gale evenne condition and their propertie. We how in detail the Lemke - Howon path and we compute their length for each dropped label. In ection 5, we give a reduction from Perfect Matching to Nah equilibrium for a pecial cae of game and we how that at thee game a Nah equilibrium can be computed in polynomial time. In the final ection we tudy the complexity cla PPAD. Firt of all, we define formally the cla and we give the firt complete problem for thi cla, END OF LINE. After that, we reduce END OF LINE to SPERNER and SPERNER to BROUWER which i a implified, dicretized verion of finding a fixed point for a continuou function f. Finally, we give in detail the reduction from BROUWER to 2NASH and we how that 2NASH i PPAD-complete which mean that there i no polynomial time algorithm for 2NASH unle P = PPAD. At the end there are two appendice: At the firt one we demontrate the LH path and at the econd we give the ource code in MATLAB for the contruction of payoff table for the LH wort cae. 6

7 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Ιστορική αναδρομή Βασικές έννοιες Ορισμός παιγνίου Επιλογή στρατηγικών Σύνολο υποστήριξης - Support ενός παίκτη Αναμενόμενο κέρδος Βέλτιστη απόκριση - Bet Repone Λύση ενός παιγνίου Λύση Κυρίαρχης Στρατηγικής - Dominant Strategy olution Αγνό σημείο ισορροπίας κατα Nah Μεικτό σημείο ισορροπίας κατα Nah Άλλα σημεία ισορροπίας Παίγνια Διπίνακα - Bimatrix game Στρατηγικές Πίνακες κερδών Nah σημείο ισορροπίας Βέλτιστη απόκριση Παράδειγμα Μη εκφυλισμένα - Nondegenerate παίγνια Παίγνια διπίνακα σαν προβλήμα γραμμικού προγραμματισμού Πολύτοπα βέλτιστης απόκρισης Βασικές έννοιες Πολύεδρο βέλτιστης απόκρισης Σημεία ισορροπίας πάνω στα πολύεδρα βέλτιστης απόκρισης Πολύτοπα βέλτιστης απόκρισης Ο αλγόριθμος Lemke-Howon Xαρακτηρισμοί των δεικτών Περιγραφή του αλγορίθμου Παράδειγμα Παρατηρήσεις Aριθμητική υλοποίηση του Lemke-Howon Εφαρμογή Πολυπλοκότητα του Lemke Howon Γενικά περί πολυτόπων Bασικές έννοιες Κυκλικά-cycle πολύτοπα H συνθήκη του Gale Δυϊκά κυκλικά πολύτοπα Παραγωγή των πινάκων του παιγνίου Παραγωγή πίνακα κερδών για τον P l Παραγωγή πίνακα κερδών για τον P l Σημεία ισορροπίας του παιγνίου Tα ειδικά μονοπάτια π(d, 1) και π(d, 2d) To μονοπάτι π(d, 1)

8 4.4.2 Το μονοπάτι π(d, 2d) Σύνθεση μονοπατιών Μήκη των LH μονοπατίων Το μικρότερο μονοπάτι Εύρεση Νah σημείων ισορροπίας με τη βοήθεια των δεικτοδοτημένων συμβολοσειρών Gale Δεικτοδοτημένες συμβολοσειρές Gale Αναγωγή στο πλήρες ταίριασμα Εφαρμογή των δεικτοδοτημένων συμβολοσειρών Gale σε παίνγια Κατασκευή του πολυτόπου Αντιστοίχιση του 0 στο P Μεικτές στρατηγικές στο νέο πολύτοπο Συμμετρικά παίγνια Εφαρμογή και σε άλλα παίγνια Παίνγια μοναδιαίου διανύσματος Imitation game Κατασκευή παιγνίων H κλάση πολυπλοκότητας PPAD Οι κλάσεις PPA και PPAD H κλάση PPA Η κλάση PPAD Πληρότητα για την κλαση PPAD To 3D-SPERNER είναι PPAD-πλήρες To πρόβλημα BROUWER To BROUWER ανήκει στο PPAD To BROUWER είναι PPAD πλήρες To πρόβλημα 2ΝΑSH Λογική της αναγωγής Βασικά στοιχεία της αναγωγής Τα κέρδη του G και η κλάση παιγνίων L Οι κατασκευές Kατασκευή του παιγνίου G H αναγωγή Τα Gale tring και η κλάση PPAD Συμπεράσματα Αʹ Παράρτημα A: Moνοπάτια του Lemke - Howon 81 Βʹ Παράρτημα Β: Παραδείγματα για την χειρότερη περίπτωση 89 Βʹ.1 Kατασκευή του παιγνίου Βʹ.2 To γράφημα P Q για το παραπάνω παίγνιο Βʹ.2.1 Το μονοπάτι π(2, 1) Βʹ.2.2 Το μονοπάτι π(2, 2) Βʹ.2.3 Το μονοπάτι π(2, 3) Βʹ.2.4 Το μονοπάτι π(2, 4) Βʹ.3 Κατασκευή πινάκων κερδών για τη χειρότερη περίπτωση του Lemke - Howon, υλοποίηση σε MATLAB Βʹ.4 To παίγνιο

9 Βʹ.4.1 Πίνακες κερδών Βʹ.4.2 Tα μονοπάτια του Lemke - Howon Βʹ.5 Μήκη μονοπατιών για διάφορα αρχικούς δείκτες που λείπουν Αναφορές 100 9

10 . 10

11 1 Εισαγωγή Η θεωρία παιγνίων μοντελοποιεί στρατηγικές καταστάσεις, ή παίγνια, που η επιτυχία του κάθε ατόμου για τις επιλογές του εξαρτάται από τις επιλογές και των άλλων. Χρησιμοποιείται τόσο στις κοινωνικές επιστήμες (οικονομικά, management, επιχειρησιακή έρευνα, πολιτικές επιστήμες) όσο και στις θετικές επιστήμες (λόγική, στατιστική, computer ience) καθώς και στη βιολογία (εξελικτική βιολογία, οικολογία). Παρόλο που αρχικά αναπτύχθηκε για την ανάλυση καταστάσεων που το κέρδος του κάθε εμπλεκομένου ήταν η απώλεια του αντιπάλου του (zero um game), επεκτάθηκε σε ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών που μπορούν να διαχωριστούν με βάση πολλά κριτήρια. Οι παραδοσιακές εφαρμογές της θεωρίας παιγνίων καθορίζουν και μελετούν τα σημεία ισορροπίας (equilibria) των παιγνίων αυτών. Σε ένα σημείο ισορροπίας κάθε παίκτης έχει υιοθετήσει μια στρατηγική που δεν μπορεί να αυξήσει την ωφέλειά του δεδομένων των στρατηγικών των υπόλοιπων παικτών. Έχουν προταθεί αρκετοί διαφορετικοί ορισμοί για το σημείο ισορροπίας με γνωστότερο αυτόν που προτάθηκε από τον Nah[16]. Πρόκειται για έναν συνδυασμό στρατηγικών, μία για κάθε παίκτη, όπου δεν υπάρχει παίκτης που να αυξήσει την αναμενόμενη ωφέλειά του αν αλλάξει τη στρατηγική του. Η αλγοριθμική θεωρία παιγνίων είναι ένας σχετικά νέος τομέας που βρίσκεται στην τομή της κλασσικής θεωρίας παιγνίων και της θεωρίας του υπολογισμού. Η περιοχή της αλγοριθμικής θεωρίας παιγνίων έχει πολλές διαστάσεις με περισσότερο προφανή αυτή των υπολογιστικών ζητημάτων της θεωρίας παιγνίων. Ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα που εντάσσεται εδώ είναι το πρόβλημα υπολογισμού μιας ισορροπίας Nah, καθώς η απόδειξη ύπαρξης ισορροπιών Nah είναι κατασκευαστική και δεν υπονοεί κάποιον πολυωνυμικό αλγόριθμο υπολογισμού τους. 1.1 Ιστορική αναδρομή Τα πρώτα παραδείγματα από παιχνίδια δύο παικτών αναφέρθηκαν πολύ πριν από την ανάπτυξη της μοντέρνας μαθηματικής επιστήμης της θεωρίας παιγνίων. Η πρώτη γνωστή αναφορά για τη θεωρία παιγνίων εμφανίζεται σε ένα γράμμα από τον Jame Waldegrave το Στο γράμμα αυτό, ο Waldergrave παρουσιάζει μια minimax μεικτή στρατηγική για ένα παιχνίδι καρτών δύο παικτών. Ο Antoine Augutin Cournot, το 1838, όρισε ένα διπώλιο και παρουσίασε μία λύση που είναι μια πιο αυστηρή εκδοχή του Nah σημείου ισορροπίας. Ο Δανός μαθηματικός Zeuthen απέδειξε ότι ένα μαθηματικό μοντέλο έχει μια νικηφόρα στρατηγική χρησιμοποιώντας το δεύτερο θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer. Η θεωρία παιγνίων ουσιαστικά δεν υπήρχε σαν ξεχωριστή επιστήμη μέχρι που ο John von Neumann[23] τη θεμελίωσε το 1928 χρησιμοποιώντας το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer, που έγινε μία γενική μέθοδος στη θεωρία παιγνίων και στα οικονομικά μαθηματικά. Τον ακολούθησε το 1944 ο Okar Morgeten[24], με τη συνεργασία τους για τη συγγραφή του βιβλίου "Theory of Game and Economic Behavior", όπου όρισαν παίγνια με πολλούς παίκτες. Η δεύτερη έκδοση του βιβλίου θεμελίωσε αξιωματικά το αναμενόμενο όφελος, πράγμα που βοήθησε τους στατιστικούς και τους οικονομολόγους να αντιμετωπίσουν τη θεωρία αποφάσεων υπό αβεβαιότητα. Αυτή η θεμελιώδης εργασία περιέχει μία μέθοδο για την εύρεση αμοιβαία αποδεκτών λύσεων για παίγνια δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Αυτή τη περίοδο η έρευνα επικεντρώθηκε στην συνεργατική (cooperative) θεωρία παιγνίων, που αναλύει τις βέλτιστες στρατηγικές θεωρώντας ότι μπορούν να γίνουν συμφωνίες μεταξύ των παικτών. To 1950 ο μαθηματικός John Nah έδωσε μια νέα διάσταση στη θεωρία παιγνίων, εισάγωντας την έννοια της ισορροπίας, γνωστή πλέον ως ισορροπία Nah (NE). Περιέγραψε επίσης μια ευρεία 11

12 κλάση παιγνίων που όλα έχουν μια τέτοια ισορροπία. Αμέσως μετά τη δημοσίευση του Nah, διάφορα παιγνιοθεωρητικά μοντέλα άρχισαν να χρησιμοποιούνται στην οικονομική θεωρία και την πολιτική επιστήμη. Το 1965 ο οικονομολόγος Reinhard Selten διατύπωσε μια νέα έννοια ισορροπίας, εκλεπτύνοντας την ισορροπία Nah. Το 1967 ο οικονομολόγος John Haranyi ανέπτυξε τις αρχές που διέπουν τα παίγνια στα οποία οι παίκτες έχουν ατελή πληροφόρηση. Κατά τη δεκαετία του 1970 η θεωρία παιγνίων άρχισε να εφαρμόζεται συστηματικά στη βιολογία, κυρίως ως αποτέλεσμα της εργασίας του βιολόγου John Maynard Smith, που εισήγαγε την έννοια της εξελικτικά σταθερής στρατηγικής. Από τότε, οι παιγνιοθεωρητικές μέθοδοι άρχισαν να χρησιμοποιούνται σε πολλά πεδία των οικονομικών, των κοινωνικών και των επιστημών συμπεριφοράς. Το 1994 απενεμήθη το βραβείο Nobel οικονομικών επιστημών στους John Haranyi, John Nah και Reinhard Selten "για την πρωτοποριακή ανάλυση ισορροπιών στη θεωρία μη συνεργατικών παιγνίων". Το 2005 τιμήθηκαν με το ίδιο βραβείο οι Thoma Schelling και Robert Aumann "επειδή εμπλούτισαν την αντίληψη μας σχετικά με τις έννοιες του ανταγωνισμού και της συνεργασίας μέσω της παιγνιοθεωρητικής ανάλυσης". Τους ακολούθησαν το 2007 οι Roger Myeron, Leonid Hurwicz και Eric Makin "για τη θεμελίωση της θεωρίας σχεδιασμού μηχανισμών". 1.2 Βασικές έννοιες Ορισμός παιγνίου Ο βασικός τρόπος αναπαράστασης ενός παιγνίου είναι σε στρατηγική μορφή ή αλλιώς κανονική μορφή (normal from). Ορισμός 1.1. Ένα παίγνιο n παικτών σε στρατηγική μορφή αποτελείται από τα παρακάτω: 1. Ένα σύνολο N = {1, 2,..., n} παικτών. 2. Ο κάθε παίκτης i N έχει ένα πεπερασμένο σύνολο καθαρών στρατηγικών (pure trategie) S i = {1,..., m i }. Ορίζουμε σαν S := S 1 S 2... S n το καρτεσιανό γινόμενο των καθαρών στρατηγικών όλων των παικτών. Δηλαδή, τον κάθε πιθανό συνδυασμό καθαρών στρατηγικών των n παικτών. Δηλαδή, σε ένα προφίλ καθαρών στρατηγικών S ο πρώτος παίκτης έχει διαλέξει τη στρατηγική 1 S 1, o δεύτερος την 2 S 2,, ο n-oστός την n S n. 3. O κάθε παίκτης i N, έχει μια συνάρτηση ωφέλειας u i : S R που περιγράφει το κέρδος u i ( 1,..., n ) του παίκτη i για οποιoδήποτε συνδυασμό = ( 1, 2,..., n ) S. Αξίζει να σημειωθεί ότι το κέρδος του κάθε παίκτη εξαρτάται από το σύνολο των στρατηγικών που θα επιλεγούν από όλους τους παίκτες και όχι μόνο από τη δική του επιλογή Επιλογή στρατηγικών Ο κάθε παίκτης μπορεί να επιλέξει είτε μία μόνο στρατηγική για να παίξει, δηλαδή να παίξει καθαρά, ή να επιλέξει πιθανοτικά ανάμεσα σε περισσότερες από μία στρατηγικές, δηλαδή να παίξει μεικτά. Ορισμός 1.2. Μια μεικτή στρατηγική x i για τον παίκτη i με σύνολο στρατηγικών S i = {1,..., m i } είναι μια κατανομή πιθανότητας στο S i. Με άλλα λόγια, είναι ένα διάνυσμα x i = (x i (1),..., x i (m i )) έτσι ώστε x i (j) 0 για 1 j m i. Πρέπει να ισχύει ότι x i (1) x i (m i ) = 1. 12

13 Αν X i είναι το σύνολο των μεικτών στρατηγικών του παίκτη i, δηλαδή όλες οι δυνατές κατανομές πιθανότητας πάνω στις m i καθαρές στρατηγικές του, τότε για τους n παίκτες το X = X 1... X n είναι το σύνολο όλων των δυνατών συνδιασμών των μεικτών στρατηγικών. Ο συμβολισμός x i σημαίνει τις στρατηγικές όλων εκτός του παίκτη i. Δηλαδή, αν x = (x 1,..., x n ) X τότε x i = (x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n ). Για μία μεικτή στρατηγική y i X i ορίζουμε το (y i, x i ) σαν το (x 1,..., x i 1, y i, x i+1,..., x n ). Δηλαδή, όλοι οι παίκτες παίζουν τις μεικτές στρατηγικές που έχουν στο x ενώ ο παίκτης i αλλάζει τη στρατηγική του από x i σε y i Σύνολο υποστήριξης - Support ενός παίκτη Το σύνολο υποστήριξης του παίκτη i για μία μεικτή στρατηγική x i ορίζεται σαν το σύνολο των καθαρών στρατηγικών που έχουν θετική πιθανότητα να παιχτούν. Δηλαδή, για κάποιο x i το στήριγμα είναι το Sp i = {j x i (j) > 0} Αναμενόμενο κέρδος Το αναμενόμενο κέρδος για τον παίκτη i δείχνει τι περιμένει να κερδίσει, δεδομένου ενός παιξίματος x = (x 1,..., x n ) X. U i (x) = S x() u i () (1.1) Σκοπός του κάθε παίκτη είναι να μεγιστοποιήσει το κέρδος του Βέλτιστη απόκριση - Bet Repone Mια μεικτή στρατηγική z i είναι βέλτιστη απόκριση για τον παίκτη i στο παίξιμο x i αν για όλα τα y i X i ισχύει: U i ((z i, x i )) U i ((y i, x i )) (1.2) Δηλαδή, με τη βέλτιστη απόκριση μεγιστοποιείται το αναμενόμενο κέρδος του. Αν οποιoσδήποτε παίκτης γνώριζε εκ των προτέρων τι στρατηγικές θα παίξουν οι αντίπαλοί του τότε θα επέλεγε μια στρατηγική που είναι βέλτιστη απόκριση. 1.3 Λύση ενός παιγνίου Λύση ενός παιγνίου θεωρείται μια κατάσταση όπου όλοι οι παίκτες καταλήγουν σε μία στρατηγική, αγνή ή μεικτή, και δεν την αλλάζουν γιατί δεν μπορούν να αυξήσουν το κέρδος τους Λύση Κυρίαρχης Στρατηγικής - Dominant Strategy olution Στο παιχνίδι που έχει λύση της παραπάνω μορφής κάθε παίκτης έχει μία μοναδική βέλτιστη στρατηγική, ανεξάρτητα με το τι θα παίξουν οι υπόλοιποι παίκτες. Δηλαδή, για κάθε παίκτη i υπάρχει στρατηγική y έτσι ώστε για κάθε στρατηγική z διαφορετική της y να ισχύει: u i (y i, x i ) u i (z i, x i ) (1.3) Είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε ότι η λύση της κυρίαρχης στρατηγικής μπορεί να μη δίνει τα βέλτιστο κέδρος σε κανέναν από τους παίκτες. Επίσης, η υπάρξη μιας και μόνο κυρίαρχης στρατηγικής για κάθε παίκτη είναι ένας πολύ αυστηρός περιορισμός για το παιχνίδι και πολύ λίγα παίγνια ικανοποιούν τη συνθήκη αυτή. 13

14 1.3.2 Αγνό σημείο ισορροπίας κατα Nah Από τη στιγμή που τα παίγνια έχουν σπάνια την ιδιότητα της κυρίαρχης στρατηγικής, επρέπε να βρεθεί μια λύση λιγότερο αυστηρή και περισσότερο εφαρμόσιμη. Μια επιθυμητή λύση θα ήταν μία όπου κάθε παίκτης παίζει σύμφωνα με τα κινητρά του, μεγιστοποιώντας το δικό του κέρδος. Η ιδέα ήρθε από τον Nah. Το σημείο ισορροπίας (equilibrium) που πρότεινε, είναι μία λύση που είναι σταθερή, δηλαδή κανένας από τους παίκτες δεν βελτιώνει το κέρδος του αν αποκλίνει μονομερώς από αυτό το σημείο ισορροπίας, επομένως δεν τον συμφέρει να αλλάξει στρατηγική. Ένα διάνυσμα αγνών στρατηγικών S ονομάζεται καθαρό σημείο ισορροπίας κατά Nah (pure Nah equilibrium) αν για όλους τους παίκτες i και για κάθε εναλλακτική στρατηγική i Si, έχουμε ότι u i ( i, i ) u i ( i, i ) (1.4) Δηλαδή, κανένας παίκτης i μπορεί να αλλάξει στρατηγική από την i στην i και να βελτιώσει το κέρδος του, υποθέτοντας ότι οι υπόλοιποι παίκτες παραμένουν στη στρατηγική. Προφανώς, μια λύση κυρίαρχης στρατηγικής είναι ένα καθαρό σημείο ισορροπίας κατά Nah. Επιπλέον, αν η λύση είναι αυστηρά κυρίαρχη (trictly dominating), δηλαδή αν αλλάζοντας σ'αυτή βελτιώνεται πάντα το αποτέλεσμα, αποτελεί και το μοναδικό καθαρό σημείο ισορροπίας κατά Nah του παιγνίου. Παρόλα αυτά, τα σημεία ισορροπίας κατά Nah μπορεί να μην είναι μοναδικά για το παίγνιο. Γνωρίζουμε από πριν ότι το σημείο ισορροπίας Νah μπορεί να μην είναι βέλτιστο από πλευράς κέρδους, και μάλιστα σε παίγνια με περισσότερα από ένα σημεία ισορροπίας μπορεί να υπάρχουν μεγάλες διαφορές στα κέρδη των παικτών ανάμεσα στα σημεία αυτά Μεικτό σημείο ισορροπίας κατα Nah Στους παραπάνω ορισμούς θεωρούσαμε ότι οι παίκτες επιλέγουν μόνο μία στρατηγική για να παίξουν και γι'αυτό τα ονομάσαμε αγνά σημεία ισορροπίας. Όταν οι παίκτες παίζουν μεικτές στρατηγικές έχουν σαν γνώμονα το αναμένόμενο κέρδος. Ορισμός 1.3. Για ένα παίγνιο n παικτών το διάνυσμα στρατηγικών x = (x 1,..., x n ) X είναι ένα μεικτό σημείο ισορροπίας κατά Nah, αν για κάθε παίκτη i το x i είναι βέλτιστη απόκριση στο x i. O Nah[16] το 1951 βασιζόμενος στο θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer απέδειξε ότι κάθε παίγνιο με πεπερασμένο αριθμό παικτών και πεπερασμένο σύνολο στρατηγικών έχει τουλάχιστον ένα Nah σημείο ισορροπίας μεικτών στρατηγικών. Το ότι ο Νah απέδειξε ότι κάθε παίγνιο έχει ένα σημείο της παραπάνω μορφής έκλεισε κατά κάποιο τρόπο το πρώτο κομμάτι της θεωρίας παιγνίων που έπρεπε να καθιερωθεί μια λύση κοινώς αποδεκτή, αλλά άνοιξε ένα νέο κομμάτι που ασχολούνταν με την εύρευση τέτοιων σημείων ισορροπίας, πράγμα που αποδείχθηκε τελικά αρκετά δύσκολο Άλλα σημεία ισορροπίας Μετά από τον ορισμό του Nah ακολούθησαν και άλλοι, που βασίστηκαν βέβαια πάνω στον ορισμό του Nah, με σκοπό να απλοποιήσουν ακόμη περισσότερο την ιδέα του ισορροπίας ούτως ώστε να διευκολυνθούμε στην εύρεση τους. 14

15 Correlated σημεία ισορροπίας Σ'αυτό το είδος των σημείων ισορροπίας οι παίκτες υπακούν σε έναν παρατηρητή του παιγνίου που συμβουλέυει τον κάθε παίκτη τι να παίξει. Βασική προϋπόθεση είναι ότι ο παρατηρητής είναι αξιόπιστος και αμερόληπτος για όλους τους παίκτες. Έτσι, αν η μεικτή στρατηγική που θα προταθεί από τον παρατηρητή ακολουθηθεί από όλους τους παίκτες, τότε είναι η βέλτιστη για όλους. Τα παραπάνω οδήγησαν τον Aumann to 1974 να δώσει τον παρακάτω ορισμό για το correlated equilibrium: Ορισμός 1.4. Ένα correlated σημείο ισορροπίας είναι μια κατανομή πιθανότητας p στο χώρο των στρατηγικών των παικτών για την οποία ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: Για κάθε παίκτη i και κάθε δύο διαφορετικές στρατηγικές j, j του i, υπό την προϋπόθεση ότι η στρατηγική j υπάρχει στη κατανομή p, το αναμενόμενο κέρδος παίζοντας την j είναι μεγαλύτερο ή ίσο από αυτό της j. Προσεγγιστικά σημεία ισορροπίας - Approximate equilibria Έστω ɛ > 0 ένας πραγματικός αριθμός. Ένα ɛ-προσεγγιστικό σημείο ισορροπίας κατά Nah είναι ένα διάνυσμα μεικτών στρατηγικών έτσι ώστε καμία στρατηγική που αποκλίνει από αυτή δε μπορεί να βελτιώσει το κέρδος παραπάνω από ɛ. Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι ένα ɛ-προσεγγιστικό σημείο ισορροπίας κατά Nah μπορεί να είναι πολύ κοντά αλλά και μακριά από ένα πραγματικό σημείο ισορροπίας Nah. Η έννοια του παραπάνω σημείων ισορροπίας είναι αναγκαία, καθώς τα παίγνια δύο παικτών μπορούν να έχουν πάντα ρητά Nah σημεία ισορροπίας, ενώ παίγνια με περισσότερους παίκτες μπορεί να έχουν μόνο άρρητα. Συνεπώς, κάθε αναγωγή των τελευταίων σε παίγνια δύο παικτών απαιτούν κάποιου είδους προσέγγιση. 15

16 . 16

17 2 Παίγνια Διπίνακα - Bimatrix game Παίγνια διπίνακα ονομάζουμε τα παίγνια μεταξύ δύο παικτών. Σύμφωνα με τον αρχικό ορισμό για το παίγνιο χρειαζόμαστε το σύνολο των στρατηγικών για τον κάθε παίκτη και το κέρδος του για κάθε πιθανό συνδιασμό στρατηγικών. O συνδυασμός που επιλέγουν οι παίκτες θα ονομάζεται προφίλ στρατηγικών. 2.1 Στρατηγικές Εδώ έχουμε 2 παίκτες τον P l 1 με στρατηγικές που ονομάζονται M = {1,..., m} και τον P l 2 με τις στρατηγικές N = {1,..., n}. Είναι βολικό να μετονομάσουμε τις στρατηγικές του P l 2 στο σύνολο N = {m + 1,..., m + n}, ούτως ώστε να μη χρειάζεται να προσδιορίζουμε σε ποιον παίκτη ανήκει η κάθε στρατηγική. Μία μεικτή στρατηγική θα αναπαριστάται με ένα διάνυσμα στήλη m στοιχείων για τον P l 1 και n στοιχείων για τον P l Πίνακες κερδών Τα κέρδη του καθενός μπορούν να αναπαρασταθούν σε δύο πίνακες A και B μεγέθους m n όπου οι γραμμές αντιστοιχούν στις αγνές στρατηγικές του P l 1 και οι στήλες στις αγνές στρατηγικές του P l 2. Το στοιχείο A(i, j) αντιπροσωπεύει το κέρδος του P l 1 αν αυτός παίξει τη στρατηγική i M και ο P l 2 παίξει τη στρατηγική j N. Αντίστοιχα το κέρδος του P l 2 για το αντίστοιχο παίξιμο αντιστοιχεί στο στοιχείο B(i, j). Ένα τέτοιο παίγνιο μπορεί απλά να προσδιοριστεί σαν (A, B). Έστω X το σύνολο όλων των δυνατών κατανομών πιθανότητας πάνω στις στρατηγικές του P l 1 και Y το σύνολο των κατανομών πιθανότητας για τον P l 2. Mε x X θα συμβολίζουμε μια μεικτή στρατηγική του P l 1 και με y Y μια μεικτή στρατηγική του P l 2. Στην ουσία το x είναι ένα διάνυσμα m θέσεων, δηλαδή x = (x 1, x 2,..., x m ) και το y ένα διάνυσμα n θέσεων, y = (y 1, y 2,..., y n ) όπου το άρθοισμα των στοιχείων του κάθε διανύσματος ισούται με 1, αφού πρόκειται για κατανομή πιθανότητας, δηλαδή m n x i = 1 και y j = 1. i=1 j=1 Το αναμενόμενο κέρδος του κάθε παίκτη εξαρτάται τόσο από τον τρόπο κατανομής των πιθανοτήτων πάνω στις δικές του στρατηγικές, όσο και στην επιλογή της κατανομής των πιθανοτήτων του αντιπάλου. Έτσι για τον P l 1 το αναμενόμενο κέρδος, σύμφωνα με τον τύπο 1.1, ισούται με x T Ay και για τον P l 2 ισούται x T By. 2.3 Nah σημείο ισορροπίας Ένα ζεύγος κατανομών πιθανότητας (x, y ), x X, y Y είναι σημείο ισορροπίας κατά Nah αν κανένας από τους δύο παίκτες δεν μπορεί να αυξήσει το κέρδος του αλλάζοντας μόνο αυτός τη στρατηγική του. Δηλαδή, θα ισχύει ότι x T Ay x T Ay, x X x T By x T By, y Y To θεώρημα του Nah ισχύει και για τα παίνγια δύο παικτών και μας λέει ουσιαστικά ότι οποιοδήποτε ζεύγος πινάκων A, B θα έχει τουλάχιστον ένα σημείο ισορροπίας κατά Nah. 17

18 Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι πίνακες A, B έχουν όλα τα στοιχεία τους μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός. Ακόμη και αν δεν ίσχυε η παραπάνω παραδοχή - δηλαδή οι A, B είχαν και αρνητικά στοιχεία-, μπορούμε να τους μετασχηματήσουμε στους A, B, προσθέτοντας τον κατάλληλο αριθμό στον κάθε πίνακα, χωρίς να αλλάξουν τα σημεία ισορροπίας του παιγνίου. 2.4 Βέλτιστη απόκριση H βέλτιστη απόκριση του P l 1 στη στρατηγική y του P l 2 είναι η μεικτή στρατηγική x που μεγιστοποιεί το αναμενόμενο κέρδος x T Ay. Ένα ζεύγος στρατηγικών (x, y) είναι Nah σημείο ισορροπίας (NE) αν το ένα αποτελεί βέλτιστη απόκριση του άλλου. Eπειδή όπως έχουμε προαναφέρει σε κάθε παίγνιο υπάρχει τουλάχιστον ένα Nah σημείο ισορροπίας, θα υπάρχουν πάντα δύο βέλτιστες αποκρίσεις που η μία θα είναι βέλτιστη απόκριση της άλλης. Έτσι προκύπτει ένας ισοδύναμος ορισμός για το Nah σημείο ισορροπίας. Πρόταση 2.1. Έστω ένα ζεύγος στρατηγικών (x, y) μεικτών στρατηγικών για τους δύο παίκτες αντίστοιχα. Με (Ay) i ορίζουμε το i-οστό στοιχείο του διανύσματος Ay, που είναι το αναμενόμενο κέρδος για τον P l 1 όταν θα παίξει τη γραμμή i. Τότε το x είναι βέλτιστη στο y αν και μόνον αν για κάθε i M ισχύει: x i > 0 = (Ay) i = u = max{(ay) k k M} (2.1) Απόδειξη. Ισχύει ότι: x T Ay = i M x i (Ay) i = i M x i (u (u (Ay) i )) = u i M x i (u (Ay) i ) Έτσι x T Ay u επειδή x i 0 και u (Ay) i 0 για κάθε i M, και x T Ay = u αν και μόνον αν το x i > 0 που υποδηλώνει ότι (Ay) i = u. 2.5 Παράδειγμα Για να γίνουν όλα τα παραπάνω αντιληπτά θα μας βοηθήσει το παρακάτω παράδειγμα. Θεωρούμε το 3 2 πάιγνιο (A, B) όπου A = 2 5 B = 2 6 (2.2) Δηλαδή, ο P l 1 έχει σύνολο στρατηγικών το M = {1, 2, 3} και ο P l 2 έχει το N = {4, 5}. Αν ο P l 1 παίξει 2 και ο P l 2 παίξει 5, τότε ο P l 1 θα έχει κέρδος 5 και ο P l 2 κέρδος 6. Αν το παίγνιο φτάσει σ'αυτή την κατάσταση, δηλαδή ο P l 1 γνωρίζει ότι ο P l 2 θα παίξει 5 και ο P l 2 γνωρίζει ότι ο αντίπαλός του θα παίξει 2, η βέλτιστη απόκριση για τον P l 2 είναι να παραμείνει σταθερός, δεδομένου ότι ο αντίπαλος παραμένει σταθερός, καθώς δε μπορεί να αυξήσει παραπάνω το κέρδος του (βρίσκεται δηλαδή σε βέλτιστη απόκριση). Αντίθετα,ο P l 1 συμφέρει να αλλάξει τη στρατηγική του σε 3 καθώς έτσι αυξάνει το κέρδος του σε 6. Αν γίνει όμως αυτό, το κέρδος του P l 2 πέφτει σε 1 και τον συμφέρει να αλλάξει και αυτός τη στρατηγική του σε 4. Αυτή τη φορά ο P l 1 ξαναλλάζει στρατηγική πηγαίνοντας στην 1. Παρατηρούμε ότι με αυτό το τρόπο οι παίκτες έφτασαν σε καθαρό NE το (x, y) = ((1, 0, 0), (1, 0)) καθώς η στρατηγική του κάθε παίκτη είναι βέλτιστη απόκριση στη στρατηγική του αντιπάλου του. 18

19 Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι στην αρχική κατάσταση το κέρδος και για τους δύο παίκτες ήταν μεγαλύτερο από ότι είναι στο NE. Επίσης πρέπει να τονιστεί ότι η παραπάνω διαδικασία δεν οδηγεί πάντα σε NE, καθώς αφενός το παίγνιο μπορεί να μην έχει αγνό NE και αφετέρου μπορεί να δημιουργηθεί ένας κύκλος από βέλτιστες αποκρίσεις που θα οδηγήσει στην αρχική κατάσταση (ακόμη και όταν υπάρχει αγνό ΝΕ στο παίγνιο). Δηλαδή, ο κύκλος αποφεύγει τις αμοιβαίες βέλτιστες αποκρίσεις, που είναι και καθαρό Nah σημείο ισορροπίας. Το παραπάνω παίγνιο έχει τρία ΝΕ, ένα καθαρό και δύο μεικτά. Εκτός από το αγνό που παρουσιάστηκε παραπάνω, τα άλλα δύο ΝΕ είναι τα: ((4/5, 1/5, 0), (2/3, 1/3)) με σύνολο υποστήριξης {1, 2} για τον P l 1 και {4, 5} για τον P l 2 ((0, 1/3, 2/3), (1/3, 2/3)) με σύνολο υποστήριξης {2, 3} για τον P l 1 και {4, 5} για τον P l 2. Εύκολα μπορούμε να εφαρμόσουμε τη συνθήκη της βέλτιστης απόκρισης και να την επαληθεύσουμε, επαληθεύοντας ταυτόχρονα ότι είναι και Νah σημείο ισορροπίας (αφού κάθε στρατηγική είναι βέλτιστη απόκριση για την άλλη). Αναλυτικότερα, για το ((0, 1/3, 2/3), (1/3, 2/3)) έχουμε: Για τον P l 1 : Για τον P l 2 : 3 3 ( 1 ) 3 Ay = = x T B = ( ) = ( x 1 = 0 x 2 > 0 x 3 > 0 Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο μπορούμε να ελέγξουμε αν ο τελευταίος συνδιασμός στρατηγικών είναι πράγματι ένα ΝΕ. Παρατηρούμε ότι είναι εύκολο να ελέγξουμε αν ένα ζεύγος στρατηγικών (x, y) αποτελεί ΝΕ για ένα παίγνιο, όπου λέγοντας εύκολο εννοούμε ότι χρειάζεται πολυωνυμικός χρόνος -πολυωνυμικός αριθμός πράξεων- για να γίνει ο σχετικός έλεγχος. Εδώ θα μπορούσε κάποιος να σκεφτεί ένα πρώτο απλό αλγόριθμο για την εύρεση ΝΕ σε παίγνια δύο παικτών, χρησιμοποιώντας τη σχέση 2.1: Για κάθε πιθανό προφίλ στρατηγικών έλεγξε με τον παραπάνω τύπο αν αποτελεί η μία βέλτιστη απόκριση στην άλλη. Βέβαια, ο αλγόριθμος αυτός είναι μη χρηστικός, διότι μιλάμε για κατανομές πιθανοτήτων και έχουμε πάρα πολλές δυνατές αποτιμήσεις πιθανοτήτων για τον κάθε παίκτη. Παρόλα αυτά, βλέπουμε ότι το πρόβλημα μοιάζει κάπως με ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, δηλαδή έχουμε πάρα πολλά σημεία που ικανοποιούν τους περιοσιμούς που θέτουμε, αλλά εμείς ψάχνουμε μόνο στα ακραία σημεία. Και σε αυτήν την περίπωση θα ψάξουμε, με κάποιο τρόπο, μόνο σε αρκαίες τιμές πιθανοτήτων πάνω στις στρατηγικές Μη εκφυλισμένα - Nondegenerate παίγνια Στο παραπάνω παίγνιο παρατηρούμε επίσης ότι σε κάθε Νah σημείο ισορροπίας οι παίκτες παίζουν τον ίδιο αριθμό στρατηγικών. Αυτή η παρατήρηση μας οδηγει στον παρακάτω ορισμό. )

20 Ορισμός 2.2. Ένα παίγνιο δύο παικτών ονομάζεται μη εκφυλισμένο αν καμία μεικτή στρατηγική με σύνολο υποστήριξης μεγέθους k δεν έχει παραπάνω από k βέλτιστες αποκρίσεις. Πρόταση 2.3. Σε οποιοδήποτε Nah σημείο ισορροπίας (x, y) ενός μη εκφυλισμένου παιγνίου δύο παικτών τα x και y έχουν σύνολο υποστήριξης ίσου μεγέθους. Με βάση την παραπάνω πρόταση κάποιος θα μπορούσε να προτείνει ένα βελτιωμένο αλγόριθμο για την εύρεση ΝΕ: Για κάθε k = 1,..., min{ N, M } και για κάθε ζευγάρι στηριγμάτων (I, J) μεγέθους k, όπου I M και J N, λύσε τις εξισώσεις i I x i b ij = v με j J i I x i = 1 j J a ij y j = u με i I j J y j = 1 και έλεγξε αν x i 0, i I και y j 0, j J και ότι τα x και y είναι βέλτιστη απόκριση το ένα για το άλλο. Oι παραπάνω γραμμικές εξισώσεις μπορεί να μην έχουν λύση κάποιες φορές και αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ΝΕ για το παίγνιο με αυτά τα σύνολα υποστήριξης. Έστω ότι θέλουμε να ελέγξουμε αν τα σύνολα υποστήριξης Sp 1 = {1, 2} και Sp 2 = {4, 5} οδηγούν σε ΝΕ. Σύμφωνα με τον παραπάνω αλγόριθμο έχουμε να λύσουμε τις ακόλουθες εξισώσεις: 3x 1 + 2x 2 = v 2x 1 + 6x 2 = v x 1 + x 2 = 1 Λύνοντας τις εξισώσεις ως προς x 1 και x 2 βρίσκουμε ότι x 1 = 4/5 και x 2 = 1/5 που ικανοποιούν τη σχέση x i 0, i = {1, 2}. Το v δεν επηρρεάζει τις εξισώσεις και μπορούμε να το απλοποιήσουμε. Άλλωστε, το v θα το υπολογίσουμε μετά, για να δούμε ότι πράγματι η κατανομή πιθανοτήτων που βρήκαμε σε αυτό το σύνολο υποστήριξης αποτελεί όντως βέλτιστη απόκριση. Eπίσης έχουμε και τις εξισώσεις: 3y 4 + 3y 5 = u 2y 4 + 3y 5 = u y 4 + y 5 = 1 Λύνοντας και αυτές τις εξισώσεις βρίσκουμε y 4 = 2/3 και y 5 = 1/3 που ικανοποιούν τη σχέση y j 0, j = {4, 5}. Το μόνο που μένει τώρα να ελέγξουμε είναι αν το ένα είναι βέλτιστη απόκριση στο άλλο. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη μέθοδο βρίσκουμε ότι Ay = (3, 3, 2) και x T B = (14/5, 14/5) που συμφωνεί με τον ορισμό 2.1 της βέλτιστης απόκρισης, οπότε βρήκαμε ένα Nah σημείο ισορροπίας. 20

21 Αν προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε τον παραπάνω αλγόριθμο στο σύνολο υποστήριξης του P l 1, Sp 1 = {1, 3} παίρνουμε τις εξισώσεις 3x 1 + 3x 2 = v 2x 1 + x 2 = v x 1 + x 2 = 1 που έχουν σαν λύση x 1 = 2 και x 3 = 1, πράγμα που μας κάνει να απορρίψουμε τον παραπάνω συνδιασμό από υποψήφιο για NE, καθώς δεν πρόκειται για κατανομή πιθανότητας. Αναμφίβολα, ο αλγόριθμος αυτός μειώνει τις επαναλήψεις σε σχέση με τον προηγούμενο που έλεγχε κάθε πιθανή κατανομή, αλλά δε παύει να απαίτει και αυτός εκθετικό αριθμό επαναλήψεων αν σκεφτεί κανείς ότι μόνο για τον παίκτη με τις λιγότερες στρατηγικές, έστω k, έχουμε 2 k υποψήφια σύνολα υποστήριξης. Το πρόβλημα στον αλγόριθμο αυτό είναι ότι ελέγχονται πολλά ζευγάρια συνόλων υποστήριξης που δεν είναι βέλτιστη απόκριση το ένα για το άλλο. Μία πιθανή βελτίωση είναι αν περιορίσουμε τον έλεγχο μόνο σε σύνολα υποστήριξης που είναι βέλτιστες αποκρίσεις. 2.6 Παίγνια διπίνακα σαν προβλήμα γραμμικού προγραμματισμού Αν ξεχάσουμε προς στιγμή ότι αναφερόμαστε σε παίγνια, μπορούμε να δούμε ότι παραπάνω έχουμε περιγράψει δύο προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, ένα για τον κάθε παίκτη. Πιο συγκεκριμένα για τον P l 1 έχουμε: max x T Ay Με περιορισμούς x i 0, i M m x i = 1 i=1 Ενώ αντίστοιχα για τον P l 2 έχουμε: Το x να είναι βέλτιστη απόκριση στο y: x i > 0 αν και μόνον αν (Ay) i = u x i = 0 αν και μόνον αν (Ay) i < u. max x T By Με περιορισμούς y i 0, i N x i = 1 m+n i=m+1 Το y να είναι βέλτιστη απόκριση στο x: y j > 0 αν και μόνον αν (x T B) j = v x j = 0 αν και μόνον αν (x T B) j < v. To ζητούμενο στα παραπάνω δύο προβλήματα γραμμικού περιορισμού είναι να μεγιστοποιήσουμε και τις δύο αντικειμενικές συναρτήσεις ταυτόχρονα. Παρόλα αυτά δεν πρόκειται για ένα κλασσικό πρόβλημα μεγιστοποίησης με δύο αντικειμενικές συναρτήσεις. Το σημείο που διαφοροποιείται από ένα κλασσικό πρόβλημα είναι ότι έδω μεταβάλονται οι αντικειμενικές συναρτήσεις καθώς τα x και y αλλάζουν. Δηλαδή, στην περίπτωσή μας έχουμε δύο προβλήματα που τρέχουν 21

22 κατά κάποιο τρόπο εναλλάξ: μια μεταβολή στο ένα αλλάζει τα δεδομένα στο άλλο και έτσι πρέπει να μεγιστοποιείται η αντικειμενική συνάρτηση στο καθένα με βάση τα δεδομένα του άλλου. Η παραπάνω διαδικασία συνεχίζεται μέχρις ότου να μεγιστοποιηθούν και οι δύο αντικειμενικές συναρτήσεις ( όπου τα x και y είναι βέλτιστη απόκριση το ένα στο άλλο). Αφού ορίσαμε το παίγνιο σαν δύο προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, για να είναι πλήρης η περιγραφή των προβλημάτων πρέπει να υπολογίσουμε και την περιοχή εφικτών λύσεων για το κάθε ένα από τα προβλήματα αυτά. Η περιοχή εφικτών λύσεων είναι ως συνήθως ένα πολύεδρο που πρέπει να περιγραφεί. 2.7 Πολύτοπα βέλτιστης απόκρισης Πριν προχωρήσουμε παρακάτω στον αυστηρό ορισμό των πολυτόπων που δημιουργούνται από ένα παίγνιο διπίνακα, αναφέρουμε κάποιες βασικές ένοιες από τα πολύεδρα θα χρειαστούν παρακάτω Βασικές έννοιες Ένα πολύεδρο P στον R d είναι ένα σύνολο σημείων z για τα οποία ισχύει {z R d Cz q} για κάποιο πίνακα C και κάποιο διάνυσμα q. To πολύεδρο είναι full-dimenional αν έχει διάσταση d δηλαδή αν υπάρχουν στο σύνολο αυτό d + 1 σημεία, αλλά όχι παραπάνω, αιφνικά ανεξάρτητα (affine independent). Ένα πολύεδρο, αν είναι φραγμένο, ονομάζεται πολύτοπο. Μία όψη (face) του P είναι ένα σύνολο {z R d c T z = q 0 } για κάποιο c R d και q 0 R έτσι ώστε να ισχύει η ανισότητα c T z q 0. Μια κορυφή του P είναι μια όψη του P μηδενικής διάστασης. Μία ακμή του P είναι μίας μονοδιάστατης όψης του P. Μια έδρα (facet) ενός d-διάστατου πολυέδρου είναι μια όψη του P που έχει διάσταση d 1. Κάθε μη κενή όψη F του P μπορεί να κατασκευαστεί αλλάζοντας κάποιες από τις ανισώσεις που ορίζουν το P σε ισότητες, οι οποίες ονομάζονται προσδιορίζουσες (binding) ανισότητες. Δηλαδή, F = {z P c i z = q i, i I} όπου c i z q i για i I είναι κάποιες από τις γραμμές του Cz q. Μία έδρα χαρακτηρίζεται από μία και μόνο προσδιορίζουσα ανισότητα. Οι ανισότητες αυτές είναι μοναδικές για το πολύτοπο, υπό την έννοια ότι για να αλλάξει μια ανισότητα, δηλαδή μια όψη, πρέπει να αλλάξει ολόκληρο το πολύεδρο. Ένα d-διάστατο πολύεδρο P ονομάζεται απλό (imple) αν κανένα σημείο ανήκει δεν ανήκει σε παραπάνω από d έδρες του P, πράγμα που ισχύει αν δεν υπάρχει κάποια ειδική εξάρτηση μεταξύ των ανισοτήτων που προσδιορίζουν τις έδρες. Σχήμα 1: Eκφυλισμένο πολύτοπο. Παρατηρούμε ότι δεν είναι απλό αφού η κορυφή a ανήκει σε τέσσερις έδρες ενώ η καθεμία από τις υπόλοιπες κορυφές ανήκουν σε τρεις έδρες. 22

23 2.7.2 Πολύεδρο βέλτιστης απόκρισης Το πολύεδρο της βέλτιστης απόκρισης για κάθε παίκτη είναι το σύνολο των μεικτών στρατηγικών του παίκτη μαζί με το αναμενόμενο κέρδος του αντιπάλου του. Οι σχέσεις που ορίζουν το πολύεδρα αυτά, P για τον P l 2 και Q για τον P l 1, είναι οι ακόλουθες: { } M P = (x, v) R M R x 0, B T x 1v, x i = 1 Q = { (y, u) R N R Ay 1u, y 0 i=1 M+N i=m+1 y i = 1 όπου x 0 σημαίνει ότι όλα τα στοιχεία του διανύσματος x είναι όλα μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός. Παρατηρούμε ότι οι σχέσεις που ορίζουν τα πολύτοπα δεν είναι στην ίδια σειρά στο P και στο Q. Αυτό δεν είναι τυχαίο καθώς αυτή η σειρά είναι που θα μας βοηθήσει να βρούμε πιο εύκολα τα Nah σημεία ισορροπίας. Για το παράδειγμα 2.2 αν θελήσουμε να οπτικοποιήσουμε τα πολύεδρα Q για τον P l 1 και το P για τον P l 2 θα έχουμε τις εξής εξίσωσεις: Q P 3y 4 + 3y 5 u (1) x 1 0 (1) 2y 4 + 5y 5 u (2) x 2 0 (2) 6y 5 u (3) x 3 0 (3) y 4 0 (4) 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 v (4) y 5 0 (5) 2x 1 + 6x 2 + x 3 v (5) y 4 + y 5 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Αν σχεδιάσουμε το πολύεδρο έχουμε το Σχήμα 2 όπου στον οριζόντιο άξονα είναι η πιθανότητα y 4 - η πιθανότητα y 5 ορίζεται μοναδικά σαν 1 y 4 - και στον κάθετο άξονα το αναμενόμενο κέρδος u για τον P l 1. } (2.3) Σχήμα 2: Το πολύεδρο βέλτιστης απόκρισης Q για τον P l 1 Παρατηρούμε ότι κάθε έδρα του Q έχει ένα δείκτη (label). Ο δείκτης αυτός δείχνει τον αριθμό της προσδιορίζουσας ανίσωσης σύμφωνα με την αρίθμηση που δώσαμε παραπάνω. Με τη βοήθεια του 23

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΙΓΝΙΑ ΜΗ ΕΝΙΚΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Προηγούµενο Μάθηµα: Κυρίαρχη Στρατηγική- Κυριαρχούµενη στρατηγική-nash equilibrium Μια στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων ιδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολύπλοκα Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ- ΚΥΡΙΑΡΧΟΥΜΕΝΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ- PRISONER S DILLEMA ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Players-Παίκτες Rules- Κανόνες. Τιµωρείσαι εάν τους παραβιάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τι θα πούμε Θα εξετάσουμε αναλυτικά το μοντέλο Cournot

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2006 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωµατική Εργασία µε τίτλο: Ακαδηµαϊκό έτος 2007-2008

Διπλωµατική Εργασία µε τίτλο: Ακαδηµαϊκό έτος 2007-2008 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Σχολή Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών & Πληροφορικής Διπλωµατική Εργασία µε τίτλο: Προσεγγιστικές ισορροπίες Nash Πειραµατική και Θεωρητική εργασία για εύρεση αποδοτικών αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα