ΣΥΝΟΛΑ Σημείωση. 1. Προλεγόμενα. οντότης Αξιωματικό σύστημα. μοντέλο Συμβατό. Ανεξάρτητο αξιώματα (= αιτήματα) Πλήρες Σύνολο Κλάσης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΟΛΑ Σημείωση. 1. Προλεγόμενα. οντότης Αξιωματικό σύστημα. μοντέλο Συμβατό. Ανεξάρτητο αξιώματα (= αιτήματα) Πλήρες Σύνολο Κλάσης"

Transcript

1 ΣΥΝΟΛΑ Σημείωση. Τον νγνώστη, που ενδιφέρετι γι το περιεχόμενο των πργράφων 1 κι 2, τον πρπέμπουμε στ [Ζ1], σελ. Ε8-Ε26 κι [Ζ2], σελ , [ΖΚ], σελ Γράφουμε νν ντί του ν κι μόνον ν. 1. Προλεγόμεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή με έννοιες πό την Μθημτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύμφων με την Πλτωνική ντίληψη του Κόσμου, οι έννοιες υτές θεωρούμε ότι προϋπάρχουν κι ότι δεν είνι κενές περιεχομένου. Μί οντότης γι μς εδώ, είνι το περιεχόμενο μιάς έννοις. Το ενδιφέρον μς θ επικεντρώνετι στις σχέσεις που νπτύσσοντι νάμεσ στις οντότητες που θεωρούμε. Έτσι, τ ερωτήμτ που θέτουμε, είνι του τύπου τι ιδιότητες έχει κάτι κι όχι του τύπου τι είνι κάτι. γι πράδειγμ, δεν θέτουμε το ερώτημ τι είνι η μονάς λλά τι ιδιότητες θ πρέπει ν έχει κάποι οντότης, γι ν την ονομάσουμε μονάδ. Τις οντότητες τις σημειώνουμε με σύμβολ. Προσοχή όμως! Το ίδιο σύμβολο χρησιμοποιείτι συχνά γι ν σημειώσει διφορετικές οντότητες. Ενδιφερόμεθ συνεπώς, γι τον προσδιορισμό σχέσεων μετξύ συμβόλων, των οποίων την ύπρξη δεχόμεθ, κι γι την εξγωγή συμπερσμάτων, τ οποί θ φορούν τ σύμβολά μς, κι μόνον υτά, κι τ οποί συμπεράσμτ θ στηρίζοντι στις πρπάνω σχέσεις κι στην ποδεκτή λογική. Το σύνολο των ρχικά χρησιμοποιουμένων συμβόλων κι σχέσεων κλείτι Αξιωμτικό σύστημ. Εφόσον στ χρησιμοποιούμεν σύμβολ επισυνάπτουμε οικείες έννοιες θ λέμε ότι, το σύνολο υτών των εννοιών, ποτελεί έν μοντέλο το οποίο νπριστά το ξιωμτικό μς σύστημ. Επειδή, τώρ, με ορισμέν μοντέλ έχουμε μεγάλη οικειότητ, τ σύμβολ του ξιωμτικού μς συστήμτος λβίνουν ονομσίες, που εμπνέοντι πό το ιδιίτερο υτό μοντέλο. Έν ξιωμτικό σύστημ πρέπει ν είνι: ) Συμβτό. Μέσ σ υτό, δηλδή, δεν υπάρχει ζεύγος ντιφτικών προτάσεων, που ν μπορούν κι οι δύο ν εξχθούν με την ποδεκτή λογική, πό τ ξιώμτ του συστήμτος. β) Ανεξάρτητο. Τούτο σημίνει, ότι το σύνολο των ρχικών σχέσεων, που κλούντι κι ξιώμτ (= ιτήμτ) του συστήμτος, δεν προυσιάζουν πλεονσμούς. Κνέν δηλδή ξίωμ δεν προκύπτει, με την ποδεκτή λογική, πό τ υπόλοιπ. γ) Πλήρες. Τούτο σημίνει ότι, γι κάθε σχέση που γράφετι γι τ σύμβολά μς, είμστε σε θέση ν ποφνθούμε ν κι κτά πόσον η σχέση υτή συνάγετι πό προτάσεις του ξιωμτικού μς συστήμτος. Ερχόμστε, τώρ, στην έννοι σύνολο. Δεχόμεθ τ πρκάτω ως προς την δυντότητά μς ν θεωρούμε σύνολ. Τ σύνολά μς τξινομούντι σε επίπεδ. Μηδενικό επίπεδο: Περιέχει τις οντότητες. Πρώτο επίπεδο: Περιέχει συλλογές πό οντότητες. Δεύτερο επίπεδο: Περιέχει συλλογές πό ντικείμεν που νήκουν είτε στο πρώτο, είτε στο μηδενικό, είτε κι στ δύο προηγούμεν επίπεδ. Τρίτο επίπεδο: Περιέχει συλλογές στοιχείων, που νήκουν είτε στο δεύτερο, είτε στο πρώτο, είτε στο μηδενικό επίπεδο, είτε σε οιονδήποτε συνδυσμό π τ προηγούμεν. Τ επίπεδ κτά τον τρόπο υτόν υξάνουν. Σύνολο κλείτι το στοιχείο του τυχόντος k-επιπέδου. Κλάσης κλείτι ότι δεν είνι σύνολο. Συνέπει υτής της τξινομήσεως, είνι ότι το σύνολο όλων των συνόλων είνι κλάσης, κι όχι σύνολο. Ιστορική σημείωση. Η τξινόμησης υτή των συνόλων, έγινε πό τον Russell στο Principia Mathematica γι ν ποφύγει την νάπτυξη πρδόξων ορισμένου τύπου (βλέπε Χρονικό, στο τέλος της ενότητς υτής). Η κτσκευή υτή των συνόλων, είνι γνωστή ως comulative theory o types ή ως comulative type structure. 2. Το ξιωμτικό σύστημ των Zermelo-Fraenkel. Τις οντότητες του μηδενικού επιπέδου θ τις κλούμε στοιχεί κι θ τις συμβολίζουμε με μικρά γράμμτ. Τις οντότητες του πρώτου επιπέδου θ τις κλούμε σύνολ κι θ τις συμβολίζουμε, συνήθως, με κεφλί

2 γράμμτ. Οντότητες του δευτέρου επιπέδου θ συμβολίζοντι με κεφλί κλλιγρφικά γράμμτ. Εισάγουμε, τώρ, μιά συμβολική γλώσσ, με την βοήθει της οποίς θ χειριζόμστε τ στοιχεί κι τ σύνολ. ) A, διάβζε, το είνι έν στοιχείο του Α. Α, διάβζε, το δεν νήκει στο Α. β), διάβζε, γι κάθε., διάβζε, υπάρχει. :, διάβζε, τέτοιο ώστε. γ), (ή ), διάβζε συνεπάγετι. (ή ) διάβζε διπλή συνεπγωγή. δ), διάβζε κι., διάβζε είτε.!, διάβζε έν κι μόνον έν. Οποιοσδήποτε λογικός συνδυσμός των πρπάνω συμβόλων, ποτελεί μί λογική πρότση φ. Μί πρότση, που φορά την οντότητ x, την συμβολίζουμε με το φ(x). Με φ(x), ή φ(x) ή ~φ(x) συμβολίζετι η άρνησης της λογικής προτάσεως φ(x). Αν θέλουμε ν δηλώσουμε ότι το σύνολο Α ποτελείτι πό τ στοιχεί, β, κ.ο.κ., γράφουμε Α = {, β}, κ.ο.κ. Αν τ, β, κ.ο.κ. είνι στοιχεί, δηλδή οντότητες του μηδενικού επιπέδου, τότε το {, β} είνι μί οντότης του πρώτου επιπέδου. Ιδιίτερ, στο πρώτο επίπεδο νήκουν τ σύνολ της μορφής {}. Εξ ορισμού είνι, {, } = {}. Το δεύτερο επίπεδο είνι δυντόν, σύμφων με την πρπάνω εκτεθείσ θεωρί των τύπων, ν περιέχει κάποιο συνδυσμό πό οντότητες του τύπου, β, είτε {}, {β}, είτε {, β}, είτε {}, {, β}. Το σύνολο λοιπόν {, {}, {, β}} είνι μί οντότης του δεύτερου επιπέδου. Α1. Αξίωμ κενού συνόλου. Υπάρχει έν σύνολο, χωρίς στοιχεί. Το σύνολο υτό το συμβολίζουν με το, κι κλείτι κενό σύνολο. Κάνοντς χρήση της πρπάνω γλώσσς, το ξίωμ υτό είνι δυντόν ν γρφεί κι ως εξής: x(x ). Εξ ορισμού το περιέχετι σε κάθε σύνολο. Α2. Δυντότητ σχημτισμού υποσυνόλων. Έστω E κάποιο σύνολο, κάποιου επιπέδου, το οποίο πό δω κι στο εξής θ θεωρούμε ότι υτό περιέχει τις οντότητες με τις οποίες πρόκειτι ν σχοληθούμε. Έν υποσύνολο τότε Χ του E, ορίζετι πό μιά λογική πρότση φ. Έχουμε, δηλδή, ότι Χ z(z X z E φ(z)). Έν υποσύνολο που ορίζετι πό την φ(z), θ το συμβολίζουμε πλά ως Χ = {z φ(z)}. Χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό Α Β, γι ν δηλώσουμε ότι το Α ορίζετι ως εξής: Α = {z z Β}. Γράφουμε κι Β Α. A3. Τ σύνολ Α κι Β τυτίζοντι, γράφουμε Α = Β, ν κι μόνον ν, ποτελούντι πό τ ίδι στοιχεί. Χρησιμοποιώντς την συμβολική μς γλώσσ, το Α3 γράφετι κι ως εξής: z(z X z Y) X = Y. Ισχύει φνερά κι η Χ = Υ z(z X z Y). Ισχύει, λοιπόν, ότι {, β} = {β, }. γι ν ποδείξουμε ότι δύο σύνολ Α κι Β τυτίζοντι, ρκεί ν δείχνουμε μφότερες τις σχέσεις Α Β κι Α Β. Γράφουμε Α Β, ν δεν έχουμε Α = Β. Αν Α Β, λλά Α Β, γράφουμε Α Β. Α4. Σύμφων με την θεωρί των τύπων, το σύνολο των υποσυνόλων ενός συνόλου Χ, είνι σύνολο. Το συμβολίζουμε με το X = P(X). Το σύνολο όλων των συνόλων, δεν είνι σύνολο. A5. Δυντότητ ενώσεως κι τομής δύο συνόλων. Το ξίωμ υτό εξσφλίζει ότι τ Α Β κι Α Β είνι σύνολ. Αυτά ορίζοντι ως εξής: Α Β = {z z A z B} κι Α Β = {z z A z B}. Σημειώνουμε την δυντότητ θεωρήσεως συνόλων της μορφής W = {{z}}. Επειδή τ z, {z} κι {{z}} νήκουν σε διφορετικά επίπεδ, το ξίωμ υτό μς δίδει την δυντότητ ν θεωρούμε κάθε φορά το κτάλληλο επίπεδο γι το σύνολο E. Α6. Αξίωμ ντικτστάσεως. Σύνολ σχημτίζοντι κι ως εξής:

3 Χ = {x z!(z E φ(x,z))}. Το ξίωμ υτό, μς δίδει την δυντότητ ν ντιστοιχίζουμε το πολύ έν z σε κάθε x, μέσω κάποις λογικής προτάσεως φ. Ιστορική σημείωση. Τ πρπάνω ξιώμτ, τ οποί ουσιστικά κθορίζουν τ επιτρεπτά σύνολ, διμορφώθηκν πό τους Zermelo (1908) - Fraenkel (1922) - Skolem (1930). Α7. Αξίωμ της επιλογής. Έστω S τυχόν μη κενό σύνολο, κι Ρ(S) το σύνολο των υποσυνόλων του. Μπορούμε ν θεωρούμε τότε το σύνολο C = {z!z(z P(S) z Z)}. Το C ποτελείτι δηλδή, πό στοιχεί z, γι τ οποί είμστε βέβιοι, ότι υπάρχει έν κι μόνο υποσύνολο Ζ του Μ, που ν το περιέχει. Πρδείγμτ Στ πρκάτω πρδείγμτ τ χρησιμοποιούμεν σύνολ, είνι όλ υποσύνολ του E. Οι νγρφόμενες σχέσεις ποτελούν τμήμ του ντικειμένου Άλγεβρ των Συνόλων. Βλέπε κι [Ζ1], σελ.23-32, [Ζ2], Κεφάλιο Πρώτο. 1) γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Α β) Α Β Β Α Α = Β γ) Α Β Β Γ Α Γ. 2) γι κάθε σύνολο S ισχύει ότι: ) S β) S ν κι μόνον ν S =. 3) {x} S ν κι μόνον ν x S. 4) γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Α = Α = Α Α. β) Α Β = Β Α κι Α Β = Β Α. γ) Α (Β Γ) = (Α Β) Γ = Α Β Γ κι Α (Β Γ) = (Α Β) Γ = Α Β Γ. δ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) κι Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). ε) Α Α Β Β Α Β Α Β κι Α Α Β Β Α Β Α Β. στ) Α Β Α Α Β ζ) Α Β = Α Α Β κι Α Β = Α Β Α. η) Α = Α = Α κι Α = Α = Α θ) Α Β = Α = Β =. 5) Ορίζετι το συμπλήρωμ του Β ως προς το Α πό την σχέση: Α c = {x A x B}. Γράφουμε κι Α c = Α Β. γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Β Α. β) Α Β = Α Α Β =. γ) Α Β = Α Β. δ) Α Β = Α (Α Β) κι Α Β = Α (Α Β). ε) (Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ). στ) (Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) = Α (Β Γ). ζ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) = (Α Β) Γ. η) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). c 6) Γι το συμπλήρωμ A του Α ως προς το E έχουμε τις σχέσεις, c ) E = κι c c c = E. β) (A ) = A. γ) A A c = E. δ) A A c =. c c ε) A B = A B. στ) B A A B κι A B B 7) Νόμοι του de Morgan. c c c c c c ) ( A B) = A B κι β) ( A B) = A B c c A 3. Δυϊκές σχέσεις. Εξντλητικά το θέμ νπτύσσετι στο κι [Ζ1],σελ Βλέπε επίσης τ [Ζ2], σελ. 33. c

4 Έστω τ σύνολ Α κι Β. Το διτετγμένο ζεύγος (, β) όπου Α κι β Β ορίζετι ως το σύνολο (, β) = {, {, β}}. Φνερά, (, β) (β, ). Το κρτεσινό γινόμενο Α Β ορίζετι ως το σύνολο {(, β) Α β Β}. Πρδείγμτ. 1) γι κάθε σύνολο S ισχύει ότι, S = S =. Αντίστροφ, ν Α Β =, τότε είτε Α =, είτε Β =. 2) {} {β} = {(, β)}. 3) Αν Α Γ κι Β Δ, τότε κι Α Β Γ Δ. 4) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). 5) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). Έν υποσύνολο R A Β κλείτι δυϊκή σχέση εκ του Α εις το Β. Ιδιίτερ ενδιφερόμεθ γι την περίπτωση που είνι Β = Α, οπότε η R κλείτι δυϊκή σχέση επί του Α. Θ λέμε ότι η R ληθεύει γι το στοιχείο (, β) Α Β, ν κι μόνον ν (, β) R. Αντί του (, β) R γράφουμε πλά, Rβ. Συνώνυμ: δυϊκή σχέση = διμελής σχέση = δυδική σχέση. Πρδείγμτ. 1) Το ως υποσύνολο του Α Β ορίζει την κενή δυϊκή σχέση. 2) Το Α Β ως υποσύνολο του ευτού του ορίζει την τετριμμένοι δυϊκή σχέση. 3) Έστω R μί δυϊκή σχέση εκ του Α εις το Β κι Α, Β υποσύνολ των Α κι Β ντίστοιχ. Το υποσύνολο R = R (Α Β ) κλείτι περιορισμός της R επί του Α Β. Η ντίστροφος σχέσης της δυϊκής σχέσεως R ορίζετι ως το σύνολο R = {(β, ) (, β) R}. Πρδείγμτ. 1) = 2) ( R ) = R 3) Αν έχουμε δύο δυϊκές σχέσεις Q κι R επί το Α, τότε ισχύουν : 1 ) Q = R ν κι μόνον ν Q = R κι 1 Q R β) ν κι μόνον ν Q R. 4. Σχέση ισοδυνμίς. Εξντλητικά το θέμ νπτύσσετι στο κι [Ζ1],σελ Βλέπε επίσης [Ζ2], σελ. 23. Μί δυϊκή σχέση κλείτι σχέση ισοδυνμίς επί του Α, ν κι μόνον ν, υτή είνι υτοπθής (ή νκλστική), συμμετρική κι μετβτική. Δηλδή, ν κι μόνον ν,, β Α, R, Rβ βr κι Rβ βrγ Rγ. Την σχέση ισοδυνμίς την δηλώνουμε με το. Η σχέση ισοδυνμίς λέγετι σχέση ισότητς = ν κι μόνον ν, ισχύει επιπλέον ότι, Α!β Α (, β) R. Έστω ότι, μς δίδετι το μη κενό σύνολο Α, κι μί σχέση ισοδυνμίς R έπ υτού. Τότε, με το τυχόν στοιχείο του Α, θεωρούμε κι όλ τ ισοδύνμ προς υτό στοιχεί. Αυτά, ποτελούν το σύνολο, (λέμε την κλάση) C. Φνερά, C μιά κι C φού. Είνι λοιπόν x C, ν κι μόνον ν, x. Πρτηρούμε ότι, το σύνολο Α, μερίζετι σε τάξεις ισοδυνάμων στοιχείων. Μερίζετι δηλδή σε υποσύνολ C, C, κλπ., τέτοι ώστε, ν έχουν νά δύο τομή κενή, κι η ένωση όλων ν είνι το Α. Πράγμτι, ν C C β, κι γ C Cβ, τότε, γ C κι γ Cβ. Γι κάθε C είνι όμως, γ κι επειδή το γ είνι κι στοιχείο του C β, γ β. Άρ κι β, οπότε, C β μιά κι υτό, περιέχει όλ τ ισοδύνμ προς το β στοιχεί. Δείξμε έτσι ότι, C C β. Με τον ίδιο τρόπο ποδεικνύετι κι η C Cβ. Άρ είνι C = Cβ. β

5 Δεν μπορούμε λοιπόν, ν έχουμε διφορετικές κλάσεις, με τομή μη κενή. Ξεκινάμε λοιπόν, πό το τυχόν στοιχείο του Α. Σχημτίζουμε την κλάση C. Αν υτή δεν τυτίζετι με το Α, λβίνουμε το στοιχείο β Α με β C κι θεωρούμε όλ τ ισοδύνμ προς υτό στοιχεί. Αυτά, φνερά, δεν θ νήκουν στο C, κι ποτελούν την C. Αν C C β A, λβίνουμε εκείνο το στοιχείο γ του Α, που δεν νήκει στην προηγούμενη ένωση, κ.ο.κ. Με τον τρόπο υτό, επιτυγχάνουμε τον μερισμό του Α. Σύνολο Πηλίκο ονομάζουμε το σύνολο εκείνο, που έχει σν στοιχεί του, τις κλάσεις ισοδυνμίς του Α. Το συμβολίζουμε με Α / R. Βλέπε κι [Ζ1], σελ κι [Ζ2], σελ Συνρτησική σχέση. Βλέπε κι [Ζ1], σελ. 11γ-20. Μί διοικεί σχέση F A B κλείτι συνρτησική σχέση εκ του Α εις το Β, ή πλά συνάρτηση ή πεικόνιση με πεδίον ορισμού το Α κι πεδίον τιμών το Β, ν κι μόνον ν x A(!y B (x, y) F). Συμβολίζουμε με (x) το μονδικό υτό y, γι το οποίο (x, y) F, κι γράφουμε y = (x). Το y κλείτι τιμή ή εικόν του x δι της. Χρησιμοποιούμε κι τον συμβολισμό : A B ή τον x a y. Στην περίπτωση που το σύνολο τιμών Υ της είνι διάφορο του Β η κλείτι εντός. Αν όμως είνι Υ = Β η κλείτι επί. Η κλείτι έν-έν ν κι μόνον ν κι η F είνι συνάρτηση. Λόγω των ξιωμάτων Α6 κι Α7 μπορούμε ν θεωρούμε συνρτήσεις επιλογής. Μπορούμε, δηλδή, ν θεωρούμε την F: P(S) S η οποί ορίζει μί ντιστοιχί, που στο τυχόν υποσύνολο Α P(S) ντιστοιχεί το στοιχείο Α. Πάντ, F, F({ }) =. Έχουμε, δηλδή, A P(S), F(A) = A, όπου Α. Το F(P(S)) είνι λοιπόν έν σύνολο, γι το οποίο είμστε βέβιοι, ότι κάθε στοιχείο του, νήκει σε έν κι μόνο υποσύνολο, (στοιχείο) του P(S). Πρδείγμτ. 1) Η σχέση ισότητς I A επί του Α, είνι μί πεικόνιση έν-έν του Α επί το Α. Αυτή κλείτι τυτοτική πεικόνιση του Α. 2) Η κενή σχέση είνι συνάρτηση, ν κι μόνον ν Α =. 3) Η σχέση F = {(x, y) x A y {y}} = A {y} είνι μί συνάρτηση, η οποί κλείτι στθερά επί του Α. 4) Έστω N m = {1, 2,..., m} N, όπου N το σύνολο των φυσικών ριθμών. Κάθε σύνολο S, το οποίο πεικονίζετι έν-έν επί του υποσύνολου N m του N, κλείτι πεπερσμένο σύνολο. Συνρτήσεις = πεικονίσεις = μετσχημτισμοί, κλπ. Με τον όρο συνάρτηση πό το σύνολο Α στο σύνολο Β κλύπτουμε εκείνον τον μηχνισμό, που ορίζει την συνρτησική σχέση επί του A B. Κι τον μηχνισμό υτόν, τον πριστάνουμε με, g, κλπ. Ώστε, γι ν μπορούμε ν λέμε ότι έχουμε μί συνάρτηση, θ πρέπει ν πληρούντι τ κόλουθ: 1) Ν έχουν δοθεί δύο σύνολ Α κι Β (, χωρίς ν ποκλείουμε Β = Α). 2) Ν γνωρίζουμε, γι κάθε x A, το μονδικό y Β, που ντιστοιχεί μέσω κάποιου συγκεκριμένου μηχνισμού, σ υτό. 3) Γι ν είνι κλά ορισμένη η, θ πρέπει ν ποδείξουμε την μονδικότητ του (x). Θ πρέπει δηλδή, ν ποδείξουμε ότι, η σχέση (x1) (x 2 ) x 1 x 2. Θεωρούμε κι το σύνολο 1 (B ) = {x A (x) B B}, που κλείτι, ντίστροφη εικόν του συνόλου Β. Στην περίπτωση που, το ({y}) = (y) είνι μονοσύνολο, ορίζετι η συνάρτηση 1 : B A, που κλείτι, ντίστροφη συνάρτηση της. Με Aδηλώνουμε το γεγονός ότι, η ορίζετι πάνω στο Α. Ο περιορισμός g της επί του υποσυνόλου Α Χ, είνι εκείνη η g: A Y, γι την οποί ισχύει ότι g(x) = (x), x A. Συνήθως, τον περιορισμό της τον συμβολίζουμε με το ίδιο σύμβολο (δηλδή το ). Στην περίπτωση υτή, η λέγετι κι επέκτση της g. β

6 Injective (ενίσιμος) κλείτι μί έν-έν πεικόνιση :U V. Αν δηλδή, x 1,x 2 U, (x1) = (x 2) x1 = x 2. Surjective κλείτι κάθε επί πεικόνιση. Bijective κλείτι η, νν είνι έν-έν κι επί. Αυτομορφισμοί κλούντι οι πεικονίσεις ενός συνόλου επί τον ευτό του. Αν οι πεικονίσεις υτές είνι κι έν-έν, τότε ονομάζοντι μετθέσεις. Φνερά, η είνι συνάρτηση, νν η είνι έν-έν. Θεωρούμε y (U) το σύνολο 1 (y). Είνι, ( y) = U κι γι y y ( y ) ( ) =. U y ( U) 1 2, 1 y2 Το σύνολο U, μερίζετι συνεπώς πό τ υποσύνολ ισοδυνμίς R:,x R (x ) (x ) x1 2 1 = 2 V 1 Το σύνολο ( 1 ), όπου V (U) ορίζετι ως το σύνολο Το σύνολο ( V 1 ) 1 ( V 1 ) 1 = {x U (x) V }. υπάρχει, νεξάρτητ πό το ν η είνι έν-έν ή όχι. (y), κι η εισάγει στο U την σχέση Έστω η : X Y κι Α, A, i I, υποσύνολ του Χ κι B, B, j J υποσύνολ του Υ. 1 Ισχύουν οι σχέσεις : i) ( (A)) A. i ii) ( (B)) (B). iii) iv) U A i = U (Ai ) v) i I i I vi) U i I A i = U i I (A ) i 1 vii) (B) = I i I A I i I j 1 (B (X)) I i (Ai ) i I Θεωρούμε τις πεικονίσεις : U V κι g: (U) W. Μπορούμε ν ορίσουμε την πεικόνιση g: U W πό την σχέση, x U, x(g) = (x)g = g((x)). Η h = g κλείτι γινόμενο ή σύνθεση των κι g. Γι ν δηλώσουμε την σύνθεση των συνρτήσεων, χρησιμοποιούμε τ ντιμετθετικά διγράμμτ: Το γινόμενο δύο συνρτήσεων, δεν ορίζετι βέβι πάντοτε, πολύ δε U V g περισσότερο, δεν ισχύει πάντ ότι g = g. Οπότε σημειώνουμε πάντως h στ πρκάτω την σύνθεση δύο συνρτήσεων, θ υποθέτουμε, χωρίς W ν το λέμε, ότι υτή ορίζετι. Γι τρεις πεικονίσεις που συντίθεντι, ισχύει ο προσετιριστικός νόμος. Είνι δηλδή, (g)h = (gh), ως προκύπτει πό το U V gh g διάγρμμ που εμφνίζετι πρπλεύρως. g Z W h Θεωρούμε, τώρ, έν σύνολο Ε, κι μί σχέση ισοδυνμίς R πάνω σ υτό. Στη συνέχει, θεωρούμε κι το σύνολο πηλίκο Ε/R. Ορίζετι τότε, η συνάρτηση p του Ε επί το Ε/R πό την σχέση, x a Cx όπου x E κι Cx E/R η κλάση ισοδυνμίς στην οποί το x νήκει. Η p είνι κλά ορισμένη, μιά κι όπως δείξμε (βλ. σελ. 2) δεν υπάρχουν κλάσεις ισοδυνμίς με κοινά στοιχεί. Υποθέτουμε κόμ, ότι έχουμε κι κάποιο άλλο σύνολο S, κι την πεικόνιση : E S, τέτοι ώστε, η σχέση (x,y) R (x) = (y). A i = I i I (A ) i

7 p ΘΕΩΡΗΜΑ. Υπάρχει η g: E/R S κι είνι μονδική, έτσι ώστε, E E/R το δίπλ διάγρμμ, ν κθίσττι ντιμετθετικό. Επιπλέον, ν g surjection, η g είνι bijection. (Βλέπε κι [Ζ2], σελ. 46) Απόδειξη. Θ πρέπει ν δείξουμε ότι, = pg. Πράγμτι, πό S υπόθεση, η πεικονίζει όλ τ ισοδύνμ στοιχεί του Ε, σε έν στοιχείο s S. Αν λοιπόν ορίσουμε την g έτσι ώστε a s = (x), το πιο πάνω διάγρμμ κθίσττι ντιμετθετικό. Η g είνι έν-έν, γιτί ν είχμε ότι C a s κι C a s με Cx C y, οπότε κι το x δεν θ είνι ισοδύνμο του y, τότε θ έπρεπε λόγω του τρόπου με τον οποίον ορίστηκε η, ν έχουμε κι (x) (y), πράγμ δύντον, μί κι = pg. Δηλδή, g(p(x)) = g(p(y)) = s νν x y. A 3 Το ξίωμ (σελ. 2) ορίζει πότε δύο σύνολ Α κι Β τυτίζοντι. Μέσω των έν-έν κι επί συνρτήσεων, ορίζουμε πότε δύο σύνολ είνι ισοδύνμ. Γράφουμε A B κι λέμε ότι το σύνολο Α είνι ισοδύνμο με το σύνολο Β, νν υπάρχει bijection g : A B. Φνερά η σχέση όπως ορίσθηκε, είνι μί σχέση ισοδυνμίς. Ισχύει επιπλέον το ΘΕΩΡΗΜΑ των Cantor-Bernstein. Δίδοντι δύο μη κενά σύνολ Α κι Β, γι τ οποί υπάρχουν συνρτήσεις έν-έν κι εντός, (injections) : A B κι g : B A. Είνι, τότε, A B. Απόδειξη. Έχουμε ότι, (A) B κι g(b) A. Θέτουμε Y = g(b). Η συνάρτηση s = g( (A) : A A ορίζετι, κι είνι έν-έν κι εντός, κι επιπλέον, s(a) Y A. C x x y g g(b) = Y A B g (A) Το θεώρημ θ έχει ποδειχθεί, ν ορίσουμε μι έν-έν κι επί συνάρτηση σ : A B. 2 Θέτουμε Z = B (A) κι S = g(z) s(a) s (A) K. Την συνάρτηση σ την ορίζουμε ως εξής: (x) γι x S σ(x) = (s(x)) γι x S ) Η σ είνι επί.. Είνι A = S (A S), κι συνεπώς, σ(a) = σ(s) σ(a S) = (S) (A S). 2 Όμως, (S) = (g(z)) (s(a)) (s (A)) K, άρ κι, (S) = (g(z)) s(s). Άρ κι σ (Α) = (g(z)) s(s) (A S) = (g(z)) (A) = B. β) Η σ είνι έν-έν. Επειδή όλες οι συνρτήσεις που χρησιμοποιήσμε είνι έν-έν, ρκεί ν δείξουμε ότι, σ (S) σ(a S) =. Είνι, όμως, σ (S) = (S) κι σ(a S) = (A S) = (A) (S)

8 Φνερά, δύο σύνολ που τυτίζοντι, είνι ισοδύνμ. Κτόπιν τούτου, κι του προηγουμένου θεωρήμτος, δικιούμεθ ν γράφουμε πλά = ντί του γι ν δηλώσουμε την ισότητ ή την ισοδυνμί δύο συνόλων. Πρτήρηση. Υπάρχουν σύνολ, τ οποί είνι ισοδύνμ προς κάποιο υποσύνολό τους. Πράδειγμ το σύνολο N των φυσικών ριθμών. Η σχέση n N, n a 2n είνι μί bijection του συνόλου N στο υποσύνολό του που περιλμβάνει τους ρτίους φυσικούς. Η ιδιότης υτή μάλιστ, χρκτηρίζει τ άπειρ σύνολ. 6. Σχέση διτάξεως. Βλέπε κι [ΖΚ], σελ. 51. Μί δυϊκή σχέση κλείτι σχέση διτάξεως επί του Α, ν κι μόνον ν, υτή είνι υτοπθής (ή νκλστική), ντισυμμετρική κι μετβτική. Δηλδή, ν κι μόνον ν,, β Α, R, Rβ βr = β κι Rβ βrγ Rγ. Την σχέση διτάξεως την δηλώνουμε με το. Γράφουμε < β, ν κι μόνον ν β κι β. Χρησιμοποιούμε επίσης κι τον συμβολισμό κι > με το προφνές νόημ. Δύο στοιχεί, που νήκουν στην R λέγοντι συγκρίσιμ. Αν γι τ, β Α ισχύει ότι είτε (, β) R είτε (β, ) R, τότε η σχέση διτάξεως R λέγετι ολική. Αν η R είνι ολική, ισχύει ότι R R = A A. Κάθε ολικά διτετγμένο υποσύνολο ενός συνόλου κλείτι άλυσσος. Το σύνολο N των φυσικών ριθμών είνι άλυσσος (βλέπε 10). Την σχέση διτάξεως την πεικονίζουμε με έν επίπεδο διάγρμμ, θέτοντς το ριστερά του ευρισκόμενο στοιχείο κάτω πό το δεξιά του ευρισκόμενο στοιχείο, κι συνδέοντς τ δύο υτά στοιχεί με έν ευθύγρμμο τμήμ. Υποτίθετι, βέβι, ότι γι την του διγράμμτος, ισχύει ότι, ν x z < y, τότε z = x. (Διάγρμμ του Hasse). Μί άλλη μέθοδος νπρστήσεως μις σχέσης διτάξεως επί ενός συνόλου, είνι μέσω της κτσκευής του συνημμένου πίνκος (adjacency matrix). Ο πίνκς υτός περιέχει το στοιχείο r = 0 ή το r = 1, νάλογ με το ν τ στοιχεί που γρμμής / κολώνς που ορίζουν την θέση του r νήκουν ή όχι στην εν λόγω διάτξη. Πρδείγμτ. Στο σύνολο των υποσυνόλων ενός συνόλου, η σχέση ποτελεί μιά σχέση διτάξεως πάνω σ υτό. Το σύνολο {1, 2} έχει σν σύνολο υποσυνόλων το {, {1}, {2}, {1, 2}}. Επίσης, το σύνολο {1, 2, 3} έχει σν σύνολο υποσυνόλων το {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}. Τ διγράμμτ της σχέσεως πάνω στ δύο υτά σύνολ είνι τ πρκάτω. {1, 2} {1,2,3} Το υποσύνολο {, {1}, {1,2}, {1,2,3}} {1,2} {1,3} {2,3} ποτελεί μί (πεπερσμένη) {1} {2} άλυσσο του Ρ({1,2,3}). {1} {2} {3} Ο συνημμένος πίνκς που ορίζει η σχέση διτάξεως στο σύνολο των υποσυνόλων του {1, 2, 3} είνι { } { } {1} {2} {3} {1, 2} {1,3} {2, 3} {1,2,3} {1} {2} {3} {1, 2} {1,3} {2, 3} {1,2,3}

9 ο πίνκς Έστω P κι Q σχέσεις διτάξεως επί των συνόλων Α κι Β ντίστοιχ, κι : A B μί πεικόνιση εκ του Α εις το Β. Θ λέμε ότι η διτηρεί την διάτξη ν κι μόνον ν, (, β) P ((), (β)) Q. Ένς ισομορφισμός της διάτξης θ λέγετι η, ν υτή είνι έν-έν, διτηρεί την διάτξη, κι η διτηρεί την διάτξη. Πρδείγμτ. 1) Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη, μετσχημτίζει λύσσους σε λύσσους. Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη κι ορίζετι πάνω σε μί άλυσσο είνι ισομορφισμός, ν είνι έν-έν. Μί άλυσσος με διάτξη την λέγετι ύξουσ. Με διάτξη την λέγετι φθίνουσ. 2) Κάθε Α S που έχει ισόμορφο εικόν το N m = {1, 2,..., m}, είνι μί πεπερσμένη άλυσσος. Κάθε Α S που έχει ισόμορφο εικόν το N είνι μί άλυσσος. 7. Φράγμτ. Αξεπέρστ στοιχεί. Βλέπε κι [ΖΚ], σελ. 76. Θεωρούμε έν σύνολο S κι Α κάποιο υποσύνολό του. Υποθέτουμε ότι το S έχει την διάτξη. Έν στοιχείο x S λέγετι άνω φράγμ του Α, ν κι μόνον ν, Α, x. Το x κλείτι κάτω φράγμ του S, ν κι μόνον ν Α, x. Στην περίπτωση, που Α =, το x S είνι κι άνω κι κάτω φράγμ του Α. Κάθε άνω φράγμ x του Α ως προς την είνι κάτω φράγμ ως προς την. γι κάθε πρότση, που φορά την κι τ κάτω φράγμτ, έχουμε μί δυϊκή πρότση, που φορά την κι τ άνω φράγμτ. Έν άνω φράγμ του Α, είνι άνω φράγμ κι κάθε υποσυνόλου του Α. (Ανάλογ ισχύουν γι τ κάτω φράγμτ). Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη, μετφέρει τ άνω (ντ. κάτω) φράγμτ σε άνω (ντ. κάτω) φράγμτ. Το πολύ έν στοιχείο του Α είνι δυντόν ν είνι άνω φράγμ του Α. Πράγμτι, ν τ στοιχεί i, j Α ήτν κι τ δύο άνω φράγμτ του Α, τότε θ ίσχυν μφότερες οι σχέσεις κι. Άρ νγκίως είνι, =. Το μονδικό υτό στοιχείο του Α, i j j i κλείτι μέγιστο στοιχείο του Α. Ανάλογ, έχουμε κι τον ορισμό του μονδικού ελχίστου στοιχείου του Α. Αν το Α είνι φργμένο, κι το σύνολο των άνω φργμάτων του έχει στοιχείο ελάχιστο, τότε το στοιχείο υτό, κλείτι νώτερο πέρς του Α. Το συμβολίζουμε με supa. Αν το σύνολο των κάτω φργμάτων του Α έχει στοιχείο μέγιστο, το στοιχείο υτό κλείτι κτώτερο πέρς του Α. Το συμβολίζουμε με ina. Αν το Β είνι κάποιο υποσύνολο του Α κι τ supa, supb υπάρχουν, τότε supb supa. Οι πρκάτω σχέσεις είνι ισοδύνμες: ) x y. β) sup{x,y} = y. γ) in{x,y} = x. Έν στοιχείο του Α S λέμε ότι είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν Α, ν δεν υπάρχει στοιχείο του Α που είνι > του. Ανάλογ έχουμε τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του Α. Πρδείγμτ. 1) Έστω S = {x1,x 2,x 3,x 4,1, 2, 3, 4} με την διάτξη που εμφνίζετι στο πρκάτω διάγρμμ. {,,, } S. Τ στοιχεί x, είνι άνω φράγμτ i Α = x 4 j

10 του Α, που δεν νήκουν στο Α. Το 4 είνι άνω φράγμ του Α, που νήκει στο Α. Τ στοιχεί x1, x 2 είνι κάτω φράγμτ του Α, που δεν νήκουν στο Α. Το 1 είνι κάτω φράγμ του Α, που νήκει στο Α. Το υποσύνολο Χ1 = {x1,x 2} δεν έχει κάτω φράγμ. Το υποσύνολο Χ 2 = {x 3,x 4} δεν έχει άνω φράγμ. Το 4 είνι το μέγιστο στοιχείο του Α κι το 1 το ελάχιστο στοιχείο του Α. x Το σύνολο { 4, x 3,x 4 } είνι σύνολο άνω φργμάτων του Α κι έχει 3 x4 ελάχιστο στοιχείο το 4. Είνι λοιπόν, supa = 4. Όμοι, ina = 1. Εδώ, τ sup κι in του Α είνι κι στοιχεί του Α. Αυτό όμως δεν συμβίνει πάντοτε. 4 Αν Α 1 = { 1, 2, 3 }, τότε τ στοιχεί 2, 3 είνι ξεπέρστ προς τ επάνω στοιχεί του Α. Το 1 είνι στοιχείο ξεπέρστο προς τ κάτω ) Έν υποσύνολο N m N, έχει μέγιστο στοιχείο, το m. 3) Έν στοιχείο Α είνι ξεπέρστο προς τ επάνω, ν κι μόνον ν, x A, x = x. Αν το Α έχει έν μονδικό 1 στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω, τότε υτό είνι κι το μέγιστο στοιχείο του Α. Αν το x Β Α είνι ξεπέρστο προς τ επάνω στοιχείο του Α, είνι τότε, κι ξεπέρστο στοιχείο του Β. x1 x2 Ένς ισομορφισμός της διτάξεως μετσχημτίζει ξεπέρστ στοιχεί σε ξεπέρστ στοιχεί. Πρότση. Κάθε διτετγμένο πεπερσμένο μη κενό σύνολο S, έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω. Απόδειξη. Αν S = {x}, το x είνι κι στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω του S. Έστω τώρ, ότι το S έχει m+1 στοιχεί, κι ότι η πρότση ισχύει γι το υποσύνολο εκείνο Α του S, που έχει m το πλήθος στοιχεί. Έστω x S. Αν το x είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν S, δεν έχουμε τίποτ ν δείξουμε. Έστω, λοιπόν, ότι το x δεν είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν S, κι Α = S {x}. Υπάρχουν τότε στοιχεί εν S, x, με > x. Όμως, Α, κι το Α πό υπόθεση έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω. Υπάρχουν, λοιπόν, στοιχεί i Α, τέτοι ώστε, A, < i. Άρ κι x < i. Όμως, i S, κι η προηγούμενη νισότητ δείχνει ότι, τ i είνι κι ξεπέρστ στοιχεί του S. Κκώς, λοιπόν, υποθέσμε ότι το S δεν έχει ξεπέρστ στοιχεί προς τ επάνω. Αν το Α είνι μί άλυσσος, τότε ν έχει στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω, υτό θ είνι κι μέγιστο στοιχείο του Α. Πόρισμ. Κάθε μη κενή πεπερσμένη άλυσσος, έχει μέγιστο στοιχείο. Πρότση. Κάθε άλυσσος με m στοιχεί, είνι ισόμορφος ως προς την διάτξη, με κάποιο N m. Απόδειξη. Αν m = 1, δεν έχουμε τίποτ ν δείξουμε. Υποθέτουμε ότι η πρότση ισχύει γι m = m, κι έστω μί άλυσσος Α με m στοιχεί. Έστω το μέγιστο στοιχείο της Α. Η άλυσσος Α {} έχει m το πλήθος στοιχεί. Άρ υτή είνι ισόμορφος του N m, μέσω κάποιου ισομορφισμού φ. Θέτουμε a m+1. Η πεικόνιση φ, τώρ, η οποί επί του Α {} συμπίπτει με τον ισομορφισμό φ κι έχει φ () = m+1, ορίζει τον ζητούμενο ισομορφισμό. 8. Συνθήκες μεγίστου-ελχίστου. Γι τ περιεχόμεν των πργράφων 8 κι 9, χρήσιμο είνι, ο νγνώστης ν διβάσει τ [Ζ2] , κι [ΖΚ], σελ

11 Θεώρημ. Έστω S διτετγμένο σύνολο. Οι πρκάτω προτάσεις είνι ισοδύνμες. ) Υπάρχει μη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι ύξουσ άλυσσος. β) Υπάρχει μη κενό υποσύνολο του S, που δεν έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. Απόδειξη. Έστω ότι ισχύει η β). Ότι, δηλδή, το μη κενό υποσύνολο Α του S δεν έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. Θεωρούμε την συνάρτηση επιλογής F, που ορίζετι πάνω στο P(S), κι έστω ότι F(A) =, Α. Επειδή το Α δεν έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ 1 1 Α1 1 Α1 2 επάνω, το σύνολο = {x x A < x} είνι σίγουρ μη κενό. Έστω F( ) =, 2 Α1, κι γι τους ίδιους λόγους, το Α2 = {x x Α1 2 < x} είνι μη κενό. Η διδικσί υτή ορίζει το σύνολο {,,... }, που εκ κτσκευής, είνι μί ύξουσ άλυσσος. 1 2 Άρ η β) ). Έστω ότι το μη κενό υποσύνολο Α του S είνι μί ύξουσ άλυσσος. Είνι τότε ισόμορφο του N. Άρ δεν έχει ξεπέρστ προς τ επάνω στοιχεί. Άρ η ) β). Πόρισμ. Έστω S διτετγμένο σύνολο. Οι πρκάτω προτάσεις είνι ισοδύνμες. ) Δεν υπάρχει μη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι ύξουσ άλυσσος. Ή: Κάθε ύξουσ άλυσσος του S είνι πεπερσμένη. β) Κάθε μη κενό υποσύνολο του S, έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. ) Δεν υπάρχει μη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι φθίνουσ άλυσσος. Ή: Κάθε φθίνουσ άλυσσος του S είνι πεπερσμένη. β ) Κάθε μη κενό υποσύνολο του S, έχει ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί. Οι προτάσεις του πορίσμτος υτού, είνι η άρνησης των προτάσεων του προηγουμένου θεωρήμτος. Η ) κλείτι συνθήκη της υξούσης λύσσου. (Η ) κλείτι συνθήκη της φθινούσης λύσσου.) Η β) κλείτι συνθήκη του μεγίστου. (Η β ) κλείτι συνθήκη του ελχίστου.) Πόρισμ. Αν το S πληροί μί πό τις πρπάνω συνθήκες, κι κάθε υποσύνολό του θ την πληροί. Πράδειγμ. Το σύνολο N των φυσικών ριθμών, πληροί την συνθήκη του ελχίστου. Αρχή της επγωγής. Έστω ότι το διτετγμένο σύνολο S έχει τις ιδιότητες: ) Όλ τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του (εφ όσον υπάρχουν) πληρούν την πρότση φ. β) Αν η φ πληρούτι πό κάθε x <, πληρούτι κι πό το S. Συμπέρσμ. Η φ πληρούτι πό όλ τ στοιχεί του S. Θεώρημ. Η συνθήκη του ελχίστου (β ), η συνθήκη της φθίνουσς λύσσου ( ) κι η συνθήκη της επγωγής (γ), είνι προτάσεις ισοδύνμες. Έχουμε δείξει την ισοδυνμί ( ) (β ). Θ δείξουμε την (β ) (γ) κι στην συνέχει, την (γ) ( ). Απόδειξη. ) Η συνθήκη της επγωγής έπετι πό την συνθήκη του ελχίστου. Έστω διτετγμένο σύνολο S, το οποίο πληροί την συνθήκη του ελχίστου, κι τις προϋποθέσεις της επγωγής. Έστω ότι η φ δεν ισχύει γι όλ τ στοιχεί του S. Θεωρούμε, εκείνο το υποσύνολο Α του S, που είνι βέβι, γι το οποίο δεν ισχύει η φ. Αυτό έχει έν ξεπέρστο προς τ κάτω στοιχείο. Από υπόθεση όμως, γι το στοιχείο υτό ισχύει η φ. Άτοπο. Άρ Α =, δηλδή, η φ ισχύει γι όλ τ στοιχεί του S. β) Η συνθήκη της φθίνουσς λύσσου, έπετι πό την ρχή της επγωγής. Έστω διτετγμένο σύνολο S, το οποίο πληροί την ρχή της επγωγής. Λβίνουμε ως φ την πρότση ( ): Κάθε φθίνουσ άλυσσος του S είνι πεπερσμένη. Αρκεί ν δείξουμε ότι, η φ πληροί τις προϋποθέσεις της επγωγής. Πράγμτι, τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του S, ποτελούν πό μόν τους πεπερσμένες λύσσους. εξ άλλου, ν η φ πληρούτι πό το x <, πληρούτι κι πό το, μιά κι το {x, } ποτελεί πεπερσμένη άλυσσο. Ισχύει, λοιπόν η φ πντού εν S.

12 9. Κλή διάτξης. Λήμμ Zorn. Έν ολικά διτετγμένο σύνολο, το οποίο πληροί την συνθήκη του ελχίστου κλείτι κλά διτετγμένο. Το σύνολο Ν, όπως κι κάθε ισόμορφη εικόν του, είνι, λοιπόν, έν κλά διτετγμένο σύνολο. Έστω S διτετγμένο σύνολο κι Α τυχόν υποσύνολό του. Θ κλούμε το Α ρχικό τμήμ, ή πλά τμήμ, ν κι μόνον ν, Α x S (x x A). Λήμμ. Έστω κλά διτετγμένο σύνολο Α, κι C A έν τμήμ. Υπάρχει τότε κάποιο Α, τέτοιο ώστε C = {x x A x < }. Απόδειξη. Αρκεί ν λάβουμε = το ελάχιστο στοιχείο του Α C. Λήμμ. Έστω A έν σύνολο πό κλά διτετγμέν σύνολ. Αν Α A, με συμβολίζουμε την κλή διάτξη του Α. Έστω ότι, γι κάθε Α, Β A, είτε το Α είνι έν τμήμ του * Β ως προς τον περιορισμό της Β είτε ντίστροφ. Υπάρχει τότε, μί διάτξη επί του συνόλου Α * = U A A, τέτοι ώστε: ) Το Α * είνι κλά διτετγμένο ως προς την *. β) Ο περιορισμός της * πάνω σε κάθε Α A, συμπίπτει με την Α. γ) Κάθε Α A, είνι έν τμήμ του Α *. Απόδειξη. Έστω τ, β Α *, με Α, β Β, όπου Α, Β A, κι το Α είνι τμήμ του Β. Οιδήποτε, συνεπώς, δύο τμήμτ του Α, ευρίσκοντι στο ίδιο σύνολο Β. Επιπλέον, ν μφότερ τ, β C, C A, τότε η C είνι ο περιορισμός της B επί του C. * Μπορούμε, συνεπώς, ν ορίσουμε την ως εξής:, β Β, * β B β. Η * διτάσει κλώς το Α *, κι συμπίπτει με την γι κάθε Α A. Έστω x Α, κι y A *, τέτοιο ώστε, y * x. Κι πάλι, τ x, y είνι δυντόν ν θεωρηθεί ότι νήκουν σε κάποιο Β A, τέτοιο ώστε, το Α ν είνι τμήμ του Β. Άρ y x, κι επειδή το Α τμήμ, y Α. Άρ το Α τμήμ του Α *. Θ δείξουμε ότι, (γ) (). Έστω Τ Α *, μιά ισόμορφη εικόν του N. Αρκεί ν δείξουμε ότι Τ = N, δηλδή, ότι Α * Τ. Το Α * Τ είνι τμήμ. Αν λοιπόν Α * Τ, τότε, λόγω κτσκευής του (Α *, * ) το άνω φράγμ του N. Άτοπο. Το τυχόν σύνολο A, είνι δυντόν ν θεωρηθεί ως σύνολο Α *. Το σύνολο Α *, κλά διτετγμένο με την διάτξη *, κλείτι μεγίστη άλυσσος. Κάθε μί πό τις πρκάτω προτάσεις, είνι ισοδύνμος προς το ξίωμ της επιλογής. Θεώρημ του Zermelo. Κάθε σύνολο μπορεί ν διτχθεί κλά. Θεώρημ του Hausdor. Κάθε άλυσσος διτετγμένου συνόλου S, περιέχετι σε μί μεγίστη άλυσσο. Θεώρημ των Kuratowski-Zorn. Αν κάθε άλυσσος του S είνι άνω φργμένη, τότε κάθε στοιχείο του S, είνι κι στοιχείο μιάς μεγίστης λύσσου. Αξίωμ επιλογής Θεώρημ Zermelo Απόδειξη. Θεωρούμε την συνάρτηση επιλογής F: P(S) { } S. Το σύνολο (P(S) { }) είνι τέτοιο ώστε, κάθε = (Α) (P(S) { }) ν περιέχετι σε έν κι μόνο υποσύνολο Α P(S) { }. Θ λέμε το μη κενό υποσύνολο Α του S διφοροποιημένο πό το, ν μπορεί ν διτχθεί κλά κτά τέτοιο τρόπο, ώστε Α το = (S Α ) όπου Α έν τμήμ του Α ως προς την διάτξη, που διτάσει κλά το Α. Τέτοι υποσύνολ του S υπάρχουν. Είνι γι πράδειγμ όλ τ μονοσύνολ του S. Έστω A 1 κι A 2 δύο διφοροποιημέν πό το υποσύνολ του S. Αμφότερ έχουν το κοινό στοιχείο κι συνεπώς έχουν έν τμήμ κοινό. Η ένωση Γ όλων των κοινών τμημάτων των συνόλων Α B Α

13 υτών, είνι κοινό τμήμ υτών. Θ δείξουμε ότι, η ένωση υτή, συμπίπτει με το A 1 κι το. Πράγμτι, ν η ένωση υτή Γ ήτν έστω διφορετική πό το A, τότε το στοιχείο A2 1 (S Γ) θ προσδιόριζε εν A 1 έν τμήμ, που θ περιείχε το Γ. Άτοπο. Τ σύνολ συνεπώς A1 κι A2 είνι έτσι ώστε, το έν ν είνι τμήμ του άλλου. Θεωρούμε, τώρ, την ένωση όλων των διφοροποιημένων συνόλων του S. Αυτή είνι έν διφοροποιημένο σύνολο Λ. Πράγμτι, ν, β Λ με Α, β Β, τ Α, Β Λ, τότε μφότερ τ, β, κείντι στο μεγλύτερο πό τ Α, Β, έστω το Α. Θέτοντς β εν Λ ν κι μόνον ν β εν Λ, επεκτείνουμε την κλή διάτξη εν Λ. Τέλος, με κάθε Λ, το περιέχετι σε κάποιο διφοροποιημένο υποσύνολο Α, κι προσδιορίζει εν Λ κι εν Α το ίδιο τμήμ Α, όπου = (S Α ). Το Λ τέλος τυτίζετι με το S, μιά κι σε άλλη περίπτωση, θ μπορούσμε ν κτσκευάσουμε έν διφοροποιημένο σύνολο εν S μεγλύτερο πό το Λ, πράγμ άτοπο. Θεώρημ Zermelo Θεώρημ Hausdor. Απόδειξη. Το τυχόν σύνολο A, είνι δυντόν ν θεωρηθεί ότι ποτελείτι πό υποσύνολ Α, κάθε έν πό τ οποί, λόγω του θεωρήμτος του Zermelo, διτάσσετι κλά πό κάποι διάτξη Α. Από το λήμμ όμως, έπετι ότι, το A είνι δυντόν ν θεωρηθεί ως μί μεγίστη άλυσσος Α *, με διάτξη την *. Θεώρημ Hausdor Θεώρημ Kuratowski-Zorn. Απόδειξη. Έστω S έν διτετγμένο σύνολο, του οποίου κάθε άλυσσος έχει άνω φράγμ. Έστω το στοιχείο S. Η άλυσσος {} περιέχετι πό υπόθεση, σε μί μεγίστη άλυσσο C. Αν c άνω φράγμ της C, τότε c. Το c είνι κι ξεπέρστο προς τ επάνω στοιχείο του S. Η C {c} είνι άλυσσος περιέχουσ την C. Άτοπο. Άρ c C, λλά κι κάθε x S με x c, νήκει στο C, μιά κι κάθε υποσύνολο του C είνι τμήμ. Θεώρημ Kuratowski-Zorn Αξίωμ της επιλογής. Απόδειξη. Έστω A τυχόν σύνολο. Υπάρχουν υποσύνολ Α του A, πάνω στ οποί είνι δυντόν ν ορισθεί μί συνάρτηση επιλογής. Π.χ. τ μονοσύνολ του A. Θεωρούμε όλ τ τέτοιου τύπου υποσύνολ του A, κι έστω Φ όλες οι δυντές συνρτήσεις επιλογής, που ορίζοντι πάνω σ υτά. Το σύνολο Φ διτάσσετι ως εξής: F1 F2, ν κι μόνον ν, Σ1 Σ 2 όπου F1, F2 συνρτήσεις επιλογής, που ορίζοντι πάνω σε σύνολ υποσυνόλων Σ1, Σ 2 του A. Έστω τυχούσ άλυσσος Γ μέσ στο σύνολο Φ. Αν F τ στοιχεί της Γ, κι Σ τ σύνολ επί των οποίων ορίζοντι οι F, θεωρούμε το Σ =, κι πάνω σ υτό, ορίζουμε τη F, η οποί συμπίπτει με κάθε μί F επί κάθε ενός F. Φνερά F Φ, κι είνι άνω φράγμ της Γ. Από υπόθεση, η Γ περιέχετι σε μεγίστη άλυσσο. Αν, τώρ, το A Σ, πάνω σ υτό, είνι δυντόν ν ορίσουμε μί συνάρτηση F, έτσι ώστε, F(A Σ) A Σ Όμως, στην περίπτωση υτή, η Γ { άλυσσο Γ. Άτοπο. U Σ β } θ ήτν μί άλυσσος που θ περιείχε την μεγίστη Βιβλιογρφί. General Algebra, A.G. Kurosh, έκδοση Chelsea, σελίς 26. F β 10. Σύντομο χρονικό της Θεωρίς συνόλων. Η θεωρί συνόλων ξεκίνησε με τις εργσίες του Georg Cantor το (Υπάρχουν στην βιβλιοθήκη, μετφρσμένες στ γγλικά, στις εκδόσεις Dover, με τίτλο Contributions to the oundation o the Theory o Transinite Numbers). Η πρώτη ξιωμτική θεμελίωση της θεωρίς των συνόλων δόθηκε πό τον Zermelo το Στ ξιώμτ υτά, περιλμβάνετι κι το ξίωμ της επιλογής. Η τελική μορφή των ξιωμάτων υτών δόθηκε πό τους Fraenkel κι Scolem το β

14 Η εισγωγή των ξιωμάτων υτών πό τον Zermelo, έγινε στην προσπάθειά του ν ντιμετωπίσει τις ντινομίες που προέκυψν μέσ στην θεωρί των συνόλων, κι που ήτν γνωστές ήδη πό το 1879 (ντινομί Burali-Forti). Η ντινομί υτή μελετήθηκε πό τον Russell, πό τον οποίο κι διτυπώθηκε στην πρκάτω μορφή: Όπως είδμε, υπάρχουν σύνολ, τ οποί είνι ισοδύνμ προς κάποιο υποσύνολό τους. Ας θεωρήσουμε εμείς, το σύνολο όλων των συνόλων, (το πριστάνουμε με S), που δεν είνι ισοδύνμ προς κάποιο υποσύνολό τους. Μπορούμε άργε ν θεωρούμε έν τέτοιο σύνολο; Η πάντηση είνι ρνητική. Πράγμτι, το S είτε θ είνι έν σύνολο που είνι ισοδύνμο προς κάποιο υποσύνολό του, είτε δεν θ είνι κάποιο τέτοιο σύνολο. Στην ) περίπτωση, που το S είνι ισοδύνμο προς κάποιο υποσύνολό του, η σχέση S S οδηγεί σε άτοπο, μι κι το S είνι εξ ορισμού το σύνολο όλων των συνόλων, που δεν είνι ισοδύνμ προς κάποιο υποσύνολό τους. Στην περίπτωση β), που το S είνι έν σύνολο που δεν είνι ισοδύνμο προς κνέν υποσύνολό του, οδηγούμεθ κι πάλι σε άτοπο, μι κι το S θ έπρεπε ν περιέχετι στο S, λόγω κριβώς του τρόπου με τον οποίο ορίσμε το S. Οι Russell κι Whitehead πρτήρησν ότι ο ορισμός των συνόλων εκείνων που οδηγούν σε ντινομίες, κτστρτηγεί την ρχή του Φύλου Κύκλου. Σύμφων με την ρχή υτή, έν στοιχείο, του οποίου ο ορισμός πιτεί το σύνολο των στοιχείων ενός συνόλου, δεν είνι δυντόν ν νήκει στο σύνολο. Οι Russell κι Whitehead γι ν ποφύγουν την ρχή υτή, επινόησν την Θεωρί των Τύπων, η οποί εκτίθετι εν εκτάσει στο σύγγρμμά τους Principia Mathematica. Βιβλιογρφί. N. Bourbaki, Éléments de Mathématique. Théorie des Ensembles, Chapitre 4. Jean Dieudonné, Abregé d Histoire des Mathématiques.

ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση. Γράφουµε νν ντί του ν κι µόνον ν.. Προλεγόµεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή µε έννοιες πό την Μθηµτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύµφων µε την Πλτωνική ντίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών Σ ENA ΣΧΗΜ ΜΕ ΕΝΙΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΣΕΙΣ Κόσυβς ιώργος ο Πειρμτικό υμνάσιο θηνών ε υτή την εργσί προυσιάζοντι ορισμένες ξιοσημείωτες πρτηρήσεις πάνω σε έν πλούσιο σχήμ, το οποίο επιτρέπει ποικίλες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής:

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής: III Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ Μετθέσεις Θεωρούμε έν σύνολο Ν με πεπερσμένο το πλήθος ντικείμεν Τ ριθμούμε υτά κτά κάποιο τρόπο, κι στη συνέχει, νφερόμεθ σ υτά με τον ριθμό τους Εστω, λοιπόν, Ν {,,, } το δοσμένο

Διαβάστε περισσότερα

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου γι το σχ έτος 7-8 Αγπητέ Μθητή, Αγπητή Μθήτρι Στις φετινές οδηγίες διδσκλίς κι διχείρισης της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Τετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τετάρτη, Μ ου 9 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν η f είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f (), ν ποδείξετε ότι η f είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρ Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α. () Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.5 (β) (i) Μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6.

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6. Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.

Διαβάστε περισσότερα

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2.2 Γι ν δούμε με ποιο τρόπο ο τύπος των τεσσάρων συντελεστών προκύπτει πό την (2.2.1) χρειάζετι πρώτ τ γενικεύσουμε τις έννοιες της πυκνότητς κι της ροής νετρονίων. ε κάθε θέση r της κρδιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E. ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:

Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι: Σάββτο, 7 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Έστω συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Ν ποδείξετε ότι: Αν (>0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

άρα ο μετασχηματισμός Τ είναι κανονικός 1 1 (ε) : 2x - y + 5 = y - - x + 5 =

άρα ο μετασχηματισμός Τ είναι κανονικός 1 1 (ε) : 2x - y + 5 = y - - x + 5 = ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΜΑÏΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Σχολικό βιβλίο τεχνολογικής σελίδ 6 β Σχολικό βιβλίο τεχνολογικής σελίδ 67

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. 1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: επνεπίσκεψη. Η εξής πρτήρηση γι τις (μονομερείς) διμελείς σχέσεις, εξυπηρετεί την τξινόμησή τους: τ ζεύγη μις οποιδήποτε τέτοις σχέσης εμπίπτουν σε τρείς κτηγορίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πράδειγμ. Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ΘΕΜΑ Β i. ii. (

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Ορίζουσες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Ορίζουσες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητ: Ορίζουσες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµ Μθηµτικών Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Creative Commons. Γι εκπιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειτι σε άλλου τύπου άδεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις

2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις ο Διγώνισμ 08-9 Ύλη: Συνρτήσεις Θέμ Α Α Θεωρήστε τον πρκάτω ισχυρισμό: «Oι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί που διχοτομεί τις γωνίες κι ) Ν χρκτηρίσετε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχς σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν >0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0 Z. 7. Μελέτη συνάρτησης f() = Απρίτητες γνώσεις Θεωρίς Θεωρί 4. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση: f() είνι περιττή 0 Απόδειξη: Το πεδίο ορισμού της f είνι το R* R 0 Γι κάθε R*, R* κι f(-) f() ( ) Επομένως η

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ: Διχείριση της Διδκτές-Εξετστές ύλης των Μθημτικών της Γ τάξης Ημερησίου Γενικού Λυκείου κι της Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου γι το σχ. έτος 6-7 Μετά πό σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπιδευτικής

Διαβάστε περισσότερα