«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ιπνεπιστηµικό ιτµηµτικό Πρόγρµµ Μετπτυχικών Σπουδών «Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Γεώργιος Κυρικόπουλος Επιβλέπων: ιονύσιος Λάππς, Ανπληρωτής Κθηγητής Μθηµτικού Τµήµτος ΕΚΠΑ Αθήν Μάιος 7

2 Η προύσ ιπλωµτική Εργσί εκπονήθηκε στ πλίσι των σπουδών γι την πόκτηση Μετπτυχικού ιπλώµτος Ειδίκευσης που πονέµει το ιπνεπιστηµικό ιτµηµτικό Πρόγρµµ Μετπτυχικών Σπουδών «ιδκτική κι Μεθοδολογί των Μθηµτικών» Εγκρίθηκε την πό Εξετστική επιτροπή ποτελούµενη πό τους: Ονοµτεπώνυµο Βθµίδ Υπογρφή ) ιονύσιος Λάππς (Επιβλέπων Κθηγητής) Αν. Κθηγητής ) Ευστάθιος Γιννκούλις Αν. Κθηγητής 3) Πνγιώτης Σπύρου Επ. Κθηγητής

3 Ωστόσο, δεν είχ µπροστά µου µι πρέκκλιση πό το Νόµο, διότι, συν τοις άλλοις, ο Νόµος την προέβλεπε, δεν ήτν πρβίση ενός χρυσού µέτρου ώστε το θύµ ν γίνει λιγότερο θυµστό. Ήξερ ότι η γη περιστρέφετι, κι εγώ µζί της, κι περιστρεφόµστε όλοι µζί κάτω πό το Εκκρεµές που στην πργµτικότητ δεν άλλζε ποτέ τη διεύθυνση του επιπέδου του, διότι εκεί ψηλά, πό το ση- µείο εξάρτησής του κι πέρ, στην ιδετή προέκτση του νήµτος προς το άπειρο, ψηλά προς τους πιο πόµκρους γλξίες, βρισκότν, ιώνι κίνητο, το Στθερό Σηµείο. Η γη περιστρεφότν, µ ο χώρος όπου ήτν στερεω- µένο το νήµ ήτν το µονδικό µετάβλητο σηµείο του σύµπντος. Ουµπέρτο Έκο, Το Εκκρεµές του Φουκώ.

4 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ, Μάιος 7 ιπνεπιστηµικό ιτµηµτικό Πρόγρµµ Μετπτυχικών Σπουδών «ιδκτική κι Μεθοδολογί των Μθηµτικών» Τµήµ Μθηµτικών, Σχολή Θετικών Επιστηµών ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΙ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ (σελ. ) Τ Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου διτυπώνουν τις συνθήκες, οι οποίες πρέπει ν πληρούντι, ώστε µι πεικόνιση πό έν σύνολο στον ευτό του ν διτηρεί κάποι σηµεί του συνόλου µετάβλητ. Τ θεωρήµτ υτά βρίσκουν πλήθος εφρµογών σε όλους σχεδόν τους κλάδους των µθηµτικών κι σε µί ευρεί κλίµκ, πό τη σχολική ύλη έως κι το νώττο επίπεδο. Είνι, εποµένως, ρκετά ενδιφέρον ν µελετηθεί το είδος των βθύτερων µθηµτικών πεδίων που υποκρύπτοντι πίσω πό συνήθεις µθηµτικές έννοιες, τις οποίες, πολλές φορές χρησιµοποιούν οι ενσχολούµενοι µε τ µθηµτικά κι έχουν τις ρίζες τους στ Θεωρήµτ Στθερού Ση- µείου. Η προύσ εργσί έχει ως σκοπό ν µελετήσει, όσο το δυντόν πληρέστερ, τρί πό τ πιο φηµισµέν θεωρήµτ γι τ στθερά σηµεί µις πεικόνισης πό έν σύνολο στον ευτό του κι ν νφερθεί σε έν ευρύ πεδίο µθηµτικών συµπερσµάτων, τ οποί προκύπτουν ως άµεσες εφρµογές των θεωρηµάτων υτών. ευτερευόντως, η εργσί υτή στοχεύει στην προυσίση των ποικίλων µεθόδων που εφρµόζοντι γι την πόδειξη των κυριότερων µορφών υτών των θεωρηµάτων κι οι οποίες επιλέγοντι νάλογ µε τ εκάστοτε µθηµτικά εργλεί που χρησιµοποιούντι. Οι ίδιες τεχνικές, σε πολλές περιπτώσεις, εφρµόζοντι γι την πόδειξη των συµπερσµάτων που προκύπτουν ως εφρµογές, ώστε υτές ν µπορούν ν ποτελέσουν υτόνοµες διδκτικές ενότητες.

5 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΙ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Γεώργιος Κυρικόπουλος Υποβλήθηκε στο Εθνικό κι Κποδιστρικό Πνεπιστήµιο Αθηνών στ πλίσι των σπουδών γι την πόκτηση Μετπτυχικού ιπλώµτος Ειδίκευσης στη ιδκτική κι Μεθοδολογί των Μθηµτικών που πονέµει το Τµήµ Μθηµτικών Αθήν, Ελλάδ Μάιος, 7

6 Γεώργιος Κυρικόπουλος, 7

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στόχος της προύσς εργσίς είνι η µελέτη των πιο γνωστών Θεωρηµάτων Στθερού Σηµείου κι η εκτενής νφορά σε έν πλήθος διδκτικών εφρµογών των θεωρηµάτων υτών πό διάφορους τοµείς της µθηµτικής επιστήµης. Επίσης, σε σχέση µε τ κτάλληλ µθηµτικά εργλεί που πιτούντι κάθε φορά, η µελέτη επεκτείνετι στη διερεύνηση των τεχνικών που µπορούν ν εφρµοσθούν γι την πόδειξη των διάφορων µορφών υτών των συµπερσµάτων. Η εργσί ποτελείτι πό τέσσερ κεφάλι. Στο πρώτο κεφάλιο δίνετι ο πρίτητος ορισµός του στθερού σηµείου κι νλύετι η πολύ σηµντική τοπολογική ιδιότητ υτού, η οποί χρησιµοποιείτι ευρύττ στ επόµεν. Γι λόγους πληρότητς κρίθηκε νγκίο, στο κεφάλιο υτό, ν συµπεριληφθεί µι ευρεί ενότητ µε όλες εκείνες τις µθηµτικές έννοιες που είνι πρίτητες γι την υτόνοµη κτάνόηση του κειµένου που κολουθεί. Το δεύτερο κεφάλιο νφέρετι στο Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Baach κι, εκτός υτού, περιλµβάνει εκτενείς νφορές σε εφρµογές πό τη Γρµµική Άλγεβρ µε την εύρεση λύσεων σε γρµµικά συστήµτ, την Ανάλυση στην επίλυση διφορικών κι ολοκληρωτικών εξισώσεων κι τη Γεωµετρί µε έν κριτήριο που διφοροποιεί την οµοιότητ πό την ισότητ. Στο τρίτο κεφάλιο προυσιάζετι νλυτικά το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Brouwer, το οποίο µελετάτι σε όλες του τις µορφές, στο κλειστό διάστηµ των πργµτικών ριθµών, στο επίπεδο, λλά κι γενικά σε κάθε συµπγές κι κυρτό υποσύνολο του ευκλειδείου χώρου. Πολλές πό τις εφρµογές που προυσιάζοντι εδώ, όπως το Θεώρηµ Ενδιάµεσης Τιµής, ή το Θεώρηµ Bolzao, είνι γνωστά µθηµτικά συµπεράσµτ, προκύπτουν όµως, ως συνέπειες του Θεωρήµτος του Brouwer, ενώ γίνετι νφορά σε έν πλήθος άλλων εφρµογών. Στο κεφάλιο υτό περιλµβάνοντι, επίσης, τ λεγόµεν Συνδυστικά Θεωρήµτ, τ οποί χρησιµοποιούντι ως εργλείο γι την πόδειξη του Θεωρήµτος του Brouwer στο επίπεδο κι το περίφηµο θεώρηµ µη ύπρξης διφορίσιµης συρρίκνωσης που βοηθά στην πόδειξη του Θεωρήµτος του Brouwer στη γενική περίπτωση. Η γενίκευση του Θεωρήµτος του Brouwer σε πειροδιάσττους χώρους είνι το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Schauder, το οποίο, εκτός των άλλων, ποτελεί το ντικείµενο του τέτρτου κεφλίου. Η εργσί ολοκληρώνετι µε νφορές σε άλλ, ειδικότερης µορφής, θεωρήµτ στθερού σηµείου, όπως υτά που νφέροντι στην ύπρξη

8 κοινών στθερών σηµείων γι οικογένειες πεικονίσεων, ή σε στθερά σηµεί γι πλειότιµες πεικονίσεις. Τ θεωρήµτ υτά δεν ποτελούν ντικείµενο µελέτης της εργσίς υτής, λλά θ ήτν πολύ ενδιφέρον ν τύχουν µις εκτενούς ενσχόλησης κι µελέτης στο µέλλον. Η προύσ εργσί είνι ποτέλεσµ εκτενούς νζήτησης κι προβληµτισµών, σε κάθε στάδιο των οποίων, πολύτιµος ρωγός υπήρξε ο Κθηγητής µου κ. ιονύσιος Λάππς. Σηµντικές ήτν, επίσης, οι πρτηρήσεις του εκλεκτού συνδέλφου Σπύρου Γλένη, ενώ σε κάθε βήµ υτής της προσπάθεις πολύτιµος συµπρστάτης µου στάθηκε η Βίκη. Τους ευχριστώ. Γεώργιος Κυρικόπουλος v

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ...v ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ...v ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ..... Εισγωγικά..... Έννοιες κι ορισµοί Η Τοπολογική Ιδιότητ του Στθερού Σηµείου...3 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ BANACH Η Αρχή των Απεικονίσεων Συστολής Συνρτήσεις Συστολής Ορισµένες σε Κλειστό ιάστηµ Απεικονίσεις Συστολής κι Γρµµικά Συστήµτ ιφορικές κι Ολοκληρωτικές Εξισώσεις Το Θεώρηµ της Πεπλεγµένης Συνάρτησης Ισοµετρίες κι Οµοιότητες ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ BROUWER Εισγωγικά Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Brouwer γι κλειστό διάστηµ Το Θεώρηµ Ενδιάµεσης Τιµής ως εφρµογή του Θεωρήµτος Στθερού Σηµείου του Brouwer Εφρµογές του Θεωρήµτος Ενδιάµεσης Τιµής Τ Συνδυστικά Θεωρήµτ Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Brouwer γι έν τετράγωνο Η έννοι της Συρρίκνωσης (Retracto) Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Brouwer στη γενική περίπτωση ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΑΠΕΙΡΗΣ ΙΑΣΤΑΣΗΣ Εισγωγικά Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Schauder Η Κυρτότητ του Συνόλου των Στθερών Σηµείων...3 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΕΛΕΤΗ...7 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...9 v

10 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Εικόν Η επνληπτική µέθοδος γι την προσέγγιση του στθερού σηµείου µις πργωγίσιµης συνάρτησης f:[,β] [,β] µε <f ()< κι <f ()< ντίστοιχ...3 Εικόν Η περιοχή [ δ, δ] [y kδ,y kδ] στην οποί το πρόβληµ ρχικών τιµών (.4.) έχει µονδική λύση...39 Εικόν 3 Μί διισθητικά προφνής «πόδειξη» του Θεωρήµτος Στθερού Σηµείου του Brouwer γι κλειστό διάστηµ...63 Εικόν 4 Η χρήση της υπόθεσης της συνέχεις στην πόδειξη του Θεωρήµτος του Στθερού Σηµείου του Brouwer γι κλειστό διάστηµ...65 Εικόν 5 Το Θεώρηµ Bolzao ως συνέπει του Θεωρήµτος Στθερού Σηµείου του Brouwer...7 Εικόν 6 Το Θεώρηµ Borsuk Ulam γι τον κύκλο...74 Εικόν 7 Το Πρώτο Θεώρηµ της Τηγνίτς...76 Εικόν 8 Το εύτερο Θεώρηµ της Τηγνίτς...78 Εικόν 9 Το Λήµµ Sperer γι κλειστό διάστηµ...8 Εικόν Μι τυπική πόδειξη του Λήµµτος Sperer γι κλειστό διάστηµ...8 Εικόν Περίπτοι στ ωµάτι ενός Σπιτιού...8 Εικόν Πράδειγµ τριγωνισµού () κι µη τριγωνισµού (β)...84 Εικόν 3 Μι πρσττική πεικόνιση του Λήµµτος Sperer γι έν τρίγωνο.85 Εικόν 4 Μι πρσττική πεικόνιση του Τέτρτου Συνδυστικού Λήµµτος.87 Εικόν 5 ιδικσί Περιπάτου στις έδρες ενός τριγωνισµένου τετργώνου...87 Εικόν 6 Μι διισθητικά σφής «πόδειξη» του Θεωρήµτος Στθερού Σηµείου του Brouwer γι έν τετράγωνο...89 Εικόν 7 Ο κνόνς που κθορίζει το σύστηµ συµβολισµού των κορυφών µις υποδιίρεσης ενός τετργώνου...9 Εικόν 8 Η χρήση της υπόθεσης της συνέχεις στην πόδειξη του Θεωρήµτος του Στθερού Σηµείου του Brouwer γι έν τετράγωνο...94 Εικόν 9 Το ευθύγρµµο τµήµ ως συρρίκνωµ ενός τετργώνου...96 Εικόν Ο δίσκος ως συρρίκνωµ ενός τετργώνου...98 v

11 Εικόν Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Brouwer γι την κλειστή µονδιί σφίρ ως συνέπει του Θεωρήµτος µη ύπρξης διφορίσιµης συρρίκνωσης της κλειστής µονδιίς σφίρς στο σύνορό της...4 v

12 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.. Εισγωγικά Θεωρώντς έν σύνολο Χ κι µι πεικόνιση f πό το Χ στον ευτό του, πολλές φορές κλούµστε ν πντήσουµε στο ερώτηµ ποιες συνθήκες πρέπει ν πληροί φενός το σύνολο Χ κι φετέρου η πεικόνιση f, ώστε έν σηµείο του συνόλου Χ ν πεικονίζετι, µέσω της f, στον ευτό του ή, µε άλλ λόγι, η εξίσωση f() (..) ν έχει λύση στο Χ. Η εξίσωση (..) πρπάνω, νφορικά µε τ στοιχεί του συνόλου Χ που την ικνοποιούν, υπγορεύει τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός.. Έστω X έν σύνολο κι f µι πεικόνιση πό το Χ στον ευτό του. Έν στοιχείο X κλείτι στθερό σηµείο της f ν f(), δηλδή, ν το είνι λύση της συνρτησικής εξίσωσης (..) στο Χ. Τ τετριµµέν πρδείγµτ που κολουθούν υποδεικνύουν ότι υπάρχουν πεικονίσεις σε διάφορ σύνολ που δεν έχουν κνέν στθερό σηµείο, ενώ άλλες πει-

13 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές κονίσεις µπορεί ν έχουν έν ή περισσότερ, κόµ κι άπειρ στο πλήθος στθερά σηµεί. Πρδείγµτ. Μι µετφορά, π.χ. η συνάρτηση f:ir IR, µε f(), όπου, δεν έχει κνέν στθερό σηµείο.. Μί στροφή ενός επιπέδου έχει έν µονδικό στθερό σηµείο. 3. Η συνάρτηση f:ir IR, µε f() έχει κριβώς δύο στθερά σηµεί, τ κι. 4. Η ορθή προβολή του ευκλειδείου επιπέδου IR στον -άξον, δηλδή η πεικόνιση f:ir IR {} IR µε f(,y)(,), γι κάθε (,y) IR, έχει άπειρ το πλήθος στθερά σηµεί, τ σηµεί του -άξον. Οι συνθήκες που κθορίζουν την ύπρξη ή µη στθερών σηµείων γι µι πεικόνιση νφέροντι στο είδος υτής, λλά κυρίως στις ιδιότητες των συνόλων πό τ οποί προέρχοντι. Συνήθως η συνθήκη της συνέχεις είνι νγκί γι την πεικόνιση f, ενώ το σύνολο X είνι ένς µη κενός τοπολογικός (ή µετρικός) χώρος µε επιπλέον ιδιότητες υτές της συµπάγεις (ή τουλάχιστον της πληρότητς) ή της κυρτότητς. Στ επόµεν κεφάλι θ διπργµτευθούµε κάποι πό τ γνωστότερ θεωρήµτ που φορούν στην ύπρξη στθερών σηµείων γι διάφορους τύπους πεικονίσεων, κι θ νφερθούµε σε ρκετές εφρµογές υτών των θεωρηµάτων τόσο πό την νάλυση, όσο κι πό τη γρµµική άλγεβρ κι τη γεωµετρί. Προηγουµένως, όµως, θ ήτν σκόπιµο ν νφερθούµε στις σηµντικές εκείνες έννοιες πό το χώρο της νάλυσης που πιτούντι, ώστε η διπργµάτευση των θε- µάτων που κολουθούν στ επόµεν κεφάλι ν είνι οπωσδήποτε όσο το δυντόν πληρέστερη κι υτοτελής... Έννοιες κι ορισµοί Σε πάρ πολλές περιπτώσεις κτά την διπργµάτευση διάφορων θεµάτων πό τον Απειροστικό Λογισµό, όπως της έννοις της σύγκλισης ή της συνέχεις, κτδεικνύετι η µεγάλη χρησιµότητ της έννοις της πόστσης δύο πργµτικών ριθµών κι y, η οποί τυποποιείτι µε τη χρήση της γνωστής έννοις της πόλυτης τιµής

14 . Βσικές Έννοιες 3 y. Αντίστοιχες ιδιότητες µε υτές της πόλυτης τιµής πίζουν πολύ σηµντικό ρόλο στο χώρο της νάλυσης, όπου η δοµή των συνόλων τ οποί µελετούντι δεν είνι τόσο πλή όσο υτή των πργµτικών ριθµών. Είνι, λοιπόν, φυσιολογική η επέκτση της έννοις της «πόστσης» µετξύ δύο στοιχείων ενός τυχίου συνόλου, µε τέτοιο τρόπο, ώστε το σύνολο των πργµτικών ριθµών κι η πόλυτη τιµή ν ποτελούν ειδική περίπτωση µις ευρύτερης «οικογένεις» χώρων, την έννοι της οποίς κθορίζει ο επόµενος ορισµός. Ορισµός.. (Μετρικός Χώρος) Έστω Χ έν τυχίο µη κενό σύνολο. Μι συνάρτηση η οποί ικνοποιεί τις πρκάτω ιδιότητες ) ρ(,y), γι κάθε, y Χ, ρ:χ Χ ΙR, β) ρ(,y) ν κι µόνον ν y, γι κάθε, y Χ, γ) ρ(,y)ρ(y,), γι κάθε, y Χ (συµµετρική ιδιότητ) κι δ) ρ(,y) ρ(,z)ρ(z,y), γι κάθε, y, z Χ (τριγωνική ιδιότητ), ονοµάζετι µετρική στο Χ, κι το ζεύγος (Χ,ρ) ονοµάζετι µετρικός χώρος. Γι δύο τυχί στοιχεί κι y του Χ, ο µη ρνητικός πργµτικός ριθµός ρ(,y) ονοµάζετι πόστση των κι y. Τ πρδείγµτ που κολουθούν κθορίζουν κάποιους πό τους σηµντικότερους µετρικούς χώρους, στους οποίους γίνετι εκτενής νφορά στ κεφάλι που κολουθούν. Πρδείγµτ. Η συνήθης µετρική στο ΙR είνι η συνάρτηση ρ:ιr ΙR ΙR, µε γι κάθε, y ΙR.. Μετρικές στον ΙR,,,... ρ(,y) y, Γι κάθε πργµτικό ριθµό p, ορίζουµε τις συνρτήσεις ρ p :ΙR ΙR ΙR, µε ρp (, y) γι κάθε (,,..., ), y(y,y,...,y ) ΙR κι τη συνάρτηση ρ :ΙR ΙR ΙR, µε y p p,

15 4 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές ρ (,y)ma{ y,,,...,}, γι κάθε (,,..., ), y(y,y,...,y ) ΙR. Εύκολ µπορεί ν διπιστωθεί ότι κθένς πό τους χώρους (ΙR,ρ p ), p< κι (ΙR,ρ ) είνι πράγµτι µετρικοί χώροι. Ειδικότερ, γι p, ο µετρικός χώρος (ΙR,ρ ), όπου, φυσικά, ρ (, y) y γι κάθε (,,..., ), y(y,y,...,y ) ΙR, ονοµάζετι -διάσττος Ευκλείδειος Χώρος κι η ρ ονοµάζετι Συνήθης Ευκλείδει Μετρική. Πολλές φορές, ν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης, η Ευκλείδει Απόστση ρ (,y) δύο σηµείων, y ΙR, συµβολίζετι µε y. 3. Αν µε C(Χ) συµβολίσουµε το σύνολο των φργµένων συνεχών συνρτήσεων f:x ΙR, τότε η συνάρτηση ρ :C(Χ) C(Χ) ΙR, ώστε ρ (f,g)sup{ f() g(), Χ}, γι κάθε f, g C(Χ), είνι πράγµτι µι µετρική στο C(X). 4. Ένς πολύ ενδιφέρον χώρος είνι το σύνολο των πργµτικών κολουθιών ( ) ΙΝ, γι τις οποίες η σειρά p,, γι p, συγκλίνει κι ο οποίος, συνήθως, συµβολίζετι µε l p. Στο χώρο l p {( ) ΙΝ : < }, ορίζουµε τη συνάρτηση ρp(, y) γι κάθε δύο κολουθίες ( ) ΙΝ κι y(y ) ΙΝ του l p, µε την οποί διπιστώνετι ότι ο (l p,ρ p ) είνι πράγµτι µετρικός χώρος. Ορισµός.. Έστω (Χ,ρ) ένς µετρικός χώρος. Ανοικτή σφίρ κέντρου Χ κι κτίνς r> ονοµάζετι το σύνολο Β(,r){y Χ: ρ(,y)<r}. Κτ επέκτσιν, κλειστή σφίρ κέντρου Χ κι κτίνς r ονοµάζετι το σύνολο Β[,r]{y Χ: ρ(,y) r}. Τέλος, σφίρ (ή κριβέστερ επιφάνει σφίρς) κέντρου Χ κι κτίνς r ονοµάζετι το σύνολο S(,r){y Χ: ρ(,y)r}. p y p p,

16 . Βσικές Έννοιες 5 Στην ειδική περίπτωση του -διάσττου Ευκλειδείου Χώρου (IR,ρ ) συµβολίζουµε µε ) B (,r){y IR : y <r} την νοικτή σφίρ κέντρου IR κι κτίνς r>, β) B [,r]{y IR : y r} την κλειστή σφίρ κέντρου IR κι κτίνς r κι γ) S (,r){y IR : y r} τη σφίρ κέντρου IR κι κτίνς r. Με βάση την έννοι της νοικτής σφίρς, ορίζετι το νοικτό σύνολο σε ένν µετρικό χώρο. Συγκεκριµέν, έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..3 Έν υποσύνολο Α ενός µετρικού χώρου Χ ονοµάζετι νοικτό ν γι κάθε Α, υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) Α. Από τον ορισµό του νοικτού συνόλου είνι άµεσο το συµπέρσµ της επόµενης πρότσης. Πρότση.. Κάθε νοικτή σφίρ σε ένν µετρικό χώρο είνι νοικτό σύνολο. Απόδειξη Έστω Β(,r ) µι νοικτή σφίρ σε ένν µετρικό χώρο (Χ,ρ) κι B(,r ). Θ πρέπει ν ποδείξουµε ότι υπάρχει r> τέτοιο, ώστε B(,r) B(,r ). Αν επιλέξουµε <r r ρ(,), τότε γι κάθε y B(,r) έπετι ότι ρ(,y)<r r ρ(,), ή ρ(,)ρ(,y)<r, οπότε κι πό την τριγωνική ιδιότητ της µετρικής ρ έχουµε ρ(,y) ρ(,)ρ(,y)<r, δηλδή y B(,r ), εποµένως B(,r) B(,r ) κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Η έννοι των νοικτών συνόλων σε ένν µετρικό χώρο, όπως υτή ορίσθηκε προηγουµένως, ποτελεί την ειδική περίπτωση της οικογένεις των νοικτών συνόλων που χρκτηρίζουν έν τυχίο σύνολο ως τοπολογικό χώρο. Συγκεκριµέν έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..4 (Τοπολογικός Χώρος) Έστω X έν τυχίο σύνολο. Μι οικογένει T υποσυνόλων του Χ, η οποί ικνοποιεί τις κόλουθες ιδιότητες ), Χ T,

17 6 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές κι β) ν Ι έν υθίρετο σύνολο δεικτών κι Α T, γι κάθε Ι, τότε I A T γ) ν Α T,,,...,, τότε A T, ονοµάζετι τοπολογί του Χ κι το ζεύγος (Χ, T ) ονοµάζετι τοπολογικός χώρος, ενώ τ στοιχεί της οικογένεις T ονοµάζοντι νοικτά σύνολ του τοπολογικού χώρου (Χ, T ). Το επόµενο πολύ βσικό θεώρηµ, το οποίο πρθέτουµε χωρίς πόδειξη, µς πρέχει τις βσικές τοπολογικές ιδιότητες της οικογένεις των νοικτών συνόλων σε έν µετρικό χώρο (Χ,ρ) κι ουσιστικά δικιολογεί το χρκτηρισµό τους ως τέτοι. Θεώρηµ.. Έστω (Χ,ρ) ένς µετρικός χώρος. Τότε ) Τ σύνολ κι Χ είνι νοικτά. β) Η ένωση οποιουδήποτε πλήθους νοικτών υποσυνόλων του Χ είνι νοικτό υποσύνολο του Χ. γ) Η τοµή πεπερσµένου πλήθους νοικτών υποσυνόλων του Χ είνι νοικτό υποσύνολο του Χ. Εποµένως, µε βάση τον Ορισµό..4, η οικογένει T των νοικτών υποσυνόλων ενός µετρικού χώρου (Χ,ρ) ποτελεί µι τοπολογί του Χ κι έτσι ο (Χ, T ) κθίσττι τοπολογικός χώρος. Από την ιδιότητ (β) του προηγούµενου θεωρήµτος κι την πρότση.. προκύπτει άµεσ ότι η ένωση νοικτών σφιρών είνι νοικτό υποσύνολο ενός µετρικού χώρου. Αλλά κι ντιστρόφως, ν Α είνι έν νοικτό υποσύνολο ενός µετρικού χώρου, τότε εξ ορισµού γι κάθε Α, υπάρχει r > τέτοιο, ώστε Β(,r ) A κι εποµένως A A B(, r ). Αποδείξµε, λοιπόν, ότι Πόρισµ..3 Έν υποσύνολο ενός µετρικού χώρου είνι νοικτό ν κι µόνο ν γράφετι ως ένωση νοικτών σφιρών. Το Θεώρηµ.., επίσης, µς δίνει τη δυντότητ ν νφερόµστε στο ευρύτερο δυντό νοικτό σύνολο που περιέχετι σε έν υποσύνολο Α ενός µετρικού χώ-

18 . Βσικές Έννοιες 7 ρου. Συγκεκριµέν έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..5 Έστω Α έν υποσύνολο ενός µετρικού χώρου Χ. Ορίζουµε ως εσωτερικό του συνόλου Α, το σύνολο Α {G X: G νοικτό κι G A}. Εποµένως το εσωτερικό Α ενός υποσυνόλου Α του Χ είνι το µεγλύτερο δυντό νοικτό υποσύνολο του Χ που περιέχετι στο Α. Επίσης, πό το Θεώρηµ.. προκύπτει άµεσ ότι το εσωτερικό Α ενός συνόλου Α είνι νοικτό σύνολο, ενώ προφνώς Α Α. Ως εκ τούτου το επόµενο πόρισµ είνι άµεσο. Πόρισµ..4 Έν υποσύνολο Α ενός µετρικού χώρου Χ είνι νοικτό ν κι µόνον ν ΑΑ. Ο χρκτηρισµός των στοιχείων που ποτελούν το εσωτερικό ενός συνόλου δίνετι πό την κόλουθη πρότση. Πρότση..5 Έστω (Χ,ρ) ένς µετρικός χώρος κι Α Χ. Τότε Α { Α: υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) A}. Απόδειξη Έστω Α γι το οποίο υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) A. Τότε εφόσον η νοικτή σφίρ Β(,r) είνι νοικτό σύνολο, πό τον ορισµό του Α, έπετι ότι Β(,r) Α. Αντιστρόφως, έστω Α {G X: G νοικτό κι G A}. Τότε υπάρχει νοικτό υποσύνολο G του Χ ώστε G A, οπότε, πό τον Ορισµό..3 του νοικτού συνόλου, υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) G A. Εποµένως, πράγµτι, Α { Α: υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) A}. Αντίστοιχ προς την οικογένει των νοικτών υποσυνόλων ενός µετρικού χώρου, ορίζουµε την έννοι των κλειστών συνόλων, υτών που τ συµπληρωµτικά τους είνι νοικτά. Συγκεκριµέν η έννοι του κλειστού συνόλου κθορίζετι πό τον επό- µενο ορισµό.

19 8 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Ορισµός..6 Έν υποσύνολο Κ ενός µετρικού χώρου Χ ονοµάζετι κλειστό ν το σύνολο Χ Κ είνι νοικτό υποσύνολο του Χ. Έν τετριµµένο πράδειγµ κλειστού συνόλου σε έν µετρικό χώρο ποτελεί η κλειστή σφίρ. Έχουµε, λοιπόν, την κόλουθη πρότση Πρότση..6 Κάθε κλειστή σφίρ σε ένν µετρικό χώρο είνι κλειστό σύνολο. Απόδειξη Έστω Β[,r ] µι κλειστή σφίρ σε ένν µετρικό χώρο (Χ,ρ). Αρκεί ν ποδείξουµε ότι το σύνολο Χ B[,r ]{ Χ: ρ(,)>r } είνι νοικτό, ή, µε βάση τον Ορισµό..3 του νοικτού συνόλου, ότι γι κάθε Χ µε ρ(,)>r, υπάρχει r> τέτοιο ώστε B(,r) Χ B[,r ]. Έστω rρ(,) r >, τότε γι κάθε y B(,r) κι µε βάση την τριγωνική ιδιότητ της µετρικής ρ, έπετι ότι rr ρ(,) ρ(,y)ρ(,y)<ρ(,y)r, οπότε ρ(,y)>r, δηλδή y Χ B[,r ], εποµένως B(,r) X B[,r ] κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Πόρισµ..7 Κάθε σφίρ σε ένν µετρικό χώρο είνι κλειστό σύνολο. Απόδειξη Το συµπλήρωµ µις σφίρς S(,r ){ Χ: ρ(,)r } σε ένν µετρικό χώρο (Χ,ρ) είνι το σύνολο Χ S(,r ){ Χ: ρ(,)<r } { Χ: ρ(,)>r }Β(,r ) (Χ Β[,r ]), το οποίο, σύµφων µε το Θεώρηµ.. είνι νοικτό ως ένωση της νοικτής σφίρς Β(,r ) (Πρότση..) κι του νοικτού συνόλου Χ Β[,r ] (πρότση..6). Οι βσικές τοπολογικές ιδιότητες της οικογένεις των κλειστών συνόλων σε ένν µετρικό χώρο περιγράφοντι στο επόµενο θεώρηµ, το οποίο ποτελεί το δυϊκό του Θεωρήµτος.., µε την έννοι ότι η πόδειξή του προκύπτει άµεσ πό υτό χρησιµοποιώντς τους κνόνες de Morga.

20 . Βσικές Έννοιες 9 Θεώρηµ..8 Έστω (Χ,ρ) ένς µετρικός χώρος. Τότε ) Τ σύνολ κι Χ είνι κλειστά. β) Η τοµή οποιουδήποτε πλήθους κλειστών υποσυνόλων του Χ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. γ) Η ένωση πεπερσµένου πλήθους κλειστών υποσυνόλων του Χ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. Αντίστοιχ προς την έννοι του εσωτερικού Α ενός υποσυνόλου Α ενός µετρικού χώρου Χ, που ορίζετι ως το ευρύτερο δυντό νοικτό υποσύνολο του Χ που περιέχετι στο Α, το προηγούµενο θεώρηµ µς δίνει τη δυντότητ ν θεωρήσουµε το µικρότερο δυντό κλειστό υποσύνολο του Χ που περιέχει το σύνολο Α. Υπό την έννοι υτή, ο επόµενος ορισµός είνι εύλογος. Ορισµός..7 Έστω Κ έν υποσύνολο ενός µετρικού χώρου Χ. Ορίζουµε ως κλειστότητ του συνόλου Κ, το σύνολο K {F X: F κλειστό κι Κ F}. Εποµένως η κλειστότητ K ενός υποσυνόλου Κ του Χ είνι το µικρότερο δυντό υποσύνολο του Χ που περιέχει το Κ. Επίσης, πό το Θεώρηµ..8 προκύπτει άµεσ ότι η κλειστότητ K ενός συνόλου Κ είνι κλειστό σύνολο, ενώ προφνώς K K. Ως εκ τούτου, το επόµενο πόρισµ είνι άµεσο. Πόρισµ..9 Έν υποσύνολο Κ ενός µετρικού χώρου Χ είνι κλειστό ν κι µόνον ν K K. Ο χρκτηρισµός των στοιχείων που ποτελούν την κλειστότητ ενός συνόλου δίνετι πό την κόλουθη πρότση. Πρότση.. Έστω (Χ,ρ) ένς µετρικός χώρος κι Κ Χ. Τότε Απόδειξη K { Χ: Β(,r) Κ, γι κάθε r>}. Έστω X τέτοιο, ώστε Β(,r) Κ, γι κάθε r>. Αν υποθέσουµε ότι K, θ υπάρχει κλειστό F X τέτοιο, ώστε Κ F κι F, οπότε X F, το οποίο είνι

21 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές νοικτό υποσύνολο του Χ. Άρ υπάρχει r>, ώστε Β(,r) X F X K, πό το οποίο έπετι ότι Β(,r) Κ, άτοπο. Εποµένως Αντιστρόφως, έστω K. K {F X: F κλειστό κι Κ F}. Αν υποθέσουµε ότι υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) Κ, τότε Κ F, όπου FX Β(,r) κλειστό κι εποµένως F, εφόσον K {F X: F κλειστό κι Κ F}. Αυτό, όµως είνι άτοπο, διότι φού Β(,r), τότε X Β(,r)F. Ως εκ τούτου Β(,r) Κ, γι κάθε r>. Εποµένως, πράγµτι, K { Χ: Β(,r) Κ, γι κάθε r>} κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Εκτός πό τον ορισµό κι τις ιδιότητές της, η κλειστότητ ενός συνόλου σε ένν µετρικό χώρο µπορεί ν περιγρφεί µέσω της έννοις του σηµείου συσσώρευσης. Γι την έννοι υτή έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..8 Έστω ένς µετρικός χώρος (Χ,ρ) κι Κ Χ. Τότε ) Έν στοιχείο Χ ονοµάζετι σηµείο συσσώρευσης του Κ ν κάθε νοικτή σφίρ κέντρου περιέχει τουλάχιστον έν στοιχείο του Κ διφορετικό πό το, δηλδή, ν γι κάθε r>, ισχύει (Β(,r) {}) Κ. Το σύνολο των σηµείων συσσώρευσης του Κ συµβολίζετι µε Κ. β) Έν στοιχείο Χ ονοµάζετι µεµονωµένο σηµείο του Κ ν δεν είνι σηµείο συσσώρευσης του Κ, δηλδή ν υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) Κ{}. Με βάση την Πρότση.. κι τον προηγούµενο ορισµό, ποδεικνύετι ότι Πρότση.. Αν (Χ,ρ) µετρικός χώρος κι Κ Χ, τότε K K K. Ακολούθως διπργµτευόµστε µι πό τις πιο θεµελιώδεις έννοιες της Μθη- µτικής Ανάλυσης, υτήν της σύγκλισης κολουθιών. Η έννοι υτή, εκτός των άλλων, ποτελεί κι έν πολύ εύχρηστο µέσο περιγρφής των κυριότερων τοπολογικών εννοιών στους µετρικούς χώρους. Έχουµε, λοιπόν, τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..9 Μι κολουθί ( ) ΙΝ πό στοιχεί ενός µετρικού χώρου (Χ,ρ), θ λέµε ότι συγκλίνει στο Χ, ή ότι το είνι το όριό της, κθώς το τείνει στο, ν γι κάθε

22 . Βσικές Έννοιες ε>, υπάρχει ΙΝ τέτοιος, ώστε ρ(,)<ε, γι κάθε. Σ υτήν την περίπτωση γράφουµε lm, ή, κθώς. Από τον προηγούµενο ορισµό, είνι προφνές ότι lm lm ρ(, ). Όσον φορά στη µονδικότητ του ορίου µις συγκλίνουσς κολουθίς σε ένν µετρικό χώρο, ισχύει η επόµενη πρότση, την οποί πρθέτουµε χωρίς πόδειξη. Πρότση.. (Μονδικότητ του ορίου) Έστω ( ) ΙΝ µι συγκλίνουσ κολουθί σε ένν µετρικό χώρο (Χ,ρ). Τότε το όριό της είνι µονδικά κθορισµένο, δηλδή, ν κι y, κθώς, τότε y. Η έννοι της σύγκλισης κολουθιών σε ένν µετρικό χώρο µπορεί ν χρησιµοποιηθεί εύκολ γι την περιγρφή κάποιων πό των βσικότερων τοπολογικών ιδιοτήτων. Γι πράδειγµ, µε τη βοήθει της Πρότσης.. µπορούµε εύκολ ν ποδείξουµε ότι η κλειστότητ ενός υποσυνόλου Κ ενός µετρικού χώρου Χ είνι κριβώς τ όρι συγκλινουσών κολουθιών στο Κ, δηλδή K { Χ: υπάρχει κολουθί ( ) ΙΝ στο K, ώστε lm }. Εποµένως, κι µε βάση το Πόρισµ..9, είνι προφνής η ισχύς της επόµενης πρότσης. Πρότση..3 Έν υποσύνολο Κ ενός µετρικού χώρου (Χ,ρ) είνι κλειστό ν κι µόνον ν το όριο κάθε συγκλίνουσς κολουθίς του Κ είνι στοιχείο του Κ. Στη συνέχει νφερόµστε στην ιδιιτέρως σηµντική έννοι της συνέχεις ξεκινώντς πό τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός.. Έστω (Χ,ρ), (Υ,σ) δύο µετρικοί χώροι κι Χ. Μι πεικόνιση f:x Y ονοµάζετι συνεχής στο, ν γι κάθε ε>, υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε γι κάθε Χ, µε ρ(,)<δ, έπετι ότι σ(f( ),f())<ε, ή, ισοδύνµ, f(b(,δ)) B(f( ),ε). Η f ονοµάζετι συνεχής ν είνι συνεχής σε κάθε Χ.

23 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Ορισµός.. Μι πεικόνιση f:x Y µετξύ δύο µετρικών χώρων (Χ,ρ) κι (Υ,σ) ονοµάζετι οµοιόµορφ συνεχής, ν γι κάθε ε>, υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε γι κάθε, Χ, µε ρ(, )<δ, έπετι ότι σ(f( ),f( ))<ε. Από τους ορισµούς της συνέχεις κι της οµοιόµορφης συνέχεις είνι φνερό ότι κάθε οµοιόµορφ συνεχής πεικόνιση είνι συνεχής, ενώ εύκολ µπορούµε ν διπιστώσουµε ότι το ντίστροφο δεν ισχύει. Με το θεώρηµ που κολουθεί διπιστώνουµε ότι η συνέχει µις πεικόνισης µετξύ µετρικών χώρων είνι µι µιγώς τοπολογική έννοι, κθώς οι συνεχείς πεικονίσεις µπορούν ν χρκτηρισθούν µέσω των εννοιών των νοικτών συνόλων, των κλειστών συνόλων κι της κλειστότητς. Θεώρηµ..4 Έστω f:x Y µι πεικόνιση µετξύ των µετρικών χώρων (Χ,ρ) κι (Υ,σ). Τότε τ κόλουθ είνι ισοδύνµ: ) Η f είνι συνεχής. β) Η ντίστροφη εικόν f (G) κάθε νοικτού υποσυνόλου G του Υ είνι νοικτό υποσύνολο του Χ. γ) Η ντίστροφη εικόν f (F) κάθε κλειστού υποσυνόλου F του Υ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. δ) Γι κάθε υποσύνολο Α του Χ ισχύει ( A) f (A) f. Απόδειξη () (β). Έστω ότι η f είνι συνεχής κι G Υ νοικτό. Τότε, γι κάθε f (G) (δηλδή f() G), υπάρχει ε> τέτοιο, ώστε Β(f(),ε) G. Επειδή η f είνι συνεχής στο, υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε f(b(,δ)) G, δηλδή B(,δ) f (G). Εποµένως η ντίστροφη εικόν f (G) του G είνι νοικτό υποσύνολο του Χ. (β) (γ). Έστω ότι η ντίστροφη εικόν f (G) κάθε νοικτού υποσυνόλου G του Υ είνι νοικτό υποσύνολο του Χ κι F Υ κλειστό. Τότε το Υ F είνι νοικτό υποσύνολο του Y κι άρ το f (Y F)X f (F) είνι νοικτό υποσύνολο του Χ. Εποµένως το f (F) είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. (γ) (δ). Έστω ότι η ντίστροφη εικόν f (F) κάθε κλειστού υποσυνόλου F του

24 . Βσικές Έννοιες 3 Υ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ κι Α Χ. Γι κάθε Α έχουµε ότι f () f (A) f (A) κι εποµένως το Α είνι υποσύνολο του f ( f (A)), το οποίο, πό την υπόθεση, είνι κλειστό υποσύνολο του Χ, εφόσον το f (A) είνι κλειστό υποσύνολο του Υ. Επειδή, όµως, το A είνι το µικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το Α, έπετι ότι ( f (A)) A f, δηλδή f ( A) f (A). (δ) (). Έστω ότι ( A) f (A) f, γι κάθε Α Χ κι Χ. Θ ποδείξουµε ότι η f είνι συνεχής στο. Θεωρούµε έν ε>, οπότε, ρκεί ν ποδείξουµε ότι υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε Β(,δ) f (B(f( ),ε)). Θέτουµε Αf (B(f( ),ε)){ Χ: σ(f( ),f())<ε}. Αν υποθέσουµε ότι B(,δ) (Χ Α), γι κάθε δ>, τότε, πό την Πρότση.., έπετι ότι X A, οπότε f ( ) f ( X A) f (X A), λόγω της υπόθεσης. Άρ, πό την Πρότση.., έπετι ότι Β(f( ),ε) f(χ Α), εποµένως υπάρχει Χ Α τέτοιο, ώστε σ(f( ),f())<ε, άτοπο. Εποµένως η f είνι συνεχής στο. Το επόµενο θεώρηµ, το οποίο διτυπώνουµε χωρίς πόδειξη, είνι πάρ πολύ σηµντικό, διότι πρέχει ένν χρκτηρισµό των συνεχών πεικονίσεων µετξύ µετρικών χώρων µέσω της έννοις της σύγκλισης κολουθιών. Θεώρηµ..5 (Αρχή της µετφοράς) Έστω f:x Y µι πεικόνιση µετξύ των µετρικών χώρων (Χ,ρ) κι (Υ,σ) κι Χ. Τότε η f είνι συνεχής στο ν κι µόνον ν γι κάθε κολουθί ( ) ΙΝ στο Χ µε lm, έπετι ότι lm f ( ) f (). Η σύγκλιση µις κολουθίς σε ένν µετρικό χώρο µς πρέχει τη δυντότητ ν συµπεράνουµε ότι οι όροι της έχουν τελικά «µικρή» πόστση µετξύ τους, ή, µε άλλ λόγι, ότι µπορούµε ν βρούµε άπειρους όρους της κολουθίς που ν βρίσκοντι οσοδήποτε κοντά ο ένς στον άλλον. Απ την άλλη πλευρά, η ιδιότητ υτή των όρων µις κολουθίς σε ένν µετρικό χώρο µπορεί ν ισχύει, χωρίς η κολουθί ν είνι συγκλίνουσ. Έτσι, εκτός πό τις συγκλίνουσες κολουθίες σε ένν µετρικό χώρο, ορίζετι µι ευρύτερη κλάση κολουθιών, µέσω του επόµενου ορισµού.

25 4 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Ορισµός.. Μι κολουθί ( ) ΙΝ σε ένν µετρικό χώρο (Χ,ρ) ονοµάζετι βσική κολουθί, ή κολουθί Cauchy, ν γι κάθε ε>, υπάρχει ΙΝ τέτοιος, ώστε ρ( m, )<ε, γι κάθε m,. Από τον ορισµό της βσικής κολουθίς είνι προφνές ότι κάθε συγκλίνουσ κολουθί σε ένν µετρικό χώρο είνι βσική, ενώ στοιχειώδη πρδείγµτ µς ποδεικνύουν ότι το ντίστροφο δεν ισχύει γι ένν τυχίο µετρικό χώρο. Οι µετρικοί χώροι στους οποίους οι έννοιες της βσικής κι της συγκλίνουσς κολουθίς τυτίζοντι ονοµάζοντι πλήρεις µετρικοί χώροι. Συγκεκριµέν έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..3 (Πλήρης Μετρικός Χώρος) Ένς µετρικός χώρος (Χ,ρ) ονοµάζετι πλήρης ν κάθε βσική κολουθί του είνι συγκλίνουσ (σε στοιχείο του Χ). Αποδεικνύετι ότι ) Το σύνολο των πργµτικών ριθµών IR µε τη συνήθη µετρική που ορίζετι πό την πόλυτη τιµή είνι ένς πλήρης µετρικός χώρος. β) Ο Ευκλείδειος Xώρος IR µε την ευκλείδει µετρική ρ, λλά κι γενικότερ κθένς πό τους χώρους (IR,ρ p ), p< κι (IR,ρ ), γι κάθε,,... είνι πλήρεις µετρικοί χώροι. γ) Ο µετρικός χώρος (C[,β],ρ ) των συνεχών συνρτήσεων που ορίζοντι στο κλειστό διάστηµ [,β] είνι πλήρης. δ) Ο µετρικός χώρος l p, p<, είνι ένς πλήρης µετρικός χώρος. Η επόµενη πρότση χρησιµοποιείτι γι ν διπιστώσουµε ν έν υποσύνολο ενός πλήρους µετρικού χώρου είνι πλήρης µετρικός χώρος. Πρότση..6 Έν υποσύνολο Κ ενός πλήρους µετρικού χώρου (Χ,ρ) είνι πλήρης µετρικός χώρος ν κι µόνον ν το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. Απόδειξη Έστω ότι ο (Κ,ρ) είνι πλήρης µετρικός χώρος. Θ δείξουµε ότι το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. Ως προς υτό ρκεί ν ποδείξουµε ότι Έστω, λοιπόν, K K. K, τότε υπάρχει µι κολουθί ( ) ΙΝ στο Κ µε lm.

26 . Βσικές Έννοιες 5 Η κολουθί ( ) ΙΝ είνι βσική εφόσον είνι συγκλίνουσ κι εποµένως, φού ο Κ είνι πλήρης, η ( ) ΙΝ θ συγκλίνει σε στοιχείο του Κ. Επειδή το όριο της κολουθίς ( ) ΙΝ είνι µονδικό, έπετι ότι Κ. Εποµένως K K. Αντιστρόφως, έστω ( ) ΙΝ µι βσική κολουθί στο Κ. Προφνώς η ( ) ΙΝ είνι βσική κολουθί κι στον πλήρη µετρικό χώρο (Χ,ρ), εποµένως θ είνι συγκλίνουσ. ηλδή υπάρχει Χ τέτοιο, ώστε lm. Επειδή το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ κι η ( ) ΙΝ είνι κολουθί στο Κ, πό την Πρότση..3 προκύπτει ότι Κ. Εποµένως ο (K,ρ) είνι πλήρης µετρικός χώρος. Η έννοι της πόλυτης τιµής ως συνάρτησης στο σύνολο των πργµτικών ριθ- µών γενικεύετι τώρ σε ένν οποιοδήποτε γρµµικό χώρο, µέσω του κόλουθου ορισµού. Ορισµός..4 (Χώρος µε Νόρµ) Έστω Χ ένς γρµµικός χώρος επί του IR. Μι συνάρτηση η οποί ικνοποιεί τις πρκάτω ιδιότητες ), γι κάθε Χ, :Χ ΙR, β) ν κι µόνον ν, γι κάθε Χ, γ) λ λ, γι κάθε Χ, λ IR κι δ) y y, γι κάθε, y Χ (τριγωνική ιδιότητ), ονοµάζετι νόρµ στον Χ, κι το ζεύγος (Χ, ) ονοµάζετι χώρος µε νόρµ. Από τον ορισµό, µπορούµε ν επληθεύσουµε άµεσ ότι ν ο (Χ, ) είνι χώρος µε νόρµ, τότε η συνάρτηση ρ:χ Χ IR, µε ρ(,y) y, γι κάθε, y Χ ποτελεί µι µετρική στο Χ, γι υτό λέµε ότι η ρ είνι η µετρική που κθορίζετι πό τη νόρµ στον Χ. Εποµένως, όλες οι έννοιες που ορίσθηκν κι ισχύουν στους µετρικούς χώρους, ισχύουν ντίστοιχ κι στους χώρους µε νόρµ. Ειδικότερ, όσον φορά στην έννοι της πληρότητς, έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..5 Ένς χώρος µε νόρµ ονοµάζετι χώρος Baach ν ο µετρικός χώρος που κθορίζετι πό τη νόρµ είνι πλήρης.

27 6 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Τ πρδείγµτ που κολουθούν φορούν στους πιο γνωστούς χώρους µε νόρµ, στους οποίους νφερθήκµε κι προηγουµένως ως µετρικούς χώρους. Πρδείγµτ. Ο γρµµικός χώρος ΙR,,,... Γι κάθε πργµτικό ριθµό p, ορίζουµε τις συνρτήσεις p :ΙR ΙR, µε p p γι κάθε (,,..., ) ΙR κι τη συνάρτηση :ΙR ΙR, µε γι κάθε (,,..., ) ΙR. p ma{,,,...,}, Κθένς πό τους χώρους (ΙR, p ), p< κι (ΙR, ) είνι χώροι Baach, εφόσον οι µετρικές που κθορίζοντι πό τις νόρµες p, p< κι είνι κριβώς οι µετρικές ρ p, p< κι ρ του πρδείγµτος της σελίδς 3, γι τις οποίες γνωρίζουµε ότι ο χώρος ΙR είνι πλήρης µετρικός χώρος. Ειδικότερ, γι p, η νόρµ ενός στοιχείου του ΙR συµβολίζετι πλώς µε κι η τιµή της τυτίζετι µε τη γνωστή έννοι του ευκλείδειου µέτρου του δινύσµτος. 3. Στο χώρο C(Χ) των φργµένων συνεχών συνρτήσεων f:x ΙR, η συνάρτηση :C(Χ) ΙR, ώστε f sup{ f(), Χ}, γι κάθε f C(Χ), είνι πράγµτι µι νόρµ κι ο χώρος (C(Χ), ) είνι χώρος Baach, εφόσον η µετρική που κθορίζετι πό τη νόρµ είνι κριβώς η µετρική ρ του πρδείγµτος 3 της σελίδς 4, µε την οποί ο (C(Χ),ρ ) είνι πλήρης µετρικός χώρος. p 4. Στο σύνολο l p {( ) ΙΝ : < }, <p< ορίζουµε τη συνάρτηση p :l p IR, µε p p γι κάθε κολουθί ( ) ΙΝ του l p. Το σύνολο l p µε τις κτά όρο πράξεις είνι p,,

28 . Βσικές Έννοιες 7 γρµµικός χώρος κι ο (l p, p ) είνι πράγµτι χώρος Baach, εφόσον η µετρική που κθορίζετι πό τη νόρµ p είνι κριβώς η µετρική ρ p του πρδείγµτος 4 της σελίδς 4, µε την οποί ο (l p,ρ p ) είνι πλήρης µετρικός χώρος. Μι ενδιφέρουσ κλάση χώρων Baach είνι υτή των χώρων που η νόρµ τους κθορίζετι πό έν εσωτερικό γινόµενο. Υπενθυµίζουµε την έννοι του εσωτερικού γινοµένου µε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..6 Έστω Χ ένς γρµµικός χώρος επί του IR. Μι συνάρτηση <,>:Χ Χ ΙR, η οποί ικνοποιεί τις πρκάτω ιδιότητες ) <,>, γι κάθε X, β) ν <,> τότε, γι κάθε Χ, γ) <,y><y,>, γι κάθε, y Χ κι δ) <λµy,z>λ<,z>µ<y,z>, γι κάθε, y, z Χ κι λ, µ IR ονοµάζετι εσωτερικό γινόµενο στον Χ. Με εφρµογή των ιδιοτήτων του ορισµού του εσωτερικού γινοµένου σε ένν χώρο Χ, µπορούµε, επιπλέον, ν διπιστώσουµε ότι ε) <,λyµz>λ<,y>µ<,z>, γι κάθε, y, z Χ κι λ, µ IR κι στ) <,> ν κι µόνον ν, γι κάθε Χ. Επίσης είνι άµεση η ισχύς της επόµενης πρότσης. Πρότση..7 Έστω Χ ένς γρµµικός χώρος κι <,> έν εσωτερικό γινόµενο σ υτόν. Τότε η συνάρτηση :Χ ΙR, µε <,> /, γι κάθε X, είνι µι νόρµ στον Χ. Τότε λέµε ότι η νόρµ υτή κθορίζετι πό το εσωτερικό γινόµενο <,>. Ειδικά, όσον φορά στους χώρους Baach, των οποίων η νόρµ κθορίζετι πό εσωτερικό γινόµενο, έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..7 Ένς χώρος Baach (X, ), του οποίου η νόρµ κθορίζετι πό έν εσωτερικό γινόµενο <,> στον Χ, ονοµάζετι χώρος Hlbert.

29 8 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Έστω, τώρ, (X, ) ένς χώρος Hlbert κι <,> το εσωτερικό γινόµενο στον Χ που κθορίζει τη νόρµ. Τότε, γι κάθε, y Χ, έχουµε y y <y,y>< y, y> <,><,y><y,y><,> <,y><y,y> <,><y,y> y. Αποδείξµε, λοιπόν, την κόλουθη πρότση. Πρότση..8 (Κνόνς του πρλληλογράµµου) Σε κάθε χώρο Hlbert Χ ισχύει ότι y y y, γι κάθε, y Χ. Μι ειδική κτηγορί υποσυνόλων ενός χώρου µε νόρµ είνι τ κυρτά σύνολ. Συγκεκριµέν έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..8 Έν υποσύνολο Α ενός χώρου µε νόρµ ονοµάζετι κυρτό ν γι κάθε, y Α κι λ, το λ( λ)y είνι στοιχείο του Α. Το σύνολο cov(a){λ λ λ : IN, Α, λ,,,..., κι λ λ λ } ονοµάζετι κυρτή θήκη του Α. Αποδεικνύετι ότι η κυρτή θήκη ενός υποσυνόλου Α ενός χώρου µε νόρµ Χ είνι cov(a) {Κ Χ: Κ κυρτό κι Α Κ}, δηλδή το ελάχιστο κυρτό σύνολο που περιέχει το Α. Προφνώς το Α είνι κυρτό ν κι µόνον ν Αcov(A). Χρκτηριστικό πράδειγµ κυρτού υποσυνόλου ενός χώρου µε νόρµ ποτελεί η κλειστή σφίρ σ υτόν. Πράγµτι έστω ένς χώρος µε νόρµ (Χ, ) κι η κλειστή σφίρ Β[,r]{ Χ: r}, όπου Χ κι r>. Τότε, ν, y Β[,r] κι λ, θέτουµε zλ( λ)y, οπότε z λ ( λ) λ ( λ)y λ( )( λ)( y) λ ( λ) y λr( λ)rr,

30 . Βσικές Έννοιες 9 εποµένως z Β[,r]. Η τελευτί έννοι στην οποί νφερόµστε είνι υτή της συµπάγεις. ιτυπώνουµε το σχετικό ορισµό κι κολούθως τις βσικότερες ιδιότητες των συµπγών συνόλων, οι οποίες συνντώντι κτά τη µελέτη των θεωρηµάτων στθερού σηµείου στ επόµεν κεφάλι. Ορισµός..9 (Συµπγής Μετρικός Χώρος) Ένς µετρικός χώρος (Χ,ρ) ονοµάζετι συµπγής ν κάθε νοικτό κάλυµµ του Χ έχει πεπερσµένο υποκάλυµµ. Αυτό σηµίνει ότι ο Χ είνι συµπγής ν γι κάθε οικογένει (G ) Ι νοικτών υποσυνόλων του Χ µε X, υπάρχουν ΙΝ κι,,..., Ι τέτοι, ώστε I G G k k X. Έν υποσύνολο Α του Χ ονοµάζετι συµπγές ν ο µετρικός χώρος (Α,ρ) είνι συµπγής. Ειδικότερ, γι τ κλειστά υποσύνολ ενός µετρικού χώρου ισχύει η κόλουθη πρότση. Πρότση..9 Κάθε κλειστό υποσύνολο ενός συµπγούς µετρικού χώρου είνι συµπγές. Απόδειξη Έστω Κ έν κλειστό υποσύνολο ενός συµπγούς µετρικού χώρου Χ κι (G ) Ι µι οικογένει νοικτών υποσυνόλων του Χ τέτοι, ώστε K I G. Εφόσον το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ, το Χ Κ είνι νοικτό υποσύνολο του Χ κι εποµένως τ (Χ Κ) G, Ι, ποτελούν έν νοικτό κάλυµµ του Χ. Εποµένως, εφόσον ο Χ είνι συµπγής µετρικός χώρος, πό τον Ορισµό..9, υπάρχουν ΙΝ κι,,..., ΙΝ τέτοι, ώστε X (X K) G k, οπότε K G k, k k δηλδή το Κ είνι συµπγές υποσύνολο του Χ κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Γι την επόµενη πρότση είνι πρίτητος ο ορισµός της έννοις του φργµένου συνόλου.

31 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Ορισµός.. Έν υποσύνολο Α ενός µετρικού χώρου (Χ,ρ) ονοµάζετι φργµένο ν το Α περιέχετι σε µι νοικτή σφίρ του Χ, δηλδή ν υπάρχουν Χ κι δ> τέτοι, ώστε Α Β(,δ). Πρότση.. Κάθε συµπγές υποσύνολο ενός µετρικού χώρου είνι κλειστό κι φργµένο. Απόδειξη Έστω Κ έν συµπγές υποσύνολο ενός µετρικού χώρου (Χ,ρ). Αποδεικνύουµε ρχικά ότι το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. ρ(, y) Έστω Χ Κ κι γι κάθε y Κ θέτουµε ε y. Τότε Β(,ε y ) Β(y,ε y ). Από τον Ορισµό..9, εφόσον το Κ είνι συµπγές κι K υπάρχουν y, y,..., y Κ τέτοι, ώστε K B(y,ε. y ) y K B(y,ε ) y, έπετι ότι Θέτουµε ε m{ε y, }, οπότε B(,ε) Κ, δηλδή B(,ε) Χ Κ, εποµένως το Χ Κ είνι νοικτό, οπότε το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. Θ ποδείξουµε, τώρ, ότι το Κ είνι φργµένο υποσύνολο του Χ. Αν Κ, τότε, προφνώς, το Κ είνι φργµένο υποσύνολο του Χ. Έστω, τώρ, έν στθερό Κ. Τότε η οικογένει {B(,k), k,,...} ποτελεί έν κάλυµµ του Κ, οπότε, εφόσον το Κ είνι συµπγές υποσύνολο του Χ, πό τον Ορισµό..9, έπετι ότι υπάρχουν ΙΝ κι k, k,..., k ΙΝ τέτοι, ώστε K B(, k ). Έστω Μma{k, k,..., k }, τότε Κ Β(,M), εποµένως το Κ είνι φργµένο υποσύνολο του Χ. Η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Το θεώρηµ που κολουθεί νφέρετι στις χρκτηριστικές ιδιότητες των συνεχών πεικονίσεων πό ένν συµπγή µετρικό χώρο.

32 . Βσικές Έννοιες Θεώρηµ.. Έστω Χ ένς συµπγής µετρικός χώρος κι Υ ένς µετρικός χώρος. Τότε κάθε συνεχής πεικόνιση f:x Y έχει τις κόλουθες ιδιότητες: ) Η εικόν f(χ) είνι συµπγές υποσύνολο του Υ. β) Αν f(χ)υ (δηλδή η f είνι πεικόνιση «επί»), τότε ο Υ είνι συµπγής µετρικός χώρος. γ) H f είνι κλειστή πεικόνιση, δηλδή ν το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ, τότε το f(k) είνι κλειστό υποσύνολο του Υ. δ) Αν η f είνι πεικόνιση κι «επί», τότε η f είνι συνεχής πεικόνιση. Απόδειξη ) Έστω (G ) Ι έν νοικτό κάλυµµ του f(x), όπου G Y, Ι. Τότε X f (G ), δηλδή τ f (G ), Ι, ποτελούν έν νοικτό κάλυµµ του Χ, εφό- I σον είνι οι ντίστροφες εικόνες µέσω της f των νοικτών υποσυνόλων G του Υ, Ι, κι η f είνι συνεχής πεικόνιση (Θεώρηµ..4). Επειδή ο Χ είνι συµπγής µετρικός χώρος, πό τον Ορισµό..9, έπετι ότι υπάρχουν ΙΝ κι,,..., ΙΝ τέτοι, ώστε X f (G ), οπότε. Εποµένως το f(x) είνι συµπ- k f (X) G k k k γές υποσύνολο του Υ. β) Προκύπτει άµεσ ως πόρισµ του (). γ) Εφόσον το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του συµπγούς µετρικού χώρου Χ, πό την Πρότση..9, έπετι ότι το Κ είνι συµπγές υποσύνολο του Χ. Εποµένως, πό το ήδη ποδειχθέν (), το f(k) είνι συµπγές υποσύνολο του Υ κι έτσι, πό την Πρότση.., έπετι ότι το f(κ) είνι κλειστό (κι µάλιστ φργµένο) υποσύνολο του Υ. δ) Σύµφων µε την Πρότση..4, ρκεί ν ποδείξουµε ότι η ντίστροφη εικόν (f ) (K)f(K) ενός κλειστού υποσυνόλου Κ του Χ είνι κλειστό υποσύνολο του Υ, το οποίο όµως είνι κριβώς το ήδη ποδειχθέν (γ). Η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Από το (γ) της προηγούµενης πρότσης προκύπτει άµεσ το κόλουθο πόρισµ.

33 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Πόρισµ.. Κάθε συνεχής συνάρτηση f:χ IR, όπου Χ είνι ένς συµπγής µετρικός χώρος, είνι φργµένη κι µάλιστ λµβάνει µέγιστη κι ελάχιστη τιµή. Ο έννοι της συµπάγεις, όπως υτή δόθηκε µέσω του Ορισµού..9, βσίζετι στην τοπολογική έννοι του νοικτού συνόλου κι γενικεύετι κριβώς µε τον ίδιο ορισµό σε τοπολογικούς χώρους των οποίων τ νοικτά σύνολ δεν ορίζοντι πρίτητ µέσω κάποις µετρικής. Γι τις νάγκες, όµως της διπργµάτευσης των εννοιών που συνντώντι στους µετρικούς χώρους ή σε χώρους µε νόρµ, στους οποίους η έννοι της σύγκλισης κολουθιών είνι δεδοµένη, θ ήτν πρίτητος ένς πιο εύχρηστος ορισµός της έννοις της συµπάγεις. Το επόµενο θεµελιώδες θεώρη- µ, του οποίου την πόδειξη πρλείπουµε, χρκτηρίζει τους συµπγείς µετρικούς χώρους κι χρησιµοποιείτι ευρύττ δίκην ορισµού. Θεώρηµ..3 Ένς µετρικός χώρος είνι συµπγής ν κι µόνον ν είνι κολουθικά συµπγής, δηλδή ν κάθε κολουθί του έχει µι συγκλίνουσ υπκολουθί. Με βάση το Θεώρηµ..3, ποδεικνύετι ότι Πρότση..4 Κάθε συµπγής µετρικός χώρος είνι πλήρης. Ανφορικά, τώρ, στους χώρους µε νόρµ, η έννοι της συµπάγεις χρησιµοποιείτι, µέσω του επόµενου θεµελιώδους θεωρήµτος, γι ν χρκτηρίσει το χώρο ως προς την λγεβρική του διάστση. Τονίζουµε ότι ως διάστση ενός χώρου µε νόρµ ορίζετι προφνώς η λγεβρική του διάστση ως γρµµικού χώρου. Αποδεικνύετι ότι κάθε χώρος µε νόρµ µε (πεπερσµένη) διάστση ΙΝ είνι γρµµικά ισόµορφος µε τον Ευκλείδειο Xώρο ΙR κι εποµένως είνι χώρος Baach. Θεώρηµ..5 (Θεώρηµ Resz) Ένς χώρος µε νόρµ Χ είνι πεπερσµένης διάστσης ν κι µόνον ν κάθε κλειστό κι φργµένο υποσύνολο του Χ είνι συµπγές. Η πόδειξη πρλείπετι. Από το προηγούµενο Θεώρηµ του Resz κι την Πρότση.. είνι προφνές ότι τ συµπγή υποσύνολ ενός χώρου µε νόρµ πεπερσµένης διάστσης είνι κριβώς τ κλειστά κι φργµέν σύνολ.

34 . Βσικές Έννοιες 3.3. Η Τοπολογική Ιδιότητ του Στθερού Σηµείου Στην προύσ ενότητ, η οποί ολοκληρώνει υτό το εισγωγικό κεφάλιο, κεντρική θέση κτλµβάνει ο ισχυρισµός ότι η ύπρξη στθερού σηµείου µις πεικόνισης σε έν σύνολο είνι µι ιδιότητ του ίδιου του συνόλου. Η ιδέ υτή ξεκθρίζετι µε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός.3. Έν σύνολο Χ λέµε ότι έχει την ιδιότητ του στθερού σηµείου ν κάθε συνεχής πεικόνιση πό το Χ στον ευτό του έχει (τουλάχιστον) έν στθερό σηµείο. Συχνά είνι ευκολότερο ν διπιστώσουµε ότι έν σύνολο δεν έχει την ιδιότητ του στθερού σηµείου, πλά θεωρώντς µι συνεχή πεικόνιση υτού του συνόλου χωρίς στθερά σηµεί. Αν θεωρήσουµε, γι πράδειγµ, το σύνολο των πργµτικών ριθµών, τότε πράγµτι µπορούµε ν διπιστώσουµε ότι υτό δεν έχει την ιδιότητ του στθερού σηµείου, κθώς γι την πεικόνιση f:ir IR, µε f(), όπου, δεν υπάρχει IR τέτοιο, ώστε f(). Επίσης, πρόµοι, διπιστώνουµε ότι ένς κύκλος δεν έχει την ιδιότητ του στθερού σηµείου, φού µι στροφή κτά µι γωνί ίση, ς πούµε, κτά µετθέτει π κάθε σηµείο του κύκλου. Η έννοι του οµοµορφισµού, την οποί ορίζουµε ευθύς, ποτελεί το βσικό εργλείο, µε το οποίο, ιδιότητες, όπως υτή του στθερού σηµείου, µετφέροντι πό έν σύνολο σε έν άλλο χωρίς ν χάνουν την ισχύ τους. Ορισµός.3. Μί συνεχής έν-προς-έν κι επί πεικόνιση f:x Y µετξύ δύο τοπολογικών χώρων Χ κι Υ, της οποίς η ντίστροφη πεικόνιση f :Υ Χ είνι επίσης συνεχής, ονοµάζετι οµοµορφισµός. Τότε οι χώροι Χ κι Υ ονοµάζοντι οµοµορφικοί. Στο σηµείο υτό είνι σηµντικό ν τονίσουµε ότι η έννοι της συνέχεις γι πεικονίσεις µετξύ τοπολογικών χώρων κθορίζετι µέσω των νοικτών συνόλων που ορίζουν τις τοπολογίες των χώρων κι µπορεί ν περιγρφεί µε έν θεώρηµ κριβώς ντίστοιχο µε το Θεώρηµ..4.

35 4 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Πρδείγµτ. Το νοικτό διάστηµ (,) είνι οµοµορφικό προς το σύνολο των πργµτικών ριθµών IR, κθώς η πεικόνιση f:ir (,) µε f () είνι ένς οµο µορφισµός.. Αντίστοιχ, στη γενική περίπτωση, ο Ευκλείδειος Χώρος IR είνι οµοµορφικός προς την νοικτή µονδιί σφίρ Β (,){ IR : <}, εφόσον η πεικόνιση f:ir Β (,) µε f () είνι ένς οµοµορφισµός. Η σπουδιότητ της έννοις του οµοµορφισµού προκύπτει πό το γεγονός ότι κάθε ιδιότητ που ισχύει γι έν σύνολο X, θ ισχύει κι γι κάθε άλλο σύνολο οµο- µορφικό προς το Χ. Τέτοιες ιδιότητες ονοµάζοντι τοπολογικά νλλοίωτες, ή, πλά, τοπολογικές ιδιότητες. Με το θεώρηµ που κολουθεί διπιστώνουµε ότι η ιδιότητ του στθερού ση- µείου είνι πράγµτι µι τοπολογική ιδιότητ. Θεώρηµ.3. (Η τοπολογική ιδιότητ του στθερού σηµείου) Αν το σύνολο Χ έχει την ιδιότητ του στθερού σηµείου κι το σύνολο Υ είνι οµοµορφικό προς το Χ, τότε το σύνολο Υ έχει επίσης την ιδιότητ του στθερού ση- µείου. Απόδειξη Αρκεί ν δείξουµε ότι κάθε συνεχής πεικόνιση πό το σύνολο Υ στον ευτό του έχει στθερό σηµείο. Έστω, λοιπόν, f:y Y µι συνεχής πεικόνιση. Εφόσον τ Χ κι Υ είνι οµοµορφικά, θ υπάρχει ένς οµοµορφισµός g:x Y, οπότε ορίζετι η σύνθεση g f g, η οποί πεικονίζει το σύνολο Χ στον ευτό του κι µάλιστ είνι συνεχής ως σύνθεση συνεχών πεικονίσεων. Εφόσον το σύνολο Χ έχει την ιδιότητ του στθερού σηµείου, θ υπάρχει Χ τέτοιο, ώστε (g f g)() ή, ισοδύνµ, f(g())g(). (.3.) Αν y Υ η εικόν του µέσω του οµοµορφισµού g, δηλδή g()y, η σχέση (.3.) συνεπάγετι ότι

36 . Βσικές Έννοιες 5 f(y)y, δηλδή το y Υ είνι έν στθερό σηµείο γι την πεικόνιση f, οπότε το θεώρηµ ποδείχθηκε.

37 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ BANACH.. Η Αρχή των Απεικονίσεων Συστολής Μι πό τις πλέον βσικές εφρµογές της έννοις της πληρότητς ενός µετρικού χώρου θεωρείτι η λεγόµενη Αρχή των Απεικονίσεων Συστολής που διτυπώνετι µέσω του ντίστοιχου θεωρήµτος στθερού σηµείου, το οποίο ετέθη κι ποδείχθηκε πρώτ πό το Baach το 9 ως µέρος της διδκτορικής διτριβής του. Το θεώρηµ υτό, όπως θ δούµε κι στ επόµεν, βρίσκει πολλές εφρµογές σε περιπτώσεις ύπρξης κι µονδικότητς, γι πράδειγµ, λύσεων διφορικών ή ολοκληρωτικών εξισώσεων, λλά κι λλού. ιτυπώνουµε πρώτ την έννοι της πεικόνισης συστολής, µέσω του επόµενου ορισµού: Ορισµός.. Μι πεικόνιση f πό ένν µετρικό χώρο (Χ,ρ) στον ευτό του ονοµάζετι πεικόνιση συστολής ν υπάρχει στθερά < τέτοι, ώστε ρ(f(),f(y)) ρ(,y) γι κάθε, y Χ. Η στθερά ονοµάζετι συντελεστής συστολής.

38 8 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Ήδη πό τον ορισµό της πεικόνισης συστολής γίνετι φνερό ότι υτή είνι οµοιόµορφ συνεχής, όπως εξσφλίζει το επόµενο θεώρηµ. Θεώρηµ.. Κάθε πεικόνιση συστολής είνι οµοιόµορφ συνεχής. Απόδειξη Έστω (Χ,ρ) ένς µετρικός χώρος κι f:χ Χ µι πεικόνιση συστολής. Τότε, εξ ορισµού, υπάρχει ο συντελεστής συστολής <, ώστε ρ(f(),f(y)) ρ(,y), γι κάθε, y Χ. Αν, τότε προφνώς ρ(f(),f(y)), γι κάθε, y Χ, δηλδή η f είνι στθερή κι εποµένως είνι οµοιόµορφ συνεχής. ε Ας υποθέσουµε τώρ ότι > κι έστω ε>. Αν θέσουµε δ >, τότε γι κάθε ε, y Χ µε ρ(,y)<δ, έπετι ότι ρ (f (),f (y)) ρ(, y) < ε. Εποµένως η f είνι οµοιόµορφ συνεχής κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Με βάση τ προηγούµεν συµπεράσµτ είµστε σε θέση, τώρ, ν διτυπώσουµε το βσικό θεώρηµ ύπρξης κι µονδικότητς στθερού σηµείου µις πεικόνισης συστολής σε ένν πλήρη µετρικό χώρο. Θεώρηµ.. (Στθερού Σηµείου του Baach) Έστω (Χ,ρ) ένς πλήρης µετρικός χώρος κι f:x X µι πεικόνιση συστολής. Τότε η f έχει έν µονδικό στθερό σηµείο (δηλ. υπάρχει µονδικό X τέτοιο, ώστε f()). Απόδειξη Θεωρούµε έν τυχίο Χ κι ορίζουµε επγωγικά την κολουθί ( ) IN στον Χ µε f( ), γι κάθε,, Εφόσον η f είνι πεικόνιση συστολής, υπάρχει < τέτοιος, ώστε ρ(f(),f(y)) ρ(,y), γι κάθε,y Χ. Με επγωγή, ποδεικνύουµε ρχικά ότι ρ(, ) ρ(, ), (..) γι κάθε,,

39 . Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Baach 9 Πράγµτι Γι, η σχέση (..) γίνετι ρ(, ) ρ(, ), ή, φού f( ),,,, ισοδύνµ ρ(f( ),f( )) ρ(, ), που ισχύει. Υποθέτουµε ότι η σχέση (..) ισχύει γι το κι Αποδεικνύουµε ότι η σχέση (..) ισχύει γι το, δηλδή ρ(, ) ρ(, ). Έχουµε ρ(, )ρ(f( ),f( )) ρ(, ) ρ(, ) ρ(, ). Εποµένως ρ(, ) ρ(, ), γι κάθε,, Θ ποδείξουµε, τώρ, ότι η κολουθί ( ) IN είνι βσική. Πράγµτι γι κάθε m, IN µε m>, πό την τριγωνική ιδιότητ της µετρικής ρ, έπετι ότι ρ( m, ) ρ( m, m )ρ( m, m ) ρ(, ), ή ισοδύνµ, µε βάση τη σχέση (..), ρ( m, ) Επειδή <, έπετι ότι m ρ(, ) ( m m m m ( ) ρ(, ) < ρ(, ). lm ρ(, ) ρ(, ) )ρ(, κι συνεπώς, πό την πρπάνω, προκύπτει ότι η κολουθί () IN είνι βσική, άρ, εφόσον ο Χ είνι πλήρης µετρικός χώρος, υπάρχει Χ τέτοιο, ώστε lm. Τότε το είνι το ζητούµενο στθερό σηµείο της f. Πράγµτι επειδή η f είνι συνεχής πεικόνιση κι lm, λόγω της µονδικότητς του ορίου, έπετι ότι f() lm f( ) lm. Γι ν δείξουµε ότι το είνι το µονδικό στθερό σηµείο της πεικόνισης f, ρκεί ν θεωρήσουµε y Χ τέτοιο, ώστε f(y)y. Τότε ρ(,y)ρ(f(),f(y)) ρ(,y). Αν υποθέσουµε ότι y, τότε ρ(,y)> κι εποµένως, πό την προηγούµενη,, άτοπο, εφόσον <. Εποµένως y κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. )

40 3 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Από την προηγούµενη πόδειξη του Θεωρήµτος του Baach, είνι σφές ότι η εύρεση του στθερού σηµείου µις πεικόνισης συστολής f εξσφλίζετι µέσω µις διδικσίς διδοχικών προσεγγίσεων ως εξής: Εκκινώντς πό έν οποιοδήποτε ση- µείο του µετρικού χώρου Χ, λµβάνουµε το επόµενο σηµείο f( ), π υτό το επόµενο f( ) κ.ο.κ. Σε κάθε βήµ υτής της επνληπτικής διδικσίς επιτυγχάνετι κλλίτερη προσέγγιση του στθερού σηµείου της πεικόνισης f, µε την έννοι ότι η κάθε προσέγγιση βρίσκετι πιο «κοντά» (ως προς τη µετρική ρ) στο στθερό σηµείο της πεικόνισης πό ότι η προηγούµενη. Το πρώτο συµπέρσµ του πορίσµτος που κολουθεί επιβεβιώνει υτόν κριβώς τον ισχυρισµό. Πόρισµ..3 Με τις υποθέσεις του Θεωρήµτος του Στθερού Σηµείου του Baach, ν ( ) IN κολουθί στον Χ µε Χ τυχίο κι f( ), γι κάθε,,, έπετι ότι ) ρ(,) ρ(,), β) ρ(, ) ρ(, ) («a pror εκτίµηση σφάλµτος») γ) ρ(, ) ρ(, ) («a posteror εκτίµηση σφάλµτος») γι κάθε,,, όπου Χ είνι το µονδικό στθερό σηµείο της f κι ο συντελεστής συστολής. Απόδειξη ) Επειδή f( ), γι κάθε,, κι f(), προφνώς ρ(,)ρ(f( ),f()) ρ(,). β) Στην πόδειξη του Θεωρήµτος του Baach δείξµε ότι γι κάθε m, IN µε m>, ισχύει ρ(, m) ρ(, ). Γι στθερό κι m, λόγω της συνέχεις της µετρικής ρ, έχουµε ρ(, ) lm ρ(, m) ρ(, ). m γ) Γι κάθε,, έχουµε ( )ρ(,)ρ(,) ρ(,) ρ(,) ρ(f( ),f())

41 . Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Baach 3 ρ(,f( ))ρ(f( ),) ρ(f( ),f()) ρ(f( ),f( )) ρ(, ). Εποµένως ρ(, ) ρ(, ). Τ δύο τελευτί συµπεράσµτ του προηγούµενου πορίσµτος πρέχουν κριτήρι δικοπής υτής της επνληπτικής διδικσίς, νφορικά µε το σφάλµ της προσέγγισης. Ειδικότερ µέσω της «a pror εκτίµησης σφάλµτος» (συµπέρσµ β), εφόσον κθορισθεί εξ ρχής έν σφάλµ ε> της προσέγγισης του στθερού σηµείου της πεικόνισης f, είνι δυντόν ν εκτιµηθεί το πλήθος των βηµάτων που πιτούντι στην επνληπτική διδικσί, ώστε ν επιτευχθεί η συνθήκη ρ(,)<ε. Το επόµενο θεώρηµ, άµεση συνέπει του Θεωρήµτος Στθερού Σηµείου του Baach, νφέρετι στην ξιοσηµείωτη περίπτωση ύπρξης στθερού σηµείου γι πεικονίσεις στις οποίες δεν είνι πρίτητο ν υποτεθεί η συνθήκη της συνέχεις. Θεώρηµ..4 Έστω (Χ,ρ) ένς πλήρης µετρικός χώρος κι f:x X µι πεικόνιση τέτοι, ώστε η f k :X X γι κάποιον θετικό κέριο k είνι πεικόνιση συστολής. Τότε η f έχει έν µονδικό στθερό σηµείο. Ο συµβολισµός f δηλώνει τη σύνθεση της πεικόνισης f µε τον ευτό της φορές. Συγκεκριµέν f f κι γενικά f f f,,, Απόδειξη Από το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Baach, εφόσον η f k είνι πεικόνιση συστολής, θ έχει έν µονδικό στθερό σηµείο, έστω Χ, δηλδή f k (). Τότε f k (f())f k ()f(f k ())f() που σηµίνει ότι το f() είνι επίσης έν στθερό σηµείο γι την f k. Λόγω της µονδικότητς του, ως στθερού σηµείου της πεικόνισης συστολής f k, έπετι ότι f(), δηλδή το είνι έν στθερό σηµείο της f. Γι τη µονδικότητά του, ν υποθέσουµε ότι επίσης f(y)y γι κάποιο y X, τότε, εφρµόζοντς k φορές την πεικόνιση f, λµβάνουµε προφνώς ότι f k (y)y, δηλδή το y είνι στθερό σηµείο κι της f k, οπότε, λόγω της µονδικότητς υτού, έπετι ότι y.

42 3 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές.. Συνρτήσεις Συστολής Ορισµένες σε Κλειστό ιάστηµ Το πλέον τετριµµένο πράδειγµ εφρµογής της Αρχής των Απεικονίσεων Συστολής νφέρετι σε πργµτικές συνρτήσεις f:[,β] [,β] που πληρούν µι συνθήκη Lpschtz f() f(y) k y γι κάθε, y [,β], µε k<. Προφνώς κάθε συνάρτηση f υτής της µορφής είνι συστολή που πεικονίζει το κλειστό διάστηµ [,β] στον ευτό του κι εποµένως, εφόσον το σύνολο των πργ- µτικών ριθµών IR (άρ κι το κλειστό διάστηµ [,β]) µε τη συνήθη ευκλείδει µετρική που ορίζετι πό την πόλυτη τιµή είνι ένς πλήρης µετρικός χώρος, σύµφων µε το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Baach, η εξίσωση f(), θ έχει µονδική λύση στο [,β], η οποί βρίσκετι ως όριο της κολουθίς ( ) IN γι υθίρετο [,β] κι f( ),,, y β y y β y yf() f( ) f( ) f( ) 3 f( ) f( ) 3 f( ) yf() Ο β Ο 3 β Εικόν Η επνληπτική µέθοδος γι την προσέγγιση του στθερού σηµείου µις πργωγίσιµης συνάρτησης f:[,β] [,β] µε <f ()< κι <f ()< ντίστοιχ Στην ειδική περίπτωση, στην οποί η συνάρτηση f υποτεθεί πργωγίσιµη στο [,β], µι ικνή συνθήκη γι ν πληρείτι η συνθήκη συστολής είνι ν υπάρχει κάποιος k< τέτοιος, ώστε f () k<, γι κάθε [,β]. Πράγµτι πό το Θεώρηµ της Μέσης Τιµής του ιφορικού Λογισµού, γι κάθε, y [,β], υπάρχει κάποιο ξ [,β] τέτοιο, ώστε f() f(y)f (ξ)( y), ή f() f(y) f (ξ) y k y. Η Εικόν πρπάνω περιγράφει την πορεί των διδοχικών προσεγγίσεων του στθερού ση- µείου της συνάρτησης f στις περιπτώσεις <f ()< κι <f ()<.

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Μθηµτικός Συγγρφές µέλος του Σ της ΕΜΕ Πρόεδρος της Συντκτικής Επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Είνι γνωστό ότι γι πολλά ορισµέν ολοκληρώµτ δεν υπάρχουν νλυτικές µέθοδοι κριβούς επίλυσής τους. Ετσι λοιπόν έχουν νπτυχθεί προσεγγιστικές µέθοδοι υπολογισµού τέτοιων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

Αφού είναι x α > 0, από την τελευταία προκύπτουν όλες οι προς απόδειξη ανισότητες.

Αφού είναι x α > 0, από την τελευταία προκύπτουν όλες οι προς απόδειξη ανισότητες. I Βσικά συμπεράσμτ Στις σκσεις που κολουθούν θ χρησιμοποισουμε τ επόμεν βσικά συμπεράσμτ Α, Β κι Γ: Α Έστω R κι :[,+)R συνάρτηση τέτοι, ώστε συνεχς στο [,+), πργωγίσιμη στο (,+) κι () = Ν ποδειχθεί ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α.

Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α. Ιωάννης Αθν ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμ Μθημτικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πνεπιστήμιο Πτρών ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Κθηγητής: Κων/νος Α Δρόσος) ΠΑΤΡΑ 005 "So fa as aws of mathematcs efe to eaty they ae ot ceta

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191 Η έννοι της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοι της συνάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης νάμεσ σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφνίζετι μ ένν υπονοούμενο τρόπο ήδη πό την

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στη Φυσική εµφνίζοντι πολλά µεγέθη, όπως µεττοπίσεις, τχύτητες, ροπές, δυνάµεις, τ οποί γι ν προσδιοριστούν πλήρως δεν ρκεί µόνο ν είνι γνωστό το µέτρο τους, λλά πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής:

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής: III Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ Μετθέσεις Θεωρούμε έν σύνολο Ν με πεπερσμένο το πλήθος ντικείμεν Τ ριθμούμε υτά κτά κάποιο τρόπο, κι στη συνέχει, νφερόμεθ σ υτά με τον ριθμό τους Εστω, λοιπόν, Ν {,,, } το δοσμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση. Γράφουµε νν ντί του ν κι µόνον ν.. Προλεγόµεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή µε έννοιες πό την Μθηµτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύµφων µε την Πλτωνική ντίληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου H Ευκλείδει Γεωµετρί είνι κι εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου (EΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ, Τ. 73,010) ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μθηµτικών dimitrmp@sch.gr Περίληψη Η µελέτη των κωνικών τοµών η οποί γίνετι,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ Σημείωση. 1. Προλεγόμενα. οντότης Αξιωματικό σύστημα. μοντέλο Συμβατό. Ανεξάρτητο αξιώματα (= αιτήματα) Πλήρες Σύνολο Κλάσης

ΣΥΝΟΛΑ Σημείωση. 1. Προλεγόμενα. οντότης Αξιωματικό σύστημα. μοντέλο  Συμβατό. Ανεξάρτητο αξιώματα (= αιτήματα) Πλήρες Σύνολο Κλάσης ΣΥΝΟΛΑ Σημείωση. Τον νγνώστη, που ενδιφέρετι γι το περιεχόμενο των πργράφων 1 κι 2, τον πρπέμπουμε στ [Ζ1], σελ. Ε8-Ε26 κι [Ζ2], σελ. 211-243, [ΖΚ], σελ.178-185. Γράφουμε νν ντί του ν κι μόνον ν. 1. Προλεγόμεν.

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν.

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν. ΑΔΑ: 6ΩΗΩΗ 5ΓΡ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήν, 15 Ιουνίου 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟΔΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΑΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ: Β Τχ.

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑ Α Β ) 2009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑ Α Β ) 2009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ ΟΜΑ Α Β 9 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Έστω µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Αν η είνι συνεχής στο ι γι άθε εσωτεριό σηµείο του ισχύει, ν ποδείετε ότι η είνι στθερή σε όο το διάστηµ Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλει : Αθνσιάδης Χράλμπος Μθημτικός . ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21)

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21) È Ö Ñ Ø Ä Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ ¾½ÆÓ Ñ ÖÓÙ¾¼¼ È Ö ØÛÔ Ö Ð Ñ ÒÓÒØ Ñ Ö ÔÖÓØ Ñ Ö Ð ÑÑ Ø ÕÖ Ñ È ÖÐ Ý Ø Ü Ø ØÓÑ Ñ Ø ÙÒ Ø ³ÄÙ ÓÙº Σημειωση Αν κποι προτση πο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειζετι ποδειξη. Εξιρεση ποτελουν

Διαβάστε περισσότερα

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη κι Έλκουσ Κµπύλη ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σ. Σ. Μ. 1. ΑΛΥΣΟΕΙ ΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΑ Μι πό τις ιστορικές κι ονοµστές κµπύλες, του επιπέδου που µελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. 1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: επνεπίσκεψη. Η εξής πρτήρηση γι τις (μονομερείς) διμελείς σχέσεις, εξυπηρετεί την τξινόμησή τους: τ ζεύγη μις οποιδήποτε τέτοις σχέσης εμπίπτουν σε τρείς κτηγορίες:

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα