VOJENSKÁ AKADÉMIA V LIPTOVSKOM MIKULÁŠI. Katedra fyziky Fakulta logistiky. RNDr. Alena Kučerová RNDr. Jarmila Müllerová, CSc. FYZIKA V PRÍKLADOCH

Transcript

1 VOJENSKÁ AKADÉMIA V LIPTOVSKOM MIKULÁŠI Kateda fyziky Fakulta logistiky RND. Alena Kučeoá RND. Jaila Mülleoá, CSc. FYZIKA V PRÍKLADOCH Liptoský Mikuláš

2 RND. Alena Kučeoá RND. Jaila Mülleoá, CSc. Recenzent: RND. Alojz Bajči, CSc. Za odbonú a jazykoú úpau tohto učebného tetu zodpoedajú autoi. Rukopis o ydaateľste nepešiel edakčnou a jazykoou úpaou. ISBN

3 OBSAH PREDSLOV 5 MATEMATICKÝ APARÁT FYZIKY 7 Základy ektooého počtu 7 Opeátoy 9 Úlohy MECHANIKA Kineatika hotného bodu Riešené píklady 5 Úlohy 8 Dynaika hotného bodu 9 Riešené píklady Úlohy 4 Mechanika sústay hotných bodo a telesa 5 Riešené píklady 7 Úlohy Tepelný pohyb 5 Riešené píklady 8 Úlohy 4 Mechanika ideálnych tekutín 44 Riešené píklady 46 Úlohy 49 FYZIKÁLNE POLIA 5 Gaitačné pole 5 Riešené píklady 5 Úlohy 55 Pohyb telies gaitačno poli 56 Riešené píklady 58 Úlohy 6 Elektostatické pole 6 Riešené píklady 6 Úlohy 67 Elektický púd 69 Riešené píklady 7 Úlohy 75 Magnetické pole 77 Riešené píklady 79 Úlohy 8 Elektoagnetické pole 85 Riešené píklady 87 Úlohy 9

4 KMITY A VLNY 94 Kitaý pohyb 94 Riešené píklady 95 Úlohy 99 Vlnenie Riešené píklady Úlohy 4 Elektoagnetické lnenie 6 Riešené píklady 7 Úlohy 9 Geoetická optika Riešené píklady Úlohy 6 Vlnoá optika 8 Riešené píklady 9 Úlohy RELATIVISTICKÁ FYZIKA 4 Riešené píklady 5 Úlohy 7 KVANTOVÁ FYZIKA 9 Kopuskuláne lastnosti elektoagnetických ĺn 9 Riešené píklady Úlohy Vlnoé lastnosti častíc Riešené píklady 4 Úlohy 7 Schödingeoa foulácia kantoej echaniky 8 Riešené píklady 4 Úlohy 4 ATÓMOVÁ A JADROVÁ FYZIKA 45 Elektónoý obal atóu 45 Riešené píklady 46 Úlohy 5 Atóoé jado 5 Riešené píklady 5 Úlohy 54 Rádioaktiita 55 Riešené píklady 56 Úlohy 58 DODATKY 6 LITERATÚRA 6 4

5 PREDSLOV Pi spacoaní týchto učebných teto se ychádzali z doch základných cieľo:. poskytnúť študento šetkých fakúlt Vojenskej akadéie píklady a úlohy na pecičenie učia,. účinne poôcť študento pi pípae na seestálnu skúšku z fyziky. Učebné tety obsahujú sede základných teatických celko z fyziky: Mateatický apaát fyziky, Mechanika, Fyzikálne polia, Kity a lny, Relatiistická fyzika, Kantoá fyzika a Atóoá fyzika. Tieto celky sú ozdelené na konkétnejšie fyzikálne oblasti koncipoané toch častiach: - teoetický úod so stučný pehľado základných zťaho a zákono z danej pobleatiky, ktoý uľahčuje iešenie píklado a podpouje indiiduálnu pácu študento, - iešené píklady, ktoé ukazujú zoy spáneho etodického postupu iešení, - neiešené úlohy, pi ktoých je na konci zadania ždy uedený ýsledok iešenia, čo uožňuje kontolu spánosti postupu a ýpočtu. Výbe, náočnosť a ozsah píklado a úloh se podiadili cieľo, ktoé se si dali na začiatku spacoáania učebných teto. Všetky píklady a úlohy sú zostaené tak, aby sa ohli yužiť na cičeniach z fyziky, na písoných kontolných pácach, ale tiež na pecičenie, peeenie a upenenie teoetických fyzikálnych záeo o fáze pípay študento na ýučbu fyziky. Našou snahou bolo ytoiť knižnično fonde zbieku fyzikálnych píklado a úloh pe študento, ktoí áci sojho štúdia ajú zaadený pedet fyzika. Rozsah a ýbe píklado a úloh bol o eľkej iee pispôsobený teoetickéu ozsahu učia fyziky na Vojenskej akadéii. Myslíe si, že tak poôžee systeatickej a kalitnejšej pípae študento na yučoanie a skúšky z fyziky. Zbieka píklado z fyziky dostupná študento, pípadne ďalší pezieaý záujeco, nayše plní aj ďalšie ciele. Uožňuje pakticky pecičiť poznatky, z ktoých nohé sú súčasťou šeobecného zdelania kultúneho, tý skô technicky zdelaného čloeka. Fyzikálne úlohy sú nayše hodnou etódou paktického pecičenia nohých ateatických postupo a algoito podobe pieanej technickej aj každodennej pai. Analógie pecičených ateaticko fyzikálnych postupo sa inžinieo učite zídu pi iešení paktických inžinieskych úloh. Zbieka bola zostaená z píklado, ktoé se ybali z dostupných zbieok píklado učených pe štúdiu fyziky na ysokých školách technického zaeania a z ďalších ytoených píklado, ktoé sa ná osedčili na katede po dlhoočných skúsenostiach s ýučbou fyziky. Se si edoé, že zbieka ôže obsahoať chyby a nepesnosti, a budee ďačné čitateľo a použíateľo zbieky, ktoí ná ich pepáčia a ktoí nás na ne upozonia. Liptoský Mikuláš.4. Autoky 5

6 MATEMATICKÝ APARÁT FYZIKY ZÁKLADY VEKTOROVÉHO POČTU Skalá je fyzikálna eličina, ktoá je úplne učená jedný údajo, a to číslo yjadujúci jej eľkosť píslušných jednotkách (nap. hotnosť, čas t, elektický púd I, oent zotačnosti J, atď.). Vekto je fyzikálna eličina, ktoá je úplne učená doa súboi údajo. Jeden z nich sa zťahuje na eľkosť, duhý na se (nap. ýchlosť, uhloé zýchlenie ε, sila F, intenzita agnetického poľa H, atď.). Absolútna hodnota ektoa je kladné číslo učujúce jeho hodnotu píslušných jednotkách. Označujee ju znaki, F alebo, F, atď. Se ektoa je učený jednotkoý ektoo. Je to ekto onobežný s daný ektoo s absolútnou hodnotou. Označujee ich τ, n, i, j, k, a pod. Vektoy poažujee za totožné, keď ajú onaké absolútne hodnoty aj sey. Znaienko ( ) ped ektoo (nap. ) označujee, že daný ekto á onakú absolútnu hodnotu ako ekto, ale opačný se. Každý ekto ôžee yjadiť ako skalány násobok jednotkoého ektoa see daného ektoa a absolútnej hodnoty tohto ektoa a a a a a Rozklad ektoa na zložky: Najčastejšie ozkladáe ekto na zložky do doch alebo toch nazájo kolých seo pedstaujúcich nap. súadnicoé osi paouhlej súadnicoej sústay. Ak see súadnicoých osí (,y,z) sú oientoané jednotkoé ektoy ( i, j, k ), pe ozklad ektoa F platí F F + Fy + Fz Fi + Fy j + Fzk F F F + F + F y z Ak označíe uhly, ktoé ziea ekto F so sei jednotkoých ektoo ( i, j, k ), postupne syboli ( α, β, γ ), poto platí Základné paidlá ektooej algeby:. a + b b + a. a + ( b + c) ( a + b) + c. a + a 4. ( αβ ) a α( βa) α, β sú skaláy 5. α a + βa ( α + β ) a F F y cos α, cos β, F F F z cos γ. F 7

7 6. α a + αb α( a + b) 7. a α 8. a b a + ( b) Skalány súčin doch ektoo a b a b cosα abcosα a b, (α je uhol, ktoý zieajú ektoy a, b ) Výsledko skaláneho súčinu je skalá (eľkosť, číslo). Vlastnosti skaláneho súčinu:. a b b a. a b ab platí, ak ektoy a b, sú nazájo onobežné ( cos ). a b platí, ak ektoy a b π, sú nazájo kolé ( cos ) 4. a a a a 5. a ( b + c ) a b + a c 6. ( α a) b a ( αb ) α( a b ) α je skalá 7. i i j j k k ( cos ) π 8. i j i k j k ( cos ) a b a i + a j + a k b i + b j + b k a b + a b + a b 9. ( y z ) ( y z ) y y z z Vektooý súčin doch ektoo a b, : a b c c c a b sinα absinα Výsledný ekto c je kolý na oinu ektoo a b, a je oientoaný na tú stanu, z ktoej sa stotožnenie pého ektoa s duhý na katšej ceste jaí poti pohybu hodinoých učičiek (se pohybu paotočiej skutky). Vlastnosti ektooého súčinu:. a b ( b a) neplatí koutatíny zákon. a b platí, ak ektoy a b, zieajú nazájo uhol α. ( a + b ) c a c + b c 4. c ( a + b ) c a + c b 5. a ( b c ) ( a c ) b ( a b )c dojnásobný ektooý súčin π 6. i j i k j k ( sin ) 7. i i j j k k ( sin ) 8

8 9 8. ( ) ( ) ( )k b a b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a y y z z y z z y z y z y + + OPERÁTORY Opeáto je znak alebo súbo znako, ktoé definujú učitý pedpis úkonu (opeácie) s píslušnou eličinou. V užšo sloa zysle opeáto piaďuje funkcii funkciu podľa dohodnutého pedpisu. Paktický ýzna ajú opeátoy poľa a kantooechanické opeátoy.. Opeátoy poľa: Hailtono opeáto (opeáto nabla): z k y j i + + Gadient skalánej funkcie a: gad k z a j y a i a a a + + Gadient ektooej funkcie : gad k z j y i + + Diegencia ektooej funkcie : di z y z y + + Rotácia ektooej funkcie : ot z y z y k j i Laplaceo opeáto: di gad z y + + Paidlá pe počítanie s opeátoi:. gad c c konšt.. gad ( ) c cv gadv ( ) z y V V,, je skalána funkcia. gad ( ) a b a gadb + b gad a + a otb + b ot a 4. di c c je konštantný ekto 5. di ( ) c a c di a 6. di ( ) a b a dib + b gad a 7. di ( ) b b a ot a a otb 8. ot ( ) c c je konštantný ekto 9. ot ( ) c a c ot a

9 . ot ( b ). ot ( a b ) a (gad a ) b + a otb (gad a ) b b di a + a a a a. ot gad a a. di ot ( ) ( ) dib (gadb ) a Gaussoa - Ostogadského eta yjaduje, že plošný integál ektoa cez uzaetú plochu S sa oná objeoéu integálu diegencie ektoa cez obje V ohaničený touto plochou. ds di dv S V Stokesoa eta hooí, že kikoý integál ektoa cez uzaetú kiku K sa oná plošnéu integálu otácie ektoa cez ľubooľnú plochu, ohaničenú kikou K. K dl ot S ds. Kantooechanické opeátoy: Opeáto súadnice (polohoého ektoa) alebo každej funkcie súadníc je s nii totožný ˆ ˆ Opeáto potenciálnej enegie: U ˆ, y, z U, y, z ( ) ( ) Opeáto hybnosti: pˆ ih h i, h π Opeáto oentu hybnosti: bˆ ih Opeáto kinetickej enegie: ˆ h E k Opeáto celkoej echanickej enegie (hailtonián): Hˆ Eˆ + Uˆ k Hˆ h + Uˆ Opeátoy kantoej echanike sú Heitoe opeátoy, petože sa yznačujú lineánosťou a saozduženosťou. Opeáto Lˆ je lineány, keď pe ľubooľné de funkcie u a u platí ( u + u ) Lu ˆ ˆ Lu L ˆ + Opeáto Lˆ je saozdužený, ak pe de kadaticky integoateľné funkcie u, u platí ˆ ˆ dv u LudV ul u

10 Hiezdičkou označené eličiny (opeátoy) sa nazýajú konjugoané a z pôodných eličín (opeátoo) sa získaajú záenou i i, kde i je iaginána jednotka. Da opeátoy ˆL, ˆL nazájo koutujú, keď platí ˆL ˆL - ˆL ˆL, a nekoutujú, keď platí L ˆ ˆ ˆ ˆ L LL. Koutáto opeátoo je [ Lˆ ˆ, L ] ˆL ˆL - ˆL ˆL. ÚLOHY. Učte skalány súčin ektoo a,b, keď a 5 i + j k, b i + j + 6k. [5]. Učte ektooý súčin ektoo a,b, keď a i j + k, b i + j k. [ 7 i + 7 j + 7k ] s. Vypočítajte c ( a b ), ak a 5 i j + k, b i + j + k, c i + k. [] 4. Vypočítajte ektooý súčin ( a b) ( a + b). [ ( a b) ] 5. Vypočítajte dĺžku a oientáciu ektoa a (,, ) kateziánskej súadnicoej sústae. [; α 6 ; β ; γ 45 ] 6. Vypočítajte eľkosť pieetu ektoa a (,, ) do seu ektoa b (,, ). [,] 7. Vypočítajte plochu tojuholníka ABC, keď A(,,), B(,,), C(,,). [ ] 8. V kateziánskej sústae sú dané ti body A(,,), B(,,), C(,,). Učte a) jednotkoý ekto kolý na oinu učenú bodi A,B,C, b) uhol edzi ektoi a b,, ak a AB, b AC, c) plochu onobežníka ytoeného ektoi a b,, ak ich eľkosti sú etoch. [ n ( j + k ) ; ; 5, 66 ] 9. Vypočítajte gad, kde + y + z je eľkosť polohoého ektoa. [jednotkoý ekto ]. Dokážte, že ot ot A gad di A A.. Vypočítajte gad ( a), keď je polohoý ekto, a je ľubooľný konštantný ekto. [ a ]. Vypočítajte di, keď je polohoý ekto. []. Dokážte platnosť zťahu ot, kde je polohoý ekto. 4. Dokážte platnosť zťahu di ( a), je polohoý ekto, a je konštantný ekto. 5. Dokážte zťah ot ( a) a, je polohoý ekto, a je konštantný ekto. 6. Nájdite gad n n n [gad n ], keď ( + y + z ) je eľkosť polohoého ektoa, n konšt.

11 MECHANIKA KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Pohyb hotného bodu je popísaný, ak poznáe každo čase jeho polohu, ýchlosť a zýchlenie. Polohoý ekto hotného bodu piestoe zhľado k počiatku kateziánskej súadnicoej sústay ôžee yjadiť i + yj + zk Jeho eľkosť učíe zťaho + y + z kde i, j, k sú jednotkoé ektoy see píslušných kateziánskych osí, y, z. Rýchlosť pohybujúceho sa hotného bodu je definoaná zťaho d dt Vzhľado na yjadenie polohoého ektoa ôžee ekto ýchlosti yjadiť i + y j + k z d dt i + dy dt Veľkosť ektoa ýchlosti yjadíe + + y z k + dz k dt Zýchlenie a pohybujúceho sa hotného bodu je definoané a d dt d dt V kateziánskych súadniciach a a i + a y j + a k z d dt d i + dt y d j + dt z k d d y i + dt dt d z j + k dt Pe piaočiae pohyby hotného bodu sú zťahy pe ýchlosť a zýchlenie po dáhe s ds d d s a dt dt dt

12 Ronoený piaočiay pohyb (počiatočná ýchlosť, počiatočná dáha pohybu s ) d a konšt. dt s t + s Ronoene zýchlený piaočiay pohyb at + s at t + s a konšt. + V pípade, že a konšt., ale platí a <, poto sa jedná o onoene spoalený piaočiay pohyb hotného bodu. Voľný pád (g 9,8 s - je tiažoé zýchlenie) a g gt s gt Zislý h nadol a g gt + s gt + t Zislý h naho a g gt s t gt Kiočiay pohyb - zýchlenie a ôžee ozložiť na de zložky: - noáloú zložku a n, ktoá spôsobuje zenu seu ýchlosti, - tangenciálnu zložku a t, ktoá spôsobuje zenu eľkosti ýchlosti. a a R n + at n + d τ dt kde n a τ sú jednotkoé ektoy see noály a dotyčnice ku dáhe pohybu hotného bodu dano ieste a R je poloe kiosti dáhy. Pi šiko hu a g, ašak zýchlenie g a počiatočná ýchlosť nespadajú do tej istej piaky. Ak šiký h pebieha oine (, y) a ýchlosť ziea s osou uhol α, platí a cosα t cosα a y g sinα gt y Uhloá ýchlosť ω je definoaná y t sinα gt

13 dϕ ω dt kde ϕ je ekto s hodnotou danou eľkosťou uhla opísaného píslušný polohoý ektoo pohybujúceho sa hotného bodu. Se ektoa ϕ je kolý na oinu uhla a seuje na tú stanu, z ktoej sa ytáanie uhla jaí poti pohybu hodinoých učičiek. Uhloé zýchlenie ε je definoané ε dω dt d ϕ dt Ak sa jedná o oinný kiočiay pohyb, poto ôžee písať dϕ ω dt dω ε dt d ϕ dt Vektoy ϕ, ω, ε spadajú do tej istej piaky kolej na oinu pohybu. Veľkosť obodoej ýchlosti Rω Veľkosť tangenciálnej zložky zýchlenia a t a t Rε Veľkosť noáloej zložky zýchlenia a n a n Rω R Špeciálny pípado kiočiaeho pohybu je pohyb po kužnici. Ronoený pohyb po kužnici (počiatočná poloha ϕ ) dω ε konšt. dt ϕ ωt + ϕ ω Ronoene zýchlený pohyb po kužnici (počiatočná uhloá ýchlosť ω ) ε konšt. ω εt + ω ϕ εt + ω t + ϕ Peióda T je čas, za ktoý obehne hotný bod pi sojo pohybe jedenkát dáhu kužnice T πr πr π Rω ω 4

14 Fekencia f je učená počto obeho hotného bodu po kužnici za jednotku času f ω T π RIEŠENÉ PRÍKLADY Píklad : Pohyb hotného bodu je opísaný onicai R cosωt, y R sinωt, z bt, kde R, ω, b sú konštanty. Učte ekto ýchlosti a ekto zýchlenia tohoto pohybu a tiež eľkosti týchto ektoo. Riešenie: Polohu hotného bodu opisuje ekto i + yj + zk i R cosωt + jrsinωt + kbt Pe ekto ýchlosti platí d dy dz i + y j + zk i + j + k ω dt dt dt Veľkosť ýchlosti je daná ( Rω sin ωt) i + ( Rω cos t) j + bk + y + z R + ω b Z definície učíe zýchlenie pohybu Petože a a i + a y d j + azk dt d i + dt y d j + dt bk nezáisí od času, je a. Vekto zýchlenia á poto ta z a i ω R cosωt + Pe eľkosť zýchlenia platí jω Rsinωt z z k a a + a y + a z 4 ω R ω R Píklad : Zýchlenie pohybu častice po piaej dáhe je yjadené onicou a() t 4 t. Nájdite záislosť okažitej ýchlosti pohybu a dáhy od času, ak čase t s je ýchlosť s - a dáha s 9. 5

15 Riešenie: d Pe eľkosť zýchlenia pi piaočiao pohybe platí a. Veľkosť ýchlosti dt t adt + ( 4 t ) dt 4t Dosadení za s -, t s pe počiatočnú ýchlosť dostanee t 4t s Dáha častice s t 4 ( s t dt 4t + ) dt 4tdt dt + dt t t + Počiatočná dáha t 4 t 8 s s t + + t Výsledné onice záislosti ýchlosti a dáhy na čase poto ajú ta s t 4 t + t t + () t + 4t () t 4 Píklad : Hotný bod sa pohybuje po kužnici s poloeo, a uhloú dáhu popisuje onica φ + 4t, kde t je čas pohybu. Vypočítajte: a) eľkosť tangenciálneho a noáloého zýchlenia čase t s, b) pi akej uhloej dáhe bude celkoé zýchlenie zieať s poloeo kužnice uhol 45. Riešenie: a) Noáloé zýchlenie je dané a n dϕ d ω t dt dt 4 4 ( + 4t ) ( t ) 44,.44. s Tangenciálne zýchlenie je dané a t dω d ε t dt dt ( t ) 4,.4. 4,8 s 6

16 at ε b) tg 45. Z tejto podienky yplýa, že a poto ε ω. Z onosti an ω uhloého zýchlenia a kadátu uhloej ýchlosti učíe čas pohybu hotného bodu ( ) 4t t z toho t s 6 Uhloá dáha poto bude ať hodnotu ϕ + 4,67 6 ad Píklad 4: Šofé, ktoý ide ýchlosťou, zbadá ped sebou pekážku o zdialenosti s. Je pe neho ýhodnejšie bzdiť alebo stočiť olanto, aby do pekážky nenaazil? Riešenie: s R s Pe pohyb onoene spoalený (bzdenie) platí s t at, at. Konečná ýchlosť sa usí onať nule a tú dosiahne za čas t a. Po dosadení do onice pe dáhu onoene spoaleného pohybu dostanee s a a a Pe pohyb po kužnici (stočenie olanto) platí a n R s s a n Poonaní obidoch pohybo dostanee a z čoho yplýa a n a a n Pe šoféa je ýhodnejšie ykonať pohyb onoene spoalený, teda bzdenie. 7

17 ÚLOHY. Učte ýchlosť a zýchlenie hotného bodu, ktoého polohoý ekto je daný onicou π i Acosbt + jasin bt, kde A 6 a b s -. 4 π π [ ; ] 8. Pe ýchlosť častice pohybujúcej sa po piake platí záislosť (t) 9t - 8t +. a) Akú dáhu pejde častica časoo inteale od t s do t 5 s? b) Kedy je zýchlenie častice nuloé a aká je ýchlosť toto okažiku? c) Aké je zýchlenie častice pe t 7 s? [76 ; 9 4 s; 9 4 s - ; 8 s - ]. Aká je začiatočná ýchlosť častice, ktoá sa pohybuje piaočiao tak, že jej zýchlenie záislosti od času onoene astie a za pých 5 s zástlo z nuloej hodnoty na hodnotu s -? Po uplynutí s od začiatku zýchleného pohybu ala častica ýchlosť 5 s -. [ s - ] 4. Hotný bod sa pohybuje oine (y) okolo počiatku uhloou ýchlosťou ω. a) Učte polohoý ekto pohybujúceho sa bodu, ekto ýchlosti a ekto celkoého zýchlenia, eľkosť dotyčnicoého a noáloého zýchlenia. b) Odoďte difeenciálnu onicu onoeného kuhoého pohybu o ektooo tae. c) Odoďte difeenciálnu onicu pieetu pohybujúceho sa bodu do osi a y. 5. Teleso padá z ýšky 8 a súčasne je zo zee ystelené naho iné teleso so začiatočnou ýchlosťou /s. Za aký čas a akej ýške sa obide telesá stetnú? [4 s; 7,5 od zee] 6. Voľne padajúce teleso inie za časoý inteal s da body zdialené od seba. Z akej ýšky nad pý bodo padá teleso a akú ýchlosť á oboch bodoch? [,56 ; 7,9 s - ; 6,9 s - ] 7. Viee, že hotný bod pešiel za s dáhu, pičo sa jeho ýchlosť zäčšila 5- kát. Učte zýchlenie pohybu za pedpokladu, že sa počas pohybu neení. [,4 s - ] 8. Teleso sa otáča okolo penej osi s konštantný uhloý zýchlení,4 s -. Za aký čas od začiatku otáčania bude celkoé zýchlenie ľubooľného bodu zieať so seo ýchlosti toho bodu uhol 76? [ s] 9. Koleso sa otáča onoene zýchlený pohybo z kľudoého stau. V piebehu doch sekúnd ykoná 6 otáčok. Vypočítajte uhloé zýchlenie. [67 s - ]. Guľôčka padala do ody z ýšky 5 c a ponoila sa c pod hladinu ody. Vypočítajte spoalenie guľôčky o ode za pedpokladu, že pohyb je onoene spoalený. [5 s - ]. Zotačník s uhloý zýchlení ad/s sa otočil za čas 5 s o uhol 75 ad. Ako dlho bol už pohybe ped začiatko 5-sekundoého intealu, ak sa oztáčal z kľudu? [7,7 s]. Po piaej ozoke sa pohybuje auto konštantnou ýchlosťou 6 k/h. Motocykel 8

18 stojaci na kajnici sa začal ozbiehať to okažiku, keď ho auto páe íňalo. Po uplynutí s otocykel auto dobehol. Aké zýchlenie á otocyklista a akou ýchlosťou pedbieha auto? [,67 s - ; s - ]. Obodoá ýchlosť bodu na obode otáčajúceho sa kotúča je s -. Bod, ktoý je o c bližšie k osi otáčania, á ýchlosť s -. Učte fekenciu otáčania kotúča. [,59 s - ] 4. Učte poloe kiosti dáhy telesa, ktoé bolo hnuté odoone počiatočnou ýchlosťou 4 /s, čase s od začiatku pohybu. [,5 ] 5. Z dela pobežného delostelecta, uiestneného o ýške nad hladinou oa, je ystelená stela pod uhlo oči hoizontálnej oine s počiatočnou ýchlosťou /s. Aká je odooná zdialenosť dela od iesta, ktoo stela zasiahla cieľ ležiaci na hladine oa? [ k] DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Dynaika klasickej fyzike je založená na toch Newtonoých zákonoch:. Zákon zotačnosti: Hotný bod je kľude alebo koná onoený piaočiay pohyb, ak nie je pôsobení iných síl nútené tento sta zeniť.. Zákon sily: Sila pôsobiaca na hotný bod je úená súčinu jeho hotnosti a zýchlenia, ktoé u udeľuje. Platí F a. Zákon akcie a eakcie: Sily, ktoýi nazájo na seba de telesá pôsobia, sú onako eľké, ale opačne oientoané. Platí F F Platnosť Newtonoých zákono je iazaná na ineciálne sústay, t.j. sústay, ktoé sú kľude, a sústay, ktoé sa oči ni pohybujú onoený piaočiay pohybo. Ak zťahujee pohyb hotného bodu k neineciálnej sústae, poto usíe uažoať aj zotačné sily. Zákon sily s ýslednicou zotačných síl F á ta a F + F Ak F a, ide o takú neineciálnu sústau, ktoá sa oči ineciálnej sústae pohybuje piaočiay onoene zýchlený pohybo so zýchlení a. Ak F F + F ω C ( ω ) ω ( ) ide o neineciálnu sústau, ktoá sa oči ineciálnej sústae otáča uhloou ýchlosťou ω konšt., pičo F je odstediá sila, F C je Coiolisoa sila, je polohoý ekto 9

19 hotného bodu s hotnosťou zhľado na zťažný bod na osi otáčania, je ýchlosť hotného bodu oči neineciálnej sústae. Hybnosť p hotného bodu je definoaná p Ipulz sily I pôsobiacej na hotný bod za čas t I t Fdt Pohyboá onica hotného bodu d dp F a dt dt Mechanická páca A ( je polohoý ekto počiatočného bodu dáhy, ekto koncoého bodu dáhy, po ktoej sila F pôsobí) je polohoý A F d Výkon P P da dt F d dt F Kinetická enegia E k pohybujúceho sa hotného bodu Ek Páca, ktoú sila ykoná na učitej dáhe, sa oná zene kinetickej enegie hotného bodu, kde a sú ýchlosti hotného bodu na konci a na začiatku dáhy. Potenciálna enegia E p ( F je sila onkajšieho poľa) E p F d V gaitačno poli Zee o ýške h nad pocho zanedbateľnej oči poloeu Zee pe potenciálnu enegiu platí E p gh

20 Zákon zachoania echanickej enegie E E k + E p konšt. Zákon zachoania hybnosti p + p +... p konšt. RIEŠENÉ PRÍKLADY Píklad : Na úpätí naklonenej oiny s uhlo sklonu α 45 stojí ozík s piesko s hotnosťou 5 kg. Ronobežne s naklonenou oinou letí stela s hotnosťou 5 g ýchlosťou 4 s - a uiazne piesku. Akú dáhu pejde ozík po naklonenej oine až do sojho zastaenia? (Tenie a odpo postedia zanedbáe). Riešenie: Uplatnení zákona zachoania hybnosti + ( ) pe dostanee ( + ) + Z tejto onice yjadíe ýchlosť ozíka na konci dáhy + Kinetická enegia ozíka sa zení na potenciálnu enegiu podľa zťahu E ( + ) k + + E p ( + )gh ( ) E E k p, pičo Po úpae dostanee pe ýšku naklonenej oiny h g + ( ) Dáhu naklonenej oiny yjadíe h s sinα g sinα ( + ),5.4.9,8.,5.5,5,6 Píklad : Raketa s hotnosťou 5 kg štatuje kolo z pochu Zee. Jej ýchlosť je 5 s -. Učte eľkosť Coiolisoej a zotačnej odstediej sily, ak aketa štatuje:

21 a) na póle, b) na 6 zeepisnej šíky, c) na oníku. Riešenie: Pe Coiolisou silu F C a odstediú zotačnú silu F platí F C ω F ω ω ( ) ( ) ω ω ω A B o 6 s a) b) c) a) Keď aketa štatuje na póle, ektoy,ω, ležia na jednej piake a ektooé súčiny definičných zťahoch pe Coiolisou a odstediú zotačnú silu, sú nuloé. b) V toto pípade ekto ozložíe na de nazájo kolé zložky A + B. Poto ekto odstediej zotačnej sily yjadíe takto F [ ω ( ω A ) + ω ( ω B )] ω ( ω B ) [ ω( ω B ) B ( ω ω )] B ω Veľkosť odstediej zotačnej sily a Coiolosoej sily yjadíe π 6 F ω sin 5..6,7..,5 8,4 4.6 N F C π ωsin.5..5.,5 8,8 4.6 N c) Pi štate na oníku F ( ω ) [ ω( ω ) ( ω ω )] ω ω Veľkosť zotačnej odstediej sily

22 F 6 π ω 6, ,8 N Petože ekto ω je kolý na ekto, pe eľkosť Coiolisoej sily dostanee F C π ω ,5 4.6 N Píklad : Moto s hotnosťou kg zyšuje soju ýchlosť počas 6 s so zýchlení,8 s - a dosiahne konečnú ýchlosť 85 k h -. Akú pácu pito usí ykonať? Riešenie: Mechanickú pácu yjadíe ako ozdiel kinetických enegií na konci a na začiatku pohybu A Ek E ( ) k Počiatočnú ýchlosť učíe zo zťahu at + at Poto pe echanickú pácu, ktoú oto ykoná platí A 97,. ( + at a t ) at( at).. 8,. 6. (., 6 8,. 6) 4 J Píklad 4: Hotný bod s hotnosťou kg je zaesený peno bode na niti s dĺžkou l a opisuje kužnicu konštantnou ýchlosťou. Niť pi pohybe ziea so zislý seo uhol α 6. Učte ýchlosť pohybu hotného bodu, peiódu a silu, ktoá pi pohybe napína niť. Riešenie: Podľa obázku F tgα G g Z toho eľkosť ýchlosti gl sinα tgα gl sinα 44,4, s 9,8..sin 6.tg6 α l F G α F

23 Peióda T π πl sinα.,4..,866, 7,77 s Sila, ktoá napína niť F G g.9,8 9,6 cosα cos6,5 N ÚLOHY. Akou iniálnou fekenciou usíe po kužnici s poloeo 7 c otáčať o zislej oine nádobu, ktoá je naplnená odou, aby sa oda neyliala? [,6 Hz]. Teleso padá oľný pádo, pičo dáhu edzi doa bodi, ktoé sú od začiatku oľného pádu o ýškach h a h, pešlo za s. Ďalej platí, že kinetická enegia bode zdialenejšo od začiatku oľného pádu je -kát äčšia ako bode nad ní. Aké sú dáhy oľného pádu h a h? [4 ; 9 ]. Teleso pešlo za pôsobenia konštantnej sily (konštantnej čo do seu a eľkosti) dáhu onú šttine kužnice s poloeo R. Vypočítajte pácu, ktoú sila ykoná. [A FR] 4. V najyššo bode naklonenej oiny dĺžky s je položený káde, ktoý pohybo po naklonenej oine dosiahne ýchlosť /s. Učte ýšku naklonenej oiny. [,45 ] 5. Teleso s hotnosťou 5 g bolo hnuté zislo naho a o ýške alo kinetickú enegiu 7 J. Akou počiatočnou ýchlosťou bolo hnuté? [7 s - ] 6. Stela s hotnosťou g nikne do telesa s hotnosťou 6 g, ktoé leží na odoonej doske a posunie ho po dáhe 5,5. Akú ýchlosť á stela ped niknutí do telesa, keď súčiniteľ tenia edzi doskou a teleso je,4? [45 s - ] 7. Zdihák ýťahu naloženého ateiálo s tiažou N sa zdíha s konštantný zýchlení /s. Vypočítajte pácu, ktoá sa ykoná za pých 5 sekúnd zdihu. Aká je kinetická enegia telesa s hotnosťou 5 kg? Teleso sa pohybuje po piaej dáhe pôsobení sily N čase s od okažiku, ktoo alo ýchlosť /s. [ kj;,55. 4 J] 8. Disk á hotnosť,5 kg a piee 4 c. Otáča sa s fekenciou 5 otáčok/in. Pi bzdení sa zastaí za čas s. Učte oent bzdiacej sily. [,785 N ] 9. Aké á byť zýšenie onkajšej koľajnice zákute s poloeo, aby pi pieenej ýchlosti laku 5 k/h neznikol postanný tlak kolies na koľajnice s ozchodo,45? [9,4 c]. Čloek s tiažou G stojí na hojdačke a zoskočí z nej pod eleačný uhlo α počiatočnou ýchlosťou. Tiaž hojdačky je G a dĺžka zaesenej tyče hojdačky l. 4

24 Učte uhol ϕ, o ktoý sa hojdačka ychýli po zoskoku čloeka. [ ϕ accos( ) ] gh. Teleso s hotnosťou kg je zaesené na pužinoých áhach kabíne ýťahu. Učte, čo budú áhy ukazoať, a) ak sa ýťah pohybuje konštantnou ýchlosťou /s seo naho, b) ak sa ýťah pohybuje konštantný zýchlení /s seo naho, c) ak sa lano pethne a kabína padá oľný pádo. [98, N; 8, N; N]. Elektička idúca ýchlosťou k/h ôže zabzdiť do úplného zastaenia na dáhe 4,6. Učte, aká je bzdná sila elektičky. Silu yjadite ako násobok tiaže elektičky. Pedpokladajte, že tať elektičky je odooná. [,5G] MECHANIKA SÚSTAVY HMOTNÝCH BODOV A TELESA Ťažisko sústay doch hotných bodo a je taký bod na ich spojnici, ktoý ju delí obáteno poee k ich hotnostia. s T s l l Polohoý ekto ťažiska pe da hotné body + T + Polohoý ekto ťažiska sústay hotných bodo (celkoá hotnosť ) a jeho kateziánske súadnice i i i T i i i i i T T i i i y T i y i i z T i z i i Polohoý ekto ťažiska telesa so spojite ozloženou hotnosťou T d kde hotný eleent d ρdv ôžee yjadiť poocou hustoty telesa ρ a objeoého eleentu dv. Kateziánske súadnice ťažiska sú 5

25 T d y T yd z T zd Dokonale tuhé teleso je teleso, ktoé za pôsobenia onkajších síl neení soj ta. Sústaa hotných bodo (teleso) sa pohybuje tak, že jeho ľubooľný zložitý pohyb ožno ozložiť na postupný a otačný pohyb. I. ipulzoá eta o postupno pohybe ťažiska ( F F i, p i i ) dp F dt Súčet šetkých onkajších síl pôsobiacich na sústau hotných bodo sa oná časoej zene celkoej hybnosti sústay. Ťažisko sústay hotných bodo sa pohybuje tak, ako keby celá hotnosť bola sústedená ťažisku a šetky sily pôsobili ťažisku. II. ipulzoá eta - pohyboá onica otačného pohybu sústay hotných bodo (tuhého telesa) zhľado k osi otácie (ω je uhloá ýchlosť telesa, ε je uhloé zýchlenie telesa) db M dt M F je celkoý oent sily, b p je celkoý oent hybnosti sústay (telesa), je polohoý ekto pôsobiska ektoa sily alebo hybnosti zhľado k osi otácie. Zákon zachoania oentu hybnosti - celkoý oent hybnosti izoloanej sústay je konštantný b i ii konšt. i Pe otáciu telesa s oento zotačnosti J uhloou ýchlosťou ω zýchlení ε platia pohyboé onice tae b Jω M J ε Kinetická enegia otujúceho tuhého telesa i i a uhloý Ek Jω kde J je oent zotačnosti telesa. Ak i je zdialenosť hotného bodu s hotnosťou i od osi otácie, poto J i i Pe teleso so spojite ozloženou hotnosťou 6

26 J d Steineoa eta uožňujúca učiť oent zotačnosti telesa zhľado k osi otácie, ktoá nepechádza ťažisko J J T + a je celkoá hotnosť telesa, a je zdialenosť ťažiska od osi otácie, J T je oent zotačnosti telesa zhľado k osi, ktoá pechádza cez ťažisko, J je oent zotačnosti telesa zhľado k onobežnej osi, ktoá nepechádza ťažisko. Moenty zotačnosti niektoých hoogénnych telies Teleso Os otácie Moent zotačnosti Tenká tyč ľubooľného pieezu Kolá k tyči na jej konci s dĺžkou l J l Tenká tyč ľubooľného pieezu Kolá k tyči jej stede s dĺžkou l J l Dutý alec s poloei, Geoetická os alca J + Tenký pstenec s poloeo Cez sted pstenca kolo J k jeho oine Plný alec s poloeo Geoetická os alca J Plná guľa s poloeo Os gule ťažisku J 5 ( ) RIEŠENÉ PRÍKLADY Píklad : Z tenkej hoogénnej kuhoej dosky s poloeo R 5 c se yezali kuhoý oto s poloeo c tak, že sted yezanej časti je oči stedu pôodnej kuhoej dosky posunutý o d c. Učte súadnice ťažiska tohoto útau. Riešenie: Úta ozdelíe na časti s plošnýi obsahi π a π(r ). Obe časti ajú onakú hustotu. Do stedu dosky s poloeo R dáe začiatok súadnicoej sústay, zhľado na ktoú budee učoať polohu ťažiska. Časť s plošný obsaho π á ťažisko bode T (d,), časť s plošný obsaho π(r ) á ťažisko bode T( T,) a ťažisko plnej dosky je bode T (*,). Hľadáe súadnicu T. Úlohu iešie ako sústau doch hotných bodo T, T. Súadnica ťažiska T je * a súčasne platí + + d + T + 7

27 y R T T T T d Vzhľado na syetiu útau a oľbu súadnicoej sústay platí ( ) R T + d R d 9 T, 56 c R 6 Súadnice ťažiska T sú y T a T,56 c (ľao od stedu plnej kuhoej dosky). Píklad : Guľôčka s hotnosťou 5 g otuje kuhoo žliabku s poloeo R,5 konštantnou uhloou ýchlosťou zodpoedajúcou fekencii f Hz. Za aký čas zäčší oent síl M 4π. - N uhloú ýchlosť guľôčky tojnásobne? Tenie zanedbajte a guľôčku poažujte za hotný bod. Riešenie: Použijee zťahy pe oent sily M a oent hybnosti b db M b J ω dt kde J je oent zotačnosti. Spojení týchto zťaho dostanee ω Jdω ω Po integoaní J t t Mdt ( ω ω ) M ( t ) J π ( f f ) M t t 8

28 J π f Z toho pe časoý inteal dostanee t. M Pe oent zotačnosti guľôčky, ktoú poažujee za hotný bod, zhľado na os pechádzajúcu stedo kuhoej dáhy platí J R. Takže t R π f M 4πf R M 4π..5..,5 4π,75 s Píklad : Učte oent zotačnosti tenkej hoogénnej tyče s pieezo S, s hotnosťou a dĺžkou l, ktoej os otáčania ide stedo tyče kolo na jej pozdĺžnu os. Riešenie: o d l/ l/ Pe oent zotačnosti eleentánej časti tyče, ktoej zdialenosť od osi je, a ktoej húbka je d, platí dj d d l d ρ dv Sd Sd V Sl Pe celkoý oent zotačnosti tyče tak dostanee l d J l l l l dj d l + l l 4 4 l l l l Píklad 4: Vypočítajte oent zotačnosti hoogénneho dutého alca zhľado na jeho geoetickú os, ak poznáe onkajší poloe alca, nútoný poloe, ýšku alca h a hustotu ρ. Riešenie: Pe oent zotačnosti eleentáneho dutého alca platí dj d ρdv ρπdh 9

29 d h Celkoý oent zotačnosti alca dostanee integáciou J dj d πρ h 4 d πρh 4 πρ h [ ] Petože πρ h ( ) ( ) J +, pe oent zotačnosti alca platí Píklad 5: Na alci s hotnosťou M a s poloeo R je nainuté lano, na konci ktoého je zaesené záažie s hotnosťou. Vypočítajte, s aký zýchlení sa bude záažie pohyboať, keď odpo postedia a tenie zanedbáe. Riešenie: R M F a h g Pe oent zotačnosti alca platí MR J.

30 Zo zákona zachoania enegie sa potenciálna enegia záažia peení na kinetickú enegiu posuného pohybu záažia a kinetickú enegiu otačného pohybu alca. Platí gh + Jω Veľkosť obodoej ýchlosti bodoch na pochu alca je totožná s ýchlosťou, ktoou klesá záažie. Uhloú ýchlosť otáčania alca yjadíe ω. Poto platí R gh + MR R Pedpokladáe onoene zýchlený pohyb záažia. Poto pe ýšku záažia a ýchlosť platí at h at Po dosadení dostanee g at a t + 4 MR a t R Po úpae g a + Ma. Z toho pe zýchlenie platí a g M + Píklad 6: Valec s tiažou G a s poloeo sa otáča okolo geoetickej osi uhloou ýchlosťou ω. Vypočítajte, akou uhloou ýchlosťou ω sa usí otáčať alec okolo osi, ktoá pechádza jeho pochoou piakou, aby sa jeho kinetická enegia nezenila. Riešenie: Kinetickú enegiu alca zhľado k osi, ktoá pechádza ťažisko yjadíe E k Jω ω 4 G g ω kde oent zotačnosti alca J. Kinetickú enegiu alca otáčajúceho sa okolo osi, ktoá pechádza jeho pochoou piakou učíe zťaho

31 J ω E k kde oent zotačnosti J učíe poocou Steineoej ety J J + + Po dosadení G E k 4 g ω ω Z onosti takto učených kinetických enegií yplýa pe uhloú ýchlosť ω G ω 4 g G 4 g ω ω ω ÚLOHY. Učte súadnice T, y T ťažiska olekuly ody, ktoú poažujee za sústau hotných bodo s hotnosťai, ležiacich oine y. Platí a 9,57. -, α 4,5,, 6. y a α/ α/ a [; 6,5. - ]. Nájdite polohu ťažiska hoogénnej tenkej tyče s dĺžkou l. d d l [ T l ]. Na otáčaej stoličke sedí čloek s oento zotačnosti J 6 kg a otáča sa uhloou ýchlosťou ω,5 s -. V upažených ukách o zdialenosti 8 c á de činky s hotnosťai 4 kg. Ako sa zení uhloá ýchlosť, keď čloek pitiahne činky na zdialenosť c? Tenie a oent sily zhľado ku stoličke neuažujee. [,9 s - ]

32 4. Nájdite polohu ťažiska hoogénneho telesa tau pologule s poloeo R. y dy R y [ T ; y T R 8 ] 5. Zotačník s oento zotačnosti 4 kg sa oztáča. Za aký čas dosiahne fekenciu 48 otáčok/in, ak naň pôsobí oent sily N? [8,7 s] 6. Vypočítajte polohu ťažiska setloetu tae otačného paaboloidu, ktoý znikne otáciou paaboly 4y okolo osi y, keď okajoý piee setloetu je 8 c. y 4 4y 4 [,4 c] 7. Hoogénne teleso tau otačného alca sa otáča okolo geoetickej osi. Učte hodnotu oentu onkajších síl zhľado na os otáčania, keď sa hodnota oentu hybnosti telesa zhľado na túto os zení za čas t 5 s z b na b,57 kg s -. [,4 N ] 8. Na teleso s hotnosťou kg s počiatočnou ýchlosťou i j + 6k pôsobí F 5 t i tk +. Aká je eľkosť ýchlosti telesa a jeho peenliá sila ( ) j kinetická enegia čase t 6 s? [5 s - ;,5 J] 9. Vypočítajte, akú pácu ykonala sila F ( y) i + ( y y)j, ktoá peiestnila časticu po paabole danej paaetickýi onicai t, y t z bodu M (,) do bodu M (-,l). [ 4 5 J]. Valec s poloeo 5 c isí na doch láknach, ktoé sú nainuté po jeho obode, a pádo peletí dáhu. Akú uhloú ýchlosť á alec na konci tejto dáhy a aký čas je k tou potebný? [, s - ;,78 s]. Učte oent zotačnosti hoogénnej kuhoej dosky s hotnosťou kg a s

33 poloeo c zhľado na jej geoetickú os. [ - kg ]. Vypočítajte oent zotačnosti tyče s dĺžkou l a hotnosťou zhľado na os otácie kolú na geoetickú os tyče, ktoá a) pechádza koncoý bodo tyče, b) pechádza stedo tyče. [ J l ; J * l ]. Záažie s tiažou G 6 N zaesené na osi s pieeo d 4 c oztočí zotačník s tiažou G N s pieeo d 6 c. Koľko otáčok dosiahne zotačník, ak záažie klesne o dĺžku h c? Akú ýchlosť á záažie toto bode? Moent zotačnosti osi zanedbáe. [, s - ;,46 /s] 4. Zotačník s oento zotačnosti 4 kg sa dôsledku pôsobenia sily s oento sily N začal onoene zýchlene otáčať. Učte kinetickú enegiu zotačníka po uplynutí s od začiatku pohybu. [5 J] 5. Miešačka sa otáča oľne okolo zislej osi onoene uhloou ýchlosťou ω a á oent zotačnosti zhľado na os otáčania J. Do iešačky začnee nalieať odu, pičo sa oent zotačnosti zení každú sekundu o hodnotu J. Učte uhloú ýchlosť a uhloé zýchlenie iešačky od začiatku nalieania ody. J ω J Jω [ ω ; ε ] J + Jt ( J ) + Jt 6. Vypočítajte hustotu hoogénneho alca, ktoý otuje okolo sojej geoetickej osi uhloou ýchlosťou s - a jeho kinetická enegia je J. Poloe alca je, a jeho ýška,5. [566 kg - ] 7. Koleso s poloeo,5 a oento zotačnosti kg otuje s fekenciou 8 otáčok za inútu. Vypočítajte, aká eľká sila usí pôsobiť na jeho obode, aby ho zastaila za inútu. [5,6 N] 8. Guľa s hotnosťou kg a s poloeo c otuje okolo osi pechádzajúcej ťažisko. Uhloé pootočenie gule záislosti od času yjaduje onica ϕ At + Bt, kde A 4 s -, B s -. Vypočítajte eľkosť oentu sily pôsobiaceho na guľu čase s. [, N ] 9. Akú ýchlosť dosiahne hoogénna guľa s hotnosťou, ktoá sa kotúľa bez tenia po naklonenej oine z ýšky h? [ gh 7 ]. Vypočítajte zýchlenie ťažiska hoogénnej gule, ktoá sa alí (bez kĺzania) po naklonenej oine s uhlo. Počiatočná ýchlosť gule je oná nule. Vypočítajte to isté pe hoogénny alec. [,5 s - ;,96 s - ]. Vypočítajte, ktoo bode usíe upeniť hoogénny kuhoý disk, aby jeho oent zotačnosti zhľado na os otácie pechádzajúcu týto bodo kolo k oine disku bol oný J R ( je hotnosť disku, R je jeho poloe). [bod o zdialenosti,77r od stedu disku] 4

34 TEPELNÝ POHYB Tepelný pohyb je zláštny pípado echanického pohybu, ktoý ykonáajú šetky základné častice nášho seta - atóy, olekuly, elektóny, potóny, neutóny. Stedná kadatická ýchlosť s olekúl plynu s i n i n i n i je i-ta olekula plynu, i je ýchlosť tejto olekuly, n je celkoý počet olekúl plynu. Z podobnejších ýpočto pe stednú ýchlosť olekúl jednoatóoého plynu yplýa kt s alebo RT s M k R N A je Boltzanoa konštanta, R je olána plynoá konštanta, T je teplota plynu, N A je Aogadoa konštanta, je hotnosť plynu a M je olána hotnosť plynu. Stedná kinetická enegia e k olekúl plynu i e k kt i je počet stupňo oľnosti olekuly, pičo i pe jednoatóoú olekulu, i 5 pe dojatóoú olekulu a i 6 pe iacatóoú olekulu. Tlak p olekúl jednoatóoého plynu na steny nádoby p n s p nek n je počet olekúl jednotkoo objee plynu, je hotnosť olekúl plynu, e k je stedná kinetická enegia plynu. Teplo Q, ktoé látka s hotnosťou a špecifickou tepelnou kapacitou c pijía pi zene teploty z T na T Q T T cdt Pi konštantno a c platí ( ) Q c T T Špecifická tepelná kapacita c c dq dt 5

35 Molána tepelná kapacita C (n je počet ólo) dq C n dt Boyleo-Maiotto zákon platí pe izoteický dej za podienky p V pv konšt. Gay-Lussaco zákon pe izobaický dej za podienky p konšt. T konšt. V V T T Gay-Lussaco zákon pe izochoický dej za podienky V konšt. p p T T p, T sú tlak, obje, teplota plynu na začiatku teodynaickej zeny a p, V, T sú V, staoé eličiny na konci teodynaickej zeny. Staoá onica ideálneho plynu pv pv T T pv nrt p V R je olána plynoá konštanta a T Vnútoná enegia U pe n ólo plynu n je nožsto ólo plynu. M du nc dt CdT c M dt kde C je olána tepelná kapacita plynu pi konštantno objee a c je špecifická tepelná kapacita plynu pi konštantno objee. Páca A (objeoá), ktoú ykoná plyn pi eleentánej atnej zene sojho objeu poti onkajší silá A V V pdv I. teodynaická eta dq du + da nc dt + pdv 6

36 Izochoická zena: plyn pijía (odozdáa) enegiu len postednícto tepla dv da dq du Q du U U Izoteická zena: plyn šetko teplo (pácu) dodané z onku peení na echanickú pácu (teplo) dt du dq da Q da V V pdv Izobaická zena: teplo pijaté plyno sa spotebuje na zenu nútonej enegie a na ykonanie páce dp dq du + da nc dt + pdv dq dh kde dh je zena entalpie plynu, pičo platí entalpia H U + pv. Adiabatická zena: páca ykonaná plyno sa oná úbytku nútonej enegie dq da du A du U U Poissonoa onica pe adiabatický dej pv κ p κ V konšt. Poissonoa konštanta κ C C p Mayeoa onica yjaduje súislosť edzi olánou tepelnou kapacitou plynu za stáleho tlaku a stáleho objeu C p C R n c c R p R M II. teodynaická eta Neôžee zostojiť talo pacujúci tepelný stoj, ktoý by nespôsoboal nič iné, len odobeal teplo zo zásobníka a konal echanickú pácu. 7

37 Účinnosť η ideálneho tepelného stoja (T je teplota ohieača a T je teplota chladiča) η T T T Entopia S dq ds ds T Celkoá zena entopie plynu pi zene staoých eličín z počiatočného stau () do konečného stau () je S dq S nr ln + nc ln T V V T T Pi atných adiabatických dejoch sa entopia plynu neení. Pi šetkých neatných dejoch, ktoé pebiehajú sústaách tepelne izoloaných od okolia, sa ich entopia zäčšuje. RIEŠENÉ PRÍKLADY Píklad : Stedná kadatická ýchlosť jednoatóoých olekúl plynu je s 8 s -. Koľko olekúl obsahuje kg tohoto plynu, keď jeho teplota je 7 C? Riešenie: Pe stednú kadatickú ýchlosť jednoatóoých olekúl plynu pi teplote T platí RT s M Odtiaľ pe hotnosť jedného ólu plynu M dostanee RT M s Počet ólo plynu ypočítae zo zťahu n M RT s Tento ýsledok dosadíe do staoej onice a dostanee 8

38 s pv nrt s RT RT Pe tlak plynu súčastne platí p nkt, kde k je Boltzanoa konštanta a n je počet častíc plynu objeoej jednotke. V objee V pe počet častíc poto platí n pv kt s kt.8.,8.. 5,5. 5 Píklad : Vypočítajte ako sa zení stedná kinetická enegia olekúl agónu s hotnosťou g, keď pi zachoaní stáleho objeu dodáe teplo Q,5. J. Riešenie: Molána hotnosť agónu je M 9,9 kg kol -. Keď plyn neení soj obje, enegiu získaa len postednícto tepla dodáaného zonku. Pijatí tepla sa zyšuje nútoná enegia plynu o U podľa zťahu Q U. Súislosť edzi nútonou enegiou plynu s hotnosťou a stednou kinetickou enegiou yjaduje zťah U n N A e k kde N A je Aogadoa konštanta N A 6,. 6 kol -, n je počet kiloólo plynu a e k je stedná kinetická enegia.. Petože agón je jednoatóoý plyn s počto stupňo oľnosti i, stedná kinetická enegia je e k kt (k je Boltzannoa konštanta k,8. - J K - ) a nútoná enegia U M N A kt Poto Q U N k T N A M A M a z toho pe zenu stednej kinetickej enegie platí e k e k MQ N A,9.,5.,.6,. 6,4. 6 J Píklad : Vyjadite olánu hotnosť a počiatočný obje plynu, ktoý se izoteicky stlačili, ak na konci stlačenia bol tlak n násobný zhľado na pôodný tlak p. Plyn á hotnosť a teplotu T. Páca, ktoú je potebné pi stláčaní ykonať, á hodnotu A. 9

39 Riešenie: Neznáy počiatočný obje plynu označe V. Petože sa jedná o izoteický dej, konečný obje V učíe poocou Boyleoho Maiottoho zákona p V pv pnv V n V Pácu, ktoú ykonajú onkajšie sily, yjadíe zťaho A V V pdv p V V V dv V p V [ lnv ] V V p V V ln V p V p ln np p V ln n Pe počiatočný obje V odtiaľ dostanee V p A ln n Neznáu olánu hotnosť M yjadíe poocou staoej onice p V M A p p ln n RT M RT Poto M RT ln n A Píklad 4: Valcoý zotačník s hotnosťou kg a s poloeo c oztočený na fekenciu f Hz bol zabzdený ponoení do olejoého kúpeľa. Vypočítajte, ako sa zenila entopia oleja, keď jeho hotnosť je kg a špecifická tepelná kapacita c 8 J kg - K -. Teplota oleja ped ponoení zotačníka ala hodnotu t C. Píspeok zotačníka ku zene entopie zanedbajte. Riešenie: Ped ponoení do oleja al zotačník kinetickú enegiu E k J 4 ω 4π f π f Zabzdení sa celá jeho kinetická enegia peenila na teplo, ktoé pijal olej. Platí Q c ( T T ) π f 4

40 Olej sa zohial na teplotu T π f T + c T T π f + ct Zenu entopie učíe z definície S dq cdt T S S c ln T T T T T Po dosadení pedtý yjadených zťaho platí S c π f + + π.5.., ln.8.ln,684 J K ct.8.9,5 Píklad 5: Vo alci s piesto a s ýškou h 5 c je zduch s teplotou C a s tlako p 5 Pa. Ako sa zení tlak a teplota zduchu, ak pi adiabaticko stlačení zduchu sa piest o alci posunie o h c. Poissonoa konštanta zduchu κ,4. Riešenie: Adiabatický dej pebieha tepelne izoloanej sústae, pičo platí onica κ κ V pv p Objey zduchu ped a po stlačení sú V h V ( h h) π π Tlak zduchu po stlačení yjadíe a ypočítae p V p V κ π h p π ( h h) κ h p h h κ,4 5,5.,5, p,. 5 Pa Pe adiabatický dej platí edzi objeo a teplotou zťah T T V V κ 4

41 Pe teplotu po stlačení poto dostanee κ,4 V,5 T T 9,5 6,5 K 87,5 C. V, Píklad 6: Héliu s objeo V. - zäčšilo pi stálo tlaku p,6. 5 Pa soj obje na dojnásobný. Vypočítajte teplo potebné na túto zenu, keď Poissonoa konštanta hélia κ,67. Riešenie: Platí. teodynaická eta tae dq CV dt + M pdv Pe konečnú staoú zenu, pi ktoej ostáa konštantný tlak p p a obje sa zäčší na dojnásobný V V, po integácii dostanee Q CV + M ( T T ) pv Podľa staoej onice ôžee šak yjadiť, že T T M M p V R pv R Po dosadení poto potebné teplo pv R Q C R V CV + R pv + pv pv R Poto s yužití Mayeoho zťahu C κ dostáae p C V C C R a definície Poissonoho koeficientu p V C p Q R κ,67 5 p V pv,6.. J 55 κ,67 J ÚLOHY. Vo alci s pohybliý piesto je 6 g odíka s teplotou 7 C a tlako 4,4. 5 Pa. Stlačení na / pôodného objeu sa ynaložila páca,5.l 5 J a súčasne chladení sa odiedlo teplo 5,95. 4 J. Učte teplotu a tlak odíka po stlačení, keď špecifická tepelná kapacita odíka je,. 4 J kg - K -. 4

42 [548 K;,6. 6 Pa ]. Pi izoteicko deji klesol tlak ólu plynu z hodnoty,. 5 Pa na,. 5 Pa. Akú pácu ykonal plyn pi teplote C? [5 J]. V uzatoenej nádobe s objeo l je 4 kg stlačeného kyslíka pi teplote 5 C. Vypočítajte jeho tlak. Plynoá konštanta R 84 J kol - K -. [5 MPa] 4. Vypočítajte, pi akej teplote zaujía plyn pi konštantno tlaku / objeu, aký al pi teplote C. [ 9,5 C] 5. Vo alci s piesto je kyslík, ktoého počiatočný sta je učený eličinai p 5 Pa, V,6, t 7 C. Vypočítajte hotnosť plynu a počet kiloólo plynu. [,77 kg;,4] 6. Boba obsahuje pi teplote 7 C a tlaku 4,. 5 Pa stlačený plyn. Vypočítajte, aký tlak bude ať plyn, ak poloičné nožsto plynu ypustíe a teplota pito klesne o 5 C. [96 kpa] 7. Ak ohejee o 5 C plyn uzatoenej nádobe, zýši sa jeho tlak o 4 %. Vypočítajte počiatočnú a konečnú teplotu plynu. [ C; 5 C ] 8. Vzduchu s hotnosťou,5 kg a s teplotou 5 C se dodali pi stálo tlaku 9,8. 4 J tepla. Vypočítajte, na akú teplotu sa zduch ohial. Špecifická tepelná kapacita zduchu je 76 J kg - K -, olána hotnosť 8,6 kg kol -. [ C] 9. Koľko pay s teplotou C teba piiesť do 8 l ody s teplotou C, aby sa oda dostala do au? Špecifická tepelná kapacita pay je 486 J kg - K -, skupenské teplo ypaoania je,5. 6 J kg -. [6 kg]. Vypočítajte, aké nožsto ľadu s teplotou C usíe ziešať so 6 kg ody s teplotou 9 C, aby ýsledná teplota ody kaloieti bola 5 C. Tepelnú kapacitu kaloieta zanedbáe. Špecifická tepelná kapacita ody je 486 J kg - K -, skupenské teplo topenia je,. 5 J kg -. [6 kg]. Do pece se ložili platinoú guľu o hotnosti g. Hneď po ybatí z pece se guľu ložili do osadzného kaloieta o hotnosti g, ktoý obsahuje kg ody teploty C. Učte teplotu pece, ak sa teplota ody ustálila na 4 C. Špecifická tepelná kapacita platiny je,9 J kg - K -, osadze,4. J kg - K -. [88,4 C]. Vypočítajte, akou ýchlosťou usí naaziť oloená guľôčka na pekážku, aby sa ohiala o C. Pedpokladáe, že pi náaze sa poloica kinetickej enegie zenenej na teplo spotebuje na ohiatie guľôčky. Špecifická tepelná kapacita oloa je,. J kg - K -. [ s - ]. Jeden ól plynu pi izoteickej epanzii pi teplote 7 C ykonal pácu,5 kj. Koľkokát sa zäčšil jeho obje? [-kát] 4. Poocou kinetickej teóie plyno učte špecifickú tepelnú kapacitu pi stálo objee 4

43 pe dusík 4 N. Plynoá konštanta R 84 J kg - K -. [74, J kg - K - ] 5. Pi akej teplote je stedná kadatická ýchlosť olekúl dusíka poloičná, ako je pi teplote C? [ C] 6. Vypočítajte pácu plynu pi izobaicko ohiatí,6 kg kyslíka o C. [4,57 kj] 7. Vypočítajte, aká je stedná kadatická ýchlosť a stedná kinetická enegia olekúl dusíka pi teplote C. Aogadoa konštanta N A 6,.l 6 kol -, plynoá konštanta R 84 J kg - K -. [9, s - ;,5. - J] 8. Hustota zduchu pi teplote 7 C a tlaku,65 kpa je,5 g/l. Aká je hustota zduchu pi tlaku, kpa a teplote C? [,9 g/l] 9. Teplota zduchu klesne na poloicu, keď sa zduch adiabaticky ozpína na dojnásobnú hodnotu sojho počiatočného objeu. Aká je počiatočná teplota zduchu? (Poissonoa konštanta κ,4). [56,6 C]. kg zduchu pi teplote C a tlaku,5. 5 Pa adiabaticky epanduje a jeho tlak klesne na,.5 Pa. Učte ýslednú teplotu zduchu a eľkosť páce, ktoá sa ykoná piebehu epanzie. Poissonoa konštanta κ,4; špecifická tepelná kapacita je 9 J kg - K - ; olána hotnosť 8,96 kg/kol. [ 4, C;,47. 4 J]. Teplota pay, ktoá pichádza z paného kotla do alca tepelného otoa, je C a teplota chladiča je 4 C. Akú aiálnu pácu ykoná oto pi jedno obehu, ak piádzané teplo je 486 J? [47,47 J]. kg kyslíka s počiatočnou teplotou C a tlako 5 Pa je stlačený na tlak. 6 Pa. Vypočítajte pácu ykonanú pi izoteickej a adiabatickej kopesii. [,8. 5 J;,58. 5 J]. Vypočítajte, ako sa izobaicky a izochoicky zení entopia g dusíka, keď ho ohejee z teploty C na C (špecifická tepelná kapacita je 74 J kg - K -, Poissonoa konštanta κ,4). [,54 J K - ;,65 J K - ] 4. Dokážte, že celkoá zena entopie ideálneho plynu Canotoo cykle je nuloá. MECHANIKA IDEÁLNYCH TEKUTÍN Ideálna kapalina je nestlačiteľná a nezniká nej nútoné tenie. Základná onica hydostatiky súčet hydostatického tlaku a potenciálnej enegie jednotkoého objeu kapaliny je konštantný p + ρ V konšt. ρ je hustota kapaliny a V je potenciál siloého poľa. Hydostatický tlak p kapaline je sila, ktoá pôsobí na plochu kapaliny 44

44 df p ds Pascalo zákon tlak kapaline pôsobí o šetkých seoch onako p konšt. Tlak p hĺbke h pod pocho kapaliny (g je tiažoé zýchlenie) p ρgh Toicelliho zťah učuje ýtokoú ýchlosť kapaliny otoo z nádoby hĺbke h pod pocho kapaliny plyo lastnej tiaže kapaliny gh Rozdiel tlako doch ôznych iestach kapaliny (V a V sú potenciály siloého poľa týchto iestach kapaliny) p ( V ) p ρ V Rozdiel tlako doch ôznych iestach otujúcej kapaliny (, sú zdialenosti týchto iest od osi otácie, ω je uhloá ýchlosť otácie) p p ω ρ ( ) Ak kapalina otuje gaitačno poli, je celkoý potenciál o zdialenosti od osi otácie a o ýške h oný V hg ω. Ronica otačného paaboloidu, ktoý zauje hladina otujúcej kapaliny je (h je ýška hladiny kapaliny osi otácie) h h + g ( ) h ω Benoulliho onica yjaduje, že pi ustáleno neíio púdení ideálnej kapaliny je súčet kinetickej a potenciálnej enegie objeoej jednotky kapaliny a tlaku onaký ρ ρv + + p Ronica kontinuity S S konšt. 45

45 S a S sú da ôzne pieezy tubice, a sú ýchlosti púdenia kapaliny týchto pieezoch. Stokeso zákon F 6πη F je odpo, ktoý kladie kapalina pohybu telesa, je poloe telesa guľoého tau, η je iskozita a je ýchlosť pohybujúceho sa telesa. Hydostatická ztlakoá sila F VZ F VZ ( h h ) ρgsh ρ h gs ρh gs ρgs h je ýška káda ponoeného do kapaliny, V Sh je obje káda, ρsh ρv je hotnosť kapaliny onakého objeu, ako je obje ponoeného telesa, ρshg ρvg g je tiaž kapaliny tohto objeu. Achiedo zákon Na teleso ponoené do kapaliny pôsobí hydostatická ztlakoá sila, ktoej eľkosť sa oná tiaži kapaliny onakého objeu, ako je obje ponoenej časti telesa. RIEŠENÉ PRÍKLADY Píklad : Oceľoá kocka s hustotou ρ 7,7. kg - a dĺžkou hany l, je zaesená na siloee a celá je ponoená do ody s hustotou ρ kg -. Siloe je napínaný silou F 4 N. Učte, či je kocka plná, alebo á dutinu. Riešenie: F F VZ F VZ F G Sila F / F G F VZ je sila, ktoou by bol napínaný siloe. Tiaž F G g ρ Vg ρ l g a ztlakoá sila F VZ ρvg ρl g. Poto a číselne F / ρ l g - ρl g l g (ρ - ρ ) F /,.9,8 ( 7,7. ) 77 N Petože F / > F, usí ať oceľoá kocka dutinu. 46

46 Píklad : Akou ýchlosťou púdi oda s hustotou ρ kg - odoonou tubicou s plošný obsaho pieezu S 5 c, keď zúženo ieste s plošný obsaho pieezu S 5 c sa tlak zníži o p 5 kpa? Riešenie: Pi púdení ody tubicou platí Benoulliho onica a onica kontinuity p + ρ p + ρ S S Zenu tlaku yjadíe ako p p p, z čoho pe tlak šišej časti tubice platí p p + p Uplatnení Benoulliho onice a onice kontinuity dostanee p + ρ ρ S ρ S Z toho p.5.,5, s 4 S 8 5. ρ 4 5. S Píklad : Za aký čas ytečie poloica kapaliny z alcoej nádoby s pieezo S alý kuhoý otoo na dne s pieezo S, keď ýtokoý koeficient ε,6 a hladina kapaliny o alci je o ýške h? Riešenie: Podľa Toicelliho zťahu je ýtokoá ýchlosť čase, keď hladina klesla o hodnotu g ( h ) Objeoý eleent kapaliny, ktoá toto okažiku ytečie za eleentány čas dt, je dv εsdt a súčasne platí dv Sd. Poto ( h ) Sd ε S dt S g ε dt ε S Sd g ( h ) 47

47 h d h- S S Hľadaný čas dostanee integáciou S t εs g h d h εs S g [ h ] h S S ε g h + h S h S h t Sε g S g ε ( ) Píklad 4: Vo ýške h nad zeský pocho je tlak p 5,6 kpa. Učte ýšku h, keď pi zesko pochu je tlak p, kpa a hustota zduchu ρ,9 kg -. Pedpokladáe, že teplota zduchu je každej ýške onaká. Zenu tiažoého zýchlenia so zenou ýšky nad zeský pocho zanedbajte. Riešenie: Cieľo úlohy je ododiť funkciu pe yjadenie záislosti edzi ýškou nad pocho a eľkosťou atosfeického tlaku. Vychádzae zo zákona zachoania enegie. Z neho yjadíe, že súčet potenciálnej enegie objeoej jednotky plynu a atosfeického tlaku je každej ýške nad zeský pocho onaký ρ gh + p konšt. Deioaní tejto onice podľa peennej h dostanee ρ g dp dh dp + dh ρg Záislosť hustoty plynu od tlaku pi konštantnej teplote učíe z Boyleoho - Maiottoho zákona p V ρ ρ p V ρ ρ 48

48 p ρ ρ p dp Dosadení do onice ρg dostanee difeenciálnu onicu, ktoú iešie dh sepaáciou peenných a integáciou dp dh p dp ρ g g dh p p p ρ p p ρ dp g p p h dh ln p ln p ρ g h p h p p ln gρ p p p ln gρ p,., ln 9,8.,9 5,6 554,5 ÚLOHY. V piehadno úe je ýpustný oto tau paaboly, ktoej základňa je hĺbke h 7 a chol hĺbke h. Učte celkoú silu, ktoá tlačí na uzáe otou, keď šíka základne paabolického otou je. y dy h h [8,5. N ]. Do akej ýšky teba naplniť tubicu otuťou za atosfeického tlaku 5 Pa, aby na jej dne bol tlak 9,8 MPa? Hustota otuti,6. kg/. [7,8 ]. Zisle postaená tubica tau U á obida aená s onaký pieezo s obsaho 5 c čiastočne naplnené otuťou s hustotou,6 g/c. Učte, aký obje ody s hustotou g/c usíe naliať do jedného aena, aby oľná hladina otuti duho aene bola c nad spoločný ozhaní. 49