A) matematické a fyzikálne kyvadlo

Transcript

1 A) ateatické a fyzikálne kyvadlo (N /, 3; totožná úloha ako FYKOS XIX-II-). Mateatické kyvadlo dĺžky l je zavesené v kabíne lietadla a vykonáva alé haronické kity. Vypočítajte periódu alých kitov T kyvadla, ak sa lietadlo pohybuje v horizontálno sere s veľkosťou zrýchlenia a. (N 3/4, ) T π. Na ťažko vozíku je uiestnené (ateatické) kyvadlo zanedbateľnej hotnosti. Keď vozík stojí, kyvadlo kitá s periódou T. S akou periódou bude kitať kyvadlo, ak vozík pustíe po naklonenej rovine so sklono α? Hotnosť kolies vozíka neuvažujte. (N /3, 38) l + a T cosα 3. Teleso s hotnosťou M je uľový kĺbo pripevnené o stenu cez veľi ľahkú tyč s dĺžkou L. Táto je vo svojo strede upevnená na ľahkej niti dĺžky l. Telesu se udelili počiatočný ipulz v sere kolo na rovinu obrázku. Nájdite periódu alých kitov telesa. π l (FKS 997/998, B-.4) 4. Kovová tyč á na konci privarené valcovité závažie. Navyše á ešte prirobené dva brity, za ktoré sa dá tyč zvislo zavesiť a nechať kývať. Pri alých kitoch sa tyč správa ako fyzikálne kyvadlo. Zaujíavé ale je, že perióda kitov T je rovnaká pri zavesení za oba brity. Vypočítajte, aká je ich vzdialenosť. T 4π verzia ZS /3

2 (Hajko, III/77) 5. V akej vzdialenosti od stredu áe upevniť hooénnu kruhovú dosku s poloero R c, aby kitala ako fyzikálne kyvadlo s iniálnou periódou? (FKS 997/998, A-4.) R 7c 6. Hruška s hotnosťou H visí na stopke a kitá s periódou T,5 s. Jej ťažisko je od osi otáčania vzdialené l 6 c. Ako sa zení doba kitov, ak na spodok hrušky (d c pod jej ťažisko) dáe aličké závažie s hotnosťou z? (FKS 999/, A-4.) π T 4π l + ( l + d ) H z ( l + ( l + d ) ) 7. Maje kyvadlo, na konci ktorého je uľa naplnená vodou. Perióda alých kitov kyvadla je T. Teraz znížie teplotu tak, že voda zarzne. V ako poere oproti pôvodnej bude nová perióda kitov T? Pre jednoduchosť neuvažujte teplotnú rozťažnosť, hotnosť ule je zanedbateľná oproti hotnosti vody. (FYKOS XIII-II-) H T T z r + 5 l 8. (*) Mateatické kyvadlo s hotnosťou a dĺžkou l je uiestnené na vozíku. Vozík á hotnosť M a je voľne (bez odporových síl) pohyblivý po rovine. Určite periódu alých kitov kyvadla. (N 4/5, 45) T π l + 9. (*) Maje kyvadlo pozostávajúce z nehotného špaátu dĺžky l a hotného bodu zaveseného na konci. Akú veľkosť rýchlosti u treba touto hotnéu bodu udeliť, aby dopadol po oblúku do iesta závesu? Pohyb začína z rovnovážnej polohy a udelená rýchlosť je kolá na špaát. M ( 3 ) u + l verzia ZS /3

3 (FYKOS XIX-VI-). (**) Kyvadlové hodiny s hotnosťou M sú zavesené na dvoch dlhých rovnobežných lanách (viď obrázok). Kyvadlo sa skladá zo závažia s hotnosťou a ľahkej tyčky s dĺžkou l. a) Bude sa tento druh kukučkových hodín voči svoji súrodenco pevne zavesený na stenu oneskorovať alebo predbiehať? [predbiehať] b) Pokúste sa tento časový rozdiel vyčísliť. [ ] (FYKOS VIII-II-5). (**) Liftboy v rakodrape je perfekcionista, a preto si na stenu svojho výťahu zavesil presné kyvadlové hodiny, aby videl, kedy u končí pracovná doba. Doba pohybu výťahu so zrýchlení sero nahor a nadol je rovnaká, rovnako ako veľkosti zrýchlení. Bude ať liftboy pracovnú dobu kratšiu, dlhšiu alebo nebodaj rovnakú? [dlhšiu] B) voľné kity, vynútené kity (Hajko, VI/7). Určite aplitúdu A a fázovú konštantu φ netleného LHO, ak počiatočné podienky sú x() x, v() v a frekvencia pohybu je f. A x + v ; tϕ 4π f x v π. f verzia ZS 3/3

4 (doc. Ševčík) 3. Učiteľ chce na hodine fyziky predviesť reálne funujúci LHO, ktorého kity by boli popísané vzťaho π y ( t) Acost, A,. 3 a) Má k dispozícii uľôčku o hotnosti, k a sadu pružín. Pružinu s akou tuhosťou K á vybrať? [K,4 k.s - ] b) Aké poč. podienky y(), v() á zvoliť, aby bol pohyb popísaný uvedený vzťaho? [y (),6 ; v (), 3.s - ] (Hajko, VI/) 4. Aká je frekvencia netleného haronického pohybu hotného bodu s hotnosťou, k, keď aplitúda pohybu je A c a celková eneria je E J? E f 5, 35Hz π x (Hajko, VI/37) 5. Horizontálna doska koná haronický pohyb vo vodorovno sere s periódou T 5 s. Teleso, ktoré voľne leží na doske, začína kĺzať, keď aplitúda kitov dosiahne hodnotu A,5. Aký je koeficient statického trenia μ? 4π A µ, 8 T (Hajko, VI/9) 6. Horizontálna doska kitá vo vertikálno sere (hore dole) s aplitúdou A,75. Aká ôže byť axiálna frekvencia f kitania dosky, aby sa predet voľne položený na nej od nej neoddelil? (N 4/5, 33) f, 5756Hz π A 7. Plávajúca kocka s hranou a je do polovice ponorená v kvapaline. Aká je perióda kitov kocky, ak ju vychýlie v zvislo sere? Predpokladajte, že hladina je nekonečne veľká. verzia ZS 4/3 π a

5 (doc. Ševčík) 8. Nájdite rovnicu vertikálnych oscilácií telesa o tiaži G v pokojnej vode. Plocha telesa je S. V statickej rovnováhe bola telesu udelená rýchlosť v. Viskozitu zanedbajte. Sρ. ψ + ψ (Hajko, VI/8) 9. Preskúajte pohyb uľôčky s hotnosťou pozdĺž priaeho kanála cez stred hooénnej Zee s poloero R. Guľôčka je spustená bez začiatočnej rýchlosti, trenie a odporové sily zanedbajte. Určite čas t, za ktorý sa uľôčka dostane zo zeského povrchu do stredu Zee a rýchlosť v, ktorou prebehne stredo Zee. t π R κ. M 3,85 in; v κ. M R 7,9k. s (N /3, 9 odifikované, doc. Ševčík). Do U-trubice s prierezo S nalejee kvapalinu s hustotou ρ. Po ustálení hladiny je povrch kvapaliny v oboch raenách vo výške H nad dno. Za tohto stavu do jedného raena slabo fúknee a vytlačíe tak v druho raene kvapalinu nad rovnovážnu úroveň. Aká bude frekvencia voľných kitov? (MMF, s. 65). V sklenenej trubici konštantného prierezu je kvapalina s hustotou ρ a dĺžkou kvapalinového stĺpca l (viď obrázok). Po vychýlení stĺpca z rovnovážnej polohy o l začne kvapalina v trubici kitať. Zanedbajte trecie a kapilárne sily a vypočítajte časový priebeh tejto výchylky. H h y l ( ) cos sinα + sin β. t l verzia ZS 5/3

6 (doc. Ševčík). Dva rezervoáre, každý s objeo V, sú spojené tenký potrubí o priereze S a dĺžke L. V celo systée je rovnaký plyn s tlako p. V strede potrubia je tenký piest o hotnosti, ktorý je voľne pohyblivý pozdĺž potrubia (viď obrázok). Prierez potrubia je S. Pokiaľ je piest v strede potrubia, čo je rovnovážna poloha, bude z oboch strán rovnaký tlak. Odvoďte pohybovú rovnicu piesta a frekvenciu jeho kitov. p S x + x V (Hajko, VI/) 3. Na isku hotnosti M, zavesenú na špirále s tuhosťou k, dopadne z výšky h závažie hotnosti a zostane na iske. Miska začne konať kitavý pohyb. Nájdite aplitúdu kitov isky. k + h ( M + ) k (MMF, s. 98) 4. Valček s poloero R, hotnosťou a oento zotrvačnosti I je spojený so stenou pružinai s tuhosťai k (viď obrázok). Určite periódu jeho kitov. π I + R k (N /3, 4) 5. O koľko sa posunie koniec nite (bod A), ak naň začnee pôsobiť silou veľkosti F sero nadol? Hotnosť kladky zanedbajte. 5F k verzia ZS 6/3

7 (N 3/4, 3) 6. Nehotná kladka je zavesená na niti cez dve pružiny tuhosti k a k (viď obrázok). O akú dĺžku sa posunie kladka, ak na ňu začnee pôsobiť silou veľkosti F? ( k k ) F + 4kk (N 8/9 3) 7. Maje tri rovnaké pružiny a jedno závažie. Najprv uiestnie pružiny vedľa seba a necháe na nich (všetkých naraz) kitať závažie. Naeriae periódu T. Poto pospájae pružiny jednu za druhou a závažie znova necháe kitať, tentoraz ale naeriae periódu T. Aký je poer periód T /T? 3 (FYKOS X-IV-4) 8. Máe dve pružiny s tuhosťai k a k. Aký bude poer periód kitov zaveseného závažia pri ich sériovo a paralelno zapojení? (viď obrázok)? T T seriovo parale ln e k + k kk verzia ZS 7/3

8 (FX, A5) 9. (**) Máe horizontálne upevnený valec s poloero r. Na ňo je navlečený prstenec s poloero R (pochopiteľne R > r) a hotnosťou M. Vypočítajte periódu alých kitov tohto prstenca (v jeho rovine), ak po valci neprešykuje. π (FKS 996/997, A-.3) ( R r ) 3. (**) Aká je perióda torzných kitov tenkého disku zaveseného na troch rovnobežných rovnako dlhých nitiach (s dĺžkou l) pravidelne roziestnených po jeho obvode (viď obrázok vpravo)? π l (FYKOS IX-II-3) 3. (**) Dva rovnaké valce s poloero R, ktorých osi sú rovnobežné a ležia vo vodorovnej rovine vo vzdialenosti a, rotujú opačnýi seri. Na tieto valce vodorovne položíe dosku dĺžky a s hotnosťou tak, že prečnieva viac vpravo než vľavo (viď obrázok vľavo). Medzi doskou a valco pôsobí statické trenie s koeficiento μ. Čo sa bude diať s doskou, pokiaľ: a) sú obvodové rýchlosti valcov rovnako veľké? [bude kitať s periódou a π ] µ b) je obvodová rýchlosť ľavého valca dvakrát väčšia než pravého valca? [detto] (doc. Ševčík) C) tlené oscilácie, viazané oscilátory 3. Teleso o tiaži G leží na hladkej horizontálnej doske a je upevnené zľava a sprava na pružinách s tuhosťai K a K (viď obrázok). Napíšte jeho pohybovú rovnicu. K + K x + x verzia ZS 8/3

9 (MMF, s. 66) 33. Teleso s hotnosťou je pripevnené na pružinách s tuhosťai k a k, ktoré sú druhý konco upevnené o pevnú stenu. V čase t s se ho vychýlili z rovnovážnej polohy do vzdialenosti l. Nájdite polohu telesa x x (t) v ľubovoľno čase. x l sin k + k π t + (N 4/5, 4) 34. Na dokonale hladkej vodorovnej podložke je pružina s tuhosťou k, na ktorej koncoch sú dve závažia s hotnosťai a. Aká bude perióda kitov sústavy, ak niektoré zo závaží vychýlie z rovnovážnej polohy? π k ( ) + (FKS 993/994, A-4.3) 35. (*) Máe dve rovnako veľké uľôčky s poloero r zavesené na rovnakých pružinkách s tuhosťou k. Hotnosti uľôčok sú a. Prvá uľôčka je ponorená vo vode, druhá vo vzduchu (viď obrázok), pričo koeficient odporu v i-tej látke je γ i. Určite poer /, ako po vychýlení uľôčok o rovnakú alú vzdialenosť: a) začnú kitať s rovnakou frekvenciou, ± γ k γ b) kitanie sa utlí za rovnaký čas. γ (FX, E9) 36. (**) Sao našiel N rovnakých teliesok s hotnosťai, N + pružiniek s tuhosťou k a jednu priaku. Pružinky teda pospájal za seba na priaku a edzi každé dve nasledujúce upevnil jedno teliesko. Začiatok prvej pružinky a koniec poslednej pevne zafixoval, ale telieska nechal voľne pohybovať po danej priake. (Na obrázku je nákres situácie pre N ). a) Určite periódu všetkých haronických pohybov, ktoré ôže sústava vykonávať, pre N. ω ω, ω 3ω ; ω k, T i π ωi verzia ZS 9/3

10 b) Určite periódu všetkých haronických pohybov, ktoré ôže sústava vykonávať, pre N 3. ω ω, ω k π ( + ) ω, ω ( ) ω ; ω, c) Kvalitatívne popíšte, čo sa bude diať pre väčšie hodnoty N. [ ] 3 T i ω i D) iné (N 9/, 5) 37. Aká je perióda kitov Newtonových uľôčok, t.j. sústavy 5 pružných oceľových uľôčok na závesoch tesne pri sebe? Perióda alých kitov jednej uľôčky je T. [ T ] (N /, 44) 38. Dve závažia s hotnosťai a sú spojené pružinou tuhosti k, ktorá á na začiatku pokojovú dĺžku. Závažia udelíe veľkosti rýchlosti v, v tak, ako na obrázku. Aké bude axiálne predĺženie pružiny? ( v + v ) 3k (N 5/6, 4) 39. Malý neskúsený Toáš našiel kúsok ľahko ohybnej krajčírskej uy, ktorej dĺžka v nenatiahnuto stave bola l. Hneď ako zistil, že ua sa pri naťahovaní sa správa ako pružina s tuhosťou k N. -, na jeden jej koniec priviazal alé závažie s hotnosťou,4 k a zatiaľ čo druhý zvieral pevne v ruke, natiahol uu vo vodorovno sere na dĺžku l. Poto závažie pustil. Za aký čas od tohto okaihu sa závažie dotkne Toášovej ruky? Pokles závažia pod vplyvo ravitácie je za takýto čas zanedbateľný. π + k,54 s verzia ZS /3

11 (N /, 34) 4. Dve trubice v tvare písena L s prierezo S sú oddelené prepážkou. Zvislé raeno je naplnené vodou do výšky h. Zrazu prepážku odstránie. Za aký čas t od odstránenia prekážky vytečie zo zvislého raena všetka voda? Trecie sily neuvažujte. π t h (N 3/4, 3) 4. Po rovine sa zotrvačnosťou pohybuje veľkosťou rýchlosti v veľi dlhý vlak s hotnosťou a dĺžkou l. V jedno okaihu začne vlak stúpať do kopca so sklono α. Postupne spoaľuje a zastaví sa presne v okaihu, keď polovica vaónov je na naklonenej rovine. Aký čas uplynul od začiatku jeho spoaľovania? (N /3, 35) t π sinα l 4. (*) Na obrázku je znázornená sústava dvoch telies s hotnosťai a, pričo obidve telesá sú pripevnené k pružine tuhosti k. Sústava je na začiatku v rovnováhe. O koľko usíe stlačiť horné teleso, aby sa počas pohybu odlepilo aj spodné teleso? (N /3, 48) ( ) + k 43. (*) V bode A horizontálneho disku, rotujúceho okolo vertikálnej osi, je pripevnená pružina, na ktorej druho konci je upevnená uľôčka B s hotnosťou. Tuhosť pružiny je k N.c -. Vzdialenosť OA je rovná 5 c a dĺžka pružiny x v neroztiahnuto stave je c. Na akú dĺžku x sa natiahne pružina pri rotácii disku s uhlovou rýchlosťou ω rad.s -? x ω x k ω (Poznáka: Nad získaný číselný výsledko (a následne nad celý riešení) sa poriadnejšie zayslite. V čo nastáva problé?.) verzia ZS /3

12 (N /3, 35) 44. (*) Stavbár Ďuro sa znova zasníval prechádzajúc sa po stavbe, keď si zrazu uvedoil, že je na konci tráu, ktorý práve začal zdvíhať žeriav. Ako sa á Ďuro na tráe pohybovať [t.j. nájdite x x(t)], aby trá zostal vo vodorovnej polohe a nezačal sa nakláňať? Trá visí na dvoch lanách neennej dĺžky L, ktoré sú upevnené na jeho koncoch (viď obrázok). t D L D t x cos ) ( (FKS 996/997, A-.) 45. (*) Na vodorovnú dosku položíe valec. Doska začne kitať s frekvenciou f Hz, koeficient trenia edzi valco a doskou je μ,. Aká ôže byť axiálna aplitúda y týchto kitov, aby valec neprešykoval? Ako bude vyzerať pohyb valca? [y ( ).. 3 f π µ ; zrýchlenie valca bude ať opačný ser ako zrýchlenie dosky] (FX, E3) 46. (**) Tina sa učí hrať na itare. Okre jej podanivého zvuku ju však zaujala aj skutočnosť, že keď si itaru naladí v teple doova a neskôr s ňou vyjde von do chladnej zasneženej noci, itara už neladí. Aby ste Tine vysvetlili, ako je to ožné, tak: a) Odvoďte vlnovú rovnicu pre strunu. ( ) ( ) ρ χ χ S T v t t x v t t x,,, b) Nájdite závislosť základnej frekvencie struny v závislosti od jej predĺženia ΔL. ( ) 8, ; L f E L L E L L v f ρ ε ρ ε c) Zistite, ako sa zení základná frekvencia struny, ak s itarou zájdee do treskúcej ziy s teplotou o ΔT enšou.. 8 L f E T f ρ α verzia ZS /3

13 Struna á dĺžku L,8 (jej časť na kobylke zanedbávae), prieer d,6, je zhotovená z ocele s hustotou ρ 8 k/ 3, odulo pružnosti E GPa a tepelnou rozťažnosťou α. -6 K - a na začiatku hrá s frekvenciou f. E) odhadovačky (FKS 999/, A-.3) 47. Navrhnite nejaký fyzikálny odel chôdze a na základe neho odhadnite jej veľkosť rýchlosti (a porovnajte ju so skutočnosťou). Aká bude rýchlosť chôdze na Mesiaci? [HINT: noha, ktorú presúvae pri chôdzi dopredu, sa správa ako fyzikálne kyvadlo ] [ ] (FKS 995/996, A-5.) 48. (*) Mucha letí veľkosťou rýchlosti v kolo do stredu pavučiny. Odhadnite, akú dráhu ešte prejde, ký ju pavučina úplne zabrzdí. Predpokladajte, že pavučina je dostatočne pevná, aby sa nepoškodila. [ ] F) príklady na zayslenie (FYKOS XVII -V-3) Baníci z Bane Handlová sa prekopali skrz celú Ze až do Tichého oceánu. Do vytvoreného tunelu začala tiecť voda. Vystrekne v Bani Handlová voda do vzduchu? Alebo to s vodou dopadne tak, ako s uľôčkou v úlohe č. 9 (teda začne v tuneli kitať)? [ ] verzia ZS 3/3