12. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΡΕΙΑΣ (PATH PLANNING)

Transcript

1 . ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΡΕΙΑΣ (PATH PLANNING).0 Εισαγωγή και Επισκόπηση Το ροµπότ είναι µηχανική συσκευή πολλαπλών εφαρµογών - παραδείγµατος χάριν, ένας βραχίονας χειρισµού, ένα χέρι µε πολλές αρθρώσεις και πολλά δάχτυλα, ένα όχηµα τροχοφόρο ή µε πόδια, µια πλατφόρµα ελεύθερη από κινηµατικούς περιορισµούς, ή ένας συνδυασµός αυτών - εξοπλισµένη µε επενεργητές και αισθητήρες υπό τον έλεγχο ενός συστήµατος υπολογισµού. Λειτουργεί σε έναν χώρο εργασίας µέσα στον πραγµατικό κόσµο. Αυτός ο χώρος εργασίας εποικείται από τα φυσικά αντικείµενα και υπόκειται στους νόµους της φύσης. Το ροµπότ εκπληρώνει αποστολές µε την εκτέλεση κινήσεων στο χώρο εργασίας. Σε αυτό το κεφάλαιο εξετάζουµε πως µπορούµε να δώσουµε στο ροµπότ την ικανότητα του προγραµµατισµού των κινήσεών του, δηλαδή να αποφασίζει αυτόµατα ποιες κινήσεις να εκτελέσει προκειµένου να επιτευχθεί ένας στόχος που διευκρινίζεται από τις αρχικές και τις τελικές διευθετήσεις στο χώρο φυσικών αντικειµένων. Η δηµιουργία αυτόνοµων ροµπότ είναι σηµαντικό εγχείρηµα στη Ροµποτική. Σαφώς απαιτεί την ανάπτυξη της δυνατότητας του αυτόµατου προγραµµατισµού των κινήσεων. Πράγµατι, εκτός από περιορισµένα και προσεχτικά κατασκευασµένα περιβάλλοντα, δεν είναι ρεαλιστικό να προσδοκούµε να περιγράψουµε ρητά στο ροµπότ όλες τις πιθανές κινήσεις που ίσως θα πρέπει να εκτελέσει προκειµένου να ολοκληρώσει τους ζητούµενους στόχους. Ακόµη και σε εκείνες τις περιπτώσεις όπου µια τέτοια περιγραφή είναι εφικτή, θα ήταν βεβαίως χρήσιµο να ενσωµατώσουµε εργαλεία αυτόµατου προγραµµατισµού κινήσεων σε συστήµατα προγραµµατισµού ροµπότ µη ελεγχόµενων από υπολογιστή. Αυτό θα επέτρεπε στο χρήστη να διευκρινίσει τους στόχους πιο επεξηγηµατικά, δηλώνοντας τι θέλει να γίνει παρά το πώς θα γίνει. εδοµένου ότι τα ροµπότ γίνονται πιο επιδέξια, η ανάγκη για εργαλεία προγραµµατισµού κινήσεων θα γίνει πιο αποφασιστική. Μια ακόµα διαδεδοµένη άποψη είναι ότι ο προγραµµατισµός κινήσεων είναι ουσιαστικά κάποιο είδος απλού ελέγχου σύγκρουσης. Ο προγραµµατισµός κινήσεων είναι πολύ περισσότερο από αυτό. Όπως θα δούµε σε αυτό το κεφάλαιο, παρουσιάζει µια απροσδόκητη ποικιλία όψεων, η απλούστερη από της οποίες εγείρει πιθανόν δύσκολα υπολογιστικά ζητήµατα. Στην πραγµατικότητα, το είδος λειτουργικής νοηµοσύνης που οι άνθρωποι χρησιµοποιούν ασυναίσθητα για να αλληλεπιδράσουν µε το περιβάλλον τους, το οποίο απαιτείται για την αντίληψη και τον προγραµµατισµό κινήσεων, αποδεικνύεται εξαιρετικά δύσκολο να αναπαραχθεί σε ένα πρόγραµµα υπολογιστή. Αυτό το κεφάλαιο είναι ταυτόχρονα µια εισαγωγή στον προγραµµατισµό κινήσεων ροµπότ και µια επισκόπηση του προβλήµατος προγραµµατισµού κίνησης. Επεξηγούµε αρχικά τις διάφορες πτυχές του προγραµµατισµού κινήσεων (.). Αυτή η απεικόνιση παρακινεί το επόµενο βήµα µας, τον καθορισµό ενός "βασικού προβλήµατος" που είναι κατά κάποιο τρόπο το απλούστερο χρήσιµο πρόβληµα προγραµµατισµού κινήσεων που µπορούµε να ερευνήσουµε (.). Χρησιµοποιώντας αυτό το πρόβληµα, παρουσιάζουµε την έννοια του χώρου σχηµατισµού (configuration space) (.3) και περιγράφουµε τις αρχές των κύριων υπολογιστικών προσεγγίσεων στον προγραµµατισµό κινήσεων (.4). Εισάγουµε έπειτα τις επεκτάσεις του βασικού προβλήµατος που θα µελετηθούν λεπτοµερέστερα αργότερα (.5). Ένα σηµαντικό ζήτηµα στον προγραµµατισµό κινήσεων είναι η υπολογιστική πολυπλοκότητα των αλγορίθµων γιατί είναι χρήσιµο να έχουµε κάποια προκαταρκτική ιδέα της εγγενούς πολυπλοκότητας των προβληµάτων που εξετάζουµε. Κατά τη διάρκεια των τελευταίων ετών, σηµαντικά αποτελέσµατα έχουν επιτευχθεί σε αυτό το θέµα. Κάνουµε

2 ανασκόπηση αυτών στην.6. Αναλύουµε επίσης τον αντίκτυπο αυτών των αποτελεσµάτων στο σχεδιασµό των λειτουργικών συστηµάτων, µε την πρόταση διάφορων οδηγιών για την απλούστευση των προβληµάτων και την εφαρµογή σχεδιασµών αυξηµένης πρακτικής αποδοτικότητας (.7). Ο προγραµµατισµός κινήσεων είναι ένα σηµαντικό πρόβληµα στη δηµιουργία των αυτόνοµων ροµπότ. εν είναι το µοναδικό. Αλληλεπιδρά µε άλλα σηµαντικά προβλήµατα, συµπεριλαµβανοµένου του ελέγχου κινήσεων σε πραγµατικό χρόνο, της αντίληψης και του προγραµµατισµού στόχου. Συζητάµε εν συντοµία αυτές τις αλληλεπιδράσεις στην.8. Τέλος, στην.9 παρουσιάζουµε πιο εκτενώς την µεθοδολογία δυναµικών πεδίων.. Πτυχές του προγραµµατισµού κινήσεων Θεωρούµε ένα ροµποτικό βραχίονα του οποίου στόχος είναι να συναρµολογήσει ένα σύνολο µεµονωµένων µηχανικών µερών. Υποθέτουµε ότι ο στόχος περιγράφεται και ως σύνολο µοντέλων των µερών, συµπεριλαµβανοµένης της γεωµετρίας τους και ίσως µερικών φυσικών ιδιοτήτων και ως ακολουθία χωρικών αναφορών [Latombe, 984]. Σχήµα. Αυτή η απλή κατασκευή καθορίζεται από τα πρότυπα 3 συνιστώντων µερών και από µια ακολουθία χωρικών αναφορών. Κάθε αναφορά µπορεί να εισαχθεί σαν ένα σύνολο στοιχειωδών αναφορών µεταξύ γεωµετρικών χαρακτηριστικών γνωρισµάτων, π.χ. "Η Έδρα Α του αντικ. είναι απέναντι στην έδρα Β του αντικ. ", "Ο άξονας C του αντικ. 3 εφαρµόζει στην οπή D του αντικ. " [Ambler & Popplestone, 975] [Mazer, 983]. Μπορεί έπειτα να µετατραπεί σε µια ποσοτική εσωτερική αντιπροσώπευση π.χ. "οµογενές µητρώο συντεταγµένων" που περιγράφει το µετασχηµατισµό µεταξύ καρτεσιανών συστ. συντετ. που συνδέονται στα αντικείµενα [Craig, 986]. Το σχήµα. επεξηγεί αυτήν την περιγραφή µε έναν απλό στόχο κατασκευής. Η ακολουθία καθορίζει τη σειρά στην οποία τα µέρη πρόκειται να συναρµολογηθούν. Κάθε αναφορά περιγράφει τη θέση ενός νέου µέρους στο τρέχον υποσυγκρότηµα. Ο αυτόµατος µετασχηµατισµός αυτής της ακολουθίας σε µια περιγραφή των κινήσεων του ροµπότ που θα εκτελεστούν είναι µια πιθανή εφαρµογή των µεθόδων που παρουσιάζονται στο κεφάλαιο. Ας αναλύσουµε το παράδειγµα λεπτοµερέστερα. Προκειµένου να συναρµολογήσει τα µέρη σύµφωνα µε τις εισαγόµενες αναφορές, το ροµπότ πρέπει διαδοχικά να πιάσει κάθε µέρος, να το µεταφέρει στο τρέχον υποσυγκρότηµα και να το τοποθετήσει στο υποσυγκρότηµα:

3 3 - Το πιάσιµο του µηχανικού µέρους απαιτεί την επιλογή της θέσης της πένσας του ροµπότ στο αντικείµενο και την δηµιουργία µιας πορείας προς αυτήν τη θέση. Η θέση πιασίµατος πρέπει να είναι προσιτή, πρέπει επίσης να είναι σταθερή και αρκετά γερή να αντισταθεί σε µερικές εξωτερικές δυνάµεις. Μερικές φορές, µια ικανοποιητική θέση πιασίµατος απαιτεί το αντικείµενο να πιαστεί, να αφεθεί και να ξαναπιαστεί. - H µεταφορά του µέρους απαιτεί να έχει υπολογιστεί η γεωµετρία µιας πορείας για το βραχίονα. εδοµένου ότι η κίνηση τυπικά θα εκτελεστεί σε υψηλή ταχύτητα, η πορεία πρέπει να αποφύγει οποιαδήποτε επαφή µε εµπόδια. Λόγω της ανακρίβειας στον έλεγχο κινήσεων, µπορεί ακόµη να πρέπει να εγγυηθεί κάποια ελάχιστη απόσταση από τα εµπόδια. - Η τοποθέτηση του µέρους στο υποσυγκρότηµα (ταίριασµα µερών) απαιτεί την επιλογή εντολών κινήσεων για την επίτευξη ενός στόχου µε υψηλή ακρίβεια σε έναν πολύ περιορισµένο χώρο. Γενικά, λόγω της αβεβαιότητας, µία µοναδική εντολή κινήσεων δεν είναι αρκετή. Αντί αυτής, µια στρατηγική κινήσεων που περιλαµβάνει διάφορες εντολές και που χρησιµοποιεί τις αισθητήριες εισαγωγές είναι απαραίτητη. Η προγενέστερη γνώση της χωρικής διευθέτησης του χώρου εργασίας του ροµπότ απαιτείται για να προγραµµατιστούν αυτές οι διαδικασίες. Παραδείγµατος χάριν, ο προγραµµατισµός µιας πορείας χωρίς συγκρούσεις απαιτεί τη γνώση του που βρίσκονται τα εµπόδια. Εάν η πλήρης γνώση είναι διαθέσιµη (µπορεί να έχει παρασχεθεί από το χρήστη ή από ένα σύστηµα σχεδιασµού µε τη βοήθεια υπολογιστή, ή να έχει ληφθεί µέσω της αντίληψης), προγραµµατισµοί κινήσεων µπορούν να παραχθούν πλήρως και να εκτελεστούν έπειτα. Εάν αυτό δεν ισχύει, κάποια συνύφανση του προγραµµατισµού µε την εκτέλεση είναι απαραίτητη. Όταν η αβεβαιότητα είναι περιορισµένη σε συγκεκριµένα όρια (αυτό συνήθως συµβαίνει κατά το ταίριασµα µηχανικών µερών), τότε εύρωστοι σχεδιασµοί που προλαµβάνουν διάφορα απρόοπτα είναι κατάλληλοι. Το ανωτέρω παράδειγµα µπορεί εύκολα να γίνει πιο περίπλοκο π.χ. µπορεί να υπάρξουν περισσότερα από ένα ροµπότ για να επιτύχουν το στόχο, ή να υπάρξουν κινητά εµπόδια στο χώρο εργασίας. Τότε, κάποιος συντονισµός κινήσεων είναι απαραίτητος, υπονοώντας ότι οι κινήσεις προγραµµατίζονται όχι ακριβώς σαν γεωµετρικές πορείες, αλλά ως συναρτήσεις του χρόνου. Ένα ροµπότ µπορεί επίσης να είναι εξοπλισµένο µε ένα ευκίνητο βραχίονα µε πολλές αρθρώσεις και δάχτυλα που επιτρέπουν σύνθετους τύπους κινήσεων µε το χέρι. Ο στόχος µπορεί να περιλάβει κάποιο κριτήριο βελτιστοποίησης, π.χ. να ελαχιστοποιήσει το συνολικό χρονικό διάστηµα που απαιτείται για την εκπλήρωση του στόχου. Αντί να διευκρινίζει µια ακολουθία χωρικών αναφορών, η περιγραφή εισόδου πιθανόν να περιγράφει µόνο τη χωρική διευθέτηση των µερών στην τελική µορφή της συναρµολόγησης, αφήνοντας στον προγραµµατιστή την παραγωγή της κατάλληλης ακολουθίας. Το παράδειγµα τονίζει το ότι ο προγραµµατισµός κινήσεων δεν αποτελείται από ένα µοναδικό, καλά οριοθετηµένο πρόβληµα. Μοιάζει περισσότερο µε µια συλλογή πολλών προβληµάτων, που το κάθε ένα σχετίζεται λίγο πολύ µε τα άλλα. Αν και κάποιος µπορεί να οραµατιστεί ότι θα µπορούσε να βρεθεί µια γενική διατύπωση που καλύπτει όλες τις πιθανές περιπτώσεις, κάτι τέτοιο είναι βεβαίως πέρα από το τρέχον επίπεδό µας στά εννοιολογικά και υπολογιστικά ζητήµατα που σχετίζονται µε τον προγραµµατισµό κινήσεων. Προκειµένου να οργανωθεί το κεφάλαιο, θα θεωρήσουµε αρχικά ένα "βασικό πρόβληµα προγραµµατισµού κινήσεων" που εξετάζει τα γεωµετρικά ζητήµατα µόνο, και έπειτα διάφορες επεκτάσεις αυτού του προβλήµατος που περιλαµβάνουν περιπλοκότερα γεωµετρικά και µη γεωµετρικά ζητήµατα. Το βασικό πρόβληµα καθορίζεται στην. και διάφορες επεκτάσεις παρουσιάζονται στην.5.. Βασικό πρόβληµα Ο καθορισµός του βασικού προβλήµατος προγραµµατισµού κινήσεων απαιτεί το να βρεθούν µερικά κεντρικά ζητήµατα και να ερευνηθούν σε βάθος πριν βρεθούν πρόσθετες δυσκολίες.

4 4 Στο βασικό πρόβληµα, υποθέτουµε ότι το ροµπότ είναι το µοναδικό κινούµενο αντικείµενο στο χώρο εργασίας και αγνοούµε τις δυναµικές ιδιότητες του ροµπότ, αποφεύγοντας έτσι χρονικά ζητήµατα. Περιορίζουµε επίσης τις κινήσεις σε κινήσεις χωρίς επαφή, έτσι ώστε τα ζητήµατα σχετικά µε τη µηχανική αλληλεπίδραση µεταξύ δύο αντικειµένων σε επαφή µπορούν να αγνοηθούν. Αυτές οι υποθέσεις µετασχηµατίζουν ουσιαστικά το «φυσικό» πρόβληµα προγραµµατισµού κινήσεων σε ένα καθαρό πρόβληµα προγραµµατισµού γεωµετρικών πορειών. Απλοποιούµε ακόµα περαιτέρω τα γεωµετρικά ζητήµατα υποθέτοντας ότι το ροµπότ είναι ένα ενιαίο άκαµπτο αντικείµενο, δηλαδή ένα αντικείµενο τα σηµεία του οποίου είναι σαφώς καθορισµένα µεταξύ τους. Οι κινήσεις αυτού του αντικειµένου περιορίζονται µόνο από τα εµπόδια. Το βασικό πρόβληµα προγραµµατισµού κινήσεων ως αποτέλεσµα αυτών των απλοποιήσεων είναι το ακόλουθο: Έστω A ένα άκαµπτο αντικείµενο το ροµπότ - που κινείται σε έναν Ευκλείδειο χώρο N W, αποκαλούµενο χώρο εργασίας, ο οποίος συµβολίζεται µε R, όπου N = ή 3. Έστω B, B,, B σταθερά άκαµπτα αντικείµενα κατανεµηµένα στον W. Τα B i καλούνται εµπόδια. Υποθέτουµε ότι η γεωµετρία των A, B, B,, B και οι θέσεις των B i στον W είναι ακριβώς γνωστές. Υποθέτουµε περαιτέρω ότι κανένας κινηµατικός περιορισµός δεν περιορίζει τις κινήσεις του A (λέµε ότι το A είναι ένα «ελεύθερο» αντικείµενο). Το πρόβληµα είναι το εξής: Λαµβάνοντας υπόψη µια αρχική θέση και έναν προσανατολισµό και µία τελική θέση και προσανατολισµό του A στον W, να παραχθεί µια διαδροµή τ που να καθορίζει µία συνεχή ακολουθία θέσεων και προσανατολισµών του A αποφεύγοντας την επαφή µε τα B i, ξεκινώντας από την αρχική θέση και προσανατολισµό και τερµατίζοντας στην τελική θέση στόχο και προσανατολισµό. Να αναφερθεί αποτυχία αν δεν υπάρχει τέτοια διαδροµή. (α) (β) Σχήµα.. Απεικονίζεται το βασικό πρόβληµα προγραµµατισµού κίνησης µε δύο ροµπότ ένα ορθογώνιο στο σχήµα (α) και ένα πολύγωνο σχήµατος L στο σχήµα (β). Οι διαδροµές χωρίς επαφή επιδεικνύονται ως διακριτές ακολουθίες θέσεων και προσανατολισµών του ροµπότ. Το σχήµα. απεικονίζει δύο παραδείγµατα του βασικού προβλήµατος προγραµµατισµού κίνησης. είχνει τις διαδροµές ενός ορθογωνίου (σχήµα..α) και ενός πολυγώνου σε σχήµα L (σχήµα..β) µεταξύ πολυγωνικών εµποδίων σε ένα δισδιάστατο χώρο εργασίας. Βεβαίως, το βασικό πρόβληµα είναι κατά κάποιο τρόπο υπεραπλουστευµένο. Θα δούµε ότι αυτό παρόλα αυτά είναι ένα δύσκολο πρόβληµα και ότι αρκετές από τις λύσεις του έχουν

5 5 άµεσες επεκτάσεις σε πιο σύνθετα προβλήµατα. Επί πλέον, η λύση του είναι πρακτικού ενδιαφέροντος. Για παράδειγµα, µερικά προβλήµατα πλοήγησης κινουµένων ροµπότ µπορούν ρεαλιστικά να εκφραστούν ως παραδείγµατα του βασικού προβλήµατος. Αν και διαισθητικά απλές, µερικές πτυχές του ανωτέρω ορισµού είναι ακόµα πάρα πολύ άτυπες και πρέπει να γίνουν ακριβέστερες. Παραδείγµατος χάριν, η έννοια ενός «ελευθέρου» αντικειµένου δεν είναι πιθανώς πολύ σαφής σε αυτό το σηµείο. Μια κατάλληλη µεθοδική διατύπωση του προβλήµατος είναι γνωστή ως διατύπωση του «χώρου στάσης» (configuration space formulation)..3 ιατύπωση χώρου στάσης Η ελλοχεύουσα ιδέα του χώρου στάσης είναι να αναπαραστήσει το ροµπότ ως ένα σηµείο σε έναν κατάλληλο χώρο - το χώρο στάσης του ροµπότ και να απεικονίσει τα εµπόδια σε αυτό το χώρο. Αυτή η απεικόνιση µετασχηµατίζει το πρόβληµα προγραµµατισµού κίνησης ενός δισδιάστατου αντικειµένου σε ένα πρόβληµα προγραµµατισµού της κίνησης ενός σηµείου. Έτσι καθιστά τους περιορισµούς στις κινήσεις του ροµπότ πιο σαφείς..3. Έννοια του Χώρου Στάσης Θεωρούµε το βασικό πρόβληµα. Έστω ότι το ροµπότ A (σε συγκεκριµένη θέση και προσανατολισµό) περιγράφεται ως ένα συµπαγές (κλειστό και φραγµένο) υποσύνολο του N W = R, N = ή 3, και τα εµπόδια B,..., B είναι κλειστά υποσύνολα του W. Επιπλέον, έστω F A και F W καρτεσιανά συστήµατα που ενσωµατώνονται στο A και στο W, αντίστοιχα. Το F A είναι ένα κινούµενο σύστηµα, ενώ το F W είναι ακίνητο. Εξ ορισµού, δεδοµένου ότι το A είναι άκαµπτο, κάθε σηµείο α του A έχει µια σταθερή θέση όσον αφορά το F A. Αλλά η θέση του α στο W εξαρτάται από τη θέση και τον προσανατολισµό του F A σχετικά µε το F W. εδοµένου ότι τα B i είναι και άκαµπτα και σταθερά στο W, κάθε σηµείο του B i, για όλα τα i [, ], έχει σταθερή θέση όσον αφορά το F. W Μια στάση ενός αυθαίρετου αντικειµένου είναι µια προδιαγραφή της θέσης κάθε σηµείου σε αυτό το αντικείµενο σχετικά µε ένα σταθερό σύστηµα αναφοράς [Arnold, 978]. Εποµένως, µια στάση του A είναι µια προδιαγραφή της θέσης T και του προσανατολισµού του F A όσον αφορά το F W. Ο χώρος στάσης του A είναι ο χώρος C όλων των στάσεων του A. Το υποσύνολο του W που καταλαµβάνεται από το A στη στάση συµβολίζεται µε A ( ). Παροµοίως, το σηµείο α του A στη στάση συµβολίζεται µε α ( ) στο W. Μία στάση µπορεί να περιγραφεί από έναν κατάλογο πραγµατικών παραµέτρων. Παραδείγµατος χάριν, η θέση T µπορεί να περιγραφεί απλά από το διάνυσµα των N συντεταγµένων της αρχής του F A στο F W. Ο προσανατολισµός Θ µπορεί να περιγραφεί ως ένας N N πίνακας του οποίου οι στήλες είναι οι συνιστώσες, στο F W, των µοναδιαίων διανυσµάτων κατά µήκος των αξόνων του F A. Έτσι, η = ( T, Θ ) αντιπροσωπεύεται µοναδικά ως λίστα N( N + ) παραµέτρων. Σαφώς, εντούτοις, αυτή η αντιπροσώπευση είναι περιττή, δεδοµένου ότι η µήτρα που περιγράφει το Θ πρέπει να έχει ορθοκανονικές στήλες N( N+ ) και ορίζουσα +. Εποµένως, το C είναι µόνο ένα υποσύνολο του R. Κάποιος µπορεί θελήσει να περιγράψει το Θ µε µια λίστα παραµέτρων ελάχιστου πλήθους, π. χ. µε µία γωνία θ, αν N = (παραδείγµατος χάριν, η γωνία µεταξύ των x-αξόνων του FW και του F A ), και µε τρεις γωνίες φ, θ και ψ, αν N = 3 (παραδείγµατος χάριν, οι γωνίες Euler). Εντούτοις, µια τέτοια ελάχιστη περιγραφή δεν είναι χρήσιµη, διότι η ίδια στάση

6 6 µπορεί να περιγραφεί από διαφορετικές τιµές των γωνιών. Παραδείγµατος χάριν, στη δισδιάστατη περίπτωση ( N = ), δύο γωνίες των οποίων η διαφορά είναι ένα πολλαπλάσιο του π αντιπροσωπεύουν το ίδιο Θ. Σε αυτήν την περίπτωση, η δυσκολία µπορεί εύκολα να εξαλειφθεί περιορίζοντας τις τιµές της γωνίας θ στο διάστηµα [0, π ). Στην τρισδιάστατη περίπτωση ( N = 3 ), η δυσκολία είναι ελαφρώς πιο δύσκολο να διορθωθεί. Η περιγραφή µιας στάσης ως κατάλογος m ανεξάρτητων παραµέτρων, µε m = 3 (αν m N = ) και m = 6 (αν N = 3 ), αντιστοιχεί στην αντιπροσώπευση του C ως R. m Εντούτοις, όπως θα δούµε µε µεγαλύτερη λεπτοµέρεια, ενώ το C είναι τοπικά σαν το R, είναι συνολικά διαφορετικό. Αυτό σηµαίνει ότι το C µπορεί να αποσυντεθεί σε µια πεπερασµένη ένωση p ( p > ) ελαφρώς επικαλυπτόµενων περιοχών, που κάθε µία m αντιπροσωπεύεται ως ένα αντίγραφο του R (καλούµενο διάγραµµα). Ως εκ τούτου, µια στάση µπορεί τοπικά να αντιπροσωπευθεί ως µία λίστα µη πλεονασµατικού πλήθους m πραγµατικών παραµέτρων, αλλά κάποια διαχείριση απαιτείται για την αλλαγή µεταξύ αντιπροσωπεύσεων όταν η στάση του ροµπότ κινείται από µία περιοχή προς µία άλλη. Ο αριθµός m καλείται διάσταση του C..3. H Έννοια της διαδροµής Η έννοια της συνέχειας είναι θεµελιώδης στον καθορισµό µιας πορείας. Η τυποποίησή της απαιτεί να καθορίσουµε µια τοπολογία στο C. Ένας κλασσικός τρόπος να γίνει αυτό είναι να ορίσουµε µία συνάρτηση απόστασης d : C C R, και να θεωρήσουµε την τοπολογία του C ως την µετρική τοπολογία που καθορίζεται από την d. Προκειµένου να ταιριάζει µε τη διαίσθησή µας για τη φυσική του πραγµατικού κόσµου, η απόσταση µεταξύ δύο στάσεων και πρέπει να ελαττώνεται και να τείνει προς το µηδέν όταν οι περιοχές A( ) και A( ) φτάνουν κοντά η µία στην άλλη και τείνουν να συµπέσουν. Μια απλή συνάρτηση απόστασης που ικανοποιεί αυτόν τον όρο είναι: όπου x x d (, ) = max α( ) α( ) α Α υποδηλώνει την Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ δύο oοποιονδήποτε σηµείων N x και x στο R. Σε όλο κεφάλαιο, η τοπολογία του C θα είναι η τοπολογία που καθορίζεται από αυτή την απόσταση. Μια πορεία του Α από τη στάση στη στάση είναι µία συνεχής απεικόνιση : τ :[0,] C µε : τ (0) = και τ () = και είναι η αρχική και η τελική στάση της διαδροµής, αντίστοιχα. Η συνέχεια της τ συνεπάγεται ότι για όλα τα 0 [0,] ( ( ) α( τ ( s0 )) ) s, α τ ( s) lim max = 0, µε το s να s s0 λαµβάνει τιµές στο [0, ]. Λέγοντας ότι το Α είναι ένα «ελεύθερο αντικείµενο» εννοούµε ότι, αν δεν υπάρχουν εµπόδια, οποιαδήποτε διαδροµή ορισµένη όπως παραπάνω είναι εφικτή..3.3 Εµπόδια στο χώρο στάσης Ο παραπάνω ορισµός µιας πορείας δεν λαµβάνει υπόψη του τα εµπόδια. Θέλουµε τώρα να α Α Όπως είναι γνωστό, η έννοια µιας τοπολογίας είναι πιο πρωτογενής από την έννοια ενός µετρικού. Υπάρχουν και άλλα µετρικά που όλα επιφέρουν την ίδια τοπολογία όπως το d.

7 7 χαρακτηρίσουµε το σύνολο των πορειών που είναι λύσεις του βασικού προβλήµατος όταν υπάρχουν εµπόδια στο χώρο εργασίας. Για το λόγο αυτό, απεικονίζουµε τα εµπόδια στο χώρο στάσης και θεωρούµε το υποσύνολο του C που αποτελείται από τις χωρίς-επαφή στάσεις. Κάθε εµπόδιο B i, i = έως, στο χώρο εργασίας W, απεικονίζεται στο C σε µία περιοχή: CB = { C / A( ) B } η οποία καλείται «C-εµπόδιο». Η ένωση όλων των C-εµποδίων: i i= CB καλείται «περιοχή C-εµποδίων», και το σύνολο: C = C\ CB = { C/ A( ) ( B) } free i i i= i= καλείται «ελεύθερος χώρος». Οποιαδήποτε στάση στο i i C free καλείται «ελεύθερη στάση». Μια ελεύθερη πορεία µεταξύ δύο ελεύθερων στάσεων και είναι µία συνεχής απεικόνιση τ :[0,] C free, µε τ (0) = και τ () =. ύο στάσεις ανήκουν στο ίδιο συνδεδεµένο στοιχείο του C free αν και µόνο αν συνδέονται µε µια ελεύθερη πορεία. οσµένης µίας αρχικής και µίας τελικής στάσης, το βασικό πρόβληµα προγραµµατισµού κινήσεων είναι να δηµιουργηθεί µια ελεύθερη πορεία µεταξύ των δύο στάσεων, εάν ανήκουν στο ίδιο συνδεδεµένο στοιχείο του C, ειδάλλως να αναφερθεί αποτυχία. free ιάφορες µέθοδοι προγραµµατισµού που έχουν αναπτυχθεί παράγουν ηµι-ελεύθερες πορείες, αντί για ελεύθερες πορείες. Μια ηµι-ελεύθερη πορεία είναι µια συνεχής απεικόνιση τ :[0,] cl( C free ) όπου το cl( C free) συµβολίζει το περίγραµµα του C free. Ως εκ τούτου, καθώς κινείται κατά µήκος µιας τέτοιας πορείας, το ροµπότ µπορεί να αγγίξει τα εµπόδια. Με ορισµένες απλές παραδοχές, οποιαδήποτε ηµι-ελεύθερη πορεία τ µπορεί να µετασχηµατιστεί σε µια ελεύθερη πορεία που µπορεί να γίνει αυθαίρετα κοντά στην τ..3.4 Ερµηνευτικό παράδειγµα Όταν το A αποτελείται από ένα µοναδικό σηµείο (σηµειακό ροµπότ), είναι άνευ νοήµατος να συζητούµε για τον προσανατολισµό του. Τότε, όπως και στο W, ο χώρος στάσης του A N είναι ένα αντίγραφο του R, και ως εκ τούτου είναι ένας Ευκλείδειος χώρος. Τα C-εµπόδια είναι ίδια µε τα εµπόδια στο χώρο εργασίας. Όταν το A είναι ένας δίσκος ή όταν το A είναι ένα αντικείµενο µε διαστάσεις που επιτρέπεται να µεταφέρεται ελεύθερα (π. χ. η αρχή του F A µπορεί να ακολουθήσει οποιαδήποτε πορεία στο W ) χωρίς περιστροφή (π. χ. το F A έχει σταθερό προσανατολισµό N ως προς το F W ), ο χώρος στάσης C είναι επίσης R. Αλλά, σε αυτές τις περιπτώσεις, τα C -εµπόδια λαµβάνονται «αυξάνοντας» τα εµπόδια κατά το σχήµα του A όπως απεικονίζεται στο σχ..3. N Παρακάτω, όλες αυτές οι περιπτώσεις, όπου C = R, θα θεωρηθούν ως ειδικές περιπτώσεις του βασικού προβλήµατος προγραµµατισµού κίνησης. Θα είναι κατάλληλες για την εισαγωγή µεθόδων προγραµµατισµού κίνησης µε απλά παραδείγµατα.

8 8 Σχήµα.3 Το ροµπότ A (τρίγωνο) µπορεί να µεταφέρεται ελεύθερα στο επίπεδο µε σταθερό προσανατολισµό. Η στάση του είναι = ( x, y), µε τις συντεταγµένες δηλαδή στο FW της κορυφής του A που συµβολίζεται ως ένας µικρός κύκλος (η αρχή του F A ). Ως εκ τούτου, ο χώρος στάσης του A είναι C = R. Το C-εµπόδιο CB i (που παρουσιάζεται πιο σκούρο) λαµβάνεται αν «αυξήσουµε» το αντίστοιχο εµπόδιο B i του χώρου εργασίας, (ένα ορθογώνιο) κατά το σχήµα του A. Ο προγραµµατισµός µιας κίνησης του A σε σχέση µε το B i είναι ισοδύναµος µε τον προγραµµατισµό της κίνησης της σηµειωµένης κορυφής του A σχετικά µε το CB i..4 Προγραµµατιστικές προσεγγίσεις Υπάρχει ένας µεγάλος αριθµός µεθόδων για την επίλυση του βασικού προβλήµατος προγραµµατισµού κίνησης. Όµως δεν λύνουν όλες το πρόβληµα στη γενική του µορφή. Παραδείγµατος χάριν, µερικές µέθοδοι απαιτούν ο χώρος εργασίας να είναι δισδιάστατος και τα αντικείµενα να είναι πολυγωνικά. Παρά τις πολλές εξωτερικές διαφορές, οι µέθοδοι είναι βασισµένες σε λίγες διαφορετικές γενικές προσεγγίσεις: roadmap, cell decomposition, και potential field. Εισάγουµε εν συντοµία αυτές τις προσεγγίσεις κατωτέρω και τις επεξηγούµε µε απλά παραδείγµατα σε δισδιάστατους χώρους στάσης στους οποίους υπάρχουν πολυγωνικά C -εµπόδια. Όπως φαίνεται στο σχήµα.3, τέτοιοι χώροι στάσης αντιστοιχούν στην περίπτωση όπου το ροµπότ A είναι ένα πολύγωνο (ή ένα σηµείο) που µεταφέρεται σε ένα χώρο εργασίας που περιέχει πολυγωνικά εµπόδια..4. Roadmap Η προσέγγιση roadmap στον προγραµµατισµό πορειών αποτελείται από τη σύλληψη της συνδετικότητας του ελεύθερου χώρου του ροµπότ σε ένα δίκτυο µονοδιάστατων καµπυλών, αποκαλούµενο roadmap, που βρίσκεται στον ελεύθερο χώρο C ή στο περίγραµµά του cl( C free ). Μόλις κατασκευαστεί ένα roadmap R, χρησιµοποιείται ως ένα σύνολο τυποποιηµένων πορειών. Ο προγραµµατισµός πορειών µειώνεται έτσι στη συσχέτιση των αρχικών και τελικών στάσεων µε σηµεία του R και την έρευνα στο R για την εύρεση µιας πορείας µεταξύ αυτών των σηµείων. Η κατασκευασµένη πορεία, αν υπάρχει, είναι η αλληλουχία τριών υπο-πορειών: µίας υπο-πορείας που συνδέει την αρχική στάση µε το roadmap, µίας υπο-πορείας που περιλαµβάνεται στο roadmap, και µίας υπο-πορείας που συνδέει το roadmap µε την τελική στάση. ιάφορες µέθοδοι βασισµένες σε αυτήν την γενική ιδέα έχουν προταθεί. Υπολογίζουν διαφορετικούς τύπους roadmaps που καλούνται γράφηµα ορατότητας, διάγραµµα Voronoi, δίκτυο freeway και roadmap περιγράµµατος. Επεξηγούµε δύο από αυτούς παρακάτω. Το γράφηµα ορατότητας είναι µία από τις πιο παλιές µεθόδους προγραµµατισµού πορειών. Ισχύει κυρίως για τους δισδιάστατους χώρους στάσης µε µια πολυγωνική περιοχή C - εµποδίων. Το γράφηµα ορατότητας είναι το µη προσανατολισµένο γράφηµα G του οποίου οι free

9 9 κόµβοι είναι η αρχική και η τελική στάση και, και όλες οι κορυφές των C - εµποδίων. Οι συνδέσεις του G είναι όλα τα ευθύγραµµα τµήµατα που συνδέουν κόµβους που δεν τέµνουν το εσωτερικό της περιοχής των C -εµποδίων. Το σχήµα.4 παρουσιάζει ένα παράδειγµα του γραφήµατος ορατότητας. Οι συνδέσεις του υπο-γραφήµατος του G που είναι περιορισµένο από τις κορυφές των C-εµποδίων καθορίζουν το roadmap R. Οι άλλες συνδέσεις του G ενώνουν την αρχική και την τελική στάση µε το roadmap. Το G µπορεί να ερευνηθεί για να βρεθεί η πιο σύντοµη ηµι-ελεύθερη πορεία µεταξύ των και (σύµφωνα µε την Ευκλείδεια µετρική στο R ). Αυτή η πορεία, εάν υπάρχει, είναι µια πολυγωνική γραµµή που συνδέει την µε την µέσω των κορυφών των C-εµποδίων. Σχήµα.4 Παρουσιάζεται το διάγραµµα ορατότητας σε δισδιάστατο χώρο στάσης µε πολυγωνικά C -εµπόδια. Οι κόµβοι του γραφήµατος είναι η αρχική και τελική στάση και οι κορυφές των C - εµποδίων. ύο κόµβοι συνδέονται µε µια σύνδεση εάν το ευθύγραµµο τµήµα που τους ενώνει δεν τέµνει το εσωτερικό των C -εµποδίων (Ως εκ τούτου, οι συνδέσεις του γραφήµατος περιλαµβάνουν επίσης τις ακµές των C -εµποδίων). Οι κοινές συνδέσεις ενώνουν τις κορυφές των C-εµποδίων. Είναι ανεξάρτητες από την αρχική και την τελική στάση και σχηµατίζουν το roadmap. Οι διακεκοµµένες γραµµές συνδέουν την αρχική και την τελική στάση µε το roadmap. Οποιαδήποτε πορεία στο γράφηµα ορατότητας καθορίζει µια ηµι-ελεύθερη πορεία στο χώρο στάσης. Το γράφηµα περιέχει την πιο σύντοµη ηµι-ελεύθερη πορεία (σύµφωνα µε την Ευκλείδεια µετρική στο R ). Αυτή η πορεία παρουσιάζεται και στις κοινές και στις διακεκοµµένες έντονα µαύρες γραµµές. Μια άλλη µέθοδος roadmap, αποκαλούµενη retraction, αποτελείται από τον καθορισµό µιας συνεχούς συνάρτησης του C free σε ένα µονοδιάστατο υποσύνολο του εαυτού του (το roadmap) έτσι ώστε ο περιορισµός αυτής της συνάρτησης σε αυτό το υποσύνολο είναι η όµοια απεικόνιση (στην Τοπολογία µια τέτοια συνάρτηση καλείται "retraction"). Σε έναν δισδιάστατο χώρο στάσης, το C free τυπικά περιορίζεται µε αυτή τη µέθοδο σε ένα διάγραµµα Voronoi. Αυτό το διάγραµµα είναι το σύνολο όλων των ελεύθερων στάσεων των οποίων η ελάχιστη απόσταση από την περιοχή των C-εµποδίων CB επιτυγχάνεται τουλάχιστον µε δύο σηµεία στο όριο του CB. (σχήµα.5). Το πλεονέκτηµα αυτού του διαγράµµατος είναι ότι παράγει ελεύθερες πορείες που τείνουν να µεγιστοποιούν το διάκενο µεταξύ του ροµπότ και των εµποδίων. Όταν τα C-εµπόδια είναι πολύγωνα, το διάγραµµα Voronoi αποτελείται από τα ευθύγραµµα και παραβολικά τµήµατα. Οι αρχικές και οι τελικές στάσεις περιορίζονται στο διάγραµµα στις φαίνεται στο σχήµα.5. Μια πορεία αναζητείται στο διάγραµµα µεταξύ των, όπως ' ' ' ',. Η

10 0 ελεύθερη πορεία µεταξύ των αποτελείται από τρεις υπο-πορείες:. την ευθεία πορεία από την στην. µια πορεία στο διάγραµµα από την 3. από την ευθεία πορεία από την, που παράγεται µε αυτή τη µέθοδο, αν υπάρχει, ', ' προς την ' προς την. ', και Σχήµα.5 Παρουσιάζεται το διάγραµµα Voronoi σε ένα χώρο στάσης µε µια περιοχή πολυγωνικών C-εµποδίων. Ο ε- λεύθερος χώρος περιορίζεται ε- ξωτερικά από ένα ορθογώνιο (το όριο ενός µη συµπαγούς C- εµποδίου). Οι αρχικές και τελικές στάσεις, και, απεικονίζονται στο διά-γραµµα Voronoi στις και ', ' κάθε µία µε τη σχεδίαση µιας γραµµής, κατά µήκος της οποίας αυξάνει το ταχύτερο δυνατόν η απόσταση από το όριο της περιοχής C-εµποδίων..4. Αποσύνθεση κυττάρων (Cell Decomposition) Οι µέθοδοι αποσύνθεσης κυττάρων έχουν µελετηθεί πιο εκτενώς µέχρι σήµερα. Αποτελούνται από την αποσύνθεση του ελεύθερου χώρου του ροµπότ σε απλές περιοχές, που αποκαλούνται κύτταρα, έτσι ώστε µια πορεία µεταξύ δύο οποιονδήποτε στάσεων σε ένα κύτταρο να µπορεί εύκολα να δηµιουργηθεί. Ένα µη προσανατολισµένο γράφηµα που αντιπροσωπεύει τη σχέση γειτνίασης µεταξύ των κυττάρων κατασκευάζεται στη συνέχεια και έπειτα ερευνάται. Αυτό το γράφηµα καλείται γράφηµα συνδετικότητας. Οι κόµβοι του είναι τα κύτταρα που εξάγονται από τον ελεύθερο χώρο και δύο κόµβοι συνδέονται µε µια σύνδεση εάν και µόνο αν τα δύο αντίστοιχα κύτταρα είναι γειτονικά. Το αποτέλεσµα της έρευνας είναι µια ακολουθία κυττάρων που καλείται κανάλι. Μια συνεχής ελεύθερη πορεία µπορεί να υπολογιστεί από αυτήν την ακολουθία. Οι µέθοδοι αποσύνθεσης κυττάρων µπορούν να διαχωριστούν περαιτέρω σε ακριβείς και προσεγγιστικές µεθόδους: - Οι ακριβείς µέθοδοι αποσύνθεσης κυττάρων αποσυνθέτουν τον ελεύθερο χώρο σε κύτταρα των οποίων η ένωση είναι ακριβώς ελεύθερος χώρος. Το όριο ενός κυττάρου αντιστοιχεί σε ένα είδος κρισιµότητας, δηλαδή σε µια ξαφνική αλλαγή στους περιορισµούς που εφαρµόζονται στην κίνηση του ροµπότ. Ο όρος «ακριβώς» αναφέρεται στην εισαγωγική περιγραφή του προβλήµατος προγραµµατισµού κίνησης, όχι στο ακριβές φυσικό πρόβληµα, το οποίο µπορεί να προσεγγιστεί µόνο στην εισαγωγική διατύπωση του προβλήµατος.

11 - Οι προσεγγιστικές µέθοδοι αποσύνθεσης κυττάρων παράγουν κύτταρα προκαθορισµένης µορφής (π. χ. ορθογώνια) των οποίων η ένωση συµπεριλαµβάνεται αυστηρά στον ελεύθερο χώρο. Το όριο του κυττάρου δεν χαρακτηρίζει κάποιου είδους ασυνέχεια και δεν έχει κανένα φυσικό νόηµα. Σχήµα.6. Παρουσιάζεται µια ακριβής µέθοδο αποσύνθεσης κυττάρων. Ο ελεύθερος χώρος φράσσεται εξωτερικά από ένα πολύγωνο και εσωτερικά από 3 πολύγωνα. (σχ. α). Το ο βήµα της µεθόδου είναι η αποσύνθεση του ελευθέρου χώρου σε τραπεζοειδή και τριγωνικά κύτταρα (σχ. β). Το ο βήµα είναι να κατασκευαστεί το γράφηµα συνδετικότητας το οποίο αντιπροσωπεύει τη σχέση γειτνίασης µεταξύ των κυττάρων (σχ. γ) και να ερευνηθεί αυτό το γράφηµα για την εύρεση µιας πορείας (παχιές γραµµές). Τα σχήµατα.6.,. επεξηγούν µια ακριβή µέθοδο αποσύνθεσης κυττάρων σε ένα δισδιάστατο χώρο στάσης. Ο ελεύθερος χώρος φράσσεται εξωτερικά από ένα πολύγωνο και φράσσεται εσωτερικά από τρία πολύγωνα. Ο ελεύθερος χώρος αποσυντίθεται ακριβώς σε τραπεζοειδή και τριγωνικά κύτταρα. Τα κύτταρα αυτά κατασκευάζονται µε το σχεδιασµό κάθετων γραµµών από τις κορυφές των C -εµποδίων. ύο κύτταρα είναι γειτονικά αν έχουν κοινό ένα τµήµα µίας ακµής µη µηδενικού µήκους. Όταν το γράφηµα συνδετικότητας έχει κατασκευαστεί και ένα κανάλι έχει βρεθεί, µία ελεύθερη πορεία υπολογίζεται µε τη σύνδεση της αρχικής στάσης µε την τελική στάση µέσων των ενδιάµεσων σηµείων στις διασταυρώσεις κάθε δύο διαδοχικών κυττάρων.

12 Σχήµα.6. Μια πορεία στο γράφηµα συνδετικότητας καθορίζει ένα κανάλι (ακολουθία των διαγραµµισµένων κυττάρων στο δ) στον ελεύθερο χώρο. Το τρίτο βήµα της µεθόδου αποτελείται από τον µετασχηµατισµό αυτού του καναλιού σε µια ελεύθερη πορεία, π.χ. µε τη σύνδεση της αρχικής στάσης µε την τελική στάση µέσω των ενδιάµεσων σηµείων των διασταυρώσεων κάθε δύο διαδοχικών κυττάρων (ε). Το σχ..7 παρουσιάζει µια προσεγγιστική µέθοδο αποσύνθεσης κυττάρων. Ο ελεύθερος χώρος φράσσεται εξωτερικά από ένα ορθογώνιο R και εσωτερικά φράσσεται από τρία πολύγωνα. Το ορθογώνιο R αποσυντίθεται επαναληπτικά σε µικρότερα πολύγωνα. Κάθε αποσύνθεση παράγει τέσσερα νέα πανοµοιότυπα ορθογώνια. (Αυτή η µέθοδος αποσύνθεσης καλείται «uadtree» επειδή µπορεί να παρασταθεί ως ένα δέντρο τετάρτου βαθµού). Σε κάποιο επίπεδο ανάλυσης, µόνο τα κύτταρα των οποίων το εσωτερικό βρίσκεται εξ ολοκλήρου µέσα στον ελεύθερο χώρο χρησιµοποιούνται για να κατασκευάσει το γράφηµα συνδετικότητας. Εάν η έρευνα αυτού του γραφήµατος ολοκληρωθεί επιτυχώς, µία πορεία στον ελεύθερο χώρο παράγεται εύκολα. ιαφορετικά, µπορεί να σηµαίνει ότι είτε η ανάλυση της αποσύνθεσης είναι ανεπαρκής, ή καµία ελεύθερη πορεία δεν υπάρχει µεταξύ των αρχικής και τελικής στάσης. Συχνά, µία προσεγγιστική µέθοδος αποσύνθεσης λειτουργεί µε έναν ιεραρχικό τρόπο χρησιµοποιώντας µία µάλλον χαµηλή ανάλυση στην αρχή, βελτιώνοντας την µέχρι να βρεθεί µια ελεύθερη πορεία ή µέχρι του σηµείου που έχουµε φτάσει στην οριακή ανάλυση. Με την προϋπόθεση ότι είναι εξοπλισµένες µε κατάλληλες τεχνικές αναζήτησης και µε ακριβείς υπολογιστικές τεχνικές, οι ακριβείς µέθοδοι αποσύνθεσης κυττάρων είναι πλήρεις - δηλαδή είναι σίγουρο ότι θα βρουν µια ελεύθερη πορεία, όποτε υπάρχει κάποια, και θα αναφέρουν αποτυχία ειδάλλως. Οι προσεγγιστικές µέθοδοι µπορεί να µην είναι πλήρεις, αλλά για τις περισσότερες από αυτές, η ακρίβεια της προσέγγισης µπορεί να ρυθµιστεί και να γίνει αυθαίρετα µικρή (εις βάρος του απαιτούµενου χρόνου υπολογισµού), έτσι ώστε οι µέθοδοι αυτές θεωρούνται «πλήρεις µέθοδοι ανάλυσης». Αφ' ετέρου, εκτός από πολύ απλές περιπτώσεις, οι ακριβείς µέθοδοι είναι µαθηµατικά πιο περίπλοκες από τις προσεγγιστικές. Ως εκ τούτου, οι τελευταίες είναι συνήθως ευκολότερο να εφαρµόσουν.

13 3 Σχήµα.7. Παρουσιάζεται µια προσεγγιστική µέθοδος αποσύνθεσης κυττάρων. Ο ελεύθερος χώρος φράσσεται εξωτερικά από ένα ορθογώνιο R και εσωτερικά από 3 πολύγωνα (σχ. α). Το R αποσυντίθεται σε 4 ίδια ορθογώνια. Εάν το εσωτερικό ενός ορθογωνίου βρίσκεται εξ ολοκλήρου στον ελεύθερο χώρο ή στην περιοχή των C -εµποδίων, δεν αποσυντίθεται περαιτέρω. ιαφορετικά, αποσυντίθεται επαναληπτικά σε 4 ορθογώνια µέχρι να επιτύχουµε κάποια προκαθορισµένη ανάλυση. Το αποτέλεσµα παρουσιάζεται στο σχ. β. Τα λευκά κύτταρα βρίσκονται εκτός της περιοχής C - εµποδίων. Tα µαύρα κύτταρα βρίσκονται εντός της περιοχής C -εµποδίων. Τα γκρίζα κύτταρα τέµνονται από την περιοχή C -εµποδίων. Αυτό το είδος αποσύνθεσης καλείται αποσύνθεση "uadtree". Ένα κανάλι που έχει εξαχθεί από αυτήν την αποσύνθεση παρουσιάζεται µε έντονη γραµµή..4.3 υναµικό πεδίο Μια άµεση προσέγγιση στον προγραµµατισµό κίνησης είναι να διακριτοποιήσουµε το χώρο στάσης σε ένα λεπτό κανονικό πλέγµα στάσεων και να ερευνήσουµε αυτό το πλέγµα για µια ελεύθερη πορεία. Αυτή η προσέγγιση απαιτεί ισχυρές ευριστικές µεθόδους για να καθοδηγήσουν την αναζήτηση, δεδοµένου ότι το πλέγµα είναι γενικά τεράστιο. ιάφορες ευριστικές µέθοδοι έχουν προταθεί. Οι πιο επιτυχηµένες λαµβάνουν τη µορφή συναρτήσεων που ερµηνεύονται ως δυναµικά πεδία. Η µεταφορά που προτείνεται από αυτήν την ορολογία είναι ότι το ροµπότ θεωρούµενο ως σηµείο στο χώρο στάσης είναι ένα σωµατίδιο που κινείται κάτω από την επίδραση ενός τεχνητού δυναµικού που παράγεται από την τελική στάση και τα C -εµπόδια. Τυπικά η τελική στάση παράγει ένα «δυναµικό έλξης» που τραβά το ροµπότ προς την τελική θέση, και τα C -εµπόδια παράγουν ένα «απωθητικό δυναµικό» που ωθεί το ροµπότ µακριά τους. Η αρνητική κλίση του συνολικού δυναµικού αντιµετωπίζεται ως µια τεχνητή δύναµη που εφαρµόζεται στο ροµπότ. Σε κάθε στάση, η κατεύθυνση αυτής της δύναµης θεωρείται ως η πιο πιθανή κατεύθυνση της κίνησης. Το σχ..8 απεικονίζει την έννοια των ελκτικών και απωθητικών δυναµικών, και τους συνδυασµούς τους. Το ελκτικό δυναµικό (σχ..8.β) είναι µία τετραγωνική πηγή µε το ελάχιστό της στην τελική στάση. Το απωθητικό δυναµικό (σχ..8.γ) είναι µη µηδενικό µόνο µέχρι κάποια απόσταση από τα C-εµπόδια και τείνει να απειριστεί όταν η απόσταση από τα C -εµπόδια τείνει προς το µηδέν (για αυτό είναι περιορισµένο στο σχήµα). Μια πορεία µεταξύ της αρχικής και της τελικής στάσης κατασκευάζεται διασχίζοντας την αρνητική κλίση του συνολικού δυναµικού (σχ..8.ε). Μια µήτρα προσανατολισµών του διανυσµατικού πεδίου αρνητικής κλίσης (προσανατολισµοί των τεχνητών δυνάµεων που επάγονται από το δυναµικό πεδίο) παρουσιάζεται στο σχ..8.ζ. Σε σύγκριση µε άλλες µεθόδους, οι µέθοδοι δυναµικού πεδίου είναι ιδιαίτερα αποτελεσµατικές. Εντούτοις, έχουν ένα σηµαντικό µειονέκτηµα. εδοµένου ότι ουσιαστικά είναι µέθοδοι βελτιστοποίησης «ταχύτερης καθόδου», είναι πιθανό να εγκλωβιστούν σε τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης δυναµικού διαφορετικά από την τελική στάση. Μία λύση του προβλήµατος αυτού θα ήταν να

14 4 σχεδιαστούν συναρτήσεις δυναµικού που δεν έχουν άλλα τοπικά ελάχιστα εκτός από την τελική στάση στο συνδεδεµένο υποσύνολο του ελευθέρου χώρου που περιέχει την τελική στάση. Μια άλλη λύση είναι να συµπληρώσουµε την βασική προσέγγιση δυναµικού πεδίου µε ισχυρούς µηχανισµούς ώστε να ξεφεύγει από τα τοπικά ελάχιστα. Σχήµα.8 Η σειρά διαγραµµάτων απεικονίζει τη µέθοδο δυναµικού πεδίου. Ένας απλός δισδιάστατος χώρος στάσης µε δύο πολυγωνικά C -εµπόδια παριστάνεται στο σχ. α. Το σχ. β παρουσιάζει ένα ελκτικό δυναµικό που παράγεται από την τελική στάση. Το σχ. γ παρουσιάζει ένα απωθητικό δυναµικό που παράγεται από τα C -εµπόδια. Το σχ. δ παρουσιάζει το άθροισµα των δύο δυναµικών. Το σχ. ε παρουσιάζει ισοσταθµικές καµπύλες του συνολικού δυναµικού και µία πορεία που λαµβάνεται ακολουθώντας την αρνητική του κλίση. Το σχ. ζ παρουσιάζει προσανατολισµούς της αρνητικής κλίσης του συνολικού δυναµικού στον ελεύθερο χώρο..4.4 Γενικές έναντι τοπικών µεθόδων Οι µέθοδοι roadmap και αποσύνθεσης κυττάρων περιορίζουν το πρόβληµα της εύρεσης µίας συνεχούς ελεύθερης διαδροµής σε αυτό της έρευνας ενός γραφήµατος (π. χ. του γραφήµατος ορατότητας, του διαγράµµατος Voronoi, του γραφήµατος συνδετικότητας αναλύοντας πρώτα τη συνδετικότητα του ελεύθερου χώρου. Αντίθετα από αυτές τις µεθόδους, οι µέθοδοι δυναµικού πεδίου δεν περιλαµβάνουν ένα αρχικό βήµα επεξεργασίας που στοχεύει στη σύλληψη της συνδετικότητας του ελεύθερου χώρου σε µια συνοπτική αντιπροσώπευση. Αντί αυτού, ψάχνουν ένα πολύ µεγαλύτερο γράφηµα που αντιπροσωπεύει τη γειτνίαση µεταξύ των στάσεων που περιλαµβάνονται στο πλέγµα που τίθεται πάνω στον χώρο στάσης. Σε κάθε βήµα, κινούνται από µια στάση στο πλέγµα προς µια άλλη, βασίζοντας την επιλογή τους στον υπολογισµό της κλίσης του δυναµικού. Είναι χαρακτηριστικό για αυτήν την κλίση να εξαρτάται µόνο από το περιεχόµενο του χώρου στάσης στη γειτονιά της τρέχουσας στάσης του ροµπότ. (Όπως εικονίζεται στο σχήµα.8.γ, το απωθητικό δυναµικό καθορίζεται

15 5 συνήθως µε περιορισµένη ακτίνα επιρροής γύρω από τα C -εµπόδια). Εποµένως, οι µέθοδοι δυναµικού πεδίου καλούνται συχνά τοπικές µέθοδοι, ενώ οι µέθοδοι roadmap και αποσύνθεσης κυττάρων καλούνται γενικές µέθοδοι. Στην πράξη, αυτή η διάκριση ισχύει βεβαίως. Παραδείγµατος χάριν, µια µέθοδος δυναµικού πεδίου µπορεί να τρέχει ενώ το ροµπότ κινείται, ακολουθώντας των αρνητική κλίση ενός δυναµικού πεδίου καθορισµένου ως µία συνάρτηση και της απόστασης από την τελική στάση και των αποστάσεων από τα εµπόδια όπως µετρούνται από τους αισθητήρες απόστασης. Η διάκριση είναι εντούτοις διαισθητική και δεν έχει θεωρητική βάση. Μια µέθοδος δυναµικού πεδίου µπορεί να χρησιµοποιήσει µια συνάρτηση δυναµικού που είναι ελεύθερη τοπικών ελαχίστων (στο συνδεδεµένο υποσύνολο που περιέχει την τελική στάση. Ο υπολογισµός µιας τέτοιας συνάρτησης βεβαίως απαιτεί να ληφθεί υπόψη η γεωµετρία ολόκληρου του ελεύθερου χώρου. Κατόπιν η µέθοδος είναι τόσο γενική όσο οποιαδήποτε µέθοδος roadmap ή µέθοδος αποσύνθεσης κυττάρων. Αφ' ετέρου, µία µέθοδος roadmap ή αποσύνθεσης κυττάρων µπορεί να γίνει τοπική περιορίζοντας την εφαρµογή της σε ένα υποσύνολο του χώρου στάσης γύρω από την τρέχουσα στάση του ροµπότ. Μία πορεία τότε παράγεται µε έναν επαναληπτικό τρόπο συνδέοντας αλυσιδωτά υπο-πορείες, πετυχαίνοντας σε κάθε µία, µία ενδιάµεση στάση, σε ένα τέτοιο περιορισµένο υποσύνολο..5 Επεκτάσεις του βασικού προβλήµατος Το βασικό πρόβληµα προγραµµατισµού κίνησης πραγµατοποιεί παραδοχές που περιορίζουν σηµαντικά την πρακτικότητα των λύσεων του. Με άλλα λόγια, µπορεί να είναι αρκετά δύσκολο να περιοριστεί ένα πραγµατικό ροµποτικό πρόβληµα σε µια περίπτωση του βασικού προβλήµατος, να λυθεί αυτή η περίπτωση, και να προσαρµοστεί η παραχθείσα λύση ώστε να ταιριάζει µε τις συνθήκες του αρχικού προβλήµατος. Σε αυτό το τµήµα παρουσιάζουµε και συζητούµε ανεπίσηµα διάφορες σηµαντικές επεκτάσεις..5. Πολλαπλά κινούµενα αντικείµενα Στο βασικό πρόβληµα υποθέσαµε ότι τα εµπόδια ήταν σταθερά, ότι υπήρχε ένα µοναδικό ροµπότ, και ότι αυτό το ροµπότ αποτελείτο από ένα µοναδικό συµπαγές αντικείµενο. Υπό τον τίτλο "πολλαπλά κινούµενα αντικείµενα", θεωρούµε µια σειρά επεκτάσεων που εξαλείφουν αυτές τις παραδοχές. Μια επέκταση περιλαµβάνει κινούµενα εµπόδια στο χώρο εργασίας. Η δεύτερη επιτρέπει πολλαπλά ροµπότ να λειτουργούν στον ίδιο χώρο εργασίας, που κάθε ένα είναι ένα πιθανό εµπόδιο για τα άλλα. Η τρίτη επέκταση εξετάζει ροµπότ µε αρθρώσεις, τα οποία αποτελούνται από διάφορα συµπαγή αντικείµενα που συνδέονται µεταξύ τους µε αρθρώσεις. Η πρώτη επέκταση (και ενδεχοµένως η δεύτερη) απαιτεί χρόνο για να εξεταστεί σαφώς στα σχέδια κίνησης. Οι δεύτερη και η τρίτη επέκταση παράγουν χώρους στάσης αυθαίρετα µεγάλων διαστάσεων 3. Κινούµενο εµπόδιο. Στην παρουσία κινουµένων εµποδίων, το πρόβληµα προγραµµατισµού κινήσεων δεν µπορεί πλέον να λυθεί απλά κατασκευάζοντας µία γεωµετρική πορεία. Αντί αυτής, µια συνεχής συνάρτηση του χρόνου που καθορίζει τη στάση του ροµπότ σε κάθε στιγµή πρέπει να παραχθεί. Αυτό µπορεί να γίνει µε την προσθήκη µιας διάστασης που αντιπροσωπεύει το χρόνο στο χώρο στάσης του ροµπότ. Ο νέος χώρος, που συµβολίζεται CT, καλείται χώρος στάσης-χρόνου 4. Τα εµπόδια του χώρου εργασίας απεικονίζονται στο CT σε στατικές περιοχές αποκαλούµενες CT εµπόδια. Κάθε τοµή µέσω του CT στο χρόνο t είναι ο χώρος στάσης του ροµπότ τη στιγµή t. Τέµνει τα CT -εµπόδια σύµφωνα µε τα C-εµπόδια που αντιστοιχούν στα εµπόδια του χώρου εργασίας στις θέσεις τους τη στιγµή 3 Στην παράγραφο 6 θα δούµε ότι η ενυπάρχουσα υπολογιστική πολυπλοκότητα του προγραµµατισµού πορειών συναρτάται εκθετικά µε το χώρο στάσης του ροµπότ. 4 Στη βιβλιογραφία καλείται επίσης χώρος στάσης χρόνος.

16 6 t. Ο προγραµµατισµός κίνησης συνίσταται στην εύρεση µιας πορείας µεταξύ των CT - εµποδίων στο CT. εδοµένου ότι η πάροδος του χρόνου είναι αµετάκλητη, αυτή η πορεία πρέπει να έχει την ιδιότητα να µην πηγαίνει ποτέ προς τα πίσω κατά µήκος του χρονικού άξονα. Ως εκ τούτου, οι µέθοδοι προγραµµατισµού πορειών πρέπει να τροποποιηθούν προκειµένου να ληφθεί υπόψη αυτή η ιδιοµορφία της διάστασης του χρόνου. Εάν δεν υπάρχει κανένας περιορισµός στην ταχύτητα και την επιτάχυνση του ροµπότ, και εάν η κίνηση κάθε εµποδίου είναι γνωστή εκ των προτέρων, είναι µάλλον απλό να επεκτείνουµε µερικές βασικές µεθόδους προγραµµατισµού για να χειριστούµε αυτό το νέο πρόβληµα. Εάν περιορισµοί ισχύουν για την ταχύτητα ή και την επιτάχυνση του ροµπότ, µεταφράζονται σε γεωµετρικούς περιορισµούς στην κλίση και την κυρτότητα µιας πορείας κατά µήκος της χρονικής διάστασης, και το πρόβληµα αποδεικνύεται σηµαντικά δυσκολότερο. Πολλαπλά ροµπότ. Ο προγραµµατισµός κινήσεων µε πολλαπλά ροµπότ διαφέρει από τον προγραµµατισµό παρουσία κινουµένων εµποδίων στο ότι οι κινήσεις των ροµπότ πρέπει να προγραµµατιστούν, ενώ οι κινήσεις των κινουµένων εµποδίων δεν είναι υπό έλεγχο. Ένας τρόπος να εξεταστούν τα πολλαπλά ροµπότ A,..., A p που λειτουργούν στον ίδιο χώρο εργασίας W είναι να αντιµετωπιστούν ως ένα ενιαίο πολύ-τµηµατικό ροµπότ A= { A,..., A p }. Ο σύνθετος χώρος στάσης του A είναι C = C... Cp, δηλαδή το συνολικό γινόµενο των χώρων στάσης C i των επιµέρους ροµπότ A,..., A p. Κάθε στάση στο C καθορίζει µια µοναδική θέση και προσανατολισµό για κάθε ροµπότ A i. Τα C -εµπόδια σε αυτό το χώρο προκύπτουν από την αλληλεπίδραση είτε ενός ροµπότ A και ενός εµποδίου B, είτε δύο ροµπότ A i και A. Βασικές µέθοδοι προγραµµατισµού πορείας µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να σχεδιαστεί µια πορεία του A στο C. Αυτή η προσέγγιση στον προγραµµατισµό πορείας πολλαπλών ροµπότ καλείται συγκεντρωµένος προγραµµατισµός. Μια δυσκολία είναι ότι µπορεί να παραγάγει πολυδιάστατους χώρους στάσης. Πράγµατι, η διάσταση του σύνθετου χώρου στάσης C είναι ίση µε το άθροισµα των διαστάσεων των επιµέρους χώρων στάσης C έως C. p i Σχήµα.9. ύο δίσκοι A και A πρέπει να εναλλάξουν τις θέσεις τους σε έναν στενό διάδροµο όπου δεν µπορούν να προσπεράσουν ο ένας τον άλλον. Εντούτοις, υπάρχει αρκετός χώρος για την αντιµετάθεση στο ένα άκρο του διαδρόµου. Ο αποκεντρωµένος προγραµµατισµός, που εξετάζει τα δύο ροµπότ χωριστά, πιθανότατα θα αποτύγχανε να λύσει αυτό το πρόβληµα. Μία άλλη προσέγγιση στον προγραµµατισµό κίνησης µε πολλαπλά ροµπότ, ο αποκεντρωµένος προγραµµατισµός, είναι να προγραµµατιστεί η κίνηση κάθε ροµπότ λίγο πολύ ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα ροµπότ και να εξεταστούν οι αλληλεπιδράσεις µεταξύ των πορειών σε µία δεύτερη φάση προγραµµατισµού. Με αυτόν τον τρόπο, ο φόρτος των υπολογισµών µπορεί να ελαττωθεί σηµαντικά, αλλά εις βάρος της πληρότητας. Το σχήµα.9 παρουσιάζει ένα πρόβληµα προγραµµατισµού όπου η αποκεντρωµένη προσέγγιση είναι πιθανόν να αποτύχει. Το πρόβληµα αποτελείται από την εναλλαγή των θέσεων δύο ροµπότ (δίσκων) σε ένα στενό διάδροµο όπου δεν µπορούν να προσπεράσουν το ένα το άλλο.

17 7 Υπάρχει αρκετός χώρος από τη µία πλευρά του διαδρόµου για µια αντιµετάθεση των δύο ροµπότ. Εντούτοις, θεωρώντας το κάθε ροµπότ χωριστά, η αποκεντρωµένη προγραµµατιστική προσέγγιση δεν έχει κανέναν µηχανισµό για να συµπεράνει ότι και τα δύο ροµπότ πρέπει να κινηθούν προς αυτό το άκρο του διαδρόµου. Αρθρωµένα ροµπότ. Ένα αρθρωτό ροµπότ A αποτελείται από διάφορα κινούµενα άκαµπτα αντικείµενα A,..., A p συνδεδεµένα µε αρθρώσεις περιστροφικές αρθρώσεις ή πρισµατικές. Κάθε άρθρωση περιορίζει τις σχετικές µετακινήσεις των δύο αντικειµένων που συνδέει. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα αρθρωτού ροµπότ είναι ένας ροµποτικός βραχίονας (σχ..0). Σχήµα.0. Ένας ροµποτικός βραχίονας είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα αρθρωτού ροµπότ. Στο σχήµα α εικονίζεται ένα καρτεσιανό ροµπότ, µε τρεις πρισµατικές και τρεις περιστροφικές αρθρώσεις. Το σχήµα β παρουσιάζει ένα ροµπότ µε έξι περιστροφικές αρθρώσεις. Το A µπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο p κινουµένων άκαµπτων αντικειµένων. Οι περιορισµοί που επιβάλλονται από τις αρθρώσεις στις σχετικές µετακινήσεις των καθορίζουν ένα υποσύνολο του σύνθετου χώρου στάσης αυτών των αντικειµένων, το οποίο είναι ο πραγµατικός χώρος στάσης του A. Κάθε στάση σε αυτό το υποσύνολο καθορίζει πράγµατι µια µοναδική θέση και προσανατολισµό για κάθε έναν από τους p συνδέσµους. Αυτό το υποσύνολο είναι γενικά σχετικά εύκολο να παραµετροποιηθεί, παραδείγµατος χάριν A i

18 8 συσχετίζοντας µια απόσταση ή µια γωνία µε κάθε άρθρωση. ιάφορες βασικές µέθοδοι προγραµµατισµού κινήσεων επεκτείνονται σε αυτήν την περίπτωση µε έναν απλό τρόπο, θεωρητικά τουλάχιστον. Ένα πρακτικό πρόβληµα που πρέπει να αντιµετωπιστεί είναι ότι η διάσταση του χώρου στάσης αυξάνει µε τον αριθµό των αρθρώσεων. Το σχήµα. απεικονίζει διάφορες στάσεις ενός επίπεδου αρθρωτού ροµπότ κατά µήκος µιας πορείας που παράγεται από µία µέθοδο δυναµικού πεδίου. Σε αυτό το παράδειγµα, το ροµπότ είναι µια ακολουθία οκτώ συνδέσµων. Όλες οι αρθρώσεις είναι περιστροφικές. Σηµειώστε ότι για ένα αρθρωτό ροµπότ µε πολλούς συνδέσµους και αρθρώσεις, µπορεί να είναι προβληµατικό να καθοριστεί µια ελεύθερη τελική στάση. Στο παράδειγµα του σχήµατος., µόνο η τελική θέση του ακραίου σηµείου του βραχίονα διευκρινίστηκε στον αρµόδιο για το σχεδιασµό. Αυτό αντιστοιχεί στον καθορισµό µιας τελικής περιοχής στο χώρο στάσης του ροµπότ, παρά µια µοναδική τελική στάση. Σχήµα. Παρουσιάζεται µία σειρά στάσεων ενός επίπεδου βραχίονα µε οκτώ περιστροφικές αρθρώσεις κατά µήκος µιας πορείας που παράγεται χρησιµοποιώντας τη µέθοδο δυναµικού πεδίου..5. Κινηµατικοί περιορισµοί Στο βασικό πρόβληµα υποθέσαµε ότι το ροµπότ ήταν ένα «ελεύθερο σώµα», δηλαδή οι µόνοι περιορισµοί στις κινήσεις του οφείλοντο στα εµπόδια. Σε µερικά προβλήµατα µπορούµε αν το θελήσουµε να επιβάλουµε πρόσθετους κινηµατικούς περιορισµούς στις κινήσεις του ροµπότ. ύο τύποι περιορισµών, που καλούνται ολονοµικοί περιορισµοί και µη ολονοµικοί περιορισµοί, µπορούν να θεωρηθούν. Ολονοµικοί περιορισµοί. Ας υποθέσουµε ότι µία στάση αντιπροσωπεύεται από µία λίστα παραµέτρων ελάχιστου πλήθους (δείτε παρ. 3). Ένας περιορισµός ολονοµικής ισότητας είναι µία σχέση ισότητας µεταξύ αυτών των παραµέτρων, η οποία µπορεί να λυθεί για µία από τις παραµέτρους. Μια τέτοια σχέση µειώνει κατά ένα τη διάσταση του πραγµατικού χώρου στάσης του ροµπότ. Ένα σύνολο k ανεξάρτητων ολονοµικών περιορισµών µειώνει τη διάσταση κατά k. Θεωρείστε για παράδειγµα την περίπτωση ενός τρισδιάστατου αντικειµένου A που επιτρέπεται να µεταφέρεται ελεύθερα, αλλά είναι περιορισµένο να περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό άξονα σχετικά µε το A. Ας αντιπροσωπεύσουµε τον προσανατολισµό του A µε τρεις γωνίες. Οι περιορισµοί που περιορίζουν τους πιθανούς προσανατολισµούς του A µπορούν να εκφραστούν ως δύο ανεξάρτητες εξισώσεις µεταξύ αυτών των γωνιών. Ενώ η

19 9 διάσταση του χώρου στάσης ενός «ελευθέρου σώµατος» σε έναν τρισδιάστατο χώρο εργασίας είναι 6, ο χώρος στάσης του A έχει διάσταση 4. Η ιδιαίτερη περίπτωση όπου το A µπορεί να µεταφέρεται ελεύθερα µε σταθερό προσανατολισµό θα µπορούσε επίσης να θεωρηθεί ως ένα πρόβληµα µε ολονοµικούς περιορισµούς. Εντούτοις, δεδοµένου ότι αυτό το πρόβληµα είναι ισοδύναµο µε το πρόβληµα του προγραµµατισµού της κίνησης ενός N σηµειακού ροµπότ στο R, το θεωρούµε ως µία ιδιαίτερη περίπτωση του βασικού προβλήµατος προγραµµατισµού κίνησης. Τα αρθρωτά ροµπότ παρέχουν άλλο ένα παράδειγµα ολονοµικών περιορισµών. Παραδείγµατος χάριν, µία περιστροφική άρθρωση καθορίζει δύο ολονοµικούς περιορισµούς. Πράγµατι, ενώ έξι παράµετροι είναι απαραίτητες για να καθορίσουν τη στάση δύο ελευθέρων επίπεδων αντικειµένων, τέσσερις παράµετροι αρκούν να καθορίσουν τις θέσεις και τους προσανατολισµούς δύο επίπεδων αντικειµένων που συνδέονται µε µια περιστροφική άρθρωση. Σαν ένα άλλο παράδειγµα, ας θεωρήσουµε ένα βραχίονα έξι αρθρώσεων που µεταφέρει ένα ποτήρι νερό. Η απαίτηση το ποτήρι να µείνει κάθετο κατά τη διάρκεια της κίνησης αντιστοιχεί στην επιβολή δύο ολονοµικών περιορισµών στο βραχίονα. Οι ολονοµικοί περιορισµοί έχουν σίγουρα επιπτώσεις στον καθορισµό του χώρου στάσης του ροµπότ και µπορούν ακόµη και να αλλάξουν τη γενική του συνεκτικότητα. Εν τούτοις, οι ολονοµικοί περιορισµοί δεν εγείρουν νέα θεµελιώδη ζητήµατα. Πολλές βασικές µέθοδοι προγραµµατισµού παραµένουν εφαρµόσιµες. Μη ολονοµικοί περιορισµοί. Ένας περιορισµός µη ολονοµικής ισότητας είναι µια µη ολοκληρώσιµη εξίσωση που περιλαµβάνει τις παραµέτρους στάσης και τις παραγώγους τους (παράµετροι ταχύτητας). Ένας τέτοιος περιορισµός δεν µειώνει τη διάσταση του χώρου των εφικτών στάσεων από το ροµπότ, αλλά µειώνει τη διάσταση του χώρου των πιθανών διαφορικών κινήσεων (δηλαδή του χώρου των κατευθύνσεων των ταχυτήτων) σε οποιαδήποτε δεδοµένη στάση. Θεωρούµε το παράδειγµα ενός ροµπότ A, που η µορφή του µοιάζει µε αυτοκίνητο, το οποίο κυλά σε ένα επίπεδο έδαφος. Εµείς το µοντελοποιούµε ως ορθογώνιο που κινείται στο W = R (Σχήµα.). Εµπειρικά ξέρουµε ότι σε ένα κενό χώρο µπορούµε να οδηγήσουµε το ροµπότ σε οποιαδήποτε θέση µε οποιονδήποτε προσανατολισµό. Ως εκ τούτου ο χώρος στάσης του ροµπότ έχει τρεις διαστάσεις, δύο της µεταφοράς και µια της περιστροφής. Ας αντιπροσωπεύσουµε µία στάση του A µε ( x, y, θ ), όπου τα x και y είναι οι συντεταγµένες, στο σύστηµα F W, του µεσαίου σηµείου R µεταξύ των δύο πίσω τροχών και το θ [0, π ) είναι η γωνία του x-άξονα του F W και του κύριου άξονα του A. Σε οποιαδήποτε στιγµή κατά τη διάρκεια µιας κίνησης, υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει ολίσθηση, η ταχύτητα του R πρέπει να έχει κατεύθυνση κατά µήκος του κύριου άξονα του Α. Εποµένως, η κίνηση περιορίζεται από τη σχέση: sinθ dx + cosθ dy = 0. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτή η εξίσωση είναι µη ολοκληρώσιµη, ως εκ τούτου είναι ένας περιορισµός µη ολονοµικής ισότητας. Λόγω αυτού του περιορισµού, ο χώρος των διαφορικών κινήσεων ( dx, dy, dθ ) του ροµπότ σε οποιαδήποτε στάση του ροµπότ ( x, y, θ ) είναι ένας δισδιάστατος χώρος. Εάν το ροµπότ ήταν ένα «ελεύθερο σώµα», αυτός ο χώρος θα ήταν τρισδιάστατος. Η στιγµιαία κίνηση, του οµοιάζοντος µε αυτοκίνητο ροµπότ, καθορίζεται από δύο παραµέτρους: τη γραµµική ταχύτητα κατά µήκος του κύριου άξονά του και τη γωνία οδήγησης. Εντούτοις, όταν η γωνία οδήγησης είναι διαφορετική από το µηδέν, το ροµπότ αλλάζει προσανατολισµό, µαζί και η γραµµική ταχύτητά του, επιτρέποντας στις στάσεις του ροµπότ να καλύψουν ένα τρισδιάστατο χώρο. Επί πλέον, η γωνία οδήγησης που συµβολίζεται µε φ στο σχήµα. γενικά περιορίζεται να παίρνει τιµές σε ένα διάστηµα [ φ, + φ ], µε φmax < π /. Αυτός ο περιορισµός µπορεί να επαναδιατυπωθεί ως max max