Сунчев систем. Кеплерови закони

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Сунчев систем. Кеплерови закони"

Transcript

1 Сунчев систем Кеплерови закони На слици је приказан хипотетички сунчев систем. Садржи једну планету (Земљу нпр.) која се креће око Сунца и једина сила која се ту појављује је гравитационо привлачење. Узимајући у обзир Њутнов закон гравитације, јачина те силе износи: FG = γ (4.) где су и масе Сунца и Земље, а растојање између њих. γ гравитациона константа. Претпоставка је да је Сунце далеко веће масе од земљине, тако да се кретање Сунца може занемарити. Задатак је да се израчуна положај Земље као функција од времена. Из другог Њутновог закона може се написати: d x FG, x = (4.) dt d y dt F = при чему су F G, x и F G, y, x и y компоненте гравитационе силе. Са слике се види да је: FG, x = γ cosθ = γ x (4.) а сличан резултат се добија и за компоненту F G, y. Негативан знак потиче од смера силе који је ка Сунцу које се налази у координатном почетку система. Диференцијалне једначине другог реда се могу написати у облику система од две диференцијалне једначине првог реда: dvx = γ x (4.4) dt dx vx dt = G, y

2 dvy = γ y dt dy vy dt = Ово представља систем који се може решити нумеричким поступком. Остаје још да се изабере погодан систем јединица мере. Наравно, I је једна могућност, једино јединице дужине и времена нису погодне у практичној примени пошто су експоненти велики. Нпр. полупречник Земљине орбите је.5 0 m итд. Згодније је за јединицу мере користити AJ која представља средње растојање између Земље и Сунца и астрономску јединицу ( ) 7 износи (.5 0 m), а за јединицу времена изабрати годину ( година =. 0 s). Остаје још да се уведе јединица за масу. Њу је најлакше увести ако се узме да је Земљина путања кружна те онда важи: v = FG = γ (4.5) Сређивањем се добија: AJ γ = v = 4π (4.6) god Пошто се γ и појављују као производ, нема потребе изражавати их појединачно. Сада се једначине могу написати у облику погодном за нумеричко израчунавање: 4 xi v = x, i v π + x, i t (4.7) x = x + v t i+ i x, i+ v = π + v t 4 yi y, i y, i i y = y + v t i+ i y, i+ где је t временски корак, а фактор 4π указује да се користе астрономске јединице. Користи се Ојлер-Кромеров метод. Користе се претходне вредности положаја и брзине да се израчуна нова брзина, док се претходна вредност полажаја и нова вредност брзине користи за израчунавање новог положаја. Као што је већ речено, Ојлеров метод није добар избор за решавање осцилаторног проблема, а кретање планета баш спада у ту групу проблема. Ако би се користио Ојлеров метод, добило би се да енергија планета расте током времена и њихово кретање би се описивало спиралом тако да се оне удаљавају од Сунца. Та тешкоћа је превазиђена Ојлер-Кромеровом методом код које се енергија не мења. Могуће је написати алгоритам помоћу којег се израчунавају положаји и брзине планета. На сваком временском кораку i израчунава се положај (, ) корак i + коришћењем Ојлер-Кромеровог метода. Израчунава се растојање i Израчунава се 4 i x, i x, i i од Сунца: ( i = xi + yi ) x v = π + v t и 4 yi v = y, i v π + y, i t i x y и брзина ( x, y ) i v v за временски Ојлер-Кромеров корак: израчунава се x i + и y i + користећи вредности v x, i + и v y, i + тако да је xi+ = xi + vx, i+ t и yi+ = yi + vy, i+ t Чувају се нови положаји како би се нацртао график Поступак се понавља за жељени број корака.

3 Корисно је визуелно представити кретање планета. То се може учинити након сваког рачунања положаја (у реалном времену) или што је друга могућност након што се израчуна довољан број тачака нацртати график путање. У табели су дати подаци о орбитама планета сунчевог система: планета маса [kg] пол.путање [AJ] ексц. Меркур Венера Земља Марс Јупитер Сатурн Уран Нептун Плутон За покретање програма потребно је изабрати почетне вредности координата и брзина. Може се узети да је Земљина путања кружна (ексцентрицитет је веома мали) и за почетне координате узети x = и y = 0. Важно је изабрати правилно почетну вредност брзине како би се добила кружна путања. Пошто Земља обиђе око Сунца за једну годину, брзина износи π = π AJ. Коришћењем тих вредности, резултат израчунавања је кружна орбита која се god понавља током многих циклуса. Ово потврђује да је метод Ојлер-Кромера погодан за решавање оваквог проблема. Ипак, треба нагласити да се овако постављен модел разликује од реалног у реалном проблему постоји више планета а не само једна. Јохан Кеплер је у 7. веку проучавао планетарно кретање на основу података посматрања планета које је извео Тихо Брахе. Кеплер је показао да су Брахеова посматрања у сагласности са три правила: све планете се крећу по елиптичним путањама око Сунца које је у жижи радијус вектори планета за једнако време пребришу једнаке површине T Ако је T период, а a дужина велике полуосе, онда је константно (иста је a константа за све планете). Ако је путања кружна, онда је a полупречник.

4 Може се показати аналитички да су Кеплерови закони последица чињенице да гравитациона сила опада са квадратом растојања. Такође, програм за израчунавање орбите планета може се искористити за проверу трећег Кеплеровог закона. Опет, ради једноставности се узимају кружне орбите планета. У табели су дата растојања од Сунца, а потребно је правилно одабрати почетне брзине планета како би се добиле кружне путање. Програм се може модификовати тако да се одреде и времена када планета пролази кроз одређену тачку на путањи (нпр. када пресеца x осу) јер се на тај начин лако одређује период планете. У T следећој табели дате су вредности односа за планете од Венере до Сатурна. Те планете a имају орбите скоро кружне тако да се вредности a уједно полупречници орбита. На основу Кеплеровог закона овај однос треба да је константа блиска јединици. планета T god a AJ Венера Земља Марс.005 Јупитер.00 Сатурн Нумерички резултати су у сагласности са предвиђањима Кеплеровог трећег закона. Временски корак које је коришћен је за Венеру, Земљу и Марс година, а за Јупитер и Сатурн година. Задаци: 4.. Испитати резултате добијене ланетарног кретања за различите вредности временског корака. Показати да за симулацију Земљиног кретања нису погодни кораци већи од t = 0.0god јер долази до нестабилности орбита, тј. оне се не понављају. То је у складу са генералним правилом да временски корак не треба да буде већи од % карактеристичног времена за дати проблем. У овом случају карактеристично време представља период обиласка планете око Сунца. Такође, користити различите почетне брзине, мање и веће од вредности π која је потребна да би се добила кружна орбита и опет испитати стабилност елиптичне орбите за различите вредности временског корака.

5 4.. Променити програм тако што се користи Ојлеров метод. Показати да је у том случају путања Земље спирала (Земља се удаљава од Сунца) без обзира на вредност временског корака. 4.. Изменити програм тако да се помоћу њега може потврдити Кеплеров други закон у случају елиптичних путања. Као део проблема може се проверити квантитативно да су орбите заиста елипсе Испитати орбиту Халејеве комете. Та комета има перод од 76 година а растојање када је најближа Сунцу износи 0.59 АЈ. Користити метод покуђаја и грешака за одређивање максималне орбиталне брзине и максималног растојања од Сунца. Колико је то растојање у поређењу са подацима за Плутон? 4.5. Проширити програм (Ојлер-Кромеров) тако да се одмах израчунавају енергије (кинетичка, потенцијална и укупна) планете, а такође и угаони момент. Почети са кружном орбитом и показати да су кинетичка и потенцијална енергија константна, а и угаони момент треба да буде сталан. Разматрати елиптичне путање. Путања са почетним положајем АЈ од Сунца и почетном брзином од 5 АЈ/год је уобичајени избор. Показати да како се планета креће по орбити, тако се мењају кинетичка и потенцијална енергија али њихов збир остаје константан. Такоће показати да је угаони момент сталан. Доказати да су резултати директна последица чињеница да је гравитационо поње конзервативно, а сила је централна Разматрати планету са растојањем АЈ од Сунца. Методом покушаја и грешака одредити колику почетну брзину мора да има да би побегла од Сунца. Упоредити добијену вредност са егзактним резултатом Разматрати хипотетички соларни систем у којем маса сунца није много већа од масе планете. У овом случају се крећу и сунце и планета. Модификовати програм тако да укључује овај ефекат. Испитати могуће типове орбиталног кретања у таквом систему. Почети са системом двојне звезде где су оба објекта једнаких маса. Након тога испитати случај неједнаких маса. Упутство: Да би се добиле једноставне орбите, најбоље је одабрати почетне услове такве да је укупни линеарни момент нула. Пошто се овај проблем може разматрати са стационарним сунцем заједно са концептом редуковане масе, ово израчунавање је неопходан увод за проучавање орбита планета у бинарном (двојном) систему звезда. Инверзни квадратни закон и стабилност планетарних орбита У овом делу се разматра путања тела (као што су планете или комете) у систему који садржи само Сунце и то тело. Треба подвући да су у таквом систему, Кеплерови закони последица чињенице да је гравитациона сила обрнуто сразмерна квадрату растојања, односно, јачинина силе зависи искључиво од растојања. Релативно кретање у таквом систему може се проучавати као и у случају само једног тела, једно тело је у мировању док друго орбитира око њега. Тело које се m m креће има у таквом систему тзв. редуковану масу µ =, где су m и m масе тела у m + m реалном систему. Положај еквивалентног тела је дат релативним померајем = реалних тела. У случају да је m m као нпр. да је прво тело Сунце, а друго планета, µ m, а ће бити положај планете релативно у односу на стационарно Сунце. Путања тела редуковане масе µ је дата у поларним координатама као где је L d µ F ( ) dθ + = (4.8) L F је сила која делује на тело. За Сунчев = µ θ и представља угаони момент а ( ) систем са Сунчевом масом и масом планете, сила износи

6 F ( ) = G, а угаони момент се одржава пошто је систем инваријантан у односу на ротацију. F зависи обрнуто сразмерно квадрату растојања, једначина () се може лако Пошто ( ) решити и решење гласи: µ G = ecos ( θ + θ0 ) L (4.9) или, ако се изабере да је θ 0 = 0 (што дефинише саму елипсу), L = µ G ecosθ (4.0) Резултат не даје положај планете током времена, него облик орбите ( ) θ. Једначина (4.9) описује конусни пресек, он је круг за e = 0, за 0 e < елипса, парабола за e =, а хипербола за e > 0 са жижом у координатном почетку. Вредност e је позната као ексцентрицитет. Дакле, затворена орбита у систему од два тела мора бити елипса са једним телом у њеној жижи као што то предвиђа I Кеплеров закон. Кеплеров други закон описује очување момента импулса L као чињеницу која је већ искоришћена. Једначина (4.0) је корисна за израчунавање тачке најкраћег растојања између та два a e = a + e, као и одговарајућих брзина у тим тела (перихел) = ( ), и највећег ( ) min max тачкама. Ове вредности често обезбеђују почетне вредности за нумеричка израчунавања. L Дужина половине велике осе елипсе износи a =, а момент импулса µg e ( ) ( ) L = a µ G e се одржава током времена. Момент импулса се може написати у µ v и µ max vmin, одакле се одмах могу добити одговарајуће брзине: облику min max + e, и (4.) vmax = G + a ( e ) e vmin = G + a ( + e ) Период обиласка планете T се може добити дељењем површине обухваћене елипсом са константном брзином којом површина бива пребрисана у складу са Другим Кеплеровим законом. Одатле следи Трећи Кеплеров закон као T 4 π 4π =. a G + G ( ) Значи, сви Кеплерови закони су последица инверзног квадратног закона. Ови закључци се могу проширити и на друге силе код којих важи иста законитост промене као што је Кулонова сила. Да ли је у питању случајност или постоји нешто специјално што је у самој природи сила? Да ли сила зависи тачно од квадрата растојања или је експонент можда мало различит од, нпр ? За одговор на прво питање је неопходно разматрати како се сила преноси са једног тела на друго, или речено на други начин, како масе знају једна за другу. Од користи може бити класична слика која укључује приказ линија силе. Замишља се да линије силе извиру из свих тела и протежу се радијално у бесконачност. Број таквих линија је сразмеран маси тела и сила коју осцећа друго тело у близини је сразмерна броју линија сила које га пресецају. Како се растојање између тела повећава, број тих линија опада пошто се исти број линија продире кроз све већу и већу површину.

7 Инверзни квадратни закон је добро описује слику линија силе. Површина сфере полупречника која окружује тело је сразмерна са Пошто је број линија силе константан, N њихова густина кроз дату сферу је сразмерна са. Инверзни квадратни закон је директна последица таквог начина представе поља заједно са геометријом Еуклидског простора у коме живимо. Изложени аргументи који поткрепљују овај закон су теоријски. Треба размотрити шта се дешава у стварном свету у вези са овим. Пошто је већ размотрено да су Кеплерови закони последица инверзног квадратног закона, они се могу експериментом тестирати да би се видело да гравитација заиста поштује инверзни квадратни закон. Један од начина да се то уради јесте тестирање стабилности елиптичних орбита током времена. Тачније говорећи, ако се систем састоји од звезде и једне планете, планета се креће по елиптичној путањи при чему се не мења оријентација оса елипсе током времена. Ако се претпостави да се експонент у закону гравитације мало разликује од и износи β, онда сила има облик: G F = (4.) G β и могу се размотрити кретања планете за различите вредности β. Прорачун орбита се може извести на већ описан начин једноставном заменом експонента. На слици је приказан резултат за β =. Изабрани су почетни услови који дају елиптичне орбите и види се да Сунце није у центру орбите. То је и очекивано у складу са Првим Кеплеровим законом по којем је Сунце у жижи елипсе. Осим тога, узастопним понављањем прорачуна добија се да је орбита стабилна током времена. Занимљиви резултати се добијају када се β разликује од. Резултат за β =.00 тј. инверзни кубни закон је приказан на слици.

8 Понашање се значајно разликује него у случају β =.00. Планета у систему нема стабилну (понављајућу) орбиту. Хипотетичка планета пролази веома близу Сунца а затим бива избачена из система. Резултат за β =.50 није толико драматичан, планета има приближно елиптичну путању при чему осе елипсе ротирају за око 60 након само три орбите. Што је β ближе орбите постају стабилније, али чак и за β =.0, елипса ротира значајно након само неколико орбита. Уствари, поређењем ових резултата са оним добијеним за β = види се да је понашање крајње осетљиво на одступања од инверзног квадратног закона. То указује да је могуће користити посматрања планета за одређивање фактора који доводе до одступања од овог закона. Наравно, такав експеримент није једноставан као изведени прорачуни. Код дискусије Кеплерових закона често је подвлачено да се систем састоји од Сунца и једне планете. У стварности је сасвим другачије. Постоји девет планета и симулација треба да укључи утицај сваке планете на сваку другу. Због тога ће елиптичне орбите ротирати током времена.

9 Задаци 4.8. Потврдити Трећи Кеплеров закон за елиптичне орбите. Искористити програм за планетарно кретање са почетним условима који дају орбите које нису кружне. Израчунати T и упоредити их са подацима из табеле. a 4.9. У овом делу је показано да су орбите нестабилне за сваку вредност β која није тачно. Питање које је у вези с тим, а које до сада није постављано је како орбите могу бити нестабилне, уствари, колико дуго та нестабилност траје док не постане озбиљна. Одговор на то питање зависи од природе орбите. Ако је почетна брзина изабрана тако да је орбита строго кружна, тада вредност β уопште нема утицаја. Наравно, у пракси је немогуће креирати орбиту која је егзактно кружна тако да нестабилности када је β излазе на видело увек, уколико се прорачун врши за довољно дуг интервал времена. Чак и када су орбите скоро кружне, током дужег времена се испоставља да су јако елиптичне. Испитати ово проучавајући орбите са истом вредношћу β (нпр. β =.05 ) и поредећи понашање са различитим вредностима ексцентричности орбита. Треба да се добије да се оријентација орбита које су ближе кружним спорије ротира него оријентација оних које су више елиптичне. Прецесија Меркуровог перихела Већ је речено да је проучавање сунчевог система једна од могућности провере инверзног квадратног закона. Уствари, такви експерименти су већ проведени. Кеплер је своје законе извео на основу посматрања Тихо Брахеа који је сва осматрања неба проводио голим оком, телескоп још није био откривен. Употребом телескопа астрономска посматрања су постала далеко прецизнија. У сунчевом систему који садржи више од једне планете настају одступања од Кеплерових закона. У нашем систему та одступања су мала па су Кеплерови закони веома корисна почетна тачка за проучавање познатих планета. Ипак, постоје нека одступања од тог закона. Узроци одступања потичу углавном од међусобног утицаја планета. Таквим проблемима се бави небеска механика и познато је неколико егзактних резултата. Орбите планета су углавном скоро кружне. Једино је код Меркура и Плутона запажено значајно одступање и та чињеница доводи до интересантних последица. За Меркур је било познато још почетком 9. века да се оријентација оса елипсе мења, тј. ротира током времена. Појава је позната као прецесија перихела Меркура (перихел је тачка орбите најближа Сунцу). Интензитет ротације је око 566 лучних секунди за 00 година, па Меркуров перихел начини једну пуну ротацију за сваких 0000 година. Иако је ефекат мали он је мерљив што показује колика је прецизност астрономских посматрања помоћу различитих уређаја. То одступање од Кеплеровог закона је од велике важности за небеску механику, и средином 9. века је извршен прорачун утицаја гравитационог поља осталих планета на Меркур чиме је добијена вредност прецесије од 5 лучних секунди за 00 година. Јупитер који је далеко највећа планета врши и највећи утицај. Задивљује у свему томе да су сви прорачуни вршени ручно, коришћењем логаритамских таблица... Иако су резултати прорачуна и мерења импресивни, они нису у сагласности један са другим. Схваћено је да ово неслагање можда представља нешто ново у физици и предложена су многа решења. Једно од најпопуларнијих је да постоји још једна планета унутар Меркурове орбите. Осим тога, предложено је да је могуће постојање веће количине прашине у близини Сунца и да та прашина утиче на кретање Меркура. Ниједно од предложених решења није потврђено. Ова разлика није објашњена све до 97. године када је Ајнштајн развио општу теорију релативности. Теорија разматра геометрију простора и посматра гравитацију на много компликованији начин него што то чини Еуклидска геометрија и инверзни квадратни закон. Мање више, општа теорија предвиђа слично понашање гравитационе силе све док су

10 тела далеко једно од другог (или нису превише масивна). У случају да су растојања између тела довољно мала, општа теорија предвиђа одступања од инверзног квадратног закона. Треба нагласити да су Сунце и Меркур довољно близу и да девијација долази до изражаја чиме је Ајнштајн објаснио недостајућих 4 лучне сукунде у прецесији. То је била велика победа опште теорије релативности. Прецесија због опште релативности се може израчунати аналитички али је прорачун веома компликован. Међутим, нумерички се може релативно једноставно доћи до вредности прецесије. Оно што треба урадити јесте применити закон силе из опште релативности на кретање планете. Прецесија је веома мала и програм треба написати тако да није потребно израчунати кретање перихела током свих 0000 година. Закон силе који предвиђа општа G α теорија релативности има облик FG + (4.) где је маса Меркура, а α 8 =. 0 AJ. Сила је дата преко инверзног квадратног закона са малом поправком која је сразмерна са. Ефект ове поправке је 4 превише мали да би био лако мерљив помоћу рачунарске симулације. Приступ који ће бити коришћен је да се израчуна брзина прецесије као функција од α са вредностима које су много веће од вредности за Меркур. Брзина прецесије је дата преко C α где је C константа која се рачуна. Након што се израчуна вредност за C, могуће је одредити вредност прецесије 8 за α =. 0 AJ што је овде од интереса. Најпре се мора модификоват програм за израчунавање планетарног кретања уз коришћење закона () са променљивим параметром α. Неопходно је затим одредити почетне услове неопходне за добијање Меркурове орбите. То је важно пошто понашање зависи и од величине, и од вредности ексцентрицитета. Дужина велике полуосе за Меркурову орбиту је a = 0.9 AJ. Одговарајућа брзина v која је неопходна као почетни услов може се одредити на један од два начина. Један је израчунавање кретања за различите пробне верзије v и подешавање вредности док се за ексцентрицитет не добије измерена вредност e = Други приступ је коришћење одржања енергије и момента импулса. Од помоћи је приложена слика. Одржање укупне енергије (кинетичке и потенцијалне енергије не узимајући у обзир кинетичку енергију Сунца) захтева да су енергије у тачкама и једнаке. Одатле је: G G v v + = + (4.4)

11 Пошто је гравитациона сила централна, она не мења момент импулса планете. Одатле је момент импулса у тачки једнак моменту импулса у тачки : v = b v (4.5) Ово је систем једначина по v и v и може се једна од брзина изразити, нпр. v : ( e) ( ) G b v = G = a ( + e) b e a + b a + ea a + e (4.6) где је у последњем кораку узето у обзир да је b = a e. То је у суштини идентично са ранијим извођењем за елиптичну орбиту. Убацивањем вредности за a и e даје вредност AJ v = 8. и то је један од почетних услова. Други је растојање од Меркура до Сунца које god = + e a = 0.47 AJ. Пошто су почетни услови познати може се симулирати Меркурово кретање. Резултат добијен коришћењем једначине (4.) са α = 0.0 је дат на слици испод. Ова вредност је много већа од праве вредности за Меркур и види се елипса прецесира значајно. Линије повучене од Сунца до орбите показују оријентацију дуже осе и повучене су ка најдаљој тачки на орбити. Линије су веома корисне пошто се прецесија може изразити преко углова које оне граде са x осом. износи ( ) Следећи корак је израчунавање угла прецесије као функција од времена за различите вредности α. Приказан је график зависности угла од времена за вредност α = Види се да је зависност линеарна, тако да је брзина прецесије константна. Брзина прецесије d θ је нагиб праве са слике. Може се одредити графички или dt применом методе најмањих квадрата. То подразумева конструкцију линије која је најближа θ t, све тачке би лежале на правој. свим тачкама. Ако би био могућ перфектан прорачун ( )

12 Ипак, због нумеричких грешака (корак времена итд.) настаје одступање од идеалног резултата. dθ Потребно је на исти начин извршити прорачун за различите вредности dt коефицијента α а затим нацртати функционалну зависност d θ од α. Резултат таквог dt прорачуна је дат графички.

13 Види се да брзина прецесије линеарно зависи од коефицијента α. Из нагиба праве помоћу методе најмањег квадрата може се добити коефицијент правца а он износи у овом случају 4. 0 степени годишње по јединичној вредности α. Након тога се може извести завршно 8 израчунавање екстраполирањем за случај α =. 0 AJ коју предвиђа општа теорија. То o даје брзину прецесије од а то је приближно 4 лучне god секунде за столеће, што је у потпуној сагласности са измереним вредностима. Задаци: 4.0. Израчунати прецесију перихела Меркура у складу са приступом датим у тексту. 4.. Испитати како прецесија перихела планете због опште релативности зависи као функција од ексцентричности орбите. Проучити прецесију различитих елиптичних орбита са различитим ексцентрицитетима али са истом вредношћу перихела. Нека перихел има вредност као код Меркура, тада је могуће поређење резултата са резултатима датим у тексту. Задаци Име и презиме Број индекса I II III IV Бранкица Анђелић 7/ Јелена Стојшин 6/ Миљана Ковачевић 5/ Марко Вељковић / Милена Бајић 5/ Петар Мареш 48/ Михајло Колесар 48/ Мирољуб Арбутина Ана Лалић Дарио Павловић 86/ Радош Раонић 67/ Бојан Месарош 4/ Горан Ивковић-Ивандекић 484/ Селена Илић 6/ Соња Тодоровић 9/ Татјана Веселиновић / Стефан Илић 4/ Игор Шћекић 7/ Михајло Думитрашковић 56/ Живко Раичевић 80/ Филип Уљаревић 56/ Игор Дракулић 06/.. 4. Стефан Ракић 5/.. 4. Синиша Шовљански Испит

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ФИЗИКА Њутнов закон универзалне гравитације

ФИЗИКА Њутнов закон универзалне гравитације ФИЗИКА 011 Понедељак, 31. октобар, 011. 1. Њутнов закон универзалне гравитације 1. Зависност убрзања Земљине теже од висине. Плима и осека. Кеплерови закони 3. Бестежинско стање и утицај на биосистеме

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. = 0.2 dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2.

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела Густина : V Специфична запремина : V s Q g Специфична тежина : σ V V V g Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу

Διαβάστε περισσότερα

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

1. Функција интензитета отказа и век трајања система

1. Функција интензитета отказа и век трајања система f(t). Функција интензитета отказа и век трајања система На почетку коришћења неког система јављају се откази који као узрок имају почетне слабости или пропуштене дефекте у току производње и то су рани

Διαβάστε περισσότερα

Енергетски трансформатори рачунске вежбе

Енергетски трансформатори рачунске вежбе 16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења

Διαβάστε περισσότερα

Смер: Друмски саобраћај. Висока техничка школа струковних студија у Нишу ЕЛЕКТРОТЕХНИКА СА ЕЛЕКТРОНИКОМ

Смер: Друмски саобраћај. Висока техничка школа струковних студија у Нишу ЕЛЕКТРОТЕХНИКА СА ЕЛЕКТРОНИКОМ Испит из предмета Електротехника са електроником 1. Шест тачкастих наелектрисања Q 1, Q, Q, Q, Q 5 и Q налазе се у теменима правилног шестоугла, као на слици. Познато је: Q1 = Q = Q = Q = Q5 = Q ; Q 1,

Διαβάστε περισσότερα

КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН год.

КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН год. КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН 7. год. Тест има задатака. Време за рад је 8 минута. Задаци са редним бројем -6 вреде по поена задаци 7- вреде по 5 поена задаци 5- вреде

Διαβάστε περισσότερα

Координатни системи у физици и ОЕТ-у

Координатни системи у физици и ОЕТ-у Материјал Студентске организације Електрон ТРЕЋА ГЛАВА Координатни системи у физици и ОЕТ-у Припремио Милош Петровић 1 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН- 1.ДЕКАРТОВ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ Декартов координанти

Διαβάστε περισσότερα

КОЛАТЕРАЛНА ШТЕТА ОДБАЦИВАЊА МЕТАФИЗИКЕ ЗАКОН ГРАВИТАЦИЈЕ И КВАНТОВАЊЕ

КОЛАТЕРАЛНА ШТЕТА ОДБАЦИВАЊА МЕТАФИЗИКЕ ЗАКОН ГРАВИТАЦИЈЕ И КВАНТОВАЊЕ Зборник радова конференције Развој астрономије код Срба V Београд, 18-. април 008, уредник М. С. Димитријевић Публ. Астр. друш. Руђер Бошковић бр. 8, 009, 51-53 КОЛАТЕРАЛНА ШТЕТА ОДБАЦИВАЊА МЕТАФИЗИКЕ

Διαβάστε περισσότερα

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ 1. Удео снаге и енергије ветра у производњи електричне енергије - стање и предвиђања у свету и Европи. 2. Навести називе најмање две међународне организације

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања

Διαβάστε περισσότερα

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница.

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница. 91.*Конструиши трапез у размери 1:200, ако је дато: = 14 m, = 6 m, = 8 m и β = 60. 92.*Ливада има облик трапеза. Нацртај је у размери 1:2000, ако су јој основице 140 m и 95 m, један крак 80 m, и висина

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Анализа ризика

Теорија одлучивања. Анализа ризика Теорија одлучивања Анализа ризика Циљеви предавања Упознавање са процесом анализе ризика Моделовање ризика Монте-Карло Симулација Предности и недостаци анализе ризика 2 Дефиниција ризика (квалитативни

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао ЗАДАЦИ ЗА САМОСТАЛНИ РАД Задаци за самостлни рад намењени су првенствено ученицима који се припремају за полагање завршног испита из математике на крају обавезног основног образовања. Задаци су одабрани

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

Решавање рачунских задатака из наставних јединица: Равномерно и pавномерно променљиво праволинијско кретање

Решавање рачунских задатака из наставних јединица: Равномерно и pавномерно променљиво праволинијско кретање УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ Решавање рачунских задатака из наставних јединица: Равномерно и pавномерно променљиво праволинијско кретање Mентор: Др Маја Стојановић Кандидат: Невена

Διαβάστε περισσότερα

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ДВАДЕСЕТ ДРУГО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ОДГОВОРИ И РЕШЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ

Διαβάστε περισσότερα

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 Лабораторијска вежба број 1 МОНОФАЗНИ ФАЗНИ РЕГУЛАТОР СА ОТПОРНИМ И ОТПОРНО-ИНДУКТИВНИМ ОПТЕРЕЋЕЊЕМ

Διαβάστε περισσότερα

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ Сабирање, одузимање, множење. Сад је ред на дељење. Ево једног задатка с дељењем: израчунајте колико је. Наравно да постоји застрашујући начин да то урадите: Нацртајте

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА ПРИПРМУ ЗА ПРВИ КОНТРОЛНИ ЗАДАТАК

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА ПРИПРМУ ЗА ПРВИ КОНТРОЛНИ ЗАДАТАК ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА ПРИПРМУ ЗА ПРВИ КОНТРОЛНИ ЗАДАТАК СКАЛАРНЕ И ВЕКТОРСКЕ ВЕЛИЧИНЕ Величибе које су одређене само својом бројном вредношћу и одговарајућом јединицом су скаларне величине или кратко, скалари.

Διαβάστε περισσότερα

5. Земанов ефекат (нормални и аномални)

5. Земанов ефекат (нормални и аномални) 5.1 Теоријски увод 5. Земанов ефекат (нормални и аномални) Фарадеј је још 1862. године испитивао да ли се спектар обојених пламенова мења у присуству магнетног поља, али безуспешно. Тек је 1885, Фиевез

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ У БЕОГРАДУ КАТЕДРА ЗА ЕЛЕКТРОНИКУ АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ВЕЖБА БРОЈ 2 ПОЈАЧАВАЧ СНАГЕ У КЛАСИ Б 1. 2. ИМЕ И ПРЕЗИМЕ БР. ИНДЕКСА ГРУПА ОЦЕНА ДАТУМ ВРЕМЕ ДЕЖУРНИ

Διαβάστε περισσότερα

Eлектричне силе и електрична поља

Eлектричне силе и електрична поља Eлектричне силе и електрична поља 1 Особине наелектрисања Постоје две врсте наелектрисања Позитивна и негативна Наелектрисања супротног знака се привлаче, а различитог знака се одбијају Основни носиоц

Διαβάστε περισσότερα

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z. Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону

Διαβάστε περισσότερα

ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ. Слика А.1 - (а) приказ рампе у основи, (б) подужни пресек рампе

ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ. Слика А.1 - (а) приказ рампе у основи, (б) подужни пресек рампе ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ Рампа представља косу подземну просторију која повезује хоризонте или откопне нивое, и тако је пројектована и изведена да омогућује кретање моторних возила. Приликом пројектовања рампе

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

МИЋО М. МИТРОВИЋ Практикум ФИЗИКА 7 збирка задатака и експерименталних вежби из физике за седми разред основне школе САЗНАЊЕ Београд, 2013.

МИЋО М. МИТРОВИЋ Практикум ФИЗИКА 7 збирка задатака и експерименталних вежби из физике за седми разред основне школе САЗНАЊЕ Београд, 2013. МИЋО М МИТРОВИЋ Практикум ФИЗИКА 7 збирка задатака и експерименталних вежби из физике за седми разред основне школе САЗНАЊЕ Београд, 1 ПРАКТИКУМ ФИЗИКА 7 Збирка задатака и експерименталних вежби из физике

Διαβάστε περισσότερα

МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6. уџбеник за шести разред основне школе

МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6. уџбеник за шести разред основне школе МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6 уџбеник за шести разред основне школе САЗНАЊЕ БЕОГРАД, 01 ФИЗИКА 6 уџбеник за шести разред основне школе Аутор Проф. др Мићо Митровић Редовни професор Физичког факултета Универзитета

Διαβάστε περισσότερα

РАДИЈАЦИОНА ФИЗИКА Рачунски задаци из Радијационе физике

РАДИЈАЦИОНА ФИЗИКА Рачунски задаци из Радијационе физике Природно математички факултет Владимир Марковић РАДИЈАЦИОНА ФИЗИКА Рачунски задаци из Радијационе физике Боров модел атома Боров модел атома представља атом са малим позитивно наелектрисаним језгром око

Διαβάστε περισσότερα

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената.

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената. Вежба Графика У МATLAB-у постоји много команди за цртање графика. Изглед графика може се подешавати произвољним избором боје, дебљине и врсте линија, уношењем мреже, наслова, коментара и слично. У овој

Διαβάστε περισσότερα

Монте Карло Интеграциjа

Монте Карло Интеграциjа Монте Карло Интеграциjа 4.час 22. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 22. март 2016. 1 / 22 Монте Карло методе Oве нумеричке методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији

Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији Време у астрономији За размишљање 1. Нека сви часовници на Земљи показују тачно време. Колико пута ће бар 1 часовник показати 13.01 5. августа

Διαβάστε περισσότερα

ФИЗИКА Рад. Рад константне силе над системом = F d cos θ

ФИЗИКА Рад. Рад константне силе над системом = F d cos θ ФИЗИКА 2009 Понедељак, 26. Октобар, 2009 1. Рад 2. Кинетичка енергија 3. Потенцијална енергија 1. Конзервативне силе и потенцијална енергија 2. Неконзервативне силе. Отворенисистеми 4. Закон одржања енергије

Διαβάστε περισσότερα

3.5. МЕРЕЊЕ СИЛЕ ДИНАМОМЕТРОМ

3.5. МЕРЕЊЕ СИЛЕ ДИНАМОМЕТРОМ 3.5. МЕРЕЊЕ СИЛЕ ДИНАМОМЕТРОМ Подсетимо се. Шта је сила еластичности? У ком смеру она делује? Од свих еластичних тела која смо до сада помињали, за нас је посебно интересантна опруга. Постоје разне опруге,

Διαβάστε περισσότερα

Дух полемике у филозофији Јован Бабић

Дух полемике у филозофији Јован Бабић Дух полемике у филозофији Јован Бабић У свом истинском смислу филозофија претпостаља једну посебну слободу мишљења, исконску слободу која подразумева да се ништа не подразумева нешто што истовремено изгледа

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ПЕТНАЕСТО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ПИТАЊА И ЗАДАЦИ ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ДРУГОГ РАЗРЕДА број задатка 3

Διαβάστε περισσότερα

и атмосферски притисак

и атмосферски притисак II РАЗРЕД 5. ДРЖАВНО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ Друштво Физичара Србије Министарство просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије ЗАДАЦИ бозонска категорија БЕОГРАД 3-4.04.03.. Машина за испуцавање

Διαβάστε περισσότερα

РЕШАВАЊЕ РАЧУНСКИХ ЗАДАТАКА ПРИ ОБРАДИ НАСТАВНЕ ТЕМЕ СИЛА И КРЕТАЊЕ

РЕШАВАЊЕ РАЧУНСКИХ ЗАДАТАКА ПРИ ОБРАДИ НАСТАВНЕ ТЕМЕ СИЛА И КРЕТАЊЕ Универзитет у Новом Саду Природно математички факултет Департман за физику РЕШАВАЊЕ РАЧУНСКИХ ЗАДАТАКА ПРИ ОБРАДИ НАСТАВНЕ ТЕМЕ СИЛА И КРЕТАЊЕ МАСТЕР РАД ментор: кандитат: Др Маја Стојановић Адријана Сарић

Διαβάστε περισσότερα

Катедра за електронику, Основи електронике

Катедра за електронику, Основи електронике Лабораторијске вежбе из основа електронике, 13. 7. 215. Презиме, име и број индекса. Трајање испита: 12 минута Тест за лабораторијске вежбе 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 5 1 5 1 5 5 2 3 5 1

Διαβάστε περισσότερα

УВОД У ЕКСПЕРИМЕНТ И ЛАБОРАТОРИЈУ Банка питања

УВОД У ЕКСПЕРИМЕНТ И ЛАБОРАТОРИЈУ Банка питања УВОД У ЕКСПЕРИМЕНТ И ЛАБОРАТОРИЈУ Банка питања ЈЕДИНИЦЕ: А) Изразите следеће изведене јединице преко основних јединица SI система, при чему ћете користити релације које су наведене:. њутн F N F a. паскал

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017.

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017. АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА Владица Андрејић (27-04-2017) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017. Глава 1 Вектори у геометрији 1.1 Увођење вектора Појам вектора у еуклидској геометрији можемо

Διαβάστε περισσότερα

ЗЕМЉИНА АТМОСФЕРА И СВЕМИРСКИ ОТПАД

ЗЕМЉИНА АТМОСФЕРА И СВЕМИРСКИ ОТПАД Универзитет у Београду Математички факултет Драган Јовановић ЗЕМЉИНА АТМОСФЕРА И СВЕМИРСКИ ОТПАД дипломски мастер испит из асторномије 010, Београд С А Д Р Ж А Ј 1 У в о д... Aтмoсфeрa... 3.1 Сaстaв вaздухa...

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕНИКЕ

ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕНИКЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЧЕТРНАЕСТО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ПИТАЊА И ЗАДАЦИ ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ДРУГОГ РАЗРЕДА број задатка 1

Διαβάστε περισσότερα

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим.

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. IV разред 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = 2016. Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. 2. Производ два броја је 2016. Ако се један од њих повећа за 7, производ ће бити 2457.

Διαβάστε περισσότερα

Стања материје. Чврсто Течно Гас Плазма

Стања материје. Чврсто Течно Гас Плазма Флуиди 1 Стања материје Чврсто Течно Гас Плазма 2 Чврсто тело Има дефинисану запремину Има дефинисан облик Молекули се налазе на специфичним локацијама интерагују електричним силама Вибрирају око положаја

Διαβάστε περισσότερα

Др Душан Дамиан MATLAB. (Скрипте) Београд, 2015.

Др Душан Дамиан MATLAB. (Скрипте) Београд, 2015. Др Душан Дамиан ML Скрипте Београд Матлаб УВОД Име Матлаб је настало као спој скраћеница од Mt Loto У овом програмском језику матрице су основни градивни елемент за даљи рад Скаларне величине се одређују

Διαβάστε περισσότερα

3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4)

3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4) 3.1 3. Емпиријске формуле за израчунавање испаравања (4) 3.1 Основни појмови o испаравању 3.2 Кружење воде у природи У атмосфери водена пара затвара један круг који је познат под именом кружење воде или

Διαβάστε περισσότερα

Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ П Група

Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ П Група УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 0/0. ГОДИНЕ I РАЗРЕД Друштво Физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ П Група СЕНТА.0.0.. Играчи билијара су познати по извођењу специфичних удараца

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА И ПОСЛЕДИЦЕ Мастер рад Кандидат: Рајка Милетић Ментор: проф др Неда Бокан Београд, 00 САДРЖАЈ Увод 3 I ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 4 I Доказ Чевијеве теореме

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα