Τεχνική Έκθεση Ανάπτυξη Υβριδικής Collocation - ΜΧΔ (HC-IR) μεθόδου στις 1+1. διαστάσεις... 4

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τεχνική Έκθεση Ανάπτυξη Υβριδικής Collocation - ΜΧΔ (HC-IR) μεθόδου στις 1+1. διαστάσεις... 4"

Transcript

1

2 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./2. Ανάπτυξη ddhc για μη-γραμμικά ΠΑΣΣ-ΠΠ στις +2 διαστάσεις με ασυνέχειες μόνο σε μία διάσταση Ανάπτυξη ddhc για γραμμικά ΠΑΣΣ-ΠΠ στις +2 διαστάσεις με ασυνέχειες ταυτόχρονα και στις δύο χωρικές διαστάσεις Προσέγγιση του ασυνεχούς συντελεστή διάχυσης με γενικευμένα δι-κυβικά πολυώνυμα Ανάπτυξη Υβριδικής Collocation - ΜΧΔ (HC-IR) μεθόδου στις + διαστάσεις Ανάπτυξη ddhc για μη-γραμμικά ΠΑΣΣ-ΠΠ στις +2 διαστάσεις με ασυνέχειες μόνο σε μία διάσταση Ανάπτυξη ddhc για γραμμικά ΠΑΣΣ-ΠΠ στις +2 διαστάσεις με ασυνέχειες ταυτόχρονα και στις δύο χωρικές διαστάσεις Προσέγγιση του ασυνεχούς συντελεστή διάχυσης με γενικευμένα δι-κυβικά πολυώνυμα Ανάπτυξη Υβριδικής Collocation - ΜΧΔ (HC-IR) μεθόδου στις + διαστάσεις Γενικευμένοι Συντελεστές Διάχυσης Ανάπτυξη ddhc για μη-γραμμικά ΠΑΣΣ-ΠΠ στις +2 διαστάσεις με ασυνέχειες μόνο σε μία διάσταση Προσέγγιση του ασυνεχούς συντελεστή διάχυσης με γενικευμένα δι-κυβικά πολυώνυμα Ανάπτυξη Υβριδικής Collocation - ΜΧΔ (HC-IR) μεθόδου στις + διαστάσεις Γενικευμένοι Συντελεστές Διάχυσης

3 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./3 Η βασική ερευνητική δραστηριότητα που αναπτύξαμε τη τρέχουσα περίοδο ήταν η ανάπτυξη φορμαλισμού σχετικά με την επέκταση της μεθόδου ddhc για την επίλυση: Μη-γραμμικών παραβολικών και ελλειπτικών προβλήματα αρχικών και συνοριακών συνθηκών πολλαπλών πεδίων (ΠΑΣΣ-ΠΠ) στις +2 (μία χρόνου + δύο χωρικές) διαστάσεις, με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης όπου οι ασυνέχειες παρουσιάζονται μόνο στην μία από τις δύο διαστάσεις. Γραμμικών παραβολικών και ελλειπτικών ΠΑΣΣ-ΠΠ στις +2 διαστάσεις, με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης όπου οι ασυνέχειες παρουσιάζονται ταυτόχρονα και στις δύο διαστάσεις (εσωτερικές γωνίες ). Παράλληλα, ξεκινήσαμε τη μελέτη υβριδικών μεθόδων collocation (στις + διαστάσεις) μέσω του συνδυασμού τους με Μεθόδους Χαλάρωσης στις Διεπαφές (ΜΧΔ). Συνδυάζοντας το φορμαλισμό που αναπτύξαμε αφενός μεν για την απόδοση των collocation πινάκων μέσω τανυστινικών γινομένων και αφετέρου μεν την απόδοση των μη-γραμμικών όρων μέσω Hadamard γινομένων, προχωρήσαμε στην ανάπτυξη των μη γραμμικών εξισώσεων Collocation για προβλήματα στις +2 διαστάσεις με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης όπου οι ασυνέχειες παρουσιάζονται μόνο στην μία από τις δύο διαστάσεις. Με τον τρόπο αυτό μας δόθηκε η δυνατότητα σύγκρισης και μελέτης δύο διαφορετικών μοντέλων εξέλιξης καρκινικών όγκων εγκεφάλου (βλ. Τεχνικές Εκθέσεις Δράση 4.2), αυτό της εκθετικής αύξησης (γραμμικό μοντέλο) και της λογιστικής αύξησης (μη-γραμμικό μοντέλο). Έχοντας αναπτύξει τον απαραίτητο φορμαλισμό για γραμμικά και μη-γραμμικά ΠΑΣΣ-ΠΠ στις + και στις +2 διαστάσεις, ξεκινήσαμε την τρέχουσα περίοδο την αντιμετώπιση του γενικού προβλήματος στις +2 διαστάσεις το οποίο επιτρέπει οι ασυνέχειες του συντελεστή διάχυσης να παρουσιάζονται και στις δύο χωρικές διαστάσεις ταυτόχρονα. Με τον τρόπο αυτό παρουσιάζονται

4 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./4 ασυνέχειες, δηλαδή εσωτερικές γωνίες όπου και οι μερικές παράγωγοι ως προς x και ως προς y είναι ταυτόχρονα ασυνεχείς. Βασικός στόχος της ερευνητικής δραστηριότητας ήταν η ανάπτυξη των Collocation εξισώσεων και η μελέτη της τάξης σύγκλισης της μεθόδου. Παρατηρήθηκε και μελετήθηκε η μείωση της τάξης σύγκλισης στη της γωνιακής ασυνέχειας. Για την αποκατάσταση της τάξης σύγκλισης της Collocation μεθόδου, όταν χρησιμοποιείται για την χωρική διακριτοποίηση του γενικού προβλήματος στις +2 διαστάσεις το οποίο επιτρέπει οι ασυνέχειες του συντελεστή διάχυσης να παρουσιάζονται και στις δύο χωρικές διαστάσεις ταυτόχρονα, θεωρήσαμε τη συνεχή βάση των δι-κυβικών πολυωνύμων Hermite ως συναρτήσεις βάσεις και κατασκευάσαμε νέα πολυώνυμα για να προσεγγίσουμε τον ασυνεχή συντελεστή διάχυσης του ΠΑΣΣ-ΠΠ. Σε συνεργασία με την ερευνητική ομάδα του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας, την τρέχουσα περίοδο, αναπτύξαμε τον απαραίτητο φορμαλισμό για την ανάπτυξη και εφαρμογή της Collocation - ΜΧΔ για την επίλυση του γραμμικού ΠΑΣΣ-ΠΠ στις + διαστάσεις. Παρατηρήσαμε ότι η νέα επαναληπτική μέθοδος συγκλίνει στην λύση που παράγει η ddhc με τετάρτης τάξης ταχύτητα. Το υπόλοιπο της παρούσης Τεχνικής Έκθεσης είναι οργανωμένο ως εξής. Στην παράγραφο 2 παρουσιάζουμε τα βασικά στοιχεία της μεθοδολογίας που ακολουθήσαμε και στην παράγραφο 3 τα σημαντικότερα αποτελέσματα ενώ στις επόμενες δύο αναφέρουμε τις συνεργασίες που προέκυψαν κατα τη διάρκεια του έτους καθώς και τους μελλοντικούς στόχους. Τα βασικά αποτελέσματα-εργαλεία που αναπτύξαμε στην κατεύθυνση αυτή συνοψίζονται στα παρακάτω.

5 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./5 Γνωρίζουμε ήδη ότι κάθε όρος της μορφής ( ) m+n u(x, y, t) x m yn με m, n N, m + n 2, μπορεί να γραφεί με χρήση του Tensor Product Collocation ως, A mn a = (C m C n ) a, όπου με C m και C n συμβολίζουμε τους Collocation πίνακες που αντιστοιχούν στη -διάσταση. Συνεπώς, σε αναλογία με την περίπτωση των + διαστάσεων (βλ. Τεχνική Έκθεση Δράση 2. Έτος 23), αποδείξαμε ότι αν θεωρήσουμε ένα μη γραμμικό πολυωνυμικό όρο της μορφής ( ) ( ) m n u(x, y, t) u(x, y, t) xm yn τότε αντίστοιχα μπορεί να γραφεί στην μορφή πινάκων ως εξής: [(C m C ) a] [(C C n ) a] Επιπλέον την παραπάνω πρόταση μπορούμε να την γενικέυσουμε για τον μη γραμμικό όρο ( ) m k ( ) n l u(x, y, t) u(x, y, t) xm yn όπου οι αντίστοιχοι πίνακες Collocation θα είναι: [(C m C ) a] k [(C C n ) a] l Ο φορμαλισμός αυτός που προέκυψε, είναι απαραίτητος για την ευκολότερη επίλυση και μελέτη των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων στις +2 διαστάσεις για ομοιογενή καθώς και ανομοιογενή περιβάλλοντα. Σε συνέχεια των αποτελεσμάτων που έχουμε παράξει με την μέθοδο ddhc για γραμμικά και μη γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων στις + και +2 διαστάσεις το προηγούμενο διάστημα, προχωρήσαμε στη εφαρμογή της ddhc σε ΠΑΣΣ-ΠΠ που παρουσιάζουν και.

6 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./6 Ειδικότερα, ας θεωρήσουμε το γραμμικό μοντέλο ΠΑΣΣ-ΠΠ u t = [D (u)], u := u(x, y, t) (x, y) [a, b] 2, t T u η = u(x, y, ) = f(x, y), όπου ο συντελεστής διάχυσης D όπως φαίνεται στο Σχ. () δημιουργεί δύο περιοχές με ορθογώνιο interface (διεπαφή) μεταξύ τους y 5 5 x Σχήμα : Συντελεστής διάχυσης για το Rectangular πρόβλημα. t= Σχήμα 2: Η αριθμητική λύση για ένα Rectangular πρόβλημα.

7 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./7 Με ιδιαίτερη προσοχή και ακολουθώντας διαφορετικές προσεγγίσεις αναπτύξαμε το αντίστοιχο collocation σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων κάνοντας χρήση και τανυστικών γινομένων σε επιλεγμένες περιοχές. Όπως φαίνεται στο Σχ. 2 η αριθμητική λύση που παρήχθη προσεγγίζει το επιθυμητό προφίλ της ασυνέχειας της παραγώγου στο ορθογώνιο διεπαφής. Όμως, μετά από σειρά προσομοιώσεων και ανάλυσης, διαπιστώσαμε ότι η μέθοδος δημιουργεί σφάλματα χαμηλότερης τάξης σε γειτονιές των γωνιακών ασυνεχειών (Σχ. 3) με συνέπεια την απώλεια της τέταρτης τάξης σύγκλισης της μεθόδου. # Σχήμα 3: Το απόλυτο χωρικό σφάλμα της λύσης για ένα Rectangular πρόβλημα. Η μελέτη για την αντιμετώπιση του προβλήματος της απώλειας της τέταρτης τάξης σύγκλισης μας οδήγησε στην εισαγωγή γενικευμένων συνθηκών στις περιοχές των γωνιακών ασυνεχειών οι οποίες δεν ικανοποιούνται από τα ασυνεχή δι-κυβικά Hermite πολυώνυμα. Η εισαγωγή ενός νέου γενικευμένου δι-κυβικού πολυωνύμου είναι απαραίτητη γεγονός που μας οδήγησε στην ανάπτυξη της μεθόδου που παρουσιάζουμε στην επόμενη παράγραφο. 2.3 Προσέγγιση του ασυνεχούς συντελεστή διάχυσης με γενικευμένα δι-κυβικά πολυώνυμα Για την πληρέστερη παρουσίαση των αποτελεσμάτων της παραγράφου αυτής παραθέτουμε καταρχήν τα σχετικά αποτελέσματα για ΠΑΣΣ-ΠΠ στις + διαστάσεις και προχωρούμε με την εισαγωγή των γενικευμένων δι-κυβικών πολυωνύμων.

8 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./8 Για την ανάπτυξη της μεθόδου θεωρούμε το γραμμικό πρόβλημα μοντέλο ενός ΠΑΣΣ-ΠΠ: u t = (Du x ) x + u x [a, b] = Ω, t [, T ], u(x, ) = f(x), u x (a, t) = u x (b, t) = όπου χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε επίσης ότι ο συντελεστής διάχυσης χαρακτηρίζει δύο διαφορετικές περιοχές, { γ, x [a, w] = Ω D =, x (w, b] = Ω 2 Για την επίλυση αυτού του προβλήματος χωρίς την χρήση ασυνεχών Hermite πολυωνύμων θεωρήσαμε εναλλακτικά την προσέγγιση του συντελεστή διάχυσης D από μία συνεχή συνάρτηση που κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας κατάλληλα κυβικά πολυώνυμα κοντά στα σημεία διεπαφής. Ειδικότερα, αν θεωρήσουμε για το κάθε χωρίο ομοιόμορφη διαμέριση μήκους h = (w a)/n και h 2 (b w)/n 2 αντίστοιχα τότε ο συνεχής συντελεστής διάχυσης θα έχει τη μορφή: D = γ, x [a, w h ] p(x), x (w h, w + h 2 ], x (w + h 2, b] όπου p(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a x + a ένα κυβικό πολυώνυμο που παράγεται με τη χρήση των απαραίτητων συνθηκών: p(w h ) = γ, p x (w h ) =, p(w + h 2 ) =, p x (w + h 2 ) = Continuous.9 Discontinuous x Σχήμα 4: Συνεχής (μπλε) και Ασυνεχής (κόκκινο) συντελεστής διάχυσης. Αξίζει να σημειώσουμε ότι όσο πιο πυκνή χωρική διαμέριση χρησιμοποιήσουμε τόσο η λύση αυτής της μεθόδου προσεγγίζει την ασυνεχή της ddhc.

9 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./9 Ας θεωρήσουμε τώρα το πρόβλημα μοντέλο που περιγράφει την ανάπτυξη καρκινικού όγκου στον εγκέφαλο στις + 2 διαστάσεις u = (D u) + u t, u := u(x, y, t) (x, y) [a, b] 2, t T u(x, y, ) = f(x, y), u η = όπου ο συντελεστής διάχυσης, που χαρακτηρίζεται από μία γωνιακή ασυνέχεια, ορίζεται ως: {, (x, y) (w, b] (w, b] D = γ, (x, y) (w, b] (w, b] y x 5 Σχήμα 5: Ο συντελεστής διάχυσης για το πρόβλημα μιας γωνίας. Αν υποθέσουμε, για ευκολία στη παρουσίαση, ότι έχουμε ομοιόμορφη διαμέριση και στις δύο κατευθύνσεις μήκους h, τότε η γενικευμένη συνάρτηση D(x, y) που προσεγγίζει τον συντελεστή διάχυσης D είναι της μορφής: D =, (x, y) (w + h, b] (w + h, b] p(x), (x, y) (w h, w + h] (w + h, b] p(y), (x, y) (w + h, b] (w h, w + h] c(x, y), (x, y) (w h, w + h] (w h, w + h] γ, διαφορετικά όπου τα πολυώνυμα p(x), p(y) έχουν οριστεί παραπάνω για το πρόβλημα στις + διαστάσεις ενώ στη γωνία χρησιμοποιούμε ένα γενικευμένο κυβικό πολυώνυμο c(x, y) = i=3 j=3 a ij x i y j ώστε να δημιουργήσουμε μια προσέγγιση του i= j=

10 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./ ασυνεχούς συντελεστή όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω Αξίζει να σημειώ y x Σχήμα 6: Συνεχής συντελεστής διάχυσης. σουμε ότι, με τη μέθοδο αυτή, οι πίνακες collocation που συμμετέχουν στο αντίστοιχο σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων παράγονται με χρήση τανυστικών γινομένων και η τάξη σύγκλισης της μεθόδου παραμένει τετάρτη. Για λόγους σύγκρισης, αναπτύσσουμε την HC-IR στο πρόβλημα μοντέλο που χρησιμοποιήσαμε και στην προηγούμενη παράγραφο στις + διαστάσεις. Ειδικότερα, u t = (Du x ) x + u () x [a, b] = Ω, t [, T ], u(x, ) = f(x), u x (a, t) = u x (b, t) = { γ, x [a, w] = Ω D =, για w (a, b), x (w, b] = Ω 2 Υπενθυμίζουμε ότι οι συνθήκες συνέχειας που προκύπτουν από την παραβολική φύση του ΠΑΣΣ-ΠΠ και πρέπει να ικανοποιεί η μέθοδός μας είναι οι: και lim x w Du x(x, t) = lim x w + Du x(x, t) γu x (w, t) = u x (w +, t) lim u(x, t) = lim u(x, t) u(w, t) = u(w +, t) x w x w +

11 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./ Η HC-IR σε αντίθεση με την ddhc δεν λύνει ένα ενιαίο πρόβλημα πολλαπλών πεδίων, αλλά το διαιρεί σε ανεξάρτητα προβλήματα και χρησιμοποιεί τα σημεία διεπαφής για να παράγει τις συνοριακές συνθήκες ανάμεσα σε αυτά. Συνεπώς, για την ανάπτυξη της μεθόδου, χρησιμοποιήσαμε τα συνεχή πολυώνυμα Hermite και θεωρήσαμε τις συνθήκες συνέχειας στις διεπαφές ως εσωτερικές συνοριακές συνθήκες των προβλημάτων. Ειδικότερα, η μέθοδος που αναπτύξαμε ανήκει στην κατηγορία two step AVE methods, και μπορούμε να την περιγράψουμε αλγοριθμικά για προβλήματα με δύο περιοχές ως εξής:. Για k =, Χωρίζουμε το χωρίο μας Ω σε δύο υποχωρία Ω, Ω 2 και διαλέγουμε τυχαία αρχικά u (), u () 2 για την λύση κάθε υποχωρίου. du 3. g = β (2k) dx + β du (2k) 2 γ dx, g 2 = γg x=w x=w 4. Λύνουμε το (ΑΠΣΤ) στο Ω με u x (a, t) =, u x (w, t) = g και Λύνουμε το (ΑΠΣΤ) στο Ω 2 με u x (w, t) = g 2, u x (b, t) = 5. h = α u (2k+) + ( a ) u (2k+), h 2 = h x=w x=w 6. Λύνουμε το (ΑΠΣΤ) στο Ω με u x (a, t) =, u(w, t) = h και Λύνουμε το (ΑΠΣΤ) στο Ω 2 με u(a, t) = h 2, u x (b, t) =. 7. Κριτήριο Τερματισμού 8. Τέλος Για 2 Η μέθοδος συγκλίνει επαναληπτικά στην ασυνεχή λύση της ddhc με μικρό αριθμό βημάτων και τερματίζει όταν η νέα λύση που παράγει είναι πολύ κοντά στην προηγούμενη λύση ( u (2k+) u (2k ) 2 tol). Η αντιμετώπιση ΠΑΣΣ-ΠΠ, με συντελεστή διάχυσης D(x) να ορίζεται μέσω γενικευμένων συνεχών συναρτήσεων με ασυνεχή παράγωγο σε ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων του πεδίου ορισμού, είναι άμεση και αντιμετωπίζεται μέσω του φορμαλισμού που έχουμε ήδη αναπτύξει. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ΠΑΣΣ-ΠΠ μοντέλο: c t = (Dc x ) x + c, x [a, b], t c x (a, t) = και c x (b, t) = c(x, ) = f(x) (2)

12 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./2 ή, ισοδύναμα, αντικαθιστώντας c(x, t) = e t u(x, t): u t = (Du x ) x, x [a, b], t u x (a, t) = και u x (b, t) = u(x, ) = f(x) (3) όπου ο συντελεστής διάχυσης ορίζεται ως: { D (x), a x w D = D 2 (x), w < x b με D (x) και D 2 (x) παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο πεδίο ορισμού τους. Και στην περίπτωση αυτή, οι συνθήκες συνέχειας, που η παραβολική μορφή του προβλήματος επιβάλλει στο σημείο διεπαφής x = w, έχουν τη μορφή: [u] := u + u =, (4) [Du x ] := D + u + x D u x =, (5) όπου u + := lim x w + u(x) και u := lim x w u(x). Παρατηρώντας τώρα ότι η συνθήκη (5) γράφεται ως και επομένως και ως lim D 2(x)u x = lim D (x)u x (6) x w + x w lim u x = γ lim u x x w + x w, γ := D (w) D 2 (w) (D 2(w) ) (7) καθίσταται σαφές ότι ο φορμαλισμός της μεθόδου ddhc, που έχουμε αναπτύξει για την περίπτωση των step συναρτήσεων και συμπεριλάβει στις προηγούμενες τεχνικές εκθέσεις, ισχύει και στη γενικότερη περίπτωση. Θεωρούμε την εξίσωση c t = (Dc x ) x + (Dc y ) y + c( c), (x, y) [ 4, 4] 2, t (8) c = και c(x, y, ) = f(x) η

13 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./3 με γ, (x, y) [ 4, 2) [ 4, 4] D =, (x, y) [ 2, 2) [ 4, 4] γ, (x, y) [ 2, 4) [ 4, 4] Η λύση της εξίσωσης στον τελικό χρόνο είναι: Σχήμα 7: Η αριθμητική λύση της μη γραμμικής εξίσωσης στις 2+ διαστάσεις. και η τάξη σύγκλισης της μεθόδου διατηρείτε στο 4, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα Σχήμα 8: Η τάξη σύγκλισης της μεθόδου ddhc.

14 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./4 Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα μοντέλο: με συντελεστή διάχυσης: u = [D (u)] t, u := u(x, y, t) (x, y) [, 2] 2, t 2 u(x, y, ) = f(x, y), u η = D = {, (x, y) (, 2] (, 2] γ, (x, y) (, 2] (, 2] Η επίλυση της εξίσωσης με τον Συντελεστή Διάχυσης D, τον οποίο έχουμε περιγράψει στην Μεθοδολογία της μεθόδου παραπάνω μας οδηγεί στην αριθμητική λύση που φαίνεται στο Σχ. (9), η οποία φαίνεται να προσεγγίζει σωστά το αναμενόμενο προφίλ στις περιοχές διεπαφής Σχήμα 9: Η αριθμητική λύση με τον γενικευμένο δι-κυβικό συντελεστή διάχυσης. Τέλος, στον Πίνακα () φαίνεται το απόλυτο σφάλμα, η τάξη σύγκλισης καθώς και ο υπολογιστικός χρόνος της συνολικής υλοποίησης της μεθόδου.

15 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./5 (N x, N y ) Error O.o.c. Time (6, 6) 7.2e (32, 32) 7.77e (64, 64) 4.8e (28, 28) 2.97e Πίνακας : Πίνακας Αριθμητικών Αποτελεσμάτων για την μέθοδο κυβικής προσέγγισης του Συντελεστή Διάχυσης. Θεωρούμε την παραβολική εξίσωση u t = (Du x ) x + u (9) x [ 5, 5] = Ω, t [, 2], u(x, ) = f(x), u x ( 5, t) = u x (5, t) = για ένα πρόβλημα δύο περιοχών που περιγράφεται απο τον συντελεστή διάχυσης, { γ, x [ 5, 3] = Ω D =, x ( 3, 5] = Ω 2 Η λύση που παράξαμε με την μέθοδο Hermite Collocation - Interface Relaxation φαίνεται στο Σχ. () με μπλε διακεκομμένη γράμμη, σε σύγκριση με την λύση της ddhc (κόκκινη συνεχόμενη γραμμή). Επιπλέον, αφού θεωρήσαμε το σφάλμα E i = U i dhc U i rel U i dhc αποδείξαμε ότι η τάξη σύγκλισης της μεθόδου HC-IR ώς προς την λύση της ddhc παραμένει τετάρτη (βλ. Πίνακα (2)). h Error O.o.c /4 3.7e-3 - /8.68e-6. /6.5e / e-9 4. /64 4.e Πίνακας 2: Πίνακας Αριθμητικών Αποτελεσμάτων για την μέθοδο HC-IR.

16 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./6.5 t= 2 DHC HC+Relaxation Σχήμα : Υβριδική Hermite Collocation με χρήση Relaxation. Ας θεωρήσουμε το πρόβλήμα, u t = (Du x ) x, x [ 5, 5], = 4 u x ( 5, t) = και u x (5, t) =. u(x, ) = f(x) με γραμμικούς συντελεστές διάχυσης σε δύο υποπεριοχές του χωρίου, {.35x.85, 5 x 3 D =.8x +.53, 3 < x 5 () Στο Σχ. καθίσταται εμφανής η ασυνέχεια της λύσης στο σημείο διεπαφής καθώς και η επίδραση του γραμμικού συντελεστή διάχυσης σε κάθε περιοχή αντίστοιχα Σχήμα : Λύση προβλήματος με γραμμικό συντελεστή διάχυσης.

17 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./7 Επίσης, όπως μπορεί κανείς εύκολα να παρατηρήσει στο Σχ. 2, η τάξη σύγκλισης της μεθόδου παραμένει τετάρτη Σχήμα 2: Τάξη σύγκλισης της ddhc μεθόδου. Ανάπτυξη λογισμικού σε προγραμματιστικό περιβάλλον MATLAB. Η παρούσα τεχνική έκθεση. Η παρούσα ερευνητική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε από η ερευνητική ομάδα του Πολυτεχνείου Κρήτης (ΚΕΟ) αποτελούμενη από τους καθ. Ι. Σαριδάκη και καθ. Ε. Παπαδοπούλου, Δρ. Μ. Παπαδομανωλάκη και τον υποψήφιο διδάκτορα Ι. Αθανασάκη. Για την ανάπτυξη της μεθόδου HC-IR συνεργαστήκαμε και με τα μέλη της (ΚΕΟ2) καθ. Μ. Βάβαλη και Αν.καθ. Γ. Τσομπανοπούλου. Έχοντας ως σκοπό την ολοκλήρωση του συνολικού στόχου του προγράμματος, οι μελλοντικές ενέργειες που προγραμματίζουμε στα πλαίσια της παρούσας δράσης περιλαμβάνουν: Ολοκλήρωση της ανάπτυξης της ddhc μεθόδου για γενικευμένα ΠΑΣΣ- ΠΠ στις + και +2 διαστάσεις

18 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./8 Απεικόνιση της ddhc μεθόδου σε παράλληλες αρχιτεκτονικές CPU-GPU Συγγραφή των αποτελεσμάτων για δημοσίευση σε επιστημονικά περιοδικά και διεθνή συνέδρια. [] Akrivis G, Mathematics of Computation,, 45-68, 22 [2] R. Alexander Diagonally Implicit Runge-Kutta Methods for stiff ODE s,, vol. 4, no. 6, pp. 6-2, 977. [3] C. de Boor and B. Swartz Collocation at Gaussian points,, vol., pp , 973. [4] P.K. Burgess, P.M. Kulesa, J.D. Murray and E.C. Alvord Jr. The interaction of growth rates and diffusion coefficients in a threedimensional mathematical model of gliomas,, vol.56, no. 6, pp.74-73, 997. [5] J.C. Butcher Implicit Runge-Kutta processes,, vol.8, pp.5-64, 964. [6] J.C.Butcher The numerical analysis of ordinary differential equations,, 987. [7] Cherniha R and Dutka V, Reports on Mathematical Physics,, , 2 [8] M. Crouzeix Sur l approximation des equations differentielles operationnelles lineaires par desmethodes de Runge Kutta,, University Paris VI, Paris, 975. [9] G.C. Cruywagen, D.E. Woodward, P. Tracqui, G.T. Bartoo, J.D. Murray and E.C. Alvord Jr. The modeling of diffusive tumours,, vol.3, pp , 995. [] de Boor C and Swartz B, SIAM Num. Anal., vol., pp , 973 [] Duan WS, Yang HJ and Shi YR, Chinese Physics,, 44-7, 26

19 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./9 [2] Fisher RA, Ann. Eugen.,, , 937 [3] Gottlieb S, Shu CW and Tadmor E, SIAM Num. Anal.,, 89-2, 2 [4] Gottlieb S and Shu CW, Mat. Comp.,, 73-85, 998 [5] Kolmogorov AN, Petrovsky IG and Piskunov NS, Bull. Moscow State Univ. Ser. A: Math. and Mech.,, -25, 937 [6] Hairer E, Numer. Math.,, 57-68, 98 [7] Hengeveld R, Chapman and Hall, London, 989 [8] A. R. Mitchell, D.F. Griffiths The Finite Difference Method in Partial Differential Equations,, 98. [9] Murray JD, Springer, Berlin, 989 [2] M.G. Papadomanolaki The collocation method for parabolic differential equations with discontinuous diffusion coefficient: in the direction of brain tumour simulations,, Technical University of Crete, 22 (in Greek) [2] Petrovskii SV and Li BL, Taylor & Francis, 2 [22] Ruuth S and Spiteri R, J. Scientific Computation,, 2-22, 22 [23] Schmitt B, BIT,, , 988 [24] Shu CW, SIAM J. Sci. Stat. Comput.,, 73-84, 988 [25] Shu CW and Osher S, J. Comput. Phys.,, , 988

20 Τεχνική Έκθεση 24 Δ2./2 [26] G.D. Smith Numerical solution of partial equations:finite difference methods(third edition),, 985. [27] K.R.Swanson Mathematical modelling of the growth and control of tumour,, 999. [28] K.R.Swanson, E.C.Alvord Jr and J.D.Murray A quantitive model for differential motility of gliomas in grey and white matter,, vol.33, pp , 2. [29] K.R.Swanson,C.Bridge,J.D.Murray and E.C.Alvord Jr Virtual and real brain tumours:using mathematical modeling to quantify glioma growth and invasion,, vol.26, pp.-, 23. [3] P.Tracqui,G.C.CruywagenG,D.E.Woodward,T.Bartoo, J.D.Murray and E.C.Alvord Jr. A mathematical model of glioma growth:the effect of chemotherapy on spatio-temporal growth,, vol.28, pp.7-3, 995. [3] D.E.Woodward,J.Cook,P.Tracqui,G.C.Cruywagen,J.D.Murray,and E.C.Alvord Jr. A mathematical model of glioma growth: the effect of extent of surgical resection,, vol.29, pp , 996.

Τεχνική Έκθεση DIRK και SSP Runge-Kutta Σχήματα Δακριτοποίησης Χρόνου.. 3

Τεχνική Έκθεση DIRK και SSP Runge-Kutta Σχήματα Δακριτοποίησης Χρόνου.. 3 Δ4.2/2 1.1 DIRK και SSP Runge-Kutta Σχήματα Δακριτοποίησης Χρόνου.. 3 1.2 Επικύρωση αποτελεσμάτων σε γενικευμένα γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων στις 1 + 1 διαστάσεις.......... 4 1.3 Επικύρωση αποτελεσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Μαθηματικό Μοντέλο προσομοίωσης καρκινικών όγκων στον Εγκέφαλο

Τεχνική Έκθεση Μαθηματικό Μοντέλο προσομοίωσης καρκινικών όγκων στον Εγκέφαλο Δ4.2/2 2.1 Μαθηματικό Μοντέλο προσομοίωσης καρκινικών όγκων στον Εγκέφαλο.................................. 3 2.2 Ασυνεχής Collocatlion και Αριθμητικά Σχήματα Διακριτοποίησης Χρόνου................................

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Αναγνώριση, Ψηφιοποίηση και Διακριτοποίηση Ετερογενών Περιοχών MRI Απεικόνισης Εγκεφάλου... 14

Τεχνική Έκθεση Αναγνώριση, Ψηφιοποίηση και Διακριτοποίηση Ετερογενών Περιοχών MRI Απεικόνισης Εγκεφάλου... 14 Δ4.2/2 1.1 ddhc και IMEX RK σχήματα για μη-γραμμικά μοντέλα εξέλιξης καρκινικών όγκων εγκεφάλου.................... 3 1.2 Απεικόνιση των ddhc εξισώσεων για γραμμικά μοντέλα εξέλιξης καρκινικών όγκων εγκεφάλου

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Προσαρμογή της ddhc σε γενικευμένα γραμμικά προβλήματα

Τεχνική Έκθεση Προσαρμογή της ddhc σε γενικευμένα γραμμικά προβλήματα Δ2.1/2 1.1 Προσαρμογή της ddhc σε γενικευμένα γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων στις 1 + 1 διαστάσεις............. 3 1.2 Ανάπτυξη της μεθόδου Hermite Collocation για ομογενή παραβολικά μη-γραμμικά προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Τεχνική Έκθεση. 1.1 Τα βασικά μαθηματικά εργαλεία (Building Blocks) της Δράσης 2.1 4

Τελική Τεχνική Έκθεση. 1.1 Τα βασικά μαθηματικά εργαλεία (Building Blocks) της Δράσης 2.1 4 Δ2.1/2 1.1 Τα βασικά μαθηματικά εργαλεία (Building Blocks) της Δράσης 2.1 4 1.2 Η ddhc μέθοδος για γενικευμένα μη-γραμμικά παραβολικά ΠΑΣΣ- ΠΠ στις 1+1 διαστάσεις....................... 5 1.3 Η ddhc μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Τεχνική Έκθεση

Τελική Τεχνική Έκθεση Δ4.2/2 1.1 Σχήματα Χρονικής Διακριτοποίησης Runge-Kutta......... 4 1.2 Μοντέλα Βιολογικής Εισβολής Πληθυσμών και Διάχυσης Καρκινικών Όγκων στον Εγκέφαλο.................... 5 1.3 Εξέλιξη Καρκινικών Όγκων

Διαβάστε περισσότερα

Έκθεση Προόδου Σκοπός Δραστηριότητες Έτους

Έκθεση Προόδου Σκοπός Δραστηριότητες Έτους Έκθεση Προόδου 2014 2 1.1 Σκοπός................................ 4 1.2 Δραστηριότητες Έτους 2014..................... 4 2.1 Υβριδικές/Ασυνεχείς Μέθοδοι Collocation............. 6 2.2 Μέθοδοι Χαλάρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Παράλληλη επαναληπτική επίλυση των Collocation εξισώσεων σε γραφικά υποσυστήματα GPUs... 3

Τεχνική Έκθεση Παράλληλη επαναληπτική επίλυση των Collocation εξισώσεων σε γραφικά υποσυστήματα GPUs... 3 Δ2.1/2 1.1 Παράλληλη επαναληπτική επίλυση των Collocation εξισώσεων σε γραφικά υποσυστήματα GPUs................... 3 2.1 Red Black Collocation γραμμικά συστήματα............ 4 2.1.1 Παράλληλος αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Μέθοδος Φωκά για γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων. εξαρτώμενους συντελεστές Μέθοδος Φωκά σε διατάσεις...

Τεχνική Έκθεση Μέθοδος Φωκά για γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων. εξαρτώμενους συντελεστές Μέθοδος Φωκά σε διατάσεις... Δ2.4/2 1.1 Μέθοδος Φωκά για γραμμικά προβλήματα πολλαπλών πεδίων στις 1+1 διαστάσεις με ασυνεχή συντελεστή διάχυσης και χρονικά εξαρτώμενους συντελεστές..................... 3 1.2 Μέθοδος Φωκά για γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Μέθοδοι χαλάρωσης στη διεπαφή για ελλειπτικά και παραβολικά προβλήματα Παράλληλοι Αλγόριθμοι ΜΧΔ...

Τεχνική Έκθεση Μέθοδοι χαλάρωσης στη διεπαφή για ελλειπτικά και παραβολικά προβλήματα Παράλληλοι Αλγόριθμοι ΜΧΔ... Δ2.2/2 2.1 Μέθοδοι χαλάρωσης στη διεπαφή για ελλειπτικά και παραβολικά προβλήματα............................. 3 2.2 Παράλληλοι Αλγόριθμοι ΜΧΔ.................... 6 3.1 Μέθοδοι χαλάρωσης στη διεπαφή για

Διαβάστε περισσότερα

Discontinuous Hermite Collocation and Diagonally Implicit RK3 for a Brain Tumour Invasion Model

Discontinuous Hermite Collocation and Diagonally Implicit RK3 for a Brain Tumour Invasion Model 1 Discontinuous Hermite Collocation and Diagonally Implicit RK3 for a Brain Tumour Invasion Model John E. Athanasakis Applied Mathematics & Computers Laboratory Technical University of Crete Chania 73100,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Μέθοδοι χαλάρωσης στη διεπαφή για σύνθετα προβλήματα πολλαπλών φυσικών μοντέλων και πολλαπλών χωρίων... 7

Τεχνική Έκθεση Μέθοδοι χαλάρωσης στη διεπαφή για σύνθετα προβλήματα πολλαπλών φυσικών μοντέλων και πολλαπλών χωρίων... 7 Δ2.2/2 2.1 Μεθόδων επίλυσης προβλημάτων πολλαπλών φυσικών και χωρίων 3 2.2 Μέθοδοι χαλάρωσης στη διεπαφή για ελλειπτικά και παραβολικά προβλήματα............................. 5 3.1 Μέθοδοι χαλάρωσης στη

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Κεφάλαιο 6 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε την εξίσωση της θερμότητας στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής MATENVMED - ΜΙΣ Δράση Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά

Θαλής MATENVMED - ΜΙΣ Δράση Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά Θαλής MATENVMED - ΜΙΣ 379416 Δράση 24 - Μέθοδοι Μετασχηματισμού Φωκά Ασβεστάς Μάριος 1, Μαντζαβίνος Διονύσιος 2, Παπαδομανωλάκη Μαριάννα 1, Παπαδοπούλου Έλενα 1, Σαριδάκης Γιάννης 1, Σηφαλάκης Τάσος 1,

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Έκθεση Προόδου Σκοπός Δραστηριότητες Έτους

Έκθεση Προόδου Σκοπός Δραστηριότητες Έτους Έκθεση Προόδου 2013 2 1.1 Σκοπός................................ 4 1.2 Δραστηριότητες Έτους 2013..................... 4 2.1 Υβριδικές/Ασυνεχείς Μέθοδοι Collocation............. 5 2.2 Μέθοδοι Χαλάρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση Κεφάλαιο 3 Πρόβλημα δύο σημείων Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μεθόδο πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα Σ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως, τα οποία καλούνται και προβλήματα δύο σημείων. Ο λόγος που θα ασχοληθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές

Πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 2 Πεπερασμένες διαφορές Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο των πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Θα εισαγάγουμε ποσότητες που προκύπτουν από διαφορές

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Ακρίβης. Προσωπικά στοιχεία. Εκπαίδευση. Ακαδημαϊκές Θέσεις. Ηράκλειο. Country, Ισπανία. Λευκωσία, Κύπρος. Rennes, Γαλλία.

Γεώργιος Ακρίβης. Προσωπικά στοιχεία. Εκπαίδευση. Ακαδημαϊκές Θέσεις. Ηράκλειο. Country, Ισπανία. Λευκωσία, Κύπρος. Rennes, Γαλλία. Γεώργιος Ακρίβης Προσωπικά στοιχεία Έτος γέννησης 1950 Τόπος γέννησης Χρυσοβίτσα Ιωαννίνων Εκπαίδευση 1968 1973,, Ιωάννινα. Μαθηματικά 1977 1983,, Μόναχο, Γερμανία. Μαθηματικά, Αριθμητική Ανάλυση Ακαδημαϊκές

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Μέθοδος Φωκά για παραβολικά γραμμικά προβλήματα, με χωρικές και χρονικές ασυνέχειες, στις διαστάσεις...

Τεχνική Έκθεση Μέθοδος Φωκά για παραβολικά γραμμικά προβλήματα, με χωρικές και χρονικές ασυνέχειες, στις διαστάσεις... Δ2.4/2 1.1 Μέθοδος Φωκά για παραβολικά γραμμικά προβλήματα, με χωρικές και χρονικές ασυνέχειες, στις 1 + 1 διαστάσεις........ 3 1.2 Εισαγωγή στις δύο χωρικές διαστάσεις και σε μη-γραμμικά προβλήματα................................

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή . Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή 4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής (ΜΙΣ:379416) Μέθοδος Φωκά για Ασυνεχή Προβλήματα

Θαλής (ΜΙΣ:379416) Μέθοδος Φωκά για Ασυνεχή Προβλήματα Το Πρόβλημα Θαλής ΜΙΣ:379416) για Ασυνεχή Προβλήματα Διονύσιος Μαντζαβίνος 1, Παπαδοπούλου Έλενα 2, Παπαδομανωλάκη Μαριάννα 2, Σαριδάκης Γιάννης 2, Σηφαλάκης Τάσος 2, Ασβεστάς Μάριος 2 1 Τμήμα Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Συνοπτική παρουσίαση... 3

Τεχνική Έκθεση Συνοπτική παρουσίαση... 3 Δ2.3/2 1.1 Συνοπτική παρουσίαση....................... 3 Δ2.3/3 Σύμφωνα με το τεχνικό δελτίο του έργου η δράση της παρούσας έκθεσης συνοψίζεται ως εξής. Δράση 2.3: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ/ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΕΣ ΥΒΡΙΔΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Συνοπτική παρουσίαση... 3

Τεχνική Έκθεση Συνοπτική παρουσίαση... 3 Δ2.3/2 1.1 Συνοπτική παρουσίαση....................... 3 Δ2.3/3 Σύμφωνα με το τεχνικό δελτίο του έργου η δράση της παρούσας έκθεσης συνοψίζεται ως εξής. Δράση 2.3: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ/ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΕΣ ΥΒΡΙΔΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας. Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ.

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας. Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ & ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΨΗΛΗΣ ΤΑΞΗΣ ODE ΜΕ ΥΨΗΛΗΣ ΤΑΞΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Όπως είδαμε μέχρι τώρα η ομαλότητα της ακριβούς λύσης επηρεάζει τις εκτιμήσεις σφάλματος με τέτοιο τρόπο ώστε ολα όσα αποδείξαμε ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Μεθόδων επίλυσης προβλημάτων πολλαπλών φυσικών και χωρίων 3

Τεχνική Έκθεση Μεθόδων επίλυσης προβλημάτων πολλαπλών φυσικών και χωρίων 3 Δ2.2/2 2.1 Μεθόδων επίλυσης προβλημάτων πολλαπλών φυσικών και χωρίων 3 Δ2.2/3 Το παρόν έργο θα ασχοληθεί με τη προσομοίωση πολύπλοκων φαινομένων που περιγράφονται από σύνθετα προβλήματα μερικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικές Μέθοδοι Collocation. Απεικόνιση σε Σύγχρονες Υπολογιστικές Αρχιτεκτονικές

Αριθµητικές Μέθοδοι Collocation. Απεικόνιση σε Σύγχρονες Υπολογιστικές Αρχιτεκτονικές Αριθµητικές Μέθοδοι Collocation Απεικόνιση σε Σύγχρονες Υπολογιστικές Αρχιτεκτονικές Hermite Collocation Method BVP L B uxy (, ) = f(, xy), (, xy) Ω uxy (, ) = gxy (, ), (, xy) Ω Red Black Collocation

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής 5 1 Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Σκοπός Μεθοδολογία Συμπεράσματα Μελλοντικές Δράσεις Παραδοτέα Συνεργασίες

Περιεχόμενα Σκοπός Μεθοδολογία Συμπεράσματα Μελλοντικές Δράσεις Παραδοτέα Συνεργασίες Δ4.3/2 2.1 Παράκτιος υδροφορέας περιοχής Βαθέως Καλύμνου....... 3 2.2 Υφαλμύριση παράκτιων υδροφορέων............... 3 2.3 Οι εξισώσεις του μαθηματικού μοντέλου.............. 4 2.4 Αναλυτική λύση............................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa

chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονοµατεπώνυµο : ιεύθυνση : Email: Web: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΧΑΤΖΗΠΑΝΤΕΛΙ ΗΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Λεωφ. Κνωσσού, Ηράκλειο, 71409. chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa Προσωπικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορίκών Εξισώσεων 3ο Εργαστήριο 27/03/2015 1

Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορίκών Εξισώσεων 3ο Εργαστήριο 27/03/2015 1 Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορίκών Εξισώσεων 3ο Εργαστήριο 7/3/5 Σκοπός αυτού του εργαστηρίου είναι να δούμε πως μπορούμε να επιλύσουμε συστήματα διαφορικών εξισώσεων, με την χρήση του Matlab. Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής:

ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής: ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής: (,)(,)()() h 1 u x t u x t u t x (1) e Η διαφορά με τα

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Κεφάλαιο 9 Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή ελλειπτική εξίσωση, στις δύο διαστάσεις. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

2.Τι εννοούμε με βαθμό συνέχειας μιας συνάρτησης; Ποια είναι η χρησιμότητα της από πλευράς εφαρμογών;

2.Τι εννοούμε με βαθμό συνέχειας μιας συνάρτησης; Ποια είναι η χρησιμότητα της από πλευράς εφαρμογών; ΗΥ1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5 1.Tι είναι συνάρτηση; Περιγράψτε τα στοιχεία που την ορίζουν..τι εννοούμε με βαθμό συνέχειας μιας συνάρτησης; Ποια είναι η χρησιμότητα της από πλευράς εφαρμογών;.να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων.

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων. Πανεπιστήµιο Κύπρου Το µάθηµα περιλαµβάνει Αριθµητικές και Υπολογιστικές Μεθόδους για Μηχανικούς, µε έµφαση στις µεθόδους: αριθµητικής ολοκλήρωσης/παραγώγισης, αριθµητικών πράξεων µητρώων, λύσεων µητρώων

Διαβάστε περισσότερα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σφάλματα 1.1 Εισαγωγή...17 1.2 Αρχικά Σφάλματα (σφάλματα μετρήσεων)...18 1.2.1 Απλές μετρήσεις...18 1.2.2 Σύνθετες μετρήσεις...19 1.2.3 Σημαντικά ψηφία και

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 37 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων Κεφάλαιο 4 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μια τεχνική για την κατασκευή προσεγγιστικών λύσεων μερικών και ολοκληρωτικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Κεφ 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 71 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις 7 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων 73 Οριακές συνθήκες μικτού τύπου και ακανόνιστα

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Quiz Σύντομες Λύσεις Άσκηση. Δείξτε ότι η απεικόνιση u, v = u v + 5u v, όπου u = (u, u ), v = (v, v ),

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 6. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος

Ενότητα 6. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 6 Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 9: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 9: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 9: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Είδαμε την διακριτοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * *

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * MEM 253 Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * 1 Περιγράφουμε το πρόγραμμα fem.py για τη λύση του προβλήματος δύο σημείων (x) + q(x)u(x) = f (x), x [, ], u( ) = u( ) = 0, u x l x r x l x r με τη μέθοδο των πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση εφαρμογής της μεθόδου Newton Raphson

Άσκηση εφαρμογής της μεθόδου Newton Raphson Άσκηση εφαρμογής της μεθόδου Newton Raphson Η ακόλουθη αντίδραση πραγματοποιείται σε έναν αντιδραστήρα αέριας φάσης: H 2 S+O 2 H 2 +SO 2 Όταν το σύστημα φτάσει σε ισορροπία στους 600Κ και 10 atm, τα μοριακά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * *

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * MEM 253 Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * 1 Ένα πρόβλημα-μοντέλο Ροή θερμότητας σε ένα ομογενές μέσο. Ζητούμε μια συνάρτηση x [0, 1] και t 0 τέτοια ώστε u(x, t) ορισμένη για u t u(0, t) u(x, 0) = u xx, 0 < x

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση Ανάπτυξη και υποστήριξη ιστοσελίδας Πρακτικά ημερίδας σε ηλεκτρονική μορφή... 25

Τεχνική Έκθεση Ανάπτυξη και υποστήριξη ιστοσελίδας Πρακτικά ημερίδας σε ηλεκτρονική μορφή... 25 Δ2.4/2 1.1 Ανάπτυξη και υποστήριξη ιστοσελίδας............... 3 1.2 Ημερίδα παρουσίασης αποτελεσμάτων.............. 3 1.3 Επιστημονικές Ημερίδες....................... 4 1.4 Διεθνή Συνέδρια...........................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ -- ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα 3 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 4: Εξίσωση διάχυσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 4: Εξίσωση διάχυσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 4: Εξίσωση διάχυσης Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... 1. Εξετάσαμε τις μεθόδους των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 Εισαγωγή Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια της μεθόδου Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο Μάθημα 2 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών 1. Εισαγωγή. Προβλήματα δύο οριακών τιμών 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους 5. Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 8 : Το ιακριτό Μοντέλο Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων 7

Πίνακας Περιεχομένων 7 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16

Διαβάστε περισσότερα

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B. Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων

Διαβάστε περισσότερα