Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος

Transcript

1 Διαηαικό Πρόγραα Μεαπυχιακών Σπουδών «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ» Ε.Μ.Π., Ακαδηαϊκό Έος - Μάθηα: Ροποικός Έλεγχος Σαική και Δυναική Ανάλυση Ροποικών Χειρισών Κωνσανίνος Τζαφέσας Τοέας Σηάων, Ελέγχου & Ροποικής Σχολή Ηλεκρ. Μηχ/κών & Μηχ/κών Υπολ., Ε.Μ.Π. Τηλ.: () (Κήριο Ηλεκρ., Γραφείο.) E-mal: ktzaf@cs.tua.gr Web: Σαική Ανάλυση Ροποικών Χειρισών

2 Ανάλυση Δυνάεων & Ροπών (/) N, O - Άρθρωση f r,, N + +, r c, Σύνδεσος f, O Άρθρωση + Ισορροπία Δυνάεων/Ροπών f f g,, + + m ( r r ) ( r ) N N f f,, +, + c,, + c,, +, +, + F f δράση από ο ροπό πάνω σο N εξωερικό περιβάλλον διάνυσα γενικευένων δράσεων σις αρθρώσεις ˆ, b f : πρισαική άρθρωση ˆ, b N : σροφική άρθρωση J F Σαική εξίσωση ροποικού χειρισή 3 Ανάλυση Δυνάεων & Ροπών (/) N, Σύνδεσος (-) bˆ- O - Άρθρωση () Σύνδεσος () f, Κάθε άρθρωση εισάγει γεωερικούς (κινηαικούς) περιορισούς ως προς η σχεική κίνηση ων συνδέσων διάνυσα γενικευένων δράσεων σις αρθρώσεις διάνυσα γενικευένων αχυήων σις αρθρώσεις ˆ, b f : πρισαική άρθρωση ˆ, b N : σροφική άρθρωση Γενικευένη δράση (ροπή ή δύναη), ασκούενη σον () σύνδεσο από ο σύνδεσο (-), δυνάενη να παράγει έργο σε γενικευένη εαόπιση. 4

3 Σαικό ροποικό ονέλο Αρχή Δυναών Έργων (vrtual work prcple): Μηχανικό Σύσηα σε σαική ισορροπία Δυναό Έργο δε που παράγεαι σε υχαία (επιρεπή) σοιχειώδη γενικευένη εαόπιση δ δ δ δ F δ E... ext δ p δ δ + δ E p Fext δ p J δ ( J δ) F + δ δ J F + δ δ ext ext Σαική εξίσωση ροποικού χειρισή J F J F ext όπου: F F (+), δηλ.: F (robot exteral evromet) 5 Σαικό Μονέλο Παράδειγα () βαθοί ελευθ. D, επίπεδο F F F x y y l O l x J (l s +l s ) l s (l c +l c ) l c Ιακωβιανή Μήρα Σαικό Μονέλο l s( ) l cos( ) l s l s + l cos + l cos + F x Fy + + 6

4 Δυϊσός κινηαικής / σαικής R J p R m R(J) Κινηαική N(J) R p J J Τ F p R m R(J): rage space (σύνολο δυναών αχυήων σο χώρο εργασίας) N(J): ull space (ηδενικός χώρος) N(J): ορθογώνιο συπλήρωα (R(J Τ )) R(J): ορθογώνιο συπλήρωα (N(J Τ )) R(J Τ ) N(J Τ ) Σαική J F 7 Μηχανική Ανίσαση (stffess) (α) J F : Σαικό Μονέλο (β) δ p J δ : Κινηαικό Μονέλο () k Δ K Δ (,,) : Μονέλο «ηχανικής ανίσασης» (ακαψίας) αρθρώσεων ( J K ) J δ p F J F δ p Jδ C Complace matrx Μήρα «ηχανικής συόρφωσης» K F K p δ p K J K J p k k Stffess matrx Μήρα «ηχανικής ανίσασης» 8

5 Δυναική Ανάλυση Ροποικών Χειρισών (A) Μονέλο Newto-Euler (B) Μονέλο Lagrage 9 (A) Μονέλο Newto-Euler Εξισώσεις κίνησης Newto-Euler N, f, v c ω c r c, Σύνδεσος N + +, f, Εξίσωση κίνησης Newto: ( f ) d E ( E mvc : ορή),, + + c f f mg mv O Εξίσωση κίνησης Euler: - r, d N G ( G r r ρdv : σροφορή) V Άρθρωση O N, N, + r, c f, + rc, f, + Άρθρωση + Iω + ω ( Iω) a ( b c) I {( r ri3) rr } ρ dv (ανυσής αδρανείας) ( a c) b( a b) c V ( abc ) ( ca) b {( y yc) ( z zc) } ρdv ( x xc)( y yc) ρdv ( z zc)( x xc) ρdv + I ( xx ) c yyc ρdv {( z zc) + ( xxc) } ρdv ( yyc)( zzc) ρdv ( z z ) c xxc ρdv yyc zzc ρdv {( x xc) + ( yyc) } ρdv

6 (A) Μονέλο Newto-Euler Μονέλο Newto-Euler: Απόδειξη () ( σ ) ( σ) ( σ) G I ω και G I ω όπου r V I r I Είναι: 3 ( rr ) () RΣ σ ρdv r r r και r ( ) ( σ ) σ σ σ σ I I r r V 3 r r σ σ r R ή r r R Σ Σ ρdv σ σ I V 3 R R r r Σ r r Σ ρdv σ σ σ σ R R V r r Σ Σ Σ Σ r r R σ σ σ σ { V I 3 ρdv} RΣ Σ I I R R ρdv I r r r r ( σ ) I I ( σ ) R RΣ Σ Ι (A) Μονέλο Newto-Euler Μονέλο Newto-Euler: Απόδειξη () ( Σ ) dg d ( Σ) ( Σ) ( Σ) d R ( Σ) ( Σ) ( ( RΣ) G) ( RΣ) ω + ω I I A d( RB ) ( A) A όπου χρησιοποιήθηκε η σχέση: (*) B RB ω ( Σ) ( Σ) ( Σ) ( Σ) ( Σ) G I ω ( RΣ) I ( RΣ) ( RΣ) ω ( RΣ) I ω ( RΣ ) G I ( Σ ) G (*) dg ( Σ) ( Σ) () ( Σ) ( Σ) N ( RΣ) I ω + ωσ ( RΣ I ω) ( Σ) ( Σ) ( Σ) ( Σ) ( Σ) ( RΣ) [ I ω + ωσ ( I ω) ] ( Σ) N dg ( Σ) ( Σ) ( RΣ) I ( RΣ) ω + ω ( RΣ I ( RΣ) ω ) dg I ω + ω ( I ω) ( RΣ ) ω ( Σ ) ω

7 Δυναικό Μονέλο Lagrage (B) Μονέλο Lagrage L KP Λαγκρανζιανή συνάρηση (Lagraga) K: κινηική, P: δυναική ενέργεια K K όπου K m rcr c+ ω Ιω d L L : γενικευένη δράση σον βαθό ελευθερίας : γενικευένη εαόπιση σον βαθό ελευθερίας d K K P + Δυναική εξίσωση (ονέλο) Lagrage 3 (B) Μονέλο Lagrage Μονέλο Lagrage Απόδειξη (/) Έσω σύσηα σηειακών αζών (άζας m ), ε βαθούς ελευθερίας (β.ε.),, : γενικευένες εαβληές εαόπισης σους β.ε. () () x x(,, ) και F m x : συνολική δύναη ασκούενη ση άζα x x x x Κινηική Ενέργεια: (4) (3) Τ K m x x K x x m x m x Τ Τ Άρα: ( ) Q d K K (7) (3) (4) K Έσω Q : γενικευένη δράση σον β.ε.: x Q F (5) αφού: Τ Τ Τ Q δ F δ x d x x m x + m x (6) Q K (5), () (4) 4

8 (B) Μονέλο Lagrage Μονέλο Lagrage Απόδειξη (/) Έσω P: δυναική ενέργεια (αποθηκευένη σο ηχανικό σύσηα) Συνηρηική Δύναη F F + F και Q Q, P +, P, Τ όπου: F P,P x P x Άρα (από (6)): ( Τ) x και Q F P P και P,, P Q P d K x K x K P, F, P + F, + F, P + + d K K P + Q Q +, P ή d L L : Μονέλο Lagrage όπου: L KP 5 Προσδιορισός Μήρας Αδρανείας (/) K mv c vc+ ω c I ωc K K Ισχύει: () () v J J () c L L v J c L () () () ω J J J c A A ω c A (B) Μονέλο Lagrage όπου: J bˆ J J J () j Lj ˆ () b r j j, c (j,,) () () () L L L : πρισαική : σροφική και J J J J () A j () () () A A A bˆ (j,,) j : πρισαική : σροφική 6

9 (B) Μονέλο Lagrage Προσδιορισός Μήρας Αδρανείας (/) Άρα: () () () () L L A A ( ) K m J J + J I J D Εποένως: () K D όπου η ήρα αδρανείας: () () () () D ( mj J + J I J ) (D: συερική ήρα) L L A A 7 (B) Μονέλο Lagrage Εξαγωγή δυναικού ονέλου (/3) Δυναικό Μονέλο Lagrage: d K K P d () K P + D + (D: συερική ήρα) D + D + () () - D P h (,) g () () K D... 8

10 (B) Μονέλο Lagrage Εξαγωγή δυναικού ονέλου (/3) (D: συερική ήρα) d () Djk Dj j j j P k j k + K D j k jk j k D D + P j () jk Dj j j k + j j k k j k j k,..., jk j k j k,..., h(, ) h (, ) h ε: D() h(,) h jk th row D D j k jk P j g () Σην άρθρωση επιδρούν ( mgˆ ) σον όρο βαρύηας g όνο j r, cj οι σύνδεσοι ε: j r g m g m g J, cj ( j) P jˆ jˆ L j j 9 Εξαγωγή δυναικού ονέλου (3/3) ( J F ) D() + h(,)+ g() e h,..., jk j k j k,..., h(, ) h,, όπου: h jk g() () D D ( ), j jk k g,...,, P r cj j g mjgˆ mjgˆ JL j j όπου: () () () () D ( mj J + J I J ) ή: h(, ) C (, ) j L L A A C (, ) (B) Μονέλο Lagrage D D j όπου: (, ) jk j h C jk k k k k k

11 βαθοί ελευθ. D, επίπεδο y l l c O Δυναικό Μονέλο Ροπό : Παράδειγα () y O x l l c y Ε O Ε x (p x, p y ) x Ε θ z D : ενεργός αδράνεια, άρθρωση D j : αδράνεια σύζευξης, αρθρώσεις,j h jj : συνελεσής φυγόκενρου δύναης h jκ : συνελεσής δύναης Corols D() + h(,) + g() D I + ml + I + m l + l + ll c c c c + + c c D D I m l ll c D I + m l c h h h m ll s c g mgl c + m glc + l c c c c g h (, ) h mgl c jk, jk j k Παράδειγα () (συνέχεια) (/) K mv + Iω c c K mv + Iω c c P mg( r ), c y P m g( r ), c y ( vc) ( lc ), ( ω ) ( ) και ( r, c) y lc s c lc + lc c lc c ( ls + lc s) ( lc s) vc ls + lcs + lcs ( lc + lcc) + ( lcc) r, c ( v ) ( ) ( c l lc ll cc l c lc ll cc) και ω c +

12 Άρα: K ml + I Παράδειγα () (συνέχεια) (/) K K+ K και P P+ P c [ ( ) ( ) ] c c c K m l + l + + ll c + + l + I + P m g[ ls + l s ] c P mgl s c K ml + I + m l + l + ll c + m l + ll c + I + ( ) c c c c c d ( K ) [ I ( )] [ ( ml c I m l lc ll cc I m lc ll cc) ] mll cs mll cs Επιπλέον: K και P mgl c c + mg [ lc + l c c ] d K K P + D + D + h + h + g όπου D 3