Κεφάλαιο 6: Διαμαγνητισμός και Παραμαγνητισμός. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 6: Διαμαγνητισμός και Παραμαγνητισμός. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών"

ψυχή Δυοβουνιώτης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σχολή Εφαροσένων Μαθηατικών και Φυσικών Επιστηών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Κεφάλαιο 6: ιααγνητισός και Παρααγνητισός Λιαροκάπης Ευθύιος

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ca%v Cs. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

3 ΙΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Κλασική περιγραφή Για να κατανοήσουε το φαινόενο του διααγνητισού στα υλικά, ας θεωρήσουε ένα ηλεκτρόνιο σε κυκλική τροχιά γύρω από θετικά φορτισένο πυρήνα. Το όλο σύστηα βρίσκεται σε εξωτερικό αγνητικό πεδίο κάθετο στο επίπεδο τροχιάς του ηλεκτρονίου. Το ηλεκτρόνιο θα Β υφίσταται ια δύναη t και ια ηλεκτροστατική δύναη, που θα δηιουργούν την F k v κεντροόλο επιτάχυνση. F v F 4πε v Fk v Εποένως θα ισχύει ότι 4πε v. v Όταν δεν υπάρχει αγνητικό πεδίο τότε ω πε, οπότε η συχνότητα 4 περιστροφής θα είναι ίση προς ω. 3 4πε Ας παραδεχτούε ότι η ακτίνα της τροχιάς δεν εταβάλλεται ε την ύπαρξη αγνητικού πεδίου, αλλά αλλάζει όνο η συχνότητα περιστροφής ω. Τότε θα έχουε v ότι ω ω ω ω 4πε ω ω ω ω ω Που οδηγεί στην Όταν το αγνητικό πεδίο είναι αρκετά ικρό ώστε οι αλλαγή στην συχνότητα να είναι ικρή, τότε ω ω. Παρατηρούε ότι η συχνότητα εταβάλλεται κατά την Β, ποσότητα ω που ονοάζεται συχνότητα a. Αν το αγνητικό πεδίο δεν ήταν κάθετο, αλλά υπό γωνία θ από τον άξονα της τροχιάς του ηλεκτρονίου, τότε θα ισχύουν οι σχέσεις, θ v d N dt d Οπότε dt VI-1

4 Εποένως, εκτός από την περιστροφική κίνηση των ηλεκτρονίων γύρω από τον πυρήνα, θα υπάρχει και ια αργή ετάπτωση ε την συχνότητα του a. Η κίνηση των ηλεκτρονίων γύρω από τον άξονα θα ισοδυναεί ε κάποιο ρεύα Z Z I Zν ω. T π Η αλλαγή της συχνότητας καταλήγει σε ένα πρόσθετο ρεύα Z Z I ω π 4π και ια αγνητική ροπή Z I ( π ) π ( ), όπου πήραε όνο τις 4π τροχιές που είναι κάθετες στο εξωτερικό αγνητικό πεδίο Β. Η έση αγνητική ροπή θα είναι ίση προς Z Z Z ( ) Οπότε NZ NZ N χ 6 6 < ιααγνητικά είναι τα υλικά που δεν έχουν κάποια αγνητική ροπή ανά άτοο. Όπως είδαε, προκαλείται από την αντίδραση των ηλεκτρονιακών τροχιακών στο εξωτερικό αγνητικό πεδίο. Όλα τα υλικά έχουν διααγνητισό, αλλά αν υπάρχει ια όνιη αγνητική ροπή, αυτή υπερκαλύπτει τον διααγνητισό. Ενδεικτική τιή για την αγνητική διαπερατότητα προκύπτει για N 1 άτοα/ 3, 7 4π 1 Wb/., 5 1Å, οπότε χ 1. ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Όταν δεν υπάρχει κάποιο εξωτερικό αγνητικό πεδίο, οι όνιες αγνητικές ροπές ενός υλικού είναι τυχαία προσανατολισένες, ε αποτέλεσα η συνολική αγνήτιση να ηδενίζεται. Υπό την επίδραση ενός αγνητικού πεδίου, οι αγνητικές ροπές τείνουν να προσανατολιστούν και δηιουργούν κάποια αγνήτιση. Αν η αγνήτιση εξαφανιστεί ε την αποάκρυνση του αγνητικού πεδίου η ιδιότητα αυτή ονοάζεται παρααγνητισός. Για ένα ελεύθερο σωατίδιο όπως το ηλεκτρόνιο η όνιη αγνητική ροπή οφείλεται στην ύπαρξη του σπιν, που προσοοιάζει ε ια εσωτερική στροφορή. Κατ αντιστοιχία ε την ετάπτωση ιας στροφορής γύρω από εξωτερικό αγνητικό πεδίο, η αγνητική ροπή των σωατιδίων ε σπιν s, φορτίο και άζα θα είναι ίση προς g s Όπου g είναι ο παράγοντας adé. Στην περίπτωση ύπαρξης και τροχιακής στροφορής l και συνολικής j (όπου j l s ) ο παράγοντας έχει την τιή j( j 1) s( s 1) l( l 1) g 1 j( j 1) VI-

5 Για το σπιν του ελεύθερου ηλεκτρονίου προσέγγιση ε την πειραατική τιή. j s 1, οπότε g, που συφωνεί κατά Κλασική θεωρία του παρααγνητισού Αν τοποθετήσουε ένα άτοο (ή σωατίδιο) ε όνιη αγνητική ροπή σε εξωτερικό αγνητικό πεδίο Β, τότε η ενέργεια από την αλληλεπίδραση είναι Β U θ Εποένως, η ενέργεια ελαχιστοποιείται όταν το δίπολο είναι παράλληλο προς το αγνητικό πεδίο και σε θεροκρασία απόλυτου ηδενός θα υπάρχει πλήρης προσανατολισός. Όως σε θεροκρασία T Κ ο προσανατολισός θα διαταράσσεται εξ αιτίας της θερικής αλληλεπίδρασης ε το περιβάλλον. Η έση τιή της διπολικής ροπής σε θεροκρασία Τ θα δίνεται από την στατιστική κατανοή της προβολής της αγνητικής ροπής πάνω στο αγνητικό πεδίο, csθ csθ β βu U dω csθ dω csθ csθ kt kt π sθdθ k T cth k T π sθdθ 1 Η συνάρτηση ( ) cth είναι η συνάρτηση του agv. Οπότε η συνολική αγνήτιση θα είναι k T N cs θ N cth k T Μ/Ν κλίση1/3 1 1 Όταν T >> τότε N. k 3k T T 1 C Οπότε χ N, που εκφράζει τον νόο του Cu 3k T T N Και η σταθερά του Cu είναι C. 3k Β/k T VI-3

6 Στην περίπτωση που T << τότε N (σταθερά). Ενδεικτικά αν k N 5 1 άτοα/ 3, 1 3 /T, τότε,15 χ (το Τ σε Κ). T Νόος των Cu-Wss Σε ια σειρά από έταλλα (νικέλιο, λανθανίδες, κλπ) βρέθηκε πειραατικά ότι C χ, T T c όπου C είναι κάποια σταθερά και T c κάποια θεροκρασία (Cu). Το T c πορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή ηδέν. Όταν T c, προκύπτει ο νόος του agv. Στα σιδηροαγνητικά υλικά το T c > και το υλικό κάτω από T c εταβαίνει από την παρααγνητική φάση στην σιδηροηλεκτρική. Στα αντισιδηροαγνητικά υλικά T c < και η αλλαγή φάσης γίνεται σε ια θεροκρασία (Nl) Τ Ν >. Η αιτία της απόκλισης από τον νόο του agv οφείλεται στις αλληλεπιδράσεις ανάεσα στις αγνητικές διπολικές ροπές, όπως έδειξε ο Wss. Αν ορίσουε αυτή την αλληλεπίδραση έσω ενός οριακού αγνητικού πεδίου που θα θεωρήσουε ότι είναι ανάλογο της αγνήτισης Μ ( λ ), τότε το συνολικό τοπικό αγνητικό πεδίο που θα νιώθουν τα δίπολα θα είναι tt λ Οπότε tt χ tt λ 1 λ tt C Αν θεωρήσουε ότι ισχύει επίσης η σχέση του agv,, τότε προκύπτει η tt T σχέση των Cu-Wss C χ T T c Όπου λc T c Κβαντική θεωρία παρααγνητισού Στην κβαντική Φυσική η γωνία θ δεν πορεί να λάβει όλες τις τιές, αλλά όνο διακριτές. Αυτό οφείλεται στο ότι η προβολή της στροφορής σε κάποιο άξονα λαβάνει διακριτές τιές (ακέραιες ή ηιακέραιες τιές της σταθεράς h ). Αν είναι η ολική στροφορή και η προβολή της στον άξονα του αγνητικού πεδίου, τότε το λαβάνει τις (1) τιές, 1,, K, 1, Η γωνία του ε το αγνητικό πεδίο θα είναι cs θ ( 1) VI-4

7 Η αγνητική διπολική ροπή θα είναι ίση προς g, όπου g είναι ο παράγοντας h adé και Β η αγνητόνη του h. Εποένως, g Η δυναική ενέργεια της διπολικής ροπής θα είναι U csθ g Εποένως, η έση αγνήτιση του υλικού θα είναι g g βu k T g k T N N N Ng βu g k T g k T Όπου Ng l a g a και k T a Ng ( a) a ( a) cth a cth a είναι η συνάρτηση του llu. g Όταν T >> 1 a << 1, τότε a k Οπότε Ng ( 1). 3k T Όως χ και ( ), που καταλήγει στην σχέση Ng ( 1) 3k T χ Ng ( 1) 3k T 1 Ng ( 1) 3k T Αν ορίσουε ως ενεργό αγνητική διπολική ροπή την ποσότητα g ( 1) ff Όπου g ( 1) είναι ο ενεργός αριθός αγνητόνων του h, τότε ff χ N 3k T Που συπίπτει ε το αποτέλεσα της κλασικής αντιετώπισης. Όταν g 1, 1, 1 4 Tsla, ένα υλικό ακολουθεί τον νόο του Cu για Τ > 1 Κ. 4 6 Επίσης χ 1 1 για Τ 3 Κ. g Όταν T << a >> 1 και 1, οπότε Ng a, που k αποτελεί την έγιστη τιή κατά τον πλήρη προσανατολισό των στροφορών ε τον άξονα του εξωτερικού αγνητικού πεδίου. Όταν προκύπτει το κλασικό όριο. VI-5

8 VI-6 Γενικά ισχύει ότι a ) ( a Η εξάρτηση της συνάρτησης lu από την εταβλητή, για διάφορες τιές της στροφορής παρουσιάζεται παρακάτω (από το βιβλίο Fudatals f Sld Stat Phscs του.r. Chsta) Σηείωση: πρόσθετες συνεισφορές στην αγνήτιση πορεί να προκύψουν από την συνεισφορά άλλων υψηλότερων ενεργειακών καταστάσεων. Κβαντικός υπολογισός ατοικής αγνητικής επιδεκτικότητας Με την παρουσία αγνητικού πεδίου ˆ η εξίσωση του Schdg θα αλλάξει έσω της αντικατάστασης ( ) Όπου. Μια επιλογή για το διανυσατικό δυναικό είναι,, 1, οπότε ισχύει ότι (δηλαδή το διανυσατικό δυναικό είναι εγκάρσιο). Με αυτή την αντικατάσταση έχουε ότι ( ) ( ) Γιατί ψ ψ ψ ψ ψ ψ ) ( ) ( h h h h Επειδή ( ) 4 ( ) ( ) ( )

9 VI-7 Αν προσθέσουε την ενέργεια λόγω σπιν και αθροίσουε σε όλα τα ηλεκτρόνια, θα έχουε ότι ( ) V S g h Ή ισοδύναα ( ) ( ) V gs Όταν Β τότε V Εποένως η διαταραχή αποτελείται από τους όρους ( ) ( ) gs Η λύση για την ενέργεια (ε θεωρία διαταραχών) θα είναι () Όπου Κρατώντας έχρι την ης τάξης προσέγγιση στο πεδίο Β έχουε ότι ( ) gs gs Χαρακτηριστικές περιπτώσεις 1) Μονωτής ε όλους τους φλοιούς πλήρως κατειληένους Τότε S. Εποένως, ένει όνο ο 3 ος όρος. ( ) Αφού 3 Οπότε έχουε ότι 6 6 ) ( N Z N N χ Που είναι ο ίδιος τύπος ε την κλασική ανάλυση και δίνει τον διααγνητισό του agv. ) Έστω ονωτής ε ερικώς κατειληένο τροχιακό, αλλά ε Επειδή ( ), S g S, αλλά λόγω συετρίας θα ισχύει ότι ( ) S g. Εποένως, η διόρθωση στην ενέργεια θα είναι

10 gs ( ) Και προκύπτει ότι gs χ ( ) N 4 Ο πρώτος όρος έχει ια θετική συνεισφορά (παρααγνητική) στο χ και ονοάζεται παρααγνητισός Va Vlck. Ο ος όρος είναι η γνωστή διααγνητική συνεισφορά. 3) Όταν χρειάζεται ια πιο πλήρης κβαντοηχανική ανάλυση, οπότε αποδεικνύεται ότι ο 1 ος όρος είναι ο πιο σηαντικός. Σύγκριση ε πειραατικά αποτελέσατα Ένα άτοο ή ιόν έχει όνιη αγνητική διπολική ροπή, όταν η εξωτερική στιβάδα είναι ασυπλήρωτη. Τα στοιχεία των σπανίων γαιών ε ατοικούς αριθούς Z και Z 911, καθώς και τα στοιχεία εταπτώσεως ε Z 1 9, Z και Z έχουν τις στιβάδες 4 f ή 5 f (σπάνιες γαίες) ή τις 3 d, 4 d ή 5 d (στοιχεία εταπτώσεως) ασυπλήρωτες. Η σύγκριση της θεωρίας ε το πείραα γίνεται έσω της θεωρίας και του νόου Cu, απ όπου από την κλίση της συνάρτησης χ vs 1 προκύπτουν στοιχεία για τον ενεργό αριθό αγνητόνων του T h g ( 1). Τα αποτελέσατα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα (από το ca Isttut f Ohscs adbk, c-gaw-ll, 1963) Ιόν Αριθός ηλεκτρονίων S C / 5/,39 P ,6 Nd / 9/ 3,6 P S / 5/ 1,54 u ,61 Gd 3 7 7/ 7/, Tb ,6 D / 15/ 1, , / 15/ 9,5 T , Yb / 7/ 4,4 VI-

11 V 3 3 3/ 3/ 3, C 4 4,9 5 5/ 5/ 5,9 F 6 4 5,4 C 7 3 3/ 9/ 4, N , Cu 9 1/ 5/ 1,9 και δείχνουν ότι για τις σπάνιες γαίες η θεωρητική τιή συφωνεί αρκετά καλά ε τα πειραατικά δεδοένα. Όως για τα έταλλα ετάβασης η d-στιβάδα εκτείνεται σε ενδιάεσες περιοχές και εποένως προσεγγίζονται καλύτερα από περισσότερα του ενός d-τροχιακά. Για τον λόγο αυτό η προβολή της στροφορής λαβάνει ικρότερες τιές από εκείνες του ενός τροχιακού. Λέε ότι η τροχιακή στροφορή έχει «σβηστεί» (btal agula tu quchg). VI-9

Χρηατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικόυ έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδηαϊκά Μαθήατα Ε.Μ.Π.

12 Χρηατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικόυ έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδηαϊκά Μαθήατα Ε.Μ.Π.» έχει χρηατοδοτήσει όνο την αναδιαόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση» και συγχρηατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταείο) και από εθνικού πόρους.

Σχετικά έγγραφα

Κεφάλαιο 9: Ελεύθερα Ηλεκτρόνια σε Μαγνητικό Πεδίο. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Σχολή Εφαροσένων Μαθηατικών και Φυσικών Επιστηών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Κεφάλαιο 9: Ελεύθερα Ηλεκτρόνια σε Μαγνητικό Πεδίο Λιαροκάπης Ευθύιος Άδεια