Μέρος Ι: Μονοβάθμια Συστήματα

Transcript

1 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Hellenic Open University Μέρος Ι: Μονοβάθμια Συστήματα ιδάσκων: Ε.Ι. Σαπουντζάκης υναμική των Κατασκευών 1

2 Περιεχόμενα 1. Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Ελεύθερες Ταλαντώσεις Μονοβαθμίων Συστημάτων 3. Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές ιεγέρσεις 4. Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές ιεγέρσεις 5. Αριθμητικός Υπολογισμός υναμικής Απόκρισης 6. Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 7. Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 2

3 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 3

4 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 1. Προεπισκόπηση Σεισμική ιέγερση Μια από τις πιο σημαντικές εφαρμογές της θεωρίας της δυναμικής των κατασκευών είναι στην ανάλυση της απόκρισης τους σε βίαιη εδαφική δόνηση σεισμό. Θεώρηση σεισμικής απόκρισης παραμορφώσεις, τάσεις, εσωτερικές δυνάμεις των στοιχείων κλπ ως συνάρτηση του χρόνου. Θεώρηση φάσματος απόκρισης κεντρική στην αντισεισμική μηχανική. Για τους σκοπούς του μηχανικού, η χρονική μεταβολή της εδαφικής επιτάχυνσης είναι ο πιο χρήσιμος τρόπος καθορισμού της δόνησης του εδάφους κατά την διάρκεια ενός σεισμού. Το βασικό όργανο καταγραφής τριών συνιστωσών της εδαφικής δόνησης κατά την διάρκεια σεισμών είναι ο επιταχυνσιογράφος ισχυρής κίνησης, ο οποίος τίθεται σε λειτουργία με τα πρώτα κύματα του σεισμού. 4

5 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 5

6 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 2. Εξίσωση Κίνησης Η εξίσωση γραμμικού μονοβαθμίου συστήματος το οποίο υπόκειται σε εδαφική επιτάχυνση, διαιρώντας με την μάζα γράφεται ως: 2 2n n g u u u u t Η εδαφική επιτάχυνση κατά τη διάρκεια ενός σεισμού μεταβάλλεται ακανόνιστα, επομένως οι αριθμητικές μέθοδοι είναι αναγκαίες. Ύψιστου ενδιαφέροντος είναι η παραμόρφωση του συστήματος u t 6

7 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 2. Εξίσωση Κίνησης Η εξίσωση γραμμικού μονοβαθμίου συστήματος το οποίο υπόκειται σε εδαφική επιτάχυνση, διαιρώντας με την μάζα γράφεται ως: 2 2n n g u u u u t Η εδαφική επιτάχυνση κατά τη διάρκεια ενός σεισμού μεταβάλλεται ακανόνιστα, επομένως οι αριθμητικές μέθοδοι είναι αναγκαίες. Ύψιστου ενδιαφέροντος είναι η παραμόρφωση του συστήματος 3. Μεγέθη Απόκρισης u t Τα εντατικά μεγέθη στις δοκούς και τα υποστυλώματα του μονώροφου πλαισίου συνδέονται γραμμικά με την μετατόπιση της μάζας. 7

8 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 4. Χρονο Ιστορία Απόκρισης Για δεδομένη εδαφική κίνηση, η απόκριση μετατόπισης ενός μονοβάθμιου συστήματος εξαρτάται μόνο από την ιδιοπερίοδο ταλάντωσης του συστήματος και τον λόγο απόσβεσης του. Στο σχήμα παρουσιάζεται η απόκριση μετατόπισης τριών διαφορετικών συστημάτων στην εδαφική επιτάχυνση του El Centro. Ο λόγος απόσβεσης ζ=2% είναι ο ίδιος στα τρία συστήματα, ώστε μόνο οι διαφορές στις ιδιοπεριόδους τους να είναι υπεύθυνες για τις διαφορέςστιςαποκρίσεις. 8

9 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 4. Χρονο Ιστορία Απόκρισης Από τη στιγμή που η χρονο-ιστορία απόκρισης μετατόπισης υπολογιστεί με δυναμική ανάλυση, οι εσωτερικές δυνάμεις καθορίζονται από στατική ανάλυση σε κάθε χρονική στιγμή. Ισοδύναμη στατική φόρτιση fs ku t Εκφράζοντας την k συναρτήσει της μάζας f 2 m ut mat Οπότε η f s είναι ίση με m φορές την Α(t), ψευδο-επιτάχυνση και όχι την ολική t επιτάχυνση u t ΗαπόκρισηΑ(t) υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας την 2 κάθε με το αντίστοιχο 2 / T u t 2 Τέμνουσα βάσης: Ροπή ανατροπής: b n s V t f t ma t M t hf t hv t b s b n s n 9

10 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 5. Έννοια του Φάσματος Απόκρισης Ο G.W. Housner έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην ευρεία αποδοχή της θεώρησης του φάσματος σεισμικής απόκρισης που είχε παρουσιασθεί από τον M.A. Biot (1932). Η γραφική απεικόνιση της μέγιστης τιμής ενός μεγέθους απόκρισης ως συνάρτησης της ιδιοπεριόδου ταλάντωσης Τ n του συστήματος (ή κάποιας σχετικής παραμέτρου ω n,f n ) αποκαλείται φάσμα απόκρισης του μεγέθους. Φάσμα απόκρισης μετατόπισης Φάσμα απόκρισης ταχύτητας Φάσμα απόκρισης ψευδο-ταχύτητας Φάσμα απόκρισης επιτάχυνσης n t n u0 T, max u t, T, u0 Tn, max t u t, Tn, t t u0 T, max u t, T, n t n Φάσμα απόκρισης ψευδο-επιτάχυνσης 10

11 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 6. Φάσματα Απόκρισης Ψευδο-Ταχύτητας & Ψευδο-Επιτάχυνσης Φάσματα απόκρισης ψευδο-ταχύτητας Έστω ποσότητα V για ένα μονοβάθμιο σύστημα με ιδιοσυχνότητα ω n που σχετίζεται με τη μέγιστη μετατόπιση του D 0 =u 0 λόγω σεισμικής κίνησης 2 V nd D Tn Η ποσότητα V έχει μονάδες ταχύτητας. Συνδέεται με τη μέγιστη τιμή της ενέργειας παραμόρφωσης Ε S0 που αποθηκεύεται στο σύστημα κατά την διάρκεια του σεισμού: E 2 2 S0 ku0 k V / n mv ΗΨευδο-Ταχύτητα V δεν είναι ίδια με την μέγιστη ταχύτητα παρότι έχει τις σωστές μονάδες. 11

12 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 6. Φάσματα Απόκρισης Ψευδο-Ταχύτητα & Ψευδο-Επιτάχυνση Φάσματα απόκρισης ψευδο-επιτάχυνσης Έστω ποσότητα Α για ένα μονοβάθμιο σύστημα με ιδιοσυχνότητα ω n που σχετίζεται με τη μέγιστη μετατόπιση του D 0 =u 0 λόγω σεισμικής κίνησης 2 2 A n D D Tn Η ποσότητα Α έχει μονάδες επιτάχυνσης. Συνδέεται με τη μέγιστη τιμή της τέμνουσας βάσης V b0 : V t f t ma t b Η μέγιστη τέμνουσα βάσης V b0 μπορεί να γραφτεί στη μορφή: V b0 s 2 A Όπου w το βάρος της κατασκευής w g και Α/g συντελεστής τέμνουσας βάσης 12

13 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 6. Φάσματα Απόκρισης Ψευδο-Ταχύτητας & Ψευδο-Επιτάχυνσης Το φάσμα απόκρισης μετατόπισης είναι η γραφική απεικόνιση της D ως συνάρτησης της ιδιοπεριόδου ταλάντωσης Τ n. Το φάσμα απόκρισης ψευδο-ταχύτητας είναι η γραφική απεικόνιση της V ως συνάρτησης της ιδιοπεριόδου ταλάντωσης Τ n. Το φάσμα απόκρισης ψευδο-επιτάχυνσης είναι η γραφική απεικόνιση του Α ως συνάρτησης της ιδιοπεριόδου ταλάντωσης Τ n. 13

14 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 6. Φάσματα Απόκρισης Ψευδο-Ταχύτητας & Ψευδο-Επιτάχυνσης Συνδυασμένο φάσματα D-V-A Η συνδυασμένη γραφική απεικόνιση που δείχνει και τις 3 φασματικές ποσότητες αναπτύχθηκε από τους Α.Σ. Βελέτσο και N.M. Newmark (1960) Η ολοκληρωμένη παρουσίαση είναι δυνατή, επειδή οι ποσότητες αλληλοσχετίζονται με: Τετραλογαριθμική Κλίμακα A V D T A V D n 2 ή n n 2 Tn 14

15 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 6. Φάσματα Απόκρισης Ψευδο-Ταχύτητας & Ψευδο-Επιτάχυνσης Κατασκευή του φάσματος u t 1. Αριθμητικός καθορισμός της εδαφικής επιτάχυνσης (τυπικά ανά 0,02sec) 2. Επιλογή της ιδιοπεριόδου Τ n και του λόγου απόσβεσης ζ 3. Υπολογισμός της απόκρισης u(t) με οποιαδήποτε από τις γνωστές μεθόδους 4. Καθορισμός της μεγίστης τιμής u 0 της u(t) 5. Φασματικές ποσότητες D= u 0 V=(2π/T n )D A=(2π/T n ) 2 D 6. Επανάληψη των βημάτων 2 έως 5 για το εύρος των T n και ζ που καλύπτουν όλα τα πιθανά συμβάντα που ενδιαφέρουν τους μηχανικούς 7. Παρουσίαση των αποτελεσμάτων των βημάτων 2 έως 6 γραφικά για την παραγωγή τριών ξεχωριστών φασμάτων ή ενός συνδυασμένου. g 15

16 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 7. Μέγιστη Απόκριση της Κατασκευής από το Φάσματα Απόκρισης Εάν το φάσμα απόκρισης για μια δεδομένη συνιστώσα μιας εδαφικής κίνησης είναι διαθέσιμο, τότε η τιμή της μετατόπισης ή εσωτερικής δύναμης σε οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα μπορεί να καθοριστεί εύκολα. Αναλόγως της ιδιοπεριόδου Τ n διαβάζονται από το φάσμα. και του λόγου απόσβεσης ζ οι τιμές D, V, A Tn Tn u0 D V A 2 2 και η μέγιστη τιμή του ισοστατικού στατικού φορτίου f S0 είναι 2 f kd ma S 0 V kd ma b0 M hv b0 b0 16

17 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 8. Χαρακτηριστικά του Φάσματος Απόκρισης Το φάσμα απόκρισης χωρίζεται σε διάφορες περιοχές της ιδιοπεριόδου. Για σύστημα με πολύ μικρή περίοδο T n T a 0.035sec εξαιρετικά δύσκαμπτο σύστημα η Α πλησιάζει την u g 0 η D είναι πολύ μικρή. 17

18 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 8. Χαρακτηριστικά του Φάσματος Απόκρισης Το φάσμα απόκρισης χωρίζεται σε διάφορες περιοχές της ιδιοπεριόδου. Για σύστημα με πολύ μικρή περίοδο T n T a 0.035sec εξαιρετικά δύσκαμπτο σύστημα η Α πλησιάζει την u g 0 η D είναι πολύ μικρή. Για σύστημα με πολύ μεγάλη περίοδο T n T f 15sec εξαιρετικά εύκαμπτο σύστημα η D πλησιάζει την u g0 η Α είναι πολύ μικρή. 18

19 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 8. Χαρακτηριστικά του Φάσματος Απόκρισης Το φάσμα απόκρισης χωρίζεται σε διάφορες περιοχές της ιδιοπεριόδου. Για σύστημα με μικρή περίοδο T T T a n c η Α υπερβαίνει την u g 0 Εξιδανικεύεται ως σταθερή. 19

20 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 8. Χαρακτηριστικά του Φάσματος Απόκρισης Το φάσμα απόκρισης χωρίζεται σε διάφορες περιοχές της ιδιοπεριόδου. Για σύστημα με μικρή περίοδο T T T a n c η Α υπερβαίνει την u g 0 Εξιδανικεύεται ως σταθερή. Για σύστημα με μεγάλη περίοδο Td Tn Tf η D υπερβαίνει την u g 0 Εξιδανικεύεται ως σταθερή. 20

21 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 8. Χαρακτηριστικά του Φάσματος Απόκρισης Το φάσμα απόκρισης χωρίζεται σε διάφορες περιοχές της ιδιοπεριόδου. Για σύστημα με μικρή περίοδο T T T a n c η Α υπερβαίνει την u g 0 Εξιδανικεύεται ως σταθερή. Για σύστημα με μεγάλη περίοδο Td Tn Tf η D υπερβαίνει την u g 0 Εξιδανικεύεται ως σταθερή. Για σύστημα με ενδιάμεση περίοδο T T T c n d η V υπερβαίνει την u g 0 Εξιδανικεύεται ως σταθερή. 21

22 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 8. Χαρακτηριστικά του Φάσματος Απόκρισης Το φάσμα απόκρισης χωρίζεται σε διάφορες περιοχές της ιδιοπεριόδου. Βασιζόμενοι σε αυτές τις παρατηρήσεις το φάσμα απόκρισης χωρίζεται σε τρείς περιοχές περιόδων 1. Περιοχήευαίσθητηστηεπιτάχυνση 2. Περιοχήευαίσθητηστηταχύτητα 3. Περιοχή ευαίσθητη στη μετατόπιση εξιδανικεύοντας το φάσμα απόκρισης με μια σειρά από ευθείες γραμμές στο τετραλογαριθμικό γράφημα. 22

23 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 9. Ελαστικό φάσμα σχεδιασμού - Το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικό των εδαφικών κινήσεων που έχουν καταγραφεί σε μια περιοχή. - Το φάσμα σχεδιασμού βασίζεται σε στατιστική ανάλυση των φασμάτων απόκρισης για το σύνολο των εδαφικών κινήσεων. - Αν υποθέσουμε ότι Ι είναι ο αριθμός των εδαφικών κινήσεων στο σύνολο και η i εδαφική επιτάχυνση συμβολίζεται με: t - Η μέγιστη μετατόπιση, ταχύτητα και επιτάχυνση συμβολίζονται με: u i g i i i g0 g0 g0 u, u, u - Κάθε εδαφική κίνηση κανονικοποιείται έτσί ώστε όλες οι κινήσεις να έχουν την ίδια εδαφική επιτάχυνση: 23

24 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 9. Ελαστικό φάσμα σχεδιασμού - Το φάσμα απόκρισης για κάθε μια κανονικοποιημένη εδαφική κίνηση υπολογίζεται όπως έχει περιγραφεί. - Σε κάθε περίοδο Τ n αντιστοιχεί Ι αριθμός φασματικών τιμών. - Di, Vi, Ai είναι οι φασματικές τεταγμένες της, μετατόπισης, ψευδοταχύτητας και ψευδοεπιτάχυνσης: u,u,u g0 g0 g0 - Είναι οι μέσες τιμές της μέγιστης εδαφικής μετατόπισης, ταχύτητας και επιτάχυνσης για τις I καταγραφές: 24

25 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 9. Ελαστικό φάσμα σχεδιασμού - Η στατιστική ανάλυση των δεδομένων παρέχει την πιθανοτική κατανομή για τη φασματική τεταγμένη, τη μέση τιμή και την τυπική της απόκλιση σε κάθε περίοδο Τ n. - Οι πιθανοτικές κατανομές φαίνονται σχηματικά στο διπλανό σχήμα για τρεις επιλεγμένες τιμές της Τ n, υποδεικνύοντας ότι ο συντελεστής μεταβλητότητας (τυπική απόκλιση / μέση τιμή) μεταβάλλεται με την Τ n. - Ενώνοντας τις μέσες τιμές προκύπτει το μέσο φάσμα απόκρισης: ` - Ενώνοντας τις τιμές που προκύπτουν από την άθροιση των μέσων τιμών με μια τυπική απόκλιση, προκύπτει και το αντίστοιχο φάσμα απόκρισης: 25

26 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 9. Ελαστικό φάσμα σχεδιασμού - Η στατιστική ανάλυση των δεδομένων παρέχει την πιθανοτική κατανομή για τη φασματική τεταγμένη, τη μέση τιμή και την τυπική της απόκλιση σε κάθε περίοδο Τ n. - Οι πιθανοτικές κατανομές φαίνονται σχηματικά στο διπλανό σχήμα για τρεις επιλεγμένες τιμές της Τ n, υποδεικνύοντας ότι ο συντελεστής μεταβλητότητας (τυπική απόκλιση / μέση τιμή) μεταβάλλεται με την Τ n. - Παρατηρείται ότι τα φάσματα αυτά είναι σαφώς πιο ομαλά από το φάσμα που προκύπτει για μια ανεξάρτητη εδαφική κίνηση. - Συνεπώς μια τέτοια καμπύλη εξιδανικεύεται πιο εύκολα με χρήση ευθειών γραμμών. 26

27 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 9. Ελαστικό φάσμα σχεδιασμού - Έχουν αναπτυχθεί διαδικασίες για την κατασκευή φασμάτων σχεδιασμού από παραμέτρους της εδαφικής κίνησης. 1) Σχεδιάζουμε τρεις γραμμές που αντιστοιχούν στις μέγιστες τιμές εδαφικής επιτάχυνσης, ταχύτητας και μετατόπισης για την εδαφική κίνηση σχεδιασμού. 2) Λαμβάνουμε τις τιμές των α Α, α V, α D για επιλεγμένο ζ, από διαθέσιμους πίνακες (Πίνακες ή του βιβλίου). 3) Πολλαπλασιάζουμε τις τιμές των α Α, α V, α D με τη μέγιστη επιτάχυνση, ταχύτητα και μετατόπιση, αντίστοιχα και παράγουμε τους μετατοπισμένους κλάδους. 27

28 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 9. Ελαστικό φάσμα σχεδιασμού - Έχουν αναπτυχθεί διαδικασίες για την κατασκευή φασμάτων σχεδιασμού από παραμέτρους της εδαφικής κίνησης. 4) Οι συνιστώμενες τιμές των περιώδων Τ a, Τ b, Τ d, T e, θα ορίσουν τα υπόλοιπα ευθύγραμμα τμήμτα 5) Το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού ολοκληρώνεται με σύνδεση των σημείων 28

29 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 9. Ελαστικό φάσμα σχεδιασμού - Το φάσμα σχεδιασμού κατασκευάζεται για να αναπαραστήσει τα μέσα χαρακτηριστικά πολλών εδαφικών κινήσεων. - Το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού παρέχει μια βάση για τον υπολογισμό της δύναμης σχεδιασμού και της μετατόπισης για μονοβάθμια συστήματα που σχεδιάζονται να παραμείνουν ελαστικά. - Οι παράμετροι που υπεισέρχονται στην κατασκευή του ελαστικού φάσματος σχεδιασμού πρέπει να επιλεγούν λαμβάνοντας τους παράγοντες που επηρεάζουν την εδαφική κίνηση. Επομένωςηεπιλογήτωνπαραμέτρωνσχεδιασμού(μέγιστη επιτάχυνση, μέγιστη ταχύτητα και μέγιστη μετατόπιση) θα πρέπει να βασίζονται στο μέγεθος του σεισμού, στην απόσταση από το ρήγμα, στο μηχανισμό του κύματος κλπ. Αποτελέσματα έρευνας για αυτούς τους παράγοντες είναι διαθέσιμα. 29

30 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 10. ιάκριση μεταξύ των φασμάτων σχεδιασμού και απόκρισης - Το φάσμα απόκρισης είναι μια γραφική απεικόνιση της μέγιστης απόκρισης όλων των δυνατών μονοβαθμίων συστημάτων και επομένως αποτελεί περιγραφή μιας συγκεκριμένης εδαφικής κίνησης. Το φάσμα σχεδιασμού αποτελεί καθορισμό του επιπέδου της σεισμικής δύναμης σχεδιασμού, ή της μετατόπισης, ως συνάρτησης της ιδιοπεριόδου ταλάντωσης και του λόγου απόσβεσης. - Για μερικές περιοχές το φάσμα σχεδιασμού αποτελεί την περιβάλλουσα δύο διαφορετικών ελαστικών φασμάτων σχεδιασμού. 30

31 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 11. Φάσματα απόκρισης ταχύτητας και επιτάχυνσης - Για να μελετήσουμε τη σχέση μεταξύ των «πραγματικών» φασμάτων ταχύτητας και επιτάχυνσης με τα αντίστοιχα ψευδοφάσματα, γράφουμε τη σχέση που δίνει την απόκριση μονοβαθμίου σε μηδενικές αρχικές συνθήκες και εξωτερική φόρτιση λόγω εδαφικής επιτάχυνσης p eff (t)=-mü g (t) (Ολοκλήρωμα Duhamel): 1 t ζωn tτ ut ug τ e sinωdt τ dτ ω 0 D t ζωn t τ ut ζω nut ug τ e cos ωdt τ dτ 0 - Η επιτάχυνση μπορεί να προκύψει παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση, ή εναλλακτικά ως: t 2 n n u t ω ut 2ζω ut - Το φάσμα σχετικής ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι οι γραφικές απεικονίσεις των μεγίστων τιμών της ταχύτητας και επιτάχυνσης ως συναρτήσεις της T n. 31

32 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 11.1 Φάσματα ψευδοταχύτητας και σχετικής ταχύτητας - Παρουσιάζονται το φάσμα σχετικής ταχύτητας και ψευδοταχύτητας για την εδαφική κίνσηση του El Centro, για ζ=10%. - Για μεγάλη περίοδο η ψευδοταχύτητα προκύπτει μικρότερη από τη σχετική ταχύτητα. Αυτό συμβαίνει διότι όσο το Τn αυξάνεται η τιμή της ψευδοταχύτητας τείνει στο μηδέν λόγω της σχέσης V=(2π/Τ n )D - Για μικρές τιμές της περιόδου, η ψευδοταχύτητα είναι μεγαλύτερη από τη σχετική ταχύτητα. - Για μέσες τιμές της περιόδου, οι διαφορές των δύο μεγεθών είναι αρκετά μικρές. - Οι διαφορές των δύο μεγεθών αυξάνουν με την αύξηση του ζ. 32

33 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 11.2 Φάσματα ψευδοεπιτάχυνσης και επιτάχυνσης - Τα φάσματα απόκρισης ψευδοεπιτάχυνσης και επιτάχυνσης είναι πανομοιότυπα για συστήματα χωρίς απόσβεση. Αυτό γίνεται φανερό αν θέσουμε ζ=0 στη σχέση: t 2 n n u t ω ut 2ζω ut - Επομένως οι μέγιστες τιμές των δύο μελών είναι ίσες. ηλαδή: t 2 2 n 0 n u t ω u ω DA - Όταν το σύστημα έχει απόσβεση η παραπάνω σχέση ισχύει στις χρονικές στιγμές που η ταχύτητα μηδενίζεται.. 33

34 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 11.2 Φάσματα ψευδοεπιτάχυνσης και επιτάχυνσης - Παρουσιάζονται το φάσμα ψευδοεπιτάχυνσης και επιτάχυνσης για την εδαφική κίνσηση του El Centro, για ζ=10%. - Για μεγάλη περίοδο η επιτάχυνση και η ψευδοεπιτάχυνση πλησιάζουν στο μηδέν. - Ο ρυθμός με τον οποίο τα δύο μεγέθη πλησιάζουν το μηδέν είναι εν γένει διαφορετικός. - Οι διαφορές των δύο μεγεθών αυξάνουν με την αύξηση του ζ. - Η ψευδοεπιτάχυνση είναι μικρότερη από την επιτάχυνση. 34

35 Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα υναμική των Κατασκευών Μέρος Ι: Μονοβάθμιασυστήματα 35

36 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων zt ψx ut 36

37 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων - Τα παραπάνω συστήματα ονομάζονται γενικευμένα μονβάθμια γιατί η μετατόπιση σε κάθε σημείο προσδιορίζεται συναρτήσει μιας γενικευμένης συντεταγμένης z(t) και μέσω μιας συνάρτησης σχήματος ψ(x). Θα αποδειχθεί ότι η εξίσωση κίνησης για τέτοια συστήματα δίδεται ως: mz cz kz p t - Όπου τα μεγέθη m, c, k, p(t), ονομάζονται γενικευμένη μάζα, απόσβεση, δυσκαμψία και φορτίο αντίστοιχα.τα γενικευμένα αυτά μεγέθη σχετίζονται με την γενικευμένη συντεταγμένη που επιλέγεται για την περιγραφή της κίνησης. - Η παραπάνω εξίσωση έχει την ίδια μορφή με την τυπική εξίσωση κίνησης του μονοβαθμίου συστήματος. Μέσω του συσχετισμού των μετατοπίσεων και της γενικευμένης συντεταγμένης με τη συνάρτηση σχήματος, είναι γνωστές οι μετατοπίσεις όλου του συστήματος - Η συνάρτηση σχήματος επιλέγεται και προσδιορίζει μια προσέγγιση της πραγματικής παραμόρφωσης. 37

38 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 2. Φορείς με άκαμπτα στοιχεία - Ως παράδειγμα επιλύεται ο φορέας του σχήματος: - Η μάζα m 1 του τμήματος ΟΒ θεωρείται κατανεμημένη σε όλο το μήκος, τα υπόλοιπα τμήματα της δοκού έχουν μηδενική μάζα, ενώ στο τμήμα BC συνδέεται κυκλική πλάκα μάζας m 2. - Θα προσδιοριστούν η συχνότητα ταλάντωσης, ο λόγος απόσβεσης, η απόκριση του συστήματος χωρίς απόσβεση όταν αυτό υποβάλλεται σε αιφνιδίως επιβαλλόμενο φορτίο - Οι μετατοπίσεις θεωρούνται μικρές. 38

39 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 2. Φορείς με άκαμπτα στοιχεία 1)Προσδιορισμός της συνάρτησης σχήματος: η δοκός περιστρέφεται περί το σημείο O. Οπότε θεωρώντας μικρές μετατοπίσεις το παραμορφωμένο σχήμα του φορέα προκύπτει, οπώς φαίνεται στο σχήμα 39

40 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 2. Φορείς με άκαμπτα στοιχεία 2) ιάγραμμα ελευθέρου σώματος και εξισώσεις ισορροπίας: Εισάγονται οι δυνάμεις ελατηρίου, αδράνειας και απόσβεσης. Οι εξισώσεις ισορροπίας θα προκύψουν εφαρμόζοντας την ισορροπία των ροπών ως προς το σημείο Ο. 40

41 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 2. Φορείς με άκαμπτα στοιχεία L L L L L L 3L 3L L I1θ m1 θ I2θ m2lθ m2 θ c θ k θ pt Όπου: I m L 12, I m L 8 2 m L 128 Εκτελώντας τις πράξεις η εξίσωση ισορροπίας προκύπτει ως: Όπου: mθ cθ kθ pt 2 2 m cl 9kL L m m2 L, c, k, pt pt

42 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 2. Φορείς με άκαμπτα στοιχεία 3)Προσδιορισμός φυσικής συχνότητας και λόγου απόσβεσης: k ω 1, ζ m c 2 km 4)Επίλυση της εξίσωσης κίνησης: p t 0 ptl pl p 2 2 p 8p θ t 1 cosω1t 1 cosωnt k 9kL

43 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 2. Φορείς με άκαμπτα στοιχεία 5)Προσδιορισμός του διανύσματος της μετατόπισης: u x,t xθ t, u x,t x θ t 6)Συμπεριλαμβάνοντας και την επιρροή της αξονικής δύναμης: mθ cθ k QL θ pt - Η θλιπτική δύναμη μειώνει τη δυσκαμψία του φορέα και συνεπώς τη φυσική συχνότητα ταλάντωσης. Οι τιμές τους μηδενίζονται για τιμή αξονικής δύναμης: Q cr k 9kL L 16 Κρίσιμο φορτίο λυγισμού του φορέα 43

44 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.1 Συστήματα με διανεμημένη μάζα και δυσκαμψία - Το παρακάτω σύστημα έχει κατανεμημένη μάζα m(x) και δυσκαμψία ΕΙ(x) και υποβάλλεται σε εδαφική κίνηση u g (t). 44

45 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.1 Σύστήματα με διανεμημένη μάζα και δυσκαμψία - Η συνολική μετατόπιση του φορέα γράφεται ως: t u x,t u x,t u t - Η συνάρτηση σχήματος ψ(x) πρέπει να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ισχύει: g ψ 0 0, ψ Ως συνάρτηση σχήματος μπορεί να επιλεγεί η εξίσωση της ελαστικής γραμμής της ομοιόμορφης δοκού με δυσκαμψία ΕΙ υπό στατική μοναδιαία φόρτιση στην κορυφή, η οποία δίδεται από τη σχέση: 2 3 u x 3Lx x 6EI 45

46 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.1 Σύστήματα με διανεμημένη μάζα και δυσκαμψία - Αν επιλέξουμε ως γενικευμένη συντεταγμένη τη μετακίνηση σε ένα συγκεκριμένο σημείο, πχ στην κορυφή, τότε ισχύει: 3 zu L L 3EI 2 3 3x 1x ux,t ψxz, ψ x 2 L 2 L Η παραπάνω συνάρτηση ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες. Μπορεί να γίνει οποιαδήποτε λογική επιλογή συνάρτησης σχήματος, όπως: 2 x πx ψx, ψ x1cos 2 2L L 46

47 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.2 Εξισώσεις κίνησης - Οι αδρανειακές δυνάμεις προκύπτουν ως εξής: t fi x,t m x u x,t fi x,t m x u x,t ug t - Εφαρμόζεται η αρχή των δυνατών έργων: δw δw I E L L L g M x,t δk x dx m x u x,t δu x dx u t m x δu x dx - Όπου η έκφραση της καμπτικής ροπής και της καμπυλότητας δίνονται ως: M x,t EI x u x,t, δk x δ u x 47

48 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.2 Εξισώσεις κίνησης - Σύμφωνα με τα παραπάνω, τα έργα των εσωτερικών και εξωτερικών δυνάμεων μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει της γενικευμένης συντεταγμένης και της συνάρτησης σχήματος με τις παρακάτω σχέσεις: u x,t ψ x z t, u x,t ψ x z t - Οι δυνατές μετατοπίσεις γράφονται ως: δu x ψ x δz, δ u x ψ x δz - Συνεπώς η έκφραση του εξωτερικού και εσωτερικού έργου γράφονται ως: L 2 L δwε δzz mxψx dxug t mxψxdx 0 0 L 2 δwi δz z EIxψ x dx 0 48

49 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.2 Εξισώσεις κίνησης - Τελικά η αρχή των δυνατών έργων δίνει τις παρακάτω εκφράσεις: - Όπου L 0 L 0 L 0 m m x ψ x dx k EI x ψ x dx L m x ψ x dx δz mz kz Lu g t

50 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.2 Εξισώσεις κίνησης - Η εξίσωση πρέπει να ισχύει για οποιαδήποτε δυνατή μεταβολή. Συνεπώς πρέπει να ισχύει: - ιαιρώντας με τη γενικευμένη μάζα έχουμε: g mz kz Lu t 2 n g z ω z Γu t - όπου: L Γ m - Στην παραπάνω εξίσωση μπορούμε να συμπεριλάβουμε και απόσβεση με υπόθεση ιδιομορφικού λόγου απόσβεσης ζ. 50

51 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.3 Ανάλυση της απόκρισης - Χρησιμοποιώντας τη γενικευμένη μάζα και δυσκαμψία, η φυσική συχνότητα του φορέα μπορεί να προσδιοριστεί ως: ω L 2 2 m 0 n L 2 0 EI x ψ x dx k m x ψ x dx - Η γενικευμένη συντεταγμένη z(t) μπορεί να προσδιοριστεί με τον τρόπο που έχει παρουσιαστεί για τα μονοβάθμια συστήματα και στη συνέχεια η μετατόπιση u(x,t) μπορεί να προσδιοριστεί καθ όλο το μήκος της δοκού. 51

52 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.3 Ανάλυση της απόκρισης - Το επόμενο βήμα είναι να υπολογιστούν οι εσωτερικές δυνάμεις (καμπτικές ροπές και διατμητικές δυνάμεις) που σχετίζονται με τις μετατοπίσεις u(x,t). Από την κλασική θεωρία δοκού θα προκύψει ότι: fs x,t EI x u x,t EI x ψ x z t - Οι εν λόγω εξωτερικές δυνάμεις, οι οποίες εξαρτώνται από την παράγωγο της συνάρτησης σχήματος, θα οδηγήσουν σε εσωτερικές δυνάμεις οι οποίες θα είναι λιγότερο ακριβείς από τις μετατοπίσεις, λόγω του ότι οι παράγωγοι της (προσεγγιστικής) συνάρτησης σχήματος δίνουν λιγότερο ακριβή προσέγγιση των πραγματικών κατανομών. Μια πιο ακριβής προσέγγιση των ελαστικών δυνάμεων προκύπτει ως s 2 f x,t ω m x ψ x z t n 52

53 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.4 Μέγιστη σεισμική απόκριση - Κατά την ανάλυση υπό σεισμική διέγερση μας ενδιαφέρουν οι οριακές τιμές των ελαστικών δυνάμεων που καταπονούν την κατασκευή. Από τη διαδικασία που έχει παρουσιαστεί, η γενικευμένη συντεταγμένη z(t) παρουσιάζει μέγιστη τιμη: Γ z ΓD A 0 2 ω n όπου D, A είναι η μετατόπιση και η ψεύδοεπιτάχυνση του φάσματος σχεδιασμού για ιδιοπερίοδο Τ n =2π/ω n και λόγο απόσβεσης ζ. Αντικαθιστώντας τη μέγιστη απόκριση z 0 στη σχέση της μετατόπισης και στη σχέση των ελαστικών δυνάμεων, προκύπτουν οι παρακάτω οριακές τιμές u ΓDψ x, f x Γmψ x A

54 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.4 Μέγιστη σεισμική απόκριση - Οι εσωτερικές δυνάμεις (καμπτικές ροπές και τέμνουσες δυνάμεις) προκύπτουν από στατική επίλυση της δοκού που υπόκειται στις δυνάμεις f 0 (x). Συνεπώς η Τέμνουσα δύναμη και η Καμπτική ροπή στη βάση, δίνονται ως : L L V0x f0ξ dξ ΓΑ x m ξ ψ ξ dξ x L L M0x ξ xf0ξ dξ ΓΑ ξ xmξψξdξ x x - Όπου V V 0 LΓA, M M 0 L ΓA θ b0 0 b0 0 L L 0 0 θ L m x ψ x dx, L xm x ψ x dx 54

55 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.4 ιέγερση από εξωτερική δύναμη - Στην περίπτωση που η εξωτερική διέγερση αποτελείται από δύναμη p(t) και όχι από κίνηση του εδάφους u g (t), οι εξισώσεις που προέκυψαν παραπάνω, τροποποιούνται ως: L 0 mz kz p t, p t p x,t ψ x dx - Οι αντίστοιχες στατικές δυνάμεις προκύπτουν ως: fs x,t M x,teixu x,t - Εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων έχουμε: L L 0 s 0 s f x,t δu x dx M x,t δk x dx, f x,t οιεσωτέρικεςδυνάμεις L L 2 δz f s x,tψxdx δzzt EIx ψ x dx

56 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 3.4 ιέγερση από εξωτερική δύναμη - Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί ως: L 2 0 s n f x,t ω m x ψ x z t ψ x dx 0 - Θέτοντας την ποσότητα της αγκύλης ίση με μηδέν ισχύει: s 2 f x,t ω m x ψ x z t n 56

57 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: ιατμητικό κτίριο - Ένα παράδειγμα πολυβάθμιου συστήματος που μπορεί να αντιμετωπιστεί ως γενικευμένο μονοβάθμιο σύστημα είναι το παρακάτω: 57

58 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: ιατμητικό κτίριο - Το παραπάνω κτίριο έχει Ν βαθμούς ελευθερίας. Στην παρούσα ενότητα η απόσβεση δεν λαμβάνεται υπόψη. Υποθέτουμε ότι οι κινήσεις κάθε ορόφου δίδονται από τη σχέση: j j u t ψ zt,j 1,2,,N - Σε μητρωική μορφή η παραπάνω εξίσωση γράφεται ως: u t ψz t - Όπου το ψ είναι ένα υποθετικό διάνυσμα σχήματος, που αντιπροσωπεύει την παραμόρφωση του κτιρίου. - Η συνολική μετατόπιση του φορέα γράφεται ως: t j j g u x,t u x,t u t 58

59 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: ιατμητικό κτίριο - Στο συγκεκριμένο «διατμητικό κτίριο» η τέμνουσα του κάθε ορόφου δίδεται από τη σχέση: - Ηδυσκαμψίατουκάθεορόφουδίδεταιως: - Οι αδρανειακές δυνάμεις δίδονται ως: Vj kjδj kj uj uj 1 k 12EI j 3 columns h fij mj u j t u g t 59

60 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: ιατμητικό κτίριο - Για την εξαγωγή της εξίσωσης ισορροπίας χρησιμοποιείται η αρχή των δυνατών έργων: N δw m u t δu u t m δu E j j j g j j j1 j1 N δw V t δu δu I j j j1 j1 - Οι μετακινήσεις εκφράζονται συναρτήσει της γενικευμένης συντεταγμένης: j j N δu ψδzδu ψδz 60

61 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: ιατμητικό κτίριο - Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις των μετατοπίσεων, οι εκφράσεις του εσωτερικού και εξωτερικού έργου γράφονται ως: N N N 2 2 δwe δzz mjψj u gt mjψ j, δwi δzz kjψj ψj 1 j1 j1 j1 - Εξισώνοντας τις εκφράσεις των έργων, προκύπτει η παρακάτω εξίσωση: g mz kz Lu t N 2 N 2 N j j j j j1 j j j1 j1 j1 m m ψ, k k ψ ψ, L m ψ 61

62 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: ιατμητικό κτίριο - Όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις ισχύει: ω 2 n k m N 2 kj ψj ψj1 j1 N 2 mjψj j1 - Για να υπολογίσουμε τις μέγιστες μετατοπίσεις, εργαζόμαστε και πάλι ως εξής: u ψ z ΓDψ,j 1,2,,N j0 j 0 j 62

63 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: ιατμητικό κτίριο - Οι ισοδύναμες στατικές δυνάμεις, που σχετίζονται με τις κινήσεις των ορόφων προκύπουν ως: f Γm ψα, j1,2,,n j0 j j - Στατική ανάλυση με τις παραπάνω δυνάμεις, δίδει την τέμνουσα δύναμη και τη ροπή ανατροπής στον i όροφο: N V f, M h h f i0 j0 i0 j i j0 j1 j1 -H τέμνουσα δύναμη και η ροπή ανατροπής ως προς τη βάση του κτιρίου δίδονται ως: N N θ Vb0 fj0 LΓΑ, Mb0 hj fj0 L ΓΑ j1 j1 n n θ L mjψ j, L hjmjψj i1 i1 N 63

64 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 5. Φυσική συχνότητα ταλάντωσης με τη μέθοδο Rayleigh Σύστημα μάζας-ελατηρίου: - Μέχρι στιγμής έχει αποδειχθεί ότι ένα μονοβάθμιο σύστημα, όταν εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του και αφήνεται να ταλαντωθεί, ταλαντώνεται με συχνότητα τη φυσική συχνότητα ω n, η οποία ισούται με ωn km - Στη συνέχεια θα εξαχθεί το ίδιο αποτέλεσμα εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας. Ηαπλήαρμονικήκίνησηενόςελεύθερα ταλαντούμενου συστήματος μπορεί να εκφραστεί, ορίζοντας ξανά την αρχή της μεταβλητής t : ut u sinω t, ut ω u cosω t 0 n n 0 n 64

65 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 5. Φυσική συχνότητα ταλάντωσης με τη μέθοδο Rayleigh Συστήματα μάζας-ελατηρίου: - H μέγιστη δυναμική ενέργεια παρουσιάζεται στη θέση Τ n /4, όταν u(t)=u 0 E s0 ku0 - H μέγιστη κινητική ενέργεια παρουσιάζεται στη θέση 0, όταν η ταχύτητα είναι E ωnu0 ut k0 mωnu0 65

66 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 5. Φυσική συχνότητα ταλάντωσης με τη μέθοδο Rayleigh Συστήματα μάζας-ελατηρίου: - Σύμφωνα με την αρχή της διατήρησης της ενέργειας η συνολική ενέργεια του συστήματος πρέπει να είναι σταθερή - Συνεπώς προκύπτει ότι: 1 1 ku mωnu0 - Η αρχή διατήρησης της ενέργειας είναι χρήσιμη για πολύπλοκα συστήματα ω n k m 66

67 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 5. Φυσική συχνότητα ταλάντωσης με τη μέθοδο Rayleigh Συστήματα διανεμημένης μάζας και δυσκαμψίας: - Θεωρούμε το σύστημα προβόλου που έχει αναλυθεί στις προηγούμενες ενότητες u x,t z ψ x sinω t, u x,t ω z ψ x cosω t 0 n n 0 n - Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του συστήματος σε ένα κύκλο ταλάντωσης δίδεται ως: L 1 E 2 s0 EI x u 0 0 x dx 2 - Η μέγιστη κινητική ενέργεια του συστήματος σε ένα κύκλο ταλάντωσης δίδεται ως: L 1 E 2 k0 m x u 0 0 x dx 2 67

68 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 5. Φυσική συχνότητα ταλάντωσης με τη μέθοδο Rayleigh Συστήματα διανεμημένης μάζας και δυσκαμψίας: - Λαμβάνοντας υπόψη ότι ισχύει: n 0 u z ψ x, u ω z ψ x - Και εξισώνοντας τη δυναμική με την κινητική ενέργεια προκύπτει: ω L n L 2 0 EI x ψ x dx m x ψ x dx - Το παραπάνω πηλίκο είναι γνωστό ως πηλίκο του Rayleigh. 68

69 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 5. Φυσική συχνότητα ταλάντωσης με τη μέθοδο Rayleigh Συστήματα με συγκεντρωμένες μάζες: - Θεωρούμε ξανά το διατμητικό κτίριο που εξετάστηκε στις προηγούμενες ενότητες. Όμοια με πριν, ισχύει: u t z sinω t ψ, u t ω z cosω tψ 0 n n 0 n - Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του συστήματος σε ένα κύκλο ταλάντωσης δίδεται ως: N 1 2 s0 j j0 j1,0 j12 E k u u - Η μέγιστη κινητική ενέργεια του συστήματος σε ένα κύκλο ταλάντωσης δίδεται ως: E N 1 m u k0 j j0 j12 69

70 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 5. Φυσική συχνότητα ταλάντωσης με τη μέθοδο Rayleigh Συστήματα με συγκεντρωμένες μάζες: - Λαμβάνοντας υπόψη ότι ισχύει: u z ψ, u ω z ψ j0 0 j j0 n 0 j και εξισώνοντας τη δυναμική με την κινητική ενέργεια προκύπτει: ω 2 n N 2 kj ψj ψj1 j1 N 2 mjψj j1 - Το παραπάνω πηλίκο είναι το πηλίκο του Rayleigh για το διατμητικό κτίριο. 70

71 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 5. Φυσική συχνότητα ταλάντωσης με τη μέθοδο Rayleigh Ιδιότητες του πηλίκου Rayleigh: - H προσεγγιστική ιδιοσυχνότητα που λαμβάνεται από την υποθετική συνάρτηση σχήματος είναι πάντα μεγαλύτερη από την θεμελιώδη φυσική συχνότητα του συστήματος. - Το πηλίκο του Rayleigh παρέχει ακριβή εκτίμηση της θεμελιώδους συχνότητας ακόμα και για μια όχι τόσο ακριβή συνάρτηση σχήματος. 71

72 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 6. Επιλογή συναρτήσεων σχήματος - Όπως έχει αναλυθεί στα προηγούμενα, η ακρίβεια υπολογισμού της φυσικής συχνότητας μέσω του πηλίκου του Rayleigh εξαρτάται από την επιλογή συνάρτησης σχήματος. Ως συνάρτηση σχήματος μπορεί να επιλεγεί οποιαδήποτε συνάρτηση ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. - Οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος ικανοποιούνται αυτόματα, αν ως συνάρτηση σχήματος επιλεγεί η ελαστική γραμμή εξαιτίας κάποιας στατικής εξωτερικής φόρτισης - Η θεώρηση αυτή έχει το πλεονέκτημα ότι η ενέργεια παραμορφώσεως μπορεί να υπολογιστεί ως το έργο που παράγεται από τις εξωτερικές δυνάμεις για να παράγουν αυτές τις μετατοπίσεις. 72

73 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 6. Επιλογή συναρτήσεων σχήματος - Το έργο παραμορφώσεως γράφεται ως: 1 L Es0 z0g mxψxdx Επομένως σύμφωνα με όσα έχουν αναλυθεί στις προηγούμενες ενότητες ισχύει: ω L L 2 g mxψxdx 0 0 n g L 2 L m x u x dx z m x ψ x dx m x u x dx 73

74 Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα 6. Επιλογή συναρτήσεων σχήματος - Ομοίως το μέγιστο έργο παραμορφώσεως του συστήματος που σχετίζεται με τις μετατοπίσεις u(x) εξαιτίας των δυνάμεων που φαίνονται στο σχήμα είναι : - Συνεπώς προκύπτει: ω 1 E z g p ψ x s0 0 j j 2 j p ψ x j j j j 2 1 j j n L 2 L p u x z m x ψ x dx m x u x dx 74

75 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Hellenic Open University Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια Συστήματα ιδάσκων: Ε.Ι. Σαπουντζάκης υναμική των Κατασκευών

76 Περιεχόμενα 1. Εξισώσεις κίνησης και μέθοδοι επίλυσης 2. Ελεύθερες ταλαντώσεις πολυβαθμίων συστημάτων 3. Απόσβεση στις κατασκευές 4. υναμική ανάλυση και απόκριση γραμμικών συστημάτων 5. Σεισμική ανάλυση γραμμικών συστημάτων 6. Μείωση βαθμών ελευθερίας 7. Αριθμητικός υπολογισμός δυναμικής απόκρισης 8. Συστήματα με κατανεμημένη μάζα και ελαστικότητα 9. Σεισμική απόκριση γραμμικώς ελαστικών κτιρίων υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

77 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

78 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 1. Απλό πολυβάθμιο σύστημα: ιώροφοδιατμητικόκτίριο Οι δοκοί θεωρούνται άκαμπτες Αγνοείται η αξονική παραμόρφωση των δοκών και υποστυλωμάτων Αγνοείται η επιρροή της αξονικής δύναμης στη δυσκαμψία των υποστυλωμάτων Η μάζα θεωρείται συγκεντρωμένη στα επίπεδα των ορόφων Θεωρείται γραμμική ιξώδης απόσβεση υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

79 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 1. Απλό πολυβάθμιο σύστημα: ιώροφοδιατμητικόκτίριο Τα οριζόντια φορτία p1 και p2 ασκούνται στις στάθμες των ορόφων ύο βαθμοί ελευθερίας κίνησης: Οι οριζόντιες μετατοπίσεις των ορόφων υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

80 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 1. Απλό πολυβάθμιο σύστημα: ιώροφοδιατμητικόκτίριο Εξισώση κίνησης με το 2 ο Νόμο του Νεύτωνα: j sj Dj j j j j Dj sj j p f f mu mu f f p t j f sj : Eλαστική δύναμη για τον j όροφο f Dj : ύναμη απόσβεσης για τον j όροφο p j : Εξωτερική δύναμη στον j όροφο υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

81 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 1. Απλό πολυβάθμιο σύστημα: ιώροφοδιατμητικόκτίριο Εξισώσεις κίνησης σε μητρωϊκή μορφή: m1 0 u 1 fd1 fs1 p1 t 0 m u f f p t 2 2 D2 s2 2 mu f f p t D s u1 m1 0 fd1 fs1 p1 t u, m,,, t u 2 0 m fd fs p 2 fd2 fs2 p2 t υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

82 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 1. Απλό πολυβάθμιο σύστημα: ιώροφοδιατμητικόκτίριο Εξισώσεις κίνησης σε μητρωϊκή μορφή: mu f f p t Οι ελαστικές δυνάμεις f s συσχετίζονται με τις μετατοπίσεις u: f f f k u k u u 12ΕΙ a b s1 s1 s c k j 3 s Yπ τα h f k u u D s fs1 k1k2 k2u1 s f s2 k2 k f ku 2 u2 k υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

83 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 1. Απλό πολυβάθμιο σύστημα: ιώροφοδιατμητικόκτίριο Εξισώσεις κίνησης σε μητρωϊκή μορφή: mu f ku p t Οι δυνάμεις απόσβεσης f D συσχετίζονται με τις ταχύτητες : fd1 c1u 1 c2 u 1 u 2 c j :Συντελεστής απόσβεσης fd2 c2u 2 u 1 D u fd1 c1 c2 c2u 1 D f D2 c2 c f cu 2 u 2 c υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

84 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 1. Απλό πολυβάθμιο σύστημα: ιώροφοδιατμητικόκτίριο Εξισώσεις κίνησης σε μητρωϊκή μορφή: mu cu ku p t Σύστημα δύο συνήθων διαφορικών εξισώσεων ως προς τις άγνωστες μετατοπίσεις u 1 (t) και u 2 (t) που δημιουργούνται από τη δράση των εξωτερικών δυνάμεων p 1 (t) και p 2 (t). Οι εξισώσεις αυτές πρέπει να επιλυθούν ταυτόχρονα. υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

85 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα ιακριτοποίηση πλαισιωτής κατασκευής σε ένα σύνολο δοκώνυποστυλωμάτων που συνδέονται στους κόμβους: - 10 δομικά μέλη - 18 βαθμοί ελευθερίας (β.ε): 2 μετατοπίσεις και 1 στροφή ανά κόμβο - Βασική παραδοχή: Αμελούμε την αξονική παραμόρφωση Μείωσηβ.ε. σε 8 υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

86 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Τα εξωτερικά φορτία ασκούνται στους κόμβους: - Οι εξωτερικές ροπές p 3 (t) p 8 (t) είναι ίσες με μηδέν στις περισσότερες πρακτικές περιπτώσεις υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

87 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Ελαστικές δυνάμεις (Συντελεστές επιρροής δυσκαμψίας): - Θέλουμε να συσχετίσουμε τις εξωτερικές δυνάμεις f sj με τις προκύπτουσες μετακινήσεις u j - Επιτυγχάνεται με τη μέθοδο των συντελεστών επιρροής δυσκαμψίας που βασίζεται στην αρχή της επαλληλίας υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

88 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Ελαστικές δυνάμεις (Συντελεστές επιρροής δυσκαμψίας): - ίδουμε μοναδιαία μετατόπιση ή στροφή κατά τον β.ε. j διατηρώντας τις υπόλοιπες ίσες με μηδέν. υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

89 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Ελαστικές δυνάμεις (Συντελεστές επιρροής δυσκαμψίας): - Για τη διατήρηση των παραμορφωμένων καταστάσεων που δημιουργούνται στο φορέα, αναπτύσσονται δυνάμεις σε όλους γενικά τους β.ε. - Ο συντελεστής επιρροής δυσκαμψίας k ij εκφράζει τη δύναμη που πρέπει να ασκηθεί κατά το β.ε. i ώστε να αναπτυχθεί μοναδιαία μετατόπιση κατά τον β.ε. j με όλες τις υπόλοιπες μετατοπίσεις ίσες με το μηδέν. - Οι δυνάμεις τοποθετούνται με τη θετική τους φορά, αλλά ενδέχεται να προκύψουν αρνητικές ώστε να είναι σύμφωνες με τις επιβαλλόμενες μετατοπίσεις. υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

90 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Ελαστικές δυνάμεις (Συντελεστές επιρροής δυσκαμψίας): - Ηδύναμηf si κατά τον β.ε. i προκύπτει από την επαλληλία: - Σε μητρωϊκή γραφή ισχύει: f k u k u k u k u si i1 1 i2 2 ij j in N fs1 k11 k12 k1j k1n u1 f s2 k21 k22 k21 k 2N u 2 fs ku f k k k k u sn N1 N2 Nj NN N k υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

91 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα υνάμεις απόσβεσης (Ιξώδης απόσβεση): - Θέλουμε να συσχετίσουμε τις εξωτερικές δυνάμεις f Dj με τις προκύπτουσες ταχύτητες - Επιτυγχάνεται με την παραδοχή ιξώδους απόσβεσης υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

92 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα υνάμεις απόσβεσης (Ιξώδης απόσβεση): - ίνουμε μοναδιαία ταχύτητα κατά τον β.ε. j διατηρώντας τις υπόλοιπες ίσες με μηδέν. Οι ταχύτητες αυτές θα προκαλέσουν εσωτερικές δυνάμεις απόσβεσης, ενώ εξωτερικές δυνάμεις θα είναι απαραίτητες για να ισορροπήσουν τις εσωτερικές. - Ο συντελεστής επιρροής απόσβεσης c ij εκφράζει την εξωτερική δύναμη κατά το β.ε. i εξαιτίας μοναδιαίας ταχύτητας κατά τον β.ε. j με όλες τις υπόλοιπες ταχύτητες ίσες με το μηδέν. υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

93 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα υνάμεις απόσβεσης (Ιξώδης απόσβεση): - Οι εξωτερικές δύναμεις f Dj συσχετίζονται με τις ταχύτητες ως εξής: - Σε μητρωϊκή γραφή ισχύει: f c u c u c u c u Di i1 1 i2 2 ij j in N fd1 c11 c12 c1j c1n u 1 f D2 c21 c22 c21 c 2N u 2 fd cu f DN cn1 cn2 cnj cnn u N c υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

94 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Αδρανειακές δυνάμεις (Συγκεντρωμένες μάζες): - Θέλουμε να συσχετίσουμε τις εξωτερικές δυνάμεις f Ιj με τις προκύπτουσες επιταχύνσεις - Υιοθετείται η παραδοχή των συγκεντρωμένων μαζών στους κόμβους του πλαισίου υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

95 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Αδρανειακές δυνάμεις (Συγκεντρωμένες μάζες): - Εφαρμόζουμε μοναδιαία επιτάχυνση κατά τον β.ε. j διατηρώντας τις υπόλοιπες ίσες με μηδέν. υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

96 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Αδρανειακές δυνάμεις (Συγκεντρωμένες μάζες): - Σύμφωνα με την αρχή D Alembert οι υποθετικές αδρανειακές δυνάμεις αντιστέκονται στις μοναδιαίες επιταχύνσεις. - Ο συντελεστής επιρροής μάζας m ij εκφράζει την εξωτερικήδύναμηκατάτοβ.ε. i εξαιτίας της επιτάχυνσης κατά τον β.ε. j με όλες τις υπόλοιπες επιταχύνσεις ίσες με το μηδέν. υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

97 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Αδρανειακές δυνάμεις (Συγκεντρωμένες μάζες): - Οι εξωτερικές δύναμεις f Ιj συσχετίζονται με τις επιταχύνσεις ως εξής: - Σε μητρωϊκή γραφή ισχύει: f m u m u m u m u Ci i1 1 i2 2 ij j in N fi1 m11 m12 m1j m1n u 1 f I2 m21 m22 m21 m 2N u 2 fi mu f IN mn1 mn2 mnj mnn u N m υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

98 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Αδρανειακές δυνάμεις (Συγκεντρωμένες μάζες): - Οι διάφορες μάζες στους κόμβους υπολογίζονται με αντικατάσταση κάθε δομικού στοιχείου από σημειακές μάζες που καθορίζονται από τη στατική. - Η συγκεντρωμένη μάζα σε κάθε κόμβο είναι το άθροισμα των συνεισφορών όλων των δομικών στοιχείων που συντρέχουν στον κόμβο. - Η στροφική αδράνεια των συγκεντρωμένων μαζών θεωρείται αμελητέα. υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

99 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Αδρανειακές δυνάμεις (Συγκεντρωμένες μάζες): - Σε γενικές γραμμές το μητρώο μάζας που προκύπτει με την παραδοχή συγκεντρωμένων μαζών είναι διαγώνιο: m 0γιαi j ij m m ή0 jj j - mj είναι η συγκεντρωμένη μάζα στον κόμβο και σχετίζεται με όλους τους μεταφορικούς β.ε. Η τιμή0 αντιστοιχεί στους στροφικούς β.ε. υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

100 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Θεωρήσεις για την κατανομή της μάζας των ορόφων: - ιαφραγματική λειτουργία: Οι πλάκες θεωρούνται άκαμπτες στο επίπεδο τους (συνήθης παραδοχή για πλάκες από σκυρόδεμα) Η κίνηση των πλαισίων δεν είναι ανεξάρτητη 3 β.ε στο επίπεδο της πλάκας - Μη διαφραγματική λειτουργία (π.χ σε ελαφρά ξύλινα δάπεδα) Η μάζα της πλάκας κατανέμεται στους κόμβους και η ευκαμψία του διαφράγματος πρέπει να ληφθεί υπόψη (ενδείκνυται η χρήση FEM) υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

101 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 2. Γενική μεθοδολογία για γραμμικά συστήματα Εξισώσεις κίνησης: f f f p mu cu ku p I D s t t - Σύστημα Ν συνήθων διαφορικών εξισώσεων που ορίζουν το διάνυσμα των μετατοπίσεων u(t) λόγω των εξωτερικών φορτίων p(t), N είναι ο αριθμός των β.ε. - Οιμηδιαγώνιοιόροισταμητρώαm, c, k είναι γνωστοί ως όροι σύζευξης. Γενικά οι εξισώσεις περιέχουν σύζευξη μάζας, απόσβεσης και δυσκαμψίας. Η σύζευξη ωστόσο, σε ένα σύστημα εξαρτάται από την επιλογή των β.ε. που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν την κίνηση υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

102 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 3. Στατική συμπύκνωση (Static condensation) -H μέθοδος στατικής συμπύκνωσης ή στατικής απαλοιφής χρησιμοποιείται για να απαλειφθούν από τη δυναμική ανάλυση οι β.ε. στους οποίους αντιστοιχεί μηδενική μάζα (π.χ. στροφικοί β.ε. κόμβων πλαισίων με παραδοχή συγκεντρωμένων μαζών) Ενεργοί δυναμικοί β.ε. υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα ή

103 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 3. Στατική συμπύκνωση (Static condensation) - Το σύστημα των εξισώσεων κίνησης αμελούμενης της απόσβεσης γράφεται ως: t mtt 0u t ktt kt0ut pt 0 0 u k k u 0 0 0t Με u 0 συμβολίζονται οι β.ε. που αντιστοιχούν σε μηδενική συνεισφορά μάζας. ιαχωρίζοντας τα συστήματα έχουμε: m u k u k u p tt t tt t t0 0 t k u k u 0 0t t 00 0 t υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

104 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 3. Στατική συμπύκνωση (Static condensation) - Λόγω μη ύπαρξης αδρανειακών όρων που να σχετίζονται με τις μετατοπίσεις u 0, υπάρχει μια στατική σχέση μεταξύ των u 0 και u t : t t u k k u - Αντικαθιστώντας την έκφραση του u 0 στην πρώτη εκ των δύο σχέσεων προκύπτει: - Όπου: m u kˆ u p tt t tt t t kˆ k k k k t T 1 tt tt 0t 00 0t υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

105 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 4.1. Κίνηση εδάφους σε επίπεδα πολυβάθμια συστήματα - Μια από τις πιο σημαντικές εφαρμογές είναι η δυναμική ανάλυση πλαισίων που υπόκεινται σε κίνηση της βάσης τους λόγω σεισμικής διέγερσης: t j j g u t u t u t t tu t t j j g u u 1 - Οι εξισώσεις κίνησης γράφονται για μηδενικό εξωτερικό φορτίο: fi fd fs 0 υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

106 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 4.1. Κίνηση εδάφους σε επίπεδα πολυβάθμια συστήματα - Οι ελαστικές δυνάμεις και οι δυνάμεις απόσβεσης εξαρτώνται από τις σχετικές μετατοπίσεις που αναπτύσσονται στα μέλη του πλαισίου u, ενώ οι αδρανειακές δυνάμεις συσχετίζονται με τις συνολικές μετατοπίσεις u t : f ku, f cu, f mu s D I t - Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ των σχετικών μετατοπίσεων και των συνολικών μετατοπίσεων οι εξισώσεις ισορροπίας γράφονται ως εξής: mu cu ku m1u t g υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

107 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 4.1. Κίνηση εδάφους σε επίπεδα πολυβάθμια συστήματα - Συγκρίνοντας τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος για την περίπτωση εξωτερικών φορτίων με τις αντίστοιχες για την περίπτωση κίνησης του εδάφους, παρατηρούμε ότι η ανάλυση ενός συστήματος που υπόκειται σε μετακίνηση της βάσης του είναι ισοδύναμη με την ανάλυση του ίδιου συστήματος με εξωτερική φόρτηση p eff, όπου: p eff m1 u g t υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

108 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 4.1. Κίνηση εδάφους σε επίπεδα πολυβάθμια συστήματα - Η προηγούμενη διαδικασία μπορεί να γενικευτεί και για περιπτώσεις, όπου η κίνηση του εδάφους δεν είναι ίδια για όλες τις στηρίξεις του φορέα, ή η διεύθυνση της κίνησης δεν συμπίπτει με τη διεύθυνση όλων των β.ε.: m 1 m m t u tiug tut peff tmiu g tu g t m2 m3 1 u g tm2 m3 υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

109 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 4.2. Κτίρια συμμετρικής κάτοψης: Μεταφορική κίνηση εδάφους - N-ώροφα κτίρια με συμμετρική κατανομή μάζας και δυσκαμψίας μπορούν να αναλυθούν ανεξάρτητα στις δύο πλευρικές διευθύνσεις. υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

110 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 4.2. Κτίρια συμμετρικής κάτοψης: Μεταφορική κίνηση εδάφους - Κατασκευάζουμε το μητρώο δυσκαμψίας του i πλαισίου που είναι προσανατολισμένο πχ προς τη διεύθυνση x. Με στατική συμπύκνωση απαλείφονται οι κατακόρυφες μετακινήσεις και οι στροφές των κόμβων. Επομένως οι πλευρικές δυνάμεις του i πλαισίου είναι: f k u si xi xi - Με θεώρηση απαραμόρφωτων στο επίπεδο τους διαφραγμάτων ισχύει: T xi x, x u1x u2x ujx unx u u u - Οι συνολικές πλευρικές δυνάμεις δίνονται ως: i f f k u, k k si s s x x xi i υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

111 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 4.3. Στροφική κίνηση εδάφους σε επίπεδα συστήματα t t t θ t, h h x u u i i g υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

112 Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 4.3. Στροφική κίνηση εδάφους σε επίπεδα συστήματα - Οι εξισώσεις ισορροπίας ισχύουν όπως έχουν διατυπωθεί παραπάνω, με τροποποίηση των δυνάμεων p eff mu cu ku miθ g t p m1 h1 m1h1 t θ t θ t m m h θ t m m h2 m3x3 m3x3 mi eff g g g 2 3 υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

113 Ελεύθερες Ταλαντώσεις Πολυβαθμίων Συστημάτων υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

114 Ελεύθερες Ταλαντώσεις Πολυβαθμίων Συστημάτων 1. Συστήματα χωρίς απόσβεση - Το σύστημα των εξισώσεων ισορροπίας γράφεται ως: mu ku 0 - Ν συζευγμένες ομογενείς διαφορικές εξισώσεις που υπόκεινται στις αρχικές συνθήκες: u u 0, u u 0 - Η κίνηση κάθε μάζας δεν είναι πλέον μια απλή αρμονική κίνηση και η συχνότητα κίνησης δεν μπορεί να προσδιοριστεί. - Απλή αρμονική κίνηση θα προκύψει εάν η ελεύθερη ταλάντωση εκκινήσει με μια κατάλληλη κατανομή μετατοπίσεων στους β.ε. (ιδιομορφή ή κανονική μορφή ταλάντωσης). υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

115 Ελεύθερες Ταλαντώσεις Πολυβαθμίων Συστημάτων 1. Συστήματα χωρίς απόσβεση - Η Ιδιοπερίοδος Ταλάντωσης T n ενός πολυβάθμιου συστήματος είναι ο χρόνος στον οποίον το σύστημα εκτελεί έναν πλήρη κύκλο απλής αρμονικής κίνησης κατά την n ιδιομορφή του συστήματος. Η αντίστοιχη κυκλική ιδιοσυχνότητα συμβολίζεται με ω n και η ιδιοσυχνότητα με f n 2π 1 T n, fn ω T n - Η μικρότερη ιδιοσυχνότητα συμβολίζεται με ω 1 και ονομάζεται θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα. n - Το διάνυσμα φ n = {φ 1n..φ Νn } T είναι το διάνυσμα της n ιδιομορφής. υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

116 Ελεύθερες Ταλαντώσεις Πολυβαθμίων Συστημάτων 2. Ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές ταλάντωσης - Οι ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές ενός συστήματος προκύπτουν από πρόβλημα ιδιοτιμών. Γράφουμε τη λύση ως έξής: u t q t - Όπου Α n και Β n είναι σταθερές ολοκλήρωσης που ορίζονται από τις αρχικές συνθήκες u - Αντικαθιστώντας τις μετατοπίσεις στην εξίσωση ισορροπίας, έχουμε: υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα n φ n q A cos ω t B sin ω t n n n n n t A cosω t B sinω t φ n n n n n 2 2 ωnmφn kφ n qn t 0k ω nm φn 0

117 Ελεύθερες Ταλαντώσεις Πολυβαθμίων Συστημάτων 2. Ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές ταλάντωσης - Έχουμε ένα ομογενές σύστημα Ν γραμμικών εξισώσεων. Για να έχει μη τετριμμένη λύση, πρέπει να ισχύει: 2 detkω n m0 - Οι ρίζες του αναπτύγματος της ορίζουσας δίδουν τις ιδιοτιμές ή ιδιοσυχνότητες ω n (οι οποίες υπάρχουν και είναι θετικές αφού τα m, k είναι συμμετρικά και θετικώς ορισμένα) - Για κάθε ιδιοσυχνότητα επιλύουμε το σύστημα της προηγούμενης διαφάνειας και προκύπτει το διάνυσμα της n ιδιομορφής, Έτσι έχουμε συνολικά 2 φ11 φ12 φ1ν ω 1 φ 2 21 φ22 φ 2Ν 2 ω, 2 Φ Ω φν1 φν2 φνν 2 ω Ν υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

118 Ελεύθερες Ταλαντώσεις Πολυβαθμίων Συστημάτων 2. Ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές ταλάντωσης - Το μητρώο Φ ονομάζεται μητρώο ιδιομορφών και το μητρώο Ω 2 ονομάζεται φασματικό μητρώο. Ισχύει: 2 2 n nωn kφ mφ kφ mφω υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα

119 Ελεύθερες Ταλαντώσεις Πολυβαθμίων Συστημάτων 3. Ορθογωνικότητα των ιδιομορφών - Οι ιδιομορφές που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοσυχνότητες ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες ορθογωνικότητας: Απόδειξη: T r 2 T n ω nφrmφn T n r 2 T ω rφnmφr T n r 2 T nφnmφr φ kφ φ kφ φ kφ ω 2 2 T n ωr n r T T n r, r n φ mφ 0 φ mφ 0, ομοίως.ο ανάστροφοςτηςπρώτηςεξίσωσηςπροκύπτειως ω.aφαιρούμε τιςδύοεξισώσεις : φ mφ 0 - Για την περίπτωση που δεν έχουμε πολλαπλές ιδιοτιμές, για να επαληθεύεται η παραπάνω σχέση προκύπτει η σχέση που ορίζει τη συνθήκη ορθογωνικότητας υναμική των Κατασκευών Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια συστήματα