επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K"

Transcript

1 Θεωρία Τομών Επίπεδων Καμπυλών Εργασία στο πλαίσιο τού μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες (με κωδ. αριθμό Α 19) Χειμερινό Εξάμηνο Μιχαήλ Γκίκας 1 Αριθμός τομής δυο συσχετικών επίπεδων καμπυλών Εστω ότι το K είναι ένα αλγεβρικώς κλειστό σώμα και τα F, G K[x, y] δυο πολυώνυμα. Αυτά ορίζουν τις επίπεδες καμπύλες V(F), V(G) A 2 K, τις οποίες, για λόγους ευκολίας, ϑα τις συμβολίζουμε απλώς ως F, G. Ως m P (F) ϑα συμβολίζουμε την πολλαπλότητα τού F στο σημείο P. Οποιαδήποτε παραπομπή φέρει τριπλή αρίθμηση αναφέρεται στις σημειώσεις παραδόσεων [4]. Σκοπός τής παρούσας ενότητας είναι να ορισθεί ο λεγόμενος αριθμός τομής I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K. Προς τούτο ακολουθούμε την αξιωματική μέθοδο τού Fulton [1]. Ορισμός 1.1. Λέμε ότι δυο καμπύλες F και G τέμνονται εμπρεπώς στο σημείο P όταν αυτές δεν διαθέτουν καμία κοινή ανάγωγη συνιστώσα διερχόμενη από το P. Ακόμη λέμε ότι οι F και G τέμνονται εγκαρσίως στο P A 2 K όταν το P αποτελεί ομαλό σημείο τόσον τής F όσον και τής G και επιπροσθέτως ισχύει T P (F) T P (G). Παραθέτουμε τα αξιώματα τού αριθμού τομής : Αξίωμα (Α1) : Εάν οι καμπύλες F και G τέμνονται εμπρεπώς στο σημείο P, τότε I(P, F G) N 0. Στην αντίθετη περίπτωση, I(P, F G) =. 1

2 Αξίωμα (Α2) : Ισχύει η διπλή συνεπαγωγή : I(P, F G) = 0 P F G. Εκτός τούτου, ο αριθμός τομής I(P, F G) εξαρτάται μόνον από εκείνες τις α- νάγωγες συνιστώσες των F και G που διέχονται από το σημείο P. Αξίωμα (Α3) : Εάν η απεικόνιση T είναι μια συσχετική αλλαγή συντεταγμένων με T(P) = Q, τότε I(Q, F T G T ) = I(P, F G). Αξίωμα (Α4) : I(P, F G) = I(P, G F). Αξίωμα (Α5) : I(P, F G) m P (F) m P (G). Επιπροσθέτως, I(P, F G) = m P (F) m P (G) T P (F) T P (G). Αξίωμα (Α6) : Εάν F = F r i i και G = G s i i, τότε I(P, F G) = r i s j I(P, F i G j ). Αξίωμα (Α7) : Για κάθε A K[x, y] έχουμε I(P, F G) = I ( P, F (G + AF) ). Παρατήρηση 1.2. (i) Άμεση απόρροια τού αξιώματος (Α5) και τού ορισμού 1.1 είναι ότι οι F και G τέμνονται εγκαρσίως στο σημείο P εάν και μόνον εάν I(P, F G) = 1. (ii) Στην ειδική περίπτωση όπου το πολυώνυμο F είναι ανάγωγο, το αξίωμα (Α7) μας πληροφορεί ότι ο αριθμός τομής I(P, F G) δεν εξαρτάται ουσιαστικώς από το ίδιο το πολυώνυμο G αλλά από την εικόνα του εντός τού δακτυλίου συντεταγμένων Γ(F) = K[x, y] / F τής F. (iii) Το αξίωμα (Α6) εμφανίζεται συνήθως στην απλούστερη μορφή : I(P, F GH) = I(P, F G) + I(P, F H). 2

3 (iv) Το ότι ο αριθμός τομής I(P, F G) εξαρτάται μόνον από τις ανάγωγες συνιστώσες των F και G που διέχονται από το P είναι άμεση απόρροια τής ισοδυναμίας τού αξιώματος (Α2) και τού αξιώματος (Α6). Εν συνεχεία ϑα αποδείξουμε μέσω τού ϑεωρήματος 1.5 την ύπαρξη και τη μοναδικότητα τού αριθμού τομής I(P, F G). Για την απόδειξη τού εν λόγω ϑεωρήματος ϑα μας φανούν χρήσιμα τα ακόλουθα λήμματα : Λήμμα 1.3. (i) Εάν η φ : V W είναι μια γραμμική απεικόνιση μεταξύ δυο K-διανυσματικών χώρων πεπερασμένης διαστάσεως, τότε ισχύει ( ) ( ) dim K ker(φ) + dimk Im(φ) = dimk (V). (ii) Εάν η ακολουθία K-διανυσματικών χώρων πεπερασμένης διαστάσεως είναι ακριβής, τότε φ 1 φ 2 0 V 1 V2 V3 0 dim K (V 1 ) + dim K (V 3 ) = dim K (V 2 ). (iii) Εάν η ακολουθία K-διανυσματικών χώρων πεπερασμένης διαστάσεως είναι ακριβής, τότε φ 1 φ 2 φ 3 0 V 1 V2 V3 V4 0 dim K (V 4 ) = dim K (V 3 ) dim K (V 2 ) + dim K (V 1 ). Απόδειξη. (i) Βλ. συγγράμμα [3], ϑεώρημα 2.8, σελ 59. (ii) Επειδή ker(φ 2 ) = Im(φ 1 ) V 1 και Im(φ 2 ) = V 3, αρκεί να εφαρμόσουμε το αποτέλεσμα τού (i) για την απεικόνιση φ 2 : V 2 V 3. (iii) Θεωρούμε τις βραχείες ακριβείς ακολουθίες φ 1 φ 2 0 V 1 V2 Im(φ2 ) 0 και 0 ker(φ 3 ) i V 3 φ 3 V4 0, όπου i : ker(φ 3 ) V 3 είναι η ένθεση. Εφαρμόζοντας το αποτέλεσμα τού (ii) στις ανωτέρω βραχείες ακριβείς ακολουθίες, λαμβάνουμε dim K (V 1 ) + dim K ( Im(φ2 ) ) = dim K (V 2 ) και dim K ( ker(φ3 ) ) + dim K (V 4 ) = dim K (V 3 ) αντιστοίχως. Επειδή ισχύει Im(φ 2 ) = ker(φ 3 ), αφαιρώντας κατά μέλη την πρώτη εκ των δύο ισοτήτων από την δεύτερη καταλήγουμε στο ζητούμενο. 3

4 Λήμμα 1.4. Εστω ότι οι L 1, L 2,... και M 1, M 2,... είναι δυο ακολουθίες ομογενών πρωτοβαθμίων πολυωνύμων, τέτοιες ώστε L i λm j, για κάθε λ K. Για i, j 0 ορίζουμε A i j := L 1 L 2 L i M 1 M 2 M j και A 00 = 1. Τότε το σύνολο {A i j : i + j = d} αποτελεί μια βάση τού K[x, y] d, για κάθε d N. Απόδειξη. Παγιώνουμε ένα d N και δείχνουμε αρχικώς ότι τα στοιχεία τού συνόλου {A i j : i + j = d} είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Ας ϑεωρήσουμε λ i, j K, τέτοια ώστε λ i, j A i j = 0. i+ j=d Τότε λ 0,d (M 1 M d ) + λ 1,d 1 (L 1 M 1 M d 1 ) + + λ d,0 (L 1 L d ) = 0, οπότε ( L 1 λ1,d 1 (M 1 M d 1 ) + + λ d,0 (L 2 L d ) ) = λ 0,d (M 1 M d ). (1) Ως γνωστόν, ο δακτύλιος K[x, y] είναι Π.Μ.Π. και τα M 1,..., M d (προφανώς) α- νάγωγα στοιχεία του. Επειδή εξ υποθέσεως το πολυώνυμο L 1 δεν διαιρεί κανένα εκ των πολυωνύμων M 1,..., M d, η σχέση (1) μας δίδει λ 0,d M 1... M d = 0 λ 0,d = 0 K. Κατ επέκτασιν, λ 1,d 1 (M 1 M d 1 ) + + λ d,0 (L 2 L d ) = 0. (2) Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία για την ισότητα (2) και εξάγοντας τώρα το πολυώνυμο L 2 ως κοινό παράγοντα, καταλήγουμε στο ότι λ 1,d 1 = 0 K. Ως εκ τούτου, κατόπιν (d 1) βημάτων λαμβάνουμε λ 0,d = λ 1,d 1 = = λ d,0 = 0 K. ( ) Τέλος, επειδή card{a i j : i + j = d} = d + 1 και dim K K[x, y]d = d + 1 (βλ. παράδειγμα (α)) ο ισχυρισμός τού λήμματος είναι αληθής. Θεώρημα 1.5. Εστω ότι οι F, G είναι δυο συσχετικές επίπεδες καμπύλες και P A 2 K ένα τυχόν σημείο. Τότε υπάρχει μοναδικός αριθμός τομής I(P, F G) N 0 { }, ο οποίος πληροί τα αξιώματα (Α1)-(Α7). Συγκεκριμένα, αυτός δίδεται από τον τύπο : ( I(P, F G) := dim K OA 2 K,P / F, G O A 2 K,P). 4

5 Απόδειξη. Μοναδικότητα : Αποδεικνύουμε τη μοναδικότητα παρέχοντας μια κατασκευαστική διαδικασία υπολογισμού τού αριθμού I(P, F G), κατά την ο- ποία γίνεται αποκλειστική χρήση των αξιωμάτων (Α1)-(Α7). Κατ αρχάς, βάσει τού αξιώματος (Α3) μπορούμε να υποθέσουμε ότι P = (0, 0) A 2 K. Επιπροσθέτως, κατά το αξίωμα (Α1), μπορούμε να υποθέσουμε ότι I(P, F G) <, ήτοι ότι τα F και G τέμνονται εμπρεπώς στο σημείο P. Σύμφωνα με το αξίωμα (Α2) ο αριθμός τομής I(P, F G) είναι μηδέν ακριβώς όταν τα F και G δεν τέμνονται στο P. Μπορούμε λοιπόν εφεξής να υποθέτουμε ότι P = (0, 0) F G και κατ επέκτασιν ότι I(P, F G) = n, για κάποιον φυσικό αριθμό n > 0. Εργαζόμαστε επαγωγικώς ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός I(P, A B) μπορεί να υπολογισθεί οσάκις I(P, A B) < n. Θεωρούμε τα πολυώνυμα F(x) := F(x, 0) και G(x) := G(x, 0) και ορίζουμε deg F := r, deg G := s. Στο σημείο αυτό παρατηρούμε ότι λόγω τού αξιώματος (Α4) μπορούμε, δίχως βλάβη τής γενικότητας, να υποθέσουμε ότι r s. Διακρίνουμε περιπτώσεις : Περίπτωση r = 0 : Εν προκειμένω ισχύει deg F = deg F(x, 0) = 0, οπότε το πολυώνυμο F αποτελείται αποκλειστικώς από δυνάμεις τού y, ήτοι F K[y]. Επιπροσθέτως, επειδή εξ υποθέσεως F(P) = F(0, 0) = 0, το F δεν διαθέτει στα- ϑερό όρο. Ως εκ τούτου, y F, οπότε F = yh για κάποιο πολυώνυμο H K[y]. Επομένως, βάσει τού αξιώματος (Α6) έχουμε I(P, F G) = I(P, yh G) = I(P, y G) + I(P, H G). (3) Επειδή G(P) = G(0, 0) = 0, και το G δεν διαθέτει σταθερό όρο. υπάρχουν m > 0 και a 0, a 1,..., a s m K, a 0 0, ούτως ώστε Επομένως G := G(x, 0) = x m( a 0 + a 1 x + a 2 x a s m x s m). (4) Θα υπολογίσουμε εν πρώτοις τον αριθμό I(P, y G). Προς τούτο ορίζουμε το πολυώνυμο M(x) := a 0 + a 1 x a s m x s m καθώς και την αντίστοιχη καμπύλη (συμβολιζόμενη, και πάλι καταχρηστικώς, με το ίδιο σύμβολο) M ( = V(M) ). Τότε G(x) = x m M(x) και M(P) 0 (διότι a 0 0). Εξάλλου, είναι προφανές ότι G = G + ya για κάποιο (ενδεχομένως μηδενικό) A K[x, y]. Σύμφωνα λοιπόν με το αξίωμα (Α7) λαμβάνουμε το εξής : I(P, y G) = I ( P, y ( G + ya) ) = I(P, y G). (5) 5

6 Χρησιμοποιώντας επιπλέον τα αξιώματα (Α2), (Α5) και (Α6) έχουμε 1 : I(P, y G) (5) = I(P, y G) (4) = I(P, y x m M) (A6) = I(P, y x m ) + I(P, y M) (A2) = I(P, y x m ) (A5) = m P (y) m P (x m ) = 1 m = m. Ως εκ τούτου, I(P, y G) = m, οπότε η σχέση (3) διαμορφώνεται ως εξής : I(P, F G) = m + I(P, H G). Ομως m > 0 και (εξ υποθέσεως) I(P, F G) = n. Επομένως ισχύει η ανισότητα I(P, H G) = n m < n, οπότε (βάσει τής επαγωγικής υποθέσεως) ο αριθμός τομής I(P, H G) μπορεί να υπολογισθεί. Κατ επέκτασιν το ίδιο ισχύει και για τον αριθμό I(P, F G). Περίπτωση r > 0 : Δίχως βλάβη τής γενικότητας υποθέτουμε ότι τα πολυώνυμα F και G είναι μονικά (ειδάλλως πολλαπλασιάζουμε με κατάλληλες σταθερές) και επομένως μεγ. όρος ( F) = x r και μεγ. όρος ( G) = x s. Ορίζουμε το πολυώνυμο M(x, y) := G x s r F, καθώς και το πολυώνυμο M := M(x, 0) K[x]. Κατ αρχάς, βάσει τού αξιώματος (Α7), έχουμε I(P, F G) = I(P, F M). Επειδή ο μεγιστοβάθμιος όρος τού πολυωνύμου x s r F είναι ο ίδιος με τον μεγιστοβάθμιο όρο τού G, συνάγουμε ότι t := deg( M) < s =: deg( G). Ως εκ τούτου, εάν επαναλάβουμε την ανωτέρω διαδικασία (εναλλάσσοντας ενδεχομένως τη σειρά των F και G στην περίπτωση όπου t < r, πράγμα το οποίο δεν επηρεάζει τον αριθμό τομής κατά το αξίωμα (Α4)) ϑα καταλήξουμε ύστερα από πεπερασμένο αριθμό βημάτων σε κάποιο ζεύγος καμπυλών A, B το οποίο ϑα εμπίπτει στην προηγούμενη περίπτωση και ϑα ισχύει I(P, F G) = I(P, A B). 1 Στην τέταρτη ισότητα χρησιμοποιούμε το ότι ισχύει P M, ενώ στην πέμπτη το γεγονός ότι T P (x) T p (y). 6

7 Υπαρξη : Για λόγους συντομίας χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό O := O A 2 K,P και ορίζουμε ( ) I(P, F G) := dim K O / F, G O. Επαληθεύουμε τα αξιώματα (Α1)-(Α7) : Αξίωμα (Α1) : Ας υποθέσουμε ότι τα F και G τέμνονται εμπρεπώς στο σημείο P (δηλαδή ότι αυτά δεν διαθέτουν κοινές ανάγωγες συνιστώσες διερχόμενες από το P). Βάσει τής προτάσεως το σύνολο V(F, G) είναι πεπερασμένο, ας πούμε το V(F, G) = {P 1,..., P m }. Τότε, σύμφωνα με το ϑεώρημα , και επειδή P V(F, G), έχουμε I(P, F G) := ( ) dim K O / F, G O m ( ) dim K OA 2 K,P j / F, G O A 2 K,P j j=1 ( ) = dim K K[x, y] / F, G. ( ) Βάσει τού ϑεωρήματος έχουμε dim K K[x, y] / F, G <, οπότε τελικώς I(P, F G) <. Ας υποθέσουμε, εν συνεχεία, ότι τα F και G διαθέτουν κάποια κοινή ανάγωγη συνιστώσα H η οποία διέρχεται από το P. Τότε F, G H και κατ επέκτασιν F, G O H O. Ως εκ τούτου, ( ) ( ) I(P, F G) := dim K O / F, G O dimk O / H O. (6) Από την άλλη μεριά, η άσκηση Α.2.28 μας πληροφορεί ότι O / H O O H,P, οπότε η σχέση (6) μας δίδει την ανισοϊσότητα ( ) I(P, F G) dim K OH,P. (7) Βάσει τής ασκήσεως Α.1.14 έχουμε V(H) =. Αυτό, σε συνδυασμό με την πρόταση και τον εγκλεισμό Γ(H) O H,P, μας παρέχει το εξής : ( ) ( ) ( ) dim K OH,P dimk Γ(H) = dimk K[x, y] / H =. Ετσι, από την σχέση (7) έπεται ότι I(P, F G) =. Αξίωμα (Α2) : Αποδεικνύουμε την ισοδυναμία I(P, F G) = 0 P F G. ( ) Ας υποθέσουμε ότι P F G. Εάν P F, τότε F(P) 0, οπότε (εντός τού δακτυλίου O) το F είναι αντιστρέψιμο. Ομοίως το G είναι αντιστρέψιμο όταν P G. Σε κάθε περίπτωση F, G O = O, απ όπου έπεται ότι ( ) I(P, F G) := dim K O / F, G O = 0. 7

8 ( ) Εστω ότι I(P, F G) = 0. Ας υποθέσουμε ότι P F G. Θεωρούμε το (μοναδικό) μεγιστοτικό ιδεώδες τού τοπικού δακτυλίου O : M := { f O : f (P) = 0 K }. Επειδή F(P) = G(P) = 0 K, έχουμε F, G M, οπότε F, G O M. Επομένως, ( ) I(P, F G) := dim K O / F, G O dimk (O / M). Το ϑεώρημα (b) μας πληροφορεί ότι O / M K. Ως εκ τούτου, I(P, F G) dim K (K) = 1, πράγμα άτοπο. Αξίωμα (Α3) : Εστω T : A 2 K A2 K μια συσχετική αλλάγη συντεταγμένων με T(P) := Q. Βάσει τής ασκήσεως Α.2.31(α), μέσω τής T επάγεται ένας ισομορφισμός τοπικών δακτυλίων T P : O A 2 K,Q O A 2 K,P και μάλιστα τέτοιος, ώστε T P ( F T, G T O A 2 K,Q) = F, G OA 2 K,P. Ως εκ τούτου, ( I(Q, F T G T ) := dim K OA 2 K,Q / F T, G T O A 2 K,Q ( ) = dim K OA 2 K,P / F, G O A 2 K,P =: I(P, F G). Αξίωμα (Α4) : Τούτο είναι εξ ορισμού προφανές. ) Αξίωμα (Α5) : Εστω m := m P (F) και έστω n := m P (G). Για λόγους συντομίας χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό R := K[x, y]. Θεωρούμε το ιδεώδες I := x, y τού R. Επειδή ισχύουν οι εγκλεισμοί I m+n I m+n, F, G και F, G O I m+n, F, G O, εξασφαλίζεται η ύπαρξη επιμορφισμών φ : R / I m+n R / I m+n, F, G και π : O / F, G O O / I m+n, F, G O. Επιπροσθέτως, επειδή V(I m+n, F, G) V(I m+n ) = {P}, 8

9 το ϑεώρημα μας πληροφορεί ότι υπάρχει ισομορφισμός Ειδικότερα ισχύει α : R / I m+n, F, G O / I m+n, F, G O. Ακόμη, ορίζουμε απεικόνιση dim K (R / I m+n, F, G ) = dim K (O / I m+n, F, G O). (8) ψ : R / I n R / I m R / I m+n, μέσω τού τύπου ψ(a + I n, B + I m ) := (AF + BG) + I m+n, για κάθε A, B R. Θεωρούμε την κάτωθι ακολουθία διανυσματικών χώρων : R/I n R/I m Τούτη είναι ακριβής. Πράγματι Η φ είναι εκ κατασκευής επιμορφισμός. Ισχύει η ισότητα ker(φ) = Im(ψ) : ψ R/I m+n φ R/ I m+n, F, G 0. Παρατηρούμε ότι για κάθε A, B R έχουμε Επομένως, Im(ψ) ker(φ). φ ψ(a + I n, B + I m ) = φ ( (AF + BG) + I m+n) = (AF + BG) + I m+n, F, G = I m+n, F, G = 0 R/ I m+n,f,g. Εστω M R, τέτοιο ώστε M + I m+n ker(φ). Τότε M + I m+n, F, G = I m+n, F, G M I m+n, F, G. Ως εκ τούτου, υπάρχουν πολυώνυμα C, D R, καθώς και ένα σύνολο πολυωνύμων {E i j Παρατηρούμε ότι : i + j = m + n} R, ούτως ώστε να ισχύει η ισότητα M = i+ j=m+n (E i j x i y j ) + CF + DG. ψ(c + I n, D + I m ) = CF + DG + I m+n = M (E i j x i y j ) + I m+n i+ j=m+n = M + I m+n. 9

10 Συνεπώς, M + I m+n Im(ψ). Από την ακρίβεια τής ανωτέρω ακολουθίας έπεται άμεσα το εξής : dim K (R/I n ) + dim K (R/I m ) = dim K (R/I n R/I m ) ( ) dim K Im(ψ) = dim K ( ker(φ) ). (9) Επιπροσθέτως, εάν ϑεωρήσουμε τη βραχεία ακριβή ακολουθία που επάγεται μέσω τού επιμορφισμού φ : 0 ker(φ) R/I m+n φ R/ I m+n, F, G 0, και εφαρμόσουμε το λήμμα 1.3(ii) λαμβάνουμε dim K ( R/ I m+n, F, G ) = dim K (R/I m+n ) dim K ( ker(φ) ). (10) Εξάλλου, από την επιρριπτικότητα τού ομομορφισμού π προκύπτει η ανισοϊσότητα dim K (O/ F, G O) dim K (O/ I m+n, F, G O). (11) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8), (9), (10) και (11), καθώς και την άσκηση Α.1.35(β), συμπεραίνουμε ότι I(P, F G) := dim K (O/ F, G O) (11) dim K (O/ I m+n, F, G O) (8) = dim K (R/ I m+n, F, G ) (10) = dim K (R/I m+n ) dim K (ker(φ)) (9) dim K (R/I m+n ) dim K (R/I n ) dim K (R/I m ) A.1.35(b) = ( ) ( ) ( ) m + n + 1 n + 1 m + 1 = m n Ως εκ τούτου, I(P, F G) m P (F) m P (G). Απομένει να δειχθεί ότι I(P, F G) = m P (F) m P (G) T P (F) T P (G). Σημειωτέον ότι η ανωτέρω σειρά ανισοϊσοτήτων ισχύει ως ισότητα ακριβώς όταν ισχύουν ως ισότητες οι σχέσεις (9) και (11). Από τη μια μεριά είναι προφανές ότι η σχέση (9) ισχύει ως ισότητα εάν και μόνον εάν η απεικόνιση ψ είναι ενριπτική. Από την άλλη, μια συνθήκη που καθιστά τη σχέση (11) ισότητα, είναι ο επιμορφισμός π να είναι ισομορφισμός. Για να πληρούται αυτή η συνθήκη είναι αρκετό να ισχύει ο εγκλεισμός I m+n F, G O. Ολοκληρώνουμε την απόδειξη σε 10

11 δύο βήματα. Βήμα 1 : Η απεικόνιση ψ είναι ενριπτική εάν και μόνον εάν T P (F) T P (G). ( ) : Εάν A, B R, τέτοια ώστε ψ(a + I n, B + I m ) = I m+n, τότε AF + BG I m+n και, ως εκ τούτου, το πολυώνυμο AF + BG περιέχει εξ ολοκλήρου όρους βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου τού m+n. Εάν λοιπόν τα πολυώνυμα A, F, B και G γραφούν ως A = A µ + (όρους μεγαλύτερου βαθμού), B = B ν + (όρους μεγαλύτερου βαθμού), F = F m + F m , G = G n + G n , τότε AF + BG = A µ F m + B ν G n Κατ ανάγκην λοιπόν µ + m = ν + n και A µ F m = B ν G n. Επειδή εξ υποθέσεως τα F m και G n δεν διαθέτουν κοινούς παράγοντες, F m B ν και G n A µ. Ως εκ τούτου, ν m, µ n και (A + I n, B + I m ) = I m+n, οπότε η ψ είναι ενριπτική. ( ) : Ας υποθέσουμε ότι η L είναι μια κοινή εφαπτόμενη των G και F. Τότε G n = LG n 1 και F m = LF m 1, όπου τα G n 1, F m 1 είναι ομογενή βαθμών n 1 και m 1 αντιστοίχως. Παρατηρούμε ότι ισχύει το ακόλουθο : ψ(g n 1 + In, F m 1 + Im ) = (G n 1 F + F m 1G) + Im+n = G n 1 (F m + F m ) + F m 1 (G n + G n ) + I m+n = (G n 1 LF m 1 ) + (F m 1 LG n 1) + (όροι βαθμού m + n) + I m+n = I m+n. Ομως G n 1 In και F m 1 Im, οπότε η ψ δεν είναι ενριπτική. Βήμα 2 : Εάν T P (F) T P (G) τότε I t F, G O, για κάθε t m + n 1. Ας υποθέσουμε ότι οι L 1,..., L m είναι οι εφαπτόμενες ευθείες τής F στο σημείο P και οι M 1,..., M n οι εφαπτόμενες τής G στο P. Ορίζουμε L i := L m, για κάθε i > m, M j := M n, για κάθε j > n, καθώς και A i j := L 1... L i M 1... M j, για οιαδήποτε i, j 0 (με A 00 := 1). 11

12 Σύμφωνα με το λήμμα 1.4, το σύνολο {A i j : i + j = t} αποτελεί μια βάση τού διανυσματικού χώρου K[x, y] t. Ως εκ τούτου, αρκεί να δειχθεί ότι A i j F, G, για κάθε i, j τέτοια ώστε i + j m + n 1. Εστω λοιπόν i + j m + n 1. Τότε είτε i m είτε j n. Ας υποθέσουμε, δίχως βλάβη τής γενικότητας, ότι i m. Τότε υπάρχει κάποιο ομογενές πολυώνυμο B βαθμού s := i + j m, ούτως ώστε A i j = A m0 B. Εάν το πολυώνυμο F γράφεται ως F = A m0 + F, για κάποιο πολώνυμο F το οποίο διαθέτει αποκλειστικά όρους βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου τού m + 1, τότε BF = BA m0 + BF = A i j + BF, οπότε A i j = BF BF, όπου κάθε όρος τού BF διαθέτει βαθμό i + j + 1. Ως εκ τούτου, αρκεί να δειχθεί ότι B F, G O και i + j m n 1 i + j m + n 1). I s F, G O, για όλα τα s n 1 (διότι τότε Επειδή βάσει τής προτάσεως το σύνολο V(F, G) είναι πεπερασμένο, ας πούμε το V(F, G) = {P, Q 1,..., Q r }, η άσκηση A.1.17(α) (εφαρμοζόμενη για το αλγεβρικό σύνολο {Q 1, Q 2,..., Q r }) μας δίδει τη δυνατότητα επιλογής ενός πολυωνύμου M για το οποίο να ισχύει M(Q l ) = 0 για κάθε l {1, 2,..., r} και M(P) 0. Τότε Mx, My I(V(F, G)) και επομένως, κατά το ϑεώρημα των ϑέσεων μηδενισμού τού Hilbert 1.8.2, (Mx) N, (My) N F, G για κάποιο μεγάλο φυσικό αριθμό N (ας πούμε N n 1 2 ). Επειδή M(P) 0, το στοιχείο MN είναι αντιστρέψιμο εντός τού τοπικού δακτυλίου O. Επομένως x N, y N F, G O και κατ επέκτασιν I 2N F, G O. Αξίωμα (Α6) : Εστω H K[x, y] ένα πολυώνυμο και έστω (καταχρηστικώς) H A 2 K η αντίστοιχη (επίπεδη) συσχετική καμπύλη που ορίζεται μέσω αυτού. Είναι προφανές ότι αρκεί να δειχθεί το εξής : I(P, F GH) = I(P, F G) + I(P, F H). (12) Στην περίπτωση όπου τα F και GH διαθέτουν κάποια κοινή ανάγωγη συνιστώσα (διερχόμενη από το σημείο P) η σχέση (12) ισχύει κατά τρόπο προφανή (βάσει τού αξιώματος (Α1) ). Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι αυτά δεν διαθέτουν κοινές συνιστώσες. Επειδή ισχύει ο εγκλεισμός F, GH F, G, έχουμε τη δυνατότητα ϑεωρήσεως ενός επιμορφισμού φ : O/ F, GH O O/ F, G O. Ορίζουμε ακόμη μια K-γραμμική απεικόνιση ψ : O/ F, H O O/ F, GH O 12

13 με τύπο ψ ( z + F, H O ) := Gz + F, GH O, για κάθε z O. Θεωρούμε την ακολουθία πεπερασμένων διανυσματικών χώρων : 0 O/ F, H O ψ O/ F, GH O φ O/ F, G O 0. Εξ ορισμού τού αριθμού τομής και βάσει τού λήμματος 1.3(ii) αρκεί να δειχθεί ότι η ανωτέρω ακολουθία είναι ακριβής. Η φ είναι επιμορφισμός εκ κατασκευής. Ισχύει η ισότητα ker(φ) = Im(ψ) : Παρατηρούμε ότι για κάθε z O έχουμε φ ψ ( z + F, H O ) = φ ( Gz + F, GH O ) = Gz + F, G O Επομένως, Im(ψ) ker(φ). Εστω z + F, GH O ker(φ). Τότε = F, G O = 0 O/ F,G O. z + F, G O = F, G O z F, G O οπότε z = af + bg για κάποια a, b O. Παρατηρούμε ότι ψ ( b + F, H O ) = bg + F, GH O = z af + F, GH O Ως εκ τούτου, z + F, GH O Im(ψ). Η ψ είναι ενριπτική : Εστω z + F, H O ker(ψ). Τότε = z + F, GH O. Gz + F, GH O = F, GH O Gz F, GH O. Συνεπώς, Gz = cf + dgh, για κάποια c, d O. (13) Ας υποθέσουμε ότι τα z, c, d O γράφονται ως εξής : z = D 1 E 1, c = D 2 E 2 και d = D 3 E 3, για κάποια D i, E i K[x, y] με E i (P) 0, i {1, 2, 3}. Τότε υπάρχει πολυώνυμο S K[x, y], τέτοιο ώστε S (P) 0 και S c = A, S d = B και S z = C, για κάποια A, B, C K[x, y]. (Πράγματι αρκεί κανείς να ορίσει τα πολυώνυμα S := E 1 E 2 E 3, A := E 1 E 3 D 2, B := E 1 E 2 D 3 και C := E 2 E 3 D 1 ). Ως εκ τούτου, εντός τού δακτυλίου K[x, y] η σχέση (13) μας δίδει G(C BH) = AF K[x, y]. 13

14 Εξ υποθέσεως τα πολυώνυμα F και G δεν διαθέτουν κοινούς παράγοντες. Επομένως F C BH, οπότε C = BH + MF για κάποιο M K[x, y]. Κατά συνέπειαν, εντός τού τοπικού δακτυλίου O έχουμε z = C S = ( B) ( M ) H + F, S (P) 0. S S Αυτό σημαίνει ότι z F, H O = 0 O/ F,H O. Αξίωμα (Α7) : Τούτο είναι εξ ορισμού προφανές. Πρόταση 1.6. Εάν τα F και G δεν διαθέτουν κοινές ανάγωγες συνιστώσες, τότε ( ) I(P, F G) = dim K K[x, y] / F, G. P V(F,G) P V(F,G) Απόδειξη. Κατ αρχάς, βάσει τής προτάσεως το σύνολο V(F, G) είναι πεπερασμένο, ας πούμε το V(F, G) = {P 1,..., P m }. Τότε, σύμφωνα με το ϑεώρημα , έχουμε m I(P, F G) = I(P j, F G) = j=1 m ( ) dim K OA 2 K,P j / F, G O A 2 K,P j j=1 = ( ) dim K K[x, y] / F, G. Παράδειγμα 1.7. Θα υπολογίσουμε τον αριθμό τομής των συσχετικών καμπυλών που ορίζονται από τα πολυώνυμα : E = (x 2 + y 2 ) 2 + 3x 2 y y 3 και F = (x 2 + y 2 ) 3 4x 2 y 2 στο σημείο P := (0, 0) A 2 K. E(x, y) = 0 F(x, y) = 0 14

15 Κατ αρχάς ορίζουμε το πολυώνυμο F 1 := F (x 2 + y 2 )E. Επομένως, F 1 = 4x 2 y 2 (3x 2 y y 3 )(x 2 + y 2 ) = y ( 4x 2 y + (y 2 3x 2 )(x 2 + y 2 ) ). Εάν ορίσουμε G := 4x 2 y + (y 2 3x 2 )(x 2 + y 2 ), τότε F 1 = yg. Χρησιμοποιώντας τά αξιώματα (Α6) και (Α7) λαμβάνουμε I(P, E F) (A7) = I(P, E F 1 ) = I(P, E yg) (A6) = I(P, E y) + I(P, E G). (14) Θα υπολογίσουμε εν πρώτοις τον αριθμό I(P, E G). Επειδή G(x, 0) = 3x 4 και E(x, 0) = x 4, ορίζουμε το πολυώνυμο G 1 := G + 3E. Συνεπώς, G 1 = 4x 2 y 2 + 4y 4 + 5x 2 y 3y 3 = y(4x 2 y + 4y 3 + 5x 2 3y 2 ). Εάν ορίσουμε H := 4x 2 y + 4y 3 + 5x 2 3y 2, τότε G 1 = yh. Εκ νέου χρήση των αξιωμάτων (Α6) και (Α7) διαμορφώνει τη σχέση (14) ως εξής: I(P, E F) = I(P, E y) + I(P, E G) (A7) = I(P, E y) + I(P, E G 1 ) = I(P, E y) + I(P, E yh) (A6) = 2 I(P, E y) + I(P, E H). (15) Παρατηρούμε ότι x 4 = E y (y 3 + 2x 2 y + 3x 2 y 2 ). Τούτο, σε συνδυασμό με το αξίωμα (Α7), με το αξίωμα (Α5), καθώς και με το ότι (προφανώς) ισχύει T P (x 4 ) T P (y), μας δίδει I(P, E y) (A7) = I(P, x 4 y) (A5) = m p (x 4 ) m P (y) = 4 1 = 4. Επιπροσθέτως, εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι T P (E) T P (H), οπότε σύμφωνα με το αξίωμα (Α5) λαμβάνουμε I(P, E H) = m P (E) m P (H) = 3 2 = 6. Ως εκ τούτου, βάσει τής σχέσεως (15), έχουμε τελικώς : I(P, E F) = =

16 2 Αριθμός τομής δυο προβολικών επίπεδων καμπυλών Εστω ότι το K είναι ένα αλγεβρικώς κλειστό σώμα και τα F, G K[x, y, z] δυο ομογενή πολυώνυμα. Εστω ακόμη ότι οι V + (F), V + (G) P 2 K είναι οι αντίστοιχες προβολικές επίπεδες καμπύλες που ορίζονται μέσω αυτών. Και πάλι για λόγους ευκολίας ϑα συμβολίζουμε τις V + (F), V + (G) απλώς ως F, G. Στην περίπτωση όπου τα F και G δεν διαθέτουν κοινές συνιστώσες το σύνολο V + (F, G) P 2 K είναι πεπερασμένο. Ως εκ τούτου, σύμφωνα με την άσκηση Α.3.44(b), υπάρχει κάποια ευθεία L P 2 K, ούτως ώστε F G L =. Ειδικότερα, με ενδεχόμενη προβολική αλλαγή συντεταγμένων, μπορούμε να υποθέσουμε ότι L = V + (z). Βάσει αυτών των συμβάσεων, σε ό,τι ακολουθεί ϑα αποομογενοποιούμε πάντοτε ως προς την μεταβλητή z, ήτοι για κάθε F K[x, y, z] ϑα ϑέτουμε F (x, y) = F(x, y, 1). Ορίζουμε τον αριθμό τομής των καμπυλών F και G σε ένα σημείο P P 2 K ως εξής: I(P, F G) := I(P, F G ) = dim K ( OP 2 K,P / F, G ). Πολύ εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι ο αριθμός αυτός ικανοποιεί όλα τα αξιώματα (Α1) - (Α7) τής ενότητας 1, αρκεί στο αξίωμα (Α3) η αλλαγή συντεταγμένων να είναι προβολική και στο αξίωμα (Α7) το πολυώνυμο A K[x, y, z] να είναι ομογενές βαθμού deg(g) deg(f). 16

17 3 Το Θεώρημα τού Bézout Θεώρημα 3.1. Εστω ότι οι F, G P 2 K είναι δυο προβολικές επίπεδες καμπύλες βαθμών m και n, αντιστοίχως. Ας υποθέσουμε ότι αυτές δεν διαθέτουν κοινές ανάγωγες συνιστώσες. Τότε I(P, F G) = m n. P Απόδειξη. Οπως και στην αρχή τής ενότητας 2 μπορούμε να υποθέσουμε ότι ισχύει F G V + (z) =. Για λόγους συντομίας χρησιμοποιούμε τους συμβολισμούς Γ := K[x, y, z] / F, G και R := K[x, y, z]. Ως Γ d και R d ϑα συμβολίζουμε τα ομογενή τμήματα βαθμού d των (βαθμολογημένων) δακτυλίων Γ και R, αντιστοίχως. Βήμα 1 : Εάν d m + n, τότε dim K (Γ d ) = m n. Ας υποθέσουμε ότι d m + n. Θεωρούμε τον φυσικό επιμορφισμό π : R Γ := R / F, G, καθώς και τις απεικονίσεις φ : R R R (A, B) AF + BG Η κατωτέρω ακολουθία είναι ακριβής :, ψ : R R R M (GM, FM). 0 R ψ R R φ R π Γ 0. ( ) Η π είναι εκ κατασκευής επιμορφισμός. Η ψ είναι προφανώς ενριπτική. Im(φ) = ker(π) : Πράγματι, z Im(φ) A, B R : z = AF + BG z F, G = ker(π). Im(ψ) = ker(φ) : Πράγματι, Εάν z Im(ψ), τότε z = (GM, FM) για κάποιο M R. Συνεπώς, φ(z) = φ(gm, FM) = GMF GMF = 0 R, οπότε z ker(φ). Εστω z := (A, B) R R με z ker(φ). Τότε AF + BG = 0 R και, ως εκ τούτου, AF = BG. Ειδικότερα, G AF και επειδή εξ υποθέσεως τα F και G 17

18 δεν διαθέτουν κοινούς παράγοντες, έχουμε G A. Εστω λοιπόν A = GE για κάποιο E R. Τότε BG = AF BG = EFG B = EF. Άρα ψ(e) = (GE, FE) = (A, B), οπότε z := (A, B) Im(ψ). Γνωρίζοντας ότι η ( ) είναι ακριβής και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι εξ υποθέσεως ισχύει d m n 0, μπορούμε να περιορίσουμε την απεικόνιση ψ επί τού R d m n και να καταλήξουμε στην εξής ακριβή ακολουθία (K-διανυσματικών χώρων πεπερασμένης διαστάσεως) : 0 R d m n R d m R d n R d Γ d 0. ( ) Επειδή, ως γνωστόν, ο K-διανυσματικός χώρος R ν, ν N 0, διαθέτει διάσταση ( ) ν + 2 (ν + 1) (ν + 2) dim K (R ν ) = =, 2 2 (βλ. παράδειγμα 3.2.3(α)), το λήμμα 1.3(iii) μας πληροφορεί ότι dim K (Γ d ) = dim K (R d m n ) ( dim K (R d m ) + dim K (R d n ) ) + dim K (R d ). Εκτελώντας τις πράξεις διαπιστώνουμε τελικώς ότι dim K (Γ d ) = m n. Βήμα 2 : Η απεικόνιση α : Γ Γ M + F, G zm + F, G είναι ενριπτική. Επιπροσθέτως, ο περιορισμός α d : Γ d Γ d+1 είναι ισομορφισμός, για κάθε d m + n. Επειδή εξ υποθέσεως F G V + (z) =, το πόρισμα μας πληροφορεί ότι το ιδεώδες F, G είναι (j ) -κλειστό (βλ. ορισμό ). Ομως, βάσει τού ϑεωρήματος , τούτο σημαίνει ότι ο δακτύλιος Γ := K[x, y, z] / F, G ως K[x, y, z]-μόδιος είναι ελεύθερος στρέψεως ως προς την μεταβλητή z, δηλαδή ότι ισχύει η συνεπαγωγή zm F, G M F, G. Με άλλα λόγια, η απεικόνιση α είναι ενριπτική. Στην περίπτωση όπου d m+n γνωρίζουμε (από το βήμα 1) ότι dim K (Γ d ) = dim K (Γ d+1 ) = m n. 18

19 Άρα ο περιορισμός ã d : Γ d Γ d+1 είναι ένας μονομορφισμός μεταξύ ισοδιάστατων K-διανυσματικών χώρων και, ως εκ τούτου, ένας ισομορφισμός. Βήμα 3 : Εαν οι F και G είναι οι αποομογενοποιήσεις των πολυωνύμων F, G ως προς την μεταβλητή z, αντιστοίχως, τότε dim K (Γ ) = m n, όπου Γ := K[x, y] / F, G. Ας παγιώσουμε κάποιον d m + n. Θεωρούμε ομογενή πολυώνυμα A 1,..., A mn εντός τού K[x, y, z] d, τέτοια ώστε το σύνολο { A1 + F, G,..., A mn + F, G } να αποτελεί μια βάση τού K-διανυσματικού χώρου Γ d (σύμφωνα με το βήμα 1). Θεωρούμε ακόμη τις αντίστοιχες αποομογενοποιήσεις A i,..., A mn K[x, y], καθώς και τον φυσικό επιμορφισμό π : K[x, y] K[x, y] / F, G =: Γ. Για κάθε i {1,..., mn} ορίζουμε a i := π(a i ) = A i + F, G Γ. Προφανώς αρκεί να δειχθεί ότι το σύνολο {a 1,..., a mn } αποτελεί μια βάση τού K- διανυσματικού χώρου Γ. Το κάτωθι ϑα μας φανεί ιδιαιτέρως χρήσιμο κατά την αποδεικτική μας πορεία : Το σύνολο { z r A i + F, G : 1 i mn } αποτελεί μια βάση τού διανυσματικού χώρου Γ d+r, για κάθε ακέραιο αριθμό r 0. Με επαγωγή ως προς το r : Για r = 0 η πρόταση είναι αληθής λόγω των όσων υποθέσαμε προηγουμένως. Ας υποθέσουμε, εν συνεχεία, ότι το σύνολο { z r A i + F, G : 1 i mn } αποτελεί μια βάση τού Γ d+r για κάποιο r > 0. Επειδή d + r > d m + n, κατά το βήμα 2 έχουμε τη δυνατότητα ϑεωρήσεως τού ισομορφισμού α d+r : Γ d+r Γ d+r+1. Επιπροσθέτως, για κάθε i {1,..., mn} έχουμε α d+r ( z r A i + F, G ) = z r+1 A i + F, G. Ως εκ τούτου, το σύνολο { z r+1 A i + F, G : 1 i mn } αποτελεί βάση τού χώρου Γ d+r+1. 19

20 Τα a 1,..., a mn παράγουν τον Γ : Εστω τυχόν M + F, G Γ, για κάποιο M K[x, y]. Θεωρούμε τυχόντα ακέραιο αριθμό r 0. Τότε για κάποιον (αρκετά μεγάλο) φυσικό αριθμό N ϑα έχουμε z N M K[x, y, z] d+r. Κατ επέκτασιν, z N M + F, G Γ d+r. Συμφωνα λοιπόν με τα προηγηθέντα υπάρχουν λ i K, i = 1,..., mn, όχι όλα μηδενικά, έτσι ώστε να ισχύει mn ( z N M ( + F, G = λi z r A i + F, G ) ) mn z N M λ i z r A i F, G mn z N M = λ i z r A i + BF + CG, για κάποια B, C K[x, y, z]. (16) Αποομογενοποιώντας τη σχέση (16) (βλ. πρόταση 3.6.3(c)) λαμβάνουμε εντός τού δακτυλίου K[x, y] : mn M = λ i A i + B F + C G Μεταβαίνοντας στον δακτύλιο Γ μέσω τού φυσικού επιμορφισμού π λαμβάνουμε mn M + F, G = λ i a i. Τα a 1,..., a mn είναι γραμμικώς ανεξάρτητα : Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν στοιχεία λ 1,..., λ mn K, τέτοια ώστε (εντός τού Γ ) να ισχύει mn λ i a i = 0. Τούτο σημαίνει ότι εντός τού δακτυλίου K[x, y] έχουμε mn mn λ i A i F, G λ i A i = BF + CG, για κάποια B, C K[x, y]. Επειδή το ιδεώδες F, G είναι (j ) -κλειστό, ομογενοποιώντας τήν τελευταία ισότητα λαμβάνουμε mn z r 1 λ i A i = z r 2 B F + z r 3 C G, για κάποια r 1, r 2, r 3 N. Ειδικότερα, mn mn λ i z r 1 A i = z r 1 λ i A i F, G. 20

21 Ως εκ τούτου, εντός τού δακτυλίου Γ d+r1 έχουμε mn λ i ( z r 1 A i + F, G ) = 0 Γd+r1. Επειδή r 1 { 0, το σύνολο z r 1 A i + F, G : 1 i mn } αποτελεί βάση τού χώρου Γ d+r1. Συνεπώς, λ 1 = = λ mn = 0 K. Βήμα 4 : Υστερα από συνδυασμό τού αποτελέσματος τού βήματος 3 και τής προτάσεως 1.6 συμπεραίνουμε ότι ( I(P, F G) = I(P, F G ) = dim K K[x, y] / F, G ) P P = dim K (Γ ) = m n. Πόρισμα 3.2. Εάν οι F και G είναι δυο προβολικές επίπεδες καμπύλες οι οποίες δεν διαθέτουν κοινές συνιστώσες, τότε m P (F) m P (G) deg(f) deg(g). P F G Απόδειξη. Βάσει τού αξιώματος (Α5) και τού ϑεωρήματος τού Bézout ισχύει m P (F) m P (G) I(P, F G) = deg(f) deg(g). P P Πόρισμα 3.3. Εστω ότι οι F και G είναι δυο προβολικές επίπεδες καμπύλες βαθμών m και n, αντιστοίχως, οι οποίες δεν διαθέτουν κοινές συνιστώσες. Εάν F G = m n, τότε οι καμπύλες F και G τέμνονται εγκαρσίως σε όλα τα σημεία τής τομής. Ιδιαιτέρως, όλα αυτά είναι ομαλά σημεία τόσον τής F όσον και τής G. Απόδειξη. Δυνάμει τού ϑεωρήματος τού Bézout έχουμε I(P, F G) = m n = F G. P F G Επειδή, σύμφωνα με το αξίωμα (Α2), I(P, F G) 1 για κάθε P F G, η ανωτέρω ισότητα είναι εφικτή μόνον όταν I(P, F G) = 1, για κάθε P F G. Τούτο, βάσει τής παρατηρήσεως 1.2(i), ισοδυναμεί με το ότι οι F και G τέμνονται εγκάρσιως σε κάθε σημείο τής τομής. Πόρισμα 3.4. Εστω ότι οι F και G είναι δυο προβολικές επίπεδες καμπύλες βαθμών m και n, αντιστοίχως, οι οποίες τέμνονται σε περισσότερα από m n το πλήθος σημεία. Τότε αυτές οφείλουν να διαθέτουν κάποια κοινή συνιστώσα. 21

22 Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι οι F και G δεν διαθέτουν κοινές συνιστώσες. Τότε κατά το ϑεώρημα τού Bézout ϑα είχαμε I(P, F G) = m n < F G, P πράγμα (προφανώς) άτοπο. 4 Το Θεώρημα τού Max Noether και εφαρμογές αυτού Ορισμός 4.1. Εστω ότι το P P 2 K είναι ένα σημείο και ότι οι F, G, H είναι τρεις προβολικές επίπεδες καμπύλες. Ας υποθέσουμε ότι οι F και G δεν διαθέτουν κοινές συνιστώσες διερχόμενες από το P. Λέμε ότι η τριάδα (F, G, H) ικανοποιεί τις συνθήκες τού Noether στο P όταν H F, G O P 2 K,P. Θεώρημα 4.2 (Θεμελιώδες Θεώρημα τού Max Noether). Εάν οι F, G και H είναι τρεις προβολικές επίπεδες καμπύλες και οι F και G δεν διαθέτουν κοινές συνιστώσες, τότε υφίσταται μια εξίσωση τής μορφής H = AF + BG (όπου τα A, B είναι ομογενή βαθμών deg(h) deg(f) και deg(h) deg(g), αντιστοίχως) εάν και μόνον εάν η τριάδα (F, G, H) ικανοποιεί τις συνθήκες τού Noether σε κάθε P F G. Απόδειξη. Ας υποθέσουμε αρχικώς ότι υπάρχει εξίσωση τής μορφής H = AF + BG, για κάποια ομογενή πολυώνυμα A και B όπως στην εκφώνηση. Τότε είναι σαφές ότι αποομογενοποιώντας λαμβάνουμε H = A F + B G F, G O P 2 K,P, για κάθε σημείο P. Και αντιστρόφως ας υποθέσουμε ότι η τριάδα (F, G, H) ικανοποιεί τις συνθήκες τού Noether σε κάθε σημείο τής τομής F G. Οπως και στην ενότητα 2 μπορούμε να υποθέσουμε ότι F G V + (z) = και κατ επέκτασιν ότι το ιδεώδες F, G είναι (j ) -κλειστό. Εξ υποθέσεως έχουμε H F, G O PK, για κάθε P F G. (17) 2,P 22

23 Επειδή η σχέση (17) ισχύει για κάθε σημείο τής τομής, ο ισομορφισμός τού ϑεωρήματος μας εξασφαλίζει ότι H F, G (εντός τού K[x, y]). Επομένως, H = a F + b G για κάποια a, b K[x, y]. Λαμβάνοντας υπ όψιν ότι το ιδεώδες F, G είναι (j ) -κλειστό και ομογενοποιώντας (ως προς τη μεταβλητή z) έχουμε z ν H = A F + B G, για κάποια ομογενή πολυώνυμα A, B K[x, y, z] και κάποιον ν N. Ειδικότερα ισχύει z ν H F, G. Εξάλλου, βάσει τού ϑεωρήματος ο δακτύλιος K[x, y, z] / F, G, ως K[x, y, z]-μόδιος, είναι ελεύθερος στρέψεως ως προς τη μεταβλητή z. Ως εκ τούτου, H F, G, και κατά συνέπειαν υπάρχουν πολυώνυμα Ã, B K[x, y, z], τέτοια ώστε H = ÃF + BG. Ιδιαιτέρως, ορίζοντας s := deg(h) deg(f), t := deg(h) deg(g) και A := Ã s, B := B t, συνάγουμε ότι H = AF + BG, όπου τα πολυώνυμα A, B είναι ομογενή κατάλληλων βαθμών. Ας δούμε εν συνεχεία κάποια εύχρηστα κριτήρια που μας εξασφαλίζουν το ότι μια τριάδα καμπυλών ικανοποιεί τις συνθήκες τού Noether. Πρόταση 4.3. Εάν οι F, G, H είναι τρεις προβολικές επίπεδες καμπύλες και P F G, η τριάδα (F, G, H) ικανοποιεί τις συνθήκες τού Noether στο σημείο P έαν ισχύει κάποιο από τα κατωτέρω: (i) Οι F και G τέμνονται εγκαρσίως στο P, και επιπροσθέτως, P H. (ii) Το P αποτελεί ομαλό σημείο τής F και I(P, H F) I(P, G F). Απόδειξη. Κατ αρχάς παρατηρούμε ότι αρκεί να αποδείξουμε την πρόταση στην περίπτωση (ii), διότι τούτη έπεται άμεσα από την συνθήκη (i). Πράγματι εάν οι F και G τέμνονται εγκαρσίως στο P, το P είναι εξ ορισμού ομαλό σημείο τής F. Επιπροσθέτως, βάσει τής παρατηρήσεως 1.2(i) και τού αξιώματος (Α2), καθώς και τού ότι εξ υποθέσεως P H F, συμπεραίνουμε ότι I(P, H F) 1 = I(P, G F). Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η συνθήκη (ii) ικανοποιείται. Ισχυρισμός : Εστω π : K[x, y] Γ(F ) ο φυσικός επιμορφισμός και g := π(g ) = G + F, h := π(h ) = H + F. 23

24 Τότε ισχύουν οι ισότητες ( I(P, G F ) = dim K OF,P / g O F,P), ( I(P, H F ) = dim K OF,P / h O F,P). Πράγματι εάν εφαρμόσουμε την άσκηση Α.2.28 ( για τα J := F, G, V := F, I(V) := F και J := π(j) = g ) λαμβάνουμε O / F, G O O F,P / g O F,P, (18) οπότε ( I(P, G F ) := dim K O / F, G O ) ( = dim K OF,P / g O F,P). Εκ νέου εφαρμογή τής ίδιας ασκήσεως ( για J := F, H, V := F, I(V) := F και J := π(j) = h ) μας παρέχει και τη δεύτερη από τις ζητούμενες ισότητες. Εξ υποθέσεως ισχύει η ανισοϊσότητα I(P, H F ) I(P, G F ), οπότε βάσει των προηγουμένων έχουμε dim K ( OF,P / h O F,P) dimk ( OF,P / g O F,P). Ειδικότερα H + F =: h g O F,P και επομένως, σύμφωνα με τη σχέση (18), H F, G O. Ως εκ τούτου, η τριάδα (F, G, H) ικανοποιεί τις συνθήκες τού Noether στο σημείο P. Εν συνεχεία ϑα προχωρήσουμε σε ορισμένες χρήσιμες εφαρμογές τού ϑεωρήματος τού Noether. Ορισμός 4.4. Ορίζουμε ως κύκλημα τού προβολικού χώρου P 2 K άθροισμα τής μορφής n P P, n P Z, P P 2 K κάθε τυπικό όπου μόνον πεπερασμένου πλήθους συντελεστές n P είναι μη μηδενικοί. Το σύνολο των κυκλημάτων αποτελεί μια αβελιανή ομάδα, ήτοι την ελεύθερη ομάδα με το σύνολο P 2 K ως βάση της. Ορίζουμε τον βαθμό ενός τέτοιου κυκλήματος ως εξής: deg ( P n P P ) := n P Z. Στην ειδική περίπτωση όπου όλοι οι εμφανιζόμενοι συντελεστές είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι τού μηδενός καλούμε το κύκλημα ϑετικό. Γενικότερα, ορίζουμε μια σχέση διατάξεως μεταξύ κυκλημάτων : n P P m P P n P m P, για κάθε P. P P P 24

25 Μια ειδική περίπτωση κυκλήματος είναι το λεγόμενο κύκλημα τομής. Εάν οι F και G είναι δυο προβολικές επίπεδες καμπύλες χωρίς κοινές συνιστώσες, τότε ορίζουμε F G := I(P, F G)P. P P 2 K Παρατήρηση 4.5. Πολλά από τα ήδη γνωστά μας αποτελέσματα μπορούν εύκολα να αναδιατυπωθούν συναρτήσει κυκλημάτων τομής. Παραδείγματος χάριν, εάν οι καμπύλες F και G διαθέτουν βαθμούς m και n, αντιστοίχως, το ϑεώρημα τού Bézout μας πληροφορεί ότι το κύκλημα F G είναι (προφανώς) ϑετικό, βαθμού m n. Ακόμη, τα αξιώματα (Α4), (Α6) και (Α7) τού αριθμού τομής αναδιατυπώνονται ως ακολούθως : Αξίωμα (Α4) : F G = G F. Αξίωμα (Α6) : F GH = F G + F H. Αξίωμα (Α7) : F (G + AF) = F G, για κάθε ομογενές πολυώνυμο A βαθμού deg(g) deg(f). Λήμμα 4.6. Εάν οι F, G, H είναι τρεις προβολικές επίπεδες καμπύλες και η τριάδα (F, G, H) ικανοποιεί τις συνθήκες τού Noether σε κάθε σημείο τής τομής F G, τότε υπάρχει καμπύλη B (βαθμού deg(h) deg(g)), ούτως ώστε να ισχύει B F = H F G F. Απόδειξη. Σύμφωνα με το ϑεώρημα τού Max Noether υπάρχουν ομογενή πολυώνυμα A και B (με το B βαθμού deg(h) deg(g)), τέτοια ώστε H = AF + BG. Εάν συμβολίσουμε εκ νέου (καταχρηστικώς) τα V + (A) και V + (B) ως A και B, αντιστοίχως, τότε σε επίπεδο κυκλημάτων τομής έχουμε H F = (AF) F + (BG) F (A7) = (BG) F (A6) = B F + G F. Πρόταση 4.7. Ας υποθέσουμε ότι οι F, G και H είναι τρεις προβολικές επίπεδες καμπύλες. Εάν ισχύει κάποιο από τα κατωτέρω : (i) οι F και G τέμνονται ακριβώς σε deg(f) deg(g) το πλήθος σημεία και η H διέρχεται από όλα τα σημεία τής τομής, (ii) όλα τα σημεία τής τομής F G είναι ομαλά στην F και H F G F, τότε υπάρχει καμπύλη B (βαθμού deg(h) deg(g), ούτως ώστε να ισχύει B F = H F G F. 25

26 Απόδειξη. Βάσει τού λήμματος 4.6 αρκεί να δείξουμε ότι (σε κάθε περίπτωση) η τριάδα (F, G, H) ικανοποιεί τις συνθήκες τού Noether σε κάθε σημείο τής τομής F G. Θεωρούμε λοιπόν τυχόν σημείο P F G και υποθέτουμε ότι ισχύει το (i). Βάσει τού πορίσματος 3.3 οι F και G τέμνονται εγκαρσίως στο P και εξ υποθέσεως P H. Σύμφωνα λοιπόν με την πρόταση 4.3 η τριάδα (F, G, H) ικανοποιεί τις συνθήκες τού Noether στο P. Ας υποθέσουμε, εν συνεχεία, ότι ισχύει το (ii). Κάθε P F G είναι εξ υποθέσεως ομαλό σημείο τής F και επειδή H F G F έχουμε I(P, H F) I(P, G F). Ως εκ τούτου, η πρόταση 4.3 μας πληροφορεί εκ νέου ότι η τριάδα (F, G, H) ικανοποιεί τις συνθήκες τού Noether. Κλείνουμε την παρούσα ενότητα με κάποιες (αμιγώς) γεωμετρικές εφαρμογές τού ϑεωρήματος 4.2. Πρόταση 4.8. Εστω ότι οι C 1 και C 2 είναι δυο κυβικές προβολικές καμπύλες και ότι η Q είναι κάποια κωνική τομή. Ας υποθέσουμε ότι C 2 C 1 = 9 P i και Q C 1 = 6 P i και ότι τα P 1,..., P 6 είναι ομαλά σημεία τής C 1. Τότε τα σημεία P 7, P 8 και P 9 είναι συνευθειακά. Απόδειξη. Εξ υποθέσεως, C 2 C 1 Q C 1, και όλα τα σημεία τής τομής C 1 Q είναι ομαλά σημεία τής C 1. Ως εκ τούτου, η πρόταση 4.7 μας πληροφορεί ότι υπάρχει καμπύλη B, τέτοια ώστε να ισχύει B C 1 = C 2 C 1 Q C 1 = 9 P i. i=7 Σημειωτέον ότι deg(b) = deg(c 2 ) deg(q) = 3 2 = 1. Επομένως η καμπύλη B είναι μια ευθεία και ο αρχικός ισχυρισμός αληθής. Πόρισμα 4.9 (Θεώρημα Pascal). Εστω Q μια ανάγωγη κωνική καμπύλη και έστω E ένα εξάγωνο (όχι κατ ανάγκην κυρτό), το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε αυτήν. Τότε οι αντικείμενες ακμές τού E τέμνονται σε συνευθειακά σημεία. Απόδειξη. Ας συμβολίσουμε ως P 1,..., P 6 τις έξι κορυφές τού εξαγώνου. Τα ακόλουθα ζεύγη αποτελούν τις αντικείμενες ακμές τού E : (P 1 P 2, P 4 P 5 ), (P 3 P 4, P 6 P 1 ), (P 2 P 3, P 5 P 6 ). 26

27 Εάν ονομάσουμε P 7, P 8, P 9 τα σημεία τομής (αντιστοίχως) των ανωτέρω ζευγών και ϑεωρήσουμε τις κυβικές καμπύλες C 1 := P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 και C 2 := P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 1, τότε συνάγουμε ότι C 2 C 1 = 9 P i και Q C 1 = 6 P i. Επιπροσθέτως, τα P 1,..., P 6 είναι προφανώς ομαλά σημεία τής C 1. Ως εκ τούτου, η πρόταση 4.8 μας πληροφορεί ότι τα σημεία P 7, P 8 και P 9 κείνται πράγματι επ ευθείας. P 2 Q P 4 P 6 P 9 P 7 P 8 P 3 P 1 P 5 Πόρισμα 4.10 (Θεώρημα Πάππου). Εστω ότι οι L 1 και L 2 είναι δυο ευθείες εντός τού προβολικού επιπέδου. Εστω ακόμη P 1, P 2, P 3 τρία σημεία επί τής L 1 και Q 1, Q 2, Q 3 τρία σημεία επί τής L 2, τέτοια ώστε P i, Q i L 1 L 2, για κάθε i {1, 2, 3}. Για οιαδήποτε i, j {1, 2, 3} ϑεωρούμε τις ευθείες L i j, οι οποίες διέρχονται από τα σημεία P i και Q j. Τότε τα σημεία R 1 := L 12 L 21, R 2 := L 13 L 31, R 3 := L 23 L 32 είναι συνευθειακά. Απόδειξη. Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι εντός τού προβολικού επιπέδου δυο ευθείες συνιστούν μια κωνική τομή και να ακολουθήσουμε όμοια αποδεικτική 27

28 μέθοδο με αυτήν τής αποδείξεως τού πορίσματος 4.9. L 1 P 3 P 2 P 1 Q 1 Q2 Q 3 L 2 Αναφορές [1] W. FULTON: Algebraic Curves, Benjamin Inc., [2] E. KUNZ: Introduction to Plane Algebraic Curves, Birkhäuser, [3] S. ROMAN: Advanced Linear Algebra, second edt., GTM, Springer, [4] Ε Α Γ : Σημειώσεις από τις παραδόσεις τού ομώνυμου μεταπτυχιακού μαθήματος με κωδ. αριθμό Α13, Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Κρήτης, Εαρινό Εξάμηνο

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27 ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016. Αλγεβρική Γεωμετρία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Κεφάλαιο 1. Αλγεβρικές ποικιλότητες 1 1. Αλγεβρικά Σύνολα 1 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert 7 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες 14 4. Πολλαπλότητα και Πολλαπλότητα

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2 Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. 2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ. Σημειώσεις μεταπτυχιακοῦ μαθήματος 1. Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο

ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ. Σημειώσεις μεταπτυχιακοῦ μαθήματος 1. Ν.Γ. Τζανάκης. Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Σημειώσεις μεταπτυχιακοῦ μαθήματος 1 Ν.Γ. Τζανάκης Τμῆμα Μαθηματικῶν Πανεπιστήμιο Κρήτης - Ηράκλειο 1 Τελευταία ἔκδοση 12-11-2016 2 Περιεχόμενα 1 Διαχωρισιμότητα 3 2 Βοηθητικὲς Προτάσεις 9 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Κ Ε Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 2011 Αφιερώνεται στην οικογένεια μου ii Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματικές Συναρτήσεις

Διανυσματικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις (3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της

Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της Ε Κ Π Α Τ Μ Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της υπεροκταεδρικής ομάδας Μ Ε Μουστάκας Βασίλης - Διονύσης : Χ Α. Α Αθήνα Ιούνιος 07 Στον πρώτο μου δάσκαλο, μαθηματικό Γιάννη Καρρά.

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά 1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και

Διαβάστε περισσότερα

σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann

σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Κ Ε Ο μετασχηματισμός Riesz σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Διπλωματική Εργασία στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 213 Αφιερώνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο 3 Ηλεκτρικό πεδίο Πρσύρης Κώστς Φσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

(20 ο ) ΣΤΑΔΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ι: ΑΠΛΗΣΤΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

(20 ο ) ΣΤΑΔΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ι: ΑΠΛΗΣΤΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ (20 ο ) ΣΤΑΔΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ι: ΑΠΛΗΣΤΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Σταδιακές κατακευές: από μερικά αποτελέματα ε περιότερα. Το ημείο όπου έχουμε φθάει προφέρεται για μια μικρή ανακόπηη. Το κεπτικό μας ήταν εξ αρχής ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικη Αλγεβρα ΙΙ. 1 Ο διανυσματικὸς χῶρος L(V, W) Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης. [v] B =

Γραμμικη Αλγεβρα ΙΙ. 1 Ο διανυσματικὸς χῶρος L(V, W) Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης. [v] B = Γραμμικη Αλγεβρα ΙΙ Καθηγητὴς ΝΓ Τζανάκης Σύνοπτικὴ περιγραφὴ τῆς μέχρι τώρα διδαγμένης ύλης 1 1 Ο διανυσματικὸς χῶρος L(V, W) Σὲ αὐτὴ τὴν ἑνότητα, V, W εἶναι διανυσματικοὶ χῶροι πάνω ἀπὸ ἕνα σῶμα F Υποθέτομε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα»

(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα» (7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα» Σύντομα προλεγόμενα: πού να ψάξουμε για δραστικούς αλγορίθμους; Θα αρχίσουμε από αυτό το κεφάλαιο την ξενάγησή

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

(19 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ IΙΙ: «εντοπισμός σημείου σε τριγωνοποίηση»

(19 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ IΙΙ: «εντοπισμός σημείου σε τριγωνοποίηση» λγόριθμοι & πολυπλοκότητα» σημειώσεις ακ. έτους 2010 2011 (19 ο ) ΛΣΜΤΙ ΝΩ IΙΙ: «εντοπισμός σημείου σε τριγωνοποίηση» Το πρόβλημα του «εντοπισμού» σημείου σε διαμέριση. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος

14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εισαγωγή Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαδικαστικά Θέματα Ο τελικός βαθμός προτείνω να υπολογισθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 27 Δεκεμβρίου 2010 2 Κεφάλαιο 1 Συνδιαστική Ανάλυση και Μαθηματικές Τεχνικές Η απαρίθμηση των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G.

G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 2014-2015 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)

Διαβάστε περισσότερα