αʹ Pure states... 50

Transcript

1 Φασματική αραιοποίηση και το πρόβλημα των Kadison-Singer Διπλωματική Εργασία Κωνσταντίνος Στούμπος Επιβλέπων: Απόστολος Γιαννόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2015

2

3 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Βασικές έννοιες Χρήσιμες προτάσεις Φασματική αραιοποίηση και περιορισμένη αντιστρεψιμότητα Φασματική αραιοποίηση αʹ Διαισθητική περιγραφή της μεθόδου βʹ Απόδειξη του Θεωρήματος Περιορισμένη Αντιστρεψιμότητα αʹ Το Πρόβλημα βʹ Απόδειξη του Θεωρήματος Σύνδεση με το πρόβλημα των Kadison και Singer Εφαρμογές στην ασυμπτωτική γεωμετρική ανάλυση Η θέση John ενός κυρτού σώματος Σημεία επαφής Παραγοντοποίηση Dvoretzky-Rogers Απόσταση Banach-Mazur από τον κύβο Το πρόβλημα των Kadison και Singer Περιγραφή του προβλήματος αʹ Pure states βʹ Η εικασία Paving Περιγραφή της Μεθόδου των Marcus, Spielman και Srivastava Διαπλεκόμενες οικογένειες πολυωνύμων

4 iv Περιεχόμενα 5.4 Πραγματικά ευσταθή πολυώνυμα Μεικτό χαρακτηριστικό πολυώνυμο Η πολυδιάστατη μέθοδος των εμποδίων Η εικασία του Weaver Απόδειξη της εικασίας paving Φασματική θεωρία γραφημάτων και εφαρμογές στα γραφήματα Ramanujan Πίνακας γειτνίασης Ιδιοτιμές κανονικών γραφημάτων Η Λαπλασιανή ενός γραφήματος Η ισοπεριμετρική σταθερά γραφήματος Expanders Θεώρημα Alon-Bopppana γραφήματα Ramanujan αʹ Αριθμοί Catalan βʹ Το καθολικό κάλυμμα ενός γραφήματος γʹ Δύο τεχνικά λήμματα δʹ Απόδειξη του θεωρήματος Alon Boppana Γραφήματα Ramanujan με οποιονδήποτε βαθμό αʹ 2-ανυψώσεις βʹ Πολυώνυμο ταιριάσματος γʹ Το κύριο αποτέλεσμα Αʹ Μία εναλλακτική απόδειξη του Λήμματος

5 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1

6

7 Κεφάλαιο 2 Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Θα χρησιμοποιούμε κεφαλαία γράμματα για πίνακες στον R n n και πεζά για διανύσματα στήλες στον R n Βασικές έννοιες Ορισμοί Ο ανάστροφος ενός πίνακα A = (a ij ) R n n είναι ο A T = (a ji ) R n n. Ενας πίνακας A λέγεται συμμετρικός αν A = A T. Αν v R n 1 είναι ένα διάνυσμα στήλη με συντεταγμένες v 1,..., v n, θέτουμε v T = (v 1,..., v n ) R 1 n. Εστω v T = (v 1,..., v n ), w T = (w 1,..., w n ) R 1 n. Το εσωτερικό γινόμενο των v, w είναι η ποσότητα: n v w = v, w = v T w = v i w i. Η Ευκλείδεια νόρμα του διανύσματος v συμβολίζεται με v 2 = v T v. Το εξωτερικό ή τανυστικό γινόμενο των v, w είναι ο n n πίνακας vw T = (v i w j ) i,j. Ιχνος ενός πίνακα A R n n καλείται η ποσότητα n Tr(A) = a ii = όπου λ i είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα A. n λ i, Η ορίζουσα ενός πίνακα A είναι το γινόμενο των ιδιοτιμών του, και συμβολίζεται με n det(a) := λ i.

8 4 Στοιχεια Γραμμικης Αλγεβρας Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα A είναι το πολυώνυμο χ[a](x) = det(xi A) το οποίο έχει ρίζες τις ιδιοτιμές του A. Πυρήνας της γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχεί στον A λέγεται ο υπόχωρος του R n ker(a) = {x R n : Ax = 0}. Κατά τα γνωστά επίσης, εικόνα του A θα ονομάζουμε καταχρηστικά τον υπόχωρο Im(A) = {Ax : x R n }. Στην ειδική περίπτωση όπου ο A είναι συμμετρικός, ο πυρήνας του A είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα της εικόνας του A. Η τάξη του A είναι ίση με το πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του, δηλαδή με την διάσταση της εικόνας της γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχεί στον πίνακα A. Ισοδύναμα, είναι το πλήθος των μη μηδενικών ιδιοτιμών του A. Η νόρμα του πίνακα A είναι η ποσότητα: A 2 = sup Ax 2. x 2=1 Οταν ο Α είναι συμμετρικός και θετικά ημιορισμένος, ισχύει A 2 = max 1 i n λ i, δηλαδή η νόρμα του πίνακα A είναι ίση με τη μέγιστη ιδιοτιμή του. Η νόρμα Frobenius ή νόρμα Hilbert-Schmidt του A ορίζεται από τη σχέση n n A HS = a 2 ij 1/2 = ( Tr(A T A) ) ( n ) 1/2 1/2 = λ 2 i. Ορίζουμε το κατά σημείο γινόμενο των πινάκων A και B ως εξής: A B = n όπου A = (a ij ) R n n και B = (b ij ) R n n. n a ij b ij = Tr(A T B), Η τετραγωνική μορφή που αντιστοιχεί στον A είναι η απεικόνιση από τον R n n στο R με v v T Av = Tr(A T vv T ) = A vv T.

9 2.2 Χρησιμες προτασεις 5 Θεώρημα (φασματικό θεώρημα για συμμετρικούς πίνακες). Εστω A : R n R n συμμετρικός γραμμικός τελεστής. Τότε ο A έχει n πραγματικές ιδιοτιμές λ 1 λ n με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u 1,..., u n τα οποία αποτελούν ορθοκανονική βάση του R n. Δηλαδή, ισχύουν οι σχέσεις για i = 1,..., n, και A = Au i = λ i u i n λ i u i u T i, από όπου συμπεραίνουμε ότι ο πίνακας A διαγωνοποιείται. Απόδειξη. Με επαγωγή στη διάσταση n. Για n = 1 ο ισχυρισμός είναι προφανής. Υποθέτουμε ότι το συμπέρασμα ισχύει για κάθε συμμετρικό (n 1)-διάστατο γραμμικό τελεστή. Εστω u R n ώστε u T Au = max v 2=1 vt Av. Τέτοιο u πράγματι υπάρχει από τη συνέχεια της τετραγωνικής μορφής που ορίζει ο A και τη συμπάγεια της μοναδιαίας σφαίρας του R n. Από τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange έχουμε ότι υπάρχει λ R ώστε το u να είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης f : R n R με f(v) = v T Av λv T v. Υπολογίζοντας την κλίση της f στο u, έχουμε f(u) = 2Au 2λu = 0, οπότε το u είναι ένα μοναδιαίο πραγματικό ιδιοδιάνυσμα του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Παρατηρούμε τώρα ότι αν w u = {v : u, v = 0} τότε Aw u. Πράγματι, αφού A = A T έχουμε ότι w T A T u = w T Au = λw T u = 0. Επίσης, ο B = A u ικανοποιεί την x T B T y = x T By για κάθε x, y u. Εφαρμόζοντας την επαγωγική υπόθεση για τον A u, παίρνουμε το συμπέρασμα. 2.2 Χρήσιμες προτάσεις Λήμμα (τύπος Sherman-Morrison). Αν A είναι ένας n n αντιστρέψιμος πίνακας και v R n ένα διάνυσμα, τότε (2.2.1) (A + vv T ) 1 = A 1 A 1 vv T A v T A 1 v

10 6 Στοιχεια Γραμμικης Αλγεβρας Απόδειξη. Ζητάμε n n πίνακα X ώστε X = (A + vv T ) 1, ισοδύναμα (A + vv T )X = I. Για το σκοπό αυτό αρκεί να βρούμε πίνακα X και y R 1 n ώστε Λύνουμε: { AX + vy = I v T X y = 0 ( A v v T 1 ) ( X y ) = ( I 0 X = A 1 (I vy) = v T X = v T A 1 (I vy) = y = v T A 1 (I vy) και αφού v T A 1 v 1, έπεται ότι (1 + v T A 1 v)y = v T A 1 ) Άρα, y = vt A v T A 1 v. X = A 1 A 1 vv T A v T A 1 v. Λήμμα Αν A είναι ένας n n αντιστρέψιμος πίνακας και v R n ένα διάνυσμα, τότε (2.2.2) det(a + vv T ) = det(a)(1 + v T A 1 v). Απόδειξη. Ελέγχουμε πρώτα οτι ισχύει η σχέση: ( I O v T 1 ) ( ) ( ) I + A 1 vv T A 1 v I O 0 1 v T 1 ( ) ( ) I O I A 1 v = v T 1 v T = 1 Παίρνοντας ορίζουσες και στα δύο μέλη έχουμε: det(i + A 1 vv T ) = 1 + v T A 1 v, ( I A 1 v v T A 1 v και πολλαπλασιάζοντας με det(a) και τα δύο μέλη παίρνουμε το συμπέρασμα. Πρόταση Για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A και κάθε πίνακα B ίδιας διάστασης με τον A έχουμε t det(a + tb) = det(a + tb) Tr((A + tb) 1 B). )

11 2.2 Χρησιμες προτασεις 7 Απόδειξη. Παράτηρούμε ότι t det(a + tb) = s det(a + tb + sb) s=0 = det(a + tb) s det(i + s(a + tb) 1 B) s=0. Θέτουμε C = (A + tb) 1 B. Τότε παίρνουμε τη σχέση: s det(i + sc) s=0 = s det s n ( 1 s I + C) s=0 = s χ[ C]( 1 s ) s=0, όπου χ[ C]( 1 s ) είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του C υπολογισμένο στην τιμή 1 s. Χρησιμοποιώντας γνωστή από τη γραμμική άλγεβρα σχέση για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, παρατηρούμε ότι ισχύει Επομένως χ[ C]( 1 s ) = 1 s n + Tr(C) 1 s n (1)n+1 det( C). s χ[ C]( 1 s ) s=0 = s (1 + Tr(C)s + + ( 1) n+1 det( C)s n ) s=0 = Tr(C). Τελικά t det(a + tb) = det(a + tb) Tr((A + tb) 1 B) Θεώρημα (Courant-Fisher). Οι ιδιοτιμές λ 1... λ n ενός συμμετρικού πίνακα A R n n χαρακτηρίζονται ως εξής: λ k = max min {S:dim S=n k+1} v S\{0} όπου με S συμβολίζουμε υποχώρους του R n. v T Av v T v = min max {S:dim S=k} v S\{0} v T Av v T v, Απόδειξη. Θεωρούμε ότι τα u 1,..., u n είναι ορθοκανονικά ιδιοδιανύσματα του A (από το φασματικό θεώρημα), που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές λ 1... λ n. Θέτουμε W k = span{u 1,..., u k } να είναι ο υπόχωρος που παράγεται από τα πρώτα k ιδιοδιανύσματα u 1,..., u k. Αν S είναι τυχών υπόχωρος διάστασης n k + 1, παρατηρούμε ότι dim(w k S) 1, αφού n dim(w k + S) = dim W k + dim S dim(w k S) = n + 1 dim(w k S).

12 8 Στοιχεια Γραμμικης Αλγεβρας Εστω v W k S. Παρατηρούμε ότι v = k v, u j u j και Au j = λ j u j. Άρα, Άρα, όπου η ισότητα ισχύει αφού Av, v v 2 = k λ k j v, u j u j, v v 2 = λ j v, u j 2 k 2 v, u λ k. j 2 Av, v Av, v min v S\{0} v 2 = inf 2 v S\{0} v 2 λ k, 2 Av, v inf v S\{0} v 2 = inf Av, v = min Av, v, 2 v S, v 2=1 v S, v 2=1 επειδή το σύνολο {v S, v 2 = 1} είναι συμπαγές. Δηλαδή, sup min {S:dim S=n k+1} v S\{0} Παρατηρούμε ότι για S = span{u k,..., u n } έχουμε ότι Επομένως, sup min {S:dim S=n k+1} v S\{0} Av, v min v S\{0} v 2 = λ k. 2 v T Av v T v = sup v T Av v T v λ k. min {S:dim S=n k+1} v S\{0} = max min {S:dim S=n k+1} v S\{0} Av, v v, v Av, v v, v = λ k. Για την άλλη ισότητα δουλεύουμε ακριβώς με τον ίδιο τρόπο, θέτοντας αρχικά W k = span{u k,..., u n }.

13 Κεφάλαιο 3 Φασματική αραιοποίηση και περιορισμένη αντιστρεψιμότητα Εστω B τυχών n m πίνακας με m n και έστω 0 < ɛ < 1. Σε αυτό το κεφάλαιο περιγράφουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα: Θεώρημα (φασματική αραιοποίηση). Υπάρχει διαγώνιος πίνακας S m m 0 με το πολύ n ɛ 2 μη μηδενικά στοιχεία, ώστε (1 ɛ) 2 BB T BSB T (1 + ɛ) 2 BB T. Θεώρημα (περιορισμένη αντιστρεψιμότητα). Υπάρχει διαγώνιος πίνακας S m m με τουλάχιστον k = (1 ɛ) 2 B 2 HS μη μηδενικά στοιχεία όλα ίσα με 1, ώστε ο πίανακας B 2 2 BSB T να έχει k μη μηδενικές ιδιοτιμές μεγαλύτερες ή ίσες από ɛ 2 B 2 HS m. Τα δύο αυτά θεωρήματα αποτελούν τον πυρήνα της διδακτορικής διατριβής του N. Srivastava [52], η οποία είναι η βασική αναφορά μας για το κεφάλαιο. Η απόδειξη των δύο παραπάνω αποτελεσμάτων βασίζεται σε μια καινούρια μέθοδο που αναπτύχθηκε στα [7], [51], τη «μέθοδο των εμποδίων». Μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας οι συγγραφείς προσδιορίζουν άνω και κάτω φράγματα (εμπόδια) για τις ιδιοτιμές ενός θετικά ημιορισμένου συμμετρικού πίνακα, μελετώντας σε κάθε βήμα τη συμπεριφορά κατάλληλων «συναρτήσεων δυναμικού» όταν τα ορίσματα αυτών διαταράσσονται από πίνακες τάξης 1. Το πολυδιάστατο

14 10 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα ανάλογο της μεθόδου, που εμφανίζεται για πρώτη φορά στα [43] και [44], θα μας απασχολήσει στη συνέχεια της εργασίας, ειδικότερα στην απόδειξη της εικασίας των Kadison και Singer. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι αποδείξεις είναι κατασκευαστικές και μπορούν να μετατραπούν σε αλγόριθμους που τρέχουν σε πολυωνυμικό χρόνο. 3.1 Φασματική αραιοποίηση Θεώρημα Εστω A ένας θετικά ημιορισμένος πίνακας τάξης n που γράφεται στη μορφή m A = w j wj T, όπου w j R n. Για κάθε 0 < ɛ < 1 υπάρχουν μη αρνητικοί αριθμοί {s j } j m, το πολύ n ɛ 2 από τους οποίους είναι μη μηδενικοί, ώστε να ισχύει: m (3.1.1) (1 ɛ) 2 A Ã := s j w j wj T (1 + ɛ) 2 A. Στο υπόλοιπο της ενότητας θα ασχοληθούμε με την απόδειξη του εξής ισοδύναμου, όπως θα δούμε, αποτελέσματος, το οποίο μας λέει ότι αρκεί να εξετάσουμε την περίπτωση A = I. Θεώρημα Εστω d > 1 και v 1,..., v m R n ώστε I = m v j vj T. Τότε, υπάρχουν μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί {s j } 1 j m, με {j : s j ώστε ( ) 2 m d + 1 I s j v j vj T I. d 1 0} dn, Το επιχείρημα που ακολουθεί μας επιτρέπει να αποδείξουμε το Θεώρημα από το Θεώρημα Απόδειξη. Θεωρούμε έναν πίνακα A τάξης n, ο οποίος είναι της μορφής A = m w j wj T.

15 3.1 Φασματικη αραιοποιηση 11 Θέτουμε v j = A 1/2 w j και παρατηρούμε ότι m m v j vj T = A 1/2 w j wj T A 1/2 = I. Για d = 1 ɛ 2, εφαρμόζοντας το Θεώρημα βλέπουμε ότι υπάρχουν αριθμοί {s j 0} 1 j m, από τους οποίους το πολύ n ɛ 2 είναι μη μηδενικοί, ώστε m I s j v j vj T ( d + 1 d 1 ) 2 I = ( ) ɛ I. 1 ɛ Ορίζοντας λοιπόν Ã = (1 ɛ)2 m s jw j w T j έχουμε ότι και άρα το συμπέρασμα. I (1 ɛ) 2 A 1/2 ÃA 1/2 ( ) ɛ I, 1 ɛ 3.1αʹ Διαισθητική περιγραφή της μεθόδου Είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα A + vv T διαπλέκονται με τις ιδιοτιμές του A. Για να το δούμε αυτό, χρησιμοποιούμε το Λήμμα για να υπολογίσουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A + vv T : έχουμε ( ) n (3.1.2) χ[a + vv T ](x) = det(xi A vv T v, u i 2 ) = χ[a](x) 1, x λ i όπου λ i είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα A και u i τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Το πολυώνυμο χ[a + vv T ](x) έχει ρίζες λ δύο ειδών: (i) Εκείνες για τις οποίες ισχύει ταυτόχρονα χ[a](λ) = 0. Αυτό συμβαίνει για εκείνες τις ιδιοτιμές λ i του A που τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματά τους u i είναι κάθετα στο v. (ii) Εκείνες για τις οποίες χ[a](λ) 0 και (3.1.3) f(λ) = 1 n v, u i 2 λ λ i = 0. Αυτά τα λ είναι οι ιδιοτιμές οι οποίες έχουν μετακινηθεί και έχουν βρεθεί σε θέσεις ανάμεσα στις σταθερές ιδιοτιμές της περίπτωσης (i), χωρίς να αλλάξει συνολικά η αντιστοιχία στη διάταξη μεταξύ παλιών και νέων ιδιοτιμών. Πράγματι, υποθέτουμε

16 12 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα προς άτοπο ότι για κάποιο s υπάρχουν λ s, λ s+1 σταθερές ιδιοτιμές της περίπτωσης (i) ώστε στο διάστημα (λ s, λ s+1 ) να υπάρχουν δύο λύσεις x 1 < x 2 της (3.1.3). Τότε προκύπτει ότι Ισοδύναμα, έχουμε n v, u i 2 x 1 λ i = n v, u i 2 x 2 λ i. n v, u i 2 x 2 x 1 (x 1 λ i )(x 2 λ i ) = 0, το οποίο οδηγεί σε άτοπο αφού σε κάθε όρο του αθροίσματος η ποσότητα (x 1 λ i )(x 2 λ i ) παραμένει θετική. Στη συνέχεια, ο Srivastava δίνει ένα φυσικό μοντέλο που εξηγεί την (3.1.3). Στο μοντέλο αυτό οφείλεται το όνομα της μεθόδου των εμποδίων. Κάνουμε μια απόπειρα να το περιγράψουμε. Για περισσότερες λεπτομέριες παραπέμπουμε στα [52] και [46, σελ. 7]. Φανταστείτε ένα κεκλιμένο επίπεδο, του οποίου την ευθεία κλίσης ταυτίζουμε με τους πραγματικούς αριθμούς. Στις θέσεις όπου βρίσκονται οι ιδιοτιμές του πίνακα A, τοποθετούμε εγκάρσια, αφόρτιστα αρχικά, εμπόδια. Θεωρούμε τώρα n αρνητικά φορτισμένα σωματίδια ίσης μάζας τα οποία ισορροπούν στις θέσεις λ j, j = 1,..., n που ορίζουν τα εμπόδια, λόγω της επίδρασης της βαρύτητας. Η πρόσθεση του τάξης 1 πίνακα vv T στον A, αντιστοιχεί στο να φορτίσουμε με αρνητικό φορτίο μεγέθους v, u j 2 τα εμπόδια στις θέσεις λ j. Υ- ποθέτουμε ότι κάθε φορτίο στα εμπόδια απωθεί το αντίστοιχο φορτίο του σωματιδίου με δύναμη ανάλογη με το φορτίο του εμποδίου και αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης του σωματιδίου από το εμπόδιο. Δηλαδή η δύναμη που δέχεται το σωματίδιο j από το εμπόδιο λ j είναι ίση με v, u j 2, λ λ j με θετική φορά την διεύθυνση προς τα πάνω, κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Επομένως, τα σωματίδια στα οποία αντιστοιχεί θετικό φορτίο στο εμπόδιο, μετακινούνται προς τα πάνω μέχρι να φτάσουν στο σημείο ισορροπίας τους, το οποίο δίνεται από τη συνισταμένη των απωστικών δυνάμεων από τα εμπόδια και της δύναμης της βαρύτητας που δέχονται τα σωματίδια. Τα σημεία ισορροπίας των σωματιδίων που μετακινήθηκαν, προσδιορίζονται από τις λύσεις της εξίσωσης (3.1.3) και αντιστοιχούν στις νέες ιδιοτιμές. Με το παραπάνω μοντέλο στο νου μας, υπολογίζουμε το αναμενόμενο φορτίο που συνεισφέρει ένα τυχαία επιλεγμένο διάνυσμα v {v i } m στο εμπόδιο λ j ή πιο ορθά τη μέση τιμή του τετραγώνου της προβολής του τυχαίου v στο ιδιοδιάνυμα u j. Εχουμε: ( E v v, u j 2 = 1 m v i, u j 2 = 1 m ) m m ut j v i vi T u j = u j 2 2 m = 1 m.

17 3.1 Φασματικη αραιοποιηση 13 Φυσικά, δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει v στο σύνολο των διανυσμάτων μας που να υλοποιεί την αναμενόμενη συμπεριφορά, ωστόσο αν υπήρχε, αυτό θα σήμαινε τη σταθερή μετακίνηση προς τα εμπρός όλων των εμποδίων σε κάθε βήμα. Στην πραγματικότητα, μπορούμε να περιμένουμε ότι ύστερα από αρκετά μεγάλο πλήθος επαναλήψεων της παραπάνω διαδικασίας όλες οι ιδιοτιμές θα μετακινούνται προς τα εμπρός, χωρίς καμία να βρίσκεται πολύ μπροστά, ή πολύ πίσω, δηλαδή ο λόγος λmax λ min θα παραμένει φραγμένος. Η παραπάνω διαίσθηση πράγματι επαληθεύεται. Από τη σχέση (3.1.2) και το γεγονός ότι χ[a] (x) = n j i (x λ j), για το διάνυσμα v avg = 1 n m u j με ίσες προβολές στα u j έχουμε χ[a + v avg v T avg](x) = χ[a](x) ( 1 ) n 1/m = χ[a](x) 1 x λ i m χ[a] (x). Αν ξεκινήσουμε με A = 0, δηλαδή με χ 0 (x) = x n, μετά από k επαναλήψεις παίρνουμε το πολυώνυμο χ k (x) = (I 1/mD) k x n, όπου D ο τελεστής παραγώγισης ώς προς x. Δημιουργούμε έτσι μια γνωστή ορθογώνια οικογένεια πολυωνύμων, τα πολυώνυμα Laguerre.([19]). Τα πολυώνυμα αυτά έχουν μελετηθεί αρκετά και η θέση των ριζών τους είναι γνωστη. Ειδικότερα, μετά από k = dn επαναλήψεις, ο λόγος της μεγαλύτερης ρίζας προς τη μικρότερη τείνει στην τιμή ( d + 1 d 1 ) 2, καθώς n, που είναι ακριβώς το ζητούμενο φράγμα. Για να αποδείξουμε το Θεώρημα θα δείξουμε ότι μπορούμε να διαλέξουμε μια πεπερασμένη ακολουθία διανυσμάτων v i με κατάλληλα βάρη s i στο καθένα, ώστε να υλοποιούν την αναμενόμενη συμπεριφορά που περιγράφηκε παραπάνω. Θα ελέγχουμε τις ιδιοτιμές του νέου πίνακα που προκύπτει σε κάθε βήμα, διατηρώντας μόνο δύο από τα αρχικά εμπόδια, το πρώτο και το τελευταίο, και κρατώντας τις ιδιοτιμές ανάμεσά τους. Το κάτω εμπόδιο θα απωθεί τις ιδιοτιμές, σπρώχνοντάς τες προς τα εμπρός, ενώ το άνω εμπόδιο θα τις συγκρατεί ώστε να μην φύγουν πολυ μακρυά. Σε κάθε βήμα, και τα δύο εμπόδια θα μετακινούνται προς τα εμπρός, με σταθερό ρυθμό. Κρατώντας φραγμένη την «ολική απώθηση»(δυναμικό) σε κάθε βήμα, θα δείξουμε ότι υπάρχει κατάλληλο διάνυσμα και κατάλληλο βάρος για αυτό, ώστε ο τάξης 1 πίνακας που δημιουργεί, προστιθέμενος στον πίνακα του προηγούμενου βήματος, να επιτρέπει να συνεχιστεί η διαδικασία. Η διαδικασία θα τελειώσει όταν πετύχουμε το κατάλληλο φράγμα για το δυναμικό.

18 14 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα 3.1βʹ Απόδειξη του Θεωρήματος Εστω u, l R και έστω A ένας συμμετρικός n n πίνακας με ιδιοτιμές λ 1,..., λ n. Ξεκινάμε ορίζοντας τις εξής ποσότητες: Ορισμός (άνω δυναμικό). Ορισμός (κάτω δυναμικό). Φ u (A) := Tr(uI A) 1 = Φ l (A) := Tr(A li) 1 = n n 1 u λ i. 1 λ i l. Παρατήρηση Οι δύο αυτές συναρτήσεις μετράνε πόσο μακρυά βρίσκονται οι ιδιοτιμές λ 1,..., λ n από τις θέσεις των εμποδίων u και l. Οταν, λόγου χάρη, μια ιδιοτιμή λ k πλησιάζει το u, το Φ u (A) εκρήγνυται αφού ο πίνακας ui A τείνει να γίνει ιδιάζων. Παρατήρηση Εχουμε li A ui l < λ min (A) λ max (A) < u. Με βάση την προηγούμενη παρατήρηση αρκεί να δείξουμε ότι: ( ) 2 λ max (Ã) d + 1 λ min (Ã), d 1 όπου Ã = m s jv j vj T. Για να δείξουμε το ζητούμενο θα ακολουθήσουμε την εξής επαναληπτική διαδικασία: θα κατασκευάσουμε τον πίνακα Ã προσθέτοντας έναν όρο της μορφής v j vj T σε κάθε βήμα και προσδιορίζοντας το κατάλληλο βάρος s j. Πιο συγκεκριμένα, έστω u 0, δ U, δ L, ɛ U και ɛ L θετικές σταθερές και l 0 < 0 (θα επιλεγούν στη συνέχεια) για τις οποίες ικανοποιούνται τα ακόλουθα: (i) Αρχικά A (0) = 0, τα εμπόδια βρίσκονται στις θέσεις u = u 0, l = l 0 και τα δυναμικά έχουν τις τιμές Φ u0 (A (0) ) = ɛ U και Φ l0 (A (0) ) = ɛ L. (ii) Κάθε πίνακας A (q+1) προκύπτει από τον προηγούμενο A (q) θέτοντας A (q+1) = A (q) + svv T για κατάλληλο s > 0 και v {v j : j = 1,..., m}. (iii) Για κάθε βήμα q = 0, 1,..., Q, όπου Q = dn, Φ u+δ U (A (q+1) ) Φ u (A (q) ) ɛ U

19 3.1 Φασματικη αραιοποιηση 15 και Φ l+δl (A (q+1) ) Φ l (A (q) ) ɛ L, δηλαδή αν μετακινήσουμε τα εμπόδια κατά δ U και δ L, τα αντίστοιχα δυναμικά Φ u (A (q) ) και Φ l (A (q) ) δεν αυξάνονται στο επόμενο βήμα. (iv) Καμία ιδιοτιμή δεν ξεπερνά ποτέ κανένα εμπόδιο, δηλαδή για κάθε q = 0, 1,, Q: l 0 + qδ L < λ min (A (q) ) λ max (A (q) ) < u 0 + qδ U. Για να τελειώσει η απόδειξη, μένει να επιλεγούν τα u 0, v 0, δ U, δ L, ɛ U και ɛ L έτσι ώστε μετά από Q = dn βήματα να ισχύει: (3.1.4) λ max (A (Q) ) λ min (A (Q) ) u 0 + dnδ U l 0 + dnδ L ( d + 1 d 1 ) 2. Η μεγαλύτερη τεχνική δυσκολία της απόδειξης έγκειται στο να ικανοποιούνται τα (ii) και (iii) ταυτόχρονα, δηλαδή να είναι πάντα δυνατή η επιλογή ενός πίνακα vv T που μπορεί να προστεθεί στον εκάστοτε πίνακα A ώστε να μπορούμε να προωθήσουμε και τα δύο εμπόδια με σταθερό ρυθμό σε κάθε βήμα, χωρίς να αυξάνονται τα αντίστοιχα δυναμικά. Η δυσκολία αυτή γίνεται εφικτό να ξεπεραστεί με τα ακόλουθα τρία λήμματα. Λήμμα (προώθηση άνω εμποδίου). Εστω ότι λ max (A) u και έστω v τυχόν διάνυσμα. Αν (3.1.5) U A (v) := vt ((u + δ U )I A) 2 v Φ u (A) Φ u+δ U (A) τότε και Φ u+δ U (A + tvv T ) Φ u (A) λ max (A + tvv T ) < u + δ U. + v T ((u + δ U )I A) 1 v 1 t Δηλαδή, αν προσθέσουμε t φορές τον πίνακα vv T στον A και μετακινήσουμε το άνω εμπόδιο κατά δ U, τότε το άνω δυναμικό δεν αυξάνεται.

20 16 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα Απόδειξη. Εστω u = u + δ U. Από την Πρόταση έχουμε: (3.1.6) Φ u+δ U (A + tvv T ) = Tr(u I A tvv T ) 1 = Tr ((u I A) 1 + t(u I A) 1 vv T (u I A) 1 ) 1 tv T (u I A) 1 v = Tr((u I A) 1 ) + ttr(vt (u I A) 1 (u I A) 1 v) 1 tv T (u I A) 1 v = Tr((u I A) 1 ) + tvt (u I A) 2 v 1 tv T (u I A) 1 v = Φ u+δ U (A) + tvt (u I A) 2 v 1 tv T (u I A) 1 v = Φ u (A) (Φ u (A) Φ u+δ U (A)) + v T (u I A) 2 v 1/t v T (u I A) 1 v, όπου για τις παραπάνω ισότητες χρησιμοποιούμε τη γραμμικότητα του ίχνους, το γεγονός ότι Tr(AB) = Tr(BA), το ότι ο πίνακας (u I A) 2 είναι συμμετρικός και τέλος τους ορισμούς του εξωτερικού γινομένου και του άνω δυναμικού. Παρατηρούμε τώρα ότι λόγω της υπόθεσης έχουμε: 1 t vt (u I A) 1 v > 0, επομένως η (3.1.5) γράφεται ισοδύναμα στη μορφή δηλαδή Τότε, η (3.1.6) μας δίνει Η παραπάνω σχέση δίνει επιπλέον ότι v T (u I A) 2 v Φ u (A) Φ u+δ U (A) 1 t vt (u I A) 1 v, v T (u I A) 2 v 1/t v T (u I A) 1 v (Φu (A) Φ u+δ U (A)) 0. Φ u+δ U (A + tvv T ) Φ u (A). λ max (A + tvv T ) < u + δ U, γιατί σε διαφορετική περίπτωση θα υπήρχε t t ώστε λ max (A+t vv T ) = u+δ U (λόγω της μονοτονίας και της συνέχειας της συνάρτησης λ max (A + tvv T ) ως προς t, από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής). Ομως για ένα τέτοιο t η Φ u+δ U (A + t vv T ) εκρήγνυται, ενώ το t ικανοποιεί την (3.1.5) και ο προηγούμενος υπολογισμός δείχνει ότι θα έπρεπε να ισχύει η Φ u+δ U (A + t vv T ) Φ u (A).

21 3.1 Φασματικη αραιοποιηση 17 Το δεύτερο λήμμα αφορά τη μετακίνηση του κάτω εμποδίου. Μετακινώντας το l στη θέση l+δ L και κρατώντας τον πίνακα Α σταθερό, το κάτω δυναμικό Φ l (A) αυξάνεται καθώς το εμπόδιο l πλησιάζει τις ιδιοτιμές του A. Ετσι, προσθέτοντας στον A έναν πίνακα της μορφής tvv T οι ιδιοτιμές του A + vv T μετακινούνται μπροστά και μακρυά από το εμπόδιο, με αποτέλεσμα το δυναμικό να μειώνεται. Παρακάτω υπολογίζεται η τιμή του t έτσι ώστε μετά τη μετακίνηση του εμποδίου στη νέα του θέση, το νέο δυναμικό Φ l+δl (A + tvv T ) να μην έχει αυξηθεί. Λήμμα (προώθηση κάτω εμποδίου). Εστω ότι λ min (A) l, Φ l (A) < 1 δ L v R n τυχόν διάνυσμα. Αν τότε L A (v) := vt (A (l + δ L )I) 2 v Φ l+δl (A) Φ l (A) (3.1.7) Φ l+δl (A + tvv T ) Φ l (A) και v T (A (l + δ L )I) 1 v 1 t > 0, λ min (A + tvv T ) > l + δ L. και έστω Δηλαδή, αν προσθέσουμε t φορές τον πίνακα vv T στον A και μετακινήσουμε το κάτω εμπόδιο κατά δ L, τότε το κάτω δυναμικό δεν αυξάνεται. Απόδειξη. Αρχικά παρατηρούμε ότι από τις υποθέσεις του λήμματος ισχύει Άρα, για κάθε t > 0, λ min (A) > l + δ L. λ min (A + tvv T ) > l + δ L. Για την απόδειξη της (3.1.7) δουλεύουμε όπως στο προηγούμενο λήμμα. Θέτουμε l = l + δ L. Εχουμε Φ l+δl (A + tvv T ) = Tr(A + tvv T l I) 1 = Tr ((A l I) 1 t(a l I) 1 vv T (A l I) 1 ) 1 + tv T (A l I) 1 v = Tr(A l I) 1 ttr(vt (A l I) 1 (A l I) 1 v) 1 + tv T (A l I) 1 v = Φ l+δl (A) tvt (A l I) 2 v 1 + tv T (A l I) 1 v = Φ l (A) + (Φ l+δl (A) Φ l (A)) v T (A l I) 2 v 1/t + v T (A l I) 1 v

22 18 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα Αναδιατάσσοντας την ανισότητα L A (v) 1 t πριν. της υπόθεσης έχουμε το συμπέρασμα όπως Το τρίτο λήμμα προσδιορίζει τις συνθήκες εκείνες κάτω από τις οποίες μπορούμε να βρούμε κατάλληλο πίνακα tvv T ώστε και τα δύο δυναμικά να διατηρούνται φραγμένα καθώς μετακινούνται τα εμπόδια, ώστε να μπορούμε να συνεχίσουμε την διαδικασία. Η απόδειξη βασίζεται σε ένα επιχείρημα μέσης τιμής. Λήμμα Αν τα λ max (A) < u, λ min (A) > l, Φ u (A) ɛ U, Φ l (A) ɛ L ɛ U, ɛ L, δ U, δ L ικανοποιούν τη σχέση (3.1.8) 0 1 δ U + ɛ U 1 δ L ɛ L, τότε υπάρχουν i [m] και t > 0 για τα οποία και L A (v j ) 1 t U A(v j ), λ max (A + tv j v T j ) < u + δ U και λ min (A + tv j v T j ) l + δ L. Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι m m L A (v j ) U A (v j ), απ όπου παίρνουμε το ζητούμενο χρησιμοποιώντας τα Λήμματα και Ξεκινάμε φράσσοντας το m U A(v j ). Εχουμε m m U A (v j ) = vt j ((u + δ U )I A) 2 v j m Φ u (A) Φ u+δ + v T U (A) j ((u + δ U )I A) 1 v j = ((u + δ U )I A) 2 ( m v jv T j ) Φ u (A) Φ u+δ U (A) = Tr ( ((u + δ U )I A) 2) Φ u (A) Φ u+δ + Tr ( ((u + δ U U )I A) 1) (A) = = n n 1 u λ i 1 (u+δ U λ i) 2 m + ((u + δ U )I A) 1 v j vj T + Φ u+δ U (A) n 1 u+δ U λ i n (u + δ U λ i ) 2 n δ U (u λ i) 1 (u + δ U λ i ) + 1 Φu+δ U (A) 1 δ U + Φ u+δ U (A) 1 δ U + Φ u (A) 1 δ U + ɛ U,

23 3.1 Φασματικη αραιοποιηση 19 όπου: για την δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήθηκαν οι σχέσεις m v jv T j = I και X I = Tr(X), όπου X τυχών πίνακας, και για την πρώτη ανισότητα η n (u + δ U λ i ) 2 n (u λ i ) 1 (u + δ U λ i ) 1. Για να φράξουμε το m L A(v j ) θα χρειαστεί ο ακόλουθος ισχυρισμός: Ισχυρισμός Αν λ 1 > l για κάθε i = 1,..., n, αν 0 n (u λ i) 1 ɛ L 1 και δ L ɛ L 0, τότε n (λ i l δ L ) 2 n n (λ i l δ L ) 1 n (λ i l) (λ 1 i l δ L ) 1 1 n (λ i l) 1. δ L Απόδειξη. Εχουμε για κάθε i = 1,..., n, άρα δ L 1 ɛ L λ i l n (λ i l δ L ) 1 n (λ i l) 1 0. Η ανισότητα του ισχυρισμού είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη: ( n n ) n (λ i l δ L ) 2 (λ i l δ L ) 1 (λ i l) 1 Ισοδύναμα n δ L ( ) 1 n n + (λ i l δ L ) 1 (λ i l) 1 δ L ( ) n 1 = δ L (λ i l δ L )(λ i l) ( ) 1 n 1 + δ L δ L (λ i l δ L )(λ i l) ( ) n 1 n 2 = (λ i l δ L )(λ i l) + 1 δ L. (λ i l δ L )(λ i l) ( 1 (λ i l δ L ) 2 (λ i l) δ L n ) 2 1. (λ i l δ L )(λ i l)

24 20 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ( n δ L ) 2 ( 1 = δ L (λ i l δ L )(λ i l) ( n n δ L (δ L ɛ L ) δ L n ) 2 1 (λ i l δ L ) λ i l λ i l ) ( n (λ i l) 1 1 ( n δ L δ L 1 (λ i l δ L ) 2 (λ i l) 1 (λ i l δ L ) 2 (λ i l), (λ i l δ L ) 2 (λ i l) ) όπου η δεύτερη ανισότητα ισχύει διότι n (λ i l) 1 ɛ L, και η τελευταία λόγω της σχέσης 1 δ L ɛ L 0. Η απόδειξη του ισχυρισμού είναι πλήρης. Μένει να δειχθεί ότι m L A (v j ) 1 δ L ɛ L, οπότε από την (3.1.8) έχουμε το λήμμα. Πράγματι, m m L A (v j ) = vt j (A (l + δ L)I) 2 v j m vj T (A (l + δ L )I) 1 v j Φ l+δl (A) Φ l (A) = Tr ( (A (l + δ L )I) 2) Tr ( (A (l + δ L )I) 1) Φ l+δl (A) Φ l (A) n = (λ i l δ L ) 2 n n (λ i l δ L ) 1 n (λ i l) (λ 1 i l δ L ) 1 1 n (λ i l) 1 1 ɛ L δ L δ L Ετσι, έχουμε αποδείξει το Λήμμα Απόδειξη του Θεωρήματος Επιλέγουμε δ U = d+1 d 1, δ L = 1, ɛ U = d 1 d+d, ɛ L = 1 d, u 0 = n ɛ U και l 0 = n ɛ L. Με αυτήν την επιλογή έχουμε 1 d 1 d 1 + ɛ U = + = 1 1 = 1 ɛ L. δ U d + 1 d( d + 1) d δ L )

25 3.2 Περιορισμενη Αντιστρεψιμοτητα 21 Τα αρχικά δυναμικά είναι: και ( Φ n ((n/ɛu ɛ U (0) = Tr )I ) ) 1 = ɛ U Φ n ɛ L (0) = ɛ L. Επιπλέον, λ max (0) = 0 και λ min (0) = 0. Άρα, οι υποθέσεις του Λήμματος ικανοποιούνται τετριμμένα, οπότε βρίσκουμε τα ζητούμενα v 1 και s 1. Υποθέτοντας τώρα ότι έχει κατασκευασθεί ο A (q), βρίσκουμε τον A (q+1) διαλέγοντας v j έτσι ώστε L A (q)(v j ) U A (q)(v j ), και θέτοντας για κάποιον t > 0 ο οποίος ικανοποιεί την Τέλος, από τη σχέση (3.1.4) έχουμε: λ max (A (dn) ) λ min (A (dn) ) A (q+1) = A (q) + tv j v T j L A (q)(v j ) 1 t U A (q)(v j). d+ d d 1 + d d+d d 1 d d = d(d + 2 d + 1) d( d 1) Περιορισμένη Αντιστρεψιμότητα = ( d + 1 d 1 ) αʹ Το Πρόβλημα Αφετηρία μας είναι το επόμενο θεώρημα των Bourgain και Tzafriri. Θεώρημα (Bourgain-Tzafriri). Υπάρχουν απόλυτες σταθερές c, d > 0 ώστε αν B είναι ένας n n πίνακας με στήλες μοναδιαίου μήκους, τότε υπάρχει S [n] με πλήθος στοιχείων S ώστε να ισχύει σ min (B S ) d, όπου B S είναι ο n S πίνακας που cn B 2 2 προκύπτει αν επιλέξουμε τις στήλες του B από το σύνολο δεικτών S, και σ min (B S ) είναι η ελάχιστη ιδιάζουσα τιμή του B S. Ο Vershynin γενίκευσε αυτό το αποτέλεσμα προκειμένου να μελετήσει τα σημεία επαφής ενός κυρτού σώματος με το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του, μέσω της αναπαράστασης του John για την ταυτοτική απεικόνιση (βλέπε Κεφάλαιο 4). Ο Vershynin απέδειξε ότι, για κάθε αναπαράσταση της μορφής m I = v j vj T

26 22 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα και για κάθε γραμμικό τελεστή L : l n 2 l n 2, υπάρχει κάποιο σύνολο S [m] ώστε ο L να είναι αντιστρέψιμος στον υπόχωρο που παράγεται από το {v j : j S}. Επιπλέον, το πλήθος των στοιχείων του S είναι τουλαχιστον ίσο με την ποσότητα L 2 HS, η οποία L 2 2 ονομάζεται ευσταθής δείκτης του L και έχει την εξής φυσική ερμηνεία: είναι το πλήθος των διευθύνσεων τις οποίες ο τελεστής L διατηρεί ή διαστέλλει. Θεώρημα (Vershynin, Spielman-Srivastava). Εστω v 1,..., v m διανύσματα στήλες στον R n ώστε m I = v j vj T, και έστω ɛ (0, 1). Εστω ακόμα L : l n 2 l n 2 γραμμικός τελεστής. Υπάρχει S [m] μεγέθους S ɛ 2 L 2 HS L 2 2 ώστε το σύνολο {Lv j : j S} να είναι γραμμικά ανεξάρτητο, και λ min j S(Lv j )(Lv j ) T > (1 ɛ) 2 L 2 HS m, όπου η ιδιοτιμή λ min υπολογίζεται στον υπόχωρο Lv j : j S. Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι το Θεώρημα προκύπτει από το Θεώρημα με σταθερές c(ε) = ε 2 και d(ε) = (1 ε) 2, αν θεωρήσουμε την αναπαράσταση I = n e je T j, όπου {e j : j = 1,..., n} είναι η συνήθης ορθοκανονική βάση του R n, και υποθέσουμε ότι ο τελεστής L ικανοποιεί την Le j 2 = 1 για κάθε j = 1,..., n. 3.2βʹ Απόδειξη του Θεωρήματος Η απόδειξη των Spielman και Srivastava που παρουσιάζουμε εδώ, είναι αρκετά σύντομη, βασίζεται σε στοιχειώδη γραμμική άλγεβρα και πετυχαίνει πολύ καλύτερες σταθερές από αυτήν του Vershynin. Ταυτόχρονα, δίνει και έναν ντετερμινιστικό αλγόριθμο για την εύρεση του συνόλου S. Για την απόδειξη κατασκευάζουμε επαγωγικά μια συνάρτηση δυναμικού (εμπόδιο), παρόμοια με αυτήν της απόδειξης του αποτελέσματος της προηγούμενης ενότητας, με τις εξής όμως διαφορές: Εδώ χρησιμοποιούμε μόνο ένα εμπόδιο, αντί για δύο, μιας και αναζητείται μόνο κάτω φράγμα για τις ιδιοτιμές που συνεισφέρει κάθε καινούριο στοιχείο του συνόλου S. Η επιπλέον ελευθερία που προκύπτει από το γεγονός ότι έχουμε μόνο ένα εμπόδιο, μας επιτρέπει να διασφαλίσουμε ότι τα βάρη (στην απόδειξη) είναι είτε 0 ή 1, χαρακτηρίζοντας με αυτήν την έννοια το σύνολο των διανυσμάτων στηλών που επιλέγονται.