αʹ Pure states... 50

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1... 1. 5.1αʹ Pure states... 50"

Transcript

1 Φασματική αραιοποίηση και το πρόβλημα των Kadison-Singer Διπλωματική Εργασία Κωνσταντίνος Στούμπος Επιβλέπων: Απόστολος Γιαννόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2015

2

3 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Βασικές έννοιες Χρήσιμες προτάσεις Φασματική αραιοποίηση και περιορισμένη αντιστρεψιμότητα Φασματική αραιοποίηση αʹ Διαισθητική περιγραφή της μεθόδου βʹ Απόδειξη του Θεωρήματος Περιορισμένη Αντιστρεψιμότητα αʹ Το Πρόβλημα βʹ Απόδειξη του Θεωρήματος Σύνδεση με το πρόβλημα των Kadison και Singer Εφαρμογές στην ασυμπτωτική γεωμετρική ανάλυση Η θέση John ενός κυρτού σώματος Σημεία επαφής Παραγοντοποίηση Dvoretzky-Rogers Απόσταση Banach-Mazur από τον κύβο Το πρόβλημα των Kadison και Singer Περιγραφή του προβλήματος αʹ Pure states βʹ Η εικασία Paving Περιγραφή της Μεθόδου των Marcus, Spielman και Srivastava Διαπλεκόμενες οικογένειες πολυωνύμων

4 iv Περιεχόμενα 5.4 Πραγματικά ευσταθή πολυώνυμα Μεικτό χαρακτηριστικό πολυώνυμο Η πολυδιάστατη μέθοδος των εμποδίων Η εικασία του Weaver Απόδειξη της εικασίας paving Φασματική θεωρία γραφημάτων και εφαρμογές στα γραφήματα Ramanujan Πίνακας γειτνίασης Ιδιοτιμές κανονικών γραφημάτων Η Λαπλασιανή ενός γραφήματος Η ισοπεριμετρική σταθερά γραφήματος Expanders Θεώρημα Alon-Bopppana γραφήματα Ramanujan αʹ Αριθμοί Catalan βʹ Το καθολικό κάλυμμα ενός γραφήματος γʹ Δύο τεχνικά λήμματα δʹ Απόδειξη του θεωρήματος Alon Boppana Γραφήματα Ramanujan με οποιονδήποτε βαθμό αʹ 2-ανυψώσεις βʹ Πολυώνυμο ταιριάσματος γʹ Το κύριο αποτέλεσμα Αʹ Μία εναλλακτική απόδειξη του Λήμματος

5 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1

6

7 Κεφάλαιο 2 Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Θα χρησιμοποιούμε κεφαλαία γράμματα για πίνακες στον R n n και πεζά για διανύσματα στήλες στον R n Βασικές έννοιες Ορισμοί Ο ανάστροφος ενός πίνακα A = (a ij ) R n n είναι ο A T = (a ji ) R n n. Ενας πίνακας A λέγεται συμμετρικός αν A = A T. Αν v R n 1 είναι ένα διάνυσμα στήλη με συντεταγμένες v 1,..., v n, θέτουμε v T = (v 1,..., v n ) R 1 n. Εστω v T = (v 1,..., v n ), w T = (w 1,..., w n ) R 1 n. Το εσωτερικό γινόμενο των v, w είναι η ποσότητα: n v w = v, w = v T w = v i w i. Η Ευκλείδεια νόρμα του διανύσματος v συμβολίζεται με v 2 = v T v. Το εξωτερικό ή τανυστικό γινόμενο των v, w είναι ο n n πίνακας vw T = (v i w j ) i,j. Ιχνος ενός πίνακα A R n n καλείται η ποσότητα n Tr(A) = a ii = όπου λ i είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα A. n λ i, Η ορίζουσα ενός πίνακα A είναι το γινόμενο των ιδιοτιμών του, και συμβολίζεται με n det(a) := λ i.

8 4 Στοιχεια Γραμμικης Αλγεβρας Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα A είναι το πολυώνυμο χ[a](x) = det(xi A) το οποίο έχει ρίζες τις ιδιοτιμές του A. Πυρήνας της γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχεί στον A λέγεται ο υπόχωρος του R n ker(a) = {x R n : Ax = 0}. Κατά τα γνωστά επίσης, εικόνα του A θα ονομάζουμε καταχρηστικά τον υπόχωρο Im(A) = {Ax : x R n }. Στην ειδική περίπτωση όπου ο A είναι συμμετρικός, ο πυρήνας του A είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα της εικόνας του A. Η τάξη του A είναι ίση με το πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του, δηλαδή με την διάσταση της εικόνας της γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχεί στον πίνακα A. Ισοδύναμα, είναι το πλήθος των μη μηδενικών ιδιοτιμών του A. Η νόρμα του πίνακα A είναι η ποσότητα: A 2 = sup Ax 2. x 2=1 Οταν ο Α είναι συμμετρικός και θετικά ημιορισμένος, ισχύει A 2 = max 1 i n λ i, δηλαδή η νόρμα του πίνακα A είναι ίση με τη μέγιστη ιδιοτιμή του. Η νόρμα Frobenius ή νόρμα Hilbert-Schmidt του A ορίζεται από τη σχέση n n A HS = a 2 ij 1/2 = ( Tr(A T A) ) ( n ) 1/2 1/2 = λ 2 i. Ορίζουμε το κατά σημείο γινόμενο των πινάκων A και B ως εξής: A B = n όπου A = (a ij ) R n n και B = (b ij ) R n n. n a ij b ij = Tr(A T B), Η τετραγωνική μορφή που αντιστοιχεί στον A είναι η απεικόνιση από τον R n n στο R με v v T Av = Tr(A T vv T ) = A vv T.

9 2.2 Χρησιμες προτασεις 5 Θεώρημα (φασματικό θεώρημα για συμμετρικούς πίνακες). Εστω A : R n R n συμμετρικός γραμμικός τελεστής. Τότε ο A έχει n πραγματικές ιδιοτιμές λ 1 λ n με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u 1,..., u n τα οποία αποτελούν ορθοκανονική βάση του R n. Δηλαδή, ισχύουν οι σχέσεις για i = 1,..., n, και A = Au i = λ i u i n λ i u i u T i, από όπου συμπεραίνουμε ότι ο πίνακας A διαγωνοποιείται. Απόδειξη. Με επαγωγή στη διάσταση n. Για n = 1 ο ισχυρισμός είναι προφανής. Υποθέτουμε ότι το συμπέρασμα ισχύει για κάθε συμμετρικό (n 1)-διάστατο γραμμικό τελεστή. Εστω u R n ώστε u T Au = max v 2=1 vt Av. Τέτοιο u πράγματι υπάρχει από τη συνέχεια της τετραγωνικής μορφής που ορίζει ο A και τη συμπάγεια της μοναδιαίας σφαίρας του R n. Από τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange έχουμε ότι υπάρχει λ R ώστε το u να είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης f : R n R με f(v) = v T Av λv T v. Υπολογίζοντας την κλίση της f στο u, έχουμε f(u) = 2Au 2λu = 0, οπότε το u είναι ένα μοναδιαίο πραγματικό ιδιοδιάνυσμα του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Παρατηρούμε τώρα ότι αν w u = {v : u, v = 0} τότε Aw u. Πράγματι, αφού A = A T έχουμε ότι w T A T u = w T Au = λw T u = 0. Επίσης, ο B = A u ικανοποιεί την x T B T y = x T By για κάθε x, y u. Εφαρμόζοντας την επαγωγική υπόθεση για τον A u, παίρνουμε το συμπέρασμα. 2.2 Χρήσιμες προτάσεις Λήμμα (τύπος Sherman-Morrison). Αν A είναι ένας n n αντιστρέψιμος πίνακας και v R n ένα διάνυσμα, τότε (2.2.1) (A + vv T ) 1 = A 1 A 1 vv T A v T A 1 v

10 6 Στοιχεια Γραμμικης Αλγεβρας Απόδειξη. Ζητάμε n n πίνακα X ώστε X = (A + vv T ) 1, ισοδύναμα (A + vv T )X = I. Για το σκοπό αυτό αρκεί να βρούμε πίνακα X και y R 1 n ώστε Λύνουμε: { AX + vy = I v T X y = 0 ( A v v T 1 ) ( X y ) = ( I 0 X = A 1 (I vy) = v T X = v T A 1 (I vy) = y = v T A 1 (I vy) και αφού v T A 1 v 1, έπεται ότι (1 + v T A 1 v)y = v T A 1 ) Άρα, y = vt A v T A 1 v. X = A 1 A 1 vv T A v T A 1 v. Λήμμα Αν A είναι ένας n n αντιστρέψιμος πίνακας και v R n ένα διάνυσμα, τότε (2.2.2) det(a + vv T ) = det(a)(1 + v T A 1 v). Απόδειξη. Ελέγχουμε πρώτα οτι ισχύει η σχέση: ( I O v T 1 ) ( ) ( ) I + A 1 vv T A 1 v I O 0 1 v T 1 ( ) ( ) I O I A 1 v = v T 1 v T = 1 Παίρνοντας ορίζουσες και στα δύο μέλη έχουμε: det(i + A 1 vv T ) = 1 + v T A 1 v, ( I A 1 v v T A 1 v και πολλαπλασιάζοντας με det(a) και τα δύο μέλη παίρνουμε το συμπέρασμα. Πρόταση Για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A και κάθε πίνακα B ίδιας διάστασης με τον A έχουμε t det(a + tb) = det(a + tb) Tr((A + tb) 1 B). )

11 2.2 Χρησιμες προτασεις 7 Απόδειξη. Παράτηρούμε ότι t det(a + tb) = s det(a + tb + sb) s=0 = det(a + tb) s det(i + s(a + tb) 1 B) s=0. Θέτουμε C = (A + tb) 1 B. Τότε παίρνουμε τη σχέση: s det(i + sc) s=0 = s det s n ( 1 s I + C) s=0 = s χ[ C]( 1 s ) s=0, όπου χ[ C]( 1 s ) είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του C υπολογισμένο στην τιμή 1 s. Χρησιμοποιώντας γνωστή από τη γραμμική άλγεβρα σχέση για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, παρατηρούμε ότι ισχύει Επομένως χ[ C]( 1 s ) = 1 s n + Tr(C) 1 s n (1)n+1 det( C). s χ[ C]( 1 s ) s=0 = s (1 + Tr(C)s + + ( 1) n+1 det( C)s n ) s=0 = Tr(C). Τελικά t det(a + tb) = det(a + tb) Tr((A + tb) 1 B) Θεώρημα (Courant-Fisher). Οι ιδιοτιμές λ 1... λ n ενός συμμετρικού πίνακα A R n n χαρακτηρίζονται ως εξής: λ k = max min {S:dim S=n k+1} v S\{0} όπου με S συμβολίζουμε υποχώρους του R n. v T Av v T v = min max {S:dim S=k} v S\{0} v T Av v T v, Απόδειξη. Θεωρούμε ότι τα u 1,..., u n είναι ορθοκανονικά ιδιοδιανύσματα του A (από το φασματικό θεώρημα), που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές λ 1... λ n. Θέτουμε W k = span{u 1,..., u k } να είναι ο υπόχωρος που παράγεται από τα πρώτα k ιδιοδιανύσματα u 1,..., u k. Αν S είναι τυχών υπόχωρος διάστασης n k + 1, παρατηρούμε ότι dim(w k S) 1, αφού n dim(w k + S) = dim W k + dim S dim(w k S) = n + 1 dim(w k S).

12 8 Στοιχεια Γραμμικης Αλγεβρας Εστω v W k S. Παρατηρούμε ότι v = k v, u j u j και Au j = λ j u j. Άρα, Άρα, όπου η ισότητα ισχύει αφού Av, v v 2 = k λ k j v, u j u j, v v 2 = λ j v, u j 2 k 2 v, u λ k. j 2 Av, v Av, v min v S\{0} v 2 = inf 2 v S\{0} v 2 λ k, 2 Av, v inf v S\{0} v 2 = inf Av, v = min Av, v, 2 v S, v 2=1 v S, v 2=1 επειδή το σύνολο {v S, v 2 = 1} είναι συμπαγές. Δηλαδή, sup min {S:dim S=n k+1} v S\{0} Παρατηρούμε ότι για S = span{u k,..., u n } έχουμε ότι Επομένως, sup min {S:dim S=n k+1} v S\{0} Av, v min v S\{0} v 2 = λ k. 2 v T Av v T v = sup v T Av v T v λ k. min {S:dim S=n k+1} v S\{0} = max min {S:dim S=n k+1} v S\{0} Av, v v, v Av, v v, v = λ k. Για την άλλη ισότητα δουλεύουμε ακριβώς με τον ίδιο τρόπο, θέτοντας αρχικά W k = span{u k,..., u n }.

13 Κεφάλαιο 3 Φασματική αραιοποίηση και περιορισμένη αντιστρεψιμότητα Εστω B τυχών n m πίνακας με m n και έστω 0 < ɛ < 1. Σε αυτό το κεφάλαιο περιγράφουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα: Θεώρημα (φασματική αραιοποίηση). Υπάρχει διαγώνιος πίνακας S m m 0 με το πολύ n ɛ 2 μη μηδενικά στοιχεία, ώστε (1 ɛ) 2 BB T BSB T (1 + ɛ) 2 BB T. Θεώρημα (περιορισμένη αντιστρεψιμότητα). Υπάρχει διαγώνιος πίνακας S m m με τουλάχιστον k = (1 ɛ) 2 B 2 HS μη μηδενικά στοιχεία όλα ίσα με 1, ώστε ο πίανακας B 2 2 BSB T να έχει k μη μηδενικές ιδιοτιμές μεγαλύτερες ή ίσες από ɛ 2 B 2 HS m. Τα δύο αυτά θεωρήματα αποτελούν τον πυρήνα της διδακτορικής διατριβής του N. Srivastava [52], η οποία είναι η βασική αναφορά μας για το κεφάλαιο. Η απόδειξη των δύο παραπάνω αποτελεσμάτων βασίζεται σε μια καινούρια μέθοδο που αναπτύχθηκε στα [7], [51], τη «μέθοδο των εμποδίων». Μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας οι συγγραφείς προσδιορίζουν άνω και κάτω φράγματα (εμπόδια) για τις ιδιοτιμές ενός θετικά ημιορισμένου συμμετρικού πίνακα, μελετώντας σε κάθε βήμα τη συμπεριφορά κατάλληλων «συναρτήσεων δυναμικού» όταν τα ορίσματα αυτών διαταράσσονται από πίνακες τάξης 1. Το πολυδιάστατο

14 10 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα ανάλογο της μεθόδου, που εμφανίζεται για πρώτη φορά στα [43] και [44], θα μας απασχολήσει στη συνέχεια της εργασίας, ειδικότερα στην απόδειξη της εικασίας των Kadison και Singer. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι αποδείξεις είναι κατασκευαστικές και μπορούν να μετατραπούν σε αλγόριθμους που τρέχουν σε πολυωνυμικό χρόνο. 3.1 Φασματική αραιοποίηση Θεώρημα Εστω A ένας θετικά ημιορισμένος πίνακας τάξης n που γράφεται στη μορφή m A = w j wj T, όπου w j R n. Για κάθε 0 < ɛ < 1 υπάρχουν μη αρνητικοί αριθμοί {s j } j m, το πολύ n ɛ 2 από τους οποίους είναι μη μηδενικοί, ώστε να ισχύει: m (3.1.1) (1 ɛ) 2 A Ã := s j w j wj T (1 + ɛ) 2 A. Στο υπόλοιπο της ενότητας θα ασχοληθούμε με την απόδειξη του εξής ισοδύναμου, όπως θα δούμε, αποτελέσματος, το οποίο μας λέει ότι αρκεί να εξετάσουμε την περίπτωση A = I. Θεώρημα Εστω d > 1 και v 1,..., v m R n ώστε I = m v j vj T. Τότε, υπάρχουν μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί {s j } 1 j m, με {j : s j ώστε ( ) 2 m d + 1 I s j v j vj T I. d 1 0} dn, Το επιχείρημα που ακολουθεί μας επιτρέπει να αποδείξουμε το Θεώρημα από το Θεώρημα Απόδειξη. Θεωρούμε έναν πίνακα A τάξης n, ο οποίος είναι της μορφής A = m w j wj T.

15 3.1 Φασματικη αραιοποιηση 11 Θέτουμε v j = A 1/2 w j και παρατηρούμε ότι m m v j vj T = A 1/2 w j wj T A 1/2 = I. Για d = 1 ɛ 2, εφαρμόζοντας το Θεώρημα βλέπουμε ότι υπάρχουν αριθμοί {s j 0} 1 j m, από τους οποίους το πολύ n ɛ 2 είναι μη μηδενικοί, ώστε m I s j v j vj T ( d + 1 d 1 ) 2 I = ( ) ɛ I. 1 ɛ Ορίζοντας λοιπόν Ã = (1 ɛ)2 m s jw j w T j έχουμε ότι και άρα το συμπέρασμα. I (1 ɛ) 2 A 1/2 ÃA 1/2 ( ) ɛ I, 1 ɛ 3.1αʹ Διαισθητική περιγραφή της μεθόδου Είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα A + vv T διαπλέκονται με τις ιδιοτιμές του A. Για να το δούμε αυτό, χρησιμοποιούμε το Λήμμα για να υπολογίσουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A + vv T : έχουμε ( ) n (3.1.2) χ[a + vv T ](x) = det(xi A vv T v, u i 2 ) = χ[a](x) 1, x λ i όπου λ i είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα A και u i τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Το πολυώνυμο χ[a + vv T ](x) έχει ρίζες λ δύο ειδών: (i) Εκείνες για τις οποίες ισχύει ταυτόχρονα χ[a](λ) = 0. Αυτό συμβαίνει για εκείνες τις ιδιοτιμές λ i του A που τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματά τους u i είναι κάθετα στο v. (ii) Εκείνες για τις οποίες χ[a](λ) 0 και (3.1.3) f(λ) = 1 n v, u i 2 λ λ i = 0. Αυτά τα λ είναι οι ιδιοτιμές οι οποίες έχουν μετακινηθεί και έχουν βρεθεί σε θέσεις ανάμεσα στις σταθερές ιδιοτιμές της περίπτωσης (i), χωρίς να αλλάξει συνολικά η αντιστοιχία στη διάταξη μεταξύ παλιών και νέων ιδιοτιμών. Πράγματι, υποθέτουμε

16 12 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα προς άτοπο ότι για κάποιο s υπάρχουν λ s, λ s+1 σταθερές ιδιοτιμές της περίπτωσης (i) ώστε στο διάστημα (λ s, λ s+1 ) να υπάρχουν δύο λύσεις x 1 < x 2 της (3.1.3). Τότε προκύπτει ότι Ισοδύναμα, έχουμε n v, u i 2 x 1 λ i = n v, u i 2 x 2 λ i. n v, u i 2 x 2 x 1 (x 1 λ i )(x 2 λ i ) = 0, το οποίο οδηγεί σε άτοπο αφού σε κάθε όρο του αθροίσματος η ποσότητα (x 1 λ i )(x 2 λ i ) παραμένει θετική. Στη συνέχεια, ο Srivastava δίνει ένα φυσικό μοντέλο που εξηγεί την (3.1.3). Στο μοντέλο αυτό οφείλεται το όνομα της μεθόδου των εμποδίων. Κάνουμε μια απόπειρα να το περιγράψουμε. Για περισσότερες λεπτομέριες παραπέμπουμε στα [52] και [46, σελ. 7]. Φανταστείτε ένα κεκλιμένο επίπεδο, του οποίου την ευθεία κλίσης ταυτίζουμε με τους πραγματικούς αριθμούς. Στις θέσεις όπου βρίσκονται οι ιδιοτιμές του πίνακα A, τοποθετούμε εγκάρσια, αφόρτιστα αρχικά, εμπόδια. Θεωρούμε τώρα n αρνητικά φορτισμένα σωματίδια ίσης μάζας τα οποία ισορροπούν στις θέσεις λ j, j = 1,..., n που ορίζουν τα εμπόδια, λόγω της επίδρασης της βαρύτητας. Η πρόσθεση του τάξης 1 πίνακα vv T στον A, αντιστοιχεί στο να φορτίσουμε με αρνητικό φορτίο μεγέθους v, u j 2 τα εμπόδια στις θέσεις λ j. Υ- ποθέτουμε ότι κάθε φορτίο στα εμπόδια απωθεί το αντίστοιχο φορτίο του σωματιδίου με δύναμη ανάλογη με το φορτίο του εμποδίου και αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης του σωματιδίου από το εμπόδιο. Δηλαδή η δύναμη που δέχεται το σωματίδιο j από το εμπόδιο λ j είναι ίση με v, u j 2, λ λ j με θετική φορά την διεύθυνση προς τα πάνω, κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Επομένως, τα σωματίδια στα οποία αντιστοιχεί θετικό φορτίο στο εμπόδιο, μετακινούνται προς τα πάνω μέχρι να φτάσουν στο σημείο ισορροπίας τους, το οποίο δίνεται από τη συνισταμένη των απωστικών δυνάμεων από τα εμπόδια και της δύναμης της βαρύτητας που δέχονται τα σωματίδια. Τα σημεία ισορροπίας των σωματιδίων που μετακινήθηκαν, προσδιορίζονται από τις λύσεις της εξίσωσης (3.1.3) και αντιστοιχούν στις νέες ιδιοτιμές. Με το παραπάνω μοντέλο στο νου μας, υπολογίζουμε το αναμενόμενο φορτίο που συνεισφέρει ένα τυχαία επιλεγμένο διάνυσμα v {v i } m στο εμπόδιο λ j ή πιο ορθά τη μέση τιμή του τετραγώνου της προβολής του τυχαίου v στο ιδιοδιάνυμα u j. Εχουμε: ( E v v, u j 2 = 1 m v i, u j 2 = 1 m ) m m ut j v i vi T u j = u j 2 2 m = 1 m.

17 3.1 Φασματικη αραιοποιηση 13 Φυσικά, δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει v στο σύνολο των διανυσμάτων μας που να υλοποιεί την αναμενόμενη συμπεριφορά, ωστόσο αν υπήρχε, αυτό θα σήμαινε τη σταθερή μετακίνηση προς τα εμπρός όλων των εμποδίων σε κάθε βήμα. Στην πραγματικότητα, μπορούμε να περιμένουμε ότι ύστερα από αρκετά μεγάλο πλήθος επαναλήψεων της παραπάνω διαδικασίας όλες οι ιδιοτιμές θα μετακινούνται προς τα εμπρός, χωρίς καμία να βρίσκεται πολύ μπροστά, ή πολύ πίσω, δηλαδή ο λόγος λmax λ min θα παραμένει φραγμένος. Η παραπάνω διαίσθηση πράγματι επαληθεύεται. Από τη σχέση (3.1.2) και το γεγονός ότι χ[a] (x) = n j i (x λ j), για το διάνυσμα v avg = 1 n m u j με ίσες προβολές στα u j έχουμε χ[a + v avg v T avg](x) = χ[a](x) ( 1 ) n 1/m = χ[a](x) 1 x λ i m χ[a] (x). Αν ξεκινήσουμε με A = 0, δηλαδή με χ 0 (x) = x n, μετά από k επαναλήψεις παίρνουμε το πολυώνυμο χ k (x) = (I 1/mD) k x n, όπου D ο τελεστής παραγώγισης ώς προς x. Δημιουργούμε έτσι μια γνωστή ορθογώνια οικογένεια πολυωνύμων, τα πολυώνυμα Laguerre.([19]). Τα πολυώνυμα αυτά έχουν μελετηθεί αρκετά και η θέση των ριζών τους είναι γνωστη. Ειδικότερα, μετά από k = dn επαναλήψεις, ο λόγος της μεγαλύτερης ρίζας προς τη μικρότερη τείνει στην τιμή ( d + 1 d 1 ) 2, καθώς n, που είναι ακριβώς το ζητούμενο φράγμα. Για να αποδείξουμε το Θεώρημα θα δείξουμε ότι μπορούμε να διαλέξουμε μια πεπερασμένη ακολουθία διανυσμάτων v i με κατάλληλα βάρη s i στο καθένα, ώστε να υλοποιούν την αναμενόμενη συμπεριφορά που περιγράφηκε παραπάνω. Θα ελέγχουμε τις ιδιοτιμές του νέου πίνακα που προκύπτει σε κάθε βήμα, διατηρώντας μόνο δύο από τα αρχικά εμπόδια, το πρώτο και το τελευταίο, και κρατώντας τις ιδιοτιμές ανάμεσά τους. Το κάτω εμπόδιο θα απωθεί τις ιδιοτιμές, σπρώχνοντάς τες προς τα εμπρός, ενώ το άνω εμπόδιο θα τις συγκρατεί ώστε να μην φύγουν πολυ μακρυά. Σε κάθε βήμα, και τα δύο εμπόδια θα μετακινούνται προς τα εμπρός, με σταθερό ρυθμό. Κρατώντας φραγμένη την «ολική απώθηση»(δυναμικό) σε κάθε βήμα, θα δείξουμε ότι υπάρχει κατάλληλο διάνυσμα και κατάλληλο βάρος για αυτό, ώστε ο τάξης 1 πίνακας που δημιουργεί, προστιθέμενος στον πίνακα του προηγούμενου βήματος, να επιτρέπει να συνεχιστεί η διαδικασία. Η διαδικασία θα τελειώσει όταν πετύχουμε το κατάλληλο φράγμα για το δυναμικό.

18 14 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα 3.1βʹ Απόδειξη του Θεωρήματος Εστω u, l R και έστω A ένας συμμετρικός n n πίνακας με ιδιοτιμές λ 1,..., λ n. Ξεκινάμε ορίζοντας τις εξής ποσότητες: Ορισμός (άνω δυναμικό). Ορισμός (κάτω δυναμικό). Φ u (A) := Tr(uI A) 1 = Φ l (A) := Tr(A li) 1 = n n 1 u λ i. 1 λ i l. Παρατήρηση Οι δύο αυτές συναρτήσεις μετράνε πόσο μακρυά βρίσκονται οι ιδιοτιμές λ 1,..., λ n από τις θέσεις των εμποδίων u και l. Οταν, λόγου χάρη, μια ιδιοτιμή λ k πλησιάζει το u, το Φ u (A) εκρήγνυται αφού ο πίνακας ui A τείνει να γίνει ιδιάζων. Παρατήρηση Εχουμε li A ui l < λ min (A) λ max (A) < u. Με βάση την προηγούμενη παρατήρηση αρκεί να δείξουμε ότι: ( ) 2 λ max (Ã) d + 1 λ min (Ã), d 1 όπου Ã = m s jv j vj T. Για να δείξουμε το ζητούμενο θα ακολουθήσουμε την εξής επαναληπτική διαδικασία: θα κατασκευάσουμε τον πίνακα Ã προσθέτοντας έναν όρο της μορφής v j vj T σε κάθε βήμα και προσδιορίζοντας το κατάλληλο βάρος s j. Πιο συγκεκριμένα, έστω u 0, δ U, δ L, ɛ U και ɛ L θετικές σταθερές και l 0 < 0 (θα επιλεγούν στη συνέχεια) για τις οποίες ικανοποιούνται τα ακόλουθα: (i) Αρχικά A (0) = 0, τα εμπόδια βρίσκονται στις θέσεις u = u 0, l = l 0 και τα δυναμικά έχουν τις τιμές Φ u0 (A (0) ) = ɛ U και Φ l0 (A (0) ) = ɛ L. (ii) Κάθε πίνακας A (q+1) προκύπτει από τον προηγούμενο A (q) θέτοντας A (q+1) = A (q) + svv T για κατάλληλο s > 0 και v {v j : j = 1,..., m}. (iii) Για κάθε βήμα q = 0, 1,..., Q, όπου Q = dn, Φ u+δ U (A (q+1) ) Φ u (A (q) ) ɛ U

19 3.1 Φασματικη αραιοποιηση 15 και Φ l+δl (A (q+1) ) Φ l (A (q) ) ɛ L, δηλαδή αν μετακινήσουμε τα εμπόδια κατά δ U και δ L, τα αντίστοιχα δυναμικά Φ u (A (q) ) και Φ l (A (q) ) δεν αυξάνονται στο επόμενο βήμα. (iv) Καμία ιδιοτιμή δεν ξεπερνά ποτέ κανένα εμπόδιο, δηλαδή για κάθε q = 0, 1,, Q: l 0 + qδ L < λ min (A (q) ) λ max (A (q) ) < u 0 + qδ U. Για να τελειώσει η απόδειξη, μένει να επιλεγούν τα u 0, v 0, δ U, δ L, ɛ U και ɛ L έτσι ώστε μετά από Q = dn βήματα να ισχύει: (3.1.4) λ max (A (Q) ) λ min (A (Q) ) u 0 + dnδ U l 0 + dnδ L ( d + 1 d 1 ) 2. Η μεγαλύτερη τεχνική δυσκολία της απόδειξης έγκειται στο να ικανοποιούνται τα (ii) και (iii) ταυτόχρονα, δηλαδή να είναι πάντα δυνατή η επιλογή ενός πίνακα vv T που μπορεί να προστεθεί στον εκάστοτε πίνακα A ώστε να μπορούμε να προωθήσουμε και τα δύο εμπόδια με σταθερό ρυθμό σε κάθε βήμα, χωρίς να αυξάνονται τα αντίστοιχα δυναμικά. Η δυσκολία αυτή γίνεται εφικτό να ξεπεραστεί με τα ακόλουθα τρία λήμματα. Λήμμα (προώθηση άνω εμποδίου). Εστω ότι λ max (A) u και έστω v τυχόν διάνυσμα. Αν (3.1.5) U A (v) := vt ((u + δ U )I A) 2 v Φ u (A) Φ u+δ U (A) τότε και Φ u+δ U (A + tvv T ) Φ u (A) λ max (A + tvv T ) < u + δ U. + v T ((u + δ U )I A) 1 v 1 t Δηλαδή, αν προσθέσουμε t φορές τον πίνακα vv T στον A και μετακινήσουμε το άνω εμπόδιο κατά δ U, τότε το άνω δυναμικό δεν αυξάνεται.

20 16 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα Απόδειξη. Εστω u = u + δ U. Από την Πρόταση έχουμε: (3.1.6) Φ u+δ U (A + tvv T ) = Tr(u I A tvv T ) 1 = Tr ((u I A) 1 + t(u I A) 1 vv T (u I A) 1 ) 1 tv T (u I A) 1 v = Tr((u I A) 1 ) + ttr(vt (u I A) 1 (u I A) 1 v) 1 tv T (u I A) 1 v = Tr((u I A) 1 ) + tvt (u I A) 2 v 1 tv T (u I A) 1 v = Φ u+δ U (A) + tvt (u I A) 2 v 1 tv T (u I A) 1 v = Φ u (A) (Φ u (A) Φ u+δ U (A)) + v T (u I A) 2 v 1/t v T (u I A) 1 v, όπου για τις παραπάνω ισότητες χρησιμοποιούμε τη γραμμικότητα του ίχνους, το γεγονός ότι Tr(AB) = Tr(BA), το ότι ο πίνακας (u I A) 2 είναι συμμετρικός και τέλος τους ορισμούς του εξωτερικού γινομένου και του άνω δυναμικού. Παρατηρούμε τώρα ότι λόγω της υπόθεσης έχουμε: 1 t vt (u I A) 1 v > 0, επομένως η (3.1.5) γράφεται ισοδύναμα στη μορφή δηλαδή Τότε, η (3.1.6) μας δίνει Η παραπάνω σχέση δίνει επιπλέον ότι v T (u I A) 2 v Φ u (A) Φ u+δ U (A) 1 t vt (u I A) 1 v, v T (u I A) 2 v 1/t v T (u I A) 1 v (Φu (A) Φ u+δ U (A)) 0. Φ u+δ U (A + tvv T ) Φ u (A). λ max (A + tvv T ) < u + δ U, γιατί σε διαφορετική περίπτωση θα υπήρχε t t ώστε λ max (A+t vv T ) = u+δ U (λόγω της μονοτονίας και της συνέχειας της συνάρτησης λ max (A + tvv T ) ως προς t, από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής). Ομως για ένα τέτοιο t η Φ u+δ U (A + t vv T ) εκρήγνυται, ενώ το t ικανοποιεί την (3.1.5) και ο προηγούμενος υπολογισμός δείχνει ότι θα έπρεπε να ισχύει η Φ u+δ U (A + t vv T ) Φ u (A).

21 3.1 Φασματικη αραιοποιηση 17 Το δεύτερο λήμμα αφορά τη μετακίνηση του κάτω εμποδίου. Μετακινώντας το l στη θέση l+δ L και κρατώντας τον πίνακα Α σταθερό, το κάτω δυναμικό Φ l (A) αυξάνεται καθώς το εμπόδιο l πλησιάζει τις ιδιοτιμές του A. Ετσι, προσθέτοντας στον A έναν πίνακα της μορφής tvv T οι ιδιοτιμές του A + vv T μετακινούνται μπροστά και μακρυά από το εμπόδιο, με αποτέλεσμα το δυναμικό να μειώνεται. Παρακάτω υπολογίζεται η τιμή του t έτσι ώστε μετά τη μετακίνηση του εμποδίου στη νέα του θέση, το νέο δυναμικό Φ l+δl (A + tvv T ) να μην έχει αυξηθεί. Λήμμα (προώθηση κάτω εμποδίου). Εστω ότι λ min (A) l, Φ l (A) < 1 δ L v R n τυχόν διάνυσμα. Αν τότε L A (v) := vt (A (l + δ L )I) 2 v Φ l+δl (A) Φ l (A) (3.1.7) Φ l+δl (A + tvv T ) Φ l (A) και v T (A (l + δ L )I) 1 v 1 t > 0, λ min (A + tvv T ) > l + δ L. και έστω Δηλαδή, αν προσθέσουμε t φορές τον πίνακα vv T στον A και μετακινήσουμε το κάτω εμπόδιο κατά δ L, τότε το κάτω δυναμικό δεν αυξάνεται. Απόδειξη. Αρχικά παρατηρούμε ότι από τις υποθέσεις του λήμματος ισχύει Άρα, για κάθε t > 0, λ min (A) > l + δ L. λ min (A + tvv T ) > l + δ L. Για την απόδειξη της (3.1.7) δουλεύουμε όπως στο προηγούμενο λήμμα. Θέτουμε l = l + δ L. Εχουμε Φ l+δl (A + tvv T ) = Tr(A + tvv T l I) 1 = Tr ((A l I) 1 t(a l I) 1 vv T (A l I) 1 ) 1 + tv T (A l I) 1 v = Tr(A l I) 1 ttr(vt (A l I) 1 (A l I) 1 v) 1 + tv T (A l I) 1 v = Φ l+δl (A) tvt (A l I) 2 v 1 + tv T (A l I) 1 v = Φ l (A) + (Φ l+δl (A) Φ l (A)) v T (A l I) 2 v 1/t + v T (A l I) 1 v

22 18 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα Αναδιατάσσοντας την ανισότητα L A (v) 1 t πριν. της υπόθεσης έχουμε το συμπέρασμα όπως Το τρίτο λήμμα προσδιορίζει τις συνθήκες εκείνες κάτω από τις οποίες μπορούμε να βρούμε κατάλληλο πίνακα tvv T ώστε και τα δύο δυναμικά να διατηρούνται φραγμένα καθώς μετακινούνται τα εμπόδια, ώστε να μπορούμε να συνεχίσουμε την διαδικασία. Η απόδειξη βασίζεται σε ένα επιχείρημα μέσης τιμής. Λήμμα Αν τα λ max (A) < u, λ min (A) > l, Φ u (A) ɛ U, Φ l (A) ɛ L ɛ U, ɛ L, δ U, δ L ικανοποιούν τη σχέση (3.1.8) 0 1 δ U + ɛ U 1 δ L ɛ L, τότε υπάρχουν i [m] και t > 0 για τα οποία και L A (v j ) 1 t U A(v j ), λ max (A + tv j v T j ) < u + δ U και λ min (A + tv j v T j ) l + δ L. Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι m m L A (v j ) U A (v j ), απ όπου παίρνουμε το ζητούμενο χρησιμοποιώντας τα Λήμματα και Ξεκινάμε φράσσοντας το m U A(v j ). Εχουμε m m U A (v j ) = vt j ((u + δ U )I A) 2 v j m Φ u (A) Φ u+δ + v T U (A) j ((u + δ U )I A) 1 v j = ((u + δ U )I A) 2 ( m v jv T j ) Φ u (A) Φ u+δ U (A) = Tr ( ((u + δ U )I A) 2) Φ u (A) Φ u+δ + Tr ( ((u + δ U U )I A) 1) (A) = = n n 1 u λ i 1 (u+δ U λ i) 2 m + ((u + δ U )I A) 1 v j vj T + Φ u+δ U (A) n 1 u+δ U λ i n (u + δ U λ i ) 2 n δ U (u λ i) 1 (u + δ U λ i ) + 1 Φu+δ U (A) 1 δ U + Φ u+δ U (A) 1 δ U + Φ u (A) 1 δ U + ɛ U,

23 3.1 Φασματικη αραιοποιηση 19 όπου: για την δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήθηκαν οι σχέσεις m v jv T j = I και X I = Tr(X), όπου X τυχών πίνακας, και για την πρώτη ανισότητα η n (u + δ U λ i ) 2 n (u λ i ) 1 (u + δ U λ i ) 1. Για να φράξουμε το m L A(v j ) θα χρειαστεί ο ακόλουθος ισχυρισμός: Ισχυρισμός Αν λ 1 > l για κάθε i = 1,..., n, αν 0 n (u λ i) 1 ɛ L 1 και δ L ɛ L 0, τότε n (λ i l δ L ) 2 n n (λ i l δ L ) 1 n (λ i l) (λ 1 i l δ L ) 1 1 n (λ i l) 1. δ L Απόδειξη. Εχουμε για κάθε i = 1,..., n, άρα δ L 1 ɛ L λ i l n (λ i l δ L ) 1 n (λ i l) 1 0. Η ανισότητα του ισχυρισμού είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη: ( n n ) n (λ i l δ L ) 2 (λ i l δ L ) 1 (λ i l) 1 Ισοδύναμα n δ L ( ) 1 n n + (λ i l δ L ) 1 (λ i l) 1 δ L ( ) n 1 = δ L (λ i l δ L )(λ i l) ( ) 1 n 1 + δ L δ L (λ i l δ L )(λ i l) ( ) n 1 n 2 = (λ i l δ L )(λ i l) + 1 δ L. (λ i l δ L )(λ i l) ( 1 (λ i l δ L ) 2 (λ i l) δ L n ) 2 1. (λ i l δ L )(λ i l)

24 20 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ( n δ L ) 2 ( 1 = δ L (λ i l δ L )(λ i l) ( n n δ L (δ L ɛ L ) δ L n ) 2 1 (λ i l δ L ) λ i l λ i l ) ( n (λ i l) 1 1 ( n δ L δ L 1 (λ i l δ L ) 2 (λ i l) 1 (λ i l δ L ) 2 (λ i l), (λ i l δ L ) 2 (λ i l) ) όπου η δεύτερη ανισότητα ισχύει διότι n (λ i l) 1 ɛ L, και η τελευταία λόγω της σχέσης 1 δ L ɛ L 0. Η απόδειξη του ισχυρισμού είναι πλήρης. Μένει να δειχθεί ότι m L A (v j ) 1 δ L ɛ L, οπότε από την (3.1.8) έχουμε το λήμμα. Πράγματι, m m L A (v j ) = vt j (A (l + δ L)I) 2 v j m vj T (A (l + δ L )I) 1 v j Φ l+δl (A) Φ l (A) = Tr ( (A (l + δ L )I) 2) Tr ( (A (l + δ L )I) 1) Φ l+δl (A) Φ l (A) n = (λ i l δ L ) 2 n n (λ i l δ L ) 1 n (λ i l) (λ 1 i l δ L ) 1 1 n (λ i l) 1 1 ɛ L δ L δ L Ετσι, έχουμε αποδείξει το Λήμμα Απόδειξη του Θεωρήματος Επιλέγουμε δ U = d+1 d 1, δ L = 1, ɛ U = d 1 d+d, ɛ L = 1 d, u 0 = n ɛ U και l 0 = n ɛ L. Με αυτήν την επιλογή έχουμε 1 d 1 d 1 + ɛ U = + = 1 1 = 1 ɛ L. δ U d + 1 d( d + 1) d δ L )

25 3.2 Περιορισμενη Αντιστρεψιμοτητα 21 Τα αρχικά δυναμικά είναι: και ( Φ n ((n/ɛu ɛ U (0) = Tr )I ) ) 1 = ɛ U Φ n ɛ L (0) = ɛ L. Επιπλέον, λ max (0) = 0 και λ min (0) = 0. Άρα, οι υποθέσεις του Λήμματος ικανοποιούνται τετριμμένα, οπότε βρίσκουμε τα ζητούμενα v 1 και s 1. Υποθέτοντας τώρα ότι έχει κατασκευασθεί ο A (q), βρίσκουμε τον A (q+1) διαλέγοντας v j έτσι ώστε L A (q)(v j ) U A (q)(v j ), και θέτοντας για κάποιον t > 0 ο οποίος ικανοποιεί την Τέλος, από τη σχέση (3.1.4) έχουμε: λ max (A (dn) ) λ min (A (dn) ) A (q+1) = A (q) + tv j v T j L A (q)(v j ) 1 t U A (q)(v j). d+ d d 1 + d d+d d 1 d d = d(d + 2 d + 1) d( d 1) Περιορισμένη Αντιστρεψιμότητα = ( d + 1 d 1 ) αʹ Το Πρόβλημα Αφετηρία μας είναι το επόμενο θεώρημα των Bourgain και Tzafriri. Θεώρημα (Bourgain-Tzafriri). Υπάρχουν απόλυτες σταθερές c, d > 0 ώστε αν B είναι ένας n n πίνακας με στήλες μοναδιαίου μήκους, τότε υπάρχει S [n] με πλήθος στοιχείων S ώστε να ισχύει σ min (B S ) d, όπου B S είναι ο n S πίνακας που cn B 2 2 προκύπτει αν επιλέξουμε τις στήλες του B από το σύνολο δεικτών S, και σ min (B S ) είναι η ελάχιστη ιδιάζουσα τιμή του B S. Ο Vershynin γενίκευσε αυτό το αποτέλεσμα προκειμένου να μελετήσει τα σημεία επαφής ενός κυρτού σώματος με το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του, μέσω της αναπαράστασης του John για την ταυτοτική απεικόνιση (βλέπε Κεφάλαιο 4). Ο Vershynin απέδειξε ότι, για κάθε αναπαράσταση της μορφής m I = v j vj T

26 22 Φασματικη αραιοποιηση και περιορισμενη αντιστρεψιμοτητα και για κάθε γραμμικό τελεστή L : l n 2 l n 2, υπάρχει κάποιο σύνολο S [m] ώστε ο L να είναι αντιστρέψιμος στον υπόχωρο που παράγεται από το {v j : j S}. Επιπλέον, το πλήθος των στοιχείων του S είναι τουλαχιστον ίσο με την ποσότητα L 2 HS, η οποία L 2 2 ονομάζεται ευσταθής δείκτης του L και έχει την εξής φυσική ερμηνεία: είναι το πλήθος των διευθύνσεων τις οποίες ο τελεστής L διατηρεί ή διαστέλλει. Θεώρημα (Vershynin, Spielman-Srivastava). Εστω v 1,..., v m διανύσματα στήλες στον R n ώστε m I = v j vj T, και έστω ɛ (0, 1). Εστω ακόμα L : l n 2 l n 2 γραμμικός τελεστής. Υπάρχει S [m] μεγέθους S ɛ 2 L 2 HS L 2 2 ώστε το σύνολο {Lv j : j S} να είναι γραμμικά ανεξάρτητο, και λ min j S(Lv j )(Lv j ) T > (1 ɛ) 2 L 2 HS m, όπου η ιδιοτιμή λ min υπολογίζεται στον υπόχωρο Lv j : j S. Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι το Θεώρημα προκύπτει από το Θεώρημα με σταθερές c(ε) = ε 2 και d(ε) = (1 ε) 2, αν θεωρήσουμε την αναπαράσταση I = n e je T j, όπου {e j : j = 1,..., n} είναι η συνήθης ορθοκανονική βάση του R n, και υποθέσουμε ότι ο τελεστής L ικανοποιεί την Le j 2 = 1 για κάθε j = 1,..., n. 3.2βʹ Απόδειξη του Θεωρήματος Η απόδειξη των Spielman και Srivastava που παρουσιάζουμε εδώ, είναι αρκετά σύντομη, βασίζεται σε στοιχειώδη γραμμική άλγεβρα και πετυχαίνει πολύ καλύτερες σταθερές από αυτήν του Vershynin. Ταυτόχρονα, δίνει και έναν ντετερμινιστικό αλγόριθμο για την εύρεση του συνόλου S. Για την απόδειξη κατασκευάζουμε επαγωγικά μια συνάρτηση δυναμικού (εμπόδιο), παρόμοια με αυτήν της απόδειξης του αποτελέσματος της προηγούμενης ενότητας, με τις εξής όμως διαφορές: Εδώ χρησιμοποιούμε μόνο ένα εμπόδιο, αντί για δύο, μιας και αναζητείται μόνο κάτω φράγμα για τις ιδιοτιμές που συνεισφέρει κάθε καινούριο στοιχείο του συνόλου S. Η επιπλέον ελευθερία που προκύπτει από το γεγονός ότι έχουμε μόνο ένα εμπόδιο, μας επιτρέπει να διασφαλίσουμε ότι τα βάρη (στην απόδειξη) είναι είτε 0 ή 1, χαρακτηρίζοντας με αυτήν την έννοια το σύνολο των διανυσμάτων στηλών που επιλέγονται.

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 5: Κανονικοί Πίνακες Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση SVD Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Α Β Δ J 1 =A+Γ και J 3 = Β Γ Ε Δ Ε Ζ d + c x + a + b y ac+ bd x y = R A έχουμε: 1 1 1 1 Για την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) A, B,, 0, E 0, Z A = c + d = ac+ bd Γ= a + b Δ= =

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 3: Παραγοντοποίηση QR Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1 Μέθοδοι ελαχιστοποίησης

1 Μέθοδοι ελαχιστοποίησης 1 Μέθοδοι ελαχιστοποίησης Θεωρούμε το n n πραγματικό σύστημα (1.1) Ax = b, με A ένα συμμετρικό και θετικά ορισμένο πίνακα και b R n. Ορίζουμε το συναρτησιακό ϕ : R n R (1.2) ϕ(x) = 1 (Ax, x) (b, x), 2

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 0 Σημειώσεις 7-0- Μ. Ζαζάνης Arq thc Majhati c Epagwg c Θα συμβολίζουμε το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, {,,,...} με το σύμβολο N. Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 6: Διαταραχές Ιδιοτιμών και Ψευδοφάσμα Πίνακα Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n! Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα