Normálové rezy a geodetická čiara na referenčnom elipsoide

Transcript

1 0 Normálové rezy geodetická čir n referenčnom elipsoide Medzi dvom odmi n referenčnom elipsoide P P s rôznymi geodetickými šírkmi dĺžkmi existujú dv normálové rezy (or 9) Or 9 Normálové rezy n elipsoide medzi dvom odmi Normál n k elipsoidu v ode P pretne jeho mlú os v ode V, normál n v ode P v ode V ovin určená odmi P V P oshuje ted normálu n Je to normálová rovin v ode P, ktorá prechádz odom P Táto rovin pretín rotčný (referenčný) elipsoid v primom normálovom reze s Normálová rovin, oshujúc normálu n od P preto pretne elipsoid v spätnom normálovom reze s Primy spätný normálový rez sú vzájomné normálové rezy (or9) Vzájomné normálové rezy splynú v jedinú čiru, k leži ody P P n rovnkom poludníku leo n rovnkej rovnoežke Geodetická čir - njkrtši spojnic dvoch odov n ploche - je tká čir, ktorej hlvná normál je v kždom ode totožná s normálou plochy Jej geodetická krivosť (krivosť prvouhlého priemetu dĺžkového elementu geodetickej čiry n dotykovú rovinu plochy vo zvolenom ode) je rovná nule Z tejto definície geodetickej čiry je zrejmé, že normálové rezy nie sú geodetickými čirmi n elipsoide, pretože táto definíci pltí len pre východiskové ody Or0 Geodetická čir normálové rezy Medzi dvom odmi n elipsoide existujú vo všeoecnosti dv normálové rezy, le len jedn geodetická čir s (or 0) iešenie geodetických trojuholníkov n rotčnom elipsoide (or ), ude jednoznčné len vtedy, k spojíme ich vrcholy geodetickými čirmi, pretože si tre uvedomiť, že zámerné roviny pri merní teodolitom pretínjú elipsoid v normálových rezoch ted merné uhly zimuty s vzťhujú k normálovým rezom Preto s tieto uhly zimuty redukujú z normálových rezov n geodetické čiry N guli je geodetickou čirou hlvná kružnic tzv ortodróm, v rovine je to primk 7

2 Vlstnosti geodetickej čiry Or Elipsoidický trojuholník Pre geodetickú čiru n ľuovoľnej rotčnej ploche pltí Clirotová vet: Pre kždý od určitej geodetickej čiry je súčin príslušného polomeru rovnoežky (or 6) sínusu zimutu hodnot konštntná ( r α N ϕ α konst k (79) i i i i i Geodetická čir pretín poludníky pod dvom zimutmi, ktoré k sú rovnké, jeden merime od severnej vetvy, druhý od južnej vetvy poludník (or ) Or Azimuty geodetickej čiry Geodetická čir, ktorá spáj ody P P všeoecne preieh medzi oidvom normálovými rezmi s s (or 0) Uhol ν medzi primym normálovým rezom s geodetickou čirou je prkticky rovnký ko uhol medzi spätným normálovým rezom s geodetickou čirou rovná s tretine uhl ω medzi oidvom normálovými rezmi: ν ω (80) Vo zvláštnych prípdoch, keď sú oidv koncové ody n rovnkej rovnoežke, normálové rezy splynú do jedného rezu, všk geodetická čir preieh mimo nich Prieeh čir v oecnom sférickom trojuholníku A, B, C je schémticky znázornený n or Tenšími čirmi sú vykreslené normálové rezy, hrušími čirmi geodetické čiry medzi vrcholmi sférického trojuholník 4 eferenčná guľ iešenie geodetických krtogrfických úloh si môžeme podsttne zjednodušiť tým, že s čsť plochy referenčného elipsoidu nhrdí guľou, tzv referenčnou guľou Njčstejšie s nhrdzuje plochou gule so stredným polomerom krivosti MN Npríkld pre ývlé územie Československ s čsto používl guľ o polomere, ktorý s rovná strednému polomeru krivosti pre 8

3 strednú zemepisnú šírku ϕ m 55 g (49 0 ) Pri riešení elipsoidických trojuholníkov má guľ náhrdný polomer rovný strednému polomeru krivosti elipsoidu pre ťžisko trojuholník N rozdiel od elipsoidu má guľ konštntnú krivosť všetky jej normály s pretínjú v strede gule Normálové roviny prechádzjú stredom gule pretínjú ju v hlvných kružnicich o polomere Olúk, ktorý spáj dv ody n guli (njkrtši spojnic - geodetická čir) je ortodróm Dĺžk ortodrómy s s vyjdruje pomocou stredového uhl (s / ) ρ, kde ρ je rdián, uhlu cc (") prislúch dĺžk si m Loxodróm je krivk, ktorá pretín poludníky pod konštntným zimutom Olúky hlvných kružníc (ortodróm), ktoré spájjú tri ody n guli vytvárjú sférický trojuholník Súrdnicovým systémom n referenčných guľových plochách je sústv sférických zemepisných súrdníc (or ) S G (ϕ, λ, V), kde S G je stred referenčnej gule, ϕ je sférická zemepisná šírk, λ je sférická zemepisná dĺžk, V je sférická výšk 4 Sférický exces Or Sférické súrdnice Súčet vnútorných uhlov sférického trojuholník je vždy väčší ko 00 g (80 ) o hodnotu, ktorú nzývme sférický exces oznčujeme ε Hodnot excesu závisí n veľkosti trojuholník doshuje cc (") v trojuholníku so strnmi priližne 0 km (v trojuholníku so strnmi km je sférický exces 0,0 cc ) ε A + B + C - 00, (8) kde A, B C sú merné uhly N referenčnej guli s polomerom vypočítme sférický exces zo vzťhu ε cc cc P ρ, (8) kde P je ploch trojuholník ovnicu (8) dokážeme tkto: N or4 je znázornený sférický, trojuholník s vrcholmi Q A, Q B, Q C dĺžkovo vyjdrenými strnmi,, c tk, že strn c leží v rovine ppier Plochu 9

4 tohoto trojuholník oznčme P Z orázku sú zrejmé ďlšie tri sférické trojuholníky: Q A Q B Q C s plochou P, Q A Q B Q C s plochou P, Q B Q A Q C s plochou P, ktoré s s trojuholníkom Q A,Q B,Q C doplňjú n tri sférické dvojuholníky s uhlmi A, B C Ploch celej gule P G 4π Plochy jednotlivých dvojuholníkov (pre uhly vyjdrené v gonoch) udú Or 4 Sférický trojuholník P P P A B C 4π P + P 400 P + P P + P 4π 400 4π 400 A B g g C,, g Po spočítní týchto rovníc dostneme P + (P + P + P + P ) π 00 ( A + B + C) (8) Súčet plôch trojuholníkov v zátvorke n ľvej strne rovnice (8) dáv plochu pologule π tkže môžeme písť: P + π π 00 Po úprve dostneme P π 00 ( A + B + C) ε 4448 ( A + B + C 00) (84) Výrz v zátvorke je sférický exces, tkže ho môžeme vyjdriť: ε 00 P π Pretože 00/π ρ (rdián) npíšeme výsledný vzorec v tvre 0

5 P ε ρ, (85) k dosdíme rdián v grádových sekundách ρ cc 6660 cc pltí rovnic (8) 4 iešenie elipsoidických sférických trojuholníkov Pri ežných tringulčných prácch súvisicich s riešením elipsoidických trojuholníkov (s < 60 km) povžujeme tieto trojuholníky z sférické n referenčnej guli s polomerom rovným strednému polomeru krivosti MN pre strednú zemepisnú šírku ϕ ( ϕ QA + ϕ QB + ϕ QC ) Všeoecné vzorce sférickej trigonometrie nie sú z prktického hľdisk vhodné pre riešenie týchto trojuholníkov (strny sú vyjdrené v uhlovej miere sú veľmi mlé vzhľdom k polomeru gule; výpočty je potrené vykonávť s veľkým počtom destinných miest), preto s sférické trojuholníky rieši zvláštnymi metódmi: excesovou dimentovou metódou Excesová metód je zložená n Legendreovej vete: Sférický trojuholník môžeme v geodézii riešiť ko rovinný s rovnkými strnmi, k zmenšíme kždý jeho uhol o tretinu excesu Ak je npr dná strn sférického trojuholník, or 4, vypočítme jeho strny c so sínusovej vety : : c A : B : C, (86) kde A A - ε, B B - ε, C C - ε (87) Aditmentov (Soldnerov 90) metód Pri tejto metóde má náhrdný rovinný trojuholník dv uhly rovnké ko sférický trojuholník (or 5) Or 5 Sférický rovinný trojuholník Vo sférickom trojuholníku je súčet uhlov väčší ko 80 o sférický exces Náhrdný rovinný trojuholník má rovnké uhly α, β le má krtšie strny, Podľ sférickej sínusovej vety n guli o polomere pltí A B (88) V náhrdnom rovinnom trojuholníku je sínusová vet A B (89)

6 ovnice (88) (89) porovnáme funkcie 5 x x +! 5! rozvinieme do rdu podľ Mc x x x x + x + + 7! Lurin ozvoj funkcie x má tvr x x N vyjdrenie rozvoj funkcie sínus postči prvé dv členy (90) Z rovnice (90) vyplýv, že strny v náhrdnom rovinnom trojuholníku mjú hodnoty 6 (9) 6 Druhé vetné členy v rovnicich (9) predstvujú lineárny ditment (prídvok) Pri riešení sférického trojuholník, k máme dnú strnu uhly A, B potreujeme vypočítť strnu, od strny sférického trojuholník odpočítme hodnotu lineárneho ditmentu 6 6 (9) Potom zo sínusovej vety môžeme vypočítť strnu B A Strnu vypočítme tk, že k strne pripočítme príslušný lineárny ditment /6 + 6 Hodnoty lineárneho ditmentu v S JTSK pre ,605 sú uvedené v t Lineárny ditment T (9) s 0 km 0 km 0 km 40 km 50 km 75 km 00 km S /6 4,,7 0,5 6,0 5,7 77,0 409,7 Ak dĺžky s sú krtšie ko 0 km vyždujeme presnosť výpočtov n cm, vtedy výpočty vo sférickom trojuholníku riešime ko úlohy v rovinnom trojuholníku Excesová metód je vhodná n výpočet dĺžok strán v trojuholníkoch, keď je dná jedn strn uhly Aditmentová metód je vhodná n výpočet dĺžok v trojuholníkových reťzcoch, keď ol dná východisková strn keď ide o výpočet koncovej strny Vtedy počítme len ditment východiskový koncovej strny Aditmenty osttných strán reťzc nie je potrené počítť

7 Príkld : Úlohou je určiť stredný polomer krivosti pre ťžisko elipsoidického trojuholník (Besselov elipsoid) Dné sú geodetické šírky vrcholov trojuholník Meridiánový, priečny i stredný polomer krivosti určite výpočtom kontrolu vykonjte určením stredného polomeru krivosti z tuliek ) Výpočtom: Prmetre Besselovho elipsoidu sú: ,55 m, ( ,96 m, e 0, Stredná geodetická šírk: ϕ ϕ + ϕ + ϕ ) 56,08 g Meridiánový polomer krivosti: M ( e ) ( e ϕ) Priečny polomer krivosti: N e ϕ s A B C m, m Stredný polomer krivosti: MN m ) Z tuliek: Kontrolu výpočtu stredného polomeru krivosti sme vykonli pomocou Schreierových tuliek (Jyšvý: Vyšší geodesie) Pre prácu s týmito tuľkmi prevedieme ϕ s g z gónov n šesťdesitinné o delenie tj stupne minúty ϕ s 50 4,64 (Góny n stupne prevedieme vynásoením 0,9-56,08 0,9 50,406 o, čsť z destinnou čirkou prevedieme n minúty vynásoením 0,6-0,406 0,6 4,64 ) log pre , pre 4,64 5 pre 50 4,64 6, m

8 Príkld : Úlohou je vypočítť dĺžku strny n Besselovom elipsoide excesovou metódou Dné sú uhly A 67,7598 g, B 54,5909 g strn c ,6 m Ide o ten istý elipsoidický trojuholník, ko v príklde Hodnoty geodetických šírok preerieme Pre ťžisko elipsoidického trojuholník vypočítme stredný polomer krivosti (preerieme ho z príkldu ), vypočítme plochu trojuholník sférický exces pre referenčnú guľu Oprvíme merné uhly nkoniec zo sínusovej vety vypočítme dĺžku n Besselovom elipsoide Plochu P vypočítme ko v rovinnom trojuholníku: P c A B c A B C ( A + B), m Sférický exces: ε cc cc P ρ 9,86 cc, (ρ cc cc ) Pri plikácii excesovej metódy s dĺžky ponechjú uhly s zmenši o tretinu excesu: A A - ε 67,75g, B B - ε 54,594g Nkoniec dosdením do sínusovej vety (pre rovinný trojuholník) vypočítme dĺžku strny n elipsoide: B c 55 9,89 m A 4 iešenie zákldných geodetických úloh n guli Zákldné (tiež hlvné) geodetické úlohy sú definovné (pre guľu j elipsoid) tkto: I zákldná geodetická úloh: Sú dné geodetické súrdnice ϕ, λ odu P, zimut α dĺžk geodetickej čiry s n od P Máme vypočítť geodetické súrdnice ϕ, λ zimut α v ode P (or 5) II zákldná geodetická úloh: Sú dné geodetické súrdnice ϕ, λ ϕ, λ odov P P Máme vypočítť dĺžku geodetickej krivky s oidv zimuty α α v dných koncových odoch krivky Vo sférickom trojuholníku (or 5) plti vzťhy podľ nsledovných vzorov: c + c A A B C + B C A C c Or 6 Sférický trojuholník 4

9 iešenie: I zákldnej geodetickej úlohy n guli v zemepisných súrdnicich N guli s polomerom je dný od P (ϕ,λ ), dĺžk geodetickej krivky (ortodromy) σ medzi odmi P P jej zimut v ode P Máme vypočítť súrdnice zimut v ode P (ϕ,λ,a ) Or 7 Zákldné geodetické úlohy n guli Vo sférickom polárnom trojuholníku P P P s (or 6) pltí kosínusová vet σ ( 90 ϕ ) ( 90 ϕ ) + ( 90 ϕ ) A po úprve σ σ ϕ ϕ + ϕ A (94) Ďlej je podľ sínusovej vety σ A σ A, (95) λ ( 90 ϕ ) ϕ A λ ( 80 A ) A A ϕ ϕ (96) ϕ σ / Z rovnice (94) vypočítme ϕ, z rovnice (95) λ ďlej λ λ + λ Kvdrnty uhlov λ ϕ s urči výpočtom z kosínusových viet vo sférickom trojuholníku σ iešenie II zákldné geodetické úlohy n guli v zemepisných súrdnicich N guli s polomerom sú dné zemepisné súrdnice odov P (ϕ,λ ) P (ϕ,λ ) Máme vypočítť dĺžku olúk geodetickej čiry (ortodromy) σ medzi odmi P P zimuty A, A v týchto odoch Vo sférickom trojuholníku (or 6) plti Neperove nlógie A + B C tg cotg, + 5

10 A B tg + C cotg Všeoecne pltné vzťhy goniometrických funkcií sú: (-α) α, (-α) -α, tg (-α) -tgα, cotg(-α) -cotgα, tg(ϕ+90 ) -cotgϕ, tg(α-90) -cotgα, (90-ϕ) ϕ Pre uhly ( A ( )) + 80 A vo sférickom trojuholníku (or 6) pltí ( 90 ϕ ) 90 ϕ A A + 80 λ tg cot g, 90 ϕ + 90 ϕ ϕ ϕ A A cot λ g cot g, ϕ + ϕ ϕ + ϕ A A λ tg tg (97) ϕ ϕ Pri odvodení rovnice (9) sme použili úprvy: A A A A cot g cot g, ( ϕ ϕ ) ϕ ϕ ϕ ϕ ( 80 ( ϕ + ϕ )) ( ϕ + ) ϕ Pre uhly ( A ( )) 80 A vo sférickom trojuholníku (or 6) pltí, 6

11 ( 90 ϕ ) 90 ϕ A + A 80 tg 90 ϕ + 90 ϕ cot g λ A cot g ϕ ϕ + A ϕ + ϕ ϕ ϕ λ cot g ϕ + ϕ, λ cot g / ϕ + ϕ A + A λ tg tg (98) ϕ ϕ Pri odvodení rovnice 94 sme použili úprvy: ϕ ϕ ϕ ϕ Ľvé strny rovníc (97) (98) vypočítme z funkcií rctg prvých strán rovníc Súčtom rozdielom uprvených rovníc vypočítme neznáme uhly A A A A A + A A +, A + A A A A A ± 80 (99) A Podľ sínusovej vety je ďlej ( 90 ϕ ) ( 80 A ) σ λ λ ( 90 ϕ ) A Po úprve, keď sme použili ((80 - A )) A dostneme σ ϕ A λ λ (00) ϕ A Z rovníc 00 vypočítme σ/ v uhlovej miere; dĺžk olúk (strny) v dĺžkovej miere je σ σ (0) ρ Kvdrnty zimutov A, A kldný leo záporný zmysel dĺžky σ s zvyčjne určuje n mpe, n gloe leo z vhodného orázk 7