Γραμμική Άλγεβρα - Πίνακες

Transcript

1 Γραμμική Άλγεβρα - Πίνακες. Η έννοια του πίνακα Ένα σύστημα δύο εξισώσεων α βαθμού με δύο αγνώστους, π.χ. το x + 3y = 3x y = 7 χαρακτηρίζεται από τους έξι αριθμούς, 3,, 3, -, 7 που καθένας τους έχει συγκεκριμένο «ρόλο» στο σύστημα: o Είναι ή συντελεστής του x ή συντελεστής του y ή σταθερός όρος και o Ανήκει ή στην πρώτη ή στη δεύτερη εξίσωση. Το σύστημα λοιπόν θα μπορούσε να οριστεί πλήρως από τους 6 παραπάνω αριθμούς, γραμμένους με ορθογώνια διάταξη σε γραμμές και 3 στήλες, ώστε να δηλώνεται η θέση που κατέχουν στο σύστημα, συν/τήςx συν/τής y σταθ. όρος της α εξίσωσης της β εξίσωσης Μια τέτοια διάταξη αριθμών λέγεται πίνακας γραμμών και 3 στηλών ή απλά πίνακας 3 και γράφεται συντομότερα ή 3 7 Γενικά κάθε ορθογώνια διάταξη ν μ πίνακας ν μ. αριθμών ( ν, μ ) σε ν γραμμές και μ στήλες λέγεται j στήλη a a aj aμ a a aj aμ A = ai ai aij a iμ i aν aν aνj aνμ γραμμή

2 Πίνακες i Οι αριθμοί που ορίζουν έναν πίνακα λέγονται στοιχεία του. Το στοιχείο που ανήκει στην γραμμή ( i ν) και j στήλη ( j μ) συμβολίζεται συνήθως a ij. Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι δυο πίνακες ν μ A = ( ) a και B = ( ) ij в είναι ίσοι (ταυτιζόμενοι), αν και μόνο αν τα αντίστοιχα στοιχεία τους ταυτίζονται. Δηλαδή A=Bσημαίνει ότι για κάθε i =,,, ν και j =,,, μ είναι: ij a ij = в ij. Χρήση πινάκων Γενικά ένας πίνακας με τα αριθμητικά στοιχεία που είναι «διατεταγμένα» στις γραμμές και τις στήλες του, παρέχει ένα σύνολο πληροφοριών. Θα αναφέρουμε μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις πινάκων. o Το μαθητικό δυναμικό ενός σχολείου κατά φύλο και τάξη μπορεί να παρασταθεί με πίνακα 3, π.χ. τον πίνακα Α Β Γ Αγόρια Κορίτσια που δίνει ένα πλήθος πληροφοριών: στην Α τάξη φοιτούν 5 αγόρια και 0 κορίτσια, τα κορίτσια της Γ τάξης είναι 57 κ.τ.λ. o Το προσωπικό ενός εργοστασίου κατανεμημένο σε 3 κατηγορίες και σε 5 τμήματα μπορεί να παρασταθεί με πίνακα π.χ. τον πίνακα που μας πληροφορεί ότι στο 4ο τμήμα της ης κατηγορίας απασχολούνται 85 εργάτες στο 3ο τμήμα της 3ης κατηγορίας 45 εργάτες κ.τ.λ..3 Είδη πινάκων Στα επόμενα θα χρησιμοποιήσουμε ορισμένα είδη πινάκων τα οποία περιγράφουμε αμέσως Ένας πίνακας ν μλέγεται: o Πίνακας-γραμμή, όταν ν =. Π.χ. οι - - Ιωάννης Τανούδης

3 Γραμμική Άλγεβρα 3 6 7, 8 0 5, 0 είναι πίνακες-γραμμή. o Πίνακας-στήλη, όταν μ =. Π.χ. οι είναι πίνακες-στήλη ,,, o Πίνακας-στοιχείο, όταν ν = μ =. Π.χ. οι είναι πίνακες-στοιχείο. o Τετραγωνικός, όταν ν είναι τετραγωνικοί πίνακες. = μ. Π.χ. οι [ 5, ] [ 7, ] [ 0] , 3, o Κλιμακωτός άνω, όταν a = 0 για κάθε i > j. Π.χ. οι είναι πίνακες κλιμακωτοί άνω. ij , o Κλιμακωτός κάτω, όταν a = 0 για κάθε i < j. Π.χ. οι ij , είναι πίνακες κλιμακωτοί κάτω. Ειδικότερα, ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται: Τριγωνικός άνω ή κάτω, όταν είναι κλιμακωτός άνω ή κάτω αντιστοίχως Ιωάννης Τανούδης

4 Πίνακες Διαγώνιος, όταν a = 0 για κάθε i j. Π.χ. οι ij , 0 0, είναι διαγώνιοι πίνακες..4 Πράξεις με πίνακες.4. Πρόσθεση Ας υποθέσουμε ότι μια βιομηχανία ηλεκτρικών ειδών διέθεσε σ ένα μήνα: ψυγεία κουζίνες πλυντήρια 8 35 στην Αθήνα 3 9 στην Θεσσαλονίκη και τον επόμενο μήνα: ψυγεία κουζίνες πλυντήρια στην Αθήνα στην Θεσσαλονίκη τότε τους δύο αυτούς μήνες η βιομηχανία αυτή διέθεσε συνολικά: ψυγεία κουζίνες πλυντήρια ( 8 + ) ( ) ( + ) ( 3 + 5) ( 9 + 8) ( + 3) στην Αθήνα στην Θεσσαλονίκη Η κίνηση της παραπάνω βιομηχανίας κάθε μήνα και συνολικά περιγράφεται αντίστοιχα με τους επόμενους πίνακες 3: A =,, 3 9 B = Γ = Ο πίνακας Γ λέγεται άθροισμα των πινάκων A και B. Γενικά: Ορισμός Άθροισμα των πινάκων ν μ A = a, B = в λέγεται ο πίνακας ν μ Γ = ( ) γ ij του οποίου κάθε στοιχείο ij ( ) ( ) ij ij γ είναι το άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων των A και B. Δηλαδή γ = a + в ij ij ij Ιωάννης Τανούδης

5 Γραμμική Άλγεβρα Το παραπάνω άθροισμα πινάκων, που για κάθε ζεύγος ( A, B) είναι μοναδικό, συμβολίζεται A + B. Π.χ. είναι = = = + 4 = Γινόμενο αριθμού με πίνακα Οι τιμές με τις οποίες διαθέτει μια βιοτεχνία υποδημάτων το ζευγάρι ανδρικών, γυναικείων και παιδικών υποδημάτων στα δυο υποκαταστήματα της περιγράφονται με τον πίνακα ανδρικά γυναικεία παιδικά A = ο υποκατάστημα ο υποκατάστημα Αν στην περίοδο των εκπτώσεων προτίθεται να κάνει γενική έκπτωση 0%, θα πρέπει να διαμορφώσει τις νέες τιμές στο 80% ή 0.8 των προηγουμένων και συνεπώς οι τιμές αυτές θα περιγράφονται με τον πίνακα B = = Ο πίνακας B λέγεται γινόμενο του 0. 8 με τον πίνακα A. Γενικά: Ορισμός Γινόμενο του λ με τον πίνακα A = ( a ) λέγεται ο πίνακας B = ( ) οποίου κάθε στοιχείο в ij είναι γινόμενο του αντίστοιχου στοιχείου του A με το λ. Δηλαδή ij в του ij в ij = λa ij Το παραπάνω γινόμενο αριθμού με πίνακα, που για κάθε ζεύγος ( λ, A ) είναι μοναδικό, συμβολίζεται λ A ή Π.χ. είναι A λ ή απλούστερα λa ή A λ ( 5) = = 4 6 3( 4) Ιωάννης Τανούδης

6 Πίνακες 7 [ 0] = [ 7 4 0], = Πολλαπλασιασμός πινάκων Το προσωπικό ενός εργοστασίου κατανέμεται σε τρεις κατηγορίες στις οποίες ανήκουν αβ, και γ εργαζόμενοι αντιστοίχως. Αν x, x, x 3, είναι αντίστοιχα η μηνιαία αποζημίωση κάθε εργαζομένου, (μισθός) τότε η μηνιαία δαπάνη του εργοστασίου για μισθούς του προσωπικού θα είναι: α x +β x + γ x 3 Αν το προσωπικό είναι κατανεμημένο σε δυο τμήματα σύμφωνα με τον πίνακα: ο α β γ τμήμα A = ο γ α β τμήμα τότε η μηνιαία δαπάνη του εργοστασίου μπορεί να αναλυθεί κατά τμήμα. Εξάλλου έστω ότι το ημερομίσθιο κάθε εργαζομένου είναι κατά κατηγορία µ, µ, µ 3 και η αποζημίωση για εργασία σε ημέρα αργίας ν, ν, ν 3 αντιστοίχως. Αν σ ένα μήνα το εργοστάσιο λειτούργησε 5 εργάσιμες ημέρες και 3 αργίες, τότε η μηνιαία αποζημίωση κατά κατηγορία είναι: x = 5µ + 3ν x = 5µ + 3ν x = 5µ + 3ν και καθορίζεται από τον πίνακα των ημερήσιων αποζημιώσεων: µ ν B = µ ν µ 3 ν3 Έτσι μπορούμε να έχουμε την ημερήσια δαπάνη του εργοστασίου κατά τμήμα: αµ +βµ + γµ 3 για εργάσιμη ημέρα αν +βν + γν3 για ημέρα αργίας αµ +βµ + γ µ για εργάσιμη ημέρα αν +βν + γ ν για ημέρα αργίας 3 3 που περιγράφεται από τον πίνακα: αµ +βµ +γµ 3 αν +βν +γν 3 Γ = α µ +βµ +γµ 3 αν +βν +γν3-6 - Ιωάννης Τανούδης

7 Γραμμική Άλγεβρα Τα στοιχεία του Γ παράγονται με πολλαπλασιασμό των 3 στοιχείων κάθε γραμμής του A με τα αντίστοιχα 3 στοιχεία κάθε στήλης του B. Ο πίνακας Γ λέγεται γινόμενο του A με τον B και συμβολίζεται: A B ή A B. Δηλαδή α α β β γ γ µ µ µ 3 ν α µ +β µ ν = αµ +βµ ν 3 [ 3] [ 3 ] = [ ] + γ µ + γ µ 3 3 α ν +β ν α ν +β ν + γν3 + γ ν 3 Ορισμός Γινόμενο του πίνακα ν μ A = ( a ) με τον πίνακα μ ρ ij B = ( ) в λέγεται ο πίνακας ν ρ Γ = ( γ ik ) του οποίου κάθε στοιχείο γ ik είναι το άθροισμα των γινομένων των μ στοιχείων της i γραμμής του A με τα αντίστοιχα μ στοιχεία της k στήλης του B. jk Δηλαδή γ = a в + a в + + a μ в μ ik i k i k i k Το παραπάνω γινόμενο AB είναι μοναδικό. Είναι αξιοσημείωτο ότι για να υπάρχει το γινόμενο ενός πίνακα A με τον πίνακα B πρέπει ο αριθμός των στηλών του A να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του B. Έστω τώρα ο πίνακας A τύπου 3 και ο πίνακας B τύπου 3 5 από τα παραπάνω είναι φανερό πως το γινόμενο A B ορίζεται, αφού ο αριθμός στηλών του A ισούται με τον αριθμό γραμμών του B κάτι το οποίο δεν συμβαίνει για το γινόμενο Β Α. Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός στηλών του B είναι 5 και ο αριθμός των γραμμών του A είναι. Γενικά λοιπόν ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι πράξη αντιμεταθετική. Ακόμη και στην περίπτωση που ορίζονται και τα δυο γινόμενα δηλαδή τα Α Β και Β Α τα αποτελέσματα είναι διαφορετικά. Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε τους παρακάτω πίνακες 3 0 A =, = B 4 6 Είναι φανερό πως ορίζονται τα γινόμενα AB και ΒΑ τα αποτελέσματα όμως είναι διαφορετικά διότι Ιωάννης Τανούδης

8 Πίνακες Ιωάννης Τανούδης = = , Γενικά λοιπόν: ΑΒ ΒΑ

9 Τμήμα Λογιστικής Ασκήσεις με Πίνακες Τ.Ε.Ι. Σερρών. Αν Α =,, Β= = 6 7 Γ 0 5 και 0 3 Δ = 4 0 να βρεθούν τα αθροίσματα Α+ Β και Β+ Γ+ Δ.. Να βρεθούν οι xyzw,,, αν x y x 4 4 x + y 3z w = + w z + w Σε όσες περιπτώσεις επιτρέπεται, να εκτελέσετε τις πράξεις: (i) (ii) (iii) [ 0] (iv) Αν Α =,,,, 6 Β= 0 Γ = = = 0 Δ 0 Ε 3 7 τότε να δείξετε ότι: Α 3Β+ Γ+ Δ 7Ε = O όπου O ο μηδενικός πίνακας. 5. Να βρεθούν οι xyzw,,, αν 6. να εκτελεστεί ο παρακάτω πολλαπλασιασμός x y x 5 x + y z w = + w z + w. - - Ιωάννης Τανούδης

10 Τμήμα Λογιστικής Τ.Ε.Ι. Σερρών x 3 x x 7. Να βρείτε τους πίνακες ΧΨΖΩΤΡ,,,,, από τις ισότητες: (i) (ii) (iii) (iv) (v) Χ = 0 0 Ψ = a a Ω + a = a a a a 0 0 Τ = Ρ = Αν Α = 4 3 και I, O ο μοναδιαίος και ο μηδενικός πίνακας αντιστοίχως, να δείξετε ότι Α + Α I= O. 9. Αν Α = 3 5, Β= 4 3 4, Γ = 5 6 να υπολογίσετε τον πίνακα 3 Χ = Α + Β + Γ - - Ιωάννης Τανούδης

11 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ΜΕΘΟ ΟΣ GAUSS Στην Μέθοδο Gauss εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότι σε ένα πίνακα μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε όποια γραμμή θέλουμε με έναν αριθμό και κατόπιν να την προσθέσουμε σε κάποια άλλη. Με διαδοχικές γραμμοπράξεις τέτοιου είδους, τελικά, επιλύουμε το σύστημα. Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: x+y= x-y= Ο πίνακας - ονομάζεται επαυξημένος και περιέχει όλες τις «πληροφορίες» ενός συστήματος. Η μέθοδος Gauss ξεκινάει με τη δημιουργία αυτού του πίνακα. Σκοπός μας είναι να μετατρέψουμε το αριστερό κομμάτι του επαυξημένου πίνακα σε μοναδιαία μορφή δηλαδή στην 0. Όταν γίνεται αυτό,(και δεν γίνεται πάντα) τότε στο δεξί μέρος θα υπάρχει η λύση. Είναι λοιπόν, :(-) (-) ~ ~ 0 (-) ~ Αυτό σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο της ης γραμμής με (-) και προσθέτουμε στο αντίστοιχο της ης Οπότε η λύση είναι: 3 x=, y=. - - Ιωάννης Τανουδης

12 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Παρατηρήσεις Αν κατά τη διάρκεια των γραμμοπράξεων μηδενιστεί μια ή περισσότερες γραμμές τις παραλείπουμε και συνεχίζουμε με τις υπόλοιπες (αυτό σημαίνει πως το σύστημα πιθανόν να έχει, άπειρες λύσεις) Αν κατά τη διάρκεια των γραμμοπράξεων μηδενιστούν όλα τα στοιχεία μιας γραμμής, εκτός του σταθερού όρου το σύστημα είναι αδύνατο ( εν έχει λύση) Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: x+y= x + y = 4 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι: 4 συνεπώς, 4 (-) Όλη η «πληροφορία», λοιπόν, του συστήματος περιέχεται στην η εξίσωσή του. Σε αυτές τις περιπτώσεις δεν μπορούμε να δώσουμε μία λύση για το σύστημα διότι απλά δεν υπάρχει μόνο μία, αλλά άπειρες (Αόριστο). - - Ιωάννης Τανουδης

13 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΑΠΕΙΡΩΝ ΛΥΣΕΩΝ Για την εύρεση των άπειρων λύσεων ακολουθούμε την παρακάτω πορεία: Λύνουμε την εξίσωση που μας έμεινε ως προς μία μεταβλητή (όποια θέλουμε) δηλαδή: x+y= y=-x με x. Οι λύσεις του συστήματος είναι ( x, y ) = ( x, - x ), x. Η τελευταία έκφραση δηλώνει ότι μπορούμε να πάρουμε μια λύση του συστήματος αρκεί να δώσουμε μια τιμή στο x, π.χ. x=. Εφόσον δεν έχουμε δέσμευση για την τιμή του x (δηλαδή μπορεί να πάρει όποια τιμή θέλει) οι λύσεις του συστήματος είναι άπειρες αφού άπειρες είναι και οι δυνατές τιμές του x. Άσκηση 3η Να λυθεί το σύστημα: Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι: 8 x+y= x + y = 8 8 ( ) θα πρέπει, λοιπόν, να ισχύει 0x + 0y = 4 κάτι το οποίο είναι αδύνατο. Συνεπώς το σύστημα δεν έχει λύσεις (Αδύνατο) Ιωάννης Τανουδης

14 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Άσκηση 4η Να λυθεί το σύστημα: x - 3y + z = x+y-z=8 ( Σ) 3x - 8y + 3z = -8 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι: και η διαδικασία επίλυσης έχει ως εξής: (-) (-3) (-) (-) (-5) (-7) ( ) (-) ( x,y,z ) = (,, - ) Ιωάννης Τανουδης

15 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Αυτό που πρέπει να μας μείνει από την παραπάνω διαδικασία είναι η σειρά με την οποία δημιουργούμε μηδενικά και μονάδες. ίνουμε το ακόλουθο σχήμα: Βήμα. ημιουργούμε (αν δεν είναι ήδη) το στοιχείο a = (αν υπάρχει κάποια άλλη γραμμή με το ο στοιχείο της ίσο με μπορούμε να αλλάξουμε τις γραμμές μεταξύ τους). Βήμα. Μηδενίζουμε με τη βοήθεια της ης γραμμής το στοιχείο a. Βήμα 3. Μηδενίζουμε με τη βοήθεια της ης γραμμής το στοιχείο a 3. Βήμα 4. Μηδενίζουμε με τη βοήθεια της ης γραμμής το στοιχείο a 3. Βήμα 5. ημιουργούμε το στοιχείο a 33 =. Βήμα 6. Μηδενίζουμε με τη βοήθεια της 3ης γραμμής το στοιχείο a 3. Βήμα 7. ημιουργούμε το στοιχείο a =. Βήμα 8. Μηδενίζουμε με τη βοήθεια της 3ης γραμμής το στοιχείο a 3. Βήμα 9. Μηδενίζουμε με τη βοήθεια της ης γραμμής το στοιχείο a. Άσκηση 5η Να λυθεί το σύστημα: x+y+z= x+y-z=8 ( Σ) 3x + 3y + 3z = Ιωάννης Τανουδης

16 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ είναι: (-) (-3) Από την τελευταία γραμμή έχουμε 0x + 0y + 0z = - άρα το σύστημα είναι αδύνατο. Άσκηση 6η Να λυθεί το σύστημα: x+y+z= x+y-z=8 ( Σ) 3x + 3y + 3z = 3 Συμφωνα με την μέθοδο Gauss θα είναι: (-) (-3) Στο σημείο αυτό επιστρέφουμε στο σύστημα (Γνωρίζουμε πλέον πως το σύστημα είναι Αόριστο) για την εύρεση των άπειρων λύσεων. x+y+z= x+y+z= x+(7+3z)+z= x=-6-4z ( x, y,z ) = (-6-4z,7 + 3z,z ), z y - 3z = 7 y = 7 + 3z y=7+3z y=7+3z ίνοντας, λοιπόν, μία τιμή στο z έχουμε μια τιμή και για το x και για το y. Για το λόγο αυτό λέμε πως υπάρχει μονοπαραμετρική απειρία λύσεων Ιωάννης Τανουδης

17 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Άσκηση 7η Να λυθεί το σύστημα: x+y+z= x + y + z = ( Σ) 3x + 3y + 3z = 3 Είναι: (-) (-3) Επιστρέφοντας, λοιπόν, στο σύστημα έχουμε x+y+z=. Λύνοντας, τώρα, την τελευταία ως προς όποια μεταβλητή θέλουμε, έστω z, είναι z=-x-y. Άρα οι λύσεις του συστήματος δίνονται από την παρακάτω έκφραση ( x, y,z ) = ( x, y, - x - y ), x, y Αυτό σημαίνει πως για να πάρουμε μία λύση του συστήματος πρέπει να δώσουμε δύο αυθαίρετες τιμές, στα x και y. Για το λόγο αυτό, στην περίπτωση αυτή, μιλάμε για διπαραμετρική απειρία λύσεων Ιωάννης Τανουδης

18 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα: 3x +5y = 8 4x -y = (Απ. 9 x=, y= 6 6 ) x + y = y =3x (Απ. x=3, y=) x -3y = 40 4x -6y = 80 x-y+z=3 x - y +z = y +z = 4 x-y+3z=9 x-3y=4 x -5y +5z =7 (Απ. 3y x =0 +, y = y, y R ) - 7 (Απ. x =, y =, z = ) (Απ. x=, y=-, z=) -x + y -z = x + 4z =3 y +z = 5 x -5y = 4 6x + 7y =00 x-y+z=-3 x + y +z = 4 x+y+z=3 x -3y = 6x +3y =0 x-y+z=-3 -x + 4y - 4z = 6-5x +0y -0z =5 (Απ. 7 5 x=y-, y=y, z=-y+ y R ) (Απ. (Απ. (Απ. x =, y = 4 ) 0 x=5, y=, z=- 3 3 ) (Απ. 7 x=, y= 8 ) x=-3+y-z, y,z ) Ιωάννης Τανούδης

19 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ας θεωρήσουμε τον τετραγωνικό πίνακα, a a Α = a a ο αριθμός ( aa -aa ) ονομάζεται ορίζουσα του πίνακα Α και συμβολίζεται Α ή det Α (determinant). Πιο αυστηρά ο τελευταίος αριθμός καλείται ορίζουσα ης τάξης διότι αφορά έναν πίνακα τύπου. Θεωρώντας, τώρα, στην θέση του πίνακα Α τον πίνακα: b b b Β = b b b b b b μπορούμε, αντίστοιχα, να ορίσουμε την ορίζουσα 3ης τάξης Μ άλλα λόγια την ορίζουσα ενός 3 3 πίνακα. Ο υπολογισμός της μπορεί να γίνει σύμφωνα με την παρακάτω μέθοδο. Γράφουμε τον πίνακα Β σημειώνοντας πάνω από κάθε στοιχείο μιας γραμμής ή στήλης (όποιας θέλουμε) ένα πρόσημο. Τα πρόσημα αυτά είναι μοναδικά για κάθε στοιχείο και προσδιορίζουν επακριβώς την θέση του στοιχείου στην ορίζουσα. Ένας μνημονικός κανόνας (προκειμένου για την πρώτη γραμμή ή στήλη) είναι πως ξεκινάμε από το στοιχείο b με πρόσημο + και προχωράμε εναλλάξ. ηλαδή τα πρόσημα για την ορίζουσα του Β έχουν ως εξής: b b b 3 b b b 3 b b b Πιο αυστηρά το πρόσημο κάθε στοιχείου προκύπτει από τη σχέση (-) i+j όπου i η γραμμή και j η στήλη του εν λόγω στοιχείου. Άρα το στοιχείο b 3 έχει πρό σημο - αφού (-) = (-) = Ιωάννης Τανούδης

20 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Όταν διαγράφουμε την γραμμή και την στήλη στις οποίες ανήκει ένα στοιχείο τότε απομένει μια ορίζουσα η οποία ονομάζεται ελάσσων ορίζουσα του διαγραφόμενου στοιχείου. Για παράδειγμα η ελάσσονα ορίζουσα του στοιχείου b η οποία συμβολίζεται M προκύπτει από το παρακάτω σχήμα: b b b 3 b b b 3 b b b Μ b b = b b Αν τώρα πολλαπλασιάσουμε την ελάσσονα ορίζουσα του στοιχείου με το πρόσημο του στοιχείου παίρνουμε έναν αριθμό ο οποίος ονομάζεται αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου. Για παράδειγμα το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου b το οποίο θα συμβολίσουμε με B θα είναι b b + b b Ομοίως για το b 3 έχουμε Β 3 b b =- b b 3 3 Ισχύει δηλαδή, Β ij = (-) i+j Μ ij Η ορίζουσα του πίνακα Β όταν αναπτύσσουμε ως προς την η γραμμή θα δίνεται από την παρακάτω σχέση, b b b b b b Β =b Β +b Β +b3β 3 = b b b -b b b +b3 b b Όταν λέμε «πρόσημο» εννοούμε το πρόσημο που προκύπτει από την σχέση ( ) i+j Ιωάννης Τανούδης

21 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Ας δούμε την εφαρμογή των παραπάνω σε ένα απλό παράδειγμα. Έστω ο πίνα κας -3 7 Α =5 9 θέλουμε να υπολογίσουμε την ορίζουσά του. Θα αναπτύ- 0 5 ξουμε με βάση την η γραμμή οπότε χρειαζόμαστε τα πρόσημα μόνο αυτών των στοιχείων. Είναι a = και Α 9 =+ 0 =+( 5-9 0)=0 5 a =-3 και Α 5 9 =- =-(5 5-9 )=-6 5 τέλος a 3 = Α 3 5 =+ =+(5 0- )= Ιωάννης Τανούδης

22 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Άρα Α =a Α +a Α +a Α = 0+ (-3)(-6) +7( -) =0+48-4= Φυσικά δεν πρέπει να ξεχνάμε πως μπορούμε να αναπτύξουμε ως προς όποια γραμμή ή στήλη θέλουμε (όχι μόνο ως προς την η) αρκεί να βάζουμε τα σωστά πρόσημα σε κάθε στοιχείο. Καλό είναι να προτιμούμε τις γραμμές ή στήλες με τα περισσότερα μηδενικά στοιχεία διότι έτσι γλιτώνουμε πράξεις. Για παράδειγμα χρησιμοποιώντας την τρίτη γραμμή έχουμε: Α = = (-7-4) ( + 5) = = Ιωάννης Τανούδης

23 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Να επαληθευθούν οι παρακάτω ορίζουσες: = = = = = = = Ιωάννης Τανούδης

24 ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ΜΕΘΟ ΟΣ Cramer Η µέθοδος Cramer είναι µια µέθοδος επίλυσης τετραγωνικών συστηµάτων δηλαδή, 3 3 κ.λ.π. Αυτό διότι χρησιµοποιεί ορίζουσες που όπως γνωρίζουµε υφίστανται µόνο σε τετραγωνικούς πίνακες. Ας θεωρήσουµε, λοιπόν, ένα σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους ή, πιο απλά, ένα σύστηµα. ax+ay=β a x +a y =β µε a,β και i, j. ij i η µέθοδος Cramer ξεκινά µε τον υπολογισµό των παρακάτω οριζουσών a a β a a β D= a a, D =, D = β a a β x y και συνεχίζει µε τα παρακάτω πορίσµατα Αν D 0τότε το σύστηµα έχει µία και µοναδική λύση που δίνεται από τις σχέσεις D x D y x=,y= D D Αν D=0 τότε: Παρατήρηση o Αν D x =D y = 0 το σύστηµα είναι αόριστο (Άπειρες λύσεις), o Αν έστω µία από τις D,D x y είναι διαφορετική από το µηδέν το σύστηµα είναι αδύνατο (καµία λύση). Η µέθοδος Cramer είναι «αποτελεσµατική» µόνο στις περιπτώσεις αδύνατου συστήµατος και συστήµατος που έχει µία λύση. Στην περίπτωση αόριστου συστήµατος δεν δίνει τις άπειρες λύσεις. Για να βρούµε την µορφή των απείρων λύσεων ΑΚΟΛΟΥΘΟΥΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟ Ο GAUSS. Όταν λέµε τετραγωνικό σύστηµα εννοούµε αυτό που έχει τόσες εξισώσεις όσους και αγνώστους. - - Ιωάννης Τανούδης

25 ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Παράδειγµα ο Να λυθεί το σύστηµα x+y= -x + y = είναι D= =3, D = =-3, D = =3 x y - - άρα D D x -3 y 3 x= = =-, y= = = D 3 D 3 Παράδειγµα ο Να λυθεί το σύστηµα x+y= -x - 4y = είναι D= = ( -4)- (-) =-4+4= εποµένως το σύστηµα είναι αδύνατο ή αόριστο τελικά αφού D x = = ( -4)- = -4-4 = Το σύστηµα είναι αδύνατο. ( εν χρειάζεται να υπολογίσουµε και την D, y αρκεί µία από τις δύο να είναι διάφορη του µηδενός.) Παράδειγµα 3ο Να λυθεί το σύστηµα 3x + 6y = 3 -x-4y=- είναι - - Ιωάννης Τανούδης

26 ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ 3 6 D = = 3 ( -4)- 6 ( -) = - + = και 3 6 D x = = 3 ( -4)- 6 ( -) = - + =0, D y = = 3 ( -)- 3 ( -) = =0 - - άρα το σύστηµα είναι αόριστο. Εύρεση απείρων λύσεων ( 3) ( ) ή άρα ( x, y ) = ( - y, y ), y x + y = x = - y Παρόµοια είναι και η αντιµετώπιση σε συστήµατα κ.λ.π. ίνουµε την διαδικασία για συστήµατα 3 3. Έστω το σύστηµα ax+a y+az=β 3 a x + a y + a z =β 3 a x + a y + a z =β µε a,β και i, j 3 ij i Η διαδικασία στηρίζεται στον υπολογισµό των οριζουσών a a a 3 D= a a a, 3 a a a β a a a β a a a β 3 3 D = β a a, D = a β a, D = a a β x 3 y 3 z β a a a β a a a β Οπότε: Ιωάννης Τανούδης

27 ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Αν D 0τότε το σύστηµα έχει µία και µοναδική λύση που δίνεται από τις σχέσεις D D Dz D D D x y x=,y=,z= Αν D=0 τότε: Παράδειγµα ο o Αν D x =D y =D z = 0 το σύστηµα είναι αόριστο (Άπειρες λύσεις), ο υπολογισµός των λύσεων γίνεται µε µέθοδο Gauss. o Αν έστω µία από τις D,D,D x y z είναι διαφορετική από το µηδέν το Να λυθεί το σύστηµα Είναι σύστηµα είναι αδύνατο (καµία λύση). x+y+z=- x - y + z = 0 -x + y + 3z = D= - = =-0-3 D = 0 - = =9, D = 0 = =3, x y D = - 0 = =-5 z Άρα το σύστηµα έχει µοναδική λύση που είναι: x,y,z = -,-, ( ) Ιωάννης Τανούδης

28 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Ας θεωρήσουμε τον τετραγωνικό πίνακα, a a Α = a a ένας τετραγωνικός πίνακας Β, επίσης, θα λέγεται αντίστροφος του Α αν και μόνο αν ισχύει Α Β = Β Α = I όπου I ο μοναδιαίος πίνακας. Αποδεικνύεται πως ο πίνακας Β υπάρχει τότε και μόνον τότε, όταν η ορίζουσα του Α είναι διαφορετική του μηδενός. Όταν υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα Α τότε τον συμβολίζουμε με Γενικά ισχύει το παρακάτω, - Α και η παραπάνω σχέση γράφεται: Α Α - = Α - Α = I Ένας τετραγωνικός πίνακας a β Α = είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν η γ δ ορίζουσά του Α δεν είναι 0. Αντίστροφος του Α είναι ο πίνακας Α - = Α δ -β -γ α Παράδειγμα ο Να εξεταστεί αν ο πίνακας 3 Α = αντιστρέφεται. Στην περίπτωση που -5 7 αντιστρέφεται να βρεθεί ο αντίστροφός του. Λύση Για να αντιστρέφεται ένας πίνακας θα πρέπει η ορίζουσά του να είναι διαφορετική του μηδενός, άρα - - Ιωάννης Τανούδης

29 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Α 3 = = 7 -(-5) 3 = Οπότε ο - Α υπάρχει και είναι Α δ -β 7-3 = = = Α -γ α 5 5 Επαλήθευση Αν θέλουμε να επαληθεύσουμε τον παραπάνω πίνακα ως προς την ιδιότητα του αντιστρόφου του Α, αρκεί να τον πολλαπλασιάσουμε με τον Α αν το απότέλεσμα είναι ο I τότε έχουμε κάνει σωστά τις πράξεις διαφορετικά θα πρέπει να τις επαναλάβουμε πιο προσεκτικά. Είναι λοιπόν Α Α = = = = I Στους 3 3 πίνακες, τώρα, η διαδικασία που ακολουθούμε είναι λίγο διαφορετική. Ας θεωρήσουμε, λοιπόν, τον πίνακα α α α Α = α α α α α α Αν η ορίζουσα του πίνακα Α δεν είναι μηδέν, ο Α είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφος του πίνακας είναι ο - Α Α Α Α = adj Α = Α Α Α Α Α Α Α Α όπου Α i,j 3 τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων. ij - - Ιωάννης Τανούδης

30 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Ας κάνουμε εφαρμογή του παραπάνω πορίσματος με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα ο Να υπολογιστεί (αν υπάρχει) ο αντίστροφος του παρακάτω πίνακα - Α = Λύση Κατ αρχήν υπολογίζουμε την ορίζουσα του πίνακα Α ώστε να ερευνήσουμε την ύπαρξη του αντιστρόφου. Κατά τα γνωστά έχουμε, = - + (-) = Επομένως ο πίνακας Α αντιστρέφεται Για να βρούμε τον αντίστροφο χρειαζόμαστε τα αλγεβρικά συμπληρώματα κάθε στοιχείου. Το αλγεβρικό συμπλήρωμα ενός στοιχείου υπολογίζεται από την ελάσσονα ορίζουσα του στοιχείου μαζί με το πρόσημο του στοιχείου που προκύπτει από την σχέση (-) i+j. Αρά A =+ = 0-( -) 3=3, A =- =-( ) = A 3 = + = ( ( -)-4 ) = Ιωάννης Τανούδης

31 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ A = - = -( 0 - (-) ( -)) =, A = + = 0-4 ( -) = A 3 =- =-( ( -)-4 ) = A 3 =+ =3 -( -) =8, A 3 =- =-( 3- ( -)) = A 33 = + = - =-3 Με τα παραπάνω αλγεβρικά συμπληρώματα δημιουργούμε τον πίνακα, Α Α Α3 3-6 Β = Α Α Α 3 = 8 9 () Α3 Α3 Α Για να προχωρήσουμε στον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα είναι αναγκαίος ο παρακάτω ορισμός Ορισμός Έστω Α ένας πίνακας n m. Ο πίνακας που προκύπτει από τον Α κάνοντας τις γραμμές, στήλες με την ίδια διάταξη (η γραμμή η στήλη, η γραμμή η στήλη κ.λ.π.) ονομάζεται ανάστροφος του Α και συμβολίζεται T Α Ιωάννης Τανούδης

32 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Παράδειγματα Αν -3 Α = τότε 7 T Α = δηλαδή η πρώτη γραμμή έγινε πρώτη στήλη -3 7 και η δεύτερη γραμμή έγινε δεύτερη στήλη. Ομοίως αν 0-3 Α =6-6 τότε 0 - T Α 6 = Επιστρέφοντας, τώρα, στην δημιουργία του αντιστρόφου, ο πίνακας T Β (του πίνακα της σχέσης ()) ονομάζεται προσηρτημένος του Α και συμβολίζεται adj Α. Άρα, Προσηρτημένος ενός πίνακα είναι ο ανάστροφος πίνακας, του πίνακα των αλγεβρικών συμπληρωμάτων. ηλαδή για 3 3 πίνακες είναι Συνεπώς αφού Α Α Α adj Α = Α Α Α Α Α Α Β = 8 9 τότε, T Β =adj Α = Και τελικά Α = adj Α = 8-7 Α Ο υπολογισμός του αντιστρόφου ενός τετραγωνικού πίνακα μπορεί να γίνει και με χρήση γραμμοπράξεων ως εξής: Ιωάννης Τανούδης

33 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Παράδειγμα Να υπολογιστεί ο αντίστροφος (αν υπάρχει) του πίνακα Α =. Λύση Κατ αρχήν είναι Α = = - =- 0 άρα υπάρχει ο - Α. Ο υπολογισμός ξεκινάει με τη δημιουργία ενός σύνθετου «διπλού πίνακα». 0 0 Ο τελευταίος αποτελείται, στο αριστερό μέρος του, από τον πίνακα Α και στο δεξί από τον μοναδιαίο πίνακα I. Στόχος της μεθόδου είναι η μετατροπή του αριστερού μέρους σε μοναδιαίο, οπότε ότι «μείνει» στο δεξί μέρος είναι ο αντίστροφος. Είναι λοιπόν, 0( -) ( -) ( ) Μ άλλα λόγια είναι - Α - = - Ομοίως δουλεύουμε και στην περίπτωση 3 3 πίνακα π.χ. για τον πίνακα Α =3 0 - είναι Α =- 0 άρα ξεκινάμε με τον Και συνεχίζουμε όπως στην μέθοδο Gauss (φυσικά με περισσότερες πράξεις!) Πολλές φορές ο πίνακας αυτός συμβολίζεται και [ Α I] Ιωάννης Τανούδης

34 Ι.Β.ΤΑΝΟΥ ΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ΜΕΘΟ ΟΙ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ασκηση η Να λυθεί το παρακάτω σύστηµα, ος τρόπος (Μέθοδος Cramer) 9x - x - x = 0 3-3x + 6x - 7x = 0 3 -x - x + 9x = 30 3 (Λύση συστήµατος) Υπολογίζουµε τις ορίζουσες, D = = +(9) (-) (-) - = D = = +(0) (-) (-) 30 = D = = +(9) (0) (-) - = D 3 = = +(9) - - (-) (0) 30 - = οπότε η λύση δίνεται από τις σχέσεις: D 450 D 3970 D 850 D 36 D 36 D 36 3 x = =, x = =, x 3 = =

35 Ι.Β.ΤΑΝΟΥ ΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ος τρόπος (Μέθοδος Αντιστρόφου) Υπολογίζουµε τα αλγεβρικά συµπληρώµατα του πίνακα του συστήµατος, δηλαδή του, Όπου φαίνονται και τα πρόσηµα κάθε στοιχείου A = = 47, A = = 4, A 3 = + - = A = = 9, A = = 79, A 3 = = A 3 = + 6 = 0, -7 A 3 = - -3 = 66, -7 A 33 = = 48 ηµιουργούµε τώρα τον πίνακα A A A B =A A A 3 = A3 A3 A και παίρνουµε τον ανάστροφο αυτού, ο οποίος ονοµάζεται προσηρτηµένος του αρχικού πίνακα και συµβολίζεται adja άρα είναι: T adj A = B = (Οι γραµµές έγιναν στήλες µε την ίδια διάταξη) Τέλος, T = adj T = D Η λύση του συστήµατος δίνεται από τα παρακάτω Άρα, T X = d T T X = T d I X = T d X = T d 450 x x x = x = x x

36 Ι.Β.ΤΑΝΟΥ ΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα µε την µέθοδο Cramer. 3x +5y = 8 4x -y = x + y = 7 4+5y=3x x -3y = 40 4x -6y = 80 x-y+z=3 x - y +z = y +z = 4 (Απ. (Απ. 9 x=, y= 6 6 ) (Απ. x=3, y=) 3y x=0+, y=y, y R ) (Απ. x=, y=-, z=) Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα µε την µέθοδο Gauss. x-y+3z=9 x-3y=4 x -5y +5z =7 -x + y -z = x + 4z =3 y +z = 5 x -5y = 4 6x + 7y =00 (Απ. (Απ. x=, y=-, z=) 7 5 x=y-, y=y, z=-y+ y R ) (Απ. x =, y = 4 ) Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα µε την µέθοδο του αντιστρόφου (Άλγεβρα πινάκων) x-y+z=-3 x + y +z = 4 x+y+z=3 (Απ. 0 x=5, y=, z=-, A = 0 - ) x -3y = 6x +3y =0 (Απ. 7 x=, y= 8, A = ) - 4

37 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΑΡΙΘΜΩΝ Γενικά περί αριθμών Στον κόσμο των μαθηματικών οι αριθμοί είναι απόλυτα οργανωμένοι σε ομάδες που ονομάζουμε σύνολα. Έτσι, για παράδειγμα έχουμε τα σύνολα: Φυσικών Αριθμών N = { 0,,,3K} Ακεραίων Αριθμών Z = { K - 3,- -,0,,,3K} Πραγματικών Αριθμών που συμβολίζουμε με R και περιέχει όχι μόνο τους ακεραίους αλλά και τα κλάσματα (Ρητοί) π.χ. 7, και τις ρίζες (Άρρητοι) 7, Παρατήρηση Το σύνολο των ακεραίων αριθμών περιέχει το σύνολο των φυσικών. Ένας άλλος διαχωρισμός μεταξύ των αριθμών είναι αυτός με βάση το πρόσημό τους. Παρατήρηση Τα πρόσημα στα μαθηματικά είναι δυο: α) το «συν» + β) το «μείον» - Υπάρχουν, λοιπόν, οι θετικοί αριθμοί με πρόσημο το «+» και οι αρνητικοί με πρόσημο το «-». Ορισμός ύο αριθμοί θα λέγονται ετερόσημοι όταν έχουν διαφορετικό πρόσημο. 7 Οι αριθμοί 5 και - 3 είναι ετερόσημοι όπως και οι αριθμοί και. Παρατήρηση Όταν μπροστά από έναν αριθμό δεν υπάρχει πρόσημο τότε εννοείται το «συν» + Παρατήρηση Ο αριθμός χωρίς το πρόσημό του ονομάζεται απόλυτη τιμή του αριθμού και συμβολίζεται με. ηλαδή είναι 3 = 3 και 5 = 5. Η απόλυτη τιμή μετατρέπει οποιοδήποτε αριθμό σε θετικό! -- Ι.Β.Τανούδης

38 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών Πρόσθεση Αφαίρεση Παρά τα όσα πιστεύει ο περισσότερος κόσμος, δεν υπάρχει πράξη αφαίρεσης στα μαθηματικά. Η αφαίρεση δεν είναι τίποτε άλλο παρά πρόσθεση ετερόσημων αριθμών. Κανόνας Πρόσθεσης Για να προσθέσουμε δυο ομόσημους αριθμούς βάζουμε το κοινό τους πρόσημο και έπειτα το άθροισμά τους. Στους ετερόσημους αφαιρούμε τους αριθμούς (τον μικρότερο από τον μεγαλύτερο) σαν να ήταν θετικοί και βάζουμε το πρόσημο του μεγαλύτερου. Παραδείγματα = { + ομόσημοι Ομόσημοι κοινό πρόσημο = { ομόσημοι κοινό πρόσημο άθροισμα των 7 και } 3 0 άθροισμα των 5 και } 7 Ετερόσημοι = { + ετερόσημοι πρόσημο μεγαλύτερου δηλ. του = { ετερόσημοι πρόσημο μεγαλύτερου δηλ. του 3 διαφορά του 7 και } 3 4 διαφορά του 3 και } 7 6 Παρατήρηση Όταν έχουμε μεγάλη παράσταση για υπολογισμό ομαδοποιούμε τους θετικούς και τους αρνητικούς = = = ομόσημοι θετικοί ομόσημοι αρνητικοί ετερόσημοι { πρόσημο μεγαλύτερου δηλ του 65 Παρατήρηση Όταν υπάρχουν παρενθέσεις ξεκινούμε τους υπολογισμούς από εκεί διότι έχουν προτεραιότητα ή τις αφαιρούμε ακολουθώντας τον παρακάτω κανόνα Ι.Β.Τανούδης

39 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών Κανόνας αφαίρεσης παρενθέσεων Όταν μπροστά από μία παρένθεση υπάρχει το πρόσημο «συν» + αφαιρούμε την παρένθεση χωρίς να αλλάξουμε τα πρόσημα των αριθμών που υπάρχουν μέσα σ αυτή. Όταν μπροστά από μία παρένθεση υπάρχει το πρόσημο «μείον» - αφαιρούμε την παρένθεση αλλάζοντας όλα τα πρόσημα των αριθμών που υπάρχουν σ αυτή Παράδειγμα ή διαφορετικά ( ) = K + K K ( ) = K ( ) = K + ( ) = K + ( 6.5-9) = + (-3.5) = -3.5 K + K K ( ) = K ( ) = K ( 6.5-9) = K- (-3.5) = Παρατήρηση Όταν υπάρχουν κλάσματα σε μια έκφραση μετατρέπουμε όλους τους αριθμούς σε κλάσματα με κοινό παρανομαστή και έπειτα κάνουμε πράξεις. Παράδειγμα = Ε.Κ.Π. (,,5) = 0 = = = = = Μπορούμε αν θέλουμε να αποφύγουμε τον υπολογισμό του Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) να ακολουθήσουμε τον παρακάτω κανόνα: Κανόνας πρόσθεσης αφαίρεσης a c ad cb ± = ± b d bd Παράδειγμα = = = =. -3- Ι.Β.Τανούδης

40 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών Πολλαπλασιασμός - ιαίρεση Κανόνας Πολλαπλασιασμού - ιαίρεσης Για να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε δυο πραγματικούς αριθμούς πρώτα υπολογίζουμε το πρόσημο του αποτελέσματος ακολουθώντας τον παρακάτω κανόνα: ( + ) ( + ) = + ( ) ( ) = + ( + ) ( ) = ( ) ( + ) = + = + + = + + = = + Έπειτα υπολογίζουμε το γινόμενο ή το πηλίκο των δυο αριθμών σαν να ήταν θετικοί Παράδειγμα 3 5 = 5 (πρόσημο επιλέγουμε θετικό αφού και οι δύο αριθμοί είναι θετικοί) ( 6 )( 3) = 8 (πρόσημο επιλέγουμε θετικό αφού ( ) ( ) = + ( 5 ) 3 = = ( ) { 5 ( + )( ) = { 4 = ( ) ( + ) =, = 0.5, = ) Παράδειγμα (Υπολογισμός ορίζουσας) = 3 ( ) ( 7) 4 = -6 - (- 8) = = (Προσοχή στο έξω από την παρένθεση αλλάζει το πρόσημο του -8) 3 5 = ( )( 5) ( )( 3) = ( 5) ( 6) = 5 6 = -4- Ι.Β.Τανούδης

41 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ΤΑΞΗ Ή ΒΑΘΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ορισμός Ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας ονομάζεται ο πίνακας που πληροί τις παρακάτω προϋποθέσεις: Όλες οι μηδενικές γραμμές (αν υπάρχουν) βρίσκονται κάτω από τις μη μηδενικές, Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής (μη μηδενικής) βρίσκεται τουλάχιστον κατά μία θέση δεξιότερα από το αντίστοιχο μη μηδενικό της προηγούμενης γραμμής. Παραδείγματα Οι πίνακες A = 0 4, B =, C = , D = είναι ανηγμένοι κλιμακωτοί, ενώ αντίθετα οι παρακάτω δεν είναι A = 0 0 0, B =, C = Στον πίνακα A η δεύτερη γραμμή, που είναι μηδενική, βρίσκεται ανάμεσα σε μη μηδενικές ( εν ικανοποιείται η η προϋπόθεση). - - Ιωάννης Τανουδης

42 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Ο πίνακας B δεν ικανοποιεί το ο κριτήριο διότι στην δεύτερη γραμμή το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο που είναι το δεν βρίσκεται κατά μια θέση, τουλάχιστον, δεξιότερα από το αντίστοιχο μη μηδενικό της προηγούμενης γραμμής που είναι το (στην 3η θέση). Αντίθετα βρίσκεται αριστερότερα. Στον πίνακα C παρεμβάλλονται μηδενικές γραμμές (η η και 3η) μεταξύ μη μηδενικών. Ορισμός Τάξη ή βαθμό ενός πίνακα A ονομάζουμε το πλήθος μη μηδενικών γραμμών, όταν ο πίνακας A μετατραπεί (με γραμμοπράξεις) σε ανηγμένο κλιμακωτό. Η τάξη του πίνακα A συμβολίζεται με rank( A ) ή r( A ). Στα παραπάνω παραδείγματα (πρώτα) έχουμε r ( A) =3,r ( B) =3,r ( C) =,r ( D ) = Παράδειγμα Να βρεθεί η τάξη του πίνακα A = Μετατρέπουμε, με γραμμοπράξεις, τον πίνακα A σε ανηγμένο κλιμακωτό, A = ( ) ( ) Εφόσον οι μη μηδενικές γραμμές στον τελευταίο, ανηγμένο κλιμακωτό, πίνακα είναι δυο θα έχουμε r ( A ) =. - - Ιωάννης Τανουδης

43 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Παράδειγμα Να βρεθεί η τάξη του πίνακα Είναι, C 0 = (-) ( ) Άρα r ( C ) =3. Ασκήσεις Να υπολογιστεί η τάξη των παρακάτω πινάκων A= 3 -, B = 0 -, C = 0-0, D = Ιωάννης Τανουδης

44 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΠΙΝΑΚΑ Όταν ένα σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση λέγεται συμβιβαστό. Αντιθέτως αν ένα σύστημα δεν έχει καμία λύση λέγεται αδύνατο. Πρόταση Παρατήρηση Ικανή και αναγκαία συνθήκη προκειμένου ένα σύστημα ( Σ ) να είναι συμβιβαστό είναι: r ( A) =r( C ) όπου A ο πίνακας των συντελεστών του συστήματος και C ο επαυξημένος. Η τάξη ενός πίνακα μα δίνει το πλήθος των ανεξάρτητων γραμμών του. Παράδειγμα Να εξεταστεί αν το σύστημα είναι συμβιβαστό. x+y+z=0 x+y+z=-3 x + y + z = Ο πινάκας των συντελεστών του συστήματος είναι 0 A = και ο επαυξημένος C = Ιωάννης Τανουδης

45 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Άρα A = ( ) ( ) συνεπώς r ( A ) = 0-3 (-) ( ) άρα r ( C ) =3. Αφού r( A) r( C) το σύστημα είναι αδύνατο. Παράδειγμα Να εξεταστεί αν το σύστημα x+y-3z=0 3x - y + z = x-5y+8z= είναι συμβιβαστό. εν χρειάζεται να εκτελούμε τις πράξεις αναγωγής σε ανηγμένο κλιμακωτό δυο φορές (του A και του C ). Αρκεί να βρούμε την μορφή μόνο για τον επαυξημένο. Έπειτα αφαιρώντας την τελευταία στήλη έχουμε και την μορφή του A. - - Ιωάννης Τανουδης

46 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Ο επαυξημένος πίνακας είναι: -3 0 C = (-3) ( ) (-) οπότε r ( C ) =. Αφαιρώντας, τώρα, την τελευταία στήλη έχουμε: -3 A = συνεπώς r ( A ) = άρα το σύστημα είναι συμβιβαστό, (έχει τουλάχιστον μία λύση). Οι λύσεις βρίσκονται από τον επαυξημένο αν συνεχίσουμε με την μέθοδο Gauss. Το σύστημα είναι, λοιπόν, αόριστο με λύσεις ( ) -3 0 x+y-3z=0 0-7 z - z x= -,y= + z -7y + z = z - z x, y,z = (x = -, y = +,z) z Ιωάννης Τανουδης

47 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Παρατήρηση Όταν η τάξη του επαυξημένου πίνακα ισούται με την τάξη του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων τότε μας δηλώνει το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών. Στο προηγούμενο παράδειγμα είχαμε τρεις μεταβλητές προς προσδιορισμό (x,y,z) η τάξη όμως βγήκε. Αυτό σημαίνει ότι από τις τρεις μεταβλητές μόνο οι δυο είναι ανεξάρτητες (όπως βγάλαμε τις x,y). Η εξαρτημένη μεταβλητή (z) ονομάζεται ελεύθερη διότι μπορεί να πάρει όποια τιμή θέλει. Σε συμβιβαστά συστήματα ισχύει Πλήθος ελεύθερων μεταβλητών= πλήθος μεταβλητών -r( C ) Η μέθοδος της τάξης είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σε μη τετραγωνικά συστήματα. Παράδειγμα Να επιλυθεί το σύστημα: x + y - z + 3w = x + 4y - 3z + 4w = 5 5x + 0y - 8z + w = ( ) ( ) (-) Άρα r ( C ) = και αφαιρώντας την τελευταία στήλη έχουμε: Ιωάννης Τανουδης

48 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ - 3 A =0 0 - οπότε και r ( A ) = άρα το σύστημα είναι συμβιβαστό. Για την ακρίβεια το σύστημα είναι αόριστο αφού το πλήθος των μετα βλητών προς προσδιορισμό είναι 4 (x,y,z,w) και η τάξη βγήκε. Αυτό σημαίνει ότι δυο από τις τέσσερις μεταβλητές είναι ελεύθερες. Υπολογισμός Λύσεων x+y-z+3w= x=4-y-7w z-w= z=-w ( ) ( ) x, y,z, w = 4 - y - 7w, y, - w, w y, w Οι ελεύθερες μεταβλητές είναι οι y,w. Παράδειγμα Να επιλυθεί το σύστημα: x+y+z+w=0 y +z-w=0 x-y+z+w=0 Το σύστημα είναι ομογενές άρα δεν έχει νόημα ο επαυξημένος πίνακας Στα ομογενή συστήματα χρησιμοποιούμε μόνο τον πίνακα των συντελεστών διότι η τελευταία (μηδενική) στήλη ποτέ δεν μεταβάλλει την τάξη ηλαδή θα έχουμε: Ιωάννης Τανουδης

49 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ 3 A= ( ) ( 3) Επομένως r ( A ) =3 και αφού οι άγνωστοι είναι τέσσερις θα υπάρχει μια ελεύθερη μεταβλητή x+y+3z+w=0 y+z-w=0 z=3w,y=-w,x=-6w ( x,y,z,w ) =(-6w,-w,3w,w) w z-3w=0-6 - Ιωάννης Τανουδης

50 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Η έννοια της ισορροπίας Ας υποθέσουμε την ύπαρξη ενός προϊόντος, π.χ. γάλακτος. Κάθε προσπάθεια μελέτης ενός αγαθού στην αγορά καθιστά αναγκαία την δημιουργία τριών βασικών «μεταβλητών»: Ζητούμενη ποσότητα του αγαθού από την αγορά Q d. Προσφερόμενη ποσότητα του αγαθού (από την επιχείρηση) στην αγορά Q. s Τιμή πώλησης του προϊόντος P. Ακριβολογώντας, τόσο η ζητούμενη όσο και η προσφερόμενη ποσότητα για ένα προϊόν είναι συναρτήσεις της τιμής του. ηλαδή ισχύει: Q = d Qd ( P) και Q = Q ( P) s s Ορισμός Ένα προϊόν θα λέμε πως βρίσκεται σε ισορροπία στην αγορά όταν η προσφερόμενη ποσότητα είναι ίση με τη ζητούμενη ποσότητα. ηλαδή όταν ισχύει: Q = Q Παρατήρηση Από την εξίσωση των δυο ποσοτήτων ενός προϊόντος μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή πώλησης του η οποία αποκαλείται, και, τιμή ισορροπίας (P ). Παράδειγμα Ένα προϊόν έχει τις παρακάτω συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης: d s Q d = 4 P = P Q s Με τα Q d, Q s να δίνονται σε τεμάχια και η τιμή P σε χιλιάδες. Να προσδιοριστεί η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας του προϊόντος. Απάντηση Για να ισορροπεί η αγορά θα πρέπει να ισχύει: 6 Qd = Qs 4 P = P P = = 3 χιλιάδες -- Ι.Β.Τανούδης

51 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών Παρατήρηση Ποσότητα ισορροπίας είναι αυτή που διατίθεται στην αγορά και η οποία απορροφάται εξ ολοκλήρου (αφού υπάρχει ισορροπία). Συμβολίζεται με Q. Ο υπολογισμός της ποσότητας ισορροπίας γίνεται εύκολα χρησιμοποιώντας μια από τις δυο σχέσεις ( Q, Q). s Για παράδειγμα είναι: d Q d = 4 P Q = 4 3 = P = 3 τεμάχιο προϊόντος Παράδειγμα (Μη γραμμικό) Ένα προϊόν έχει τις παρακάτω συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης: Με τα Q d, Q d = 4 P Q s = 4P Q s να δίνονται σε τεμάχια και η τιμή P σε. Να προσδιοριστεί η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας του προϊόντος. Απάντηση Η τιμή ισορροπίας P θα είναι: Q d = Q s 4 P = 4P P P = + 4P 5 = 0 P = 5 δεκτή απορρίπτεται Η τιμή P απορρίπτεται διότι είναι αρνητική και δεν έχει καμία οικονομική ερμηνεία. Συνεπώς η τιμή ισορροπίας είναι P = Για την ποσότητα ισορροπίας θα έχουμε: Qd = 4 P Q P = = 4 = 3 τεμάχια προϊόντος Ασκήσεις (Άλυτες) Να υπολογιστούν οι τιμές ισορροπίας P,Q στις παρακάτω περιπτώσεις: ( a) Q Q s = 5 3P d ( β) = 6P 0 Q Q d s = 30 P = 5P 6 ( γ) Q Q d s = 3 P = 6P 4 ( δ) Q Q d s = 8 P = P -- Ι.Β.Τανούδης

52 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών Γενική ισορροπία Τα όσα αναφέρθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο γενικεύονται ώστε να ισχύουν και σε περιπτώσεις προϊόντων περισσότερων του ενός που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους ( ηλαδή σε πιο ρεαλιστικές καταστάσεις). Στην πραγματικότητα, για κάθε αγαθό υπάρχουν πολλά υποκατάστατα και συμπληρωματικά αγαθά άρα οι ποσότητες ζήτησης και προσφοράς δεν είναι συναρτήσεις μόνο της τιμής του συγκεκριμένου προϊόντος αλλά και διαφόρων άλλων σχετικών με αυτό. Ας υποθέσουμε πως οι ποσότητες προσφοράς και ζήτησης δυο αγαθών δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: Α προϊόν Β προϊόν Q Q Q Q d s d s = 0 P + P = + 3P = 5 + P P = + P όπου P, P, Q d, Q s Q, Q οι τιμές, συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης πρώτου και d δεύτερου αγαθού αντίστοιχα. Παρατήρηση s Το γεγονός ότι οι συναρτήσεις Q, Q,, Q d s d s Q είναι συναρτήσεις και των δυο τιμών ( P, P ) υποδηλώνει ότι τα δυο αγαθά είναι υποκατάστατα το ένα του άλλου. Μ άλλα λόγια επηρεάζει το ένα το άλλο τόσο στην τιμή όσο και στις ποσότητες προσφοράς και ζήτησης. Για να υπάρχει ισορροπία στην αγορά θα πρέπει να ισχύει: Q d = Q ισορροπία Α προϊόντος και Q Q ισορροπία Β προϊόντος s d = s Συνεπώς θα είναι: Q Q d d = Q s = Q s 0 P + P = + 3P 5P P = 5 + P P = + P P 3P = -6 Το σύστημα αυτό μπορεί να λυθεί με οποιοδήποτε τρόπο θέλουμε (Cramer, Gauss, Αντίστροφο) -3- Ι.Β.Τανούδης

53 Τμήμα Λογιστικής Και δίνει τις λύσεις: 5 P = 3+, 7 Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών 4 P = 6 + (καλύτερα να μην γίνουν οι πράξεις στα 7 κλάσματα διότι δίνουν δεκαδικούς με αρκετά μεγάλο πλήθος δεκαδικών!) Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές P, P στα παίρνουμε τις ποσότητες ισορροπίας Q d και Q d (ή στα Q s, Q s ) Qd = 0 P + P 5 P = 3+ Q = P = Qd = 5 + P P 5 P = 3+ Q 7 4 P = = + 7 τεμάχια τεμάχια Παρατήρηση Εντελώς ανάλογα η έννοια της ισορροπίας τριών αγαθών θα μας οδηγήσει σε ένα γραμμικό σύστημα 3 3 με αγνώστους τι τιμές P, P, P3. Παράδειγμα Α προϊόν Β προϊόν Γ προϊόν Q Q Q Q Q Q d s d s d3 s3 = 0 P + P = + 3P P = 5 + P P = + P + 3P = 0 P + P = 3 + 3P P + P 3 3 4P 3 δίνει Q Q Q d d d3 = Q = Q = Q s s s3 5P + P + P = P + 3P + 3P = 6 5P -P + 4P = Ασκηση Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός υποδείγματος αγοράς δυο προϊόντων είναι: Qd = 8 3P + P Α προϊόν Qs = + 4P Qd = + P P Β προϊόν Qs = + 3P Να υπολογιστούν οι λύσεις ισορροπίας P, P, Q, Q. -4- Ι.Β.Τανούδης

54 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης Χωρίς μεγάλη (ή μάλλον καθόλου) αυστηρότητα συνάρτηση είναι μια διαδικασία η οποία λειτουργεί με τον εξής τρόπο: ίνουμε έναν ή περισσότερους αριθμούς και παίρνουμε σαν αποτέλεσμα έναν αριθμό που τον ονομάζουμε τιμή της συνάρτησης. Συνήθως συμβολίζουμε τις συναρτήσεις με ένα γράμμα του Λατινικού ή Ελληνικού αλφαβήτου ακολουθούμενο από παρενθέσεις οι οποίες περιέχουν το σύνολο των μεταβλητών που χρειάζεται να δώσουμε, προκειμένου να πάρουμε αποτέλεσμα, και που ονομάζονται ανεξάρτητες μεταβλητές. Έτσι για παράδειγμα έχουμε τις συναρτήσεις ( x ), g( x ), φ( x, y) f κ.ο.κ. με ανεξάρτητες μεταβλητές τις x και x, y αντίστοιχα. Μια συνάρτηση εκτός από το όνομα συνοδεύεται και από τον τύπο της ο οποίος μας δίνει μια σχέση μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών ή μ άλλα λόγια τον τρόπο υπολογι- 5 = = 5. x σμού του αποτελέσματος π.χ. f( x) 3x + 7x 6, g( x) Η Συνάρτηση Κόστους Ορισμός Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος από μία βιομηχανία είναι μια συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής την οποία συμβολίζουμε με q ή Q (Quantity). Η συνάρτηση κόστους ή συνολικού κόστους συμβολίζεται με C ( q) ή ( q) TC (Cost ή Total Cost). Ας υποθέσουμε, λοιπόν, πως μια βιομηχανία επεξεργασίας και συσκευασίας γάλακτος έχει συνάρτηση συνολικού κόστους που δίνεται από την παρακάτω σχέση όπου q η ποσότητα, σε δοχεία, γάλακτος. ( q) q TC = + σε Κατ αρχήν ας δώσουμε κάποιους επιπλέον ορισμούς: -- Ι.Β.Τανούδης

55 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών Ορισμός Μια συνάρτηση συνολικού κόστους είναι άθροισμα δυο επιμέρους συναρτήσεων του μεταβλητού κόστους ( VC ( q) Variable Cost) και της συνάρτησης σταθερού κόστους (FC Fixed Cost) Ορισμός Το μέρος, μιας συνάρτησης κόστους που εξαρτάται από την ποσότητα q αποτελεί την συνάρτηση VC ( q). Το μέρος, μιας συνάρτησης κόστους που δεν εξαρτάται από την ποσότητα q αποτελεί την συνάρτηση. FC Στο παράδειγμά μας είναι: ( q) TC = q 3 FC VC ( q) Τι σημαίνουν όμως όλες αυτές οι συναρτήσεις; Ποια είναι δηλαδή η έννοια του μεταβλητού κόστους και του σταθερού κόστους; Σταθερό Κόστος Είναι προφανές πιστεύω, πως μια βιομηχανία σαν αυτή του παραδείγματός μας απότελείται από εργάτες, μηχανές (π.χ. για την συσκευασία του γάλακτος) και από ένα σωρό άλλους παράγοντες που δεν είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε. Όλοι οι παραπάνω παράγοντες συμβάλουν στο συνολικό κόστος της επιχείρησης και ασχέτως της ποσότητας παραγωγής. Για παράδειγμα οι εργάτες κοστίζουν στην επιχείρηση κάθε στιγμή που βρίσκονται στον χώρο εργασίας είτε δουλεύουν είτε όχι, οι μηχανές πρέπει να συντηρούνται συχνά (από ειδικούς που πιθανόν να μην ανήκουν στην επιχείρηση), να καθαρίζονται με ειδικά χημικά κ.ο.κ. Τα έξοδα, λοιπόν, μιας επιχείρησης για λόγους όμοιους με τους παραπάνω αποτελούν το σταθερό κόστος για την παραγωγή ενός προϊόντος. Αν στην συνάρτηση TC ( q) θέσουμε q = 0 (δηλαδή καθόλου παραγωγή) παίρνουμε: TC ( q) = 4000 = FC -- Ι.Β.Τανούδης

56 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών ηλαδή μπορεί την συγκεκριμένη ημέρα η βιομηχανία να μην είχε για κάποιο λόγο παραγωγή (π.χ. ιακοπή ρεύματος από την.ε.η.) ωστόσο οι εργάτες θα πρέπει να πληρωθούν, οι μηχανές και οι χώροι να καθαριστούν κ.λ.π. όλα αυτά, λοιπόν, κοστίζουν Γενικά ισχύει: FC = TC( 0) ηλαδή βρίσκουμε την συνάρτηση FC αν θέσουμε στην TC ( q) q=0 Μεταβλητό Κόστος Έστω πως η παραγωγή κάθε δοχείου γάλακτος κοστίζει στην επιχείρηση 0.7 (ποσότητα γάλακτος, δοχείο συσκευασίας κ.λπ.). Συνεπώς αν η βιομηχανία παράγει q δοχεία γάλακτος το κόστος αυτών θα είναι: 0.7q = VC( q) Ποιο είναι το συνολικό κόστος της επιχείρησης για την παραγωγή 0000 δοχείων γάλακτος; Απάντηση Θα είναι TC ( 0000) = = 000 = Η Συνάρτηση Εσόδων Ορισμός Ως συνάρτηση εσόδων ή συνολικών εσόδων ορίζεται κάθε συνάρτηση που εξαρτάται από την ποσότητα παραγωγής q και μας δίνει τα συνολικά έσοδα μιας επιχείρησης από την πώληση q μονάδων του προϊόντος της. Συμβολίζεται με R ( q) ή ( q) TR. Ας υποθέσουμε ότι η παραπάνω βιομηχανία γάλακτος έχει συνάρτηση συνολικών εσόδων: TR ( q) q =.6q σε 000 Πόσα θα είναι τα έσοδα της βιομηχανίας από την πώληση 0000 δοχείων γάλακτος; -3- Ι.Β.Τανούδης

57 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών Απάντηση 0000 TR( 0000) = = = Η Συνάρτηση Κέρδους Ορισμός Ως συνάρτηση κέρδους ορίζεται η διαφορά των συναρτήσεων συνολικών εσόδων και κόστους. Συμβολίζεται με π ( q). Πράγματι, αν από τα συνολικά έσοδα μιας επιχείρησης αφαιρέσουμε τα συνολικά έξοδα, κατά την παραγωγή ενός προϊόντος, τότε αυτό που απομένει θα είναι τα κέρδη της. Ισχύει λοιπόν: π ( q) TR( q) TC( q) = Κέρδος = Έσοδα -Έξοδα Ποιο θα είναι το κέρδος της επιχείρησης κατά την παραγωγή και πώληση 0000 δοχείων γάλακτος; Απάντηση Σχηματίζουμε, αρχικά, την συνάρτηση κέρδους: π q q = 000 σε 000 ( q) TR( q) TC( q) =.6q ( q) = 0.9q 4000 Συνεπώς για q=0000 είναι: 0000 π( 0000) = = ηλαδή για κάθε δοχείο γάλακτος το κέρδος είναι: = Η Συνάρτηση Ζήτησης Ορισμός Ως συνάρτηση ζήτησης ορίζεται οποιαδήποτε σχέση μεταξύ της τιμής ενός προϊόντος η οποία συμβολίζεται με P ( q) (Price) και της παραγόμενης ποσότητας q. -4- Ι.Β.Τανούδης

58 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών Αποδεικνύεται πως η παραγόμενη ποσότητα ενός προϊόντος από μια επιχείρηση επηρεάζει την τιμή πώλησής του. Ας υποθέσουμε πως η τιμή ενός δοχείου γάλακτος δίνεται από την σχέση: P ( q) q =.6 σε 000 Αυτό σημαίνει πως αν η επιχείρηση βιομηχανία παράγει 8000 δοχεία γάλακτος κάθε δοχείο θα πωληθεί στην τιμή: 8000 P ( 8000) =.6 =.6-8 = Και αν παράγει 0000 τεμάχια τότε η τιμή θα είναι: Παρατήρηση 0000 P ( 0000) =.6 =.6 0 =.6 ανά δοχείο 000 Από την συνάρτηση ζήτησης μπορούμε να δημιουργήσουμε την συνάρτηση συνολικών εσόδων TR ( q) πολλαπλασιάζοντας την συνάρτηση ζήτησης με q Ισχύει: TR ( q) q P( q) = Έσοδα = ποσότητα παραγωγής τιμή τεμαχίου Στο παραπάνω παράδειγμα, αν υποθέσουμε πως η επιχείρηση παράγει q δοχεία γάλακτος το οποίο πουλά σε τιμή P( q) TR ( q) q =.6 τα συνολικά της έσοδα θα είναι: 000 q q = q.6 =.6q Η Συμπληρωματικές συναρτήσεις Οι παραπάνω συναρτήσεις συνολικού κόστους και συνολικών εσόδων αναφέρονται στην συνολική παραγωγή της επιχείρησης. Μ άλλα λόγια δίνουν το σύνολο των εσόδων εξόδων της επιχείρησης για την παραγωγή q δοχείων γάλακτος. Υπάρχουν δυο συναρτήσεις οι οποίες μας δίνουν τις ίδιες έννοιες αλλά για ένα δοχείο γάλακτος. -5- Ι.Β.Τανούδης

59 Τμήμα Λογιστικής Σ..Ο. - Α.Τ.Ε.Ι. Σερρών Συνάρτηση Μέσου Κόστους Πόσο κοστίζει στην βιομηχανία γάλακτος κάθε δοχείο γάλακτος που παράγει; Ορισμός Ως συνάρτηση μέσου κόστους ορίζεται το πηλίκο της συνάρτησης συνολικού κόστους TC ( q) με την παραγόμενη ποσότητα q. Συμβολίζεται με ATC ( q) Ισχύει δηλαδή ( q) (Average Total Cost) TC ATC ( q) = Μέσα Έξοδα = Συνολικά Έξοδα / ποσότητα παραγωγής q ηλαδή είναι: ATC ( q) ( q) TC q q 4000 = = = / = 0.7 ανά δοχείο q q q q/ q Συνεπώς για παραγωγή 5000 δοχείων το μέσο κόστος είναι: Παρατήρηση 4000 ATC ( 5000) = 0.7 = = 0. ανά δοχείο 5000 Πρέπει να διευκρινιστεί πως το παραπάνω κόστος του δοχείου είναι τελείως διαφορετικό από αυτό που δίνει η συνάρτηση VC ( q) διότι το τελευταίο περιέχει όλα τα έξοδα όπως πληρωμές εργατών, συντηρήσεις, κόστος γάλακτος από τον παραγωγό κ.λ.π. Συνάρτηση Μέσων Εσόδων Πόσα είναι τα έσοδα, στην βιομηχανία, από κάθε δοχείο γάλακτος που παράγει; Ορισμός Ως συνάρτηση μέσων εσόδων ορίζεται το πηλίκο της συνάρτησης συνολικών εσόδων TR ( q) με την παραγόμενη ποσότητα q. Συμβολίζεται με ( q) Ισχύει δηλαδή ( q) ATR. TR ATR ( q) = Μέσα Έσοδα = Συνολικά Έσοδα / ποσότητα παραγωγής q -6- Ι.Β.Τανούδης