Το πρόβλημα του διακριτού λογάριθμου και ελλειπτικές καμπύλες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το πρόβλημα του διακριτού λογάριθμου και ελλειπτικές καμπύλες"

Transcript

1 Το πρόβλημα του διακριτού λογάριθμου και ελλειπτικές καμπύλες Εμμανουήλ Δουλγεράκης Επιβλέπων Καθηγητής Ιωάννης A. Αντωνιάδης Πτυχιακή εργασία Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης

2 Η παρούσα πτυχιακή εργασία παρουσιάστηκε στο Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών την 30η Ιουνίου Την επιτροπή αξιολόγησης αποτέλεσαν οι Ιωάννης Α. Αντωνιάδης, Θεόδουλος Γαρεφαλάκης, Νικόλαος Γ. Τζανάκης. Θα επιθυμούσα να ευχαριστήσω τους καθηγητές μου κ. Ι. Αντωνιάδη, Θ. Γαρεφαλάκη, Ν. Τζανάκη που συμμετείχαν στην εξεταστική επιτροπή. Ιδιαιτέρως ευχαριστώ τον κ. Αντωνιάδη υπό την επίβλεψη και την καθοδήγηση του οποίου εκπονήθηκε αυτή η εργασία. 1

3 2 Στους γονείς μου!

4

5 Περιεχόμενα 1 Ο Διακριτός Λογάριθμος Index Caclulus Ελλειπτικές Καμπύλες Βασικές Έννοιες Ενδομορφισμοί Ελλειπτικών Καμπυλών Ιδιάζουσες Καμπύλες Σημεία Torsion Division Polynomials Weil Pairing Tate-Lichtenbaum Pairing Επίθεση εναντίον Κρυπτοσυστήματος με την Βοήθεια των Pairings Η Επίθεση MOV Η Επίθεση Frey-Ruck Αντιμετωπίζοντας την περίπτωση gcd=n στον αλγόριθμο p Η ιδέα πίσω απ τον αλγόριθμο Βελτιώνοντας τον αλγόριθμο Μελετώντας τον περιορισμό ord p (α) ord q (α) Εξετάζοντας την δύναμη του αλγόριθμου

6 Εισαγωγή Ο στόχος της παρούσης πτυχιακής εργασίας είναι αρχικά, η ανάπτυξη μιας θεωρίας πάνω στις ελλειπτικές καμπύλες, την οποία στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε για να επιτεθούμε στο πρόβλημα του διακριτού λογάριθμου. Το πρόβλημα του διακριτού λογάριθμου παίζει σημαντικό ρόλο στη σύχρονη κρυπτογραφία. Ευρείας χρήσεως κρυπτοσυστήματα όπως το El Gamal, αλλά και πρωτόκολλα όπως για παράδειγμα το πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιών Diffie- Hellman στηρίζουν την ασφάλεια τους στην δυσκολία του προβλήματος του διακριτού λογάριθμου. Όπως θα δούμε παρακάτω το πρόβλημα του διακριτού λογάριθμου μπορεί να αναφέρεται σε διάφορες ομάδες. Το πρώτο κεφάλαιο ασχολείται με το πρόβλημα του διακριτού λογάριθμου στην πολλαπλασιαστική ομάδα ενός πεπερασμένου σώματος. Γίνεται μια μικρή εισαγωγή στις ιδέες που κρύβονται πίσω από τον index calculus, έναν αλγόριθμο ο οποίος αντιμετωπίζει το πρόβλημα σε αυτή τη κατηγορία ομάδων. Μια άλλη κλάση ομάδων στην οποία μπορεί να αναφέρεται το πρόβλημα του διακριτού λογάριθμου είναι η ομάδα των ρητών σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης. Συνεπώς στο δεύτερο κεφάλαιο αναπτύσεται μια βασική θεώρια ελλειπτικών καμπυλών που θα χρειαστούμε για να εξετάσουμε το πρόβλημα. Αρχικά ορίζουμε βασικές έννοιες ελλειπτικών καμπυλών και στην συνέχεια ξεκινάμε να χτίζουμε τη θεωρία μας. Το πρώτο θέμα με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι οι ενδομορφισμοί ελλειπτικών καμπυλών, με απώτερο σκοπό να κατανοήσουμε καλύτερα τον ενδομορφισμό που δίνεται από τον πολλαπλασιασμό με n Z κάθε σημείου της ελλειπτικής μας καμπύλης. Ακολουθεί μια αναφορά στις ιδιάζουσες καμπύλες και ύστερα μελετάμε δυο πολύ σημαντικές έννοιες, τα ρητά σημεία πεπερασμένης τάξης (torsion points) και τα πολυώνυμα διαίρεσης (division polynomials). 5

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 6 Εφοδιασμένοι με αυτά τα εργαλεία στη συνέχεια εισάγουμε τις διγραμμικές συζεύξεις (pairing) Weil και Tate-Lichtenbaum. Αυτές είναι δύο απεικονίσεις που θα χρησιμοποιήσουμε αρκετά στο κεφάλαιο 3. Συγκεκριμένα αυτές οι δύο απεικονίσεις αντιστοιχούν σημεία ελλειπτικών καμπυλών σε n ρίζες της μονάδας. Αυτό το γεγονός θα εκμεταλλευτούμε για να δείξουμε πως μπορούμε να ανάγουμε το πρόβλημα του διακριτού λογάριθμου από την ομάδα των ρητών σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης, σε αυτό μιας πολλαπλασιαστικής ομάδας ενός πεπερασμένου σώματος. Στο κεφάλαιο 3 λοιπόν θα περιγράψουμε δύο διαφορετικούς αλγόριθμους που μπορούν να το κάνουν αυτό, την επίθεση MOV και την επίθεση Frey-Ruck. Βασικό βοηθητικό σύγγραμμα για την μελέτη όλων των θεμάτων σχετικά με τις ελλειπτικές καμπύλες ήταν το [2]. Τέλος στο τέταρτο κεφάλαιο της εργασίας θα ασχοληθούμε με τον αλγόριθμο παραγοντοποίησης p-1 του Pollard. Κατά την επεξεργασία του θέματος χρησιμοποιήθηκε κυρίως το [1]. Εκεί θα παρουσιάσουμε έναν τρόπο τον οποίο βρήκαμε ώστε να μπορούμε να αντιμετωπίσουμε κάποιες περιπτώσεις στις οποίες ο κλασικός αλγόριθμος αποτυγχάνει.

8 Κεφάλαιο 1 Ο Διακριτός Λογάριθμος Έστω p πρώτος και a, b ακέραιοι που δεν διαιρούνται με το p. Ας υποθέσουμε ότι ξέρουμε ότι υπάρχει ένας ακέραιος k τ.ω. a k b (mod p). Το κλασικό πρόβλημα του διακριτού λογάριθμου είναι να βρούμε το k. Από τη στιγμή που και το k + (p 1) είναι επίσης λύση, το k μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ορίζεται (mod (p 1)) ή mod ένα διαιρέτη d του p 1 αν a d 1 (mod p). Πιο γενικά, έστω G μια ομάδα και έστω a, b G. Υποθέτουμε οτι ξέρουμε οτι υπάρχει k Z τέτοιο ώστε a k = b. Και σ αυτή τη περίπτωση το πρόβλημα του διακριτού λογάριθμου είναι να βρούμε το k. Για παράδειγμα, G θα μπορούσε να είναι η πολλαπλασιαστική ομάδα F q ενός πεπερασμένου σώματος. Επίσης η G θα μπορούσε να είναι και η E(F q ) για κάποια ελλειπτική καμπύλη. Σ αυτή τη περίπτωση τα a και b είναι σημεία πάνω στην E και προσπαθούμε να βρούμε έναν ακέραιο k τ.ω. ka = b. Η ασφάλεια πολλών κρυπτοσυστημάτων βασίζεται στη δυσκολία του προβλήματος του διακριτού λογάριθμου. Μια μέθοδος για να επιτεθούμε στο πρόβλημα είναι με ωμή βία. Δοκιμάζουμε όλες τις δυνατές τιμές του k μέχρι κάποια να δουλέψει. Αυτό όμως δεν είναι πρακτικό όταν το k είναι ένας πολύ μεγάλος ακέραιος, για παράδειγμα με μερικές εκατοντάδες ψηφία. Άρα χρειαζόμαστε καλύτερες τεχνικές για να επιτεθούμε στο πρόβλημα. Μια τέτοια τεχνική είναι αυτή του index calculus η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο F p και πιο γενικά στην πολλαπλασιαστική ομάδα ενός πεπερασμένου σώματος. Ωστόσο δεν εφαρμόζεται σε τυχαίες ομάδες. Υπάρχουν κι άλλες μέθοδοι, πιο γενικές, όπως η Pohlig-Hellman, Baby step-giant step, Pollard ρ και λ. Αυτές μπορούν να εφαρμοστούν και για την ομάδα των ρητών σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης. Τελικά θα δείξουμε οτι για κάποιες ειδικές κλάσεις ελλειπτικών καμπυλών, μπορούμε να ανάγουμε το πρόβλημα του διακριτού λογάριθμου από την ομάδα E(F q ) σε αυτό 7

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ 8 της F q. 1.1 Index Caclulus Έστω p πρώτος και g μια πρωταρχική ρίζα (mod p) το οποίο σημαίνει οτι το g είναι γεννήτορας της κυκλικής ομάδας F p. Οπότε κάθε h 0 (mod p) μπορεί να γραφεί ως h g k (mod p) για κάποιο ακέραιο k ο οποίος είναι μοναδικά καθορισμένος (mod (p 1)). Έστω k = L(h) ο διακριτός λογάριθμος του h ως προς g (mod p) άρα g L(h) h (mod p). Έστω h 1, h 2 F p τότε g L(h 1h 2 ) h 1 h 2 g L(h 1)+L(h 2 ) (mod p). Επομένως L(h 1 h 2 ) L(h 1 ) + L(h 2 ) (mod (p 1)) Ο index calculus είναι μια μέθοδος υπολογισμού τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης L. Η ιδέα είναι να υπολογίσουμε το L(l) για αρκετούς μικρούς πρώτους l και μετά να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες για να υπολογίσουμε το L(h) για τυχαίο h. Το σύνολο των μικρών πρώτων που θα επιλέξουμε καλείται βάση παραγοντοποίησης. Αρχικά θα υπολογίζουμε δυνάμεις του g (mod p) και αν το αποτέλεσμα παραγοντοποιείται από τους πρώτους της βάσης μας θα κρατάμε την σχέση. Όταν θα έχουμε αρκετές σχέσεις θα είμαστε σε θέση να λύσουμε ένα σύστημα το οποίο θα μας επιτρέψει να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης L για όλους τους πρώτους της βάσης παραγοντοποίησης που έχουμε επιλέξει. Στη συνέχεια αν θέλουμε να λύσουμε το πρόβλημα a k b (mod p) τότε θα υπολογίζουμε την τιμή bg i (mod p) για αρκετές τιμές του i μέχρις ότου το αποτέλεσμα να παραγοντοποιείται από την βάση που έχουμε επιλέξει. Τότε χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που έχουμε καταγράψει από το προηγούμενο βήμα θα βρούμε το k. Με ένα παράδειγμα θα γίνει πιο κατανοητή η μέθοδος. Παράδειγμα : Έστω p = 1223 και g = 5 και θέλουμε να λύσουμε το πρόβλημα 5 k 329 (mod p). Επιλέγουμε την βάση παραγοντοποίησης μας να είναι B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}.

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ 9 Μετά από μερικές δοκιμές καταλήγουμε στις παρακάτω σχέσεις: (mod 1223) (1.1) (mod 1223) (1.2) (mod 1223) (1.3) (mod 1223) (1.4) (mod 1223) (1.5) (mod 1223) (1.6) Αυτές οι εξισώσεις μπορούν να μετατραπούν σε εξισώσεις για διακριτούς λογάριθμους. Αυτό θα μας οδηγήσει σε ένα γραμμικό σύστημα με άγνωστους τις τιμές της συνάρτησης L για τους πρώτους της βάσης παραγοντοποίησης που έχουμε επιλέξει. Οπότε γνωρίζοντας οτι (mod 1223) μπορούμε να καταλήξουμε στο παρακάτω σύστημα L(2) + L(3) 9 (mod 1222) L(3) 13 (mod 1222) L(11) + L(13) 28 (mod 1222) L(2) + L(7) + L(13) 54 (mod 1222) L(11) 58 (mod 1222) 2L(2) + L(7) + L(17) 66 (mod 1222) Από την πέμπτη εξίσωση έχουμε κατευθείαν ότι L(11) = 58. Αντικαθιστώντας στην τρίτη εξίσωση τώρα πάιρνουμε ότι L(13) = Η δεύτερη εξίσωση μας δείνει οτι L(3) = 156 ή L(3) = 767 όμως, (mod 1223) και (mod 1223) οπότε L(3) = 156. Από την πρώτη εξίσωση συμπεραίνουμε ότι L(2) = 464 και από την τέταρτη οτι L(7) = 842 αντίστοιχα. Τέλος από την έκτη εξίσωση συμπεραίνουμε οτι L(17) = 740 και προφανώς έχουμε ότι L(5) = 1. Οπότε εφόσον έχουμε την τιμή της συνάρτησης L για όλους τους πρώτους της βάσης παραγοντοποίησης μπορούμε να προχωρήσουμε στο επόμενο βήμα. Τώρα δοκιμάζουμε τιμές για το i μέχρις ότου το i (mod 1223) να παραγοντοποιείται από τους πρώτους της βάσης παραγοντοποίησης που έχουμε επιλέξει. Μετά από μερικές δοκιμές βρίσκουμε ότι (mod 1223)

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ 10 Αυτό μας οδηγεί στην παρακάτω σχέση, L(329) + 37 L(3) + L(7) + L(11) (mod 1222) Άρα L(329) (mod 1222) L(329) = Η μέθοδος του index calculus όπως είδαμε μπορεί να εφαρμοστεί στην F p αλλά μπορούμε να την γενικεύσουμε και για την πολλαπλασιαστική ομάδα F q οποιουδήποτε πεπερασμένου σώματος.

12 Κεφάλαιο 2 Ελλειπτικές Καμπύλες 2.1 Βασικές Έννοιες Έστω ένα σώμα K, ορίζουμε την εξής σχέση για τα στοιχεία (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) του K 3 εξαιρώντας το (0, 0, 0). (x 1, y 1, z 1 ) (x 2, y 2, z 2 ) αν υπάρχει a K τ.ω. x 2 = ax 1, y 2 = ay 1, z 2 = az 1,. Αποδεικνύεται ότι αυτή είναι μια σχέση ισοδυναμίας. Την κλάση ισοδυναμίας ενός σημείου (x, y, z) την συμβολίζουμε με [x, y, z]. Ορισμός. Το προβολικό επίπεδο P 2 (K) ορίζεται να είναι το συνόλο των κλάσεων ισοδυναμίας που έπεται από την παραπάνω σχέση. Τα πεπερασμένα σημεία του P 2 (K) είναι αυτά για τα οποία z 0 και αντιστοιχούν αμφιμονοσήμαντα στα σημεία του αφινικού επιπέδου A 2 (K) δηλαδή [x, y, z] (x, y). Τα επ άπειρο σημεία του προβολικού επιπέδου P 2 (K) αντιστοιχούν στην τιμή z = 0. Ορισμός. Έστω C ανάγωγη (δεν αναλύεται σε γινόμενο πολυωνύμων μικρότερου βαθμού) κυβική καμπύλη. Ένα σημείο P θα λέγεται ιδιάζον όταν κάθε ευθεία που διέρχεται από το P τέμνει την C σε ακριβώς ένα ακόμη σημείο. Αν η καμπύλη μας δεν έχει κανένα τέτοιο σημείο τότε λέγεται μη-ιδιάζουσα. Θεωρούμε μια μη-ιδιάζουσα προβολική κυβική καμπύλη C K. Το επ άπειρο σημείο της καμπύλης θεωρείται, πάντοτε, K-ρητό σημείο της καμπύλης. Η καμπύλη μπορεί να παρασταθεί από την γενικευμένη εξίσωση Weierstrass Y 2 Z +a 1 XY Z +a 3 Y Z 2 = X 3 +a 2 X 2 Z +a 4 XZ 2 +a 6 Z 3 όπου a 1, a 2, a 3, a 4, a 6 K. Η καμπύλη έχει ένα επ άπειρο σημείο, αφού για z = 0 έπεται x 3 = 0 δηλαδή x = 0 και συνεπώς το σημείο αυτό είναι το [0, 1, 0]. 11

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 12 Παρατήρηση : Αν η chk 2, τότε η καμπύλη μπορεί να παρασταθεί από μια εξίσωση της μορφής Y 2 Z = X 3 + b 2 X 2 Z + b 3 XZ 2 + b 4 Z 3 με b 2, b 3, b 4 K. Αν τώρα chk 2, 3 τότε η καμπύλη μπορεί να παρασταθεί από μια εξίσωση της μορφής Y 2 Z = X 3 + axz 2 + bz 3 με a, b K η οποία λέγεται εξίσωση του Weierstrass. Από εδώ και πέρα θα γράφουμε την εξίσωση της καμπύλης μας αφινικά δηλαδή στην τελευταία περίπτωση θα έχουμε μια εξίσωση της μορφής Y 2 = X 3 + ax + b. Εδώ τώρα το γεγονός ότι η καμπύλη είναι μηιδιάζουσα είναι ισοδύναμο με το να είναι η διακρίνουσα του X 3 +ax +b διάφορη του μηδενός, δηλαδή = 4a b 2 0. Για κάθε επέκταση L/K ορίζεται το σύνολο E(L) = {(x, y) L L : y 2 + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 } {O}, όπου O το επ άπειρο σημείο. Αυτό το σύνολο μπορούμε να το εφοδιάσουμε με μια πράξη πρόσθεσης με ουδέτερο στοιχείο το επ άπειρο στοιχείο O = [0, 1, 0]. Έστω P 1, P 2 E(K) με P 1 = (x 1, y 1 ) και P 2 = (x 2, y 2 ) τότε ορίζεται το σημείο R = P 1 + P 2 E(K). Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν P 1 = O τότε R = P 2 ή αν P 2 = O τότε R = P 1. Αλλιώς αν x 1 = x 2 και y 1 = y 2 τότε R = O. Διαφορετικά θέτουμε λ = y 1 y 2 x 1 x 2 3x a 2y 1 αν P 1 = P 2 αλλιώς Τότε R = (λ 2 x 1 x 2, λx 3 ν) όπου ν = y 1 λx 1 και x 3 = λ 2 x 1 x 2. Πρόταση Η παραπάνω πράξη εφοδιάζει το σύνολο E(K) με δομή αβελιανής ομάδας με ουδέτερο το στοιχείο O. Γεωμετρική ερμηνεία: Η πράξη η οποία ορίσαμε πάνω στο σύνολο E(K) μπορεί να ερμηνευθεί και γεωμετρικά. Έστω λοιπόν P 1 = (x 1, y 1 )

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 13 και P 2 = (x 2, y 2 ) δυο διαφορετικά σημεία της ελλειπτικής καμπύλης η οποία ορίζεται από την εξίσωση y 2 = x 3 + ax + b και θεωρούμε ότι x 1 x 2. Έστω L η ευθεία που διέρχεται από τα P 1 και P 2. Τότε η L τέμνει την E σε ακριβώς ένα ακόμα σημείο, το R = (x 3, y 3 ), τότε το Q = (x 3, y 3 ) είναι το άθροισμα των δύο σημείων P 1 και P 2. Συμβολίκα γράφουμε Q = P 1 P 2. Αν P 1 = P 2 τότε θεωρούμε την εφαπτομέμη που περνάει από αυτο το σημείο και κοιτάμε πάλι ποιό είναι το τρίτο σημείο τομής με την E. Θεώρημα Mordell. Έστω E μια ελλειπτική καμπύλη ορισμένη υπέρ το Q. Τότε η E(Q) είναι μια πεπερασμένα παραγόμενη αβελιανή ομάδα. Μια απόδειξη του θεωρήματος δίνεται στο [3]. Ορισμός. Το σύνολο των σημείων της E(K) που έχουν πεπερασμένη τάξη το συμβολίζουμε E(K) tor. Παρατήρηση : Για το E(K) tor ισχύει ότι είναι υποομάδα της E(K). 2.2 Ενδομορφισμοί Ελλειπτικών Καμπυλών Θεωρούμε μια ελλειπτική καμπύλη E K και K μια αλγεβρική θήκη του K τότε E(K) := {P = (x, y) K K y 2 = x 3 + ax + b} {O} Ορισμός. Ενδομορφισμός της E είναι μια απεικόνιση a : E(K) E(K) η οποία είναι ομομορφισμός ομάδων και δίνεται μέσω ρητών συναρτήσεων. Δηλαδή έχουμε a(p 1 P 2 ) = a(p 1 ) a(p 2 ) και αν P = (x, y) τότε a(x, y) = (R 1 (x, y), R 2 (x, y)) όπου R i (x, y) = F i(x, y) για i = 1, 2 με G i (x, y) τα F i (x, y) και G i (x, y) να ανήκουν στο K[X, Y ]. Προφανώς αφού a ομομορφισμός a(o) = O. Υποθέτουμε ότι a όχι τετριμμένος, δηλαδή P = (x, y) E(K) τ.ω. a(p ) = a(x, y) O. Παράδειγμα : Έστω E η ελλειπτική καμπύλη που ορίζεται από την εξίσωση y 2 = x 3 + Ax + B και έστω επίσης μια απεικόνιση a : E(K) E(K) τ.ω. a(p ) = 2P. Έχουμε a(x, y) = (R 1 (x, y), R 2 (x, y))

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 14 όπου ( 3x 2 ) 2 + A R 1 (x, y) = 2x 2y ( 3x 2 ) ( + A 3x 2 ) + A R 2 (x, y) = R 1 (x, y) y + x 2y 2y ( 3x 2 )( ( + A 3x 2 ) 2 ) + A = 3x y 2y 2y Επίσης, a(p ) = 2P a(q) = 2Q, οπότε και a(p Q) = 2(P Q) = 2P 2Q = a(p ) a(q) Εστω y 2 = x 3 + Ax + B, 0. (x, y) E(K) μπορούμε να αντικαταστήσουμε κάθε άρτια δύναμη του y από το x 3 +Ax+B και κάθε περιττή δύναμη του y γίνεται y(πολυώνυμο του x). Συνεπώς, R(x, y) = p 1(x) + p 2 (x)y p 3 (x) + p 4 (x)y = [p 1(x) + p 2 (x)y][p 3 (x) p 4 (x)y] [p 3 (x) + p 4 (x)y][p 3 (x) p 4 (x)y] = q 1(x) + q 2 (x)y q 3 (x) Θεωρούμε ένα ενδομορφισμό με a(x, y) = (R 1 (x, y), R 2 (x, y)) και R 1 (x, y) = q 1(x) + q 2 (x)y q 3 (x), R 2 (x, y) = q 4(x) + q 5 (x)y q 6 (x) Ο a είναι ομομορφισμός ομάδων άρα a(x, y) = a( (x, y)) = a(x, y). Επομένως Οπότε παίρνουμε a(x, y) = (R 1 (x, y), R 2 (x, y)) a(x, y) = (R 1 (x, y), R 2 (x, y)) = (R 1 (x, y), R 2 (x, y)) R 1 (x, y) = R 1 (x, y) R 2 (x, y) = R 2 (x, y)

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 15 Όμως R 1 (x, y) = q 1(x) q 2 (x)y q 3 (x) q 2 (x)y = q 2 (x)y q 2 (x) = 0, R 1 (x, y) = q 1(x) + q 2 (x)y q 3 (x) Όμοια R 2 (x, y) = R 2 (x, y) q 4(x) + q 5 (x)( y) = q 4(x) q 5 (x)y q 6 (x) q 6 (x) q 4 (x) = 0. Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι a(x, y) = (r 1 (x), r 2 (x)y) όπου r 1 (x), r 2 (x) ρητές συναρτήσεις της μεταβλητής x με συντελεστές από το σώμα K. Ερώτημα: Αν r 1 (x) = p(x) με (p(x), q(x)) = 1 τι γίνετε αν q(x) = 0? q(x) Αν q(x) = 0 τότε ορίζουμε ότι a(x, y) = O Ορισμός. Ο βαθμός deg(a) του ενδομορφισμού a με a(x, y) = (r 1 (x), r 2 (x)y) ορίζεται να είναι deg(a) = max{deg p(x), deg q(x)} όπου r 1 (x) = p(x) q(x) αν ο a δεν είναι ο τετριμμένος. Αν a = 0, τότε deg(0) = 0. Ορισμός. Ο ενδομορφισμός a, a 0 θα λέγεται διαχωρίσιμος (seperable) ενδομορφισμός r 1(x) 0. Παράδειγμα : Θεωρούμε τον ενδομορφισμό a(p ) = 2P μιας ελλειπτικής καμπύλης ορισμένης πάνω από ένα σώμα χαρακτηριστικής 0 και έχουμε, ( 3x 2 ) 2 + A R 1 (x, y) = 2x 2y R 1 (x, y) = 9x4 + 6Ax 2 + A 2 8x(x 3 + Ax + B) 4(x 3 + Ax + B) = x4 2Ax 2 8Bx + A 2 4(x 3 + Ax + B) = r 1 (x) Άρα deg(a) = max{4, 3} = 4. Άρα ο a είναι ένας ενδομορφισμός βαθμού 4. Για να είναι και διαχωρίσιμος πρέπει r 1(x) 0 p (x) 0 ή q (x) 0. Όμως q (x) = 4(x 3 + A) το οποίο δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο σε χαρακτηριστική 0 οπότε ο ενδομορφισμός είναι διαχωρίσιμος. Θεωρούμε τον προηγούμενο ενδομορφισμό αλλά αυτή τη φορά για μια ελλειπτική καμπύλη σε χαρακτηριστική 2. Από τη θεωρία [2] γνωρίζουμε ότι αν δουλεύουμε σε σώμα χαρακτηριστικής 2 μπορούμε να

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 16 μετασχηματίσουμε την εξίσωση της καμπύλης μας σε μια από τις παρακάτω. y 2 + xy = x 3 + a 2 x 2 + a 6 y 2 + a 3 y = x 3 + a 4 x + a 6 Αρχικά θα θεωρήσουμε ότι η εξίσωση της καμπύλης έχει την μορφή y 2 + xy = x 3 + a 2 x 2 + a 6. Έχουμε ότι a(x, y) = (r 1 (x), R 2 (x, y)) με r 1 (x) = x 4 + a 6 x 2 οπότε deg(a) = max{4, 2} = 4. p(x) = x 4 + a 6 p (x) = 4x 3 = 0 q (x) = 2x = 0 άρα r 1(x) = 0 οπότε δεν είναι διαχωρίσιμος. Παρατηρήσεις : Γενικά αν chk = p τότε o ενδομορφισμός a : E(K) E(K) με a(p ) = pp είναι ενδομορφισμός βαθμού p 2 αλλά όχι διαχωρίσιμος. Σημαντικό παράδειγμα είναι ο ενδομορφισμός του Frobenius. Υποθέτουμε E Fq και ορίζουμε ο ενδομορφισμός του Frobenius να είναι ϕ q (x, y) = (x q, y q ). Λήμμα Έστω E Fq τότε ο ϕ q είναι ενδομορφισμός της Ε με deg(ϕ q ) = q αλλά ϕ q δεν είναι διαχωρίσιμος. Απόδειξη. Προφανώς η ϕ q (x, y) δίνεται μέσω ρητών συναρτήσεων (και μάλιστα πολυωνύμων) και deg(ϕ q ) = q. Θέλουμε να δείξουμε ότι η ϕ q είναι ομομορφισμός ομάδων. ϕ q : E(F q ) E(F q ). Έστω P 1 = (x 1, y 1 ) E(F q ), P 2 = (x 2, y 2 ) E(F q ) Υποθέτουμε P 1 P 2 και x 1 x 2. P 3 = P 1 P 2 = (x 3, y 3 ) με x 3 = λ 2 x 1 x 2, y 3 = λ(x 1 x 3 ) y 1 όπου λ = y 2 y 1 x 2 x. Υψώνουμε στη q δύναμη άρα x q 3 = (λ 2 x 1 x 2 ) q = 1 λ 2q x q 1 x q 2 = (λ q ) 2 x q 1 x q 2 = m 2 x q q 1 x 2 ( όπου m = λ q y2 y ) q 1 y q q 2 y 1 = = x 2 x 1 x q q 2 x 1 y 3 q = [λ(x 1 x 3 ) y 1 ] q = λ q (x 1 q x 3 q ) y 1 q = m (x 1 q x 3 q ) y 1 q ή Επίσης ϕ q (x 3, y 3 ) = (x 3 q y 3 q ) ϕ q (x 1, y 1 ) = (x 1 q, y 1 q ) ϕ q (x 2, y 2 ) = (x 2 q, y 2 q )

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 17 m είναι η κλίση της ευθείας που περνάει από τα (x q 1, y q 1 ) και (x q 2, y q 2 ) οπότε ϕ q (x 1, y 1 ) + ϕ q (x 2, y 2 ) = ϕ q (x 3, y 3 ) Αν P 1 = P 2 = (x 1, y 1 ) τότε P 3 = 2P 1 = (x 3, y 3 ) με x 3 = λ 2 2x 1, y 3 = λ(x 1 x 3 ) y 1 όπου λ = 3x A 2y 1 Υψώνουμε στη q δύναμη: x q 3 = λ 2q 2 q x q 1 = (m ) 2 q 2x 1 y q 3 = [λ(x 1 x 3 ) y 1 ] q = λ q (x q 1 x q 3 ) y q 1 = m (x q 1 x q q 3 ) y 1 όπου m = 3q x 2q 1 + A q 2 q q = 3(x 1 q ) 2 + A q y 1 2y 1 Άρα ϕ q (2(x 1, y 1 )) = ϕ q (x 1, y 1 ) + ϕ q (x 1, y 1 ) Τέλος r 1(x) = qx q 1 = 0, άρα όχι διαχωρίσιμος. Πρόταση Έστω α 0 διαχωρίσιμος ενδομορφισμός της E. Τότε deg(α) = #Ker(α) όπου Ker(α) ο πυρήνας του ομομορφισμού α : E(K) E(K). Αν ο α 0 δεν είναι διαχωρίσιμος, τότε deg(α) > #Ker(α). Απόδειξη. Έχουμε ότι α(x, y) = (r 1 (x), r 2 (x)y) όπου r 1 (x) = p(x) q(x) και α διαχωρίσιμος r 1(x) 0 p (x)q(x) p(x)q (x) 0. Έστω S = {x K (pq p q)q(x) = 0}. Έστω (a, b) E(K) τ.ω. 1) a 0, b 0, (a, b) O 2) deg(p(x) aq(x)) = max{deg(p), deg(q)} = deg(α) 3) a / r 1 (S) 4) (a, b) α(e(k)) Γιατί υπάρχει το (a, b); Εφόσον το pq p q δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο το S είναι πεπερασμένο οπότε και το r 1 (S) είναι πεπερασμένο. Η συνάρτηση r 1 (x) παίρνει άπειρο πλήθος τιμών καθώς το x K (αν όχι τότε για κάποιο c K θα υπήρχαν άπειρα x K τ.ω. r 1 (x) = c p(x) = c p(x) cq(x) = 0 για άπειρα x K p(x) cq(x) q(x) 0 p(x) cq(x) p(x), q(x) έχουν κοινές ρίζες, άτοπο αφού (p(x), q(x)) = 1) Εφόσον για κάθε x K υπάρχει (x, y) E(K) άρα το α(e(k)) είναι άπειρο (η r 1 (x) παίρνει άπειρες τιμές). Άρα υπάρχει ένα τέτοιο (a, b). Θα αποδείξουμε ότι deg(a) = #{(x 1, y 1 ) E(K) α(x 1, y 1 ) = (a, b)} άρα p(x 1 ) q(x 1 ) = a και y 1r 2 (x 1 ) = b. Αφού (a, b) O q(x 1 ) 0 άρα το r 2 (x 1 ) ορίζεται. Εφόσον b 0 y 1 = r b. Οπότε αρκεί να μετρήσουμε τα 2 (x 1 ) x 1. Εξ υποθέσεως το p(x) aq(x) = 0 έχει deg(α) ρίζες. Αρκεί να δείξουμε ότι δεν έχει ρίζες με πολλαπλότητα. Έστω ότι έχει μια, x 0 τότε

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 18 p(x 0 ) aq(x 0 ) = 0 και p (x 0 ) aq (x 0 ) = 0 p(x 0 ) = aq(x 0 ) aq (x 0 ) = p (x 0 ) Άρα ap(x 0 )q (x 0 ) = ap (x 0 )q(x 0 ) (pq p q)(x 0 ) = 0. Συνεπώς το x 0 είναι ρίζα του πολυωνύμου (pq p q)(x). Όμως x 0 S r 1 (x 0 ) r 1 (S) a = p(x 0) q(x 0 ) r 1(S), άτοπο. Τελικά αφού υπάρχουν ακριβώς deg(α) σημεία (x 1, y 1 ) τ.ω. α(x 1, y 1 ) = (a, b) τότε Ker(α) = deg(α). Θεώρημα Εστω E μια ελλειπτική καμπύλη ορισμένη πάνω από ένα σώμα K. Έστω α, α 0 ένας ενδομορφισμός της E. Τότε α : E(K) E(K) είναι επιμορφισμός. Απόδειξη. Έστω (a, b) E(K). Εφόσον α(o) = O υποθέτουμε ότι (a, b) O. Έστω r 1 (x) = p(x) q(x) Περίπτωση 1) Αν το πολυώνυμο p(x) aq(x) δεν είναι σταθερό πολυώνυμο τότε έχει μια ρίζα x 0, δηλαδή p(x 0 ) aq(x 0 ) = 0. Αν q(x 0 ) = 0, τότε q(x 0 ) = 0 και p(x 0 ) aq(x 0 ) = 0 άρα p(x 0 ) = 0 οπότε τα p, q έχουν κοινή ρίζα, άτοπο q(x 0 ) 0. Επιλέγουμε το y 0 K να είναι μια από τις τετραγωνκές ρίζες του x 0 3 +Ax 0 +B. Tότε το α(x 0, y 0 ) ορίζεται και είναι ίσο με (a, b ) για κάποιο b K. Όμως b 2 = a 3 + Aa + B = b 2 b = ±b. Αν b = b τελειώσαμε, αν b = b τότε α(x 0, y 0 ) = (a, b ) = (a, b). Περίπτωση 2) Έστω ότι το πολυώνυμο p(x) aq(x) είναι σταθερό πολυώνυμο. Εφόσον ο Ker(α) είναι πεπερασμένος από την πρόταση 2.2.1, μόνο πεπερασμένο το πλήθος σημεία αντιστοιχούν σε ένα σημείο. Άρα είτε p(x) είτε q(x) δεν είναι σταθερό, αφού E(K) άπειρη. Αν p και q είναι δυο μη σταθερά πολυώνυμα τότε υπάρχει το πολύ ένα a τ.ω. p(x) aq(x) να είναι σταθερό διότι αν υπήρχαν δυο a, a τ.ω. p aq = c 1 και p a q = c 2 τότε (p aq) (p a q) = (a a)q c 1 c 2 = (a a)q q σταθερό. Επίσης a (p aq) a(p a q) = (a a)p σταθερό p σταθερό. Άτοπο. Άρα υπάρχουν το πολύ 2 σημεία που δεν είναι στην εικόνα της α (αφού το a είναι 1 το πολύ) τα οποία θα είναι (a, b), (a, b) για κάποιο b. Έστω (a 1, b 1 ) ένα οποιοδήποτε άλλο σημείο τ.ω. (a 1, b 1 )+(a, b) (a, ±b) τότε P 1 τ.ω. α(p 1 ) = (a 1, b 1 ) και P 2 τ.ω. α(p 2 ) = (a 1, b 1 ) + (a, b) τότε α(p 2 P 1 ) = α(p 2 ) α(p 1 ) = (a, b) και α(p 1 P 2 ) = (a, b) = (a, b). Άρα η α είναι επί. Παρατήρηση : Ο ενδομορφισμός μας απεικονίζει σημεία από το E(K) στο E(K). Αν το σώμα K δεν είναι αλγεβρικά κλειστό τότε ο

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 19 ενδομορφισμός δεν είναι κατ ανάγκη επί. Τα επόμενα λήμματα θα μας βοηθήσουν στο να διατυπώσουμε μια πρόταση για το πότε ο πολλαπλασιασμός με n είναι διαχωρίσιμος. Λήμμα Έστω E η ελλειπτική καμπύλη y 2 = x 3 + Ax + B. Θεωρούμε ένα σταθερό σημείο (u, v) πάνω στην E και θέτουμε (x, y) + (u, v) = (f(x, y), g(x, y)) όπου f(x, y), g(x, y) ρητές συναρτήσεις των x, y. Το y θεωρείται συνάρτηση του x με dy dx = 3x2 + A 2y. Τότε d f(x, y) dx = 1 g(x, y) y. Απόδειξη. Από τους τύπους της πρόσθεσης σημείων έχουμε ( ) 2 y v f(x, y) = x u x u ( )[( ) 2 y v y v g(x, y) = x u] + y v x u x u x u u v = = (y v)3 + (x + u)(y v)(x u) 2 + u(y v)(x u) 2 v(x u) 3 (x u) 3 = = (y v)3 + x(y v)(x u) 2 + 2u(y v)(x u) 2 v(x u) 3 (x u) 3 d dx f(x, y) = 2y (y v)(x u) 2 (y v) 2 2(x u) (x u) 4 1 = = 2y (y v)(x u) 2(y v) 2 (x u) 3 (x u) 3 (x u) 3( y d dx f(x, y) g(x, y) ) = 2yy (y v)(x u) 2y(y v) 2 y(x u) 3 + (y v) 3 x(y v)(x u) 2 2u(y v)(x u) 2 =... + v(x u) 3 = v(au + u 3 v 2 Ax x 3 + y 2 )+ y( Au u 3 + v 2 + Ax + x 3 y 2 ) = v( B + B) + y(b B) = 0

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 20 εφόσον v 2 = u 3 + Au + B, y 2 = x 3 + Ax + B άρα (x u) 3 (y dx d f(x, y) g(x, y)) = 0 y dx d f(x, y) g(x, y) = 0 d f(x, y) dx = 1 g(x, y) y Λήμμα Έστω α 1, α 2, α 3 μη μηδενικοί ομομορφισμοί μιας ελλειπτικής καμπύλης E με α 1 + α 2 = α 3 και α j (x, y) = ( R αj (x), ys αj (x) ). Υποθέτουμε ότι υπάρχουν σταθερές C α1, C α2 R α 2 (x) S α2 (x) = C α 2 τότε R α 3 (x) S α3 (x) = C α 1 + C α2. τ.ω. R α 1 (x) S α1 (x) = C α 1, Απόδειξη. Έστω (x 1, y 1 ) και (x 2, y 2 ) δύο σημεία της E και (x 3, y 3 ) = (x 1, y 1 )+(x 2, y 2 ) όπου α 1 (x, y) = (x 1, y 1 ) και α 2 (x, y) = (x 2, y 2 ). Τα x 3, y 3 προκύπτουν ως ρητές συναρτήσεις των x 1, y 1, x 2, y 2. Από το προηγούμενο λήμμα, dx 3 dx 1 y 3 = 1 y 1 dx 3 dx 1 = y 3 y 1 ϑx 3 ϑx 1 + ϑx 3 ϑy 1 ϑy 1 ϑx 1 = y 3 y 1 dx 3 dx 2 y 3 = 1 y 2 dx 3 dx 2 = y 3 y 2 ϑx 3 ϑx 2 + ϑx 3 ϑy 2 ϑy 2 ϑx 2 = y 3 y 2 dr αj (x) dx y = C αj S αj (x) = C j αj y αφού ys α j (x) = y j άρα dx j dx = C y j α j y dx 3 dx = ϑx 3 dx 1 ϑx 1 dx + ϑx 3 dy 1 dx 1 ϑy 1 dx 1 dx + ϑx 3 dx 2 ϑx 2 dx + ϑx 3 y 2 dx 2 ϑy 2 x 2 dx ( ϑx3 = + ϑx ) ( 3 dy 1 dx1 ϑx 1 ϑy 1 dx 1 dx + ϑx3 + ϑx ) 3 dy 2 dx2 ϑx 2 ϑy 2 dx 2 dx = y 3 y 1 y 1 y C α 1 + y 3 y 2 y 2 y C α 2 = ( )y 3 C α1 + C α2 y ys α3 (x) = y 3 y 3 y = S α3 (x) άρα dx 3 dx = S α 3 (x) ( ) x3 =R α3 (x) C α1 + C α2 = R α 3 (x) S α3 (x) = C α 1 + C α2

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 21 Πρόταση Έστω E μια ελλειπτική καμπύλη ορισμένη πάνω από ένα σώμα K και n ένας μη μηδενικός ακέραιος. Υποθέτουμε ότι ο πολλαπλασιασμός με n πάνω στην E δίνεται με, n(x, y) = (R n (x), ys n (x)) (x, y) E(K) όπου R n, S n ρητές συναρτήσεις. Τότε R n(x) = n, οπότε ο πολλαπλασιασμός με n είναι διαχωρίσιμος ανν p n όπου p = S n (x) chk. Απόδειξη. Εφόσον R n (x) = R n (x) και S n (x) = S n (x) έχουμε ότι R n(x) S n (x) = R n(x) οπότε αρκεί να αποδείξουμε για n θετικά. S n (x) Επαγωγικά: Για k = 1: Προφανώς ισχύει R k (x) = x, S k (x) = 1, R k(x) S k (x) = 1 Υποθέτουμε ότι ισχύει για k = n και θα αποδείξουμε για n + 1. Αν R n(x) S n (x) = n τότε για α 1(x, y) = (R n (x), ys n (x)) και α 2 (x, y) = (x, y) και α 3 (x, y) = (R n+1 (x), ys n+1 (x)) ισχύει α 3 = α 2 + α 1 και από το προηγούμενο λήμμα ισχύει n+1(x) R S n+1 (x) = n + 1. Έχουμε ότι R n(x) 0 ανν R n(x) = n 0 p n. Άρα διαχωρίσιμος p n. S n (x) Πρόταση Έστω E μια ελλειπτική καμπύλη υπέρ το F q όπου q = p l. Έστω r, s Z όχι και τα δυο μηδέν. Ο ενδομορφισμός rϕ q + s είναι διαχωρίσιμος ανν p s. Απόδειξη. r(x, y) = (R r (x), ys r (x)) ( R rϕq (x), ys rϕq (x) ) = (rϕ q )(x, y) = ( Rr q (x), y q S r q (x) ) = (R r q (x), y(x 3 + Ax + B)q 1 2 S r q (x)) Οπότε C rϕq = R rϕ q S rϕq = qr r q 1 (x)r r(x) S = 0 rϕq C s = R s S s = s από την προηγούμενη πρόταση και από το λήμμα παίρνουμε R rϕ q+s S = C rϕ q + C s = 0 + s άρα R rϕ rϕq +s q +s = 0 ανν p s. 2.3 Ιδιάζουσες Καμπύλες Βασικά ενδιαφερόμαστε για ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες υπέρ το σώμα Q ή κάποιο πεπερασμένο σώμα. Συχνά η μελέτη ελλειπτικών καμπυλών υπέρ το Q απαιτεί τη γνώση της συμπεριφοράς της ανηγμένης καμπύλης (mod p) όπου p P. Για τα p P όπου p (E) όμως,

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 22 η ανηγμένη (mod p) καμπύλη είναι μια ιδιάζουσα κυβική καμπύλη. Εξ ου και ο λόγος που θεωρείται σκόπιμο να μελετήσουμε και ιδιάζουσες κυβικές καμπύλες. Είναι γνωστό ότι μια κυβική καμπύλη έχει το πολύ ένα ιδιάζον σημείο. Μια ιδιάζουσα κυβική καμπύλη έχει ακριβώς ένα ιδιάζον σημείο το οποίο χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι το (0, 0). Αυτό όμως μπορεί να είναι δύο τύπων. Η πρώτη περίπτωση είναι να σχηματίζει κορυφή (cusp) στο σημείο (0, 0) (δεν υπάρχει η παράγωγος στο εν λόγω σημείο). Σ αυτή την περίπτωση η καμπύλη μπορεί να πάρει τη μορφή y 2 = x 3. Ειδάλλως μπορεί να σχηματίζει κόμβο (node) στο σημείο (0, 0) (η εφαπτομένη στο (0, 0) έχει δύο διαφορετικές μεταξύ τους παραγώγους). Αν είμαστε σε αυτή τη περίπτωση η καμπύλη μπορεί να πάρει τη μορφή y 2 = x 2 (x + a). Θεώρημα Έστω E η καμπύλη y 2 = x 3 και έστω E ns (K) τα μη ιδιάζοντα σημεία πάνω σ αυτή την καμπύλη με συντεταγμένες από το K συμπεριλαμβανομένου του O = [0, 1, 0]. Η απεικόνιση E ns (K) K, (x, y) x y, O 0 είναι ισομορφισμός ομάδων ανάμεσα στις E ns (K) και K θεωρούμενη ως προσθετική ομάδα. ( yx ) 2 = 1 t 2 και y = x t = 1 t 2 1 t = 1 t 3 Απόδειξη. Έστω t = x x3 y, τότε x = x 2 = Άρα μπορούμε να εκφράσουμε όλα τα σημεία της E ns (K) συναρτήσει του t. Έστω ότι το t = 0 αντιστοιχεί στο (x, y) = O. Αυτό σημαίνει ότι η απεικόνιση του θεωρήματος είναι 1-1 και επί. Υποθέτουμε ότι (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 3, y 3 ). Πρέπει να δείξουμε ότι t 1 + t 2 = t 3 όπου t i = x i y i Αν (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) x 3 = ( y2 y 1 x 2 x 1 ) 2 x1 x 2 Αντικαθιστώντας x i = 1 t i 2, y i = 1 t i 3 έχουμε ( 3 3 t 2 t2 t 1 3 = t t 1 t 2 3 = (t 1 + t 2 ) 2 )2 t 1 2 t 2 2 ( y2 y Όμοια: y 3 = 1 x 2 x )(x 1 x 3 ) y 1 το οποίο αν αντικαταστήσουμε γίνεται t 3 3 = (t 1 + t 2 ) 3. 1 x 3 y 3 = t t 2 3 = 1 t 1 + t 2 (t 1 + t 2 ) 1 = t 1 + t 2.

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 23 Αν (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) x 3 = 9x x 1 = 9t t 2 1 = 9 4y 1 4t 1 4 t 1 2 2t 2 1 = 4 1t 1 2 y 3 = 3x 1 2 2y (x 1 x 3 ) y 1 = 3t 1 4 ( 14 3 t 2 1 t 2) 1 t 3 1 = 1 1 2t 1 8 t 1 3 x 3 y 3 = t = 2t 1 t 1 Θεωρούμε την περίπτωση όπου x 3 + Ax + B έχει διπλή ρίζα. Υποθέτουμε ότι αυτή η ρίζα είναι το 0 και η καμπύλη E έχει την εξίσωση y 2 = x 2 (x + a) για κάποιο a 0. Το σημείο (0, 0) είναι το μόνο ιδιάζον σημείο της καμπύλης. Έστω E ns (K) τα μη ιδιάζοντα σημεία της E με συντεταγμένες από το K συμπεριλαμβάνοντας το O. Έστω α 2 = a (άρα το α μπορεί να ανήκει σε επέκταση του K). Η εξίσωση της E μπορεί να γραφεί ως ( y x ) 2 = a + x Όταν το x είναι κοντά στο 0 το δεξί μέλος είναι σχεδόν a. Άρα η E ( ) yx 2 y προσεγγίζεται από = a ή x = ±α κοντά στο 0. Αυτό σημαίνει ότι οι δυο εφαπτόμενες της E στο (0, 0) είναι y = αx και y = αx. Θεώρημα Έστω E η καμπύλη y 2 = x 2 (x + a) με a 0, a K. Έστω E ns (K) τα μη ιδιάζοντα σημεία της E με συντεταγμένες από το K. Έστω α 2 = a, θεωρούμε την απεικόνιση ψ : (x, y) y + αx y αx, O 1 1) Αν α K τότε η ψ είναι ισομορφισμός από το E ns (K) στο K ως πολλαπλασιαστική ομάδα. 2) Αν α / K τότε η ψ δίνει έναν ισομορφισμό E ns (K) = {u + αv u, v K, u 2 av 2 = 1} όπου το δεξί μέλος είναι ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό. Απόδειξη. Έστω t = y y + αx αx το οποίο συνεπάγεται x y = αt t αφού ( ) yx 2 ( ) ( ) yx 2 x + a = έχουμε x = a = α t t a = 4α2 t (t 1) 2 και y = 4α3 t(t + 1) (t 1) 3. Άρα το (x, y) καθορίζει το t και το t καθορίζει το (x, y) άρα η ψ είναι 1-1 και επί στην πρώτη περίπτωση. Στην περίπτωση 2 κάνουμε ρητοποίηση του παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με y + αx άρα y + αx y αx = u + αv.

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 24 Μπορούμε να αλλάξουμε το πρόσημο του α στην εξίσωση και να διατηρηθεί η ισότητα. Αρα θα έχουμε y + αx y αx = u + αv y αx y + αx = u αv Οπότε πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη u 2 av 2 (y + αx)(y αx) = (y + αx)(y αx) = 1 ( ) Αντιστρόφως υποθέτουμε u 2 av 2 = 1. Έστω x = u v a, y = ( ) u + 1 v x τότε το (x, y) είναι πάνω στην E και ψ(x, y) = y x + α y x α = u αv (u αv)(u + 1 αv) u + 1 αv = (u + 1 αv) 2 = 1 u αv = u + αv. Άρα είναι 1-1 και επί. Μένει να δείξουμε ότι η ψ είναι ομομορφισμός. Υποθέτουμε (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 3, y 3 ) Έστω t i = y i + αx i y i αx. Πρέπει να δείξουμε οτι t 1 t 2 = t 3. i Αν (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) τότε ( ) y2 y 2 x 3 = 1 x 2 x a x1 x 2 Αντικαθιστώντας x i = 4α2 t i 1 (t i 1) 2, y i = 4α 3 t i (t i + 1) (t i 1) 3 και κάνοντας πράξεις καταλήγουμε οτι 4t 3 (t 3 1) 2 = 4t 1 t 2 (t 1 t 2 1) 2. (1) ( y2 y Όμοια y 3 = 1 x 2 x )(x 1 x 3 ) y 1 που έπεται 1 4α 3 t 3 (t 3 + 1) (t 3 1) 3 = 4α3 t 1 t 2 (t 1 t 2 + 1) (t 1 t 2 1) 3 (2) Από τις (1) και (2) έπεται t 3 1 t = t 1t 2 1 t 1 t t 1t 2 = t 3 Η απόδειξη είναι όμοια αν (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) Όταν ανάγουμε την καμπύλη μας (mod p) και μας προκύψει μια περίπτωση όπως αυτή του θεωρήματος λέμε ότι η αναγωγή μας είναι προσθετική. Η δεύτερη περίπτωση είναι να μας προκύψει μια ιδιάζουσα καμπύλη όπως αυτή του θεωρήματος όπου λέμε ότι η αναγωγή μας είναι πολλαπλασιαστική. Αν είμαστε σ αυτήν την περίπτωση έχουμε πάλι δύο δυνατότητες. Αν ισχύει το (1) του θεωρήματος τότε η πολλαπλασιαστική αναγωγή μας λέγεται split και αντίστοιχα αν ισχύει το (2) η αναγωγή μας λέγεται non-split.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Σημεία Torsion Έστω E μια ελειπτική καμπύλη ορισμένη υπέρ το K. Έστω n ένας θετικός ακέραιος, ενδιαφερόμαστε για το E[n] = {P E(K) np = O} όπου K αλγεβρική θήκη του K. Όταν η χαρακτηριστική του K δεν είναι 2, μπορούμε να φέρουμε την E στη μορφή y 2 = πολυώνυνο τρίτου βαθμού και μπορούμε εύκολα να καθορίσουμε την E[2]. Έστω y 2 = (x e 1 )(x e 2 )(x e 3 ) με e 1, e 2, e 3 K. Ένα σημείο P ικανοποιεί την 2P = O αν και μόνο αν η εφαπτόμενη στο P είναι κάθετηστον άξονα των x. Εύκολα βλέπουμε ότι αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει y = 0 άρα E[2] = {O, (e 1, 0), (e 2, 0), (e 3, 0)} Η E[2] είναι ισόμορφη με την Z 2 Z 2. Αν η χαρακτηριστική είναι 2 η κατάσταση είναι λίγο πιο περίπλοκη. Η E μπορούμε να υποθέσουμε ότι έχει μια από τις δύο μορφές: 1) y 2 + xy + x 3 + a 2 x 2 + a 6 = 0 2) y 2 + a 3 y + x 3 + a 4 x + a 6 = 0 Στην πρώτη περίπτωση a 6 0 και στη δεύτερη a 3 0 (αλλιώς η καμπύλη θα ήταν ιδιάζουσα). Αν το P = (x, y) με P E(K) είναι σημείο τάξης 2 τότε η εφαπτόμενη στο P πρέπει να είναι κάθετη στον άξονα των x το οποίο σημαίνει ότι η μερική παράγωγος ως προς y πρέπει να είναι 0. Στην πρώτη περίπτωση αυτό σημαίνει ότι x = 0. Αντικαθιστώντας στην (1) x = 0 παίρνουμε 0 = y 2 + a 6 = (y + a 6 ) 2. Άρα το (0, a 6 ) είναι το μόνο σημείο τάξης 2 (οι τετραγωνικές ρίζες είναι μοναδικές σε chk = 2) άρα E[2] = {O, (0, a 6 )} ισόμορφη με την Z 2. Στην περίπτωση (2) η μερική παράγωγος ως προς y είναι a 3 0, άρα δεν υπάρχουν σημεία τάξης 2 άρα E[2] = {O} Άρα έχουμε την ακόλουθη πρόταση. Πρόταση: Έστω E μια ελειπτική καμπύλη ορισμένη υπέρ το K. Αν chk 2 τότε E[2] = Z 2 Z 2. Αν chk = 2 τότε E[2] = {O} ή E[2] = Z 2. Ας δούμε τώρα την E[3]. Αρχικά υποθέτουμε οτι chk 2, 3 άρα η E μπορεί να δοθεί στη μορφή y 2 = x 3 +Ax+B. Ένα σημείο P ικανοποιεί την 3P = O αν και μόνο αν 2P = P. Αυτό σημαίνει ότι η x συντεταγμένη του 2P ισούται με αυτή του P (η y-συντεταγμένη διαφέρει ως προς πρόσημο). Από τους τύπους του αθροίσματος σημείων, λ 2 2x = x όπου λ = 3x2 + A 2y άρα λ 2 4y 2 = (3x 2 + A) 2 4λ 2 (x 3 + Ax + B) = (3x 2 + A) 2 όμως λ 2 = 3x άρα (3x 2 + A) 2 = 12x(x 3 + Ax + B) 9x 4 + 6Ax 2 + A 2 = 12x Ax 2 +

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 26 12Bx 3x 4 + 6Ax Bx A 2 = 0 Η διακρίνουσα του πολυωνύμου είναι 6912(4A B 2 ) 2 η οποία δεν είναι 0. Άρα το πολυώνυμο δεν έχει ρίζες με πολλαπλότητα. Άρα υπάρχουν 4 διαφορετικές τιμές του x στο K και κάθε x μας δίνει δυο τιμές του y άρα έχουμε 8 σημεία τάξης 3. Εφ όσον το O ανήκει επίσης στην E[3] βλέπουμε λοιπόν ότι η E[3] ειναι ομάδα τάξης 9 στην οποία κάθε στοιχείο είναι 3-torison. Έπεται E[3] = Z 3 Z 3 Αν τώρα η χαρακτηριστική είναι 3 υποθέτουμε ότι η E έχει τη μορφή y 2 = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6. Πάλι θέτουμε η x συντεταγμένη του 2P ισούται με αυτή του P. Υπολογίζουμε την x συντεταγμένη του 2P και την θέτουμε ίση με αυτή του P. ( 3x 2 )2 ( ) + 2a 2 x + a 4 2y a 2 2x = x 2a2 x + a 2 4 2y a2 = 3x = 0 (2a 2 x + a 4 ) 2 a 2 4y 2 = 0 4a 2 a 4 x+a a 2 2 x 2 4a 2 (x 3 +a 2 x 2 +a 4 x+a 6 ) = 0 4a 2 a 4 x + a a 2 2 x 2 4a 2 x 3 4a 2 x 2 4a 2 a 4 x 4a 2 a 6 = 0 a 2 x 3 + a 2 4 a 2 a 6 = 0 a 2 x 3 + a 2 a 6 a 2 4 = 0 Τα a 2, a 4 δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα 0 καθώς τότε x 3 + a 6 = (x + 3 a 6 ) 3 έχει ρίζα με πολλαπλότητα μεγαλύτερη του 1, άρα ένα τουλάχιστον εκ των a 2, a 4 δεν είναι 0. Αν a 2 = 0 τότε παίρνουμε a 2 4 = 0 το οποίο δεν μπορεί να συμβεί άρα δεν υπάρχουν τιμές του x άρα E[3] = {O} Αν a 2 0 τότε παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής a 2 (x 3 +a) = 0 η οποία έχει μια τριπλή ρίζα σε χαρακτηριστική 3. Άρα υπάρχει μία τιμή του x και αντίστοιχα δυο του y. Αυτό μας δίνει 2 σημεία τάξης 3. Εφόσον συμπεριλαμβάνουμε και το σημείο O βλέπουμε οτι η E[3] έχει τάξη 3 άρα E[3] = Z 3 Θεώρημα Έστω E μια ελλειπτική καμπύλη ορισμένη σε ένα σώμα K και έστω n ένας θετικός ακέραιος. Αν η χαρακτηριστική του K δεν διαιρεί το n ή είναι 0 τότε E[n] = Z n Z n Αν chk = p > 0 και p n τότε γράφουμε n = p r n με p n τότε E[n] = Z n Z n ή E[n] = Z n Z n Το θεώρημα θα αποδειχθεί στην συνέχεια στο τέλος της παραγράφου 2.5. Ορισμός. Μια ελλειπτική καμπύλη E σε χαρακτηριστική p λέγεται κανονική (ordinary) αν E[p] = Z p. Ονομάζεται υπεριδιάζουσα (supersingular) αν E[p] = {O} Ένα κριτήριο για το αν μια ελλειπτική καμπύλη ορισμένη πάνω απο ένα σώμα F q είναι υπεριδιάζουσα είναι το εξής:

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 27 Κριτήριο : Μια ελλειπτική καμπύλη E ορισμένη πάνω απο ένα σώμα F q είναι υπεριδιάζουσα αν και μόνο αν a 0 (mod p) όπου a = q + 1 #E(F q ) και p η χαρακτηριστική του σώματος μας. [4] Έστω n ένας θετικός ακέραιος που δεν διαιρείται από την χαρακτηριστική του K. Επιλέγουμε μια βάση {β 1, β 2 } για την E[n] = Z n Z n. Αυτό σημαίνει ότι κάθε στοιχείο της E[n] μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή m 1 β 1 + m 2 β 2 με m 1, m 2 Z. Τα m 1, m 2 είναι μοναδικά καθορισμένα (mod n). Έστω α : E(K) E(K) ένας ομομορφισμός ομάδων. Τότε ο α απεικονίζει το E[n] στο E[n]. Αυτό ισχύει διότι O = α(o) = α(np ) = nα(p ) οπότε ord(α(p )) n α(p ) E[n]. Άρα υπάρχουν a, b, c, d Z n τ.ω. α(β 1 ) = aβ 1 + cβ 2 και α(β 2 ) = bβ 1 + dβ 2. Άρα κάθε ομομορφισμός α : E(K) E(K) περιορισμένος στην E[n] αναπαριστάται από ένα πίνακα 2 2 ( ) a b α n = c d Η σύνθεση ομομορφισμών αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό των αντίστοιχων πινάκων. Σε πολλές περιπτώσεις ο ομομορφισμός α θα είναι ενδομορφισμός το οποίο σημαίνει ότι δίνεται από ρητές συναρτήσεις. Παράδειγμα : Έστω E η ελλειπτική καμπύλη με εξίσωση y 2 = x 3 2 ορισμένη υπέρ το R και έστω n = 2 τότε E[2] = {O, ( 3 2, 0), (ω 3 2, 0),, (ω 2 3 2, 0)} όπου ω μια μη τετριμμένη κυβική ρίζα της μονάδας. Έστω β 1 = ( 3 2, 0) και β 2 = (ω 3 2, 0). Τότε το {β 1, β 2 } είναι μια βάση της E[2] και β 3 = β 1 + β 2. Πράγματι, ( x 3 = λ x 1 x 2 = ω y 3 = λ(x 3 x 1 ) y 1 = 0 0 = 0 )2 3 2 ω 3 2 = ω Έστω α : E(C) E(C) η μιγαδική συζυγία : α(x, y) = (x, y). Ο α είναι ομομορφισμός. Πράγματι, α(x 1, y 1 ) = (x 1, y 1 ) = P 1 α(x 2, y 2 ) = (x 2, y 2 ) = P 2 (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 3, y 3 ) P 1 P 2

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 28 P 4 = (x 4, y 4 ) = P 1 P 2 ( )2 y2 y ( 1 y2 y ) 2 1 x 4 = x 2 x 1 = x1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 ( y2 y ) 2 1 = x1 x 2 = x 3 x 2 x 1 ( y2 y ) ( 1 y2 y ) 1 y 4 = (x 4 x 1 ) y 1 = (x 3 x 1 ) y 1 x 2 x 1 x 2 x 1 ( y2 y ) 1 = (x 3 x 1 ) y 1 = y 3 x 2 x 1 Άρα P 4 = (x 3, y 3 ) = α(x 3, y 3 ) α(x 1, y 1 ) + α(x 2, y 2 ) = α((x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )) Έχουμε α(β 1 ) = 1 β β 2, α(β 2 ) = β 3 = 1 β β 2 Άρα παίρνουμε τον πίνακα ( 1 ) Division Polynomials Έστω οι μεταβλητές A, B. Ορίζουμε το πολυώνυμο διαίρεσης ψ m Z[x, y, A, B] ως ψ 0 = 0 ψ 1 = 1 ψ 2 = 2y ψ 3 = 3x 4 + 6Ax Bx A 2 ψ 4 = 4y(x 6 + 5Ax Bx 3 5A 2 x 2 4ABx 8B 2 A 3 ) ψ 2m+1 = ψ m+2 ψ 3 m ψ m 1 ψ 3 m+1 για m 2 ψ 2m = (2y) 1 ψ m (ψ m+2 ψ 2 m 1) ψ m 2 ψ 2 m+1 για m 3 Λήμμα Το ψ n είναι πολυώνυμο του Z[x, y 2, A, B] αν το n είναι περιττός και το ψ n 2yZ[x, y 2, A, B] αν το n είναι άρτιος. Απόδειξη. Το λήμμα ισχύει για n 4. Επαγωγικά υποθέτουμε ότι ισχύει n < 2m. Επίσης υποθέτουμε ότι 2m > 4 άρα m > 2. Τότε 2m > m + 2 άρα όλα τα πολυώνυμα που εμφανίζονται στον ορισμό του ψ 2m ικανοποιούν τις υποθέσεις τις επαγωγής.

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 29 Αν ο m είναι άρτιος τότε τα ψ m, ψ m+2, ψ m 2 2yZ[x, y 2, A, B] άρα και το ψ 2m 2yZ[x, y 2, A, B] αφού ψ 2m = (2y) 1 ψ m (ψ m+2 ψ 2 m 1) ψ m 2 ψ 2 m+1 Αν ο m είναι περιττός τότε ψ m 1, ψ m+1 2yZ[x, y 2, A, B] αφού m 1, m + 1 άρτιοι. Οπότε ψ m 1 = 2yP (x, y 2, A, B), ψ m+1 = 2yQ(x, y 2, A, B) άρα ψ 2 m 1 = 4y 2 P 2 (x, y 2, A, B), ψ 2 m+1 = 4y 2 Q 2 (x, y 2, A, B) ψ 2m = (2y) 1 ψ m 4y 2 (ψ m+2 P 2 (x, y 2, A, B)+ψ m 2 Q 2 (x, y 2, A, B) 2yZ[x, y 2, A, B] Άρα ισχύει και για n = 2m Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για n < 2m + 1 τώρα. Αν m είναι άρτιος : ψ m, ψ m+2 2yZ[x, y 2, A, B], ψ m 1, ψ m+1 Z[x, y 2, A, B] άρα ψ 2m+1 = ψ m+2 ψm 3 ψ m 1 ψm+1 3 ψ 2m+1 = 16y 4 P 1 (x, y 2, A, B)P 2 (x, y 2, A, B) P 3 (x, y 2, A, B)P 4 (x, y 2, A, B) Άρα ψ 2m+1 Z[x, y 2, A, B] Αν m είναι περιττός : ψ m, ψ m+2 Z[x, y 2, A, B], ψ m 1, ψ m+1 2yZ[x, y 2, A, B] ψ 2m+1 = P 1 (x, y 2, A, B)P 2 (x, y 2, A, B) 16y 4 P 3 (x, y 2, A, B)P 4 (x, y 2, A, B) Άρα ψ 2m+1 Z[x, y 2, A, B] Ορίζουμε τα πολυώνυμα ϕ m = xψ 2 m ψ m+1 ψ m 1 και ω m = (4y) 1 (ψ m+2 ψ 2 m 1 ψ m 2 ψ 2 m+1). Λήμμα Το ϕ n Z[x, y 2, A, B] για όλα τα n. Αν ο n είναι περιττός τότε ω n yz[x, y 2, A, B]. Αν ο n είναι άρτιος τότε ω n Z[x, y 2, A, B] Απόδειξη. Αν ο n είναι περιττός τότε ψ n+1, ψ n 1 yz[x, y 2, A, B] άρα το γινόμενό τους ανήκει στο Z[x, y 2, A, B] και ψ n Z[x, y 2, A, B] οπότε ϕ n Z[x, y 2, A, B] Aν ο n είναι άρτιος τότε ψ n+1, ψ n 1 Z[x, y 2, A, B] και ψ n yz[x, y 2, A, B] ψ 2 n Z[x, y 2, A, B] άρα ϕ n Z[x, y 2, A, B] Αν ο n είναι περιττός : y 1 ω n = (4y 2 ) 1 (ψ n+2 ψ 2 n 1 ψ n 2 ψ 2 n+1) όμως ψ 2 n 1 4y 2 Z[x, y 2, A, B] και ψ 2 n+1 4y 2 Z[x, y 2, A, B] άρα y 1 ω n Z[x, y 2, A, B] ω n yz[x, y 2, A, B]. Αν n είναι άρτιος : ω n = (4y) 1 (ψ n+2 ψ 2 n 1 ψ n 2 ψ 2 n+1) = (4y) 1 (2yp 1 (x, y 2, A, B)p 2 2 (x, y 2, A, B) 2yp 3 (x, y 2, A, B)p 4 2 (x, y 2, A, B)) άρα ω n 1 2 Z[x, y2, A, B]. Τώρα για να απαλαγούμε από το 2 στον πα-

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 30 ρονομαστή προχωρούμε ως εξής. Με επαγωγή δείχνουμε ότι ψ n (x 2 + A) n2 1 4 (mod 2) αν n περιττός ( n (2y) 1 ψ n )(x 2 + A) n2 4 4 (mod 2) αν n άρτιος 2 Περίπτωση 1 : n 1 (mod 4) δηλαδή n = 2m + 1 και m = 2k ψ n = ψ 2m+1 = ψ m+2 ψ 3 m ψ m 1 ψ 3 m+1 ( m + 2 2y 2 (x 2 + A) ) (x 2 + A) (m + 2) 2 4 ( m ) 3(x A)3(m 2 4) y 3 2 (m 1) 2 1 3((m + 1) 2 4) 4 (x 2 + A) 4 (mod 2) 0 (x 2 + A) m2 2m m 2 + 6m (mod 2) (2m + 1) 2 1 (x 2 + A) 4 (mod 2) Περίπτωση 2 : n 3 (mod 4) δηλαδή n = 2m + 1 και m = 2k + 1 ψ n = ψ 2m+1 = ψ m+2 ψm 3 ψ m 1 ψm+1 3 (m + 2) 2 1 (x 2 + A) 4 (x 2 + A) 3m2 3 4 ( m 1 2 ) (m 1) 2 4 2y(x 2 + A) y 3 ( m (x 2 + A) m2 + 4m m (mod 2) (2m + 1) 2 1 (x 2 + A) 4 (mod 2) Περίπτωση 3 : n 0 (mod 4) δηλαδή n = 2m και m = 2k )3 3(m + 1) 2 12 (x 2 + A) 4 (mod 2)

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 31 ψ 2m = (2y) 1 ψ m (ψ m+2 ψm 1) 2 ψ m 2 ψm+1 2 ( m (2y) 1 2y )(x 2 + A) m [ ( m + 2 2y 2 ( m 2 ) 2y (x 2 + A) 2 ( m 2y )(x 2 + A) m ) (m + 2) 2 4 (m 1) 2 1 (x 2 + A) 4 (x 2 + A) 2 (m 2) (x 2 + A) (m + 1) 2 1 ] 2 (mod 2) [( m + 2 )(x 2 + A) 3m2 ( m 2 4 )(x 2 + A) 3m2 ] (mod 2) 2ym(x 2 + A) (2m) (mod 2) και επειδή n = 2m ( n 2y )(x 2 + A) n (mod 2) Άρα (2y) 1 ψ n ( n2 )(x 2 + A) n2 4 4 (mod 2) Περίπτωση 4 : n 2 (mod 4) δηλαδή n = 2m και m = 2k + 1

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 32 ψ 2m = (2y) 1 ψ m (ψ m+2 ψm 1) 2 ψ m 2 ψm+1 2 (2y) 1 (x 2 + A) m2 1 4 [ (m + 2) 2 1 (x 2 + A) 4 (x 2 + A) (m 2) ( m 1 2 ( m + 1 2y(x 2 + A) m2 1 4 [( m 1 )2(x 2 + A) 3m ym(x 2 + A) 4m2 4 4 (mod 2) 2 )2 (m 1) 2 4 (x 2 + A) 2 (2y) 2 )2 (m + 1) 2 4 (x 2 + A) 2 (2y) 2] (mod 2) ( m + 1 2ym(x 2 + A) 4m2 4 4 (mod 2) Άρα (2y) 1 ψ n Οπότε αν n άρτιος ( n2 )(x 2 + A) n2 4 4 (mod 2) ω n = (4y) 1 (ψ n+2 ψ 2 n 1 ψ n 2 ψ 2 n+1) (4y) 1[ ( n + 2 2y 2 ( n 2 2y 2 ) (x 2 + A) 1 2 (x2 + A) 3n2 4 2 (mod 2) (x 2 + A) 3n2 4 (mod 2) )2(x 2 + A) 3m2 3 ] 4 (mod 2) ) (n + 2) 2 4 (n 1) 2 1 (x 2 + A) 4 (x 2 + A) 4 (n 2) (x 2 + A) (n + 1) 2 1 ] 4 (mod 2) Τώρα θεωρούμε μια ελλειπτική καμπύλη E : y 2 = x 3 + Ax + B 4A B 2 0. Δεν προσδιορίζουμε ακόμα σε ποιόν δακτύλιο ή σώμα ανήκουν τα A, B άρα τα θεωρούμε ως μεταβλητές. Θεωρούμε τα πολυώνυμα του Z[x, y 2, A, B] ως πολυώνυμα του Z[x, A, B] αντικαθιστώντας το y 2 με x 3 + Ax + B. Άρα γράφουμε ϕ n (x) και ψ 2 n(x). Το ψ n αν και δεν είναι κατ ανάγκη μόνο πολυώνυμο του x το ψ 2 n είναι πάντα πολυώνυμο μόνο του x.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 33 Λήμμα deg(ϕ n (x)) = n 2 και deg(ψn(x)) 2 = n 2 1 και a n 2 a n 2 1 = n 2 αντίστοιχα. = 1 και Απόδειξη. (Θέλουμε ϕ n (x) = x n2 +..., ψn(x) 2 = n 2 x n ) Αρχικά θα δείξουμε ότι, y (nx n2 4 ) , n 0 (mod 2) ψ n = nx n , n 1 (mod 2) Το αποδεικνύουμε με επαγωγή : Αν n = 2m + 1 με m = 2k τότε ο μεγιστοβάθμιος όρος του ψ m+2 ψ m 3 είναι y(m + 2)x (m+2)2 4 2 y 3 m 3 x 3m = (m + 2)m 3 y 4 x 2m2 +2m 6 αντικαθιστώντας το y 4 με (x 3 + Ax + B) 2 ο μεγιστοβάθμιος όρος θα είναι ο (m + 2)m 3 x 2m2 +2m 6 x 6 = (m + 2)m 3 x 4m2 +4m 2 = (m + 2)m 3 x (2m+1)2 1 2 Για το ψ m 1 ψm+1 3 : (m 1)x (m 1)2 1 2 (m + 1) 3 x 3(m+1)2 3 2 = (m 1)(m + 1) 3 x (2m+1)2 1 2 Άρα ο μεγιστοβάθμιος όρος του ψ 2m+1 είναι ο [(m + 2)m 3 (m 1)(m + 1) 3 ]x (2m+1)2 1 2 = (2m + 1)x (2m+1) Ομοίως οι άλλες περιπτώσεις για το n (mod 4) Τώρα όμως για το ψ n ισχύει, Αν n 0 (mod 2) : ψ 2 n = y 2 n 2 x n = x 3 n 2 x n = n 2 x n Αν n 1 (mod 2) : ψ 2 n = n 2 x n Για το ϕ n ισχύει : Αν n περιττός : ϕ n = xψn 2 ψ n+1 ψ n 1 οπότε ο μεγιστοβάθμιος όρος του xψ n 2 είναι n 2 x n2 και του ψ n+1 ψ n 1 θα είναι y(n + 1)x (n+1)2 4 2 y(n 1)x (n 1)2 4 2 = y 2 (n 2 1)x n2 3 όμως y 2 = x 3 +Ax+B άρα ο μεγιστοβάθμιος είναι (n 2 1)x n2 3 x 3 = (n 2 1)x n2. Τελικά ϕ n = n 2 x n2 (n 2 1)x n = x n Αν n άρτιος : Ο μεγιστοβάθμιος του xψn 2 είναι n 2 x n2 και του ψ n+1 ψ n 1 είναι (n + 1)x (n+1)2 1 2 (n 1)x (n 1)2 1 2 = (n 2 1)x n2 άρα πάλι ϕ n = x n Θεώρημα Έστω P = (x, y) ένα σημείο στην ελλειπτική καμπύλη y 2 = x 3 + Ax + B (πάνω από κάποιο σώμα με chk 2) και έστω n ένας θετικός ακέραιος.τότε, ( ϕn (x) np = ψn(x) 2, ω ) n(x, y) ψn(x, 3 y)

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 34 Το θεώρημα δεν θα το αποδείξουμε εδώ ωστόσο μια απόδειξη δίνεται στο [2] Παρατήρηση : Έστω ένα σημείο P της ελλειπτικής μας καμπύλης τότε np = O ψ n (x, y) = 0. Πόρισμα Έστω E μια ελλειπτική καμπύλη. Ο ενδομορφισμός της E που δίνεται από τον πολλαπλασιασμό με n έχει βαθμό n 2. Απόδειξη. Από το προηγούμενο λήμμα έχουμε ότι το μέγιστο των βαθμών του αριθμητή καί του παρονομαστή του ϕ n(x) ψn(x) 2 είναι n2. Άρα ο βαθμός του ενδομορφισμού είναι n 2 αν αυτή η ρητή συνάρτηση είναι ανάγωγη, δηλαδή αν ϕ n (x) και ψn(x) 2 δεν έχουν κοινές ρίζες. Θα αποδείξουμε ότι αυτό ισχύει. Έστω ότι δεν ισχύει. Έστω n ο μικρότερος δείκτης για τον οποίο έχουν κοινή ρίζα τα ϕ n (x), ψn(x). 2 Έστω n = 2m άρτιος, ϕ 2 (x) = xψ 2 (x, y) 2 ψ 3 (x)ψ 1 (x) = x(2y) 2 (3x 4 + 6Ax Bx A 2 )1 = 4x(x 3 + Ax + B) 3x 4 6Ax 2 12Bx + A 2 = x 4 2Ax 2 8Bx + A 2 Υπολογίζοντας την x-συντεταγμένη του 2m(x, y) σε δύο βήματα πολλαπλασιάζοντας πρώτα με m και μετά με 2 και χρησιμοποιώντας ότι ψ 2 2 = 4y 2 = 4(x 3 + Ax + B) παίρνουμε, ) ϕ 2m ψ 2m 2 = ϕ 2 ( ϕm 2 ψ ( m 2 ϕm ψ 2 2 ψ m ) = ϕ m 4 2Aϕ m 2 ψ m 4 8Bϕ m ψ m 6 + A 2 ψ m 8 (4ψ m 2 )(ϕ m 3 + Aϕ m ψ m 4 + Bψ m 6 ) = U V όπου U και V είναι ο αριθμητής και ο παρονομαστής αντίστοιχα. Για να δείξουμε ότι τα U και V δεν έχουν κοινές ρίζες χρειαζόμαστε το εξης λήμμα Λήμμα Έστω = 4A B 2 και έστω F (x, z) = x 4 2Ax 2 z 2 8Bxz 3 + A 2 z 4 G(x, z) = 4z(x 3 + Axz 2 + Bz 3 ) f 1 (x, z) = 12x 2 z + 16Az 3 g 1 (x, z) = 3x 3 5Axz 2 27Bz 3 f 2 (x, z) = 4 x 3 4A 2 Bx 2 z + 4A(3A B 2 )xz B(A 3 + 8B 2 )z 3 g 2 (x, z) = A 2 Bx 3 + A(5A B 2 )x 2 z + 2B(13A B 2 )xz 2 3A 2 (A 3 + 8B 2 )z 3 Τότε F f 1 Gg 1 = 4 z 7 και F f 2 Gg 2 = 4 x 7.

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 35 Απόδειξη. F (x, 1) = x 4 2Ax 2 8Bx + A 2, G(x, 1) = 4(x 3 + Ax + B), f(x, 1) = 12x A, g(x, 1) = 3x 3 5Ax 27B F (x, 1)f 1 (x, 1) G(x, 1)g 1 (x, 1) = (x 4 2Ax 2 8Bx + A 2 )(12x A 2 ) 4(x 3 + Ax + B)(3x 3 5Ax 27B) = 12x 6 24Ax 4 96Bx 3 +12A 2 x 2 +16Ax 4 32A 2 x 2 128ABx+16A 3 12X 6 12Ax 4 12Bx Ax A 2 x ABx + 108Bx ABx + 108B 2 = 16A B 2 = 4(4A B 2 ) = 4 F ( x, 1)f z 1( x, 1) G( x, 1)g z z 1( x [( ), 1) = z 4 ( ) 2 ( ) ][ ( ) 2 ] x z 2A x z 8B x + A 2 x 12 z z + 16A (( ) 3 ( ) )( ( ) 3 ( ) 4 + A + B 3 5A x z x z x z x z ) 27B = 4 (x 4 2Ax 2 z 2 8Bxz 3 + A 2 z 4 )(12x 2 z + 16Az 3 ) 4z(x 3 + Axz 2 + Bz 3 )(3x 3 5Axz 2 27Bz 3 ) = 4 z 7 Όμοια η δεύτερη ισότητα. Το λήμμα έπεται ότι Uf 1 (ϕ m, ψ 2 m ) V g 1 (ϕ m, ψ 2 m ) = 4 ψ 14 m και Uf 2 (ϕ m, ψ 2 m ) + V g 2 (ϕ m, ψ 2 7 m ) = 4 ϕ m Αν τα U και V έχουν κοινή ρίζα τότε έχουν και τα ϕ m και ψ 2 m. Εφόσον n = 2m είναι ο μικρότερος δείκτης για τον οποίον υπάρχει μια κοινή ρίζα αυτό είναι αδύνατον. Μένει να δείξουμε ότι U = ϕ 2m και V = ψ 2 2m. Εφόσον U V = ϕ 2m ψ 2m 2 και εφόσον τα U και V δεν έχουν κοινή ρίζα έπεται ότι το ϕ 2m είναι πολλαπλάσιο του U και το ψ 2m 2 πολλαπλάσιο του V. U = ϕ m 4 2Aϕ m 2 ψ m 4 8Bϕ m ψ m 6 + A 2 ψ m 8 και από το λήμμα παίρνουμε ότι U = x 4m Επίσης από το λήμμα έχουμε ότι ϕ 2m = x 4m και αφού το ϕ 2m είναι πολλαπλάσιο του U έπεται U = ϕ 2m οπότε και V = ψ 2m 2. Τελικά τα ϕ 2m και ψ 2m 2 δεν έχουν κοινές ρίζες. Τώρα υποθέτουμε ότι ο μικρότερος δείκτης n για τον οποίο τα ϕ n και ψn 2 έχουν κοινή ρίζα είναι περιττός n = 2m + 1. Έστω r μια κοινή ρίζα των ϕ n και ψn. 2 Εφόσον τώρα ϕ n = xψ 2 n ψ n+1 ψ n 1 και εφόσον ψ n+1 ψ n 1 είναι πολυώνυμο του x (από λήμμα 2.5.1) έχουμε ότι (ψ n+1 ψ n 1 )(r) = 0. Αλλά ψn±1 2 είναι πολυώνυμα του x και το γινόμενο τους μηδενίζεται στο r. Άρα ψn+δ 2 (r) = 0 όπου δ = 1 ή 1. Εφόσον το n είναι περιττός και το ψ n και το ψ n+2δ είναι πολυώνυμα του x. Επίσης (ψ n ψ n+2δ ) 2 = ψnψ 2 n+2δ 2 μηδενίζεται στο r. Άρα και το ψ nψ n+2δ μηδενίζεται στο r. Εφόσον ϕ n+δ = xψn+δ 2 ψ nψ n+2δ συμπεραίνουμε ότι ϕ n+δ (r) = 0.

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 36 Οπότε τα ϕ n+δ, ψn+δ 2 έχουν κοινή ρίζα. Το n + δ είναι άρτιος. Όταν θεωρήσαμε την περίπτωση όπου n ήταν άρτιος είδαμε ότι αν ϕ 2m και ψ2m 2 έχουν κοινή ρίζα τότε τα ϕ m και ψ 2 m έχουν κοινή ρίζα. Σ αυτήν εδώ τη περίπτωση το εφαρμόζουμε αυτό στο 2m = n + δ και εφόσον το n έχει υποτεθεί να είναι ο μικρότερος δείκτης για τον οποίο υπάρχει μια κοινή ρίζα έχουμε n + 2 δ n. Αυτό έπεται n = 1. Αλλά τα ϕ 1 = x, ψ 2 1 = 1 2 δεν έχουν κοινή ρίζα άρα, άτοπο. Αυτό αποδεικνύει ότι τα ϕ n και ψ n δεν έχουν κοινές ρίζες σε όλες τις περιπτώσεις. Άρα όπως είπαμε στην αρχή της απόδειξης ο πολλαπλασιασμός με n έχει βαθμό n 2. Έστω α(x, y) = (R(x), ys(x)) ένας ενδομορφισμός μιας ελλειπτικής καμπύλης E, τότε ο α είναι διαχωρίσιμος αν R (x) δεν είναι ταυτοτικά μηδέν. Έστω ότι το n δεν είναι πολλαπλάσιο της χαρακτηριστικής p του σώματος. Από το Θεώρημα έχουμε ότι για τον πολλαπλασιασμό με n ισχύει, R(x) = xn n 2 x n Ο αριθμητής της παραγώγου είναι, (n 2 x n )(n 2 x n ) (x n )(n 2 (n 2 1)x n ) = (n 4 x 2n ) [(n 4 n 2 )x 2n ] = n 2 x 2n Άρα R (x) 0. Άρα ο πολλαπλασιασμός με n είναι διαχωρίσιμος. Τώρα είμαστε σε θέση να αποδείξουμε το Θεώρημα από την προηγούμενη ενότητα. Θεώρημα Έστω E μια ελλειπτική καμπύλη ορισμένη σε ένα σώμα K και έστω n ένας θετικός ακέραιος. Αν η χαρακτηριστική του K δεν διαιρεί το n ή είναι 0 τότε E[n] = Z n Z n Αν chk = p > 0 και p n τότε γράφουμε n = p r n με p n τότε E[n] = Z n Z n ή E[n] = Z n Z n Απόδειξη. Από το πόρισμα deg(n) = n 2 και από την πρόταση το E[n] όπου E[n] = Ker(n) έχει τάξη n 2. Το Θεμελιώδες Θεώρημα για Πεπερασμένες Αβελιανές Ομάδες μας λέει ότι E[n] = Z n1 Z n2 Z nk για κάποιους ακέραιους n 1, n 2,, n k με n i n i+1 i. Έστω l P με l n 1. Τότε l n i i. Άρα E[l] E[n] έχει τάξη l k. Εφόσον όμως ισχύει και ότι η E[l] έχει τάξη l 2 θα πρέπει k = 2 οπότε E[n] = Z n1 Z n2 άρα πρέπει n 2 n. Εφόσον n 2 = #E[n] = n 1 n 2 έπεται ότι n 1 = n 2 = n οπότε E[n] = Z n Z n όταν η χαρακτηριστική p του σώματος δεν διαιρεί το n. Μένει η περίπτωση όπου p n. Πρώτα καθορίζουμε την p-δύναμη torison

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μία μέθοδος κρυπτογραφίας δημοσίου κλειδιού Αντί για δακτύλιους της μορφής Z n χρησιμοποιεί ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες σε πεπερασμένα σώματ

Γενικά Μία μέθοδος κρυπτογραφίας δημοσίου κλειδιού Αντί για δακτύλιους της μορφής Z n χρησιμοποιεί ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες σε πεπερασμένα σώματ Γενικά Μία μέθοδος κρυπτογραφίας δημοσίου κλειδιού Αντί για δακτύλιους της μορφής Z n χρησιμοποιεί ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες σε πεπερασμένα σώματα Βασίζεται στο πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου Αυξημένη

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων.

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Αριστείδης Κοντογεώργης -Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Πρότυπο Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης 21 Οκτωβρίου 2015 1 το τελευταίο θεώρημα του

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}.

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}. Αλγεβρα ΙΙ, Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Φροντιστήριο 1. 1. Δίνεται η ομάδα G = Z 4 Z 8, το στοιχείο a = (1, 2) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Εστω G 1 = G/H.

Διαβάστε περισσότερα

s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha.

s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha. Αλγεβρα ΙΙ Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Ομάδες-Πηλίκο: Κρατήσαμε σταθερή μια ομάδα G με ταυτοτικό το ι και μια υποομάδα H της G. Συμβολίσαμε με G 1 το G/H (το σύνολο των αριστερών συμπλόκων

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

οµή οµάδας σε Ελλειπτικές Καµπύλες

οµή οµάδας σε Ελλειπτικές Καµπύλες οµή οµάδας σε Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 18 Νοεµβρίου 2014, 1/24 Ο προβολικός χώρος Εστω K ένα σώµα. Στον χώρο K n+1 {0,..., 0} ορίζουµε την σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0} 1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

irr Q,b (x) = x 3 2, irr Q,ω (x) = x 2 + x + 1 irr (Q(ω),b) (x) = irr (Q,b) (x) = x 3 2,

irr Q,b (x) = x 3 2, irr Q,ω (x) = x 2 + x + 1 irr (Q(ω),b) (x) = irr (Q,b) (x) = x 3 2, Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 13 Δεκεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 3 Μεταθέσεις και ομάδες Galois 41 3.1 Οι ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!).

> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!). η Διάλεξη: Άρρητοι αριθμοί Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι το Q = { m n : m Z, n N}. αριθμός που δεν είναι ρητός λέγεται άρρητος. Ενας πραγματικός Ασκηση: Αποδείξτε ότι το άθροισμα και το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0,

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0, Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 14 Ιανουαρίου 2015 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 60

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικές ακολουθίες και Θεωρία Αριθμών

Αναδρομικές ακολουθίες και Θεωρία Αριθμών Αναδρομικές ακολουθίες και Θεωρία Αριθμών Εμμανουήλ Καπνόπουλος Επιβλέπων καθηγητής Ιωάννης Αντωνιάδης Μεταπτυχιακή Εργασία Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Οκτώβριος

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x] σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια στα όρια. Γενικά

Σχόλια στα όρια. Γενικά Σχόλια στα όρια. Γενικά Η αναζήτηση του ορίου έχει νόημα όταν η συνάρτηση ορίζεται κοντά στο x, δηλαδή σε διάστημα (α,x ) (x,β) ή φυσικά σε (α,β) με x (α,β) και όχι κατ ανάγκη στο ίδιο το x. Για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

bca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}

bca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1} Αλγεβρα Ι, Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Το [Α] συμβολίζει το φυλλάδιο ασκήσεων που θα βρείτε στην ιστοσελίδα του μαθήματος επιλέγοντας «Άλλες Ασκήσεις». 1. Πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 3 1.1 Μάθημα 1..................................... 3 1.1.1 Στοιχεία αλγεβρικής θεωρίας....................... 4 1.2 Μάθημα 2.....................................

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ιστορία Ασύμμετρης Κρυπτογραφίας Η αρχή έγινε το 1976 με την εργασία των Diffie-Hellman

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα