Κεφάλαιο 6ο Leader-Follower model Leader-Follower εταιρεία I ο ηγέτης Η µεθοδολογία είναι γενική.

Transcript

1 Κεφάλιο 6ο Ας δούµε έν - δύο πράµτ κόµ σε σχέση µε πίνι όπου τ άτοµ έχουν έν άπειρο ριθµό στρτηικών. Leader-Follower model (Ηέτης - Ακόλουθος: είνι η νωστή ισορροπί κτά tackelberg. Το πρόληµ του Leader-Follower είνι µι κόµ περίπτωση όπου οι πίκτες έχουν έν άπειρο ριθµό στρτηικών. Γιτί εξετάζουµε υτό το πρόληµ; ιότι δεν είνι τίποτε άλλο πρά µι εκδοχή (version του προηουµένου προλήµτος (κεφάλιο 5. Η διφορά εδώ είνι ότι οι επιχειρήσεις δεν πίρνουν τις ποφάσεις τυτόχρον, λλά υπάρχει µι επιχείρηση η οποί κθορίζει πρώτ την πόφσή της κι κτόπιν έρχετι η δεύτερη, η οποί δεδοµένης της ποφάσεως της πρώτης, πίρνει την δική της πόφση. Yπάρχει µε άλλ λόι χρονική διάστση στο πρόληµ. Είνι πολύ δύσκολο ν το συµολίσουµε µε δέντρο υτό το µοντέλο, όµως ένς τρόπος είνι: Η ετιρεί I που είνι ο ηέτης ποφσίζει την ποσότητ της την πρώτη χρονική στιµή. Κι δεδοµένης της ποσότητς που έχει η I, η II ποφσίζει την ποσότητ της. Στο τέλος άζουµε τ κέρδη των δύο ετιρειών σν συνάρτηση της ποσότητς κι των δύο. Θ χρησιµοποιήσουµε το ίδιο µοντέλο που νλύσµε την τελευτί φορά, ι ν δούµε πως διφέρουν τ ποτελέσµτ υτού του κινούριου µοντέλου µε το προηούµενο. Θ πούµε ότι η ζήτηση της οικονοµίς ι το προϊόν είνι ρµµική κι δίνετι πό τον τύπο: (Q - Q όπου Q. Το ορικό κόστος c είνι στθερό. Aς δούµε λοιπόν πως λύνετι έν τέτοιο πρόληµ. Η µεθοδολοί είνι ενική. Οποιοδήποτε πρόληµ έχει έν πίκτη που ποφσίζει πρώτος κι έν πίκτη που ποφσίζει δεύτερος ξέρουµε ότι υτό το πρόληµ λύνετι µε backwards induction. 73

2 Ξεκινάµε λοιπόν πηίνοντς στο τελευτίο στάδιο, όπου κι θ υποθέσουµε ότι ο πίκτης I έχει πάρει την πόφση του (η οποί είνι δεδοµένη ι το στάδιο, κι θ ρούµε την κλύτερη πάντηση που µπορεί ν δώσει ο πίκτης ΙΙ (κµπύλη ντίδρσης. Κτόπιν, πάµε πίσω έν ήµ κι λέµε: ο Ι ξέρει πως θ ντιδράσει ο ΙΙ. Άρ ο Ι θ πάρει υπόψη του την ντίδρση του ΙΙ κι θ την άλει µέσ στη συνάρτηση των κερδών του όπου κι θ µειστοποιήσει, προκειµένου ν ρει έν, έτσι ώστε δεδοµένης της ντίδρσης του ντίπλου του ν µειστοποιούντι τ κέρδη του. Αυτή είνι η µεθοδολοί. Συνεπώς πρέπει ν ξεκινήσουµε πό το δεύτερο στάδιο το οποίο όµως ήδη το έχουµε κάνει την προηούµενη φορά. ( ηλδή τι θέλουµε στο δεύτερο στάδιο; Την κλύτερη πάντηση, κι έχουµε την κµπύλη ντίδρσης. Την είχµε ρει την προηούµενη φορά. Είχµε πει ότι η κµπύλη ντίδρσης της ΙΙ σε κάθε πόφση του Ι δεν είνι τίποτε άλλο πρά: R ( c (I εν λλάζει τίποτ, το ίδιο πράµ θ συµεί κι τώρ. Απλώς προηουµένως ο ΙΙ δεν ήξερε την ποσότητ του Ι, τώρ όµως την ξέρει. Κι το στην (Ι είνι έν συκεκριµένο νούµερο. Αυτό που διφοροποιεί την νάλυση, είνι ότι ο πίκτης Ι νωρίζει τη έλτιστη συνέχει του πινιδιού ποι είνι. Άρ τι θ κάνει ο πίκτης Ι; Θ µειστοποιήσει τ κέρδη του κάτω πό έν περιορισµό: max ( a c a c ε. ω.. ηλδή είνι το ίδιο πρόληµ, εκτός πό µι λεπτοµέρει σική: ότι ο Ι ξέρει τι θ κάνει ο ΙΙ. max c c max ( c 74

3 Συνθήκη πρώτης τάξεως: (θ µς δώσει το έλτιστο ( c 0 c 0 c έλτιστο Ποιο είνι τ ; εδοµένου του έλτιστου έχουµε: c c c a c 4 Τώρ ποι είνι η τιµή µείον το ορικό κόστος στην ορά; c } - Q c c c c c 4 c c 4 εδοµένου του - c µπορούµε ν υπολοίσουµε τ κέρδη των δύο επιχειρήσεων. Π c Π ( c c c 4 Π ( c 8 Π c Π ( c c c Π 4 Π ( c 6 75

4 Eδώ έχουµε όλ τ ποτελέσµτ υτού του προλήµτος κι υτό που θέλουµε ν κάνουµε είνι ν τ συκρίνουµε µε τ ποτελέσµτ του µοντέλου όπου οι δύο επιχειρήσεις εκλέουν τυτόχρον τις ποσότητες τους (Cournot κι ν δούµε ποιος έχει πλεονέκτηµ: ο ηέτης ή ο κόλουθος; Αποτέλεσµ Cournot: c c ( c 9 Στο πρόληµ του tacklberg πιο πάνω, ο ηέτης είνι ο I. Ο I λύνει το πρόληµ µειστοποίησης των κερδών του πίρνοντς σν δεδοµένο τη κµπύλη ντίδρσης του II. Σύκριση Cournot & tackelberg: > c c > : ο ηέτης του tackelberg πράει µελύτερη ποσότητ πό ότι πράουν οι επιχειρήσεις στο Cournot, ότν εκλέουν τυτόχρον τις ποσότητες τους, κι υτό είνι µελύτερο πό την ποσότητ του κόλουθου. Η ίδι σχέση επίσης ισχύει ι τ κέρδη: Π > Π c Π c > Π Τι συµπέρσµ άζουµε; Ποιος έχει πλεονέκτηµ, υτός που κινείτι πρώτος ή ο κόλουθος; Αυτός που κινείτι πρώτος. Αυτό λέετι «First mover advantage» (πλεονέκτηµ του ηέτη Πρέπει ν έχουµε υπόψη µς ότι υτό δεν είνι έν ενικό ποτέλεσµ. Αυτό εξρτάτι πό το πίνιο. Σε ορισµέν πίνι το πλεονέκτηµ το έχει ο ηέτης σε ορισµέν άλλ µπορεί ν το έχει ο κόλουθος. Στο Cournot τ κέρδη κι οι ποσότητες θ είνι πάντ ίσ; Όχι, µόνο ότν είνι συµµετρικό το πινίδι. Ότν δεν είνι συµµετρικό το πινίδι δεν θ είνι ίσ. Κι ν δούµε ότι δεν είνι συµµετρικό το κόστος ή ν δεν είχν την ίδι τεχνολοί δεν είνι σίουρο ότι θ έχουν την ίδι τξινόµηση. Γι ν δούµε ποιο πό τ δύο µοντέλ Cournot κι tackelberg είνι πιο ντωνιστικό; Το προϊόν είνι οµοιοενές οπότε ν συκρίνουµε είτε την τιµή είτε την ποσότητ το ίδιο κάνει. Όσο πιο µεάλη είνι η ποσότητ τόσο πιο µικρή είνι η τιµή κι το ντίστροφο (*θ µπορούσµε επίσης ν συκρίνουµε την συνολική ποσότητ του κάθε µοντέλου µε υτήν του τέλειου ντωνισµού*. 76

5 Εδώ θ συκρίνουµε την τιµή του Cournot µε την τιµή του tackelberg. c c c ( c c 3 c -c 4 Άρ: c > οπότε στον Cournot πράετι λιότερη ποσότητ. Q c c c Q c ( c 3 Q Q Q 4 3 ( c Άρ: Q c < Q ( c ( c 4 Βλέπουµε λοιπόν ότι ο tackelberg πράει περισσότερη ποσότητ. Κάνµε την νάλυση µς µε τους ντωνισµούς σε ποσότητες. Τώρ πρέπει ν συµπληρώσουµε µε την νάλυση του ντωνισµού σε τιµές. Αντωνισµός σε τιµές. Ο ντωνισµός στις τιµές είνι έν κόµ πιο ισχυρό πράδειµ του διλήµµτος των φυλκισµένων. Γιτί ότν οι επιχειρήσεις ντωνίζοντι στις τιµές η ισορροπί κτά Nash που προκύπτει είνι τέτοι ώστε η τιµή ν είνι ίση µε το ορικό κόστος, κι τ κέρδη ν είνι µηδέν. Ξέρουµε ότι ο µονοπωλητής σε µι ορά κάνει ψηλά κέρδη, οπότε ν οι δύο ετιρείες συµφωνήσουνε ν δράσουν όπως δρ ο µονοπωλητής (δηλδή ν επιλέξουν την τιµή του µονοπωλητή κι ν µοιράσουν την πρωή µετξύ τους, κάθε ένς θ κάνει πολύ µεάλ κέρδη. Στην πρµτικότητ όµως κάτι τέτοιο δεν µπορεί ν ίνει, ιτί δεδοµένου ότι ο ένς θ κολουθήσει - θ θέσει µι ψηλή τιµή, ο άλλος έχει πάντοτε κίνητρο ν χµηλώσει την τιµή του κι ν κερδίσει περισσότερο. Το πράδειµ του Bertrand του ντωνισµού των τιµών είνι πολύ πιο έντονο ότν τ θά είνι οµοιοενή. Έστω η κµπύλη ζήτησης D(p µε κλίση ρνητική D (p < 0. Ας υποθέσουµε επίσης ότι το ορικό κόστος είνι πάλι στθερό c κι ότι οι τιµές είνι οι στρτηικές µετλητές. Προφνώς 77

6 υτό που πρέπει ν κοιτάξουµε είνι ν δούµε πως συµπεριφέρετι η κµπύλη ζήτησης κάθε µις πό τις δύο επιχειρήσεις. Εδώ επειδή έχουµε οµοιοενές προϊόν η λοική είνι πολύ πλή. D( i D( i D i ( i, j 0 < i i < i j j j Αν µι πό τις επιχειρήσεις έχει ψηλότερη τιµή δεν θ εξυπηρετήσει κνένν, ιτί όλοι οι κτνλωτές θ πάνε ν οράσουν το θό πό την άλλη επιχείρηση. Αν η τιµή της επιχείρησης είνι χµηλότερη πό την τιµή της άλλης τότε η ετιρεί i θ πιάσει όλη την ορά. Ότν οι τιµές των δύο ετιρειών είνι οι ίδιες υποθέτουµε ότι µοιράζοντι τη ζήτηση της οράς. Η πιο πάνω κµπύλη ζήτησης είνι συνεχής. Άρ εδώ θέλουµε ν προσδιορίσουµε ποι είνι η ισορροπί κτά Nash. Γι ν ρούµε την ισορροπί κτά Nash υτό που θ κάνουµε τώρ δεν είνι ν προσδιορίσουµε τις κµπύλες ντίδρσης λλά ν προτείνουµε κάποι ισορροπί κτά Nash κι ν δούµε ν πράµτι είνι. Κτόπιν επειδή µπορεί ν µην υπάρχει µόνο µι ισορροπί κτά Nash πρέπει ν ποκλείσουµε κι όλες τις άλλες περιπτώσεις ότι ποτελούν ισορροπί κτά Nash. Οπότε το πρώτο πράµ που πρέπει ν δούµε είνι ν ο συνδυσµός ( *c, *c είνι ισορροπί κτά Nash (δηλδή οι δύο τιµές είνι ίσες µε το ορικό κόστος. Τώρ έι ν η D i ( i, j είνι η κµπύλη ζήτησης προφνώς τ κέρδη είνι πάντοτε ίσ µε τη ζήτηση επί την τιµή µείον το ορικό κόστος: Π i ( i, j ( i cd i ( i, j Κτρχήν ιτί το ( *c, *c είνι µι ισορροπί κτά Nash; Αν η επιχείρηση ΙΙ κάνει c, το άριστο ι µέν είνι ν χρεώσω κι εώ c ιτί ν χρεώσω περισσότερ θ έχω µηδέν ζήτηση, ν χρεώσω πιο κάτω δεν µε συµφέρει ιτί δεν θ κλύπτοντι τ κόστη, άρ είνι το άριστο. εδοµένου ότι η ΙΙ θέτει µι τιµή ίση µε το ορικό κόστος η Ι δεν έχει κίνητρο ν υξήσει την τιµή ιτί δεν υξάνοντι τ κέρδη. Κι προφνώς δεν έχει κίνητρο ν µειώσει την τιµή ιτί θ έχει πώλειες. Κι υτό συµίνει κι ι τις δύο ετιρείες. Οπότε το ( *c, *c είνι µι ισορροπί κτά Nash. Γιτί όµως είνι η µονδική ισορροπί κτά Nash; Εδώ θ πρέπει ν ποκλείσουµε όλες τις άλλες ισορροπίες. Πρέπει ν δούµε άλλες τρεις περιπτώσεις που είνι υποψήφιες ισορροπίες: (i c < i * < j * (ii c i * < j * (iii c < i * j * 78

7 Πέρν πό υτές τις τρεις περιπτώσεις δεν υπάρχει κµιά άλλη περίπτωση. Οι (i-(iii κλύπτουν το σύνολο των ενδεχοµένων. Οπότε σε κάθε µι πό υτές τις περιπτώσεις µπορούµε ν δούµε ν υπάρχει κµί στρτηική κάποι επιλοή τιµής που ν δίνει µελύτερ κέρδη σε κάποι πό τις δύο ετιρείες. ηλδή ψάχνουµε ι κάποι πόκλιση. (i c < i * < j *. Ποι πόκλιση υπάρχει σε υτή την περίπτωση; j i * ε. Η επιχείρηση j θ θέσει µι τιµή η οποί θ είνι λίο µικρότερη πό την i. Με υτό τον τρόπο η επιχείρηση j πουλάει σε όλους, κάνει θετικά κέρδη ιτί j > c, άρ υτό το j i *- ε είνι µι πόκλιση η οποί υξάνει τ κέρδη σε µι πό τις επιχειρήσεις. Άρ υτό που υποθέσµε c < i * < j * ότι µπορεί ν είνι ισορροπί κτά Nash, δεν µπορεί ν είνι. (ii c i * < j * j j * ε. H i επιχείρηση µπορεί ν υξήσει την τιµή της κι ν ίνει λίο πιο µικρή πό την τιµή της j, θ πάρει όλη την ορά κι θ υξήσει τ κέρδη της. Άρ ρήκνε µι πόκλιση. Η i ετιρεί ότν i *c κάνει κέρδη µηδέν. Άρ µπορεί ν υξήσει τ κέρδη της υξάνοντς λίο την τιµή της, λλά ν µην είνι µελύτερη της ντιπάλου της. (iii c < i * j * j j * ε. Mι οποιδήποτε επιχείρηση πό τις δύο µπορεί ν θέσει µι µικρότερη τιµή. Εδώ τ πράµτ είνι λίο πιο µπερδεµέν ιτί κι οι δύο κάνουν θετικά κέρδη η τιµή που θέτουν είνι πάνω πό το ορικό κόστος κι µοιράζοντι µετξύ τους τη ζήτηση. Όµως µε το ν µειώσει κτά ε την τιµή η i, υπερδιπλσιάζει την ποσότητ την οποί πουλάει κι άρ υξάνει τ κέρδη. Αυτό που κάνουµε τώρ είνι thought experiment. Τι σηµίνει υτό; Ας πούµε ότι έρχετι κάποιος µεσολητής κι τους προτείνει ν θέσουνε τις τιµές c < i * j * οι οποίες είνι µελύτερες πό το ορικό κόστος. Η ερώτηση είνι: θ κολουθήσουν τις συµουλές ή όχι; εν υπάρχει επικοινωνί µετξύ των ετιρειών, ο κθένς σκέφτετι µόνος του. εν υπάρχει δυντότητ ν υποράψουν συµόλιο µε κάποι τιµωρί σε περίπτωση πράσης. Οπότε δεδοµένου του τι κάνει ο άλλος, πάντοτε η ετιρεί i έχει κίνητρο ν µειώσει την τιµή της κτά λίο κι ν πουλήσει σε όλη την ορά κι ν κάνει πολύ µελύτερ κέρδη. Αυτός είνι ο τρόπος που πρέπει ν σκέφτετι κνείς. Κάποιος έρχετι π έξω προτείνει έν συνδυσµό στρτηικών σν ισορροπί κι οι πίκτες το λέπουν κι λένε: θ κολουθήσω υτό που µε συµουλεύει ή όχι δεδοµένου τι θ κάνει ο άλλος. εν µπορεί ν ξέρει τι θ κάνει ο άλλος, δεν µπορεί ν επιάλλει στον άλλο τι θ κολουθήσει. Οπότε έχουµε ρει κι εδώ µι πόκλιση που δίνει περισσότερ κέρδη σε µι πό τις δύο ετιρείες. 79

8 Άρ η µόνη ισορροπί κτά Nash είνι οι τιµές ν είνι ίσες µε το ορικό κόστος. ( * *c κι σν ποτέλεσµ τ κέρδη ν είνι µηδέν. (Π *Π *0 Π i ( i c Di( i, j φού i c Π i 0 Οπότε λέπουµε µι διφορετική λοική µε την οποί ρίσκει κνείς την ισορροπί κτά Nash. Εδώ δεν έχουµε συνρτήσεις ντιδράσεις, ν κι θ µπορούσµε ν κτσκευάσουµε. Έτσι εδώ λέπουµε ότι οι επιχειρήσεις κάνουν µηδενικά κέρδη, στο Cournot κάνουν θετικά κέρδη οπότε εδώ είνι πολύ πιο ισχυρός ο ντωνισµός. (*Αν κι οι δύο κολουθήσουν µι στρτηική που δίνετι τότε υτή είνι ισορροπί κτά Nash. Αν το άτοµο θ κολουθήσει κάτι άλλο που το συµφέρει /το άτοµο που εξετάζουµε θετήσει το λόο του, τότε υτό δεν είνι ισορροπί κτά Nash. Γι ν δούµε τώρ ποιο είνι το ποτέλεσµ του µοντέλου ηέτη-κόλουθου ότν οι τιµές είνι η στρτηική µετλητή. Θ συµεί κάτι κινούριο, θ άλουµε άλλο ποτέλεσµ; Ηέτης-Ακόλουθος σε τιµές (tackelberg Π(, Π κέρδη δύο ετιρειών. (, Η ετιρεί Ι επιλέει την τιµή της. Η ετιρεί ΙΙ πρτηρεί την τιµή της ΙΙ κι επιλέει την τιµή της. (*σε υτά τ πινίδι οι πίκτες έχουν, έν άπειρο ριθµό στρτηικών ιτί κι p [0, ]*. Τι κάνµε πό το προηούµενο µάθηµ µέχρι τώρ; εν άλλξε το σενάριο. Το σενάριο είνι το ίδιο πλά έχουµε πράξη,, 3, 4 κι 5. Η πρώτη πράξη ήτν το πρώτο πράδειµ που φορούσε τον ντωνισµό στις ποσότητες. Το νλύσµε είδµε τι ιδιότητες έχει. Είπµε ότι έχει τη µορφή του διλήµµτος των φυλκισµένων, είδµε ποι είνι τ κέρδη κλπ. Σήµερ τι κάνµε; Υποθέσµε ότι οι δύο επιχειρήσεις δεν εκλέουν 80

9 την ποσότητά τους τυτόχρον λλά υπάρχει µι επιχείρηση που είνι ηέτης κι µι που είνι κόλουθος. Τι σηµίνει υτό; Πως λύνετι το πρόληµ κι ποι ποτελέσµτ έχει ι τ κέρδη, τις ποσότητες των δύο επιχειρήσεων; Στη συνέχει πήµε στην τρίτη πράξη κι είπµε ότι οι στρτηικές µετλητές είνι οι τιµές κι όχι οι ποσότητες. Τι σηµίνει υτό; Το λύσµε κι είδµε ότι ν οι µετλητές είνι οι τιµές, η ισορροπί κτά Nash δίνετι πό το * *c κι τ κέρδη ίσ µε το µηδέν. Τέτρτη πράξη. Ας πούµε τώρ ότι το σενάριο είνι οι τιµές λλά οι δύο επιχειρήσεις επιλέουν διδοχικά τις τιµές τους. Τι θ συµεί; Αυτό το πράδειµ θ δούµε τώρ κι στη συνέχει θ δούµε κι έν πέµπτο όπου το προϊόν δεν είνι οµοιοενές κι θ τελειώσουµε. Όλ υτά είνι εφρµοές των πινίων τ οποί έχουνε έν άπειρο ριθµό στρτηικών. Μέσω των πρδειµάτων εξηούµε τη ενική µεθοδολοί. Πάµε ν λύσουµε το πίνιο του Leader-Follower στις τιµές. Ποι είνι η ισορροπί του; Η µεθοδολοί είνι η ίδι: backwards induction. Το ποτέλεσµ είνι: c c (Ισορροπί Γιτί είνι υτή η ισορροπί; Αφού τo προϊόν είνι οµοιοενές οι τιµές πρέπει ν είνι ίσες. Γιτί όµως πρέπει ν είνι ίσες µε το ορικό κόστος; Εδώ δεν υπάρχει τυτόχρονη επιλοή, υπάρχει πληροφόρηση. Ο ΙΙ ότν πίρνει την πόφση τιµής ξέρει πολύ κλά ποι είνι η τιµή του Ι. Άρ ν ο πρώτος θ θέσει την τιµή του µελύτερη πό το ορικό του κόστος ο δεύτερος θ την θέσει λίο πιο κάτω ι ν πάρει όλη την ορά. Ουσιστικά ο ΙΙ θ θέσει τιµή χµηλότερη εκτός εάν η τιµή του Ι είνι ίση µε το ορικό κόστος. Αυτή είνι η κλύτερη ντίδρση του ΙΙ. εδοµένου ότι ο Ι ξέρει την ντίδρση του ΙΙ το µόνο που µπορεί ν κάνει ο Ι είνι ν θέσει µι τιµή ίση µε το ορικό κόστος. Άρ τι λέπουµε εδώ πέρ; Εδώ λέπουµε ότι η ισορροπί στο πιχνίδι διδοχικής επιλοής τιµών είνι κριώς η ίδι µε την ισορροπί τιµών στο πινίδι της τυτόχρονης επιλοής τιµών. εδοµένου ότι c η s δεν είνι νάκη ν είνι ίση µε το ορικό κόστος. Μπορεί η s ν είνι ο,τιδήποτε ιτί ο ΙΙ είνι διάφορος ν θ θέσει µι τιµή ίση µε το ορικό κόστος ή ν θέσει µι µελύτερη τιµή. Αφού έτσι κι λλιώς µηδέν κέρδη έχει. Ότν η πόφση των επιχειρήσεων είνι τυτόχρονη πάνω στις τιµές τους δεν µπορούµε ν πούµε ότι µι επιχείρηση θ θέσει µι τιµή µελύτερη πό την άλλη. Αυτό δεν ίνετι το ποκλείσµε. Αν όµως οι επιχειρήσεις θέτουν διδοχικά τις τιµές τους η επιχείρηση ΙΙ έχει δύο δυντότητες: ή ν µπει στην ορά ν πράει κι ν κάνει µηδέν κέρδη ή ν µην µπει κθόλου στην ορά, ιτί ξέρει την τιµή της Ι. Στο Leader-Follower στις τιµές υπάρχει µι ιστορί -έχει συµεί κάτι, υπάρχει η τιµή της ετιρείς Ι ίση µε το ορικό κόστος κι η ετιρεί ΙΙ µπορεί ή ν 8

10 θέσει c κι ν µοιράζοντι µετξύ τους την ορά κι ν κάνει κέρδη µηδέν ή ν εξφνιστεί πό την ορά. Άρ ουσιστικά δεν υπάρχει µι µονδική ισορροπί κτά Nash. Πολλά πό υτά τ πίνι έχουν πολλπλές ισορροπίες λλά µε το ίδιο ποτέλεσµ. ηλδή το ποτέλεσµ είνι κέρδη µηδέν κι η τιµή τουλάχιστον του ηέτη ίση µε το ορικό κόστος. Όµως το c είνι η πιο λοική ισορροπί. Η πέµπτη πράξη είνι η περίπτωση όπου τ θά δεν είνι τέλει υποκτάσττ. Ότν τ θά δεν είνι τέλει υποκτάσττ δεν έχουµε µι κµπύλη ζήτησης λλά δύο: µι ι κάθε θό. Ότν τ θά είνι διφοροποιηµέν κι οι τιµές είνι η στρτηική µετλητή των επιχειρήσεων τότε υρνάµε πίσω στη µεθοδολοί που κολουθήσµε στην περίπτωση του Cournot ή την περίπτωση του tacklberg όπου οι επιχειρήσεις διδοχικά εκλέουν τις ποσότητες τους. Κι τούτο ιτί τώρ πλέον δεν έχουµε υτή την συνέχει της κµπύλης ζήτησης. Είδµε ότι η κµπύλη ζήτησης στην περίπτωση του ντωνισµού στις τιµές είνι συνεχής. Με µι µικρή πτώση της τιµής της µις πό τις δύο επιχειρήσεις η επιχείρηση πουλάει σε όλη την ορά κι υξάνει κτά πολύ τ κέρδη της. Αυτό δεν θ συµεί ν τ προϊόντ δεν είνι τέλει υποκτάσττ. Στον Cournot δεν συνέη κάτι τέτοιο. Υπήρχν κάποιες συνρτήσεις ντίδρσης οι οποίες ήτνε συνεχείς. Άρ πίρνουµε της εξής περίπτωση: D (, b d (A d > > 0 0 D (, b d που έχουµε δύο κµπύλες ζήτησης όπου τ θά είνι διφοροποιηµέν µετξύ τους /δεν είνι τέλει υποκτάσττ. Κι όπου το d/b µετράει το σχετικό θµό υποκτάσττης κι πρέπει d/b< ι ν είνι διφοροποιηµέν. Τώρ υτό το πρόληµ πως θ λυθεί; Ας πούµε ότι το δύο επιχειρήσεις εκλέουν τις τιµές τους τυτόχρον τι θ κάνουνε; Ποι είνι η µέθοδος που κολουθούν; Έν προηούµενο ερώτηµ είνι πως ίνουν οι εξισώσεις (Α; Υπάρχει ένς ντιπροσωπευτικός κτνλωτής στην οικονοµί του οποίου η συνάρτηση χρησιµότητς δίνετι πό την: u(, ( ( m όπου m πριστάνει το χρήµ, δηλδή τ υπόλοιπ θά (σύνθετο θό οπότε κάνουµε normalized την τιµή του χρήµτος σε m 8

11 83 Υποθέτουµε ότι οι τιµές των δύο θών είνι κι. Μειστοποιώντς την συνάρτηση u(, κάτω πό κάποιο εισοδηµτικό περιορισµό/budget constraint, ρίσκουµε τις ντίστροφες κµπύλες ζήτησης. Τώρ τι ιδιότητ έχει η συνάρτηση χρησιµότητς: u(, ( ( m ; Είνι µι συνάρτηση χρησιµότητς uasi linear (οιονεί ρµµική. Αυτό σηµίνει ότι τ δύο θά έχουνε ζητήσεις οι οποίες δεν εξρτούντι πό το επίπεδο εισοδήµτος του τόµου. ηλδή: I m p p U,...., ( max ω τ όπου Ι εισόδηµ του κτνλωτή. Λύνοντς υτό το πρόληµ θ προκύψει το εξής σύστηµ κι έτσι προκύπτει υτό το σύστηµ των ντίστροφων κµπυλών ζήτησης. Από υτό το σύστηµ ν το ντιστρέψουµε πίρνουµε το σύστηµ κµπυλών ζήτησης (Α D (,, D (, Πως ντιστρέφουµε έν σύστηµ; Ότν έχουµε έν σύστηµ ντιστρόφων κµπυλών ζήτησης κι θέλουµε ν το ντιστρέψουµε, πρέπει ν ντιστρέψουµε έν σύστηµ δύο εξισώσεων µε δύο νώστους. Πρέπει ν εκφράσουµε τ i συνρτήσει των, (λλά κι τ δύο µζί Ουσιστικά: a ( (κνόνς του Cramer (

12 Οπότε µπορούµε ν δούµε ότι υτή η λύση είνι ντίστοιχη µε το σύστηµ (Α των δύο συνρτήσεων ζήτησης όπου: a b, d Οπότε είνι λοικό ν υπάρχει έν σύστηµ ζητήσεων της µορφής (Α κι είνι λοικό ν ζητήσουµε τι θ συµεί ν οι επιχειρήσεις η κάθε µι πράει έν προϊόν κι επιλέει την τιµή της. Η επιλοή υτή είνι είτε τυτόχρονη είτε διδοχική. Το πρόληµ της τυτόχρονης επιλοής λύνετι όπως κριώς κάνµε στην περίπτωση του Cournot. ηλδή κάθε επιχείρηση µειστοποιεί τ κέρδη της σχέση µε την επιλοή της τιµή της, πίρνοντς την τιµή του ντιπάλου σν δεδοµένη. Αυτό θ µς δώσει µι συνάρτηση ντίδρσης η οποί ποδεικνύετι ότι έχει θετική κλίση. Οι δύο συνρτήσεις ντίδρσης έχουν έν σηµείο τοµής το οποίο µς δίνει την ισορροπί κτά Nash. (ότι κάνµε στον Cournot. Oι συνρτήσεις ντίδρσης θ είνι ως προς την τιµή. Οι ποσότητες θ µετληθούνε επειδή µετάλλοντι οι τιµές. Ο ντωνισµός στην ορά συνήθως είνι σε τιµές άρ µπίνει µι τιµή κι κθορίζετι η ποσότητ. εδοµένου ενός δινύσµτος τιµών υπάρχει µι ντίστοιχη ποσότητ που µπορεί ν πουληθεί στην ορά. Άρ οι δύο τιµές προσδιορίζουνε τις δύο ποσότητες. Επιχείρηση Ι max ( b d ( p c Όπως πάντ λέµε στην ισορροπί κτά Nash: δεδοµένου του τι κάνει ο άλλος ποιο είνι το κλύτερο που µπορούµε ν κάνουµε εµείς. εδοµένου ποιο είνι το έλτιστο, το οποίο ρίσκετι πό την συνθήκη πρώτης τάξης: b d ( c( b0. bc d b R ( κµπύλη ντίδρσης της ετιρείς σε κάθε τιµή της ετιρείς Αυτό που είνι ενδιφέρον ν δούµε είνι ότι ότν d > 0 το οποίο το υποθέτουµε ι ν είνι τ θά υποκτάσττ µετξύ τους d > 0 η κλίση της κµπύλης ντίδρσης είνι θετική. D 84

13 Οπότε εδώ η µέθοδος ι ν ρεθεί η ισορροπί κτά Nash είνι ίδι. Θ ρεθούνε οι δύο κµπύλες ντίδρσης, θ λυθεί το σύστηµ R (p, R (p κι θ ρεθούνε οι τιµές ισορροπίς κτά Nash. - bc d R(p b Λό ω συµµετρίς : - bc d R (p b - bc d b - bc d b ( a bc Οπότε b d bc d bc d b b 85