Μ Ε Θ Ο Δ Ο Λ Ο Γ Ι Ε Σ. 16 Αυγούστου. Διανύσματα Β Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Transcript

1 16 Αυγούστου Ε Έκδοση 013 Μ Ε Θ Ο Δ Ο Λ Ο Γ Ι Ε Σ Δινύσμτ Β Λυκείου Μθημτικά Κτεύθυνσης 5 Μεθοδολογίες, 11 λυμέν ρδείγμτ, τύοι, ιδιότητες κι 1 λυμένες βσικές σκήσεις Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης Σχολικό έτος

2 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΑ Δ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α 1. «Σάσιμο» δινυσμάτων: Ότν έχουμε έν διάνυσμ AB τότε μορούμε ν το νλύσουμε ως εξής: AB AK KB, δηλδή ρεμβάλουμε το σημείο Κ νάμεσ ό την ρχή κι το έρς. Αυτό γίνετι κι με ερισσότερ σημεί όως φίνετι στο ρκάτω σχήμ. Σχημτική ερμηνεί: Γ ΑΒ ΑΓΓΒ Δ ΑΒ ΑΔΔΒ Γ,Δ ΑΒ ΑΓ ΓΔ ΔΒ AB (δινυσμτική κτίν έρτος) (δινυσμτική κτίν ρχής) OB OA με σημείο νφοράς το σημείο Ο. Η ειλογή του σημείου (ή σημείων) νφοράς ου ρεμβάλλουμε, ρέει ν είνι κτάλληλο κάθε φορά. Κυρίως ειλέγουμε μι κορυφή τριγώνου, τετρλεύρου κτλ, γενικότερ έν στθερό κι γνωστό σημείο ό τ δεδομέν της άσκησης. Συνήθως το σημείο ου υάρχει στις ερισσότερες σχέσεις, είνι γνωστό κι στθερό, σε υτό νλύουμε όλ τ δινύσμτ. Προσοχή, το διάνυσμ το γράφουμε ως μι ό τις δύο μορφές (είνι οι ισοδύνμες).. Ότν έχουμε διάνυσμ με ίδι άκρ τότε λέγετι μηδενικό διάνυσμ, δηλδή AA Ότν λλάζουμε θέση άκρων σε έν διάνυσμ, τότε ίρνουμε το ντίθετο διάνυσμ, δηλδή 4. Πρόσθεση δινυσμάτων Α. Με κοινή ρχή AB BA κι AB BA Αν θέλουμε ν ροσθέσουμε δύο δινύσμτ με κοινή ρχή κάνουμε τ εξής: ) Μέθοδος του ρλληλογράμμου, δηλδή το άθροισμ των δύο δινυσμάτων ισούτι με την διγώνιο του ρλληλογράμμου, υτόν τον τρόο κολουθούμε ότν έχουμε συνήθως σχήμ. β) Δινυσμτική κτίν μέσου, ό τον τύο: Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης - -

3 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση OA OB κοινή ρχή το Ο OM, όου Μ το μέσο του ΑΒ κι AO BO κοινό έρς το Ο MO, όου Μ το μέσο του ΑΒ Αυτόν τον τρόο τον εφρμόζουμε ότν γνωρίζουμε το μέσο ενός δινύσμτος ή μορούμε εύκολ ν το βρούμε. γ) Συντετγμένες δινύσμτος, φού στις συντετγμένες δινύσμτος έχουμε κοινή κορυφή το Ο ο τύος είνι OA OB (x,y ) (x,y ) (x x,y y ) A A B B A B A B, όου A A B B OA (x,y ), OB (x,y ) Β. Διδοχικά δινύσμτ Γι ν ροσθέσουμε δύο δινύσμτ, μορούμε κι ως εξής: ) Τ κάνουμε διδοχικά, δηλδή το έρς του ενός δινύσμτος το τοοθετούμε στην ρχή του άλλου δινύσμτος, άρ το άθροισμά τους είνι η ρχή του ρώτου δινύσμτος κι έρς, το έρς του δεύτερου δινύσμτος. Το ράνω το κολουθούμε ότν έχουμε σχήμ, ν δεν έχουμε ράττουμε τ ρκάτω. β) Ότν έχουμε ρόσθεση δινυσμάτων ου το έρς του ενός είνι η ρχή του άλλου, τότε ισούτι με το διάνυσμ ου ροκύτει ν διγράψουμε τ σημεί υτά. Δηλδή, ABΒΓ ΑΓ ΑΒ ΓΑ ντιμετθετική ιδιότητ ΓΑ ΑΒ ΓΒ ΑΒΑΓ ρόσθεση με κοινή ρχή, δες ράνω ΒΑ ΓΑ ΑΒ ΑΓ ρόσθεση με κοινό έρς, δες ράνω Σχημτικά: ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, δηλδή σν ν «κολλάνε» τ δινύσμτ κι ν εξφνίζετι το σημείο Β. Είνι το ντίστροφο της ρεμβολής όρων (δες ρτήρηση 1). Αυτός ο τρόος είνι ιο εφρμόσιμος στις σκήσεις φού δεν είνι ρίτητο το σχήμ. 5. Οι ράξεις των δινυσμάτων φίνοντι συνοτικά με το ρκάτω ρλληλόγρμμο. Σημείωση: Η γωνί των δινυσμάτων (,β) είνι οξεί, γι ν ισχύουν τ εόμεν. Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

4 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση Η μεγλύτερη διγώνιος του ρλληλογράμμου μς δίνει το άθροισμ των δινυσμάτων, β Η μικρότερη διγώνιος (με κτάλληλη φορά) μς δίνει την διφορά των δινυσμάτων, β Το μισό της μεγλύτερης διγωνίου, μς δίνει την δινυσμτική κτίν μέσου, δηλδή το ημιάθροισμ των δινυσμάτων, β Τέλος, το μισό της μικρότερης διγωνίου, μς δίνει την ημιδιφορά των δινυσμάτων, β Σημείωση: Όλ τ ράνω, ισχύουν γι το ράνω σχήμ, ου η γωνί των δινυσμάτων, β είνι οξεί. Αν η γωνί είνι μβλεί (ή ορθή) τότε λλάζουν οι ρόλοι της μεγάλης μικρής διγωνίου. 6. Τύτιση σημείου Γι ν βρούμε έν σημείο ου τυτίζετι με κάοιο άλλο, ρκεί ν κτλήξουμε στις σχέσεις: BK 0 B K, δηλδή έν διάνυσμ ου είνι το μηδενικό, ρέει τ άκρ του ν τυτίζοντι. AB AK B K, δηλδή το σημείο Β τυτίζετι με το σημείο Κ. Δηλδή ροσθούμε ν έχουμε δύο ίσ δινύσμτ με ίδι ρχή (ή έρς) οότε θ έχουν κι το ίδιο έρς (ή ρχή) (Η δικιολόγηση είνι η εξής: ΑB ΑΚ ΑB ΑΚ 0 ΑB ΚΑ 0 ΚΑ ΑB 0 KB 0 K B ) 7. Γι ν οδείξουμε ότι δύο δινύσμτ είνι ράλληλ, ρκεί ν ισχύει έν ό τ εξής: Προσθούμε ν κτλήξουμε στην μορφή, λ β, με λ (1η συνθήκη ρλληλίς) Αν έχουμε συντετγμένες των δινυσμάτων ίρνουμε την ισοδυνμί: xa ya / / β 0 (η συνθήκη ρλληλίς) x y B B Αν τ δινύσμτ,β δεν είνι ράλληλ στον άξον y y ( δηλδή το x είνι διάφορο του μηδενός) ισχύει η εξής ισοδυνμί: / / β λ λ β (3η συνθήκη ρλληλίς) Σημείωση: Την ρώτη συνθήκη την χρησιμοοιούμε ότν δίνοντι οι σχέσεις μετξύ των δινυσμάτων ή νζητούμε ομόρρο ντίρρο δινύσμτ. Την δεύτερη μορφή την ίρνουμε ότν έχουμε συντετγμένες δινυσμάτων. Την τελευτί μορφή την χρησιμοοιούμε ότν νζητούμε την γωνί ου σχημτίζει το διάνυσμ με τον άξον x x. 8. Ομόρρο κι ντίρρο δινύσμτ Γι ν είνι δύο δινύσμτ,β, Α τρόος: Με τον ορισμό Ομόρρο δινύσμτ Β τρόος: Με την 1η συνθήκη ρλληλίς, δηλδή β λ β, με λ > 0 κι β 0 Γ τρόος: Αρκεί ν οδείξουμε ότι η γωνί μετξύ των δινυσμάτων είνι 0 rad, δηλδή Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

5 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση β (,β) 0 β β Δ τρόος: Με τ μέτρ, δηλδή β β β (θέλει όδειξη ριν την εφρμόσουμε) Α τρόος: Με τον ορισμό Αντίρρο δινύσμτ Β τρόος: Με την 1η συνθήκη ρλληλίς, δηλδή β λ β, με λ < 0 κι β 0 Γ τρόος: Αρκεί ν οδείξουμε ότι η γωνί μετξύ των δινυσμάτων είνι rad, δηλδή β (,β) β β Δ τρόος: Με τ μέτρ, δηλδή β β β (θέλει όδειξη ριν την εφρμόσουμε) Πρώτ εξσφλίζουμε ότι τ δινύσμτ είνι ράλληλ, οδεικνύοντς μί ό τις συνθήκες ρλληλίς, κι μετά ίρνουμε την ρώτη συνθήκη ρλληλίς κι βρίσκουμε το λ. Αν το λ είνι θετικό, τ δινύσμτ είνι ομόρρο, λλιώς ντίρρο. Δείτε το ρκάτω ράδειγμ Πράδειγμ Έστω τ δινύσμτ (, 6), β (1, 3).Ν δείξετε ότι είνι ομόρρο. Λύση Κτρχάς θ δείξουμε ότι τ δινύσμτ είνι ράλληλ ό την δεύτερη συνθήκη ρλληλίς, δηλδή, 6 ( 3) 1 ( 6) άρ / / β 1 3 Θ δείξουμε ότι τ δινύσμτ είνι ομόρρο, ό την ρώτη συνθήκη ρλληλίς. Πίρνουμε το έν διάνυσμ κι θ ροσθήσουμε ν κτλήξουμε στο άλλο: (, 6) (1, 3) β άρ β οότε β 9. Γι ν οδείξουμε ότι τρί σημεί Α, Β κι Γ είνι συνευθεικά οδεικνύουμε δύο δινύσμτ ου σχημτίζοντι ό υτά τ σημεί είνι ράλληλ μετξύ τους, δηλδή ρκεί ν οδείξουμε ότι AB/ / AΓ ή BΓ/ / BA άρ είνι ράλληλ δινύσμτ με έν κοινό άκρο, εομένως ορρίτετι η ερίτωση ν είνι σε διφορετικούς φορείς, οότε νήκουν στην ίδι ευθεί δηλδή τ σημεί Α, Β κι Γ είνι συνευθεικά. 10. Γενικά δεν μορούμε ν μεττρέψουμε τις σχέσεις μέτρων σε δινυσμτικές σχέσεις. Δηλδή γενικά δεν ισχύει, (AB) (KM) AB KM Η μεττροή υτή γίνετι ότν: Τ ευθύγρμμ τμήμτ ν είνι ρ ά λ λ η λ Κι τ δινύσμτ ν έχουν τις ίδιες φορές. Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

6 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση Σχημτική ερμηνεί / Πρδείγμτ Α. (BΓ EΔ BΓ ΔΕ Σ υτήν την ερίτωση γίνετι υτή η μεττροή, φού τ ευθύγρμμ τμήμτ ΔΕ // ΒΓ. Προσέξμε όμως τις φορές των δινυσμάτων, έχουν φορά κι τ δύο δινύσμτ ρος τ δεξιά. Β. Ενώ σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ υοτείνουσ όως φίνετι στο διλνό σχήμ, ισχύει, (ΒΓ) = (ΑΜ) τότε δεν μορούμε ν την μεττρέψουμε σε δινυσμτική σχέση, φού δεν είνι ράλληλ τ ευθύγρμμ τμήμτ ΑΜ κι ΒΓ. Γ. Είσης ν ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) ισοσκελές τρίγωνο, τότε δεν είνι σωστό ν γράψουμε: ΑΒ ΑΓ. 11. Γι ν δείξουμε μι ράστση δινυσμάτων ότι είνι στθερή, ρκεί ν οδείξουμε ότι ισούτι με δινύσμτ ου οτελούντι ό στθερά σημεί, ή δεν υάρχει το μετβλητό σημείο μέσ στην σχέση. 1. Εργλείο θεωρίς σκήσεων : Βσικές σκήσεις 1 κι Έστω τ μη μηδενικά δινύσμτ,β τέτοι ώστε / / β, ν οδείξετε τις ρκάτω ισοδυνμίες: Έστω ΑΒΓ τρίγωνο τέτοιο ώστε 1) κ λ β 0 κ λ ) x y β x y β x x κι y y Πράδειγμ 1 1 λ ΑΒ 3μ ΒΓ 0, λ,μ, υολογίστε τ λ, μ. Λύση 1) Εειδή τ δινύσμτ ΑΒ,ΒΓ δεν είνι ράλληλ, ό την βσική άσκηση 1 έχουμε: 1 λ =0 κι 3μ = 0 άρ λ = 1 κι μ = /3 Έστω ΑΒΓ τρίγωνο τέτοιο ώστε Έχουμε, Πράδειγμ λ ΑΒ μ ΑΓ, λ,μ, υολογίστε τ λ, μ Λύση λ ΑΒ μ ΑΓ λ ΑΒ μ ΑΓ 0 κι εειδή τ δινύσμτ ΑΒ, ΑΓ δεν είνι ράλληλ, ό την βσική άσκηση 1 ίρνουμε: λ = 0 κι μ + = 0 άρ λ = 0 κι μ = Πράδειγμ 3 Δίνοντι δύο μη ράλληλ δινύσμτ,β τέτοι ώστε τ δινύσμτ u 3β, v 1x β ν είνι συγγρμικά, βρείτε τον ργμτικό ριθμό x. Λύση Εειδή τ δινύσμτ u, v είνι ράλληλ συγρμμικά έχουμε διδοχικά Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

7 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση u λ v 3β λ 1 x β 3β λ λx λ β βσική άσκηση λ λx κι λ 3 5 x κι λ Ισότητ δινυσμάτων Ότν έχουμε δύο δινύσμτ ου δίνοντι οι συντετγμένες τους κι είνι ίσ, τότε εξισώνουμε τις ομώνυμες συντετγμένες τους, δηλδή Είσης ισχύουν οι εξής σχέσεις: β (x, y ) (x, y ) x x κι y y κι 0 (x A, y A ) 0,0 x A 0 κι ya 0 A A B B A B A B ) ΑΒ ΓΔ ΑΒΔΓ ρλληλόγρμμο (ότν τ Α,Β,Γ,Δ είνι ΜΗ συνευθεικά σημεί) β) ΑΒΓΔ λλγή «μέσων όρων» ΑΓ ΒΔ γ) ΑΒΓΔ λλγή «άκρων όρων» ΔΒ ΓΑ δ) ΑΒΓΔ λλγή «μέσων» κι «άκρων όρων» ΔΓ ΒΑ Σημείωση: Με τον ράνω τρόο- τέχνσμ, δεν είνι ρίτητο ν έχουμε σχήμ γι ν ροκύψουν οι σχέσεις. 14. Συντετγμένες δινύσμτος Ότν έχουμε διάνυσμ της μορφής, x i y j (x, y) OA (x, y) A(x, y) ου μς συνδέει την νλυτική μορφή του δινύσμτος με τις συντετγμένες του δινύσμτος κι τις συντετγμένες του έρτος του δινύσμτος. Σχημτική ερμηνεί: Τ μονδιί δινύσμτ έχουν συντετγμένες, i (1,0), j (0,1) Τ μονδιί δινύσμτ μς βοηθήσνε ν ριθμήσουμε τους άξονες. Δηλδή με τ μονδιί δινύσμτ κτσκευάσμε δύο «ριθμοάξονες». 15. Γρμμικός συνδυσμός δινυσμάτων Το διάνυσμ γράφετι κτά μονδικό τρόο ως γρμμικό συνδυσμό των δινυσμάτων β, γ, δηλδή, λ β μ γ Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

8 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση Αν δίνοντι κι τ τρί δινύσμτ κι ζητείτι ο γρμμικός τους συνδυσμός, τότε γράφουμε την ροηγούμενη μορφή, ντικθιστούμε τις συντετγμένες τους, κάνουμε ράξεις, κι ό ισότητ των δινυσμάτων ίρνουμε δύο εξισώσεις με δύο γνώστους. Λύνουμε το σύστημ κι βρίσκουμε τ λ, μ. Άρ έχουμε τ λ, μ οότε κι των γρμμικών συνδυσμό τους. Είσης δες την ρτήρηση 19, μς εριγράφει ως βρίσκουμε το μέτρο ενός γρμμικού συνδυσμού. Έστω τ δινύσμτ (1, 1), β (,3), γ (0,1) Πράδειγμ Ν γράψετε το διάνυσμ γ ως γρμμικό συνδυσμό των δινυσμάτων,β. Έχουμε διδοχικά, Λύση γ λ μ β (0,1) λ μ λ μλ μ 0 λ μ κι λ μ λ κιμ Οότε, γ β 16. Ότν δίνοντι τρί διφορετικά σημεί κι θέλουμε ν οδείξουμε ότι σχημτίζουν τρίγωνο, ρκεί ν δείξουμε ότι δεν είνι συνευθεικά σημεί, δηλδή τ Α, Β, Γ σχημτίζουν τρίγωνο, ρκεί τ δινύσμτ χ. AB, ΑΓ ν μην είνι ράλληλ. 17. Εσωτερικό γινόμενο Ότν έχουμε εσωτερικό γινόμενο δύο δινυσμάτων ροσέχουμε κι τ δύο δινύσμτ ν ξεκινάνε με την ίδι κορυφή (γι σωστή εύρεση της γωνίς). Αν δεν ξεκινάνε με την ίδι κορυφή τότε ρέει ν το κάνουμε λλάζοντς τ άκρ του ενός δινύσμτος κι βάζοντς έν ειλέον μείον μροστά ό υτά. Δηλδή, ABAK AB KA γινόμενο δινυσμάτων με κοινή ρχή γινόμενο δινυσμάτων με μη κοινή ρχή AB AK BA KA γινόμενο δινυσμάτων με κοινό έρς AB AK 18. Ιδιότητες Εσωτερικού γινομένου β συν,β, ν 0 κι β 0 β 0, ν 0 ή β 0 ορισμός Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

9 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση β β ντιμετθετική ιδιότητ Δύνμη δινύσμτος β 0 0,β οξεί γωνί β 0,β μβλεί γωνί β ή β 0 0 ή β 0 β β β β β β β x,y x,y x x y y λβ λβ λ β, λ β γ β γ ειμεριστική ιδιότητ β β λ λ 1 γι,β / / y'y η συνθήκη κθετότητς δινυσμάτων Εικίνδυνες ιδιότητες ου ΔΕΝ ισχύουν γι το εσωτερικό γινόμενο β β λλά β β (Ανισότητ Cauchy - Schwarz)Εφρμογή 1i / σελ. 44 Αόδειξη Η ζητούμενη σχέση γίνετι ισοδύνμ:,β0 β β β β β β β συν,β β 1 συν,β 1 Η ισότητ ισχύει ότν 0 ή β 0 ή ότν ντίρρο, οότε ισχύει η ισότητ ότν γενικά / /β. συν,β 1, δηλδή ότν τ δινύσμτ είνι ομόρρο ή β β λλά β β Εφρμογή 1ii/σελ. 44 Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

10 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση Αόδειξη Πίρνουμε το μέλος της ζητούμενης σχέσης, β β β β β CS Η ισότητ ισχύει ότν έν ό τ δινύσμτ είνι μηδενικό ή / /β (όως ροηγουμένως) γ ροσετιριστική ιδιότ β γ β ητ Το μέλος είνι της μορφής λ, ου δεν έχουμε ορίσει κάτι νάλογο στην θεωρί, άρ δεν ισχύει η ροσετιριστική ιδιότητ δινυσμάτων. Σημείωση: Έστω ότι ορίζμε το διάνυσμ λ, τότε άλι δεν θ ίσχυε η ροσετιριστική ιδιότητ δινυσμάτων. Φίνετι εύκολ ό το εόμενο ντιράδειγμ. Έστω, 1, 1, β,3, γ 3,4 τότε εύκολ βρίσκουμε ότι β 1 κι β γ 6 οότε β γ 1, 1 6 6, 6 ενώ βγ 1 3,4 3, 4 6, 6 β γ κι 0 β γ Μορεί ν ισχύει κι β γ, γιτί, του εσωτερικού γινομένου τότε ισχύει έν ό τ εξής: β γ β γ 0 β γ 0 κι ό την ιδιότητ 0 ορρίτετι λόγω εριορισμών ή β γ 0 δηλ. β γ ή β γ Γενικά δεν ισχύει ο κνόνς της διγρφής στ δινύσμτ. 19. Στο εσωτερικό γινόμενο, ισχύουν οι γνωστές τυτότητες ου ισχύουν κι στους ργμτικούς ριθμούς, ν εφρμόσουμε σωστά την ειμεριστική κι ντιμετθετική ιδιότητ, δηλδή, (a β) (a β) (a β) a a β β a β a a β β όμοι ίρνουμε κι τις άλλες τυτότητες. Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

11 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση 0. Αν έχουμε γνωστά τ μέτρ των δινυσμάτων,β κι την γωνί τους, γι ν βρούμε το μέτρο ενός γρμμικού συνδυσμού γ υτών, ρκεί ν βρούμε το γ. Αν Πράδειγμ 1, β 3 κι (, β) ν βρεθεί το μέτρο του δινύσμτος: γ 3 β 4 Λύση Βρίσκουμε ρώτ το μέτρο του γ, εφρμόζοντς τις ιδιότητες κι ράξεις των δινυσμάτων, 3 γ γ (3 β) 9 1 β 4 β 91 1 β συν οότε γ 9 άρ γ 9 1. Οι συνθήκες κθετότητς μετξύ δύο δινυσμάτων είνι: a β a β 0 (1η συνθήκη κθετότητς) (ισχύει κι γι μηδενικά δινύσμτ) a β λ λ 1, όου a,β / / y'y (η συνθήκη κθετότητς) a β. Προβολή δινύσμτος άνω σε άλλο τέτοι ώστε Έστω τ μη μηδενικά δινύσμτ OΜ ν κι OA ν,, δηλδή δεν είνι κάθετ, τότε οι βσικές ιδιότητες της ροβολής του δινύσμτος ν άνω στο είνι: Ιδιότητ 1η: ροβ ν ΟΜ, όου Μ η ροβολή του σημείου Μ στην OA 1 1 Ιδιότητ η: ροβ ν / / ροβ ν λ, λ * Ιδιότητ 3η : 0 ν, ροβ ν ν, Ιδιότητ 4 η: ροβ ν Ιδιότητ 5η : v ροβ ν (Βσικός τύος) ν Ιδιότητ 6η : ρο β ν (Βσική άσκηση 3η) γι 0 Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

12 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση ν Ιδιότητ 7η : ροβ ν ν συν ν, (Βσική άσκηση 4η) γι 0 Ιδιότη τ 8η : ροβ λβ μγ λ ρ οβ β μ ροβ γ, (Βσική άσκηση 5η) γι 0 Αόδειξη / Ιδιότητ 6η Έχουμε ό την ιδιότητ η, ροβ ν / / ρο λ * βν, λ (1) Αρκεί ν υολογίσουμε τον ριθμό λ. Αντικθιστούμε την σχέση (1) στην ιδιότητ 5, δηλδή, 0 v λ λ v ροβ ν v λ v ν Οότε η σχέση (1) γίνετι: ροβ ν Αόδειξη / Ιδιότητ 7η ν Αό την ιδιότητ 6η έχουμε γι 0, ροβ ν, οότε ν ν ροβ ν Προσοχή! " Έσσε" το μέτρο εειδή ν ν ν συν ν, ν συν ν, είνι της μορφής λ Αόδειξη / Ιδιότητ 8η Πίρνουμε το μέλος κι με την βοήθει της 6ης ιδιότητς θ κτλήξουμε στο β μέλος (δουλεύοντς με ισότητες) κι γι 0 έχουμε, Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

13 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση λβ μγ ροβ λβ μγ λβ μγ λβ μγ (δηλδή η ροβολή του δινύσμτος άνω σε διάνυσμ είνι γρμμική) β γ λ μ λ ροβ β μ ροβ γ 3. Μέτρο δινύσμτος Το μέτρο δινύσμτος έχει ολλές ιδιότητες όως βλέουμε ρκάτω: β β το ντίστροφο δεν ισχύει β β το ντίστροφο δεν ισχύει ΑΒ ΒΑ 0 0 ΑΒ 0 ΑΒ 0 Α Β (εδώ ισχύει το ντίστροφο) λ λ, όου λ το όλυτο του ριθμού λ, ενώ το μέτρο του δινύσμτος β β β,ό τριγωνική νισότητ γι οοιδήοτε δινύσμτ,β ριθμός β γ β γ, εφρμογή βιβλίου (άρ την γνωρίζουμε ως θεωρί) γι οοιδήοτε δινύσμτ,β,γ β β β β β β ριθμός / / β β β β β β β 0 ή β 0 Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

14 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση 4. Διάνυσμ ή ριθμός; Έν γρήγορο τυολόγιο ου μς υενθυμίζει τι είνι το κθέν. β διάνυσμ β διάνυσμ λ διάνυσμ (ράλληλο στο διάνυσμ ) λ δεν ορίζετι διάνυσμ λ β ριθμός ριθμός :β δεν ορίζετι ριθμός (μη ρνητικό ς),β = γωνί ροβ β διάνυσμ (ράλληλο στο διάνυσμ ) 0 0 ριθμ, 0 γωνί σε μοίρες, 0 rad γωνί, ενώ 0 ός διάνυσμ 5. Γωνίες κι δινύσμτ Στ δινύσμτ δύο είδη γωνιών μς σχολούν, η κυρτή γωνί ου σχημτίζουν δύο δινύσμτ κι συνήθως την συμβολίζουμε με το γράμμ θ κι την γωνί ου σχημτίζει το διάνυσμ με τον άξον x x, συνήθως την ονομάζουμε με το γράμμ φ. Προυσιάζουμε νλυτικά τις ράνω γωνίες. (Α) Κυρτή γωνί μετξύ δύο δινυσμάτων Συμβολισμός:,β θ Ιδιότητες Γι τ μη μηδενικά δινύσμτ,β ισχύουν: 0 θ,β β, = θ Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

15 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση, 0, β θ 0 β θ β θ β x x y y 1 1 συνθ, όου x, y, β x, y β x y x y 1 1 Γενικότερ, ν έχουμε δύο δινύσμτ u, v 1 1 ου δίνοντι ως γρμμικό συνδυσμό των δινυσμάτων,β,τότε θ βρίσκουμε το εσωτερικό τους γινόμενο κι τ μέτρ τους. Τέλος ίρνουμε τον τύο κι ντικθιστούμε. Είσης, ν ζητείτι ή δίνετι η γωνί μετξύ δινυσμάτων θ ίρνουμε τον ράνω τύο. β 0 0,β (οξεί) β 0,β (μβλεί) β 0,β (ορθή) 0,0,β φ φ, όου φ 1, φ οι γωνίες ου σχημτίζουν τ δινύσμτ,β με τον άξον x x 1 Έστω ότι έχουμε ν λύσουμε την εξίσωση Προσοχή στην είλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων συν,β κ, όου 0 κ 1 τότε κολουθούμε τ εξής βήμτ: ) Βρίσκουμε μι οξεί γωνί ω ου το συνημίτονο της ν δίνει το θετικό οτέλεσμ του συνημίτονου της γωνίς των δύο δινυσμάτων, δηλδή το κ. Πιο νλυτικά, νζητούμε γωνί ω τέτοι ώστε: συνω κ β) Η ζητούμενη γωνί των δύο δινυσμάτων γι έχει ρνητικό συνημίτονο ρέει ν βρίσκετι στο δεύτερο τετρτημόριο, φού 0,β, άρ,β ω. 0,β συν,β συνω συν,β συν ω,β ω Μθημτική ερμηνεί: χ. 3 συν,β συν,β συν συν,β συν άρ,β / /γ γ,β θ γ,β θ,β θ Βσική άσκηση 6: ή Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

16 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση γ Βσική άσκηση 7: γ,β,β θ θ Βσική άσκηση 8: Γι μη κάθετ δινύσμτ,β ισχύει: Αοδείξεις Βσικών σκήσεων u κι β v u,v,β ή u, v,β 3) Θεωρούμε ότι τ δινύσμτ είνι μη μηδενικά, λλιώς η όδειξη είνι ροφνής. Αν (γ,β) έχουμε: a / /γ a λγ aβ λ(γβ) a β cosθ λ γ β cos a cosθ λ γ cos λγ cosθ λ γ cos λ cosθ λcos cosθ cos θ ή θ 4) Όμοι με την 3η Βσική άσκηση, φού είνι ομόρρο έχουμε λ 0 λ λ, έτσι ροκύτει μόνο,λόγω φ,θ 0, cos cosθ άρ θ. 5) Α τρόος: Προκύτει γεωμετρικά (οξείες ή μβλείες γωνίες με λευρές κάθετες) Β τρόος: Αλγεβρικά με συντετγμένες δινυσμάτων Έστω y4 u (x,y ), v (x,y ), a (x,y ), β (x, ) κι έστω ότι κνέν ό τ δινύσμτ δεν έχει τη διεύθυνση κάοιου άξον. Αό τις κθετότητες ροκύτουν: κι a u 0 x x y y 0 y x x y y. Γι τη γωνί φ ισχύει: cos 3 β v 0 x x y y 4 4 Αν θ η γωνί των a, β τότε: cosθ 4 x x y xx 1 3 xx 4 xx (1),() 3 4 xx 3 4 y3y4 y1 y x y x y xx xx x 3 x4 y1 y (3) cos y1y (x3x 4y1y x1x3x x 4) y1y x 3x 4 (y1y x1x ) y y y x x x y x x x y y x x y x y x y y x x y y x x cos 3 4 άρ οι γωνίες θ κι φ είνι ίσες ή ρληρωμτικές x x y y. x y x y 1 1 Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

17 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση (Β) Γωνί ου σχημτίζει το διάνυσμ OΑ με τον άξον x x Ορισμός - Συμβολισμός φ = η γωνί ου διγράφει ο θετικός ημιάξονς Ox,με κέντρο το σημείο Ο, ν κινηθεί κτά την θετική φορά (ντιωρολογική φορά) μέχρι ν συμέσει στην τελική λευρά ΟΑ. Σχήμτ (σχ. 1) (σχ. ) (σχ. 3) (σχ. 4) (σχ. 5) (σχ. 6) (σχ. 7) (σχ. 8) Ιδιότητες 0 φ φ 0 / /Οx x,0, x 0(δες σχ. 8) φ / /Οy 0,y, y 0 (δες σχ. ) φ / /Οx x,0, x 0 (δες σχ. 4) Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

18 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση 3 φ / /Οy 0,y, y 0 (δες σχ. 6) φ διχοτόμος της γωνίς xοy x,x, x φ διχοτόμος της γωνίς x Οy x,x, x φ διχοτόμος της γωνίς x Οy x,x, x φ διχοτόμος της γωνίς xοy x, x, x 0 4 y εφφ λ, x 0 x 3 / /y'y x 0 φ ή φ (δες σχ. 6) / /x'x y 0 φ 0 ή φ (δες σχ. 4 8) Αν φ 1, φ οι γωνίες ου σχημτίζουν τ δινύσμτ, β με τον άξον x x ντίστοιχ τότε: συν,β συν φ φ Βσική άσκηση 9: 1 γι φ < φ 1 έχουμε,,β φ φ ή,β φ φ 1 1 Βσική άσκηση 10: β φ1 φ Βσική άσκηση 11: β φ1 φ Βσική άσκηση 1: Γενικά, / /β φ1 φ κ, όου κ 0, 1. Προσοχή στην είλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων Έστω ότι έχουμε ν λύσουμε την εξίσωση συνφ κ, όου 0 κ 1 τότε κολουθούμε τ εξής βήμτ: ) Βρίσκουμε οξεί γωνί ω ου το συνημίτονο της ν δίνει το θετικό οτέλεσμ του συνημίτονου της γωνίς των δύο δινυσμάτων, δηλδή το κ. Πιο νλυτικά, νζητούμε γωνί ω τέτοι ώστε: συνω κ β) Η ζητούμενη γωνί των δύο δινυσμάτων γι έχει ρνητικό συνημίτονο ρέει ν βρίσκετι στο δεύτερο ή τρίτο τετρτημόριο, φού 0 φ, άρ φ ω ή φ ω. 0φ Μθημτική ερμηνεί: συνφ συνω συνφ συν ω φ ω ή φ ω συνφ συνφ συν συνφ συν 4 4 χ. 3 5 άρ φ ή φ Αοδείξεις των Βσικών σκήσεων 9) Υοθέτουμε ότι κνέν ό τ δινύσμτ δεν έχει τη διεύθυνση κάοιου άξον (λλιώς η όδειξη είνι λή κι φνερή). Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης

19 Μεθοδολογί στ δινύσμτ Μθημτικά Β Λυκείου Κτεύθυνση Έστω (x 1,y 1), β (x,y ) με x1 x 0, τότε συν,β x x y y 1 1 x y x y 1 1 (1) Όμως γνωρίζουμε ότι, εφφ y 1 1 () κι x1 1 συν x ροκύτουν οι εξής σχέσεις: εφ x 1 εφφ y (3) ντικθιστώντς στον τύο x ημφ ημφ y, συνφ x1 y1 x1 y1 y, συνφ x1 y1 x1 y1 x x () ή κι ημφ (3) ή ημφ y, συνφ x1 y1 x1 y1 y, συνφ 1 x1 y1 x1 y1 x x (β) (3β) Τέλος, ισχύει συν(φ1 φ ) συνφ1συνφ ημφ1 ημφ (4) (είνι εκτός ύλης με την νέ ύλη της Β Λυκείου Άλγεβρ). Αντικθιστώντς τις σχέσεις (), (3) στην (4) ροκύτει (1) x1x y1y συν(φ1φ ) συν,β x1 y1 x y Ομοίως, συνδυάζοντς τις σχέσεις (β), (3β) στην (4) ροκύτει το ίδιο οτέλεσμ δηλδή, 10) Εειδή β 11) Εειδή β (1) x1x y1y συν(φ1φ ) συν,β x1 y1 x y τότε η γωνί τους είνι μηδέν, δηλδή,β 0, άρ ό την Βσική άσκηση 9 έχουμε, συν,β συν φ φ συν0 συν φ φ φ φ τότε η γωνί τους είνι, δηλδή,β 1 1 1, άρ ό την Βσική άσκηση 9 έχουμε, συν,β συν φ φ συν συν φ φ φ φ ) Αό συνδυσμό των βσικών σκήσεων 10 κι 11 έχουμε ότι, β τότε φ φ δηλδή φ φ 0 άρ κι φ φ β τότε φ φ δηλδή φ φ άρ τ ράνω συνοψίζοντι στην εξής σχέση: / /β φ1 φ κ, όου κ 0, 1. Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης