ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ 1o : Δινύσμτ 1.1 : Ή έννοι του δινύσµτος 1. : Πρόσθεση κι φίρεση ινυσµάτων 1.3 : Πολλπλ/σµός ριθµού µε ιάνυσµ 1.4 : Συντετγµένες στο επίπεδο 1.5 : Εσωτερικό Γινόµενο ινυσµάτων

2 1.1 : Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Ορισµοί ιάνυσµ : λέγετι έν ροσντολισµένο ευθύγρµµο τµήµ του ο οίου τ άκρ θεωρούντι διτετγµέν. Το ρώτο σηµείο λέγετι ρχή (ή σηµείο εφρµογής), ενώ το δεύτερο λέγετι έρς του δινύσµτος. Το διάνυσµ µε ρχή κι έρς συµολίζετι µε Έν διάνυσµ συµολίζετι κι µε έν εζό ελληνικό ή λτινικό γράµµ άζοντς άνω του έν έλος.χ. το v Μηδενικό: λέγετι το διάνυσµ του ο οίου η ρχή κι το τέλος συµ ί τουν. Συµολίζετι 0 ή. Η εικόν του είνι έν σηµείο του ε ι έδου. Μέτρο δινύσµτος : λέγετι το µήκος του ευθ. τµήµτος. Συµολίζετι κι ροφνώς είνι 0. Ισχύει =0. Μονδιίο: λέγετι το διάνυσµ ου έχει µέτρο την µονάδ..χ. τ AB, v Φορές δινύσµτος: Είνι η ευθεί άνω στην ο οί ρίσκετι το διάνυσµ..χ. η ευθεί ε είνι φορές του Γ, η ευθεί ζ είνι φορές του ΕΖ Πράλληλ ή συγγρµµικά δινύσµτ: Έχουν τον ίδιο φορέ ή ράλληλους φορείς. Συµολισµός: //.χ. Γ // ΚΛ κι Γ // ΕΖ ινύσµτ µε ίδι διεύθυνση: λέγοντι τ ράλληλ δινύσµτ..χ. τ Γ, ΚΛ, ΕΖ Οµόρρο (Με ίδι διεύθυνση κι φορά) (συµ. ): λέγοντι δύο ράλληλ δινύσµτ ου : ) Ότν έχουν ράλληλους φορείς, ρίσκοντι στο ίδιο ηµιε ί εδο ως ρος την ευθεί ου ενώνει τις ρχές τους.χ. Γ ) Ότν έχουν τον ίδιο φορέ, η µί ό τις ηµιευθείες ου ορίζουν εριέχετι στην άλλη.χ. ΕΖ ΗΘ [1]

3 ντίρρο (Με ίδι διεύθυνση κι ντίθετη φορά) (συµ. ): είνι δύο ράλληλ δινύσµτ ου: ) Ότν έχουν ράλληλους φορείς, ρίσκοντι σε διφορετικά ηµιε ί εδ ως ρος την ευθεί ου ενώνει τις ρχές τους.χ. Γ ) Ότν έχουν τον ίδιο φορέ, κµί ό τις ηµιευθείες ου ορίζουν δεν εριέχετι στην άλλη.χ. τ ΕΖ ΗΘ Ίσ δινύσµτ: Λέγοντι δύο οµόρρο δινύσµτ ου έχουν ίσ µέτρ. (δηλ. ράλληλ µε ίσ µέτρ κι ίδι φορά).χ. ν Γ ΕΖ κι Γ = ΕΖ τότε Γ =ΕΖ ν Γ ΚΛ κι Γ = ΚΛ τότε Γ =ΚΛ ντίθετ δινύσµτ: Λέγοντι δύο ντίρρο δινύσµτ ου έχουν ίσ µέτρ (δηλ. ράλληλ µε ίσ µέτρ λλά ντίθετη φορά). ν το u είνι ντίθετο του v γράφουµε u = - v ( ή v = - u ).χ. ν Γ ΕΖ κι Γ = ΕΖ τότε Γ = -ΕΖ ν Γ ΚΛ κι Γ = ΚΛ τότε Γ = -ΚΛ Άσκηση 1 ίνετι τρίγωνο Γ. Ν ρεθούν τ σηµεί Μ του ε ι έδου έτσι ώστε τ δινύσµτ κι Μ ν έχουν: ) την ίδι κτεύθυνση ) την ίδι διεύθυνση κι το ίδιο µέτρο γ) την ίδι διεύθυνση δ) το ίδιο µέτρο Λύση A B Γ []

4 Σηµντικές πρτηρήσεις ν Μ µέσο του τότε Μ=Μ κι Μ= -Μ Μ ν Μ=Μ τότε το Μ είνι µέσο του εχόµστε ότι το µηδενικό διάνυσµ είνι ράλληλο µε κάθε άλλο. ηλ. το = 0 έχει ο οιδή οτε κτεύθυνση. = 0 ν Γ ρλληλόγρµµο τότε: = Γ κι =Γ ο ότε κι =Γ κι =Γ Στην ισότητ = Γ γίνοντι ενλλγές των γρµµάτων ως εξής: = Γ Γ = (ενλλγή των µέσων γρµµάτων) = Γ = Γ (ενλλγή των άκρων γρµµάτων) = Γ Γ = (ενλλγή όλων των γρµµάτων) Άσκηση ν γι τ σηµεί,, Γ,, Ε ισχύουν οι ισότητες Γ= κι Ε=, ν δείξετε ότι το είνι µέσο του ΓΕ. όδειξη Γωνί δύο δινυσµάτων, : λέγετι η θετική κι κυρτή γωνί ου σχηµτίζουν ότν τ κτστήσουµε ν έχουν κοινή ρχή. Συµολίζουµε µε (, ) ή (, ) ή γενικά θ µε 00 θ χ. στο σχήµ µε κοινή ρχή Ο ίρνουµε Ο= κιο= Γ Πρτηρήσεις: Τ οµόρρο δινύσµτ σχηµτίζουν γωνί 0 0.χ. ν γ δ τότε θ=0 0 Τ ντίρο δινύσµτ σχηµτίζουν γωνί χ. ν ε ζ τότε θ=180 0 ν θ=90 0 τ δινύσµτ λέγοντι κάθετ ή ορθογώνι.χ. ν θ=90 0 τότε u v Θεωρούµε ότι το µηδενικό διάνυσµ 0 σχηµτίζει ο οιδή οτε γωνί θ (0 0 θ ) µε κάθε άλλο διάνυσµ [3]

5 ( 1. ) ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΙΡΕΣΗ ΙΝΥΣΜΤΩΝ Πως ορίζετι η πρόσθεση δύο δινυσμάτων, 1 ος τρό ος Με ρχή έν τυχίο σηµείο Ο ίρνουµε διάνυσµ Ο = Στη συνέχει µε ρχή το ίρνουµε έν διδοχικό ρος τοο διάνυσµ Μ = Τότε ορίζουµε το διάνυσµ ΟΜ ν είνι το άθροισµ των κι κι συµολίζουµε ΟΜ = + Ώστε: Γι ν ροσθέσουµε δύο δινύσµτ, τ κάνουµε διδοχικά (δηλ. το έρς του ρώτου ν είνι η ρχή του δευτέρου). Τότε το διάνυσµ ου ορίζετι ό την ρχή του ρώτου κι ό το έρς του δευτέρου δινύσµτος είνι το άθροισµά τους. ηλ. Ο +Μ =ΟΜ Σχόλιο: Τ δινύσµτ γίνοντι διδοχικά µε ράλληλη µετφορά ος τρό ος Με ρχή έν τυχίο σηµείο Ο ίρνουµε δινύσµτο = κιο = Σχηµτίζουµε το ρλληλόγρµµο ΟΜ µε λευρές τις Ο, Ο Τότε το άθροισµ + ορίζετι ό το διάνυσµ της εριεχόµενης διγωνίου ΟΜ. ηλ. + =ΟΜ Ώστε: Γι ν ροσθέσουµε δύο δινύσµτ εφρµόζουµε τον κνόν του ρλληλογράµµου Ιδιότητες της ρόσθεσης διν/των ) +=+ (ντιµετθετική) ) (+)+γ=+(+γ) ( ροσετιριστική) γ) +0=0+ (ουδέτερο στοιχείο) δ) +(-)=0 (ντίθετο στοιχείο) Ο + Μ Ο + Ο Ο + +γ ++γ Η όδειξη του ) Η όδειξη του ) + + γ Μ Μ Μ [4]

6 Πρτηρήσεις Συµολίζουµε κθέν ό τ ίσ θροίσµτ ( + ) +γ κι + ( +γ ) µε ++γ,το ο οίο θ λέµε άθροισµ των τριών δινυσµάτων, κι γ Το άθροισµ ολλών δινυσµάτων ρίσκετι ν ροσθέσουµε το ρώτο µε το δεύτερο, υτό ου θ ρούµε µε το τρίτο, υτό ου θ ρούµε µε το τέτρτο κ.ο.κ. Το άθροισµ ολλών δινυσµάτων το ρίσκουµε ευκολότερ ν κάνουµε τ δινύσµτ διδοχικά..χ. ++γ+δ= v Έν δινυσµτικό άθροισµ ου το έρς ενός δινύσµτος είνι η ρχή του ε οµένου, υ ολογίζετι άµεσ..χ. AB+Γ+Γ + Ε=Ε Κάθε διάνυσµ γράφετι σν άθροισµ δύο ή ερισσοτέρων δινυσµάτων..χ. =Γ+Γ κι = + Ε+Ε Πως ορίζετι η φίρεση δύο δινυσµάτων, 1 ος τρό ος (ορισµός) Η διφορά του ό το διάνυσµ ορίζετι ως το άθροισµ του δινύσµτος µε το ντίθετο (- ) του δινύσµτος. ηλ. = +(- ) Ισχύει : + x = x = - γ δ Γ Ε γ v δ ηλ. η διφορά - είνι το διάνυσµ ου ρέ ει ν ροσθέσουµε στο γι ν άρουµε το. ος τρό ος (κνόνς ρλληλογράµµου) Η διφορά είνι το διάνυσµ της δεύτερης διγωνίου του γνωστού ρλληλογράµµου της ρόσθεσης δινυσµάτων!!! Προσέξτε την διεύθυνση του ( ό το έρς του στο έρς του ) [5]

7 Διάνυσμ θέσεως ενός σημείου του επιπέδου Σηµείο νφοράς ονοµάζουµε έν στθερό σηµείο Ο του ε ι έδου ου το θεωρούµε ως ρχή. ιάνυσµ θέσεως του σηµείου Μ (ή δινυσµτική κτίν του σηµείου Μ): λέγετι το διάνυσµ ΟΜ ό ου Ο το σηµείο νφοράς Κάθε διάνυσµ στο χώρο είνι ίσο µε τη δινυσµτική κτίν του έρτος µείον τη δινυσµτική κτίν της ρχής ηλδή: AB= OB OA (φού Ο+=Ο AB = OB OA ) σκήσεις 3. ίνετι τετρά λευρο Γ. Ν ρείτε τ δινύσµτ: ) +Γ = ) + = γ) +Γ+Γ = ε) Γ = δ) Γ Γ = στ) Γ+Γ = 4. Ν εκφράσετε το διάνυσµ x ως συνάρτηση των άλλων δινυσµάτων στ σχήµτ ου δίνοντι: 5. Ποι δύνµη χρειάζετι ν εφρµοστεί στο σώµ Σ ώστε ν µη µετκινηθεί ό την θέση του: F Σ F F Σ F F Σ Σ F F 1 F F 1 F F 1 F F Σ Γ F 1 F 6. i) Συµ ληρώστε τ κενά µε έν γράµµ ώστε µε άση το δι λνό σχήµ ν ληθεύουν οι ισότητες: ) + Ε=... ) Ε+=... γ) Γ + =... δ) Ζ+ΖΕ=Ζ... ε) ΖΕ=... ii) Συµ ληρώστε τ κενά µε έν διάνυσµ ώστε µε άση το δι λνό σχήµ ν ληθεύουν οι ισότητες: ) Ε =... ) Γ =... γ) ΓΖ+ Ζ=... δ) ΓΖ=... ε) Γ+ Γ=... Γ Ε Ζ [6]

8 7. ίνετι το κνονικό εξάγωνο Γ ΕΖ κέντρου Ο. Ν ρεθούν τ δινύσµτ: ) Γ Ζ ) ΟΓ ( ΕΟ Ε) γ) Ο δ) Ζ Γ Ζ Ε Ο Γ 8. Συµ ληρώστε τ κενά µε έν γράµµ ώστε µε άση το δι λνό σχήµ ν ληθεύουν οι ισότητες ) Ε=ΖΕ Κ... ) ΙΗ+Ε... =Ζ γ) ΕΙ+ΚΗ=ΕΓ... Ζ Η τριγωνική νισότητ στ δινύσμτ ν, ο οιδή οτε δινύσµτ του ε ι έδου ισχύει + + (τριγωνική νισότητ) Το µέτρο του θροίσµτος δύο δινυσµάτων εριέχετι µετξύ του θροίσµτος των µέτρων τους κι της όλυτης διφοράς των µέτρων τους Ειδικές ερι τώσεις ν 0 κι 0 κι, µη συγγρµικά τότε < + < + (σχ.1) ν (οµόρρο )τότε < + = + (σχ.) ν (ντίρρο )τότε = + < + (σχ.3) ν = 0 ή = 0 τότε = + = + Άσκηση 9 Θεωρούµε τ δινύσµτ του δι λνού σχήµτος ου έχει κύκλο(ο,1) ) Ν θέσετε το κτάλληλο σύµολο (=, <, >) µετξύ των 1 i) δ,, γ ii) Ο,, + γ ) Ν ρείτε το µέτρο του θροίσµτος Ο+ΓΟ όδειξη σχ.1 Στο τρίγωνο Ο: Ο- <Ο<Ο+ γ Ο δ σχ. σχ.3 Γ [7]

9 ( 1.3) ΠΟΛΠΛΣΙΣΜΟΣ ΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΝΥΣΜ Πως ορίζετι ο ολλ λσισµός ριθµού λ µε διάνυσµ Γινόµενο του ριθµού λ 0 µε το διάνυσµ 0 : λέγετι έν διάνυσµ ου το συµολίζουµε λ (ή λ. ) το ο οίο: ) έχει µέτρο λ. ) είνι οµόρρο ο του, ν λ>0 κι ντίρρο ο του, ν λ<0 Ειδικά: ν λ=0 κι 0 τότε ορίζουµε 0. = 0 ν λ 0 κι = 0 τότε ορίζουµε λ. 0 = 0 Ιδιότητες Πολλ λσισµού ριθµού µε ιάνυσµ σικές 1) λ ( + )= λ + λ (ε ιµεριστικότητ ως ρος την ρόσθεση δινυσµάτων) ) ( λ + µ ) = λ + µ (ε ιµεριστικότητ ως ρος την ρόσθεση ργµτικών) 3) λ ( µ ) = µ ( λ) = ( λµ ) Πορίσµτ (i) λ = 0 λ = 0 ή = 0 (ii) ( λ) = λ( ) = ( λ) (iii) λ( ) = λ λ (iv) ( λ µ ) = λ µ (v)ν λ λ = κι λ 0,τότε = (διγρφή ριθµού) (vi)ν λ = µ κι 0,τότε λ = µ (διγρφή δινύσµτος) Πότε δύο δινύσµτ είνι ράλληλ (Συνθήκη ρλληλίς) ύο δινύσµτ, µε 0 είνι ράλληλ ν κι µόνο ν υ άρχει λ Rτέτοιος ώστε =λ όδειξη Έστω =λ. ό τον ορισµό του ολ/µού ριθµού µε διάνυσµ ροκύ τει ότι Έστω Άσκηση 10 Με την οήθει του σχήµτος ν ρείτε τις τιµές του κ στις ρκάτω ερι τώσεις )ΟΓ=κΓ δ)=κ άντηση ) =κ Ο ε)=κ ΓΓ γ)γ=κγο Ο Γ [8]

10 Γρµµικός συνδυσµός δινυσµάτων Γρµµικός συνδυσµός δύο δινυσµάτων κι λέγετι κάθε διάνυσµ της µορφής v = κ + λ, ό ου κ, λ R..χ. το διάνυσµ v = + 3 Γρµµικός συνδυσµός των δινυσµάτων 1,, 3,..., ν λέγετι κάθε διάνυσµ της µορφής, λ11 + λ + λ λνν ό ου λ1, λ, λ3,..., λν R. Σχόλιο: Ένς γρµµικός συνδυσµός ράγει έν νέο διάνυσµ ό άλλ ρχικά δινύσµτ Άσκηση 11 ν σηµείο του ευθ. τµήµτος τέτοιο ώστε 5 = κι Ο τυχίο σηµείο του ε ι έδου µε Ο= κι Ο=, ν εκφράσετε το διάνυσµ Ο ως γρµµικό συνδυσµό των κι Λύση Άσκηση 1 ίνετι τρίγωνο Γ κι τ σηµεί, Ε των, Γ ώστε Ε//Γ ) ν =, ν ρείτε το λ R ώστε ΓΕ=λΓ 3 ) ν 5 3= 0, ν ρείτε το x R ώστε Ε= xγ Λύση Ο Ε Γ ινυσµτική κτίν του µέσου ευθ. τµήµτος Η δινυσµτική κτίν του µέσου ευθ. τµήµτος ισούτι µε το ηµιάθροισµ των δινυσµτικών κτίνων των άκρων του τµήµτος. ηλ. ν Ο σηµείο νφοράς κι Μ µέσο του θ ισχύει Ο+ Ο ΟΜ= όδειξη [9] Το διάνυσµ της διµέσου ενός τριγώνου είνι το δινυσµτικό ηµιάθροισµ των ροσκείµενων λευρών της

11 ινύσµτ κι Γεωµετρί Οι ιδιότητες των δινυσµάτων µς δίνουν ληροφορίες γι τις σχέσεις των γεωµετρικών σχηµάτων ου κτσκευάζοντι ό τ ντίστοιχ ευθ. τµήµτ.χ. Η δινυσµτική ισότητ = Γ σηµίνει γεωµετρικά ότι =Γ κι Γ. σικές ροτάσεις 1. ν= Γ τότε το τετρά λευρο Γ είνι ρλ/µο Πρτήρηση Στην ισότητ = Γ γίνοντι ενλλγές των γρµµάτων ως εξής = Γ Γ= (ενλλγή των µέσων γρµµάτων) = Γ = Γ (ενλλγή των άκρων γρµµάτων) = Γ Γ= (ενλλγή όλων των γρµµάτων) ν = Γ τότε τ τµήµτ, Γ έχουν κοινό µέσο Άσκηση 13 Στις λευρές ρλληλογράµµου θεωρούµε σηµεί Ε, Ζ, Η, Θ, ώστε Ε = ΗΓκιΖΓ = Θ. Ν δειχθεί ότι τ ΕΗ, ΖΘ έχουν το ίδιο µέσο. Λύση. Το ευθ. τµήµ ου ενώνει τ µέσ λευρών τριγώνου είνι ράλληλο κι ίσο µε το µισό της τρίτης λευράς. όδειξη Θ Ε Η Γ Ζ Άσκηση 14 Τ δινύσµτ των διµέσων τριγώνου ορίζουν τρίγωνο. ηλ. ν Κ, Λ, ΓΜ διάµεσοι του Γ θ δείξουµε Κ + Λ + ΓΜ = 0 όδειξη [10]

12 +Γ 4. ν Μ σηµείο της λευράς Γ τριγώνου Γ κι Μ = (ή Μ=+Γ ) τότε η Μ είνι διάµεσος του Γ. όδειξη Άσκηση 15 ν Μ, Ν τ µέσ των διγωνίων Γ, τετρ λεύρου Γ ν δειχθεί: +Γ+ +Γ =4ΜΝ (Εuler) όδειξη 5. ν γι έν σηµείο G ισχύει GA+GB+GΓ=0 τότε το G είνι το ρύκεντρο του Γ κι ντιστρόφως όδειξη Άσκηση 16 ν Μ, Ν τ µέσ των λευρών, Γ τετρ λεύρου Γ ισχύει ΜΝ=+ Γ (ε έκτση του θεωρήµτος της διµέσου τρ εζίου) όδειξη [11]

13 Άξονες κι επίπεδ ( 1.4) ΣΥΝΤΕΤΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο Άξονς: Λέγετι µί ευθεί χ χ στην οποί έχει ορισθεί έν σηµείο Ο γι ρχή κι έν µονδιίο διάνυσµ ΟΙ= i κτά την διεύθυνση της ηµιευθείς Οχ Οχ είνι ο θετικός ηµιάξονς, Οχ είνι ο ρνητικός ηµιάξονς χ i Ο Ι Μ(x) χ ) Γι κάθε σηµείο Μ του άξον υπάρχει µονδικό x R,ώστε OM= xi.ο x λέγετι τετµηµένη του σηµείου Μ ) Γι κάθε x R υπάρχει σηµείο Μ του άξον τέτοιο ώστε OM= xi Κρτεσινό επίπεδο: Είνι δύο κάθετοι άξονες χ χ κι y y µε κοινή ρχή έν σηµείο Ο στους οποίους έχουν ορισθεί τ µονδιί δινύσ -µτ i κι j ( ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων στο επίπεδο) Ο χ χ είνι ο άξονς τετµηµένων κι ο y y ο άξονς τετγµένων ν προάλλουµε τώρ έν σηµείο Μ πάνω στους άξονες χ χ κι y y θ ρούµε σηµεί Μ 1 (x) κι Μ (y) οπότε συµπερίνουµε ότι: )Κάθε σηµείο Μ του επιπέδου ντιστοιχίζετι σε έν ζεύγος (x,y) πργµτικών ριθµών που λέγοντι συντετγµένες του Μ. Το x λέγετι τετµηµένη του Μ κι το y λέγετι τετγµένη του Μ )Κάθε ζεύγος (x,y) πργµτικών ριθµών ντιστοιχίζετι σε έν σηµείο Μ του επιπέδου. Συντετγµένες δινύσµτος Συµολίζουµε το σηµείο Μ(x,y) ή (x,y) Κάθε διάνυσµ στο επίπεδο γράφετι µε µονδικό τρόπο ως γρµµικός συνδυσµός των µονδιίων δινυσµάτων iκι j ως εξής: =xi+yj κι συµολίζουµε = (x,y) πόδειξη [1]

14 Το ζεύγος (x,y) είνι οι συντετγµένες του δινύσµτος Το x είνι η τετµηµένη του, κι το y η τετγµένη του Τ δινύσµτ xi κι yj λέγοντι συνιστώσες του Σε κάθε σηµείο (x,y) ντιστοιχεί έν διάνυσµ =(x,y) ύο δινύσµτ είνι ίσ ν κι µόνον ν οι ντίστοιχες συντετγµένες τους είνι ίσες δηλ. ν =(x 1,y 1 ) κι =(x,y ) ισχύει: = x 1 = x κι y 1 = y (συνθήκη ισότητς δινυσµάτων) Άσκηση 17: Με την οήθει του διπλνού σχήµτος ν εκφράσετε τ πρκάτω δινύσµτ σν γρµµικό συνδυσµό των µονδιίων δινυσµάτων i, j :, Γ, Ζ, ΕΖ, ΚΛ, ΗΘ, ΙΖ, Μ Άσκηση 18: Ν ρείτε το κ R, ώστε τ δινύσµτ (κ -, 1) κι Εφρµογή της συνθήκης ισότητς δινυσµάτων (,κ -κ-1) ν είνι ίσ ν γνωρίζουµε τις συντετγµένες δύο δινυσµάτων, µπορούµε ν ρούµε τις συντετγµένες του θροίσµτος, της διφοράς τους κι του γινοµένου τους µε ριθµό, κι γενικά µπορούµε ν ρούµε τις συντετγµένες ενός γρµµικού συνδυσµού τους : Συντετγµένες γρµµικού συνδυσµού δινυσµάτων ν =(x 1,y 1 ) κι =(x,y ) κι λ R τότε: Προσθέτουµε τ δινύσµτ ως εξής: (x 1, y 1 ) + (x, y )= (x 1 + x, y 1 + y ) «Οι συντετγµένες του + είνι το άθροισµ των συντετγµένων των κι» φιρούµε τ δινύσµτ ως εξής: (x 1, y 1 ) - (x, y )= (x 1 - x, y 1 - y ) «Οι συντετγµένες του - είνι η διφορά των συντετγµένων των κι» Πολλπλσιάζουµε διάνυσµ µε ριθµό ως εξής: λ(x 1, y 1 ) = (λx 1, λy 1 ) «Οι συντετγµένες του λ είνι το γινόµενο του λ µε τις συντετγµένες των κι» ρίσκουµε τον γρµµικό συνδυσµόλ +µ ως εξής: λ(x1, y 1 )+µ(x, y ) = ( λ x 1 + µ x, λ y 1 + µ y ) πόδειξη [13]

15 Άσκηση 19 ίνοντι τ σηµεί (4,), (,-1) κι Γ(0,-1). 1 ) Ν ρείτε το άθροισµ Ο-Ο+ ΟΓ 3 ) Ν γράψετε το ΟΓ σν γρµµικό συνδυσµό των Ο, Ο Άσκηση 0: ίνοντι τ δινύσµτ (4,3), u(1,-) κι v(-3,). Ν εκφράσετε το διάνυσµ ως γρµµικό συνδυσµό των u κι v Εκφράζουµε τ δινύ σµτ µε συνττγµένες κι κάνουµε τις πράξεις Ζητούµε λ, µ R ώστε =λ v+µ u Συντετγµένες του µέσου ευθ. τµήµτος ν ευθ. τµήµ µε άκρ (x 1, y 1 ) κι (x, y ) τότε το x + x y + y µέσο Μ(x,y) του έχει συντετγµένες: x= κι y= πόδειξη Άσκηση 1: 1 1 ν τ σηµεί (-3,5), (1,7) κι Γ(3,-3) είνι κορυφές πρλληλογράµµου ) ν ρείτε τις συντετγµένες του σηµείο τοµής των διγωνίων του ) ν ρείτε τις συντετγµένες του συµµετρικού του σηµείου. Ποιο σηµείο είνι υτό γι το πρλληλόγρµµο; Συντετγµένες δινύσµτος µε γνωστά άκρ ν AB διάνυσµ µε άκρ τ σηµεί (x1, y 1 ) κι (x, y ) τότε οι συντε- τγµένες (x,y) του AB δίνοντι πό τις σχέσεις: x = x x 1 κι y = y y 1 ηλδή AB =( x x 1, y y 1 ) πόδειξη Χρήση των τύπων γι τις συντε- τγµένες του µέσου ευθ. τµήµτος Πρτηρήσεις: ν // y y τότε = (0, y) ( το διάνυσµ έχει τετµηµένη 0) ν // χ χ τότε = (x, 0) ( το διάνυσµ έχει τετγµένη 0) y y 1 y 1 -y =y x1 x x -x 1 =x Άσκηση : ίνοντι τ σηµεί (0,4), (5,-3) κι Γ(-1,-). Ν ρείτε τις συντετγµένες του σηµείου, ν =Γ Εκφράζουµε τ δινύσµτ µε συντετγµένες [14]

16 Μέτρο δινύσµτος Το µέτρο (µήκος) του δινύσµτος =(x, y) δίνετι πό την σχέση = x +y Το µέτρο (µήκος) του δινύσµτος AB µε άκρ (x1, y 1 ) κι (x, y ) δίνετι πό την σχέση AB = (x -x ) +(y -y ) πόδειξη 1 1 Σχόλιο: Το µέτρο του εκφράζει κι την πόστση () των σηµείων, Άσκηση 3: ) Ν ρείτε τις συντετγµένες του κέντρου άρους G τριγώνου, πό τις συντετγµένες των κορυφών του ) Σε τρίγωνο µε κορυφές (4,13), (10,1) κι κέντρο άρους G(4, 19 3 Άσκηση 4: ), ν ρείτε το µήκος της πλευράς Γ. ίνοντι τ σηµεί (,3) κι (-,1). Ν ρείτε: ) Σηµείο Μ του άξον χ χ που ισπέχει πό τ κι. ) Σηµείο Ν του άξον y y που ισπέχει πό τ κι. Η πρλληλί δύο δινυσµάτων προκύπτει κι πό µί σχέση των συντετγµένων τους που είνι γνωστή σν: Συνθήκη πρλληλίς δινυσµάτων ν =(x 1,y 1 ) κι =(x,y ) ισχύει: x 1 y 1 // =0 x y ηλδή δύο δινύσµτ είνι πράλληλ ν κι µόνον ν η ορίζουσ των συντετγµένων τους είνι 0 Η ορίζουσ Πρτηρήσεις x x y 1 1 y συµολίζετι det(, ) οπότε: // det(, ) = 0 1.Τ σηµεί,, Γ είνι συνευθεικά ν κι µόνον ν det(,γ ) = 0. Οι ευθείες, Γ είνι πράλληλες ν κι µόνον ν det(,γ ) = 0 Ζητούµε τις συντετγµένες (x,y) σηµείου: Εκφράζουµε την σχέση που δίνετι, ή κάποι άλλη γνωστή µε συντετγµένες κι µε χρήση ιδιοτήτων κι πράξεων ρίσκουµε τ x, y Eφρµογή του τύπου της πόστσης σηµείων Άσκηση 5: ίνοντι τ σηµεί (,-1), (-3,4), Γ(κ,5) κι (-,λ). Ν ρείτε τ κ, λ Rώστε: ) Γ//y y ) //χχ γ) Τ σηµεί,, Γ ν είνι συνευθεικά Άσκηση 6: Έστω τ σηµεί (1,3) (,-1) Γ( -4,-). Ν ρεθεί σηµείο ώστε το τετράπλευρο Γ ν είνι πρλληλόγρµµο [15] Συνευθεικά σηµεί Γι ν δείξουµε,, Γ συνευθεικά σηµεί ρκεί ν δείξουµε // Γ Άγνωστο σηµείο (x,y) Εκφράζουµε τ δινύσµτ µε συντετγµένες κι εφρµόζουµε την συνθήκη πρλληλίς

17 Συντελεστής διευθύνσεως δινύσµτος Γωνί δινύσµτος =(x, y) µε τον άξον χ χ: Λέγετι η θετική γωνί φ που σχηµτίζει το διάνυσµ µε τον ηµιάξον Οχ, ότν το εφρµόσουµε στην ρχή των ξόνων. 0 φ<π ηλδή ν Ο=, η γωνί φ έχει ρχική πλευρά τον Οχ κι τελική πλευρά το διάνυσµ Ο (σχήµ 1). Συντελεστής διευθύνσεως του δινύσµτος =(x, y): Λέγετι το πηλίκο της τετγµένης προς την τετµηµένη του κι συµολίζετι µε λ. λ= y x, x 0 Οι συντετγµένες (x,y) του, είνι κι συντετγµένες του σηµείου, ότν Ο= Τριγωνοµετρικά γνωρίζουµε ότι εφφ= y x. Ώστε: λ = y =εφφ, x 0 x ηλδή: Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός δινύσµτος είνι η εφπτοµένη της γωνίς που σχηµτίζει το διάνυσµ µε τον άξον χ χ ν, µη µηδενικά δινύσµτ κι λ1, λ οι συντελεστές διεύθυνσής τους ισχύει: // λ 1 = λ «Τ πράλληλ δινύσµτ έχουν ίσους συντελεστές διευθύνσεως (κι ντίστροφ)» Ειδικές περιπτώσεις: ν //χ χ τότε λ=0 Άσκηση 7 (σχ.) ν //y y τότε δεν ορίζετι συντελεστής διεύθυνσης (σχ.3) ίνοντι τ σηµεί (-1,1), (3,3), Γ( 1,-1) κι (-3,-3) ) είξτε ότι το Γ είνι πρλληλόγρµµο µε κέντρο την ρχή Ο(0,0) ) ιπιστώστε ότι το Γ είνι ρόµος (x,y) x Ο y φ σχ.1 σχ. σχ.3 ν οι συντελεστές =(x,y) διεύθυνσης είνι ίσοι τότε τ δινύσµτ είνι πράλληλ χ Συντελεστής διεύθυνσης δινύσµτος µε γνωστά άκρ ν (x 1,y 1 ) κι (x,y ) τ άκρ του δινύσµτος, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του AB (ν ορίζετι) δίνετι πό την σχέση: y -y1 λ = µε x x 1 x -x 1 ν x = x 1 δεν ορίζετι συντελεστής διεύθυνσης ( AB // y y) ν y = y 1 τότε λ=0 ( AB // χ χ) B A x 1 = x y B A y 1 x 1 x A B y 1 = y [16]

18 Άσκηση 8: Γενικός τρόπος γι τις σκήσεις Θεωρούµε τ σηµεί (3,), (1,0) κι Γ(0,4). Μεττρέπουµε τ γεωµετρικά στάδι του ζητή- µτος σε νλυτικά στάδι ως εξής: Η Γ τέµνει τον Οχ στο κι η τον Οy στο Ε. Εκφράζουµε όλ τ δεδοµέν κι τ ) Ν ρείτε την τετµηµένη του κι την τετγµένη του Ε. ζητούµεν της άσκησης µε συντετγµένες. Μετφράζουµε τις γεωµετρικές ) ν Ι το µέσο του Ο, Μ το µέσο του Γ κι Κ το µέσο του Ε, συνθήκες του ζητήµτος (π.χ. σηµεί τοµής, µέσο τµήµτος, πρλληλί ν ποδείξετε ότι τ σηµεί Ι, Μ κι Κ είνι συνευθεικά ευθειών κ.τ.λ.) µε νλυτικούς όρους ( π.χ. συντετγµένες σηµείου, συντετγµένες µέσου, συνθήκη πρλληλίς ευθειών-δινυσµάτων κ.τ.λ.) Ερµηνεύουµε µε νλυτικό τρόπο τ στάδι του ζητήµτος Άσκηση 9: Ν δείξετε ότι οι διγώνιοι πρλληλογράµµου διχοτοµούντι Άσκηση 30: Με άση την πλευρά τετργώνου Γ κτσκευάζουµε στο εσωτερικό του ισόπλευρο τρίγωνο Ε. Με άση δε την πλευρά Γ κτσκευάζουµε εξωτερικά ισόπλευρο τρίγωνο ΓΖ. Ν δειχθεί ότι τ σηµεί, Ε, Ζ είνι συνευθεικά Η νλυτική µέθοδος πόδειξης Εφρµόζετι ότν θέλουµε ν ποδείξουµε µί δινυσµτική σχέση ή κόµ µί πρότση γεωµετρικού χρκτήρ. Σε γενικές γρµµές τ ήµτ της µεθόδου είνι: Τοποθετούµε το σχήµ µς σε σύστηµ νφοράς κι δίνουµε στ διάφορ σηµεί του σχήµτος υθίρετες συντετγµένες. Εκφράζουµε τ δεδοµέν της άσκησης µε την οήθει συντετγµένων, κι το πρόληµ πό δινυσµτικό ή γεωµετρικό γίνετι λγερικό Προσοχή! Η εκλογή των συντετγµένων είνι τέτοι ώστε ν έχουµε όσο το δυντό περισσότερ σηµεί µε τετµηµένες ή τετγµένες µηδέν. Συνηθίζουµε κάποι δινύσµτ ή τµήµτ ν τ θεωρούµε ως µονδιί ελττώνοντς κόµ το πλήθος των συντετγµένων [17]

19 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΝΥΣΜΤΩΝ ( 1.5) ινυσµτική έκφρση του εσωτερικού γινοµένου Έστω φ η γωνί που σχηµτίζουν δύο δινύσµτ κι Ορισµός: Εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών δινυσµάτων, Ονοµάζετι ο πργµτικός ριθµός (συµολ.: ) που είνι ίσος µε = συνφ ν =0 ή =0 τότε = 0 Προσοχή!!! Το εσωτερικό γινόµενο είνι ριθµός κι όχι διάνυσµ Φυσική ερµηνεί του εσωτερικού γινοµένου Το εσωτερικό γινόµενο F ΟA πριστάνει το έργο της δύνµης Fπου µετκινεί το σηµείο εφρµογής Ο πό τη θέση Ο µέχρι τη θέση. (γιτί;) Τετράγωνο του : Λέγετι το εσωτερικό γινόµενο που το γράφουµε Ισχύει: = (Το τετράγωνο ενός δινύσµτος ισούτι µε το τετράγωνο του µέτρου του) πόδειξη: Ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου ( Ι ) i) = (ντιµετθετική ιδιότητ) ii) Aν τότε = 0 κι ντιστρόφως ( γιτί;) ( ύο δινύσµτ είνι κάθετ ν κι µόνον ν το εσωτερικό τους γινόµενο είνι ίσο µε µηδέν) iii) Aν τότε = κι ντιστρόφως (γιτί;) Aν >0 τ δινύσµτ σχηµτίζουν οξεί γωνί iv) ν τότε = - <0 κι ντιστρόφως (γιτί;) Aν <0 τ δινύσµτ σχηµτίζουν µλεί γωνί Ο φ F φ F1 v) Aν θ η γωνί των, ισχύει: συνθ= (δινυσµτικός υπολογισµός του συνθ) vi) Γι τ µονδιί δινύσµτ των ξόνων ισχύει: i j = j i = 0 κι i =j =1 (γιτί;) vii) ( ) = (προφνώς) viii) ) πόδειξη ) ( ) [18]

20 Άσκηση 31. Σε έν ισόπλευρο τρίγωνο Γ πλευράς µε ύψος, ν ρείτε τ: i) Γ ii) Γ iii) Εφρµογή των ορισµών Άσκηση 3. Έστω, δινύσµτ µε = 3, = κι φ η γωνί τους ) ν φ=60 ο ν ρείτε τ, κι ) ν = - 6 ν ρείτε την γωνί φ Εύρεση γωνίς Ότν γνωρίζουµε εσωτερικό γινόµενο κι µέτρ Άσκηση 33. Έστω Γ τετράπλευρο κι Ι, Κ τ µέσ των Γ, ντίστοιχ. Ν εξετάσετε γι ποι σηµεί Μ ισχύει η σχέση (Μ+ΜΓ) (Μ+Μ )=0 Η συνθήκη κθετότητς ν ξέρουµε =0 τότε νλυτική έκφρση του εσωτερικού γινοµένου ν =(x 1,y 1 ), =(x,y ) οποιδήποτε δινύσµτ θ ισχύει: = x 1 x + y 1 y ηλδή: «Το εσωτερικό γινόµενο δύο δινυσµάτων είνι ίσο µε το άθροισµ των γινοµένων των οµωνύµων συντετγµένων τους» πόδειξη: Άσκηση 34. ίνοντι τ δινύσµτ =(-1,), =(4,3) κι γ =(,1) ) Ν ρεθούν τ, γ, (-γ). Τι πρτηρείτε; ) Ν ρεθεί το λ R ώστε τ δινύσµτ λ κι +λ ν είνι κάθετ ( x, y) γ) Ν ρεθούν τ δινύσµτ που είνι κάθετ στο κι έχουν µέτρο δ) ν Ο= κι Ο= ν ρεθεί σηµείο Μ του άξον χ χ ώστε π Μ= Ο y θ ( x1, y1) χ νλυτικός υπολογισµός του εσωτερικού γινοµένου Ότν έχουµε συντετγµένες ο υπολογισµός του εσωτερικού γινοµένου γίνετι µε τον τύπο = x 1 x + y 1 y Ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου ( Ι Ι ) i) (λ) = (λ ) =λ( ), λ R ii) ( +γ) = + γ (επιµεριστική ιδιότητ) iii) Aν ορίζοντι οι συντελεστές διεύθυνσης λ 1, λ γι τ, τότε λ 1 λ =-1 (στ κάθετ δινύσµτ οι συντελεστές διεύθυνσης εφόσον υπάρχουν έχουν γινόµενο -1) πόδειξη [19]

21 Ισχύουν κι οι γνωστές τυτότητες (+) = + + ( ) = + - (-) (+)= - (++γ) = + +γ + + γ+γ (γενικά οι τυτότητες µε άρτιες δυνάµεις) κι π =1 κι γωνί 6 ) Ν υπολογίσετε τ,,, (+) (-), (3-) (+) ) Ν ρεθεί η γωνί των δινυσµάτων v=+ κι u=- Άσκηση 35 Τ δινύσµτ κι έχουν = Άσκηση 36 Τ δινύσµτ κι έχουν = κι =3 κι γωνί π 3 ν v=3+ ν υπολογίσετε: i) το v ii) τη γωνί φ των κι v Άσκηση 37 ν τ δινύσµτ κι είνι κάθετ µετξύ τους κι έχουν ίσ µέτρ, ν δείξετε ότι κι τ δινύσµτ γ=+ κι δ=- είνι κάθετ µετξύ τους κι έχουν ίσ µέτρ. Άσκηση 38 Ν ρείτε τ µέτρ των δινυσµάτων κι γι τ οποί ισχύει ότι : Σχηµτίζουν γωνί φ=60 ο, (+) (-) κι + =7 Η χρήση τυτοτήτων στις πράξεις µε εσωτερικό γινόµενο Η επιµεριστική ιδιότητ µς επιτρέπει ν εφρµόζουµε τις γνωστές τυτότητες Υπολογίζουµε το µέτρο δινύσµτος φού ρούµε πρώτ το τετράγωνό του πό την ισότητ: = Προσοχή!!! εν ισχύουν ) Η προσετιριστική ιδιότητ: δηλδή: ( γ ) ( ) γ ) Ο νόµος της διγρφής: δηλδή: γ = / γ = (δεν διγράφετι το ) γ) Η ιδιότητ µέτρου γινοµένου δηλδή: δ) Η ιδιότητ δύνµης γινοµένου: δηλδή: ( ) ε) Οι τυτότητες µε περιττές δυνάµεις: δηλδή: (+) Ν εξετάσετε υπό ποιες προϋποθέσεις ισχύουν οι πρπάνω ιδιότητες [0]

22 Συνηµίτονο γωνίς δύο δινυσµάτων (νλυτικός υπολογισµός του συνθ) ν =(x 1,y 1 ), =(x,y ) µη µηδενικά δινύσµτ κι θ η γωνί τους τότε: x1x +y1y συνθ= x +y x +y πόδειξη 1 1 Άσκηση 39 ν γι κάθε λ R τ δινύσµτ +λκιλ- είνι κάθετ κι =1 ν δείξετε ότι: ) ) =1 γ) 3+4 =5 Προολή δινύσµτος σε διάνυσµ ν OA=, OΜ=v δινύσµτ του επιπέδου κι ΜΜ1 το κάθετο ευθ. τµήµ στον φορέ ε του δινύσµτος, τότε: Προολή του vστο διάνυσµ : ονοµάζουµε το διάνυσµ OM 1 κι το συµολίζουµε προ v ηλδή: OM 1 = προ v Η προολή του v στο διάνυσµ είνι νεξάρτητη του σηµείου Ο Το εσωτερικό γινόµενο των κι v δίνετι κι πό την σχέση v = προ v πόδειξη Άσκηση 40 ν γι τ δινύσµτ κι είνι φ=60 ο, =, =1, ν ρεθεί η προολή του δινύσµτος πάνω στο διάνυσµ ε v Ο θ M Μ1 v = προ v «Στο εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων, το έν πό υτά µπορεί ν ντικτστθεί πό την προολή του πάνω στο άλλο» A ηλδή: Υπολογίζουµε το εσωτερικό γινόµενο πό δύο συγγρµµικά δινύσµτ Εύρεση της προολής δινύσµτος vπάνω σε άλλο i) Θέτουµε v 1 την προολή του v πάνω στο οπότε είνι v 1 =λ φού, v 1 συγγρµµικά ii) Eφρµόζουµε την σχέση v= v1 κι ρίσκουµε το λ Άσκηση 41 ίνοντι τ δινύσµτ =(3,) κι =(,1). Ν νλυθεί το διάνυσµ σε δύο κάθετες συνιστώσες πό τις οποίες η µί είνι πράλληλη στο [1]

23 Άσκηση 4 ν =(-,1) κι =(1,3), ν ρεθούν δινύσµτ γ,δ τέτοι ώστε: =γ+ δ,δ//κι γ Άσκηση 43 Ν δείξετε ότι το µη µηδενικό διάνυσµ είνι κάθετο σε κάθε έν πό τ δινύσµτ: u=( γ)-( )γ κι v=- Άσκηση 44 ν = = γ =1 Άσκηση 45 ν = = γ =1 κι + γ= ν δειχθεί ότι: == γ. κι ++γ=0 ν ρείτε τις γωνίες (,), (,γ), (γ,) Άσκηση 46 ν +1 0 ν ρεθεί το διάνυσµ x πό την σχέση : x+(x )=γ Άσκηση 47 ν, στθερά σηµεί τότε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ γι τ οποί είνι Μ Μ=0 είνι κύκλος διµέτρου. Ζητήµτ κθετότητς Κάνουµε χρήση της συνθήκης κθετότητς δινυσµάτων κι εφρµόζουµε ιδιότητες Γεωµετρικοί τόποι Μ Άσκηση 48 ν, στθερά σηµεί τότε γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ γι τ οποί είνι Μ =λ >0 είνι ευθεί κάθετη στην. Μ Κ []

24 Άσκηση 49 ν Γ ισοσκελές τρίγωνο, ν ρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου γι τ οποί είνι Μ+Γ Μ=0. Άσκηση 50 Ν ποδειχθούν κι ν ερµηνευθούν γεωµετρικά οι ισοδυνµίες : i) + = - ii) (+) (-) = Άσκηση 57 Κάθε γωνί εγγεγρµµένη σε ηµικύκλιο είνι ορθή. Άσκηση 58 Σε κάθε τρίγωνο Γ ισχύει ο νόµος των συνηµιτόνων: = +γ -γσυν Άσκηση 59 Σε τρίγωνο Γ τ ύψη Ε κι ΓΖ τέµνοντι στο Η. Θέτουµε Η=, Η=,ΗΓ=γ ) ρείτε τ,γ,γ ως συνάρτηση των,,γ κι ν δείξετε ότι γ =γ κι γ = ) είξτε ότι τ ύψη του τριγώνου διέρχοντι πό το ίδιο σηµείο. Εσωτερικό γινόµενο κι Γεωµετρί Με τη οήθει του εσωτερικού γινοµένου ποδεικνύοντι γεωµετρικές κι τριγωνοµετρικές προτάσεις [3]

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης 1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων;

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις 1. Τι ονοµάζετι διάνυσµ κι πώς συµβολίζετι;. Ποιο διάνυσµ ονοµάζετι µηδενικό; 3. Τι ονοµάζετι µέτρο ενός δινύσµτος κι πώς συµβολίζετι; 4. Ποιο διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΙΝΥΣΜΤ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση δύο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλει : Αθνσιάδης Χράλμπος Μθημτικός . ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα. 1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

3 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

3 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 3 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εσωτερικό γινόµενο Ορίζουµε ως εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων, τον πργµτικό ριθµό Έστω = ( x,y ) κι ( x,y ) συν,, ν 0 κι 0 = 0, ν = 0 ή

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0. Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο

Διαβάστε περισσότερα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα Ερωτήσεις νάπτυξης 1 * Ν κτσκευάσετε το άθροισµ των δινυσµάτων + + 3 όπου 2 * ι ποιες τιµές του πρµτικού ριθµού λ ισχύει ( λ ) < 5 0 ; 3 ** Στο επίπεδο δίνοντι τ µη µηδενικά δινύσµτ, κι, τ οποί νά δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες Ε κι Ε λέγετι ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΈ Το στθερό υτό άθροισμ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις σελίδας

Γενικές ασκήσεις σελίδας Γενικές σκσεις σελίδς 9 3. ίνετι η εξίσωση + λ 0 (), όπου λ R. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε τιµ του λ, η () πριστάνει κύκλο, του οποίου ζητείτι ν ρεθεί το κέντρο κι η κτίν. (ii) Ν ποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το

= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» * Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ τότε τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά Σ Λ * Αν * Αν ΑΒ ΒΓ τότε ΓΔ 4 * Αν λ τότε // Σ Λ 5 * Αν ΑΒ ΒΑ τότε ΑΒ τότε ΑΔ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 6 * Τ δινύσμτ ΑΒ κι ΟΑ - ΟΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ 78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ II.ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ - ΥΠΕΡΒΟΛΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1. Εύρεση Εξίσωσης Προλής

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 1 9.5 9.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 198 199 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ η Μ είνι διάµεσος κι ύψος. Ποι πό τις πρκάτω σχέσεις είνι σωστή. ιτιολογήστε την πάντηση σς. A i) Μ Μ ii) Μ iii)

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών 0. 0.5 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου κι λόγος εµβδών ΘΕΩΡΙ. Ε= τ( τ )( τ β)( τ γ ) Ε = τ ρ Ε = β γ R Ε = β γ ηµ = γ ηµ = β ηµ ηµ = β ηµ = γ ηµ = R. ν δύο τρίγων έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών Σ ENA ΣΧΗΜ ΜΕ ΕΝΙΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΣΕΙΣ Κόσυβς ιώργος ο Πειρμτικό υμνάσιο θηνών ε υτή την εργσί προυσιάζοντι ορισμένες ξιοσημείωτες πρτηρήσεις πάνω σε έν πλούσιο σχήμ, το οποίο επιτρέπει ποικίλες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. * Το σηµείο Μ (- 2, 3) ανήκει στη γραµµή µε εξίσωση Α. x = 3 Β. x = - 2 Γ. x 2 + y 2 = 1. (x + 2) 2 + (x - 3) 2 = 1 Ε.

1. * Το σηµείο Μ (- 2, 3) ανήκει στη γραµµή µε εξίσωση Α. x = 3 Β. x = - 2 Γ. x 2 + y 2 = 1. (x + 2) 2 + (x - 3) 2 = 1 Ε. Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = Β. = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. * Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α (1, -) κι Β (7, ), έχει συντετγµένες

Διαβάστε περισσότερα

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ Ο μθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλιο των κονικών τομών θ πρέπει ν είνι σε θέση: Ν προσδιορίζει την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την ρχή των ξόνων. Με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετργώνου υπολογίζοντι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης 4. -4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 8 83 ρωτήσεις Κτνόησης. i) Πώς ονοµάζοντι οι γωνίες κι β του πρκάτω σχήµτος κι τι σχέση έχουν µετξύ τους; ii) Tι ισχύει γι τις γωνίες γ κι δ ; ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Βασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙ: Κεφάλιο 1 ο σικά γεωμετρικά σχήμτ- Μέτρηση γωνίς μέτρηση μήκους - κτσκευές ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πάνω στο ευθύγρμμο τμήμ = 6cm, ν πάρετε έν σημείο Γ, τέτοιο ώστε Γ = 2cm κι έν σημείο Δ, τέτοιο ώστε Δ =

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Θ Ο Δ Ο Λ Ο Γ Ι Ε Σ. 16 Αυγούστου. Διανύσματα Β Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μ Ε Θ Ο Δ Ο Λ Ο Γ Ι Ε Σ. 16 Αυγούστου. Διανύσματα Β Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 16 Αυγούστου Ε Έκδοση 013 Μ Ε Θ Ο Δ Ο Λ Ο Γ Ι Ε Σ Δινύσμτ Β Λυκείου Μθημτικά Κτεύθυνσης 5 Μεθοδολογίες, 11 λυμέν ρδείγμτ, τύοι, ιδιότητες κι 1 λυμένες βσικές σκήσεις Ειμέλει: Χτζόουλος Μάκης Σχολικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων 8 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Λόγος εµβδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΣ ΓΝΩΣΙΣ ΘΩΡΙΑΣ Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Με τη βοήθει του βσικού τύπου γι το εµβδόν τριγώνου, µε µήκη πλευρών,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Συγγρφή Επιµέλει: Πνγιώτης Φ Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στη Φυσική εµφνίζοντι πολλά µεγέθη, όπως µεττοπίσεις, τχύτητες, ροπές, δυνάµεις, τ οποί γι ν προσδιοριστούν πλήρως δεν ρκεί µόνο ν είνι γνωστό το µέτρο τους, λλά πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές. Ασκήσεις Παραβολή

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές. Ασκήσεις Παραβολή Μθηµτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου Κωνικές Τοµές Ασκήσεις Προλή 1. Ν ρεθεί η εστί κι η διευθετούσ των προλών: i) = - ii) = 8 iii) = 1 (Απ.: i) E(-1, 0), = 1 ii) E(, 0), = - iii) E(0, 3), = -3). Ν ρεθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλιο ο: ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστόάθος» 1. * Η εξίσωση + = ( > 0) πριστάνει κύκλο.. * Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 πριστάνει πάντ κύκλο.. * Ο κύκλος µε κέντρο Κ (1, 1) που περνά πό το

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. Ορισμός Έλλειψης

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. Ορισμός Έλλειψης 0 33 Η ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός Έλλειψης Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου Ονομάζετι έλλειψη με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ E κι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 76 Κεφάλιο 3ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Απντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. Σ 0. Σ 39. Λ 58. Σ. Σ. Λ 40. Σ 59. Σ 3. Σ. Σ 4. Σ 60. Λ 4. Λ 3. Λ 4. Σ 6. Λ 5. Σ 4.

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Από τη κορυφή Β τριγώνου Γ φέρουµε ευθεί κάθετη στη διχοτόµο της Aεξ, η οποί τέµνει τη διχοτόµο υτή στο κι την προέκτση της ΓΑ στο Ε. Αν Μ µέσον της ΒΓ ν δειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. Β Λ υ κ ε ι ο υ

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. Β Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι Λ υ κ ε ι ο υ νλογιες Ομοιοτητ Μετρικες Σχεσεις Εμβδ Μετρηση Κυκλου Με πολυ μερκι ι τους κλους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε κι Ε δύο σημεί του επιπέδου. Έλλειψη με εστίες τ σημεί Ε κι Ε λέγετι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

9.7. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογιστούν οι τιµές των x και ψ.

9.7. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογιστούν οι τιµές των x και ψ. 1 9.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 03 0 ρωτήσεις κτνόησης 1. Στ πρκάτω σχήµτ ν υπολογιστούν οι τιµές των x κι ψ. () O x Ρ 3 Θ x 6 Κ Τ Ν Σ O 1 ψ Λ (β) Ζ O (γ) Στο σχήµ () Στο σχήµ (β) Στο σχήµ (γ) Ρ.

Διαβάστε περισσότερα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα 1 7.1 7.7 ΘΩΡΙ 1. ύο θεµελιώδεις ισοδυνµίες ν, β 0 ευθ.τµήµτ κι x > 0 τότε = β x β = x = xβ = xβ 2. Ιδιότητες νλογιών β = γ δ δ = βγ (γινόµενο άκρων = γινόµενο µέσων) β = γ δ γ = β δ (ενλλγή των µέσων)

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα 7 ο. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Να δειχθεί ότι: ΒΕ 2 = ΕΓ Ε

Θέµα 7 ο. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Να δειχθεί ότι: ΒΕ 2 = ΕΓ Ε 0 ΓΕΝΙΚΕΣ Θέµ ο Τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Ν δειχθεί ότι: ΒΕ = ΕΓ Ε Θέµ ο Στη διγώνιο Β τετργώνου ΑΒΓ πίρνουµε τυχίο σηµείο Ο. Ν δειχθεί ότι: Γ - ΓΟ = Ο Ο Θέµ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Ζήτηµ 1ο Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου που

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ 1ο Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Μ α θ η μ α τ ι κ α Κ α τ ε υ θ υ ν σ η ς B Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Μ α θ η μ α τ ι κ α Κ α τ ε υ θ υ ν σ η ς B Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ ρ ρ ι ι Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε ρ Α Λ υ κ ε ι ο υ Μ θ η μ τ ι κ Κ τ ε υ θ υ ν σ η ς B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς w w w d r m a t h s 5 8

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). β). AΟ Ο. β).

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). β). AΟ Ο. β). Σελίδ 1 η ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Α Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 Στο διπλνό σχήμ το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είνι ρόμβος Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) ) AB = Γ γ) ΟΒ = Ο β) AΟ Ο δ) (AB, ΑΓ ) = (A,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

3. Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο K( x0, y0 ) και ακτίνα ρ.

3. Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο K( x0, y0 ) και ακτίνα ρ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Ο ΚΥΚΛΟΣ. Ν βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο(, κι κτίν ρ. Ποιος κύκλος ονομάζετι μονδιίος ; Έστω O έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(,

Διαβάστε περισσότερα