ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ"

Φωτεινή Λαμέρας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 3 f g (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω f φ(x) τότε: f (x) = f φ(x) φ (x) ή df = df dφ dφ Α y = y(x) με y = y(t), x = x(t) τότε: dy = (dy/dt) (/dt) ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ / Συάρτηση Πράγωγος Σύθετη συ. Πράγωγος y = x y = x y = f (x) y = f (x)f (x) y = y = x x + y = y = [f(x)] [f(x)] + f (x) 3 y = x y = x y = f(x) y = f(x) x f(x) f (x) 4 y = x y = y = f(x) y = f (x) x f(x) 5 y = e x y = e x y = e f(x) y = f (x)e f(x) 6 y = lnx y = y = ln (f(x)) y = f (x) x f(x) 7 y = ημx y = συx y = ημ(f(x)) y = συ f(x) f (x) 8 y = συx y = ημx y = συ(f(x)) y = ημ f(x) f (x) 9 y = εφx y = y = εφ(f(x)) y f (x) = συ x συ (f(x)) y = σφ(f(x)) y = f (x) ημ (f(x)) y = x y = x ln y = f(x) y = f(x) lnf (x) 0 y = σφx y = ημ x y = τοξημx f (x) y = y = τοξημ(f(x)) y = x f (x) 3 y = τοξσυx y = y = τοξσυ(f(x)) y = f (x) x f (x) 4 y = τοξεφx y = + x y = τοξεφ(f(x)) y = f (x) + f (x) 5 y = τοξσφx y = + x y = τοξσφ(f(x)) y = f (x) + f (x) ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ TYLOR: P n (x) = f(x o ) + f (x o ) (x x o ) + f (x o )! (x x o ) + + f(n) (x o ) (x x n! o ) n ΣΕΙΡΑ TYLOR: f (n) (x o ) n= (x x n! o ) n f γι x = 0 (n) (0) n= x n (σειρά Maclaurin) n!

2 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ ( f(x)) = f(x) ή d(f(x)) = f(x) + c ή d( f(x) ) = f(x) ή f (x) = d(f(x)) f(x) = F(x) + c τότε είι: f(x) = F(x) + c ισχύου: = d(x ± ), στθ. = d(x) κι = d( x) στθ. 0 πργοτική ολοκλήρωση: F (x)g(x) = F(x)g(x) F(x)g (x) ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 0 = c διότι c = 0 = x + c διότι (x + c) = = x + c διότι (x + c) = x = x+ + c διότι x+ + + = x x = x + + c διότι x = x e x = e x + c διότι (e x + c) = e x x = ln x + c διότι (ln x + c) = x x = x x + c διότι + ln ln c = x ημx = συx + c διότι ( συx + c) = ημx συx = ημx + c διότι (ημx + c) = συx = εφx + c διότι (εφx + συ x c) = συ x = σφx + c διότι ( σφx + ημ x c) = ημ x εφx = = ln συx + c σφx = = ln ημx + c +x (+x ) x x = τοξεφx + c = τοξσφx + c = τοξημx + c = τοξσυx + c

3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Εμδό χωρίου που περικλείετι πό τη κμπύλη c κι το άξο xx E = f(x) f(x) 0 γι κάθε x ε [,] Εμδό χωρίου που περικλείετι πό τη κμπύλη c κι το άξο yy E = f(y)dy Εμδό χωρίου* που περικλείετι πό τις τεμόμεες κμπύλες c c που ορίζοτι πό τις συρτήσεις f(x) κι g(x) E = [f(x) g(x)] f(x) g(x) 0 γι κάθε x ε [,] Μήκος κμπύλης* c που δίετι πό τη συάρτηση y=f(x) πό x= έως x=. Το εμδό επιφάεις* που σχημτίζετι πό τη περιστροφή εός τόξου ΑΒ μις κμπύλης c που ορίζετι πό τη συάρτηση f(x) γύρω πό το άξο xx Όγκος επιφάεις* που σχημτίζετι πό τη περιστροφή εός τόξου ΑΒ μις κμπύλης c που ορίζετι πό τη συάρτηση f(x) γύρω πό το άξο xx l = + f (x) l = + ( dy ) E = π + f (x) E = π + ( dy V = π [f(x)] ) (*): οι τύποι εφρμόζοτι τίστοιχ γι το άξο yy μετφέρουμε τ σημεί, στο άξο yy κι τιστρέψουμε x κι y. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η συάρτηση δύο μετλητώ z=f(x,y) πριστάει μί επιφάει στο χώρο. Α y=c στθερά τότε είι συάρτηση μις μετλητής κι πριστάει μί κμπύλη. Σε υτή τη περίπτωση ορίζετι η μερική πράγωγος της f ως προς x, συμολίζετι με: f(x,y) df(x,y) σε έ σημείο κι ισχύει: = f(x,y) x x με πρόμοιο τρόπο ορίζετι κι η: df(x,y) dy = f(x,y) y, x=c

4 Α z=f(x,y) έτσι ώστε x=φ(t), y=ψ(t), τότε: ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ = z + z dy dt x dt y dt Α z=f(x,y) έτσι ώστε x=g(u,v) κι y=h(u,v), τότε : z = z x + z y u x u y u κι z = z x + z y v x v y v Το ΟΛΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ της συάρτησης z=f(x,y) ορίζετι ως: dz = z x + z y dy εφx = ημx συx σφx = συx ημx ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ εφxσφx = ημ x + συ x = ημ( ) = ημ συ( ) = συ εφ( ) = εφ σφ( ) = σφ ημx συx εφx σφx ημx ημx ± συ x εφx ± + εφ x ± + σφ x συx ± ημ x συx ± + εφ x σφx ± + σφ x εφx ημx ± συ x σφx ± ημ x συx εφx σφx ± ημ x συx ημx ± συ x εφx σφx εφ + εφ ημ( + ) = ημσυ + συημ συ( + ) = συσυ ημημ εφ( + ) = εφεφ εφ εφ ημ( ) = ημσυ συημ συ( ) = συσυ + ημημ εφ( ) = + εφεφ ημ = ημσυ συ = συ ημ = συ = ημ εφ = εφ εφ συσυ = [συ( + ) + συ( )] ημσυ ημημ = ημ3 [συ( ) συ( + )] συα + συβ = συ ημα + ημβ = ημ Α + Β Α Β συ Α + Β Α Β συ = [ημ( + ) + ημ( )] = 3ημ 4ημ 3 συ3 = 4συ 3 3συ συα συβ = ημ ημα ημβ = ημ Α + Β Β Α ημ Α Β Α + Β συ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Απόστση δύο σημείω Μ(x,y ) κι N(x,y ) στο επίπεδο: d(m, N) = (x x ) + (y y ) Απόστση δύο σημείω M(x,y,z ), N(x,y,z ) στο χώρο: d(m, N) = (x x ) + (y y ) +(z z ) ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εξίσωση ευθείς στο επίπεδο: Αx + By + Γ = 0 έχει συτ. δ/σης: λ = Α Β είι πράλληλη στο διάυσμ: δ = (Β, Α) κι κάθετη στο διάυσμ: η = (Α, Β) δύο ευθείες ε, ε είι : πράλληλες: λ =λ & κάθετες: λ λ =- Απόστση του σημείου Μ (x ο,y ο ) πό ευθεί: d(m, ε) = Αx o+by o +Γ Α +Β x y Η εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό δύο σημεί Μ (x,y ) κι Μ (x,y ) είι: x y = 0 x y x y Τρί σημεί του επιπέδου Μ (x,y ), Μ (x,y ) κι Μ 3(x 3,y 3 ) είι συευθεικά : x y = 0 x 3 y 3 Εμδό τριγώου με κορυφές τ σημεί x y Α (x,y ), Β (x,y ) κι Γ (x 3,y 3 ) : E = x y x 3 y 3 ΚΥΚΛΟΣ λέγετι ο γεωμετρικός τόπος τω σημείω Μ που ισπέχου πό έ στθερό σημείο Κ. εξίσωση κύκλου με κέτρο το σημείο Κ (x ο,y ο ): (x-x ο ) +(y-y ο ) = ρ Η γεική μορφή εξίσωσης : x +y +x+by+γ = 0 όπου: Α +Β -4Γ>0 πριστάει κύκλο με κέτρο το σημείο: Κ( Α, Β ) κι κτί ρ = Α +Β 4Γ Η εφπτόμεη ευθεί σε κύκλο στο σημείο Α(x, y ) είι: xx + yy = ρ ΕΛΛΕΙΨΗ με κέτρο Ο(0,0) κι ημιάξοες, έχει εξίσωση: x + y = όπου = γ Η εφπτόμεη της έλλειψης με τη πρπάω εξίσωση στο σημείο Α (x,y ) είι: xx + yy = ΠΑΡΑΒΟΛΗ με κέτρο το σημείο E = ( p, 0) κι διευθετούσ δ: x = p έχει εξίσωση: y = px κι εφπτόμεη ευθεί στο σημείο Α (x,y ): yy = p(x + x )

6 ΥΠΕΡΒΟΛΗ με εστίες Ε(γ,0) κι Ε (-γ,0) κι στθερή διφορά έχει εξίσωση: x y = όπου = γ, εκκετρότητ ε = γ > κι εξίσωση εφπτόμεης στο σημείο Α (x,y ): xx yy = κι σύμπτωτες ευθείες τις: y = x κι y = x ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Εξίσωση επιπέδου: x +By + Γz + Δ = 0 Τρί σημεί του χώρου Μ (x,y,z ), Μ (x,y,z ) κι Μ 3(x 3,y 3,z 3 ), τ οποί δε είι συευθεικά ορίζου έ επίπεδο με εξίσωση: x y z x x y y z z x y z x y z = x x y y z z = 0 x 3 y 3 z 3 x3 x y3 y z3 z Πράλληλ επίπεδ: Α Α = Β Β = Γ Γ = λ, κάθετ επίπεδ: Α Α + Β Β + Γ Γ = 0 Γωί δύο επιπέδω: συθ = Α Α +Β Β +Γ Γ Α +Β +Γ Α +Β +Γ πόστση του επίπεδου x +By + Γz + Δ = 0 πό το σημείο Α ο (x ο,y ο,z ο ) : δ = Αx o+by o +Γz o +Δ Α +Β +Γ ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Η εξίσωση μίς ευθείς στο χώρο ορίζετι ως η τομή δύο επιπέδω κι εκφράζετι με τις εξισώσεις δύο επιπέδω: x + By + Γz + Δ = 0 x +B y + Γ z + Δ = 0 η εξίσωση μίς ευθείς που διέρχετι πό δύο σημεί Μ (x,y,z ) κι Μ (x,y,z ) είι: x x = y y = z z x x y y z z ΣΦΑΙΡΑ με κέτρο το σημείο Κ (x ο,y ο,z ο ) κι κτί ρ : (x-x ο ) +(y-y ο ) +(z-z ο ) = ρ Η γεική μορφή εξίσωσης : x +y +z +Αx+By+Γz+Δ = 0 όπου: Α +Β +Γ -4Δ>0 πριστάει σφίρ με κέτρο Κ( Α, Β, Γ ) κι κτί ρ = Α +Β +Γ 4Δ Το εφπτόμεο επίπεδο στη σφίρ στο σημείο Α (x,y,z ) είι: xx + yy + zz + (x x ) + B (y y ) + Γ (z z ) + Δ = 0

7 ΑΛΛΕΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙΔΕΣ με κέτρο ο(0,0,0) κι ημιάξοες a,b,c. Εξίσωση: x a + y b + z c = ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟ ΠΑΡΑΒΟΛΟΕΙΔΕΣ x z = + y a b όπου z h ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΣ ΚΩΝΟΣ ΜΟΝΟΧΩΝΟ ΥΠΕΡΒΟΛΟΕΙΔΕΣ x + y z = 0 x + y z = a b c a b c ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Το πλήθος τω πλώ συδυσμώ τω μ στοιχείω ά κ είι: µ = k µ! k!( µ k)! όπου: μ!= 3 (μ-) μ 0!=

8 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ k Β = k = µ µ µ k = µ + µ + + µ µ + µ + + µ k + k + + k k k k µ k + µ k + + µ k ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ γ = δ γ δ To άπτυγμ μις ορίζουσς (Δ) τάξης κτά τ στοιχεί της i γρμμής δίετι πό τη σχέση = i i + i i + + i i εώ το άπτυγμά της κτά τ στοιχεί της j στήλης δίετι πό τη σχέση = j j + j j + + j j όπου ij είι στοιχείο της ορίζουσς, Α ij είι το λγερικό συμπλήρωμ του στοιχείου ij κι ισούτι με το γιόμεο του (-) i+j με τη υποορίζουσ τάξης - που προκύπτει διγράψουμε τη γρμμή i κι τη στήλη j της ορίζουσς Δ. Α ο πίκς ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ = είι τιστρέψιμος, τότε = Α ο πίκς = είι τιστρέψιμος, τότε = όπου Α ij είι τ λγερικά συμπληρώμτ τω στοιχείω ij του πίκ Α, τοποθετημέ όμως στις θέσεις τω στοιχείω ji

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Στθερές. π = 03,459 6535 89793 3846 643... e = 0,788 884 59045 3536 087... e π = 3,4069 637 7969 006... π e =,4595 7783 6045 4734 75... e e = 5,546 44 7964 90... = 0,44 3563 73095