ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο. Παράγραφος 1.1. Ποιο πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιο πείραμα τύχης;

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Πράγρφος 1.1 Ποιο πείρμ λέγετι ιτιοκρτικό κι ποιο πείρμ τύχης; Τι οομάζουμε χώρο εός πειράμτος τύχης; Τι λέμε εδεχόμεο εός πειράμτος τύχης; Ποιο εδεχόμεο λέγετι πλό κι ποιο σύθετο; Ποιό εδεχόμεο λέγετι έιο κι ποιο δύτο; Πείρμ τύχης Κάθε πείρμ κτά το οποίο η γώση τω συθηκώ κάτω πό τις οποίες εκτελείτι κθορίζει πλήρως το ποτέλεσμ λέγετι ιτιοκρτικό (deterministic) πείρμ. Υπάρχου όμως κι πειράμτ τω οποίω δε μπορούμε εκ τω προτέρω προλέψουμε το ποτέλεσμ, μολοότι επλμάοτι (φιομεικά τουλάχιστο) κάτω πό τις ίδιες συθήκες. Έ τέτοιο πείρμ οομάζετι πείρμ τύχης (random experiment). Δειγμτικός χώρος Όλ τ ποτελέσμτ που μπορού εμφιστού σε έ πείρμ τύχης λέγοτι δυτά ποτελέσμτ ή δυτές περιπτώσεις του πειράμτος. Το σύολο τω δυτώ ποτελεσμάτω λέγετι δειγμτικός χώρος (sample space) κι συμολίζετι συήθως με το γράμμ Ω. Α δηλδή ω 1, ω,...,ω κ είι τ δυτά ποτελέσμτ εός πειράμτος τύχης, τότε ο δειγμτικός χώρος του πειράμτος θ είι το σύολο: Ω = {ω 1, ω,, ω κ } Εδεχόμε Το σύολο που έχει ως στοιχεί έ ή περισσότερ ποτελέσμτ εός πειράμτος τύχης λέγετι εδεχόμεο (event) ή γεγοός. Είι φερό ότι έ εδεχόμεο είι υποσύολο του δειγμτικού χώρου. Έ εδεχόμεο λέγετι πλό ότ έχει έ μόο στοιχείο κι σύθετο έχει περισσότερ στοιχεί. Ότ το ποτέλεσμ εός πειράμτος, σε μι συγκεκριμέη εκτέλεσή του είι στοιχείο εός εδεχομέου, τότε λέμε ότι το εδεχόμεο υτό πργμτοποιείτι ή συμίει. Γι υτό τ στοιχεί εός εδεχομέου λέγοτι κι ευοϊκές περιπτώσεις γι τη πργμτοποίησή του. Ο ίδιος ο δειγμτικός χώρος Ω εός πειράμτος θεωρείτι ότι είι εδεχόμεο, το οποίο μάλιστ πργμτοποιείτι πάτοτε, φού όποιο κι είι το ποτέλεσμ του πειράμτος θ ήκει στο Ω. Γι υτό το Ω λέγετι έιο εδεχόμεο. Δεχόμστε κόμ ως εδεχόμεο κι το κεό σύολο Ø που δε πργμτοποιείτι σε κμιά εκτέλεση του πειράμτος τύχης. Γι υτό λέμε ότι το Ø είι το δύτο εδεχόμεο. Το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχομέου Α θ το συμολίζουμε με Ν(Α). Πράξεις με Εδεχόμε Α Α κι Β είι δύο εδεχόμε, έχουμε: Το εδεχόμεο Α Β, που διάζετι Α τομή Β ή Α κι Β κι πργμτοποιείτι, ότ πργμτοποιούτι συγχρόως τ Α κι Β. Το εδεχόμεο Α Β, που διάζετι Α έωση Β ή Α ή Β κι πργμτοποιείτι, ότ πργμτοποιείτι έ τουλάχιστο πό τ Α,Β. 1

2 Το εδεχόμεο Α', που διάζετι όχι Α ή συμπληρωμτικό του Α κι πργμτοποιείτι, ότ δε πργμτοποιείτι το Α. Το Α' λέγετι κι τίθετο του Α. Το εδεχόμεο Α - Β, που διάζετι διφορά του Β πό το Α κι πργμτοποιείτι, ότ πργμτοποιείτι το Α λλά όχι το Β. Είι εύκολο δούμε ότι Α - Β = Α Β'. Πότε δύο εδεχόμε λέγοτι συμίστ; Δύο εδεχόμε Α κι Β λέγοτι συμίστ, ότ Α Β =. Δύο συμίστ εδεχόμε λέγοτι επίσης ξέ μετξύ τους ή μοιίως ποκλειόμε. Πργμτοποιείτι μόο έ πό τ Α κι Β. (Α Β)(Β Α) ή το (Α Β') (Α' Β). Δε πργμτοποιείτι κέ πό τ Α κι Β, (ΑΒ)'. Ν πργμτοποιείτι το πολύ έ πό τ Α,Β, Α Β = (Α Β) Α Β Στο πρκάτω πίκ τ Α κι Β συμολίζου εδεχόμε εός πειράμτος κι το ω έ ποτέλεσμ του πειράμτος υτού. Στη ριστερή στήλη του πίκ γράφοτι διάφορες σχέσεις γι τ Α κι Β διτυπωμέες στη κοιή γλώσσ, κι στη δεξιά στήλη γράφοτι οι ίδιες σχέσεις λλά διτυπωμέες στη γλώσσ τω συόλω. Το εδεχόμεο Α πργμτοποιείτι Το εδεχόμεο Α δε πργμτοποιείτι Έ τουλάχιστο πό τ Α κι Β πργμτοποιείτι Πργμτοποιούτι μφότερ τ Α κι Β Δε πργμτοποιείτι κέ πό τ Α κι Β Πργμτοποιείτι μόο το Α Η πργμτοποίηση του Α συεπάγετι τη πργμτοποίηση του Β ω Α ω Α' (ή ω Α) ω Α Β (Α Β) ω Α Β ω (Α Β)' ω Α Β (ή ω Α Β') Α Β

3 Τι οομάζουμε σχετική συχότητ εός εδεχομέου Α ; Πράγρφος 1. Έοι κι Ιδιότητες Σχετικής Συχότητς Α σε εκτελέσεις εός πειράμτος έ εδεχόμεο Α πργμτοποιείτι κ φορές, τότε ο λόγος κ οομάζετι σχετική συχότητ του Α κι συμολίζετι με f A. Ιδιίτερ ο δειγμτικός χώρος εός πειράμτος είι το πεπερσμέο σύολο Ω ={ω 1, ω,,ω λ } κι σε εκτελέσεις του πειράμτος υτού τ πλά εδεχόμε {ω 1 }, {ω },,{ω λ ) πργμτοποιούτι κ 1, κ,,κ λ φορές τιστοίχως, τότε γι τις σχετικές συχότητες κ f 1 = 1 κ, f κ =,, f λ= λ τω πλώ εδεχομέω θ έχουμε: 1. 0 f i 1, i = 1,,,λ (φού 0 κ i ). f 1 + f + + f λ = κ1κ... κλ 1. Oι σχετικές συχότητες πργμτοποίησης τω εδεχομέω εός πειράμτος στθεροποιούτι γύρω πό κάποιους ριθμούς (όχι πάτοτε ίδιους), κθώς ο ριθμός τω δοκιμώ του πειράμτος επλμάετι περιόριστ. Το εμπειρικό υτό εξγόμεο, το οποίο επιειώετι κι θεωρητικά, οομάζετι σττιστική ομλότητ ή όμος τω μεγάλω ριθμώ. Ν διτυπώσετε το κλσικό ορισμό της πιθότητς; Ν διτυπώσετε το ξιωμτικό ορισμό της πιθότητς; Κλσικός Ορισμός Πιθότητς Γεικά, σε έ πείρμ με ισοπίθ ποτελέσμτ η σχετική συχότητ εός εδεχομέου με κ στοιχεί θ τείει στο ριθμό. Γι'υτό είι εύλογο σε έ πείρμ με ισοπίθ ποτελέσμτ ορίσουμε ως πιθότητ του εδεχομέου Α το ριθμό: P(A) = Πλήθος Ευοϊκώ Περιπτώσεω Ν(Α) Πλήθος Δυτώ Περιπτώσεω Ν(Ω) Από το προηγούμεο ορισμό προκύπτει άμεσ ότι: N(Ω) 1. P(Ω) = N(Ω) =1 0. P(O) =0 N(Ω) 3. Γι κάθε εδεχόμεο Α ισχύει 0 Ρ(Α) 1, φού το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχομέου είι ίσο ή μικρότερο πό το πλήθος τω στοιχείω του δειγμτικού χώρου. Αξιωμτικός Ορισμός Πιθότητς Γι μπορεί όμως χρησιμοποιηθεί ο κλσικός ορισμός της πιθότητς σε έ δειγμτικό χώρο με πεπερσμέο πλήθος στοιχείω, είι πρίτητο τ πλά εδεχόμε είι ισοπίθ. Υπάρχου όμως πολλά πειράμτ τύχης, τω οποίω ο δειγμτικός χώρος δε ποτελείτι πό ισοπίθ πλά εδεχόμε. Γι τις περιπτώσεις υτές χρησιμοποιούμε το πρκάτω ξιωμτικό ορισμό της πιθότητς, ο οποίος έχει άλογες ιδιότητες με τη σχετική συχότητ. Έστω Ω = {ω 1, ω,,ω } ές δειγμτικός χώρος με πεπερσμέο πλήθος στοιχείω. Σε κάθε πλό εδεχόμεο {ω i } τιστοιχίζουμε έ πργμτικό ριθμό, που το συμολίζουμε με P(ω i ), έτσι ώστε ισχύου: 0 P(ω i ) 1 P(ω 1 ) + P(ω ) + + P(ω ) = 1. Το ριθμό P(ω i ) οομάζουμε πιθότητ του εδεχομέου {ω i }. Ως πιθότητ P(A) εός εδεχομέου Α = { 1,,, κ } O ορίζουμε το άθροισμ P( 1 ) + P( ) + + P( κ ), εώ ως πιθότητ του δύτου εδεχομέου O ορίζουμε το ριθμό Ρ(O ) = 0. 3

4 Α P(ω i ) = 1 εδεχομέου., i = 1,,,, τότε έχουμε το κλσικό ορισμό της πιθότητς εός Σχόλιο: Ότ έχουμε έ δειγμτικό χώρο Ω = {ω 1, ω,,ω } κι χρησιμοποιούμε τη φράση πίρουμε τυχί έ στοιχείο του Ω, εοούμε ότι όλ τ δυτά ποτελέσμτ είι ισοπίθ με πιθότητ με πιθότητ P(ω i ) = 1, i = 1,,,. Κόες Λογισμού τω Πιθοτήτω Γι οποιδήποτε συμίστ μετξύ τους εδεχόμε Α κι Β ισχύει: Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Η ιδιότητ υτή είι γωστή ως πλός προσθετικός όμος (simply additive law) κι ισχύει κι γι περισσότερ πό δύο εδεχόμε. Έτσι, τ εδεχόμε Α, Β κι Γ είι ά δύο συμίστ θ έχουμε: Ρ(Α Β Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ). Γι δύο συμπληρωμτικά εδεχόμε Α κι Α' ισχύει: Ρ(Α') = 1 Ρ(Α) Γι δύο εδεχόμε Α κι Β εός δειγμτικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Η ιδιότητ υτή είι γωστή ως προσθετικός όμος (additive law). Γι δύο εδεχόμε Α κι Β εός δειγμτικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Α Β). Γι δύο εδεχόμε Α κι Β εός δειγμτικού χώρου Ω. Α Α Β, τότε Ρ(Α) Ρ(Β) 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Πράγρφος.1 Γι τη πρόσθεση κι το πολλπλσισμό ισχύου οι ιδιότητες που φέροτι στο επόμεο πίκ, οι οποίες κι ποτελού τη άση του λγερικού λογισμού. Γι τις τέσσερις πράξεις κι τη ισότητ ισχύου οι κόλουθες ιδιότητες: 1. ( = κι γ = δ) + γ = + δ. ( = κι γ = δ ) γ = δ 3. = + γ = + γ 4. Α γ 0, τότε: = γ = γ 5. = 0 = 0 ή = κι 0 Α ο είι πργμτικός ριθμός κι ο φυσικός ορίζουμε ότι:, γι 1κι πράγοτες 1, γι 1. Α επιπλέο είι 0, τότε ορίζουμε ότι: 1 1κι. 0 Σχόλιο: Εώ είι φερό ότι, =, τότε =, δε ισχύει το τίστροφο, φού γι πράδειγμ είι (-) =, λλά -. Ιδιότητες: κ κ λ κλ κλ λ κ κ κ κ κ κ () ( ) κ λ κλ Κάθε ισότητ που περιέχει μετλητές κι επληθεύετι γι όλες τις τιμές τω μετλητώ υτώ λέγετι τυτότητ. 5

6 Αξιοσημείωτες τυτότητες: ( + ) = + + ( - ) = - + = ( + ) ( ) ( + ) 3 = ( ) 3 = = ( + ) ( + ) 3-3 = ( - ) ( + + ) ( + + γ) = + + γ + + γ + γ Ιδιότητες τω λογιώ: γ i) δ γ(εφόσο δ 0) δ γ ii) (εφόσο γδ 0) δ γ δ γ γ δ iii) (εφόσο δ 0) δ δ γ γ γ iv) (εφόσο δ( δ) 0) δ δ δ Πράγρφος. Ορισμός: Ές ριθμός λέμε ότι είι μεγλύτερος πό έ ριθμό, κι γράφουμε >, ότ η διφορά είι θετικός ριθμός. Στη περίπτωση υτή λέμε επίσης ότι ο είι μικρότερος του κι γράφουμε < δηλδή > > 0. Ιδιότητες: ( 0 κι 0) 0 ( 0 κι 0) 0, ομόσημοι 0 0, ετερόσημοι 0 0 0, γι κάθε ΙR (Η ισότητ ισχύει μόο ότ 0) 4. ( > κι > γ) > γ 5. γ γ Α γ 0, τότε : γ γ Α γ 0, τότε : γ γ 6

7 6. ( κι γ δ) γ δ Γι θετικούς ριθμούς,, γ,δ ισχύει η συεπγωγή: ( κι γ δ) γ δ Η ιδιότητ 6 ισχύει κι γι περισσότερες ισότητες. Συγκεκριμέ: ( 1 > 1 κι > κι κι > ) > Α, επιπλέο, τ μέλη τω ισοτήτω είι θετικοί ριθμοί, τότε: ( 1 > 1 κι > κι κι > ) 1 > 1 7. Γι θετικούς ριθμούς, κι θετικό κέριο ισχύει η ισοδυμί: > > 8. Δε φιρούμε κι δε διιρούμε ποτέ ισότητες κτά μέλη. 9. i) Α, ομόσημοι ριθμοί, τότε < 1 1 * Διστήμτ. Τι οομάζετι πόλυτη τιμή εός πργμτικού ριθμού ; ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ x x x x x x x x x x x x x x x x x [, ] x < [, ) < x (, ] < x < (, ) x x > [, + ) (, + ) x (-, ] x < (-, ) Πράγρφος.3 Η πόστση του σημείου Α πό τη ρχή Ο, δηλδή το μήκος του ευθύγρμμου τμήμτος ΟΑ, οομάζετι πόλυτη τιμή του ριθμού κ ι τη συμολίζουμε με. 7

8 Ν διτυπωθεί ο ορισμός της πόλυτης τιμής εός πργμτικού ριθμού ; Ορισμός: Η πόλυτη τιμή εός πργμτικού ριθμού, συμολίζετι με κι ορίζετι πό το τύπο:, 0, 0 Ισχύου: 0 κι Αθ 0 τότε : x θ x θή x θ x x ή x Ιδιότητες: 1. = Σχόλιο: Η ισότητ = ισχύει κι γι περισσότερους πράγοτες. Συγκεκριμέ: 1 = 1. Στη ειδική μάλιστ περίπτωση που είι 1 = = = =, έχουμε: = Η ισότητ + + ισχύει κι γι περισσότερους προσθετέους. Συγκεκριμέ: Απόστση δύο ριθμώ x Α() Ο(0) Β() x d(, ) = - 8 Το μήκος του τμήμτος ΑΒ λέγετι πόστση τω ριθμώ κι, συμολίζετι με d(, ) κι είι ίση με -. Είι δηλδή d(, ) = - Προφώς ισχύει d(, ) = d(, ). Στη περίπτωση μάλιστ που είι <, τότε η πόστση τω κι είι ίση με κι λέγετι μήκος του διστήμτος [, ]. Ο ριθμός που τιστοιχεί στο μέσο Μ του τμήμτος ΑΒ λέγετι κέτρο του διστήμτος [, ], εώ ο ριθμός ρ = λέγετι κτί του [, ]. Ως μήκος, κέτρο κι κτί τω διστημάτω (, ), [, ) κι (, ] ορίζουμε το μήκος, το κέτρο κι τη κτί του διστήμτος [, ]. Ισχύου: x ρ -ρ x ρ, θ > 0. x ρ x -ρ ή x ρ, θ > 0.

9 Πως ορίζετι η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού πργμτικού ριθμού ; Πως ορίζετι η -οστή ρίζ εός μη ρητικού ριθμού ; Πράγρφος.4 Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού συμολίζετι με ρητικός ριθμός που, ότ υψωθεί στο τετράγωο, δίει το. Α 0, η πριστάει τη μη ρητική λύση της εξίσωσης x =. Ιδιότητες: Ορισμός: κι είι ο μη Η -οστή ρίζ εός μη ρητικού ριθμού συμολίζετι με κι είι ο μη ρητικός ριθμός που ότ υψωθεί στη, δίει το. Α 0, η πριστάει τη μη ρητική λύση της εξίσωσης x =. Ιδιότητες τω ριζώ: κι. 1. Α 0, τότε:. Α 0 κι άρτιος, τότε: Α, 0, τότε: μ μ (εφόσο 0) 6. ρ μρ μ. * Σχόλιο: Η ιδιότητ 1. ισχύει κι γι περισσότερους πό δύο μη ρητικούς πράγοτες. Συγκεκριμέ, γι μη ρητικούς ριθμούς 1,,, κ ισχύει: κ 1 κ Στη ειδική μάλιστ περίπτωση που είι 1 = = = κ = 0, ισχύει: κ κ.,οπότε λόγω της ιδιότητς 1, γι, 0 έχουμε: 7. Α > 0, μ κέριος κι θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: 8. Α κι είι μη ρητικοί ριθμοί: < μ. μ. 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Πράγρφος 3.1 Η εξίσωση x + = 0 Έχουμε λοιπό x + = 0 x + = - x = - Δικρίουμε τώρ τις περιπτώσεις: Α 0 τότε x = - x = -. Επομέως, 0 η εξίσωση έχει κριώς μί λύση, τη x = -. Α = 0, τότε η εξίσωση x = - γίετι 0x = -, η οποί: i) Α 0 δε έχει λύση κι γι υτό λέμε ότι είι δύτη, εώ ii) Α = 0 έχει τη μορφή 0x = 0 κι ληθεύει γι κάθε πργμτικό ριθμό x δηλδή είι τυτότητ. Η λύση της εξίσωσης x + = 0 κι γεικά κάθε εξίσωσης λέγετι κι ρίζ υτής. Πράγρφος 3. Η λύση της εξίσωσης x v = είι: άρτιος περιττός > 0 < 0 = 0 x = δύτη x=0 x = x=0 x = - Πράγρφος 3.3 Η εξίσωση x + x + γ = 0, 0 (1) λέγετι εξίσωση δευτέρου θμού. Η λγερική πράστση Δ = 4γ, πό τη τιμή της οποίς εξρτάτι το πλήθος τω ριζώ της εξίσωσης x + x + γ = 0,, οομάζετι δικρίουσ υτής. Δ = 4γ Η εξίσωση x + x + γ = 0, 0 Δ > 0 Έχει δύο ρίζες άισες τις x 1, = Δ = 0 Έχει διπλή ρίζ τη x = - Δ Δ < 0 Είι δύτη στο IR Α με S συμολίσουμε το άθροισμ x 1 + x κι με P το γιόμεο x 1 x, τότε έχουμε τους τύπους: S = που είι γωστοί ως τύποι του Vieta. γ κι P = Κάθε εξίσωση της μορφής x 4 + x + γ = 0, 0 λέγετι διτετράγωη. 10

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Πράγρφος 4.1 x + > 0 x + > - x > - Δικρίουμε τις εξής περιπτώσεις: Α > 0, τότε : x > - x x Α < 0, τότε : x > - x x Α = 0, τότε η ίσωση γίετι 0x > -, η οποί ληθεύει γι κάθε xir, είι > 0, εώ είι δύτη, είι 0. Πράγρφος4. Η πράστση x + x + γ = 0, 0 λέγετι τριώυμο ου θμού ή, πιο πλά τριώυμο. Η δικρίουσ Δ της τίστοιχης εξίσωσης x + x + γ = 0 λέγετι κι δικρίουσ του τριωύμου. Οι ρίζες της εξίσωσης x + x + γ = 0, δηλδή οι x 1 = x = Δ οομάζοτι κι ρίζες του τριωύμου. Δ Πργοτοποίηση τριωύμου Α Δ > 0, τότε: x + x + γ = (x x 1 )(x x ), όπου x 1, x οι ρίζες του τριωύμου. Α Δ = 0, τότε: x + x + γ = (x x 0 ). Α Δ < 0, τότε: x + x + γ = ριθμός δε πργοτοποιείτι. Πρόσημο τριωύμου Έστω f(x)=x +x+γ, 0 x Δ 4 κι κι επειδή η γκύλη είι θετικός Α Δ > 0 με ρίζες x 1,x x - x 1 x + f ομόσημο ετερόσημο ομόσημο του του του Α Δ= 0 με ρίζ x 0 x - x 0 + f ομόσημο ομόσημο του του Α Δ< 0 x - + f ομόσημο του ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο Πράγρφος 5.1 Η έοι της κολουθίς Γεικά κολουθί πργμτικώ ριθμώ είι μι τιστοίχιση τω φυσι κώ ριθμώ 1,,3,...,,... στους πργμτικούς ριθμούς. Ο ριθμός στο οποίο τιστοιχεί ο 1 κλείτι πρώτος όρος της κολουθίς κι το συμολίζουμε συήθως με 1, ο ριθμός στο οποίο τιστοιχεί ο κλείτι δεύτερος όρος της κολουθίς κι το συμολίζουμε συήθως με κ.λ.π. Γεικά ο ριθμός στο οποίο τιστοιχεί ές φυσικός ριθμός κλείτι -οστός ή γεικός όρος της κολουθίς κι το συμολίζουμε συήθως με. 11

12 Ακολουθίες που ορίζοτι δρομικά Λέμε ότι η κολουθί ( ) ορίζετι δρομικά κι η ισότητ + = +ι + λέγετι δρομικός τύπος της κολουθίς. Γεικότερ, γι ορίζετι μι κολουθί δρομικά, πιτείτι γωρίζουμε: (i) Το δρομικό της τύπο κι (ii) Όσους ρχικούς όρους μς χρειάζοτι, ώστε ο δρομικός τύπος ρχίσει δίει όρους. Πότε μι κολουθί λέγετι ριθμητική πρόοδος; Πότε τρείς ριθμοί ποτελού διδοχικούς όρους ριθμητικής προόδου; Πράγρφος 5. Μι κολουθί λέγετι ριθμητική πρόοδος, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεο του με πρόσθεση του ίδιου πάτοτε ριθμού. Το ριθμό υτό το συμολίζουμε με ω κι το λέμε διφορά της προόδου. Επομέως, η κολουθί ( ) είι ριθμητική πρόοδος με διφορά ω, κι μόο ισχύει: +1 = + ω ή +1 - = ω Ο ος όρος μις ριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι διφορά ω είι = 1 + ( 1)ω Αριθμητικός μέσος Τρεις ριθμοί,, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου κι μόο ισχύει γ =. Άθροισμ διδοχικώ όρω ριθμητικής προόδου Το άθροισμ τω πρώτω όρω ριθμητικής προόδου ( ) με διφορά ω είι S = ( 1 + ) ή S = [ 1 + ( - 1)ω] Πότε μι κολουθί λέγετι γεωμετρική πρόοδος; Πότε τρείς ριθμοί ποτελού διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου; Πράγρφος 5.3 Γεωμετρική Πρόοδος Μι κολουθί λέγετι γεωμετρική πρόοδος, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό ριθμό. Το ριθμό υτό το συμολίζουμε με λ κι το λέμε λόγο της προόδου. Σε μι γεωμετρική πρόοδο ( ) υποθέτουμε πάτ ότι 1 0, οπότε, φού είι κι λ 0, ισχύει 0 γι κάθε ΙΝ*. Επομέως, η κολουθί ( ) είι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, κι μόο ισχύει: +1 = λ ή 1 Ο ος όρος μις γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι λόγο λ είι = 1 λ 1 Γεωμετρικός μέσος Τρεις μη μηδεικοί ριθμοί,, γ είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, κι μόο ισχύει = γ Ο θετικός ριθμός γ λέγετι γεωμετρικός μέσος τω κι γ. = λ Άθροισμ διδοχικώ όρω γεωμετρικής προόδου Το άθροισμ τω πρώτω όρω μις γεωμετρικής προόδου ( ) με λόγο λ 1 είι λ 1 S = 1 λ1 1

13 Πρτήρηση Στη περίπτωση που ο λόγος της προόδου είι λ=1, τότε το άθροισμ τω όρω της είι S = 1, φού όλοι οι όροι της προόδου είι ίσοι με 1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο Πράγρφος 6.1 Ορισμός: Συάρτηση πό έ σύολο Α σε έ σύολο Β λέγετι μι διδικσί (κός) με τη οποί κάθε στοιχείο του συόλου Α τιστοιχίζετι σε έ κριώς στοιχείο του συόλου Β. Το σύολο Α λέγετι πεδίο ορισμού ή σύολο ορισμού της f. Οι συρτήσεις πριστάοτι συήθως με μικρά γράμμτ f, g, h κτλ. του Λτιικού λφήτου. Α σε μί συάρτηση f πό το Α στο Β, το xα τιστοιχίζετι στο yb, τότε γράφουμε: y = f(x) κι διάζουμε «y ίσο f του x». Το f(x) λέγετι τιμή της f στο x.το γράμμ x, που πριστάει οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού της f, οομάζετι εξάρτητη μετλητή, εώ το y, που πριστάει τη τιμή της συάρτησης στο x, οομάζετι εξρτημέη μετλητή. Το σύολο, που έχει γι στοιχεί του τις τιμές f(x) γι όλ τ xα, λέγετι σύολο τιμώ της f κι συμολίζετι με f(a). Η πρπάω συάρτηση συμολίζετι ως εξής: f : A B x f(x) Ποιες συρτήσεις λέγοτι πργμτικές συρτήσεις μις πργμτικής μετλητής; Τι οομάζουμε κρτεσιό σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο; Γι οριστεί μι συάρτηση f, πρέπει δοθού τρί στοιχεί: Το πεδίο ορισμού της Α. Το σύολο Β κι Το f(x) γι κάθε xa. Οι συρτήσεις, με τις οποίες θ σχοληθούμε στο ιλίο υτό, είι της μορφής f: A B, όπου Α IR κι Β IR, είι δηλδή, όπως λέμε πργμτικές συρτήσεις μις πργμτικής μετλητής. Πράγρφος 6. Πάω σε έ επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξοες x x κι y y με κοιή ρχή έ σημείο Ο. Από υτούς ο οριζότιος x x λέγετι άξος τω τετμημέω ή άξος τω x, εώ ο κτκόρυφος y y άξος τω τετγμέω ή άξος τω y. Όπως είι γωστό, σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου τω ξόω μπορούμε τιστοιχίσουμε έ διτετγμέο ζεύγος (, ) πργμτικώ ριθμώ κι τιστρόφως. Οι ριθμοί, λέγοτι συτετγμέες του Μ. Ειδικότερ ο λέγετι τετμημέη κι ο τετγμέη του σημείου Μ. Το σημείο Μ που έχει συτετγμέες κι συμολίζετι με Μ(, ) ή πλά με (, ). Επειδή η ιδέ της χρησιμοποίησης ζευγώ γι τη πράστση σημείω του επιπέδου ήκει στο Κρτέσιο, το πρπάω ζεύγος τω ξόω το λέμε κρτεσιό σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο κι το συμολίζουμε Oxy, εώ το επίπεδο στι οποίο ορίστηκε το σύστημ υτό το λέμε κρτεσιό επίπεδο. Α επιπλέο οι μοάδες τω ξόω έχου το ίδιο μήκος, το σύστημ Oxy λέγετι ορθοκοικό. 13

14 Επίσης: y o 1 o x<0, y>0 x>0, y>0 x Ο x x<0, y<0 x>0, y<0 3 o y 4 o Α Α(,) είι έ σημείο του κρτεσιού επιπέδου: Το συμμετρικό του ως προς το άξο x x είι το σημείο Δ(, -). Το συμμετρικό του ως προς το άξο y y είι το σημείο Β(-, ). Το συμμετρικό του ως προς τη ρχή τω ξόω είι το σημείο Γ(-,-). Το συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της 1 ης κι 3 ης γωίς τω ξόω είι το σημείο Α (, ). Έστω Oxy έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο κι Α(x 1, y 1 ) κι Β(x, y ) δύο σημεί υτού. Η πόστσή τους δίετι πό το τύπο: (ΑΒ) = (x x ) (y y ) 1 1 Έστω f μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι Oxy έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο. Το σύολο τω σημείω Μ(x,y) γι τ οποί ισχύει y = f(x), δηλδή το σύολο τω σημείω Μ(x, f(x)), xα, λέγετι γρφική πράστση της f κι συμολίζετι συήθως με C f. Η εξίσωση, λοιπό y = f(x) επληθεύετι πό τ σημεί της C f κι μόο πό υτά. Η y = f(x) είι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της f. Κάθε κτκόρυφη ευθεί έχει με τη γρφική πράστση της f το πολύ έ κοιό σημείο (σχήμ ). y y C C f Ο Α x σχήμ Ότ δίετι η γρφική πράστση μις συάρτησης f μπορούμε, επίσης σχεδιάσουμε κι τη γρφική πράστση της συάρτησης f, πίροτς τη συμμετρική της γρφικής πράστσης της f ως προς το άξο x x. Ο σχήμ x f -f 14

15 Πώς ορίζετι ο συτελεστής διεύθυσης μις ευθείς; Πράγρφος 6.3 Τη γωί ω που διγράφει η ημιευθεί Αx, ότ στρφεί γύρω πό το Α κτά τη θετική φορά (1) μέχρι πέσει πάω στη ευθεί ε, τη λέμε γωί που σχημτίζει η ε με το άξο x x. Α η ευθεί ε είι πράλληλη προς το άξο x x ή συμπίπτει με υτό, τότε λέμε ότι η ευθεί ε σχημτίζει με το άξο x x γωί ω = 0 0. Σε κάθε περίπτωση γι τη γωί ω ισχύει 0 0 ω Ως συτελεστή διεύθυσης ή ως κλίση μις ευθείς ε ορίζουμε τη εφπτομέη της γωίς ω που σχημτίζει η ε με το άξο x x. Ο συτελεστής διεύθυσης μις ευθείς ε συμολίζετι συήθως με λ ε ή πλά με λ. Η γρφική πράστση της συάρτησης f(x) = x + είι μι ευθεί, με εξίσωση y = x +, η οποί τέμει το άξο τω y στο σημείο Β(0, ) κι έχει κλίση λ =. Είι φερό ότι: > 0, τότε 0 0 < ω < ω < 0, τότε 90 0 < ω < ω = 0, τότε ω = 0 0. y = δε ορίζετι ο ω = x = κ Ας θεωρήσουμε δύο τυχί σημεί Α(x 1, y 1 ) κι Β(x, y ) της ευθείς y = x +. Τότε: = y x y x 1 1 Α = 0, τότε η f πίρει τη μορφή f(x) = x, οπότε η γρφική της πράστση είι η ευθεί y = x κι περάει πό τη ρχή τω ξόω. Ειδικότερ: Γι = 1 έχουμε τη ευθεί y = x. Γι τη γωί ω, που σχημτίζει η ευθεί υτή με το άξο x x, ισχύει εφω = = 1, δηλδή ω = Επομέως η ευθεί y = x είι η διχοτόμος τω γωιώ xoy τω ξόω. Γι = -1 έχουμε τη ευθεί y = -x. Γι τη γωί ω, που σχημτίζει η ευθεί υτή με το άξο x x, ισχύει εφω = = -1, δηλδή ω = Επομέως η ευθεί y = -x. κι x Οy είι η διχοτόμος τω γωιώ yox κι y Ox τω ξόω. Σχετικές θέσεις δύο ευθειώ: Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες ε 1 κι ε με εξισώσεις y = 1 x + 1 κι y = x + τιστοίχως. Α 1 = κι 1, τότε οι ευθείες είι πράλληλες εώ 15

16 Α 1 = κι 1 =, τότε οι ευθείες τυτίζοτι. Α 1 = -1, τότε οι ευθείες είι κάθετες. Οι ευθείες της μορφής y = x +, όπου στθερό κι μετλητό διέρχοτι όλες πό το σημείο του άξο y y. Οι ευθείες της μορφής y = x +, όπου στθερό κι μετλητό, είι όλες πράλληλες μετξύ τους. y f(x) x x, x 0 x, x 0 y=-x, x 0 y=x, x 0 Πράγρφος 6.4 Η γρφική πράστση της συάρτησης f, με: x Ο x f(x) = φ(x) c, όπου c > 0 προκύπτει πό μί κτκόρυφη μεττόπιση της γρφικής πράστσης τη φ κτά c μοάδες προς τ πάω (προς τ κάτω). Η γρφική πράστση της συάρτησης f, με: f(x) = φ(x c), όπου c > 0 προκύπτει πό μί οριζότι μεττόπιση της γρφικής πράστσης τη φ κτά c μοάδες προς τ δεξιά (προς τ ριστερά). Α f(x) = φ(x c) d, με c, d > 0 έχουμε τόσο οριζότι όσο κι κτκόρυφη μεττόπιση της κμπύλης. Πότε μι συάρτηση f λέγετι γησίως ύξουσ σε έ διάστημ Δ; Πότε μι συάρτηση f λέγετι γησίως φθίουσ σε έ διάστημ Δ; Πράγρφος 6.5 Ορισμός: Μι συάρτηση f λέγετι γησίως ύξουσ σε έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε x 1, x Δ με x 1 < x, ισχύει: f(x 1 ) < f(x ) Γι δηλώσουμε ότι η συάρτηση f είι γησίως ύξουσ στο διάστημ Δ γράφουμε f Δ. Ορισμός: Μι συάρτηση f λέγετι γησίως φθίουσ σε έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε x 1, x Δ με x 1 < x, ισχύει: f(x 1 ) > f(x ) Γι δηλώσουμε ότι η συάρτηση f είι γησίως φθίουσ στο διάστημ Δ γράφουμε f Δ. Μί συάρτηση που είι είτε γησίως ύξουσ είτε γησίως φθίουσ σε έ διάστημ Δ λέγετι γησίως μοότοη στο Δ. Η f(x) = x + είι > 0, είι < 0 κι είι στθερή =0. Πότε μι συάρτηση προυσιάζει ελάχιστο; Ορισμός: Μι συάρτηση f, με πεδίο ορισμού έ σύολο Α, λέμε ότι προυσιάζει στο x 0 Α (ολικό) ελάχιστο ότ: f(x) f(x 0 ), γι κάθε xa Το x 0 Α λέγετι θέση ελχίστου, εώ το f(x 0 ) ολικό ελάχιστο ή πλώς ελάχιστο της συάρτησης f κι το συμολίζουμε με min f(x). 16

17 Πότε μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο; Ορισμός: Μι συάρτηση f, με πεδίο ορισμού έ σύολο Α, λέμε ότι προυσιάζει στο x 0 Α (ολικό) μέγιστο ότ: f(x) f(x 0 ), γι κάθε xa Το x 0 Α λέγετι θέση μεγίστου, εώ το f(x 0 ) ολικό μέγιστο ή πλώς μέγιστο της συάρτησης f κι το συμολίζουμε με max f(x). Το (ολικό) μέγιστο κι το (ολικό) ελάχιστο μις συάρτησης λέγοτι ολικά κρόττ υτής. Σχόλιο: Μι συάρτηση εδέχετι έχει κι μέγιστο κι ελάχιστο (Σχ. ) ή μόο ελάχιστο (Σχ. ) ή μόο μέγιστο (Σχ. γ ) ή μη έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο (Σχ. δ ). Πότε μι συάρτηση f είι άρτι σ έ σύολο Α; Πότε μι συάρτηση λέγετι περιττή σ έ σύολο Α; Ορισμός: Μι συάρτηση f, με πεδίο ορισμού έ σύολο Α, θ λέγετι άρτι, ότ γι κάθε x Α ισχύει: x Α κι f ( x) = f ( x) Η γρφική πράστση μις άρτις συάρτησης έχει άξο συμμετρίς το άξο y y. Ορισμός: Μι συάρτηση f, με πεδίο ορισμού έ σύολο Α, θ λέγετι περιττή, ότ γι κάθε x Α ισχύει: x Α κι f ( x) = f ( x) Η γρφική πράστση μις περιττής συάρτησης έχει κέτρο συμμετρίς τη ρχή τω ξόω. 17

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο Μελέτη της συάρτησης Βρίσκουμε πεδίο ορισμού. Μοοτοί ολικά κρόττ. Μελετούμε τη συμπεριφορά της στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της. Κάουμε πίκ τιμώ κι γρφική πράστση. Πράγρφος 7.1 f(x) = x προλή > 0 Αοιχτή προς τ πάω. Π.Ο. IR άρτι. x f(x) + + min 0 Ελάχιστο f(0) = 0, (0,0) κορυφή Ότ x + f(x) + Ότ x - f(x) + < 0 Αοιχτή προς τ κάτω. Π.Ο. IR άρτι. x f(x) x Ο y x - max - 0 Μέγιστο f(0) = 0, (0,0) κορυφή Ότ x + f(x) - Ότ x - f(x) - y Κθώς το μεγλώει η προλή γίετι πιο κλειστή δηλδή πλησιάζει το yy. f(x) = x 3 y > 0 περιττή Π.Ο. Α= IR x - + f(x) + - Ότ x + f(x) + Ότ x - f(x) - x y x < 0 περιτή Π.Ο. Α= IR x - + f(x) + - x y x 18 Ότ x + f(x) - y

19 Ότ x - f(x) + Πράγρφος 7. Μελέτη της f(x) = x ισοσκελής υπερολή με κέτρο (0,0) > 0 περιττή Π.Ο. Α= IR * είι στ διστήμτ (-,0) κι (0,+ ). Συμμετρική ως προς τις ευθείες y = x κι y = -x ότ x 0 + f(x) + x 0 - f(x) - ότ x = f(x) 0 yy κτκόρυφη σύμπτωτη xx οριζότι σύμπτωτη. < 0 περιττή Π.Ο. Α= IR *, είι στ διστήμτ (-,0) κι (0,+ ). Συμμετρική ως προς τις ευθείες y = x κι y = -x ότ x 0 + f(x) - x 0 - f(x) + ότ x = f(x) 0 yy κτκόρυφη σύμπτωτη xx οριζότι σύμπτωτη. Πράγρφος 7.3 f(x) = x + x + γ 0 προλή f(x) = μεττόπιση κτά > 0 Αοιχτή προς τ πάω. Δ, 4 x - + f(x) + + Κορυφή Κ Δ x 4 Δ 4 κι με οριζότι μεττόπιση κτά min Δ 4 προκύπτει πό τη g(x) = x σε κτκόρυφη 19

20 Ελάχιστο f( ) = Άξος συμμετρίς x= Δ 4 Τέμει το yy στο (0,γ) Βρίσκουμε σημεί τομής με xx. < 0 Αοιχτή προς τ κάτω. Κορυφή Κ Δ, 4 f(x) x - + max Μέγιστο f( ) = Δ 4 Δ 4 Άξος συμμετρίς x= Τέμει το yy στο (0,γ) Βρίσκουμε σημεί τομής με xx. Η γρφική πράστση της f εξρτάτι πό το πρόσημο τω κι Δ (πρόσημο τριωύμου). > 0 Δ > 0 < 0 Δ > 0 > 0 Δ = 0 < 0 Δ = 0 > 0 Δ < 0 < 0 Δ < 0 0

21 ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Γι οποιδήποτε συμίστ μετξύ τους εδεχόμε Α κι Β ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Α Ν(Α) = κ κι Ν(Β) = λ, τότε το Α συμίστ. Δηλδή, έχουμε Ν (Α Επομέως: N(A B) Ν(Α) Ν(Β) P(A B) N(Ω) Ν(Ω) Ν(Α) Ν(Β) P(A) P(B) Ν(Ω) Ν(Ω) Β έχει κ + λ στοιχεί, γιτί λλιώς τ Α κι Β δε θ ήτ Β) = κ + λ = Ν (Α) + Ν(Β).... Γι δύο συμπληρωμτικά εδεχόμε Α κι Α' ισχύει: Ρ(Α') = 1 Ρ(Α) Επειδή Α Α' =, δηλδή τ Α κι Α' είι συμίστ, έχουμε διδοχικά, σύμφω με το πλό προσθετικό όμο: Οπότε P(Α ) = 1 Ρ(Α). P(A A ) Ρ(Α) Ρ(Α ) Ρ(Ω) Ρ(Α) Ρ(Α ) 1Ρ(Α) Ρ(Α ) Γι δύο εδεχόμε Α κι Β εός δειγμτικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Γι δυο εδεχόμε Α κι Β έχουμε Ν(Α Β) = Ν(Α) + Ν(Β) Ν(Α Β), (1) φού στο άθροισμ Ν(Α) + Ν(Β) το πλήθος τω στοιχείω του Α Β υπολογίζετι δυο φορές. Α διιρέσουμε τ μέλη της (1) με Ν (Ω) έχουμε: κι επομέως: Ρ(A Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β). Η ιδιότητ υτή είι γωστή ως προσθετικός όμος (additive law) Α Α Β, τότε Ρ(Α) Ρ(Β) Επειδή Α Β έχουμε διδοχικά: Ν(Α) Ν(Β) N(A) N(Β) Ν(Ω) Ν(Ω) Ρ(Α) Ρ(Β) N(A B) Ν(Α) Ν(Β) N(A B) N(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) N(Ω) 1

22 55... Γι δύο εδεχόμε Α κι Β εός δειγμτικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Α Β). Επειδή τ εδεχόμε Α Β κι Α Β είι συμίστ κι (Α Β) (Α Β) = Α, έχουμε: Ρ(Α) = Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β). Άρ Ρ(A B) = Ρ(A) Ρ(Α B) Γι θετικούς ριθμούς, κι θετικό κέριο ισχύει η ισοδυμί: > > Έστω >. Τότε, πό τη 1 > 1 κι > 1 > 1. όπου 1,,, 1,, > 0 γι 1 = = = = > 0 κι 1 = = = = > 0 προκύπτει ότι: >. Γι τη πόδειξη του τιστρόφου θ χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της πγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπό ότι > κι. Τότε: ήτ =, πό το ορισμό της ισότητς θ είχμε = (άτοπο), εώ ήτ <, θ είχμε < ( άτοπο). Άρ, >. Με τη οήθει της πρπάω ιδιότητς θ ποδείξουμε τώρ ότι: Γι θετικούς ριθμούς, κι θετικό κέριο ισχύει η ισοδυμί: = = Έστω =. Τότε, πό το ορισμό της ισότητς προκύπτει, όπως είπμε κι προηγουμέως, ότι =. Γι τη πόδειξη του τιστρόφου θ χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της πγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπό ότι = κι. Τότε: ήτ >, λόγω της (1), θ είχμε > (άτοπο), εώ ήτ <, λόγω της (1), θ είχμε < (άτοπο). Άρ = = Επειδή κι τ δύο μέλη της ισότητς = είι μη ρητικοί ριθμοί, έχουμε διδοχικά: =, που ισχύει. Ομοίως ( ) Επειδή κι τ δύο μέλη της ισότητς + + είι μη ρητικοί ριθμοί, έχουμε διδοχικά:, που ισχύει. ( )

23 Είι φερό ότι η ισότητ = ισχύει κι μόο 0, δηλδή κι μόο οι ριθμοί κι είι ομόσημοι ή ές τουλάχιστο πό υτούς είι ίσος με μηδέ Κέτρο x 0 του [, ] Α Μ (x 0 ) είι το μέσο του τμήμτος AB, τότε έχουμε: MA MB d(x,) d(x,) x x x x,(φού x ) x0 x0 Α, 0, τότε: Έχουμε: (εφόσο 0) μ Αποδεικύετι όπως κι η 6. Έχουμε:,που ισχύει. μ μ μ μ μ μ μ μ μ,που ισχύει ρ μρ μ Έχουμε: ρ μρ ρ μρ ρ μ ρ μ 3

24 Επίλυση δευτεροάθμις εξίσωσης x + x + γ = 0 x + = 0 [φού 0] x + x = - x + x = - x + x + = - + Α θέσουμε Δ = 4γ, τότε η τελευτί εξίσωση θ γίετι: Α Δ > 0 τότε έχουμε: x γ γ 4γ x 4 x Δ Δ 4 (). x + = ή x + = - δηλδή x = ή x =. Επομέως η εξίσωση (), άρ κι η ισοδύμη (1) έχει δύο λύσεις άισες τις: x 1 = κι x =. Γι συτομί οι λύσεις υτές γράφοτι: x 1, = Α Δ = 0 τότε η εξίσωση () γράφετι: Δ Δ γ Στη περίπτωση λέμε ότι η εξίσωση εξίσωση έχει διπλή ρίζ τη -. Α Δ < 0, τότε η εξίσωση (), άρ κι η ισοδύμη της (1), δε έχει πργμτικές ρίζες, δηλδή είι δύτη στο IR Τύποι Vieta κι εξίσωση μετσχημτισμού Στη περίπτωση που η εξίσωση x + x + γ = 0, 0 έχει πργμτικές ρίζες x 1, x, έχουμε: x x Δ Δ x 1 κι S = - κι P = Η εξίσωση x + x + γ = 0, με τη οήθει τω τύπω Vieta, μετσχημτίζετι ως εξής: 4 γ 4 Δ Δ Δ Δ x 0 x x 0 x 0ή x 0 x ήx Δ Δ Δ ( 4γ) 4γ γ 1 x γ 4

25 x + x + γ = 0 x (x 1 + x ) x + x 1 x = 0 x Sx + P = 0 γ x x Ο ος όρος μις ριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι διφορά ω είι = 1 + ( 1)ω Μπορούμε όμως υπολογίσουμε κτευθεί το ο όρο μις ριθμητικής προόδου ως συάρτηση τω 1, ω κι ως εξής: Από το ορισμό της ριθμητικής προόδου έχουμε: 1 = 1 = 1 + ω 3 = + ω 4 = 3 + ω... 1 = + ω = 1 + ω Προσθέτοτς κτά μέλη της υτές ισότητες κι εφρμόζοτς τη ιδιότητ της διγρφής, ρίσκουμε = 1 + ( 1)ω Τρεις ριθμοί,, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου κι μόο ισχύει = γ Α πάρουμε τρεις διδοχικούς όρους,, γ μις ριθμητικής προόδου με διφορά ω, τότε ισχύει: = ω κι γ = ω, επομέως = γ ή = γ Αλλά κι τιστρόφως, γι τρεις ριθμούς,, γ ισχύει, τότε έχουμε: = + γ ή = γ, που σημίει ότι οι,, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. Ο λέγετι ριθμητικός μέσος τω κι γ Ο ος όρος μις γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι λόγο λ είι = 1 λ 1 Από το ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε: 1 = 1 = 1 λ 3 = λ... 1 = λ = 1 λ Πολλπλσιάζοτς κτά μέλη τις υτές ισότητες κι εφρμόζοτς τη ιδιότητ της διγρφής, ρίσκουμε = 1 λ Τρεις μη μηδεικοί ριθμοί,, γ είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, κι μόο ισχύει = γ Α πάρουμε τρεις διδοχικούς όρους,, γ μις γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει: γ = λ κι =λ, επομέως = ή = γ γ 5

26 Αλλά κι τιστρόφως, γι τρεις ριθμούς,, γ 0 ισχύει = γ, τότε έχουμε =, που σημίει ότι οι,, γ είι διδοχικοί όροι μις γεωμετρικής προόδου Πργοτοποίηση τριωύμου Το τριώυμο x + x + γ, 0 μετσχημτίζετι ως εξής: γ γ x x γ x x x x 4γ x. 4 x Επομέως: x + x + γ = (1) Δικρίουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: Δ > 0. Τότε ισχύει Δ = Δ οπότε έχουμε: Επομέως: x + x + γ = (x x 1 )(x x ), όπου x 1, x οι ρίζες του τριωύμου. Άρ ότ Δ > 0, τότε το τριώυμο μεττρέπετι σε γιόμεο του επι δύο πρωτοάθμιους πράγοτες. Δ = 0. Τότε πό τη ισότητ (1) έχουμε: x + x + γ =. Άρ ότ Δ = 0 τότε το τριώυμο μεττρέπετι σε γιόμεο του επί έ τέλειο τετράγωο. Δ < 0. Τότε ισχύει Δ = -Δ, οπότε έχουμε: x + x + γ =. Επειδή γι κάθε x IR, η πράστση μέσ στη γκύλη είι θετική, το τριώυμο δε λύετι σε γιόμεο πρωτοάθμιω πργότω.... Απόστση σημείω Έστω Oxy έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο κι Α (x 1,y 1 ) κι Β (x,y ) δύο σημεί υτού. Θ δείξουμε ότι οι πόστσή τους δίετι πό το τύπο: (AB) = Δ 4 Δ x + x + γ = x = Δ Δ Δ Δ x x x x x x Δ 4 γ (x x ) (y y ) 1 1 6

27 Από το ορθογώιο τρίγωο (ΑΒ) = (ΚΑ) + (ΚΒ) = x x 1 + y y 1 = (x x 1 ) + (y y 1 ) οπότε: (ΑΒ) = Δ KAB (x x ) (y y ) 1 1 του διπλού σχήμτος έχουμε: Ο πρπάω τύπος ισχύει κι στη περίπτωση που η ΑΒ είι πράλληλη με το άξο x'x (Σχήμ γ ) ή πράλληλη με το άξο y'y (Σχήμ δ ). Σχήμ Σχήμ = y x y x 1 1 Ας θεωρήσουμε τώρ δύο τυχί σημεί Α(x 1,y 1 ) κι Β(x,y ) της ευθείς y = x +. Τότε θ ισχύει: y 1 = x 1 + κι y = x +, Οπότε θ έχουμε y y 1 = (x + ) (x 1 + ) = (x x 1 ) Τότε: = y x y x 1 1 7

28 44... Σχετικές θέσεις ευθειώ Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες ε 1 κι ε με εξισώσεις y = 1 x + 1 κι y = x + τιστοίχως κι ς υποθέσουμε ότι οι ευθείες υτές σχημτίζου με το άξο x x γωίες ω 1 κι ω τιστοίχως. Α 1 =, τότε εφω 1 =εφω, οπότε ω 1 = ω κι άρ οι ευθείες ε 1 κι ε είι πράλληλες ή συμπίπτου. Ειδικότερ : Α 1 = κι 1 τότε οι ευθείες είι πράλληλες (Σχ. ), εώ Α 1 = κι 1 =, τότε οι ευθείες τυτίζοτι. Α 1, τότε εφω 1 εφω, οπότε ω 1 ω κι άρ οι ευθείες ε 1 κι ε τέμοτι. (Σχ. ) Σχήμ Σχήμ 8