Ηλίας Σκαρδανάς Μαθηματικός

Transcript

1 Ηλίς Σκρδάς Μθημτικός

2

3 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς Στθερές. π=, k. e=, k = lim +. e π =, K e. π =, K e.5 e = 5, K.6 = K.7 = K.8 5 =, K.9 e =, K.0 π=, k. log = 0, K. log = 0, K. loge = 0, K. log π= 0, K.5 ln = 0, K.6 ln =, K.7 ln0 =, K.8 ln π=,79886 K.9 γ= 0, K lim ln L (Euler).0 g; 9,8 Επιτάχυση της ρύτητς. Μθημτική Λογική.. Πίκες Αλήθεις. p q p p q p q p q p q p q Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α Α ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ ψ ψ Α Ψ ψ ψ Α Α. Ιδιότητες.. p = p.. ( p q) ( q p). Ατιθετοτιστροφή.

4 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ. Σύολ.. Α Β [ x Α x Β ]. Α Β ( x Α x Β) x Β x Α [ Α Β x Β x Α]. Α Β Β Α. Α=Β ( Α Β) ( Β Α).5 Α Β= : { x x Α x Β }.6 Α Β= : { x x Α x Β }.7 Α Β : = { x x Α x Β }.8 { } Α c : = x U x Β = U A.9 Α+Β= & : ( Α Β) ( Β Α).0 Α =, Α U. Α A= A, Α U. Α U= A, Α U. A B= B A, A U B U. A ( B Γ ) = ( A B ) Γ, A U B U Γ U.5 Α = A, Α U.6 Α A= A, Α U.7 Α U= U, Α U.8 A B= B A, A U B U.9 A ( B Γ ) = ( A B ) Γ, A U B U Γ U.0 A ( B Γ ) = ( A B ) ( Α Γ), A U B U Γ U. A ( B Γ ) = ( A B ) ( Α Γ), A U B U Γ U Συμολισμοί. L x = x : = x + x + x + + x i i i= i= () κ. xi = xi + xi i= i= i=κ, <κ<. λ xi =λ xi i= i=. ( ).5 x + y = x + y i i i i i= i= i= i= x = x

5 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς = µ µ.6 x ij : xij i= j = i= j = µ µ.7 xij = xij i= j = j = i= 5 Διωυμικοί Συτελεστές 5. Ορισμοί 5..!: = L, 5.. 0!: = 5..! : = κ κ! ( κ)! * 5. Ιδιότητες = κ κ + + = κ κ+ κ = 0 L ή 0 κ= 0 = κ L + ( ) = 0 ή ( ) L + = 0 6 ή κ= 0 = κ L + = 5 7 κ, όπου, όπου = 0 L ή κ= 0 κ = 0 κ µκ,, το κέριο μέρος του. κ= : περιττός :ά ρτιος µ µ µ µ µ = 0 κ κ κ K κ 0 κ ή µ µ+ = λ= 0 λ κ λ κ κ= 0 = κ 5

6 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ. 6 Άλγερ 6. Αξιοσημείωτες Τυτότητες 6.. ( ) + = ( ) = ( ) + = ( ) ( ) + = ( ) = ( ) ( ) =. ++γ = + +γ + + γ+ γ ( ) 6..8 ( ) ( )( )( ) ++γ = + +γ + + +γ γ ( +)( ) =. x x = x + x ( )( ) ( ) 6.. = ( )( ) = ( +)( + + ) 6.. ( )( ) L,. L, περιττός + +γ γ = ++γ + +γ γ γ γ γ = ( ++γ) ( ) + ( γ ) + ( γ ) 6..5 ( ) κ κ + = κ= 0 κ. = κ= 0 κ 6..6 ( ) ( ) κ κ κ. Διωυμικός τύπος του Νεύτω.. Τυτότητ Euler. 6. Χρήσιμες Αισότητες ( ) x 0, x. + ±,,. + ±.,, + +γ +γ+γ,, γ, + +, >. Αισότητ Bernoulli. 6

7 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς 6. Απόλυτη τιμή. 6.. x x 0 x: =. x x < ,. 6.. = =,. 6.., x = x =± x ε ε x ε x 0 ( x ήx ) =,, =,, * ± +,,. 6. Τριώυμο Δευτέρου Βθμού. π ( x) = x + x +γ, = γ. Δικρίουσ. ( ) ( ) ( ) ( ) < 0 Τοπ x δεέχειπργµτικέςρζες ί. = 0 Τοπ x έ χειµπργµτικ ί ή ρζ ί διπλ ή. > 0 Τοπ x έ χειδοπργµτικ ύ έ ςρζες ί ά ισες. 6.. ρ, = = ± γ ± 6.. ( x) ( x )( x ) π = ρ ρ S=ρ+ρ =., έι 0. γ 6..6 P=ρ ρ = π ( x) = x Sx+ P ( ) ( ) {} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < 0 π x > 0, x. = 0 π x > 0, x ρ, πρ = 0. > 0 π x > 0, x, ρ ρ, +. π x < 0, x ρ, ρ 7

8 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ. 7 Ειδικοί Κλάδοι. 7. Αριθμητική Πρόοδος = +ω, =,,, K 7.. ( ) =+ ω, =,,, K + Σ = = + ω 7.. ( ). 7..,,γ διδοχικοί όροι.π. =+γ. 7. Γεωμετρική Πρόοδος = λ, =,,, K = λ = K,,,, ( ) λ λ = λ λ λ Σ =. λ= 7.. Α λ< τότε Σ =. λ 7..5,,γ διδοχικοί όροι γ.π. = γ. 7. Αρμοική Πρόοδος. 7.. = +ω ,,γ διδοχικοί όροι ρμοικής προόδου γ = +γ. 7. Λογάριθμοι. 7.. ( ) 7.. log x y = log x+ log y, x > 0, y> 0. x log = log x log y, x > 0, y > 0. y 7.. ( ) log x = log x, x > 0,. 7.. logx = log0 x lnx = loge x log x log x = log. 8

9 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς 7.5 Συδυστική Μετθέσεις τω στοιχείω: Μ =! Διτάξεις τω μ στοιχείω σε θέσεις: 7.5. Διτάξεις τω μ στοιχείω σε θέσεις με επάληψη: 7.5. Συδυσμοί τω μ στοιχείω ά. µ µ! =. µ! ( ) µ Ε =µ. µ µ! =!( µ )!. 7.6 Σττιστική. κ 7.6. i = : μέγεθος, i: συχότητες. i= i 7.6. f i =, =,, L, κ fi: σχετικές συχότητες. x+ x + L+ x 7.6. x: = = x κ κ 7.6. x = ixi = fx i i i= i= i= xt = t Μ= : xt + x t+ = t κ κ r: = i xi x = fi xi x i= i= i Μέση τιμή. Διάμεσος. Μέση πόλυτη πόκλιση. S : x x = i Δικύμση (μέση τετργωική πόκλιση). i= ( ) S : x x x x κ κ = i i = i i i= i= ( ) S= x x κ i i Τυπική πόκλιση. i= 9

10 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ. 7.7 Πιθότητες. Ω: Δειγμτικός χώρος 7.7. ω Ω ω: πλό ή στοιχειώδες εδεχόμεο p( ω) Πιθότητ του στοιχειώδους εδεχομέου { } Α= ω, ω, K, ωκ Ω Εδεχόμεο Α = ( ω ) + ( ω ) + + ( ω ) p(a): p p p κ L Πιθότητ εδεχομέου Α Ω p( ) = 0 Αδύτο εδεχόμεο ( ) i Βέιο γεγοός. : ο πληθάριθμος του Ω. i= p( Ω ) = p ω = Α ( ω ) = ( ω ) = = ( ω ) p p p Α ω, i=,,, i p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) L Ισοπίθ στοιχειώδη εδεχόμε. L ισοπίθ στοιχειώδη εδεχόμε τότε ( ) N( A) p A = N( ) A B= p( A B) = 0 Ασυμίστ εδεχόμε. c 7.7. p( A ) = p( A) 7.7. p( A B c ) = p( A) p( A B) Ω. 8 Τριγωομετρί 8. Τριγωομετρικός κύκλος. 8.. Ορισμοί: ηµω=ορ : συω=οπ : εϕω=ασ : σϕω=βτ : ημ( ) Β Ρ Μ εφ( ) Τ Σ σφ( ) 8.. ο µ rad gr = = ο 80 π 00 rad gr Ο ω Π Α συ( ) 8.. Πρόσημ τριγωομετρικώ ριθμώ: Τετρτημόριο ο ο ο ο Ημίτοο + +fl Συημίτοο +fl + Εφπτομέη + + Συεφπτομέη +fl +fl 0

11 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς 8. Βσικά τόξ. x (κτίι) x (μοίρες) 0 ηµ x 0 συ x εϕ x 0 π 6 π π 0 ο 0 ο 5 ο 60 ο 90 ο 80 ο 70 ο 60 ο σϕ x 8. Αγωγή στο πρώτο τετρτημόριο 8. Βσικές Τριγωομετρικές Τυτότητες ηµ x+ συ = ηµ x εϕ x =. συ x συ x σϕ x =. ηµ x 8.. εϕx σϕ x = π π π π Βλέπε πίκ στο τέλος του τυπολογίου. x - θ π π π - θ + θ π- θ π+ θ + θ π+ θ ηµ x - ηµθ συθ συθ ηµθ - ηµθ - συθ ηµθ συ x συθ ηµθ - ηµθ - συθ - συθ ηµθ συθ εϕ x - εϕθ σϕθ - σϕθ - εϕθ εϕθ - σϕθ εϕθ σϕ x - σϕθ εϕθ - εϕθ - σϕθ σϕθ - εϕθ σϕθ 8.5 Άθροισμ ή διφορά τόξω ηµ ( + ) =ηµ συ+συ ηµ 8.5. ηµ ( ) =ηµ συ συ ηµ 8.5. συ( + ) =συ συ ηµ ηµ 8.5. συ( ) =συ συ+ηµ ηµ

12 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ ( ) εϕ + = ( ) εϕ = ( ) εϕ+εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ +εϕ εϕ σϕ σϕ σϕ + = σϕ+σϕ σϕ σϕ+ σϕ = σϕ σϕ ( ) 8.6 Πολλπλσίου τόξου ηµ = ηµ συ 8.6. συ=συ ηµ = ηµ = συ εϕ 8.6. εϕ= εϕ σϕ= σϕ σϕ ηµ = ηµ ηµ συ = συ συ εϕ= σϕ= εϕ εϕ εϕ σϕ σϕ σϕ 8.7 Εκφράσεις με άση το συημίτοο του διπλάσιου τόξου ηµ=± συ=± εϕ=± συ +συ συ +συ 8.7. σϕ=± +συ συ 8.8 Εκφράσεις με άση τη εφπτομέη του τόξου ηµ=± συ=± εϕ +εϕ εϕ +εϕ

13 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς 8.8. ηµ = εϕ +εϕ συ = εϕ +εϕ σϕ= εϕ εϕ 8.9 Μετσχημτισμοί 8.9. ηµ συ= ηµ ( + ) +ηµ ( ) 8.9. συ συ= συ( + ) +συ( ) 8.9. ηµ ηµ= συ( ) συ( +) ηµ+ηµ= ηµ συ ηµ ηµ= ηµ συ συ+συ= συ συ συ συ= ηµ ηµ 8.0 Τυτότητες γι στοιχεί τριγώου εϕα+εϕβ+εϕγ=εϕα εϕβ εϕγ Α Β Γ 8.0. ηµα+ηµβ+ηµγ= συ συ συ Α Β Γ 8.0. συα+συβ+συγ= + ηµ ηµ ηµ 8.0. ηµ Α+ηµ Β+ηµ Γ= ηµα ηµβ ηµγ συα+συβ+συγ= συα συβ συγ Α Β Γ Α Β Γ σϕ +σϕ +σϕ =σϕ σϕ σϕ σϕα σϕβ+σϕβ σϕγ+σϕγ σϕα= Α Β Β Γ Γ Α εϕ εϕ +εϕ εϕ +εϕ εϕ = γ = = = R Νόμος ημιτόω. ηµα ηµβ ηµγ

14 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ = +γ γ συα =γ + γ συβ γ = + συγ 8. Τριγωομετρικές Εξισώσεις. 8.. x = κπ+ ηµ x =ηµ, κ. x = ( κ+ ) π 8.. συ x =συ x = κπ±, κ. 8.. εϕ x =εϕ x =κπ+, κ. 8.. σϕ x =σϕ x =κπ+, κ Νόμος συημιτόω. 9 Μιγδικοί Αριθμοί. 9. Θεμελίωση. 9.. Δεχόμστε τη ύπρξη μη πργμτικού ριθμού i i =. Φτστική Μοάδ. 9.. : { xi, x } Ι=. Σύολο Φτστικώ Αριθμώ. 9.. : = { z= x+ yi, x,y } 9... Σύολο Μιγδικώ Αριθμώ. ( ) x: = Re z Πργµτικ όµροςτου έ z z z= x+ yi κι y: = Im( z) Φτστικ ό µροςτου έ z z = x+ yi 9..5 Βσική Ισότητ. Α z = x + yi 9..6 Συζυγής του z. Α z z= x+ yi τότε z = x yi. x = x Re( z) = Re( z) τότε z = z κι κι y = y Im( z ) = Im( z )

15 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς 9. Πράξεις Μιγδικώ Αριθμώ. z = x + yi z = x + yi 9.. Πρόσθεση στο : + = ( + ) + ( + ) z z x x y y i 9.. Re( z + z ) = Re( z ) + Re( z ) κι Im( z + z ) = Im( z ) + Im( z ) 9.. Ουδέτερο Στοιχείο (Μηδεικός): 0= 0+ 0i = + = ( z) 9.. Συμμετρικό Στοιχείο (Ατίθετος): z x yi z x yi z = x + yi z = x + yi 9..5 Αφίρεση στο : = ( ) + ( ) z z x x y y i 9..6 Re( z z ) = Re( z ) Re( z ) κι Im( z z ) = Im( z ) Im( z ) z = x + yi z = x + yi = z 9..7 Πολλπλσισμός στο : = ( ) + ( + ) 9..8 Ουδέτερο Στοιχείο (Μοδιίος): = + 0i 9..9 Συμμετρικό Στοιχείο (Ατίστροφος): zz xx yy xy xy i x y = + = x + y x + y z x yi 0 z i z = x+ yi z xx + yy xy xy 9..0 Διίρεση στο : = + * i z = x + yi z x + y x + y 9.. Τετργωική Ρίζ μιγδικού ριθμού z: άγετι σε λύση συστήμτος x. w w = z. Ο προσδιορισμός της 9. Ιδιότητες Συζυγώ Μιγδικώ. 9.. ( z) = z, z 9.. z+ z = Re( z ), z 9.. z z = Im( z) i, z z z = Re z + Im z, z 9.. ( ) ( ) 9..5 z+ z = z+ z, z,z 9..6 z+ z + L+ z = z+ z+ L + z, z κ, κ=,, K, 9..7 z z = z z, z,z 9..8 z z = z z, z,z 9..9 z z K z = z z K z, z κ, κ=,, K, 9..0 z z * =, z, z z z 5

16 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ. 9. Μέτρο Μιγδικού Αριθμού. 9.. ( ) ( ) z: = Re z + Im z, z. 9.. z = z = z = z 9.. z = z z, z. 9.. z = 0 z= z = z z z = z z I 9..7 z z = z z, z,z 9..8 z z z =, z, z. * z 9..9 z z z+ z z + z, z,z z z = z z ( + )( γ +δ ) = ( γ+δ)( δ γ) Προϕής. Τυτότηττου Lagrange Α z z =+i =γ+δi 6

17 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς 9.5 Γεωμετρική πράστση Μιγδικού Αριθμού. (Μιγδικό Επίπεδο) 9.5. z z= x+ yi. Γεωμετρική εικό του z: Τετμημέη: Πργμτικό μέρος. (Πργμτικός Άξω) Τετγμέη: Φτστικό Μέρος. (Φτστικός Άξω) z =ρ uuuur z x,y M OM ρω, ( ) ( ) Im(z) y O ω ρ x Μ(z) Re(z) 9.5. z z= x+ yi. Συμμετρίες στο Μιγδικό Επίπεδο. Im(z) Λ(-z) -x y O ω ρ x Μ(z) Re(z) z Μ z N z Σ z Λ Σ(-z) -y N(z) 9.5. Εικόες θροίσμτος κι διφοράς y Μ(z) Σ(z+z) z z M N T(z-z) y N(z) z z + z Σ z Τ Λ(-z) O x x uuur uuuur z z = OT = MN 7

18 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ. 9.6 Τριγωομετρική Μορφή Μιγδικού Αριθμού Θεωρώτς τη γωί ω του σχήμτος της 9.5. προστολισμέη κτά τη θετική φορά (Αρχική πλευρά η Ox κι τελική ο ΟΜ) έχουμε: z=ρσυω+ηµω ( i ) 9.6. Α ω [ 0,π ) τότε Arg(z) =ω λλιώς arg(z) = κπ+ Arg(z) z= z συ arg( z) + i ηµ arg( z) 9.6. z =ρ συ( ω ) +ηµ i ( ω). Τύπος του de Moivre. 0 Αάλυση 0. Όρι. Ορισμοί. 0.. lim f ( x) = l ε> 0 δ δε ( ) > 0 f ( x ) ( l ε, l +ε ) x ( x δ,x +δ ) x xo 0.. lim f ( x) =+ Μ > 0 δ δ ( M) > 0 f ( x) >Μ x ( x δ,x +δ ) x xo 0.. lim f ( x) = Μ > 0 δ δ ( M) > 0 f( x) < Μ x ( x δ,x +δ ) x xo 0.. ( ) l ( ) ( ) ( l l ) lim f x = ε> 0 x x ε > 0 f x ε, +ε x > x o o 0 x ( ) ( ) ( ) lim f x =+ M > 0 x x M > 0 f x > M x > x o o 0 x ( ) ( ) ( ) lim f x = M > 0 x x M > 0 f x < M x > x o o 0 x ( ) l ( ) ( ) ( l l ) lim f x = ε> 0 x x ε > 0 f x ε, +ε x< x o o 0 x 0..8 ( ) ( ) ( ) lim f x =+ M > 0 x x M > 0 f x > M x< x o o 0 x 0..9 ( ) ( ) ( ) lim f x = M > 0 x x M > 0 f x < M x< x o o 0 x 0..0 ( ) ( ) limf x = L Π Π L σ f x Π L x Π x σ σ όπου ή ή ( ), L ή L =+ ή L= ( L % ) σ σ=+ σ= σ % Πx συμολίζουμε μι περιοχή του x. o κι με o o o o o 0. Όρι. Ιδιότητες. 0.. ( ) ( ) limf x = l lim f x l = 0 x σ x σ 0.. limf ( x) l lim f ( x) x σ = = l x σ 0.. limf ( x) l f( x) x σ l l = < < 0.. lim λ f ( x) =λlimf( x) x σ x σ 8

19 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς 0. Όρι. Πράξεις. 0.. lim f ( x) + g( x) = limf ( x) + limg( x) Α υπάρχου τ όρι τω f κι g στο σ % x σ x σ x σ 0.. lim f ( x) g( x) = limf( x) limg( x) Α υπάρχου τ όρι τω f κι g στο σ % x σ x σ x σ 0.. lim f ( x) g( x) = limf( x) limg( x) 0.. Α υπάρχου τ όρι τω f κι g στο σ % x σ x σ x σ ( ) ( ) x σ ( ) ( ) f x limf x x σ lim = x σ g x limg x κλώς τ κλάσμτ lim f( x) limf ( x) x σ ρίζες. x σ Α υπάρχου τ όρι τω f κι g στο σ % κι ορίζοτι = Α υπάρχει το όριο της f στο σ % κι ορίζοτι κλώς οι 0. Πράγωγοι. Ορισμοί. 0.. ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) f x f x f x h f x f x ο : = lim lim x x h x xo h 0 o 0.. f πργωγίσιμη στο xo o o o ( ) f ( x ). Πράγωγος Αριθμός της f στο xo. f x ο ε> 0 δ δε ( ) > 0 f ( xo) <ε x µε 0< x xo <δ κτά x xo Cauchy f πργωγίσιμη στο Δ f ( xο) xo 0.. Α f πργωγίσιμη στο Δ τότε η συάρτηση f : :x f ( x) πράγωγος συάρτηση της f = [ ] f : f λέγετι 0.5 Πράγωγοι. Πράξεις [ ] 0.5. [ ] 0.5. [ ] f + g = f + g f g = f g f g = f g+ f g f f g f g 0.5. = g g [ f o g] ( xo) = f ( g( xo) ) g ( xo) 9

20 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ. 0.6 Πράγωγοι. Βσικές συρτήσεις [ c] = [ x] = = x x, x =, x x = x * x, x, + * + * x = x, x +, = x x e, x x x * = lna, x, + lnx =, x + x log x =, x, x ln [ ] * [ ] * * 0.6. [ x] 0.6. [ x] ηµ =συ x συ = ηµ x = συ x σϕ x = ηµ x 0.6. [ εϕ x] 0.6. [ ] τοξηµ x = [ ] x [ τοξσυ x] = τοξεϕ = + x τοξσϕ x = + x [ x] x [ ] 0

21 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς 0.7 Πράγωγοι. Σύθετες συρτήσεις ηµ f ( x) = f ( x) συ f ( x) 0.7. συ f ( x) = f ( x) ηµ f ( x) εϕ = συ 0.7. f ( x) σϕ = 0.7. f ( x) f = f x f( x) lnf ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ηµ f ( x) ( x) ( ) ( x) ( ) f = f x ( ) = ( ) ( ) f x f x e f x e 0.8 Πράγωγοι. Θεωρήμτ. [ ] f, : συεχής 0.8. Θεώρημ Rolle. f (, ) : πργωγί σιµη ξ (, ) f ( ξ ) = 0 f( ) = f( ) 0.8. Θεώρημ Lagrange (Θ.Μ.Τ.). [ ] ( ) ( ) ( ) f, : συεχής f f ξ (, ) f ( ξ ) = f, : πργωγίσιµη 0.8. Θεώρημ Cauchy. [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) f,g, : συεχείς g κι f,g, : πργωγίσιµες f ( ξ) f f (, ) g x 0 x, ξ = g ( ξ) g g 0.8. Θεώρημ του Taylor. [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f, : πργωγίσιµη ( ) f, : συεχ ή ς ξ (, ) f ( ) = f ( ) + ( ) f ( ) + f ξ f, : πργωγ ί σιµη ( )

22 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ. 0.9 Ολοκληρώμτ. Ορισμέ ολοκληρώμτ ( ) f x dx: = lim f +κ κ= 0.9. ( ) + ( ) = ( ) + ( ) f x g x dx f xdx g xdx 0.9. λ f ( x) dx =λ ( ) f x dx γ 0.9. ( ) = ( ) + ( ) f x dx f x dx f x dx γ minf( ) ( ) f( x) dx maxf( ) ( ) ( ),, f x dx = f ( x) dx = ( ) f x dx f ( x) dx = f( ) f ( ) = x f () t dt f ( x ) gx ( ) f () t dt = f g ( x ) g x ( ) ( ) 0.9. ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x f x g x dx g( ) 0.9. ( ( )) ( ) = ( ) f g x g x dx f ydy f x dx 0.9. f = ( ) ( ) g

23 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς 0.0 Ολοκληρώμτ. Αόριστ Ολοκληρώμτ. f xdx = f x + c 0.0. ( ) ( ) 0.0. dx = x+ c dx = ln x + c x + x xdx = + c ηµ xdx = συ x+ c συ xdx =ηµ x+ c dx = σϕ x+ c ηµ x dx =εϕ x+ c συ x x x edx = e + c x x dx = + c ln Γεωμετρί.. Λόγοι.. Θεώρημ Θλή: B A Α' Β' (ε) ΑΒ ΒΓ Γ = = ΑΒ ΒΓ Γ Δ Γ Γ' Δ' (ε) (ε) (ε) (η) (η)

24 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ... Όμοι Τρίγω:... Ορισμός: Α=Α ˆ ˆ ˆ ˆ V V Β=Β ΑΒΓ ΑΒΓ ˆ ˆ οµ Γ=Γ ΑΒ ΒΓ ΓΑ = = ΑΒ ΒΓ ΓΑ B A Β' Γ Α' Γ'... Α Κριτήριο: ˆ ˆ V V Α=Α ΑΒΓ ΑΒΓ ˆ ˆ οµ Β=Β (ισχύου κυκλικά.)... Β Κριτήριο:... Γ Κριτήριο: ΑΒ ΒΓ = V V ΑΒ ΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ οµ Β=Β ˆ ˆ ΑΒ ΒΓ ΓΑ V V = = ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒ ΒΓ ΓΑ οµ (ισχύου κυκλικά.).. Ίσ Τρίγω:... Ορισμός: Α=Α ˆ ˆ Β=Β ˆ ˆ Γ=Γ ˆ ˆ ΑΒΓ=ΑΒΓ ΑΒ=ΑΒ ΒΓ=ΒΓ ΓΑ=ΓΑ B A Β' Γ Α' Γ'... Α Κριτήριο: ΑΒ=ΑΒ ΒΓ=ΒΓ ΑΒΓ=ΑΒΓ. ΓΑ=ΓΑ... Β Κριτήριο: ΑΒ=ΑΒ ΒΓ=ΒΓ ΑΒΓ=ΑΒΓ ˆ ˆ Β=Β (ισχύου κυκλικά.) ΑΒ=ΑΒ... Γ Κριτήριο: ˆ ˆ Α=Α ΑΒΓ=ΑΒΓ (ισχύου κυκλικά.) Β=Β ˆ ˆ

25 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς. Μετρικές Σχέσεις σε ορθογώι τρίγω. A υ R μ B Δ Κ=Μ Γ V V V ΑΒΓ ΒΑ ΑΓ οµ οµ = Γ κι γ = Β. = +γ Πυθγόρειο Θεώρημ. υ =Β Γ...5 γ= υ..6 + = γ υ..7 Α ( ˆ 60 ο ˆ ο 0 ) Β= Γ= τότε γ=µ =ΒΜ =ΜΓ=. Α =υ 5

26 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ.. Μετρικές Σχέσεις σε τυχί τρίγω. A Δ υ δ ρ Ο R μ Κ Ε B Δ Ν Μ Γ.. =ΒΓ :, =ΑΓ :, γ=αβ : Πλευρές. υ : =Α Ύψος. µ : =ΑΜ Διάμεσος. δ : =ΑΝ Εσωτερική Διχοτόμος. : =ΑΕ Εξωτερική Διχοτόμος. ( Ορ, ) Εγγεγρμμέος Κύκλος. ( Κ,R) Περιγεγρμμέος Κύκλος. ++γ.. τ= : Ημιπερίμετρος ΝΒ ΕΒ ΑΒ.. = = ΝΓ ΕΓ ΑΓ Θεώρημ διχοτόμω. γ... ΒΝ = +γ Πόρισμ Ι θεωρήμτος διχοτόμω ΝΓ= +γ γ ΕΒ= γ ΕΓ= γ Πόρισμ ΙΙ θεωρήμτος διχοτόμω. Πόρισμ ΙΙΙ θεωρήμτος διχοτόμω. Πόρισμ ΙV θεωρήμτος διχοτόμω... Τ Ε κι Ν λέγοτι ρμοικά συζυγή τω Β κι Γ. Τ Β κι Γ λέγοτι ρμοικά συζυγή τω Ε κι Ν...5 Τ Ε,Β,Ν,Γ λέγοτι ρμοική τετράδ. 6

27 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς ˆ ο 90 Β< ΑΓ =ΑΒ +ΒΓ ΒΓ Β ˆ ο Β> 90 ΑΓ =ΑΒ +ΒΓ + ΒΓ Β γ + Β = +γ = µ +. ο Θεώρημ Διμέσω. γ = Μ ο Θεώρημ Διμέσω. Εκτετμέο Πυθγόρειο Θεώρημ. + γ µ = Πόρισμ θεωρήμτος διμέσω. + + = υ υ υ ρ γ Ε= υ Εμδό... Ε= τ ( τ )( τ )( τ γ ) Τύπος του Ήρω... υ =..5 Ε=τ ρ..6 γ Ε= R ( )( )( ) τ τ τ τ γ. Πολύγω... Ορθογώιο: Περίμετρος Εμδό Π= + Ε=.. Πρλληλόγρμμο: Περίμετρος Π= + Εμδό.. Τρπέζιο: Διάμεσος Ε= υ= ηµω + δ= ω υ Περίμετρος Εμδό υ υ Π=++ + συω συϕ E + = υ=δ υ Μ ω υ μ Ν φ 7

28 Ηλίς Σκρδάς... Ρόμος: Περίμετρος Π= δ δ Εμδό Ε= = υ Τυπολόγιο Μθημτικώ. A δ B δ υ Δ Γ.5 Κοικά Πολύγω.5. Κοικό Τρίγωο (Ισόπλευρο): Πλευρά λ = R A Απόστημ = R λ Κετρική γωί ο Γωί ϕ= ˆ 80 ω= ˆ 60 ο 60 ω= ˆ = 0 ο ο B R ω Κ φ Γ R λ Ύψος υ= = Εμδό Ε= R =λ.5. Κοικό Τετράπλευρο (Τετράγωο): Πλευρά λ = R Απόστημ = R A ω Δ Κετρική γωί ο Γωί ϕ= ˆ 80 ω= ˆ 90 Εμδό ο 60 ω= ˆ = 90 ο Ε=λ = R ο B λ R φ Γ 8

29 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς.5. Κοικό Εξάγωο: Πλευρά λ 6 = R Α Α Α Α Ζ Απόστημ 6 = R Α φ φ Α 0 Κετρική γωί o 60 ω= ˆ = 60 6 o Α Β R R ω K K Α 9 Ε Γωί ϕ= ˆ ω= ˆ o o 80 0 Α λ 6 λ 6 Α 8 Εμδό E= R Α 5 Γ Α 6 Α 7 Δ.5. Κοικό Οκτάγωο: Πλευρά λ 8 = R Θ Η Απόστημ 8 = R + A φ Ζ Κετρική γωί Γωί ϕ= ˆ ω= ˆ o o 80 5 o 60 ω= ˆ = 5 8 o B R ω 8 λ 8 E Εμδό E= R Γ Δ.5.5 Κοικό Δεκάγωο: Πλευρά 5 λ =R 0 Α Α φ Α 0 Α = R Απόστημ Κετρική γωί Γωί ϕ= ˆ ω= ˆ o o 80 o 60 ω= ˆ = 6 0 o Α R K ω λ 0 0 Α Α 5 Α 6 Α 7 Α 8 Εμδό E= R.5.6 Κοικό Δωδεκάγωο: Πλευρά λ = R Απόστημ = R + 9

30 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ. Κετρική γωί Γωί Εμδό o 60 o ω= ˆ = 0 o ϕ= ˆ 80 ω= ˆ 50 E = R o.5.7 Κοικό -γωο: Κετρική γωί ο 60 π ω= ˆ = rad Α Α - Πλευρά 80 λ = R ηµ ο A φ Α - Απόστημ 80 = R συ ο R ω Κ λ + = R Α λ Γωί ο ϕ= ˆ 80 = π rad Α Α Περίμετρος Εμδό 80 Π= λ = R ηµ 60 Ε= λ = R ηµ ο ο 0

31 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς.5.8 Κοικό -γωο κι -γωο:.5.8. ω ˆ ˆ = ω Α.5.8. ϕ 80 ο = +ϕ.5.8. ( R ) λ + =λ A φ Κ Α R ω ω λ Α Α φ λ.5.9 Κύκλος: Α Α Μήκος κύκλου (Περιφέρει): L= π R R Εμδό κύκλου (Δίσκου): Ε=π R.5.0 Κυκλικός τομές τμήμ: ϕ Μήκος τόξου: Sϕ = L AB» = π R o 80 ω Sω = L» = π R Γ o 80 Εμδό Κυκλικού Τομέ: ϕ Ε ϕ =Ε.» = π R ΚΑΒ ο 60 ω Ε ω =Ε.» = π R ΚΓ ο 60 Α S φ Β φ Κ Γ ω S ω Δ Εμδό Κυκλικού Τμήμτος: ϕ R 80. Ε ΑΒ = ηµϕ o.5. Έλλειψη: ΜΕ +ΜΕ =ΑΒ Περίμετρος: Γ Μ ΑΒ Γ Π π + Εμδό: ΑΒ Γ Ε=π A r r E E Δ B

32 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ..5. Ορθογώιο Πρλληλεπίπεδο: Επιφάει: Ε= +γ+γ ( ) Όγκος: V = γ γ.5. Πλάγιο Πρλλλεπίπεδο: Επιφάει: Ε= ( υ + υ +γ υ γ) Ύψος υ=γ ηµθ Όγκος: V= S υ= υ υ θ υ S υ γ υ γ υ.5. Πρίσμ: Ύψος: υ=λ ηµϕ Επιφάει: Το άθροισμ τω εμδώ τω εδρώ. λ υ λ Όγκος: V= S υ φ S.5.5 Πυρμίδ: Επιφάει: Ε= S+ υ i i i= Ο Όγκος: V= S υ υ υ S.5.6 Κοική Πυρμίδ: h Επιφάει: Ε= λ υ= λ ηµϕ Ο Ύψος: h =υ ηµϕ μ Όγκος: Sh λ υ φ h S

33 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς.5.7 Κύλιδρος: Εμδό Βάσης: S =πρ Πράπλευρη Επιφάει: Ε = πρυ Ολική Επιφάει: Ε= πρ( ρ+υ ) π υ Όγκος: V =πρ υ ρ S.5.8 Πλάγιος Κύλιδρος: Ύψος: υ=λ ηµθ Εμδό Βάσης: Ε =πρ λ υ υ Πράπλευρη επιφάει: Ε π = πρλ= πρ ηµθ θ ρ Όγκος: V =πρ υ.5.9 Ορθός Κώος: Ύψος: υ=λ ηµθ Εμδό Bάσης: Ε =π R υ λ Εμδό Κωικής Επιφάεις: πrυ Ε π =πrλ= =π R ηµθ R +υ R θ Όγκος: V R = π υ.5.0 Κόλουρος Κώος: Ύψος: υ=λ ηµθ= υ + ( R ρ ) υ ρ λ Εμδό άσεω: Ε=π ( R +ρ ) Εμδό κωικής Επιφάεις: Ε =π ( R ) π +ρλ R θ Όγκος: V= πυ ( R + Rρ+ρ ).5. Σφίρ: Εμδό Επιφάεις: Όγκος: Ε= π R V= π R R

34 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ..5. Σφιρικό Τμήμ: Ακτί Βάσης: ρ= h( R h) R-h h ρ R Εμδό Σφιρικής Επιφάεις: Ε= π Rh R Όγκος: V= πh ( R h) Αλυτική Γεωμετρί. Διύσμτ.. Γεικά... Χρκτηριστικά Διύσμτος x r :. Διεύθυση.. Φορά κι γ. Μέτρο. Συμολίζετι με x r.. Πράλληλ ή συγγρμμικά διύσμτ λέγοτι υτά που έχου τη ίδι διεύθυση... Ομόρροπ λέγοτι τ συγγρμμικά διύσμτ που έχου r τη ίδι φορά. r.. Ατίρροπ λέγοτι τ συγγρμμικά διύσμτ που έχου r r τίθετες φορές. γ..5 Ίσ λέγοτι τ διύσμτ που είι ομόρροπ κι έχου ίσ μέτρ...6 Ατίθετ λέγοτι τ διύσμτ που είι τίρροπ κι έχου ίσ μέτρ...7 Γωί δύο διυσμάτω r κι r λέγετι η προστολισμέη γωί τους ( r, r ) (όπως στο σχήμ). Ο (a,ß) Β Α r r 0 (, ) < 60 ο r r ( ) ( r r, = 60, ) ο r r r r (, ) = 0 ο κι r r r r (, ) = 80 ο γ

35 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς. Πρόσθεση διυσμάτω. uuuuur r r.. Το άθροισμ + τω διυσμάτω κι ορίζετι σ το διάυσμ που έχει, ρχή τη ρχή του πρώτου κι πέρς το πέρς του δεύτερου, υτά γίου διδοχικά... Ιδιότητες θροίσμτος: r r r r r r... +=+,, V r r r r r r r r r + +γ=+ +γ γ r r r r r r r... 0 V + 0= 0 +=, V... ( ) ( ),,, V Ατιμετθετική. Προσετιριστική. Ουδέτερο στοιχείο (Μηδεικό διάυσμ). Το μηδεικό διάυσμ θεωρείτι ότι έχει οποιδήποτε διεύθυση, οποιδήποτε φορά κι μηδεικό μέτρο. r r r r r r V, V + = += 0 r Συμμετρικό στοιχείο (Ατίθετο... ( ) ( ) ( ) του r διάυσμ.. Αφίρεση διυσμάτω. r r r r =+ :.. ( ) Ο - -. Πολλπλσισμός διύσμτος με ριθμό. r r = 0 λ= 0 r r r r r r.. =λ κι =λ λ> 0 r r r r κι =λ λ< 0.. Ιδιότητες: r r r r r r... λ + ( ) =λ +λ, λ,, V Επιμεριστική Ι r r r r... ( λ+µ ) =λ +µ, λ, µ, V Επιμεριστική ΙΙ 5

36 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ..5 Συστήμτ Αφοράς..5. Άξος ( Ο,i r ). Το ζεύγος που ποτελείτι πό το σημείο Ο κι το διάυσμ r i ορίζου τη ευθεί που περά πό το Ο κι είι πράλληλη με το διάυσμ i r που λέγετι άξος (,i) r.5. Α ( ) Ο r. To r i είι το μοδιίο διάυσμ του άξο. uuuur r Μ Ο,i x ΟΜ = x i Ο rr r r. Α i P j τότε ορίζοτι δύο άξοες ( Ο,i r ) κι ( Ο,j r ) που y τέμοτι στο Ο. (Ορίζου έ επίπεδο). Οι δύο άξοες ποτελού έ σύστημ κρτεσιώ συτετγμέω..5. Σύστημ ξόω (,i,j).5.. Α τότε το σύστημ λέγετι κοικό. r r.5.. Α i j τότε το σύστημ λέγετι ορθογώιο. r r r r.5.. Α i j κι i = j τότε το σύστημ.5. Α Μ σημείο του επιπέδου (,i,j). Το x λέγετι τετμημέη του σημείου Μ. Μ ( x) λέγετι ορθοκοικό. Ο rr τότε uuuur r r x,y ΟΜ = x i + y j. Το x λέγετι τετμημέη του Μ κι το y λέγετι τετγμέη του Μ κι ποτελού τις συτετγμέες του Μ..5.5 Συτετγμέες διύσμτος r, είι οι συτετγμέες του πέρτος Α, του διύσμτος, η ρχή του συμπέσει με τη ρχή τω ξόω. r uuur x =ΟΑ= y.5.6 Απόστση Σημείω: d x x y y ( ) = ( B A) + ΑΒ, ( B A).5.7 Μέτρο διύσμτος: uuur ΑΒ = d ΑΒ, = x x + y y ( ) ( ) ( ) B A B A y Ο y y Ο x x x Μ Α Μ 6

37 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς.6 Χρήσιμες Προτάσεις. uuur uuur uuur.6. ΑΒ=ΟΒ ΟΑ uuur x x AB = y y uuur uuur uuuur ΟΑ+ΟΒ ΟΜ = y.6. Κλίση λ uuur = AB x y x r r x y.6.5 P = 0 y Α x y uuur uuur.6.6 Α, Β, Σ, συευθεικά λ, λ ΑΣ=λ ΣΒ Ο x x.6.7 Α, Β, Σ, συευθεικά uuur uuur uuur ΟΑ+λ ΟΒ λ, λ ΟΣ= +λ r r.6.8 Το κ +λ µε κ+λ 0 λέγετι γρμμικός συδυσμός τω r κι r. Α r P r τότε τ r, r r r r, γ=κ +λ µε κ+λ 0λέγοτι γρμμικώς εξρτημέ κι είι συεπίπεδ..6.9 r r r r r r P κ +λ = 0 κ=λ= 0, : γρμμικώς εξάρτητ..6.0 V uuur uuur uuur r G: ρύκετρο του τριγώου ΑΒΓ GΑ+ GΒ+ GΓ= Εμδό Τριγώου: x y Ε= x y x y γ γ y y Ο Α x y γ y y y A x Β Α y Ο B Γ Μ Β Β x' Ο x x x γ x y' 7

38 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ..7 Εσωτερικό γιόμεο. r r r r r r r r r r συ (, ) Ορισμός: : =. r r r r 0 = 0 = 0.7. Ιδιότητες: r r r r r r.7.. =,, V.7.. r r =.7.. r r = xx + yy.7.. r r r r r r r r ( λ) = λ ( ) =λ( ), λ,, V.7..5 r r r r r r r r r r +γ ( ) = + γ,, γ,.7..6 r r r r r r r * = 0,, V V { 0} r r r.7..7 λλ r r =, όπου λ r κι λ r οι συτελεστές διεύθυσης τω,. r r r r r r.7..8,, V r r r r.7..9 = προr r r xrxr + yy r r r r.7..0 συ(, ) = r r = xr + yr xr + yr Αλυτική Γεωμετρί. Κωικές Τομές.. Ευθεί. yy' (ε) (ε) y (ε) y 0 ω x 0 x x'x.. Πράλληλη με το άξο x x: ( ).. Πράλληλη με το άξο yy : ( ).. Πλάγι: ( ) :y y ( x x ) 0 0 ε :y= y ε :x = x ε =λ, όπου λ=εϕω η κλίση της ευθείς 8

39 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς.. Οριζόμεη πό δύο σημεί Α, Β.: y y = ( x x ) y x y x ή x y x y = 0 x y y y (0,) A B y x' Ο x x (,0) x y'..5 Οριζόμεη πό τις συτετγμέες επί τη ρχή: x + y =..6 Γεική μορφή: Α x+β y+γ= 0 με ΑΒΓ,, Απόστση d σημείου M(x,y) πό ευθεί (ε) Α x+β y+γ= 0 : Α x +Β y +Γ ( Με ) = d, Α +Β. Κύκλος. y B (ε) A y 0 y y Μ K - Ο x x x x 0 (η) - 9

40 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ... Κύκλος (Ο,) με κέτρο τη ρχή τω ξόω:.. Εφπτομέη (η): x x + y y = x + y = Κύκλος (Κ,) με κέτρο τυχίο σημείο: ( x x ) ( y y ) + =.. Εφπτομέη (ε): ( x x )( x x ) + ( y y )( y y ) = Προλή... Ορισμοί: d ( Μ,xx ) = d ( Μδ, ) Ε : Εστί της προλής. (δ) : Διευθετούσ της προλής. Ο : Κορυφή της προλής... Εξίσωση: y = px, p> 0.. Α η προλή έχει άξο συμμετρίς το yy η εξίσωση γίετι: x = py.. Εξίσωση της εφπτομέης σε σημείο Α(x,y) της προλής: ( ) y y = p x+ x..5 Πρτηρήσεις:..5. Α p< 0 τότε η προλή y διευθετούσ της στο ο κι ο τετρτημόριο...5. Α p< 0 τότε η προλή x διευθετούσ της στο ο κι ο τετρτημόριο. x' (δ) Δ(-p/,0) Ο y' y Μx,y) E(p/,0) = px ρίσκετι στο ο κι ο τετρτημόριο κι η = py ρίσκετι στο ο κι ο τετρτημόριο κι η 0

41 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς. Έλλειψη... Ορισμοί: ΜΕ+ΜΕ = στθερό Ε, Ε : Εστίες της έλλειψης. Α,Α,Β,Β : Κορυφές της έλλειψης. ΑΑ : Μεγάλος άξος της έλλειψης. ΒΒ : Μικρός άξος της έλλειψης. ΕΕ : Εστική πόστση της έλλειψης. ΕΕ' ε= : εκκετρότητ της έλλειψης. ΑΑ ' Α'(-,0) Ε'(-γ,0) Όμοιες λέγοτι οι ελλείψεις που έχου ίσες εκκετρότητες... Πρτηρήσεις:... Α το Μ συμπέσει με το Β πρτηρείτι ότι ΒΕ=ΒΕ ΒΕ= ΕΕ γ... Α ΕΕ = γ τότε ε= = < ΑΑ.. Εξίσωση: x... ΒΒ =... < y + =, όπου = γ... ε 0 γ 0 η έλλειψη τείει γίει κύκλος (Ο,)... ε γ 0 η έλλειψη γίετι πιο «στεόμκρη» Β(0,) Β'(0,-) Μ(x,y) E(γ,0) x x y y.. Εξίσωση της εφπτομέης σε σημείο Ν(x,y) της έλλειψης: + = Α(,0).5 Υπερολή..5. Ορισμοί: ΜΕ ΜΕ = στθερή. Α,Α : Κορυφές της υπερολής. ΕΕ : Εστική πόστση της υπερολής. ΕΕ ' ε= ΑΑ Εκκετρότητ της υπερολής. ΑΑ : Κύριος ή Πρωτεύω άξος της υπερολής..5. Πρτήρηση: Α ΕΕ ' = γ τότε ΕΕ' γ ε= = > ΑΑ'.5. Εξίσωση: x y = όπου.5. Οι ευθείες (ε) y= x =γ κι (ε) y= x λέγοτι σύμπτωτες της υπερολής..5.5 Η υπερολή με κορυφές τ Β κι Β λέγετι συζυγής της πρώτης κι ο πρωτεύω άξος της λέγετι δευτερεύω άξος της πρώτης..

42 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ..5.6 Το ορθογώιο με κορυφές (, ),(, ),(, ),(, ) λέγετι ορθογώιο άσης..5.7 Α = τότε η υπερολή λέγετι ισοσκελούς..5.8 Η (ε): x = λέγετι διευθετούσ της υπερολής. γ x x y y.5.9 Εξίσωση της εφπτομέης σε σημείο Ν(x,y) της υπερολής: =.

43 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ω ο ω rad ημω συω εφω σφω 0 ο ο π 0 ο π 6 5 ο π 60 ο π 75 ο 5π 90 ο π 05 ο 7π 0 ο π 5 ο π 50 ο 5π 6 65 ο π ( 6 ) ( 6 ) + + ( 6+ ) ( 6 ) + 0 ± 0 ( 6+ ) ( 6 ) + ( 6 ) ( 6 ) ο π π 0 0

44 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ. ω ο ω rad ημω συω εφω σφω 95 ο π 0 ο ο 5 0 ο 55 ο 7π 70 ο π 85 ο 9π 00 ο 5 5 ο 7 0 ο 6 5 ο π ( 6 ) ( 6 ) π π π + + ( 6+ ) ( 6 ) + 0 ± 0 ( 6+ ) ( 6 ) π π π + ( 6 ) ( 6 ) ο π 0 0 ±

45 Τυπολόγιο Μθημτικώ. Ηλίς Σκρδάς 5

46 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ. 6

47 7

48 Ηλίς Σκρδάς. Τυπολόγιο Μθημτικώ. 8