ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη w w w. s t o o s o m i l o s. g r

2 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΡΙΝΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ Έρξη µθηµάτω ευτέρ Ιουίου Λήξη µθηµάτω Πρσκευή 5 Ιουλίου. ΧΕΙΜΕΡΙΝΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ Έρξη µθηµάτω Τρίτη Σεπτεµρίου. ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ Έρξη µθηµάτω ευτέρ 4 Σεπτεµρίου. Τµήµτ ολιγοµελή κι οµοιογεή Στ τµήµτ τω ποφοίτω πργµτοποιούτι επιπλέο ώρες του κοικού προγράµµτος. Οι µθητές που έχου κεά ή πορίες κλύπτοτι µε δωρεά ώρες εισχυτικής διδσκλίς. Προγρµµτισµέ τεστ στο τέλος κάθε εότητς. Προγρµµτισµέ 3ωρ διγωίσµτ κάθε δεύτερη Κυρική. Ειδική εηµέρωση γι συµπλήρωση Μηχογρφικού. Στις τελευτίες σελίδες υπάρχει λυτικά το πρόγρµµ τω θεριώ τµηµάτω.

3 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΘΕΡΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ 3 ΣΥΝΟΛΟ 5 ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝ. ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ 4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΥΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 4 ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ 4 Στο φροτιστήριο στόος ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΧΑΙΑ 6 ΛΑΤΙΝΙΚΑ 3 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ 3 ΣΥΝΟΛΟ 4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΟΡΓ. & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΡΟΓΡ. - ΛΕΙΤΟΥΡ. ΣΥΝΟΛΟ 4 Οι µθητές που πρκολουθού τη θεριή προετοιµσί: δε γχώοτι ως προς τη κάλυψη της ύλης εξσφλίζου υψηλή θµολογί στις προφορικές κι γρπτές εξετάσεις Λειτουργού ολιγοµελή οµοιογεή τµήµτ, τ οποί λόγω άµιλς, τλλγής πόψεω κι κάλυψης όλω τω ποριώ υπερτερού πό τ ιδιίτερ µθήµτ. ιδάσκου έµπειροι κθηγητές, ειδικευµέοι ά µάθηµ. Ο προγρµµτισµός της ύλης κι η υπεύθυη εφρµογή του επιτρέπει πολλές επλήψεις µέχρι τη έρξη τω εξετάσεω. Τ προγρµµτισµέ διγωίσµτ προσφέρου εµπειρί κι υτοπεποίθηση στους µθητές µς. Το φροτιστήριο µς είι δίπλ στους µθητές του µέχρι κι τη τελευτί ηµέρ τω εξετάσεω, µε προγρµµτισµέ µθήµτ γι τις τελευτίες υποδείξεις κι τη κτάλληλη υποστήριξη. Πρέχοτι ιλί κι σηµειώσεις τω κθηγητώ µς σε κάθε µάθηµ, σύµφω µε το πρόγρµµ σπουδώ του Ειίου Λυκείου. Η εηµέρωση τω γοέω είι άµεση, διρκής κι ειλικριής. Οι επιδόσεις κι η συολική εικό του µθητή κτγράφοτι στο ηλεκτροικό υπολογιστή. Η τκτική εηµέρωση τω γοέω γίετι: τη τελευτί εδοµάδ της θεριής περιόδου το πρώτο δεκήµερο του εκεµρίου το πρώτο δεκήµερο του Απριλίου Τ µθήµτ γίοτι σε σύγχροες κι άετες κλιµτιζόµεες ίθουσες. Θεριή Προετοιµσί στ φροτιστήρι στόος = 00% Επιτυχί

4 w w w. s t o o s o m i l o s. g r Κετρικά γρφεί Αϊστάι 30 Αµφιάλη Τηλ.: F: 0 43 Αϊστάι 30 Αµφιάλη Π. Τσλδάρη 6 Αµφιάλη Π. Τσλδάρη 6 Αµφιάλη Αϊστάι 30 Αµφιάλη Π. Τσλδάρη 6 Αµφιάλη

5 Περιεχόµε ΜΕΡΟΣ Ο Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις Στη Άλγερ Γεικής Πιδείς ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 8 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡ. 4 ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις στ Μθηµτικά Κτεύθυσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΘΕΙΑ 7 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 38 ΜΕΡΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 4 3 Ο

6 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ;; Θεριή Προετοιμσί στ Φροτιστήρι στόoς = 00% Επιτυχί ~~

7 φροτιστήρι στόος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις Στη Άλγερ Γεικής Πιδείς Πρόσημο τριγωομετρικώ ριθμώ γωίς ω Τετρτημόρι I II III IV ημω συω εφω σφω ω (μοίρες) 0 ο 30 ο 45 ο 60 ο 90 ο 80 ο 70 ο 360 ο ω (rd) 0 π π π π π 3π π ημω συω εφω σφω Πίκς τριγωομετρικώ ριθμώ σικώ γωιώ Τυτότητ Με τη προϋπόθεση ηµ ω+ συ ω= ω R ηµω εϕω = συω ω R, συω 0 Βσικές τυτότητες συω σϕω ηµω εϕω σϕω = ω R, ηµω 0 = ω R, ηµω συω 0 εϕ ω εϕ ω ηµ ω= + ω R, συω 0 συ ω= + εϕ ω ω R, συω 0 Αγωγή στο ο τετρτημόριο ημ συ εφ σφ ηµ συ συ εϕ σϕ σϕ εϕ π π + π 3π 3π π + + π π συ ηµ ηµ συ συ ηµ ηµ ηµ ηµ συ συ ηµ ηµ συ σϕ εϕ εϕ εϕ σϕ σϕ σϕ εϕ συ σϕ εϕ εϕ εϕ σϕ σϕ ~ 3 ~

8 φροτιστήρι στόος Περιοδική συάρτηση * Μι συάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγετι περιοδική, ότ υπάρχει T R + τέτοιος ώστε γι κάθε A ισχύου: i. + T A, T A, κι ii. f ( + T) = f ( T) = f ( ) Ο ριθμός Τ λέγετι περίοδος της συάρτησης f. Η συάρτηση ημίτοο Η συάρτηση με τη οποί κάθε πργμτικός ριθμός τιστοιχίζετι στο ηµ ( rd) λέγετι συάρτηση ημίτοο κι τη συμολίζουμε με: ηµ = ηµ ( rd) = f ( ) = ηµ 0 π π Η συάρτηση ημίτοο είι περιοδική με περίοδο π διότι: ( ) Μοοτοί ηµ ± π = ηµ, γι κάθε R 0 π π 3π π ηµ μέγιστο ψ = γι χ = π ελάχιστο ψ = - γι χ = 3 π Αυτό σημίει ότι η γρφική της πράστσης επλμάετι σε κάθε διάστημ πλάτους π. Η μοοτοί της συάρτησης υτής στο διάστημ [ 0,π ] φίετι στο πρπάω πίκ. Η συάρτηση συηµίτοο Η συάρτηση µε τη οποί κάθε πργµτικός ριθµός τιστοιχίζετι στο συ ( rd ) λέγετι συάρτηση συηµίτοο κι τη συµολίζουµε: συ = συ( rd) Η συάρτηση υτή είι περιοδική µε περίοδο π, διότι: συ( ± π) = συ γι κάθε R ~ 4 ~

9 φροτιστήρι στόος = f ( ) = συ 0 π π π Αυτό σηµίει ότι η γρφική πράστση επλµάετι σε κάθε διάστηµ πλάτους π. Η µοοτοί της συάρτησης υτής στο διάστηµ [ 0,π ] φίετι στο πρκάτω πίκ: 0 π π 3π π συ 0-0 µέγιστο ψ= γι χ=0 Ελάχιστο ψ=- γι χ=π µέγιστο ψ= γι χ=π Η συάρτηση εφπτοµέη Η συάρτηση εφπτοµέη ορίζετι ως το πηλίκο του ηµιτόου προς το συηµίτοο. ηµ Είι: f ( ) = εϕ = µε πεδίο ορισµού το A= { R : συ 0} συ εϕ ± π = εϕ, γι κάθε A. Άρ η γρφική Η συάρτηση εφ είι περιοδική µε περίοδο π διότι: ( ) της πράστση επλµάετι η ίδι σε κάθε διάστηµ πλάτους π. π π Ότ το πλησιάζει («τείει») στο µε < η εφ τείει στο + οπότε, λέµε ότι η ευθεί είι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της f µε f ( ) = εϕ π = 3π π π 0 π π 3π = f ( ) = εϕ ~ 5 ~

10 φροτιστήρι στόος Οι συρτήσεις f ( ) = ρηµ ( ω), όπου ρ, ω > 0 κι g( ) = ρσυ ( ω), όπου ρ, ω > 0 Επειδή ηµ έχουµε ηµ ( ω) επειδή ρ > 0 είι: ρ ηµ ( ω) ρ ρ f ( ) ρ Άρ η µέγιστη τιµή της f είι το ρ κι η ελάχιστη τιµή της είι το ρ. Α το ρ < 0 µε πρόµοιο τρόπο ελάχιστο το ρ κι µέγιστο το ρ. Το ω κθορίζει τη περίοδο Της της f που είι: Τριγωοµετρικές εξισώσεις T π = ω Βσικές τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµ = ηµθ = κπ + θ ή = κπ + π θ, κ Ζ συ = συθ = κπ ± θ, κ Ζ εϕ = εϕθ = κπ + θ, κ Ζ σϕ = σϕθ = κπ + θ, κ Ζ Τριγωοµετρικοί ριθµοί θροίσµτος κι διφοράς συ ( + ) = συσυ ηµηµ συ ( ) = συσυ + ηµηµ ηµ ( + ) = ηµσυ + συηµ ηµ ( ) = ηµσυ συηµ εϕ+ εϕ εϕ εϕ εϕ( + ) = εϕ( ) = εϕεϕ + εϕεϕ σϕσϕ σϕσϕ + σϕ( + ) = σϕ( ) = σϕ+ σϕ σϕ σϕ Τριγωοµετρικοί ριθµοί του. ηµ = ηµσυ. συ = συ ηµ. συ = συ γ. συ = ηµ εϕ σϕ εϕ 3. εϕ = 4. σϕ = 5. ηµ = εϕ σϕ +εϕ εϕ εϕ συ συ συ = 7. εϕ = 8. ηµ = + + συ + συ 3 3 συ = 0. ηµ 3 = 3ηµ 4ηµ. συ 3 = 4συ 3συ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ συ ( ) = συσυ + ηµηµ Χωρίς πόδειξη ~ 6 ~

11 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ συ ( + ) = συσυ ηµηµ Α στο τύπο συ ( ) = συσυ + ηµηµ τικτστήσουµε το µε έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) συ = συ + συ = συσυ + ηµηµ = συσυ ηµηµ ΘΕΩΡΙΑ 3 ηµ ( + ) = ηµσυ + συηµ π π Επειδή συ = ηµ κι ηµ = συ έχουµε: π π ηµ ( + ) = συ ( + ) = συ = π π = συ συ+ ηµ ηµ = ηµσυ συηµ ΘΕΩΡΙΑ 4 ηµ ( ) = ηµσυ συηµ Α στο τύπο ηµ ( + ) = ηµσυ + συηµ τικτστήσουµε το µε το έχουµε: [ ] [ ] ηµ + ( ) = ηµ ( ) ηµ + ( ) = ηµσυ ( ) + συηµ ( ) = ηµσυ συηµ εϕ+ εϕ ΘΕΩΡΙΑ 5 εϕ( + ) =, συ ( + ) 0 εϕεϕ κι συ 0. ηµ ( + ) ηµσυ + συηµ εϕ( + ) = = = συ ( + ) συσυ ηµηµ ηµσυ συηµ + συσυ συσυ εϕ+ εϕ = = συσυ ηµηµ εϕεϕ συσυ συσυ ( ιιρούµε µε συσυ 0 ) εϕ εϕ ΘΕΩΡΙΑ 6 εϕ( ) = εϕεϕ εϕ+ εϕ Α στο τύπο εϕ( + ) =, τικτστήσουµε το µε το έχουµε: εϕεϕ εϕ( ) = εϕ + ( ) [ ] εϕ+ εϕ( ) εϕ εϕ εϕ[ + ( )] = = εϕεϕ( ) + εϕεϕ ~ 7 ~

12 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 7 ηµ = ηµσυ ηµ = ηµ ( + ) = ηµσυ + συηµ = ηµσυ ΘΕΩΡΙΑ 8 συ = συ ηµ = συ = ηµ = ( + ) = = συ συ συσυ ηµηµ συ ηµ = ( ) = + = συ ηµ συ συ συ συ συ = = συ ηµ ηµ ηµ ηµ εϕ ΘΕΩΡΙΑ 9 εϕ = εϕ εϕ+ εϕ εϕ εϕ = εϕ( + ) = = εϕεϕ εϕ + συ ΘΕΩΡΙΑ 0 συ = Από το τύπο του διπλσίου τόξου έχουµε: + συ συ = συ συ + = συ συ = συ ΘΕΩΡΙΑ ηµ = συ συ = ηµ ηµ = συ ηµ = ΘΕΩΡΙΑ συ εϕ = + συ συ εϕ = = = + + ηµ συ συ συ συ Η γώση είι δύµη. Φργκίσκος Βάκω, 56-66, Άγγλος φιλόσοφος ~ 8 ~

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισµοί Μοώυµο του οοµάζουµε κάθε πράστση της µορφής όπου R, N * κι µι µετλητή που µπορεί πάρει οποιδήποτε τιµή πό το R. Μοώυµο του λέµε επίσης κι κάθε πργµτικό ριθµό. Συτελεστής Μοώυµο του : Κύριο µέρος Χρκτηριστικά µοώυµ Μηδεικό µοώυµο λέγετι κάθε µοώυµο µε συτελεστή µηδέ, π.χ ,0. Μοώυµο µηδεικού θµού λέγετι κάθε µοώυµο του οποίου ο θµός είι µηδέ, π.χ = 7, 9= 9. Πολυώυµο του οοµάζουµε κάθε πράστση της µορφής , όπου 0 0,,...,, R, κι µι µετλητή που µπορεί πάρει οποιδήποτε τιµή πό το σύολο R. Έ πολυώυµο του το συµολίζουµε συήθως µε P( ), Q( ), f ( ), ϕ ( ) κ.λπ. Γράφουµε λοιπό: P( ) = Βθµός 0 Γι πράδειγµ: 3 Η πράστση Q( ) = είι πολυώυµο του. Χρκτηριστικά πολυώυµ Στθερά πολυώυµ Λέγοτι οι πργµτικοί ριθµοί δηλδή τ πολυώυµ της µορφής Μηδεικό πολυώυµο: Λέγετι το στθερό πολυώυµο 0. P( ) = 0 0 Στοιχεί πολυωύµου P( ) = , 0 0 Όροι: Λέγοτι τ µοώυµ,..., 0 Στθερός όρος: Είι ο όρος 0 που δε περιέχει Συτελεστές: Λέγοτι οι πργµτικοί ριθµοί,,...,, 0 Βθµός: Είι ο εκθέτης Αριθµητική τιµή γι = ξ : Λέγετι ο ριθµός P( ξ ) = ξ ξ + 0 που προκύπτει στο P( ) τικτστήσουµε το µε το ριθµό ξ. Ρίζ: Ές ριθµός ρ R λέγετι ρίζ του P( ), κι µόο, P( p ) = 0 Σχόλιο Βθµός µηδεικού πολυωύµου δε ορίζετι εώ ο θµός κάθε στθερού µη µηδεικού πολυωύµου είι µηδέ. ~ 9 ~

14 φροτιστήρι στόος Ισότητ πολυωύµω ύο πολυώυµ του λέγοτι ίσ, κι µόο είι του ίδιου θµού κι οι συτελεστές τω οµοάθµιω όρω τους είι ίσοι. Έτσι P( ) = κι µ µ µ µ 0 Q( ) = είι δύο πολυώυµ του µε µ, έχουµε: 0 = 0, =,..., = P( ) = Q( ) + = + =... = µ = 0 Θεώρηµ (Τυτότητ της διίρεσης) Γι κάθε ζεύγος πολυωύµω ( ) κι δ ( ) µε δ ( ) 0 υπάρχου δύο µοδικά πολυώυµ π ( ) κι υ ( ) τέτοι ώστε: ( ) = δ ( ) π ( ) + υ( ) όπου το υ ( ) είι το µηδεικό πολυώυµο ή έχει θµό µικρότερο πό το θµό του δ ( ). ( ) δ ( ) υ ( ) Σηµείωση π ( ) Ισχύει ( ) = δ ( ) π ( ) + υ( ) όπου: ( ) διιρετέος δ ( ) διιρέτης π ( ) πηλίκο υ ( ) υπόλοιπο κι είι θµού µικρότερου πό το θµό του δ ( ), ή υ ( ) = 0. Η διίρεση ( ) : δ ( ) λέγετι τέλει υ ( ) = 0. Τότε η τυτότητ της διίρεσης γράφετι: ( ) = δ ( ) π ( ) κι το δ ( ) λέγετι πράγοτς του ( ). Οι εκφράσεις: - το δ ( ) είι πράγοτς του ( ), το δ ( ) διιρεί το ( ), η διίρεση ( ) : δ ( ) είι τέλει, υπάρχει π ( ) ώστε: ( ) = δ ( ) π ( ) είι ισοδύµες. ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Θεώρηµ Το υπόλοιπο της διίρεσης εός πολυώυµου P( ) µε το p είι ο ριθµός P( p ). Η τυτότητ της διίρεσης: P( ) p υ = P( p) π ( ) είι: P( ) = ( p) π ( ) + P( p) Από τυτότητ διίρεσης του P( ) µε το p έχουµε P( ) = ( p) π ( ) + υ, π ( ) είι το πηλίκο της διίρεσης κι το υ το υπόλοιπο που είι στθερό πολυώυµο επειδή το p είι πρώτου θµού. Α θέσουµε = p, έχουµε P( p) = ( p p) π ( p) + υ= 0 π ( p) + υ, δηλδή P( p) = υ. ~ 0 ~

15 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ 3 Έ πολυώυµο P ( ) έχει πράγοτ το p, κι µόο, το p είι ρίζ του P ( ). Έστω το p είι πράγοτς του P ( ) τότε P( ) = ( p ) π ( ). Από υτή τη ισότητ γι = p, έχουµε P ( p) = ( p p ) π ( p ) = 0, δηλδή το p είι ρίζ του P ( ). Ατίστροφ: Έστω ότι το p είι ρίζ του P ( ) δηλδή P ( p ) = 0, το υπόλοιπο της διίρεσης του P ( ) µε το p είι: υ = P ( p ) = 0 Έχουµε: P( ) = ( p ) π ( ) + P( p) P( ) = ( p ) π ( ) + 0 P( ) = ( p ) π ( ), δηλδή το p είι πράγοτς του P ( ). ΘΕΩΡΙΑ 4 Έστω πολυωυµική εξίσωση: = 0, µε κέριους συτελεστές. Α ο κέριος p 0 είι ρίζ της εξίσωσης τότε ο p είι διιρέτης του στθερού όρου. Α p 0, είι ρίζ της εξίσωσης έχουµε: p + p p + 0 = 0 p ( p + p ) + 0 = 0 0 = p ( p + p ). λ Z Επειδή λ Z το p διιρεί το στθερό όρο 0. Σηµείωση Τις κέριες ρίζες τις ζητούµε µέσ στο σύολο τω διιρετώ του 0 ~ ~

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΙΟ 3 ο ΠΡΟΟ ΟΙ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ακολουθίες Ακολουθί οοµάζουµε κάθε συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Ν * τω θετικώ κερίω. Μι κολουθί συµολίζετι συήθως µε το γράµµ κι η τιµή της στο συµολίζετι µε κι διάζετι «µε δείκτη». Οι τιµές της,, 3 κ.τ.λ. λέγοτι κτά σειρά πρώτος όρος, δεύτερος όρος, τρίτος όρος κ.τ.λ. της κολουθίς. Ο όρος λέγετι ιοστός όρος ή γεικός όρος της κολουθίς. Μι κολουθί είι πλήρως ορισµέη ότ µπορούµε ρούµε οποιοδήποτε όρο της. Αυτό συµίει ότ γωρίζουµε: i. Το γεικό όρο της κολουθίς ii. π.χ. Α ο γεικός όρος είι ο =, τότε =, = 3, 3 = 5, είι η κολουθί τω περιττώ ριθµώ Έ δροµικό τύπο της κολουθίς π.χ. Α =, = 3 κι + = + + Έχουµε: 3 = + = + = 4 = 3+ = + = 3 5 = 4+ 3 = 3+ = 5 Μειοέκτηµ του δροµικού τύπου είι ότι γι ρούµε π.χ. το 00 πρέπει γωρίζουµε τους 99 προηγούµεους όρους. Αριθµητική πρόοδος (Α.Π.) Αριθµητική πρόοδος (Α.Π.) οοµάζουµε µι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούµεο του µε πρόσθεση του ίδιου πάτοτε ριθµού. Το ριθµό υτό το συµολίζουµε συήθως µε ω κι το λέµε διφορά της προόδου. Εποµέως µι κολουθί είι ριθµητική πρόοδος, κι µόο, ισχύει: + = + ω + = ω, Ν * Η διφορά δύο διδοχικώ όρω είι στθερή. Ιδιότητες της ριθµητικής προόδου i. Ο ιοστός όρος µις ριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο κι διφορά ω δίετι πό το ii. iii. i. τύπο: = + ( ) ω Αριθµητικός µέσος τω ριθµώ, γ λέγετι ο ριθµός, κι µόο, + γ Οι,, γ, είι διδοχικοί όροι µις Α.Π., κι µόο, = Το άθροισµ τω πρώτω όρω Α.Π. µε διφορά ω το συµολίζουµε µε: S... ~ ~ + γ = = κι δίετι πό τους τύπους: S = ( + ) ή = + ( ) S ω

17 φροτιστήρι στόος Γεωµετρική πρόοδος Γεωµετρική πρόοδο (Γ.Π.) οοµάζουµε µι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούµεό του µε πολλπλσισµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό ριθµό. Το ριθµό υτό το συµολίζουµε συήθως µε λ κι το οοµάζουµε λόγο της προόδου. Σε µι γεωµετρική πρόοδο υποθέτουµε πάτ ότι 0 οπότε φού είι κι λ 0 ισχύει 0, γι κάθε Ν * Εποµέως µι κολουθί ( ) είι γεωµετρική πρόοδος κι µόο ισχύει = =, δηλδή το πηλίκο δύο διδοχικώ όρω είι στθερό. + + λ λ Ιδιότητες της Γεωµετρικής Προόδου i. Ο ιοστός όρος µις γεωµετρικής προόδου µε πρώτο όρο κι λόγο λ δίετι πό το τύπο: = λ ii. Γεωµετρικός µέσος τω, γ 0 λέγετι ο θετικός ριθµός, κι µόο, = γ iii. Οι,, γ, είι διδοχικοί όροι µις Γ.Π., κι µόο, = γ i. Το άθροισµ τω πρώτω όρω Γ.Π., µε διφορά λ το συµολίζουµε S = κι ΘΕΩΡΙΑ λ δίετι πό το τύπο S = γι λ κι S = γι λ=. λ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ο ος όρος µίς ριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο Από το ορισµό της ριθµητικής προόδου έχουµε: = = + ω 3 = + ω 4 = 3+ ω... = + ω = + ω ΘΕΩΡΙΑ Με πρόσθεση κτά µέλη πίρουµε: = + ( ) κι διφορά ω είι: = + ( ) ~ 3 ~ ω ω (Αριθµητικός µέσος). Τρείς ριθµοί,, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου κι µόο + γ ισχύει: = + γ ή = Έστω,, γ τρείς διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. Τότε ισχύει: + γ = ω κι γ = ω = γ + = γ + = + γ =

18 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 3 Ο ος όρος µίς γεωµετρικής προόδου µε πρώτο όρο κι λόγο λ είι: Από το ορισµό της γεωµετρικής προόδου έχουµε: = = λ 3 = λ 4 = 3λ Με πολλπλσισµό κτά µέλη πίρουµε: = λ... = λ = λ = λ ΘΕΩΡΙΑ 4 (Γεωµετρικός µέσος). Τρείς µη µηδεικοί ριθµοί,, γ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου κι µόο : = γ Έστω,, γ 0 τρεις διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Τότε ισχύει: ΘΕΩΡΙΑ 5 λ = κι γ γ = λ = = γ Άθροισµ διδοχικώ όρω γεωµετρικής προόδου. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µίς γεωµετρικής λ προόδου µε λόγο λ είι: S = λ. Έστω: S = + λ+ λ λ + λ () Πολλπλσιάζοτς τ µέλη της () µε λ έχουµε: Αφιρούµε κτά µέλη τις, κι έχουµε: λs S λ λ κι επειδή λ ισχύει: S = λ Πρτήρηση: λs = λ+ λ + λ λ + λ () 3 = ή S ( λ ) Α λ= τότε όλοι οι όροι είι ίσοι µε το πρώτο όρο οπότε S =. Ν είστε ρελιστές Ν ζητάτε το δύτο (σύθηµ τω Γάλλω φοιτητώ το Μάιο του 968) ~ 4 ~

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΥΣΗ ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ιδιότητες τω δυάµεω Έστω, > 0 κι,, R, τότε: i. = + i. ( ) = Επίσης ισχύου: 0 * =, R µ ii.. µ * =, µ N, N,, R * = Ν Α > 0 ορίζουµε: 0 = 0. Εκθετική συάρτηση = iii. ( ) = = Ορισµός Οοµάζουµε εκθετική συάρτηση µε άση τη συάρτηση: f : R R µε f ( ) Πρτήρηση: Α =, τότε έχουµε τη στθερή συάρτηση f ( ) = Ιδιότητες Πεδίο ορισµού: A= R Σύολο τιµώ: Το διάστηµ ( 0,+ ) Μοοτοί i. Α > είι γησίως ύξουσ στο R οπότε γι κάθε, R ισχύει η συεπγωγή: Α < τότε <. Στη περίπτωση υτή η γρφική πράστση της f έχει σύµπτωτη στο το ρητικό ηµιάξο O ' ii. Α 0< < είι γησίως φθίουσ στο R οπότε γι κάθε, R ισχύει η συεπγωγή: Α < τότε > Στη περίπτωση υτή η γρφική πράστση της f έχει σύµπτωτη στο + το θετικό ηµιάξο O φροτιστήρι στόος =, όπου 0 <. Γι τη συάρτηση f ( ) = µε 0< κι R ισχύει = = γι κάθε, R. ' = ' A ( 0,) > 0< < O ' A ( 0,) ' O = ~ 5 ~

20 Επίσης η γρφική της πράστση τέµει το άξο το άξο ' φού > 0 γι κάθε R. φροτιστήρι στόος ' στο σηµείο ( 0, ) εώ δε έχει κοιά σηµεί µε Πρτήρηση Γι τις συρτήσεις f ( ) = κι g( ) = πρτηρούµε ότι γι κάθε R ισχύει: g( ) = = = = f ( ) ηλδή οι γρφικές πρστάσεις είι συµµετρικές ως προς το άξο ' όπως φίετι στο σχήµ µε >. g( ) = ' A ( 0,) ' O f ( ) = Ο ριθµός e Κθώς το υξάει περιόριστ, οι όροι της κολουθίς που το συµολίζουµε µε e κι είι e,78. = + προσεγγίζου έ άρρητο ριθµό Συµολικά γράφουµε e= lim +. Γι τη συάρτηση µε τύπο f ( ) = e ισχύου όσ φέρµε πρπάω γι τη συάρτηση f ( ) =, > (φού = e=,78... > ). Ο όµος της εκθετικής µετολής ct Μι εκθετική συάρτηση µε άση το ριθµό e είι η Q( t) = Q0 e που είι γωστή κι ως όµος της εκθετικής µετολής κι χρησιµοποιείτι γι τη µελέτη µεγεθώ τ οποί µετάλλοτι συρτήσει του χρόου στη Φυσική, στη Βιολογί κλπ. Το Q 0 είι θετικός ριθµός κι ποτελεί τη τιµή της συάρτησης Q γι t= 0. Α c> 0 η συάρτηση Q είι γησίως ύξουσ κι δηλώει το όµο της εκθετικής ύξησης. Α c< 0 η συάρτηση Q είι γησίως φθίουσ κι δηλώει το όµο της εκθετικής πόσεσης. Η έοι του λογάριθµου Έστω η εξίσωση = θ, > 0, θ > 0. Η εξίσωση υτή έχει µοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f ( ) = είι γησίως µοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιµώ της. Τη µοδική υτή λύση τη συµολίζουµε µε log θ κι τη οοµάζουµε λογάριθµο του θ ως προς άση το. Είι δηλδή: = θ = log θ, > 0, θ > 0 Ισοδύµ υτό διτυπώετι ως εξής: Ο log θ είι ο εκθέτης στο οποίο πρέπει υψώσουµε το γι ρούµε το θ. Συέπειες του ορισµού γι > 0, R κι θ > 0 log = κι log θ = θ Αφού είι = τότε log = 0 Αφού είι = τότε log 0 = Θεριή Προετοιµσί στ φροτιστήρι στόος = 00% Επιτυχί ~ 6 ~

21 φροτιστήρι στόος Ιδιότητες λογρίθµω Α > 0 τότε γι οποιουσδήποτε,, 0 log θ θ = log θ + log θ. ( ) θ. log = logθ logθ θ κ 3. log θ = κ log θ Πρτήρηση θ θ θ > κι Επειδή γι κάθε θ > 0 κι Ν ισχύει θ = θ έχουµε: Πρτήρηση ~ 7 ~ κ R ισχύου: Η ιδιότητ ισχύει γεικά γι θετικούς ριθµούς θ, θ,..., θ. log θ θ... θ = log θ + log θ log θ. ηλδή: ( ) Πρτήρηση 3 Από τη ιδιότητ προκύπτει ότι: log logθ θ =. εκδικοί λογάριθµοι Οι λογάριθµοι µε άση το 0 οοµάζοτι δεκδικοί ή κοιοί λογάριθµοι. Είι δηλδή 0 = θ = log θ, θ > 0. Γι υτούς τους λογρίθµους ισχύου τ εξής:. log0 log = κι 0 θ = θ. log0= κι log= 0 log θ θ = logθ + logθ 3. ( ) θ 4. log = logθ logθ θ κ 5. logθ = κ logθ 6. log θ = logθ = log θ. log θ = logθ = logθ όπου θ, θ, θ > 0 κι κ R κι Ν Φυσικοί λογάριθµοι Στ µθηµτικά είι πολύ χρήσιµοι κι οι λογάριθµοι µε άση το ριθµό e. Οι λογάριθµοι υτοί οοµάζοτι φυσικοί ή επέριοι λογάριθµοι. Ο επέριος λογάριθµος εός θετικού ριθµού θ, συµολίζετι µε lnθ κι όχι µε log e θ. Είι δηλδή: e = θ = ln θ, θ > 0 Γι υτούς τους λογρίθµους ισχύου τ εξής:. ln e ln = κι e θ = θ. ln e= κι ln= 0 ln θ θ = lnθ + lnθ 3. ( ) θ 4. ln = lnθ lnθ θ κ 5. lnθ = κ lnθ 7. ln θ = lnθ = lnθ όπου θ, θ, θ > 0 κι κ R κι Ν

22 φροτιστήρι στόος 6. Αλλγή Βάσης Α > 0 κι > 0 τότε γι κάθε θ > 0 ισχύει: Πρτήρηση 4 lnθ Είι logθ = κι ln0 logθ lnθ = log e log logθ θ = log ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Α > 0 κι τότε γι οποιδήποτε,, 0 ΘΕΩΡΙΑ θ θ θ > κι ( ) κ R ισχύει: log θθ = log θ + log θ Έστω log θ = κι log θ =. Από το ορισµό του λογρίθµου έχουµε: = θ κι = θ Οπότε πολλπλσιάζοτς: Από το ορισµό έχουµε: ( ) + = θθ ή = θθ log θθ = + = log θ + log θ ΘΕΩΡΙΑ θ = Έστω log θ = κι log θ = έχουµε πό ορισµό: log logθ logθ θ Οπότε διιρώτς: θ θ = θ κι θ = ή = θ = θ θ Από το ορισµό έχουµε: log = = log θ logθ θ ΘΕΩΡΙΑ 3 Έστω log θ = κι πό ορισµό έχουµε έχουµε: ( ) κ κ θ k = ή = θ κ κι πό ορισµό ισχύει: log θ = κ = κ log θ κ κ log θ = κ log θ = θ υψώσουµε κι τ δύο µέλη της ισότητς εις τη κ οπότε Πρτήρηση: Επειδή γι θ > 0 κι Ν ισχύει θ = θ έχουµε: log θ = logθ = log θ ~ 8 ~

23 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις Στ Μθηµτικά Κτεύθυσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έοι διύσµτος Πράξεις Ισότητ ιυσµάτω uu uu ΑΒ=Γ ότ είι οµόρροπ κι έχου ίσ µέτρ. uu uu uu uu uu uu uu uu ΑΒ=Γ ΑΓ=Β Β=ΓΑ Γ=ΒΑ Α,, r γ διύσµτ µε λ, µ R τότε:. + = + r = r r 5. + γ = + γ = r r r 7. + = 0 = r r. ( + ) + γ = + ( + γ) r 4. + ( ) = 0 r r r 6. + = = 0 8. ( + ) = ( ) + ( ) uu ΑΒ = uu ΟΒ -ΟΑ uu 9. Α Ο στθερό σηµείο του χώρου Ειδικές περιπτώσεις: + = + = = + r r r. 0 = 0, λ 0= 0. λ( + ) = λ+ λ 3. ( λ + µ ) = λ+ λ 4. λ ( µ) = ( λµ ) r r 5. = 6. λ = 0 λ= 0 ή = 0 7. ( λ) = λ( ) = ( λ) 8. λ( ) = λ λ 9. ( λ µ ) = λ µ 0. Α λ = λ κι λ 0 τότε =. Α λ = µ r κι 0 τότε λ = µ Γ Α Β Ισχύου επίσης: r / / = λ γι λ R, 0 r Α κι το γ ήκει στο διυσµτικό επίπεδο τω, τότε υπάρχου µοδικοί r r λ, µ R ώστε γ = λ + µ. Τότε το γ λέγετι γρµµικός συδυσµός τω κι. uu uu uuu ΟΑ+ΟΒ Α Μ είι το µέσο του ΑΒ τότε: ΟΜ= (Ο σηµείο φοράς). ~ 9 ~

24 φροτιστήρι στόος Συτετγµέες στο επίπεδο Α Ο έ ορθοκοικό σύστηµ συτετγµέω στο επίπεδο κι έ διάυσµ σ υτό, τότε γράφουµε = (, ), όπου τ, είι οι µοδικοί πργµτικοί ριθµοί γι τους οποίους r r r = i+ j. Κι ισχύου:. Έστω = (, ), = (, ) τότε = = κι =. Α = (, ), = (, ) τότε + = ( +, + ) 3. Γι R =, λ = λ, λ λ κι ( ) είι ( ) A(, ), (, ) uu AB= (, ) 4. Α uu B δύο σηµεί του κρτεσιού επιπέδου τότε: AB = ( ) + ( ) + + Α M (, ) το µέσο του ΑΒ τότε: =, = =, =, τότε: 5. Α ( ), ( ) 0 0 = = λ =, λ = γι 0, 0 λ = λ, εφόσο, λ, λ ορίζοτι Εσωτερικό γιόµεο διυσµάτω r r r r r r r r r,,, 0. Α = 0 ή = 0, τότε = 0 r = + λυτική έκγρση r r =,, =, τότε: r + συ(, ) = r = + + = συ( ) ( ) Α ( ) ( ) Ιδιότητες του εσωτερικού γιοµέου ~ 0 ~ r r r r r. =. ( λ) = λ( ) = ( λ) r r r r r 3. ( + γ) = + γ r r r 4. = =. Η ιδιότητ υτή µς µετφέρει πό διύσµτ σε µέτρ κι τίστροφ. 5. = 6. = 7. = = 0 9. λ λ = εφόσο ορίζοτι οι συτελεστές λ, λ r r 0. = (όπου = προ ) Ο r

25 φροτιστήρι στόος ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Έστω δύο διύσµτ r κι κι τυχίο σηµείο Ο. Ν ποδείξετε ότι το άθροισµ τω διυσµάτω r κι είι εξάρτητο της επιλογής του σηµείου Ο. Περιγράψτε το κό του πρλληλογράµµου. Με ρχή έ σηµείο Ο πίρουµε διάυσµ ΟΑ= κι στη συέχει µε ρχή το Α πίρουµε διάυσµ ΑΜ=. uuuu uuuu Έστω Ο ' είι έ άλλο σηµείο κι ς θεωρήσουµε τ διύσµτ Ο' Α ' = κι Α' Μ=. Επειδή uu uuuu uuu uuuuu uuu uuu uuu uuuu uuu uuuu ΟΑ=Ο ' Α ' = κι ΑΜ=Α ' Μ ' =, προκύπτει ΟΟ ' =ΑΑ ' κι ΑΑ ' =ΜΜ '. Εποµέως, ΟΟ ' =ΜΜ ', uuu uuuuu που σηµίει ότι κι ΟΜ=Ο ' Μ '. O r A r + r M A ' r + M ' O ' Το άθροισµ δύο διυσµάτω ρίσκετι κι µε το κό του πρλληλογράµµου, ο οποίος περιγράφετι ως εξής: Α Α µε ρχή έ σηµείο Ο θεωρήσουµε τ uu uu ιύσµτ ΟΑ= κι ΟΒ=, τότε το + άθροισµ + ορίζετι πό τη διγώιο ΟΜ του πρλληλόγρµµου που έχει Ο προσκείµεες πλευρές τις ΟΑ κι ΟΒ. Μ ΘΕΩΡΙΑ Β Αποδείξτε τις επόµεες ιδιότητες γι το άθροισµ διυσµάτω.. + = + (Ατιµετθετική ιδιότητ) r r + + γ = + + γ (Προσετιριστική ιδιότητ). ( ) ( ). Σύµφω µε το διπλό σχήµ έχουµε: uu uuu uuu + =ΟΑ+ΑΜ=ΟΜ κι uu uuu uuu + =ΟΒ+ΒΜ=ΟΜ. Άρ + = +. Ο Β Α + Μ ~ ~

26 . Από το διπλό σχήµ έχουµε: r uu uu uu uu uu uu + + = ΟΑ+ΑΒ +ΒΓ=ΟΒ+ΒΓ=ΟΓ r uu uu uu uu uu uu + + =ΟΑ+ ΑΒ+ΒΓ =ΟΑ+ΑΓ=ΟΓ r r. ( ) γ ( ) ( γ) ( ) Άρ ( + ) + γ = + ( + γ) ΘΕΩΡΙΑ 3 κι φροτιστήρι στόος ) Τι οοµάζουµε διάυσµ θέσεως σηµείου Α ή διυσµτική κτί του Α. ) Αποδείξτε ότι: Κάθε διάυσµ στο χώρο είι ίσο µε τη διυσµτική κτί του πέρτος µείο τη διυσµτική κτί της ρχής. ) Έστω Ο έ στθερό σηµείο του χώρου. Γι κάθε σηµείο Α του χώρου ορίζετι έ διάυσµ ΟΑ uu, το οποίο λέγετι διάυσµ θέσεως του Α ή διυσµτική κτί του Α. ) Έστω Ο έ σηµείο φοράς. uu Τότε γι οποιοδήποτε διάυσµ ΑΒ ισχύει uu uu uu uu uu uu ΟΑ+ΑΒ=ΟΒ κι ισοδύµ ΑΒ=ΟΒ ΟΑ. Ο Α + r + + γ Ο Β r + γ Α γ r Γ Β ΘΕΩΡΙΑ 4 Αποδείξτε ότι γι οποιδήποτε διύσµτ κι ισχύει + + Στο διπλό σχήµ, στο τρίγωο ΟΑΒ πό τη τριγωική ισότητ γωρίζουµε ότι: ( ΟΑ) ( ΑΒ) ( ΟΒ) ( ΟΑ ) + ( ΑΒ ) κι συεπώς + + Ο Α + Β ΘΕΩΡΙΑ 5 r Αποδείξτε ότι, είι δύο διύσµτ, µε 0, τότε // = λ, λ R. Α δύο διύσµτ κι r, µε 0, συδέοτι µε τη σχέση = λ, τότε τ διύσµτ υτά είι πράλληλ. (εξ ορισµού του γιοµέου ριθµού µε διάυσµ). Ισχύει όµως κι το τίστροφο. ηλδή, τ διύσµτ κι r είι πράλληλ κι 0, τότε υπάρχει µοδικός ριθµός λ τέτοιος ώστε: = λ Α τώρ θέσουµε κ =, πίρουµε = κ κι συεπώς: r Α, τότε = κ Α, τότε = κ Α = 0, τότε = 0 Άρ σε κάθε περίπτωση υπάρχει λ κι µάλιστ µοδικός τέτοιος ώστε = λ ~ ~

27 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 6 Αποδείξτε ότι γι τη διυσµτική κτί ΟΜ uuu του µέσου Μ ευθύγρµµου τµήµτος ΑΒ ισχύει: uu uu uuu ΟΑ+ΟΒ ΟΜ= uu Α Θεωρούµε διάυσµ ΑΒ κι έ σηµείο φοράς Ο. Γι τη διυσµτική κτί ΟΜ uuu // του µέσου Μ του Μ τµήµτος ΑΒ έχουµε: uuu uu uuu uuu uu uuu // ΟΜ=ΟΑ+ΑΜ () κι ΟΜ=ΟΒ+ΒΜ () Εποµέως, µε πρόσθεση κτά µέλη τω () κι () πίρουµε: uu uu uuu uu uuu uu uuu uu uu uuu ΟΑ+ΟΒ ΟΜ=ΟΑ+ΑΜ+ΟΒ+ΒΜ=ΟΑ+ΟΒ. Άρ ΟΜ= Ο Β ΘΕΩΡΙΑ 7 Αποδείξτε ότι το οποιοδήποτε διάυσµ, έστω, του επιπέδου γράφετι ως γρµµικός συδυσµός τω µοδιίω διυσµάτω r i κι r j κι µάλιστ κτά µοδικό τρόπο. Θεωρούµε σύστηµ συτετγµέω O στο επίπεδο κι έ διάυσµ του επιπέδου. uu r. Με ρχή το Ο γράφουµε το διάυσµ OA= Α A κι A είι οι προολές του Α στους άξοες uu uu uuu ' τιστοίχως, έχουµε: OA= OA+ OA () Α, είι οι συτετγµέες του Α, τότε uu r uuu r ισχύου: OA = i κι OA = j. Εποµέως η ισότητ () γράφετι r r r = i+ j () ' κι Αποδείξµε δηλδή ότι το είι γρµµικός συδυσµός τω i r κι j r. Οι ριθµοί κι στη πρπάω γρφή είι µοδικοί. Θ ποδείξουµε τώρ ότι κι η έκφρση του ως γρµµικού συδυσµού τω r i κι r j είι µοδική. Πράγµτι, έστω ότι το διάυσµ r r r γράφετι κι ως εξής: = ' i+ ' j (3) r r r r Τότε πό () κι (3) ισχύει: i+ j= ' i+ ' j r r ( ') i= ( ') j r ' r Α υποθέσουµε ότι ', δηλδή ότι ' 0, τότε θ ισχύει i= j ' r r r r Η σχέση υτή, όµως, δηλώει ότι i / / j, που είι άτοπο, φού τ i κι j δε είι συγγρµικά. Εποµέως = ', που συεπάγετι ότι κι = '. A r j O i r r r A A Θεριή Προετοιµσί στ Φροτιστήρι στόoς = 00% Επιτυχί ~ 3 ~

28 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 8 Α γωρίζετε τις συτετγµέες δύο διυσµάτω κι του κρτεσιού επιπέδου, τότε ρείτε τις συτετγµέες του θροίσµτος +, του γιοµέου λ, λ R κι εκφράσετε τις συτετγµέες κάθε γρµµικού συδυσµού τω κι συρτήσει τω συτετγµέω τω διυσµάτω κι. Α = (, ) κι = (, ), τότε έχουµε: r r r r r r + = ( i+ j) + ( i+ j) = ( + ) i+ ( + ) j r r r r λ = λ( i+ j) = ( λ) i+ ( λ ) j + = +, + λ = λ, λ Εποµέως ( ) κι ( ) ή ισοδύµ (, ) + (, ) = ( +, + ) κι λ(, ) = ( λ, λ ) ~ 4 ~ Γεικότερ, γι το γρµµικό συδυσµό λ + µ έχουµε: λ + µ = λ, λ + µ, µ = λ + µ, λ + µ ΘΕΩΡΙΑ 9 Θεωρούµε δύο σηµεί A(, ) κι (, ) ( ) ( ) ( ) B του κρτεσιού επιπέδου κι ς υποθέσουµε ότι + (, ) είι οι συτετγµέες του µέσου Μ του ΑΒ. Αποδείξτε ότι ισχύει = κι + =. Ας θεωρήσουµε δύο σηµεί (, ) B του κρτεσιού επιπέδου κι ς υποθέσουµε ότι Γωρίζουµε ότι: B(, ) uuu uu uu uu uu OM = ( OA+ OB), κι OM = (, ), OA= (, ), OB= (, ) M(, ) + + Εποµέως (, ) = (, ) + (, ) =, A, + + ηλδή = κι =. O ΘΕΩΡΙΑ 0 A κι (, ) (, ) είι οι συτετγµέες του µέσου Μ του ΑΒ. Αποδείξτε ότι οι συτετγµέες (, ) δίοτι πό τις σχέσεις: Θεωρούµε δύο σηµεί A(, ) κι (, ) επιπέδου κι ς υποθέσουµε ότι (, ) του διύσµτος µε άκρ τ σηµεί (, ) = κι =. B του κρτεσιού uu uu ΑΒ= (, ), ΟΒ= ( ) έχουµε: (, ) (, ) (, ) (, ) A κι B(, ) B(, ) (, ) A είι οι συτετγµέες uu του διύσµτος ΑB. uu uu uu uu Επειδή, ΑΒ=ΟΒ ΟΑ,,, κι ΟΑ= (, ), O = = Εποµέως: = κι =. ( )

29 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ r =, Έστω ( ) είι ίσο µε: έ διάυσµ του κρτεσιού επιπέδου. Αποδείξτε ότι το µέτρο του διύσµτος r = +. r Έστω = (, ) έ διάυσµ του κρτεσιού επιπέδου r κι Α το σηµείο µε διυσµτική κτί OA=. Έστω κόµη A κι A οι προολές του Α στους άξοες ' κι ' τιστοίχως. Επειδή το σηµείο Α έχει τετµηµέη κι τετγµέη, = κι ( OA ) =. θ ισχύει ( OA) Έτσι πό το τρίγωο OA A µε εφρµογή του πυθγορείου θεωρήµτος έχουµε: r = ( OA) = ( OA) + ( A A) = ( OA) + ( OA) = + = +. r Εποµέως: = + A O A(, ) A r ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι η πόστση τω σηµείω (, ) ( AB) ( ) ( ) = +. A κι (, ) B είι ίση µε Θεωρούµε δύο σηµεί A(, ) κι B(, ) του κρτεσιού επιπέδου. Επειδή η πόστση ( ) σηµείω Α κι Β είι ίση µε το µέτρο του διύσµτος AB = (, ) θ ισχύει: uu AB = AB = + ( ) ( ) ( ) Εποµέως: Η πόστση τω σηµείω (, ) A κι B(, ) είι ίση µε ( AB) = ( ) + ( ) ΘΕΩΡΙΑ 3 Αποδείξτε ότι r, είι δύο διύσµτ, = (, ), = (, ) διεύθυσης λ κι λ τιστοίχως τότε: / / λ = λ Γι τ διύσµτ = (, ) κι = (, ) έχουµε τις ισοδυµίες: O (, ) A AB τω, σύµφω µε γωστό τύπο (, ) B, χ, χ 0 µε συτελεστές µε συτελεστές διεύθυσης λ κι λ τιστοίχως, // = 0 = 0 = = = λ λ. Θεριή Προετοιµσί στ φροτιστήρι στόος = 00% Επιτυχί ~ 5 ~

30 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 4 Πως µπορούµε εκφράσουµε το εσωτερικό γιόµεο δύο διυσµάτω = (, ) συρτήσει τω συτετγµέω τους. Με ρχή το Ο πίρουµε τ διύσµτ uu uu ΟΑ= κι ΟΒ=. Από το όµο τω Συηµίτοω στο τρίγωο ΟΑΒ έχουµε τη ισότητ: ( ΑΒ ) = ( ΟΑ ) + ( ΟΒ) ( ΟΑ)( ΟΒ ) συ AOB η οποί ισχύει κι στη περίπτωση που τ σηµεί Ο, Α, Β είι συευθεικά. (, ) B κι = (, ) (, ) A θ r O Όµως είι: ( AB) = ( ) + ( ), ( ) OA = + κι ( ) OB Εποµέως, έχουµε διδοχικά: ( ) + ( ) = ( )( ) συ OA OB AOB ( )( ) συ = OA OB AOB r OA OB συ AOB =, έχουµε τελικά: = + κι επειδή ( )( ) = +. ΘΕΩΡΙΑ 5 Αποδείξτε ότι ισχύου οι επόµεες ιδιότητες: λ = ( λ) = λ( ), λ R r r ( + γ) = + γ λλ =, όπου λ = λ κι λ = λ,, / // ( ' ) Α r = ( ), r = (, ) κι γ = ( 3, 3), τότε έχουµε: ( ) (, )(, λ = λ λ ) = ( λ) + ( λ ) = λ( + ) = λ( ) κι ( ) (, )(, r λ = λ λ ) = ( λ) + ( λ ) = λ( + ) = λ( ). λ = λ = λ Άρ: ( ) ( ) ( ) r ( + γ) = (, )( +, + ) = ( + ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = r r r = + γ. = 0 + = 0 = = λλ = ~ 6 ~

31 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 6 =, Α ( ) κι = (, ) γωί θ. Αποδείξτε ότι: συθ = r r Είι = συθ κι εποµέως συθ =. Είι όµως Εποµέως, r = +, είι δύο µη µηδεικά διύσµτ του επιπέδου που σχηµτίζου συθ = r = + + κι + + = + ΘΕΩΡΙΑ 7 r r r r r r r r Έστω, δύο διύσµτ του επιπέδου µε 0. Αποδείξτε ότι = προ.. Με ρχή έ σηµείο Ο πίρουµε τ διύσµτ uu uuu r ΟΑ= κι ΟΜ=. Από το Μ φέρουµε κάθετο στη διεύθυση του ΟΑ uu κι έστω Μ το ίχος της κθέτου. Ο θ r Μ Μ Α Το διάυσµ ΟΜ uuuu το λέµε προολή του r στο το συµολίζουµε µε uuuu r ΟΜ = προ προr κι γράφουµε: (Η προολή του r πάω στο είι εξάρτητη πό τη επιλογή του σηµείου Ο). Γι το εσωτερικό γιόµεο τω κι r έχουµε: uuuu uuuu uuuu uuuu uuuu r = ( ΟΜ +ΜΜ ) = ΟΜ + ΜΜ= ΟΜ = προ r r Εποµέως: = προ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ; ~ 7 ~

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΥΘΕΙΑ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εξίσωση ευθείς. Η εξίσωση ευθείς (ε) η οποί διέρχετι πό το σηµείο A( 0, 0) κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ είι: ε : 0 = λ( 0 ). Η εξίσωση ευθείς (ε) η οποί διέρχετι πό τ σηµεί A(, ) κι B(, ) µε είι: ε : = ( ), όπου = λε = λuu AB ή = = 3. Η εξίσωση της ευθείς (ε) που τέµει το άξο ' ο συτελεστής διεύθυσης της (ε) στο σηµείο ( ) 0, είι ε : = λ+, όπου λ 4. Η εξίσωση της ευθείς (ε) που διέρχετι πό το σηµείο Ο ( 0,0) κι δε είι ο άξος ' είι: ε : = λ 5. Η εξίσωση της ευθείς (ε) που διέρχετι πό το σηµείο A( 0, 0) κι είι πράλληλη στο άξο ' είι: ε : = 0 6. Η εξίσωση της ευθείς (ε) που διέρχετι πό το σηµείο A( 0, 0) κι είι πράλληλη στο άξο ' είι: ε : = 0 7. Η εξίσωση A+ B+Γ= 0, µε A 0 ή B 0 Κάθε ευθεί έχει εξίσωση της µορφής: A+ B+Γ= 0, µε A 0 ή B 0 () κι τιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () πριστάει ευθεί γρµµή. Πρτηρήσεις: Α B 0 τότε:. Η ευθεί µε εξίσωση () έχει συτελεστή διεύθυσης: A λ =. B. Η ευθεί µε εξίσωση () είι πράλληλη στο µη µηδεικό διάυσµ δ = ( Β, Α) ή στο u δ = ( Β, Α). u u 3. Η ευθεί µε εξίσωση () είι κάθετη στο µη µηδεικό διάυσµ κ = ( Α, Β ) ή κ = ( Α, Β) u Απόστση σηµείου πό ευθεί. Η πόστση d εός σηµείου (, ) ευθεί µε εξίσωση: Μ πό µί (ε) A+ B+Γ= 0, A+ B 0 ε d Μ (, ) δίετι πό το τύπο: A0+ B0+Γ d = d( M 0, ε) = Α +Β O ~ 8 ~

33 φροτιστήρι στόος Εµδό τριγώου. Α είι γωστές οι κορυφές τριγώου ΑΒΓ, το εµδό του δίετι πό το τύπο: ( ) uu uu ΑΒΓ = det ( AB, AΓ) uu uu uu uu είι η ορίζουσ τω συτετγµέω τω διυσµάτω AB κι AΓ. όπου det ( AB, AΓ) Ισοδύµ ισχύει: ( ) uu uu det (, ) uu uu ΑΒΓ = ΒΑ ΒΓ = det ( ΓΑ, ΓΒ) ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ «Ότ µι ευθεί κι έ διάυσµ είι πράλληλ, έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης». Έστω διάυσµ δ πράλληλο σε µι ευθεί ε. Α φ κι ω είι οι γωίες που σχηµτίζου το διάυσµ δ κι η ευθεί ε µε το άξο ' τιστοίχως, τότε θ ισχύει ϕ = ω ή ϕ= π+ ω. Εποµέως εϕϕ = εϕω. Άρ: «Ότ µι ευθεί κι έ διάυσµ είι πράλληλ, έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης». ε ε δ Ο ϕ ω ω ϕ Ο ω ω ϕ = ω δ ϕ= π+ ω ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι: ο συτελεστής διεύθυσης λ µις ευθείς που διέρχετι πό τ σηµεί (, ) (, ) B, µε είι λ=. Έστω Α (, ) κι (, ) B δύο σηµεί της ευθείς ε. ~ 9 ~ Α κι Τότε ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς ε είι ίσος µε το συτελεστή διεύθυσης του διύσµτος uu AB= (, ), δηλδή ίσος µε.

34 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 3 Έστω O έ σύστηµ συτετγµέω στο επίπεδο κι (, ) Α έ σηµείο του επιπέδου. Ν ρείτε τη εξίσωση της ευθείς ε που διέρχετι πό το A κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ. Θεωρούµε σύστηµ συτετγµέω O στο επίπεδο κι (, ) Α έ σηµείο του επιπέδου. Ζητάµε τη 0 0 εξίσωση της ευθείς ε που διέρχετι πό το σηµείο Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ. Έ σηµείο (, ) M διφορετικό του (, ) Α 0 0 ήκει στη ε, κι µόο, το διάυσµ uuu AM είι πράλληλο στη ευθεί ε, δηλδή κι µόο, το διάυσµ uuu AM κι η ευθεί ε έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης. 0 0 ϕ Ο A( 0, 0) ε M (, ) uuu 0 0 0, έχουµε λuuu = A Μ. 0 0 Εποµέως το σηµείο M (, ) ήκει στη ε, κι µόο, ισχύει: Επειδή AM = (, ) Η τελευτί εξίσωση επληθεύετι κι πό το σηµείο ( 0, 0) Άρ η εξίσωση της ευθείς ε είι: = λ( ) 0 0 Α. 0 = λ ή λ( ) =. 0 0 ΘΕΩΡΙΑ 4 Έστω O έ σύστηµ συτετγµέω στο επίπεδο κι Α (, ) κι B(, ) δύο σηµεί του επιπέδου. Ν ρείτε τη εξίσωση της ευθείς ε που διέρχετι πό τ σηµεί Α (, ) κι (, ) Έστω ε η ευθεί που διέρχετι πό τ σηµεί, B,. Α ( ) κι ( ) Α, τότε ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς είι λ= γράφετι: = ( ) κι εποµέως η εξίσωση = λ( ) Ότ = = 0 δηλδή η ευθεί ε είι κτκόρυφη, δε ορίζετι ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς. Τότε η εξίσωση της κτκόρυφης ευθείς που διέρχετι πό το σηµείο Α ( 0, 0) είι: = 0 γιτί κάθε σηµείο της Μ έχει τετµηµέη Ο A(, ) ε B(, ) B. Το στρό δεδρύλλιο το ισιώεις. Το στρό δέτρο ποτέ. ~ 30 ~

35 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 5 Αποδείξτε ότι: Κάθε ευθεί του επιπέδου έχει εξίσωση της µορφής A+ B+Γ= 0 µε A 0 ή B 0 () κι τιστρόφως, κάθε εξίσωση της µορφής () πριστάει ευθεί γρµµή. Έστω ε µι ευθεί στο κρτεσιό επίπεδο. Α η ευθεί ε τέµει το άξο ' εξίσωση = λ+, η οποί γράφετι: στο σηµείο ( 0,) Σ κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ, τότε θ έχει λ+ ( ) + = 0 Α η ευθεί ε είι κτκόρυφη κι διέρχετι πό το σηµείο P( 0, 0), τότε θ έχει εξίσωση = 0, η οποί γράφετι ισοδύµ: ( ) = 0. 0 Βλέπουµε, δηλδή, ότι κι στις δύο περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείς ε πίρει τη µορφή A+ B+Γ= 0 µε A 0 ή B 0 ε P( 0, 0) Ο Ατιστρόφως, έστω η εξίσωση: A+ B+Γ= 0 µε A 0 ή B 0 A Α B 0, τότε η εξίσωση γράφετι = Γ B B, που είι εξίσωση ευθείς µε συτελεστή Α Γ διεύθυσης λ= κι η οποί τέµει το άξο ' στο σηµείο 0, Β Β. Γ Α Β= 0, τότε, λόγω της υπόθεσης, είι A 0 κι η εξίσωση γράφετι =, που είι Α εξίσωση ευθείς που είι κάθετη στο άξο Γ ' στο σηµείο του P,0 Α. Έτσι σε όλες τις περιπτώσεις η εξίσωση A+ B+Γ= 0 µε A 0 ή B 0 πριστάει ευθεί. Ολοκληρωµέη εκπίδευση Οργάωση - Προγρµµτισµός Φροτιστήρι στόoς = 00% Επιτυχί ~ 3 ~

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ορισµός Κύκλος είι ο γεωµετρικός τόπος τω σηµείω Μ του επιπέδου τ οποί ισπέχου πό στθερό σηµείο του επιπέδου στθερή πόστση. Το στθερό σηµείο λέγετι κέτρο κι η στθερή πόστση κτί του κύκλου. ρ ρ Α (, ) Ο ( 0,0) Ο ( 0,0) Εξίσωση κύκλου µε κέτρο Ο (0,0) κι Εξίσωση εφπτοµέης κύκλου µε κτί ρ : + = ρ κέτρο Ο (0, 0) κι κτί ρ στο σηµείο Α (, ) : + = ρ Κ (, ) 0 0 ρ Εξίσωση κύκλου µε κέτρο Κ ( 0, 0) κι = ρ κτί ρ: ( ) ( ) Ο Η εξίσωση A B Γ= 0 (), A, B, Γ R Α Α Α Α +Β 4Γ> 0 : η εξίσωση () πριστάει κύκλο µε κέτρο το σηµείο: Α, Β Κ κι κτί Α +Β 4Γ ρ = Α Β Α +Β 4Γ= 0 : η () πριστάει το σηµείο Κ,. Α +Β 4Γ< 0 : η εξίσωση () είι δύτη. Β. ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισµός Προλή είι ο γεωµετρικός τόπος τω σηµείω Μ του επιπέδου τ οποί ισπέχου πό µι στθερή ευθεί (δ) που λέγετι διευθετούσ της προλής κι πό έ στθερό σηµείο Ε που λέγετι εστί της προλής. Τ σηµεί που ικοποιού τη προηγούµεη ιδιότητ ήκου σε µι κµπύλη που φίετι στ επόµε σχήµτ. ~ 3 ~

37 φροτιστήρι στόος Εξίσωση προλής κι γρφική πράστση p. Με κορυφή Ο (0,0), εστί Ε,0, κι διευθετούσ : p δ = = p Εξίσωση προλής: = ρ (ρ > 0 κι 0) ( ρ<0 τότε κι 0) ρ Εστί: Ε(,0) ρ ιευθετούσ δ: = - Εξίσωση εφπτοµέης: = ρ( + ) p. Με κορυφή Ο (0,0), εστί Ε 0,, κι διευθετούσ : p δ = = p Εξίσωση προλής: = ρ (ρ > 0 κι ψ 0) ( ρ<0 τότε κι ψ 0) ρ Εστί: Ε(0, ) ρ ιευθετούσ δ: = - Εξίσωση εφπτοµέης: = ρ( + ) Ακλστική ιδιότητ προλής Η κάθετη στη εφπτοµέη µις προλής στο σηµείο επφής Μ διχοτοµεί τη γωί που σχηµτίζου η ηµιευθεί ΜΕ κι η ηµιευθεί Μt, που είι οµόρροπη της ΟΕ, όπου Ε η εστί της προλής. M (, ) ϕ ϕ t E Ο Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισµός Έλλειψη µε εστίες τ σηµεί Ε ' κι Ε είι ο γεωµετρικός τόπος C τω σηµείω του επιπέδου τω οποίω το άθροισµ τω ποστάσεω πό τ Ε ' κι Ε είι στθερό κι µεγλύτερο του ΕΕ '. Το στθερό υτό άθροισµ το συµολίζουµε µε, εώ τη εστική πόστση ΕΕ ' µε γ. ηλδή Μ ΜΕ ' + ΜΕ = σηµείο της έλλειψης: ( ) ( ) Εξίσωση έλλειψης κι γρφική πράστση ψ Εξίσωση: + = Εστίες: Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) Κορυφές: Α (-,0) κι Α(,0) ψψ Εξίσωση εφπτοµέης + = Μεγάλος άξος: Α Α= Μικρός άξος: Β Β= ~ 33 ~

38 φροτιστήρι στόος = γ γ > γ κι > Εκκετρότητ: ε = < ψ Εξίσωση: + = κι Εστίες: Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) Κορυφές: Α (0, -) κι Α(0,) ψψ Εξίσωση εφπτοµέης + = = γ. ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισµός: Υπερολή µε εστίες τ σηµεί Ε ' κι Ε είι ο γεωµετρικός τόπος τω σηµείω του επιπέδου τω οποίω η πόλυτη τιµή της διφοράς τω ποστάσεω πό τ Ε ' κι Ε είι στθερή κι µικρότερη του Ε ' Ε. Το πόλυτο της διφοράς υτής το συµολίζουµε µε κι τη εστική πόστση µε γ. ηλδή Μ το σηµείο της υπερολής: ΜΕ ' ΜΕ = ( ) ( ) Εξίσωση υπερολής κι γρφική πράστση. ψ Εξίσωση: =, γ = + Εστίες: Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) Κορυφές: Α (-,0) κι Α(,0) Ασύµπτωτες: =, = - γ Εκκετρότητ: ε = > ψψ Εξίσωση εφπτόµεης: = ψ Εξίσωση: =, γ = + Εστίες: Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) Κορυφές: Α (0,-) κι Α(0,) Ασύµπτωτες: =, = - γ Εκκετρότητ: ε = > ψψ Εξίσωση εφπτόµεης: = Ισοσκελής λέγετι η υπερολή = ή = ( = ) ~ 34 ~

39 φροτιστήρι στόος ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι ο κύκλος µε κέτρο το σηµείο Ο (0,0) κι κτί ρ έχει εξίσωση: Θεωρούµε σύστηµ συτετγµέω O στο επίπεδο κι το κύκλο C µε κέτρο O(0,0) κι κτί ρ. Έ σηµείο M (, ) ήκει στο κύκλο C, κι µόο, πέχει πό το κέτρο του Ο πόστση ίση µε τη κτί ρ, δηλδή, κι µόο ισχύει: ( OM) ΟΜ = Επειδή ( ) + = ρ ή ισοδύµ, + η σχέση () γράφετι: + = ρ. = ρ () + = ρ. Ο ( 0,0) ρ Μ (, ) C ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι, η εφπτοµέη του κύκλου ρ + =. Έστω ε η εφπτοµέη του κύκλου C: + = ρ σε έ σηµείο του Α (, ). Έ σηµείο M (, ) ήκει στη ε, κι µόο OA AM, δηλδή, uu uuu κι µόο ισχύει: OA AM = 0. () uu uuu Επειδή OA= (, ) κι AM = (, ). η () γράφετι διδοχικά: ( ) + ( ) = 0 ή + = + ή + = ρ φού + = ρ., + = ρ στο σηµείο του Α (, ) έχει εξίσωση (, ) A O Μ (, ) ΘΕΩΡΙΑ 3 Αποδείξτε ότι, ο κύκλος µε κέτρο ( 0, 0) Κ κι κτί ρ έχει εξίσωση: ( ) ( ) Θεωρούµε σύστηµ συτετγµέω Ο στο επίπεδο κι C το κύκλο µε κέτρο Κ( 0, 0) κι κτί ρ. Έ σηµείο M (, ) ήκει στο κύκλο C, κι µόο η πόστση του πό το κέτρο Κ του κύκλου, είι ίση µε ρ, δηλδή, κι µόο ισχύει: KM = ρ () ( ) Επειδή είι, ( ) ( ) ( ) η σχέση () γράφετι: ΚΜ = ( ) + ( ) = ρ ή, ισοδύµ, ( ) ( ) = ρ. ~ 35 ~ = ρ Κ (, ) Ο 0 0 ρ Μ (, )

40 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι, η εξίσωση ( ) ( ) + = ρ () γράφετι στη µορφή: () κι εξετάσετε πότε µι εξίσωση της µορφής () πριστάει κύκλο; A B Γ= 0 Απτύσουµε τις τυτότητες κι η εξίσωση () γράφετι: 0 0 ( 0 0 ρ ) δηλδή πίρει τη µορφή θέτοτς: Α= 0, B= 0 κι A B Γ= 0, Γ= + ρ = 0 Ατιστρόφως, κάθε εξίσωση της µορφής () γράφετι διδοχικά: ( A) ( B) A A B B A B = Γ = Γ A B A + B 4 Γ =. 4 ικρίουµε τις περιπτώσεις: Α Β Α A + B 4Γ> 0, η εξίσωση () πριστάει κύκλο µε κέτρο Κ, κι κτί A + B 4Γ A + B 4Γ ρ = =. 4 Α Β Α A + B 4Γ= 0, η εξίσωση () πριστάει έ µόο σηµείο, το Κ,. Α A + B 4Γ< 0, η εξίσωση () είι δύτη, δηλδή δε υπάρχου σηµεί Μ (, ) τω οποίω οι συτετγµέες τη επληθεύου. Αποδείξµε λοιπό ότι: Κάθε κύκλος έχει τη εξίσωση της µορφής + + A+ B+Γ= 0, µε A κι τιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής (Ι) πριστάει κύκλο. + B 4Γ> 0 (Ι) ΘΕΩΡΙΑ Γράψτε τη εξίσωση της προλής µε άξο συµµετρίς το ' κι ποδείξτε ότι η προλή ρίσκετι στο ηµιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσ δ κι η εστί της Ε. Η προλή µε άξο συµµετρίς το ' έχει εξίσωση: = p Από τη πρπάω εξίσωση προκύπτει ότι τ p κι (µε 0 ) είι οµόσηµ. Άρ, κάθε φορά η προλή ρίσκετι στο ηµιεπίπεδο που ορίζει ο άξος ' κι η εστί Ε. Εποµέως η προλή ρίσκετι στο ηµιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσ δ κι η εστί Ε. ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι η κάθετη πό τη εστί στη διευθετούσ είι άξος συµµετρίς της προλής. Α το σηµείο M(, ) είι σηµείο της προλής M (, ) ~ 36 ~ = p, δηλδή, θ είι σηµείο της ίδις προλής, φού ισχύει: ( ) = p, τότε το σηµείο = = p. Αυτό σηµίει ότι ο άξος ' είι άξος συµµετρίς της προλής. Εποµέως, η κάθετη πό τη εστί στη διευθετούσ είι άξος συµµετρίς της προλής (κι λέγετι άξος της προλής).

41 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ Γράψτε τη εξίσωση της έλλειψης κι ποδείξτε ότι η έλλειψη περιέχετι στο ορθογώιο που ορίζου οι ευθείες =, = κι =, =. Η εξίσωση της έλλειψης είι + =. Από τη εξίσωση της έλλειψης, έχουµε 0 κι άρ. Οµοίως. = οπότε Άρ, η έλλειψη περιέχετι στο ορθογώιο που ορίζου οι ευθείες =, = κι =, =. ΘΕΩΡΙΑ ) Τι οοµάζουµε εκκετρότητ ε έλλειψης; ) Αποδείξτε ότι γι τη εκκετρότητ ισχύει ε =. Ποιες ελλείψεις λέγοτι όµοιες; ) Εκκετρότητ της έλλειψης είι µι πράµετρος που κθορίζει τη µορφή της έλλειψης. γ Οοµάζουµε εκκετρότητ της έλλειψης + = κι τη συµολίζουµε µε ε, το λόγο ε = <. ) Επειδή γ =, είι ε =, οπότε ε = = κι άρ ε =. Εποµέως, όσο µεγλώει η εκκετρότητ τόσο µικρίει ο λόγος κι συεπώς τόσο πιο επιµήκης γίετι η έλλειψη. Ότ η εκκετρότητ ε τείει στο µηδέ, τότε ο λόγος τείει στο κι εποµέως η έλλειψη τείει γίει κύκλος. Ότ, όµως, η εκκετρότητ ε τείει στη µοάδ, τότε ο λόγος τείει στο 0 κι εποµέως η έλλειψη τείει εκφυλιστεί σε ευθύγρµµο τµήµ. Όµοιες λέγοτι οι ελλείψεις που έχου τη ίδι εκκετρότητ, άρ ίδιο λόγο. ΘΕΩΡΙΑ Γράψτε τη εξίσωση της υπερολής µε εστίες στο άξο ποτελείτι πό δύο χωριστούς κλάδους. Η εξίσωση της υπερολής είι Οπότε 0 κι άρ ~ 37 ~ ' κι ποδείξτε ότι η υπερολή =. Από τη εξίσωση της υπερολής, έχουµε: ή. Εποµέως, τ σηµεί της υπερολής ρίσκοτι έξω πό τη τιί τω ευθειώ πράγµ που σηµίει ότι η υπερολή ποτελείτι πό δύο χωριστούς κλάδους. = +, = κι =,

42 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ i) ii) iii) i) Τι οοµάζουµε εκκετρότητ ε υπερολής; = ε. Ποι η σχέση της εκκετρότητς µε το συτελεστή διεύθυσης της σύµπτωτης υτής; Πόση είι η εκκετρότητ µις ισοσκελούς υπερολής; Αποδείξτε ότι γι τη εκκετρότητ ισχύει i) Η πράµετρος που κθορίζει το σχήµ της υπερολής είι η εκκετρότητ. γ Οοµάζουµε εκκετρότητ της υπερολής =, κι τη συµολίζουµε µε ε, το λόγο ε = >. + Επειδή γ = +, είι ε =, οπότε ε = + κι άρ, = ε. ii) iii) Εποµέως, η εκκετρότητ ε προσδιορίζει το συτελεστή διεύθυσης της σύµπτωτου της, δηλδή χρκτηρίζει το ορθογώιο άσης. Άρ κι τη µορφή της ίδις της υπερολής. Όσο η εκκετρότητ µικρίει κι τείει γίει ίση µε το, ο λόγος, άρ κι το, µικρίει κι τείει γίει ίσο µε το 0. Κτά συέπει, όσο πιο µικρή είι η εκκετρότητ της υπερολής τόσο πιο επίµηκες είι το ορθογώιο άσης κι κτά συέπει τόσο πιο κλειστή είι η υπερολή. i) Στη περίπτωση της ισοσκελούς υπερολής είι =, οπότε: ε = ε = ε =. ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ;; ~ 38 ~

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Μθηµτική επγωγή Θεώρηµ Έστω P( ) ές ισχυρισµός που φέρετι στους θετικούς κερίους. Α ) ο ισχυρισµός είι ληθής γι το κέριο δηλδή ο P () είι ληθής κι ) η λήθει του P( ) συεπάγετι τη λήθει του P( + ) γι κάθε. Τότε ο ισχυρισµός P( ) ληθεύει γι όλους τους θετικούς κέριους. Ευκλείδει διίρεση Θεώρηµ Αποδεικύετι ότι γι οποιουσδήποτε κερίους κι, 0, ισχύει το πρκάτω θεώρηµ κι διτυπώετι ως εξής: Α κι κέριοι µε 0, τότε υπάρχου µοδικοί κέριοι κ κι υ τέτοιοι ώστε: = κ + υ, 0 υ< Η διδικσί εύρεσης τω κ, υ λέγετι ευκλείδει ή λγοριθµική διίρεση του µε το. Η ισότητ = κ + υ, µε 0 υ<, λέγετι τυτότητ της λγοριθµικής διίρεσης του µε το. Ο κ λέγετι πηλίκο κι ο υ υπόλοιπο της διίρεσης υτής, εώ ο διιρετέος κι ο διιρέτης. Η διίρεση λέγετι τέλει το υπόλοιπο είι ίσο µε 0. Βσικές προτάσεις Το άθροισµ ή η διφορά δύο άρτιω είι άρτιος. Το άθροισµ ή η διφορά δύο περιττώ είι άρτιος. Α η διφορά δύο κερίω είι άρτιος τότε κι το άθροισµ είι άρτιος τίστοιχ, η διφορά δύο κερίω είι περιττός τότε κι το άθροισµ είι περιττός. Το άθροισµ ή η διφορά εός άρτιου κι εός περιττού είι περιττός. Το γιόµεο δύο άρτιω είι άρτιος. Το γιόµεο δύο περιττώ είι περιττός. Το γιόµεο εός άρτιου κι εός περιττού είι άρτιος. Το γιόµεο δύο διδοχικώ κέριω είι άρτιος. * Α άρτιος τότε, Ν είι άρτιος. Α περιττός τότε *, Ν είι περιττός. Το άθροισµ πεπερσµέου πλήθους άρτιω είι άρτιος. Το άθροισµ άρτιου πλήθους περιττώ είι άρτιος. Το άθροισµ περιττού πλήθους περιττώ είι περιττός. Το γιόµεο δύο ή περισσοτέρω κέριω είι άρτιος, κι µόο, ές τουλάχιστο πράγοτς είι άρτιος. Το γιόµεο δύο ή περισσοτέρω κερίω είι περιττός, κι µόο, όλοι οι πράγοτες είι περιττοί. ΑΠΟΤΕΛΑΣΜΑΤΙΚΟ ΧΡΟΝΟ ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΩΝ ~ 39 ~

44 φροτιστήρι στόος ιιρετότητ Ορισµός Έστω, δύο κέριοι µε 0. Θ λέµε ότι ο διιρεί το κι θ γράφουµε ότ η διίρεση του µε το είι τέλει. ηλδή ότ υπάρχει κέριος κ ώστε = κ. Στη περίπτωση υτή λέµε κόµη ότι: διιρείτι µε το πολλπλάσιο του είι διιρέτης του είι πράγοτς του δε διιρεί το τότε γράφουµε Επισήµση: Στο εξής ότ χρησιµοποιείτι ο συµολισµός οι ριθµοί, είι κέριοι κι 0, υτό δε φέρετι. Συέπειες του ορισµού Α τότε ±, Ζ, ±, Ζ 0 γι κάθε * Ζ τότε κ κ, κ Ζ Θεώρηµ Έστω,, γ κέριοι. Ισχύου τ πρκάτω: Α κι τότε: =± Α κι γ τότε: γ Α τότε λ γι κάθε λ Ζ Α κι γ τότε: ( + γ) Α κι 0 τότε: Σ συέπει του πιο πάω θεωρήµτος ισχύει: * * Α / κι / γ τότε / ( κ + λγ ), γι κάθε κ, λ Ζ δηλδή ότι «ές κέριος διιρεί δύο άλλους κερίους κι γ διιρεί κι έ οποιοδήποτε γρµµικό συδυσµό τω κι γ». Πρότση Θεωρούµε τη ευκλείδει διίρεση του µε το κι έστω κ κι υ το πηλίκο κι το υπόλοιπο τίστοιχ. i. Α ές κέριος διιρεί κι το κι το τότε διιρεί κι το υ. ii. Α ές κέριος διιρεί κι το κι το υ τότε διιρεί κι το. Πρότση Έστω,,, κέριοι. Α γι /\ γ κι γ ( ) ± τότε γ. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΜΕΝΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΑ ΣΥΓΡΑΜΜΑΤΑ ~ 40 ~

45 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Έστω,, γ κέριοι. Αποδείξτε τις κόλουθες ιδιότητες: i. Α κι, τότε = ή =. ii. Α κι γ, τότε γ. iii. Α, τότε λ γι κάθε κέριο λ. i. Α, κι γ, τότε ( + γ ).. Α κι 0, τότε. i. Επειδή κι, υπάρχου κέριοι κ, λ, τέτοιοι, ώστε = κ κι = λ, οπότε = κλ κι εποµέως, κλ = ή κ = λ =, δηλδή ότι = ή =. ii. Επειδή κι γ, υπάρχου κέριοι κ, λ, τέτοιοι, ώστε = κ κι γ = λ, οπότε γ = λκ δηλδή γ. iii. Επειδή υπάρχει κέριος κ, τέτοιος, ώστε = κ, οπότε λ = λκ δηλδή λ. i. Επειδή κι γ, υπάρχου κέριοι κ, λ τέτοιοι, ώστε = κ κι γ = λ, οπότε + γ = (κ + λ ) δηλδή ( + γ ). Επειδή κι 0, υπάρχει κέριος κ 0 µε = κ. Εποµέως, = κ, φού κ. ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ;; ~ 4 ~

46 φροτιστήρι στόος Απτήσεις στις ερωτήσεις κτόησης του σχολικού ιλίου. ~ 4 ~

47 φροτιστήρι στόος Σχεδισμός Επγγελμτικής Στδιοδρομίς Α θες είσι ευτυχισμέος γι μι ώρ, πάρε έ υπάκο, Α θες είσι ευτυχισμέος γι μί μέρ, πήγιε γι ψάρεμ, Α θες είσι ευτυχισμέος γι έ μή, πτρέψου, Α θες είσι ευτυχισμέος γι έ χρόο, κληροόμησε μι περιουσί, Α θες είσι ευτυχισμέος δι ίου, κάε μι δουλειά που τη γπάς. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ στόoς Στ πλίσι της διρκούς στήριξης τω μθητώ μς κι τιλμόμεοι τη δυσκολί του ορθού επγγελμτικού προστολισμού, τ φροτιστήρι στόος σε συεργσί με το Κέτρο Συμουλευτικής κι Επγγελμτικού προστολισμού ΣeΠ, πρέχου τη δυτότητ διερεύησης ορθής επγγελμτικής επιλογής. ΣΤΟΧΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣeΠ. Στόχος μς είι, στηριζόμεοι σε επιστημοικά έγκυρες μεθόδους, κτευθύουμε σωστά κι με υπευθυότητ τους μθητές μς ώστε τους οηθήσουμε ετοπίσου τους κτάλληλους επγγελμτικούς τομείς που τους τιριάζου. Ο στόχος του προγράμμτος φορά: τη διάγωση τω εδιφερότω, τη διερεύηση της προσωπικότητς κι τη άλυση τω ικοτήτω του μθητή. ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ Με τομικά ρτεού με τους μθητές του φροτιστηρίου μς κι τους γοείς χρειστεί, οι υπεύθυοι σπουδώ οηθάε τους υποψήφιους συμπληρώσου το μηχογρφικό. Θεριή Προετοιµσί στ φροτιστήρι στόος = 00% Επιτυχί ~ 43 ~

48 φροτιστήρι στόος ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΘΕΡΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ 4 ΑΛΓΕΒΡΑ 4 ΣΥΝΟΛΟ 8 ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΣΥΝΟΛΟ 7 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΣΥΝΟΛΟ 7 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΧΑΙΑ 4 ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ 6 Οι µθητές που ρχίζου τη προετοιµσί πό τ θεριά τµήµτ: Έχου το χρόο κλύψου τ κεά προηγούµεω τάξεω. διάσου ουσιστικά, χωρίς το άγχος κι το φόρτο του σχολείου ώστε είι σε πλεοεκτική θέση έτι τω συµµθητώ τους το Σεπτέµρη. ποκτήσου τις άσεις, προσεγγίσου σωστά κι σε άθος, µεγάλο µέρος της ύλης της Β Λυκείου ώστε εξσφλίσου πό τη ρχή υψηλή θµολογί στις γρπτές κι προφορικές εξετάσεις. ποκτήσου πείρ κι ωριµότητ γι τις γρπτές εξετάσεις µε τ εδοµδιί διγωίσµτ, µάθου µελετού δηµιουργικά, υπεύθυ κι προγρµµτισµέ Ελάτε συζητήσουµε: τις λλγές του εξετστικού συστήµτος το κιοτόµο πρόγρµµ του φροτιστηρίου µς ώστε µπορέσετε προετοιµστείτε κτάλληλ µε στόχο: τις σχολές υψηλής ζήτησης. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΘΕΡΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΦΥΣΙΚΗ 3 ΧΗΜΕΙΑ ΑΡΧΑΙΑ 3 ΝΕΑ ΣΥΝΟΛΟ 5 Στο Ειίο Λύκειο πρέχουµε τριετή κύκλο προετοιµσίς κλύπτοτς όλες τις κτευθύσεις σπουδώ προς το Εθικό Απολυτήριο. Η Α Λυκείου είι τάξη προστολισµού, στη διάρκειά της οποίς ο µθητής µε τη οήθει τω κθηγητώ διερευά τις κλίσεις του, ξιολογεί τις δυάµεις του ώστε η επιλογή κτεύθυσης είι η κλύτερη δυτή. Ο µθητής πρέπει κλύψει τ κεά που υπάρχου πό το Γυµάσιο κι ποκτήσει τις άσεις ώστε τποκριθεί µε επιτυχί στις πιτήσεις του Ειίου Λυκείου. ~ 44 ~

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχλγικής Κτεύθυσης Μθημτικά Γ Λυκείυ Θεωρί ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: inf@iliasks.gr www.iliasks.gr Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ Τ σύλ C τω

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛ. ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ «ΛΥΧΝΙΑ», Αδραβίδας 7, 13671 Χαμόμυλο Αχαρνών τηλ.: 210 34 10 436, fax: 210 34 25 967

ΗΛ. ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ «ΛΥΧΝΙΑ», Αδραβίδας 7, 13671 Χαμόμυλο Αχαρνών τηλ.: 210 34 10 436, fax: 210 34 25 967 ΒΙΟΛΟΓΙΑ είς δ ι ςπ ή κ ι Γε Υ Ο Ι ΚΕ Υ Λ Γ είς Πιδ τς Γ ής Γεικ ς ί γ ς ιολο θτή. όσ τ β Β µ ς τ τ οµ ριλ ύλς οσιτό στ λήρ κ ίο πε ς λ β ι έ στ πρ π Το β εξετ ε τρόπο ού στ ς τ ί µ κοπ. θεωρ γρµµέ ου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα