ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη w w w. s t o o s o m i l o s. g r

2 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΡΙΝΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ Έρξη µθηµάτω ευτέρ Ιουίου Λήξη µθηµάτω Πρσκευή 5 Ιουλίου. ΧΕΙΜΕΡΙΝΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ Έρξη µθηµάτω Τρίτη Σεπτεµρίου. ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ Έρξη µθηµάτω ευτέρ 4 Σεπτεµρίου. Τµήµτ ολιγοµελή κι οµοιογεή Στ τµήµτ τω ποφοίτω πργµτοποιούτι επιπλέο ώρες του κοικού προγράµµτος. Οι µθητές που έχου κεά ή πορίες κλύπτοτι µε δωρεά ώρες εισχυτικής διδσκλίς. Προγρµµτισµέ τεστ στο τέλος κάθε εότητς. Προγρµµτισµέ 3ωρ διγωίσµτ κάθε δεύτερη Κυρική. Ειδική εηµέρωση γι συµπλήρωση Μηχογρφικού. Στις τελευτίες σελίδες υπάρχει λυτικά το πρόγρµµ τω θεριώ τµηµάτω.

3 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΘΕΡΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ 3 ΣΥΝΟΛΟ 5 ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝ. ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ 4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΥΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 4 ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ 4 Στο φροτιστήριο στόος ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΧΑΙΑ 6 ΛΑΤΙΝΙΚΑ 3 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ 3 ΣΥΝΟΛΟ 4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΟΡΓ. & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΡΟΓΡ. - ΛΕΙΤΟΥΡ. ΣΥΝΟΛΟ 4 Οι µθητές που πρκολουθού τη θεριή προετοιµσί: δε γχώοτι ως προς τη κάλυψη της ύλης εξσφλίζου υψηλή θµολογί στις προφορικές κι γρπτές εξετάσεις Λειτουργού ολιγοµελή οµοιογεή τµήµτ, τ οποί λόγω άµιλς, τλλγής πόψεω κι κάλυψης όλω τω ποριώ υπερτερού πό τ ιδιίτερ µθήµτ. ιδάσκου έµπειροι κθηγητές, ειδικευµέοι ά µάθηµ. Ο προγρµµτισµός της ύλης κι η υπεύθυη εφρµογή του επιτρέπει πολλές επλήψεις µέχρι τη έρξη τω εξετάσεω. Τ προγρµµτισµέ διγωίσµτ προσφέρου εµπειρί κι υτοπεποίθηση στους µθητές µς. Το φροτιστήριο µς είι δίπλ στους µθητές του µέχρι κι τη τελευτί ηµέρ τω εξετάσεω, µε προγρµµτισµέ µθήµτ γι τις τελευτίες υποδείξεις κι τη κτάλληλη υποστήριξη. Πρέχοτι ιλί κι σηµειώσεις τω κθηγητώ µς σε κάθε µάθηµ, σύµφω µε το πρόγρµµ σπουδώ του Ειίου Λυκείου. Η εηµέρωση τω γοέω είι άµεση, διρκής κι ειλικριής. Οι επιδόσεις κι η συολική εικό του µθητή κτγράφοτι στο ηλεκτροικό υπολογιστή. Η τκτική εηµέρωση τω γοέω γίετι: τη τελευτί εδοµάδ της θεριής περιόδου το πρώτο δεκήµερο του εκεµρίου το πρώτο δεκήµερο του Απριλίου Τ µθήµτ γίοτι σε σύγχροες κι άετες κλιµτιζόµεες ίθουσες. Θεριή Προετοιµσί στ φροτιστήρι στόος = 00% Επιτυχί

4 w w w. s t o o s o m i l o s. g r Κετρικά γρφεί Αϊστάι 30 Αµφιάλη Τηλ.: F: 0 43 Αϊστάι 30 Αµφιάλη Π. Τσλδάρη 6 Αµφιάλη Π. Τσλδάρη 6 Αµφιάλη Αϊστάι 30 Αµφιάλη Π. Τσλδάρη 6 Αµφιάλη

5 Περιεχόµε ΜΕΡΟΣ Ο Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις Στη Άλγερ Γεικής Πιδείς ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 8 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡ. 4 ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις στ Μθηµτικά Κτεύθυσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΘΕΙΑ 7 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 38 ΜΕΡΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 4 3 Ο

6 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ;; Θεριή Προετοιμσί στ Φροτιστήρι στόoς = 00% Επιτυχί ~~

7 φροτιστήρι στόος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις Στη Άλγερ Γεικής Πιδείς Πρόσημο τριγωομετρικώ ριθμώ γωίς ω Τετρτημόρι I II III IV ημω συω εφω σφω ω (μοίρες) 0 ο 30 ο 45 ο 60 ο 90 ο 80 ο 70 ο 360 ο ω (rd) 0 π π π π π 3π π ημω συω εφω σφω Πίκς τριγωομετρικώ ριθμώ σικώ γωιώ Τυτότητ Με τη προϋπόθεση ηµ ω+ συ ω= ω R ηµω εϕω = συω ω R, συω 0 Βσικές τυτότητες συω σϕω ηµω εϕω σϕω = ω R, ηµω 0 = ω R, ηµω συω 0 εϕ ω εϕ ω ηµ ω= + ω R, συω 0 συ ω= + εϕ ω ω R, συω 0 Αγωγή στο ο τετρτημόριο ημ συ εφ σφ ηµ συ συ εϕ σϕ σϕ εϕ π π + π 3π 3π π + + π π συ ηµ ηµ συ συ ηµ ηµ ηµ ηµ συ συ ηµ ηµ συ σϕ εϕ εϕ εϕ σϕ σϕ σϕ εϕ συ σϕ εϕ εϕ εϕ σϕ σϕ ~ 3 ~

8 φροτιστήρι στόος Περιοδική συάρτηση * Μι συάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγετι περιοδική, ότ υπάρχει T R + τέτοιος ώστε γι κάθε A ισχύου: i. + T A, T A, κι ii. f ( + T) = f ( T) = f ( ) Ο ριθμός Τ λέγετι περίοδος της συάρτησης f. Η συάρτηση ημίτοο Η συάρτηση με τη οποί κάθε πργμτικός ριθμός τιστοιχίζετι στο ηµ ( rd) λέγετι συάρτηση ημίτοο κι τη συμολίζουμε με: ηµ = ηµ ( rd) = f ( ) = ηµ 0 π π Η συάρτηση ημίτοο είι περιοδική με περίοδο π διότι: ( ) Μοοτοί ηµ ± π = ηµ, γι κάθε R 0 π π 3π π ηµ μέγιστο ψ = γι χ = π ελάχιστο ψ = - γι χ = 3 π Αυτό σημίει ότι η γρφική της πράστσης επλμάετι σε κάθε διάστημ πλάτους π. Η μοοτοί της συάρτησης υτής στο διάστημ [ 0,π ] φίετι στο πρπάω πίκ. Η συάρτηση συηµίτοο Η συάρτηση µε τη οποί κάθε πργµτικός ριθµός τιστοιχίζετι στο συ ( rd ) λέγετι συάρτηση συηµίτοο κι τη συµολίζουµε: συ = συ( rd) Η συάρτηση υτή είι περιοδική µε περίοδο π, διότι: συ( ± π) = συ γι κάθε R ~ 4 ~

9 φροτιστήρι στόος = f ( ) = συ 0 π π π Αυτό σηµίει ότι η γρφική πράστση επλµάετι σε κάθε διάστηµ πλάτους π. Η µοοτοί της συάρτησης υτής στο διάστηµ [ 0,π ] φίετι στο πρκάτω πίκ: 0 π π 3π π συ 0-0 µέγιστο ψ= γι χ=0 Ελάχιστο ψ=- γι χ=π µέγιστο ψ= γι χ=π Η συάρτηση εφπτοµέη Η συάρτηση εφπτοµέη ορίζετι ως το πηλίκο του ηµιτόου προς το συηµίτοο. ηµ Είι: f ( ) = εϕ = µε πεδίο ορισµού το A= { R : συ 0} συ εϕ ± π = εϕ, γι κάθε A. Άρ η γρφική Η συάρτηση εφ είι περιοδική µε περίοδο π διότι: ( ) της πράστση επλµάετι η ίδι σε κάθε διάστηµ πλάτους π. π π Ότ το πλησιάζει («τείει») στο µε < η εφ τείει στο + οπότε, λέµε ότι η ευθεί είι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της f µε f ( ) = εϕ π = 3π π π 0 π π 3π = f ( ) = εϕ ~ 5 ~

10 φροτιστήρι στόος Οι συρτήσεις f ( ) = ρηµ ( ω), όπου ρ, ω > 0 κι g( ) = ρσυ ( ω), όπου ρ, ω > 0 Επειδή ηµ έχουµε ηµ ( ω) επειδή ρ > 0 είι: ρ ηµ ( ω) ρ ρ f ( ) ρ Άρ η µέγιστη τιµή της f είι το ρ κι η ελάχιστη τιµή της είι το ρ. Α το ρ < 0 µε πρόµοιο τρόπο ελάχιστο το ρ κι µέγιστο το ρ. Το ω κθορίζει τη περίοδο Της της f που είι: Τριγωοµετρικές εξισώσεις T π = ω Βσικές τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµ = ηµθ = κπ + θ ή = κπ + π θ, κ Ζ συ = συθ = κπ ± θ, κ Ζ εϕ = εϕθ = κπ + θ, κ Ζ σϕ = σϕθ = κπ + θ, κ Ζ Τριγωοµετρικοί ριθµοί θροίσµτος κι διφοράς συ ( + ) = συσυ ηµηµ συ ( ) = συσυ + ηµηµ ηµ ( + ) = ηµσυ + συηµ ηµ ( ) = ηµσυ συηµ εϕ+ εϕ εϕ εϕ εϕ( + ) = εϕ( ) = εϕεϕ + εϕεϕ σϕσϕ σϕσϕ + σϕ( + ) = σϕ( ) = σϕ+ σϕ σϕ σϕ Τριγωοµετρικοί ριθµοί του. ηµ = ηµσυ. συ = συ ηµ. συ = συ γ. συ = ηµ εϕ σϕ εϕ 3. εϕ = 4. σϕ = 5. ηµ = εϕ σϕ +εϕ εϕ εϕ συ συ συ = 7. εϕ = 8. ηµ = + + συ + συ 3 3 συ = 0. ηµ 3 = 3ηµ 4ηµ. συ 3 = 4συ 3συ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ συ ( ) = συσυ + ηµηµ Χωρίς πόδειξη ~ 6 ~

11 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ συ ( + ) = συσυ ηµηµ Α στο τύπο συ ( ) = συσυ + ηµηµ τικτστήσουµε το µε έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) συ = συ + συ = συσυ + ηµηµ = συσυ ηµηµ ΘΕΩΡΙΑ 3 ηµ ( + ) = ηµσυ + συηµ π π Επειδή συ = ηµ κι ηµ = συ έχουµε: π π ηµ ( + ) = συ ( + ) = συ = π π = συ συ+ ηµ ηµ = ηµσυ συηµ ΘΕΩΡΙΑ 4 ηµ ( ) = ηµσυ συηµ Α στο τύπο ηµ ( + ) = ηµσυ + συηµ τικτστήσουµε το µε το έχουµε: [ ] [ ] ηµ + ( ) = ηµ ( ) ηµ + ( ) = ηµσυ ( ) + συηµ ( ) = ηµσυ συηµ εϕ+ εϕ ΘΕΩΡΙΑ 5 εϕ( + ) =, συ ( + ) 0 εϕεϕ κι συ 0. ηµ ( + ) ηµσυ + συηµ εϕ( + ) = = = συ ( + ) συσυ ηµηµ ηµσυ συηµ + συσυ συσυ εϕ+ εϕ = = συσυ ηµηµ εϕεϕ συσυ συσυ ( ιιρούµε µε συσυ 0 ) εϕ εϕ ΘΕΩΡΙΑ 6 εϕ( ) = εϕεϕ εϕ+ εϕ Α στο τύπο εϕ( + ) =, τικτστήσουµε το µε το έχουµε: εϕεϕ εϕ( ) = εϕ + ( ) [ ] εϕ+ εϕ( ) εϕ εϕ εϕ[ + ( )] = = εϕεϕ( ) + εϕεϕ ~ 7 ~

12 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 7 ηµ = ηµσυ ηµ = ηµ ( + ) = ηµσυ + συηµ = ηµσυ ΘΕΩΡΙΑ 8 συ = συ ηµ = συ = ηµ = ( + ) = = συ συ συσυ ηµηµ συ ηµ = ( ) = + = συ ηµ συ συ συ συ συ = = συ ηµ ηµ ηµ ηµ εϕ ΘΕΩΡΙΑ 9 εϕ = εϕ εϕ+ εϕ εϕ εϕ = εϕ( + ) = = εϕεϕ εϕ + συ ΘΕΩΡΙΑ 0 συ = Από το τύπο του διπλσίου τόξου έχουµε: + συ συ = συ συ + = συ συ = συ ΘΕΩΡΙΑ ηµ = συ συ = ηµ ηµ = συ ηµ = ΘΕΩΡΙΑ συ εϕ = + συ συ εϕ = = = + + ηµ συ συ συ συ Η γώση είι δύµη. Φργκίσκος Βάκω, 56-66, Άγγλος φιλόσοφος ~ 8 ~

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισµοί Μοώυµο του οοµάζουµε κάθε πράστση της µορφής όπου R, N * κι µι µετλητή που µπορεί πάρει οποιδήποτε τιµή πό το R. Μοώυµο του λέµε επίσης κι κάθε πργµτικό ριθµό. Συτελεστής Μοώυµο του : Κύριο µέρος Χρκτηριστικά µοώυµ Μηδεικό µοώυµο λέγετι κάθε µοώυµο µε συτελεστή µηδέ, π.χ ,0. Μοώυµο µηδεικού θµού λέγετι κάθε µοώυµο του οποίου ο θµός είι µηδέ, π.χ = 7, 9= 9. Πολυώυµο του οοµάζουµε κάθε πράστση της µορφής , όπου 0 0,,...,, R, κι µι µετλητή που µπορεί πάρει οποιδήποτε τιµή πό το σύολο R. Έ πολυώυµο του το συµολίζουµε συήθως µε P( ), Q( ), f ( ), ϕ ( ) κ.λπ. Γράφουµε λοιπό: P( ) = Βθµός 0 Γι πράδειγµ: 3 Η πράστση Q( ) = είι πολυώυµο του. Χρκτηριστικά πολυώυµ Στθερά πολυώυµ Λέγοτι οι πργµτικοί ριθµοί δηλδή τ πολυώυµ της µορφής Μηδεικό πολυώυµο: Λέγετι το στθερό πολυώυµο 0. P( ) = 0 0 Στοιχεί πολυωύµου P( ) = , 0 0 Όροι: Λέγοτι τ µοώυµ,..., 0 Στθερός όρος: Είι ο όρος 0 που δε περιέχει Συτελεστές: Λέγοτι οι πργµτικοί ριθµοί,,...,, 0 Βθµός: Είι ο εκθέτης Αριθµητική τιµή γι = ξ : Λέγετι ο ριθµός P( ξ ) = ξ ξ + 0 που προκύπτει στο P( ) τικτστήσουµε το µε το ριθµό ξ. Ρίζ: Ές ριθµός ρ R λέγετι ρίζ του P( ), κι µόο, P( p ) = 0 Σχόλιο Βθµός µηδεικού πολυωύµου δε ορίζετι εώ ο θµός κάθε στθερού µη µηδεικού πολυωύµου είι µηδέ. ~ 9 ~

14 φροτιστήρι στόος Ισότητ πολυωύµω ύο πολυώυµ του λέγοτι ίσ, κι µόο είι του ίδιου θµού κι οι συτελεστές τω οµοάθµιω όρω τους είι ίσοι. Έτσι P( ) = κι µ µ µ µ 0 Q( ) = είι δύο πολυώυµ του µε µ, έχουµε: 0 = 0, =,..., = P( ) = Q( ) + = + =... = µ = 0 Θεώρηµ (Τυτότητ της διίρεσης) Γι κάθε ζεύγος πολυωύµω ( ) κι δ ( ) µε δ ( ) 0 υπάρχου δύο µοδικά πολυώυµ π ( ) κι υ ( ) τέτοι ώστε: ( ) = δ ( ) π ( ) + υ( ) όπου το υ ( ) είι το µηδεικό πολυώυµο ή έχει θµό µικρότερο πό το θµό του δ ( ). ( ) δ ( ) υ ( ) Σηµείωση π ( ) Ισχύει ( ) = δ ( ) π ( ) + υ( ) όπου: ( ) διιρετέος δ ( ) διιρέτης π ( ) πηλίκο υ ( ) υπόλοιπο κι είι θµού µικρότερου πό το θµό του δ ( ), ή υ ( ) = 0. Η διίρεση ( ) : δ ( ) λέγετι τέλει υ ( ) = 0. Τότε η τυτότητ της διίρεσης γράφετι: ( ) = δ ( ) π ( ) κι το δ ( ) λέγετι πράγοτς του ( ). Οι εκφράσεις: - το δ ( ) είι πράγοτς του ( ), το δ ( ) διιρεί το ( ), η διίρεση ( ) : δ ( ) είι τέλει, υπάρχει π ( ) ώστε: ( ) = δ ( ) π ( ) είι ισοδύµες. ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Θεώρηµ Το υπόλοιπο της διίρεσης εός πολυώυµου P( ) µε το p είι ο ριθµός P( p ). Η τυτότητ της διίρεσης: P( ) p υ = P( p) π ( ) είι: P( ) = ( p) π ( ) + P( p) Από τυτότητ διίρεσης του P( ) µε το p έχουµε P( ) = ( p) π ( ) + υ, π ( ) είι το πηλίκο της διίρεσης κι το υ το υπόλοιπο που είι στθερό πολυώυµο επειδή το p είι πρώτου θµού. Α θέσουµε = p, έχουµε P( p) = ( p p) π ( p) + υ= 0 π ( p) + υ, δηλδή P( p) = υ. ~ 0 ~

15 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ 3 Έ πολυώυµο P ( ) έχει πράγοτ το p, κι µόο, το p είι ρίζ του P ( ). Έστω το p είι πράγοτς του P ( ) τότε P( ) = ( p ) π ( ). Από υτή τη ισότητ γι = p, έχουµε P ( p) = ( p p ) π ( p ) = 0, δηλδή το p είι ρίζ του P ( ). Ατίστροφ: Έστω ότι το p είι ρίζ του P ( ) δηλδή P ( p ) = 0, το υπόλοιπο της διίρεσης του P ( ) µε το p είι: υ = P ( p ) = 0 Έχουµε: P( ) = ( p ) π ( ) + P( p) P( ) = ( p ) π ( ) + 0 P( ) = ( p ) π ( ), δηλδή το p είι πράγοτς του P ( ). ΘΕΩΡΙΑ 4 Έστω πολυωυµική εξίσωση: = 0, µε κέριους συτελεστές. Α ο κέριος p 0 είι ρίζ της εξίσωσης τότε ο p είι διιρέτης του στθερού όρου. Α p 0, είι ρίζ της εξίσωσης έχουµε: p + p p + 0 = 0 p ( p + p ) + 0 = 0 0 = p ( p + p ). λ Z Επειδή λ Z το p διιρεί το στθερό όρο 0. Σηµείωση Τις κέριες ρίζες τις ζητούµε µέσ στο σύολο τω διιρετώ του 0 ~ ~

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΙΟ 3 ο ΠΡΟΟ ΟΙ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ακολουθίες Ακολουθί οοµάζουµε κάθε συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Ν * τω θετικώ κερίω. Μι κολουθί συµολίζετι συήθως µε το γράµµ κι η τιµή της στο συµολίζετι µε κι διάζετι «µε δείκτη». Οι τιµές της,, 3 κ.τ.λ. λέγοτι κτά σειρά πρώτος όρος, δεύτερος όρος, τρίτος όρος κ.τ.λ. της κολουθίς. Ο όρος λέγετι ιοστός όρος ή γεικός όρος της κολουθίς. Μι κολουθί είι πλήρως ορισµέη ότ µπορούµε ρούµε οποιοδήποτε όρο της. Αυτό συµίει ότ γωρίζουµε: i. Το γεικό όρο της κολουθίς ii. π.χ. Α ο γεικός όρος είι ο =, τότε =, = 3, 3 = 5, είι η κολουθί τω περιττώ ριθµώ Έ δροµικό τύπο της κολουθίς π.χ. Α =, = 3 κι + = + + Έχουµε: 3 = + = + = 4 = 3+ = + = 3 5 = 4+ 3 = 3+ = 5 Μειοέκτηµ του δροµικού τύπου είι ότι γι ρούµε π.χ. το 00 πρέπει γωρίζουµε τους 99 προηγούµεους όρους. Αριθµητική πρόοδος (Α.Π.) Αριθµητική πρόοδος (Α.Π.) οοµάζουµε µι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούµεο του µε πρόσθεση του ίδιου πάτοτε ριθµού. Το ριθµό υτό το συµολίζουµε συήθως µε ω κι το λέµε διφορά της προόδου. Εποµέως µι κολουθί είι ριθµητική πρόοδος, κι µόο, ισχύει: + = + ω + = ω, Ν * Η διφορά δύο διδοχικώ όρω είι στθερή. Ιδιότητες της ριθµητικής προόδου i. Ο ιοστός όρος µις ριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο κι διφορά ω δίετι πό το ii. iii. i. τύπο: = + ( ) ω Αριθµητικός µέσος τω ριθµώ, γ λέγετι ο ριθµός, κι µόο, + γ Οι,, γ, είι διδοχικοί όροι µις Α.Π., κι µόο, = Το άθροισµ τω πρώτω όρω Α.Π. µε διφορά ω το συµολίζουµε µε: S... ~ ~ + γ = = κι δίετι πό τους τύπους: S = ( + ) ή = + ( ) S ω

17 φροτιστήρι στόος Γεωµετρική πρόοδος Γεωµετρική πρόοδο (Γ.Π.) οοµάζουµε µι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούµεό του µε πολλπλσισµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό ριθµό. Το ριθµό υτό το συµολίζουµε συήθως µε λ κι το οοµάζουµε λόγο της προόδου. Σε µι γεωµετρική πρόοδο υποθέτουµε πάτ ότι 0 οπότε φού είι κι λ 0 ισχύει 0, γι κάθε Ν * Εποµέως µι κολουθί ( ) είι γεωµετρική πρόοδος κι µόο ισχύει = =, δηλδή το πηλίκο δύο διδοχικώ όρω είι στθερό. + + λ λ Ιδιότητες της Γεωµετρικής Προόδου i. Ο ιοστός όρος µις γεωµετρικής προόδου µε πρώτο όρο κι λόγο λ δίετι πό το τύπο: = λ ii. Γεωµετρικός µέσος τω, γ 0 λέγετι ο θετικός ριθµός, κι µόο, = γ iii. Οι,, γ, είι διδοχικοί όροι µις Γ.Π., κι µόο, = γ i. Το άθροισµ τω πρώτω όρω Γ.Π., µε διφορά λ το συµολίζουµε S = κι ΘΕΩΡΙΑ λ δίετι πό το τύπο S = γι λ κι S = γι λ=. λ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ο ος όρος µίς ριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο Από το ορισµό της ριθµητικής προόδου έχουµε: = = + ω 3 = + ω 4 = 3+ ω... = + ω = + ω ΘΕΩΡΙΑ Με πρόσθεση κτά µέλη πίρουµε: = + ( ) κι διφορά ω είι: = + ( ) ~ 3 ~ ω ω (Αριθµητικός µέσος). Τρείς ριθµοί,, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου κι µόο + γ ισχύει: = + γ ή = Έστω,, γ τρείς διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. Τότε ισχύει: + γ = ω κι γ = ω = γ + = γ + = + γ =

18 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 3 Ο ος όρος µίς γεωµετρικής προόδου µε πρώτο όρο κι λόγο λ είι: Από το ορισµό της γεωµετρικής προόδου έχουµε: = = λ 3 = λ 4 = 3λ Με πολλπλσισµό κτά µέλη πίρουµε: = λ... = λ = λ = λ ΘΕΩΡΙΑ 4 (Γεωµετρικός µέσος). Τρείς µη µηδεικοί ριθµοί,, γ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου κι µόο : = γ Έστω,, γ 0 τρεις διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Τότε ισχύει: ΘΕΩΡΙΑ 5 λ = κι γ γ = λ = = γ Άθροισµ διδοχικώ όρω γεωµετρικής προόδου. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µίς γεωµετρικής λ προόδου µε λόγο λ είι: S = λ. Έστω: S = + λ+ λ λ + λ () Πολλπλσιάζοτς τ µέλη της () µε λ έχουµε: Αφιρούµε κτά µέλη τις, κι έχουµε: λs S λ λ κι επειδή λ ισχύει: S = λ Πρτήρηση: λs = λ+ λ + λ λ + λ () 3 = ή S ( λ ) Α λ= τότε όλοι οι όροι είι ίσοι µε το πρώτο όρο οπότε S =. Ν είστε ρελιστές Ν ζητάτε το δύτο (σύθηµ τω Γάλλω φοιτητώ το Μάιο του 968) ~ 4 ~

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΥΣΗ ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ιδιότητες τω δυάµεω Έστω, > 0 κι,, R, τότε: i. = + i. ( ) = Επίσης ισχύου: 0 * =, R µ ii.. µ * =, µ N, N,, R * = Ν Α > 0 ορίζουµε: 0 = 0. Εκθετική συάρτηση = iii. ( ) = = Ορισµός Οοµάζουµε εκθετική συάρτηση µε άση τη συάρτηση: f : R R µε f ( ) Πρτήρηση: Α =, τότε έχουµε τη στθερή συάρτηση f ( ) = Ιδιότητες Πεδίο ορισµού: A= R Σύολο τιµώ: Το διάστηµ ( 0,+ ) Μοοτοί i. Α > είι γησίως ύξουσ στο R οπότε γι κάθε, R ισχύει η συεπγωγή: Α < τότε <. Στη περίπτωση υτή η γρφική πράστση της f έχει σύµπτωτη στο το ρητικό ηµιάξο O ' ii. Α 0< < είι γησίως φθίουσ στο R οπότε γι κάθε, R ισχύει η συεπγωγή: Α < τότε > Στη περίπτωση υτή η γρφική πράστση της f έχει σύµπτωτη στο + το θετικό ηµιάξο O φροτιστήρι στόος =, όπου 0 <. Γι τη συάρτηση f ( ) = µε 0< κι R ισχύει = = γι κάθε, R. ' = ' A ( 0,) > 0< < O ' A ( 0,) ' O = ~ 5 ~

20 Επίσης η γρφική της πράστση τέµει το άξο το άξο ' φού > 0 γι κάθε R. φροτιστήρι στόος ' στο σηµείο ( 0, ) εώ δε έχει κοιά σηµεί µε Πρτήρηση Γι τις συρτήσεις f ( ) = κι g( ) = πρτηρούµε ότι γι κάθε R ισχύει: g( ) = = = = f ( ) ηλδή οι γρφικές πρστάσεις είι συµµετρικές ως προς το άξο ' όπως φίετι στο σχήµ µε >. g( ) = ' A ( 0,) ' O f ( ) = Ο ριθµός e Κθώς το υξάει περιόριστ, οι όροι της κολουθίς που το συµολίζουµε µε e κι είι e,78. = + προσεγγίζου έ άρρητο ριθµό Συµολικά γράφουµε e= lim +. Γι τη συάρτηση µε τύπο f ( ) = e ισχύου όσ φέρµε πρπάω γι τη συάρτηση f ( ) =, > (φού = e=,78... > ). Ο όµος της εκθετικής µετολής ct Μι εκθετική συάρτηση µε άση το ριθµό e είι η Q( t) = Q0 e που είι γωστή κι ως όµος της εκθετικής µετολής κι χρησιµοποιείτι γι τη µελέτη µεγεθώ τ οποί µετάλλοτι συρτήσει του χρόου στη Φυσική, στη Βιολογί κλπ. Το Q 0 είι θετικός ριθµός κι ποτελεί τη τιµή της συάρτησης Q γι t= 0. Α c> 0 η συάρτηση Q είι γησίως ύξουσ κι δηλώει το όµο της εκθετικής ύξησης. Α c< 0 η συάρτηση Q είι γησίως φθίουσ κι δηλώει το όµο της εκθετικής πόσεσης. Η έοι του λογάριθµου Έστω η εξίσωση = θ, > 0, θ > 0. Η εξίσωση υτή έχει µοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f ( ) = είι γησίως µοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιµώ της. Τη µοδική υτή λύση τη συµολίζουµε µε log θ κι τη οοµάζουµε λογάριθµο του θ ως προς άση το. Είι δηλδή: = θ = log θ, > 0, θ > 0 Ισοδύµ υτό διτυπώετι ως εξής: Ο log θ είι ο εκθέτης στο οποίο πρέπει υψώσουµε το γι ρούµε το θ. Συέπειες του ορισµού γι > 0, R κι θ > 0 log = κι log θ = θ Αφού είι = τότε log = 0 Αφού είι = τότε log 0 = Θεριή Προετοιµσί στ φροτιστήρι στόος = 00% Επιτυχί ~ 6 ~

21 φροτιστήρι στόος Ιδιότητες λογρίθµω Α > 0 τότε γι οποιουσδήποτε,, 0 log θ θ = log θ + log θ. ( ) θ. log = logθ logθ θ κ 3. log θ = κ log θ Πρτήρηση θ θ θ > κι Επειδή γι κάθε θ > 0 κι Ν ισχύει θ = θ έχουµε: Πρτήρηση ~ 7 ~ κ R ισχύου: Η ιδιότητ ισχύει γεικά γι θετικούς ριθµούς θ, θ,..., θ. log θ θ... θ = log θ + log θ log θ. ηλδή: ( ) Πρτήρηση 3 Από τη ιδιότητ προκύπτει ότι: log logθ θ =. εκδικοί λογάριθµοι Οι λογάριθµοι µε άση το 0 οοµάζοτι δεκδικοί ή κοιοί λογάριθµοι. Είι δηλδή 0 = θ = log θ, θ > 0. Γι υτούς τους λογρίθµους ισχύου τ εξής:. log0 log = κι 0 θ = θ. log0= κι log= 0 log θ θ = logθ + logθ 3. ( ) θ 4. log = logθ logθ θ κ 5. logθ = κ logθ 6. log θ = logθ = log θ. log θ = logθ = logθ όπου θ, θ, θ > 0 κι κ R κι Ν Φυσικοί λογάριθµοι Στ µθηµτικά είι πολύ χρήσιµοι κι οι λογάριθµοι µε άση το ριθµό e. Οι λογάριθµοι υτοί οοµάζοτι φυσικοί ή επέριοι λογάριθµοι. Ο επέριος λογάριθµος εός θετικού ριθµού θ, συµολίζετι µε lnθ κι όχι µε log e θ. Είι δηλδή: e = θ = ln θ, θ > 0 Γι υτούς τους λογρίθµους ισχύου τ εξής:. ln e ln = κι e θ = θ. ln e= κι ln= 0 ln θ θ = lnθ + lnθ 3. ( ) θ 4. ln = lnθ lnθ θ κ 5. lnθ = κ lnθ 7. ln θ = lnθ = lnθ όπου θ, θ, θ > 0 κι κ R κι Ν

22 φροτιστήρι στόος 6. Αλλγή Βάσης Α > 0 κι > 0 τότε γι κάθε θ > 0 ισχύει: Πρτήρηση 4 lnθ Είι logθ = κι ln0 logθ lnθ = log e log logθ θ = log ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Α > 0 κι τότε γι οποιδήποτε,, 0 ΘΕΩΡΙΑ θ θ θ > κι ( ) κ R ισχύει: log θθ = log θ + log θ Έστω log θ = κι log θ =. Από το ορισµό του λογρίθµου έχουµε: = θ κι = θ Οπότε πολλπλσιάζοτς: Από το ορισµό έχουµε: ( ) + = θθ ή = θθ log θθ = + = log θ + log θ ΘΕΩΡΙΑ θ = Έστω log θ = κι log θ = έχουµε πό ορισµό: log logθ logθ θ Οπότε διιρώτς: θ θ = θ κι θ = ή = θ = θ θ Από το ορισµό έχουµε: log = = log θ logθ θ ΘΕΩΡΙΑ 3 Έστω log θ = κι πό ορισµό έχουµε έχουµε: ( ) κ κ θ k = ή = θ κ κι πό ορισµό ισχύει: log θ = κ = κ log θ κ κ log θ = κ log θ = θ υψώσουµε κι τ δύο µέλη της ισότητς εις τη κ οπότε Πρτήρηση: Επειδή γι θ > 0 κι Ν ισχύει θ = θ έχουµε: log θ = logθ = log θ ~ 8 ~

23 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις Στ Μθηµτικά Κτεύθυσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έοι διύσµτος Πράξεις Ισότητ ιυσµάτω uu uu ΑΒ=Γ ότ είι οµόρροπ κι έχου ίσ µέτρ. uu uu uu uu uu uu uu uu ΑΒ=Γ ΑΓ=Β Β=ΓΑ Γ=ΒΑ Α,, r γ διύσµτ µε λ, µ R τότε:. + = + r = r r 5. + γ = + γ = r r r 7. + = 0 = r r. ( + ) + γ = + ( + γ) r 4. + ( ) = 0 r r r 6. + = = 0 8. ( + ) = ( ) + ( ) uu ΑΒ = uu ΟΒ -ΟΑ uu 9. Α Ο στθερό σηµείο του χώρου Ειδικές περιπτώσεις: + = + = = + r r r. 0 = 0, λ 0= 0. λ( + ) = λ+ λ 3. ( λ + µ ) = λ+ λ 4. λ ( µ) = ( λµ ) r r 5. = 6. λ = 0 λ= 0 ή = 0 7. ( λ) = λ( ) = ( λ) 8. λ( ) = λ λ 9. ( λ µ ) = λ µ 0. Α λ = λ κι λ 0 τότε =. Α λ = µ r κι 0 τότε λ = µ Γ Α Β Ισχύου επίσης: r / / = λ γι λ R, 0 r Α κι το γ ήκει στο διυσµτικό επίπεδο τω, τότε υπάρχου µοδικοί r r λ, µ R ώστε γ = λ + µ. Τότε το γ λέγετι γρµµικός συδυσµός τω κι. uu uu uuu ΟΑ+ΟΒ Α Μ είι το µέσο του ΑΒ τότε: ΟΜ= (Ο σηµείο φοράς). ~ 9 ~

24 φροτιστήρι στόος Συτετγµέες στο επίπεδο Α Ο έ ορθοκοικό σύστηµ συτετγµέω στο επίπεδο κι έ διάυσµ σ υτό, τότε γράφουµε = (, ), όπου τ, είι οι µοδικοί πργµτικοί ριθµοί γι τους οποίους r r r = i+ j. Κι ισχύου:. Έστω = (, ), = (, ) τότε = = κι =. Α = (, ), = (, ) τότε + = ( +, + ) 3. Γι R =, λ = λ, λ λ κι ( ) είι ( ) A(, ), (, ) uu AB= (, ) 4. Α uu B δύο σηµεί του κρτεσιού επιπέδου τότε: AB = ( ) + ( ) + + Α M (, ) το µέσο του ΑΒ τότε: =, = =, =, τότε: 5. Α ( ), ( ) 0 0 = = λ =, λ = γι 0, 0 λ = λ, εφόσο, λ, λ ορίζοτι Εσωτερικό γιόµεο διυσµάτω r r r r r r r r r,,, 0. Α = 0 ή = 0, τότε = 0 r = + λυτική έκγρση r r =,, =, τότε: r + συ(, ) = r = + + = συ( ) ( ) Α ( ) ( ) Ιδιότητες του εσωτερικού γιοµέου ~ 0 ~ r r r r r. =. ( λ) = λ( ) = ( λ) r r r r r 3. ( + γ) = + γ r r r 4. = =. Η ιδιότητ υτή µς µετφέρει πό διύσµτ σε µέτρ κι τίστροφ. 5. = 6. = 7. = = 0 9. λ λ = εφόσο ορίζοτι οι συτελεστές λ, λ r r 0. = (όπου = προ ) Ο r

25 φροτιστήρι στόος ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Έστω δύο διύσµτ r κι κι τυχίο σηµείο Ο. Ν ποδείξετε ότι το άθροισµ τω διυσµάτω r κι είι εξάρτητο της επιλογής του σηµείου Ο. Περιγράψτε το κό του πρλληλογράµµου. Με ρχή έ σηµείο Ο πίρουµε διάυσµ ΟΑ= κι στη συέχει µε ρχή το Α πίρουµε διάυσµ ΑΜ=. uuuu uuuu Έστω Ο ' είι έ άλλο σηµείο κι ς θεωρήσουµε τ διύσµτ Ο' Α ' = κι Α' Μ=. Επειδή uu uuuu uuu uuuuu uuu uuu uuu uuuu uuu uuuu ΟΑ=Ο ' Α ' = κι ΑΜ=Α ' Μ ' =, προκύπτει ΟΟ ' =ΑΑ ' κι ΑΑ ' =ΜΜ '. Εποµέως, ΟΟ ' =ΜΜ ', uuu uuuuu που σηµίει ότι κι ΟΜ=Ο ' Μ '. O r A r + r M A ' r + M ' O ' Το άθροισµ δύο διυσµάτω ρίσκετι κι µε το κό του πρλληλογράµµου, ο οποίος περιγράφετι ως εξής: Α Α µε ρχή έ σηµείο Ο θεωρήσουµε τ uu uu ιύσµτ ΟΑ= κι ΟΒ=, τότε το + άθροισµ + ορίζετι πό τη διγώιο ΟΜ του πρλληλόγρµµου που έχει Ο προσκείµεες πλευρές τις ΟΑ κι ΟΒ. Μ ΘΕΩΡΙΑ Β Αποδείξτε τις επόµεες ιδιότητες γι το άθροισµ διυσµάτω.. + = + (Ατιµετθετική ιδιότητ) r r + + γ = + + γ (Προσετιριστική ιδιότητ). ( ) ( ). Σύµφω µε το διπλό σχήµ έχουµε: uu uuu uuu + =ΟΑ+ΑΜ=ΟΜ κι uu uuu uuu + =ΟΒ+ΒΜ=ΟΜ. Άρ + = +. Ο Β Α + Μ ~ ~

26 . Από το διπλό σχήµ έχουµε: r uu uu uu uu uu uu + + = ΟΑ+ΑΒ +ΒΓ=ΟΒ+ΒΓ=ΟΓ r uu uu uu uu uu uu + + =ΟΑ+ ΑΒ+ΒΓ =ΟΑ+ΑΓ=ΟΓ r r. ( ) γ ( ) ( γ) ( ) Άρ ( + ) + γ = + ( + γ) ΘΕΩΡΙΑ 3 κι φροτιστήρι στόος ) Τι οοµάζουµε διάυσµ θέσεως σηµείου Α ή διυσµτική κτί του Α. ) Αποδείξτε ότι: Κάθε διάυσµ στο χώρο είι ίσο µε τη διυσµτική κτί του πέρτος µείο τη διυσµτική κτί της ρχής. ) Έστω Ο έ στθερό σηµείο του χώρου. Γι κάθε σηµείο Α του χώρου ορίζετι έ διάυσµ ΟΑ uu, το οποίο λέγετι διάυσµ θέσεως του Α ή διυσµτική κτί του Α. ) Έστω Ο έ σηµείο φοράς. uu Τότε γι οποιοδήποτε διάυσµ ΑΒ ισχύει uu uu uu uu uu uu ΟΑ+ΑΒ=ΟΒ κι ισοδύµ ΑΒ=ΟΒ ΟΑ. Ο Α + r + + γ Ο Β r + γ Α γ r Γ Β ΘΕΩΡΙΑ 4 Αποδείξτε ότι γι οποιδήποτε διύσµτ κι ισχύει + + Στο διπλό σχήµ, στο τρίγωο ΟΑΒ πό τη τριγωική ισότητ γωρίζουµε ότι: ( ΟΑ) ( ΑΒ) ( ΟΒ) ( ΟΑ ) + ( ΑΒ ) κι συεπώς + + Ο Α + Β ΘΕΩΡΙΑ 5 r Αποδείξτε ότι, είι δύο διύσµτ, µε 0, τότε // = λ, λ R. Α δύο διύσµτ κι r, µε 0, συδέοτι µε τη σχέση = λ, τότε τ διύσµτ υτά είι πράλληλ. (εξ ορισµού του γιοµέου ριθµού µε διάυσµ). Ισχύει όµως κι το τίστροφο. ηλδή, τ διύσµτ κι r είι πράλληλ κι 0, τότε υπάρχει µοδικός ριθµός λ τέτοιος ώστε: = λ Α τώρ θέσουµε κ =, πίρουµε = κ κι συεπώς: r Α, τότε = κ Α, τότε = κ Α = 0, τότε = 0 Άρ σε κάθε περίπτωση υπάρχει λ κι µάλιστ µοδικός τέτοιος ώστε = λ ~ ~

27 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 6 Αποδείξτε ότι γι τη διυσµτική κτί ΟΜ uuu του µέσου Μ ευθύγρµµου τµήµτος ΑΒ ισχύει: uu uu uuu ΟΑ+ΟΒ ΟΜ= uu Α Θεωρούµε διάυσµ ΑΒ κι έ σηµείο φοράς Ο. Γι τη διυσµτική κτί ΟΜ uuu // του µέσου Μ του Μ τµήµτος ΑΒ έχουµε: uuu uu uuu uuu uu uuu // ΟΜ=ΟΑ+ΑΜ () κι ΟΜ=ΟΒ+ΒΜ () Εποµέως, µε πρόσθεση κτά µέλη τω () κι () πίρουµε: uu uu uuu uu uuu uu uuu uu uu uuu ΟΑ+ΟΒ ΟΜ=ΟΑ+ΑΜ+ΟΒ+ΒΜ=ΟΑ+ΟΒ. Άρ ΟΜ= Ο Β ΘΕΩΡΙΑ 7 Αποδείξτε ότι το οποιοδήποτε διάυσµ, έστω, του επιπέδου γράφετι ως γρµµικός συδυσµός τω µοδιίω διυσµάτω r i κι r j κι µάλιστ κτά µοδικό τρόπο. Θεωρούµε σύστηµ συτετγµέω O στο επίπεδο κι έ διάυσµ του επιπέδου. uu r. Με ρχή το Ο γράφουµε το διάυσµ OA= Α A κι A είι οι προολές του Α στους άξοες uu uu uuu ' τιστοίχως, έχουµε: OA= OA+ OA () Α, είι οι συτετγµέες του Α, τότε uu r uuu r ισχύου: OA = i κι OA = j. Εποµέως η ισότητ () γράφετι r r r = i+ j () ' κι Αποδείξµε δηλδή ότι το είι γρµµικός συδυσµός τω i r κι j r. Οι ριθµοί κι στη πρπάω γρφή είι µοδικοί. Θ ποδείξουµε τώρ ότι κι η έκφρση του ως γρµµικού συδυσµού τω r i κι r j είι µοδική. Πράγµτι, έστω ότι το διάυσµ r r r γράφετι κι ως εξής: = ' i+ ' j (3) r r r r Τότε πό () κι (3) ισχύει: i+ j= ' i+ ' j r r ( ') i= ( ') j r ' r Α υποθέσουµε ότι ', δηλδή ότι ' 0, τότε θ ισχύει i= j ' r r r r Η σχέση υτή, όµως, δηλώει ότι i / / j, που είι άτοπο, φού τ i κι j δε είι συγγρµικά. Εποµέως = ', που συεπάγετι ότι κι = '. A r j O i r r r A A Θεριή Προετοιµσί στ Φροτιστήρι στόoς = 00% Επιτυχί ~ 3 ~

28 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 8 Α γωρίζετε τις συτετγµέες δύο διυσµάτω κι του κρτεσιού επιπέδου, τότε ρείτε τις συτετγµέες του θροίσµτος +, του γιοµέου λ, λ R κι εκφράσετε τις συτετγµέες κάθε γρµµικού συδυσµού τω κι συρτήσει τω συτετγµέω τω διυσµάτω κι. Α = (, ) κι = (, ), τότε έχουµε: r r r r r r + = ( i+ j) + ( i+ j) = ( + ) i+ ( + ) j r r r r λ = λ( i+ j) = ( λ) i+ ( λ ) j + = +, + λ = λ, λ Εποµέως ( ) κι ( ) ή ισοδύµ (, ) + (, ) = ( +, + ) κι λ(, ) = ( λ, λ ) ~ 4 ~ Γεικότερ, γι το γρµµικό συδυσµό λ + µ έχουµε: λ + µ = λ, λ + µ, µ = λ + µ, λ + µ ΘΕΩΡΙΑ 9 Θεωρούµε δύο σηµεί A(, ) κι (, ) ( ) ( ) ( ) B του κρτεσιού επιπέδου κι ς υποθέσουµε ότι + (, ) είι οι συτετγµέες του µέσου Μ του ΑΒ. Αποδείξτε ότι ισχύει = κι + =. Ας θεωρήσουµε δύο σηµεί (, ) B του κρτεσιού επιπέδου κι ς υποθέσουµε ότι Γωρίζουµε ότι: B(, ) uuu uu uu uu uu OM = ( OA+ OB), κι OM = (, ), OA= (, ), OB= (, ) M(, ) + + Εποµέως (, ) = (, ) + (, ) =, A, + + ηλδή = κι =. O ΘΕΩΡΙΑ 0 A κι (, ) (, ) είι οι συτετγµέες του µέσου Μ του ΑΒ. Αποδείξτε ότι οι συτετγµέες (, ) δίοτι πό τις σχέσεις: Θεωρούµε δύο σηµεί A(, ) κι (, ) επιπέδου κι ς υποθέσουµε ότι (, ) του διύσµτος µε άκρ τ σηµεί (, ) = κι =. B του κρτεσιού uu uu ΑΒ= (, ), ΟΒ= ( ) έχουµε: (, ) (, ) (, ) (, ) A κι B(, ) B(, ) (, ) A είι οι συτετγµέες uu του διύσµτος ΑB. uu uu uu uu Επειδή, ΑΒ=ΟΒ ΟΑ,,, κι ΟΑ= (, ), O = = Εποµέως: = κι =. ( )

29 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ r =, Έστω ( ) είι ίσο µε: έ διάυσµ του κρτεσιού επιπέδου. Αποδείξτε ότι το µέτρο του διύσµτος r = +. r Έστω = (, ) έ διάυσµ του κρτεσιού επιπέδου r κι Α το σηµείο µε διυσµτική κτί OA=. Έστω κόµη A κι A οι προολές του Α στους άξοες ' κι ' τιστοίχως. Επειδή το σηµείο Α έχει τετµηµέη κι τετγµέη, = κι ( OA ) =. θ ισχύει ( OA) Έτσι πό το τρίγωο OA A µε εφρµογή του πυθγορείου θεωρήµτος έχουµε: r = ( OA) = ( OA) + ( A A) = ( OA) + ( OA) = + = +. r Εποµέως: = + A O A(, ) A r ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι η πόστση τω σηµείω (, ) ( AB) ( ) ( ) = +. A κι (, ) B είι ίση µε Θεωρούµε δύο σηµεί A(, ) κι B(, ) του κρτεσιού επιπέδου. Επειδή η πόστση ( ) σηµείω Α κι Β είι ίση µε το µέτρο του διύσµτος AB = (, ) θ ισχύει: uu AB = AB = + ( ) ( ) ( ) Εποµέως: Η πόστση τω σηµείω (, ) A κι B(, ) είι ίση µε ( AB) = ( ) + ( ) ΘΕΩΡΙΑ 3 Αποδείξτε ότι r, είι δύο διύσµτ, = (, ), = (, ) διεύθυσης λ κι λ τιστοίχως τότε: / / λ = λ Γι τ διύσµτ = (, ) κι = (, ) έχουµε τις ισοδυµίες: O (, ) A AB τω, σύµφω µε γωστό τύπο (, ) B, χ, χ 0 µε συτελεστές µε συτελεστές διεύθυσης λ κι λ τιστοίχως, // = 0 = 0 = = = λ λ. Θεριή Προετοιµσί στ φροτιστήρι στόος = 00% Επιτυχί ~ 5 ~

30 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 4 Πως µπορούµε εκφράσουµε το εσωτερικό γιόµεο δύο διυσµάτω = (, ) συρτήσει τω συτετγµέω τους. Με ρχή το Ο πίρουµε τ διύσµτ uu uu ΟΑ= κι ΟΒ=. Από το όµο τω Συηµίτοω στο τρίγωο ΟΑΒ έχουµε τη ισότητ: ( ΑΒ ) = ( ΟΑ ) + ( ΟΒ) ( ΟΑ)( ΟΒ ) συ AOB η οποί ισχύει κι στη περίπτωση που τ σηµεί Ο, Α, Β είι συευθεικά. (, ) B κι = (, ) (, ) A θ r O Όµως είι: ( AB) = ( ) + ( ), ( ) OA = + κι ( ) OB Εποµέως, έχουµε διδοχικά: ( ) + ( ) = ( )( ) συ OA OB AOB ( )( ) συ = OA OB AOB r OA OB συ AOB =, έχουµε τελικά: = + κι επειδή ( )( ) = +. ΘΕΩΡΙΑ 5 Αποδείξτε ότι ισχύου οι επόµεες ιδιότητες: λ = ( λ) = λ( ), λ R r r ( + γ) = + γ λλ =, όπου λ = λ κι λ = λ,, / // ( ' ) Α r = ( ), r = (, ) κι γ = ( 3, 3), τότε έχουµε: ( ) (, )(, λ = λ λ ) = ( λ) + ( λ ) = λ( + ) = λ( ) κι ( ) (, )(, r λ = λ λ ) = ( λ) + ( λ ) = λ( + ) = λ( ). λ = λ = λ Άρ: ( ) ( ) ( ) r ( + γ) = (, )( +, + ) = ( + ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = r r r = + γ. = 0 + = 0 = = λλ = ~ 6 ~

31 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 6 =, Α ( ) κι = (, ) γωί θ. Αποδείξτε ότι: συθ = r r Είι = συθ κι εποµέως συθ =. Είι όµως Εποµέως, r = +, είι δύο µη µηδεικά διύσµτ του επιπέδου που σχηµτίζου συθ = r = + + κι + + = + ΘΕΩΡΙΑ 7 r r r r r r r r Έστω, δύο διύσµτ του επιπέδου µε 0. Αποδείξτε ότι = προ.. Με ρχή έ σηµείο Ο πίρουµε τ διύσµτ uu uuu r ΟΑ= κι ΟΜ=. Από το Μ φέρουµε κάθετο στη διεύθυση του ΟΑ uu κι έστω Μ το ίχος της κθέτου. Ο θ r Μ Μ Α Το διάυσµ ΟΜ uuuu το λέµε προολή του r στο το συµολίζουµε µε uuuu r ΟΜ = προ προr κι γράφουµε: (Η προολή του r πάω στο είι εξάρτητη πό τη επιλογή του σηµείου Ο). Γι το εσωτερικό γιόµεο τω κι r έχουµε: uuuu uuuu uuuu uuuu uuuu r = ( ΟΜ +ΜΜ ) = ΟΜ + ΜΜ= ΟΜ = προ r r Εποµέως: = προ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ; ~ 7 ~

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΥΘΕΙΑ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εξίσωση ευθείς. Η εξίσωση ευθείς (ε) η οποί διέρχετι πό το σηµείο A( 0, 0) κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ είι: ε : 0 = λ( 0 ). Η εξίσωση ευθείς (ε) η οποί διέρχετι πό τ σηµεί A(, ) κι B(, ) µε είι: ε : = ( ), όπου = λε = λuu AB ή = = 3. Η εξίσωση της ευθείς (ε) που τέµει το άξο ' ο συτελεστής διεύθυσης της (ε) στο σηµείο ( ) 0, είι ε : = λ+, όπου λ 4. Η εξίσωση της ευθείς (ε) που διέρχετι πό το σηµείο Ο ( 0,0) κι δε είι ο άξος ' είι: ε : = λ 5. Η εξίσωση της ευθείς (ε) που διέρχετι πό το σηµείο A( 0, 0) κι είι πράλληλη στο άξο ' είι: ε : = 0 6. Η εξίσωση της ευθείς (ε) που διέρχετι πό το σηµείο A( 0, 0) κι είι πράλληλη στο άξο ' είι: ε : = 0 7. Η εξίσωση A+ B+Γ= 0, µε A 0 ή B 0 Κάθε ευθεί έχει εξίσωση της µορφής: A+ B+Γ= 0, µε A 0 ή B 0 () κι τιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () πριστάει ευθεί γρµµή. Πρτηρήσεις: Α B 0 τότε:. Η ευθεί µε εξίσωση () έχει συτελεστή διεύθυσης: A λ =. B. Η ευθεί µε εξίσωση () είι πράλληλη στο µη µηδεικό διάυσµ δ = ( Β, Α) ή στο u δ = ( Β, Α). u u 3. Η ευθεί µε εξίσωση () είι κάθετη στο µη µηδεικό διάυσµ κ = ( Α, Β ) ή κ = ( Α, Β) u Απόστση σηµείου πό ευθεί. Η πόστση d εός σηµείου (, ) ευθεί µε εξίσωση: Μ πό µί (ε) A+ B+Γ= 0, A+ B 0 ε d Μ (, ) δίετι πό το τύπο: A0+ B0+Γ d = d( M 0, ε) = Α +Β O ~ 8 ~

33 φροτιστήρι στόος Εµδό τριγώου. Α είι γωστές οι κορυφές τριγώου ΑΒΓ, το εµδό του δίετι πό το τύπο: ( ) uu uu ΑΒΓ = det ( AB, AΓ) uu uu uu uu είι η ορίζουσ τω συτετγµέω τω διυσµάτω AB κι AΓ. όπου det ( AB, AΓ) Ισοδύµ ισχύει: ( ) uu uu det (, ) uu uu ΑΒΓ = ΒΑ ΒΓ = det ( ΓΑ, ΓΒ) ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ «Ότ µι ευθεί κι έ διάυσµ είι πράλληλ, έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης». Έστω διάυσµ δ πράλληλο σε µι ευθεί ε. Α φ κι ω είι οι γωίες που σχηµτίζου το διάυσµ δ κι η ευθεί ε µε το άξο ' τιστοίχως, τότε θ ισχύει ϕ = ω ή ϕ= π+ ω. Εποµέως εϕϕ = εϕω. Άρ: «Ότ µι ευθεί κι έ διάυσµ είι πράλληλ, έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης». ε ε δ Ο ϕ ω ω ϕ Ο ω ω ϕ = ω δ ϕ= π+ ω ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι: ο συτελεστής διεύθυσης λ µις ευθείς που διέρχετι πό τ σηµεί (, ) (, ) B, µε είι λ=. Έστω Α (, ) κι (, ) B δύο σηµεί της ευθείς ε. ~ 9 ~ Α κι Τότε ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς ε είι ίσος µε το συτελεστή διεύθυσης του διύσµτος uu AB= (, ), δηλδή ίσος µε.

34 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 3 Έστω O έ σύστηµ συτετγµέω στο επίπεδο κι (, ) Α έ σηµείο του επιπέδου. Ν ρείτε τη εξίσωση της ευθείς ε που διέρχετι πό το A κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ. Θεωρούµε σύστηµ συτετγµέω O στο επίπεδο κι (, ) Α έ σηµείο του επιπέδου. Ζητάµε τη 0 0 εξίσωση της ευθείς ε που διέρχετι πό το σηµείο Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ. Έ σηµείο (, ) M διφορετικό του (, ) Α 0 0 ήκει στη ε, κι µόο, το διάυσµ uuu AM είι πράλληλο στη ευθεί ε, δηλδή κι µόο, το διάυσµ uuu AM κι η ευθεί ε έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης. 0 0 ϕ Ο A( 0, 0) ε M (, ) uuu 0 0 0, έχουµε λuuu = A Μ. 0 0 Εποµέως το σηµείο M (, ) ήκει στη ε, κι µόο, ισχύει: Επειδή AM = (, ) Η τελευτί εξίσωση επληθεύετι κι πό το σηµείο ( 0, 0) Άρ η εξίσωση της ευθείς ε είι: = λ( ) 0 0 Α. 0 = λ ή λ( ) =. 0 0 ΘΕΩΡΙΑ 4 Έστω O έ σύστηµ συτετγµέω στο επίπεδο κι Α (, ) κι B(, ) δύο σηµεί του επιπέδου. Ν ρείτε τη εξίσωση της ευθείς ε που διέρχετι πό τ σηµεί Α (, ) κι (, ) Έστω ε η ευθεί που διέρχετι πό τ σηµεί, B,. Α ( ) κι ( ) Α, τότε ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς είι λ= γράφετι: = ( ) κι εποµέως η εξίσωση = λ( ) Ότ = = 0 δηλδή η ευθεί ε είι κτκόρυφη, δε ορίζετι ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς. Τότε η εξίσωση της κτκόρυφης ευθείς που διέρχετι πό το σηµείο Α ( 0, 0) είι: = 0 γιτί κάθε σηµείο της Μ έχει τετµηµέη Ο A(, ) ε B(, ) B. Το στρό δεδρύλλιο το ισιώεις. Το στρό δέτρο ποτέ. ~ 30 ~

35 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 5 Αποδείξτε ότι: Κάθε ευθεί του επιπέδου έχει εξίσωση της µορφής A+ B+Γ= 0 µε A 0 ή B 0 () κι τιστρόφως, κάθε εξίσωση της µορφής () πριστάει ευθεί γρµµή. Έστω ε µι ευθεί στο κρτεσιό επίπεδο. Α η ευθεί ε τέµει το άξο ' εξίσωση = λ+, η οποί γράφετι: στο σηµείο ( 0,) Σ κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ, τότε θ έχει λ+ ( ) + = 0 Α η ευθεί ε είι κτκόρυφη κι διέρχετι πό το σηµείο P( 0, 0), τότε θ έχει εξίσωση = 0, η οποί γράφετι ισοδύµ: ( ) = 0. 0 Βλέπουµε, δηλδή, ότι κι στις δύο περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείς ε πίρει τη µορφή A+ B+Γ= 0 µε A 0 ή B 0 ε P( 0, 0) Ο Ατιστρόφως, έστω η εξίσωση: A+ B+Γ= 0 µε A 0 ή B 0 A Α B 0, τότε η εξίσωση γράφετι = Γ B B, που είι εξίσωση ευθείς µε συτελεστή Α Γ διεύθυσης λ= κι η οποί τέµει το άξο ' στο σηµείο 0, Β Β. Γ Α Β= 0, τότε, λόγω της υπόθεσης, είι A 0 κι η εξίσωση γράφετι =, που είι Α εξίσωση ευθείς που είι κάθετη στο άξο Γ ' στο σηµείο του P,0 Α. Έτσι σε όλες τις περιπτώσεις η εξίσωση A+ B+Γ= 0 µε A 0 ή B 0 πριστάει ευθεί. Ολοκληρωµέη εκπίδευση Οργάωση - Προγρµµτισµός Φροτιστήρι στόoς = 00% Επιτυχί ~ 3 ~

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ορισµός Κύκλος είι ο γεωµετρικός τόπος τω σηµείω Μ του επιπέδου τ οποί ισπέχου πό στθερό σηµείο του επιπέδου στθερή πόστση. Το στθερό σηµείο λέγετι κέτρο κι η στθερή πόστση κτί του κύκλου. ρ ρ Α (, ) Ο ( 0,0) Ο ( 0,0) Εξίσωση κύκλου µε κέτρο Ο (0,0) κι Εξίσωση εφπτοµέης κύκλου µε κτί ρ : + = ρ κέτρο Ο (0, 0) κι κτί ρ στο σηµείο Α (, ) : + = ρ Κ (, ) 0 0 ρ Εξίσωση κύκλου µε κέτρο Κ ( 0, 0) κι = ρ κτί ρ: ( ) ( ) Ο Η εξίσωση A B Γ= 0 (), A, B, Γ R Α Α Α Α +Β 4Γ> 0 : η εξίσωση () πριστάει κύκλο µε κέτρο το σηµείο: Α, Β Κ κι κτί Α +Β 4Γ ρ = Α Β Α +Β 4Γ= 0 : η () πριστάει το σηµείο Κ,. Α +Β 4Γ< 0 : η εξίσωση () είι δύτη. Β. ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισµός Προλή είι ο γεωµετρικός τόπος τω σηµείω Μ του επιπέδου τ οποί ισπέχου πό µι στθερή ευθεί (δ) που λέγετι διευθετούσ της προλής κι πό έ στθερό σηµείο Ε που λέγετι εστί της προλής. Τ σηµεί που ικοποιού τη προηγούµεη ιδιότητ ήκου σε µι κµπύλη που φίετι στ επόµε σχήµτ. ~ 3 ~

37 φροτιστήρι στόος Εξίσωση προλής κι γρφική πράστση p. Με κορυφή Ο (0,0), εστί Ε,0, κι διευθετούσ : p δ = = p Εξίσωση προλής: = ρ (ρ > 0 κι 0) ( ρ<0 τότε κι 0) ρ Εστί: Ε(,0) ρ ιευθετούσ δ: = - Εξίσωση εφπτοµέης: = ρ( + ) p. Με κορυφή Ο (0,0), εστί Ε 0,, κι διευθετούσ : p δ = = p Εξίσωση προλής: = ρ (ρ > 0 κι ψ 0) ( ρ<0 τότε κι ψ 0) ρ Εστί: Ε(0, ) ρ ιευθετούσ δ: = - Εξίσωση εφπτοµέης: = ρ( + ) Ακλστική ιδιότητ προλής Η κάθετη στη εφπτοµέη µις προλής στο σηµείο επφής Μ διχοτοµεί τη γωί που σχηµτίζου η ηµιευθεί ΜΕ κι η ηµιευθεί Μt, που είι οµόρροπη της ΟΕ, όπου Ε η εστί της προλής. M (, ) ϕ ϕ t E Ο Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισµός Έλλειψη µε εστίες τ σηµεί Ε ' κι Ε είι ο γεωµετρικός τόπος C τω σηµείω του επιπέδου τω οποίω το άθροισµ τω ποστάσεω πό τ Ε ' κι Ε είι στθερό κι µεγλύτερο του ΕΕ '. Το στθερό υτό άθροισµ το συµολίζουµε µε, εώ τη εστική πόστση ΕΕ ' µε γ. ηλδή Μ ΜΕ ' + ΜΕ = σηµείο της έλλειψης: ( ) ( ) Εξίσωση έλλειψης κι γρφική πράστση ψ Εξίσωση: + = Εστίες: Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) Κορυφές: Α (-,0) κι Α(,0) ψψ Εξίσωση εφπτοµέης + = Μεγάλος άξος: Α Α= Μικρός άξος: Β Β= ~ 33 ~

38 φροτιστήρι στόος = γ γ > γ κι > Εκκετρότητ: ε = < ψ Εξίσωση: + = κι Εστίες: Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) Κορυφές: Α (0, -) κι Α(0,) ψψ Εξίσωση εφπτοµέης + = = γ. ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισµός: Υπερολή µε εστίες τ σηµεί Ε ' κι Ε είι ο γεωµετρικός τόπος τω σηµείω του επιπέδου τω οποίω η πόλυτη τιµή της διφοράς τω ποστάσεω πό τ Ε ' κι Ε είι στθερή κι µικρότερη του Ε ' Ε. Το πόλυτο της διφοράς υτής το συµολίζουµε µε κι τη εστική πόστση µε γ. ηλδή Μ το σηµείο της υπερολής: ΜΕ ' ΜΕ = ( ) ( ) Εξίσωση υπερολής κι γρφική πράστση. ψ Εξίσωση: =, γ = + Εστίες: Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) Κορυφές: Α (-,0) κι Α(,0) Ασύµπτωτες: =, = - γ Εκκετρότητ: ε = > ψψ Εξίσωση εφπτόµεης: = ψ Εξίσωση: =, γ = + Εστίες: Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) Κορυφές: Α (0,-) κι Α(0,) Ασύµπτωτες: =, = - γ Εκκετρότητ: ε = > ψψ Εξίσωση εφπτόµεης: = Ισοσκελής λέγετι η υπερολή = ή = ( = ) ~ 34 ~

39 φροτιστήρι στόος ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι ο κύκλος µε κέτρο το σηµείο Ο (0,0) κι κτί ρ έχει εξίσωση: Θεωρούµε σύστηµ συτετγµέω O στο επίπεδο κι το κύκλο C µε κέτρο O(0,0) κι κτί ρ. Έ σηµείο M (, ) ήκει στο κύκλο C, κι µόο, πέχει πό το κέτρο του Ο πόστση ίση µε τη κτί ρ, δηλδή, κι µόο ισχύει: ( OM) ΟΜ = Επειδή ( ) + = ρ ή ισοδύµ, + η σχέση () γράφετι: + = ρ. = ρ () + = ρ. Ο ( 0,0) ρ Μ (, ) C ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι, η εφπτοµέη του κύκλου ρ + =. Έστω ε η εφπτοµέη του κύκλου C: + = ρ σε έ σηµείο του Α (, ). Έ σηµείο M (, ) ήκει στη ε, κι µόο OA AM, δηλδή, uu uuu κι µόο ισχύει: OA AM = 0. () uu uuu Επειδή OA= (, ) κι AM = (, ). η () γράφετι διδοχικά: ( ) + ( ) = 0 ή + = + ή + = ρ φού + = ρ., + = ρ στο σηµείο του Α (, ) έχει εξίσωση (, ) A O Μ (, ) ΘΕΩΡΙΑ 3 Αποδείξτε ότι, ο κύκλος µε κέτρο ( 0, 0) Κ κι κτί ρ έχει εξίσωση: ( ) ( ) Θεωρούµε σύστηµ συτετγµέω Ο στο επίπεδο κι C το κύκλο µε κέτρο Κ( 0, 0) κι κτί ρ. Έ σηµείο M (, ) ήκει στο κύκλο C, κι µόο η πόστση του πό το κέτρο Κ του κύκλου, είι ίση µε ρ, δηλδή, κι µόο ισχύει: KM = ρ () ( ) Επειδή είι, ( ) ( ) ( ) η σχέση () γράφετι: ΚΜ = ( ) + ( ) = ρ ή, ισοδύµ, ( ) ( ) = ρ. ~ 35 ~ = ρ Κ (, ) Ο 0 0 ρ Μ (, )

40 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι, η εξίσωση ( ) ( ) + = ρ () γράφετι στη µορφή: () κι εξετάσετε πότε µι εξίσωση της µορφής () πριστάει κύκλο; A B Γ= 0 Απτύσουµε τις τυτότητες κι η εξίσωση () γράφετι: 0 0 ( 0 0 ρ ) δηλδή πίρει τη µορφή θέτοτς: Α= 0, B= 0 κι A B Γ= 0, Γ= + ρ = 0 Ατιστρόφως, κάθε εξίσωση της µορφής () γράφετι διδοχικά: ( A) ( B) A A B B A B = Γ = Γ A B A + B 4 Γ =. 4 ικρίουµε τις περιπτώσεις: Α Β Α A + B 4Γ> 0, η εξίσωση () πριστάει κύκλο µε κέτρο Κ, κι κτί A + B 4Γ A + B 4Γ ρ = =. 4 Α Β Α A + B 4Γ= 0, η εξίσωση () πριστάει έ µόο σηµείο, το Κ,. Α A + B 4Γ< 0, η εξίσωση () είι δύτη, δηλδή δε υπάρχου σηµεί Μ (, ) τω οποίω οι συτετγµέες τη επληθεύου. Αποδείξµε λοιπό ότι: Κάθε κύκλος έχει τη εξίσωση της µορφής + + A+ B+Γ= 0, µε A κι τιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής (Ι) πριστάει κύκλο. + B 4Γ> 0 (Ι) ΘΕΩΡΙΑ Γράψτε τη εξίσωση της προλής µε άξο συµµετρίς το ' κι ποδείξτε ότι η προλή ρίσκετι στο ηµιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσ δ κι η εστί της Ε. Η προλή µε άξο συµµετρίς το ' έχει εξίσωση: = p Από τη πρπάω εξίσωση προκύπτει ότι τ p κι (µε 0 ) είι οµόσηµ. Άρ, κάθε φορά η προλή ρίσκετι στο ηµιεπίπεδο που ορίζει ο άξος ' κι η εστί Ε. Εποµέως η προλή ρίσκετι στο ηµιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσ δ κι η εστί Ε. ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι η κάθετη πό τη εστί στη διευθετούσ είι άξος συµµετρίς της προλής. Α το σηµείο M(, ) είι σηµείο της προλής M (, ) ~ 36 ~ = p, δηλδή, θ είι σηµείο της ίδις προλής, φού ισχύει: ( ) = p, τότε το σηµείο = = p. Αυτό σηµίει ότι ο άξος ' είι άξος συµµετρίς της προλής. Εποµέως, η κάθετη πό τη εστί στη διευθετούσ είι άξος συµµετρίς της προλής (κι λέγετι άξος της προλής).

41 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ Γράψτε τη εξίσωση της έλλειψης κι ποδείξτε ότι η έλλειψη περιέχετι στο ορθογώιο που ορίζου οι ευθείες =, = κι =, =. Η εξίσωση της έλλειψης είι + =. Από τη εξίσωση της έλλειψης, έχουµε 0 κι άρ. Οµοίως. = οπότε Άρ, η έλλειψη περιέχετι στο ορθογώιο που ορίζου οι ευθείες =, = κι =, =. ΘΕΩΡΙΑ ) Τι οοµάζουµε εκκετρότητ ε έλλειψης; ) Αποδείξτε ότι γι τη εκκετρότητ ισχύει ε =. Ποιες ελλείψεις λέγοτι όµοιες; ) Εκκετρότητ της έλλειψης είι µι πράµετρος που κθορίζει τη µορφή της έλλειψης. γ Οοµάζουµε εκκετρότητ της έλλειψης + = κι τη συµολίζουµε µε ε, το λόγο ε = <. ) Επειδή γ =, είι ε =, οπότε ε = = κι άρ ε =. Εποµέως, όσο µεγλώει η εκκετρότητ τόσο µικρίει ο λόγος κι συεπώς τόσο πιο επιµήκης γίετι η έλλειψη. Ότ η εκκετρότητ ε τείει στο µηδέ, τότε ο λόγος τείει στο κι εποµέως η έλλειψη τείει γίει κύκλος. Ότ, όµως, η εκκετρότητ ε τείει στη µοάδ, τότε ο λόγος τείει στο 0 κι εποµέως η έλλειψη τείει εκφυλιστεί σε ευθύγρµµο τµήµ. Όµοιες λέγοτι οι ελλείψεις που έχου τη ίδι εκκετρότητ, άρ ίδιο λόγο. ΘΕΩΡΙΑ Γράψτε τη εξίσωση της υπερολής µε εστίες στο άξο ποτελείτι πό δύο χωριστούς κλάδους. Η εξίσωση της υπερολής είι Οπότε 0 κι άρ ~ 37 ~ ' κι ποδείξτε ότι η υπερολή =. Από τη εξίσωση της υπερολής, έχουµε: ή. Εποµέως, τ σηµεί της υπερολής ρίσκοτι έξω πό τη τιί τω ευθειώ πράγµ που σηµίει ότι η υπερολή ποτελείτι πό δύο χωριστούς κλάδους. = +, = κι =,

42 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ i) ii) iii) i) Τι οοµάζουµε εκκετρότητ ε υπερολής; = ε. Ποι η σχέση της εκκετρότητς µε το συτελεστή διεύθυσης της σύµπτωτης υτής; Πόση είι η εκκετρότητ µις ισοσκελούς υπερολής; Αποδείξτε ότι γι τη εκκετρότητ ισχύει i) Η πράµετρος που κθορίζει το σχήµ της υπερολής είι η εκκετρότητ. γ Οοµάζουµε εκκετρότητ της υπερολής =, κι τη συµολίζουµε µε ε, το λόγο ε = >. + Επειδή γ = +, είι ε =, οπότε ε = + κι άρ, = ε. ii) iii) Εποµέως, η εκκετρότητ ε προσδιορίζει το συτελεστή διεύθυσης της σύµπτωτου της, δηλδή χρκτηρίζει το ορθογώιο άσης. Άρ κι τη µορφή της ίδις της υπερολής. Όσο η εκκετρότητ µικρίει κι τείει γίει ίση µε το, ο λόγος, άρ κι το, µικρίει κι τείει γίει ίσο µε το 0. Κτά συέπει, όσο πιο µικρή είι η εκκετρότητ της υπερολής τόσο πιο επίµηκες είι το ορθογώιο άσης κι κτά συέπει τόσο πιο κλειστή είι η υπερολή. i) Στη περίπτωση της ισοσκελούς υπερολής είι =, οπότε: ε = ε = ε =. ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ;; ~ 38 ~

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Μθηµτική επγωγή Θεώρηµ Έστω P( ) ές ισχυρισµός που φέρετι στους θετικούς κερίους. Α ) ο ισχυρισµός είι ληθής γι το κέριο δηλδή ο P () είι ληθής κι ) η λήθει του P( ) συεπάγετι τη λήθει του P( + ) γι κάθε. Τότε ο ισχυρισµός P( ) ληθεύει γι όλους τους θετικούς κέριους. Ευκλείδει διίρεση Θεώρηµ Αποδεικύετι ότι γι οποιουσδήποτε κερίους κι, 0, ισχύει το πρκάτω θεώρηµ κι διτυπώετι ως εξής: Α κι κέριοι µε 0, τότε υπάρχου µοδικοί κέριοι κ κι υ τέτοιοι ώστε: = κ + υ, 0 υ< Η διδικσί εύρεσης τω κ, υ λέγετι ευκλείδει ή λγοριθµική διίρεση του µε το. Η ισότητ = κ + υ, µε 0 υ<, λέγετι τυτότητ της λγοριθµικής διίρεσης του µε το. Ο κ λέγετι πηλίκο κι ο υ υπόλοιπο της διίρεσης υτής, εώ ο διιρετέος κι ο διιρέτης. Η διίρεση λέγετι τέλει το υπόλοιπο είι ίσο µε 0. Βσικές προτάσεις Το άθροισµ ή η διφορά δύο άρτιω είι άρτιος. Το άθροισµ ή η διφορά δύο περιττώ είι άρτιος. Α η διφορά δύο κερίω είι άρτιος τότε κι το άθροισµ είι άρτιος τίστοιχ, η διφορά δύο κερίω είι περιττός τότε κι το άθροισµ είι περιττός. Το άθροισµ ή η διφορά εός άρτιου κι εός περιττού είι περιττός. Το γιόµεο δύο άρτιω είι άρτιος. Το γιόµεο δύο περιττώ είι περιττός. Το γιόµεο εός άρτιου κι εός περιττού είι άρτιος. Το γιόµεο δύο διδοχικώ κέριω είι άρτιος. * Α άρτιος τότε, Ν είι άρτιος. Α περιττός τότε *, Ν είι περιττός. Το άθροισµ πεπερσµέου πλήθους άρτιω είι άρτιος. Το άθροισµ άρτιου πλήθους περιττώ είι άρτιος. Το άθροισµ περιττού πλήθους περιττώ είι περιττός. Το γιόµεο δύο ή περισσοτέρω κέριω είι άρτιος, κι µόο, ές τουλάχιστο πράγοτς είι άρτιος. Το γιόµεο δύο ή περισσοτέρω κερίω είι περιττός, κι µόο, όλοι οι πράγοτες είι περιττοί. ΑΠΟΤΕΛΑΣΜΑΤΙΚΟ ΧΡΟΝΟ ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΩΝ ~ 39 ~

44 φροτιστήρι στόος ιιρετότητ Ορισµός Έστω, δύο κέριοι µε 0. Θ λέµε ότι ο διιρεί το κι θ γράφουµε ότ η διίρεση του µε το είι τέλει. ηλδή ότ υπάρχει κέριος κ ώστε = κ. Στη περίπτωση υτή λέµε κόµη ότι: διιρείτι µε το πολλπλάσιο του είι διιρέτης του είι πράγοτς του δε διιρεί το τότε γράφουµε Επισήµση: Στο εξής ότ χρησιµοποιείτι ο συµολισµός οι ριθµοί, είι κέριοι κι 0, υτό δε φέρετι. Συέπειες του ορισµού Α τότε ±, Ζ, ±, Ζ 0 γι κάθε * Ζ τότε κ κ, κ Ζ Θεώρηµ Έστω,, γ κέριοι. Ισχύου τ πρκάτω: Α κι τότε: =± Α κι γ τότε: γ Α τότε λ γι κάθε λ Ζ Α κι γ τότε: ( + γ) Α κι 0 τότε: Σ συέπει του πιο πάω θεωρήµτος ισχύει: * * Α / κι / γ τότε / ( κ + λγ ), γι κάθε κ, λ Ζ δηλδή ότι «ές κέριος διιρεί δύο άλλους κερίους κι γ διιρεί κι έ οποιοδήποτε γρµµικό συδυσµό τω κι γ». Πρότση Θεωρούµε τη ευκλείδει διίρεση του µε το κι έστω κ κι υ το πηλίκο κι το υπόλοιπο τίστοιχ. i. Α ές κέριος διιρεί κι το κι το τότε διιρεί κι το υ. ii. Α ές κέριος διιρεί κι το κι το υ τότε διιρεί κι το. Πρότση Έστω,,, κέριοι. Α γι /\ γ κι γ ( ) ± τότε γ. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΜΕΝΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΑ ΣΥΓΡΑΜΜΑΤΑ ~ 40 ~

45 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Έστω,, γ κέριοι. Αποδείξτε τις κόλουθες ιδιότητες: i. Α κι, τότε = ή =. ii. Α κι γ, τότε γ. iii. Α, τότε λ γι κάθε κέριο λ. i. Α, κι γ, τότε ( + γ ).. Α κι 0, τότε. i. Επειδή κι, υπάρχου κέριοι κ, λ, τέτοιοι, ώστε = κ κι = λ, οπότε = κλ κι εποµέως, κλ = ή κ = λ =, δηλδή ότι = ή =. ii. Επειδή κι γ, υπάρχου κέριοι κ, λ, τέτοιοι, ώστε = κ κι γ = λ, οπότε γ = λκ δηλδή γ. iii. Επειδή υπάρχει κέριος κ, τέτοιος, ώστε = κ, οπότε λ = λκ δηλδή λ. i. Επειδή κι γ, υπάρχου κέριοι κ, λ τέτοιοι, ώστε = κ κι γ = λ, οπότε + γ = (κ + λ ) δηλδή ( + γ ). Επειδή κι 0, υπάρχει κέριος κ 0 µε = κ. Εποµέως, = κ, φού κ. ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ;; ~ 4 ~

46 φροτιστήρι στόος Απτήσεις στις ερωτήσεις κτόησης του σχολικού ιλίου. ~ 4 ~

47 φροτιστήρι στόος Σχεδισμός Επγγελμτικής Στδιοδρομίς Α θες είσι ευτυχισμέος γι μι ώρ, πάρε έ υπάκο, Α θες είσι ευτυχισμέος γι μί μέρ, πήγιε γι ψάρεμ, Α θες είσι ευτυχισμέος γι έ μή, πτρέψου, Α θες είσι ευτυχισμέος γι έ χρόο, κληροόμησε μι περιουσί, Α θες είσι ευτυχισμέος δι ίου, κάε μι δουλειά που τη γπάς. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ στόoς Στ πλίσι της διρκούς στήριξης τω μθητώ μς κι τιλμόμεοι τη δυσκολί του ορθού επγγελμτικού προστολισμού, τ φροτιστήρι στόος σε συεργσί με το Κέτρο Συμουλευτικής κι Επγγελμτικού προστολισμού ΣeΠ, πρέχου τη δυτότητ διερεύησης ορθής επγγελμτικής επιλογής. ΣΤΟΧΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣeΠ. Στόχος μς είι, στηριζόμεοι σε επιστημοικά έγκυρες μεθόδους, κτευθύουμε σωστά κι με υπευθυότητ τους μθητές μς ώστε τους οηθήσουμε ετοπίσου τους κτάλληλους επγγελμτικούς τομείς που τους τιριάζου. Ο στόχος του προγράμμτος φορά: τη διάγωση τω εδιφερότω, τη διερεύηση της προσωπικότητς κι τη άλυση τω ικοτήτω του μθητή. ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ Με τομικά ρτεού με τους μθητές του φροτιστηρίου μς κι τους γοείς χρειστεί, οι υπεύθυοι σπουδώ οηθάε τους υποψήφιους συμπληρώσου το μηχογρφικό. Θεριή Προετοιµσί στ φροτιστήρι στόος = 00% Επιτυχί ~ 43 ~

48 φροτιστήρι στόος ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΘΕΡΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ 4 ΑΛΓΕΒΡΑ 4 ΣΥΝΟΛΟ 8 ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΣΥΝΟΛΟ 7 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΣΥΝΟΛΟ 7 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΧΑΙΑ 4 ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ 6 Οι µθητές που ρχίζου τη προετοιµσί πό τ θεριά τµήµτ: Έχου το χρόο κλύψου τ κεά προηγούµεω τάξεω. διάσου ουσιστικά, χωρίς το άγχος κι το φόρτο του σχολείου ώστε είι σε πλεοεκτική θέση έτι τω συµµθητώ τους το Σεπτέµρη. ποκτήσου τις άσεις, προσεγγίσου σωστά κι σε άθος, µεγάλο µέρος της ύλης της Β Λυκείου ώστε εξσφλίσου πό τη ρχή υψηλή θµολογί στις γρπτές κι προφορικές εξετάσεις. ποκτήσου πείρ κι ωριµότητ γι τις γρπτές εξετάσεις µε τ εδοµδιί διγωίσµτ, µάθου µελετού δηµιουργικά, υπεύθυ κι προγρµµτισµέ Ελάτε συζητήσουµε: τις λλγές του εξετστικού συστήµτος το κιοτόµο πρόγρµµ του φροτιστηρίου µς ώστε µπορέσετε προετοιµστείτε κτάλληλ µε στόχο: τις σχολές υψηλής ζήτησης. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΘΕΡΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΦΥΣΙΚΗ 3 ΧΗΜΕΙΑ ΑΡΧΑΙΑ 3 ΝΕΑ ΣΥΝΟΛΟ 5 Στο Ειίο Λύκειο πρέχουµε τριετή κύκλο προετοιµσίς κλύπτοτς όλες τις κτευθύσεις σπουδώ προς το Εθικό Απολυτήριο. Η Α Λυκείου είι τάξη προστολισµού, στη διάρκειά της οποίς ο µθητής µε τη οήθει τω κθηγητώ διερευά τις κλίσεις του, ξιολογεί τις δυάµεις του ώστε η επιλογή κτεύθυσης είι η κλύτερη δυτή. Ο µθητής πρέπει κλύψει τ κεά που υπάρχου πό το Γυµάσιο κι ποκτήσει τις άσεις ώστε τποκριθεί µε επιτυχί στις πιτήσεις του Ειίου Λυκείου. ~ 44 ~

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛ. ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ «ΛΥΧΝΙΑ», Αδραβίδας 7, 13671 Χαμόμυλο Αχαρνών τηλ.: 210 34 10 436, fax: 210 34 25 967

ΗΛ. ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ - ΕΚΤΥΠΩΣΗ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ «ΛΥΧΝΙΑ», Αδραβίδας 7, 13671 Χαμόμυλο Αχαρνών τηλ.: 210 34 10 436, fax: 210 34 25 967 ΒΙΟΛΟΓΙΑ είς δ ι ςπ ή κ ι Γε Υ Ο Ι ΚΕ Υ Λ Γ είς Πιδ τς Γ ής Γεικ ς ί γ ς ιολο θτή. όσ τ β Β µ ς τ τ οµ ριλ ύλς οσιτό στ λήρ κ ίο πε ς λ β ι έ στ πρ π Το β εξετ ε τρόπο ού στ ς τ ί µ κοπ. θεωρ γρµµέ ου

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωµετρική Οπτική)

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωµετρική Οπτική) ΙΣΤΡΙΕΣ ΦΩΤΣ (Ερωτήσεις δικιολόγησης στη εωµετρική πτική). Η πργκωνισµένη νάκλση στο προσκήνιο Τις περισσότερες ορές που ντιµετωπίζουµε έν έµ το οποίο σχετίζετι µε έν πρίσµ δινούς υλικού, έχουµε συνηίσει

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Μαθηµατικών

Τυπολόγιο Μαθηµατικών Τπολόιο Μθητικώ * πιάτσης πιώτης Εδό κύκλο κτίς ρ E =πρ Ο ρ Μήκος κύκλο κτίς ρ L= πρ Ο ρ Όκος πρίστος Εδό άσης ύψος= Ε. Ε Όκος κλίδρο ε κτί άσης ρ κι ύψος V =πρ ρ Εδό πράπλερης επιφάεις κλίδρο Ε= πρ Εδό

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α 3 +β 3 =(α+β)(α 2 -αβ+β 2 ) α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β) α 3 -β 3 =(α-β)(α 2 +αβ+β 2 ) (α+β+γ) 2 =α 2 +β 2 +γ 2 +2αβ+2βγ+2γα

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α 3 +β 3 =(α+β)(α 2 -αβ+β 2 ) α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β) α 3 -β 3 =(α-β)(α 2 +αβ+β 2 ) (α+β+γ) 2 =α 2 +β 2 +γ 2 +2αβ+2βγ+2γα ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΘΗΜΤΙΚΝ (+) = ++ (-) = -+ - = (-)(+) (+) 3 = 3 +3 +3 + 3 (-) 3 = 3-3 +3-3 - =(-)( - + - + + - ) πριττός + =(+)( - - - + - - ) ΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ = - < - - + + γι θ>:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου H Ευκλείδει Γεωµετρί είνι κι εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου (EΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ, Τ. 73,010) ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μθηµτικών dimitrmp@sch.gr Περίληψη Η µελέτη των κωνικών τοµών η οποί γίνετι,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ρ. Στυλινός Γ. Λόζιος Επ. Κθηγητής του Τµήµτος Γεωλογίς του Εθνικού & Κποδιστρικού Πνεπιστηµίου Αθηνών Το εφρµοσµέν

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Μαθηματικά 2) Φυσική 3) Χημεία 4) Βιολογία ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας;

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας; Τ οικονομικά της Υγείς: μι υάρετη επιτήμη ή έν χρήιμο εργλείο γι τις πολιτικές Υγείς; Ιωάννης Κυριόπουλος Κθηγητής Οικονομικών της Υγείς, Διευθυντής του Τομέ Οικονομικών της Υγείς, Εθνική Σχολή Δημόις

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κατά τη διάρκεια τωv εξετάσεωv: 2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

Κατά τη διάρκεια τωv εξετάσεωv: 2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Κτά τη διάρκει τωv εξετάσεωv: ιβάζουµε µι φορά όλ τ θέµτ, ώστε ν σχηµτίσουµε µι γενική εικόν. Ξεκινάµε τις πντήσεις µς πό τ θέµτ εκείν γι τ οποί είµστε σίγουροι γι τον τρόπο ντιµετώπισής του. Συνήθως ξεκινάµε

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ συγκέντρωση Μόλυνση ονομάζετι η είσοδος ενός πθογόνου μικροίου στον οργνισμό. Χρονικά, προηγείτι η είσοδος του μικροίου κι κολουθεί η ενεργοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Μαθήματα Κλάδοι Ώρες Εξεταζόμενο Γενική Παιδεία Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία 5 ΝΑΙ Ελληνική Γλώσσα

Α Τάξη Μαθήματα Κλάδοι Ώρες Εξεταζόμενο Γενική Παιδεία Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία 5 ΝΑΙ Ελληνική Γλώσσα Α Τάξη Μαθήματα Κλάδοι Ώρες Εξεταζόμενο Γενική Παιδεία Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία 5 ΝΑΙ Ελληνική Γλώσσα Νέα Ελληνική Γλώσσα 2 ΝΑΙ Λογοτεχνία 2 ΝΑΙ Μαθηματικά Άλγεβρα 3 ΝΑΙ Γεωμετρία 2 ΝΑΙ Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Μία γενίκευση της Αριθμητικής και της Γεωμετρικής προόδου - Ο Σταθμικός μέσος ως γενικός μέσος

Μία γενίκευση της Αριθμητικής και της Γεωμετρικής προόδου - Ο Σταθμικός μέσος ως γενικός μέσος Μί γείκευση της Αιθμητικής κι της Γεμετικής πόδυ - Ο Στθμικός μέσς ς γεικός μέσς Δ. Πγιώτης Λ. Θεδόπυς Σχικός Σύμυς κάδυ ΠΕ0 www.p-theodoropoulos.gr Πείηψη Στη εγσί υτή μεετάτι η ειδική κτηγί τ κυθιώ όπυ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΩΝΟΥ σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς - A Οµάδς. ύο πύργοι κι βρίσκοντι εκτέρωθεν ενός ποτµού. Ένς πρτηρητής Π βρίσκετι προς το ίδιο µέρος του ποτµού µε τον πύργο. ν στο τρίγωνο Π είνι Π 3m,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Μαθηματικά 2) Φυσική 3) Χημεία 4) Βιολογία ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Μ Ν Α Δ Ε Σ Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν Τ

Διαβάστε περισσότερα

1. Λήξη µαθηµάτων σχολικού έτους 2010 2011 στις 10 Μαΐου 2011 2. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

1. Λήξη µαθηµάτων σχολικού έτους 2010 2011 στις 10 Μαΐου 2011 2. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ 1. Λήξη µαθηµάτων σχολικού έτους 2010 2011 στις 10 Μαΐου 2011 2. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ ΑΣ Β ) ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση. Γράφουµε νν ντί του ν κι µόνον ν.. Προλεγόµεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή µε έννοιες πό την Μθηµτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύµφων µε την Πλτωνική ντίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος.

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1. ΙΑΛΥΜΑΤΑ (ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ) Όπως νφέρµε διάλυµ είνι έν οµογενές µίγµ που ποτελείτι πό δύο ή περισσότερες χηµικές ουσίες. Περιεκτικότητ διλύµτος είνι η ποσότητ της διλυµένης

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Νέο γενικό λύκειο. Σύνολο διακριτών μαθημάτων 15. Σύνολο διδακτικών ωρών 35. Ομάδες μαθημάτων 3. Μεμονωμένα μαθήματα 7

Νέο γενικό λύκειο. Σύνολο διακριτών μαθημάτων 15. Σύνολο διδακτικών ωρών 35. Ομάδες μαθημάτων 3. Μεμονωμένα μαθήματα 7 ΤΑΞΗ Α Σύνολο διακριτών μαθημάτων 15. Σύνολο διδακτικών ωρών 35. Ομάδες μαθημάτων 3. Μεμονωμένα μαθήματα 7 Α ομάδα μαθημάτων Ελληνική Γλώσσα Β ομάδα μαθημάτων Μαθηματικά Γ ομάδα μαθημάτων Φυσικές Επιστήμες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Αθήνα, 26 Μαρτίου ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Από το Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων ανακοινώνεται το πρόγραµµα: α) των εισιτηρίων εξετάσεων των αποφοίτων Β κύκλου ηµερήσιων ΤΕΕ, κατόχων πτυχίου ειδικότητας

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα